Радикал арқылы шешілетін теңдеулер

Кіріспе
1.Өрістердің автоморфизмдері
2.Галуа группасы, оның реті
3.Галуа сәйкестігі.
4.Қарапайым радикалды өсімшелер.
5.Циклды өсімшелер
6.Радикалды өсімшелер.
8. Галуа группасы шешілетін группа болатын нормальды өрістер.
9.Радикал арқылы шешілетін теңдеулердің негізгі теоремасы.
9.Симметриялы, таңбасы өзгермелі группалар S2 S3 S4 . группаның шешілетін группа болатындығы.
10.S5 (А5) . группасының шешілмейтіндігі.
Әдебиеттер тізімі
Тақырыптың өзектілігі. Алгебралық системалардың кейбір түрлері математикада жиі кездеседігі сонша, тіпті оларды зерттеу өз алдына жеке теориялардың пәні болып кеткен. Осындай алгебралық системалардың ең қарапайымы группалар болып табылады.
Бұл тарауда Р өрісі белгіленген мүшелік ретінде ұйғарылады. Біз бұл өрісті негізгі өріс деп атаймыз. Қалған барлық өріс бұл негізгі өріс мағынасының кеңеюі деп ұйғарылады. f(x)-P өрісіндегі жіктелмейтін көпмүшелік. Р өрісіндегі Р (α1…,αn) мағынасының кеңейтілуі f(x) көпмүшелігінің α1…,αn барлық түбірлерінен туындайды, осы өріс көпмүшеліктің жіктелу өрісі деп аталады. Р(α1…,αn) өрістің кез келген элементі α1…,αn элементінен тұратын көпмүшелік түрде Р өрісінің коффициенттерімен беріледі.
Егер Р – да жіктелмейтін көпмүшеліктің К-да ең болмағанда бір түбірі бар болса, онда К-да көпмүшелік сызықтық көбейткішке жіктеледі. Р өрісіндегі К мағынаның кеңейтілуі, мағынаның бірқалыпты кеңеюуі деп аталады. Басқаша айтқанда, егер келесі екі шарт орындалса Р өрісінің К өрісі нормальді кеңейтілуі деп аталады:
1. Р-да К арқылы
2. Егер Р-да жіктелмейтін көпмүшелік К-да ең болмағанда бір түбірді
қамтыса, онда К-да бұл көпмүшелік толық жіктеледі.
Р өрісін орнында қалдыратын автоморфизмдердің жиынтығы К өрісінің аытоморфизмдер группасының ішкі группасы деп аталады. Егер К өрісі Р өрісінің нормальды өсімшесі болса, онда бұл ішкі группа Р өрісіне сәйкес К өрісінің Галуа группасы деп аталады және G(K,Р) арқылы бегіленеді.
Тақырыптың мақсаты: Радикал арқылы шешілетін теңдеулер.
Тақырыптың міндеті:
• Қарапайым радикалды өсімшелер. Циклды өсімшелер. Радикалды өсімшелерді анықтау.
• Галуа группасы шешілетін группа болатын нормальды өрістерді дәлелдеу. Радикал арқылы шешілетін теңсіздіктердің негізгі теоремасы.
• Симметриялы, таңбасы өзгермелі группалар. S2 S3S4- группаларының шешілетін группа болатындығы.
Зерттелу деңгейі. Теңдеулердің Галуа группасын есептеу тақырыбына арналған зерттеу жұмысын бірінші болып жазған Эварист Галуа. Галуаның негізгі зерттеулері алгебраға арналады. П. Руффини (1799) және Н. Абель (1824) 4 дәрежелі алгебралық теңдеулердің шешілетіндігі дәлелдеген. Галуа берілген теңдеуді қанағаттандыратын шарттарды анықтады. Олардың теорияны анықтауы тек алгебраның дамуына ғана емес, сонымен бірге ХІХ ғасырдағы математика ілімдегі үлкен жаңалық болды. Группа теориясындағы әдіс және идеялар жаратылыстану, кванттық механика, крисаллографияда қолданыс тапқан.
1. М.М.Постников «Теория Галуа» М. 1963г.
2. Б.Л. ван дер Варден «Алгебра» М. «Наука», 1979г.
3. Богомолов А.Н. «Математики, механики» Киев «Наукова думка», 1983г.
4. М.М. Постников «Группы и алгебра Ли» М. «Наука», 1982г.
5. А.И. Кострикин «Введение в алгебру» М: «Наука», 1977г.
6. В.А.Любецкий основные понятия школьной математики М. «Просвещение» 1987г.
        
        Тақырыптың өзектілігі.  Алгебралық  системалардың  кейбір  түрлері
математикада жиі кездеседігі сонша, тіпті ... ... өз ... ... пәні ... кеткен. Осындай алгебралық системалардың ... ... ... табылады.
Бұл тарауда Р өрісі белгіленген мүшелік ретінде ұйғарылады. Біз
бұл өрісті ... өріс деп ... ... барлық өріс бұл негізгі өріс
мағынасының ... деп ... f(x)-P ... ... Р өрісіндегі Р (α1…,αn) мағынасының кеңейтілуі f(x)
көпмүшелігінің ... ... ... ... осы өріс көпмүшеліктің
жіктелу өрісі деп аталады. Р(α1…,αn) өрістің кез келген ... ... ... ... ... Р ... коффициенттерімен
беріледі.
Егер Р – да жіктелмейтін көпмүшеліктің К-да ең болмағанда бір
түбірі бар болса, онда К-да ... ... ... ... ... К ... кеңейтілуі, мағынаның бірқалыпты кеңеюуі ... ... ... егер ... екі шарт ... Р ... ... нормальді кеңейтілуі деп аталады:
1. Р-да К арқылы
2. Егер Р-да жіктелмейтін көпмүшелік К-да ең болмағанда бір түбірді
қамтыса, онда К-да бұл ... ... ... ... ... ... ... жиынтығы К өрісінің
аытоморфизмдер группасының ішкі группасы деп аталады. Егер К ... ... ... ... болса, онда бұл ішкі группа Р өрісіне сәйкес ... ... ... деп ... және G(K,Р) ... ... ... Радикал арқылы шешілетін теңдеулер.
Тақырыптың міндеті:
• Қарапайым радикалды өсімшелер. Циклды өсімшелер. Радикалды өсімшелерді
анықтау.
• Галуа группасы ... ... ... ... ... дәлелдеу.
Радикал арқылы шешілетін теңсіздіктердің негізгі теоремасы.
• Симметриялы, таңбасы өзгермелі группалар. S2 S3S4- ... ... ... ... ... Галуа группасын есептеу тақырыбына арналған
зерттеу жұмысын бірінші болып жазған Эварист Галуа. Галуаның ... ... ... П. ... (1799) және Н. ... (1824) ... алгебралық теңдеулердің шешілетіндігі дәлелдеген. Галуа берілген
теңдеуді қанағаттандыратын шарттарды анықтады. ... ... ... ... ... ғана ... ... бірге ХІХ ғасырдағы математика
ілімдегі ... ... ... ... теориясындағы әдіс және идеялар
жаратылыстану, ... ... ... ... ... Г.Г. ... ... неміс ғалымы Б.Л.ван дер Варден
«Алгебра» С.А. Бадаев, Е.И. Бидайбеков ... өріс және ... ... атты ... осы ... арналған.
Зерттеу жұмыысының көлемі. Кіріспе, 6 - тақырыптан, ... ... ... ... ... ... келген К өрісінің өзара бірмәнді S ... ... ... егер ол қосындыны қосындыға, ал көбейтіндіні көбейтіндіге
ауыстырса, яғни егер К өрісінің кез ... (, ... ... ... ... ( ... (S ... ... ... өзара сәйкестік болу керек, яғни, (1) шарттан
басқа ол клесі ... ... ... ... кез ...... үшін (S элементі бірмәнді анықталған
және К-ға тиісті;
ә) егер ((( болса, онда (s((s болады;
б) кез келген ( єК ... үшін (єК ... ... (S ((
болғанда.
ә) шартынан б) шартымен ... ( ... ... ... ... бұл ... (S арқылы:
(( (S,
біз кейбір S-1 қайта құруын аламыз. Бұл құрудың ... ... ... (єК ... үшін ... )S(( (2)
Сонымен S-1қайта құруы автоморфизм болып табылады. Шынында да, кез ... және (єК ... ... +(S ) S( ((S )S+((S ... олай ... анықтама бойынша төмендегідей болады
((+()S ((S +(S
((()S ((S (S
теңдігі де ұқсас дәлелденді.
SТ көбейтіндісімен мына S және Т екі ... ... деп ... ... S бірқалыпты қайта құруының орындалуы, ал кейін Т
қайта құруы; кез ...... үшін (SТ ... мына ... ... қата құруы да автоморфизм болып табылатыны тұра тексеріледі.
Тапсырма. Автолорфизмдердің көбійтіндісі ассоциативті екенін
дәлелдеу керек. ... ... ... ие болу – ол Е ... ретінде негіз болады, К өрісінің барлық ... ... ... ((2) формулаға қарау)
S-1S(Е (3)
Енді (S-1)-1автоморфизмін ... ... ... ... ... ... оң жағына S-ті көбейтіп және (3) формуланы қолданып, келесіні
аламыз
(S-1)-1(S
Мұны (4) формулаға қойып, төмендегіні аламыз
SS-1(Е.
Сонымен,
S-1S(SS-1(Е.
Мұнда, біз операцияға ... ... ... ... ... группа болатындығын көреміз. Бұл группа К
өрісінің автоморфизмдер ... деп ... Кез ... автоморфизмдер барлық рационал сандарды
орнында қалдыратынын ... ... ... жағдайда, 0 және 1 сандарын).
Айталық Р- кейбір К ... ішкі ... ... К ... Р ... автоморфизм деп аталады, егер ол Р ... ... ... қалдырса, яғни егер кез келген сєР элементі үшін
сS(с
Р ... ... ... ... К өрісінің автоморфизмдер
группасының ішкі группасы болып табылады. Егер К ... Р ... ... ... онда бұл ішкі группа Р өрісіндегі К өрісінің ... деп ... және G(К,Р) ... ... ... f(()(0
- (-ның ең болмағанда бір түбірі К-да болатын, Р өрісіндегі кез келген
көпмүшесі
болсын;
с0+с1(+...+сn((0 ... ... ... S ... (5) тепе ... қолданып,
келесіні аламыз;
с0+с1(S+...+сn((S)n(0
(әйтпесе сі S(сіS кез келген i(0,1...,n үшін), яғни
f((S)(0
Сонымен,
G(К,Р) Галуа ... ... ... Р ... ... ... әр бір түбірін қайтадан осы көпмүшенің түбіріне көшіреді
(ауыстырады).
Дербес жағдайда, бұдан
кез келген (К саны және кез ... SG (К,Р) ... К ... ( ... (S саны ... Егер ... түрлендіруді белгілі түсінік ... ... ... ... ... ... векторға ауыспайтын ақырлы кеңістіктің
сызықтық түрлендіруі сонда және сонда ғана ... ... ...... ... ... үшін ... автоморфизмнің түсінігін шарт
бойынша Р ... К ... ... бір ... деп көрсетуге болады, яғни
1) қасиетке ие болатын және Р ... ... ... орнында
қардыратын ақырлы К өсімшенің кез келген S бейнелеуі өзара бірмәнді, яғни
Р өрісіндегі К ... ... ... ... да, егер сєР және (єК, онда
(с()S(сS(S(с(S
Бұдан басқа, К өрісінің кез келген ( және ( ... ... Р ... ... S ... К өрісінің сызықтық (ақырлы)
түрлендіруі ... ... ... ... ... ... жоғарыдағы деректе берілгенді дәлелдеу үшін, формула
бойынша бекітудің жеткіліктігін көрсетеді, сондай –ақ егер ((0, онда αS(0.
Бірақ егер ((0, онда К ... ... ( ... ... ...... ... олай болса, (S(S(1
Сонымен, (S(0 шындық.
Галуа группасы, оның реті
Айталық К ... - Р ... кез ... ... ... К өсімшесі қарапайым алгебралық өсімше болып табылады, яғни К-да
мынадай θ ... ...... ... f(х) ... көпмүшелік дәрежесі n Р өрісіндегі К өрісінің
[К:Р] дәрежесіне тең. К өрісінің кез ... ( ... ... ... ие ... θ ... θ n-1, ... ... ... ... ... Галуа группасының
кез келген S автоморфизімі θ ... ... f(х) ... ... ... сөзбен айтқанда, әрбір S G(К,Р) автоморфизмге f(х)
көпмүшенің кейбір түбірі сәйкес келеді. Осы сәйкестікті ... ... θ ' - f(х) ... кез ... ... ... К өрісі
нормальды және болғандықтан, онда θ 'К. К өрісіндегі S ... осы ... кез ... (1) ... ... қою арқылы анықтаймыз.
(S(с0+с1 θ +...+сn-1 θ n-1 ... ... ... (1) ... ... онда (2) формуланың (S ... ғана ... ... түрлендірудің анықтамасын келесі түрде формула арқылы ... ... ... – n нен кіші ... бар Р өрісіндегі көпмүше болса, онда
(S(g(θ ')
Енді Р өрісіндегі кез келген дәрежелі g(х) ... ... ... g(х) ... f(Х) ... ... ... (х)q (х) + r(х). ... ... х( θ деп ... f(θ) (0 ... біз мына ... көпмүшенің дәрежесі n –нен кіші болғандықтан, онда бұдан шығады:
(S(r(θ ')
Басқаша жағдайда, (3) формуладан х(θ' деп ұйғарып, келесісін ... ... ... ... ... байланыссыз.
Айталық
(1(g1(θ), (2(g2(θ)
- К өрісінің кез келген элементі болсын. Сонда
-
(1+(2(g1(θ)+g2(θ),
(1(2(g1(θ)g2(θ)
және, олай болса,
((1+(2)S(g1(θ ')+g2(θ ... ')g2(θ ... S ... ... мен көбейтіндіні сақтайды, яғни (1) шартына
ие болады. Бұл түрлендіру Р өрісінің барлық ... ... ... S ... Р өрісіндегі К өрісінің ... ... яғни G (К,Р) ... ... ... ... ... болып табылады, яғни (1) шарттан тыс өзара
бірмәнді қасиетін ... ... ... ... да, Р(θ ') ... θ 'К болғандықтан, онда
Р(θ ') К.
Басқаша жағдайда, Р өрісіндегі Р(θ ') өрісінің дәрежесі f(х) ... тең, яғни К ... ... тең. ... ... (1) жазуымен қатар К өрісінің кез келген ( ... ... ... шығады
((с0+с1 θ +...+сn-1 θ 'n-1, ... ... ... К ... S' ... өзгерту функциясын, осы өрісте
әрқандай ... (4) қою ... ... ... θ ... θ ... (яғни S'(S-1), онда S түрлендіруі К ... ... ... ... яғни ... ... ... автоморфизмнен құралған θ түбірі θ ' түбіріне ауысады:
θ S( θ ',
яғни жоғарғы мағынада көрсетілген бұл ... θ' ... ... ... кез келген f(х) көпмүшесінің түбірі үшін G (К,Р) ... осы ... ... ... ... табылатыны
дәлелденді. Түбірмен сәйкес келетін автоморфизм бірмәнді ... ... θ ... да, егер θ S( θ Т ... онда θ ST-1( θ ... яғни ST-1
автоморфизм θ түбірін орнына қалдырады және, олай ... ... ... ... орныда қалдырады
с0+1 θ +....+сn-1 θ n-1, мұндағы с0,с1,...сn-1,
яғни К өрісінің кез ... ... ... ... ... ST-1(Е және
S(T
Сонымен, G (К,Р) Галуа группасының элеменнтері (яғни Р өрісіндегі К
өрісінің автоморфизмдері) f(х) көпмүшенің түбірлерімен ... ... ... және олай болса, олардың сандары, яғни G (К,Р) группаның реті
f(х) ... ... ... тең, яғни n- ге тең (бұл ... болғандықтан, барлық f(х) көпмүшенің түбірлері әр түрлі).
Сонымен біз,
G (К,Р) Галуа группасының реті Р ... К ... ... тең
екенін дәлелдедік.
Галуа сәйкестігі.
Айталық, К(Р(θ)- кез келген негізгі Р өрісінің ... ... ... (К,Р) – оның Р ... ... ... ... пункте біз К өрісіндегі Р өрісінің L ішкі өсімшесін қарастырамыз:
Р LК
Мұндай өсімшелерді біз ... ... деп ... саны ... болып табылатын, Р өрісіндегі f(х) көпмүшесін, және әр қандай
L аралық өрісінің көпмүшесін ... ... ... ... оның ... өрісі L(θ) өрісі болып табылады. Демек, L өрісіндегі L(θ) ... ... ... РL ... онда , яғни ал ... болса, онда L(θ)К болады. Демек, К(L(θ)
Сөйтіп,
К өрісі әр ... ... L ... ... L өрісіндегі К өрісінің G (К,L) Галуа группасы туралы
сөйлеуге ... ... ... ... ... G (К,L) группаның
реті L ... К ... ... ... бойынша, G (К,L) группаның элементтері, әр қандай L өрісінің
элементерін орнында қалдыратын К өрісінің ... ... ... ... онда автоморфизмдер кез келген Р өрісінің элементтерін
орнында қалдырады, яғни Р ... К ... G (К,Р) ... ... ... табылады. Сөйтіп,
G (К,L) G (К,Р)
яғни L өрісіндегі К өрісінің Галуа группасы Р ... К ... ... ішкі ... ... Оның реті L ... К ... [К;L]
дәрежесіне тең.
Айталық Н- G (К,Р) Галуа группасының кез келген ішкі группасы ... ... ... әр ... ... ... қалдыратын, К өрісінің
барлық элементтерінің жиынтығы К ... ішкі ... ... табылады. Бұл
ішкі өріс Р өрісін құрайды, яғни аралық өріс болып табылады. Біз оны
К(G,Н) арқылы белгілейміз.
Айталық
Т1(Е, Т2,... Тm
- Н ішкі ... ... ... ... ... m-Н ... реті). Төмендегі көмүшені қарсырайық.
h(х)((х- θ ті)
(1)
Сандары оның түбірлері болып табылады.
әр қандай ТєН автоморфизмінде бұл сандар
(2)
Сандарына ... ... Т2 Т,.. Тm ... Н ішкі ... ... элементерін тауысады. Демек, ретке
дейін шығатын ... (2) ... (1) ... тура ... ... ... әр қандай ТєН автоморфизмінде h(х) көпмүшесінің түбірі тек
орын – орнына қойылады. Сондықтан, осы түбірлерден кез келген ... ... ... h(х) ... кез ... ... ... орнында қалады және, олай болса (Т-Н ішкі группадағы кез
келген автоморфизмін де), К (G,Н) ... ... ... h(х) ... (G,Н) ... ... болып табылады.
Демек, К (G,Н) өрісіндегі Ө элементінің минималды ... ... ... ... ... және ... оның ... (яғни К
(G,Н) өрісіндегі θ санының ... m-ге тең ... аз. ... θ ... К ... кез ... аралық өрісінің қарапайым алгебралық өсімшесі
болып табылатынын жоғарыда көрдік. Сондықтан К (G,Н) ... ... ... θ ... ... ... дәрежесіне (К (G,Н)
–қа)тең, яғниң дәлелдеме бойынша, m-ге тең немесе аз.
Енді L( К(G,Н) ... К ... G(К,L) ... ... Бұл ... реті К (G,Н) ... К өрісінің
дәрежесіне тең және сондықтан m-ге тең ... аз. ... ... бойынша, G(К,L) группасы L(К(G,Н) өрісінің элметерін орнында
қалдыратын К өрісінің барлық автоморфизмдерінен ... және ... ... ... Демек, оның реті m-нен аз болуы мүмкін емес.
Бұдан G(К,L) группасының реті m-ге тең және ... ол Н ішкі ... ... ... ... ... онда G(К,L) (Н
Айталық L- кез келген аралық өріс болсын, және Н(G(К,L) болсын К ... ... ... жағдайда, жаңа ғана дәлелдеме бойынша, К (G,Н) ... ... ... ... ... ... ретіне тең, яғни L
өрісіндегі К ... [К:L] ... тең. ... ... ... Н(G(К,L) болса онда, К(G,Н)(L болатыны дәлелденді
Сөйтіп, біз әр қандай аралықтағы L ... G(К,Р) ... ... ... ... ... группасының кез келген Н ішкі группасы
үшін L аралық өрісі табылатынын, және бұл ішкі группаның сәйкес ... ... ... ... ... ішкі группаның сәйкес келетінін
көріп тұрамыз, егер G(К,L1)( ... ... онда ... ... ... ... ... біз аралық өрісінің барлығын және Галуа группасының
ішкі группасының барлығын ... ... ... ... ... Галуа сәйкестігі деп атайды.
Тағы бір рет,
Галуа сәйкестігінде ... К ... L ... ішкі ... ... К өрісінің G(К,L) Галуа группасы сәйкес келетінін, ал Н ішкі
группада G(К,L) ... - К(G,Н) ішкі ... К ... ... тұртынын, Н- тан әрбір автоморфизмдердің орнына қалғанын
қайталайық. G(К,L) ... реті L ... К ... ... тең,
К(G,Н) өрісіндегі К өрісінің дәрежесі Н группасының ретіне тең.
Дербес жағдайда, барлық G(К,Р) группаға Р өрісі сәкес келеді. Демек,
G(К,Р) ... ... ... орнында қалдыратын Р өрісі К
өрісінің барлық элементтерінен тұрады.
Бірлік Е ішкі группаға, яғни тек қана тепе – ... Е ... ішкі ... ... К ... ... келеді.
Галуа сәйкестігі берілген ішкі өрістің теориясына нормальды өрістің ... ... ... ... оның ішкі ... ... ... ішкі өрісті зерттеуге теоритика – группалық методты қолданады. Мысалы,
арқылы группаның ішкі ... ... ... кез ... ... ішкі ... аралық саны ақырлы екені шығады. Бұл фактті Галуа
сәйкестігін қолданбай дәленденген ... ... ... қолданғанда, ол
әрқашан «кірістіру таңбасына айналу» түрде болуы керек, яғни егер ... L1 және L2 ішкі ... оның ... ... Н1 және Н2 ішкі
группалары сәйкес келсе, онда
L1 L2 (3)
(3)–тен,
Н1 Н2 (4)
Шығады, және ... (4)- тен (3) ... ... ... өрісінің қарапайым радикалды өсімшесі ... ... ... ... жіктеу өрісін айтады, яғни төмендегідей.
хn -((0, мұндағы ( Р, (≠0 ... ... ... түбірлерді жеке nдәрежелі түбірге бірден көбейту
мен алынытыны белгілі. Бірақ кез ... n ... ... бір ... ... ... ... Сөйтіп, егер θ - (1)теңдеудің кез келген
түбірі болса, ал кейбір жеке n дәреженің бір ... ... ... ( θ ζ0, θ ζ, ... θ ζn-1 ... (1) ... ... ... ... Р(ζ, θ) өрісі (1) теңдеудің барлық түбірлерді құрайды, және сол
себептен
КР(ζ, θ)
Басқаша ... К ... θ және θ ζ ... ... және сол ... ... ζ( θ ζ/ θ сандарын құрайды. Демек,
Р(ζ θ)К
Сөйтіп,
К(Р(ζ ,θ)
Сондай –ақ Р ... ζ ... ... ... Мұндай жағдайда К қарапайым
радикалды өсімшеде Р(θ) түбірі болады. Қашан α(1 болады, сонда ... ... ... ... ... жағдайда біз θ түбірі ретінде 1 санын
алуымызға болады, сондай – ақ К ... (Р(ζ θ) ... ... ... ... табылатыны нормальды және сондықтан
оның G(К,Р) Галуа группасы туралы сөз айтуымызға болады.
Айталық S-G(К,Р) Галуа группасындығы кез ... ... саны хn-1 көп ... түбірі болғандықтан, онда ζS саны да
осы көпмүшенің түбірі болады. Демек, мынадай саны ... ... ... ... ζа саны хm-1 ... ... болса, мұндағы m1 деп есептеуге болады, сондай-ақ(i-1(αi),немесе
ζ(i(i-1). Шарт бойыншаөрісі Р өрісінің ... ... ... яғни Р өрісінен басталатынын және өрісімен аяқталатын
радикалды қатарға ие. Осы қатарды (3) қатармен жалғастырып, біз, Р ... ... ... ... ... ...
өрісі Р өрісінің радикалды өсімшесі болатыны дәлелденді.
Ең соңында, G(х)(g(хn) ... ... Осы ... Р өрісіне жатады.
G(х)(( хn -β1)...( хn - βr)
болғандықтан,онда α1,...,αr сандары G(х) ... ... ... Осы ... ... ... түбірлерді бірліктегі n дәрежелі
түбірге көбейтумен α1,...,αr ... яғни ζ бір ... ... ... ... ... ... G(х) көпмүшесінің
барлық түбірлерін құрайды, яғни оның өрісіндегі Q ... ... ... ... ( Q және ... Q, ... ... Демек, (Q, яғни G(х) көпмүшесінің
өрісіндегі жіктеу өрісі болып табылады. Солай болғандықтан ... ... ... өсімшесі болып табылады, ал G(х) ... ... ... ... ... онда ... өрісі Р өрісіндегі
нормальды екені леммада шығады.
Сөйтіп, біз К өрісін құрайтын және Р ... ... ... ... ... өрісің топтық. Сонымен осы формула ... ... ... ... ... группасы шешілетін группа болатын нормальды өрістер.
Айталық К-Р өрісінің кез келген нормальды радикалды өсімшесі болсын.
Оның G(К, Р) Галуа ... ... ... ... L1 ... ... ішкі ... ... сәйкес келеді
G(К1Р)(Н0 (1)
Мұндағы
Ні(G(К1 Lі) і(1..., S
Кез келген і(1..., S үшін үшінші өрісті қарастырайық
Li ... Li-1 ... ... ... ... онда ... ... Ні(G(К, Lі-1) группасының нормальды бөлгіші болады. Сөйтіп (1)
қатар нормальды ... ... ... ... Ні-1/ Ні ... Lі-1 ...
өрісінің G(Li, Li-1) Галуа ... ... ...... ... ... радикалды өсімшесі бар). Сөйтіп, (1) ... ... ... ... ... табылады. Мұндай қатар қамтамасыз етілуінде
G(К,Р) группасының шешілетіні табылады. ... ... ... радикалды өсімшеде Галуа группасы шешіледі.
Айталық Q-К өрісінің кез келген нормальды ішкі өрісі болсын (Q
әрқашан ... Р ... ... ... кейбір факторгруппадағы G(К,Р)
группалар G(Q,Р) Галуа группасы Р өрісіндегі Q ... ... ... ... ... ... ... болғандықтан, онда
олай болса,
кез келген нормальды шағын ... кез ... ... ... ... ... шешілетін группа болып табылады.
Дұрыс және кері болатын:
шешілетін Галуа группасы бар әрқандай нормальды өріс, ... ... ... ішкі ... болып табылады.
Басқа сөзбен айтқанда, Галуа группасымен шешілетін барлық нормальды
өрістің жеткіліктілігі мынада, нормальды ... ... ... ... осы ... ... ... өріс үшін яғни циклді Галуа
группасы бар нормалды өріс үшін дәлелдейміз.
Айталык Q- цикілді G(Q,Р) ... ... m ... Р өрісінің
нормалды өсімшесі болсын.
К(Q()
өрісін қарастырайық, мұндағы – бірліктегі m дәреженің бір ... Яғни ... Р ... К ... ... ... К өрісі Q және Р
() нормальды өрістердің ... ... ... G(К,Р()) Галуа
группасы кейбір ішкі группадағы G(Q,Р) Галуа группасында ... ... G(Q,Р) ... ... ... ал кез келген ішкі группаның
циклді группасы циклді ... ... ... онда олай ... ... ... группа болып табылады. Оның n([К:Р()]
реті m санына бөледі және сондықтан бірліктегі n дәрежені бір амалды ... ... ... ... ... яғни Р() ... ... К өрісі бірліктегі n дәрежелі бір амалды түбірді құрайтын Р(Е)
өрісінің n дәрежелі циклды ... ... ... ... К ... ... қарапайым радикалды өсімшесі болып табылады. Солайша соңғы Р
өрісінің қарапайым радикалды ... ... ... сонымен, К өрісі Р
өрісінің радикалды өсімшесі болып саналатыны дәлелденген (құрылым ... ... Р ... Q кез ... ... өсімшесі кейбір
нормальды радикалды өсімшеде болатыны дәлелденді.
Енді жалпы кездейсоққа өтеміз. Айталық Q- G(Q,Р) ... ... Р ... ... ... ... және
G(Q1Р)(Н0 (2)
-G(Q,Р) группасының кез ... ... ... ... Егер s (1, ... ... ... және олай болса жоғарыда ... ... ... Р өрісінің кейбір нормалды радикалды өсімшесі болады. Шешілетін s-1
ұзындығының қатарымен шешілетін ... ... бар ... ... ... ... деп ойлауға болады, енді шешілетін s ұзындығының ... ... ... ... барнормальды Q өрісін қарастырайық. Осы
өрісте Н1 ішкі группасындағы Галуа группалары ... ішкі ... ... ... L ... нормальды және оның G(L,Р) Галуа группасы G(Q,Р)/Н1
Группа болып табылады. Демек, дәлелдеме бойынша L өрісі Р өрісінің кейбір
нормальды ... ... ... және Q өрісіндегі
композитін қарастырайық. өрісіндегі ... G() ... L ... Q ... G(Q,L) ... ... кейбір шағын
группада изаморфты. Бірақ G(Q,L) (Н1 және олай болса G(Q,L) группасы және
оның ... ... ... ... s -1 ... ие ... индукция бойынша, өрісінде, ... ... Q ... К ... ... ... радикалды болады. өрісі құру
бойынша Р өрісінің радикалды өсімшесі ... онда К ... де ... ... ... болады. К радикалды өсімшесі ... ... ... ... ... біз, ... группасымен шешілетін нормальды Q өсімшесі
болатын Р өрісінің ... ... ... таптық. Сонымен
жоғарғы формула бойынша теорема толығымен дәлелденді.
Радикал арқылы ... ... ... ... θ ... (х)(0 ... Р өрісіндегі радикал арқылы көрсетілген, егер түбірі бар ... ... ... ... яғни егер θ ... ... ... әрекетке яғни екімүшелі теңдеудің тізбегімен шешілуіне
апарады. Егер (1) ... ... ... ... ... көрсетілсе,
онда бұл теңдеуді радикал арқылы шешіледі деп ... ... ... ... ... теңдеудің ең болмағанда бір
түбірі келтірілмеген болса онда теңдеу радикал арқылы шешіледі.
Шынында да, айталық (1) теңдеудің θ ... Р ... ... ... ... Радикалды К өсімшесі кейбір нормальды ... ... ... боkады. Нормальды өрісіне (1) теңдеудің
келтірілмеген бір-ақ түбірі ... онда ... ... барлығы соған
жатуы керек. Сөйтіп (1) ... ... ... К ... ... яғни ... арқылы көрсетіледі.
Нормальды радикалды өсімшесі, (1) ... ... және оның ... өрісінде болады. Демек, егер келтірілмеген
теңдеу радикал арқылы шешілсе, онда оның жіктеу өрісі Р ... ... ... ... ... Егер (1) ... жіктеу өрісі
нормальды радикалды өсімшеде бар болса, онда (1) ... ... ... ... ... оның Галуа группасы шешіледі, сонда және тек ... ... өріс ... ... ... ... ... біз
алдынғы пункте көрдік.
Демек теорема
қашан Галуа группаның жіктеу өрісі шешіледі, сонда және тек ... ... ... радикал арқылы шешіледі.
Галуа группасында алынған ... ... ... ... ... Галуа группасы деп аталады. Осы терминологияда ... ... ... шығарылады: теорема
қашан оның Галуа группасы ... ... және тек ... ... ... ... арқылы шешіледі.
Симметриялы, таңбасы өзгермелі группалар
S2 S3 S4 - ... ... ... ... n ... Аn - ... құрылымын зерттейміз.
n(2 үшін таңбасы өзгермелі группасы тек е ауыстыруының тепе – теңдігінен
тұрады.
n(3 үшін ретті таңбасы өзгермелі ... ... ... олай ... ... Оның ... кез келген жұп ауыстыру ретінде алуға болады (мысалы,
(1,2,3) циклы).
n(4 үшін ... ... ... группа болады және келесі
элементтерден тұрады:
тең ... оңай ... ... е, t2, t3, t4 ауыструлары Ап ... ... ... Бұл ішкі ... Клейневті группа деп
атайды және В4 деп белгіленеді. В4 группасы абельді және 4 ретті ... S1 t2 S1-1=t3 , ... ... ... ... ... , S4t2S4-1=t3 S4t3S4-1=t1
S5t1S5-1=t2 , S5t2S5-1=t3 ... , ... ... , ... ... , ... S8t3S8-1=t1
оңай тексеріледі. Демек, В4 группасы Ап групасының нормальды бөлгіші ... ... ... А4/В ... 3 ... болады және сондықтан
циклды группа болып ... ... ... ... онда оның кез ... ішкі ... е ауыстырудың және t1 ауыстырудың тепе – теңдігінен ... ... ... ... ішкі ... ... бөлгіш болып табылады. В4 /С4
факторгруппасының реті екеуіне тең және олай болса, бұл ... ... ... табылады.
Сөйтіп, төмендегі ішкі группаның тізбегі А4 группаның ... ... ... А4 группаның шешілетіні дәлелденді.
Сонымен қатар А2және А3 группалары да шешіледі. Сөйтіп,
n≥4 үшін Аn группасы шешіледі.
Енді n≥5 оқиғасын (кездейсоқ ... ... ... N-е –
ден өзгеше Аn группасының кез ... ... ... ... N≠е болса,
онда N-де ең болмағанда бір t≠е ... ... т ... ... циклдер туындысы келесі 4 формуланың біреуінде бар болуы мүмкін;
1) t((i0 i1 i2 i3...) (...)... ... ... ≥4 ... t(( i0 i1 i2 )(i3 i4 ...)(...)... ... ... 3 және тағы ... t(( i0 i1 i2) (t ... ... ұзындығы 3 болып табылады);
4) t(( i0 i1 )(i2 i3)(....) (t ... ... ... ... ауыстыруы жұп және сандықтан транспозиция болуы мүмкін емес; көпнүктелер
болатын және ... ... ... ... ... білдіреді)N
нормальды бөлгіш болғандықтан, онда кез келген r жұп ... үшін rtr-1 t-
1 ... N- ге ... Бұл ... ... ... ... бар формадан, біз r ауыстыруын келесі амалмен таңдаймыз:
1) r((i1 i2 i3);
2) r((i1 i2 i4);
3) r((i1 i2 i3);
4) r((i1 i2 i3).
Әрбір 4 ... ... S(rtr-1 t-1 ... ... S((i1 i2 ... S((i0 i3 i1 i2 i4);
3) S((i0 i3)(i1 i2);
4) S((i0 i2)(i1 i3).
Сонымен, егер нормальды N бөлгішінде 1) түрде t ... бар ... ... ... де ауыстыру болады. Егер де 2) түрінде ... бар ... ... ... де ... ... және олай болса, жаңа айтылғандай, 3)
түріндегі ауыстыру. Егер 3) ... 4) ... ... бар ... онда ... ... ... туындысы болып екі дәл тәуелсіз
транспозицияның ... ... ... ... да болады. Сөйтіп, N –
де екі дәл тәуелсіз транспозицияның туындысы ... ... ... ... бұл (j1j2) (j3j4) ... ... ... – екі тәуелсіз транспозицияның туындысы ... кез ... ... болсын.
Енді нүктелердің орнында кез ... ... ... ... ... бұл ... жоғарғы жолдағы k1, k2, k3, k4 сандарынан
өзгеше, ал төменгідегі - j1j2 j3j4 ... ... ) ... ... ... көруге оңай болады. Бұдан басқа, а a(j1j2) ауыстыруын жеңілдету
формуласы үшін b арқылы белгілеп, келесіні аламыз
b(j1j2)(j3j4)b2(а(j1j2)(j1 j2) (j3j4)(j1j2)а-1(а(j1j2)(j3j4 )а-1
яғни
b(j1j2)(j2j4)b-1((k1k2)(k3 ... ... а және ... әртүрлі жұптары болады
яғни олардың біреуі жұп, ал басқасы тақ. а және b ауыстырулардан ... ... ... яғни егер а ауыстыруы жұп болса, онда с(а, ал ... жұп ... онда ... ... ... єN, сєАn болғандықтан, ал N шарт ... Аn – ... ... болып табылады, онда бұдан (k1k2)(k3 k4) єN ... біз, ... N ... екі ... транспозициялық туындысы
болып есептелінетін ауыстыруды қарастырайық. Мұндағы ауыстыру(j1j2)(j1j3)
түрінде болады. Шарт бойынша n≥5 болса, онда j1j2 және j3 ... ... n- нен ... екі ... l1 және l2 ... ... Екі ... туындысы болып есептелінетін (j1j2)(l1l2) және (l1l2)
(j1j3) ауыструлары дәлелдеме бойынша, нормальды N бөлгішіне тиісті. ... (j1j3)( ... олай ... ... да N ... ... екі кез келген
транспозицияның туындысы болатын кез келген ауыстырулар және кез ... ... ... ... ... кез ... ... яғни кез
келген жұп ауыстырулар нормальды N бөлгішіне тиісті. ... ... ... ... жұп ... ... яғни N(Аn
Сонымен, егер N≠е онда N(Аn. Басқа ... ... Аn ... ... ... ... ... болмайды, яғни қарапайым
группа болып табылады. Сонымен біз n≥5 үшін таңбасы өзгермелі Аn қарапайым
және демек, шешілмейтінін ... ... ... n(2 және n(3 үшін ... ... ... ... қатысты дәлелдеудің нәтижесінен төмендегілер шығады, яғни
n≤4т үшін Sn ... ... ... ... ол ... ... ие ... n(2 S2е
егер n(3 S3
А3е
егер n(4 S4
А4В4 С4е
ал n≥5үшін Sn группасы шешілмейді ... ... Аn ... (А5) – ... ... кез келген екі i ,j сандары үшін G группасында і саны j ... ... бір ... ... онда n дәрежелі ауыстыруының G
группасын транзитивті деп атайды. Галуа теориясы үшін ... ... ... ... ... көпмүшенің Галуа группасы транзитивті.
Егер f(x) көпмүшесі келтірілмеген болса, онда оның ... α1,..., α ... ... ... және ... кез келген жұп α i, α ... үшін Q(P(α 1,..., α n ) ... α i ... αj ... ... бар болатыны, дәлелдеме үшін жеткілікті.
Тапсырма. Транзитивті Галуа группасы бар көпмүшенің келтірілмегенін
дәлелдеу керек.
Біз кез келген транзитивті группаларды зерттеу түрінде болмайтын, ... ... ... ... группаны қарастырумен
аяқтаймыз.
Айталық транзитивті G группасы (i1 j2) транспозициянын құрайды. ... осы ... ... (i,j) ... ... ... Айталық
(i1 i2) (i1 і3),..., (і1іm)
-G группасында болатын барлық (i,j) түріндегі транспозициялар ... ... ... i1,i2, ... , im сандарынан өзгеше j саны үшін
(jiq), q(1, 2, ... , m.
түріндегі бірде бір ... ... ... да, q(1 үшін ... ал q>1 үшін ... ... және (i1j)( (i1iq) (jіq)
(і1іq) сәйкес келетіні шығады. Егер енді m

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 26 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Автотербелмелі жүйелер кластерінің сигнал өндіру режимдері және оларға шуыл мен флуктуациялардың әсерін тәжірибе жүзінде зерттеу40 бет
Интегро-дифференциалдық теңдеулерді шешудің кейбір әдістері22 бет
N сызықты теңдеулерден тұратын жүйенің жауабын табатын программа құру15 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
Алгебралық теңдеулер жүйесін шешу56 бет
Алгебралық теңдеулердің шешудің жанама әдісі7 бет
Анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа әдістері23 бет
Бастауыш сыныптарда теңдеулермен жұмыс істеу әдістемесі.18 бет
Бидай алейрон клеткаларындағы азот тотығының супероксиддисмутаза белсенділігі мен супероксид радикалының жинақталуына әсері33 бет
Бүтін сандар жиынында анықталмаған теңдеулерді шешу әдістері28 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь