Математикалық логиканың элементтері

Кіріспе
І. Математикалық логиканың элементтері
1.1. Сөйлемдер мен пікірлер
1.2. Пікірлер конъюнкциясы мен дизъюнкциясы
1.3. Пікірлер импликациясы және эквиваленциясы
1.4. Тұжырымдар логикасы
ІІ. Предикаттар мен кванторлар
2.1. Предикаттарды терістеу, олардың конъюнкциясы, дизъюнкциясы және имплекациясы
2.2. Қажетті және жеткілікті шарт. Кванторлар
2.3. Теоремалар
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер
Мектептегі математика өз тарихында талай өзгеріске түсіп, толықтырылып, қайта өзгеріске ұшырап отырды. Математикалық білімнің дәйекті мәселелері іріктеліп, енгізгі бағдар ретінде жинақталып, жүйеленіп, басқа ілімдердің табыстарымен қабыстырыла, мектеп оқулықтарына енгізіледі. Ол үшін дидактикалық өңдеуден өткізіліп, тәжірибелер жасалып, түзетіліп, қайта баяндалады.
Материалды іріктеуде қоғам талаптары, оның дамуы ескеріледі. Дәстүрлі білім жүйесі мен қазіргі білім жүйесін қарастырайық. Математикалық білімнің жаңа көзқарастарын мұғалім өзі түсініп, оны оқушыға жеткізуі оңай іс емес. Оған қыруар күш, мемлекеттік қомқорлық.
1908 жылы Римде ІV халықаралық конгресте математикалық білімді жаңалау үшін халықаралық сарапшылар тобы құрылды. Олар дәстүрлі математиканы оқыту мәселесіне арналған 250 кітап жазды. Әрбір елге арнап, жаңа бағдарлама құрастырды. Сол бағдарламаға сай оқулықтарды, оқыту әдістемесін құрастырды.
Алайда, жиырмасыншы ғасырдың екінші жартысында математика ел қуатын, экономикасын анықтаушыға айналды. Осыдан да 1950 жылы математикалық білімді жаңалаушы интернационалдық алқа, ал 1958 жылы ғылымдар бірлестігінің Ғылыми тобы құрылды. 1959 жылы ол топтан мектепте математиканы оқытудың жаңа көзқарасын зерттеу бөлімі бөлініп шықты. Олар алдына екі мақсат қойды:
1. Математика ғылымы мен математика пәнінің арасын жақындастыру;
2. Міндетті түрде барлық оқушының шығармашылық бастамасын ояту және ерікті түрде математиканың бір бағдарын таңдауға мүмкіндік беру.
Математикалық білімнің халықаралық алқасы өз жұмыстарының нәтижелерін 1958 жылы Эдинбургте, Стокгольмде, Мәскеуде өткен математикалық халықаралық конгрестерінде қарап, 1965 жылы Парижде шыққан “Орталау деңгейде математиканы оқытудың жаңа көзқарастары” деген басылымда және мемлекеттік басылымдарда жарияланды.
Оларды талдап, сынға салудың қорытындысында:
1) жиындар теориясының түзгіштерін;
2) математикалық логикаға кіріспені;
3) қазіргі алгебра ұғымдарын;
4) ықтималдықтар теориясы мен статистикаға кіріспені мектеп бағдарламасына енгізуіне ұсынады.
Осыны бағдарға алып, бұрынғы Кеңес елінде 60-жылдардың ортасында эксперименттер жүргізіліп, математика бағдарламалары құрастырылып, оқулықтар жазылды. Бүкіл алгебра, геометрия математикадан қосымша әдебиеттер осы негізде жасалды. Мектеп мұғалімдері қайта даярлықтан өткізіліп, математиканы оқыту әдістемелері жаңадан жазылды. Сондай- ақ,
1. Елубаев С.Е. Математиканы оқыту теориясының негіздері мен әдістемесі. А., 2006 ж.
2. С.Қ.Әубәкір «Жоғарғы математика» 2-бөлім А., 2000 ж.
3. Айдос Е. Жоғары математика. А., 2003 ж.
4. Бектаев Қ. Орысша – қазақша математикалық сөздік. А., 1989 ж.
5. Ибраимкулов Ә.М. Жоғары математикадан әдістемелік жаттығулар мен өзіндік тапсырмалар. ҚазҰТУ, А., 2002 ж.
6. Көксалов Қ. Жоғары математика. А., 2002 ж.
7. Туматаев С.Қ., Дүйсенбина Ж.К., Жамықанов Б.Т. Жоғары математика. А., 1999 ж.
8. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. А., 2004 ж.
9. Қажи Нурсұлтанов. Дискретті математикалық логика. А., 2002 ж.
10. Қажи Нурсұлтанов. Математикалық логика бастамалары. 1-бөлім. А., 1994 ж.
11. Қ.Қабдықайыр. Жоғары математика. ҚазҰУ А., 2006 ж.
12. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. Ч.2,3 Минск.: 1984 г.
13. Шипачев В.С. Основы высшей математики. М., 1989 г.
14. Сборник индивидуальных задач по высшей математике. Ч 1,2 Под ред А.П.Рябушко. Минск.: 1991 г.
15. Сборник задач по математике. Под. ред. А.В.Ефимова.Наука,М., 1984г.
        
        Кіріспе
Мектептегі математика өз тарихында талай ... ... ... ... ... отырды. Математикалық білімнің дәйекті
мәселелері іріктеліп, енгізгі бағдар ретінде жинақталып, жүйеленіп, басқа
ілімдердің табыстарымен ... ... ... ... ... ... өңдеуден өткізіліп, тәжірибелер жасалып, түзетіліп, қайта
баяндалады.
Материалды ... ... ... оның ... ... ... жүйесі мен қазіргі білім жүйесін қарастырайық. Математикалық білімнің
жаңа көзқарастарын мұғалім өзі ... оны ... ... оңай іс емес.
Оған қыруар күш, мемлекеттік ... жылы ... ІV ... конгресте математикалық білімді
жаңалау үшін халықаралық сарапшылар тобы ... Олар ... ... ... ... 250 кітап жазды. Әрбір елге арнап,
жаңа ... ... Сол ... сай ... ... құрастырды.
Алайда, жиырмасыншы ғасырдың екінші жартысында математика ел қуатын,
экономикасын анықтаушыға ... ... да 1950 жылы ... ... ... ... ал 1958 жылы ғылымдар бірлестігінің Ғылыми
тобы құрылды. 1959 жылы ол ... ... ... ... жаңа
көзқарасын зерттеу бөлімі бөлініп шықты. Олар алдына екі мақсат қойды:
1. Математика ғылымы мен математика пәнінің ... ... ... ... ... ... шығармашылық бастамасын ояту және
ерікті түрде математиканың бір бағдарын таңдауға ... ... ... ... ... өз жұмыстарының нәтижелерін
1958 жылы Эдинбургте, Стокгольмде, ... ... ... ... ... 1965 жылы ... шыққан “Орталау деңгейде
математиканы оқытудың жаңа көзқарастары” деген басылымда және ... ... ... ... ... қорытындысында:
1) жиындар теориясының түзгіштерін;
2) математикалық логикаға кіріспені;
3) қазіргі алгебра ұғымдарын;
4) ықтималдықтар ... мен ... ... ... ... ... ... алып, бұрынғы Кеңес елінде 60-жылдардың ортасында
эксперименттер жүргізіліп, математика ... ... ... ... ... ... ... қосымша
әдебиеттер осы негізде жасалды. Мектеп ... ... ... математиканы оқыту әдістемелері жаңадан жазылды. ... ... ... ... ... ... түрлі оқу жүйесі пайда
болды.
Бұл ... ... ... ... ... ... ... логика түзгіштері негізінде жаңаланған білім оқушыға да,
мұғалімге де ауыр ... ... ... ... мен ... жүйесі мектеп оқу құралдарынан орын алды.
Оларды оқытудың әдістемелік жүйесі әлі де ... ... ... ... ... ... ... тарап, еліміз егемендік алған кезде, нарыққа
көшу ... ... ... мазмұнына жаңа талаптар ... 1991 жылы ... ... Білім министрлігі жанынан құрылған
алқа өз жұмысын бастады.
Алдағы уақытта бұл ... ... ... сай ... ... ... ... жеткізілетіндігіне күмән жоқ.
“Математика” деген атауыштық есім ежелгі гректер тіліндегі ... ... ... және ... ... ... шеберлік) деген
мағынадағы әртүрлі екі сөздің қиюласуынан жасалған ... ... Бұл ... сөз, әу ... ... ... яки “біліми өнер” деген
мағынада ... ... ... мен ғылым дүниесінде “математика” сөзін осы
айтылмыш мағынасында алғаш тұтынған адам – ол ежелгі грек жұртының әлемге
аян ... әрі ... ... ... 580-500 жж.) болған.
Пифагор және оның ізбасарлары мен шәкірттері – ... ... ... ... етіп, “Бәрі – сан” деген қалыптамалық
қағиданы ұстанғаны тарихқа ... ... Бұл ... ... одан ... ... бәр нәрсе саннан жасалған және тек
саннан тұрады” – деп пайымдағанын көруге болады. Сондықтан да, ... ... ... ... деп ... ... сан деп, ... натурал сандар жиыны
ұғылған. Пифагордың өз анықтауы бойынша: “Сан дегеніміз ... ... ... ... “бірлікті” сан ғана емес “санды жасаушы” деп
атаған. Оның тұжырымы бойынша ... сан ... ... ... 3=1+1+1; ... ... яғни 20 – ... білімтану жүйесінде математика
былайша анықталады:
1 – анықтама. Қазіргі заманғы аксиоматикалық ... ... ... ... деп абстракциялық форма – ... ... ... ... ... ... ... деген ұғыми сөздің мағынасы
“операция” (амал) және ... ... ... ... анықталып
көрсетіледі.
2 – анықтама. Егер қандай да бір А ... Т ... амал және ... ... онда А жиынын структура (құрылым) деп атайды.
Егер А жиынында Т математикалық амал және Р ... ... онда А ... Р – ... ... ... дейміз. Ал
А жиынында Т логикалық амал мен Р ... ... ... болса, онда
А жиынында логикалық құрылым жасалған деп айтуға болады. Осы ... ... ... ... ... деген ұғыми
тіркестер жасалған.
А жиынында Т амал мен Р ... ... ... S – ... ... қысқаша былай белгілеп жазады:
Мұнда: 1) А – базалық (тұғырлық) жиын; 2) а – жекеленген ... ...... 4) Р – ... ... ... ... Пифагордың сандық
математикасы мынадай сандық құрылым деп қарауға болады:
Мұнда: 1) – ... ... ... 2) 1 – бірлік сан,
құрылымның жекеленген элементі; 3) – ... 4) – ... ... ... ... ... Пифагордың сандық математикасын
былайша анықтауға болатынын көреміз:
Пифагордың сандық ... деп – оң ... ... ... ... элемент жекеленген және сол жиынның элементтері үшін
“қосу”, “алу”, “көбейту”, “бөлу” ... ... ... ... ... ...... құрылымды айтады.
Қазіргі біліми тілде “операция” (амал) сөзі әр алуан түрлендіргіш
әрекетті яки ... ... ... амал “бейнелеу” деп
аталатын танымдық ұғым арқылы анықталады.
Мысалы. 3+4=7 теңдігін ... Бұл ... ... ... “Қосу амалы (3,4) қосын 7 ... ...... Бұл ... ... ... ... қалыптама арқылы
жазып көрсетуге болады:
Жалпы танымдық тілде: (3,4) ... ... ... ал ... оның бейнесі немесе бейнелік көшірмесі деп атайды.
Математикалық білім ... ... ... ... ... ... бір ойқорытындыларына сүйене отырып, қандай да бір
жаңа ойқортымның ақиқаттығын ... ... ... боп ... да, ... ... ... амалын математиканың жүрегі
немесе жаны деп атайды. ... ... ... ... мен мүмкіндігін алғаш атап көрсетуші адам – ол ежелгі гректерден
шыққан әйгілі жеті данагердің көш басшысы ... ... 625-548) ... ... туралы ойын сандар математикасында тұңғыш рет Пифагор
қолданған.
Математикалық дәлелдеу жайында Фалес пен ... ... ... ... ... ... оны, шын мәнінде, ғылыми шыңына ... ... грек ... ... (б.з.б. 356-300) болғанын тарихтан білеміз.
Ғылым тарихында ... ... ... ... ... ... ... замандық математиканы “құрылымдар математикасы” деп анықтаушы
Никола Бурбаки болғанын жоғарыда айттық (Н.Бурбаки 20 – ... бір топ ... ... ... жасырын ұжымның
бүркеншек аты).
Бурбакишілдер: “Ежелгі гректер заманынан бері қарай “математика” деп
айту “дәлелдеу” деген сөзбен ... ... ... ... ... ... “бейнелеу”, “амал”, “әрекет”, “дәлелдеу” –
деген танымдық сөздердің баршасы білім әлеміне логика пәні ... ... ... ... ... жатады. Сонымен қатар олардың ... ... ... тек ... пәні ... ғана ... әрі ... ашып
көрсетіледі. Сондықтан, ендігі сөз логика туралы болмақ.
“Логика” сөзі, әу баста, ежелгі гректер тіліндегі “logos” (сөз, ... ... ... ... ... Білім тарихын зерттеушілер “логика”
сөзін ғылымға алғаш ... адам – ол ... грек ... Демокрит
(б.з.б. 460-370) болған деп көрсетеді. Демокрит ... ... ... ... жазған. Осы тарихи шығарманың ... ... ... аты ... ... ... ... мәселелерін зерттейтін жалпы философиялық
білімнің бір саласы ретінде дүниеге келеді. Ол дара пән боп ... ... ... ... ... ... және ... нәрсесі бар логика
атты дара пәннің ... ... рет ... ... ... ... ... ежелгі грек данагері Аристотель (б.з.б. 384-322) қалаған. Ғылыми
білімнің ... мен ... ... ... ... ... ... қаруы (органон) немесе “дәлелдеу туралы ғылым” деп атайды.
Орта ғасырлық Қазақстандағы байырғы шаһарлардың бірі Отырар ... ... ... төл ... әлемнің екінші ұстазы (Аристотельден
кейінгі ұстаз) атанған ... әл – ... ... ... ... талдау, кемелдендіре кеңейту және жалпақ жаһанға ... ... ұзақ ... бойы ... Ол ... ... ... қажетті білімдер тізімін ... ... ... ... ал ... ... орынға қойып қарастырады.
Екінші ұстаз тағы бір шығармасында логиканы сөздер ... ... ... – деп ... ол, - ... сөйлеу
тілін қалай туралайтынын қарастыратын болса, логика ғылыми қателер жіберу
қатері туған тұста адам ... ... ... ... туралап отырады”.
Алдыңғы айтылғандардан, логиканы ақиқатқа жету үшін қалай дұрыс ойлай
білу керек екендігін зерттейтін ғылым деп ... ... ... ... ... ... мен ... айқын ашып түсіндіру үшін, әуелі,
“ойлау”, “ақиқат ой”, “дұрыс ой” деген ұғымдардың мазмұнын ... ... адам ... мен ... ... ... жатады. Адамның
ойлау органы – ми. Оның ойлау қызметі ... ұғым ... және ... ... түптектік ұғымдар арқылы анықталады.
3 – анықтама. Айналадағы нәрселер мен құбылыстардың адам санасындағы
бейнеленуін тану деп атайды. Танудың ... ... ... ... ... әрекеті іске асырылу сипатына қарай екі түрлі деңгейге ... 1) ... ... ... 2) ... ой- сана
деңгейіндегі немесе рационалдық деңгейдегі тану.
Сезім арқылы тану қызметі түйсіну, ... және ...... ... жүйесі арқылы іске асырылады. Бұларды тікелей тану ... тану ... деп те ... Тікелей (аулақтамай) танудың өздік
логикасы бар, оны сезу ... деп ... Бұл ... ... ... ... ... т.с.с. ұғымдар қарастырылады.
Ақыл-ой яғни саналы (рационалды) түсінім деңгейіндегі тану қызметі
ойлау, пайымдау, ұғыну әрекеттері ... ... ... ... емес тану ... ... тану деп те атайды.
4 – анықтама. Ойлау деп шынайы өмірдегі нәрселер мен ... ... адам ... ... айтады.
Сөйтіп, ойлау дегеніміз ақыл – ойдың тануы яғни бейнелеу немесе
түрлендіру әрекеттері ... іске ... ми ... ... ... ... ... мен құбылыстарды бір сөзбен айтқанда,
затиялық нәрселер немесе заттық нәрселер деп қарауға ... Ал ... адам ... ... ... ... бейнесін)
санауялық нәрселер (идеялар, ойлар) деп атайтын боламыз.
Ақыл-ойға ұялаған санауялық бейненің ... ... ... сөз
болып табылады. Сөз – ойдың сыртқы қабы немесе қалыбы ... ... ... амалының қалыбы мен қаруы сөйлеу тілінің сөздері боп
саналатынын ... Сөз адам ... ... белгілемесі
(символикасы), қалыптамасы (формасы) және ойды туғызушы, жасаушы боп қызмет
атқарады. “Сөз ... ... ... ... ... ... халық даналығы
сөздің осындай ой тудыратын, ой сақтайтын және ойды жеткізетін ... ... ... деуімізге болады.
Алдыңғы айтылғандарды тілге тиек, ойға арқау ете отырып, логика пәнін
осылайша анықтауға болады.
5 – анықтама. Логика – ақиқат және ... ... ... ... мен ... ... ... формасы (қалыбы) деп шынайы өмірдегі нәрселердің қасиеттері
мен ... ... ... ... ... ... ... үш
түрлі ойлау қалыбы қарастырылады. Олар: 1) “ұғым”; 2) “пайым” және 3)
“ойқорыту” деп ... ... ... әрқайсысына белгілі бір тұлғалық
құрылым тән болып келеді. Бұл құрылымдарды ... ... үшін ... (символикалар) жүйесі қолданылады. Осындай белгілемелер
тілінде өрнектелген ойды ... ... ой деп ... ... нақтылы мазмұны және айқын құрылымы болады. Ой мазмұнын сол ой
бейнелейтін нәрселердің қасиеттері мен қатынастары ... ... ... ... ... ... боп ой ... құрмаластыру
жолдары саналады. Ой мазмұнына қарай ... және ... ... ...... Шынайы өмір нәрсесі мен құбылысының адам санасында
дәлме-дәл және ... ... ... ой деп ... ... ойға ... ... мазмұндағы бейнелеуді жалған ой деген сөз арқылы атап көрсетеді.
Сөйтіп, “ақиқат-ой” немесе қысқаша “ақиқат” деп ... ... ... – дәл бейнелейтін ой ғана айтылатын көреміз. Егер ой ... ... ... ... ... яғни ... ... ондай ойды “жалған ой” қатарына жатқызуға болады.
Формасы (қалыбы) немесе структурасы (құрылымы) жағынан ... ... ... ой және ... емес ... ой боп екі ... ... ақиқаттығы мен дұрыстығы әрқашан бір-бірімен етене байланыста
боп келеді.
Тану барысында анық ... жету үшін ... екі ... ... ... 1) ... ... болатын түптұғырлық, бастамалық ойлар
ақиқат болуы шарт; 2) ой ... ... ... ... ... ақиқат әрі дұрыс болуын ұйымдастыратын және қадағалайтын біліми
пән логика деп аталады.
Математикалық логиканы, екінші сөзбен, символикалық ... деп ... ... бұл ... қатар “теориялық логика” ... ... ... де ... ... ... ... заңдарын
және әдістерін зерттейтін ғылымды білімтану жүйесінде формальдық логика
(Аристотель логикасы, дәстүрлік логика немесе жалпы ... деп ... ... ... даму ... ... заңдары мен ережелерін баяндау
үшін символикалық тілді алғаш бастап қолданушы адам ... ... ... ... ... ... ... яғни
математикалық логиканың бұлақтық бастауы немесе түптегі деп қарауға ... ... ... ... ... ... тілі ... байырғы
сөйлеу тіліндегі сөздер жүйесі боп келеді. Табиғи тілдің ... ... ... ... құрал болғандықтан, олар сөйлеу нәрселерін адам
санасында дәлме-дәл бейнелей алмайды. Сондықтан дәстүрлік ... ... ... ... ... ... ... жасанды
тілмен жабдықтау қажеттігі кеп туған. Ғылым атаулыны әмбебап (универсал)
белгілемелік тіл арқылы ... ... ... ... адам ол ... ... әрі философы Г.В.Леибниц (1646-1716) болған. Соның бағдарламалық
пайымдамасы ... бір ... ... ... ортақ әмбебап тілмен
баяндау үшін, алдымен, “адамзат ойының әліпбиі” жасалуы тиіс. Ондай әмбебап
әліпби екілік санау ... ... ... ... ... ... осы ... ойына қарап, оны қазіргі замандық
математикалық логика пәні мен ... ... ... ... жол ... ... деп ... ой-құрылымын математикалық есептемелер арқылы өрнектеу және
оны түрлендіру жолын іс жүзінде алғаш жасаған адам, ол ... ... әрі ... Джордж Буль (1815-1864) болған. Ол өзінің “Логиканың
математикалық талдамасы” (1847 ж.) және “Ойлау заңдарын зерттеу” (1854 ... ... ... ... ... ... мен ... өз заманындағы алгебралық әдістерді кеңінен ... ... ... кезде “Буль алгебрасы” деп аталып жүрген жаңа пәннің
негізі ... ... ... ... тілі ... ... алгебрасы” қазіргі замандық электронды есептегіш машиналардың (ЭЕМ-
дың) логикалық және есептегіш тетіктерін ... және ... ... кеңінен қолданылады.
Сөйтіп, Аристотельдің дәстүрлік логикасы Буль алгебрасының арқасында
математикалаған символикалық логика ... ... Осы ... ... теориясының құрылымы мен қызметін тереңдеп зерттеуге
математикалық ... ... ... төте және ... жол ашты. Соның
нәтижесінде дәстүрлік логика табиғи тілмен қатар жалпы ... ... ... металогика деп аталатын жаңа білім саласының ... ... ... Мұндағы “meta” – грек сөзі, ... ... ... ... ... ... ... Сондықтан “металогика” сөзі
“логикадан кейінгі пән” яғни ... ... ... ... ... ... ... ауқымы барынша кеңейтіліп, әдістемелік қаруы
кемелденген логика білімі 19 – ... аяқ ... ... ... ... ... ... да байыпты жұмсала
бастайды. Айтылмыш бағыттағы ғылыми зерттеулер ... ... ... ... ...... білімге үлкен үлес қосқан
кемеңгер ... мен ... ... атап ... абзал.
Математиканы логикаландыру бағытында алғаш бастап өнімді де өрелі еңбек
етуші ғалымдардың бірі – ... ... әрі ... ... ... Ол математика атаулыны логика тілі арқылы негіздеуге батыл талпыныс
жасайды. Ғылым танымгерлері Г.Фрегенің 1870 жылы ... ... ... атты ... ... ... немесе математиканы
формальдандырудың бастамасы болады деп санайды. Бұл игі ... ... ... ... ... ... ... (1858-1932),
ағылшын математигі әрі философы Б.Рассель (1872-1970) және немістің
кемеңгер ... ... ... ... Осы ... ... танымал
математиктер мен талантты логиктердің табанды да табысты еңбектерінің
арқасында Метаматематика (математикадан ... пән ... ... ... пән) деп ... ... жаңа пән ... ілімі математиканың негіздемелік және дәлелдемелік
мәселелерін формальданған логиканың әдістерімен зерттейтін ... ... жаңа бір ... ... табылады.
Алдыңғы айтылғандардың бәрін салыстыра сараптай ... ... ... ... не?” ... сауалға сай келетінін жасуапты
бір сөзбен мынадай қалыптама түрінде беруге болатын секілді:
Математикалық логика = ... ... + ... ... ... ... ... қабырғасында және де жоғары
білім беру ордаларында ... ... ... ... ... ... нақтылап, мысалдар келтіру арқылы айқындап көрсету.
І. Математикалық ... ... ... мен ... ортаны танып білу ... ... ... ... мен ... қасиеттерінің арасындағы өзара
байланысты анықтайды. Осы байланыс түрлі ... ... ... беріледі. Мысалы, “Тең қабырғалы үшбұрыштың барлық бұрыштары тең”,
“28 саны 7 - ге бөлінеді”, “16 жұп сан”.
Әрбір ... ... ... ... және ... ... ... біз сөйлемнің құрылымына ерекше көңіл
бөлеміз. Математикада сөйлемдер жәй (элементар) және құрама (күрделі) ... “28 саны 7 - ге ... ... ... жәй. “28 саны жұп және 7 ... бөлінеді ”, “” , ... ... ... ... онда оның
табанындағы бұрыштары тең” сөйлемдері құрама сөйлемдер.
Құрама сөйлемдер жәй сөйлемдер “және”, “немесе”, ... ... ... сөздермен байланыстыру арқылы ... Бұл ... ... ... деп ... сөйлемнің логикалық құрылымын анықтау үшін
1. Берілген құрама сөйлем қандай жәй ... ... ... ... ... ... ... білу керек?
Мысалы, “28 саны жұп және 7 - ге ... ... ... ... ... Ол мынадай екі жәй сөйлемнен тұрады: А “28 саны жұп ”,
“28 саны 7 - ге ... ”. Олар ... ... логикалық жалғаулықтың
көмегімен бір құрама сөйлемге келтірілген. Жәй сөйлемдердің белгіленуін
пайдаланып, осы құрама ... ... ... “А және В” ... ... “” сөйлемнің құрылу ерекшелігі бөлек. Егер А “х саны 8
- ге тең”, “х=8” болса, В: “х саны 8 - ден ... яғни “” онда ... ... “А ... В” ... ... А: “үшбұрыш теңбүйірлі”, В: “табанындағы бұрыштары
тең” болса, онда оны “Егер А, болса онда В” ... ... ... саны 4 - ке ... ... ... ... құрылымын
анықтау үшін А: “14 саны 4 - ке бөлінеді” деп алайық. Сонда берілген сөйлем
“А емес”, “А ... ... ... ... жәй хабарлы сөйлемдерді қарастырайық:
1. Қазақстан - егеменді мемлекет;
2. Натурал сандар жиыны ақырсыз;
3. 25 саны 5 - ке еселі;
4. Құр жиынның ... ... 38 саны 3 – ке ... ... барлығы мазмұны жағынан әртүрлі. Бірақ олардың
барлығына ортақ бір қасиеттің бар ... ... ... Осы ортақ –
кейбір сөйлемдерде ... ... дәл), ал ... ... ... емес,
қате) ойлардың айтылуы, 1, 2, 3, сөйлемдері ақиқат, ал 4, 5 ... деп ... ... ақиқат немесе жалған екендігін айтуға болса, онда ол
пікір деп аталады.
Математикада ... ... ... ... және ... жазу үшін тағы басқа символдарды
пайдаланамыз. ... “” ... “12 саны 7 - ... ... сөйлемнің
математикалық жазылуы болып табылады. Кез келген хабарлы ... ... ... Мысалы, “”, “”, “” сөйлемдері пікір
бола алмайды, өйткені ... ... ... ... ... әрқайсысының ақиқат немесе жалған екендігі туралы айта
алмаймыз. Қандай да бір сөйлем туралы ол ... ... ... деп ... ... ... ... алфавитінің үлкне әріптерімен, ал лоардың
мағынасы ... ... “а” ... ... ... “ж” әрпімен белгілеу
келісілген.
Ескерту: Кейбір оқулықтарда ақиқат және жалған ... ... 1 және 0 ... ... ... оқушылары математика пәнінің алғашқы сабағынан бастап
ақиқат пікірмен кездеседі. Олар тағы ... ... ... Одан кейін екі таңбалы, үш ... ... ... ... ... ... ... теңсіздігі туралы
пікірлерге кездесетін болады. Мысалы, ... ... ... не ... ... тексеріңіздер»:
517+408=925
804-235=579
Басқаша айтқанда, бұл жаттығуда берілген теңдіктердің ақиқат немесе
жалған екендіктерін анықтау талап ... ... ... оқушы бірінші
теңдіктің ақиқат, ал екінші теңдіктің жалған екендігіне көз жеткізеді.
Басқа ...
2.
3.
4.
5. тағы сол ... ... ... ... емес ... ... талап етіледі.
Мұндай жаттығуларды орындауда ... ... ... ... ... сөйлемдердің ақиқат немесе жалған екендігін анықтау талап
етіліп отыр.
Пікірлер элементар (жәй) және күрделі (құрама) ... ... ... деп оны ... ... ... келмейтін пікірді
айтамыз.
Егер пікірді бірнеше элементар пікірге жіктеуге болса, оны ... деп ... ... әртүрлі жалғаулықтар және сөз тіркестері арқылы
элементар пікірлердер құрылады. Мысалы, “102 саны жұп және 9 - ... “” , ... ... - ромб ... ... ... әрқайсысы күрделі. Олар элементар пікірлерді “және”, “немесе”
деген сөздермен байланыстыру арқылы алынып тұр.
Күрделі пікірлерді ... ... ... тек ... ... ... ... та алуға болады. Мысалы, “Егер үшбұрыштың екі қабырғасы
тең болса, онда ол теңбүйірлі”, “трапеция теңбүйірлі болса, сонда тек ... оны ... ... ... ... “және”, “немесе”, “егер”, “онда”, “сонда тек сонда ... ... деп ... ... оларды элементар пікірлер
арасындағы байламдар деп атайды, өйткені мұндай жалғаулықтар ... бір ... ... ... ... ... “емес” сөзі мен, “дұрыс емес” ... ... ... ... ... да бір ... теріске шығару
мақсатында қолданылады: Мысалы, “12 жәй сан”. Бұл – жалған пікір, себебі 12
саны 1 мен ... ... да ... ... Осы сөйлемге “емес”, “дұрыс
емес” сөздерін қолданайық. Одан қосақтасақ “12 жәй сан емес”, “12 жәй ... ... ... ... сөйлемдер құрастырамыз. Ал, бұл – пікірлер ақиқат
болады.
Сонымен, “және”, “немесе”, “егер”, “онда”, ... тек ... ... ... ... тағы басқа байламдар арқылы кез – ... ... ... ... пікірлер алуға болады және олардың мағыналық
сипатына көңіл аударылмайды. Пікірлер теориясында күрделі пікірге кіретін
элементар ... ... ... ... ... байланысты күрделі
пікірдің де ақиқат немесе жалған екендігі зерттеледі.
Кез келген А пікірінен, оны теріске шығара ... яғни А ... деп ... жаңа ... ... ... ... теріске шығаруды деп белгілейді, ол “А емес” ... ... егер А - ... ... ... ... ... пікір
болса, онда - “Тік төртбұрышын диагональдары тең емес” деген пікір
болады. Бұл мысалда А ... ... ал ... ... А – “128 саны жәй ... ... - “128 саны жәй сан ... пікірді білдіреді. Бұнда керісінше, А - пікірі ... ал ... ... ... А ... пікір болғанымен, А және екі
пікірінің бірі – ақиқат, екіншісі – жалған болады. А және ... ... ... ... ... ... “а” әрпі ... “ж” әрпі
жалған дегенді белгілейді. Осы түрдегі ... ... ... деп атайды.
| | |
|а |ж ... |а |
А ... да бір ... ... Сонда оның теріс пікірі -да пікір ... ... ... де, ... ... ... Оны А ... екі рет теріске шығару деп атайды. А пікірін екі рет
теріске шығару, А пікірінің өзі екенін ... қиын ... Оған ... ақиқаттық кестесін құру арқылы көз ... ... ... кез ... ... екі рет ... шығара отырып алғашқы пікірді
аламыз, яғни .
| | | ... |ж |а ... |а |ж ... ... ... ... “емес” шылауын қоссақ, пікірдің
теріске шығатынын көрдік. Ал егер А ... ... ... ... онда ... құру үшін ол ... алып тастау керек.
Егер А – “бүгін күн суық емес” болса, - “бүгін күн суық” болады.
1.2. Пікірлер конъюнкциясы мен дизъюнкциясы
Параллелограмның ... ... ... АД ... ВС қабырғасына параллель және оған тең;
2. АВСД параллелограмының диагональдары бір нүктеде қиылысады және
қақ бөлінеді.
Осы мысалдағы күрделі пікірлердің әрқайсысы екі ... ... ... ... біріктіруден шыққандығын көреміз.
Егер бірінші элементар пікірді А, екіншісін В әрпімен белгілесек, онда
берілген ... “А және В” деп ... яғни әр ... ... ... бір ғана ... ... “А және В” деген пікірді А,В
пікірлерінің конъюнкциясы деп атайды.
А н ы қ т а м а: А мен В ... ... де ... ... ... ... ... пікірді осы пікірлердің конъюнкциясы деп атайды.
Егер А мен В ... ең ... ... ... болса, онда
олардың конъюнкциясы жалған болады. А, В пікірлерінің конъюнкциясын
түрінде белгілейді.
Жоғарыдағы ... ... үшін ... ... ... |В | ... |а |а ... |ж |ж ... |а |ж ... |ж |ж ... ... Жерден үлкен және Астана – Қазақстанның астанасы” ... ... Бұл ... “Күн Жерден үлкен” және “Астана –
Қазақстанның астанасы” деген пікірлердің конъюнкциясы ... ... ... ... ... ... оны ... екі пікірдің екеуі де ақиқат.
“Күн Жерден үлкен және Ертіс Каспий теңізіне құяды” деген конъюнкция
жалған, өйткені оған ... ... ... ... ... Каспийге
құяды” жалған.
“12 тақ сан және 5 - ке бөлінеді” ... ... ... ... ... ... екі элементар пікірдің екеуі де жалған.
Пікірлердің конъюнкциясы қос теңсіздіктерді қарастырғанда кездеседі.
Мысалы, ... “” және “” ... екі ... ... яғни ... “” түрінде жазуға болады,
сонымен қатар бұл пікір ақиқат, өйткені оған ... “”, ... ... ... “” теңсіздігі жалған, өйткені ол “”
деген жалған және “” деген ақиқат пікірлердің конъюнкциясы.
Жалпы ... ... ... ... ... ... “бірақ”,
“алайда”, “дегенмен” және тағы басқа ... ... ... әртүрлі ерекшеліктері болғанмен, логикалық көзқараста
олардың айырмашылығы жоқ.
Теріске шығару және ... ... ... ... ... пікірлер ғана емес, одан да күрделі
тағы сол сияқты пікірлерді құруға болады.
Мысалы:
А: ... – оқу ... ... ... ... ... ... “Асан саяхат құруды жақсы көреді” деген пікірлер берілсін.
Осы элементар пікірлерден мынандай күрделі пікірлер құруға ... ... оқу ... және ... ... ... ... “Асан оқу озаты, тәртіпті және саяхат құруы жақсы көреді”;
3) “Асан саяхат құруды жақсы көреді, ал спротпен ... ... ... ... және саяхат құруды жақсы көрмейтіні
дұрыс емес”;
Осы күрделі пікірлерді былайша өрнектеп жазуға болады:
1.
2.
3.
4.
Сонымен, нақтылы күрделі ... ... ... ... ... күрделі пікірдің логикалық құрылымын анықтайтын өрнекті
аламыз. Осындай өрнек бар болса, онда оның ... ... ... ... осы ... ... ... күрделі пікірдің ақиқат немесе жалған
екендігін анықтауға болады.
Мұны ақиқаттық ... ... ... ... Мысалы, А мен В
пікірлерінің ... ... ... ... ... ... кесте былайша толтырылады: А мен В пікірлерінің барлық мүмкін
мәндерін ... (1, 2 - ... ... соң мен ... ... 4 - ... ... анықтамасы бойынша мәнін 3, 4
бағандағы мәндерінің конъюнкциясы арқылы анықтайды.
|А |В | | | ... |а |ж |ж |ж ... |ж |ж |а |ж ... |а |а |ж |ж ... |ж |а |а |а ... ... ... “102 саны жұп ... 3 - ке ... “Мен театрға немесе қонаққа барамын”;
3) “Ол жұмысқа автобуспен немесе трамваймен келеді”.
Бұл келтірілген пікірлер күрделі, ... ... ... “А ... ... ... “А немесе В” формасындағы пікірді А мен В пікірлерінің
дизъюнкциясы деп атайды.
А н ы қ т а м а: А мен В ... ... де ... ... ... ... ... бәрінде ақиқат болатын күрделі пікірді А мен ... ... деп ... В пікірлерінің дизъюнкциясы деп белгіленеді. Дизъюнкция
анықтамасынан үшін ақиқаттық кестесін құруға болады.
|А |В | ... |а |а ... |ж |а ... |а |а ... |ж |ж ... біз ... ... ... теңізге барамыз” деген дизъюнкцияны
қарастырайық. Ол мынадай үш жағдайда ақиқат ... ... ... және ... ... болсақ;
2) Тауға шығатын, бірақ теңізге бармайтын болсақ;
3) Тауға шықпайтын, бірақ теңізге баратын болсақ;
Бұл дизъюнкция тек бір жағдайда ғана “тауға ... және ... ... жағдайда ғана жалған болады.
Математикада “” түріндегі пікірлер кездеседі. Бұл ақиқат па, әлде
жалған ба? Оны анықтау үшін бұл пікірдің не ... ... ... ... “15 саны 7 - ден ... немесе тең” деп оқимыз. Сонда
бұл ... “” ... ... пікр мен “” ... жалған пікірдің
дизъюнкциясы болады. Дизъюнкцияны ... ... бірі ... “” дизъюнкциясы да ақиқат болады.
“” пікір де ақиқат, өйткені бұл “” деген жалған және “”
деген ақиқат пікірлердің дизъюнкциясы.
“” ... ... ... ол “” және “” екі ... ... шығару, конъюнкция, дизъюнкция операциялары арқылы А, В, С, ... сол ... ... ... ... ... ... құруға,
мысалы, тағы сол сияқты және олардың ... ... ... кестесін былай құрамыз: А, В, С пікірлерінің
барлық мүмкін мәндерін жазамыз (1, 2, 3 - баған).
| А |В |С | | | ... |а |а |ж |ж |а ... |а |ж |ж |ж |ж ... |ж |а |а |а |а ... |ж |ж |а |а |а ... |а |а |ж |ж |а ... |а |ж |ж |ж |ж ... |ж |а |а |ж |а ... |ж |ж |а |ж |ж ... ... В ... терістеуі - ны анықтаймыз. (4 -
баған). Екі ... ... ... ... пікірдің
ақиқаттығын жазамыз (5 баған). Енді - ны бір пікір деп ... ... ... екі ... ... анықтамасы арқылы
анықталады (6 - баған).
Ескерту: Екі не одан көп пікірлер үшін мүмкін болатын ... ... ... Мысалы, , демек пікір саны 2 болса,
жағдайда, ал болса, демек 3 ... ... ... ... ... және ... ... ойтұжырым “шығады”, “осы ойдан туады”, “осыдан шығады”,
“егер ..., ... ... ... ... Мынадай екі сөйлемді
қарастырайық: А: “ саны 4 – ке ... В: “ саны 2 – ге ... ... бір – ... өзара байланысты: 4 – ке еселі кез келген сан 2
– ге де еселі болады, ... ... ... ... 4 – ке ... оның 2 – ге еселі екендігі шығады немесе, егер сан 4 – ... ... онда 2 – ге ... болады. Егер осы байламдық сөздерді екі
пікір үшін қолдансақ, онда логикалық формасы “егер А, онда В”, “А – дан ... ... ... ... ... А, онда В” ... ... А мен В пікірлерінің импликациясы
деп аталады.
А және В пікірлерінің импликациясын деп белгілеп, оны “егер ... В” деп ... А ... ... ... ал В ... оның
қорытындысы деп аталады.
Импликацияның әдеттегі қолданылуы математикалық логикадағы
қолданылуынан ... ... ... біз ... ... ... арасында қандай да бір мағына немесе логикалық байланыс бар
деп түсінеміз.
Алайда, ... да бір ... ... беру қиын ... ... Мысалы, А – “бүгін қар жауып тұр”, В – “108 саны
3 – ке бөлінеді” болса, импликациясы ... ... ... ... қар
жауып тұрса, онда 108 саны 3 – ке бөлінеді”.
Логикада импликацияның ақиқаттығы немесе жалғандығы оның ... ... ... ... жалғандығына байланысты болады
деп келісілген.
импликациясы А ақиқат, В жалған болған жағдайдан ғана ... ... ... барлығында да ақиқат болатын күрделі пікір, осы
анықтама бойынша ... ... ... мына түре ... |В | ... |а |а ... |ж |ж ... |а |а ... |ж |а ... ... мен ... ... ... келісім
көп жағдайда ыңғайлы және математикада кеңінен қолданылады. “Егер 9 саны ... ке ... ... онда 81 саны да 3 – ке ... ... ... мәнін
табайық. Мұндағы А – “9 саны 3 – ке еселі” – ақиқат пікірі, В – “81 саны ... ке ...... ... олай болса, импликациясы да ақиқат
болады. ... ... бұл ... тек қана ... 9 саны ... болса,
онда саны 3 – ке еселі болмайды” деген жағдайда ғана жалған болады. Барлық
басқа жағдайларда бұл импликация ... ... 108 саны 5 – ке ... ... онда ол 9 – ға ... ... ... қарастырайық. А – “108 саны 5 – ке ... ... ... ... В – “108 саны 9 – ға ... деген пікір оның
қорытындысы. Берілген импликацияның А – ... ... ал В ... Сондықтан, “Егер 108 саны 5 – ке еселі болса, онда ол 9 – ға ... ... ... ... ... онда ” импликациясы жалған, өйткені ... “” ... ал ... “” ... , онда ” ... ... ... оның шарты да
“”, қорытындысы да “” жалған.
Конъюнкциясы, ... ... ... ... ... ... ... пікірлер құруға және олардың ақиқаттығын
анықтауға ... ... сол ... және В ... ... ... ... Оның шарты
мен қорытындысының орындарын ауыстырсақ , импликациясын аламыз. Оны
берілген импликациясына кері ... деп ... ... “Егер
сіздің жасыңыз 16 – дан үлкен болса, онда сіздің төлқұжатыңыз бар” деген
импликация берілген ... онда оған кері ... ... ... бар ... онда ... жасыңыз 16 – дан үлкен” түрінде болады.
Өзара кері екі және ... ... ... ... ... осы пікірдің ақиқаттық кестесін
құрайық. Ол үшін А мен В элементар ... ... ... ... (1, 2 – ... |В | | | ... |а |а |а |а ... |ж |ж |а |ж ... |а |а |ж |ж ... |ж |а |а |а |
, ... мәні ... ... ... (3, 4 – ... , ... жеке пікірлер деп,
олардың конъюнкциясы анықталады (5 – ... ... ... тек ... В ... екеуі де ақиқат немесе ... де ... ... ... ... ... ... жағдайлардың барлығынада бұл
пікір жалған. пікірін А , пікірлерінің мәні ... ... ... (3, 4 – баған). , импликацияларын
жеке пікірлер деп, олардың ... ... (5 – ... ... тек А мен В пікірлерінің екеуі де ... ... ... ... ... жағдайларда ақиқат болатынын көреміз. Қалған жағдайлардың
барлығынада бұл пікір жалған. ... А және В ... деп ... және оны түрінде белгілейді. жазылуы
“В болғанда және тек сонда ғана А болады” деп ... ... ... А және В ... ... де ақиқат немесе екеуі де жалған
болғанда ғана ақиқат болады.
Мысал, А ... “297 саны 3 – ке ... В ... “297 ... ... 3 – ке ... болатын болса, онда берілген А мен ... ... ... ... “297 саны 3 – ке ... және тек сонда ғана оның цифрларының қосындысы 3 – ке бөлінеді”.
Бұл ... ... ... оны ... екі ... ... де ... сонда және тек сонда ғана, 128=236” жалған пікір.
Математикада құрамында бір немесе бірнеше ... бар ... ... Мысалы, саны 5-ке еселі, тағы сол сияқты.
Бұл сөйлемдердің ақиқат немесе жалған ... ... ... ... ... олар ... бола алмайды. Егер сөйлемдегі айнымалының
орнына белгілі бір мән ... ол ... ... оның ... ... ... ... –тің орнына мәнін қойсақ
түріндегі ... ... ... ал ... ... ... ол жалған пікір болады.
“ саны 5 – ке еселі” деген сөйлем де ... кез ... ... ... ... Егер –тің орнына 5, 10, 15, 20, 25, 30,
35, ... тағы сол ... ... 5 – ке ... ... ... онда бұл
пікір ақиқат болады, ал –тің басқа мәндерінде ол жалған.
теңдеуінде екі ... бар. Ол ... ... ... ... ғана пікірге айналады. Мысалы, егер , болса,
ақиқат пікір аламыз, ал , ... ... ... ... немесе бірнеше айнымалысы бар және олардың нақтылы мәндерінде
пікірге айналатын сөйлем пікірлік форма немесе предикат деп ... ... ... ... ... бір ... екі орынды, үш
орынды тағы сол сияқты предикаттар анықталады. “ саны 5 ... ... ... предикаттар бір орынды, ал екі орынды ... ... ... біз екі ... ... ...... мәндері алынып, предикатты пікірге айналдыратын
жиын. Екіншісі – айнымалының орнына ... ... ... ... ... ... ... предикатында ақиқаттық
мәндер жиыны болады.
Бірінші жиынды предикаттың анықталу ... ал ... ... ... деп ... ... да бір ... берілген болса, онда ол мына екі
жиынды ... ... ...... ... пікірге
айналыратын барлық мәндерінің жиыны;
2. Ақиқаттық жиыны – айнымалының предикатты ақиқат ... ... ... жиын.
Бұл анықтамалардан екені белгілі.
Мысалы, “ саны 5 – ке еселі” ... ... ... ... натурал сандар жиыны, ал ақиқаттық жиыны болып 0 – мен 5
– ке ... ... ... ... ... ... яғни ... орынды предикатты түрінде белгілейді, мұндағы .
жазылуы “ жиынында ... ... ... деп ... ... орнына жиынының кез ... бір ... ... ... ... ... ... белгілі бір айнымалысы бар теңдеу, бір
айнымалысы бар теңсіздік, екі айнымалысы бар ... екі ... ... тағы сол ... ... ... түрі деп қарауға болады.
Пікірлер сияқты предикаттар да элементар және ... ... ... элементар предикаттарға “және”, “немесе”, “емес” логикалық
байламдарын қолдану арқылы алынады.
1.4. Тұжырымдар ... ... ... ... ол ... ... ... жалғандығы туралы айтуға болатын хабарлы сөйлем тұжырым болып
табылады.
Мысалдар. «Жер– күн жүйесінің планетасы» ... ... «Ай ... ... ... ... «4>3» (ақиқат), «2>5» (жалған), «Әрбір
нақты » (ақиқат), « ... саны ... ... және ... ... ... ... тұжырым болып табылмайды. Мысалы, «Бүгін
ауа-райы тамаша» сөйлемі ... ... ... ... тұжырым болып табылмайды. Әрбір сұраулы және әрбір лепті
сөйлемдер ... ... ... ... да тұжырым емес.
Жеке тұжырымдарды әріптерімен белгілейміз. Сонымен, әрбір жеке
тұжырым ақиқат немесе жалған, бірақ бір мезгілде екеуі де бола ... ... ... егер ... ... ... ... мәнін қабылдайды және . Егер ... ... ... ол ... ... ... да ... тұжырымдардан логикалық жалғаулардың көмегімен күрделі тұжырым
жасауға болады. Ондай логикалық ... ... ... ЕМЕС,
ЕГЕР...ОНДА... және т.б.
Анықтама. Қандай да бір А тұжырымын терістеу дегеніміз А ақиқат болса
жалған болатын, ал А ... ... ... ... ... ... ||
|0 |1 |
|1 |0 ... А және В ... ... деп, А және ... ... ... тек сонда ғана ақиқат болатын тұжырымды айтамыз.
|А |В |А |
| | |В |
|1 |1 |1 |
|0 |1 |1 |
|1 |0 |1 |
| 0 |0 |0 ... Екі ... ... деп, екі ... ... ... болғанда тек сонда ғана ақиқат болатын тұжырымды айтамыз.
|А |В ... |1 |1 |
|1 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|0 |0 |0 ... А және В екі ... ... деп,А ақиқат болып В
жалған болғанда тек сонда ғана жалған болатын тұжырымды айтамыз.
Ақиқат таблицасы
|А |В |А ... |1 |1 |
|1 |0 |0 |
|0 |1 |1 |
| 0 |0 |1 ... А және В ... ... деп, А, В
тұжырымдарының екеуі бірдей ... ... ... бірдей ақиқат болғанда ғана
тек сонда ғана ақиқат болатын ... ... ... |В |А В |
|1 |1 |1 |
|1 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
| 0 |0 |1 ... және ... амалдары екі тұжырым үшін анықталды. ... кез ... саны ... ... үшін ... 7. ... конъюнкциясы деп арқылы
белгіленетін және тұжырымдарының әрқайсысы ... ... ... ... ... ... ... 8. тұжырымдарының
дизъюнкциясы деп арқылы белгіленетін және ... ... ... ғана ... ... ... айтамыз.
Пропозиционалдық формулалар. Тавтологиялар.
Пропозиционалдық формула ұғымы (қысқаша пф) ... ... ... ... ... шектелген тізбектер құрастырамыз:
1) 0,1 –– ақиқат мәндерінің символдары, оларды ... деп ... –– ... ... ... (немесе пропозиционалдық
байланыстар);
3) –– әріптердің шексіз ... ... ... ... ... (,) –– ... шектелген тізбектердің кейбіреулерін пф деп ... ... ... ... түрде енгізіледі.
1. 0, 1 тұрақты символдары пф болып табылады.
2. Әрбір айнымалы пф болып табылады.
3-7. Егер A мен В пф ... онда –– ... 1 және 2 ... бастапқы пф анықтайды, ал 3-7 пунктері
жаңа пф құру ... деп ... ... пф {, 0, 1 } ... ... ... 0, 1, p, r, q, s, p1, q10 – ... пф;
Айнымалының кез келген мәндер жиынында тек қана 1 мәнін қабылдайтын
пф ... 0) ... ... ... ... тавтология
(сәйкес тепе-тең-жалған пропозиционалдық формула немесе қарама-қайшылық)
деп аталады.
Кейбір негізгі тавтологияларды келтірейік. ╞А ... А ... ... ...... жою заңы);
II.╞ (екі рет терістеу заңы);
III.╞ ; IV. ╞ (идемпотенттілік заңы);
V. ╞
VI. ╞
VII.╞ VIII. ╞ ... ... ... ;X. ╞ (ассоциативтілік заңы);
XI.╞ ;
XII ╞ (дистрибутивтілік заңы);
XIII. ╞ ;
XIV. ╞ (де Моргана заңдары);
XV. ╞ ... ... ... транзитивтілік заңы);
XVII.╞ (жанама дәлелдеу заңы);
XVIII.╞ (кездейсоқтық заңы);
XIX.╞ (эквиваленцияның транзитивтілігі заңы);
XX ╞ (қарама-қайшылық ... ╞ ╞ (1 – ң және ... ... ╞ (0 – ... ... өрнектелуі);
XXIII.╞ ( - ң арқылы өрнектелуі);
XXIV.╞ ( - ң арқылы өрнектелуі);
XXV. ╞ ( - ң ... ... ╞ ( -ң ... ... ... мен ... Предикаттарды терістеу, олардың конъюнкциясы,
дизъюнкциясы және имплекациясы
жиынында предикаты берілген болсын. Оның кері предикаты
дәл сол ... ... және ... ... ... ... мәндерінде ғана ақиқат болатын предикатты айтады. Оны
деп белгілеп, предикатының ... деп ... ... ... ... берілсін. Оның ақиқаттық жиыны болады.
Сонда, оның кері предикаты “”. Оның ... ... ... Бұл жиын ... ... ... толықтырылуы болады
(1 - сызба).
1 - сызба
жиынында және екі предикаты берілсін.
элементар , ... ... ... және ... ... де ... ... күрделі предикатын айтады. Мысалы, жиынында ... және : “ жұп ... ... екі ... берілсе, онда
олардың конъюнкциясы : “ саны 8 – ден кем және жұп сан” предикаты
болады.
предикатының ақиқаттық ... ал ... ... . “ саны 8 – ден кем және жұп ... предикатының
ақиқаттық мәндері болады. Олай болса ақиқаттық жиыны мен
жиындарының қиылысуына тең, яғни (2 - ... - ... ... ... және ... дизъюнкциясы деп аталады. Ол ... ... ең ... біреуі ақиқат болатын мәндерінде
ақиқат болады. Мысалы, жиынында : “ саны 8 – ден ... “ жұп ... ... ... “ саны 8 ... кем ... жұп ... болады. Сонда оның ақиқаттық жиыны яғни
болады (3 - сызба).
3 - сызба
Теріске шығару, ... ... ... ... ... арқылы күрделі предикаттар құруға болады. Мысалы
тағы сол сияқты. Жоғарыдағы қарастырылған ... ... “ саны 8 – ден ... және : “ жұп сан” предикаттарының
күрделі предикаттарының ақиқаттық жиынын табайық. ... саны 8 – ден кем және жұп ... деп ... ... ... ... ... Ол предикаттың терістеуінің
анықтамасы бойынша жиынының жиынына дейінгі толықтырылуы, яғни
болады.
жиынында және ... ... ... ... ал предикаты жалған пікірлер болатын деп -тің
мәндерінде жалған болатын ... ... және ... ... деп ... предикаттың импликациясы белгіленеді. жиынындағы
– тің басқа ... ... ... ... – мысал. жиынында : “ саны 5 – ке еселі”,:
“ саны тақ” деген екі ... ... ... ... ... 5 – ке ... болса, онда ол тақ сан болады” деген сөйлем болады.
Осы предикаттың ... ... ... жиыны предикатының
жиыны предикатының ақиқаттық жиындары болсын. ... ... ... – Венн ... ... осы ... ... (4
- сызба).
4 - сызба
Импликацияның анықтамасы бойынша “егер саны 5 – ке еселі болса,
онда ол тақ сан ... ... ... болғанда ғана жалған пікірге
айналады. жиынының басқа элементтер үшін бұл ... ... ... ... ... . 4 - ... ... көрсетілген, сонымен қатар жиыны жиынынан және
жиынының жиынына ... ... ... ... ... ... ... жиыны предикатының ақиқаттық
жиыны мен предикатының ақиқаттық ... ... ... ... тұрады.
2 – мысал. жиынында : “ саны 4 – ке ... ... саны ... деген предикаттарды қарастырайық. импликациясы “Егер
саны 4 – ке ... ... онда ол жұп сан ... ... ... ... ... жиыны , предикатының
ақиқаттық жиыны . Бұл ... яғни ... ... ... ... ... да ақиқат болады.
жиынының кез келген мәнінде предикатының ақиқат ... Олай ... . ... ... саны 4 – ке еселі болса, ол
жұп сан ... ... ... ... кез келген -тің
мәнінде ақиқат пікірге айналады. ... 5 – ... ... - сызба
Жалпы, жиынында берілген предикаты тек предикатының
ақиқаттық жиыны предикатының ... ... ... ... ... яғни , ... –тің мәндерінде ғана
ақиқат болуы мүмкін. Егер ... оның ... ... ... ... ақиқат пікірге айналатын болса,
онда предикатын предикатының логикалық салдары деп атайды.
Сондықтан “Егер саны 4 – ке ... ... онда ол жұп сан ... ... ... “ санының 4 – ке еселі болатындығынан оның ... ... ... деп ... болады. Егер жиыны жиынының
ішкі жиыны болмаса, бұлай ... ... ... ... ... ... ... –тің барлық
мәндерінде ақиқат болатын импликациялар жиі ... ... ... ... ... ... 3 – ке ... онда берілген сан 3 – ке
бөлінеді” деген ... ... Бұл ... “берілген сан 3 – ... ... ... ... жазылуындағы цифрлардың қосындысы 3 – ке
бөлінеді”деген предикат “санның жазылуындағы цифрлардың қосындысы 3 – ... ... ... ... ... ... ... сандар жиынында анықталған “Егер
болса, ”, “Егер болса, онда ” тағы сол ... ... ... ... және ... ... ... : “ саны 4 – ке еселі”, : “
саны жұп” деген предикаттарға оралайық. Онда импликациясы “егер
саны 4 – ке ... ... онда ол ... ... мағынаны береді.
жиынындағы қандай да бір ... жұп ... ... үшін оның ... ... ... ... яғни мынаны білуіміз керек:
1. саны жұп болуы үшін оның 4 – ке ... ... саны 4 – ке ... ... үшін оның жұп болғаны
қажетті;
жиынында анықталған және предикаттарынан алынған
импликациясында ... ... ... ... ... ... онда ... предикаты үшін қажетті
шарт, ал предикаты предикаты үшін жеткілікті шарт деп ... ... : “ саны 4 – ке ... ... жиыны ал : “ саны жұп” предикатының
ақиқаттық жиыны болады және ... ... ... предикатынан келіп шығады. Сондықтан предикаты
предикаты үшін қажетті ... ал ... үшін ... блып саналады.
Сонымен, : “ саны жұп” деген қажетті шарт предикатының
ақиқат болуы үшін міндетті түрде орындалатын шарт ... ... ... предикатының ақиқат болуына кепіл бола алмайды, ол
үшін жеткіліксіз, яғни кез келген жұп сан 4 – ке ... : ... 4 – ке ... деген жеткілікті шарт предикатының ақиқат ... ... ... әлдеқайда артық болып саналады. Мысалы, 10 саны 4 – ке
еселі емес, ... жұп ... ... ... ... “тек сонда”, “тек сол жағдайда”, “сонда
тек сонда ғана” деген сөздермен жиі ... ... бөлу ... сан 4 – ке ... ... онда ол жұп ... деген импликацияны “егер сан
4 – ке бөлінсе, тек сонда ол жұп сан болады” деп оқуға болады.
Мынадай ... ... ... ромб болу үшін оның
диагональдарының өзара ... ... ... Осы ... басқаша
құруға бола ма? “Ромбтың диагоналі өзара ... ... ... – ромб” деген сөйлемнен туады. Сондықтан жоғарыдағы сөйлемді
былайша оқуға болады:
1. Төртбұрыштың ромб ... оның ... ... Кез ... ... ... өзара перпендикуляр;
3. Егер төртбұрыш ромб болса, оның ... ... ... ... ... перпендикуляр болу үшін оның ромб
болу жеткілікті;
Бастауыш мектептің ... ... ... ... ... ... бірақ олардың орнына бұл сөздердің синонимдері
“керек”, “болады” сөздері қолданылады.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... ... ... ой ... ... ... ... сандар бір орынды
б) Берілген сандардың кейбіреуі жұп сандар
Бұл сөйлемдердің ақиқат не жалғандығын анықтауға болатындықтан екеуі
де пікір ... Енді “а” ... ... деген сөзді алып тастасақ
“Берілген ... бір ... ... ... ... Бұл сөйлем пікірлік
форма болады. Сонымен, бұл пікірлік форманың алдына қойылған “барлық” сөзі
оны пікірге айналдыратын ... ... ... ... сөз “берілген сандар жұп” деген
предикатты пікірге ... тұр. ... ... ... ... деген сөзді
қолданып та предикатты пікірге ... ... ... “болады”, “кейбір” деген сөздер кванторлар деп
аталады. Осындай пікірлерді жазу үшін және ... ... ... ... ... ... ... сөздердің орнына қолданылып, жалпылау кванторы деп аталады.
символын “бар болады”, “қандай болмасын”, “ең болмағанда ... ... ... ... оны бар болу ... деп ... : “, ” предикаты үшін , түріндегі
жазба “кез келген натурал саны үшін ... ... ... ... Бұл – ... ... өйткені қандай да бір
натурал санды алсақ та, үнемі ... Ал, , ... ... ... ... саны бар болады” деп оқылады. ... де ... ... ... берілген қандай да бір
предикат болса, онда , деген жазба “ ... ... ... ... ... ... Бұл пікірдің ақиқаттығын
анықтау үшін жиынынан кез ... а ... ... ... екенін көрсету керек. Егер де, жиынындағы ең болмағанда бір а
элементі үшін жалған болса, онда , ... ... ... ... жәй ... ... : “ тақ сан” деген
предикат берілсін. Сонда , жазуы “Барлық жәй ... ... ... Бұл ... ... ... саны жәй, ... тақ емес, яғни “2
тақ ... ... ... ... Егер жиынында анықталған предикаты
үшін , жазуы берілсе, ол “ ... ... ... деп ... Бұл ...... орындалатын
ең болмағанда бір элементі табылады” деп те ... ... ... ең ... бір а элементі үшін ақиқат
болса, , пікір ақиқат болады. Егер ақиқат болатындай ... ... бір ... табылмаса, ол жалған пікір болады. Мысалы,
жәй сандар жиынында : “ саны жұп” ... ... ... ... ... ... Шындығында да жәй сандар жиынында саны
табылып, “2 саны жұп” деген ақиқат пікір аламыз.
және ... екі, үш, тағы сол ... ... үшін де ... ... барлық нақты сандар жиынында
предикаты : “” берілген болсын. Сонда , , ... ... , ... ... үшін ” ... орындалады.
Барлық нақты сандар жиынында : “” предикатын қарастырайық.
Сонда , , жазылуы “кез ... ... саны ... ... ... саны бар болады” деген мағына
береді. Бұл ... ... ... предикаттар және олардың қолданылатын амалдар ... ... ... ... ... ... теорема деп аталатын сөйлемдер жиі кездеседі. Теорема
және оларды дәлелдеу ... ... ... бар. Олар ... ... ... Теорема мазмұны қандай сипатта болғанда да, оның
ақиқаттығын дәлелдеу арқылы анықтайтын пікір болып табылады.
Өзімізге ... ... ... ... ... ... ... байланысты мәселелерді анықтаймыз. Мысалы, “егер натурал
санның соңғы цифры жұп сан болса, онда ол ... ... Бұл ... ... жиынында берілген екі предикаттардың импликациясы
екені белгілі. Егер кез ... ... сан ... онда : ... ... ... жұп сан”, : “ саны ... ... ... ... ... жазуға болады
импликациясы ... ... ... ... барлық үшін ақиқат
болады дегенді білдіреді. Сондықтан импликациясының алдында жалпылау
кванторын қоямыз, сонда ... ... мына ... болады: ,
және оны ... ... ... ... натурал сан үшін ... онда ол үшін да ... ... ... ... биссектрисасында жатса, онда ол бұрыштың
қабырғаларынан бірдей қашықтықта болады” деген теореманы дәлелдейік. ... ... ... бұрыштың биссектрисасын да жатыр”, қорытындысы –
“Нүкте бұрыштың ... ... ... ... ... сөйлем. Осы
теореманың шарты да, қорытындысы да жазықтықтағы нүктелер жиыны ... ... ... көреміз. Шындығында да, “Нүкте бұрыштың
биссектрисасында” жатыр деген сөйлем, ... ... ... сол
бұрыштың биссектрисасын бойында жатқан нүктелер үшін ақиқат, ал ... үшін ... ... “Нүкте бұрыштың қабырғасынан бірдей қашықтықта
болады” деген сөйлем туралы да дәл осы ойды айта ... Осы ... және деп ... ... ... ... кез ... нүкте. Сонда қарастырып отырған теорема осы
предикаттардың импликациясын ... яғни ... ... ... ... да ... онда ол бірдей ... ... ... ол ... ... нүктелер үшін ақиқат пікір болады. Мұны
жалпылау кванторы арқылы былай жазылады: ,
Қарастырылған ... және ... ... ... ... ... ... анықталу
облысындағы кез келген үшін ... ... ... осы типтегі
теоремалардың құрылысын үш бөлікке бөлуге болады:
1. Теореманың шарты: ... ... ... ... ... ... ... предикаты;
3. Түсіндіру бөлігі: мұнда теоремада сөз болып, объектілер жиыны
баяндалады, теореманың символикалық жазылуындағы оның түсіндіру
бөлігіне ... ... ... ... оны ... ... ... айқындалып
көрсетілмейді. Бірақ теоремамен жұмыс істеу ... ... оны ... ... ... ... ... сөзбен берілгенде “егер”, “онда” сөзі ... онда оның ... мына ... болады: , мұндағы
жиыны , ... ... ... ... ... ... құрылған сөздердің құрылысы осындай болады: мысалы, “Ромбының
диагональдары өзара перпендикуляр” деген теореманы алайық. Бұл ... ... ... ... ... кез келген ромбты алсақ, оның
диагональдары өзара перпендикуляр болады. ... бұл ... ... ... ... ... төртбұрыш ромб болса, онда оның диагональдары
өзара перпендикуляр болады” жазықтықтағы төртбұрыштар жиыны деп, ал
оы ... кез ... ... деп ... бұл ... ... жазылады, мұндағы : “ төртбұрышы – ромб”,
: “ төртбұрыштарының ... ... ... деген
предикаттар. Теореманың қорытындысы үшін қажетті ... ал ... ... үшін ... шарт болады.
Осы терминдерді пайдаланып “Ромбының диагональдары өзара
перпендикуляр” ... ... ... ... ... ... ромб болу ... оның диагональдарының өзара
перпендикуляр болуы қажетті;
2. ... ... ... ... болу үшін, оның
ромб болу жеткілікті;
Кейде “қажетті” ... ... шарт ... сөздердің орнына
“қажетті белгі”, “жеткілікті белгі” деген сөздер қолданылады. Сандардың 9 –
ға бөлінгіштігінің “Егер ... ... ... ... 9 – ... ... онда ол санның өзі де 9 – ға ... ... ... Бұл теореманы , түрде жазуға болады. Мұндағы ... ... ... ... : ... ... цифрларының
қосындысы 9 – ға бөлінеді” деген предикат теореманың ... ал ... сан 9 – ға ... ... ... ... қорытындысы.
Осы теореманы түсіндіру бөлігінің орнында қалдырып, оның шарты ... ... ... ... , ... ... ... Бұл теорема былай оқылады: “Егер натурал сан 9 – ға
бөлінетін болса, онда оның ... ... 9 – ға ... Бұл ... ... кері ... деп аталады.
Егер және жиынында берілген предикаттар болса, онда
, және , ... ... кері ... ... ... түсіндіру бөлігі бірдей болады.
Мектепте тура және кері теоремалар жиі ... ... ... ... ... кез келгені тура теорема ... ... ... ... оған кері ... болып есептеледі. Жоғарыда
қарастырылған мысалдағы екі теорема да ақиақат. Дегенмен әрдайым бұлай ... ... ... ... : ... – ромб ...... диагональдары өзара перпендикуляр” деген
предикаттар берілсін. “Егер ... ромб ... онда оның ... ... ... ... ... Бұл теорема ақиқат.
Енді, осыған кері теорема , : ... ... ... ... ... онда ол ромб ... ... құрылады. Бұл
теореманың жалған екенін көрсетуге болады.
6 - сызба
6 – сызбада ... АВСД ... ... өзара
перпендикуляр болғанымен ол ромб емес. Егер өзара кері теоремалардың ... ... ... онда оларды бір теоремаларға біріктіруге болады: ,
, яғни жиынында берілген және ... ... ... ... , ... ... және ... шарт болып саналады.
Алғашқы мысалға қайта оралайық “Егер натурал саның қосындысы 9 – ... ... онда ол сан да 9 – ға ... ... ... және ... “Егер натурал сан 9 – ға бөлінетін болса, онда оның қосындысы 9 – ға
бөлінеді” ... ... ... ... сан 9 – ға ... ... цифрларының қосындысы 9 – ға бөлінуі қажетті және жеткілікті” теорема
түрінде тұжырымдауға болады. “Қажетті және ... ... ... тек ... ... ... жиі ... теореманың шарты мен қорытындысы оның ... , ... жаңа ... аламыз. Бұл теореманы
берілген теоремаға қарма-қарсы теорема деп атайды. Мысалы, натурал
сндар жиынында : “ ... ... ... ... ... және
: “ саны 5 – ке бөлінеді” предикаттары берілсін. ... ... ... ... ... ... ... жазылуы нольмен
аяқталса, онда ол сан 5 – ке ... Ал бұл ... ... “Егер натурал санның ондық жазылуы нольмен аяқталмаса, онда ол ... – ке ... ... теорема ақиқат, ал оған қарама-қарсы теорема жалған,
себебі нольмен аяқталмайтын, бірақ 5 – ке ... ... ... ... ... ... теоремасы берілген теоремаға кері ... ... ... ... ... бұл ... ... сан 5 – ке бөлінсе, ... ... ... ... аяқталмайды” деген теорема “Егер натурал сан 5 –
ке бөлінсе, онда оның ... ... ... деген теоремаға қарама-
қарсы, санмен қатар “Егер санның ондық ... ... ... онда ол ... ке ... ... теоремаға кері тоерема.
Сонымен, , және, теоремалардың теңбе-тең екенін
көрдік, яғни егер , теоремасы ақиқат болса, сонда тек ... ... ... ... болады. Бұл факт қарсы жорып дәлелдеу әдісіне
негізделген, яғни , теореманың ақиқаттығын дәлелдеу үшін ... ... ... ... ... дәлелдеу керек.
Қарсы жорып дәлелдеу әдісімен “Егер екі түзу үшінші түзуге ... онда олар ... ... ... ... ... Бұл
теореманың шарты : “, ... ... ... ... ... Теореманың қорытындысын жалған деп жориық, яғни ,
түзулері параллель емес және олар бір ... ... ... ... ... аксиомасы бойынша, , түзулері
бір мезгілде ... ... бола ... ... ... ... ... , түзулері түзуіне
бір мезгілде параллель болмайды, ол бұл ... ... олай ... ... емес жору ... яғни берілген теоремаға кері ... ... ... ... Бұдан берілген теореманың ақиқаттығы
шығады.
4. Алгоритмдер теориясының элементтері
Алгоритмдер теориясы ... ... ... ... ... ... ... математигі және астрономы IX ғасырда өмір сүрген
Мухаммед бен Муса аль – ... ... ... ... ол ... есептеулер жүйесінде арифметикалық амалдардың орындалу тәртібін
ойлап шығарды.
Есептің қойылуынан бастап нәтижесіне дейінгі ... ... деп ... ... ... ... кейбір есептер класын шешу
тәсілінде. Мысалы, сызықты теңдеулер жүйесін шешу ... ... ... ... шешу және тағы ... да бір ... берілсін. Ол қолданылатын объектілер
жиыны алгоритмінің қолданылу облысы деп ... ... ... деп атайды, егер оның
қолданылу облысы функциясының анықталу ... ... ... және
алгоритмі өзінің қолданылу облысындағы кез келген элементін
- ке өңдесе.
функциясы есептелінеді деп ... егер оны ... ... ... Пост және ... ... машина ұғымын
енгізді, оны кейін Пост машинасы немесе ... ... деп атап ...... ... да бір ... ... анықталған функция рекурсивті деп
аталады. Олардың анықталу облысы – 0 және натурал сандар ... ... ... ... ... ... функциясы
2. Тұрақты функция (көбіне бұл 0 )
3. Мәндес функция
Бір рекурсивті функцияларды екінші ... ... ... ... ... ... деп аталады.
M аргументті n функция және n ... ... ... Онда ... ... ... ... функция аламыз:
функциялары берілсін. Онда примитивті – рекурсивті операциясы
келесі формула бойынша анықталады:
Функция примитивті – ... деп ... егер оны ... ... саны ... суперпозиция және прмитивті –
рекурсия операцияларының көмегімен өрнектеуге болса.
Функция ... деп ... егер ол ... барлық мәндерінде
анықталмаса.
Тьюринг машинасы
Екі шеті шексіз ұяшықтарға бөлінген лента Тьюринг машинасы ... ... ... М ... сыртқы алфавиті деп аталатын
символдарының бірі орналасқан. Бір символды бос деп белгілеп аламыз.
немесе 0 ... ... Ол ... бос ... ... ... есептейтін Тьюринг машинасының программасы:
аргументтің бір бос емес ұяшығы өшірілді
аргументтің бос емес ұяшықтары ... бос ... ... ... бос емес ... ... ... бір бос ұяшығы толтырылды
нәтиженің екінші ұяшығы толтырылды
нәтиженің бос емес ... кері ... ... ... ... ... ...
екінші бос ұяшық табылды
тағы да бос бөлінетін ұяшық оқылады
аргументтің бос емес ... ... ... бос емес ұяшығы табылды
аргументтің бос емес ұяшықтарының алдында бос ұяшық табылды
аргументтердің бос емес ... кері ... ... ... машинасының композициясы
М1 және М2 Тьюринг машиналарының композициясы деп М ... ... ол ... М1 ... ... секілді функция атқарады да
қорытынды ... М2 ... ... ... ауыстырады және ары
қарай М2 машинасы секілді функция атқарады. Белгіленуі:
Алгоритмдік шешілмейтін проблемалар
Қандай да бір есептің ... ...... ... шешілмесе немесе ондай есептерді шешуге Тьюринг машинасы
табылмаса, онда мұндай есептер алгоритмді түрде шешілмейді деп аталады.
Алгоритмнің күрделілігі ұғымы
Құрылған алгоритмнің ... ... ... сапа ... деп
аталады. Алгоритмнің сапасын бағалаудағы критерий ол күрделілігі болып
табылады.
Күрделілік ... ... ... ... ... ... ... түрінде
өрнектейді.
функциясы функциясының ақырсыз үлкен шамасы деп аталады,
егер
функциясы функциясының ақырсыз кіші ... деп ... ... ... ... ... егер
функциясы функциясының деп аталады, егер
Қорытынды
Бұл дипломдық жұмыс кіріспе, екі ... алты ... ... ... ... ... ... математика ілімі ежелгі заманнан ... ... адам ... ... етіп ... оның өзінің даму тарихында әртүрлі
өзгеріске ұшырағандығы, мектептегі математиканы оқытудың жаңа көзқарастары
мен жетістігі жайында айтылған.
Бірінші ... ... ... ... ... ал оның ... ... “Сөйлемдер мен ... Бұл ... ... мен ... ... ... ... жайында түсініктеме, мысалдар көрсетілген.
Екінші бөлімшеде “Пікірлер конъюнкциясы мен дизъюнкциясы” ... ... мен ... ... ... ... ... мысалдар мен конъюнкция мен дизъюнкция операциялары арқылы элементар
пікірден күрделі пікірлер құруға болатындығы айтылған.
Үшінші бөлімшесінде “Пікірлер ... және ... Бұл ... ... ... шарты, қорытындысы, пікірлер
эквиваленциясы, пікірлік форма, предикат, предикат түрлері ... ... ... ... мен ... ... бөлімде “Предикаттар мен ... ... ... ... олардың конъюнкциясы мен
дизъюнкциясы және импликациясы” бірінші бөлімін қарастырсақ, мұнда ... ... ... ... ... ... предикат құруға
болатындығы және ақиқаттық жиыны жайлы мысалдар беріліп, Эйлер – ... ... осы ... ... ... ... екінші бөлімшесінде “Қажетті және жеткілікті шарт.
Кванторлар”. Мұнда предикаттың шарттары, кванторлар, оның түрлері жөнінде
мәліметтер ... ... мен жазу ... ... ... ... “Теоремалар” тақырыбы жазылған. ... ... ... және мысалдар қарастырылған.
Қорыта келгенде, бұл дипломдық жұмыс берілген тақырыпқа сай, қажетті
деректер мен мағлұматтар қамтылған, қойылған талаптарды ... ... өз ... ... ... пікірдеміз.
Пайдаланылған әдебиеттер
1. Елубаев С.Е. Математиканы оқыту теориясының негіздері мен әдістемесі.
А., 2006 ... ... ... ... ... А., 2000 ж.
3. Айдос Е. Жоғары математика. А., 2003 ж.
4. Бектаев Қ. Орысша – қазақша ... ... А., 1989 ... Ибраимкулов Ә.М. Жоғары математикадан әдістемелік жаттығулар мен өзіндік
тапсырмалар. ... А., 2002 ... ... Қ. ... математика. А., 2002 ж.
7. Туматаев С.Қ., Дүйсенбина Ж.К., ... Б.Т. ... ... ... ж.
8. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. А., 2004 ж.
9. Қажи Нурсұлтанов. ... ... ... А., 2002 ... Қажи ... Математикалық логика бастамалары. 1-бөлім.
А., 1994 ж.
11. ... ... ... ... А., 2006 ... Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. Ч.2,3 Минск.: 1984 г.
13. Шипачев В.С. Основы высшей математики. М., 1989 ... ... ... ... по ... ... Ч 1,2 Под ред
А.П.Рябушко. Минск.: 1991 г.
15. Сборник задач по математике. Под. ред. А.В.Ефимова.Наука,М., 1984г.
-----------------------
Т
х
х
х
• 6

... ... ... ... ...

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 37 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 700 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Арифметикалық және логикалық командалар . avr тегінденгі микроконтроллерларды пайдалану ерекшеліктері . Тактілі генераторлардың сыртқы элементтері . Интерфейстарды шешудің негізгі сұлбалары5 бет
Буль алгебрасы9 бет
Динамикалық жүйелер5 бет
Компьютердің арифметикалық және логикалық негіздерін оқыту ерекшеліктері54 бет
Логикалық функциялар туралы15 бет
Математикалық логика. Буль алгебрасы7 бет
Қазақ паремияларындағы «Еңбек» концептісі4 бет
Жалпы білім беру мектептерінде математикалық логика элементтерінің оқытылуы және турбо пролог логикалық программалау тілі88 бет
Жиындар мен математикалық логика элементтері. Нақты сандар және олардың қасиеттері. Бірінің ішінде бірі кесінділер қағидасы. Жиындар. Жиындарға қолданылатын амалдар. Функциялар. Функцияларды композиция-сы(бейнелеу), Элементар функциялар. Функция графигі, кері функция7 бет
Логикалық функцияларды ЭЕМ-де іске асыру, логикалық элементтер ЭЕМ-де сандарды көрсету әдістері11 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь