Туындыны анықталуы
1. Туындыны анықталуы.
2. Функцияның дифференциалдануы және үзіліссіздігі.
3. Функцияның дифференциалы және оның жуық есептеулерде қолданылуы.
4. Арифметикалық амалдармен байланысты дифференциалдау ережелері.
5. Негізгі элементар функциялардың туындылары мен дифференциалдардың кестесі.
6.Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер
2. Функцияның дифференциалдануы және үзіліссіздігі.
3. Функцияның дифференциалы және оның жуық есептеулерде қолданылуы.
4. Арифметикалық амалдармен байланысты дифференциалдау ережелері.
5. Негізгі элементар функциялардың туындылары мен дифференциалдардың кестесі.
6.Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер
y=f(x) функциясы(ақырлы не ақырсыз) (a,b) анықталған дейік. Осы интервалдан х0+∆х нуктесі шықпайтын етіп, х0 аргументіне ∆х≠0 өсімшесін берейік. Сонда y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі сәйкес өсімшесі ∆у=∆f(х0)=f(х0+ ∆х)- f(х0) болады.
1-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысы деп ∆х→0 жағдайдағы функция өсімшесінің сәйкес аргумент өсімшесіне қатынасының шегін айтады(егер бұл шек болса). y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысын f ′(х0) арқылы белгілейді. Сонда, анықтама бойынша
f ′(х0)=lim ∆у(х0) /∆x=lim[ f(х0+ ∆х)- f(х0)] /∆x
Бұл жағдайда f ′(х0) бар болады деп айтады.
Егер y=f(x) функциясының (a,b) интервалының әрбір x нүктесінде туындысы бар болса, онда ол туынды x аргументінің функциясы болып табылады және оны f ′(х) немесе у′(х), ал тіпті у′(кейде у′х деп, яғни у(х) функциясының х аргументі бойынша алынған туындысы) арқылы да белгілейді.
Мысалдар.
1. (C)′=0 (тұрақтының туындысы нөлге тең).
Шынында да, егер у=C=const болса, онда ∆у=C-C=0. Олай болса, сандық өстің кез келген х нүктесі үшін ∆у/ ∆х=0, демек, туынды нөлге тең болады.
2. (x)=1 (тәуелсіз айнымалының туындысы нөлге тең).
Шынында да, егер f(x)=х болса, онда сандық өстің кез келген х нүктесі үшін
∆у/∆x=[f(x+∆x)-f(x)]/ ∆x=[(x+∆x)-x]/∆x=∆x/∆x=1.
Демек, туынды кез келген хϵR нүктесінде 1-ге тең болады. Біржақты шектің анықтамасы бойынша біржақты туынды түсінігі енгізіледі.
2-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі біржақты туындысы деп ∆у(х0)/ ∆х қатынасының ∆х→0 жағдайдағы біржақты шегін (егер ол шек бар болса) атайды.
f функциясының х0 нүктесіндегі солжақты (оңжақты) туындысын белгілеу үшін f’(х0-0)(f’(х0+0)) символын пайдаланады. Онда анықтама бойынша
f’(х0-0)=lim∆y(х0) /∆x=lim∆y(х0) /∆x, ∆x<0
f’(х0+0)=lim∆y(х0) /∆x=lim∆y(х0) /∆x, ∆x>0
1-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысы деп ∆х→0 жағдайдағы функция өсімшесінің сәйкес аргумент өсімшесіне қатынасының шегін айтады(егер бұл шек болса). y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысын f ′(х0) арқылы белгілейді. Сонда, анықтама бойынша
f ′(х0)=lim ∆у(х0) /∆x=lim[ f(х0+ ∆х)- f(х0)] /∆x
Бұл жағдайда f ′(х0) бар болады деп айтады.
Егер y=f(x) функциясының (a,b) интервалының әрбір x нүктесінде туындысы бар болса, онда ол туынды x аргументінің функциясы болып табылады және оны f ′(х) немесе у′(х), ал тіпті у′(кейде у′х деп, яғни у(х) функциясының х аргументі бойынша алынған туындысы) арқылы да белгілейді.
Мысалдар.
1. (C)′=0 (тұрақтының туындысы нөлге тең).
Шынында да, егер у=C=const болса, онда ∆у=C-C=0. Олай болса, сандық өстің кез келген х нүктесі үшін ∆у/ ∆х=0, демек, туынды нөлге тең болады.
2. (x)=1 (тәуелсіз айнымалының туындысы нөлге тең).
Шынында да, егер f(x)=х болса, онда сандық өстің кез келген х нүктесі үшін
∆у/∆x=[f(x+∆x)-f(x)]/ ∆x=[(x+∆x)-x]/∆x=∆x/∆x=1.
Демек, туынды кез келген хϵR нүктесінде 1-ге тең болады. Біржақты шектің анықтамасы бойынша біржақты туынды түсінігі енгізіледі.
2-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі біржақты туындысы деп ∆у(х0)/ ∆х қатынасының ∆х→0 жағдайдағы біржақты шегін (егер ол шек бар болса) атайды.
f функциясының х0 нүктесіндегі солжақты (оңжақты) туындысын белгілеу үшін f’(х0-0)(f’(х0+0)) символын пайдаланады. Онда анықтама бойынша
f’(х0-0)=lim∆y(х0) /∆x=lim∆y(х0) /∆x, ∆x<0
f’(х0+0)=lim∆y(х0) /∆x=lim∆y(х0) /∆x, ∆x>0
1.К.А.Хасеинов (Математика канондары), Алматы, 2004 жыл
2. Тилепиев М.Ш. «Туынды және туындының өмірдегі қолданылуы»
2. Тилепиев М.Ш. «Туынды және туындының өмірдегі қолданылуы»
ЖОСПАР
1. Туындыны анықталуы.
2. Функцияның дифференциалдануы және үзіліссіздігі.
3. Функцияның дифференциалы және оның жуық есептеулерде қолданылуы.
4. Арифметикалық амалдармен байланысты дифференциалдау ережелері.
5. Негізгі элементар функциялардың туындылары мен дифференциалдардың
кестесі.
6.Қорытынды
Туынды және бір айнымалы функцияның дифференциалы.
Туынды және дифференциал
1.Туындыны анықтау.
y=f(x) функциясы(ақырлы не ақырсыз) (a,b) анықталған дейік. Осы
интервалдан х0+∆х нуктесі шықпайтын етіп, х0 аргументіне ∆х≠0 өсімшесін
берейік. Сонда y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі сәйкес өсімшесі
∆у=∆f(х0)=f(х0+ ∆х)- f(х0) болады.
1-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысы деп ∆х→0
жағдайдағы функция өсімшесінің сәйкес аргумент өсімшесіне қатынасының
шегін айтады(егер бұл шек болса). y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі
туындысын f ′(х0) арқылы белгілейді. Сонда, анықтама бойынша
f ′(х0)=lim ∆у(х0) ∆x=lim[ f(х0+ ∆х)- f(х0)] ∆x
Бұл жағдайда f ′(х0) бар болады деп айтады.
Егер y=f(x) функциясының (a,b) интервалының әрбір x нүктесінде
туындысы бар болса, онда ол туынды x аргументінің функциясы болып табылады
және оны f ′(х) немесе у′(х), ал тіпті у′(кейде у′х деп, яғни у(х)
функциясының х аргументі бойынша алынған туындысы) арқылы да белгілейді.
Мысалдар.
1. (C)′=0 (тұрақтының туындысы нөлге тең).
Шынында да, егер у=C=const болса, онда ∆у=C-C=0. Олай болса, сандық
өстің кез келген х нүктесі үшін ∆у ∆х=0, демек, туынды нөлге тең
болады.
2. (x)=1 (тәуелсіз айнымалының туындысы нөлге тең).
Шынында да, егер f(x)=х болса, онда сандық өстің кез келген х нүктесі
үшін
∆у∆x=[f(x+∆x)-f(x)] ∆x=[(x+∆x)-x]∆x=∆x∆x=1.
Демек, туынды кез келген хϵR нүктесінде 1-ге тең болады. Біржақты
шектің анықтамасы бойынша біржақты туынды түсінігі енгізіледі.
2-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі біржақты
туындысы деп ∆у(х0) ∆х қатынасының ∆х→0 жағдайдағы біржақты
шегін (егер ол шек бар болса) атайды.
f функциясының х0 нүктесіндегі солжақты (оңжақты) туындысын
белгілеу үшін f’(х0-0)(f’(х0+0)) символын пайдаланады. Онда
анықтама бойынша
f’(х0-0)=lim∆y(х0) ∆x=lim∆y(х0) ∆x, ∆x0
f’(х0+0)=lim∆y(х0) ∆x=lim∆y(х0) ∆x, ∆x0
Мысал. Мына функцияның
-x, x0
f(x)=x= 0, x=0 болғанда х0=0 нүктесінде біржақты
х, x0
туындылардың екеуі де бар:
f’(-0)=lim∆y(0) ∆x=lim∆y(-∆x) ∆x=-1; f’(-0)=lim∆x∆x=1,
Теорема. у=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысы бар болуы
үшін, ол нүктеде у=f(x) функциясының біржақты туындысы да бар болуы және
олардың тең болуы қажетті және жеткілікті.
(символдар арқылы: Ǝ f ′(х0)↔Ǝ f ′(х0-0)= f ′(х0+0) ). Екіжақты және
біржақты ақырсыз туындылар түсінігі де осылайша енгізіледі.
3-анықтама. у=f(x) функциясы үшін ∆х→0 жағдайда ∆у (x0) ∆х
қатынасы тұрақты таңбалы ақырсыз үлкен шама болса, дәлірек айтқанда
lim∆y(x0) ∆x=+∞, немесе lim∆y(x0) ∆x=-∞
болса, онда сол функцияның х0 нүктесінде +∞-ке, немесе -∞-ке тең ақырсыз
туындысы бар болады дейді. Ақырсыз туындысы былай белгілейді: f ′(х0)=+∞,
немесе f ′(х0)=-∞,
4-анықтама. у=f(x) функциясы үшін ∆х→-0(∆х→+0) жағдайда ∆у(x0)∆х
қатынасы тұрақты таңбалы ақырсыз үлкен болса, дәлірек айтқанда
lim∆y(x0) ∆x=+∞, немесе lim∆y(x0) ∆x=-∞
болса, сол функцияның х0 нүктесінде +∞-ке, не -∞-ке тең
солжақты(оңжақты) ақырсыз туындысы бар дейді. Солжақты(оңжақты) ақырсыз
туындыны былай f′(x0-0)=+∞, не былай f′(x0-0)=-∞, f′(x0+0)=+∞, f′(x0+0)=-
∞ белгілейді.
Ілгеріде, егер арнайы ескерту жасалмаса, “функцияның туындысы бар”
деген сөз тіркесі ол функцияның ақырлы туындысы бар болатынын білдіреді.
2.Функцияның дифференциалдануы және үзіліссіздігі.
Анықтама. у=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі мәні ∆х өсімшесіне
сәйкес ∆у(x0) өсімшесі мына түрде
∆у(x0)=А∙∆x+0(∆x)
жазылатын болса, онда f(x) функциясы х0 нүктесінде дифференциалданады
дейді. Мұндағы А дегеніміз ∆х-ке тәуелсіз қандай да бір сан, ал 0(∆x) болса
∆x-тің функциясы және ол ∆х→0 жағдайда ∆-пен салыстырғанда жоғары ретті
ақырсыз кіші шама.
1-теорема. у=f(x) функциясының х0 нүктесінде дифференциалданатын
болуы үшін оның осы нүктеде f ′(х0) туындысы бар болуы қажетті және
жеткілікті.Дәлелдеуі.
Қажеттілік. у=f(x) функциясының х0 нүктесінде дифференциалданады,
яғни (10) шарт орындалады дейік. Осы теңдіктің екі жағын да ∆х-ке бөлейік,
сонда
∆у(x0) ∆x =А+0(∆x) ∆х
Енді теңдіктің екі жағынан ∆х→0 жағдайда шекке көшейік. Сонда
lim[o (∆х) ∆х]=0 болғандықтан, бұл теңдіктің оң жағы ∆х→0 жағдайда
ақырлы А санына ұмтылады. Ал ∆х→0 жағдайда теңдіктің сол жағының шегі f
′(х0) туындысына тең болады. Сонымен, у=f(x) функциясының f ′(х0) туындысы
бар және f ′(х0)=A болады.
Жеткіліктік. х0 нүктесінде у=f(x) функциясының туындысы бар болсын;
яғни
lim∆y(x0) ∆x= f ′(х0)
болсын. Осы формула бойынша мына айырым
∆у(x0) ∆x- f ′(х0) =α(∆x)
∆х→0 жағдайда ∆х аргументінің ақырсыз кіші функциясы болып табылады. Енді
бұл теңдіктің екі жағын да ∆х-ке көбейтіп, мынаны табамыз:
∆у( х0)= f ′(х0) ∆х+α(∆х) ∆х. Бұл теңдік А= f ′(х0) болғанда (10) шартпен
(өйткені α(∆х) ∆х=0(∆х)) дәл келеді. Сонымен, у=f(x) функциясының х0
нүктесінде дифференциалданатын болады және функцияның (10)-
дифференциалдану шартындағы А= f ′(х0) болады.
Дәлелденген теорема бойынша функцияның қандай болса да бір нүктеде
дифференциалданатын болуы оның сол нүктеде ақырлы туындысының бар болуымен
мәндес болып шығады. Сондықтан, функция туындысын табу амалын оны
дифференциалдау деп те атайды. Функцияның белгілі бір нүктеде
дифференциалдануы мен үзіліссіздігі туралы түсініктердың арасындағы
байланыс мынадай теорема түрінде тұжырымдалады.
2-теорема. Егер у=f(x) функциясының х0 нүктесінде
дифференциалданатын болса, онда ол сол нүктеде үзіліссіз болады.
Дәлелдеуі. у=f(x) функциясының х0 нүктесінде дифференциалданатын
болсын, яғни (10) шарт орындалады дейік. Сонда lim∆y(х0)=lim(A∙∆x+o(∆x))=0,
немесе lim∆y(х0)=0, яғни х0 нүктесінде у=f(x) функциясы үзіліссіз болады.
2-теоремаға кері тұжырым, жалпы алғанда, дұрыс бола бермейді.
Мысалы, f(x)=x функциясы сандық өстің әрбір нүктесінде, жеке
жағдайда, х0=0 нүктесінде бұл функцияның туындысы болмайтынына жоғарыда көз
жеткізген болатынбыз.
3. Функцияның дифференциалы және оның жуық есептеулерде қолданылуы.
... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
1. Туындыны анықталуы.
2. Функцияның дифференциалдануы және үзіліссіздігі.
3. Функцияның дифференциалы және оның жуық есептеулерде қолданылуы.
4. Арифметикалық амалдармен байланысты дифференциалдау ережелері.
5. Негізгі элементар функциялардың туындылары мен дифференциалдардың
кестесі.
6.Қорытынды
Туынды және бір айнымалы функцияның дифференциалы.
Туынды және дифференциал
1.Туындыны анықтау.
y=f(x) функциясы(ақырлы не ақырсыз) (a,b) анықталған дейік. Осы
интервалдан х0+∆х нуктесі шықпайтын етіп, х0 аргументіне ∆х≠0 өсімшесін
берейік. Сонда y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі сәйкес өсімшесі
∆у=∆f(х0)=f(х0+ ∆х)- f(х0) болады.
1-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысы деп ∆х→0
жағдайдағы функция өсімшесінің сәйкес аргумент өсімшесіне қатынасының
шегін айтады(егер бұл шек болса). y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі
туындысын f ′(х0) арқылы белгілейді. Сонда, анықтама бойынша
f ′(х0)=lim ∆у(х0) ∆x=lim[ f(х0+ ∆х)- f(х0)] ∆x
Бұл жағдайда f ′(х0) бар болады деп айтады.
Егер y=f(x) функциясының (a,b) интервалының әрбір x нүктесінде
туындысы бар болса, онда ол туынды x аргументінің функциясы болып табылады
және оны f ′(х) немесе у′(х), ал тіпті у′(кейде у′х деп, яғни у(х)
функциясының х аргументі бойынша алынған туындысы) арқылы да белгілейді.
Мысалдар.
1. (C)′=0 (тұрақтының туындысы нөлге тең).
Шынында да, егер у=C=const болса, онда ∆у=C-C=0. Олай болса, сандық
өстің кез келген х нүктесі үшін ∆у ∆х=0, демек, туынды нөлге тең
болады.
2. (x)=1 (тәуелсіз айнымалының туындысы нөлге тең).
Шынында да, егер f(x)=х болса, онда сандық өстің кез келген х нүктесі
үшін
∆у∆x=[f(x+∆x)-f(x)] ∆x=[(x+∆x)-x]∆x=∆x∆x=1.
Демек, туынды кез келген хϵR нүктесінде 1-ге тең болады. Біржақты
шектің анықтамасы бойынша біржақты туынды түсінігі енгізіледі.
2-анықтама. y=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі біржақты
туындысы деп ∆у(х0) ∆х қатынасының ∆х→0 жағдайдағы біржақты
шегін (егер ол шек бар болса) атайды.
f функциясының х0 нүктесіндегі солжақты (оңжақты) туындысын
белгілеу үшін f’(х0-0)(f’(х0+0)) символын пайдаланады. Онда
анықтама бойынша
f’(х0-0)=lim∆y(х0) ∆x=lim∆y(х0) ∆x, ∆x0
f’(х0+0)=lim∆y(х0) ∆x=lim∆y(х0) ∆x, ∆x0
Мысал. Мына функцияның
-x, x0
f(x)=x= 0, x=0 болғанда х0=0 нүктесінде біржақты
х, x0
туындылардың екеуі де бар:
f’(-0)=lim∆y(0) ∆x=lim∆y(-∆x) ∆x=-1; f’(-0)=lim∆x∆x=1,
Теорема. у=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі туындысы бар болуы
үшін, ол нүктеде у=f(x) функциясының біржақты туындысы да бар болуы және
олардың тең болуы қажетті және жеткілікті.
(символдар арқылы: Ǝ f ′(х0)↔Ǝ f ′(х0-0)= f ′(х0+0) ). Екіжақты және
біржақты ақырсыз туындылар түсінігі де осылайша енгізіледі.
3-анықтама. у=f(x) функциясы үшін ∆х→0 жағдайда ∆у (x0) ∆х
қатынасы тұрақты таңбалы ақырсыз үлкен шама болса, дәлірек айтқанда
lim∆y(x0) ∆x=+∞, немесе lim∆y(x0) ∆x=-∞
болса, онда сол функцияның х0 нүктесінде +∞-ке, немесе -∞-ке тең ақырсыз
туындысы бар болады дейді. Ақырсыз туындысы былай белгілейді: f ′(х0)=+∞,
немесе f ′(х0)=-∞,
4-анықтама. у=f(x) функциясы үшін ∆х→-0(∆х→+0) жағдайда ∆у(x0)∆х
қатынасы тұрақты таңбалы ақырсыз үлкен болса, дәлірек айтқанда
lim∆y(x0) ∆x=+∞, немесе lim∆y(x0) ∆x=-∞
болса, сол функцияның х0 нүктесінде +∞-ке, не -∞-ке тең
солжақты(оңжақты) ақырсыз туындысы бар дейді. Солжақты(оңжақты) ақырсыз
туындыны былай f′(x0-0)=+∞, не былай f′(x0-0)=-∞, f′(x0+0)=+∞, f′(x0+0)=-
∞ белгілейді.
Ілгеріде, егер арнайы ескерту жасалмаса, “функцияның туындысы бар”
деген сөз тіркесі ол функцияның ақырлы туындысы бар болатынын білдіреді.
2.Функцияның дифференциалдануы және үзіліссіздігі.
Анықтама. у=f(x) функциясының х0 нүктесіндегі мәні ∆х өсімшесіне
сәйкес ∆у(x0) өсімшесі мына түрде
∆у(x0)=А∙∆x+0(∆x)
жазылатын болса, онда f(x) функциясы х0 нүктесінде дифференциалданады
дейді. Мұндағы А дегеніміз ∆х-ке тәуелсіз қандай да бір сан, ал 0(∆x) болса
∆x-тің функциясы және ол ∆х→0 жағдайда ∆-пен салыстырғанда жоғары ретті
ақырсыз кіші шама.
1-теорема. у=f(x) функциясының х0 нүктесінде дифференциалданатын
болуы үшін оның осы нүктеде f ′(х0) туындысы бар болуы қажетті және
жеткілікті.Дәлелдеуі.
Қажеттілік. у=f(x) функциясының х0 нүктесінде дифференциалданады,
яғни (10) шарт орындалады дейік. Осы теңдіктің екі жағын да ∆х-ке бөлейік,
сонда
∆у(x0) ∆x =А+0(∆x) ∆х
Енді теңдіктің екі жағынан ∆х→0 жағдайда шекке көшейік. Сонда
lim[o (∆х) ∆х]=0 болғандықтан, бұл теңдіктің оң жағы ∆х→0 жағдайда
ақырлы А санына ұмтылады. Ал ∆х→0 жағдайда теңдіктің сол жағының шегі f
′(х0) туындысына тең болады. Сонымен, у=f(x) функциясының f ′(х0) туындысы
бар және f ′(х0)=A болады.
Жеткіліктік. х0 нүктесінде у=f(x) функциясының туындысы бар болсын;
яғни
lim∆y(x0) ∆x= f ′(х0)
болсын. Осы формула бойынша мына айырым
∆у(x0) ∆x- f ′(х0) =α(∆x)
∆х→0 жағдайда ∆х аргументінің ақырсыз кіші функциясы болып табылады. Енді
бұл теңдіктің екі жағын да ∆х-ке көбейтіп, мынаны табамыз:
∆у( х0)= f ′(х0) ∆х+α(∆х) ∆х. Бұл теңдік А= f ′(х0) болғанда (10) шартпен
(өйткені α(∆х) ∆х=0(∆х)) дәл келеді. Сонымен, у=f(x) функциясының х0
нүктесінде дифференциалданатын болады және функцияның (10)-
дифференциалдану шартындағы А= f ′(х0) болады.
Дәлелденген теорема бойынша функцияның қандай болса да бір нүктеде
дифференциалданатын болуы оның сол нүктеде ақырлы туындысының бар болуымен
мәндес болып шығады. Сондықтан, функция туындысын табу амалын оны
дифференциалдау деп те атайды. Функцияның белгілі бір нүктеде
дифференциалдануы мен үзіліссіздігі туралы түсініктердың арасындағы
байланыс мынадай теорема түрінде тұжырымдалады.
2-теорема. Егер у=f(x) функциясының х0 нүктесінде
дифференциалданатын болса, онда ол сол нүктеде үзіліссіз болады.
Дәлелдеуі. у=f(x) функциясының х0 нүктесінде дифференциалданатын
болсын, яғни (10) шарт орындалады дейік. Сонда lim∆y(х0)=lim(A∙∆x+o(∆x))=0,
немесе lim∆y(х0)=0, яғни х0 нүктесінде у=f(x) функциясы үзіліссіз болады.
2-теоремаға кері тұжырым, жалпы алғанда, дұрыс бола бермейді.
Мысалы, f(x)=x функциясы сандық өстің әрбір нүктесінде, жеке
жағдайда, х0=0 нүктесінде бұл функцияның туындысы болмайтынына жоғарыда көз
жеткізген болатынбыз.
3. Функцияның дифференциалы және оның жуық есептеулерде қолданылуы.
... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz