Санау жүйесі туралы түсінік

Пән: Информатика, Программалау, Мәліметтер қоры
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 12 бет
Таңдаулыға:

Жоспар:

Кіріспе:

Санау жүйесі туралы түсінік

Негізгі бөлім:

1. Екілік санау жүйесі. Екілік сандарға арифметикалық амалдар қолдану

2. Сегіздік санау жүйесі

3. Ондық санау жүйесі.

4. Он алтылық санау жүйесі

Сандарды бір санау жүйесінен екінші санау жүйелеріне ауыстыру

Қорытынды:

Қолданылған әдебиеттер

Санау жүйесі туралы түсінік

Сандарды цифр деп аталатын арнайы символдардың көмегімен бейнелеу қабылданған.

Сандарды атау және ережелері мен әдістерінің жинағын - санау жүйесі деп атайды.

Санау жүйелері екі топқа бөлінеді: позициялық және позициялық емес.

Позициялық санау жүйесінде цифрдың мәні оның орнына (позициясына) тәуелді. Мысалы, 737, 7 санындағы бірінші тұрған 7 жүздікті, 3 ондық, 7 бірлікті, 7 бірліктің ондық үлесін білдіреді.

Позициялық санау жүйесінің негізі деп онда қолданылатын цифрлар санын айтады.

Жүйенің негізі ретінде екі, үш, төрт, т. с. с. - кез келген натурал санды алуға болады. Демек, позициялық жүйенің сансыз көп болуы мүмкін: екілік, үштік, төрттік, т. с. с.

Позициялық емес санау жүйевсінде санның әрбір цифрының мәні оның алатын орнына байланысты емес. мұндай санау жүйесінің мысалы ретінде римдік жүйені алуға болады. Бұл жүйеде жазылған ХХХ санында Х цифры кез келген позицияда 10-ды білдіреді.

Позизиялық емес санау жүйесінде арифметикалық амалдарды орындау едәуір күрделі болғандықтан, бүкіл дүние жүзі біртіндеп позициялық санау жүйесіне ауысты.

Екілік санау жүйесі.

Сандарды екілік санау жүйесінен ондық, сегіздік, он алтылық санау жүйелеріне ауыстыру . Екілік сандарға арифметикалық амалдар қолдану

Екілік санау жүйесі

Компьютерде әдетте ондық емес позициялық екілік санау жүйесі, яғни 2 негіздеуіші бар санау жүйесі қолданылады. Екілік жүйеде кез келген сан екі 0 және 1 цифрлардың көмегімен жазылады және екілік сан деп аталады. Тек қана 0 және 1 цифрларынан тұратын екілік саннан ондық санды ажырату үшін екілік санды жазуда екілік санау жүйесінің индексіне белгі қосылады, мысалы, 110101, 111 ₂ . Екілік санның әрбір разрядын (цифрын) бит деп атайды.

Ондық сандар сияқты, кез-келген екілік санды екілік санға кіретін цифрлар салмағының айырмашылығын анық бейнелейтін қосынды түрінде жазуға болады. Бұл қосындыда негіздеуші ретінде 2 санын қолдануға болады. Мысалы: 1010101, 101 екілік сан үшін қосынды мына түрде болады:

1010101, 101 ₂ =1*2 ⁶ +0*2 ⁵ +1*2 ⁴ +0*2 ³ +1*2 ² +0*2 ¹ +1*2 ⁰ +1*2 ^-1 +0*2 ^-2 +1*2 ^-3

Бұл қосынды ондық сан үшін жазылған қосындының ережесі бойынша жазылады. Берілген мысалда екілік сан жеті санды бүтін және үш санды бөлшек бөліктерінен тұрады. Сондықтан бүтін бөліктің үлкен цифрі, яғни бірі 2 ⁷ -1=2 ⁶ -ға көбейтіледі, бүтін бөліктің нөлге тең келесі саны, 2 ⁵ -ке көбейтіледі және т. с. с., кішкентайға, үшіншіге, дейін екінің дәрежесі кемуі бойынша цифрдың бөлшек бөлігі 2 ^-3 -ке көбейтіледі. Осы қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық операцияларды орындай отырып, 85, 625 санын аламыз. Осылайша, 1010101, 101 екілік саны 85, 625 ондық санына сәйкес келеді, немесе 1010101, 101=85, 625 ₁₀

1. 11100011 ₂ =1⋅2 ⁷ +1⋅2 ⁶ +1⋅2 ⁵ +0⋅2 ⁴ +0⋅2 ³ +0⋅2 ² +1⋅2 ¹ +1⋅2 ⁰ = 128+64+32+2+1=227 ₁₀

2. 0, 10100011 ₂ =1⋅2 ^-1 +0⋅2 ^-2 +1⋅2 ^-3 +0⋅2 ^-4 +0⋅2 ^-5 +0⋅2 ^-6 +1⋅2 ^-7 +1⋅2 ⁸ =0, 5+0, 125+0, 0078+0, 0039=0, 6367 ₁₀

Сандарды екілік жүйеден сегіздік санау жүйесіне ауыстыру

Кез келген цифрды сегіздік сан түрінде жазу үшін үш екілік цифрлар қажет. Сондықтан түрленетін екілік санды оңнан солға қарай екі цифрлар тобына үштен бөледі. Екілік жүйедегі бөлшек санды сегіздік санау жүйесіне аудару үшін санның бүтін бөлігін оңнан сола қарай бағытта, ал бөлшек бөлігін солдан оңға қарай бағытта үш екілік саннан бөліп жазып, кестені пайдаланып, сәйкесінше сегіздік санды жазамыз. Сол жақтан және оң жақтан жетпеген цифр орындарын нөлмен толықтырамыз.

Мысалы: 110011 екілік саны екілік цифрлар бойынша үштен топқа бөлінгенде, 1 101 111 011 сияқты бөледі. Кестеде көрсетілген цифр түрінде қарастырамыз. 1573 ₈ ;

1. 1011101, 10011 санын сегіздік жүйеге ауыстырайық,

1 011 101, 100 11 → 001 011 101, 100 011 → 125, 43 ₈ ;

Екілік санау жүйесі

000

001

010

011

100

101

110

111

Екілік санау жүйесі: Сегіздік санау жүйесі

000: 0

001: 1

010: 2

011: 3

100: 4

101: 5

110: 6

111: 7

Сандарды екілік жүйеден он алтылық санау жүйесіне ауыстыру

Екілік жүйеден он алтылық санау жүйесіне түрлендіргенде, екілік сан төрт екілік сан бойынша бөлінеді, өйткені он алтылық санның кез келген цифрын жазу үшін төрт екілік цифр қажет.

Мысалы:

110011 екілік саны төрт екілік цифр бойынша топқа бөлгеннен кейін, 11 0111 1011 сияқты жазуға болады. 37B ₁₆ ;

Екілік жүйедегі бөлшек санды он алтылық санау жүйесіне аудару үшін санның бүтін бөлігін оңнан сола қарай бағытта, ал бөлшек бөлігін солдан оңға қарай бағытта төрт екілік саннан бөліп жазып, кестені пайдаланып, сәйкесінше он алтылық санды жазамыз. Сол жақтан және оң жақтан жетпеген цифр орындарын нөлмен толықтырамыз.

Мысалы: 10, 100011 санын он алтылық жүйеге ауыстырайық,

10 , 1000 11 → 0010 , 1000 1100 → 2F8C ₁₆ ;

Екілік санау жүйесі

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

Екілік санау жүйесі: Он алтылық санау жүйесі

: 0

0001: 1

0010: 2

0011: 3

0100: 4

0101: 5

0110: 6

0111: 7

Екілік санау жүйесі

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

Екілік санау жүйесі: Он алтылық санау жүйесі

1000: 8

1001: 9

1010: A

1011: B

1100: C

1101: D

1110: E

: F

Екілік сандарға арифметикалық амалдар қолдану

Қосу

Екілік сандарды қосу сәйкес разрядтардың цифрларын тасымалды есепке алып қосуға саяды. Екілік санды қосқанда, келесі төрт ереже қолданылады.

0+0=0 1+0=1

0+1=1 1+1=10

Мысал: Екі екілік 101+11 сандарын қосуды (ондық жүйеде бұл: 5+3=8) орындайық.

Жетпеген нөлдерді қосып, қосу амалын бағанда орындаған жөн

101

+011

Қосу процесін кезеңмен қарастырайық.

Алдымен қосу кіші разрядта орындалады: 1+1=10. Қосындының кіші разрядына 0 жазылады да бірлік алдыңғы үлкен разрядқа тасымалданады.
Келесі сол жақ разрядтың цифрлары мен тасымалдың бірлігі қосылады: 0+1+1=10. Қосындыныің бұл разрядына 0 жазылады да, бірлік тағы да келесі разрядқа тасымалданады.
Енді үшінші сол жақ разрядтың цифрлары мен тасымалдың бірлігі қосылады: 0+1+1=10 Бұл разрядта 1 жазылады, ал бірлік келесі үлкен разрядқа тасымалданады.

Нәтижеде

101

+ 011

1000

1000 ₂ =8 ₁₀

Азайту

Екілік сандарды азайту кезінде мыналарды есте сақтау керек:

0-0=0 0-1=1

1-0=1 1-1=0

Мысалы: 1010-101 екілік санның айырмасын табу. Кіші разрядтан бастап азайтуды бағанада орындаймыз:

1010

101- азайту процесін кезеңімен қарастырайық:

Кіші разряд үшін 0-1 бар. Сондықтан үлкен разрядтан бірлікті аламыз және 10-1=1 -ді табамыз.
Келесі разрядта 0-0 =0 болады.
Сол жақтағы разрядта тағы да 0-1 болады. Үлкен разряжтан 1-ді аламыз және 10-1=1 - ді табамыз.
Келесі разрядта 0 қалады.

1010

-101

101 алынады.

Көбейту

Екілік санды көбейту ережесі:

0*0=0

1*0=0

0*1=1

1*1=1

Мысалы: 101*110 екілік санының көбейтіндісін табу.

101 Тексеру: 101 ₂ =1*2 ² +0*2 ¹ +1*2 ⁰ =5

× 110 110 ₂ =1*2 ² +1*2 ¹ +0*2 ⁰ =6

000

+101

101

0 ₂ =1*2 ⁴ +1*2 ³ +1*2 ² 1*2 ¹ +0*2 ⁰ =16+8+4+2+0=30 ₁₀

яғни 5*6=30

Көбейту кестесін кезеңмен қарастырайық:

1. Кіші разрядқа көбейте отырып, кесте бойынша 000 аламыз.

2. Келесі разрядқа көбейткенде, бір разряд солға жылжыған 101-ді аламыз.

3. Үлкен разрядқа көбейткенде де, тағы бір разряд солға жылжыған 101-ді аламыз.

4. Енді екілік сандарды қосу кестесін есепке ала отырып, қосамыз да, 0 ₂ нәтижені аламыз.

Екілік жүйедегі көбейту кестесі тым қарапайым болғандықтан көбейту тек көбейгішті жылжыту мен қосудан тұрады.

Сегіздік санау жүйесі

Сегіздік санау жүйесінің негізі 8, яғни сегіз цифрдан құралады: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сегіздік санау жүйесі позициялық санау жүйесіне жатады. Мысалы, 357 сегіздік санда жеті бірлік, бес сегіз және квадраты үш сегіз бар, яғни 357 ₈ =3*8 ² +5*8 ¹ +7*8 ⁰ , мұнда 357 санының индексі «8» санау жүйесін білдіреді. Жазылған қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық әрекеттерді орындай отырып, 357 ₈ =239 ₁₀ аламыз, яғни 357 сегіздік саны 239 ондық санға сәйкес келеді.

Сонымен сегіздік санау жүйесіндегі санды ондық санау жүйесіне аудару үшін ол санды негіздеуішінің дәрежелерінің қосындысы түрінде жазып алып, есептейміз.

Мысалдар:

4618= 4*82+6*81+1*80= 4*64+6*8+1*1 = 256+49 = 30510.
172, 548= 1*82+7*81+2*80+5*8-1+4*8-2= 64+56+2+5*

Сегіздік санау жүйесіндегі сандарды екілік санау жүйесіне ауыстыру

Практикада екілік санау жүйесін пайдалану қолайсыз, сол себепті көбіне сегіздік және он алтылық санау жүйелері қолданылады.

2 ³ =8 екенін білеміз, осыдан төменде келтірілген сәйкестікті табамыз: сегіздік санау жүйесіндегі әрбір санға екілік санақ жүйесіндегі үш разрядты (орынды) сан сәйкес келеді.

Екілік санау жүйесі

000

001

010

011

100

101

110

111

Екілік санау жүйесі: Сегіздік санау жүйесі

000: 0

001: 1

010: 2

011: 3

100: 4

101: 5

110: 6

111: 7

Енді осы сәйкестіктерді пайдалана отырып сегіздік санау жүйесіндегі санды екілік санау жүйесіне ауыстыру ережесі шығады:

Мысалдар:

1) 1447 ₈ =001 100 100 111 ₂ =1100100111 ₂ .

2) 256, 773 ₈ = 010 101 110, 111 111 011 ₂ = 10101110, 011 ₂ ;

Ондық санау жүйесі.

Ондық санау жүйесіндегі сандарды екілік, сегіздік, он алтылық санау жүйелеріне ауыстыру

«Ондық» аты мынамен түсіндіріледі: бұл жүйенің түп төркінінде он негізі жатыр. Бұл жүйеде санды жазу үшін он цифры қолданылады: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткені ондық санды жазуда цифрдың мәні оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты.

Саның цифрына бөлінетін позицияны разряд деп атайды. Мысалы, 526 жазуы 5 жүздіктен, 2 ондықтан және 6 бірліктен тұратын сан екенін білдіреді. 6 цифры-бірліктер разрядында, 2-ондықтар разрядында, 5-жүздіктер разрядында тұрады. Егер осы санды қосынды түрінде жазатын болсақ: 526=5*10 ² +2*10 ¹ +6*10 ⁰

Бұл жазбадағы 10 саны санау жүйесінің негіздуішісі. Санның әрбір цифры үшін 10 негіздеуші цифрдың орнына байланысты дәрежеленеді және осы цифрға көбейтіледі. Бірліктер үшін негіздеуші дәреже-нөлге, ондықтар үшін -бірге, жүздіктер үшін-екіге тең және т. с. с. Мысалы, 555, 55 ондық саны мынандай қосындымен белгіленеді:

555, 55 ₁₀ = 5*10 ² + 5*10 ¹ + 5*10°+ 5*10- ¹ +5*10- ² . :

Осылайша, ондық санның кез келген цифрінің салмағы-оның белгілі бір бүтін дәрежесі, ал дәреженің мәнін сәйкес цифрдың позициясы бекітеді.

Бүтін ондық сандарды екілік санау жүйесіне ауыстыру

Ереже: Бүтін ондық санды екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін осы санды 2-ге бөлу қажет. Алынған бөліндіні 2-ден кіші болғанша бөлінеді қайтадан 2-ге бөле береді және т. с. с. нәтижеде бір қатарға соңғы бөлінеді және соңғысынан бастап барлық қалдықтарды жазу керек.

Мысалы 891 санын ондық жүйеден екілік санау жүйесіне аудару.

Шешімі:

891:2=445, 1

445:2=222, 1

222:2=111, 0

111:2=55, 1

55:2=27, 1

27:2=13, 1

13:2=6, 1

6:2=3, 0

3:2=1, 1

1:2=0, 1 (екілік санның үлкен цифры жазылады)
Соңынан бастап барлық қалдықтарды жазамыз.

891 ₁₀ =110011 ₂

Ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне ауыстыру

Ондық бөлшек сандарды екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін оны 2-ге көбейтіп, бүтін бөлікті іздеу керек. (үтірден кейін төрт таңбаға дейін)

Мысалы: 0, 322 ₁₀ 8, 83 ₁₀

0. 322*2=0. 644 0 8:2=4 қалдық 0

0. 644*2=1. 288 1 4:2=2 қалдық 0

0. 288*2=0. 576 0 2:2=1 қалдық 0

0. 576*2=1. 152 1 1:2=0 қалдық 1

Жауабы: 0, 3222 ₁₀ =0. 0101 ₂ 0. 83*2=1. 66 бүтін бөлік 1

0. 66*2=1. 32 бүтін бөлік 1

0. 32*2=0. 64 бүтін бөлік 0

0. 64*2=1. 28 бүтін бөлік 1

Жауабы: 8, 83=1000, 1101

Ондық сандарды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру

Ондық жүйеден сандарды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру үшін екілік жүйесі сияқты сандарды тек 8 санына бөлеміз. Егер алынған бөлінді 7-ден көп болса, онда оны да, қалдықты сақтап 8-ге бөлуге болады. Мысалы: Ондық жүйедегі 891 санын сегіздік санау жүйесіне келтірейік.

Шешімі: қалдық

891:8=111 3

111:8=13 7

13:8=1 5

1:8=0 1 (қалдық сегіздік санның үлкен цифры жазылады)
891 ₁₀ =1573 ₈

Ондық сандарды он алтылық санау жүйесіне ауыстыру.

Ондық санды он алтылық санау жүйесіне ауыстыру үшін 16-ға бөлу керек.

Шешімі: қалдық

891:16 =55 11

55:16=3 7

3:16=0 3

891 ₁₀ =37B ₁₆