Операторлар жайлы
Кіріспе
І.бөлім. Операторлар жайлы теория
1. Операторлар теориясынан мағұлматтар
2. Динамикалық айнымалыларды /физикалық шамаларды/ сызықтық операторлар түрінде өрнектеу.
2.1. Координаттар операторы
2.2. Импульс операторы
2.3. Гамильтон операторы
2.4. Толық энергия операторы
2.5. Импульс моменті операторы
3. Бір мезгілде әртүрлі динамикалық айнымалыларды өлшеу шарттары
4. Динамикалық айнымалылардың орташа мәндерінің уақыт бойынша өзгерісі және сақталу заңдары
ІІ.бөлім. Есеп шығару үлгілері
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
І.бөлім. Операторлар жайлы теория
1. Операторлар теориясынан мағұлматтар
2. Динамикалық айнымалыларды /физикалық шамаларды/ сызықтық операторлар түрінде өрнектеу.
2.1. Координаттар операторы
2.2. Импульс операторы
2.3. Гамильтон операторы
2.4. Толық энергия операторы
2.5. Импульс моменті операторы
3. Бір мезгілде әртүрлі динамикалық айнымалыларды өлшеу шарттары
4. Динамикалық айнымалылардың орташа мәндерінің уақыт бойынша өзгерісі және сақталу заңдары
ІІ.бөлім. Есеп шығару үлгілері
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
Кванттық механиканың математикалық аппаратында операторлардың алатын орны зор. Классикалық механикада әрбір физикалық шамалар кеңістіктің әрбір нүктесінде кез-келген уақыт мезетінде өзінің сандық мәнімен сипатталады. Мысалы, материалдық нүктенің жылдамдығы кез-келген уақыт мезетінде жылдамдық векторының координат осьтеріне түсірілген проекциялары υх,υу,υғ шамаларымен анықталады. Басқаша айтқанда классикалық механикада физикалық шамалар уақыт пен координаттың функциясымен анықталады.
Осы курстық жұмыста біз көптеген операторлардың түрімен және уақыттан тәуелділігімен танысатын боламыз. Операторлардың есеп шығаруда алатын орны ерекше болғандықтан, оны ықтималдық тұрғысынан көбірек қолданады.
Біз осы жұмыста операторлардың көмегімен көптеген амалдарды орындап, есеп шығаруда қолданатын боламыз.
Кванттық механикада физикалық шамалар жалпы айтқанда белгілі бір сандық мәндерімен сипатталмайды. Мысалы, бөлшектің орнын анықтайтын шаманы қарастырайық. Классикалық механикада материалдық нүктенің орны әрбір уақыт мезетінде үш санмен нүктенің координаттарымен анықталады. Классикалық механиканың негізгі мақсаты нүктенің осы координаттарының уақытқа тәуелділігінің функциясын табу.
Мақсаты: Операторлар көмегімен есептерді шығарып дәлелдеу.
Жұмыстың өзектілігі: операторларды әртүрлі механика саласында формула арқылы өрнектеу.
Осы курстық жұмыста біз көптеген операторлардың түрімен және уақыттан тәуелділігімен танысатын боламыз. Операторлардың есеп шығаруда алатын орны ерекше болғандықтан, оны ықтималдық тұрғысынан көбірек қолданады.
Біз осы жұмыста операторлардың көмегімен көптеген амалдарды орындап, есеп шығаруда қолданатын боламыз.
Кванттық механикада физикалық шамалар жалпы айтқанда белгілі бір сандық мәндерімен сипатталмайды. Мысалы, бөлшектің орнын анықтайтын шаманы қарастырайық. Классикалық механикада материалдық нүктенің орны әрбір уақыт мезетінде үш санмен нүктенің координаттарымен анықталады. Классикалық механиканың негізгі мақсаты нүктенің осы координаттарының уақытқа тәуелділігінің функциясын табу.
Мақсаты: Операторлар көмегімен есептерді шығарып дәлелдеу.
Жұмыстың өзектілігі: операторларды әртүрлі механика саласында формула арқылы өрнектеу.
1. Айзерман М.А. Классическая механика. – Москва: Просвещение, 1974 – 367.
2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – Москва: Наука, 1980 – 552.
3. Бом Д. «Квантовая теория», 1965 г.
4. Голубева О.В. Теоретическая механика // Учебное пособие для вузов. – Москва: Высшая школа, 1976 – 350.
5. Гольдман И.И. и Кривченко В.Д., «Сборник задач по квантовой механике», 1957 – 235.
6. Голььдстейн Г. Классическая механика. – Москва: Наука, 1980 – 552.
7. Грашин А.Ф. «Квантовая механика», 1974 – 348.
8. Давыдов А.С., «Квантовая механика», Москва: Наука, 1963 – 548.
9. Жирнов Н.И. Классическая механика. – Москва: Просвещение, 1982 – 302.
10. Иос Г., «Курс теоритической физики», Москва: Просвещение,1964 г.
11. Қайырбаев Қ.Қ. Классикалық механика негіздері. – Павлодар, 2005 – 170.
12. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М., «Квантовая механика», Москва: Просвещение, 1963 – 552.
13. Левич В.Г., «Задачи по курсу квантовой механики».
14. Соколов А.А., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. «Квантовая механика», Москва: Просвещение, 1965 г.
15. Серова Ф.Г., Янкина А.А. и др., «Задачник – практикум по теоритической физике, Квнтовая механика», Москва: Наука, 1982 г.
16. Шифф Л., «Квантовая механика», том – 2.
2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – Москва: Наука, 1980 – 552.
3. Бом Д. «Квантовая теория», 1965 г.
4. Голубева О.В. Теоретическая механика // Учебное пособие для вузов. – Москва: Высшая школа, 1976 – 350.
5. Гольдман И.И. и Кривченко В.Д., «Сборник задач по квантовой механике», 1957 – 235.
6. Голььдстейн Г. Классическая механика. – Москва: Наука, 1980 – 552.
7. Грашин А.Ф. «Квантовая механика», 1974 – 348.
8. Давыдов А.С., «Квантовая механика», Москва: Наука, 1963 – 548.
9. Жирнов Н.И. Классическая механика. – Москва: Просвещение, 1982 – 302.
10. Иос Г., «Курс теоритической физики», Москва: Просвещение,1964 г.
11. Қайырбаев Қ.Қ. Классикалық механика негіздері. – Павлодар, 2005 – 170.
12. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М., «Квантовая механика», Москва: Просвещение, 1963 – 552.
13. Левич В.Г., «Задачи по курсу квантовой механики».
14. Соколов А.А., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. «Квантовая механика», Москва: Просвещение, 1965 г.
15. Серова Ф.Г., Янкина А.А. и др., «Задачник – практикум по теоритической физике, Квнтовая механика», Москва: Наука, 1982 г.
16. Шифф Л., «Квантовая механика», том – 2.
Кіріспе
І-бөлім. Операторлар жайлы теория
1. Операторлар теориясынан мағұлматтар
2. Динамикалық айнымалыларды физикалық шамаларды сызықтық операторлар түрінде өрнектеу.
2.1. Координаттар операторы
2.2. Импульс операторы
2.3. Гамильтон операторы
2.4. Толық энергия операторы
2.5. Импульс моменті операторы
3. Бір мезгілде әртүрлі динамикалық айнымалыларды өлшеу шарттары
4. Динамикалық айнымалылардың орташа мәндерінің уақыт бойынша өзгерісі және сақталу заңдары
ІІ-бөлім. Есеп шығару үлгілері
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
Кіріспе
Кванттық механиканың математикалық аппаратында операторлардың алатын орны зор. Классикалық механикада әрбір физикалық шамалар кеңістіктің әрбір нүктесінде кез-келген уақыт мезетінде өзінің сандық мәнімен сипатталады. Мысалы, материалдық нүктенің жылдамдығы кез-келген уақыт мезетінде жылдамдық векторының координат осьтеріне түсірілген проекциялары υх,υу,υғ шамаларымен анықталады. Басқаша айтқанда классикалық механикада физикалық шамалар уақыт пен координаттың функциясымен анықталады.
Осы курстық жұмыста біз көптеген операторлардың түрімен және уақыттан тәуелділігімен танысатын боламыз. Операторлардың есеп шығаруда алатын орны ерекше болғандықтан, оны ықтималдық тұрғысынан көбірек қолданады.
Біз осы жұмыста операторлардың көмегімен көптеген амалдарды орындап, есеп шығаруда қолданатын боламыз.
Кванттық механикада физикалық шамалар жалпы айтқанда белгілі бір сандық мәндерімен сипатталмайды. Мысалы, бөлшектің орнын анықтайтын шаманы қарастырайық. Классикалық механикада материалдық нүктенің орны әрбір уақыт мезетінде үш санмен нүктенің координаттарымен анықталады. Классикалық механиканың негізгі мақсаты нүктенің осы координаттарының уақытқа тәуелділігінің функциясын табу.
Мақсаты: Операторлар көмегімен есептерді шығарып дәлелдеу.
Жұмыстың өзектілігі: операторларды әртүрлі механика саласында формула арқылы өрнектеу.
І-бөлім. Операторлар жайлы теория
1. Операторлар теориясынан мағұлматтар
Жалпы алғанда, функция дегеніміз бір санға немесе сандар жиынына сәйкес алынатын санды немесе сандар жиынын анықтайтын ереже. Классикалық механикада әртүрлі шамалардың арасындағы функционалдық байланыстарды анықтаумен шектеледі.
Кванттық механикада бұл басқаша. Кванттық механикада нүкте координаттарының сан мәндерінің болу ықтималдықтарын анықтауға және олардың орташа мәндерін есептеуге ғана мүмкіндік болады. Мысалы, егер біз өте көп бірдей, бір-біріне тәуелсіз физикалық жүйелерді алып, олардың барлығы бірдей толқындық функциямен сипатталады десек, онда кез-келген бір физикалық шаманың сандық мәнін өлшеген сайын әртүрлі мәндер аламыз. Кванттық механикада осы физикалық шаманың белгілі бір мәнін алудың ықтималдығы ғана қарастырылады.
Осыған байланысты кванттық механикада физикалық шамалар сан мәндерімен сипатталмай, осы шамалардың операторларымен сипатталады. Қарастырылып отырған мысалда физикалық шамалардың сан мәндері белгісіз болса да, сол физикалық шамалардың операторлары белгілі болу керек.
Функция бір санды басқа бір санмен байланыстыратын болса, оператор бір функцияны басқа бір функциямен байланыстырады. Оператор деп көптеген функциялардың әрқайсысына, осы функциялардан немесе басқа функциялардан сәйкес функция табу ережесін айтады. Операторларды символды түрде әріптердің үстіне мынадай ^ белгі қойып жазады. Мысалы, L^ , M^ т.с.с. Егер L^ операторы u функциясына сәйкес υ функциясын анықтайтын ереже болсаоны символды түрде былай жазады
υ=L^u
мысалы, егер L^ операторы фифференциалдау ережесі болса, яғни L^=ddx онда υ функциясы u функциясынан алынған туындыға тең болады. υ=u'.
Берілген функцияға сәйкес функциялар табу ережелері әртүрлі болатындықтан, операторлардың қасиеттері де әртүрлі болады. Кванттық механикада сызықтық операторлар қолданылады. L^ операторын сызықтық оператор деп атайды, егер қарастырылып отырған көптеген функциялардың ішінен кез-келген u1 және u2 функциялары үшін және кез-келген С1 және С2 тұрақты сандар үшін мынадай теңдік орындалатын болса
L^ (С1u1+ С2 u2)= С1 L^ u1+ С2 L^u2 (1)
Егер кез-келген u функциясы үшін мынадай теңдіктер орындалатын болса
, С^1u=A^1u-B^1u, С^2u= A^2(B^2u) (2)
Онда С^,С^1,С^2 операторларын сәйкес, А^ және В^ операторларының қосындысының, А^1 және В^1 операторларының айырмасының, А^2 және В^2 операторларының көбейтіндісінің операторлары деп атайды да, оларды былай жазады:
C^= A^+B^, С^1= A^1-B^1, С^2= A^2B^2 (3)
Операторлардың қосындысы мен айырмасының алгебралық қасиеттері сандардың қосындысы мен айырмасының алгебралық қасиеттеріне ұқсас, олардың мүшелерінің орнын ауыстыруға және жинақтауға т.с.с. болады. Ал операторлардың көбейтіндісінің алгебралық қасиеттері сандар көбейтіндісінің алгебралық қасиеттерінен басқаша; операторлардың көбейтінділерінің мәндері олардың көбейткіштерінің орын ауыстыруына байланысты:
A^B^ B^A^ (4)
Яғни, жалпы алғанда операторлардың көбейтіндісі коммутативті емес. Мысалы, А^ операторын х координатаға көбейту, ал В^ операторы х координатасы бойынша туынды алу ережелері болсын, яғни
Сонда
Осыдан болады,
Сондықтан
Операторлар А^ және В^ коммутативті деп аталады, егер олардың көбейтіндісі көбейткіштердің орналасу ретіне байланысты болмаса, яғни А^В^=В^А^.
Егер А^ жәнеВ^ операторлары мынадай теңдікті қанағаттандырса А^В^=-В^А^ онда бұл операторларды антикоммутативті операторлар деп атайды.
Операторлар
(5)
және операторларының коммутаторы деп аталады. Ал егер олардың көбейтіндісі орындарын ауыстырғанда да шамалары өзгермесе, онда ондай операторларды коммутаторлы деп атайды.
А^В^+В^А^ операторын А^ және В^ операторының антикоммутаторы деп атайды да оны былай белгілейді:
А^В^+В^А^=[А^;В^] (6)
операторы бірлік деп аталады, егер ол кез-келген функция үшін келесі теңдік орындалса:
f(x) және g(x) функцияларының скаляр көбейтіндісі деп аталады,
Векторлары үшін скаляр көбейтінді деп ψп кеңістіктің Еп қатынасын анықтайық;
(7)
Егер L^ операторын кез-келген бір u функциясына қолданғанда бір λ санына көбейтілген сол u функциясының өзі шығатын болса, яғни
(8)
Онда, λ - L^ операторының меншікті мәні, ал u - L^ операторының λ меншікті мәніне сәйкес меншікті функциясы деп аталады. Бұдан былай операторды және оның меншікті мәнін бір әріппен белгілейтін боламыз:
(8')
Оператордың меншікті мәндерінің жиынтығын оның спектрі деп атайды. Егер L^ операторы сызықтық дифференциалды оператор болса, оның спектрлерінің үздіксіз де және үздік-үздік болатындығы да математикада дәлелденген.
Егер ψ және φ кез-келген функциялары үшін келесі қатынас орындалса:
(9)
онда операторы операторына түйіндес деп аталады.
Келесі операторлардың түйіндестік қасиеттерін қарастырайық:
Немесе
Егер операторы өзінің түйіндес операторымен бірге болса, онда ол эрмитті деп аталады.
Сондықтан эрмитті деп және операторлары айтылады.
Кез-келген операторын келесі түрде жазуға болады:
(10)
Мұндағы:
Эрмитті. Бұл шамаларды, яғни және анықтамаларын операторының эрмитті және антиэрмитті бөлшектері деп атайды.
Эрмитті операторлардың көбейтіндісі эрмитті оператор деп аталады, егер операторлары коммутаторлы болса:
(11)
Операторларды қосу және көбейту
Егер және - операторлары, олар екі физикалық шамаларға ƒ және q жауап берсе, онда ƒ+ q суммаларына + операторлары жауап береді.
Кванттық механикада әр түрлі шамаларды қосу, олардың өлшемінің шамаларының біртекті немесе біртекті еместігінен тәуелді.
Егер ƒ және q шамалары біртекті өлшенетін болса, онда және операторлары да + операторларының қосындысына тең.
+ операторларының функциясы мен мағынасына келер болсақ, онда олар ƒ және q шамаларына еш қатыстары жоқ.
Анығырақ айтсақ, егер және операторлары - эрмитті болса, онда + операторлары да эрмитті болады.
Келесі теореманы қарастырайық:
Ал енді қайтадан ƒ және q - біртекті өлшенетін шама болсын. Олардың суммаларының анықтамаларына қарап, олардың жеке анықтамасын енгізуге болады ƒ және q. Оңай көруге болады, бұндай шамаға оператор сәйкес келеді. Осындай оператор математикалық түрде және . Шынында да, егер Ψn - жалпы оператордың функциясы болса және , онда:
болады.
Операторлардың көбейтіндісін операторы анықтайды, ψ функциясына әрекеті тізбектей әрекет етеді операторының ψ-ға, одан кейін операторының . Ақыр соңында олардың көбейтіндісі орындарының ауыстыруларына байланысты:
(12)
2. Динамикалық айнымалыларды физикалық шамаларды сызықтық операторлар түрінде өрнектеу.
2.1. Координаттар операторы
Толқындық функцияның физикалық мағынасына түсініктеме бергенде айтқанымыздай шамасы бөлшектің белгілі бір уақыт мезетінде кеңістіктің берілген бір ауданында болуының ықтималдығын көрсетеді. Сондықтан х координатының орташа мәнін былай есептеуге болады:
(13)
Осы өрнекті ықтималдық теориясы бойынша өрнектелетін динамикалық айнымалының орташа мәнін анықтайтын (12) өрнекпен салыстыра отырып х координатасының операторы ретінде осы координатаға көбейту операторын алу керек, яғни х операторын кейбір функцияға қолдану, осы функцияны х координатасына көбейту болып табылады. Осыған ұқсас у және z координаттарының операторында осы координаттарға көбейту болып табылады.
Сонымен
(14)
2.2. Импульс операторы
Импульс операторын анықтау үшін де-Бройль жорамалы бойынша импульсі Рх еркін бөлшекті толқындық саны жиілігі болатын жазық толқын ретінде қарастырып мынадай толқындық функциямен
(15)
сипаттауға болатындығын ескерейік. Сонда осы толқындық функция импульс операторының меншікті мәнін анықтайтын мына теңдеуді қанағаттандыруы қажет
(16)
Осы өрнекті қанағаттандыру үшін импульс операторы мынадай болу керек
(17)
Өйткені, осындай болса ғана (15) функция (16) теңдеуді қанағаттандырады. Оны былай дәлелдеуге болады.
(18)
Сонымен (16) теңдеудің орындалатындығы дәлелденді. Осы сияқты ру, рz операторлары былай анықталады:
(19)
Импульс операторын вектор түрінде былай жазамыз:
(20)
мұндағы - бірлік векторлар.
2.3. Гамильтон операторы
Классикалық механикада Гамильтон функциясы деп жалпыланған импульспен жалпыланған координаттар арқылы өрнектелген толық энергияны айтады. Бір бөлшектің толық энергиясы оның кинетикалық энергиясымен потенциалдық энергиясының қосындысына тең
(21)
мұндағы - Гамильтон функциясы.
Кванттық механикада Гамильтон функциясына Гамильтон операторы сәйкес келу керек. Оны (21) өрнектегі Р импульстің орнына (20) өрнектен иимпульс операторын қою арқылы табамыз.
Сонда
(22)
Толқындық функция Ψ толығымен кванттық механикадағы функциялық жүйенің күйін анықтайды. Бұл дегеніміз, бұл функцияның қызметі белгілі бір уақытта жүйенің бүкіл күйін сипаттап қоймай, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
І-бөлім. Операторлар жайлы теория
1. Операторлар теориясынан мағұлматтар
2. Динамикалық айнымалыларды физикалық шамаларды сызықтық операторлар түрінде өрнектеу.
2.1. Координаттар операторы
2.2. Импульс операторы
2.3. Гамильтон операторы
2.4. Толық энергия операторы
2.5. Импульс моменті операторы
3. Бір мезгілде әртүрлі динамикалық айнымалыларды өлшеу шарттары
4. Динамикалық айнымалылардың орташа мәндерінің уақыт бойынша өзгерісі және сақталу заңдары
ІІ-бөлім. Есеп шығару үлгілері
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
Кіріспе
Кванттық механиканың математикалық аппаратында операторлардың алатын орны зор. Классикалық механикада әрбір физикалық шамалар кеңістіктің әрбір нүктесінде кез-келген уақыт мезетінде өзінің сандық мәнімен сипатталады. Мысалы, материалдық нүктенің жылдамдығы кез-келген уақыт мезетінде жылдамдық векторының координат осьтеріне түсірілген проекциялары υх,υу,υғ шамаларымен анықталады. Басқаша айтқанда классикалық механикада физикалық шамалар уақыт пен координаттың функциясымен анықталады.
Осы курстық жұмыста біз көптеген операторлардың түрімен және уақыттан тәуелділігімен танысатын боламыз. Операторлардың есеп шығаруда алатын орны ерекше болғандықтан, оны ықтималдық тұрғысынан көбірек қолданады.
Біз осы жұмыста операторлардың көмегімен көптеген амалдарды орындап, есеп шығаруда қолданатын боламыз.
Кванттық механикада физикалық шамалар жалпы айтқанда белгілі бір сандық мәндерімен сипатталмайды. Мысалы, бөлшектің орнын анықтайтын шаманы қарастырайық. Классикалық механикада материалдық нүктенің орны әрбір уақыт мезетінде үш санмен нүктенің координаттарымен анықталады. Классикалық механиканың негізгі мақсаты нүктенің осы координаттарының уақытқа тәуелділігінің функциясын табу.
Мақсаты: Операторлар көмегімен есептерді шығарып дәлелдеу.
Жұмыстың өзектілігі: операторларды әртүрлі механика саласында формула арқылы өрнектеу.
І-бөлім. Операторлар жайлы теория
1. Операторлар теориясынан мағұлматтар
Жалпы алғанда, функция дегеніміз бір санға немесе сандар жиынына сәйкес алынатын санды немесе сандар жиынын анықтайтын ереже. Классикалық механикада әртүрлі шамалардың арасындағы функционалдық байланыстарды анықтаумен шектеледі.
Кванттық механикада бұл басқаша. Кванттық механикада нүкте координаттарының сан мәндерінің болу ықтималдықтарын анықтауға және олардың орташа мәндерін есептеуге ғана мүмкіндік болады. Мысалы, егер біз өте көп бірдей, бір-біріне тәуелсіз физикалық жүйелерді алып, олардың барлығы бірдей толқындық функциямен сипатталады десек, онда кез-келген бір физикалық шаманың сандық мәнін өлшеген сайын әртүрлі мәндер аламыз. Кванттық механикада осы физикалық шаманың белгілі бір мәнін алудың ықтималдығы ғана қарастырылады.
Осыған байланысты кванттық механикада физикалық шамалар сан мәндерімен сипатталмай, осы шамалардың операторларымен сипатталады. Қарастырылып отырған мысалда физикалық шамалардың сан мәндері белгісіз болса да, сол физикалық шамалардың операторлары белгілі болу керек.
Функция бір санды басқа бір санмен байланыстыратын болса, оператор бір функцияны басқа бір функциямен байланыстырады. Оператор деп көптеген функциялардың әрқайсысына, осы функциялардан немесе басқа функциялардан сәйкес функция табу ережесін айтады. Операторларды символды түрде әріптердің үстіне мынадай ^ белгі қойып жазады. Мысалы, L^ , M^ т.с.с. Егер L^ операторы u функциясына сәйкес υ функциясын анықтайтын ереже болсаоны символды түрде былай жазады
υ=L^u
мысалы, егер L^ операторы фифференциалдау ережесі болса, яғни L^=ddx онда υ функциясы u функциясынан алынған туындыға тең болады. υ=u'.
