Меншіксіз интегралдар және олардың бас мәндері

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

I. Бірінші текті меншіксіз интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.1 Бірінші текті меншіксіз интеграл ұғымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Меншіксіз интеграл мен қатар арасындағы сәйкестіктер ... ... ...
1.3 Меншіксіз интегралдың жинақтылық белгілері ... ... ... ... ... ... ... .
1.4 Абель және Дирихле интегралдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

II. Екінші текті меншіксіз интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ...
2.1 Екінші текті меншіксіз интеграл ұғымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2 Интегралдық есептеудің негізгі формуласын қолдану ... ... ... ... .
2.3 Меншіксіз интегралдың бар болуының шарттары мен
белгілері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.4 Меншіксіз интегралдардың бас мәндері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

III.Меншіксіз интегралдардың параметрден тәуелді
болып келген жғадайлары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.1Меншіксіз интеграл параметрден тәуелді болған жағдайда
шекке көшу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.2 Меншіксіз интеграл параметрден тәуелді болған жағдайда
дифференциалдау және интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3.3 Интегралдау шектеріде параметрден тәуелді интегралдар ... ... ...

IV.Меншіксіз интегралдар параметрден тәуелді болған
жағдайда оларды кейбір интегралдарды есептеуде
қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
4.1 Меншіксіз интегралдаршектеріде параметрден тәуелді
болып келге жағдайлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
4.2 Меншіксіз интеграл белгісінің астында шекке көшу ... ... ... ... ...
4.3 Меншіксіз интегралды параметр бойынша интегралдау және
дифференциалдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4.4 Кейбір меншіксіз интегралдарды есептеуге қолданылуы ... ... ... .
4.5 Эйлердің біртекті және екітекті интегралдары ... ... ... ... ... ... ... ...
4.6 Эйлер интегралдарының көмегімен кейбір интегралдарды
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
Өзектілігі.Әдеттегі анықталған интегралдан өзгеше интегралдар да бар. Олар меншіксіз интегралдар деп аталады. меншіксіз интегралдар біртекті және екітекті болып, екі түрлі болады.
Біртекті меншіксіз интегралдар интегралдау шектері ақырсыз болып келген интегралдар, ал екітекті меншіксіз интегралдар интеграл астындағы функция интегралдау аралығының шеттерінде немесе оның ішінде шенелмеген болып келген интегралдар.
Жаңашылдығы.Бұндай интегралдардың мәндерін табу кейде мүмкін, кейде мүмкін емес болады. Егер мәні табылып, ол мән тиянақ-ты санға тең болса, онда меншіксіз интегралдың мәні сол мәнге тең бо-лады да, онда меншіксіз интегралды жинақталады деп айтамыз. Көпте-ген жағдайларда меншіксіз интегралдың мәнін табу мүмкін болмайды. Бұл жағдайда меншіксіз интегралдарды жинақталу белгісі арқылы жинақтылыққа зерттейді. Әр түрлі белгілер бар: салыстыру белгісі, Абель және Дирихле белгілері.
Проблемалық маңыздылығы.Көп өрнектерде параметр қатысқан болады, соның ішінде интегралдар да параметр қатысқан болады. Ол интегралдардан тікелей шек табу және интеграл табу өте қиын болады.
Мақсаты.Осындай жағдайларда ол өрнектерден алдымен параметр бойынша шекке көшсек, параметр бойынша туынды тапсақ немесе параметр бойынша интеграл тауып алып, кейін көрсетілген амалды орындасақ, онда әлдеқайда жеңіл болады.
Бұл жұмыс III және IV-тараулардан және қорытындыдан тұрады. III-тарауда үш параграф, ал IV-тарауда төрт параграф бар. Соңында әдебиеттер тізімі келтірілген.
Міндеті.Әрбір параграфтан кейін есептер шығарылып көрсетілген. IV- тараудың соңғы 4-ші параграфта тек есептер шығарылған.
Жұмыс төрт тараудан, кіріспеден және қорытындыдан тұрады. Соңында пайдаланған әдебиеттер тізімі келтірілген.
1. ҚабдықайыровҚ., Еселбаева Р. Дифференциалдық және интеграл-дық есептеулер.- Алматы: Мектеп, 1985.
2. Темірғалиев Н. Математикалық анализ.- Алматы:Мектеп.- 1-том, 1987, 2-том, 1991., 3-том,1997.
3. Әубакір С.Б. Жоғары математика.-Алматы: Эверо, 2004.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального интегрального исчис-ления.- М.: Наука, 1970.
5. Соболев В.И. Лекций по дополнительным главам математического анализа.- М.: Наука, 1968.
6. ВиленкинН.Я., БалкМ.Б., Петров В.А. Математический анализ. Мощность. Метрика. Интеграл.- М.:Просвещение, 1980.
7. АрхиновГ.И., СодовничийВ.А., Чубариков В.Н. Лекций по матема-тическому анализу.- М.: Наука, 1998.
8. КарташевА.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ.- М.: Наука, 1984.
9. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу.- М.: Наука, 1981.
10. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математическому анализа.- М.: Наука, 1985.
11. Жәутіков О.А. Математикалық анализ курсы.- Алматы, 1999.
12. Натансон И.Г. Теория функций вещественной переменной.-1989.
13. Досымов Т.Б. Функционалдық анализ негіздері.- Алматы, 1988.
14. Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы.- Алматы: Мектеп, 1970.-Т.1-2.
15. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.- Т.II, 1956.
16. ФроловН.А. Курс математикеского анализа.- Ч.1, 1964.
17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- Т.1, 1971.
18. Уваренков И.М. и МаллерМ.З. Математический анализ.-Т.1, 1966.
19. КоровкинП.П. Математический анализ.-Т.1, 1972.
20. Гюнкер Н.М. и КузьминР.О. Сборник задач по высшей матема-тике.-Ч.2, 1949.
21. ДемидовичБ.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.- 1972.
        
        ПАПАЛЛЕЛ ИНТЕГРАЛ
МАЗМҰНЫ
Кіріспе......................................................................................................
I. Бірінші текті меншіксіз интегралдар.................................
1.1 ... ... ... ... ұғымы.......................................
1.2 Меншіксіз интеграл мен қатар арасындағы ... ... ... жинақтылық белгілері.............................
1.4 Абель және ... ... . ... ... меншіксіз интегралдар................................
2.1 Екінші текті меншіксіз ... ... ... есептеудің негізгі формуласын қолдану.................
2.3 Меншіксіз ... бар ... ... ... ... интегралдардың бас мәндері........................................
III . Меншіксіз ... ... ... ... келген жғадайлары...................................................
3.1 Меншіксіз интеграл параметрден ... ... ... көшу........................................................................................
3.2 Меншіксіз интеграл параметрден тәуелді болған жағдайда
дифференциалдау және интегралдау..............................................
3.3 Интегралдау шектеріде ... ... ... ... интегралдар параметрден тәуелді ... ... ... ... ... ... ... Меншіксіз интегралдар шектеріде параметрден ... ... ... ... Меншіксіз интеграл белгісінің астында ... ... ... ... ... ... ... және
дифференциалдау................................................................................
4.4 Кейбір меншіксіз интегралдарды есептеуге қолданылуы.............
4.5 Эйлердің біртекті және ... ... ... ... ... кейбір интегралдарды
есептеу.................................................................................................
Қорытынды.....................................................................................................
Әдебиеттер.......................................................................................................
4
5
5
13
14
17
23
23
26
27
32
38
38
40
44
47
47
48
49
51
54
59
62
63
КІРІСПЕ
Өзектілігі. Әдеттегі анықталған интегралдан өзгеше интегралдар да бар. Олар ... ... деп ... ... ... ... және ... болып, екі түрлі болады.
Біртекті меншіксіз интегралдар интегралдау шектері ... ... ... ... ал ... ... интегралдар интеграл астындағы функция интегралдау ... ... ... оның ішінде шенелмеген болып келген ... ... ... ... табу кейде мүмкін, кейде мүмкін емес болады. Егер мәні ... ол мән ... ... тең ... онда ... ... мәні сол мәнге тең ... да, онда ... ... жинақталады деп айтамыз. Көпте-ген ... ... ... ... табу мүмкін болмайды. Бұл ... ... ... ... ... арқылы жинақтылыққа зерттейді. Әр түрлі белгілер бар: салыстыру белгісі, ... және ... ... маңыздылығы. Көп өрнектерде параметр қатысқан ... ... ... ... да ... қатысқан болады. Ол интегралдардан ... шек табу және ... табу өте қиын ... ... ... ол ... ... параметр бойынша шекке ... ... ... ... тапсақ немесе параметр бойынша ... ... ... кейін көрсетілген амалды орындасақ, онда ... ... ... жұмыс III және IV-тараулардан және ... ... ... үш параграф, ал IV-тарауда төрт ... бар. ... ... тізімі келтірілген.
Міндеті. Әрбір параграфтан кейін есептер ... ... IV- ... ... 4-ші ... тек ... шығарылған.
Жұмыс төрт тараудан, кіріспеден және ... ... ... ... ... ... келтірілген.
I. БІРІНШІ ... ... ... ... ... меншіксіз интеграл ұғымы
Біз осы уақытқа ... ... ... ... қарас-тырып келдік. Бірақ бұл ... ... ... екі ... ... ... ... Олар:
1. аралығы ақырлы аралық ... ... сол ... шенелген болсын.
Біз бұл I тарауда жоғарыдағы екі шарттың бірінші ... ... ... ... ... аралығында анықталған болсын, яғни үшін ... ... және ол ... кез ... ... ... аралығында интегралданатын болсын. Бұл ... ... ... мағынаға ие деген сөз.
Анықтама. интегралының - дағы шегі ... - дан ке ... ... ... деп атайды және оны мына символмен белгілейді:
. (1) ... бұл шек ... ... онда (1) ... жинақталады деп аталады ал функциясын ақырсыз ... ... деп ... Егер де (1) шек ... немесе мүлде жоқ болса, онда (1) ... ... деп ... ... ... қарастырған. интегралынан ажы-ратып айту үшін ... ... ... ... деп атайды, ал ... ... ... немесе анықталған интеграл деп атайды.
Анықтама.
(1) түріндегі интеграл Эйлердің 1 - ... ... ... екі ... мен - дың деп ... ... ... интегралының қасиеттері:
1) функциясының жинақталыс облысы болады. ... (1) ... екі ... ... түрінде былай өрнектеледі:
.
Шек
.
Сондықтан интеграл , ... ... ... себепті, интеграл
болғанда жинақталады.
2) Бета - функция өзінің аргументтері мен ... ... егер ... ... онда , және . ... ... өзінің жинақталу облысының кез келген нүктесінде ... ... үшін ... ... деп ... ... саны ...
формуласы орынды.
Дәлелдеу. Егер ауыстырмасын ... ... ... ... ... ... ... есептесек,
(3)
болады.
Осы (3) теңдіктің оң жағындағы интегралды (1) ... ... ... ... (4) ... - ды натурал сан - мен ... ... ... Ал
(6)
Ендеше (5) мен (6) теңдіктерден ... үшін (2) ... ... ... шығады.
Эйлердің бірінші текті интегралы (1)-ні екінші түрде де ... ... Ол үшін ... ... Сонда , болады да, (1) ... мына ... ... ... (7) ... деп ... ... Ал екені белгілі. Демек,
, . ... (8) ... деп ... ... ... интеграл Эйлердің екінші текті интегралы немесе деп ... ... ол ... мәндерінде жинақталады.
Б) барлық үшін ... ... ... үшін ... ... ... орындалады.
(10)
Дәлелдеу. Егер (9) ... - ның ... - ді ...
(11) болады. Сонан соң деп белгілеп, (11) ... ... ... ... (- натурал сан) деп алсақ,
болар еді.
Ал екенін ескерсек, ... ... ... ... мен - нің ... мынадай байланыс бар:
(12)
Дәлелдеу. (9) ... ( ... сан) ... ... ... ... ... теңдікте - ні мен, -ні -мен ауыстырсақ,
немесе
(13) болады. бұл ... екі ... да - ге ... шыққан теңдікті бойынша интегралдағанда
(14) ... Ал ... ... бойынша).
Демек, (14) теңдік мына түрге ... (12) ... ... Гамма - функция үшін ... - ... ... орындалады.
Е) егер (12) формулада деп алып, (8) формуланы және ... ...
, яғни ... ... деп ... ... келеміз.
Мысалдар. 1. функциясы кез ... ... ... интегралданады, сонымен бірге мынаған ие ... ... үшін - да ... шек бар. Онда 0 - ден - ке ... ... ... және оның мәні
.
2. (2) ... ... - нің ... ... бар ... соны ... ... болсын. ... ... онда және - да ... шегі - ке тең ... (2) ... болғанда жинақталады да, мәні - ге тең болады, ал ... ... - ге ... функциясының - тен - ға ... ... ... да ... ... және функциясының - тен - ке дейін ... ... да ... ... ... интегралдар да меншіксіз интегралдар деп аталады.
интеграл ... кез ... -ні ... ... ... болады
.
Бұл теңдеудің сол жағындағы интегралдың , ... да бар ... (1) мен (3) ... күн ... бар ... яғни (1) мен (3) ... бар ... тең күшті. Сонымен, - тен - ке дейінгі интегралды мынадай ... ... ...
1. .
2. ... біз жоғарыда меншіксіз интегралдардың ... ... үшін ... оның ... ... үшін алғашқы функциясын тауып алып, кейін ... көшу ... ... Олай ... осы екі ... біріктіріп жіберуге болады.
Айталық, мысалы, функциясы аралығында ... және ... ... ... аралығында интеграл-данатын болсын. Егер функциясы үшін ... ... ... ... бар ... онда интегралдық есептеудің негізгі формуласы былай жазуға болады
.
Бұдан көрініп тұр, (1) ... ... бар ... ... тек ... егер мына ақырлы шек бар болса
,
және
.
Дәл осы ... ... ... ... ... керек.
Мысалдар. 1. меншщіксіз интегралын есептеу ...
2.
3. ... ... ... ... ... пайда болған айналу денесінің көлемі мен бетін есепте.
Шешу. ... - да , яғни ... ... ... тең де, беті ... ... Меншіксіз интеграл мен қатар арасындағы сәйкестіктер
Біз бұл жерде тек (1) ... ... ... ... ... ... бұл (1) үшін орынды қасиеттер (2) мен (3) үшін де ... бола ... Бұл ... ... барлық уақытта мен шектері арасында ... ... ... деп ұйғарамыз.
Сонымен меншіксіз интегралы мен қатарының арасында өте көп ... ... ... қосындылау процесін бойынша интегралдау процесімен алмастырсақ, онда ... ... ... - ... ... ... ... астындағы функция
2. - қатардың ... ... ... ... - ... ... (дербес қосындының шегі ретінде)
- меншіксіз интеграл ... ... - дағы ... - ... ... ... туралы теоремаларға ұқсас меншіксіз интегралдар туралы мына ... ... Егер ... жинақталса, онда () интег-ралы да жинақталады, және ... ... ... ... ... болған жағдайда мынаған келеміз:
.
. интегралының жинақтылығынан ... ... ... ... ...
.
. Егер және интегралдарының екеуі де жинақты болса, онда ... да ... ... ... Меншіксіз интегралдың жинақтылық белгілері
Егер функциясы оң (теріс емес) ... ... ... бірсарынды өспелі функцияны береді, яғни айнымалы - ның ... ... ... Оның - да ... шегі бар ... бірсарынлды функцияның шегі бар болуы туралы ... ... ... ... интегралдың функциясы оң болған жағдайда ... ... үшін (4) ... А өскенде жоғарыдан шенелген болуы, яғни
болуы ... және ... де бұл шарт ... онда (1) ... мәні - ке ... тұжырымға мына теорема (салыстыру теоремасы) негізделген.
Теорема 1. Егер ең ... ... мына ... ... онда ... жинақтылығынан интегралының жинақтылығы келіп шығады, ... ... ... интегралының жинақсыздығы келіп шығады.
Бұл теореманы дәлелдеу үшін ... ... ... ... сөзбе - сөз көшірсе болғаны.
Теорема 2. Егер мына ... ... онда ... ... ... ... жинақтылығы келіп шығады, ал болғанда интегралының ... ... ... ... ... ... екі ... не бір уақытта жинақталады, не бір ... ... ... да ... ... теореманың дәлелдемесіне ұқсас.
Салыстыру үшін тиянақты ... ... ... ... ... немесе жинақсыздығын анықтайтын ... ... ... ... ... ... ... жиі қолданылады, яғни ... бұл ... ... ( - дан - ке ... ... интеграл үшін), ал болғанда интегралданбайды.
Айталық - тің жеткілікті ... ... үшін ... ... ... ие ... 1) егер және болса, онда ... егер де және ... онда ... жинақталмайды.
Бұл теореманы дәлелдеу үшін 1-теореманы пайдалану керек; ... ... ... ... табылады.
Егер - да функциясы реті - ге тең ақырсыз ... ... ... ( пен ... онда ... - ның ... байланысты жинақты немесе жинақсыз ... яғни ... ... ал ... ... ... ... 2 -теоремаға жүгіну керек. ... ... ... ... 1. ... ... ... астындағы функциялар ақырсыз кіш-кене функциялар реттері сәйкесінше және 2 тең. ... ... ... ... ал ... ... жинақталады.
Енді меншіксіз интегралдың жинақтылығынан жалпы ... ... ... бар ... ... мәселе, (1)-дің анықтамасына сәйкес, - да мына ... ... ... ... келіп тіреледі.
Осы функцияға Больцано-Коши белгісін қолданып, меншіксіз ... бар ... ... мына ... ... ... ... жинақталуы үшін кез келген үшін сондай саны табылып, және ... мына ... ... және ... критерий оңай ғана мына тұжырымды алып ... ... ... онда ... одан да ... жинақталады.
Шынында, жоғарыдағы критерийді интегралына қолданып және оның ... ... ... келеміз: кез келген үшін саны табылып, тек ... ... ... болатыны анық (белгілі)
.
Олай болса . ... ... ... ... ... ... керек: интегралының жинақталуынан, жалпы жағдайда, интегралының жинақтылығы ... Егер ... ... интегралы да жинақталатын болса, онда ... ... ... ... онда ... абсолют жинақталатын деп аталады, ал функциясын абсолют ... ... деп ... ( ... ... емес ... интегралға мысалды сәл кейін келтіреміз.
Таңбасы айнымалы ... үшін ... ... ... ... ... үшін ол ... қолдануға болады.
Бұдан келесі тұжырым келіп шығады және бұл жиі ... ... ... ... ... интегралданса,ал функциясы шенелген болса, онда олардың көбейтіндісі те ... ... ... ... ... ... үшін мына ... жүгінсек жеткілікті:
Мысал. интегралы берілген. Бұл жерде ... ... ... ал ... ... тұр, ... ... келіп шығады берілген интеграл абсолют ... ... және ... ... бұл жерде басқа типтегі белгілерді келтіреміз. