Туындыны анықталуы

1. Туындыны анықталуы.
2. Функцияның дифференциалдануы және үзіліссіздігі.
3. Функцияның дифференциалы және оның жуық есептеулерде қолданылуы.
4. Арифметикалық амалдармен байланысты дифференциалдау ережелері.
5. Негізгі элементар функциялардың туындылары мен дифференциалдардың кестесі.
6.Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер
y=f(x) функциясы(ақырлы не ақырсыз) (a,b) анықталған дейік. Осы интервалдан х0+∆х нуктесі шықпайтын етіп, х0 аргументіне ∆х≠0 өсімшесін берейік. Сонда y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі сәйкес өсімшесі ∆у=∆f(х0)=f(х0+ ∆х)- f(х0) болады.
1-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысы деп ∆х→0 жағдайдағы функция өсімшесінің сәйкес аргумент өсімшесіне қатынасының шегін айтады(егер бұл шек болса). y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысын f ′(х0) арқылы белгілейді. Сонда, анықтама бойынша
f ′(х0)=lim ∆у(х0) /∆x=lim[ f(х0+ ∆х)- f(х0)] /∆x
Бұл жағдайда f ′(х0) бар болады деп айтады.
Егер y=f(x) функциясының (a,b) интервалының әрбір x нүктесінде туындысы бар болса, онда ол туынды x аргументінің функциясы болып табылады және оны f ′(х) немесе у′(х), ал тіпті у′(кейде у′х деп, яғни у(х) функциясының х аргументі бойынша алынған туындысы) арқылы да белгілейді.
Мысалдар.
1. (C)′=0 (тұрақтының туындысы нөлге тең).
Шынында да, егер у=C=const болса, онда ∆у=C-C=0. Олай болса, сандық өстің кез келген х нүктесі үшін ∆у/ ∆х=0, демек, туынды нөлге тең болады.
2. (x)=1 (тәуелсіз айнымалының туындысы нөлге тең).
Шынында да, егер f(x)=х болса, онда сандық өстің кез келген х нүктесі үшін
∆у/∆x=[f(x+∆x)-f(x)]/ ∆x=[(x+∆x)-x]/∆x=∆x/∆x=1.
Демек, туынды кез келген хϵR нүктесінде 1-ге тең болады. Біржақты шектің анықтамасы бойынша біржақты туынды түсінігі енгізіледі.
2-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі біржақты туындысы деп ∆у(х0)/ ∆х қатынасының ∆х→0 жағдайдағы біржақты шегін (егер ол шек бар болса) атайды.
f функциясының х0 нүктесіндегі солжақты (оңжақты) туындысын белгілеу үшін f’(х0-0)(f’(х0+0)) символын пайдаланады. Онда анықтама бойынша
f’(х0-0)=lim∆y(х0) /∆x=lim∆y(х0) /∆x, ∆x<0
f’(х0+0)=lim∆y(х0) /∆x=lim∆y(х0) /∆x, ∆x>0
1.К.А.Хасеинов (Математика канондары), Алматы, 2004 жыл
2. Тилепиев М.Ш. «Туынды және туындының өмірдегі қолданылуы»
        
        ЖОСПАР
1. Туындыны анықталуы.
2. Функцияның дифференциалдануы және үзіліссіздігі.
3. Функцияның дифференциалы және оның жуық есептеулерде қолданылуы.
4. Арифметикалық амалдармен ... ... ... Негізгі элементар функциялардың туындылары мен дифференциалдардың
кестесі.
6.Қорытынды
Туынды және бір айнымалы функцияның дифференциалы.
Туынды және дифференциал
1.Туындыны анықтау.
y=f(x) функциясы(ақырлы не ... (a,b) ... ... ... х0+∆х нуктесі шықпайтын етіп, х0 аргументіне ∆х≠0 өсімшесін
берейік. Сонда y=f(x) ... х0 ... ... өсімшесі
∆у=∆f(х0)=f(х0+ ∆х)- f(х0) болады.
1-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысы деп ∆х→0
жағдайдағы функция өсімшесінің сәйкес аргумент ... ... ... бұл шек болса). y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі
туындысын f ′(х0) ... ... ... ... ... ... ∆у(х0) /∆x=lim[ f(х0+ ∆х)- f(х0)] /∆x
Бұл жағдайда f ′(х0) бар ... деп ... y=f(x) ... (a,b) ... ... x нүктесінде
туындысы бар болса, онда ол туынды x аргументінің функциясы болып ... оны f ′(х) ... ... ал ... ... у′х деп, яғни у(х)
функциясының х аргументі бойынша алынған туындысы) арқылы да ... (C)′=0 ... ... ... ... да, егер ... болса, онда ∆у=C-C=0. Олай болса, сандық
өстің кез келген х нүктесі үшін ∆у/ ∆х=0, демек, туынды нөлге тең
болады.
2. (x)=1 ... ... ... ... ... да, егер f(x)=х ... онда ... өстің кез келген х нүктесі
үшін
∆у/∆x=[f(x+∆x)-f(x)]/ ∆x=[(x+∆x)-x]/∆x=∆x/∆x=1.
Демек, туынды кез келген хϵR нүктесінде 1-ге тең болады. Біржақты
шектің анықтамасы ... ... ... түсінігі енгізіледі.
2-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі біржақты
туындысы деп ... ∆х ... ... ... ... (егер ол шек бар болса) атайды.
f функциясының х0 нүктесіндегі ... ... ... үшін ... ... пайдаланады. Онда
анықтама бойынша
f’(х0-0)=lim∆y(х0) /∆x=lim∆y(х0) /∆x, ∆x0
Мысал. Мына функцияның
-x, x0
туындылардың екеуі де ... ... ... ... у=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысы бар ... ол ... у=f(x) ... ... ... да бар ... және
олардың тең болуы қажетті және жеткілікті.
(символдар арқылы: Ǝ f ′(х0)↔Ǝ f ′(х0-0)= f ′(х0+0) ). Екіжақты және
біржақты ... ... ... де ... ... у=f(x) ... үшін ... жағдайда ∆у (x0)/ ∆х
қатынасы тұрақты таңбалы ақырсыз үлкен шама болса, дәлірек ... ... ... ... ... онда сол ... х0 ... +∞-ке, немесе -∞-ке тең ақырсыз
туындысы бар ... ... ... ... ... ... f ′(х0)=+∞,
немесе f ′(х0)=-∞,
4-анықтама. у=f(x) функциясы үшін ∆х→-0(∆х→+0) жағдайда ∆у(x0)/∆х
қатынасы ... ... ... ... ... ... ... ∆x=+∞, немесе lim∆y(x0)/ ∆x=-∞
болса, сол функцияның х0 нүктесінде +∞-ке, не -∞-ке ... ... ... бар ... ... ақырсыз
туындыны былай f′(x0-0)=+∞, не былай f′(x0-0)=-∞, f′(x0+0)=+∞, f′(x0+0)=-
∞ белгілейді.
Ілгеріде, егер арнайы ескерту жасалмаса, “функцияның ... ... сөз ... ол ... ақырлы туындысы бар болатынын білдіреді.
2.Функцияның дифференциалдануы және үзіліссіздігі.
Анықтама. у=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі мәні ∆х өсімшесіне
сәйкес ... ... мына ... болса, онда f(x) функциясы х0 нүктесінде дифференциалданады
дейді. Мұндағы А ... ... ... ... да бір сан, ал 0(∆x) ... ... және ол ∆х→0 жағдайда ∆-пен салыстырғанда жоғары ретті
ақырсыз кіші шама.
1-теорема. у=f(x) функциясының х0 нүктесінде дифференциалданатын
болуы үшін оның осы нүктеде f ′(х0) ... бар ... ... ... у=f(x) функциясының х0 нүктесінде дифференциалданады,
яғни (10) шарт орындалады дейік. Осы теңдіктің екі жағын да ∆х-ке бөлейік,
сонда
∆у(x0)/ ∆x =А+0(∆x)/ ∆х
Енді ... екі ... ... жағдайда шекке көшейік. Сонда
lim[o (∆х)/ ∆х]=0 болғандықтан, бұл теңдіктің оң жағы ∆х→0 жағдайда
ақырлы А ... ... Ал ... ... ... сол жағының шегі f
′(х0) туындысына тең болады. ... у=f(x) ... f ′(х0) ... және f ′(х0)=A болады.
Жеткіліктік. х0 нүктесінде у=f(x) функциясының туындысы бар ... ∆x= f ... Осы ... ... мына айырым
∆у(x0)/ ∆x- f ′(х0) =α(∆x)
∆х→0 жағдайда ∆х аргументінің ақырсыз кіші функциясы болып табылады. Енді
бұл ... екі ... да ... көбейтіп, мынаны табамыз:
∆у( х0)= f ′(х0) ∆х+α(∆х) ∆х. Бұл теңдік А= f ′(х0) ... (10) ... ... ∆х=0(∆х)) дәл келеді. Сонымен, у=f(x) функциясының х0
нүктесінде дифференциалданатын болады және функцияның (10)-
дифференциалдану шартындағы А= f ′(х0) болады.
Дәлелденген теорема бойынша ... ... ... да бір ... ... оның сол нүктеде ақырлы туындысының бар болуымен
мәндес болып шығады. Сондықтан, функция ... табу ... ... деп те ... ... ... бір ... мен үзіліссіздігі туралы түсініктердың арасындағы
байланыс мынадай теорема түрінде тұжырымдалады.
2-теорема. Егер у=f(x) функциясының х0 нүктесінде
дифференциалданатын ... онда ол сол ... ... болады.
Дәлелдеуі. у=f(x) функциясының х0 нүктесінде дифференциалданатын
болсын, яғни (10) шарт орындалады дейік. Сонда ... ... яғни х0 ... у=f(x) ... ... ... кері тұжырым, жалпы алғанда, дұрыс бола бермейді.
Мысалы, f(x)=|x| ... ... ... ... ... ... х0=0 ... бұл функцияның туындысы болмайтынына жоғарыда көз
жеткізген болатынбыз.
3. ... ... және оның жуық ... ... ... х0 ... дифференциалданады, яғни (10) шарт
орындалады дейік. 1-теорема бойынша А= f ′(х0). Бұл шарттағы бірінші f
′(х0)∆х қосылғышы ∆у(х0)-тің бас ... ... ... ... ... ... ... кіші шама.). Бұған қоса, f
′(х0)∆х қосылғышы ∆х аргументінің сызықтық ... ... ... ... у=f(x) ... х0 ... дифференциалы деп атайды.
Анықтама. Аргумент өсімшесі ∆х-ке сәйкес у=f(x) функциясының х0
нүктесінде дифференциалы деп df(x0) немесе dу(x0) ... f ... ... ... ... ... бойынша dу(x0)= f
′(х0)∆х.
Егер у=f(x) функциясы (a,b) ... кез ... х ... ... онда ... мына ... жазылады: dу=f ′(х0)∆х.
Тәуелсіз айнымалының дифференциалы деп у=x функциясының
дифференциалын атайтын болып келісеміз. Сонда (11’)-теңдіктен dx=(x)∆x=∆x,
яғни ... ... ... оның ... тең ... Осы
айтылғанды ескеріп, (11’)-теңдікті былай жазамыз:
dу= f ′(х)∆х.
Бұнымыз х-тәуелсіз айнымалы болғандығы у=f(x) функциясының х
нүктесінде ... үшін ... ... болады. Дифференциалдың
жуықтап есептеулерде қолданылуы осы пункттің басында келтірілген функция
дифференциалдануының (10)-шартына жасалған ескертулерге негізделіп отыр,
яғни ∆у(х0)= dу (х0)+о(∆х) ... ... ... ... ... ... салыстырмалы қателігі деп аталады. ∆у(х0)
-dу(х0) = о(∆х) айырымы ∆х→0 жағдайда ∆х-ке қарағанда жоғары ретті
ақырсыз кіші шама ... ... ... ол ... нөлге ұмтылады.
Дифференциалданатын функция өсімшесін сол функцияның
дифференциалымен(біршама қатемен болса да) ауыстыру тиімді екені былайша
түсіндіріледі. ... у=f(x) ... х0 ... ... f(x0) ... ... ∆х аргументінің сызықтық
функциясы болмайды(яғни сызықтық емес функция болады). Ал, у=f(x)
функциясының х0 нүктесіндегі дифференциалы ∆х аргументінің сызықтық
функциясы болатыны себепті, түрі ... әрі ... аса ... Жоғарыдағы өрнектерді мына түрде көшіріп жазайық:
f(x0+∆х)- f(x0)=f′(x0) ... f(x0)≈ f′(x0) ... ... мынау шығады:
f(x0+∆х)= f(x0)+ f′(x0) ∆х+ o(∆х), f(x0+∆х)≈ f′(x0) ∆х.
Соңғы ... жуық ... ... ... ... ... ... ескерсек, ∆х→0 жағдайда ∆х-пен салыстырғанда
жоғары ретті ақырсыз кіші шама болып табылады. Егер де ... х ... ∆х= х- x0 ... да, ... мына ... жазылады:
f(x)= f(x0)+f′(x0) (x-x0)+o(x-x0).
Бұл теңдік x0 нүктесінің қандай да болса бір маңайында f(x) функциясының
мәні o(x-x0)-ге дейінгі ... ... х→х0 ... ... ... ... ақырсыз кіші шамаға дейінгі дәлдікпен) сызықтық
функция f(x0)+f′(x0) (x-x0)=B+A(x-x0) мәніне тең ... ... ... ... ... дифференциалдау ережелері.
1-теорема. Егер u(x) және v(x) функцияларының әрқайсысы берілген х
нүктесінде дифференциалданатын ... онда ол ... ... ... және ... (v(x)≠0 болғанда) сол нүктеде
дифференциалданатын функция болады және мына формулалар орындалады:
[(u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x), [(u(x)∙v(x)]=u′(x)∙v(x)+u(x)∙v′(x),
[u(x)/v(x)]=[u′(x)v(x)-u(x)v′(x)]/v2(x).
Дәлелдеуі. Барлық үш формула бір ... ... ... олардың тек
біреуін, атап айтқанда, үшіншісін ғана дәлелдейік.
y(x)=u(x)/v(x) болсын. Теореманың шарты бойынша v(x) ... ... ... сондықтан ол үзіліссіз болады. Ал v(x) ≠0
болғандықтан және үзіліссіз функция өз таңбасын сақтап қалатындығы ... ... ... кіші ∆х үшін v(x+∆х) ≠0 теңсіздігі орындалады.
Бұдан мына түрлендірудің міндетті түрде орындалатындығы шығады:
∆у/∆ x=y(x+∆x)-y(x)/ ∆x= [u(x+∆x)∙v(x)- v(x+∆x)∙u(x)] /v(x)v(x+∆x) ∆x ... ... ... ... ... u және v функцияларының х нүктесінде дифференциал-
данатыны(ендеше үзіліссіз болатыны) салдарынан мына шектер бар:
lim∆u/∆ x= u′(x), lim∆v/∆ x= v′(x), limv(x+∆ x)=v(lim(x+∆ ... ... v(x)=0 ... ... ... оң жағының шегі бар деген
қорытындыға келеміз.
2-теорема. Егер u және v ... үшін ... ... онда мына ... орындалады:
d(u±v)=du±dv, d(uv)=vdu+udv, d(u/v)=(vdu-udv)/v2.
Бұл формулаларды дәлелдеу сәйкес теңдіктерді dх-ке көбейтіп, кез келген
у=f(x) функциясының дифференциалы үшін (11)-формуланы пайдалану жеткілікті.
1-салдар. Егер c=const ... онда ... ... ... ... ... туынды не дифференциал таңбасының алдына шығаруға
болады.)
Бұл салдарды тексеру үшін [u(x)v(x)], d(uv) формулаларында v(x)=c деп алып,
тұрақты ... ... ... ... ... тең ... ескерту
жеткілікті.
2-салдар. Егер c=const болса, онда
[u(x)/c]′=u′(x)/c немесе d[u(x)/c]=du(x)/c,
[c/v(x)]′=-cv′(x)/v2(x) немесе d[c/ v(x)]=-cdv(x)/ v2(x),
Бұл формулалар сәйкес v(x)=c ... және u (x)=c ... ... ... ... Соңғы формулада тұрақты көбейткіш туынды, не
дифференциал таңбасының алдына шығарылған деуге болады.
5. Негізгі элементар функциялардың туындылары мен дифференциалдардың
кестесі.
Есептеп шығарылған формулалардың барлығын ... ... сан ... ... ... шаманың (x′=1) туындыларын қосып кесте түрінде
жазайық. Функция дифференциалының (11)-формуласын ескере отырып,
дифференциалдар кестесін де жазамыз.
1.(c)′=0, c=const; ... ... ... ... ... ... d(xα)= ... x>0, α-кез келген нақты сан: жеке
жағдайда, α=-1 және α=1/2 ... ... ... ... ... ... (ax)′= ax lna; d(ax)= axlnadx, -∞

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 7 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Негізгі туынды айқаспалар және оларды анықтайтын параметрлер14 бет
Динамикалық хаостың сипаттамалары6 бет
Жылу қазандықтары шығарылымдарын зиянсыздандыру және оларды іске асыру технологияларын негіздеу мен жасау туралы24 бет
Қазақстан Республикасындағы анықтау органдарының түсінігі, құрылымы және өкілеттілігі52 бет
Автордың мүліктік және жеке мүліктік емес құқықтары71 бет
Авторлық және сабақтас құқық8 бет
Авторлық шартты рәсімдеу96 бет
Авторлық құқық12 бет
Авторлық құқық жайлы25 бет
Авторлық құқық субъектілері, түрлері46 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь