Туындыны анықталуы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

ЖОСПАР

1. Туындыны анықталуы.

2. Функцияның дифференциалдануы және үзіліссіздігі.

3. Функцияның дифференциалы және оның жуық есептеулерде қолданылуы.

4. Арифметикалық амалдармен байланысты дифференциалдау ережелері.

5. Негізгі элементар функциялардың туындылары мен дифференциалдардың кестесі.

6. Қорытынды

Туынды және бір айнымалы функцияның дифференциалы.

Туынды және дифференциал

1. Туындыны анықтау.

y=f(x) функциясы(ақырлы не ақырсыз) (a, b) анықталған дейік. Осы интервалдан х ₀ +∆х нуктесі шықпайтын етіп, х ₀ аргументіне ∆х≠0 өсімшесін берейік. Сонда y=f(x) функциясының х ₀ нүктесіндегі сәйкес өсімшесі ∆у=∆f(х ₀ ) =f(х ₀ + ∆х) - f(х ₀ ) болады.

1-анықтама. y=f(x) функциясының х ₀ нүктесіндегі туындысы деп ∆х→0 жағдайдағы функция өсімшесінің сәйкес аргумент өсімшесіне қатынасының шегін айтады(егер бұл шек болса) . y=f(x) функциясының х ₀ нүктесіндегі туындысын f ′(х ₀ ) арқылы белгілейді. Сонда, анықтама бойынша

f ′(х ₀ ) = lim ∆у(х ₀ ) /∆x=lim[ f(х ₀ + ∆х) - f(х ₀ ) ] /∆x

Бұл жағдайда f ′(х ₀ ) бар болады деп айтады.

Егер y=f(x) функциясының (a, b) интервалының әрбір x нүктесінде туындысы бар болса, онда ол туынды x аргументінің функциясы болып табылады және оны f ′(х) немесе у′(х), ал тіпті у′( кейде у′ _х деп, яғни у(х) функциясының х аргументі бойынша алынған туындысы) арқылы да белгілейді.

Мысалдар.

Шынында да, егер у=C=const болса, онда ∆у=C-C=0. Олай болса, сандық өстің кез келген х нүктесі үшін ∆у/ ∆х=0, демек, туынды нөлге тең болады.

(x) =1 (тәуелсіз айнымалының туындысы нөлге тең) .

Шынында да, егер f(x) =х болса, онда сандық өстің кез келген х нүктесі үшін

∆у/∆x=[f(x+∆x) -f(x) ] / ∆x=[(x+∆x) -x] /∆x=∆x/∆x=1.

Демек, туынды кез келген х ϵ R нүктесінде 1-ге тең болады. Біржақты шектің анықтамасы бойынша біржақты туынды түсінігі енгізіледі.

2-анықтама. y=f(x) функциясының х ₀ нүктесіндегі біржақты туындысы деп ∆у(х ₀ ) / ∆х қатынасының ∆х→0 жағдайдағы біржақты шегін (егер ол шек бар болса) атайды.

f функциясының х ₀ нүктесіндегі солжақты (оңжақты) туындысын белгілеу үшін f’(х ₀ -0) (f’(х ₀ +0) ) символын пайдаланады. Онда анықтама бойынша

f’(х ₀ -0) =lim∆y(х ₀ ) /∆x=lim∆y(х ₀ ) /∆x, ∆x<0

f’(х ₀ +0) =lim∆y(х ₀ ) /∆x=lim∆y(х ₀ ) /∆x, ∆x>0

Мысал. Мына функцияның

-x, x<0

f(x) =x= 0, x=0 болғанда х ₀ =0 нүктесінде біржақты

х, x>0

туындылардың екеуі де бар:

f’(-0) =lim∆y(0) /∆x=lim∆y(-∆x) /∆x=-1; f’(-0) =lim∆x/∆x=1,

Теорема. у=f(x) функциясының х ₀ нүктесіндегі туындысы бар болуы үшін, ол нүктеде у=f(x) функциясының біржақты туындысы да бар болуы және олардың тең болуы қажетті және жеткілікті.

(символдар арқылы: Ǝ f ′(х ₀ ) ↔︎Ǝ f ′(х ₀ -0) = f ′(х ₀ +0) ) . Екіжақты және біржақты ақырсыз туындылар түсінігі де осылайша енгізіледі.

3-анықтама. у=f(x) функциясы үшін ∆х→0 жағдайда ∆у ( x ₀ ) / ∆х қатынасы тұрақты таңбалы ақырсыз үлкен шама болса, дәлірек айтқанда

lim∆y( x ₀ ) / ∆x=+∞, немесе lim∆y( x ₀ ) / ∆x=-∞

болса, онда сол функцияның х ₀ нүктесінде + ∞ -ке, немесе -∞-ке тең ақырсыз туындысы бар болады дейді. Ақырсыз туындысы былай белгілейді: f ′(х ₀ ) =+∞, немесе f ′(х ₀ ) =-∞,

4-анықтама. у=f(x) функциясы үшін ∆х→-0(∆х→+0) жағдайда ∆у(x ₀ ) /∆х қатынасы тұрақты таңбалы ақырсыз үлкен болса, дәлірек айтқанда

lim∆y( x ₀ ) / ∆x=+∞, немесе lim∆y( x ₀ ) / ∆x=-∞

болса, сол функцияның х ₀ нүктесінде +∞-ке, не -∞-ке тең солжақты(оңжақты) ақырсыз туындысы бар дейді. Солжақты(оңжақты) ақырсыз туындыны былай f′(x ₀ -0) =+∞ , не былай f′(x ₀ -0) =-∞, f′(x ₀ +0) =+∞, f′(x ₀ +0) =-∞ белгілейді.

Ілгеріде, егер арнайы ескерту жасалмаса, “функцияның туындысы бар” деген сөз тіркесі ол функцияның ақырлы туындысы бар болатынын білдіреді.

2. Функцияның дифференциалдануы және үзіліссіздігі.

Анықтама. у=f(x) функциясының х ₀ нүктесіндегі мәні ∆х өсімшесіне сәйкес ∆у(x ₀ ) өсімшесі мына түрде

∆у(x ₀ ) =А∙∆x+0(∆x)

жазылатын болса, онда f(x) функциясы х ₀ нүктесінде дифференциалданады дейді. Мұндағы А дегеніміз ∆х-ке тәуелсіз қандай да бір сан, ал 0(∆x) болса ∆x-тің функциясы және ол ∆х→0 жағдайда ∆-пен салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз кіші шама.

1-теорема. у=f(x) функциясының х ₀ нүктесінде дифференциалданатын болуы үшін оның осы нүктеде f ′(х ₀ ) туындысы бар болуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеуі.

Қажеттілік. у=f(x) функциясының х ₀ нүктесінде дифференциалданады, яғни (10) шарт орындалады дейік. Осы теңдіктің екі жағын да ∆х-ке бөлейік, сонда

∆у(x ₀ ) / ∆x =А+0(∆x) / ∆х

Енді теңдіктің екі жағынан ∆х→0 жағдайда шекке көшейік. Сонда

lim[o (∆х) / ∆х] =0 болғандықтан, бұл теңдіктің оң жағы ∆х→0 жағдайда ақырлы А санына ұмтылады. Ал ∆х→0 жағдайда теңдіктің сол жағының шегі f ′(х ₀ ) туындысына тең болады. Сонымен, у=f(x) функциясының f ′(х ₀ ) туындысы бар және f ′(х ₀ ) =A болады.

Жеткіліктік. х ₀ нүктесінде у=f(x) функциясының туындысы бар болсын; яғни

lim∆y( x ₀ ) / ∆x= f ′(х ₀ )

болсын. Осы формула бойынша мына айырым

∆у(x ₀ ) / ∆x- f ′(х ₀ ) =α(∆x)

∆х→0 жағдайда ∆х аргументінің ақырсыз кіші функциясы болып табылады. Енді бұл теңдіктің екі жағын да ∆х-ке көбейтіп, мынаны табамыз:

∆у( х ₀ ) = f ′(х ₀ ) ∆х+α(∆х) ∆х. Бұл теңдік А= f ′(х ₀ ) болғанда (10) шартпен (өйткені α(∆х) ∆х=0(∆х) ) дәл келеді. Сонымен, у=f(x) функциясының х ₀ нүктесінде дифференциалданатын болады және функцияның (10) - дифференциалдану шартындағы А= f ′(х ₀ ) болады.

Дәлелденген теорема бойынша функцияның қандай болса да бір нүктеде дифференциалданатын болуы оның сол нүктеде ақырлы туындысының бар болуымен мәндес болып шығады. Сондықтан, функция туындысын табу амалын оны дифференциалдау деп те атайды. Функцияның белгілі бір нүктеде дифференциалдануы мен үзіліссіздігі туралы түсініктердың арасындағы байланыс мынадай теорема түрінде тұжырымдалады.

2-теорема. Егер у=f(x) функциясының х ₀ нүктесінде дифференциалданатын болса, онда ол сол нүктеде үзіліссіз болады.

Дәлелдеуі. у=f(x) функциясының х ₀ нүктесінде дифференциалданатын болсын, яғни (10) шарт орындалады дейік. Сонда lim∆y(х ₀ ) =lim(A∙∆x+o(∆x) ) =0, немесе lim∆y(х ₀ ) =0, яғни х ₀ нүктесінде у=f(x) функциясы үзіліссіз болады.

2-теоремаға кері тұжырым, жалпы алғанда, дұрыс бола бермейді.

Мысалы, f(x) =x функциясы сандық өстің әрбір нүктесінде, жеке жағдайда, х ₀ =0 нүктесінде бұл функцияның туындысы болмайтынына жоғарыда көз жеткізген болатынбыз.

Функцияның дифференциалы және оның жуық есептеулерде қолданылуы.

у=f(x) функциясының х ₀ нүктесінде дифференциалданады, яғни (10) шарт орындалады дейік. 1-теорема бойынша А= f ′(х ₀ ) . Бұл шарттағы бірінші f ′(х ₀ ) ∆х қосылғышы ∆у(х ₀ ) -тің бас бөлігі болып табылады(өйткені ∆х-пен салыстырғанда о (х ₀ ) -жоғары ретті ақырсыз кіші шама. ) . Бұған қоса, f ′(х ₀ ) ∆х қосылғышы ∆х аргументінің сызықтық біртекті функциясы болады. Осы қосылғышты у=f(x) функциясының х ₀ нүктесінде дифференциалы деп атайды.

Анықтама. Аргумент өсімшесі ∆х-ке сәйкес у=f(x) функциясының х ₀ нүктесінде дифференциалы деп df(x ₀ ) немесе dу(x ₀ ) символдарымен белгіленетін f ′(х ₀ ) ∆х санын атайды. Сонда анықтама бойынша dу(x ₀ ) = f ′(х ₀ ) ∆х.

Егер у=f(x) функциясы (a, b) интервалының кез келген х нүктесінде дифференциалданатын болса, онда формула мына түрде жазылады: dу=f ′(х ₀ ) ∆х.

Тәуелсіз айнымалының дифференциалы деп у=x функциясының дифференциалын атайтын болып келісеміз. Сонда (11’) -теңдіктен dx=(x) ∆x=∆x ,

яғни тәуелсіз айнымалының дифференциалы оның өсімшесіне тең болады. Осы айтылғанды ескеріп, (11’) -теңдікті былай жазамыз:

dу= f ′(х) ∆х.

Бұнымыз х-тәуелсіз айнымалы болғандығы у=f(x) функциясының х нүктесінде дифференциалы үшін алынған формула болады. Дифференциалдың жуықтап есептеулерде қолданылуы осы пункттің басында келтірілген функция дифференциалдануының (10) -шартына жасалған ескертулерге негізделіп отыр, яғни ∆у(х ₀ ) = dу (х ₀ ) +о(∆х) немесе ∆у(х ₀ ) ≈dу (х ₀ )

(∆у- dу) /∆х қатынасы теңдіктің салыстырмалы қателігі деп аталады. ∆у(х ₀ ) -dу(х ₀ ) = о(∆х) айырымы ∆х→0 жағдайда ∆х-ке қарағанда жоғары ретті ақырсыз кіші шама болатындықтан, ∆х→0 жағдайда ол қателік нөлге ұмтылады.

Дифференциалданатын функция өсімшесін сол функцияның дифференциалымен(біршама қатемен болса да) ауыстыру тиімді екені былайша түсіндіріледі. Дифференциалданатын у=f(x) функциясының х ₀ нүктесіндегі өсімшесі ∆у(x ₀ ) =f(x ₀ +∆х) - f(x ₀ ) жалпы алғанда, ∆х аргументінің сызықтық функциясы болмайды(яғни сызықтық емес функция болады) . Ал, у=f(x) функциясының х ₀ нүктесіндегі дифференциалы ∆х аргументінің сызықтық функциясы болатыны себепті, түрі қарапайым, әрі есептеулерде аса қолайлы болады. Жоғарыдағы өрнектерді мына түрде көшіріп жазайық:

f(x ₀ +∆х) - f(x ₀ ) =f′(x ₀ ) ∆х+o(∆х)

f(x ₀ +∆х) - f(x ₀ ) ≈ f′(x ₀ ) ∆х

Бұл қатынастардан мынау шығады:

f(x ₀ +∆х) = f(x ₀ ) + f′(x ₀ ) ∆х+ o(∆х), f(x ₀ +∆х) ≈ f′(x ₀ ) ∆х.

Соңғы формула жуық есептеулерде қолданылады. Сонда жіберілетін қателік, алдыңғы теңдікті ескерсек, ∆х→0 жағдайда ∆х-пен салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз кіші шама болып табылады. Егер де x ₀ +∆х= х десек, онда ∆х= х- x ₀ болады да, теңдік мына түрде жазылады:

f(x) = f(x ₀ ) +f′(x ₀ ) (x-x ₀ ) +o(x-x ₀ ) .

Бұл теңдік x ₀ нүктесінің қандай да болса бір маңайында f(x) функциясының мәні o(x-x ₀ ) - ге дейінгі дәлдікпен (яғни х → х ₀ жағдайда ( х → х ₀ ) -мен салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз кіші шамаға дейінгі дәлдікпен) сызықтық функция f(x ₀ ) +f′(x ₀ ) (x-x ₀ ) =B+A(x-x ₀ ) мәніне тең болатынын көрсетеді.

Арифметикалық амалдармен байланысты дифференциалдау ережелері.

1-теорема. Егер u(x) және v(x) функцияларының әрқайсысы берілген х нүктесінде дифференциалданатын болса, онда ол функциялардың қосындысы (айырымы), көбейтіндісі және қатынасы ( v(x) ≠0 болғанда) сол нүктеде дифференциалданатын функция болады және мына формулалар орындалады:

[(u(x) ±v(x) ] ′=u′(x) ±v′(x), [(u(x) ∙v(x) ] =u′(x) ∙v(x) +u(x) ∙v′(x), [u(x) /v(x) ] =[u′(x) v(x) -u(x) v′(x) ] /v ² (x) .

Дәлелдеуі. Барлық үш формула бір типтес дәлелденеді. Сондықтан олардың тек біреуін, атап айтқанда, үшіншісін ғана дәлелдейік.

y(x) =u(x) /v(x) болсын. Теореманың шарты бойынша v(x) функциясы х нүктесінде дифференциалданады, сондықтан ол үзіліссіз болады. Ал v(x) ≠0 болғандықтан және үзіліссіз функция өз таңбасын сақтап қалатындығы туралы теорема бойынша мейлінше кіші ∆х үшін v(x+ ∆х ) ≠0 теңсіздігі орындалады. Бұдан мына түрлендірудің міндетті түрде орындалатындығы шығады:

∆у/∆ x=y(x+∆x) -y(x) / ∆x= [u(x+ ∆x) ∙v(x) - v(x+ ∆x) ∙u(x) ] /v(x) v(x+∆x) ∆x .

Сонымен, ∆y/∆x=[∆u/∆x∙v(x) -u(x) ∙ ∆v/∆x] /v(x) ∙v(x+∆x) .

Енді, ∆х→0 дейік, u және v функцияларының х нүктесінде дифференциал-данатыны(ендеше үзіліссіз болатыны) салдарынан мына шектер бар:

lim∆u/∆ x= u′(x), lim∆v/∆ x= v′(x), limv(x+∆ x) =v(lim(x+∆ x) ) =v(x)

Әрі қарай v(x) =0 шартын ескеріп, теңдіктің оң жағының шегі бар деген қорытындыға келеміз.

2-теорема. Егер u және v функциялары үшін 1-теореманың шарттары орындалса, онда мына формулалар орындалады:

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.