Векторларды геометриялық есеп шығаруда қолдану

МАЗМҰНЫ

1. ВЕКТОРЛАР ТУРАЛЫ ТҮСІНІК ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.1 Векторларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Векторларды жіктеу тәсілдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2 ВЕКТОРЛАРДЫ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕП ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНУ
2.1 Планиметриялық есептерді шығаруда қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2 Стереометриялық есептерді шығаруда қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ...

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1 ВЕКТОР ТУРАЛЫ ТҮСІНІК

1.1. Векторларға амалдар қолдану

Ғылым мен техникада кездесетін кейбір шамалар тек сан мәнімен ғана сипатталады (абсолют шамасымен). Мысалы, масса, уақыт, температура және т. б. Бұл шамаларды скаляр шамалар деп атайды. Ал, кейбір шамалар сан мәнімен ғана емес, сонымен қатар бағытымен де сипатталады. Мысалы: жылдамдық, үдеу, күш, импульс жәке т. б. Бүл - векторлық шамалар.
Бір қызығы, жоғарыда аталған барлық векторлық шамалар механикада кездеседі. Алайда механиканың дамуы кезінде векторлық анализ тіпті болмаған. Векторлық анализ тек Максвелдің электромагниттік теориясынан кейін ғана пайда болды. Себебі, электр және магнит өрістерінің табиғаты — векторлық.[5,7]
Кез-келген вектордын ұзындығы (вектордың шамасына пропорционал) мен бағыты болады. Векторларды қосу ережелері:
1) Үш бұрыш ережесі




1-сурет
(1.1)
2) Параллелограмм ережесі:






2-сурет
(1.2)
Векторлар — координаталар жүйелеріне тәуелсіз геометриялық объектер. Мысалы А-векторы (3-сурет). Координаталар жүйесінің басынан басталып.





3-сурет
нүктесінде аяқталады. – импульс, күш, жылдамдық
болуы мүмкін. Ал координаталар жүйесінің басынан
нүктесіне дейінгі арақашықтықты арнайы -(радиус-вектор) символымен белгілейді:
(1.3)
-радиус-вектордың абсолют шамасы болсын. Демек,
(1.4)
Мұндағы және - бағыттаушы косинустар деп аталады, ал және және осьтерінің оң бағыты мен - векторының араларындағы бұрыш (4-сурет) және шамаларын - радиус векторының (декарттық) компоненттері немесе проекциялары деп атайды.
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа. Уч. Для 10-11 классов, средняя школа, М, Просвещение, 1992
2. Атанасян Л.С. и другие. Геометрия для 9-10 классов средней школы.М, Просвещение, 1994.
3. Колмогоров А.И. Агебра и начала анализа. М, Просвещение, 1994.
4. Галицкий Углубленное изучение алгебры и начала анализа. М, П, 1997.
5. Гусев В.А.,Мативненко В.И. Практика по элементарной математике. М, Просвещение, 1991.
6. 3000 конкурсных задач по математике. М, Айриа пресс, 1999.
7. Зив Б.Р., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и начала анализа для 9-10 класов, С-П, 2000.
8. Қаңлыбаев Қ. Жазықтықты векторларда қолданылатын есептер., математика, №2, 11 бет.
9. Жақсыбекова К.А. Векторлық және тензорлық оқу құрал. Алматы, Қазақ университеті, 2003, 104 бет.
10. И.Қазиев Решение алгебрических задач с помощью скалярного произведения, Математика в школе, журнал, 17 стр, №4
11. И.М.Фихтенгольц Математикалық анализ негіздері, Мектеп, Алматы, 1972 жыл, 75 бет.
12. Т.Ахметқалиев Математикалық талдау, Алматы, 1997 жыл, 262 бет.
13. А.П. Ершова Самостоятельная работа по геометрии и алгебры. Москва «Илекса!, 2000, 172 бет.
14. Б.Т. з и в, Дидактические материалы геометрий. Москва, 98, 70 бет.
15. Бүкібаева К. Векторларды есептерді шығаруда қолдану, журнал, ИФМ 27 бет, №4, 1993 жыл.
16. Қ.Р. Білім туралы заң баптары бойынша түсінік негіздері, 75 бет.
        
        МАЗМҰНЫ
1. ВЕКТОРЛАР ТУРАЛЫ
ТҮСІНІК...........................................................
1.1 Векторларға амалдар
қолдану...............................................................
1.2 Векторларды жіктеу
тәсілдері..............................................................
2 ВЕКТОРЛАРДЫ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕП ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНУ
2.1 Планиметриялық есептерді шығаруда
қолдану....................................
2.2 ... ... ... ... ... ... ... амалдар қолдану
Ғылым мен техникада кездесетін кейбір шамалар тек сан ... ... ... ... ... ... ... температура және т.
б. Бұл шамаларды скаляр шамалар деп атайды. Ал, кейбір шамалар сан ... ... ... ... ... де ... Мысалы: жылдамдық, үдеу,
күш, импульс жәке т. б. Бүл - ... ... ... ... ... ... ... шамалар механикада
кездеседі. Алайда механиканың дамуы кезінде векторлық анализ ... ... ... тек ... ... теориясынан
кейін ғана пайда болды. Себебі, электр және магнит өрістерінің ... ... ... ... ... ... пропорционал) мен
бағыты болады. Векторларды қосу ережелері:
1) Үш ... ... ... ... — координаталар жүйелеріне тәуелсіз геометриялық объектер.
Мысалы А-векторы (3-сурет). Координаталар ... ... ...
3-сурет
нүктесінде аяқталады. – импульс, күш, жылдамдық
болуы мүмкін. Ал координаталар жүйесінің ... ... ... ... ... белгілейді:
(1.3)
-радиус-вектордың абсолют шамасы болсын. Демек,
(1.4)
Мұндағы және - бағыттаушы косинустар деп аталады, ал
және және осьтерінің оң ... мен - ... ... ... және ... ... векторының (декарттық) компоненттері немесе проекциялары деп
атайды.
4-сурет
Кез -келген векторын компоненттерге жіктеуге болады:
(1.5)
Енді және - ... ... ... ... ... тең және ... ... бағыттас болсын. Онда,
(1,6)
Егер = 0 болса. онда Пифагор теоремасы ... ... ... ... және векторы берілсін, онда
(1.7)
Координаталар жүйесінің бұрылуы
радиус-векторды пайдаланып, вектордың жңна ... ... ... ... бар. Біз ... ... табиғатты
сипаттаймыз, сондықтан физикалық сипаттауымыз математикалық аппаратқа
тәуелсіз болуы керек. Егер физикалық ... үй деп ... ... ... саймандары. Саймандарсыз құрылыс ... ... ... ... ... ... изотропты деп қарастырайык. Демек, зерттелетін ... ... ... заң ... жүйесінің бағыттарына тәуелсіз.
радиус-векторын екі жүйеде қарастырайық, х және у осьтерін
сағат тілінің бағытына қарама қарсы бағытта бұрышына бұралық (5-
сурет). Пайда ... ... х' және у' деп ... ... ... , ... (1.9) - ... жүйесін бұрған
кездегі векторлық компоненттерінің ... ... Егер ... ... радиус-вектор компоненттері ... ... онда олар ... ... Егер және ... онда ... вектор кұруға болмайды. Түсінікті ... (1.9) ... және ... ... А ... координаттар және кез
келген ... ... ... ... кездегісі:
(1.11)
(1.8) теңдеуін пайдаланып, ... ... ... мен бұрышы арқылы сипаттауға болады. Алайда
бұрышқа тәуелділік ... ... ... ... ... бағытка тәуелсіз функциялармен ... ... онда ... Екі шама ... (-у, х). Екі ... ... ... ... ... ... осы шамалардың түрленуін қарастырайық.
,
мұндағы (1.8) ... ... ... ... (1.9) ... ... ... (-у,х) жұбы
вектор компоненттері.
2. қарастырайық (1.9) ... ... ... , ... бола ... Осы ... басқа түрде
жазайық:
(1.12)
(1.9) тендеуі:
(1.13)
коэффициенттерін бағыттаушы косинустар деп
қарастыруға болады. ( және , ... ... ... ... былай жазуға болады:
(1.14)
Енді осы айтылғандарды 3,4 және одан көп
өлшемдер үшін оңай жазуға болады. -өлшемі ... ... ... егер осы ... ... жүйеде мына теңдеумен берілсе:
(1.15)
мұндағы және ... ... ... ... координаттарда былай
жазуға болады:
(1.16)
Бұл дербес туындылар (1.16) теңдеуін (1.15) теңдеуіне қоялық:
(1.17)
Бағыттаушы косинустар ортогональдық шарттарын ... - ... ... (1.12) ... (1.18) және ... қойсақ, онда белгілі тендеуді аламыз:
(1.18) теңдеуінің дұрыстығына көз жеткізу үшін ... ... ... ... ... ... ... 2 жағдай шығады:
Әртүрлі физикалық кұбылыстарды сипаттауға қолайлы;
Математиканың жаңа бөлімі-тензорлық талдауға көшуге мүмкіндік береді.
Жаттығулар:
1. ... ... ... ... ... екенін көрсетіңіздер.
(Тұракты вектор енгізу арқылы, біз бір ... ... ... шамалар векторлық түрлендіру заңын (з.т.з.) (1.15)
қанағаттандыра ма?
а) (х - у, х+у, 0) ... z ... ... (0, 2 z+у, z - 2у) ... х осі ... ... (у1 + z2, - ху, - хz) векторын барлық осьтер бойынша бұрғанда;
3. вектор болатынын дәлелдеңздер. Сх және Су ... ... ... . ... үшін де ... ... ... бойынша бұруды зерттеп, мына сұрақка жауап
беріңіздер:
және ... ... ... бола ала ... Екі ... ... ... сх+dy) түрінде берілген,
мұндағы ... ... ... және тангенциал ... ... ... ... ... түрлендіру заңы кез-келген бұрыш және кез-келген
нүкте (х,у) орындалады.
Скаляр көбейтінді
Векторлардың математикалық көбейту зандары бір-біріне ... ... ... мүмкін болатын анықтамалар ішінен физикаға және математикаға
қатысты қажетті екі ... ... ... ... ... ... физикада жиі кездеседі.
Мүндағы, А,В - екі вектордың абсолют шамалары, Ө - олардың арасындағы
бұрыш.
Мысалы: жұмыс =күш х жол х ... ... ... ( және - ... ... ... үшін:
(1.22а)
(1.22в)
Егер осьтерді қайта бағыттап, х осін ... ... онда және ... және ... онда (1.22) және ... ... және — ... және ... да ... ... түсінігін жалғастыралық, - бірлік векторы болсын,
ал -нөлдік емес, ху жазықтығында ... ... Егер ... мұндағы - кез-келген вектор, онда ... ху ... ... ... ... ... шама екенін дәлелдейік. Ол
үшін ... ... ... бұру ... ... теңдеуінің арқасында:
(1.24)
және индекстерін пайдаланып, қысқаша жазалық: векторының
өз-өзіне көбейтіндісін қарастырайық:
(1.25) , (1.26)
Сонымен ... ... ... ... ... инвариантты.
векторының өз-өзіне көбейтіндісін қарастырайық:
(1.28)
(1.29)
(1.30)
А • В -координаталар жүйесін бұруға инвариантты, себебі (1.30)
теңдеуінің оң жағы ... ... (1.28) ... қайта. басқа түрде
жазалық:
(1.31)
8-сурет
косинустар заңы. (1.28) және (1.31) теңдеуін ... ... ... табиғатын байқаймыз (8-сурет).
Векторлық көбейтінді
Бұл ... екі ... ... ... ... , ... мұндағы -вектор, және ол ... ... ... ... ...
, және оң ... ... құрасын, онда
(коммут. емес). (1.32а)
(1.326)
(1.32в)
Векторлық ... ... ... ... бар ... ... ауданы.
Сонымен, векторы параллелограмм жазықтығына ... ... ... осы ... ... тең ... екен.
векторлық көбейтіндінің басқа анықтамасы. ... ... - ... — индекстерін циклді өзгерту
қажет.
Векторлық көбейтіндіні анықтауыш ... ... ... және (1.33) ... ... Ол үшін және ... және (1.37) ... С векторы А векторына да, В
векторына да перпендиқуляр. А және В ... ... ... ... ... (1.33) теңдеуі бойынша
компоненттерге жіктедік, содан кейін (1.22) ... ... (1.36), (1.37) және (1.39) ... (1.32) және ... эквивалентті екендігі шығады.
Енді вектор екенін ... ... ... ... ... ... ... жүйесінде:
(1.40)
мұндағы. — циклдік ретте алуға тиіспіз. болғанда
(1.40) теңдеуі ... ... онда ... ... ... (1.40) ... қоялық:
(1.42)
Осылай және үшін табамыз. Олар (1.15) ... ... ... шама ... ... және ... ... және
көбейтінділерін табыңдар.
2. Теңдікті дәлелдеңдер.
3. Үшбұрыш нүктелерінің ... ... 1, 5), (5, 2, 8) және (4, 8, 2). Осы ... ... және ... берілген. Қайсылары өзара перпендикуляр және ... не , не ?
5. ... ... ... ... және ... перпендикуляр А векторын табыңыздар. А
векторы бірлік вектор болу үшін қандай қосымша шарт керек?
7. және ... бір ... ... екенін
көрсетіңіздер.
8. АВС сфералық үшбұрыштың бұрыштарын және жақтарын табыңыздар.
Мұндағы . Барлық векторлар координат басынан ... ... В ... ... Лоренц теңдеуінен анықталады: электр
зарядының жылдамдығы, -зарядқа әсер ... ...
2)
3) ... үш ... В ... табу ... ... вектордың аралас және 2-реттік векторлық көбейтінділері
және - мұндай көбейтінділер комбинациясы ... ... ... ... деп ... ... шығатын векторлар А векторына
көбейтіледі, ... ... шама ... ... вектор, ал бүл операция ... ... ... ... ... ... жоғарғы ... ... ... ... Үш вектордың ... ... ... бар. Ол: ... А,В және С ... ... ... (11-сурет),
11-сурет
онда - көбейтіндісінің шамасы осы параллелепипедтің көлеміне тең
болады (әрине, аралас көбейтінді теріс санға да тең ... ... рет ... кебейтіндіні қарастырайық. Бұл жолы жақшаны
сақтау керек ... бұл ... ... шығады. Оның бағыты А және
(ВхС) векторлары ... ... ... - ... ... С ... ... жазықтықта жатады. Себебі, ВС жазықтығы
векторына перпендикуляр. ... ... ... В және ... ... ... байланысты:
(1.49)
Аралас және ... ... ... ... одан көп
векторлар көбейтінділерін қысқартуға болады. Мысалы: Аралас көбейтінді
кері ... ... ... ... және ... түрде өзара перпендикуляр емес)- кристалл ... ... ... Онда ... 2 ... ... беріледі. Мұндағы, және пс - бүтін сандар.
(1.50)
векторларын жазуға ... (1.50) => ... ( және ... ... ал абсолют шамасы - ге ... ... ... кері ... ... Кері тор ... ... жазықтықтарда шашырауын есептеуге қажет.
Жаттығулар
1. болатындығын дәледеңіздер.
2. ... ... ... . - ... және ... ... ... - радиалды бағыттағы
бірлік ... және ... ... ... ... А,В және С ... компланарлығының қажетті
және жеткілікті ... ... ... ... көбейтінділерінің нөлге
теңдігі болып табылатындығын ... ... ... ... және ... табу керек.
6. күші нүктесінде орналасқан ... әсер ... ... ... ... ... ... қорытынды момент:
- ға тең екенін көрсету керек. Мұндағы а- осы осьтің бағытындағы
бірлік вектор.
7.
және
кендігін көрсету ... ... ... ... ... ... яғни ... тек кеңістік нүктелерінің
() мәніне тәуелді. Скаляр болғандықтан кез келген координаталар
жүйесінде белгілі бір ... үшін ... мәні ... ... ... ... теңдіктерді мүшелеп қосамыз, сонда мынау шығады:
Параллелограмның ... ... тең ... ... ... ... квадраттарының қосындысы оның
қабырғалары квадраттарының қосындысына тең- ... ... де осы ... Векторларды жіктеу тәсілдері
Векторларды координаттық осьтер бойынша жіктеу
Егер вектордың абсолют шамасы бірге тең болса, оны бірлік вектор деп
атайды. ... ... оң ... ... ... бірлік векторлар
координаттық векторлар немесе орттар деп аталады. Біз оларды х осі ... у осі ... деп ... ... ... нөлдік вектордан өзге және де коллинеар
емес болатындықтан, кез келген векторды осы ... ... ... ... мен коэффициенттерің табамыз. Ол үшін (*)
теңдіктің екі жақ бөлігін де векторына көбейтеміз. ... ...
(*) ... екі жақ ... де е 2 ... ... кебейтіп,
екенін табамыз.
Сонымен, кез келген векторды ... ... ... егер болса, онда В нүктесі ОА жарты түзуінде жатады,
ал одан болса, мен ... ... ... Егер де
болса, онда В нүктесі толықтауыш жарты түзуде жатады да, ... ... ... ... абсолют шамасы
мынаған тең:
Теорема дәлелденді.
Есеп. мен ... ... ... АВ мен ВА
векторларының қарама-қарсы бағытталғанын дәлелдеңдер.
Шешуі. АВ векторының ... мен ... ... ... мен ... Біз мынаны көріп отырмыз:
. Олай болса, АВ мен ВА ... ... ... ... ... ... емес екі вектор бойынша жіктеу
Бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында жатқан нөлдік емес
екі вектор коллинеар векторлар деп аталадығ ... ... не ... ... не ... ... ... мен — нолден өзге ... ... ... саны ... ... дәлелдейік.
Айталық, мен векторлары бірдей багытталған ... және ... да ... ... және
олардың абсолют шамасы да бірдей ... ... олар ... ... ... бағытталған
болғанда былай тұжырымдаймыз:
дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Айталық, мен — ... өзге ... емес ... Енді кез ... ... көрсетуге болатынын дәлелдейік.
Айталық, А мен В - векторының басы мен ұшы ... А мен ... ... және ... ... ... Олар қандай да бір С нүктесінде қиылысады. Сонда:
мен векторлары коллинеар болғандықтан, ... ... ... ... ... ... де осы ... скаляр көбейтіндісі
мен векторларының скаляр көбейтіндісі деп санын
атайды.
Векторлардың скаляр көбейтіндісін де, ... ... ... ... ... деп ... ВЕКТОРЛАРДЫ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕП ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНУ
2.1 Планиметриялық есептерді шығаруда қолдану
Мектеп көлемінде оқытылатын ... ... ... ... жатады. «Векторлар тақырыбын оқыту әдістемесін» сөз
етер ... ... ... пәні бойынша өтетін алғашқы ... ... және оның ... ... ... ... туралы түсінік былай басталады. Жазықтық ... ... х пен у-ті ... F ... кез келген (х, у)
нуктесі (х+a, у+b) нуктесіне ... ... а мен b — ... ... параллель көшіру деп атайды.
Параллель көшіруді мынадай формулалармен көрсетіп береді:
Бұл формулалар параллель көшіргенде (х, у) ... ... ... пен у' ... ... деп анықтама беру үшін ... ... ... ... жоғарыдағыдай түсінік
берсек олардың көкейіне қонбайтыны да ... ... ... ... ... ... көпшілігінің сана сезіміне негізделмеген.
Сондықтан ... ... ... координаттық жүйені енгізіп, одан
координаттары (х, у) және (х', у') болатын М және N ... ... Осы екі ... х ... және у осіндегі сәйкесінше аралық санда
а және b болсын деп келісілді.
Анықтама: Жазықтықтың кез-келген ... ... N(х+a, ... ... ... ... ... дейміз. .[13,26]
Жоғарыдағы түрлендірумен Ғ фигурасының кез-келген нүктесін Ғ1
фигурасының кез-келген нүктесіне параллель көшіруге ... Олай ... ... ... Ғ1 ... ... көшіруге болады.
Қысқаша былай жазамыз: .
Енді параллель көшірудің қасиеттеріне тоқталайық.
1°. Параллель көшіру дегеніміз козғалыс болады. Мұны ... ... ... ... болу үшін М және N ... арақашықтығы М1 және N1
нүктелерінің арақашықтығына тең бөлу керек, соны тексереміз.
бұдан МN= М1N1 олай болса параллель ... ... ... ... ... ... параллель (не беттесетін) түзулер
бойымен бірдей қашықтыққа жылжиды.
Жоғарыдағы 1-сызбаны пайдаланып NМ1- кесіндісінің ортасын ... ... ... ... ... МN1 ... ортасын табайық, сонда яғни, О1 және О2
нүктелерінің координаттары бірдей, бұл екі нүкте бір ғана О ... ... ... ... параллелограмм туралы теорема бойынша
төртбұрышы параллелограмм. ... ... ... ... ... тең деген теорема бойынша.
Егер N нүктесі ММ1 түзуінде жатса. онда нүк-тесі де ММ1
түзуінде ... ... , ... ... NМ1 ... дәлме –дәл беттеседы, бұдан М, N, М1, N1 ... ... ... жататындығы шығады, ал М және N нүктелері МN түзуінің
бойымен қашықтыққа жылжиды. Сонымен бұл дәлелдеулерден мына сандар
шығады:
Параллель көшіргенде түзу ... ... (не ... ... мына ... ... дәлелдеу әдісіне көңіл бөлейік.
Теорема: М және М1 екі нүкте ... ... да М ... М1 ... ... көшіру бар болады және ол тек біреу ғана болады.
Алдымен 1-сызбаны пайдалана отырып, ондай көшіру жолының ... ... ... N1 ... N нүктесі параллель көшіргенде оның көшетін
нүктесі ... ... ... мен ... ... О ... N нүктесін көрсетіп берудің өзі ... - О ... бір ... ... Ал М мен О ... N1 нүктесін
бір мәнді анықтайды, өйткені О нүктесі кесіндісінің ортасы болып
табылады.
N1 ... ... бір ... ... сол ... ... ... білдіреді. Енді М нүктесін М1 нүктесіне көшіретін
параллель ... бар ... ... М ... — М. ... ... ... 3-сызба бойынша
екіншіден
бұл М нүктесі М1 нүктесіне мына формуламен параллель көшті
деген сөз, яғни М ... М1 ... ... параллель көшіру бар
екен.
Айта кетер жайт параллель көшірудің анықтамасын беру мен қасиеттерін
дәлелдеуге және есептер шығаруға 1 сағ. ... екі ... ... есеп ... 1 сағ, ... бірге өтілгенді қорытындылауға ... ... 1 сағ. уқыт ... ... қой деп есептеймін.
Теорема: Параллель көшіруге кері саналатын ... ... ... ... ... ... ... екі көшіру тағы да
параллель көшіру болады.
Оқушыларға белгілі бір дәрежеде ... ... ... ... жоғарыдағы теоремалардың дәлелдемесін оқушылардың ойлау
қабілетіне негіздеп дәлелдеп көрсеткен жеткілікті.
шынында да
болса, онда ... ... ... ... ... ... ... шығармай, оны
координат жазыктығында көрсетіп отыру аса пайдалы, себебі векторлар туралы
өткен ... оның ... ... ... ... Енді есеп шығарудың
бірнеше үлгісін көрсете кету артық болмас деп ойлаймын.
Есеп: Параллель көшіру мына ... ... ... ... ... (0, 0), (1,0), (0, 2) нүктелері қандай ... ... (0, ... ... ... координат жазықтығында көрсетейік. Есеп: Мынадай паралель көшіру
формулаларындағы а мен b шамаларын ... ... (1,2) ... ... ... ... ... а, b-?
Шешуі: 1+а=3, а=2
2 +b = 4, b =2.
Координат жазықтығын пайдалана отырып параллель ... ... ... ... да бұл ... санасында вектор туралы, оның
координаттары туралы, ... ... ... ... ... ... ... туралы ұғым бергенде физика оқулығынан оларға таныс
физикалық шамадарды, айталық күш, жылдамдық үдеу бұлардың сандық мәндері
көрсетілумен ... ... ... да ... айта ... ... да, геометрияда да бағытталған кесіндіні вектор дейміз деп
анықтама берілген. «Вектордың абсолют шамасы және бағыты» деген такырыпта
бес анықтама үш теорема қарастырылған, ... ... ... ара жігі ашып көрсетілген әдебиеттегі әңгімелер секілді
баяндалған. Бұл жағдай материалды окығанда зеріктіріп жіберуі әбден мүмкін.
Сол ... ... ... ... ... ара ... ашып ... бірге жасалған күнтізбелік жоспарларда оқушылардың алған білімін
ұштап бекітіп отыруға өте аз уақыт қарастырылған.
Егер вектордың координаттарын сол ... басы мен ... ... ... болсақ
Егер яғни векторының координаттарын оның ... ... ... ... деп ... Осы ... айта
кетер жәй IX сыныптың физика оқулығындағы «Векторларға амалдар қолдану» бір-
ақ сағатта ... онда ... ... ... вектор проекциясы,
векторларды қосу, векторды скалярға көбейту, векторларды ... ... ... ... физикадан вектор туралы
алар ұғымы жеткіліксіз болады, ал геометрияда вектор проекциясы ... ... мына ... есептерді қарастырып және оларды салыстыру
арқылы сол тұйықтан шықтым ғой деп ... ... ... орын ... ... ... ... координаттар осіндегі проекцияларын табыңдар.
Жоғарыдағы векторлар басы координат ... дәл ... ... ... біз ... алдық.
Вектордың проекциялары деген ұғыммен векторды координаттары деген
ұғым мағыналас екенін оқушыларға ұғындыра ... онда біз ... ... ... ... ... деуге әбден болады.
Егер вектордың абсолют шамасын берілген екі нүктенің координаттарымен
көрсетер болсақ болады, ал ... ... ... ... ... ... ... болсақ.
Теорема: Тең векторлардың сәйкес координаттары тең болады.
Дәлелдеу үшін ... ... М(х1, у1,) және N(х2 у2) ... басы мен ... ... ... ... басы мен ұшы сәйкесінше
нүктелеріне көшеді.
Бұдан тең векторлардың сәйкес координаттарының тең екенін көреміз.
Енді жоғарыдағы теоремаға кері теореманы дәлелдейік.
Теорема: Егер ... ... ... тең ... ... тең ... және
Т/керек: бұдан десек бұдан десек
Осы формулалармен берілген праллель көшіру арқылы М нүктесі ... N ... N1 ... ... яғни ... Мына ... ... А(0,1), В(1,0), С(1,2), D(2,1). Сонда
векторы мен ... тең ... ... ... ... ... ... тақырыбын оқып болғаннан кейін жинақтап бір-
ақ берілген. Бұл оқушының өз бетінше есептер ... үшін ... ... ... мұғалім оқушының міндеті қай есептерді
қарастыруға болатыны жөнінде арнайы нұсқау беруі керек.
Векторды қосудың анықтамасын және оларды қосудың ... ... ... ... ... ... шығарту керек. Есептер шығару кезінде векторларға берілген анықтама
бойынша және ... ... ... ... ... ... ... тиіс, бұлай істеу оқушылардың вектор туралы білімін ұштай
түседі. Сөзіміз дәлелді болу үшін бірнеше есептер қарастыра кетейік.
Есеп: Векторлар қосындысын ... мен ... ... ... векторын табыңдар, сонда: ,
Анықтама бойынша
Есеп: векторының абсолют шамасын табыңдар, сонда:
Шешуі: ... ... ... сәйкес координаттары пропорционал
болады.
Оқулықта теореманы дәлелдеу үшін мына ... ... ... ... с ... тең, өйткені теорема
бойынша олар бірдей бағытталған және екеуінің де абсолют шамасы бірдей
мен векторының координаттарын ... ... ... табамыз.
Осы сөйлемдер теореманы Дәлелдеуде нақтылық жоқ болғандықтан оқушы санасына
жетпейді, сол себепті мен теореманың дәлелдемесін өзгерттік.
) және ... ... ... ... Біз тек ... ... деп ... керек
Дәлелдеу үшін 1) векторын векторының ... ... ... ... ... ... болады деген теорема бойынша (1)
2) векторын векторының абсолют шамасына кебейтемін
(2)
(1) және (2) ... тең ... ... ... сол ... ...
Оқушылардың вектор туралы ұғымын бекіте түсу үшін мына ... ... ... аса ... М мен N ... АВ мен СD кесінділерінің сәйкесінше орталары
болып табылады. Мына векторлық теңдікті
дәлелдеңдер.
Берілгені:
1) ... В ... С ... дәл ... ... ...
2)
вертикаль бұрыш бұдан бұдан
3) өлшем саламын ... ... ... ... олай болса КМ'||АВ
Ендеше АКМ'М параллелограмм.
Ендеше ММ'=АК,
Енді векторлардың скаляр көбейтіндісі туралы теореманың ... ... ... скаляр кебейтіндісі олардың асболют шамаларын
арасындағы бұрыштың косинусына ... тең ... х ... жатқандықтан оның координаталары
векторынын абсолют шамасы мен О-ге тең болады, яғни Енді VIII
сыныпта өтілген «Тік ... ... ... мен бұрышының
арасындағы қатыстар» деген тақырыпта синус, косинусқа берілген анықтама
бойынша векторының осьтердегі координаттарын табамыз, яғни ... ... ... мынадай болады .
Енді ... мен ... ... ... анықтама бойынша біз мынаны табамыз.
Есеп: мен векторлары перпендикуляр. Сонда
болатындығын дәлелдендер.
Берілгені:
Дәлелдеу керек: ... ... ... ... төбелері А(1,1), В(4,1), С(4.5) берілген. Үшбұрыш
бұрыштарының косинустарын табындар.
Табу керек: соsА, соsВ, соsС-?
Шешуі:
Қорыта ... ... ... ... оқыту үш бағытта,
вектордың басы мен ұшының ... ... ... ... ... отырып оқыту және координаттары ескерусіз қалдырылған
таза векторлық тұрғыда оқыту көзделген. Оқытушының міндеті осы үш бағытты
қатаң сақтай ... ... ... ... білім беру.
2.2 Стереометрия есептерін шығаруда қолдану
Үшжақты бұрыштың жақтарымен жанасатын сфераның радиусын ... ... ... ... барлық жақтарымен жанасатын сферамен (мұндай
сфералар үшжақты бұрышқа іштей сызықтан ... деп ... ... ... ... ... векторлық әдісті пайдаланып шешудің
әдістемесін қарастыруға ... ... ... ... ... ... екі теоремаға тоқталамыз.
1-теорема. (Үшжақты бұрыштар үшін бірінші косинустар теоремасы).
Айталық — ... ... ... және қырларына
қарсы жатқан жазық бұрыштарының шамалары, ал — ... ... және ... бұрыштарына қарсы жатқан екі ... ... ... Онда ... ... ... ... шартына сәйкес . Енді үшжақты
бұрышының ... ... ... А1 нүктесін таңдап алып,
болатындай А1В1 және А1С1 ... ... ... салуымыз бойынша қыры сәулесі болып
табылатын екіжақты бұрыштың сызықтық ... тең, олай ... ... ... ... ... ... табамыз:
Бірінші теңдіктен екінші теңдікті мүшелеп шегеріп, төмендегі теңдікті
аламыз:
және тік бұрышты үшбұрыштар, ендеше және ... (1) және (2) ... ... ... ...
Сондықтан
теңдігі келіп шығады.
2-теорема. (Үшжақты бұрыштар үшін екінші косинустар теоремасы).
Айталық ... ... ... бұрыштарының шамалары, ал
, — үшжақты бұрыштың сәйкес жазық бұрыштарына ... ... ... ... ... болсын. Онда келесі теңдіктер орындалады:
Дәлелденуі: үшжақты бұрышының ішінде
орналасқан кез келген нүктесін алып, осы N нүктеден. ... ... , , ... ... жаңа үшжақты бұрышы келіп шығады. үшжақты бұрышы
берілген үшжақты бұрышының полярлық бұрышы деп ... ... ... ... ... ... )
деп, ал оларға қарсы жатқан екі ... ... ... түрде деп
белгілейік.
Полярлық бұрыштың жақтары берілген ... ... ... ... ... қиын ... келесі ақиқат тұжырымды келтіре кетелік:
Егер N'А'В'С' үшжақты бұрышы үшжақты бұрышының полярлық бұрышы
болса, онда үшжақты ... өз ... ... ... бұрышының
полярлық бұрышы болып табылады.
Полярлық бұрыштың жазық бұрыштары берілген үшжақты ... ... ... ... 180°-қа дейін толықтырады.
Сондықтан келесі қатыстар орындалады:
(3)
Бірақ үшжақты бұрышы өз ... ... ... ... бұрышы болып табылады. Сондықтан ал бұдан , (4)
N'А'В'С' ... ... ... 1-теореманы қолданып
табатынымыз:
(5)
Енді (3) және (4) теңдіктерді ... (5) ... ... ... әрі , ... формулаларын пайдаланып және соңғы тендіктің
екі жағын да (-1)-ге көбейтіп жіберіп, келесі теңдікті аламыз:
Сонымен (**) теңдіктердің біріншісі ... ... ... де
осылайша дәлелденеді. (*) және (**) теңдіктерін салыстыра отырып, мынадай
қорытынды жасаймыз:
Егер үшжақты бұрыштың барлық жазық ... ... ... онда (*) тендіктері арқылы онын екіжақты ... ... ... егер ... ... барлық екіжақты бұрыштарының шамалары
белгілі болса, онда (**) тендіктердің жәрдемімен оның ... ... ... ... ... ... да NАВС ... бұрышының жазық
бұрыштары мен екіжақты бұрыштары жөніндегі барлық белгілеулер (*) және (**)
тендіктерінде көрсетілген қалпында сақталатындығын ... ... О ... ... ... ... үшжақты бұрышының
жақтарына сәйкес нүктелерінде жанасатын болсын.
Сфераның радиусын , ал үшжақты бұрыштың төбесінен ... ... ... деп белгілейік.
Сфера мен жазықтықтың жанасу нүктесіне жүргізілген сфераның радиусы,
осы жазыктыққа перпендикуляр болатындықтан төмендегі қатыстар ... ... ... дәлелдеу барысында атап көрсетілгеніндей, бұл
жағдайда келесі қатыстар орындалады:
Базистік векторлар ретінде векторларын таңдап аламыз және
келтіру формуласын ескере ... ... ... көбейту кестесін
кұрастырамыз:
Айталық болсын. Онда келесі теңдіктер тізбегі ... әрі ... ... олай ... ал ... теңдіктері келіп шығады. Ал осы ... ... ... жүйені аламыз:
(6)
Базистің векторларын көбейту кестесін пайдалана отырып (6) ... ... әрі, ... жана ... ... ... екі жағын
да R2-қа қысқартып жіберіп, ... ... ... ... және ... ... бірмәні анықталады.
Берілген үшжақты бұрышты бұрышқа іштей сызылған ... саны ... ... ... Сондықтан қайсыбір нақты іштей сызылған сфераның
радиусын табу үшін, үш жақты бұрыштың бұрыштарынан басқа тағы да бір
метрикалық элементтің берілуі қажет екендігі ... ... ... шамасын аламыз.
(8)
болатындығы белгілі. Сондықтан, егер d шамасы белгілі ... ... ... R ... яғни ... ... іштей сызылған
сфераның радиусын таба аламыз.
Сондай-ақ, егер R ... ... ... онда (8) ... ... ... таба ... дамытудың қазіргі заманғы ... ... ... ... үшін және ... ... мен ... үшін ауадай қажет.
Математиканы оқытудағы негізгі міндет – математикалық білім, білік
жүйелерін нақты және сапалы меңгеруді ... ету, ... ... ТІЗІМІ
1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа. Уч. Для 10-11 классов,
средняя школа, М, Просвещение, ... ... Л.С. и ... Геометрия для 9-10 классов средней
школы.М, Просвещение, 1994.
3. Колмогоров А.И. Агебра и начала анализа. М, Просвещение, 1994.
4. Галицкий Углубленное изучение алгебры и ... ... М, ... ... ... В.И. ... по ... математике. М,
Просвещение, 1991.
6. 3000 конкурсных задач по математике. М, Айриа пресс, 1999.
7. Зив Б.Р., Гольдич В.А. ... ... по ... и начала
анализа для 9-10 класов, С-П, 2000.
8. Қаңлыбаев Қ. Жазықтықты векторларда қолданылатын есептер.,
математика, №2, 11 бет.
9. Жақсыбекова К.А. Векторлық және ... оқу ... ... ... 2003, 104 ... ... Решение алгебрических задач с помощью скалярного
произведения, Математика в школе, журнал, 17 стр, ... ... ... ... ... Мектеп, Алматы,
1972 жыл, 75 бет.
12. Т.Ахметқалиев Математикалық талдау, Алматы, 1997 жыл, 262 бет.
13. А.П. Ершова Самостоятельная работа по ... и ... ... 2000, 172 ... Б.Т. з и в, ... ... ... Москва, 98, 70 бет.
15. Бүкібаева К. Векторларды есептерді ... ... ... ИФМ
27 бет, №4, 1993 жыл.
16. Қ.Р. Білім туралы заң баптары бойынша түсінік негіздері, 75 бет.
-----------------------

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 35 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
«Информатика сабағында оқушылардың шығармашылық белсенділігін дамыту »57 бет
Беруші және қабылдаушы оптикалық модульдер10 бет
Жазбаша жұмыс арқылы бастауыш сынып оқушыларының шығармашылық қабілетін дамыту55 бет
Математиканы оқыту барысында оқушының шығармашылық қабілетін дамыту26 бет
Мектеп жасына дейінгі балалардың шығармашылық қабілеттерін дамыту34 бет
Принтердің түрлері және олардың жұмыс жасау принциптері22 бет
Шешендік өнер және шешен таланты4 бет
Шығармашылықтағы еркіндік пен қажеттілік арасындағы өзара қатынас42 бет
Этнопедагогика: лекция мәтіндері мен семинар сабақтарының жоспарлары110 бет
Өнімдер өндірісі298 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь