Механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеулері

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 46 бет
Таңдаулыға:

МЕХАНИКАЛЫҚ ТЕРБЕЛІСТЕРДІҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРІ

Мазмұны

Кіріспе. . . . 3

І. Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықты дифференциалдық

теңдеулер . . . 4

1. Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті сызықты дифференциалдық

еңдеулер . . . 4

2. Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықты

дифференциалдық теңдеулер . . . 10

ІІ Механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеулері . . . 17

1. Ерікті және ерікті емес тербелістердің дифференциалдық теңдеулері . . . 17

2. Ерікті тербелістің дифференциалдық теңдеуінің шешімін зерттеу . . . 20

3. Еріксіз тербелістердің дифференциалдық теңдеуінің шешімін зерттеу . . . 25

4. Жалпыланған координатадағы ерікті тербелістердің дифференциялдық

теңдеуі . . . 30

5. Қосымшалар және мысалдар . . . 33

ІІІ. Кіші параметр әдісінің қолданылуы . . . 35

1. Энергетикалық теңдік . . . 35

2. Кіші параметр әдісінің қолданылуы . . . 36

3. Ван-дер Поль әдісі . . . 41

4. Орталау әдісін Фатудың негіздемесі . . . 45

5. Орталау әдісін Фатудың негіздемесі . . . 52

Қорытынды. . . . 60

Әдебиеттер. . . . 61

Кіріспе

Өзектілігі. Тербелістердің дифференциалдық теңдеулерін құрудың өзі маңызды мәселе. Ал құрылған дифференциалдық теңдеулерін шешіп және оны талдау, яғни зерттеу екінші бір өзекті мәселе. Сонда шешімдер қандай жағдайда тербелісті береді және қандай жағдайда тербеліс болмайды. Мінеки, осыларды анықтау өте маңызды мәселе болып табылды.

Мақсаты. Бірінші мақсат механикалық тербелістерге сәйкес келетін дифференциалдық теңдеуді құру болса, екінші мақсат құрылған дифференциалдық теңдеулерді шешу және ол табылған шешімдерді зерттеу болып табылады.

Міндеті. Негізгі міндет құрылған дифференциалдық теңдеулерді шеше білу және ол шешілген шешімдері зерттей білу керек, яғни қандай жағдайда тербелістер бар болады, ал қандай жағдайда тербелістер жоқ болады.

Құрылымы. Бұл дипломдық жұмыс кіріспеден, бірінші, екінші, үшінші бөлімдерден және қортындыдан шығады. Соңында пайдаланған әдебиеттер тізімі келтірілген. Сонымен бірге әрбір бөлім бірнеше пунктерден құралған. Әр пунктінің соңында есептер шығарып көрсеткен. Сөйтіп, жұмыс осындай тәртіппен, яғни осындай ретпен баяндалған.

І. Тұрақты коэффициентті 2 - ретті сызықты дифференциалдық

теңдеулер.

1. Тұрақты коэффициентті 2 - ретті біртекті сызықты дифференциал-

дық теңдеулер.

Анықтама. Мына түрдегі теңдеу

(1)

тұрақты коэффициентті 2 - ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеу деп аталады, егер коэффициенттер p мен q нақты тұрақты сандар болса.

Бізге белгілі, бұл теңдеудің жалпы шешімін табу үшін оның сызықты тәуелсіз екі дербес шешімін табу жеткілікті.

теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:

, (2)

мұндағы . Сонда .

Осыларды (1) теңдеуге апарып қойып, мынаған келеміз:

Бұл жерден екендігін ескерсек, мынау шығады:

. (3)

Сондықтан, егер саны (3) теңдеуді қанағаттандыратын болса, онда (1) теңдеудің шешімі болады. (3) теңдеу (1) теңдеуге сәйкес характеристикалық теңдеу деп аталады.

Характеристикалық теңдеу квадраттық теңдеу болып тұр. Сондықтан оның екі түбірі болады. Оларды және арқылы белгілейміз. Сонда олар:

Бұл жерде мынадай жағдайлар болуы мүмкін:

І. мен - нақты және әртүрлі

ІІ. мен - комплекс сандар;

ІІІ. мен - тең нақты сандар .

Әрбір жағдайды жеке - жеке қарастырамыз.

І. Характеристикалық теңдеудің түбірлері нақты және әр түрлі: .

Бұл жағдайда дербес шешімдері мына функциялар болады:

Бұл шешімдер сызықты тәуелсіз, себебі

Сондықтан, жалпы шешім мына түрде болады:

Мысал 1. дифференциалдық теңдеуі берілген.

Шешу. Характеристикалық теңдеу мына түрде болады:

Характеристикалық теңдеудің түбірлерін табалық:

;

Бұл түбірлер нақты және әртүрлі. Сонда:

ІІ. Характеристикалық теңдеудің түбірлері комплекстік сандар.

Комплекстік түбірлер қос - қостан түйіндес болып келеді.

Оларды деп белгілейік, мұндағы

Дербес шешімдерді мына түрде жазуға болады:

. (4)

Бұл функциялар (1) дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын нақты аргументті комплекстік функциялар.

Тұжырым. Егер қандай да бір нақты аргументті комплекстік функция

(5)

теңдеуді қанағаттандырса, онда ол теңдеудіпен

функцияларының әр қайсысы да қанағаттандырады.

Шынында, (5) өрнекті (1) теңдеуге апарып қойып, мынаған келеміз:

немесе

Бірақ, комплекстік функция тек сол кезде нольге тең болады, егер оның нақты бөлігі мен жорамал бөлігі нольге тең болса, яғни

, .

Бұдан көреміз, пен - тің әрқайсысы (1) теңдеудің шешімі болып табылатынын.

Комплекстік шешімдер (4) - ті нақты және жорамал бөліктердің қосын-дысы түрінде жазып аламыз:

яғни , . (6)

Жоғарыда дәлелденген тұжырым бойынша (1) теңдеудің дербес шешім-дері болып мына нақты функциялар табылады:

мен функциялары сызықты тәуелсіз, себебі

Сондықтан, характеристикалық теңдеудің түбірлері комплекстік сандар болып келгенде (1) теңдеудің жалпы шешімі мына түрде болады:

немесе

, (7)

мұндағы мен - кез келген тұрақтылар.

(7) шешімнің мынадай дербес жағдайының маңызы үлкен. Ол жағдай мынау: характеритикалық теңдеудің түбірлері таза жорамал болған жағдай.

Егер (1) теңдеуде болса, онда осы дербес жағдай келіп шығады:

Бұл дифференциалдық теңдеудің характеристикалық теңдеуі мына түрде бо-лады:

Бұл характеристикалық теңдеудің түбірлері:

(7) шешім мына түрге келеді: .

Мысал 2. теңдеуі берілген. Жалпы шешімін және мына бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешімін тап.

Шешу. 1) характеристикалық теңдеуін жазалық:

Түбірлерін табалық: . Сондықтан, жалпы шешімі мынадай болады: .

2) Енді дербес шешімін табамыз. Ол үшін бастапқы шартты пайда-ланамыз:

, бұдан .

Сөйтіп, іздеп отырған дербес шешім мынау: .

Мысал 3. теңдеуі берілген. Жалпы шешімін және мына бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешімін тап.

Шешу. Характеристикалық теңдеуін жазалық: .

Түбірлерін табалық: .

Жалпы шешім мынадай болады: .

Енді дербес шешімін табалық:

Сонда дербес шешім: .

ІІІ. Характеристикалық теңдеудің түбірлері нақты және өзара тең, яғни .

Алдыңғы талқылау негізінде бір дербес шешімі мынау . Осы дер-бес шешіммен сызықтық тәуелсіз болатын екінші дербес шешімді табу керек. Екінші дербес шешім үшін - ті алуға болмайды, себебі

, яғни сызықтық тәуелді.

Екінші дербес шешімді мына түрде іздейміз:

мұндағы - белгісіз функция, табуды талап етеді. - ден екі рет туынды аламыз:

Осы - тің өрнектерін (1) теңдеуге апарып қойып, мынаған келеміз:

- харатеристикалық теңдеудің еселі түбірі болғандықтан

және

Осыларды ескерсек, жоғарыдағы тік жақшаның іші мына түрге келеді: . Бұдан болғандықтан . Бұл теңдеуді интегралдасақ, мынаған келеміз: . Бізге теңдеуінің кез келген дербес шешімі жеткілікті. Сондықтан, деп алсақ та болады. Олай болса, болады да, үшін мынаны аламыз: . Бұл мен сызықтық тәуелсіз, себебі

Олай болса бұл жағдайда жалпы шешім мына түрде болады:

Мысал 4. теңдеуі берілген.

Шешу. Характеристикалық теңдеуін жазалық:

Оның түбірлерін табамыз: , яғни .

Жалпы шешімі , яғни болады.

2. Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықты

дифференциалдық теңдеулер.

Анықтама. Айнымалы коэффициентті 2 - ретті біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп мына түрдегі

(1)

теңдеуді айтамыз, егер мен х - тің функциялары болса.

Бұл теңдеудің жалпы шешімінің құрылысы мына теоремамен анық-талады.

Теорема. Біртекті емес сызықтық (1) теңдеудің жалпы шешімі екі түрлі шешімнің қосындысынан тұрады; бірі (1) теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі да, екншісі (1) - дің өзінің қандай да бір

дербес шешімі , яғни мына формуламен

табылады.

Дәлелдеу. (1) - дің сәйкес біртекті теңдеуі:

. (2)

Бізге мына қосынды

(3)

(1) - дің жалпы шешімі екендігін дәлелдеу керек.

Алдымен, (3) өрнек (1) - дің шешімі екендігін көрсетелік. Ол үшін қосындысын (1) теңдеуге апарып қоямыз. Сонда мынаған келеміз:

немесе

. (4)

- (2) - нің шешімі болғандықтан (4) - тегі бірінші жақшаның іші нольге тең, ол - (1) - дің шешімі болғандықтан екінші жақшаның іші - ке тең. Сондықтан, (4) - тен мынау шығады: немесе . Сөйтіп, теореманың бірінші бөлімі дәлелденді.

Енді (3) өрнек (1) теңдеудің жалпы шешімі екендігін дәлелдейміз, яғни (3) - тің құрамына кіретін кез келген тұрақтыларды сондай етіп таңдап алуға болады, сонда бұған сәйкес келетін шешім мына бастапқы шарттарды қанағаттандыратын болсын:

, (5)

мұндағы - кез келген берілген сандар. - ті мына түрде жазуға болатынын ескеріп, (3) - ті былай жазып алалық:

(5) бастапқы шарттарға сәйкес - ті былай жазалық:

мұндағы .

Бұл жүйеден мен - ні табуға болады, өйткені оның анықтауышы нольден өзгеше ( мен - сызықты тәуелсіз) . Сонымен бірге ол анықтауыш Вронский анықтауышы. Сондықтан, мына жүйе

(6)

анық бір шешімге ие. Осы табылған мен - ні (3) - тегі орындарына апа-рып қойсақ, онда шыққан дербес шешім берілген бастапқы шартты қанағат-тандырады. Сөйтіп, теорема толық дәлелденді.

Сөйтіп, егер (2) біртекті теңдеудің жалпы шешімі белгілі болса, онда (1) теңдеуді интегралдаудағы негізгі мәселе (1) - дің қандай да бір дербес шешімін табудан тұрады екен.

Енді біртекті емес теңдеудің дербес шешімін табатын жалпы әдісті көрсетеміз. Бұл әдісті тұрақтыларды вариациялау әдісі деп атайды. Міне енді осы әдісті баяндауға кірісеміз.

Кез келген тұрақтыларды вариациялау әдісі.

(2) біртекті теңдеудің жалпы шешімін жазып аламыз:

(7)

(1) біртекті емес теңдеудің дербес шешімін (7) түрінде іздейміз, бірақ ондағы мен х - тің функциялары деп қарастырылады, яғни

деп қарастырылады. Осы пен - ті тапсақ, онда табылған болады. тен х бойынша уынды аламыз:

пен белгісіз функцияларын сондай етіп таңдап аламыз, сонда мына теңдік

(8)

орындалатын болсын. Егер осы қосымша шартты ескерсек, онда мына түрге келеді:

Енді осы - тен туынды алсақ, мынау шығады:

, , - тарды (1) - ге апарып қойып, мынаған келеміз

Алдыңғы екі жақшаның ішіндегі өрнектер нольге тең, себебі мен - біртекті теңдеудің шешімдері. Сондықтан, соңғы теңдік мына түрге келеді:

. (9)

Сөйтіп, функциясы біректі емес теңдеу (1) - дің шешімі болады тек сонда ғана, егер пен функциялары мына

жүйенің шешімі болса. Бұл жүйенің анықтауышы Вронский анықтауышы және ол нольден өзгеше, себебі мен (2) теңдеудің сызықтық тәуелсіз дербес шешімдері. Сондықтан, ол жүйе пен бір мәнді табылады, яғни:

Бұларды интегралдап, мынаған келеміз:

мұндағы пен - кез келген тұрақтылар. = =0 десек те болады. Сонда .

Мысал. теңдеудің жалпы шешімін тап.

Шешу. Алдымен мына біртекті теңдеудің жалпы шешімін табамыз. . Бұны деп жазып аламыз. Сонан соң оны интегралдасақ мынау шығады: , яғни .

Бұл соңғы өрнек біртекті теңдеудің жалпы шешімі. Енді - ны іздейміз. Ал пен - ті мына жүйеден табамыз:

Егер бұл жерде десек, онда болады.

Енді тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық диф-ференциалдық теңдеулерді қарастырамыз.

Анықтама. Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық

дифференциалдық теңдеу деп мына түрдегі

(1)

теңдеуді айтады, егер коэффициенттер мен нақты сандар болса.

Мұның алдында біртекті емес теңдеудің дербес шешімін табатын жалпы әдіс көрсетіледі. Тұрақты коэффициентті біртекті емес теңдеулердің дербес шешімін табу кейбір дербес жағдайларда оңай жолмен шешіледі, яғни интегралдау амалын қолданбастан. Қазір (1) теңдеу үшін сондай жағдайлардың түрлерін қарастырамыз.

І. Айталық, (2)

болсын, мұндағы - дәрежелі көпмүшелік, яғни

А) егер ноль саны характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:

яғни (3)

мұндағы - уақытша белгісіз коэффициенттер.

Б) егер ноль саны характеристикалық теңдеудің түбірі болма, онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:

ІІ. Айталық, (4)

болсын, мұндағы .

А) егер саны характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:

, (5)

мұндағы .

Б) егер саны характеристикалық теңдеудің түбірі болса, онда дербес шешімді мына түрде іздейміз:

. (6)

ІІІ. Айталық, болсын.

А) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:

Б) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болса, онда берілген біртекті емес теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:

ІV. Айталық, болсын, мұндағы мен - тұрақтылар.

А) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда - ны мына түрде іздейміз:

, мұндағы А мен В - белгісіз коэффици-енттер.

Б) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда

деп іздейміз.

Мысал 1. теңдеуін шеш.

Шешу. .

теңдеуінің кез келген бір дербес шешімі.

деп іздейміз.

Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда

Бұдан . .

Мысал 2. теңдеуін шеш.

Шешу. .

теңдеуінің кез келген бір дербес шешімі.

деп іздейміз.

Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда

Бұдан . .

Мысал. теңдеудің жалпы шешімін тап.

Бұл соңғы өрнек біртекті теңдеудің жалпы шешімі. Енді - ны іздейміз. Ал пен - ті мына жүйеден табамыз:

Егер бұл жерде десек, онда болады.

Енді тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық диф-ференциалдық теңдеулерді қарастырамыз.

Анықтама. Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық

дифференциалдық теңдеу деп мына түрдегі

(1)

теңдеуді айтады, егер коэффициенттер мен нақты сандар болса.

І. Айталық, (2)

болсын, мұндағы - дәрежелі көпмүшелік, яғни

яғни (3)

мұндағы - уақытша белгісіз коэффициенттер.

ІІ. Айталық, (4)

болсын, мұндағы .

, (5)

мұндағы .

Б) егер саны характеристикалық теңдеудің түбірі болса, онда дербес шешімді мына түрде іздейміз:

. (6)

ІІІ. Айталық, болсын.

ІV. Айталық, болсын, мұндағы мен - тұрақтылар.

А) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда - ны мына түрде іздейміз:

, мұндағы А мен В - белгісіз коэффици-енттер.

Б) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда

деп іздейміз.

Мысал 1. теңдеуін шеш.

Шешу. .

теңдеуінің кез келген бір дербес шешімі.

деп іздейміз.

Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда

Бұдан . .

Мысал 2. теңдеуін шеш.

Шешу. .

теңдеуінің кез келген бір дербес шешімі.

деп іздейміз.

Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда

Бұдан . .

Мысал. теңдеудің жалпы шешімін тап.

Бұл соңғы өрнек біртекті теңдеудің жалпы шешімі. Енді - ны іздейміз. Ал пен - ті мына жүйеден табамыз:

Егер бұл жерде десек, онда болады.

Енді тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық диф-ференциалдық теңдеулерді қарастырамыз.

Анықтама. Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық

дифференциалдық теңдеу деп мына түрдегі

(1)

теңдеуді айтады, егер коэффициенттер мен нақты сандар болса.

І. Айталық, (2)

болсын, мұндағы - дәрежелі көпмүшелік, яғни

яғни (3)

мұндағы - уақытша белгісіз коэффициенттер.

ІІ. Айталық, (4)

болсын, мұндағы .

, (5)

мұндағы .

Б) егер саны характеристикалық теңдеудің түбірі болса, онда дербес шешімді мына түрде іздейміз:

. (6)

ІІІ. Айталық, болсын.

ІV. Айталық, болсын, мұндағы мен - тұрақтылар.

А) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда - ны мына түрде іздейміз:

, мұндағы А мен В - белгісіз коэффици-енттер.

Б) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда

деп іздейміз.

Мысал 1. теңдеуін шеш.

Шешу. .

теңдеуінің кез келген бір дербес шешімі.

деп іздейміз.

Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда

Бұдан . .

Мысал 2. теңдеуін шеш.

Шешу. .

теңдеуінің кез келген бір дербес шешімі.

деп іздейміз.

Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда

Бұдан . .

Мысал. теңдеудің жалпы шешімін тап.

Бұл соңғы өрнек біртекті теңдеудің жалпы шешімі. Енді - ны іздейміз. Ал пен - ті мына жүйеден табамыз:

Егер бұл жерде десек, онда болады.

Енді тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық диф-ференциалдық теңдеулерді қарастырамыз.

Анықтама. Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті емес сызықтық

дифференциалдық теңдеу деп мына түрдегі

(1)

теңдеуді айтады, егер коэффициенттер мен нақты сандар болса.

І. Айталық, (2)

болсын, мұндағы - дәрежелі көпмүшелік, яғни

яғни (3)

мұндағы - уақытша белгісіз коэффициенттер.

ІІ. Айталық, (4)

болсын, мұндағы .

, (5)

мұндағы .

Б) егер саны характеристикалық теңдеудің түбірі болса, онда дербес шешімді мына түрде іздейміз:

. (6)

ІІІ. Айталық, болсын.

ІV. Айталық, болсын, мұндағы мен - тұрақтылар.

А) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда - ны мына түрде іздейміз:

, мұндағы А мен В - белгісіз коэффици-енттер.

Б) егер характеристикалық теңдеудің түбірі болмаса, онда

деп іздейміз.

Мысал 1. теңдеуін шеш.

Шешу. .

теңдеуінің кез келген бір дербес шешімі.

деп іздейміз.

Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда

Бұдан . .

Мысал 2. теңдеуін шеш.

Шешу. .

теңдеуінің кез келген бір дербес шешімі.

деп іздейміз.

Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз. Сонда

Бұдан . .

ІІ. Механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеулері.

1. Ерікті және ерікті емес тербелістердің дифференциалдық теңдеулері.

Бұл тарауда қолданбалы механиканың бір мәселесін қарастырамыз. Оны сызықтық дифференциалдық теңдеулердің көмегі арқылы зерттейміз және шешеміз.

1-сурет

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

Ұқсас жұмыстар

Тeрбeлістeр мeн толқындaр. Еркіндік дәрeжeсі eкі болaтын мeхaникaлық жүйeні зерттеу

Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелер

Бір еркіндік дәрежесі бар механикалық жүйенің тербеліс теңдеулеріне талдау жасау, тербелістің сөну дәрежесінің жүйенің қатаңдығы мен демпферлік қасиеттеріне тәуелділігі

Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы

Тербелмелі қозғалыстар

Автоматты басқару және ақпараттар теориясынан мәліметтер

Математикалық физика теңдеулері және оларды канондық түрге келтіру

Механикалық тербелістер мен механикалық толқындарға, осы тақырып бойынша негізгі ұғымдар мен анықтамаларға ғылыми-әдістемелік талдау жүргізу

Толқындық оптиканың негізгі заңдары

Электр тізбектеріндегі ауыспалы процесстер

Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz