Механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеулері

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
І.Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықты дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1. Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті сызықты дифференциалдық
еңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
2. Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықты
дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10
ІІ Механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеулері ... ... ... ... ..17
1. Ерікті және ерікті емес тербелістердің дифференциалдық теңдеулері ... ... .17
2. Ерікті тербелістің дифференциалдық теңдеуінің шешімін зерттеу ... ... ... ..20
3. Еріксіз тербелістердің дифференциалдық теңдеуінің шешімін зерттеу ... ...25
4. Жалпыланған координатадағы ерікті тербелістердің дифференциялдық
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .30
5. Қосымшалар және мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...33
ІІІ. Кіші параметр әдісінің қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .35
1. Энергетикалық теңдік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2. Кіші параметр әдісінің қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .36
3. Ван.дер Поль әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..41
4. Орталау әдісін Фатудың негіздемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 45
5. Орталау әдісін Фатудың негіздемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 52
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...60
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .61
Өзектілігі. Тербелістердің дифференциалдық теңдеулерін құрудың өзі маңызды мәселе. Ал құрылған дифференциалдық теңдеулерін шешіп және оны талдау,яғни зерттеу екінші бір өзекті мәселе. Сонда шешімдер қандай жағдайда тербелісті береді және қандай жағдайда тербеліс болмайды. Мінеки,осыларды анықтау өте маңызды мәселе болып табылды.
Мақсаты. Бірінші мақсат механикалық тербелістерге сәйкес келетін дифференциалдық теңдеуді құру болса,екінші мақсат құрылған дифференциалдық теңдеулерді шешу және ол табылған шешімдерді зерттеу болып табылады.
Міндеті. Негізгі міндет құрылған дифференциалдық теңдеулерді шеше білу және ол шешілген шешімдері зерттей білу керек,яғни қандай жағдайда тербелістер бар болады,ал қандай жағдайда тербелістер жоқ болады.
Құрылымы. Бұл дипломдық жұмыс кіріспеден,бірінші,екінші,үшінші бөлімдерден және қортындыдан шығады. Соңында пайдаланған әдебиеттер тізімі келтірілген. Сонымен бірге әрбір бөлім бірнеше пунктерден құралған. Әр пунктінің соңында есептер шығарып көрсеткен. Сөйтіп,жұмыс осындай тәртіппен,яғни осындай ретпен баяндалған.
1. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления». Том 2,
1985.
2. Н.М. Матвеев «Методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений». 1974.
3. К.К. Паномерев «Специальный курс высшей математики». 1974.
4. Л.Э. Эльсгольц «Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление». 1969.
5. Б. Тілеубердиев «Дифференциалдық теңдеулер» 1 - бөлім 2004.
        
        МЕХАНИКАЛЫҚ ТЕРБЕЛІСТЕРДІҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРІ
Мазмұны
Кіріспе.....................................................................................................................3
І. Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықты дифференциалдық ... ... ... ... ... ... ... дифференциалдық
еңдеулер..................................................................................................................4
2. Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықты
дифференциалдық теңдеулер.............................................................................10
ІІ Механикалық ... ... ... ... және ... емес ... дифференциалдық теңдеулері.........17
2. Ерікті тербелістің дифференциалдық теңдеуінің шешімін зерттеу..............20
3. Еріксіз ... ... ... ... ... ... ... ерікті тербелістердің дифференциялдық
теңдеуі.................................................................................................................30
5. Қосымшалар және мысалдар...........................................................................33
ІІІ. Кіші ... ... ... ... ... Кіші ... ... қолданылуы.................................................................36
3. Ван-дер Поль әдісі..............................................................................................41
4. Орталау әдісін Фатудың ... ... ... Фатудың негіздемесі................................................................52
Қорытынды.......................................................................................................60
Әдебиеттер.........................................................................................................61
2859405339725000
Кіріспе
Өзектілігі. Тербелістердің дифференциалдық теңдеулерін құрудың өзі маңызды мәселе. Ал құрылған дифференциалдық теңдеулерін шешіп және оны ... ... ... бір ... ... ... шешімдер қандай жағдайда тербелісті береді және қандай жағдайда тербеліс болмайды. Мінеки,осыларды анықтау өте маңызды ... ... ... ... ... механикалық тербелістерге сәйкес келетін дифференциалдық теңдеуді құру болса,екінші мақсат құрылған дифференциалдық теңдеулерді шешу және ол ... ... ... ... ... ... ... құрылған дифференциалдық теңдеулерді шеше білу және ол шешілген шешімдері зерттей білу керек, яғни қандай жағдайда тербелістер бар болады, ал қандай ... ... жоқ ... Бұл дипломдық жұмыс кіріспеден,бірінші,екінші,үшінші бөлімдерден және қортындыдан шығады. Соңында пайдаланған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... пунктерден құралған. Әр пунктінің соңында есептер шығарып ... ... ... ... ... ... баяндалған.
І. Тұрақты коэффициентті 2 - ретті сызықты дифференциалдық
теңдеулер.
1. Тұрақты коэффициентті 2 - ... ... ... ... теңдеулер.
Анықтама. Мына түрдегі теңдеу
(1)
тұрақты коэффициентті 2 - ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеу деп ... егер ... p мен q ... ... ... ... ... бұл теңдеудің жалпы шешімін табу үшін оның сызықты тәуелсіз екі дербес шешімін табу жеткілікті.
* теңдеудің дербес шешімін мына ... ... (2) ... . ... ... (1) теңдеуге апарып қойып, мынаған келеміз:
.
Бұл жерден екендігін ... ... ... ... егер саны (3) ... қанағаттандыратын болса, онда (1) теңдеудің шешімі болады. (3) теңдеу (1) теңдеуге сәйкес характеристикалық теңдеу деп ... ... ... ... болып тұр. Сондықтан оның екі түбірі болады. ... және ... ... Сонда олар:
Бұл жерде мынадай жағдайлар болуы мүмкін:
І. мен - нақты және әртүрлі ... мен - ... ... мен - тең ... ... .
Әрбір жағдайды жеке - жеке қарастырамыз.
І. Характеристикалық теңдеудің ... ... және әр ... ... ... ... шешімдері мына функциялар болады:
.
Бұл шешімдер сызықты тәуелсіз, себебі
.
Сондықтан, жалпы шешім мына түрде ... 1. ... ... берілген.
Шешу. Характеристикалық теңдеу мына түрде болады:
.
Характеристикалық теңдеудің түбірлерін табалық:
;
.
Бұл түбірлер ... және ... ... ... ... ... комплекстік сандар.
Комплекстік түбірлер қос - қостан түйіндес болып келеді.
Оларды деп белгілейік, ... ... ... мына ... жазуға болады:
. ... ... (1) ... ... ... ... аргументті комплекстік функциялар.
Тұжырым. Егер қандай да бір нақты ... ... ... ... ... онда ол ... пен ... әр қайсысы да қанағаттандырады.
Шынында, (5) өрнекті (1) теңдеуге апарып қойып, ... ... ... ... тек сол ... ... тең болады, егер оның нақты бөлігі мен жорамал бөлігі нольге тең болса, яғни
, ... ... пен - тің ... (1) теңдеудің шешімі болып табылатынын.
Комплекстік шешімдер (4) - ті нақты және жорамал бөліктердің қосын-дысы түрінде жазып аламыз:
,
,
яғни , . ... ... ... ... (1) теңдеудің дербес шешім-дері болып мына нақты функциялар табылады:
,
. ... ... ... ... себебі
.
Сондықтан, характеристикалық теңдеудің түбірлері комплекстік сандар болып келгенде (1) ... ... ... мына ... болады:
немесе
, ... мен - кез ... ... ... ... ... ... маңызы үлкен. Ол жағдай мынау: характеритикалық теңдеудің түбірлері таза ... ... ... (1) ... болса, онда осы дербес жағдай келіп шығады:
.
Бұл дифференциалдық теңдеудің характеристикалық теңдеуі мына түрде бо-лады:
.
Бұл ... ... ... ... мына ... ... .
Мысал 2. теңдеуі берілген. Жалпы шешімін және мына ... ... ... дербес шешімін тап.
Шешу. 1) характеристикалық теңдеуін жазалық:
.
Түбірлерін табалық: . Сондықтан, жалпы шешімі мынадай болады: .
2) Енді дербес шешімін ... Ол үшін ... ... ... ... .
. ... ... отырған дербес шешім мынау: .
Мысал 3. ... ... ... ... және мына ... ... қанағаттандыратын дербес шешімін тап.
Шешу. Характеристикалық теңдеуін жазалық: .
Түбірлерін табалық: .
Жалпы шешім мынадай болады: .
Енді дербес ... ... ... ... ... .
ІІІ. Характеристикалық теңдеудің түбірлері нақты және өзара тең, яғни .
Алдыңғы талқылау негізінде бір дербес шешімі мынау . Осы ... ... ... ... болатын екінші дербес шешімді табу керек. Екінші дербес шешім үшін - ті ... ... ... яғни ... ... дербес шешімді мына түрде іздейміз:
,
мұндағы - белгісіз функция, табуды талап етеді. - ден екі рет туынды ... - тің ... (1) ... ... ... мынаған келеміз:
- харатеристикалық теңдеудің еселі түбірі болғандықтан
және
Осыларды ескерсек, жоғарыдағы тік жақшаның іші мына ... ... . ... ... . Бұл ... ... ... келеміз: . Бізге теңдеуінің кез келген дербес шешімі жеткілікті. Сондықтан, деп ... та ... Олай ... ... да, үшін ... аламыз: . Бұл мен сызықтық тәуелсіз, себебі
.
Олай болса бұл жағдайда жалпы шешім мына ... ... 4. ... ... ... теңдеуін жазалық:
.
Оның түбірлерін табамыз: , яғни ... ... , яғни ... ... ... екінші ретті біртекті емес сызықты
дифференциалдық теңдеулер.
Анықтама. Айнымалы коэффициентті 2 - ретті ... емес ... ... ... деп мына ... ... айтамыз, егер мен х - тің ... ... ... ... ... құрылысы мына теоремамен анық-талады.
Теорема. Біртекті емес ... (1) ... ... ... екі түрлі шешімнің қосындысынан тұрады; бірі (1) теңдеуге ... ... ... ... ... да, ... (1) - дің ... қандай да бір
дербес шешімі , яғни мына формуламен
табылады.
Дәлелдеу. (1) - дің ... ... ... ... мына ... - дің ... ... ... ... керек.
Алдымен, (3) өрнек (1) - дің шешімі екендігін көрсетелік. Ол үшін ... (1) ... ... ... Сонда мынаған келеміз:
немесе
. ... (2) - нің ... ... (4) - тегі ... ... іші ... тең, ол - (1) - дің ... болғандықтан екінші жақшаның іші - ке тең. ... (4) - тен ... ... ... . ... ... бірінші бөлімі дәлелденді.
Енді (3) өрнек (1) теңдеудің жалпы шешімі ... ... яғни (3) - тің ... ... кез ... тұрақтыларды сондай етіп таңдап алуға болады, сонда бұған сәйкес келетін шешім мына ... ... ... болсын:
, ... - кез ... ... ... - ті мына ... ... болатынын ескеріп, (3) - ті былай жазып алалық:
,
(5) ... ... ... - ті ... ... ... ... мен - ні табуға болады, өйткені оның анықтауышы нольден өзгеше ( мен - сызықты ... ... ... ол ... ... ... ... мына жүйе
(6)
анық бір шешімге ие. Осы табылған мен - ні (3) - тегі ... ... ... онда ... ... ... ... бастапқы шартты қанағат-тандырады. Сөйтіп, теорема толық дәлелденді.
Сөйтіп, егер (2) ... ... ... ... белгілі болса, онда (1) теңдеуді интегралдаудағы негізгі мәселе (1) - дің қандай да бір ... ... ... ... ... ... емес теңдеудің дербес шешімін табатын жалпы әдісті көрсетеміз. Бұл әдісті тұрақтыларды вариациялау әдісі деп ... Міне енді осы ... ... ... ... тұрақтыларды вариациялау әдісі.
(2) біртекті теңдеудің жалпы шешімін жазып аламыз:
(7)
(1) біртекті емес теңдеудің дербес шешімін (7) түрінде іздейміз, ... ... мен х - тің ... деп қарастырылады, яғни
деп қарастырылады. Осы пен - ті ... онда ... ... тен х ... уынды аламыз:
.
пен белгісіз функцияларын сондай етіп таңдап аламыз, сонда мына теңдік
(8)
орындалатын болсын. Егер осы ... ... ... онда мына ... ... осы - тен ... алсақ, мынау шығады:
.
, , - тарды (1) - ге апарып қойып, мынаған келеміз
Алдыңғы екі жақшаның ішіндегі ... ... тең, ... мен - ... ... ... ... соңғы теңдік мына түрге келеді:
. ... ... ... емес ... (1) - дің ... болады тек сонда ғана, егер пен ... ... ... ... Бұл жүйенің анықтауышы Вронский анықтауышы және ол нольден өзгеше, себебі мен (2) теңдеудің сызықтық ... ... ... ... ол жүйе пен бір ... ... яғни:
.
Бұларды интегралдап, мынаған келеміз:
,
мұндағы пен - кез келген тұрақтылар. ==0 ... те ... ... ... ... жалпы шешімін тап.
Шешу. Алдымен мына біртекті теңдеудің жалпы ... ... . Бұны деп ... ... ... соң оны ... мынау шығады: , яғни .
Бұл соңғы ... ... ... ... ... Енді - ны ... Ал пен - ті мына ... табамыз:
.
Егер бұл жерде десек, онда ... ... ... ... ... ... емес ... диф-ференциалдық теңдеулерді қарастырамыз.
Анықтама. Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық
дифференциалдық теңдеу деп мына түрдегі
(1)
теңдеуді айтады, егер ... мен ... ... ... ... ... емес теңдеудің дербес шешімін табатын жалпы әдіс көрсетіледі. Тұрақты коэффициентті ... емес ... ... ... табу кейбір дербес жағдайларда оңай жолмен шешіледі, яғни ... ... ... ... (1) теңдеу үшін сондай жағдайлардың түрлерін қарастырамыз.
І. Айталық, ... ... - ... ... яғни ... егер ноль саны ... теңдеудің түбірі болмаса, онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:
,
яғни ... - ... ... коэффициенттер.
Б) егер ноль саны характеристикалық теңдеудің түбірі болма, онда ... ... емес ... ... шешімін мына түрде іздейміз:
.
ІІ. Айталық, ... ... ... егер саны ... ... ... ... онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:
, ... ... егер саны ... теңдеудің түбірі болса, онда дербес шешімді мына түрде іздейміз:
. ... ... егер ... ... ... ... онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:
Б) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болса, онда ... ... емес ... ... ... мына ... ... Айталық, болсын, мұндағы мен - тұрақтылар.
А) егер ... ... ... ... онда - ны мына ... ... мұндағы А мен В - ... ... егер ... ... ... ... ... іздейміз.
Мысал 1. теңдеуін шеш.
Шешу. .
. ... кез ... бір ... ... ... ... ... апарып қоямыз. Сонда
Бұдан . .
Мысал 2. ... ... ... кез ... бір дербес шешімі.
деп іздейміз.
Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда
Бұдан . .
Мысал. теңдеудің ... ... ... ... мына ... ... жалпы шешімін табамыз. . Бұны деп ... ... ... соң оны ... ... ... , яғни . ... соңғы өрнек біртекті теңдеудің жалпы шешімі. Енді - ны іздейміз. Ал пен - ті мына ... ... бұл ... ... онда ... ... коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық диф-ференциалдық теңдеулерді қарастырамыз.
Анықтама. ... ... ... ретті біртекті емес сызықтық
дифференциалдық теңдеу деп мына түрдегі
(1)
теңдеуді айтады, егер коэффициенттер мен ... ... ... ... ... емес ... ... шешімін табатын жалпы әдіс көрсетіледі. Тұрақты коэффициентті біртекті емес теңдеулердің дербес шешімін табу кейбір дербес ... оңай ... ... яғни интегралдау амалын қолданбастан. Қазір (1) теңдеу үшін сондай жағдайлардың түрлерін қарастырамыз.
І. Айталық, ... ... - ... көпмүшелік, яғни
.
А) егер ноль саны характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда берілген біртекті емес ... ... ... мына ... ... ... - уақытша белгісіз коэффициенттер.
Б) егер ноль саны характеристикалық теңдеудің түбірі болма, онда берілген ... емес ... ... ... мына ... ... ... ... ... ... егер саны ... теңдеудің түбірі болмаса, онда берілген біртекті емес теңдеудің ... ... мына ... іздейміз:
, ... ... егер саны ... теңдеудің түбірі болса, онда дербес шешімді мына түрде іздейміз:
. ... ... егер ... ... ... ... онда ... біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:
Б) егер характеристикалық теңдеудің ... ... онда ... ... емес ... ... ... мына түрде іздейміз:
.
ІV. Айталық, болсын, мұндағы мен - ...
А) егер ... ... ... болмаса, онда - ны мына түрде іздейміз:
, ... А мен В - ... ... егер ... ... ... ... онда
деп іздейміз.
Мысал 1. теңдеуін ... .
. ... кез ... бір ... ... ... берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда
Бұдан . ... 2. ... ... ... кез келген бір дербес шешімі.
деп іздейміз.
Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда
Бұдан . ... ... ... шешімін тап.
Шешу. Алдымен мына біртекті теңдеудің жалпы шешімін табамыз. . Бұны деп жазып аламыз. Сонан соң оны ... ... ... , яғни . ... ... өрнек біртекті теңдеудің жалпы шешімі. Енді - ны ... Ал пен - ті мына ... ... бұл ... ... онда ... тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық диф-ференциалдық теңдеулерді қарастырамыз.
Анықтама. ... ... ... ... ... емес ... ... деп мына түрдегі
(1)
теңдеуді айтады, егер коэффициенттер мен нақты сандар болса.
Мұның алдында ... емес ... ... ... ... ... әдіс ... Тұрақты коэффициентті біртекті емес теңдеулердің дербес шешімін табу кейбір дербес жағдайларда оңай ... ... яғни ... ... ... Қазір (1) теңдеу үшін сондай жағдайлардың түрлерін қарастырамыз.
І. Айталық, ... ... - ... көпмүшелік, яғни
.
А) егер ноль саны характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда берілген біртекті емес теңдеудің ... ... мына ... ... ... - уақытша белгісіз коэффициенттер.
Б) егер ноль саны характеристикалық теңдеудің түбірі болма, онда берілген біртекті емес теңдеудің ... ... мына ... ... Айталық, ... ... ... егер саны ... ... түбірі болмаса, онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:
, ... ... егер саны ... ... ... ... онда ... шешімді мына түрде іздейміз:
. ... ... егер ... ... ... ... онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:
Б) егер характеристикалық теңдеудің түбірі ... онда ... ... емес ... ... ... мына ... іздейміз:
.
ІV. Айталық, болсын, мұндағы мен - тұрақтылар.
А) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда - ны мына ... ... ... А мен В - белгісіз коэффици-енттер.
Б) егер характеристикалық ... ... ... ... ... 1. ... ... .
.
теңдеуінің кез келген бір дербес шешімі.
деп іздейміз.
.
Осыларды ... ... ... қоямыз. Сонда
Бұдан . ... 2. ... ... ... кез келген бір дербес шешімі.
деп іздейміз.
Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда
Бұдан . ... ... ... ... тап.
Шешу. Алдымен мына біртекті теңдеудің жалпы шешімін табамыз. . Бұны деп жазып аламыз. Сонан соң оны интегралдасақ ... ... , яғни . ... ... өрнек біртекті теңдеудің жалпы шешімі. Енді - ны іздейміз. Ал пен - ті мына ... ... бұл ... ... онда болады.
.
Енді тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық ... ... ... Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық
дифференциалдық теңдеу деп мына ... ... егер ... мен ... ... ... алдында біртекті емес теңдеудің дербес шешімін табатын ... әдіс ... ... ... ... емес теңдеулердің дербес шешімін табу кейбір дербес жағдайларда оңай жолмен шешіледі, яғни интегралдау амалын қолданбастан. Қазір (1) теңдеу үшін ... ... ... ... ... ... ... - дәрежелі көпмүшелік, яғни
.
А) егер ноль саны характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда ... ... емес ... ... ... мына ... іздейміз:
,
яғни ... - ... ... ... егер ноль саны ... теңдеудің түбірі болма, онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:
.
ІІ. Айталық, ... ... ... егер саны характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес ... мына ... ... ... ... егер саны ... ... ... болса, онда дербес шешімді мына түрде іздейміз:
. ... ... егер ... ... ... ... онда ... біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:
Б) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болса, онда ... ... емес ... ... ... мына ... ... Айталық, болсын, мұндағы мен - тұрақтылар.
А) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда - ны мына ... ... ... А мен В - ... ... егер ... ... түбірі болмаса, онда
деп іздейміз.
Мысал 1. теңдеуін шеш.
Шешу. .
.
теңдеуінің кез ... бір ... ... іздейміз.
.
Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда
Бұдан . ... 2. ... ... ... кез келген бір дербес шешімі.
деп іздейміз.
Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда ... . ... ... ... дифференциалдық теңдеулері.
1. Ерікті және ерікті емес тербелістердің ... ... ... ... ... бір ... қарастырамыз. Оны сызықтық дифференциалдық теңдеулердің көмегі арқылы зерттейміз және шешеміз.
1-сурет
Айталық, массасы - ге тең жүк ... ... ... ... ... ... ... тепе - теңдік жағдайынан ауытқуын у арқылы бел-гілелік. Төмен қарай ауытқуды оң бағыт, ал жоғары қарай ауытқуды теріс ... деп ... Тепе - ... ... таразы пружинаның серіп-песімен теңесіп тұрады. Жүкті тепе - теңдік күйіне әкелу күш, яғни ... күш ... ... ... деп ... яғни - ке тең, ... - кейбір тұрақты.
жүктің қозғалысына кедергі күші қарсылық ... Ол ... ... қарама - қарсы әсер етеді және ол жүктің қозғалысының жыл-дамдығына ... ... деп ... ... ... ... дифференциалдық теңдеуін жазамыз. Ньютонның екінші заңының негізінде мынаған ... мен - оң ... біз ... ... ... ... ... сызықтық диф-ференциалдық теңдеуге келеміз.
Бұл теңдеуді былай жазуға болады:
мұндағы .
Рессордың төменгі нүктесі мына заң ... ... ... ... деп ...
2-сурет
Бұл жағдайда тіктеуші күш , ал кедергі күш ... ... (1) ... мына ... келеді:
(2)
немесе
, ... ... ... біз ... ... біртекті емес сызықтық теңдеуге келдік. теңдеу ерікті тербелістің теңдеуі деп аталады, ал ... ... ... ... деп ... ... ... дифференциалдық теңдеуінің шешімін зерттеу
Алдымен ерікті тербелістердің теңдеуін қарастырамыз:
. ... ... ... теңдеуді жазамыз
және оның түбірлерін табамыз
1) Айталық, ... Онда ... мен - ... ... ... ... шешімі былай өрнектеледі:
. ... ... ... ... у ... ... нольге ұмты-лады, егер болса. Бұл жағдайда тербеліс болмайды.
2) Айталық, болсын. Онда түбірлер мен - ... тең ... ... ... санына тең). Сондықтан жалпы шешімі мынадай болады:
. ... ... де ... - да ... ... ... ... қарағанда жылдам емес ( көбейткішінің әсері бойынша).
3) Айталық, болсын, яғни кедергі күші жоқ ... ... Онда (1) ... мына ... ... ... құрсақ, ол мына түрде , ал оның түбірлері , мұндағы ... ... ... ... кез ... тұрақтылар мен сандарын басқа сан-дармен алмастырамыз. Атап айтқанда, және тұрақтыларын енгіземіз. Олар және мен мына ... ... мен ... ... ... - нің мәндерін (5) - ке апарып қойып, мынаған ... ... ... ... ... тербеліс деп аталады, себебі интег-ралдық қисықтар синусоида ... ... ... ... - ге ... ... ... Т - ны тербелістің периоды деп атайды; ... ... . ... ... деп уақыты үшін тербеліс санын ай-тады. Ол - ға тең. А - ны ... ... деп, ал - ді ... фаза деп атайды.
3-сурет
Электротехникалық және басқа да пәндерде гармониялық ... ... және ... ... яғни бейнесі кең қолднылады.
хОу комплекс жазықтығында ұзындығы тұрақты ... яғни ... ... ... ... ұшы ... t ... (берліген жағдайда t-уақыт) центрі координата басында жатқан радиусы А-ға тең шеңберді ... ... ... және Ох ... ... ... мына түрде өрнектелсін:
шамасы векторының айналуының бұрыштық жылдамдығы деп аталады. ... Ох және Оу ... ... ... болады
(7)
(7) өрнектер (4) теңдеудің шешімі болыа табылады.
мына ... ... ... ... ... ... ... векорымен бейнеленеді.
Соымен, (4) гармониялық тербелістердің теңдеуінің шешімін А векторының Оу және Ох осьтеріндегі проектиялық ретінде қарастыруға ... Ол ... ... фаза ... ... ыжлдамдықпен айналады.
Эйлер формуласынан пайдаланып, (8) өрнекті мына түрде жазуға ... ... ... ... және нақты бөліктері (4) теңдеудің шешімдері болып табылады. (9) өрнек (4) теңдеудің комплекстік шешімі деп аталады. (9) ... мына ... ... ... ... ... деп атайды. Оны А-арқылы белгілейміз. Сонда (10) комплекстік шешім мына түрде жазылады:
4) ... және ... Бұл ... ... ... ... ... сандар
, мұндағы .
Жалпы шешімі мына түрде болады:
(7)
немесе ... ... ... ретінде шамасын қарастыруға болады. Ол уақытқа тәуелді. Бірақ . Онда ... - да ... ... яғни бұл ... сөнетін тербелістер пайда болады.
4-сурет
3. Еріксіз тербелістердің дифференциалдық теңдеуінің шешімін зерттеу
Еріксіз тербелістердің ... мына ... ... ... бір ... жағдайды қарастырамыз. Ол: тынымсыз сыртқы күш периодты және мына заңмен өзгеріп тұрсын, яғни
Онда (1) теңдеу мына түрде болады:
1) Алдымен және ... деп ... яғни ... ... ... комплекс сандар болсын. Бұл жағдайда біртекті теңдеудің жалпы ... мына ... ... емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:
.
Бұл өрнекті бастапқы дифференциалдық теңдеуге апарып қоямыз:
А мен В - нің ... ... (3) - тегі ... ... ... ... жаңа тұрақтылар мен - ны енгіземіз:
Онда біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына ... ... ...
(1) теңдеудің жалпы шешімі мынаған тең , яғни
Бұл қосындының бірінші қосылғышы ... ... ... ал ... ... ... тербелісті береді. Бірінші қосылғыш өскенде кемиді, ал ... ... ... ... екінші қосылғыш негізгі мүшенің ролін атқарады. Бұл тербелістердің жиілігі сыртқы ... ... тең. ... ... ... р кіші болған сайын үлкен бола береді және - ға ... ... ... ... амплитудасының р - нің әртүрлі мәндерінде жиілігіне тәуелдігін толық зерттейміз. Ол үшін ... ... ... ... белгілейміз:
.
( болғанда ерікті тербелістердің жиілігіне тең болатын болса). Онда
.
Мынадай белгілеулер енгіземіз:
мұндағы - тынымсыз ... ... ... ... ... ... ал ... тынымсыз күштен тәуелсіз. Сонда амплитуданың шамасы мына формуламен өрнектеледі
. ... ... ... ... Ол, ... - ның сондай мәнінде болады, ол мәнде бөліміндегі квадрат минимумге ие болады. Бірақ
(5)
функциясы ... ... ... және ол ... ... ... максимумдық шамасы мынаған тең
.
функциясының гарфигі -ның әртүрлі мәндерінде көрсетілген анығырқа болуы үшін деп ... ... ... ... деп ...
(5) ... ... шығады: - нің кіші мәндерінде амплитуданың максимумдық мәні - нің ... ... ... ... ... яғни ... күштің жиілігі ерікті тербелістердің жиілігіне жақын болғанда. Егер болса (сондықтан, ), яғни егер қозғалысқа ... жоқ ... ... ... ... - да ... ... яғни болғанда:
.
болғанда резонанс құбылысы орын алады.
2) Енді деп ... яғни ... ... ... қарастырамыз (кедергісіз және периодты сыртқы күш бар ... ... ... онда . ... ... ... ше-шімі
().
Егер болса, яғни егер сыртқы күштің жиілігі мен ... ... ... тең болса, онда біртекті емес теңдеудің дербес шешімі мынадай түрге ие болады
.
Бұл өрнекті бастапқы теңдеуге апарып ... ... ... ... қозғалыс екі тербелістің бірігуінен тұрады: бірі жиілігі - ға тең ерікті тербеліс пен ... ... - ға тең ... ... ... яғни ерікті тербелістің жиілігі мен еріксіз тербелістің жиілігі беттессе, онда
функциясы (6) теңдеудің шешімі болмайды. Бұл ... (6) ... ... ... мынадай түрде іздейміз:
. ... ... ... ... (6) - ға ... ...
Ал жалпы шешімі мынадай болады:
Бұл жерде де қозғалыс екі тербелістен тұрады: бірі ерікті тербеліс те, екінші еріксіз тербеліс. ... ... ... шенеусіз өскенде еріксіз тербелістің немесе сыртқы күштің тербелісінің амплитудасы шенеусіз ... Ал ... ... ... ... ... деп атайды.
у* функциясының графигі төмендегі суретте кескінделген.
4. Жалпыанған ... ... ... ... ... жалпы жағдайда (түрде) консервативті механикалық жүйені қарастыралық. Бұл жүйе ерікті бір дәрежелі жүйе. Бұл жүйе үшін ... ... ... ... ... ... ... ие:
(1)
Бұл жерде t-уаықт, q-жалпыланған координат, - ... ... ... ... П-потенуиалдық энергия.
Барлығынан бұрын кинетикалық энергияның өрнегін құрылдық.
(2)
Бұл жерде Мj-іші материялық нүктенің массасы, - сол ... ... Егер - іші ... ... ... ... радиус-вектор болса, онда оның жылдамдығы мынаған тең
(3)
және, ... ... ... ... ... q ... координаттың функциясы болып табылады: деп белгілеп және соңғы ... q=0 ... ... ... қатарына жіктеп, мынаған келеміз.
(6)
Бұл жерде штрихтар - функциясынан q жалпыланған координат бойынша туындыларды белгілейді.
Бұл параграфта ... ... ... практикада ең маңызды жағдай қарастырылады, яғни кішкене тербелістерді q-дің кішкене мәндерінде (6) ... тек ... ... ұстап қалуға болады. Оны а арқылы белгілейміз. Сонда кинетикалық энергия мына түрге ие болады (яғни ... ... ... кинетикалық энергиясы):
Бұған кіріп тұрған көбейткіш инерциялық коэфицент деп аталады (кейде оны тағы да ... ... ... ... деп атайды).
Инерциялық коэффицентті анықтау үшін әрдайым (5) қосындыны құрудың қажеттігі жоқ және оның ... ... ... де ... жоқ. Сонан кейін бірінші мүшені бөліп алудың. Кинетикалық ... ... ... ... ... өрнегін алсақ болғаны. Сонда а-ның мәні (7) өрнектегі коэффицент ретінде анықталады.
Енді потенциялық энергяи П-ге келеміз. Ол да q ... ... ... ретінде анықталады, яғни:
(8)
Бұл функцияны да q=0 мәнінің маңайында Маклорен қатарына жібереміз:
(9)
Мұнда да штрихтар q жалпыланған координант бойынша ... ... Бұл ... ... ... кез ... ... жазуға болады. Ыңғайлы болу үшін деп аламыз. Сонда сына арақатысты ескереміз
(10)
(11)
мұндағы ... ... ... ... ... деп ... немесе квази көтергіш коэффиценті деп атайды.
(1) Лагрант теңдеуіне (7) мен (11) өрнектерді, яғни кинетикалық және ... ... ... әкеліп қойып, ерікті тербелістер туралы мәселенің негізгі ... ... ... белгілеу ... ... мына ... ... ... ... ... шешімі мына түрге ие
(16)
Сонымен бірге С1 мен С2 ... мына ... ... ... ... ... ...
(17)
Ең соңғында мынаған келеміз.
(18)
Кейде жазылудың басқа формасынан пайдалануды:
(19)
мұндағы ... ... ... тұр, ... сөнбейтін гармониялық тербелістерді береді. Оның амплитурасы А-ға тең және дөңгелеу ... ... к-ға тең.
5. ... және ... ... теңдеуіеің жалпы шешімін тап.
Шешуі:
: , , ... ... ... ... B=-2. . ... жалпы шешімі төмендегідей болады:
Бұл жерде ... ... ... дифференциялдық теңдеуінің жалпы шешімін тап.
Шешкі:
: , , ... ... ... ... ... ... құбылысы бар, себебі у-тен -да шекке көшсек, онда .
3-есеп. дифференциялдық теңдеуінің жалпы шешімін тап.
Шешуі:
:
: ,
- деп ... , ... ... ... ... бар, себебі -да,
1-есеп. дифференциялдық теңдеуіеің жалпы шешімін тап.
Шешуі:
: , , ... ... ... ... B=-2. . Сонда жалпы шешімі төмендегідей болады: ... ... ... құбылысы жоқ.
2-есеп. дифференциялдық теңдеуінің жалпы шешімін ...
: , , ... ... ... ... ... резонанс құбылысы бар, себебі у-тен -да шекке көшсек, онда .
3-есеп. дифференциялдық теңдеуінің жалпы ... ...
:
: ,
- деп ... , ... жерде резонанс құбылысы бар, себебі -да,
ІІІ. Кіші параметр әдісінің қолданылуы
1. Энергетикалық теңдік әдісі
Бұл әдіс қарсылығы сызықты емес ... ... ... ... автотербелістер туралы есептің жуық шешімін берген болатын. Ол квазисызықтық автотербелістердің қозғалысы дифференциалдық теңдеумен өрнектеледі:
q+k2q=fq,q. ... f(q,q) - аз ... емс ... ... ... Бұл ... аз (кішкене) болғандықтан шешімді мына түрде іздеу табиғи
q=Acoskt-φ, ... А және φ - ... Бұл ... мына ... ... айтарлықтай маңызды:автотербелістің жиілігі сызықтыға келтірілген жүйенің меншікті жиілігіне тең. (2) ... (1) ... ... ... ... мүмкін емес. Бұған (1)-дің оң жағындағы f(q,q) функция кедергі жасайды. Себебі (2)-ні (1)-ге ... ... ол мына ... ... ... ... теңбе-тең айналмайды. Инерциялық коэффициент а-ға көбейткеннен кейін оң жағы кейбір теңбе-тең емес күшті өрнектейді. Энергетикалық ... ... ... ... сәйкес мынаны талап етеміз: бұл күштің жұмысы 2PIk ... ... ... тең ... af* ... ... мынадай элементарлық dq жылжуға сәйкес мынаған тең :
af*dq=af*∙qdt. 2 және 3 ара қатыстарды
ескергенде энергетикалық теңдік шарты мына ... ... ... белгілеулер: kt-φ=ψ, ϕA=-02PIfAcosψ,-Aksinψsinψ dψ (5)
енгізіп, автотербелістің стационарлық амплитудасын мына түрде табамыз:
ΦA=0. ... ... ... ... мына жүйе үшін ... Бұл жүйе мына ... ... өрнектеледі:
aq+bq-Rsgnq+cq=0.
Бұл берілген жағдайда
fq,q=-ba∙q+Rasgnq (7)
және fAcosψ,-Aksinψ=Abkasinψ+Rasgn(-sinψ) ... ... 0

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 28 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы60 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
«Трансформатор» АҚ-ның жаңартылған механикалық цехын электр энергиясымен қамтамасыз ету: есептік зерттеу33 бет
«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»47 бет
Алюминий өндірісі. алюминийдің физикалық, химиялық, механикалық қасиеттері4 бет
Арысқұм кен орнының м-іі кешенін механикалық әдіспен игеру және жабдықтарды таңдау82 бет
Ашық механикалық жарақаттың анықтамасы және түрлері8 бет
Бастауыш сынып оқушыларының дене тәрбиесін қалыптастырудағы дифференциалдық қатынас6 бет
Биологиялық ұлпалардың механикалық қасиеттері7 бет
Гармоникалық тербелістердің графиктері4 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь