Операторлар жайлы

Кіріспе
І.бөлім. Операторлар жайлы теория
1. Операторлар теориясынан мағұлматтар
2. Динамикалық айнымалыларды /физикалық шамаларды/ сызықтық операторлар түрінде өрнектеу.
2.1. Координаттар операторы
2.2. Импульс операторы
2.3. Гамильтон операторы
2.4. Толық энергия операторы
2.5. Импульс моменті операторы
3. Бір мезгілде әртүрлі динамикалық айнымалыларды өлшеу шарттары
4. Динамикалық айнымалылардың орташа мәндерінің уақыт бойынша өзгерісі және сақталу заңдары
ІІ.бөлім. Есеп шығару үлгілері
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
Кванттық механиканың математикалық аппаратында операторлардың алатын орны зор. Классикалық механикада әрбір физикалық шамалар кеңістіктің әрбір нүктесінде кез-келген уақыт мезетінде өзінің сандық мәнімен сипатталады. Мысалы, материалдық нүктенің жылдамдығы кез-келген уақыт мезетінде жылдамдық векторының координат осьтеріне түсірілген проекциялары υх,υу,υғ шамаларымен анықталады. Басқаша айтқанда классикалық механикада физикалық шамалар уақыт пен координаттың функциясымен анықталады.
Осы курстық жұмыста біз көптеген операторлардың түрімен және уақыттан тәуелділігімен танысатын боламыз. Операторлардың есеп шығаруда алатын орны ерекше болғандықтан, оны ықтималдық тұрғысынан көбірек қолданады.
Біз осы жұмыста операторлардың көмегімен көптеген амалдарды орындап, есеп шығаруда қолданатын боламыз.
Кванттық механикада физикалық шамалар жалпы айтқанда белгілі бір сандық мәндерімен сипатталмайды. Мысалы, бөлшектің орнын анықтайтын шаманы қарастырайық. Классикалық механикада материалдық нүктенің орны әрбір уақыт мезетінде үш санмен нүктенің координаттарымен анықталады. Классикалық механиканың негізгі мақсаты нүктенің осы координаттарының уақытқа тәуелділігінің функциясын табу.
Мақсаты: Операторлар көмегімен есептерді шығарып дәлелдеу.
Жұмыстың өзектілігі: операторларды әртүрлі механика саласында формула арқылы өрнектеу.
1. Айзерман М.А. Классическая механика. – Москва: Просвещение, 1974 – 367.
2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – Москва: Наука, 1980 – 552.
3. Бом Д. «Квантовая теория», 1965 г.
4. Голубева О.В. Теоретическая механика // Учебное пособие для вузов. – Москва: Высшая школа, 1976 – 350.
5. Гольдман И.И. и Кривченко В.Д., «Сборник задач по квантовой механике», 1957 – 235.
6. Голььдстейн Г. Классическая механика. – Москва: Наука, 1980 – 552.
7. Грашин А.Ф. «Квантовая механика», 1974 – 348.
8. Давыдов А.С., «Квантовая механика», Москва: Наука, 1963 – 548.
9. Жирнов Н.И. Классическая механика. – Москва: Просвещение, 1982 – 302.
10. Иос Г., «Курс теоритической физики», Москва: Просвещение,1964 г.
11. Қайырбаев Қ.Қ. Классикалық механика негіздері. – Павлодар, 2005 – 170.
12. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М., «Квантовая механика», Москва: Просвещение, 1963 – 552.
13. Левич В.Г., «Задачи по курсу квантовой механики».
14. Соколов А.А., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. «Квантовая механика», Москва: Просвещение, 1965 г.
15. Серова Ф.Г., Янкина А.А. и др., «Задачник – практикум по теоритической физике, Квнтовая механика», Москва: Наука, 1982 г.
16. Шифф Л., «Квантовая механика», том – 2.
        
        Кіріспе
І-бөлім. Операторлар жайлы теория
1. Операторлар теориясынан мағұлматтар
2. Динамикалық айнымалыларды ... ... ... ... түрінде өрнектеу.
2.1. Координаттар операторы
+ Импульс операторы
+ Гамильтон операторы
+ ... ... ... ... ... ... Бір мезгілде әртүрлі динамикалық айнымалыларды өлшеу шарттары
4. Динамикалық айнымалылардың орташа мәндерінің уақыт бойынша өзгерісі және ... ... Есеп ... үлгілері
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
Кіріспе
Кванттық механиканың математикалық аппаратында операторлардың алатын орны зор. ... ... ... ... ... кеңістіктің әрбір нүктесінде кез-келген уақыт мезетінде өзінің сандық мәнімен сипатталады. Мысалы, материалдық нүктенің жылдамдығы кез-келген уақыт мезетінде жылдамдық векторының ... ... ... ... ... ... ... Басқаша айтқанда классикалық механикада физикалық шамалар уақыт пен координаттың функциясымен анықталады.
Осы курстық жұмыста біз көптеген ... ... және ... ... танысатын боламыз. Операторлардың есеп шығаруда алатын орны ерекше болғандықтан, оны ықтималдық тұрғысынан көбірек қолданады.
Біз осы ... ... ... ... ... орындап, есеп шығаруда қолданатын боламыз.
Кванттық механикада физикалық шамалар жалпы айтқанда белгілі бір сандық мәндерімен ... ... ... ... ... шаманы қарастырайық. Классикалық механикада материалдық нүктенің орны әрбір уақыт мезетінде үш санмен ... ... ... ... ... негізгі мақсаты нүктенің осы координаттарының уақытқа тәуелділігінің ... ... ... ... ... ... ... өзектілігі: операторларды әртүрлі механика саласында формула арқылы өрнектеу.
І-бөлім. Операторлар ... ... ... теориясынан мағұлматтар
Жалпы алғанда, функция дегеніміз бір санға немесе сандар жиынына сәйкес алынатын санды немесе сандар жиынын анықтайтын ереже. Классикалық механикада ... ... ... ... байланыстарды анықтаумен шектеледі.
Кванттық механикада бұл басқаша. Кванттық механикада нүкте координаттарының сан мәндерінің болу ықтималдықтарын анықтауға және олардың ... ... ... ғана мүмкіндік болады. Мысалы, егер біз өте көп бірдей, бір-біріне ... ... ... ... ... барлығы бірдей толқындық функциямен сипатталады десек, онда кез-келген бір физикалық шаманың сандық мәнін өлшеген сайын әртүрлі мәндер аламыз. ... ... осы ... ... ... бір ... ... ықтималдығы ғана қарастырылады.
Осыған байланысты кванттық механикада физикалық шамалар сан мәндерімен сипатталмай, осы шамалардың операторларымен сипатталады. ... ... ... ... ... сан ... белгісіз болса да, сол физикалық шамалардың операторлары ... болу ... бір ... басқа бір санмен байланыстыратын болса, оператор бір функцияны басқа бір функциямен ... ... деп ... функциялардың әрқайсысына, осы функциялардан немесе басқа функциялардан сәйкес функция табу ережесін айтады. Операторларды символды түрде ... ... ... ... ... ... ... L^ , M^ т.с.с. Егер L^ операторы u функциясына сәйкес υ функциясын анықтайтын ереже болсаоны ... ... ... жазады
υ=L^u
мысалы, егер L^ операторы фифференциалдау ережесі болса, яғни L^=d/dx онда υ ... u ... ... ... тең ... ... функцияға сәйкес функциялар табу ережелері әртүрлі болатындықтан, операторлардың қасиеттері де әртүрлі болады. Кванттық механикада сызықтық ... ... L^ ... ... ... деп ... егер қарастырылып отырған көптеген функциялардың ішінен кез-келген u1 және u2 ... үшін және ... С1 және С2 ... ... үшін ... ... орындалатын болса
L^ (С1u1+ С2 u2)= С1 L^ u1+ С2 L^u2 ... ... u ... үшін ... ... ... ... С^1u=A^1u-B^1u, С^2u= A^2(B^2u) (2)
Онда С^,С^1,С^2 операторларын ... А^ және В^ ... ... А^1 және В^1 ... ... А^2 және В^2 операторларының көбейтіндісінің операторлары деп атайды да, оларды былай ... A^+B^, С^1= A^1-B^1, С^2= A^2B^2 ... ... мен ... ... қасиеттері сандардың қосындысы мен айырмасының алгебралық қасиеттеріне ұқсас, олардың ... ... ... және ... ... ... Ал операторлардың көбейтіндісінің алгебралық қасиеттері сандар көбейтіндісінің алгебралық ... ... ... ... ... ... көбейткіштерінің орын ауыстыруына байланысты:
A^B^ B^A^ ... ... ... ... ... ... ... Мысалы, А^ операторын х координатаға көбейту, ал В^ операторы х координатасы бойынша туынды алу ережелері болсын, яғни
Сонда
Осыдан ... ... А^ және В^ ... деп ... егер ... ... ... орналасу ретіне байланысты болмаса, яғни А^В^=В^А^.
Егер А^ жәнеВ^ операторлары мынадай теңдікті қанағаттандырса А^В^=-В^А^ онда бұл операторларды антикоммутативті ... деп ... ... ... коммутаторы деп аталады. Ал егер олардың көбейтіндісі орындарын ауыстырғанда да шамалары өзгермесе, онда ондай операторларды коммутаторлы деп атайды.
А^В^+В^А^ операторын А^ және В^ ... ... деп ... да оны ... ... ... ... деп аталады, егер ол кез-келген функция үшін келесі ... ... және g(x) ... ... ... деп ...
Векторлары үшін скаляр көбейтінді деп ψп кеңістіктің Еп қатынасын ... L^ ... ... бір u ... ... бір λ ... көбейтілген сол u функциясының өзі шығатын болса, яғни
(8)
Онда, λ - L^ операторының меншікті мәні, ал u - L^ ... λ ... ... ... меншікті функциясы деп аталады. Бұдан былай операторды және оның меншікті мәнін бір әріппен белгілейтін ... ... ... ... оның ... деп ... Егер L^ ... сызықтық дифференциалды оператор болса, оның спектрлерінің үздіксіз де және үздік-үздік болатындығы да математикада дәлелденген.
Егер ψ және φ кез-келген функциялары үшін ... ... ... ... ... ... деп ... операторлардың түйіндестік қасиеттерін қарастырайық:
Немесе ... ... ... түйіндес операторымен бірге болса, онда ол эрмитті деп аталады.
Сондықтан эрмитті деп және операторлары айтылады.
Кез-келген ... ... ... жазуға болады:
(10)
Мұндағы:
Эрмитті. Бұл шамаларды, яғни және ... ... ... және ... ... деп ... операторлардың көбейтіндісі эрмитті оператор деп аталады, егер операторлары ... ... қосу және ... және - ... олар екі ... шамаларға ƒ және q жауап берсе, онда ƒ+ q суммаларына + операторлары жауап ... ... әр ... ... ... ... өлшемінің шамаларының біртекті немесе біртекті еместігінен тәуелді.
Егер ƒ және q шамалары ... ... ... онда және ... да + операторларының қосындысына тең.
+ операторларының функциясы мен мағынасына келер болсақ, онда олар ƒ және q ... еш ... ... айтсақ, егер және операторлары - эрмитті болса, онда + операторлары да ... ... ... қарастырайық:
Ал енді қайтадан ƒ және q - біртекті өлшенетін шама болсын. Олардың суммаларының анықтамаларына қарап, ... жеке ... ... ... ƒ және q. Оңай ... болады, бұндай шамаға оператор сәйкес келеді. Осындай оператор ... ... және . ... да, егер Ψn - жалпы оператордың функциясы болса және , ... ... ... ... ψ ... ... ... әрекет етеді операторының ψ-ға, одан кейін операторының . Ақыр соңында олардың көбейтіндісі орындарының ауыстыруларына байланысты:
(12)
2. Динамикалық айнымалыларды /физикалық шамаларды/ сызықтық ... ... ... ... ... функцияның физикалық мағынасына түсініктеме бергенде айтқанымыздай шамасы бөлшектің белгілі бір уақыт ... ... ... бір ... болуының ықтималдығын көрсетеді. Сондықтан х координатының орташа мәнін былай есептеуге болады:
(13)
Осы өрнекті ықтималдық теориясы бойынша өрнектелетін динамикалық ... ... ... ... (12) ... ... отырып х координатасының операторы ретінде осы координатаға көбейту операторын алу ... яғни х ... ... ... ... осы функцияны х координатасына көбейту болып табылады. Осыған ұқсас у және z координаттарының операторында осы координаттарға көбейту болып табылады.
Сонымен ... ... ... ... анықтау үшін де-Бройль жорамалы бойынша импульсі Рх еркін бөлшекті толқындық саны жиілігі болатын жазық толқын ретінде ... ... ... ... ... ескерейік. Сонда осы толқындық функция импульс операторының меншікті мәнін анықтайтын мына теңдеуді қанағаттандыруы қажет
(16)
Осы өрнекті ... үшін ... ... ... болу ... ... ... ғана (15) функция (16) теңдеуді қанағаттандырады. Оны былай дәлелдеуге болады.
(18)
Сонымен (16) теңдеудің орындалатындығы дәлелденді. Осы сияқты ру, рz операторлары былай ... ... ... ... ... ... - ... векторлар.
2.3. Гамильтон операторы
Классикалық механикада Гамильтон функциясы деп ... ... ... ... ... өрнектелген толық энергияны айтады. Бір бөлшектің толық энергиясы оның кинетикалық энергиясымен ... ... ... ... - ... ... ... Гамильтон функциясына Гамильтон операторы сәйкес келу керек. Оны (21) ... Р ... ... (20) ... ... ... қою ... табамыз.
Сонда
(22)
Толқындық функция Ψ толығымен кванттық механикадағы функциялық жүйенің ... ... Бұл ... бұл ... ... белгілі бір уақытта жүйенің бүкіл күйін сипаттап қоймай, оның келер уақыттағы моментін ... ... ... - ... ... ... белгілі бір мақсатпен енгізілген тұрақты.
интегралы тұрақты болғандықтан, уақыттан тәуелді емес, онда:
(24)
Осында (1) тендікті қойсақ және бірінші интегралда қолдансақ:
Бұл теңдік тек ... Ψ ... үшін ... ... онда осы ... оператор эрмитті.
Оның қандай физикалық шамаға келетінін анықтайық. Ол үшін толқындық функцияны қолданайық.
Бұл ... (1) ... ... ... ... көретініміз, ол шектік жағдайда операторы жай ... ... ... ... Бұл ... соңғысы бұл сол баяғы функцияның шамасы, әйтеуір операторы.
2.4. Толық энергия операторы
Бөлшектің ... ... W ... оның ... мәні ... ... энергиясы W-ға тең болатындай етіп таңдап алу керек. Ол үшін W операторының меншікті ... ... мына ... ... ... ... қанағаттандыруы керек. Ол үшін W операторы мынадай болу қажет
(26)
Осыны импульс операторын дәлелдегендей көрсетуге болады.
2.5. Импульс моменті операторы
Классикалық механикада бөлшектің импульс ... деп, ... ... ... ... векторлық көбейтіндісіне тең векторлық шаманы айтады, яғни
(27)
немесе, координаттар ... ... ... ... ... ... ... олардың операторларын (18) және (20) өрнектерді пайдаланып былай жазамыз
(29)
3. Бір мезгілде әртүрлі ... ... ... ... ... ... постулатына сәйкес, динамикалық айнымалыларды өлшегенде оның нақты сан мәнін аламыз, сол уақытта, егер осы динамикалық айнымалыны өрнектейтін ... ... ... бөлшектердің күйін сипаттайтын толқындық функция болса. әртүрлі динамикалық айнымалылардың операторларының меншікті функциялары әртүрлі болғандықтан оларға сәйкес келетін меншікті мәндері де ... ... ... ... айнымалыларды бір мезгілде өлшегенде бірдей сан мәндерінің шығуы мүмкін емес, яғни оларды бір мезгілде өлшеуге болмайды. Дегенмен де ... бір ... ... әртүрлі динамикалық айнымалыларды бір мезетте өлшеуге болады. Оның қажетті және жеткілікті шарты, осы динамикалық айнымалылардың операторларының коммутативтілігі. Осы ... ... ... былай дәлелдеуге болады. және операторларының меншікті функциялары бірдей және осы операторлармен өрнектелетін динамикалық айнымалыларды бір мезетте өлшеуге болады деп есептейік. ... ... ... мәндері үшін теңдеу бойынша:
(30)
Сонда
Осыдан және операторларымен өрнектелетін динамикалық айнымалыларды бір мезетте ... үшін ... ... ... болу ... ... яғни
(31)
Енді осы шарттың жеткілікті екендігін дәлелдейік. Ол үшін және операторлары ... деп ... ... егер осы ... ... мысалы операторының меншікті функциясын u деп белгілейік, яғни
(32)
болса онда (31) өрнекке сәйкес былай ... ... ... ... М меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті функция ... ... Ал (32) ... бойынша М меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті функция u. Сондықтан u және функциялары ... М ... ... ... ... ... функциялары болады, оларды бір L санымен белгілесек, онда (33) өрнек бойынша
(34)
Бұл теңдік u функциясы ... да ... ... ... ... Сонымен және операторларының ортақ меншікті функцияларының болатындығын және осы ... ... ... айнымалыларды бір мезетте өлшеуге болатындығын көреміз. Осымен мынандай теорема дәлелденді:
Егер динамикалық айнымалыларды өрнектейтін операторлар коммутативті болса, онда осы ... бір ... ... болады.
4. Динамикалық айнымалылардың орташа мәндерінің уақыт бойынша өзгерісі және сақталу заңдары
Жалпы алғанда динамикалық айнымалылардың орташа мәндері уақыт бойынша өзгереді. Белгілі бір ... ... L ... ... орташа мәнін былай анықтауға болады:
Осы теңдіктің екі жағынан уақыт бойынша туынды алайық
(35)
егер толық теңдеу ... ... ... онда (35) ... ... ... жазуға болады:
(37)
Гамильтон операторы өзара түйіндес оператор болғандықтан теңдіктің оң жағындағы екінші мүшені былай түрлендіруге болады
(38)
Осы (38) - ... (37) ... ... ... ... айнымалылардың орташа мәндерінен уақыт бойынша алған туындыны (39) - ... оң ... ... ... ... ... тұрған оператордың орташа мәні деп қарастыруға болады. Сондықтан осы операторды қарастырып отырған оператордың уақыт бойынша туындысының ... ... ... ... да, оны деп ... ... механикадағы Пуассон жақшасына ұқсас осы (41) өрнекті Пуассонның кванттық жақшасы деп атайды. Осы ұқсастықты мынадан көруге болады. Классикалық ... кез ... ... ... L ... импульс және уақыттың функциясы болады, яғни L=L(xi,pi,t). Сондықтан ... ... ... ... онда (42) ... мына түрге келеді
(44)
Мұндағы
(45)
Пуассон жақшасы, ал Н-Гамильтон функциясы.
Егер операторы және L ... ... ... ... онда (40) және (44) ... ... және кванттық өрнектердің арасындағы ұқсастықты тереңірек қарастыруға болады. (47) өрнекпен берілген классикалық теңдеу динамикалық айнымалылардың уақыт бойынша өзгерісін ... де осы ... ... үшін ... ... ... Шынында да, егер (47) өрнектегі L айнымалыны х еоординатасымен, содан кейін Р импульспен алмастырсақ:
(48)
(45) ... ... ... ... (48) ... ... ... (47) өрнек қозғалыс теңдеуінің Гамильтон түрінде берілгендігін көреміз. Осыған ұқсас (46) өрнек операторымен ... ... ... ... ... Осы теңдеудегі операторының орнына алма кезек және операторын қойсақ, онда мынадай кванттық қозғалыс теңдеулерін Гамильтон ... ... ... оң ... (41) ... анықталатын Пуассонның кванттық жақшасы.
Кейбір динамикалық айнымалыларды өрнектейтін операторы уақытқа тікелей тәуелді болмай және ... ... ... ... сонда (40) өрнектен
(51)
болады. Осыдан динамикалық айнымалының орташа мәні (39) ... ... ... ... ... ... яғни
(52)
Егер U(r) потенциалдық өрісте қозғалатын бөлшектің потенциалдық энергиясы уақытқа тәуелсіз болса, онда (52) ... ... оның ... ... ... Есеп ... үлгілері
Берілгені: Орташа мәнге келтіріп nіnк - ... ... n - ... ... ... ... ... бөлшек). L абсолютті вектор шамасын табу, бірақ оның бағытын ... ... ... ... ол оператор, бұл операторымен ғана белгіленеді. Оны келесі түрде іздейміз:
бұл операторына ... ... ... ... рангісі нолге тең жалпы теңдеуі. Бұдан тұрақты а - ның ... табу үшін сол ... , ал оң ... ... Егер n ... , ... перпендикуляр болса, онда болады. 2 өрнегін өзінің анықтамасымен алмастырамыз 2, ал ... ... ... көмегімен алмастырамыз:
мына теңдікті пайдаланып
Біз - теңдігін ... ... ... ... ... ... ... механикада берілген уақыт мезетінде кеңістіктің белгілі бір нүктесінде бөлшектің болуының операторлық түрі қарастырылды. Осы есептеулердің арқасында біз ... ... ... ... ... Бастабында айтқандай біз осы кванттық механикадағы есептерді операторларға салып шығардық. Олардың уақыттан тәуелділігін анықтай отырып, көптеген алмастырулар жасадық.
Осыған ... ... ... ... ... сан ... сипатталмай, осы шамалардың операторларымен сипатталады.
Осы айтылған ойларды операторлардың қасиеттеріне сүйене отырып сипаттауға болады. ... ... мен ... ... ... ... қосындысы мен айырмасының алгебралық қасиеттеріне ұқсас, олардың мүшелерінің орнын ауыстыруға және жинақтауға т.с.с. болады.
Біз қарастырып отырған кванттық механикада айтылған теорияларға ... ... ... ... көруге болады.
Кванттық механикада динамикалық айнымалылардың белгілі сан мәндері болмайтындықтан, тек қана олардың орташа мәндерінің ықтималдығын анықтаумен шектелетіндіктен функцияның орнына ... ... ұғым ... ... ... ... ойлар мен теориялардан байқауға болады.
Қорыта кетсек, операторлардың кванттық механикада есеп шығаруда және түрлендіруде алар орны ерекше екендігін ... ... мен ... ... ... ... әдебиеттер тізімі
* Айзерман М.А. Классическая механика. - Москва: Просвещение, 1974 - ... ... В.И. ... ... ... ... - ... Наука, 1980 - 552.
* Бом Д. , 1965 г.
* Голубева О.В. Теоретическая механика // Учебное пособие для ... - ... ... ... 1976 - ... ... И.И. и Кривченко В.Д., , 1957 - 235.
* Голььдстейн Г. Классическая ... - ... ... 1980 - ... ... А.Ф. , 1974 - ... Давыдов А.С., , Москва: Наука, 1963 - 548.
* Жирнов Н.И. Классическая механика. - ... ... 1982 - ... Иос Г., , ... ... г.
* Қайырбаев Қ.Қ. Классикалық механика негіздері. - Павлодар, 2005 - 170.
* ... Л.Д. и ... Е.М., , ... ... 1963 - ... Левич В.Г., .
* Соколов А.А., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. , Москва: Просвещение, 1965 г.
* Серова Ф.Г., ... А.А. и др., , ... ... 1982 г.
* Шифф Л., , том - 2.

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 10 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Delphi операторлары26 бет
PHP тілінде шартты операторлар (if, switch), циклдермен жұмыс (while, for, foreach) және include, require функцияларын қолдану12 бет
SQL тілінде деректерді өңдеудің негізгі операторлары. Деректер базасын құру13 бет
Turbo Pascal - дағы енгізу және шығару операторлары26 бет
Turbo Pascal тілінің операторлары26 бет
Turbo Pascal тілінің операторлары жайлы16 бет
Операторлар және ішкі программалар (Delphi программалау ортасы)22 бет
Паскаль программалау тілі. Мәлiметтердi енгiзу және шығару операторлары6 бет
Паскаль программалау тілінің негізі операторлары7 бет
Паскаль тілінің негізгі операторлары22 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь