Нақты сандар
КІРІСПЕ
І.Тарау БАСТАУЫШ МЕКТЕП МАТЕМАТИКАСЫНДА НАҚТЫ САНДАРДЫ ОҚЫТУ
1.1. Оң рационал сандар
ІІ. БАСТАУЫШ МЕКТЕПТЕ ОНДЫҚ БӨЛШЕКТЕРДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ.
2.1 Ондық бөлшектердің анықтамасы.
2.3. Ондық бөлшектерді жай бөлшектерге түрлендіру.
2.4. Ондық бөлшектерді салыстыру.
2.5. Ондық бөлшектерге амалдар қолдануды деңгейлеп оқыту.
ҚОРЫТЫНДЫ
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
І.Тарау БАСТАУЫШ МЕКТЕП МАТЕМАТИКАСЫНДА НАҚТЫ САНДАРДЫ ОҚЫТУ
1.1. Оң рационал сандар
ІІ. БАСТАУЫШ МЕКТЕПТЕ ОНДЫҚ БӨЛШЕКТЕРДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ.
2.1 Ондық бөлшектердің анықтамасы.
2.3. Ондық бөлшектерді жай бөлшектерге түрлендіру.
2.4. Ондық бөлшектерді салыстыру.
2.5. Ондық бөлшектерге амалдар қолдануды деңгейлеп оқыту.
ҚОРЫТЫНДЫ
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
Математикада сан ұғымы фундаменталды ұғымдардың бірі. Адам сан ұғымының көмегімен нақты өмірдің сандық қатынасын таниды. Нақты сандар адамзаттың қажетінен пайда болған. Ең алғашқы сандар туралы оқулық әл-Хорезмидің "Арифметикасы"болды. Бұл кітап XII ғасырда латын тіліне аударылды, осының арқасында еуропалықтар ондық позициялық принціппен танысты. Осы уақыттан бастап, біртіндеп араб цифрларына және жаңа есептеу жүйелеріне өте бастады.
Сан ұғымы тас дәуірінде пайда болғанмен, математикалық теория ретінде тек ХІХ ғасырдың екінші жартсында қалыптасты.
Менің курстық жұмысым екі тараудан тұрады. Кіріспеде жұмыстың көкейкестілігін, мақсатын және міндеттерін келтірдім. Екінші тарауында рационал сан теориясының мазмұнын: рационал сан ұғымының шығу тарихы; рационал сан ұғымын жиындар теориясы тұрғысында беру; сандардың аксиомалары . Екінші тарауында бастауыш мектепте нақты сандарды ондық оқыту әдістемесі және ондық бөлшектерді деңгейлеп оқыту әдістемесін келтірдім, сандарды оқыту барысында мұғалімге қойылатын талаптарды құрдым.
Математиканы оқыту әдістемесінен, оның ішінде математика сабағында жаңа технологияларды қолдану туралы әдебиеттер жоқтың қасы. Сондықтан да курстық жұмысымның “Нақты сандар” тақырыбы көкейкесті деп ойлаймын.
Сан ұғымы тас дәуірінде пайда болғанмен, математикалық теория ретінде тек ХІХ ғасырдың екінші жартсында қалыптасты.
Менің курстық жұмысым екі тараудан тұрады. Кіріспеде жұмыстың көкейкестілігін, мақсатын және міндеттерін келтірдім. Екінші тарауында рационал сан теориясының мазмұнын: рационал сан ұғымының шығу тарихы; рационал сан ұғымын жиындар теориясы тұрғысында беру; сандардың аксиомалары . Екінші тарауында бастауыш мектепте нақты сандарды ондық оқыту әдістемесі және ондық бөлшектерді деңгейлеп оқыту әдістемесін келтірдім, сандарды оқыту барысында мұғалімге қойылатын талаптарды құрдым.
Математиканы оқыту әдістемесінен, оның ішінде математика сабағында жаңа технологияларды қолдану туралы әдебиеттер жоқтың қасы. Сондықтан да курстық жұмысымның “Нақты сандар” тақырыбы көкейкесті деп ойлаймын.
1. Алдамұратова Т.А. Математика 5.- Алматы: Атамұра, 2001.
2. Алдамұратова Т.А. Математика 6.- Алматы: Атамұра, 2001.
3. Бөленов А.,т.б. Алгебра 7.- Алматы: Рауан, 1993.
4. Виленкин Н.Я и др. «Математика в V классе в помощь учителю» под.ред А.И.Маркушевича.
5. Глейзер Г.И. История математики и средней школе. – Москва: Просвещение, 1970.
6. Жәутіқов О.А. Орыс математикасының атақты ғалымдары. Алматы: ҚМБ, 1956.
7. Жәутіқов О.А. Математиканың даму тарихи. – Алматы: Мектеп, 1965.
8. Искаков М.Ө. т.б. Математика және математиктер жайындағы әңгімелер. 3 – Алматы: Мектеп, 1971.
9. Қасқатаева Б.Р. Математика тарихы. Арқалық: АРПИ, 1999.
10. Колмогоров А.Н. , т.б. Алгебра және анализ бастамалары 10 – 11. –Алматы: Мектеп, 2001.
11. Ю. М. Колягин, и др.Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учебн. Пособие для студентов физ.-мат. Фак.пед ин-тов. М. , «Просвещение», 1977.
12. Көбесов А. Математика тарихы туралы әңгімелер. Журнал Білім және еңбек, 1965 – 1967.
13. Көбесов А. Математика тарихы. – Алматы: Қазақ Университеті, 1993. 5. Ю. Н. Макарычев, и др.Алгебра – 8. – Алматы: Просвещение – Қазақстан, 2003. – 200 бет.
14. Макырычев Ю. Н. , т.б. Алгебра 9- Алматы: Рауан, 1995.
15. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе.- Москва: Учпедгиз, 1958.
2. Алдамұратова Т.А. Математика 6.- Алматы: Атамұра, 2001.
3. Бөленов А.,т.б. Алгебра 7.- Алматы: Рауан, 1993.
4. Виленкин Н.Я и др. «Математика в V классе в помощь учителю» под.ред А.И.Маркушевича.
5. Глейзер Г.И. История математики и средней школе. – Москва: Просвещение, 1970.
6. Жәутіқов О.А. Орыс математикасының атақты ғалымдары. Алматы: ҚМБ, 1956.
7. Жәутіқов О.А. Математиканың даму тарихи. – Алматы: Мектеп, 1965.
8. Искаков М.Ө. т.б. Математика және математиктер жайындағы әңгімелер. 3 – Алматы: Мектеп, 1971.
9. Қасқатаева Б.Р. Математика тарихы. Арқалық: АРПИ, 1999.
10. Колмогоров А.Н. , т.б. Алгебра және анализ бастамалары 10 – 11. –Алматы: Мектеп, 2001.
11. Ю. М. Колягин, и др.Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учебн. Пособие для студентов физ.-мат. Фак.пед ин-тов. М. , «Просвещение», 1977.
12. Көбесов А. Математика тарихы туралы әңгімелер. Журнал Білім және еңбек, 1965 – 1967.
13. Көбесов А. Математика тарихы. – Алматы: Қазақ Университеті, 1993. 5. Ю. Н. Макарычев, и др.Алгебра – 8. – Алматы: Просвещение – Қазақстан, 2003. – 200 бет.
14. Макырычев Ю. Н. , т.б. Алгебра 9- Алматы: Рауан, 1995.
15. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе.- Москва: Учпедгиз, 1958.
ЖОСПАР
КІРІСПЕ
І.Тарау БАСТАУЫШ МЕКТЕП МАТЕМАТИКАСЫНДА НАҚТЫ САНДАРДЫ ОҚЫТУ
1.1. Оң рационал сандар
ІІ. БАСТАУЫШ МЕКТЕПТЕ ОНДЫҚ БӨЛШЕКТЕРДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ.
2.1 Ондық бөлшектердің анықтамасы.
2.3. Ондық бөлшектерді жай бөлшектерге түрлендіру.
2.4. Ондық бөлшектерді салыстыру.
2.5. Ондық бөлшектерге амалдар қолдануды деңгейлеп оқыту.
ҚОРЫТЫНДЫ
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
Кіріспе
Зерттеудің көкейкестігі.
Математикада сан ұғымы фундаменталды ұғымдардың бірі. Адам сан
ұғымының көмегімен нақты өмірдің сандық қатынасын таниды. Нақты сандар
адамзаттың қажетінен пайда болған. Ең алғашқы сандар туралы оқулық әл-
Хорезмидің "Арифметикасы"болды. Бұл кітап XII ғасырда латын тіліне
аударылды, осының арқасында еуропалықтар ондық позициялық принціппен
танысты. Осы уақыттан бастап, біртіндеп араб цифрларына және жаңа
есептеу жүйелеріне өте бастады.
Сан ұғымы тас дәуірінде пайда болғанмен, математикалық теория
ретінде тек ХІХ ғасырдың екінші жартсында қалыптасты.
Менің курстық жұмысым екі тараудан тұрады. Кіріспеде жұмыстың
көкейкестілігін, мақсатын және міндеттерін келтірдім. Екінші тарауында
рационал сан теориясының мазмұнын: рационал сан ұғымының шығу тарихы;
рационал сан ұғымын жиындар теориясы тұрғысында беру; сандардың
аксиомалары . Екінші тарауында бастауыш мектепте нақты сандарды ондық
оқыту әдістемесі және ондық бөлшектерді деңгейлеп оқыту әдістемесін
келтірдім, сандарды оқыту барысында мұғалімге қойылатын талаптарды
құрдым.
Математиканы оқыту әдістемесінен, оның ішінде математика сабағында жаңа
технологияларды қолдану туралы әдебиеттер жоқтың қасы. Сондықтан да
курстық жұмысымның “Нақты сандар” тақырыбы көкейкесті деп ойлаймын.
І ТАРАУ. МЕКТЕП МАТЕМАТИКА НАҚТЫ САНДАРДЫ ОҚЫТУ
Мектеп математика курсында рационал сандарды оқыту әдітемесі.
Оң және теріс сандар. Бағдарлама бойынша І - VI сыныптын
математика курсында негізгі тақырып – сандар. Сондықтан мұғалімнің
негізгі мақсаты окушылар сан ұғымын жақсы түсініп олармен қателіксіз
амалдар орындай біліп , ауызша және жазбаша есептеу жұыстарын ұтымды
түрде орындауға үйрету керек. Оқушылар V сыныпқа келгенде натурал
сандарды, нольді, жай және оңдық бөлшектермен арифметикалық амалдарды
орындайды және салыстыруды біледі.
Оң және теріс сандар тарауы бағдарлама бойынша төмендегідей
ретпен оқытылады:
1 Бағыт және сандар. Бұрыннан белгілі сандар түзудегі нүктелерді
толық қамтамасыз ете алмайтындығы анықталады. Координаттық түзу
енгізіледі. Ноль нүктесінін оң және сол жағындағы нүктелерді белгілеу
үшін оң және теріс сандар енгізіледі. Кейін, сандық түзудін бойындағы
нүктелердің координаталарының ұғымы, қарама-қарсы сандар, санның
модулі және координаттық жазықтық енгізіледі. Оң және теріс сандар
жиынында салыстыру амалы қарастырылады.
2. Қосу және азайту. Екі қарама-қарсы бағытта өзгере алатын шамалар
қарастырылады. Әрбір осындай шаманың мәнінің өсуін оң санмен, кемуін
теріс санмен сипаттауға келісеміз. Тіркес тұрған a шамасының b-ға
өсуінің сипаттамасы ретінде кез келген a және b сандарының косындысының
ұғымын енгіземіз. Осыдан индуктивті түрде сандарды косудың сәйкес
ережелері шығады. Қосудың ауыстырымдылық және терімділіқ зандарының
орындалатыны тәжирібе арқылы тексеріледі. Теріс сандарды азайтудың
мағынасы бұрыннан белгілі оң сандарды азайтудың мағынасындай. Осыдан
индуктивті жолмен теріс санды қосу арқылы азайту ережесі шығады.
Көбейту және бөлу амалдары бұрынғыдай орындалады, тек таңбасына
мән беру керек. Көбейткіштің біреуінің таңбасы өзгергенде көбейтіндінің
де таңбасы өзгереді, ал модулі сол қалпында қалады.
Рационал сандар тақырыбында бөлшектер, олардың қасиеттері,
бөлшектерғе амалдар, пропорция ұғымы, бөлінгіштік теориясының
элементтері және алгебра мен геометрияның кейбір сұрақтары
қарастырылады.
Бөлшектер тақырыбын оқыту әдістемесіне толығырақ тоқталайық.
Бұл тақырыпты көрнекі-белсенділікпен деңгейлеп оқытамыз. Циркульдің
инесін қандай да бір О нүктесіне шаншып тұрып, қарындашы бар сирағымен
осы О нүктесін айналдыра сызық сызамыз. Сонда қарындаш О нүктесінен
бірдей қашықтықтағы нүктеден құралған шеңбер деп аталатын тұйық сызық
сызады (1-сурет). О нүктесі шеңбердің центрі деп аталады.
1-сурет.
Әртүрлі шамаларды (ұзындықты, массаны, уақытты) өлшеу үшін натурал
сандардан басқа бөлшек сандар деп аталатын жаңа сабақ енгізілген. 2-
суретте дөңгелек (тұтас бір дене) тең төрт бөлікке бөленген. Мұндай тең
бөліктер үлестер деп аталады. 2-суреттегі әрбір үлес-дөңгелекті өзара
тең 4 бөлікке бөлгендегі 1 бөлігі, жазылуы дөңгелектің -і; оқылуы:
“төрттен бір”.
Демек, 1: 4 деген ; 1:4= , мұндағы сызықша – бөлшек
сызығы.
¼
¼
¼
½ ¾
2-сурет.
Алдымен бөлшек сызығының астындағы сан шығыс септігінде оқылады,
сонан соң бөлшек сызығының үстіндегі сан атау септігінде оқылады. Егер
осындай үлестің ( -дің) екеуін алсақ, онда ол түрінде
жазылады. Оқылуы “төрттен екі”. Егер осындай үлестің үшеуін алсақ, онда
ол түрінде жазылады. Оқылуы “төрттен үш”. Мұндағы, ;
; - жай бөлшектер. Жай бөлшектердің жалпы түрде әріппен
жазылуы:. Мұндағы: а-жай бөлшектің алымы, в- жай бөлшектің бөлімі.
Бөлшек сызығының астындағы сан неше үлеске бөлінгенін көрсетеді,
сондықтан оны бөлшектің бөлімі деп атайды. Бөлшек сызығының үстіндегі
сан неше үлестің алынғанын көрсетеді, оны бөлшектің алымы деп атайды.
Кез келген натурал сан жай бөлшектің бөлімі, ал 0 саны және кез келген
натурал сан алымы бола алады.
Есеп. Егер екі алманы үш балаға тең бөліп берсек, олардың әрқайсысы
неше бөліктен алма алады.
Шешуі: Алманың әрқайсысын үш тең бөлікке бөлеміз. Әрбір бөлік алманың
13 –і болады. Бір балаға осындай 2 бөліктен беріледі. Балалардың
әрқайсысы алманың 23
бөлігін алады. Жауабы: 23 бөліктен.
Алымы 1 саны, бөлімі кез келген натурал сан болатын бөлшектерді
бірлік бөлшектер дейміз. Мысалы: ; ; .
Жай бөлшектің негізгі қасиеті. Жай бөлшекті қысқарту.
Дөңгелекті өзара тең төрт бөлікке бөліп, оның үш бөлігін бояйық (3-
сурет). Сонда дөңгелектің -і боялады.
3-сурет.
Әрбір бөлікті тағы да өзара тең 2 бөлікке бөлсек,онда дөңгелектің
-сы боялады.
Демек, = ; =.
Осыдан шығатын қорытынды:
Жай бөлшектің алымын да, бөлімін де бірдей натурал санға көбейткеннен
немесе бөлгеннен жай бөлшек өзгермейді.
Бұл бөлшектің негізгі қасиеті.
= =.
Бөлшектің алымын да,бөлімін де олардың 1 ден өзге бөлгішіне
бөлуді бөлшекті қысқарту деп атайды.Бөлшекті қысқарту тәсілдеріне
тоқталсам.1тәсіл. Бөлшектің алымын да,бөлімін де олардың ең үлкен ортақ
бөлгішіне бөлу арқылы қысқарту.
Мысалы: ЕҮОБ (42,63)=21, онда =
2 тәсіл. Бөлшектің алымы мен бөлімін көбейткіштерге жіктеп,ортақ
бөлгішті таңдап ала отырып қысқарту.Мысалы: =
Бөлшектер алымы мен бөлімі өзара жай сандар болғанша қысқартылады.Алымы
мен бөлімі өзара жай сандар болатын бөлшектер қысқартылмайтын бөлшектер
деп аталады.
Мысалы: ;
Дұрыс бөлшектер және бұрыс бөлшектер, аралас сан.
Жай бөлшектің алымы бөлімінен кіші болуы мүмкін,оған тең болуы
немесе бөлімінен үлкен болуы мүмкін.
Егер бөлшектің алымы бөлімінен кіші болса,онда ол бөлшек дұрыс
бөлшек деп аталады.
Мысалы: , дұрыс бөлшектер. 23, 49 сондықтан дұрыс бөлшек 1-
ден кіші.
Егер бөлшектің алымы бөліміне тең немесе одан үлкен болса,онда
бөлшек бұрыс бөлшек деп аталады.
Мысалы: 5=5, 109, 6=6.
Бүтін бөліктен және бөлшек бөліктен тұратын сан аралас сан деп
аталады.Мысалы: 2+.
Бұрыс бөлшекті аралас санмен жазу төмендегі деңгейлерден тұрады:
1.Бөлшектің алымын бөліміне бөлу керек. =7:5=1 (қалд.2)
2.Толымсыз бөлінді аралас санның бүтін бөлігі болады.
3.Қалдық ( егер ол бар болса) бөлшек бөліктің алымы,ал бөлгіш бөлімі
болады.
Аралас санды бұрыс бөлшек түрінде жазу үшін:
1.Аралас санның бүтін бөлігінің бөліміне көбейту керек.
2.Шыққан көбейтіндіге бөлшек бөлігінің алымын қосып,алым ету керек.
3.Бөлшектің бөлімін өзгертпей,бөлім етіп қалдыру керек.
Ал енді жай бөлшектерге қолданылатын амалдарға келсем,жай
бөлшектерді қосуға,алуға,көбейту және бөлуге болады.
Жай бөлшектерді қосу. Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосуды қарастырайық
Мысалы: қосындысын табайық.
4-сурет.
4-суреттен екенін көруге болады.
Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосқанда олардың алымдарын қосып, алым
етіп, ал сол бөлімнің өзін қалдыру керек. Бөлімдері бірдей бөлшектерді
қосу ережесі әріп түрінде: .
Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді қосу үшін:
1. Бөлшектерді ең кіші ортақ белімге келтіру керек.
2. Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу ережесі бойынша қосу амалын орындау
керек.
Бекіту. Есептер шығару.
1. Есептеңіз:
2. Салыстырыңдар:
және ; және ; және ;
және .
Жай бөлшектерді азайту.
Бөлімдері бірдей жай бөлшектерді азайтуды қарастырсақ.
1. Мысал: - айырмасын табайық.
а) ә)
5-сурет.
5-суреттен - = екенін көріге болады. Бұл
бөлімдері бірдей бөлшектерді азайту ережесі, ал бөлімдері әртүрлі
бөлшектерді азайту үшін:
1. Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек.
2. Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайту ережесі бойынша азайту амалын
орындау керек.
Жай бөлшектерді көбейткенде бірінші бөлшектің бөлімін екінші
бөлшектің бөліміне, ал бірінші бөлшектің алымын екінші бөлшектің алымына
көбейтеміз.
Мысалы: *
Бір бөлшекті екі бөлшектің көбейтіндісіне көбейту үшін, ол бөлшекті
әуелі бірінші бөлшекке көбейтіп, одан шыққан көбейтінді бөлшекті келесі
көбейткіш бөлшекке көбейтуге болады.
Жай бөлшекті жай бөлшекке бөлуге келсек, жай бөлшекті жай
бөлшекке бөлу натурал сандарды бөлуге ұқсас, көбейтінді мен
көбейткіштердің біреуі бойынша екінші көбейткішті табатын амал. Бөлу –
көбейтуге кері амал. Мысалы. жай бөлшегін жай бөлшегіне
бөлуді қарастырайық. := Х, Х-бөлінді. - бөлгіш бөлшекті
Х-бөліндіге көбейткенде - бөлінгіш бөлшек шығуы керек. * Х=
.
Х-ті табу үшін теңдіктің екі бөлігін де -ке кері санға, яғни -
ке көбейтеміз. Сонда
( * Х) =*; көбейтудің терімділік қасиетін пайдалансақ,
( * )*Х=* немесе Х=*= , Х=;
Теңдіктің дұрыстығын тексерейік: .
Сонымен, : бөліндісін табу үшін * көбейтіндісін табу
керек, яғни бөлінгіш бөлшекті бөлгіш бөлшекке кері санға көбейтеміз.
Мысалы: :=*=
Жай бөлшекті жай бөлшекке бөлу үшін бөлінгіш бөлшекті бөлгіш
бөлшекке кері санға көбейту керек. Әріп түрінде жазсақ, мұндағы, а-
натурал сан немесе нөл,в,с,d-натурал сандар.
Бөлінгіш немесе бөлгіш аралас сан болған жағдайда аралас санды бұрыс
бөлшекке айналдырып,содан кейін ғана бөлуді орындау керек.
Мысалы,
Ойын есебі, деңгейлік кестелер арқылы бөлшекке амалдарды
орындауды бекітуге болады.
Көрнекі құралдар: түрлі түсті кеспелер,әр түрлі сызба-
нұсқалар,кестелер.
Пән аралық байланыс: қазақ тілі,әдебиет,сурет,тарих.
1.1.Оң рационал сандар
1. Бөлшек ұғымы.
Жаратылыста кез келген тең бөліктерге бөлуге болатан шамалар
боладын (мысалы, ұзындық, масса, уақыт т.с.с.).
Бұл шамаларды өлшеу міндеті тек бір ғана натурал сандардың жәрдемімен әр
уақытта орындала бермейді.
Анығында, егер бір А шаманың ішінде онымен өлшемдес В өлшеу бірлігі
бүтін сан рет болғанда ғана А шаманы В бірлікпен өлшеудің нәтижесі
натурал санмен өрнектелетіндігі өзінен-өзі түсінікті. Бұлай болмағанда
өлшеудің нәтижесін ешбір натурал санмен өрнектеуге болмайды. Мұндай
жағдайда өлшеуді орындау үшін, В өлшеу бірлігін бір бөлігі А шаманың
ішінде белгілі бір бүтін сан рет, мысалы т рет, боларлықтай етіп тең п
бөлікке бөледі (ұсақтайды). т натурал сан А шаманың ішінде В өлшеу
бірлігінің өзі емес, оның А мен В шамалардың ортақ өлшеуіші және сонымен
қатар, өлшеудің жаңа бірлігі болып табылатын онын п -нен бір бөлігі неше
рет болатындығын көрсететіндігі анық.
А шаманы В өлшеу бірлігінің өзімен өлшегенде шығатын нәтижені өрнектеу
үшін символымен белгіленетін және бөлшек сан немесе бөлшек деп
аталатын жаңа сан енгізу қажет болады.
Бұл сан А шаманың ішінде В өлшеу бірлігінің л-нен бір бөлігі т рет бар
екендігін, яғни А шама В өлшеу бірлігінің т рет алынған я-нен бір
бөлігіне тең екендігін көрсетеді.
т санын бөлшектің алымы, ал п санын бөлшектің бөлімі деп атайтын
боламыз. Бөлшектің бөлімі біздің кабылдап алған В өлшеу бірлігіміз неше
тең бөлікке бөлінгендігін, яғни бұл бірліктің қандай бөлігі өлшеудің
жаңа бірлігі болатындығын, ал алымы бұл жаңа бірлік А шаманың ішінде
неше рет бар екенін көрсетеді.
Егер біз бір шаманы, мысалы сынып тақтасының ұзындығын, өлшемек болсақ,
онда біз оны өлшеу бірлігі етіп алынған, бір тектес баска бір шамамен,
мысалы, метрдің ұзындығымен салыстыруымыз керек. Сынып тақтасының бойьша
метр бір рет салынып, тағы метрден аз қалдық шыққан болсын дейік. Бұл
жағдайда метрді бірнеше тең бөліктерге бөлеміз де, сынып тақтасы
ұзындығының қалған бөлігін метрдің осы бөліктерімен өлшейміз. Метрді 10
тең бөлікке бөліп, қалдықты метрдің ондық бөліктерімен өлшейміз де,
қалдықта метрдің оннан 7 бөлігі бар екенін табамыз. Олай болса, тақтаның
ұзындығы 1 бүтін метрге және метрдің оннан 7 бөлігіне тең екен. Бұл
жағдайда өлшеудің нәтижесінде бөлшек сан шықты. Егер өлшеу нәтижесінде
шыққан бөлшек санның атына, өлшеу бірлігінің атын қосып жазсақ, онда
атаулы бөлшек сан шығады.
Өлшеу бірлігінің тең бөліктерінің біреуін бірліктің үлесі деп атауға
келісілген. Мысалы, егер біз өлшеу бірлігін тең он бөлікке бөлсек, онда
мұның оннан бір бөлігі бірліктің оннан бір үлесі деп аталады.
Бұдан былайғы жердің барлығында да, жоғарыда айтылғандай, үлес деген
сөзді бірліктін тең бөліктерінің бір бөлігі деген сөз деп, ал бөлік
деген сөзді бүтін еместер туралы айтылған сөз деп түсінетін боламыз.
Олай болса бөлік бірнеше үлестерден құралуы мүмкін; мысалы,
бірліктің 7 ондық үлестерінен құралған бөлік. Мұнда бірлік 10 тең
бөлікке бөлініп, өлшеніп отырған шамаға сол бөліктердің жетеуі енген
деп, туралы айтқанда "бірлік 10 бөлікке бөлінген" деген сөйлемдегі
бөлікке деген сөзге міндетті түрде тең деген сөзді қосып айту керек.
Бұл айтылғаннан бөлшек сан немесе бөлшек деп бірліктің бір үлесін немесе
бірнеше үлесінің жиынын айтады деуге болады.
Сонымен, бөлшек сандар олшеудің нәтижесі ретінде шығуы мүмкін екен.
Бірақ бөлудің нәтижесінде де бөлшек сан шығуы мүмкін.
Натурал сандарды бөлуді қарастырғанымызда, тек бүтін сандарды
пайдаланып, біз көп жағдайларда а санын b санына бөлгенде шығатын
бөліндіні таба алмайтындығымызды анықтаған едік, ал анығьшда мұндай
бөлуді аяқтатып орындаудың қажеттігі өте жиі кездеседі.
Мысалы. 25 санын 7 есе кеміту, яғни 25 санының орнына оның жетіден бір
бөлігін алу керек болсын. Мұндай мысал бөлумен шығарылатындығын білеміз;
бірақ тек натурал сандарды пайдаланып 25 санын 7 санына бөле алмаймыз.
25 санының жетіден бір бөліғін табу үшін, 25-ті 21 мен 4-тің қосындысы
деп ойлап, осы сандардың жетіден бір бөлгілін табамыз. 21-дің жетіден
бір бөлігі 3-ке тең, ал 4 бірліктің жетіден бір бөлігін табу үшін, әр
бірліктің жетіден бір үлесін алу керек. Демек, 25 санының жетіден бір
бөлігі болады.
Бірақ 25 санының жетіден бір бөлігін былай табуға да болады: бір
бірліктің жетіден бір бөлігі ; екінші бірліктің де жетіден бір
бөлігі ; сонымен, егер 25 бірліктің әр бірлігінің жетіден бір
бөлігін осылайша алсақ онда шығады.
Осы қарастырылған мысалда біз 25 саньш тең 7 бөлікке бөлдік те, 25
санының жетіден бір бөлігі неге тең екенін таптық.
Сонда 25:7=. Сонымен, бүтін санды бірнеше тең
бөліктерге бөлу ушін бұл санды бөлшектің алымы етіп алып, ал бөліміне
осы сан неше тең бөлікке бөлінетінін көрсететін екінші санды жазса
болғаны.
Олай болса, бөлшек санды, қалдықсыз бөлуге болмайтын жағдайдағы екі
натурал санды біріне-бірін (алымын бөліміне) бөлгенде шығатын бөлінді
деп қарауға болады екен.
Бұл тұрғыдан алғанда бөлшектердің қайсысын болса да оны тек бірліктің
бірнеше тең үлестерінің жинағы ретінде ғана қарастырмай, бірнеше
бүтіннің бір үлесі ретінде де карастыруға болады. Мысалы, бөлшегі
бір бүтіннің үштен 2 үлесі болып қоймай, екінің үштен бір үлесі де бола
алады.
Бөлшектің алымы да, бөлімі де кез келген натурал сандармен өрнектеле
алады.
Бөлшектің алымы ноль де бола алатынын ескерте кетейік. Ал, бөлімі нольге
тең бола алмайды.
Сонымен, шамаларды өлшеу үшін және сандарды бөлу үшін жалғыз ғана
натурал сандар жеткіліксіз болатын жағдайда, бүл операцияның орындалуын
қамтамасыз ету мақсатымен, біз бөлшек сандарды енгізу арқылы сандар
аймағын кеңейту қажет екендігіне тап болдық.
Бөлшектердің теңдігі және негізгі қасиеттері.
Өзара тең бір үш шаманы, мысалы А1, А2 және А3 үш ұзындықты алайық
та, оларды өлшеудің бір ғана бірлігімен -метрмен өлшейік.
Бұл шамалар метрден қысқа деп санайық. Онда бұл шамаларды өлшеу үшін
метрдің өлшенетін ұзындықтың ішінде бүтін сан рет болатын қандай да
болса, бір үлесін алуымыз керек болады. А1 үзындықты өлшеу үшін метрдің
төрттен бір бөлігін алып, А1 ұзындық - метрге тең екенін анықтадық
дейік. Енді әрбір ширек метрді тең 5 бөлікке бөлеміз. Сонда метрдің одан
да ұсақ үлесі шығады; мұндай үлестер метрде бесеу болады, демек бір
бүтінде, яғни 1 метрде олардың саны 5 ·4 = 20 болады; олай болса, бұл -
метрдің жиырмадан бір үлесі болады; метрде жиырмадан бір
(жиырмалық) үлестер 5 ·3 = 15 болады.
Ұзындық А2 = А1, демек, А2 ұзындық та метрге тең, бірақ егер біз
бұл ұзындықты ширек метрмен емес, оның жиырмалық үлесімен өлшейтін
болсақ, онда А2 ұзындық метрге тең екенін анықтаған болар едік. А1
мен А2 тең ұзындықтар бір ғана өлшеу бірлігімен (метрмен)
өлшенгендіктен, біз - метр метрге немесе бөлшегі
бөлшегіне тен деп айта аламыз.
Әрбір ширек метрді тең 25 бөлікке бөлсек, метрдің неғұрлым ұсақ үлестері
шығады. метрде мұндай үлестердің саны 25 болады, демек, 1 метрде,
яғни бір бүтінде, олардың саны 25 ·4 = 100 болады; демек, олар метрдің
жүздік үлестері; метрде жүздік үлестер 25 · 3 = 75 болады.
Ұзындык А3 = А1= метр болсын. Егер біз А3 ұзындықты ширек метрмен
(метрдін төрттен бір үлесімен) емес, оның жүздік үлесімен өлшейтін
болсақ, онда біз А3 ұзындық метрге тең екенін тапқан болар едік.
Бұдан метр метрге немесе бөлшегі бөлшегіне тең
деген қорытынды шығарамыз.
пен бөлшектерінің де өзара тең екеніне осылайша көз
жеткізуге болады.
Сонымен, бір ғана бірлікпен өлшенген екі шама өз ара тең болса, онда ол
шамаларды өрнектейтін бөлшек сандар да өзара тең болады.
Өзара тең пен , пен , пен
бөлшектерін қос-қостан алып қарастырсақ, тең бөлшектердің әр қосының
қасиеттері бірдей болатындығын, атап айтқанда: бірінші бөлшектің алымы
мен екінші бөлшектің бөлімінің көбейтіндісі екінші бөлшектің алымы мен
бірінші бөлшектің бөлімінің кобейтіндісінс тең болатындығын көреміз.
Аыығында 3·20 = 15·4; 3·100=75· 4; 15 · 100=75 · 20. Өзара тең
бөлшектердің барлығында да осындай қасиет болады, сондықтан да бұл
қасиет бөлшектердің теңдігінің анықтамасы ретінде алынады, атап
айтқанда, бұл анықтама былай айтылады: егер бірінші бөлшектің алымы мен
екінші бөлшектің бөлімінің көбейтіндісі, екінші бөлшектің алымы мен
бірінші бөлшектің бөлімінің көбейтіндісіне тең болса, онда мүндай екі
бөлшек өзара тең деп есептеледі.
Мысалы, егер болса, онда бөлшегі бөлшегіне тең болады.
1-салдар. Бүтін сандардың теңдігі сияқты бөлшек сандардың теңдіктерінің
мынадай негізі қасиеттері бар:
а) рефлексивтік,
б) симметриялық.
в) транзитивтік,
2-салдар. Бөлшектің алымын да, бөлімін де нольге тең емес бірдей
санға көбейтуден немесе бөлуден бөлшектің шамасы өзгермейді.
бөлшегі берілсе,
1) 2)
1-мысал.
немесе
Бөлшектердің теңдігін анықтама бойынша тексереміз: 3 ·40 =8·15;
120 = 120. Бөлшектер тең екен.
2-мысал.
немесе
Бөлшектердің тең екендігін анықтама бойынша тексерейік: 20 ·3 = 30· 2;
60 = 60. Бөлшектер тең екен.
Олай болса, бөлшектің алымын да, бөлімін де бірдей санға көбейтуден
немесе бөлуден бөлшектің шамасы өзгермейді.
Бөлшектің қарастырылып өткен бұл қасиетінің бөлшектерді түрлендіруде
үлкен маңызы бар, сондықтан ол - бөлшектің негізгі немесе басты қасиеті
деп аталады.
Бөлшектерді қысқарту және бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру осы қасиетке
негізделген.
Бөлшектерді қысқарту және оларды ең кіші ортақ бөлімге
келтіру.
1-анықтама. Бөлшектің алымы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ
І.Тарау БАСТАУЫШ МЕКТЕП МАТЕМАТИКАСЫНДА НАҚТЫ САНДАРДЫ ОҚЫТУ
1.1. Оң рационал сандар
ІІ. БАСТАУЫШ МЕКТЕПТЕ ОНДЫҚ БӨЛШЕКТЕРДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ.
2.1 Ондық бөлшектердің анықтамасы.
2.3. Ондық бөлшектерді жай бөлшектерге түрлендіру.
2.4. Ондық бөлшектерді салыстыру.
2.5. Ондық бөлшектерге амалдар қолдануды деңгейлеп оқыту.
ҚОРЫТЫНДЫ
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
Кіріспе
Зерттеудің көкейкестігі.
Математикада сан ұғымы фундаменталды ұғымдардың бірі. Адам сан
ұғымының көмегімен нақты өмірдің сандық қатынасын таниды. Нақты сандар
адамзаттың қажетінен пайда болған. Ең алғашқы сандар туралы оқулық әл-
Хорезмидің "Арифметикасы"болды. Бұл кітап XII ғасырда латын тіліне
аударылды, осының арқасында еуропалықтар ондық позициялық принціппен
танысты. Осы уақыттан бастап, біртіндеп араб цифрларына және жаңа
есептеу жүйелеріне өте бастады.
Сан ұғымы тас дәуірінде пайда болғанмен, математикалық теория
ретінде тек ХІХ ғасырдың екінші жартсында қалыптасты.
Менің курстық жұмысым екі тараудан тұрады. Кіріспеде жұмыстың
көкейкестілігін, мақсатын және міндеттерін келтірдім. Екінші тарауында
рационал сан теориясының мазмұнын: рационал сан ұғымының шығу тарихы;
рационал сан ұғымын жиындар теориясы тұрғысында беру; сандардың
аксиомалары . Екінші тарауында бастауыш мектепте нақты сандарды ондық
оқыту әдістемесі және ондық бөлшектерді деңгейлеп оқыту әдістемесін
келтірдім, сандарды оқыту барысында мұғалімге қойылатын талаптарды
құрдым.
Математиканы оқыту әдістемесінен, оның ішінде математика сабағында жаңа
технологияларды қолдану туралы әдебиеттер жоқтың қасы. Сондықтан да
курстық жұмысымның “Нақты сандар” тақырыбы көкейкесті деп ойлаймын.
І ТАРАУ. МЕКТЕП МАТЕМАТИКА НАҚТЫ САНДАРДЫ ОҚЫТУ
Мектеп математика курсында рационал сандарды оқыту әдітемесі.
Оң және теріс сандар. Бағдарлама бойынша І - VI сыныптын
математика курсында негізгі тақырып – сандар. Сондықтан мұғалімнің
негізгі мақсаты окушылар сан ұғымын жақсы түсініп олармен қателіксіз
амалдар орындай біліп , ауызша және жазбаша есептеу жұыстарын ұтымды
түрде орындауға үйрету керек. Оқушылар V сыныпқа келгенде натурал
сандарды, нольді, жай және оңдық бөлшектермен арифметикалық амалдарды
орындайды және салыстыруды біледі.
Оң және теріс сандар тарауы бағдарлама бойынша төмендегідей
ретпен оқытылады:
1 Бағыт және сандар. Бұрыннан белгілі сандар түзудегі нүктелерді
толық қамтамасыз ете алмайтындығы анықталады. Координаттық түзу
енгізіледі. Ноль нүктесінін оң және сол жағындағы нүктелерді белгілеу
үшін оң және теріс сандар енгізіледі. Кейін, сандық түзудін бойындағы
нүктелердің координаталарының ұғымы, қарама-қарсы сандар, санның
модулі және координаттық жазықтық енгізіледі. Оң және теріс сандар
жиынында салыстыру амалы қарастырылады.
2. Қосу және азайту. Екі қарама-қарсы бағытта өзгере алатын шамалар
қарастырылады. Әрбір осындай шаманың мәнінің өсуін оң санмен, кемуін
теріс санмен сипаттауға келісеміз. Тіркес тұрған a шамасының b-ға
өсуінің сипаттамасы ретінде кез келген a және b сандарының косындысының
ұғымын енгіземіз. Осыдан индуктивті түрде сандарды косудың сәйкес
ережелері шығады. Қосудың ауыстырымдылық және терімділіқ зандарының
орындалатыны тәжирібе арқылы тексеріледі. Теріс сандарды азайтудың
мағынасы бұрыннан белгілі оң сандарды азайтудың мағынасындай. Осыдан
индуктивті жолмен теріс санды қосу арқылы азайту ережесі шығады.
Көбейту және бөлу амалдары бұрынғыдай орындалады, тек таңбасына
мән беру керек. Көбейткіштің біреуінің таңбасы өзгергенде көбейтіндінің
де таңбасы өзгереді, ал модулі сол қалпында қалады.
Рационал сандар тақырыбында бөлшектер, олардың қасиеттері,
бөлшектерғе амалдар, пропорция ұғымы, бөлінгіштік теориясының
элементтері және алгебра мен геометрияның кейбір сұрақтары
қарастырылады.
Бөлшектер тақырыбын оқыту әдістемесіне толығырақ тоқталайық.
Бұл тақырыпты көрнекі-белсенділікпен деңгейлеп оқытамыз. Циркульдің
инесін қандай да бір О нүктесіне шаншып тұрып, қарындашы бар сирағымен
осы О нүктесін айналдыра сызық сызамыз. Сонда қарындаш О нүктесінен
бірдей қашықтықтағы нүктеден құралған шеңбер деп аталатын тұйық сызық
сызады (1-сурет). О нүктесі шеңбердің центрі деп аталады.
1-сурет.
Әртүрлі шамаларды (ұзындықты, массаны, уақытты) өлшеу үшін натурал
сандардан басқа бөлшек сандар деп аталатын жаңа сабақ енгізілген. 2-
суретте дөңгелек (тұтас бір дене) тең төрт бөлікке бөленген. Мұндай тең
бөліктер үлестер деп аталады. 2-суреттегі әрбір үлес-дөңгелекті өзара
тең 4 бөлікке бөлгендегі 1 бөлігі, жазылуы дөңгелектің -і; оқылуы:
“төрттен бір”.
Демек, 1: 4 деген ; 1:4= , мұндағы сызықша – бөлшек
сызығы.
¼
¼
¼
½ ¾
2-сурет.
Алдымен бөлшек сызығының астындағы сан шығыс септігінде оқылады,
сонан соң бөлшек сызығының үстіндегі сан атау септігінде оқылады. Егер
осындай үлестің ( -дің) екеуін алсақ, онда ол түрінде
жазылады. Оқылуы “төрттен екі”. Егер осындай үлестің үшеуін алсақ, онда
ол түрінде жазылады. Оқылуы “төрттен үш”. Мұндағы, ;
; - жай бөлшектер. Жай бөлшектердің жалпы түрде әріппен
жазылуы:. Мұндағы: а-жай бөлшектің алымы, в- жай бөлшектің бөлімі.
Бөлшек сызығының астындағы сан неше үлеске бөлінгенін көрсетеді,
сондықтан оны бөлшектің бөлімі деп атайды. Бөлшек сызығының үстіндегі
сан неше үлестің алынғанын көрсетеді, оны бөлшектің алымы деп атайды.
Кез келген натурал сан жай бөлшектің бөлімі, ал 0 саны және кез келген
натурал сан алымы бола алады.
Есеп. Егер екі алманы үш балаға тең бөліп берсек, олардың әрқайсысы
неше бөліктен алма алады.
Шешуі: Алманың әрқайсысын үш тең бөлікке бөлеміз. Әрбір бөлік алманың
13 –і болады. Бір балаға осындай 2 бөліктен беріледі. Балалардың
әрқайсысы алманың 23
бөлігін алады. Жауабы: 23 бөліктен.
Алымы 1 саны, бөлімі кез келген натурал сан болатын бөлшектерді
бірлік бөлшектер дейміз. Мысалы: ; ; .
Жай бөлшектің негізгі қасиеті. Жай бөлшекті қысқарту.
Дөңгелекті өзара тең төрт бөлікке бөліп, оның үш бөлігін бояйық (3-
сурет). Сонда дөңгелектің -і боялады.
3-сурет.
Әрбір бөлікті тағы да өзара тең 2 бөлікке бөлсек,онда дөңгелектің
-сы боялады.
Демек, = ; =.
Осыдан шығатын қорытынды:
Жай бөлшектің алымын да, бөлімін де бірдей натурал санға көбейткеннен
немесе бөлгеннен жай бөлшек өзгермейді.
Бұл бөлшектің негізгі қасиеті.
= =.
Бөлшектің алымын да,бөлімін де олардың 1 ден өзге бөлгішіне
бөлуді бөлшекті қысқарту деп атайды.Бөлшекті қысқарту тәсілдеріне
тоқталсам.1тәсіл. Бөлшектің алымын да,бөлімін де олардың ең үлкен ортақ
бөлгішіне бөлу арқылы қысқарту.
Мысалы: ЕҮОБ (42,63)=21, онда =
2 тәсіл. Бөлшектің алымы мен бөлімін көбейткіштерге жіктеп,ортақ
бөлгішті таңдап ала отырып қысқарту.Мысалы: =
Бөлшектер алымы мен бөлімі өзара жай сандар болғанша қысқартылады.Алымы
мен бөлімі өзара жай сандар болатын бөлшектер қысқартылмайтын бөлшектер
деп аталады.
Мысалы: ;
Дұрыс бөлшектер және бұрыс бөлшектер, аралас сан.
Жай бөлшектің алымы бөлімінен кіші болуы мүмкін,оған тең болуы
немесе бөлімінен үлкен болуы мүмкін.
Егер бөлшектің алымы бөлімінен кіші болса,онда ол бөлшек дұрыс
бөлшек деп аталады.
Мысалы: , дұрыс бөлшектер. 23, 49 сондықтан дұрыс бөлшек 1-
ден кіші.
Егер бөлшектің алымы бөліміне тең немесе одан үлкен болса,онда
бөлшек бұрыс бөлшек деп аталады.
Мысалы: 5=5, 109, 6=6.
Бүтін бөліктен және бөлшек бөліктен тұратын сан аралас сан деп
аталады.Мысалы: 2+.
Бұрыс бөлшекті аралас санмен жазу төмендегі деңгейлерден тұрады:
1.Бөлшектің алымын бөліміне бөлу керек. =7:5=1 (қалд.2)
2.Толымсыз бөлінді аралас санның бүтін бөлігі болады.
3.Қалдық ( егер ол бар болса) бөлшек бөліктің алымы,ал бөлгіш бөлімі
болады.
Аралас санды бұрыс бөлшек түрінде жазу үшін:
1.Аралас санның бүтін бөлігінің бөліміне көбейту керек.
2.Шыққан көбейтіндіге бөлшек бөлігінің алымын қосып,алым ету керек.
3.Бөлшектің бөлімін өзгертпей,бөлім етіп қалдыру керек.
Ал енді жай бөлшектерге қолданылатын амалдарға келсем,жай
бөлшектерді қосуға,алуға,көбейту және бөлуге болады.
Жай бөлшектерді қосу. Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосуды қарастырайық
Мысалы: қосындысын табайық.
4-сурет.
4-суреттен екенін көруге болады.
Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосқанда олардың алымдарын қосып, алым
етіп, ал сол бөлімнің өзін қалдыру керек. Бөлімдері бірдей бөлшектерді
қосу ережесі әріп түрінде: .
Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді қосу үшін:
1. Бөлшектерді ең кіші ортақ белімге келтіру керек.
2. Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу ережесі бойынша қосу амалын орындау
керек.
Бекіту. Есептер шығару.
1. Есептеңіз:
2. Салыстырыңдар:
және ; және ; және ;
және .
Жай бөлшектерді азайту.
Бөлімдері бірдей жай бөлшектерді азайтуды қарастырсақ.
1. Мысал: - айырмасын табайық.
а) ә)
5-сурет.
5-суреттен - = екенін көріге болады. Бұл
бөлімдері бірдей бөлшектерді азайту ережесі, ал бөлімдері әртүрлі
бөлшектерді азайту үшін:
1. Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек.
2. Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайту ережесі бойынша азайту амалын
орындау керек.
Жай бөлшектерді көбейткенде бірінші бөлшектің бөлімін екінші
бөлшектің бөліміне, ал бірінші бөлшектің алымын екінші бөлшектің алымына
көбейтеміз.
Мысалы: *
Бір бөлшекті екі бөлшектің көбейтіндісіне көбейту үшін, ол бөлшекті
әуелі бірінші бөлшекке көбейтіп, одан шыққан көбейтінді бөлшекті келесі
көбейткіш бөлшекке көбейтуге болады.
Жай бөлшекті жай бөлшекке бөлуге келсек, жай бөлшекті жай
бөлшекке бөлу натурал сандарды бөлуге ұқсас, көбейтінді мен
көбейткіштердің біреуі бойынша екінші көбейткішті табатын амал. Бөлу –
көбейтуге кері амал. Мысалы. жай бөлшегін жай бөлшегіне
бөлуді қарастырайық. := Х, Х-бөлінді. - бөлгіш бөлшекті
Х-бөліндіге көбейткенде - бөлінгіш бөлшек шығуы керек. * Х=
.
Х-ті табу үшін теңдіктің екі бөлігін де -ке кері санға, яғни -
ке көбейтеміз. Сонда
( * Х) =*; көбейтудің терімділік қасиетін пайдалансақ,
( * )*Х=* немесе Х=*= , Х=;
Теңдіктің дұрыстығын тексерейік: .
Сонымен, : бөліндісін табу үшін * көбейтіндісін табу
керек, яғни бөлінгіш бөлшекті бөлгіш бөлшекке кері санға көбейтеміз.
Мысалы: :=*=
Жай бөлшекті жай бөлшекке бөлу үшін бөлінгіш бөлшекті бөлгіш
бөлшекке кері санға көбейту керек. Әріп түрінде жазсақ, мұндағы, а-
натурал сан немесе нөл,в,с,d-натурал сандар.
Бөлінгіш немесе бөлгіш аралас сан болған жағдайда аралас санды бұрыс
бөлшекке айналдырып,содан кейін ғана бөлуді орындау керек.
Мысалы,
Ойын есебі, деңгейлік кестелер арқылы бөлшекке амалдарды
орындауды бекітуге болады.
Көрнекі құралдар: түрлі түсті кеспелер,әр түрлі сызба-
нұсқалар,кестелер.
Пән аралық байланыс: қазақ тілі,әдебиет,сурет,тарих.
1.1.Оң рационал сандар
1. Бөлшек ұғымы.
Жаратылыста кез келген тең бөліктерге бөлуге болатан шамалар
боладын (мысалы, ұзындық, масса, уақыт т.с.с.).
Бұл шамаларды өлшеу міндеті тек бір ғана натурал сандардың жәрдемімен әр
уақытта орындала бермейді.
Анығында, егер бір А шаманың ішінде онымен өлшемдес В өлшеу бірлігі
бүтін сан рет болғанда ғана А шаманы В бірлікпен өлшеудің нәтижесі
натурал санмен өрнектелетіндігі өзінен-өзі түсінікті. Бұлай болмағанда
өлшеудің нәтижесін ешбір натурал санмен өрнектеуге болмайды. Мұндай
жағдайда өлшеуді орындау үшін, В өлшеу бірлігін бір бөлігі А шаманың
ішінде белгілі бір бүтін сан рет, мысалы т рет, боларлықтай етіп тең п
бөлікке бөледі (ұсақтайды). т натурал сан А шаманың ішінде В өлшеу
бірлігінің өзі емес, оның А мен В шамалардың ортақ өлшеуіші және сонымен
қатар, өлшеудің жаңа бірлігі болып табылатын онын п -нен бір бөлігі неше
рет болатындығын көрсететіндігі анық.
А шаманы В өлшеу бірлігінің өзімен өлшегенде шығатын нәтижені өрнектеу
үшін символымен белгіленетін және бөлшек сан немесе бөлшек деп
аталатын жаңа сан енгізу қажет болады.
Бұл сан А шаманың ішінде В өлшеу бірлігінің л-нен бір бөлігі т рет бар
екендігін, яғни А шама В өлшеу бірлігінің т рет алынған я-нен бір
бөлігіне тең екендігін көрсетеді.
т санын бөлшектің алымы, ал п санын бөлшектің бөлімі деп атайтын
боламыз. Бөлшектің бөлімі біздің кабылдап алған В өлшеу бірлігіміз неше
тең бөлікке бөлінгендігін, яғни бұл бірліктің қандай бөлігі өлшеудің
жаңа бірлігі болатындығын, ал алымы бұл жаңа бірлік А шаманың ішінде
неше рет бар екенін көрсетеді.
Егер біз бір шаманы, мысалы сынып тақтасының ұзындығын, өлшемек болсақ,
онда біз оны өлшеу бірлігі етіп алынған, бір тектес баска бір шамамен,
мысалы, метрдің ұзындығымен салыстыруымыз керек. Сынып тақтасының бойьша
метр бір рет салынып, тағы метрден аз қалдық шыққан болсын дейік. Бұл
жағдайда метрді бірнеше тең бөліктерге бөлеміз де, сынып тақтасы
ұзындығының қалған бөлігін метрдің осы бөліктерімен өлшейміз. Метрді 10
тең бөлікке бөліп, қалдықты метрдің ондық бөліктерімен өлшейміз де,
қалдықта метрдің оннан 7 бөлігі бар екенін табамыз. Олай болса, тақтаның
ұзындығы 1 бүтін метрге және метрдің оннан 7 бөлігіне тең екен. Бұл
жағдайда өлшеудің нәтижесінде бөлшек сан шықты. Егер өлшеу нәтижесінде
шыққан бөлшек санның атына, өлшеу бірлігінің атын қосып жазсақ, онда
атаулы бөлшек сан шығады.
Өлшеу бірлігінің тең бөліктерінің біреуін бірліктің үлесі деп атауға
келісілген. Мысалы, егер біз өлшеу бірлігін тең он бөлікке бөлсек, онда
мұның оннан бір бөлігі бірліктің оннан бір үлесі деп аталады.
Бұдан былайғы жердің барлығында да, жоғарыда айтылғандай, үлес деген
сөзді бірліктін тең бөліктерінің бір бөлігі деген сөз деп, ал бөлік
деген сөзді бүтін еместер туралы айтылған сөз деп түсінетін боламыз.
Олай болса бөлік бірнеше үлестерден құралуы мүмкін; мысалы,
бірліктің 7 ондық үлестерінен құралған бөлік. Мұнда бірлік 10 тең
бөлікке бөлініп, өлшеніп отырған шамаға сол бөліктердің жетеуі енген
деп, туралы айтқанда "бірлік 10 бөлікке бөлінген" деген сөйлемдегі
бөлікке деген сөзге міндетті түрде тең деген сөзді қосып айту керек.
Бұл айтылғаннан бөлшек сан немесе бөлшек деп бірліктің бір үлесін немесе
бірнеше үлесінің жиынын айтады деуге болады.
Сонымен, бөлшек сандар олшеудің нәтижесі ретінде шығуы мүмкін екен.
Бірақ бөлудің нәтижесінде де бөлшек сан шығуы мүмкін.
Натурал сандарды бөлуді қарастырғанымызда, тек бүтін сандарды
пайдаланып, біз көп жағдайларда а санын b санына бөлгенде шығатын
бөліндіні таба алмайтындығымызды анықтаған едік, ал анығьшда мұндай
бөлуді аяқтатып орындаудың қажеттігі өте жиі кездеседі.
Мысалы. 25 санын 7 есе кеміту, яғни 25 санының орнына оның жетіден бір
бөлігін алу керек болсын. Мұндай мысал бөлумен шығарылатындығын білеміз;
бірақ тек натурал сандарды пайдаланып 25 санын 7 санына бөле алмаймыз.
25 санының жетіден бір бөліғін табу үшін, 25-ті 21 мен 4-тің қосындысы
деп ойлап, осы сандардың жетіден бір бөлгілін табамыз. 21-дің жетіден
бір бөлігі 3-ке тең, ал 4 бірліктің жетіден бір бөлігін табу үшін, әр
бірліктің жетіден бір үлесін алу керек. Демек, 25 санының жетіден бір
бөлігі болады.
Бірақ 25 санының жетіден бір бөлігін былай табуға да болады: бір
бірліктің жетіден бір бөлігі ; екінші бірліктің де жетіден бір
бөлігі ; сонымен, егер 25 бірліктің әр бірлігінің жетіден бір
бөлігін осылайша алсақ онда шығады.
Осы қарастырылған мысалда біз 25 саньш тең 7 бөлікке бөлдік те, 25
санының жетіден бір бөлігі неге тең екенін таптық.
Сонда 25:7=. Сонымен, бүтін санды бірнеше тең
бөліктерге бөлу ушін бұл санды бөлшектің алымы етіп алып, ал бөліміне
осы сан неше тең бөлікке бөлінетінін көрсететін екінші санды жазса
болғаны.
Олай болса, бөлшек санды, қалдықсыз бөлуге болмайтын жағдайдағы екі
натурал санды біріне-бірін (алымын бөліміне) бөлгенде шығатын бөлінді
деп қарауға болады екен.
Бұл тұрғыдан алғанда бөлшектердің қайсысын болса да оны тек бірліктің
бірнеше тең үлестерінің жинағы ретінде ғана қарастырмай, бірнеше
бүтіннің бір үлесі ретінде де карастыруға болады. Мысалы, бөлшегі
бір бүтіннің үштен 2 үлесі болып қоймай, екінің үштен бір үлесі де бола
алады.
Бөлшектің алымы да, бөлімі де кез келген натурал сандармен өрнектеле
алады.
Бөлшектің алымы ноль де бола алатынын ескерте кетейік. Ал, бөлімі нольге
тең бола алмайды.
Сонымен, шамаларды өлшеу үшін және сандарды бөлу үшін жалғыз ғана
натурал сандар жеткіліксіз болатын жағдайда, бүл операцияның орындалуын
қамтамасыз ету мақсатымен, біз бөлшек сандарды енгізу арқылы сандар
аймағын кеңейту қажет екендігіне тап болдық.
Бөлшектердің теңдігі және негізгі қасиеттері.
Өзара тең бір үш шаманы, мысалы А1, А2 және А3 үш ұзындықты алайық
та, оларды өлшеудің бір ғана бірлігімен -метрмен өлшейік.
Бұл шамалар метрден қысқа деп санайық. Онда бұл шамаларды өлшеу үшін
метрдің өлшенетін ұзындықтың ішінде бүтін сан рет болатын қандай да
болса, бір үлесін алуымыз керек болады. А1 үзындықты өлшеу үшін метрдің
төрттен бір бөлігін алып, А1 ұзындық - метрге тең екенін анықтадық
дейік. Енді әрбір ширек метрді тең 5 бөлікке бөлеміз. Сонда метрдің одан
да ұсақ үлесі шығады; мұндай үлестер метрде бесеу болады, демек бір
бүтінде, яғни 1 метрде олардың саны 5 ·4 = 20 болады; олай болса, бұл -
метрдің жиырмадан бір үлесі болады; метрде жиырмадан бір
(жиырмалық) үлестер 5 ·3 = 15 болады.
Ұзындық А2 = А1, демек, А2 ұзындық та метрге тең, бірақ егер біз
бұл ұзындықты ширек метрмен емес, оның жиырмалық үлесімен өлшейтін
болсақ, онда А2 ұзындық метрге тең екенін анықтаған болар едік. А1
мен А2 тең ұзындықтар бір ғана өлшеу бірлігімен (метрмен)
өлшенгендіктен, біз - метр метрге немесе бөлшегі
бөлшегіне тен деп айта аламыз.
Әрбір ширек метрді тең 25 бөлікке бөлсек, метрдің неғұрлым ұсақ үлестері
шығады. метрде мұндай үлестердің саны 25 болады, демек, 1 метрде,
яғни бір бүтінде, олардың саны 25 ·4 = 100 болады; демек, олар метрдің
жүздік үлестері; метрде жүздік үлестер 25 · 3 = 75 болады.
Ұзындык А3 = А1= метр болсын. Егер біз А3 ұзындықты ширек метрмен
(метрдін төрттен бір үлесімен) емес, оның жүздік үлесімен өлшейтін
болсақ, онда біз А3 ұзындық метрге тең екенін тапқан болар едік.
Бұдан метр метрге немесе бөлшегі бөлшегіне тең
деген қорытынды шығарамыз.
пен бөлшектерінің де өзара тең екеніне осылайша көз
жеткізуге болады.
Сонымен, бір ғана бірлікпен өлшенген екі шама өз ара тең болса, онда ол
шамаларды өрнектейтін бөлшек сандар да өзара тең болады.
Өзара тең пен , пен , пен
бөлшектерін қос-қостан алып қарастырсақ, тең бөлшектердің әр қосының
қасиеттері бірдей болатындығын, атап айтқанда: бірінші бөлшектің алымы
мен екінші бөлшектің бөлімінің көбейтіндісі екінші бөлшектің алымы мен
бірінші бөлшектің бөлімінің кобейтіндісінс тең болатындығын көреміз.
Аыығында 3·20 = 15·4; 3·100=75· 4; 15 · 100=75 · 20. Өзара тең
бөлшектердің барлығында да осындай қасиет болады, сондықтан да бұл
қасиет бөлшектердің теңдігінің анықтамасы ретінде алынады, атап
айтқанда, бұл анықтама былай айтылады: егер бірінші бөлшектің алымы мен
екінші бөлшектің бөлімінің көбейтіндісі, екінші бөлшектің алымы мен
бірінші бөлшектің бөлімінің көбейтіндісіне тең болса, онда мүндай екі
бөлшек өзара тең деп есептеледі.
Мысалы, егер болса, онда бөлшегі бөлшегіне тең болады.
1-салдар. Бүтін сандардың теңдігі сияқты бөлшек сандардың теңдіктерінің
мынадай негізі қасиеттері бар:
а) рефлексивтік,
б) симметриялық.
в) транзитивтік,
2-салдар. Бөлшектің алымын да, бөлімін де нольге тең емес бірдей
санға көбейтуден немесе бөлуден бөлшектің шамасы өзгермейді.
бөлшегі берілсе,
1) 2)
1-мысал.
немесе
Бөлшектердің теңдігін анықтама бойынша тексереміз: 3 ·40 =8·15;
120 = 120. Бөлшектер тең екен.
2-мысал.
немесе
Бөлшектердің тең екендігін анықтама бойынша тексерейік: 20 ·3 = 30· 2;
60 = 60. Бөлшектер тең екен.
Олай болса, бөлшектің алымын да, бөлімін де бірдей санға көбейтуден
немесе бөлуден бөлшектің шамасы өзгермейді.
Бөлшектің қарастырылып өткен бұл қасиетінің бөлшектерді түрлендіруде
үлкен маңызы бар, сондықтан ол - бөлшектің негізгі немесе басты қасиеті
деп аталады.
Бөлшектерді қысқарту және бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру осы қасиетке
негізделген.
Бөлшектерді қысқарту және оларды ең кіші ортақ бөлімге
келтіру.
1-анықтама. Бөлшектің алымы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz