Векторларды геометриялық есеп шығаруда қолдану

1 ВЕКТОР ТУРАЛЫ ТҮСІНІК

1.1. Векторларға амалдар қолдану

Ғылым мен техникада кездесетін кейбір шамалар тек сан мәнімен ғана сипатталады (абсолют шамасымен). Мысалы, масса, уақыт, температура және т. б. Бұл шамаларды скаляр шамалар деп атайды. Ал, кейбір шамалар сан мәнімен ғана емес, сонымен қатар бағытымен де сипатталады. Мысалы: жылдамдық, үдеу, күш, импульс жәке т. б. Бүл - векторлық шамалар.
Бір қызығы, жоғарыда аталған барлық векторлық шамалар механикада кездеседі. Алайда механиканың дамуы кезінде векторлық анализ тіпті болмаған. Векторлық анализ тек Максвелдің электромагниттік теориясынан кейін ғана пайда болды. Себебі, электр және магнит өрістерінің табиғаты — векторлық.[5,7]
Кез-келген вектордын ұзындығы (вектордың шамасына пропорционал) мен бағыты болады. Векторларды қосу ережелері:
1) Үш бұрыш ережесі

1-сурет
(1.1)
2) Параллелограмм ережесі:

2-сурет
(1.2)
Векторлар — координаталар жүйелеріне тәуелсіз геометриялық объектер. Мысалы А-векторы (3-сурет). Координаталар жүйесінің басынан басталып.

3-сурет
нүктесінде аяқталады. – импульс, күш, жылдамдық
болуы мүмкін. Ал координаталар жүйесінің басынан
нүктесіне дейінгі арақашықтықты арнайы -(радиус-вектор) символымен белгілейді:
(1.3)
-радиус-вектордың абсолют шамасы болсын. Демек,
(1.4)
Мұндағы және - бағыттаушы косинустар деп аталады, ал және және осьтерінің оң бағыты мен - векторының араларындағы бұрыш (4-сурет) және шамаларын - радиус векторының (декарттық) компоненттері немесе проекциялары деп атайды.

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа. Уч. Для 10-11 классов, средняя школа, М, Просвещение, 1992
2. Атанасян Л.С. и другие. Геометрия для 9-10 классов средней школы.М, Просвещение, 1994.
3. Колмогоров А.И. Агебра и начала анализа. М, Просвещение, 1994.
4. Галицкий Углубленное изучение алгебры и начала анализа. М, П, 1997.
5. Гусев В.А.,Мативненко В.И. Практика по элементарной математике. М, Просвещение, 1991.
6. 3000 конкурсных задач по математике. М, Айриа пресс, 1999.
7. Зив Б.Р., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и начала анализа для 9-10 класов, С-П, 2000.
8. Қаңлыбаев Қ. Жазықтықты векторларда қолданылатын есептер., математика, №2, 11 бет.
9. Жақсыбекова К.А. Векторлық және тензорлық оқу құрал. Алматы, Қазақ университеті, 2003, 104 бет.
10. И.Қазиев Решение алгебрических задач с помощью скалярного произведения, Математика в школе, журнал, 17 стр, №4
11. И.М.Фихтенгольц Математикалық анализ негіздері, Мектеп, Алматы, 1972 жыл, 75 бет.
12. Т.Ахметқалиев Математикалық талдау, Алматы, 1997 жыл, 262 бет.
13. А.П. Ершова Самостоятельная работа по геометрии и алгебры. Москва «Илекса!, 2000, 172 бет.
14. Б.Т. з и в, Дидактические материалы геометрий. Москва, 98, 70 бет.
15. Бүкібаева К. Векторларды есептерді шығаруда қолдану, журнал, ИФМ 27 бет, №4, 1993 жыл.
16. Қ.Р. Білім туралы заң баптары бойынша түсінік негіздері, 75 бет.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 36 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

1. ВЕКТОРЛАР ТУРАЛЫ
ТҮСІНІК ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.1 Векторларға амалдар
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Векторларды жіктеу
тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2 ВЕКТОРЛАРДЫ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕП ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНУ
2.1 Планиметриялық есептерді шығаруда
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2 Стереометриялық есептерді шығаруда
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ...
ӘДЕБИЕТТЕР
ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ...
1 ВЕКТОР ТУРАЛЫ ТҮСІНІК

1. Векторларға амалдар қолдану

Ғылым мен техникада кездесетін кейбір шамалар тек сан мәнімен ғана
сипатталады (абсолют шамасымен). Мысалы, масса, уақыт, температура және т.
б. Бұл шамаларды скаляр шамалар деп атайды. Ал, кейбір шамалар сан мәнімен
ғана емес, сонымен қатар бағытымен де сипатталады. Мысалы: жылдамдық, үдеу,
күш, импульс жәке т. б. Бүл - векторлық шамалар.
Бір қызығы, жоғарыда аталған барлық векторлық шамалар механикада
кездеседі. Алайда механиканың дамуы кезінде векторлық анализ тіпті
болмаған. Векторлық анализ тек Максвелдің электромагниттік теориясынан
кейін ғана пайда болды. Себебі, электр және магнит өрістерінің табиғаты —
векторлық.[5,7]
Кез-келген вектордын ұзындығы (вектордың шамасына пропорционал) мен
бағыты болады. Векторларды қосу ережелері:
1) Үш бұрыш ережесі

1-сурет
(1.1)
2) Параллелограмм ережесі:

2-сурет
(1.2)
Векторлар — координаталар жүйелеріне тәуелсіз геометриялық объектер.
Мысалы А-векторы (3-сурет). Координаталар жүйесінің басынан басталып.

3-сурет
нүктесінде аяқталады. – импульс, күш, жылдамдық
болуы мүмкін. Ал координаталар жүйесінің басынан
нүктесіне дейінгі арақашықтықты арнайы -(радиус-вектор)
символымен белгілейді:
(1.3)
-радиус-вектордың абсолют шамасы болсын. Демек,
(1.4)
Мұндағы және - бағыттаушы косинустар деп аталады, ал
және және осьтерінің оң бағыты мен - векторының
араларындағы бұрыш (4-сурет) және шамаларын -
радиус векторының (декарттық) компоненттері немесе проекциялары деп
атайды.

4-сурет
Кез -келген векторын компоненттерге жіктеуге болады:
(1.5)
Енді және - бірлік векторларын енгізейік. Олардың
ұзындықтары бірге тең және бағыттары остерімен бағыттас болсын. Онда,
(1,6)
Егер = 0 болса. онда Пифагор теоремасы бойынша
векотырының абсолют шамасы:

Бізге және векторы берілсін, онда
(1.7)
Координаталар жүйесінің бұрылуы
радиус-векторды пайдаланып, вектордың жңна анықтамасын берейік.
Оған физикалық себептер бар. Біз математика көмегімен табиғатты
сипаттаймыз, сондықтан физикалық сипаттауымыз математикалық аппаратқа
тәуелсіз болуы керек. Егер физикалық теорияны үй деп қарастырсақ, онда
математика құрылыс саймандары. Саймандарсыз құрылыс жүргізе алмаймыз.
Кұрылыс бітіргенде саймандарды жинастырып коямыз.
Кеңістікті изотропты деп қарастырайык. Демек, зерттелетін физикалық
жүйеміз немесе физикалық заң координаталар жүйесінің бағыттарына тәуелсіз.
радиус-векторын екі жүйеде қарастырайық, х және у осьтерін
сағат тілінің бағытына қарама қарсы бағытта бұрышына бұралық (5-
сурет). Пайда болған осьтерді х' және у' деп белгілейік. Сонда,
, (1.8)
Егер , онда,
б (1.9) - координаталар жүйесін бұрған
кездегі векторлық компоненттерінің түрлену заңы. Егер және
екі өлшемді радиус-вектор компоненттері сияқты
түрлендірілетін болса, онда олар векторының
компоненттері болады. Егер және басқаша
түрлендірілсе, онда бұлардан вектор кұруға болмайды. Түсінікті болу
үшін (1.9) тендеуіндегі және шамаларының
мағынасын ізделік. А векторы координаттар және кез
келген векторының компоненттерінің функциясы болсын:
(1.10)
Бұрылған кездегісі:
(1.11)
(1.8) теңдеуін пайдаланып, координаттарын бұрылмаған
координаталар жүйесі мен бұрышы арқылы сипаттауға болады. Алайда
бұрышқа тәуелділік түсінік кеңістіктің изотроптылығына кайшы келеді.
Сондықтан бағытка тәуелсіз функциялармен шектелейік. Егер
болса, онда .
Мысалы:
1. Екі шама берілген (-у, х). Екі өлшемді вектор құруға
болатынын көрсетіңдер.
Жүйені бүрышына бұрғанда осы шамалардың түрленуін қарастырайық.
,
мұндағы (1.8) тендеуін пайдаланып., және
екенін көреміз.
Яғни, (1.9) тендеуін қанағаттандырады. Демек. (-у,х) жұбы
вектор компоненттері.
2. қарастырайық (1.9) теңдеуіне байланысты
және , вектор бола алмайды. Осы теңдіктерді басқа түрде
жазайық:
(1.12)
(1.9) тендеуі:
(1.13)
коэффициенттерін бағыттаушы косинустар деп
қарастыруға болады. ( және , араларындағы бұрыш);

(1.13) теңдеуін қысқаша былай жазуға болады:
(1.14)
Енді осы айтылғандарды 3,4 және одан көп
өлшемдер үшін оңай жазуға болады. -өлшемі
векторының компоненттерімен анықталады, егер осы шамалар басқа
(бұрылған) жүйеде мына теңдеумен берілсе:
(1.15)
мұндағы және араларындағы бұрыш.
коэффициентінің анықтамасынан декарттық координаттарда былай
жазуға болады:
(1.16)
Бұл дербес туындылар (1.16) теңдеуін (1.15) теңдеуіне қоялық:
(1.17)
Бағыттаушы косинустар ортогональдық шарттарын қанағаттандырады.

(1.18)
немесе
(1.19)
Мүндағы - Кронекер символы,
(1.20)
мәндерін (1.12) тендеуінен (1.18) және (1.19)
тендеулеріне қойсақ, онда белгілі тендеуді аламыз:

(1.18) теңдеуінің дұрыстығына көз жеткізу үшін (1.16)
өрнегін пайдаланалық:
(1.21)
Қорытынды. Вектордың компоненттерін түрлендіру заңдарының жаңа
анықтамасынан 2 жағдай шығады:
Әртүрлі физикалық кұбылыстарды сипаттауға қолайлы;
Математиканың жаңа бөлімі-тензорлық талдауға көшуге мүмкіндік береді.
Жаттығулар:
1. Тұрақты вектор берілген.
Бұрылған координаталар жүйесінде екенін көрсетіңіздер.
(Тұракты вектор енгізу арқылы, біз бір бағытты көрсеттік).
2. Келесі шамалар векторлық түрлендіру заңын (з.т.з.) (1.15)
қанағаттандыра ма?
а) (х - у, х+у, 0) векторын z осінен бұрғанда;
б) (0, 2 z+у, z - 2у) векторын х осі бойынша бұғанда;
в) (у1 + z2, - ху, - хz) векторын барлық осьтер бойынша бұрғанда;
3. вектор болатынын дәлелдеңздер. Сх және Су шамалары тұрақты
векторының компоненттері . шамалары үшін де тексеріңіздер.
4. Барлық осьтер бойынша бұруды зерттеп, мына сұрақка жауап
беріңіздер:
және тұрақтыдар) шамалары вектор
компоненттері бола ала ма?
5. Екі өлшемді векторы (ах+bу, сх+dy) түрінде берілген,
мұндағы -тұрақты сандар. векторынын
радиал және тангенциал векторларының сызықты комбинациясы
болатынын дәлелденіздер:

Ескерту. Векторлық түрлендіру заңы кез-келген бұрыш және кез-келген
нүкте (х,у) орындалады.
Скаляр көбейтінді
Векторлардың математикалық көбейту зандары бір-біріне қайшы келмеуі
керек. Барлық мүмкін болатын анықтамалар ішінен физикаға және математикаға
қатысты қажетті екі анықтаманы тандалық. Үшінші тарауда басқа анықтама
беріледі.
көбейтіндісі физикада жиі кездеседі.
Мүндағы, А,В - екі вектордың абсолют шамалары, Ө - олардың арасындағы
бұрыш.
Мысалы: жұмыс =күш х жол х соsӨ.
Скаляр көбейтіндіні анықтайық ( және - векторы
үшін):
(1.22)
(1.22)
Бірлік векторлар үшін:
(1.22а)
(1.22в)
Егер осьтерді қайта бағыттап, х осін векторы бойынша
бағыттасақ, онда және (1.22)

6-сурет
(1.23)
Егер және болса, онда (1.22) және т.с.
Басқаша айтқанда, және — ортогонал
векторлар. және векторлары да өзара ортогонал.

7-сурет
Ортогоналдық түсінігін жалғастыралық, - бірлік векторы болсын,
ал -нөлдік емес, ху жазықтығында жататын вектор. Егер болса,
онда мұндағы - кез-келген вектор, онда векторы ху жазықтығына
перпендикуляр (7-сурет).
Енді скаляр көбейтіндінің скаляр шама екенін дәлелдейік. Ол
үшін көбейтіңдісін координаталар жүйесін бұру арқылы зерттейік.
(1.15) теңдеуінің арқасында:
(1.24)
және индекстерін пайдаланып, қысқаша жазалық: векторының
өз-өзіне көбейтіндісін қарастырайық:
(1.25) , (1.26)
Сонымен (1.27)
Скаляр шама, координаталар жүйесін бұруға инвариантты.
векторының өз-өзіне көбейтіндісін қарастырайық:
(1.28)
(1.29)
(1.30)
А • В -координаталар жүйесін бұруға инвариантты, себебі (1.30)
теңдеуінің оң жағы скаляр шама. (1.28) тендеуін қайта. басқа түрде
жазалық:
(1.31)

8-сурет

косинустар заңы. (1.28) және (1.31) теңдеуін салыстырып, косинустар
заңының векторлық табиғатын байқаймыз (8-сурет).
Векторлық көбейтінді

Бұл көбейтіндіде екі вектордың арасындағы бұрыштың
синусын пайдаланады.
(1.32)
мұндағы, , бірақ мұндағы -вектор, және ол
және векторлар жатқан жазықтыққа перпендикуляр.
, және оң координаттар жүйесін құрасын, онда
(коммут. емес). (1.32а)
(1.326)
(1.32в)
Векторлық көбейтіндінің маңызды геометриялық қасиеті бар (9-
сурет).

9-сурет
- параллелограмм ауданы.
Сонымен, векторы параллелограмм жазықтығына перпендикуляр, ал
абсолют шамасы осы параллелограмның ауданына тең болады екен.
векторлық көбейтіндінің басқа анықтамасы.
-векторының компоненттері:
(1.33)
және - әртүрлі. — индекстерін циклді өзгерту
қажет.
Векторлық көбейтіндіні анықтауыш ретінде жазған ыңғайлы:
(1.35)

(1.32) және (1.33) көбейтіңділердің
эквиваленттілігін көрсетейік. Ол үшін және көбейтінділерін
қарастырайық.
(1.36)
(1.37)
=(1.36) және (1.37) теңдеулерінен С векторы А векторына да, В
векторына да перпендиқуляр. А және В векторлары тиісті жазықтыққа
перпендикуляр.
(1.38)
(1.39)
(1.38) теңдеуінде көбейтіндісін (1.33) теңдеуі бойынша
компоненттерге жіктедік, содан кейін (1.22) скаляр көбейтіндісін
пайдаландық. (1.36), (1.37) және (1.39) теңдеулерінен (1.32) және (1.33)
анықтамалары эквивалентті екендігі шығады.
Енді вектор екенін керсетейік (яғни, вектордың түрлендіру
заңына бағынатынын). Бұрылған координаталар жүйесінде:
(1.40)
мұндағы. — циклдік ретте алуға тиіспіз. болғанда
(1.40) теңдеуі нөлге тең.
болсын, онда (циклдік рет):
(1.41)
(1.41) теңдеуін (1.40) теңдеуіне қоялық:
(1.42)
Осылай және үшін табамыз. Олар (1.15) шартын
қанағаттандырады. Яғни, -векторлык шама болып табылады.
Жаттығулар:
1. және векторлары берілген. және
көбейтінділерін табыңдар.
2. Теңдікті дәлелдеңдер.

3. Үшбұрыш нүктелерінің координаттары берілген:
(2. 1, 5), (5, 2, 8) және (4, 8, 2). Осы үшбұрыштың
ауданын табыңыздар.
4. және
векторлары берілген. Қайсылары өзара перпендикуляр және қайсылары
өзара не , не ?
5.
векторларын пайдаланып,
формулаларын дәлелдеңіздер.
6. және векторына перпендикуляр А векторын табыңыздар. А
векторы бірлік вектор болу үшін қандай қосымша шарт керек?
7. және векторлары бір жазықтықта жатады, екенін
көрсетіңіздер.
8. АВС сфералық үшбұрыштың бұрыштарын және жақтарын табыңыздар.
Мұндағы . Барлық векторлар координат басынан басталады. (10-сурет).

10-сурет

9. В магниттік индукция Лоренц теңдеуінен анықталады: электр
зарядының жылдамдығы, -зарядқа әсер ететін күш.

1)
2)
3)
Осы үш тәжірибеден В векторды табу керек.
Жауабы:

Үш вектордың аралас және 2-реттік векторлық көбейтінділері
және - мұндай көбейтінділер комбинациясы жиі
кездеседі. Біріншісін аралас көбейтінді деп атайды.
- көбейтіндісінен шығатын векторлар А векторына
көбейтіледі, демек скаляр шама шығады.
- скаляр вектор, ал бүл операция белгісіз. Сондықтан
оны әзірге қарастырмаймыз.

(1.43)
және т.с.с.
(1.44)
(1.45)
(1.43) теңдігі жоғарғы ретті симметриялы (1.45)
тендігінен шығады. Үш вектордың аралас көбейтіндісінің
геометриялық түсініктемесі бар. Ол: егер, А,В және С векторлары
параллелепипедтің "қабырғалары" болса (11-сурет),

11-сурет

онда - көбейтіндісінің шамасы осы параллелепипедтің көлеміне тең
болады (әрине, аралас көбейтінді теріс санға да тең болуы мүмкін).
-2 рет векторлық кебейтіндіні қарастырайық. Бұл жолы жақшаны
сақтау керек (1.48)
Демек, бұл көбейтіндіден вектор шығады. Оның бағыты А және
(ВхС) векторлары жататын жазықтыққа перпендикуляр. - векторлары В
және С векторлары тиісті жазықтықта жатады. Себебі, ВС жазықтығы
векторына перпендикуляр. Сондықтан, векторының компоненттері В және С
векторларының сызықты комбинациясына байланысты:
(1.49)
Аралас және 2-реттік векторлық көбейтінділер арқылы одан көп
векторлар көбейтінділерін қысқартуға болады. Мысалы: Аралас көбейтінді
кері кристалл торларын есептеуде пайдаланады. және
(міндетті түрде өзара перпендикуляр емес)- кристалл торларын анықтайтын
векторлар болсын. Онда кез-келген 2 вектордың арақашықтығы
тендеуімен беріледі. Мұндағы, және пс - бүтін сандар.
(1.50)
векторларын жазуға болады. (1.50) = векторы ( және )
жазықтығына перпендикуляр, ал абсолют шамасы - ге пропорционал.
Шынында.
Соңғы тендеулер кері торларды анықтайды. Кері тор толқындардың
кристалдағы әртүрлі жазықтықтарда шашырауын есептеуге қажет.
Жаттығулар
1. болатындығын дәледеңіздер.
2. екенін көрсетіңіздер.
3. векторы . - радиалды және
-тангенсиалды векторларға жіктелген, - радиалды бағыттағы
бірлік вектор. және екенін көрсетіңіздер.
Үш (нөлдік емес) А,В және С векторларының компланарлығының қажетті
және жеткілікті шарты болып, олардың аралас көбейтінділерінің нөлге
теңдігі болып табылатындығын дәлелдеңіз:
Үш вектор берілген.

және және болатындығын табу керек.
6. күші нүктесінде орналасқан денеге әсер етеді.
Координат басынан жүргізілген кез-келген оське қатысты қорытынды момент:
- ға тең екенін көрсету керек. Мұндағы а- осы осьтің бағытындағы
бірлік вектор.
7.
және
кендігін көрсету керек.
Векторлық талдау (векторларды дифференциалдау)
Градиент
-скаляр функция болсын, яғни фуикция тек кеңістік нүктелерінің
() мәніне тәуелді. Скаляр болғандықтан кез келген координаталар
жүйесінде белгілі бір нүкте үшін нақты мәні өзгермеуі тиіс, яғни:
(1.51)
бойынша дифференциалдайық:
(1.52)
Бұл теңдіктерді мүшелеп қосамыз, сонда мынау шығады:

Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең болатындықтан, бұл
теңдік- параллелограмм диагональдары квадраттарының қосындысы оның
қабырғалары квадраттарының қосындысына тең- екенін білдіреді,
дәлелдемекшіміз де осы болатын.

1.2 Векторларды жіктеу тәсілдері

Векторларды координаттық осьтер бойынша жіктеу
Егер вектордың абсолют шамасы бірге тең болса, оны бірлік вектор деп
атайды. Бағыты координаттың оң жарты осьтердің бағытындай бірлік векторлар
координаттық векторлар немесе орттар деп аталады. Біз оларды х осі бойында
және у осі бойында деп белгілейміз.
Ал координаттың векторлар нөлдік вектордан өзге және де коллинеар
емес болатындықтан, кез келген векторды осы векторлар бойынша
жіктеуге болады:
(*)
Осы жіктеудің мен коэффициенттерің табамыз. Ол үшін (*)
теңдіктің екі жақ бөлігін де векторына көбейтеміз. Сонда
, ендеше
(*) теңдіктің екі жақ бөлігін де е 2 векторына осылайша кебейтіп,
екенін табамыз.
Сонымен, кез келген векторды былай жіктеуге болады:

Сондықтан, егер болса, онда В нүктесі ОА жарты түзуінде жатады,
ал одан болса, мен векторлары бірдей бағытталады. Егер де
болса, онда В нүктесі толықтауыш жарты түзуде жатады да, мен
векторлары қарама-қарсы бағытталады. векторыньщ абсолют шамасы
мынаған тең:
Теорема дәлелденді.
Есеп. мен нүктелері берілген. Сонда АВ мен ВА
векторларының қарама-қарсы бағытталғанын дәлелдеңдер.
Шешуі. АВ векторының коордннаттары мен болады. ВА
векторының координаттары мен болады. Біз мынаны көріп отырмыз:
. Олай болса, АВ мен ВА векторлары қарама-қарсы бағытталған болып
шығады. .[8,7]

Векторды коллинеар емес екі вектор бойынша жіктеу
Бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында жатқан нөлдік емес
екі вектор коллинеар векторлар деп аталадығ Коллинеар векторлар не бірдей
багытталган болады, не қарама-қарсы бағытталған болады.
Айталық, мен — нолден өзге коллинеар
векторлар болсын. Сонда саны табылып,

теңдігі орындалатынын дәлелдейік.
Айталық, мен векторлары бірдей багытталған болсын.
Сонда және векторлары да бірдей бағытталған және
олардың абсолют шамасы да бірдей болады. Демек. олар тең:

мен векторлары қарама-қарсы бағытталған
болғанда былай тұжырымдаймыз:

дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Айталық, мен — нөлден өзге коллинеар емес векторлар
болсын. Енді кез келген векторды

түрінде көрсетуге болатынын дәлелдейік.
Айталық, А мен В - векторының басы мен ұшы болсын. А мен В
нүктелері арқылы және векторларына параллель түзулер
жүргіземіз. Олар қандай да бір С нүктесінде қиылысады. Сонда:

мен векторлары коллинеар болғандықтан, болады.
мен векторлары коллинеар болгандықтан, болады. Сонымен,
дәлелдемекшіміз де осы болатын.

Векторлардың скаляр көбейтіндісі
мен векторларының скаляр көбейтіндісі деп санын
атайды.
Векторлардың скаляр көбейтіндісін де, сандарды көбейткендегідей,
жазып орындайды, скаляр кебейтінді деп атайды.[11,20]
.
2 ВЕКТОРЛАРДЫ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕП ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНУ

2.1 Планиметриялық есептерді шығаруда қолдану

Мектеп көлемінде оқытылатын Векторлар тақырыбы күрделі
тақырыптардың қатарына жатады. Векторлар тақырыбын оқыту әдістемесін сөз
етер болсақ ІХ-сыныптың геометрия пәні бойынша өтетін алғашқы сабағы
Параллель көшіру және оның қасиеттері тақырыбы. Тақырыпта параллель
көшіру туралы түсінік былай басталады. Жазықтық бетіне декарттық
координаттар х пен у-ті енгізейік. F фигурасын,оның кез келген (х, у)
нуктесі (х+a, у+b) нуктесіне көшетіндей етіп, а мен b — турақты шамалар,
түлрендіруді параллель көшіру деп атайды.
Параллель көшіруді мынадай формулалармен көрсетіп береді:

Бұл формулалар параллель көшіргенде (х, у) нүктесі ауысатын нүктенің
х' пен у' координаттарын өрнектейді деп анықтама беру үшін осындай
шұбалаңқы сөйлемдермен тұжырымдаған. Оқушыларға жоғарыдағыдай түсінік
берсек олардың көкейіне қонбайтыны да белгілі, себебі беріліп тұрған
анықтама оқушылардың басым көпшілігінің сана сезіміне негізделмеген.
Сондықтан анықтама бермес бұрын координаттық жүйені енгізіп, одан
координаттары (х, у) және (х', у') болатын М және N -нүктесін белгілеу
керек. Осы екі нүктенің х осіндегі және у осіндегі сәйкесінше аралық санда
а және b болсын деп келісілді.
Анықтама: Жазықтықтың кез-келген М(х,у) нүктесін N(х+a, у+b)
нүктесіне көшіретіндей түрлендіруді параллель көшіру дейміз. .[13,26]

Жоғарыдағы түрлендірумен Ғ фигурасының кез-келген нүктесін Ғ1
фигурасының кез-келген нүктесіне параллель көшіруге болады. Олай болса Ғ
фигурасын тұтастай Ғ1 фигурасына параллель көшіруге болады.
Қысқаша былай жазамыз: .
Енді параллель көшірудің қасиеттеріне тоқталайық.
1°. Параллель көшіру дегеніміз козғалыс болады. Мұны дәлелдеу ұшін
төмендегі 1-сызбаны пайдаланамыз.
Қозғалыс болу үшін М және N нүктесінің арақашықтығы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.