Математикалық логиканың элементтері
Кіріспе
І. Математикалық логиканың элементтері
1.1. Сөйлемдер мен пікірлер
1.2. Пікірлер конъюнкциясы мен дизъюнкциясы
1.3. Пікірлер импликациясы және эквиваленциясы
1.4. Тұжырымдар логикасы
ІІ. Предикаттар мен кванторлар
2.1. Предикаттарды терістеу, олардың конъюнкциясы, дизъюнкциясы және имплекациясы
2.2. Қажетті және жеткілікті шарт. Кванторлар
2.3. Теоремалар
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер
І. Математикалық логиканың элементтері
1.1. Сөйлемдер мен пікірлер
1.2. Пікірлер конъюнкциясы мен дизъюнкциясы
1.3. Пікірлер импликациясы және эквиваленциясы
1.4. Тұжырымдар логикасы
ІІ. Предикаттар мен кванторлар
2.1. Предикаттарды терістеу, олардың конъюнкциясы, дизъюнкциясы және имплекациясы
2.2. Қажетті және жеткілікті шарт. Кванторлар
2.3. Теоремалар
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер
Мектептегі математика өз тарихында талай өзгеріске түсіп, толықтырылып, қайта өзгеріске ұшырап отырды. Математикалық білімнің дәйекті мәселелері іріктеліп, енгізгі бағдар ретінде жинақталып, жүйеленіп, басқа ілімдердің табыстарымен қабыстырыла, мектеп оқулықтарына енгізіледі. Ол үшін дидактикалық өңдеуден өткізіліп, тәжірибелер жасалып, түзетіліп, қайта баяндалады.
Материалды іріктеуде қоғам талаптары, оның дамуы ескеріледі. Дәстүрлі білім жүйесі мен қазіргі білім жүйесін қарастырайық. Математикалық білімнің жаңа көзқарастарын мұғалім өзі түсініп, оны оқушыға жеткізуі оңай іс емес. Оған қыруар күш, мемлекеттік қомқорлық.
1908 жылы Римде ІV халықаралық конгресте математикалық білімді жаңалау үшін халықаралық сарапшылар тобы құрылды. Олар дәстүрлі математиканы оқыту мәселесіне арналған 250 кітап жазды. Әрбір елге арнап, жаңа бағдарлама құрастырды. Сол бағдарламаға сай оқулықтарды, оқыту әдістемесін құрастырды.
Алайда, жиырмасыншы ғасырдың екінші жартысында математика ел қуатын, экономикасын анықтаушыға айналды. Осыдан да 1950 жылы математикалық білімді жаңалаушы интернационалдық алқа, ал 1958 жылы ғылымдар бірлестігінің Ғылыми тобы құрылды. 1959 жылы ол топтан мектепте математиканы оқытудың жаңа көзқарасын зерттеу бөлімі бөлініп шықты. Олар алдына екі мақсат қойды:
1. Математика ғылымы мен математика пәнінің арасын жақындастыру;
2. Міндетті түрде барлық оқушының шығармашылық бастамасын ояту және ерікті түрде математиканың бір бағдарын таңдауға мүмкіндік беру.
Математикалық білімнің халықаралық алқасы өз жұмыстарының нәтижелерін 1958 жылы Эдинбургте, Стокгольмде, Мәскеуде өткен математикалық халықаралық конгрестерінде қарап, 1965 жылы Парижде шыққан “Орталау деңгейде математиканы оқытудың жаңа көзқарастары” деген басылымда және мемлекеттік басылымдарда жарияланды.
Оларды талдап, сынға салудың қорытындысында:
1) жиындар теориясының түзгіштерін;
2) математикалық логикаға кіріспені;
3) қазіргі алгебра ұғымдарын;
4) ықтималдықтар теориясы мен статистикаға кіріспені мектеп бағдарламасына енгізуіне ұсынады.
Осыны бағдарға алып, бұрынғы Кеңес елінде 60-жылдардың ортасында эксперименттер жүргізіліп, математика бағдарламалары құрастырылып, оқулықтар жазылды. Бүкіл алгебра, геометрия математикадан қосымша әдебиеттер осы негізде жасалды. Мектеп мұғалімдері қайта даярлықтан өткізіліп, математиканы оқыту әдістемелері жаңадан жазылды. Сондай- ақ,
Материалды іріктеуде қоғам талаптары, оның дамуы ескеріледі. Дәстүрлі білім жүйесі мен қазіргі білім жүйесін қарастырайық. Математикалық білімнің жаңа көзқарастарын мұғалім өзі түсініп, оны оқушыға жеткізуі оңай іс емес. Оған қыруар күш, мемлекеттік қомқорлық.
1908 жылы Римде ІV халықаралық конгресте математикалық білімді жаңалау үшін халықаралық сарапшылар тобы құрылды. Олар дәстүрлі математиканы оқыту мәселесіне арналған 250 кітап жазды. Әрбір елге арнап, жаңа бағдарлама құрастырды. Сол бағдарламаға сай оқулықтарды, оқыту әдістемесін құрастырды.
Алайда, жиырмасыншы ғасырдың екінші жартысында математика ел қуатын, экономикасын анықтаушыға айналды. Осыдан да 1950 жылы математикалық білімді жаңалаушы интернационалдық алқа, ал 1958 жылы ғылымдар бірлестігінің Ғылыми тобы құрылды. 1959 жылы ол топтан мектепте математиканы оқытудың жаңа көзқарасын зерттеу бөлімі бөлініп шықты. Олар алдына екі мақсат қойды:
1. Математика ғылымы мен математика пәнінің арасын жақындастыру;
2. Міндетті түрде барлық оқушының шығармашылық бастамасын ояту және ерікті түрде математиканың бір бағдарын таңдауға мүмкіндік беру.
Математикалық білімнің халықаралық алқасы өз жұмыстарының нәтижелерін 1958 жылы Эдинбургте, Стокгольмде, Мәскеуде өткен математикалық халықаралық конгрестерінде қарап, 1965 жылы Парижде шыққан “Орталау деңгейде математиканы оқытудың жаңа көзқарастары” деген басылымда және мемлекеттік басылымдарда жарияланды.
Оларды талдап, сынға салудың қорытындысында:
1) жиындар теориясының түзгіштерін;
2) математикалық логикаға кіріспені;
3) қазіргі алгебра ұғымдарын;
4) ықтималдықтар теориясы мен статистикаға кіріспені мектеп бағдарламасына енгізуіне ұсынады.
Осыны бағдарға алып, бұрынғы Кеңес елінде 60-жылдардың ортасында эксперименттер жүргізіліп, математика бағдарламалары құрастырылып, оқулықтар жазылды. Бүкіл алгебра, геометрия математикадан қосымша әдебиеттер осы негізде жасалды. Мектеп мұғалімдері қайта даярлықтан өткізіліп, математиканы оқыту әдістемелері жаңадан жазылды. Сондай- ақ,
1. Елубаев С.Е. Математиканы оқыту теориясының негіздері мен әдістемесі. А., 2006 ж.
2. С.Қ.Әубәкір «Жоғарғы математика» 2-бөлім А., 2000 ж.
3. Айдос Е. Жоғары математика. А., 2003 ж.
4. Бектаев Қ. Орысша – қазақша математикалық сөздік. А., 1989 ж.
5. Ибраимкулов Ә.М. Жоғары математикадан әдістемелік жаттығулар мен өзіндік тапсырмалар. ҚазҰТУ, А., 2002 ж.
6. Көксалов Қ. Жоғары математика. А., 2002 ж.
7. Туматаев С.Қ., Дүйсенбина Ж.К., Жамықанов Б.Т. Жоғары математика. А., 1999 ж.
8. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. А., 2004 ж.
9. Қажи Нурсұлтанов. Дискретті математикалық логика. А., 2002 ж.
10. Қажи Нурсұлтанов. Математикалық логика бастамалары. 1-бөлім. А., 1994 ж.
11. Қ.Қабдықайыр. Жоғары математика. ҚазҰУ А., 2006 ж.
12. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. Ч.2,3 Минск.: 1984 г.
13. Шипачев В.С. Основы высшей математики. М., 1989 г.
14. Сборник индивидуальных задач по высшей математике. Ч 1,2 Под ред А.П.Рябушко. Минск.: 1991 г.
15. Сборник задач по математике. Под. ред. А.В.Ефимова.Наука,М., 1984г.
2. С.Қ.Әубәкір «Жоғарғы математика» 2-бөлім А., 2000 ж.
3. Айдос Е. Жоғары математика. А., 2003 ж.
4. Бектаев Қ. Орысша – қазақша математикалық сөздік. А., 1989 ж.
5. Ибраимкулов Ә.М. Жоғары математикадан әдістемелік жаттығулар мен өзіндік тапсырмалар. ҚазҰТУ, А., 2002 ж.
6. Көксалов Қ. Жоғары математика. А., 2002 ж.
7. Туматаев С.Қ., Дүйсенбина Ж.К., Жамықанов Б.Т. Жоғары математика. А., 1999 ж.
8. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. А., 2004 ж.
9. Қажи Нурсұлтанов. Дискретті математикалық логика. А., 2002 ж.
10. Қажи Нурсұлтанов. Математикалық логика бастамалары. 1-бөлім. А., 1994 ж.
11. Қ.Қабдықайыр. Жоғары математика. ҚазҰУ А., 2006 ж.
12. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. Ч.2,3 Минск.: 1984 г.
13. Шипачев В.С. Основы высшей математики. М., 1989 г.
14. Сборник индивидуальных задач по высшей математике. Ч 1,2 Под ред А.П.Рябушко. Минск.: 1991 г.
15. Сборник задач по математике. Под. ред. А.В.Ефимова.Наука,М., 1984г.
Кіріспе
Мектептегі математика өз тарихында талай өзгеріске түсіп,
толықтырылып, қайта өзгеріске ұшырап отырды. Математикалық білімнің дәйекті
мәселелері іріктеліп, енгізгі бағдар ретінде жинақталып, жүйеленіп, басқа
ілімдердің табыстарымен қабыстырыла, мектеп оқулықтарына енгізіледі. Ол
үшін дидактикалық өңдеуден өткізіліп, тәжірибелер жасалып, түзетіліп, қайта
баяндалады.
Материалды іріктеуде қоғам талаптары, оның дамуы ескеріледі. Дәстүрлі
білім жүйесі мен қазіргі білім жүйесін қарастырайық. Математикалық білімнің
жаңа көзқарастарын мұғалім өзі түсініп, оны оқушыға жеткізуі оңай іс емес.
Оған қыруар күш, мемлекеттік қомқорлық.
1908 жылы Римде ІV халықаралық конгресте математикалық білімді
жаңалау үшін халықаралық сарапшылар тобы құрылды. Олар дәстүрлі
математиканы оқыту мәселесіне арналған 250 кітап жазды. Әрбір елге арнап,
жаңа бағдарлама құрастырды. Сол бағдарламаға сай оқулықтарды, оқыту
әдістемесін құрастырды.
Алайда, жиырмасыншы ғасырдың екінші жартысында математика ел қуатын,
экономикасын анықтаушыға айналды. Осыдан да 1950 жылы математикалық білімді
жаңалаушы интернационалдық алқа, ал 1958 жылы ғылымдар бірлестігінің Ғылыми
тобы құрылды. 1959 жылы ол топтан мектепте математиканы оқытудың жаңа
көзқарасын зерттеу бөлімі бөлініп шықты. Олар алдына екі мақсат қойды:
1. Математика ғылымы мен математика пәнінің арасын жақындастыру;
2. Міндетті түрде барлық оқушының шығармашылық бастамасын ояту және
ерікті түрде математиканың бір бағдарын таңдауға мүмкіндік беру.
Математикалық білімнің халықаралық алқасы өз жұмыстарының нәтижелерін
1958 жылы Эдинбургте, Стокгольмде, Мәскеуде өткен математикалық халықаралық
конгрестерінде қарап, 1965 жылы Парижде шыққан “Орталау деңгейде
математиканы оқытудың жаңа көзқарастары” деген басылымда және мемлекеттік
басылымдарда жарияланды.
Оларды талдап, сынға салудың қорытындысында:
1) жиындар теориясының түзгіштерін;
2) математикалық логикаға кіріспені;
3) қазіргі алгебра ұғымдарын;
4) ықтималдықтар теориясы мен статистикаға кіріспені мектеп
бағдарламасына енгізуіне ұсынады.
Осыны бағдарға алып, бұрынғы Кеңес елінде 60-жылдардың ортасында
эксперименттер жүргізіліп, математика бағдарламалары құрастырылып,
оқулықтар жазылды. Бүкіл алгебра, геометрия математикадан қосымша
әдебиеттер осы негізде жасалды. Мектеп мұғалімдері қайта даярлықтан
өткізіліп, математиканы оқыту әдістемелері жаңадан жазылды. Сондай- ақ,
жоғары мектеп бағдарламалары өзгертіліп, алуан түрлі оқу жүйесі пайда
болды.
Бұл шаралар ойдағыдай нәтиже бермеді. Жиындар теориясы мен
математикалық логика түзгіштері негізінде жаңаланған білім оқушыға да,
мұғалімге де ауыр болып, көздеген мақсаттан шықпады.
Векторлар мен координаталар жүйесі мектеп оқу құралдарынан орын алды.
Оларды оқытудың әдістемелік жүйесі әлі де жетілдіріліп, оқыту мазмұны
нақтылана түсетіні айқын.
Бұрынғы Кеңес өкіметі тарап, еліміз егемендік алған кезде, нарыққа
көшу саясатында математикалық білімнің мазмұнына жаңа талаптар қойылғаны
хақ. 1991 жылы Қазақстан Республикасы Білім министрлігі жанынан құрылған
алқа өз жұмысын бастады.
Алдағы уақытта бұл оқулықтр өмірдің ағымына сай толықтырылып,
сарапталып барша оқушы қауымға жеткізілетіндігіне күмән жоқ.
“Математика” деген атауыштық есім ежелгі гректер тіліндегі “mathema”
(білу, білік, ілім) және “tehnica” (өнер, ісмерлік, шеберлік) деген
мағынадағы әртүрлі екі сөздің қиюласуынан жасалған күрделі құрылымға
жатады. Бұл құрамды сөз, әу баста, “білу өнері” яки “біліми өнер” деген
мағынада қолданыс тапқан. Оқыту мен ғылым дүниесінде “математика” сөзін осы
айтылмыш мағынасында алғаш тұтынған адам – ол ежелгі грек жұртының әлемге
аян данагері әрі өнерпазы Пифагор (б.з.б. 580-500 жж.) болған.
Пифагор және оның ізбасарлары мен шәкірттері – “пифагорейшілдер”
өздерінің дүние танымдық ұраны етіп, “Бәрі – сан” деген қалыптамалық
қағиданы ұстанғаны тарихқа танымал шындық. Бұл қалаптаманы тарқата
талдасақ, одан фифагордың: “дүниедегі бәр нәрсе саннан жасалған және тек
саннан тұрады” – деп пайымдағанын көруге болады. Сондықтан да, Пифагорды –
сандар математикасының атасы деп атаған.
Пифагор заманында сан деп, негізінен, натурал сандар жиыны
ұғылған. Пифагордың өз анықтауы бойынша: “Сан дегеніміз тақтар мен
жұптардың жиналымы”. Пифагор “бірлікті” сан ғана емес “санды жасаушы” деп
атаған. Оның тұжырымы бойынша әрбір сан бірліктер жиынтығынан
(қосындысынан) тұрады.
Мысалы: 3=1+1+1; 8=1+1+1+1+1+1+1+1.
Қазіргі замандық яғни 20 – ғасырдағы білімтану жүйесінде математика
былайша анықталады:
1 – анықтама. Қазіргі заманғы аксиоматикалық қалыптама тұрғысынан
алып қарағанда математика деп абстракциялық форма – математикалық
структуралар жиналмасын ұғады. (Н.Бурбаки)
Мұндағы “структура” (қазаша: құрылым) деген ұғыми сөздің мағынасы
“операция” (амал) және “қатынас” деген ұғымдар арқылы анықталып
көрсетіледі.
2 – анықтама. Егер қандай да бір А жиынында Т деген амал және Р
қатынас енгізілсе, онда А жиынын структура (құрылым) деп атайды.
Егер А жиынында Т математикалық амал және Р математикалық қатынас
берілсе, онда А жиынында Р – математикалық структура анықталған дейміз. Ал
А жиынында Т логикалық амал мен Р логикалық қатынас енгізілген болса, онда
А жиынында логикалық құрылым жасалған деп айтуға болады. Осы үлгімен
“грамматикалық структура”, “биологиялық структура” т.с.с. деген ұғыми
тіркестер жасалған.
А жиынында Т амал мен Р қатынас арқылы анықталған S – математикалық
құрылымды (структураны) қысқаша былай белгілеп жазады:
Мұнда: 1) А – базалық (тұғырлық) жиын; 2) а – жекеленген элемент; 3)
Т – операция; 4) Р – қатынас.
Бүгінгі белгілемелік, қалыптамалық тілде Пифагордың сандық
математикасы мынадай сандық құрылым деп қарауға болады:
Мұнда: 1) – құрылымның тұғырлық жиыны; 2) 1 – бірлік сан,
құрылымның жекеленген элементі; 3) – математикалық
амалдар; 4) – математикалық қатынастар.
Сөйтіп, байырғы сөйлеу тілімізде Пифагордың сандық математикасын
былайша анықтауға болатынын көреміз:
Пифагордың сандық математикасы деп – оң таңбалы бүтін сндар
жиынындағы бірлік элемент жекеленген және сол жиынның элементтері үшін
“қосу”, “алу”, “көбейту”, “бөлу” амалдарымен қатар “тең”, “кіші”, “үлкен”
қатынастары анықталған – математикалық құрылымды айтады.
Қазіргі біліми тілде “операция” (амал) сөзі әр алуан түрлендіргіш
әрекетті яки қызметті белгілейді. Математикалық амал “бейнелеу” деп
аталатын танымдық ұғым арқылы анықталады.
Мысалы. 3+4=7 теңдігін алайық. Бұл өрнекті қазіргі заман
математиктері: “Қосу амалы (3,4) қосын 7 санына бейнелейді” – деп
қарастырады. Бұл сөйлемді белгілемелер тілінде мынадай қалыптама арқылы
жазып көрсетуге болады:
Жалпы танымдық тілде: (3,4) қосты бейнелеудің түпнұсқасы, ал 7
санын оның бейнесі немесе бейнелік көшірмесі деп атайды.
Математикалық білім атаулының түбегейлік мақсаты ақиқаттығы бұрыннан
тағайындалған белгілі бір ойқорытындыларына сүйене отырып, қандай да бір
жаңа ойқортымның ақиқаттығын (растығын, дұрыстығын) дәлелдеу боп табылады.
Сондықтан да, ғылым танымгерлері дәлелдеу амалын математиканың жүрегі
немесе жаны деп атайды. Математикалық ойқорытуларда дәлелдеу амалының
қажеттігі мен мүмкіндігін алғаш атап көрсетуші адам – ол ежелгі гректерден
шыққан әйгілі жеті данагердің көш басшысы Фалес (б.з.б. 625-548) болған.
Фалестің дәлелдеу туралы ойын сандар математикасында тұңғыш рет Пифагор
қолданған.
Математикалық дәлелдеу жайында Фалес пен Пифагор алғаш бастап салған
жолды тиімді жалғастырып, оны, шын мәнінде, ғылыми шыңына алғаш жеткізуші
ежелгі грек математигі Евклид (б.з.б. 356-300) болғанын тарихтан білеміз.
Ғылым тарихында Евклид, заңды түрде, ғылыми математиканың атасы деп
аталады.
Қазіргі замандық математиканы “құрылымдар математикасы” деп анықтаушы
Никола Бурбаки болғанын жоғарыда айттық (Н.Бурбаки 20 – ғасырдағы
Францияның бір топ талантты математиктерінен құрылған жасырын ұжымның
бүркеншек аты).
Бурбакишілдер: “Ежелгі гректер заманынан бері қарай “математика” деп
айту “дәлелдеу” деген сөзбен пара-пар айтылады” –деп көрсетеді.
Алдыңғы айтылып өткен: “бейнелеу”, “амал”, “әрекет”, “дәлелдеу” –
деген танымдық сөздердің баршасы білім әлеміне логика пәні арқылы келіп
енген атауыш сөздер қатарына жатады. Сонымен қатар олардың мазмұны мен
танымдық мағыналары тек логика пәні ауқымында ғана толық әрі айқын ашып
көрсетіледі. Сондықтан, ендігі сөз логика туралы болмақ.
“Логика” сөзі, әу баста, ежелгі гректер тіліндегі “logos” (сөз, ой,
сана) деген сөзінен шығып қалыптасқан. Білім тарихын зерттеушілер “логика”
сөзін ғылымға алғаш енгізген адам – ол ежелгі грек білімпазы Демокрит
(б.з.б. 460-370) болған деп көрсетеді. Демокрит “Ойлау ережелері” деген
ғылыми еңбек жазған. Осы тарихи шығарманың айдарлық тақырыбына “логика”
пәнінің аты келіп шыққан.
Логика басында дүниетану мәселелерін зерттейтін жалпы философиялық
білімнің бір саласы ретінде дүниеге келеді. Ол дара пән боп б.з.б. ІV
ғасырда қалыптасқан. Өздік зерттегіш әдісі және зерттеу нәрсесі бар логика
атты дара пәннің негізін алғаш рет әлемнің бірінші ұстазы атанған әйгілі
білімпаз, ежелгі грек данагері Аристотель (б.з.б. 384-322) қалаған. Ғылыми
білімнің тарихшылары мен танымгерлері Аристотель логикасын ақиқатты ашу
және негіздеу қаруы (органон) немесе “дәлелдеу туралы ғылым” деп атайды.
Орта ғасырлық Қазақстандағы байырғы шаһарлардың бірі Отырар (арабша
аты Фараб) қаласының төл тумасы, әлемнің екінші ұстазы (Аристотельден
кейінгі ұстаз) атанған Абу–Насыр әл – Фараби (870-950) Аристотель логикасын
терең талдау, кемелдендіре кеңейту және жалпақ жаһанға жарлап тарату
жұмыстарымен ұзақ жылдар бойы айналысады. Ол өзінің философияны оқып
үйренуге қажетті білімдер тізімін анықтайтын еңбегінде тілтану оқуын
бірінші, ал логиканы екінші орынға қойып қарастырады.
Екінші ұстаз тағы бір шығармасында логиканы сөздер грамматикасымен
салыстыра қарайды. “Грамматика – деп пайымдайды ол, - адамдардың сөйлеу
тілін қалай туралайтынын қарастыратын болса, логика ғылыми қателер жіберу
қатері туған тұста адам ойының дұрыс болуын солай туралап отырады”.
Алдыңғы айтылғандардан, логиканы ақиқатқа жету үшін қалай дұрыс ойлай
білу керек екендігін зерттейтін ғылым деп қарауға болатынын көреміз. Логика
пәнінің нақты мақсаты мен мазмұнын айқын ашып түсіндіру үшін, әуелі,
“ойлау”, “ақиқат ой”, “дұрыс ой” деген ұғымдардың мазмұнын айқындап алған
абзал.
Ойлау адам арқылы мен санасының әрекеттік қызметіне жатады. Адамның
ойлау органы – ми. Оның ойлау қызметі туралы ұғым “бейнелеу” және “тану”
деп аталарын түптектік ұғымдар арқылы анықталады.
3 – анықтама. Айналадағы нәрселер мен құбылыстардың адам санасындағы
бейнеленуін тану деп атайды. Танудың нәтижесін таным немесе білім дейді.
Тану әрекеті іске асырылу сипатына қарай екі түрлі деңгейге жіктеліп
қарастырылады: 1) сезім деңгейіндегі тану; 2) ақыл-ой, ой- сана
деңгейіндегі немесе рационалдық деңгейдегі тану.
Сезім арқылы тану қызметі түйсіну, қабылдау және елестету – деп
аталатын амалдар жүйесі арқылы іске асырылады. Бұларды тікелей тану немесе
алшақтамай тану жолдары деп те атайды. Тікелей (аулақтамай) танудың өздік
логикасы бар, оны сезу логикасы деп атайды. Бұл логиканың ауқымында:
“қуаныш”, “реніш”, “үміттеніс”, “түңіліс” т.с.с. ұғымдар қарастырылады.
Ақыл-ой яғни саналы (рационалды) түсінім деңгейіндегі тану қызметі
ойлау, пайымдау, ұғыну әрекеттері арқылы атқарылады. Бұларды, көбінесе,
тікелей емес тану немесе аулақтатып тану деп те атайды.
4 – анықтама. Ойлау деп шынайы өмірдегі нәрселер мен құбылыстардың
сөз арқылы адам санасындағы түрлендірілуін айтады.
Сөйтіп, ойлау дегеніміз ақыл – ойдың тануы яғни бейнелеу немесе
түрлендіру әрекеттері арқылы іске асырылатын ми қызметі екенін көреміз.
Айналамыздағы танылатын нәрселер мен құбылыстарды бір сөзбен айтқанда,
затиялық нәрселер немесе заттық нәрселер деп қарауға болады. Ал затиялық
нәрселердің адам санасындағы көшірмесін (кескінін, суретін, бейнесін)
санауялық нәрселер (идеялар, ойлар) деп атайтын боламыз.
Ақыл-ойға ұялаған санауялық бейненің затиялық формасы (қалыбы) сөз
болып табылады. Сөз – ойдың сыртқы қабы немесе қалыбы (формасы) болып
есептеледі.
Сөйтіп, ойлау амалының қалыбы мен қаруы сөйлеу тілінің сөздері боп
саналатынын көреміз. Сөз адам санасындағы нышандық белгілемесі
(символикасы), қалыптамасы (формасы) және ойды туғызушы, жасаушы боп қызмет
атқарады. “Сөз сөзден туады сөйлемесе қайдан туады” деген халық даналығы
сөздің осындай ой тудыратын, ой сақтайтын және ойды жеткізетін құдыретті
қасиетімен байланысты айтылған деуімізге болады.
Алдыңғы айтылғандарды тілге тиек, ойға арқау ете отырып, логика пәнін
осылайша анықтауға болады.
5 – анықтама. Логика – ақиқат және дұрыс ойлаудың формасы (қалыбы),
заңдары мен ережелері туралы ілім.
Ойлаудың формасы (қалыбы) деп шынайы өмірдегі нәрселердің қасиеттері
мен қатынастарын бейнелеу әдістерін атайды. Логика пәнінде, негізінен, үш
түрлі ойлау қалыбы қарастырылады. Олар: 1) “ұғым”; 2) “пайым” және 3)
“ойқорыту” деп аталады. Ойлау формаларының әрқайсысына белгілі бір тұлғалық
құрылым тән болып келеді. Бұл құрылымдарды өрнектеп көрсету үшін арнаулы
белгілемелер (символикалар) жүйесі қолданылады. Осындай белгілемелер
тілінде өрнектелген ойды формальданған (қалыптанған) ой деп атайды. Ой
біткеннің нақтылы мазмұны және айқын құрылымы болады. Ой мазмұнын сол ой
бейнелейтін нәрселердің қасиеттері мен қатынастары жасайды. Ойдың қалыбы
(формасы) немесе құрылымы (структурасы) боп ой бөлшектерін құрмаластыру
жолдары саналады. Ой мазмұнына қарай ақиқат және жалған болып екіге
бөлінеді.
6 – анықтама. Шынайы өмір нәрсесі мен құбылысының адам санасында
дәлме-дәл және бекім бейнеленуін ақиқат ой деп атайды. Ақиқат ойға қарама –
қарсы мазмұндағы бейнелеуді жалған ой деген сөз арқылы атап көрсетеді.
Сөйтіп, “ақиқат-ой” немесе қысқаша “ақиқат” деп мазмұны шынайы
шындықты дәлме – дәл бейнелейтін ой ғана айтылатын көреміз. Егер ой мазмұны
жағынан шынайы шындыққа сәйкеспейтін болса, яғни шындықты бұрмалайтын
болса, ондай ойды “жалған ой” қатарына жатқызуға болады.
Формасы (қалыбы) немесе структурасы (құрылымы) жағынан алғанда ой
дұрыс (тура) ой және дұрыс емес (қате) ой боп екі жікке бөлінеді.
Ойдың ақиқаттығы мен дұрыстығы әрқашан бір-бірімен етене байланыста
боп келеді.
Тану барысында анық ақиқатқа жету үшін мынадай екі шарттың мүлтіксіз
орындалуы ләзім: 1) ойлауға арқау болатын түптұғырлық, бастамалық ойлар
ақиқат болуы шарт; 2) ой құрылымы жағынан дұрыс болуы тиіс.
Ойдың ақиқат әрі дұрыс болуын ұйымдастыратын және қадағалайтын біліми
пән логика деп аталады.
Математикалық логиканы, екінші сөзбен, символикалық (белгілемелік)
логика деп атайды. Кейде бұл атаулармен қатар “теориялық логика” деген
атауыш сөздер тіркесі де қолданылады. Ойлау қызметінің формаларын, заңдарын
және әдістерін зерттейтін ғылымды білімтану жүйесінде формальдық логика
(Аристотель логикасы, дәстүрлік логика немесе жалпы логика) деп атайтынын
білеміз. Логика пәнінің даму трихында ойлау заңдары мен ережелерін баяндау
үшін символикалық тілді алғаш бастап қолданушы адам Аристотель болғаны
жоғарыда айтылды. Сондықтан дәстүрлік логиканы белгілемелік яғни
математикалық логиканың бұлақтық бастауы немесе түптегі деп қарауға әбден
болады. Алайда, Аристотель логикасының басты баяндау тілі адамның байырғы
сөйлеу тіліндегі сөздер жүйесі боп келеді. Табиғи тілдің сөздері қашанда
көп мағыналы белгілемелік құрал болғандықтан, олар сөйлеу нәрселерін адам
санасында дәлме-дәл бейнелей алмайды. Сондықтан дәстүрлік логиканың баяндау
тілін математикаланған белгілемелік тілмен немесе формальданған жасанды
тілмен жабдықтау қажеттігі кеп туған. Ғылым атаулыны әмбебап (универсал)
белгілемелік тіл арқылы баяндау идеясын алғаш ұсынған адам ол немістің ұлы
математигі әрі философы Г.В.Леибниц (1646-1716) болған. Соның бағдарламалық
пайымдамасы бойынша бір ғылымды әркімге ұғынықты ортақ әмбебап тілмен
баяндау үшін, алдымен, “адамзат ойының әліпбиі” жасалуы тиіс. Ондай әмбебап
әліпби екілік санау жүйесі негізделген математикалық тілден тұруы керек.
Г.В.Леибництің осы бағдарламалық ойына қарап, оны қазіргі замандық
математикалық логика пәні мен кибернетикалық техниканың теориясын ашуға
алғаш жол нұсқаған данышпан деп санайды.
Логикалық ой-құрылымын математикалық есептемелер арқылы өрнектеу және
оны түрлендіру жолын іс жүзінде алғаш жасаған адам, ол ағылшынның кемеңгер
математигі әрі логигі Джордж Буль (1815-1864) болған. Ол өзінің “Логиканың
математикалық талдамасы” (1847 ж.) және “Ойлау заңдарын зерттеу” (1854 ж.)
деп аталатын ғылыми еңбектерінде логикалық қалыптамалар мен құрылымдарды
баяндауға өз заманындағы алгебралық әдістерді кеңінен пайдаланады. Соның
нәтижесінде қазіргі кезде “Буль алгебрасы” деп аталып жүрген жаңа пәннің
негізі қаланады. Математикалық логиканың баяндау тілі ретінде жасалған
“Буль алгебрасы” қазіргі замандық электронды есептегіш машиналардың (ЭЕМ-
дың) логикалық және есептегіш тетіктерін жасауда және олардың қызметін
модельдеуде кеңінен қолданылады.
Сөйтіп, Аристотельдің дәстүрлік логикасы Буль алгебрасының арқасында
математикалаған символикалық логика қалпына келтіріледі. Осы ахуал
формальдық логика теориясының құрылымы мен қызметін тереңдеп зерттеуге
математикалық әдістерді кеңінен қолдануға төте және даңғыл жол ашты. Соның
нәтижесінде дәстүрлік логика табиғи тілмен қатар жалпы формальдық тіл
атаулыны зерттейтін металогика деп аталатын жаңа білім саласының өмірге
келуіне себеп болды. Мұндағы “meta” – грек сөзі, қазақша: “кейінгі”,
“келесі” деген мағыналы сөздерге сәйкес келеді. Сондықтан “металогика” сөзі
“логикадан кейінгі пән” яғни “логиканы зерттейтін келесі пән” деген
мағынаны білдіреді.
Осылайша мазмұндық ауқымы барынша кеңейтіліп, әдістемелік қаруы
кемелденген логика білімі 19 – ғасырдың аяқ шенінде математиканың
негіздемелік мәселелерін тереңдеп зерттеуге батыл да байыпты жұмсала
бастайды. Айтылмыш бағыттағы ғылыми зерттеулер саласында айтарлықтай
табысты еңбек етіп, логикалы – математикалық білімге үлкен үлес қосқан
кемеңгер математиктер мен логиктердің кейбіреуін атап білген абзал.
Математиканы логикаландыру бағытында алғаш бастап өнімді де өрелі еңбек
етуші ғалымдардың бірі – немістің математигі әрі логигі Г.Фреге (1848-1925)
болған. Ол математика атаулыны логика тілі арқылы негіздеуге батыл талпыныс
жасайды. Ғылым танымгерлері Г.Фрегенің 1870 жылы жарық көрген “Ұғымдар
есептемесі” атты еңбегін математиканы логикаландырудың немесе математиканы
формальдандырудың бастамасы болады деп санайды. Бұл игі бастаманы іле
жалғастырып дамытушылар: Италияның әйгілі математигі Дж.Пеано (1858-1932),
ағылшын математигі әрі философы Б.Рассель (1872-1970) және немістің
кемеңгер математигі Д.Гильберт (1862-1943) болды. Осы аталып өткен танымал
математиктер мен талантты логиктердің табанды да табысты еңбектерінің
арқасында Метаматематика (математикадан кейінгі пән немесе математиканы
зерттейтін келесі пән) деп аталатын ғылымтанымдық жаңа пән жасалды.
Метаматематика ілімі математиканың негіздемелік және дәлелдемелік
мәселелерін формальданған логиканың әдістерімен зерттейтін математикалық
логика пәнінің жаңа бір саласы болып табылады.
Алдыңғы айтылғандардың бәрін салыстыра сараптай айтар болсақ,
“математикалық логика дегеніміз не?” деген сауалға сай келетінін жасуапты
бір сөзбен мынадай қалыптама түрінде беруге болатын секілді:
Математикалық логика = математикаланған логика + логикаланған
математика.
Бұл дипломдық жұмыстың мақсаты: мектеп қабырғасында және де жоғары
білім беру ордаларында оқытылатын математикалық логика элементтері пәнінің
кейбір тұстарын нақтылап, мысалдар келтіру арқылы айқындап көрсету.
І. Математикалық логиканың элементтері
1.1. Сөйлемдер мен пікірлер
Қоршаған ортаны танып білу барысында адамдар объектілердің
арасындағы, объектілер мен олардың қасиеттерінің арасындағы өзара
байланысты анықтайды. Осы байланыс түрлі ұғымдардан құралған сөйлемдер
арқылы беріледі. Мысалы, “Тең қабырғалы үшбұрыштың барлық бұрыштары тең”,
“28 саны 7 - ге бөлінеді”, “16 жұп сан”.
Әрбір математикалық сөйлем өзінің мағынасымен және логикалық
құрылымымен сипатталады. Сондықтан біз сөйлемнің құрылымына ерекше көңіл
бөлеміз. Математикада сөйлемдер жәй (элементар) және құрама (күрделі) болып
бөлінеді. “28 саны 7 - ге бөлінеді” деген сөйлем жәй. “28 саны жұп және 7 -
ге бөлінеді ”, “” , “Егер үшбұрыш теңбүйірлі болса, онда оның
табанындағы бұрыштары тең” сөйлемдері құрама сөйлемдер.
Құрама сөйлемдер жәй сөйлемдер “және”, “немесе”, “егер”, “онда”,
“емес” деген сөздермен байланыстыру арқылы жасалады. Бұл сөздер
математикада логикалық жалғаулар деп аталады.
Құрама сөйлемнің логикалық құрылымын анықтау үшін
1. Берілген құрама сөйлем қандай жәй сөйлемдерден құралған;
2. Қандай логикалық жалғаулармен байланысқан екенін білу керек?
Мысалы, “28 саны жұп және 7 - ге бөлінеді” деген сөйлемнің логикалық
құрылымын анықтайық. Ол мынадай екі жәй сөйлемнен тұрады: А “28 саны жұп ”,
“28 саны 7 - ге бөлінеді ”. Олар “және” деген логикалық жалғаулықтың
көмегімен бір құрама сөйлемге келтірілген. Жәй сөйлемдердің белгіленуін
пайдаланып, осы құрама сөйлемнің логикалық құрылымы “А және В” екенін
айтуға болады. “” сөйлемнің құрылу ерекшелігі бөлек. Егер А “х саны 8
- ге тең”, “х=8” болса, В: “х саны 8 - ден кіші”, яғни “” онда оның
логикалық құрылымы “А немесе В” болады.
Үшінші сөйлемде А: “үшбұрыш теңбүйірлі”, В: “табанындағы бұрыштары
тең” болса, онда оны “Егер А, болса онда В” түрінде жазуға болады.
“14 саны 4 - ке бөлінбейді” деген сөйлемнің логикалық құрылымын
анықтау үшін А: “14 саны 4 - ке бөлінеді” деп алайық. Сонда берілген сөйлем
“А емес”, “А дұрыс емес” түрінде болады.
Бірқатар жәй хабарлы сөйлемдерді қарастырайық:
1. Қазақстан - егеменді мемлекет;
2. Натурал сандар жиыны ақырсыз;
3. 25 саны 5 - ке еселі;
4. Құр жиынның элементі бар;
5. 38 саны 3 – ке бөлінеді;
Бұл сөйлемдердің барлығы мазмұны жағынан әртүрлі. Бірақ олардың
барлығына ортақ бір қасиеттің бар екенін байқауға болады. Осы ортақ –
кейбір сөйлемдерде ақиқат (дұрыс, дәл), ал басқаларында жалған (дұрыс емес,
қате) ойлардың айтылуы, 1, 2, 3, сөйлемдері ақиқат, ал 4, 5 сөйлемдер
жалған деп есептейміз.
Хабарлы сөйлемнің ақиқат немесе жалған екендігін айтуға болса, онда ол
пікір деп аталады.
Математикада пікірлермен үнемі кездесіп отырамыз және ондай
пікірлерді жазу үшін тағы басқа символдарды
пайдаланамыз. Мысалы, “” пікір “12 саны 7 - артық” деген сөйлемнің
математикалық жазылуы болып табылады. Кез келген хабарлы сөйлем пікір
блмайтынын көрсетейік. Мысалы, “”, “”, “” сөйлемдері пікір
бола алмайды, өйткені сөйлемдердегі айнымалылардың мәндері белгісіз
болғандықтан олардың әрқайсысының ақиқат немесе жалған екендігі туралы айта
алмаймыз. Қандай да бір сөйлем туралы ол ақиқат немесе жалған деп үнемі
айта алмаймыз. Пікірлерді латын алфавитінің үлкне әріптерімен, ал лоардың
мағынасы ақиқат болса, “а” әрпімен, жалған болса “ж” әрпімен белгілеу
келісілген.
Ескерту: Кейбір оқулықтарда ақиқат және жалған деген сөздерді
сәйкесінше 1 және 0 цифрларымен белгілейді.
Бастауыш мектеп оқушылары математика пәнінің алғашқы сабағынан бастап
ақиқат пікірмен кездеседі. Олар тағы сол
сияқты пікірлермен танысады. Одан кейін екі таңбалы, үш таңбалы сандар
туралы пікірлер, күрделі сандық өрнектердің теңдігі, теңсіздігі туралы
пікірлерге кездесетін болады. Мысалы, мына амалдардың дұрыс
орындалғандығын не дұрыс орындалмағандығын тексеріңіздер:
517+408=925
804-235=579
Басқаша айтқанда, бұл жаттығуда берілген теңдіктердің ақиқат немесе
жалған екендіктерін анықтау талап етіледі. Есептеу арқылы оқушы бірінші
теңдіктің ақиқат, ал екінші теңдіктің жалған екендігіне көз жеткізеді.
Басқа жаттығуларда:
1.
2.
3.
4.
5. тағы сол сияқты жазылулардың дұрыс немесе
дұрыс емес екендігін анықтау талап етіледі.
Мұндай жаттығуларды орындауда пікір ұғымын пайдаланып отырмыз,
өйткені берілген сөйлемдердің ақиқат немесе жалған екендігін анықтау талап
етіліп отыр.
Пікірлер элементар (жәй) және күрделі (құрама) болып келеді.
Элементар пікір деп оны басқа пікірлерге жіктеуге келмейтін пікірді
айтамыз.
Егер пікірді бірнеше элементар пікірге жіктеуге болса, оны күрделі
пікір деп атайды.
Күрделі пікір әртүрлі жалғаулықтар және сөз тіркестері арқылы
элементар пікірлердер құрылады. Мысалы, “102 саны жұп және 9 - ға
бөлінеді”, “” , “берілген төртбұрыш - ромб немесе квадрат” деген
пікірлердің әрқайсысы күрделі. Олар элементар пікірлерді “және”, “немесе”
деген сөздермен байланыстыру арқылы алынып тұр.
Күрделі пікірлерді “егер”, “онда”, “сонда тек сонда ғана” деген
сөздерді пайдаланып та алуға болады. Мысалы, “Егер үшбұрыштың екі қабырғасы
тең болса, онда ол теңбүйірлі”, “трапеция теңбүйірлі болса, сонда тек сонда
ғана оны сырттай шеңбер сызуға болады”.
Грамматикада “және”, “немесе”, “егер”, “онда”, “сонда тек сонда ғана”
сөздерін жалғаулық деп атайды. Логикада оларды элементар пікірлер
арасындағы байламдар деп атайды, өйткені мұндай жалғаулықтар элементар
пікірлерді бір күрделі пікірге біріктіреді.
Сөйлем құрылысында қолданылатын “емес” сөзі мен, “дұрыс емес” деген
тіркесті қарастырайық. Аталған тіркес қандай да бір пікірді теріске шығару
мақсатында қолданылады: Мысалы, “12 жәй сан”. Бұл – жалған пікір, себебі 12
саны 1 мен өзінен басқа да сандарға бөлінеді. Осы сөйлемге “емес”, “дұрыс
емес” сөздерін қолданайық. Одан қосақтасақ “12 жәй сан емес”, “12 жәй сан
деген дұрыс емес” деген сөйлемдер құрастырамыз. Ал, бұл – пікірлер ақиқат
болады.
Сонымен, “және”, “немесе”, “егер”, “онда”, “сонда тек сонда ғана”,
“емес”, “дұрыс емес” тағы басқа байламдар арқылы кез – келген элементар
пікірлерден әртүрлі күрделі пікірлер алуға болады және олардың мағыналық
сипатына көңіл аударылмайды. Пікірлер теориясында күрделі пікірге кіретін
элементар пікірлердің ақиқат немесе жалған екендігіне байланысты күрделі
пікірдің де ақиқат немесе жалған екендігі зерттеледі.
Кез келген А пікірінен, оны теріске шығара отырып, яғни А пікірі
орындалмайды деп қабылдап, жаңа пікір алуға болады.
А пікірін теріске шығаруды деп белгілейді, ол “А емес” деп
оқылады, мысалы, егер А - “Тік төрбұрышын диагональдары тең” деген пікір
болса, онда - “Тік төртбұрышын диагональдары тең емес” деген пікір
болады. Бұл мысалда А пікір ақиқат, ал пікір жалған.
Егер А – “128 саны жәй сан” десек, - “128 саны жәй сан емес”
деген пікірді білдіреді. Бұнда керісінше, А - пікірі жалған, ал -
ақиқат пікір. Сонымен, А қандай пікір болғанымен, А және екі
пікірінің бірі – ақиқат, екіншісі – жалған болады. А және арасындағы
байланысты кесте арқылы көрсетуге болады. Мұндағы “а” әрпі ақиқат, “ж” әрпі
жалған дегенді белгілейді. Осы түрдегі кестені ақиқаттық кесте деп атайды.
а ж
ж а
А қандай да бір пікір болсын. Сонда оның теріс пікірі -да пікір болып
табылады, ендеше пікірінің де, теріс пікірін қарастыруға
болады. Оны А пікірін екі рет теріске шығару деп атайды. А пікірін екі рет
теріске шығару, А пікірінің өзі екенін көрсету қиын емес. Оған
пікірінің ақиқаттық кестесін құру арқылы көз жеткізуге болады. Басқаша
айтқанда, кез келген пікірді екі рет теріске шығара отырып алғашқы пікірді
аламыз, яғни .
а ж а
ж а ж
Егер айтылған пікірдегі баяндауышқа “емес” шылауын қоссақ, пікірдің
теріске шығатынын көрдік. Ал егер А пікірдегі баяндауыштың “емес” шылауы
болса, онда пікірін құру үшін ол шылауды алып тастау керек.
Егер А – “бүгін күн суық емес” болса, - “бүгін күн суық” болады.
1.2. Пікірлер конъюнкциясы мен дизъюнкциясы
Параллелограмның мынадай қасиеттерін қарастырайық:
1. АД қабырғасы ВС қабырғасына параллель және оған тең;
2. АВСД параллелограмының диагональдары бір нүктеде қиылысады және
қақ бөлінеді.
Осы мысалдағы күрделі пікірлердің әрқайсысы екі элементар пікірлерді
“және” жалғаулығы арқылы біріктіруден шыққандығын көреміз.
Егер бірінші элементар пікірді А, екіншісін В әрпімен белгілесек, онда
берілген сөйлемді. “А және В” деп жазады, яғни әр түрлі мазмұндағы
сөйлемдер логикалық бір ғана формада жазылады. “А және В” деген пікірді А,В
пікірлерінің конъюнкциясы деп атайды.
А н ы қ т а м а: А мен В пікірлерінің екеуі де ақиқат болғанда ғана
ақиқат болатын күрделі пікірді осы пікірлердің конъюнкциясы деп атайды.
Егер А мен В пікірлерінің ең болмағанда біреуі жалған болса, онда
олардың конъюнкциясы жалған болады. А, В пікірлерінің конъюнкциясын
түрінде белгілейді.
Жоғарыдағы анықтамадан конъюнкциясы үшін ақиқаттық кестесі
мынадай болады:
А В
а а а
а ж ж
ж а ж
ж ж ж
Мына “Күн Жерден үлкен және Астана – Қазақстанның астанасы” деген
пікірді қарастырайық. Бұл пікір “Күн Жерден үлкен” және “Астана –
Қазақстанның астанасы” деген пікірлердің конъюнкциясы болады. Сонымен қатар
ол ақиқат пікір, өйткені оны құрайтын екі пікірдің екеуі де ақиқат.
“Күн Жерден үлкен және Ертіс Каспий теңізіне құяды” деген конъюнкция
жалған, өйткені оған енетін элементар пікірлердің біреуі “Ертіс Каспийге
құяды” жалған.
“12 тақ сан және 5 - ке бөлінеді” деген пікір жалған, себебі бұл
конъюнкцияға кіретін екі элементар пікірдің екеуі де жалған.
Пікірлердің конъюнкциясы қос теңсіздіктерді қарастырғанда кездеседі.
Мысалы, теңсіздігі “” және “” деген екі пікірдің
конъюнкциясы болады, яғни теңсіздігін “” түрінде жазуға болады,
сонымен қатар бұл пікір ақиқат, өйткені оған енетін “”, “”
пікірлердің әрқайсысы ақиқат. “” теңсіздігі жалған, өйткені ол “”
деген жалған және “” деген ақиқат пікірлердің конъюнкциясы.
Жалпы сөйлемнің құрылуында “және” жалғаулығының орнына “ал”, “бірақ”,
“алайда”, “дегенмен” және тағы басқа жалғаулықтары қолданылады. Бұл
жалғаулықтардың әртүрлі ерекшеліктері болғанмен, логикалық көзқараста
олардың айырмашылығы жоқ.
Теріске шығару және конъюнкция операциялары арқылы элементар
пікірлерден түріндегі пікірлер ғана емес, одан да күрделі
тағы сол сияқты пікірлерді құруға болады.
Мысалы:
А: “Асан – оқу озаты”;
В: “Асан тәртіпті”;
С: “Асан спортпен шұғылданады”;
Д: “Асан саяхат құруды жақсы көреді” деген пікірлер берілсін.
Осы элементар пікірлерден мынандай күрделі пікірлер құруға болады:
1) “Асан оқу озаты және саяхат құруды жақсы көреді”;
2) “Асан оқу озаты, тәртіпті және саяхат құруы жақсы көреді”;
3) “Асан саяхат құруды жақсы көреді, ал спротпен шұғылданбайды”;
4) “Асан спортпен шұғылданбайды және саяхат құруды жақсы көрмейтіні
дұрыс емес”;
Осы күрделі пікірлерді былайша өрнектеп жазуға болады:
1.
2.
3.
4.
Сонымен, нақтылы күрделі пікірдегі элементар пікірлерді әріптермен
алмастырып берілген күрделі пікірдің логикалық құрылымын анықтайтын өрнекті
аламыз. Осындай өрнек бар болса, онда оның ақиқат немесе жалған екендігін,
яғни осы өрнекке сәйке келетін күрделі пікірдің ақиқат немесе жалған
екендігін анықтауға болады.
Мұны ақиқаттық кесте арқылы орындау ыңғайлы. Мысалы, А мен В
пікірлерінің барлық мүмкін мәндерінде өрнегінің мәнін табайық.
Ақиқаттық кесте былайша толтырылады: А мен В пікірлерінің барлық мүмкін
мәндерін жазамыз (1, 2 - бағандар), сонан соң мен мәнін тауып
(3, 4 - бағандар), конъюнкцияның анықтамасы бойынша мәнін 3, 4
бағандағы мәндерінің конъюнкциясы арқылы анықтайды.
А В
а а ж ж ж
а ж ж а ж
ж а а ж ж
ж ж а а а
Мынадай мысалдарды қарастырайық:
1) “102 саны жұп немесе 3 - ке бөлінеді”;
2) “Мен театрға немесе қонаққа барамын”;
3) “Ол жұмысқа автобуспен немесе трамваймен келеді”.
Бұл келтірілген пікірлер күрделі, олардың бәрінің формасы “А немесе В”
түріндегі болады. “А немесе В” формасындағы пікірді А мен В пікірлерінің
дизъюнкциясы деп атайды.
А н ы қ т а м а: А мен В пікірлерінің екеуі де жалған болғанда жалған
болып, қалған жағдайдың бәрінде ақиқат болатын күрделі пікірді А мен В
пікірлерінің дизъюнкциясы деп атайды.
А, В пікірлерінің дизъюнкциясы деп белгіленеді. Дизъюнкция
анықтамасынан үшін ақиқаттық кестесін құруға болады.
А В
а а а
а ж а
ж а а
ж ж ж
“Жазда біз тауға шығамыз немесе теңізге барамыз” деген дизъюнкцияны
қарастырайық. Ол мынадай үш жағдайда ақиқат болады:
1) Тауға шығатын және теңізге баратын болсақ;
2) Тауға шығатын, бірақ теңізге бармайтын болсақ;
3) Тауға шықпайтын, бірақ теңізге баратын болсақ;
Бұл дизъюнкция тек бір жағдайда ғана “тауға шықпайтын және теңізге де
бармайтын” жағдайда ғана жалған болады.
Математикада “” түріндегі пікірлер кездеседі. Бұл ақиқат па, әлде
жалған ба? Оны анықтау үшін бұл пікірдің не болып саналатынын анықтайық.
“” теңсіздігін “15 саны 7 - ден артық немесе тең” деп оқимыз. Сонда
бұл пікір “” деген ақиқат пікр мен “” деген жалған пікірдің
дизъюнкциясы болады. Дизъюнкцияны құрайтын пікірлердің бірі ақиқат
болғандықтан, “” дизъюнкциясы да ақиқат болады.
“” пікір де ақиқат, өйткені бұл “” деген жалған және “”
деген ақиқат пікірлердің дизъюнкциясы.
“” жалған пікір, себебі ол “” және “” екі жалған
пікірлердің дизъюнкциясы.
Теріске шығару, конъюнкция, дизъюнкция операциялары арқылы А, В, С, Д
тағы сол сияқты элементар пікірлерден әртүрлі күрделі пікірлер құруға,
мысалы, тағы сол сияқты және олардың ақиқаттығын
анықтауға болады.
пікірінің ақиқаттық кестесін былай құрамыз: А, В, С пікірлерінің
барлық мүмкін мәндерін жазамыз (1, 2, 3 - баған).
А В С
а а а ж ж а
а а ж ж ж ж
а ж а а а а
а ж ж а а а
ж а а ж ж а
ж а ж ж ж ж
ж ж а а ж а
ж ж ж а ж ж
Екінші бағандағы В пікірдің терістеуі - ны анықтаймыз. (4 -
баған). Екі пікірдің конъюнкциясының анықтамасы бойынша пікірдің
ақиқаттығын жазамыз (5 баған). Енді - ны бір пікір деп есептеп,
пікірдің ақиқаттығы екі пікірдің дизъюнкциясының анықтамасы арқылы
анықталады (6 - баған).
Ескерту: Екі не одан көп пікірлер үшін мүмкін болатын жағдайлар саны
формуласымен табылады. Мысалы, , демек пікір саны 2 болса,
жағдайда, ал болса, демек 3 пікір, жағдай болады.
1.3. Пікірлер импликациясы және эквиваленциясы
Кез келген ойтұжырым “шығады”, “осы ойдан туады”, “осыдан шығады”,
“егер ..., онда” деген сөздерсіз құрылмайды. Мынадай екі сөйлемді
қарастырайық: А: “ саны 4 – ке еселі”, В: “ саны 2 – ге еселі”.
Бұл сөйлемдер бір – бірімен өзара байланысты: 4 – ке еселі кез келген сан 2
– ге де еселі болады, немесе, басқаша айтсақ, санның 4 – ке еселі
болғандығынан, оның 2 – ге еселі екендігі шығады немесе, егер сан 4 – ке
еселі болса, онда 2 – ге еселі болады. Егер осы байламдық сөздерді екі
пікір үшін қолдансақ, онда логикалық формасы “егер А, онда В”, “А – дан В
шығады” түріндегі күрделі пікір болады.
“Егер А, онда В” түріндегі пікір А мен В пікірлерінің импликациясы
деп аталады.
А және В пікірлерінің импликациясын деп белгілеп, оны “егер А,
онда В” деп оқиды. А пікірі импликацияның шарты, ал В пікірі оның
қорытындысы деп аталады.
Импликацияның әдеттегі қолданылуы математикалық логикадағы
қолданылуынан өзгеше. Әдеттегі сөйлемде біз импликация шарты мен
қорытындысының арасында қандай да бір мағына немесе логикалық байланыс бар
деп түсінеміз.
Алайда, қандай да бір мазмұнды мағына беру қиын болатын
импликацияларда кездеседі. Мысалы, А – “бүгін қар жауып тұр”, В – “108 саны
3 – ке бөлінеді” болса, импликациясы былай оқылады: “Егер бүгін қар
жауып тұрса, онда 108 саны 3 – ке бөлінеді”.
Логикада импликацияның ақиқаттығы немесе жалғандығы оның шарттарының
және қорытындыларының ақиқаттығына немесе жалғандығына байланысты болады
деп келісілген.
импликациясы А ақиқат, В жалған болған жағдайдан ғана жалған,
ал басқа жағдайлардың барлығында да ақиқат болатын күрделі пікір, осы
анықтама бойынша импликацияның ақиқаттық кестесі мына түре болады:
А В
а а а
а ж ж
ж а а
ж ж а
Импликацияның ақиқаттығы мен жалғандығы туралы қабылданған келісім
көп жағдайда ыңғайлы және математикада кеңінен қолданылады. “Егер 9 саны 3
– ке еселі болса, онда 81 саны да 3 – ке еселі” пікірінің ақиқаттық мәнін
табайық. Мұндағы А – “9 саны 3 – ке еселі” – ақиқат пікірі, В – “81 саны 3
– ке еселі” – ақиқат пікір, олай болса, импликациясы да ақиқат
болады. Сонымен қатар бұл импликация тек қана “егер 9 саны еселі болса,
онда саны 3 – ке еселі болмайды” деген жағдайда ғана жалған болады. Барлық
басқа жағдайларда бұл импликация ақиқат болады.
“Егер 108 саны 5 – ке еселі болса, онда ол 9 – ға еселі” болады деген
импликацияны қарастырайық. А – “108 саны 5 – ке еселі” деген пікір
импликацияның шарты, В – “108 саны 9 – ға еселі” деген пікір оның
қорытындысы. Берілген импликацияның А – шарты жалған, ал В қорытындысы
ақиқат. Сондықтан, “Егер 108 саны 5 – ке еселі болса, онда ол 9 – ға еселі
болады” импликациясы ақиқат болады.
“Егер болса, онда ” импликациясы жалған, өйткені оның
шарты “” ақиқат, ал қорытындысы “” жалған.
“Егер , онда ” импликациясы ақиқат, себебі оның шарты да
“”, қорытындысы да “” жалған.
Конъюнкциясы, дизъюнкция, теріске шығару импликация операцияларын
пайдаланып әртүрлі күрделі пікірлер құруға және олардың ақиқаттығын
анықтауға болады. Мысалы:
тағы сол сияқты.
А және В пікірлерінің импликациясы берілген болсын. Оның шарты
мен қорытындысының орындарын ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Мектептегі математика өз тарихында талай өзгеріске түсіп,
толықтырылып, қайта өзгеріске ұшырап отырды. Математикалық білімнің дәйекті
мәселелері іріктеліп, енгізгі бағдар ретінде жинақталып, жүйеленіп, басқа
ілімдердің табыстарымен қабыстырыла, мектеп оқулықтарына енгізіледі. Ол
үшін дидактикалық өңдеуден өткізіліп, тәжірибелер жасалып, түзетіліп, қайта
баяндалады.
Материалды іріктеуде қоғам талаптары, оның дамуы ескеріледі. Дәстүрлі
білім жүйесі мен қазіргі білім жүйесін қарастырайық. Математикалық білімнің
жаңа көзқарастарын мұғалім өзі түсініп, оны оқушыға жеткізуі оңай іс емес.
Оған қыруар күш, мемлекеттік қомқорлық.
1908 жылы Римде ІV халықаралық конгресте математикалық білімді
жаңалау үшін халықаралық сарапшылар тобы құрылды. Олар дәстүрлі
математиканы оқыту мәселесіне арналған 250 кітап жазды. Әрбір елге арнап,
жаңа бағдарлама құрастырды. Сол бағдарламаға сай оқулықтарды, оқыту
әдістемесін құрастырды.
Алайда, жиырмасыншы ғасырдың екінші жартысында математика ел қуатын,
экономикасын анықтаушыға айналды. Осыдан да 1950 жылы математикалық білімді
жаңалаушы интернационалдық алқа, ал 1958 жылы ғылымдар бірлестігінің Ғылыми
тобы құрылды. 1959 жылы ол топтан мектепте математиканы оқытудың жаңа
көзқарасын зерттеу бөлімі бөлініп шықты. Олар алдына екі мақсат қойды:
1. Математика ғылымы мен математика пәнінің арасын жақындастыру;
2. Міндетті түрде барлық оқушының шығармашылық бастамасын ояту және
ерікті түрде математиканың бір бағдарын таңдауға мүмкіндік беру.
Математикалық білімнің халықаралық алқасы өз жұмыстарының нәтижелерін
1958 жылы Эдинбургте, Стокгольмде, Мәскеуде өткен математикалық халықаралық
конгрестерінде қарап, 1965 жылы Парижде шыққан “Орталау деңгейде
математиканы оқытудың жаңа көзқарастары” деген басылымда және мемлекеттік
басылымдарда жарияланды.
Оларды талдап, сынға салудың қорытындысында:
1) жиындар теориясының түзгіштерін;
2) математикалық логикаға кіріспені;
3) қазіргі алгебра ұғымдарын;
4) ықтималдықтар теориясы мен статистикаға кіріспені мектеп
бағдарламасына енгізуіне ұсынады.
Осыны бағдарға алып, бұрынғы Кеңес елінде 60-жылдардың ортасында
эксперименттер жүргізіліп, математика бағдарламалары құрастырылып,
оқулықтар жазылды. Бүкіл алгебра, геометрия математикадан қосымша
әдебиеттер осы негізде жасалды. Мектеп мұғалімдері қайта даярлықтан
өткізіліп, математиканы оқыту әдістемелері жаңадан жазылды. Сондай- ақ,
жоғары мектеп бағдарламалары өзгертіліп, алуан түрлі оқу жүйесі пайда
болды.
Бұл шаралар ойдағыдай нәтиже бермеді. Жиындар теориясы мен
математикалық логика түзгіштері негізінде жаңаланған білім оқушыға да,
мұғалімге де ауыр болып, көздеген мақсаттан шықпады.
Векторлар мен координаталар жүйесі мектеп оқу құралдарынан орын алды.
Оларды оқытудың әдістемелік жүйесі әлі де жетілдіріліп, оқыту мазмұны
нақтылана түсетіні айқын.
Бұрынғы Кеңес өкіметі тарап, еліміз егемендік алған кезде, нарыққа
көшу саясатында математикалық білімнің мазмұнына жаңа талаптар қойылғаны
хақ. 1991 жылы Қазақстан Республикасы Білім министрлігі жанынан құрылған
алқа өз жұмысын бастады.
Алдағы уақытта бұл оқулықтр өмірдің ағымына сай толықтырылып,
сарапталып барша оқушы қауымға жеткізілетіндігіне күмән жоқ.
“Математика” деген атауыштық есім ежелгі гректер тіліндегі “mathema”
(білу, білік, ілім) және “tehnica” (өнер, ісмерлік, шеберлік) деген
мағынадағы әртүрлі екі сөздің қиюласуынан жасалған күрделі құрылымға
жатады. Бұл құрамды сөз, әу баста, “білу өнері” яки “біліми өнер” деген
мағынада қолданыс тапқан. Оқыту мен ғылым дүниесінде “математика” сөзін осы
айтылмыш мағынасында алғаш тұтынған адам – ол ежелгі грек жұртының әлемге
аян данагері әрі өнерпазы Пифагор (б.з.б. 580-500 жж.) болған.
Пифагор және оның ізбасарлары мен шәкірттері – “пифагорейшілдер”
өздерінің дүние танымдық ұраны етіп, “Бәрі – сан” деген қалыптамалық
қағиданы ұстанғаны тарихқа танымал шындық. Бұл қалаптаманы тарқата
талдасақ, одан фифагордың: “дүниедегі бәр нәрсе саннан жасалған және тек
саннан тұрады” – деп пайымдағанын көруге болады. Сондықтан да, Пифагорды –
сандар математикасының атасы деп атаған.
Пифагор заманында сан деп, негізінен, натурал сандар жиыны
ұғылған. Пифагордың өз анықтауы бойынша: “Сан дегеніміз тақтар мен
жұптардың жиналымы”. Пифагор “бірлікті” сан ғана емес “санды жасаушы” деп
атаған. Оның тұжырымы бойынша әрбір сан бірліктер жиынтығынан
(қосындысынан) тұрады.
Мысалы: 3=1+1+1; 8=1+1+1+1+1+1+1+1.
Қазіргі замандық яғни 20 – ғасырдағы білімтану жүйесінде математика
былайша анықталады:
1 – анықтама. Қазіргі заманғы аксиоматикалық қалыптама тұрғысынан
алып қарағанда математика деп абстракциялық форма – математикалық
структуралар жиналмасын ұғады. (Н.Бурбаки)
Мұндағы “структура” (қазаша: құрылым) деген ұғыми сөздің мағынасы
“операция” (амал) және “қатынас” деген ұғымдар арқылы анықталып
көрсетіледі.
2 – анықтама. Егер қандай да бір А жиынында Т деген амал және Р
қатынас енгізілсе, онда А жиынын структура (құрылым) деп атайды.
Егер А жиынында Т математикалық амал және Р математикалық қатынас
берілсе, онда А жиынында Р – математикалық структура анықталған дейміз. Ал
А жиынында Т логикалық амал мен Р логикалық қатынас енгізілген болса, онда
А жиынында логикалық құрылым жасалған деп айтуға болады. Осы үлгімен
“грамматикалық структура”, “биологиялық структура” т.с.с. деген ұғыми
тіркестер жасалған.
А жиынында Т амал мен Р қатынас арқылы анықталған S – математикалық
құрылымды (структураны) қысқаша былай белгілеп жазады:
Мұнда: 1) А – базалық (тұғырлық) жиын; 2) а – жекеленген элемент; 3)
Т – операция; 4) Р – қатынас.
Бүгінгі белгілемелік, қалыптамалық тілде Пифагордың сандық
математикасы мынадай сандық құрылым деп қарауға болады:
Мұнда: 1) – құрылымның тұғырлық жиыны; 2) 1 – бірлік сан,
құрылымның жекеленген элементі; 3) – математикалық
амалдар; 4) – математикалық қатынастар.
Сөйтіп, байырғы сөйлеу тілімізде Пифагордың сандық математикасын
былайша анықтауға болатынын көреміз:
Пифагордың сандық математикасы деп – оң таңбалы бүтін сндар
жиынындағы бірлік элемент жекеленген және сол жиынның элементтері үшін
“қосу”, “алу”, “көбейту”, “бөлу” амалдарымен қатар “тең”, “кіші”, “үлкен”
қатынастары анықталған – математикалық құрылымды айтады.
Қазіргі біліми тілде “операция” (амал) сөзі әр алуан түрлендіргіш
әрекетті яки қызметті белгілейді. Математикалық амал “бейнелеу” деп
аталатын танымдық ұғым арқылы анықталады.
Мысалы. 3+4=7 теңдігін алайық. Бұл өрнекті қазіргі заман
математиктері: “Қосу амалы (3,4) қосын 7 санына бейнелейді” – деп
қарастырады. Бұл сөйлемді белгілемелер тілінде мынадай қалыптама арқылы
жазып көрсетуге болады:
Жалпы танымдық тілде: (3,4) қосты бейнелеудің түпнұсқасы, ал 7
санын оның бейнесі немесе бейнелік көшірмесі деп атайды.
Математикалық білім атаулының түбегейлік мақсаты ақиқаттығы бұрыннан
тағайындалған белгілі бір ойқорытындыларына сүйене отырып, қандай да бір
жаңа ойқортымның ақиқаттығын (растығын, дұрыстығын) дәлелдеу боп табылады.
Сондықтан да, ғылым танымгерлері дәлелдеу амалын математиканың жүрегі
немесе жаны деп атайды. Математикалық ойқорытуларда дәлелдеу амалының
қажеттігі мен мүмкіндігін алғаш атап көрсетуші адам – ол ежелгі гректерден
шыққан әйгілі жеті данагердің көш басшысы Фалес (б.з.б. 625-548) болған.
Фалестің дәлелдеу туралы ойын сандар математикасында тұңғыш рет Пифагор
қолданған.
Математикалық дәлелдеу жайында Фалес пен Пифагор алғаш бастап салған
жолды тиімді жалғастырып, оны, шын мәнінде, ғылыми шыңына алғаш жеткізуші
ежелгі грек математигі Евклид (б.з.б. 356-300) болғанын тарихтан білеміз.
Ғылым тарихында Евклид, заңды түрде, ғылыми математиканың атасы деп
аталады.
Қазіргі замандық математиканы “құрылымдар математикасы” деп анықтаушы
Никола Бурбаки болғанын жоғарыда айттық (Н.Бурбаки 20 – ғасырдағы
Францияның бір топ талантты математиктерінен құрылған жасырын ұжымның
бүркеншек аты).
Бурбакишілдер: “Ежелгі гректер заманынан бері қарай “математика” деп
айту “дәлелдеу” деген сөзбен пара-пар айтылады” –деп көрсетеді.
Алдыңғы айтылып өткен: “бейнелеу”, “амал”, “әрекет”, “дәлелдеу” –
деген танымдық сөздердің баршасы білім әлеміне логика пәні арқылы келіп
енген атауыш сөздер қатарына жатады. Сонымен қатар олардың мазмұны мен
танымдық мағыналары тек логика пәні ауқымында ғана толық әрі айқын ашып
көрсетіледі. Сондықтан, ендігі сөз логика туралы болмақ.
“Логика” сөзі, әу баста, ежелгі гректер тіліндегі “logos” (сөз, ой,
сана) деген сөзінен шығып қалыптасқан. Білім тарихын зерттеушілер “логика”
сөзін ғылымға алғаш енгізген адам – ол ежелгі грек білімпазы Демокрит
(б.з.б. 460-370) болған деп көрсетеді. Демокрит “Ойлау ережелері” деген
ғылыми еңбек жазған. Осы тарихи шығарманың айдарлық тақырыбына “логика”
пәнінің аты келіп шыққан.
Логика басында дүниетану мәселелерін зерттейтін жалпы философиялық
білімнің бір саласы ретінде дүниеге келеді. Ол дара пән боп б.з.б. ІV
ғасырда қалыптасқан. Өздік зерттегіш әдісі және зерттеу нәрсесі бар логика
атты дара пәннің негізін алғаш рет әлемнің бірінші ұстазы атанған әйгілі
білімпаз, ежелгі грек данагері Аристотель (б.з.б. 384-322) қалаған. Ғылыми
білімнің тарихшылары мен танымгерлері Аристотель логикасын ақиқатты ашу
және негіздеу қаруы (органон) немесе “дәлелдеу туралы ғылым” деп атайды.
Орта ғасырлық Қазақстандағы байырғы шаһарлардың бірі Отырар (арабша
аты Фараб) қаласының төл тумасы, әлемнің екінші ұстазы (Аристотельден
кейінгі ұстаз) атанған Абу–Насыр әл – Фараби (870-950) Аристотель логикасын
терең талдау, кемелдендіре кеңейту және жалпақ жаһанға жарлап тарату
жұмыстарымен ұзақ жылдар бойы айналысады. Ол өзінің философияны оқып
үйренуге қажетті білімдер тізімін анықтайтын еңбегінде тілтану оқуын
бірінші, ал логиканы екінші орынға қойып қарастырады.
Екінші ұстаз тағы бір шығармасында логиканы сөздер грамматикасымен
салыстыра қарайды. “Грамматика – деп пайымдайды ол, - адамдардың сөйлеу
тілін қалай туралайтынын қарастыратын болса, логика ғылыми қателер жіберу
қатері туған тұста адам ойының дұрыс болуын солай туралап отырады”.
Алдыңғы айтылғандардан, логиканы ақиқатқа жету үшін қалай дұрыс ойлай
білу керек екендігін зерттейтін ғылым деп қарауға болатынын көреміз. Логика
пәнінің нақты мақсаты мен мазмұнын айқын ашып түсіндіру үшін, әуелі,
“ойлау”, “ақиқат ой”, “дұрыс ой” деген ұғымдардың мазмұнын айқындап алған
абзал.
Ойлау адам арқылы мен санасының әрекеттік қызметіне жатады. Адамның
ойлау органы – ми. Оның ойлау қызметі туралы ұғым “бейнелеу” және “тану”
деп аталарын түптектік ұғымдар арқылы анықталады.
3 – анықтама. Айналадағы нәрселер мен құбылыстардың адам санасындағы
бейнеленуін тану деп атайды. Танудың нәтижесін таным немесе білім дейді.
Тану әрекеті іске асырылу сипатына қарай екі түрлі деңгейге жіктеліп
қарастырылады: 1) сезім деңгейіндегі тану; 2) ақыл-ой, ой- сана
деңгейіндегі немесе рационалдық деңгейдегі тану.
Сезім арқылы тану қызметі түйсіну, қабылдау және елестету – деп
аталатын амалдар жүйесі арқылы іске асырылады. Бұларды тікелей тану немесе
алшақтамай тану жолдары деп те атайды. Тікелей (аулақтамай) танудың өздік
логикасы бар, оны сезу логикасы деп атайды. Бұл логиканың ауқымында:
“қуаныш”, “реніш”, “үміттеніс”, “түңіліс” т.с.с. ұғымдар қарастырылады.
Ақыл-ой яғни саналы (рационалды) түсінім деңгейіндегі тану қызметі
ойлау, пайымдау, ұғыну әрекеттері арқылы атқарылады. Бұларды, көбінесе,
тікелей емес тану немесе аулақтатып тану деп те атайды.
4 – анықтама. Ойлау деп шынайы өмірдегі нәрселер мен құбылыстардың
сөз арқылы адам санасындағы түрлендірілуін айтады.
Сөйтіп, ойлау дегеніміз ақыл – ойдың тануы яғни бейнелеу немесе
түрлендіру әрекеттері арқылы іске асырылатын ми қызметі екенін көреміз.
Айналамыздағы танылатын нәрселер мен құбылыстарды бір сөзбен айтқанда,
затиялық нәрселер немесе заттық нәрселер деп қарауға болады. Ал затиялық
нәрселердің адам санасындағы көшірмесін (кескінін, суретін, бейнесін)
санауялық нәрселер (идеялар, ойлар) деп атайтын боламыз.
Ақыл-ойға ұялаған санауялық бейненің затиялық формасы (қалыбы) сөз
болып табылады. Сөз – ойдың сыртқы қабы немесе қалыбы (формасы) болып
есептеледі.
Сөйтіп, ойлау амалының қалыбы мен қаруы сөйлеу тілінің сөздері боп
саналатынын көреміз. Сөз адам санасындағы нышандық белгілемесі
(символикасы), қалыптамасы (формасы) және ойды туғызушы, жасаушы боп қызмет
атқарады. “Сөз сөзден туады сөйлемесе қайдан туады” деген халық даналығы
сөздің осындай ой тудыратын, ой сақтайтын және ойды жеткізетін құдыретті
қасиетімен байланысты айтылған деуімізге болады.
Алдыңғы айтылғандарды тілге тиек, ойға арқау ете отырып, логика пәнін
осылайша анықтауға болады.
5 – анықтама. Логика – ақиқат және дұрыс ойлаудың формасы (қалыбы),
заңдары мен ережелері туралы ілім.
Ойлаудың формасы (қалыбы) деп шынайы өмірдегі нәрселердің қасиеттері
мен қатынастарын бейнелеу әдістерін атайды. Логика пәнінде, негізінен, үш
түрлі ойлау қалыбы қарастырылады. Олар: 1) “ұғым”; 2) “пайым” және 3)
“ойқорыту” деп аталады. Ойлау формаларының әрқайсысына белгілі бір тұлғалық
құрылым тән болып келеді. Бұл құрылымдарды өрнектеп көрсету үшін арнаулы
белгілемелер (символикалар) жүйесі қолданылады. Осындай белгілемелер
тілінде өрнектелген ойды формальданған (қалыптанған) ой деп атайды. Ой
біткеннің нақтылы мазмұны және айқын құрылымы болады. Ой мазмұнын сол ой
бейнелейтін нәрселердің қасиеттері мен қатынастары жасайды. Ойдың қалыбы
(формасы) немесе құрылымы (структурасы) боп ой бөлшектерін құрмаластыру
жолдары саналады. Ой мазмұнына қарай ақиқат және жалған болып екіге
бөлінеді.
6 – анықтама. Шынайы өмір нәрсесі мен құбылысының адам санасында
дәлме-дәл және бекім бейнеленуін ақиқат ой деп атайды. Ақиқат ойға қарама –
қарсы мазмұндағы бейнелеуді жалған ой деген сөз арқылы атап көрсетеді.
Сөйтіп, “ақиқат-ой” немесе қысқаша “ақиқат” деп мазмұны шынайы
шындықты дәлме – дәл бейнелейтін ой ғана айтылатын көреміз. Егер ой мазмұны
жағынан шынайы шындыққа сәйкеспейтін болса, яғни шындықты бұрмалайтын
болса, ондай ойды “жалған ой” қатарына жатқызуға болады.
Формасы (қалыбы) немесе структурасы (құрылымы) жағынан алғанда ой
дұрыс (тура) ой және дұрыс емес (қате) ой боп екі жікке бөлінеді.
Ойдың ақиқаттығы мен дұрыстығы әрқашан бір-бірімен етене байланыста
боп келеді.
Тану барысында анық ақиқатқа жету үшін мынадай екі шарттың мүлтіксіз
орындалуы ләзім: 1) ойлауға арқау болатын түптұғырлық, бастамалық ойлар
ақиқат болуы шарт; 2) ой құрылымы жағынан дұрыс болуы тиіс.
Ойдың ақиқат әрі дұрыс болуын ұйымдастыратын және қадағалайтын біліми
пән логика деп аталады.
Математикалық логиканы, екінші сөзбен, символикалық (белгілемелік)
логика деп атайды. Кейде бұл атаулармен қатар “теориялық логика” деген
атауыш сөздер тіркесі де қолданылады. Ойлау қызметінің формаларын, заңдарын
және әдістерін зерттейтін ғылымды білімтану жүйесінде формальдық логика
(Аристотель логикасы, дәстүрлік логика немесе жалпы логика) деп атайтынын
білеміз. Логика пәнінің даму трихында ойлау заңдары мен ережелерін баяндау
үшін символикалық тілді алғаш бастап қолданушы адам Аристотель болғаны
жоғарыда айтылды. Сондықтан дәстүрлік логиканы белгілемелік яғни
математикалық логиканың бұлақтық бастауы немесе түптегі деп қарауға әбден
болады. Алайда, Аристотель логикасының басты баяндау тілі адамның байырғы
сөйлеу тіліндегі сөздер жүйесі боп келеді. Табиғи тілдің сөздері қашанда
көп мағыналы белгілемелік құрал болғандықтан, олар сөйлеу нәрселерін адам
санасында дәлме-дәл бейнелей алмайды. Сондықтан дәстүрлік логиканың баяндау
тілін математикаланған белгілемелік тілмен немесе формальданған жасанды
тілмен жабдықтау қажеттігі кеп туған. Ғылым атаулыны әмбебап (универсал)
белгілемелік тіл арқылы баяндау идеясын алғаш ұсынған адам ол немістің ұлы
математигі әрі философы Г.В.Леибниц (1646-1716) болған. Соның бағдарламалық
пайымдамасы бойынша бір ғылымды әркімге ұғынықты ортақ әмбебап тілмен
баяндау үшін, алдымен, “адамзат ойының әліпбиі” жасалуы тиіс. Ондай әмбебап
әліпби екілік санау жүйесі негізделген математикалық тілден тұруы керек.
Г.В.Леибництің осы бағдарламалық ойына қарап, оны қазіргі замандық
математикалық логика пәні мен кибернетикалық техниканың теориясын ашуға
алғаш жол нұсқаған данышпан деп санайды.
Логикалық ой-құрылымын математикалық есептемелер арқылы өрнектеу және
оны түрлендіру жолын іс жүзінде алғаш жасаған адам, ол ағылшынның кемеңгер
математигі әрі логигі Джордж Буль (1815-1864) болған. Ол өзінің “Логиканың
математикалық талдамасы” (1847 ж.) және “Ойлау заңдарын зерттеу” (1854 ж.)
деп аталатын ғылыми еңбектерінде логикалық қалыптамалар мен құрылымдарды
баяндауға өз заманындағы алгебралық әдістерді кеңінен пайдаланады. Соның
нәтижесінде қазіргі кезде “Буль алгебрасы” деп аталып жүрген жаңа пәннің
негізі қаланады. Математикалық логиканың баяндау тілі ретінде жасалған
“Буль алгебрасы” қазіргі замандық электронды есептегіш машиналардың (ЭЕМ-
дың) логикалық және есептегіш тетіктерін жасауда және олардың қызметін
модельдеуде кеңінен қолданылады.
Сөйтіп, Аристотельдің дәстүрлік логикасы Буль алгебрасының арқасында
математикалаған символикалық логика қалпына келтіріледі. Осы ахуал
формальдық логика теориясының құрылымы мен қызметін тереңдеп зерттеуге
математикалық әдістерді кеңінен қолдануға төте және даңғыл жол ашты. Соның
нәтижесінде дәстүрлік логика табиғи тілмен қатар жалпы формальдық тіл
атаулыны зерттейтін металогика деп аталатын жаңа білім саласының өмірге
келуіне себеп болды. Мұндағы “meta” – грек сөзі, қазақша: “кейінгі”,
“келесі” деген мағыналы сөздерге сәйкес келеді. Сондықтан “металогика” сөзі
“логикадан кейінгі пән” яғни “логиканы зерттейтін келесі пән” деген
мағынаны білдіреді.
Осылайша мазмұндық ауқымы барынша кеңейтіліп, әдістемелік қаруы
кемелденген логика білімі 19 – ғасырдың аяқ шенінде математиканың
негіздемелік мәселелерін тереңдеп зерттеуге батыл да байыпты жұмсала
бастайды. Айтылмыш бағыттағы ғылыми зерттеулер саласында айтарлықтай
табысты еңбек етіп, логикалы – математикалық білімге үлкен үлес қосқан
кемеңгер математиктер мен логиктердің кейбіреуін атап білген абзал.
Математиканы логикаландыру бағытында алғаш бастап өнімді де өрелі еңбек
етуші ғалымдардың бірі – немістің математигі әрі логигі Г.Фреге (1848-1925)
болған. Ол математика атаулыны логика тілі арқылы негіздеуге батыл талпыныс
жасайды. Ғылым танымгерлері Г.Фрегенің 1870 жылы жарық көрген “Ұғымдар
есептемесі” атты еңбегін математиканы логикаландырудың немесе математиканы
формальдандырудың бастамасы болады деп санайды. Бұл игі бастаманы іле
жалғастырып дамытушылар: Италияның әйгілі математигі Дж.Пеано (1858-1932),
ағылшын математигі әрі философы Б.Рассель (1872-1970) және немістің
кемеңгер математигі Д.Гильберт (1862-1943) болды. Осы аталып өткен танымал
математиктер мен талантты логиктердің табанды да табысты еңбектерінің
арқасында Метаматематика (математикадан кейінгі пән немесе математиканы
зерттейтін келесі пән) деп аталатын ғылымтанымдық жаңа пән жасалды.
Метаматематика ілімі математиканың негіздемелік және дәлелдемелік
мәселелерін формальданған логиканың әдістерімен зерттейтін математикалық
логика пәнінің жаңа бір саласы болып табылады.
Алдыңғы айтылғандардың бәрін салыстыра сараптай айтар болсақ,
“математикалық логика дегеніміз не?” деген сауалға сай келетінін жасуапты
бір сөзбен мынадай қалыптама түрінде беруге болатын секілді:
Математикалық логика = математикаланған логика + логикаланған
математика.
Бұл дипломдық жұмыстың мақсаты: мектеп қабырғасында және де жоғары
білім беру ордаларында оқытылатын математикалық логика элементтері пәнінің
кейбір тұстарын нақтылап, мысалдар келтіру арқылы айқындап көрсету.
І. Математикалық логиканың элементтері
1.1. Сөйлемдер мен пікірлер
Қоршаған ортаны танып білу барысында адамдар объектілердің
арасындағы, объектілер мен олардың қасиеттерінің арасындағы өзара
байланысты анықтайды. Осы байланыс түрлі ұғымдардан құралған сөйлемдер
арқылы беріледі. Мысалы, “Тең қабырғалы үшбұрыштың барлық бұрыштары тең”,
“28 саны 7 - ге бөлінеді”, “16 жұп сан”.
Әрбір математикалық сөйлем өзінің мағынасымен және логикалық
құрылымымен сипатталады. Сондықтан біз сөйлемнің құрылымына ерекше көңіл
бөлеміз. Математикада сөйлемдер жәй (элементар) және құрама (күрделі) болып
бөлінеді. “28 саны 7 - ге бөлінеді” деген сөйлем жәй. “28 саны жұп және 7 -
ге бөлінеді ”, “” , “Егер үшбұрыш теңбүйірлі болса, онда оның
табанындағы бұрыштары тең” сөйлемдері құрама сөйлемдер.
Құрама сөйлемдер жәй сөйлемдер “және”, “немесе”, “егер”, “онда”,
“емес” деген сөздермен байланыстыру арқылы жасалады. Бұл сөздер
математикада логикалық жалғаулар деп аталады.
Құрама сөйлемнің логикалық құрылымын анықтау үшін
1. Берілген құрама сөйлем қандай жәй сөйлемдерден құралған;
2. Қандай логикалық жалғаулармен байланысқан екенін білу керек?
Мысалы, “28 саны жұп және 7 - ге бөлінеді” деген сөйлемнің логикалық
құрылымын анықтайық. Ол мынадай екі жәй сөйлемнен тұрады: А “28 саны жұп ”,
“28 саны 7 - ге бөлінеді ”. Олар “және” деген логикалық жалғаулықтың
көмегімен бір құрама сөйлемге келтірілген. Жәй сөйлемдердің белгіленуін
пайдаланып, осы құрама сөйлемнің логикалық құрылымы “А және В” екенін
айтуға болады. “” сөйлемнің құрылу ерекшелігі бөлек. Егер А “х саны 8
- ге тең”, “х=8” болса, В: “х саны 8 - ден кіші”, яғни “” онда оның
логикалық құрылымы “А немесе В” болады.
Үшінші сөйлемде А: “үшбұрыш теңбүйірлі”, В: “табанындағы бұрыштары
тең” болса, онда оны “Егер А, болса онда В” түрінде жазуға болады.
“14 саны 4 - ке бөлінбейді” деген сөйлемнің логикалық құрылымын
анықтау үшін А: “14 саны 4 - ке бөлінеді” деп алайық. Сонда берілген сөйлем
“А емес”, “А дұрыс емес” түрінде болады.
Бірқатар жәй хабарлы сөйлемдерді қарастырайық:
1. Қазақстан - егеменді мемлекет;
2. Натурал сандар жиыны ақырсыз;
3. 25 саны 5 - ке еселі;
4. Құр жиынның элементі бар;
5. 38 саны 3 – ке бөлінеді;
Бұл сөйлемдердің барлығы мазмұны жағынан әртүрлі. Бірақ олардың
барлығына ортақ бір қасиеттің бар екенін байқауға болады. Осы ортақ –
кейбір сөйлемдерде ақиқат (дұрыс, дәл), ал басқаларында жалған (дұрыс емес,
қате) ойлардың айтылуы, 1, 2, 3, сөйлемдері ақиқат, ал 4, 5 сөйлемдер
жалған деп есептейміз.
Хабарлы сөйлемнің ақиқат немесе жалған екендігін айтуға болса, онда ол
пікір деп аталады.
Математикада пікірлермен үнемі кездесіп отырамыз және ондай
пікірлерді жазу үшін тағы басқа символдарды
пайдаланамыз. Мысалы, “” пікір “12 саны 7 - артық” деген сөйлемнің
математикалық жазылуы болып табылады. Кез келген хабарлы сөйлем пікір
блмайтынын көрсетейік. Мысалы, “”, “”, “” сөйлемдері пікір
бола алмайды, өйткені сөйлемдердегі айнымалылардың мәндері белгісіз
болғандықтан олардың әрқайсысының ақиқат немесе жалған екендігі туралы айта
алмаймыз. Қандай да бір сөйлем туралы ол ақиқат немесе жалған деп үнемі
айта алмаймыз. Пікірлерді латын алфавитінің үлкне әріптерімен, ал лоардың
мағынасы ақиқат болса, “а” әрпімен, жалған болса “ж” әрпімен белгілеу
келісілген.
Ескерту: Кейбір оқулықтарда ақиқат және жалған деген сөздерді
сәйкесінше 1 және 0 цифрларымен белгілейді.
Бастауыш мектеп оқушылары математика пәнінің алғашқы сабағынан бастап
ақиқат пікірмен кездеседі. Олар тағы сол
сияқты пікірлермен танысады. Одан кейін екі таңбалы, үш таңбалы сандар
туралы пікірлер, күрделі сандық өрнектердің теңдігі, теңсіздігі туралы
пікірлерге кездесетін болады. Мысалы, мына амалдардың дұрыс
орындалғандығын не дұрыс орындалмағандығын тексеріңіздер:
517+408=925
804-235=579
Басқаша айтқанда, бұл жаттығуда берілген теңдіктердің ақиқат немесе
жалған екендіктерін анықтау талап етіледі. Есептеу арқылы оқушы бірінші
теңдіктің ақиқат, ал екінші теңдіктің жалған екендігіне көз жеткізеді.
Басқа жаттығуларда:
1.
2.
3.
4.
5. тағы сол сияқты жазылулардың дұрыс немесе
дұрыс емес екендігін анықтау талап етіледі.
Мұндай жаттығуларды орындауда пікір ұғымын пайдаланып отырмыз,
өйткені берілген сөйлемдердің ақиқат немесе жалған екендігін анықтау талап
етіліп отыр.
Пікірлер элементар (жәй) және күрделі (құрама) болып келеді.
Элементар пікір деп оны басқа пікірлерге жіктеуге келмейтін пікірді
айтамыз.
Егер пікірді бірнеше элементар пікірге жіктеуге болса, оны күрделі
пікір деп атайды.
Күрделі пікір әртүрлі жалғаулықтар және сөз тіркестері арқылы
элементар пікірлердер құрылады. Мысалы, “102 саны жұп және 9 - ға
бөлінеді”, “” , “берілген төртбұрыш - ромб немесе квадрат” деген
пікірлердің әрқайсысы күрделі. Олар элементар пікірлерді “және”, “немесе”
деген сөздермен байланыстыру арқылы алынып тұр.
Күрделі пікірлерді “егер”, “онда”, “сонда тек сонда ғана” деген
сөздерді пайдаланып та алуға болады. Мысалы, “Егер үшбұрыштың екі қабырғасы
тең болса, онда ол теңбүйірлі”, “трапеция теңбүйірлі болса, сонда тек сонда
ғана оны сырттай шеңбер сызуға болады”.
Грамматикада “және”, “немесе”, “егер”, “онда”, “сонда тек сонда ғана”
сөздерін жалғаулық деп атайды. Логикада оларды элементар пікірлер
арасындағы байламдар деп атайды, өйткені мұндай жалғаулықтар элементар
пікірлерді бір күрделі пікірге біріктіреді.
Сөйлем құрылысында қолданылатын “емес” сөзі мен, “дұрыс емес” деген
тіркесті қарастырайық. Аталған тіркес қандай да бір пікірді теріске шығару
мақсатында қолданылады: Мысалы, “12 жәй сан”. Бұл – жалған пікір, себебі 12
саны 1 мен өзінен басқа да сандарға бөлінеді. Осы сөйлемге “емес”, “дұрыс
емес” сөздерін қолданайық. Одан қосақтасақ “12 жәй сан емес”, “12 жәй сан
деген дұрыс емес” деген сөйлемдер құрастырамыз. Ал, бұл – пікірлер ақиқат
болады.
Сонымен, “және”, “немесе”, “егер”, “онда”, “сонда тек сонда ғана”,
“емес”, “дұрыс емес” тағы басқа байламдар арқылы кез – келген элементар
пікірлерден әртүрлі күрделі пікірлер алуға болады және олардың мағыналық
сипатына көңіл аударылмайды. Пікірлер теориясында күрделі пікірге кіретін
элементар пікірлердің ақиқат немесе жалған екендігіне байланысты күрделі
пікірдің де ақиқат немесе жалған екендігі зерттеледі.
Кез келген А пікірінен, оны теріске шығара отырып, яғни А пікірі
орындалмайды деп қабылдап, жаңа пікір алуға болады.
А пікірін теріске шығаруды деп белгілейді, ол “А емес” деп
оқылады, мысалы, егер А - “Тік төрбұрышын диагональдары тең” деген пікір
болса, онда - “Тік төртбұрышын диагональдары тең емес” деген пікір
болады. Бұл мысалда А пікір ақиқат, ал пікір жалған.
Егер А – “128 саны жәй сан” десек, - “128 саны жәй сан емес”
деген пікірді білдіреді. Бұнда керісінше, А - пікірі жалған, ал -
ақиқат пікір. Сонымен, А қандай пікір болғанымен, А және екі
пікірінің бірі – ақиқат, екіншісі – жалған болады. А және арасындағы
байланысты кесте арқылы көрсетуге болады. Мұндағы “а” әрпі ақиқат, “ж” әрпі
жалған дегенді белгілейді. Осы түрдегі кестені ақиқаттық кесте деп атайды.
а ж
ж а
А қандай да бір пікір болсын. Сонда оның теріс пікірі -да пікір болып
табылады, ендеше пікірінің де, теріс пікірін қарастыруға
болады. Оны А пікірін екі рет теріске шығару деп атайды. А пікірін екі рет
теріске шығару, А пікірінің өзі екенін көрсету қиын емес. Оған
пікірінің ақиқаттық кестесін құру арқылы көз жеткізуге болады. Басқаша
айтқанда, кез келген пікірді екі рет теріске шығара отырып алғашқы пікірді
аламыз, яғни .
а ж а
ж а ж
Егер айтылған пікірдегі баяндауышқа “емес” шылауын қоссақ, пікірдің
теріске шығатынын көрдік. Ал егер А пікірдегі баяндауыштың “емес” шылауы
болса, онда пікірін құру үшін ол шылауды алып тастау керек.
Егер А – “бүгін күн суық емес” болса, - “бүгін күн суық” болады.
1.2. Пікірлер конъюнкциясы мен дизъюнкциясы
Параллелограмның мынадай қасиеттерін қарастырайық:
1. АД қабырғасы ВС қабырғасына параллель және оған тең;
2. АВСД параллелограмының диагональдары бір нүктеде қиылысады және
қақ бөлінеді.
Осы мысалдағы күрделі пікірлердің әрқайсысы екі элементар пікірлерді
“және” жалғаулығы арқылы біріктіруден шыққандығын көреміз.
Егер бірінші элементар пікірді А, екіншісін В әрпімен белгілесек, онда
берілген сөйлемді. “А және В” деп жазады, яғни әр түрлі мазмұндағы
сөйлемдер логикалық бір ғана формада жазылады. “А және В” деген пікірді А,В
пікірлерінің конъюнкциясы деп атайды.
А н ы қ т а м а: А мен В пікірлерінің екеуі де ақиқат болғанда ғана
ақиқат болатын күрделі пікірді осы пікірлердің конъюнкциясы деп атайды.
Егер А мен В пікірлерінің ең болмағанда біреуі жалған болса, онда
олардың конъюнкциясы жалған болады. А, В пікірлерінің конъюнкциясын
түрінде белгілейді.
Жоғарыдағы анықтамадан конъюнкциясы үшін ақиқаттық кестесі
мынадай болады:
А В
а а а
а ж ж
ж а ж
ж ж ж
Мына “Күн Жерден үлкен және Астана – Қазақстанның астанасы” деген
пікірді қарастырайық. Бұл пікір “Күн Жерден үлкен” және “Астана –
Қазақстанның астанасы” деген пікірлердің конъюнкциясы болады. Сонымен қатар
ол ақиқат пікір, өйткені оны құрайтын екі пікірдің екеуі де ақиқат.
“Күн Жерден үлкен және Ертіс Каспий теңізіне құяды” деген конъюнкция
жалған, өйткені оған енетін элементар пікірлердің біреуі “Ертіс Каспийге
құяды” жалған.
“12 тақ сан және 5 - ке бөлінеді” деген пікір жалған, себебі бұл
конъюнкцияға кіретін екі элементар пікірдің екеуі де жалған.
Пікірлердің конъюнкциясы қос теңсіздіктерді қарастырғанда кездеседі.
Мысалы, теңсіздігі “” және “” деген екі пікірдің
конъюнкциясы болады, яғни теңсіздігін “” түрінде жазуға болады,
сонымен қатар бұл пікір ақиқат, өйткені оған енетін “”, “”
пікірлердің әрқайсысы ақиқат. “” теңсіздігі жалған, өйткені ол “”
деген жалған және “” деген ақиқат пікірлердің конъюнкциясы.
Жалпы сөйлемнің құрылуында “және” жалғаулығының орнына “ал”, “бірақ”,
“алайда”, “дегенмен” және тағы басқа жалғаулықтары қолданылады. Бұл
жалғаулықтардың әртүрлі ерекшеліктері болғанмен, логикалық көзқараста
олардың айырмашылығы жоқ.
Теріске шығару және конъюнкция операциялары арқылы элементар
пікірлерден түріндегі пікірлер ғана емес, одан да күрделі
тағы сол сияқты пікірлерді құруға болады.
Мысалы:
А: “Асан – оқу озаты”;
В: “Асан тәртіпті”;
С: “Асан спортпен шұғылданады”;
Д: “Асан саяхат құруды жақсы көреді” деген пікірлер берілсін.
Осы элементар пікірлерден мынандай күрделі пікірлер құруға болады:
1) “Асан оқу озаты және саяхат құруды жақсы көреді”;
2) “Асан оқу озаты, тәртіпті және саяхат құруы жақсы көреді”;
3) “Асан саяхат құруды жақсы көреді, ал спротпен шұғылданбайды”;
4) “Асан спортпен шұғылданбайды және саяхат құруды жақсы көрмейтіні
дұрыс емес”;
Осы күрделі пікірлерді былайша өрнектеп жазуға болады:
1.
2.
3.
4.
Сонымен, нақтылы күрделі пікірдегі элементар пікірлерді әріптермен
алмастырып берілген күрделі пікірдің логикалық құрылымын анықтайтын өрнекті
аламыз. Осындай өрнек бар болса, онда оның ақиқат немесе жалған екендігін,
яғни осы өрнекке сәйке келетін күрделі пікірдің ақиқат немесе жалған
екендігін анықтауға болады.
Мұны ақиқаттық кесте арқылы орындау ыңғайлы. Мысалы, А мен В
пікірлерінің барлық мүмкін мәндерінде өрнегінің мәнін табайық.
Ақиқаттық кесте былайша толтырылады: А мен В пікірлерінің барлық мүмкін
мәндерін жазамыз (1, 2 - бағандар), сонан соң мен мәнін тауып
(3, 4 - бағандар), конъюнкцияның анықтамасы бойынша мәнін 3, 4
бағандағы мәндерінің конъюнкциясы арқылы анықтайды.
А В
а а ж ж ж
а ж ж а ж
ж а а ж ж
ж ж а а а
Мынадай мысалдарды қарастырайық:
1) “102 саны жұп немесе 3 - ке бөлінеді”;
2) “Мен театрға немесе қонаққа барамын”;
3) “Ол жұмысқа автобуспен немесе трамваймен келеді”.
Бұл келтірілген пікірлер күрделі, олардың бәрінің формасы “А немесе В”
түріндегі болады. “А немесе В” формасындағы пікірді А мен В пікірлерінің
дизъюнкциясы деп атайды.
А н ы қ т а м а: А мен В пікірлерінің екеуі де жалған болғанда жалған
болып, қалған жағдайдың бәрінде ақиқат болатын күрделі пікірді А мен В
пікірлерінің дизъюнкциясы деп атайды.
А, В пікірлерінің дизъюнкциясы деп белгіленеді. Дизъюнкция
анықтамасынан үшін ақиқаттық кестесін құруға болады.
А В
а а а
а ж а
ж а а
ж ж ж
“Жазда біз тауға шығамыз немесе теңізге барамыз” деген дизъюнкцияны
қарастырайық. Ол мынадай үш жағдайда ақиқат болады:
1) Тауға шығатын және теңізге баратын болсақ;
2) Тауға шығатын, бірақ теңізге бармайтын болсақ;
3) Тауға шықпайтын, бірақ теңізге баратын болсақ;
Бұл дизъюнкция тек бір жағдайда ғана “тауға шықпайтын және теңізге де
бармайтын” жағдайда ғана жалған болады.
Математикада “” түріндегі пікірлер кездеседі. Бұл ақиқат па, әлде
жалған ба? Оны анықтау үшін бұл пікірдің не болып саналатынын анықтайық.
“” теңсіздігін “15 саны 7 - ден артық немесе тең” деп оқимыз. Сонда
бұл пікір “” деген ақиқат пікр мен “” деген жалған пікірдің
дизъюнкциясы болады. Дизъюнкцияны құрайтын пікірлердің бірі ақиқат
болғандықтан, “” дизъюнкциясы да ақиқат болады.
“” пікір де ақиқат, өйткені бұл “” деген жалған және “”
деген ақиқат пікірлердің дизъюнкциясы.
“” жалған пікір, себебі ол “” және “” екі жалған
пікірлердің дизъюнкциясы.
Теріске шығару, конъюнкция, дизъюнкция операциялары арқылы А, В, С, Д
тағы сол сияқты элементар пікірлерден әртүрлі күрделі пікірлер құруға,
мысалы, тағы сол сияқты және олардың ақиқаттығын
анықтауға болады.
пікірінің ақиқаттық кестесін былай құрамыз: А, В, С пікірлерінің
барлық мүмкін мәндерін жазамыз (1, 2, 3 - баған).
А В С
а а а ж ж а
а а ж ж ж ж
а ж а а а а
а ж ж а а а
ж а а ж ж а
ж а ж ж ж ж
ж ж а а ж а
ж ж ж а ж ж
Екінші бағандағы В пікірдің терістеуі - ны анықтаймыз. (4 -
баған). Екі пікірдің конъюнкциясының анықтамасы бойынша пікірдің
ақиқаттығын жазамыз (5 баған). Енді - ны бір пікір деп есептеп,
пікірдің ақиқаттығы екі пікірдің дизъюнкциясының анықтамасы арқылы
анықталады (6 - баған).
Ескерту: Екі не одан көп пікірлер үшін мүмкін болатын жағдайлар саны
формуласымен табылады. Мысалы, , демек пікір саны 2 болса,
жағдайда, ал болса, демек 3 пікір, жағдай болады.
1.3. Пікірлер импликациясы және эквиваленциясы
Кез келген ойтұжырым “шығады”, “осы ойдан туады”, “осыдан шығады”,
“егер ..., онда” деген сөздерсіз құрылмайды. Мынадай екі сөйлемді
қарастырайық: А: “ саны 4 – ке еселі”, В: “ саны 2 – ге еселі”.
Бұл сөйлемдер бір – бірімен өзара байланысты: 4 – ке еселі кез келген сан 2
– ге де еселі болады, немесе, басқаша айтсақ, санның 4 – ке еселі
болғандығынан, оның 2 – ге еселі екендігі шығады немесе, егер сан 4 – ке
еселі болса, онда 2 – ге еселі болады. Егер осы байламдық сөздерді екі
пікір үшін қолдансақ, онда логикалық формасы “егер А, онда В”, “А – дан В
шығады” түріндегі күрделі пікір болады.
“Егер А, онда В” түріндегі пікір А мен В пікірлерінің импликациясы
деп аталады.
А және В пікірлерінің импликациясын деп белгілеп, оны “егер А,
онда В” деп оқиды. А пікірі импликацияның шарты, ал В пікірі оның
қорытындысы деп аталады.
Импликацияның әдеттегі қолданылуы математикалық логикадағы
қолданылуынан өзгеше. Әдеттегі сөйлемде біз импликация шарты мен
қорытындысының арасында қандай да бір мағына немесе логикалық байланыс бар
деп түсінеміз.
Алайда, қандай да бір мазмұнды мағына беру қиын болатын
импликацияларда кездеседі. Мысалы, А – “бүгін қар жауып тұр”, В – “108 саны
3 – ке бөлінеді” болса, импликациясы былай оқылады: “Егер бүгін қар
жауып тұрса, онда 108 саны 3 – ке бөлінеді”.
Логикада импликацияның ақиқаттығы немесе жалғандығы оның шарттарының
және қорытындыларының ақиқаттығына немесе жалғандығына байланысты болады
деп келісілген.
импликациясы А ақиқат, В жалған болған жағдайдан ғана жалған,
ал басқа жағдайлардың барлығында да ақиқат болатын күрделі пікір, осы
анықтама бойынша импликацияның ақиқаттық кестесі мына түре болады:
А В
а а а
а ж ж
ж а а
ж ж а
Импликацияның ақиқаттығы мен жалғандығы туралы қабылданған келісім
көп жағдайда ыңғайлы және математикада кеңінен қолданылады. “Егер 9 саны 3
– ке еселі болса, онда 81 саны да 3 – ке еселі” пікірінің ақиқаттық мәнін
табайық. Мұндағы А – “9 саны 3 – ке еселі” – ақиқат пікірі, В – “81 саны 3
– ке еселі” – ақиқат пікір, олай болса, импликациясы да ақиқат
болады. Сонымен қатар бұл импликация тек қана “егер 9 саны еселі болса,
онда саны 3 – ке еселі болмайды” деген жағдайда ғана жалған болады. Барлық
басқа жағдайларда бұл импликация ақиқат болады.
“Егер 108 саны 5 – ке еселі болса, онда ол 9 – ға еселі” болады деген
импликацияны қарастырайық. А – “108 саны 5 – ке еселі” деген пікір
импликацияның шарты, В – “108 саны 9 – ға еселі” деген пікір оның
қорытындысы. Берілген импликацияның А – шарты жалған, ал В қорытындысы
ақиқат. Сондықтан, “Егер 108 саны 5 – ке еселі болса, онда ол 9 – ға еселі
болады” импликациясы ақиқат болады.
“Егер болса, онда ” импликациясы жалған, өйткені оның
шарты “” ақиқат, ал қорытындысы “” жалған.
“Егер , онда ” импликациясы ақиқат, себебі оның шарты да
“”, қорытындысы да “” жалған.
Конъюнкциясы, дизъюнкция, теріске шығару импликация операцияларын
пайдаланып әртүрлі күрделі пікірлер құруға және олардың ақиқаттығын
анықтауға болады. Мысалы:
тағы сол сияқты.
А және В пікірлерінің импликациясы берілген болсын. Оның шарты
мен қорытындысының орындарын ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz
Реферат
Курстық жұмыс
Диплом
Материал
Диссертация
Практика
Презентация
Сабақ жоспары
Мақал-мәтелдер
1‑10 бет
11‑20 бет
21‑30 бет
31‑60 бет
61+ бет
Негізгі
Бет саны
Қосымша
Іздеу
Ештеңе табылмады :(
Соңғы қаралған жұмыстар
Қаралған жұмыстар табылмады
Тапсырыс
Антиплагиат
Қаралған жұмыстар
kz