Берілген функцияға сәйкес функциялар табу ережелері әртүрлі болатындықтан, операторлардың қасиеттері де әртүрлі болады. Кванттық механикада сызықтық операторлар қолданылады. L^ операторын сызықтық оператор деп атайды, егер қарастырылып отырған көптеген функциялардың ішінен кез-келген u1 және u2 функциялары үшін және кез-келген С1 және С2 тұрақты сандар үшін мынадай теңдік орындалатын болса
L^ (С1u1+ С2 u2)= С1 L^ u1+ С2 L^u2 (1)
Егер кез-келген u функциясы үшін мынадай теңдіктер орындалатын болса
, С^1u=A^1u-B^1u, С^2u= A^2(B^2u) (2)
Онда С^,С^1,С^2 операторларын сәйкес, А^ және В^ операторларының қосындысының, А^1 және В^1 операторларының айырмасының, А^2 және В^2 операторларының көбейтіндісінің операторлары деп атайды да, оларды былай жазады:
C^= A^+B^, С^1= A^1-B^1, С^2= A^2B^2 (3)
Операторлардың қосындысы мен айырмасының алгебралық қасиеттері сандардың қосындысы мен айырмасының алгебралық қасиеттеріне ұқсас, олардың мүшелерінің орнын ауыстыруға және жинақтауға т.с.с. болады. Ал операторлардың көбейтіндісінің алгебралық қасиеттері сандар көбейтіндісінің алгебралық қасиеттерінен басқаша; операторлардың көбейтінділерінің мәндері олардың көбейткіштерінің орын ауыстыруына байланысты:
A^B^ B^A^ (4)
Яғни, жалпы алғанда операторлардың көбейтіндісі коммутативті емес. Мысалы, А^ операторын х координатаға көбейту, ал В^ операторы х координатасы бойынша туынды алу ережелері болсын, яғни
Сонда
Осыдан болады,
Сондықтан
Операторлар А^ және В^ коммутативті деп аталады, егер олардың көбейтіндісі көбейткіштердің орналасу ретіне байланысты болмаса, яғни А^В^=В^А^.
Егер А^ жәнеВ^ операторлары мынадай теңдікті қанағаттандырса А^В^=-В^А^ онда бұл операторларды антикоммутативті операторлар деп атайды.
Операторлар
(5)
және операторларының коммутаторы деп аталады. Ал егер олардың көбейтіндісі орындарын ауыстырғанда да шамалары өзгермесе, онда ондай операторларды коммутаторлы деп атайды.
А^В^+В^А^ операторын А^ және В^ операторының антикоммутаторы деп атайды да оны былай белгілейді:
А^В^+В^А^=[А^;В^] (6)
операторы бірлік деп аталады, егер ол кез-келген функция үшін келесі теңдік орындалса:
f(x) және g(x) функцияларының скаляр көбейтіндісі деп аталады,
Векторлары үшін скаляр көбейтінді деп ψп кеңістіктің Еп қатынасын анықтайық;
(7)
Егер L^ операторын кез-келген бір u функциясына қолданғанда бір λ санына көбейтілген сол u функциясының өзі шығатын болса, яғни
(8)
Онда, λ - L^ операторының меншікті мәні, ал u - L^ операторының λ меншікті мәніне сәйкес меншікті функциясы деп аталады. Бұдан былай операторды және оның меншікті мәнін бір әріппен белгілейтін боламыз:
(8')
Оператордың меншікті мәндерінің жиынтығын оның спектрі деп атайды. Егер L^ операторы сызықтық дифференциалды оператор болса, оның спектрлерінің үздіксіз де және үздік-үздік болатындығы да математикада дәлелденген.
Егер ψ және φ кез-келген функциялары үшін келесі қатынас орындалса:
(9)
онда операторы операторына түйіндес деп аталады.
Келесі операторлардың түйіндестік қасиеттерін қарастырайық:
Немесе
Егер операторы өзінің түйіндес операторымен бірге болса, онда ол эрмитті деп аталады.
Сондықтан эрмитті деп және операторлары айтылады.
Кез-келген операторын келесі түрде жазуға болады:
(10)
Мұндағы:
Эрмитті. Бұл шамаларды, яғни және анықтамаларын операторының эрмитті және антиэрмитті бөлшектері деп атайды.
Эрмитті операторлардың көбейтіндісі эрмитті оператор деп аталады, егер операторлары коммутаторлы болса:
(11)
Операторларды қосу және көбейту
Егер және - операторлары, олар екі физикалық шамаларға ƒ және q жауап берсе, онда ƒ+ q суммаларына + операторлары жауап береді.
Кванттық механикада әр түрлі шамаларды қосу, олардың өлшемінің шамаларының біртекті немесе біртекті еместігінен тәуелді.
Егер ƒ және q шамалары біртекті өлшенетін болса, онда және операторлары да + операторларының қосындысына тең.
+ операторларының функциясы мен мағынасына келер болсақ, онда олар ƒ және q шамаларына еш қатыстары жоқ.
Анығырақ айтсақ, егер және операторлары - эрмитті болса, онда + операторлары да эрмитті болады.
Келесі теореманы қарастырайық:
Ал енді қайтадан ƒ және q - біртекті өлшенетін шама болсын. Олардың суммаларының анықтамаларына қарап, олардың жеке анықтамасын енгізуге болады ƒ және q. Оңай көруге болады, бұндай шамаға оператор сәйкес келеді. Осындай оператор математикалық түрде және . Шынында да, егер Ψn - жалпы оператордың функциясы болса және , онда:
болады.
Операторлардың көбейтіндісін операторы анықтайды, ψ функциясына әрекеті тізбектей әрекет етеді операторының ψ-ға, одан кейін операторының . Ақыр соңында олардың көбейтіндісі орындарының ауыстыруларына байланысты:
(12)
2. Динамикалық айнымалыларды физикалық шамаларды сызықтық операторлар түрінде өрнектеу.
2.1. Координаттар операторы
Толқындық функцияның физикалық мағынасына түсініктеме бергенде айтқанымыздай шамасы бөлшектің белгілі бір уақыт мезетінде кеңістіктің берілген бір ауданында болуының ықтималдығын көрсетеді. Сондықтан х координатының орташа мәнін былай есептеуге болады:
(13)
Осы өрнекті ықтималдық теориясы бойынша өрнектелетін динамикалық айнымалының орташа мәнін анықтайтын (12) өрнекпен салыстыра отырып х координатасының операторы ретінде осы координатаға көбейту операторын алу керек, яғни х операторын кейбір функцияға қолдану, осы функцияны х координатасына көбейту болып табылады. Осыған ұқсас у және z координаттарының операторында осы координаттарға көбейту болып табылады.
Сонымен
(14)
2.2. Импульс операторы
Импульс операторын анықтау үшін де-Бройль жорамалы бойынша импульсі Рх еркін бөлшекті толқындық саны жиілігі болатын жазық толқын ретінде қарастырып мынадай толқындық функциямен
(15)
сипаттауға болатындығын ескерейік. Сонда осы толқындық функция импульс операторының меншікті мәнін анықтайтын мына теңдеуді қанағаттандыруы қажет
(16)
Осы өрнекті қанағаттандыру үшін импульс операторы мынадай болу керек
(17)
Өйткені, осындай болса ғана (15) функция (16) теңдеуді қанағаттандырады. Оны былай дәлелдеуге болады.
(18)
Сонымен (16) теңдеудің орындалатындығы дәлелденді. Осы сияқты ру, рz операторлары былай анықталады:
(19)
Импульс операторын вектор түрінде былай жазамыз:
(20)
мұндағы - бірлік векторлар.
2.3. Гамильтон операторы
Классикалық механикада Гамильтон функциясы деп жалпыланған импульспен жалпыланған координаттар арқылы өрнектелген толық энергияны айтады. Бір бөлшектің толық энергиясы оның кинетикалық энергиясымен потенциалдық энергиясының қосындысына тең
(21)
мұндағы - Гамильтон функциясы.
Кванттық механикада Гамильтон функциясына Гамильтон операторы сәйкес келу керек. Оны (21) өрнектегі Р импульстің орнына (20) өрнектен иимпульс операторын қою арқылы табамыз.
Сонда
(22)
Толқындық функция Ψ толығымен кванттық механикадағы функциялық жүйенің күйін анықтайды. Бұл дегеніміз, бұл функцияның қызметі белгілі бір уақытта жүйенің бүкіл күйін сипаттап қоймай, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz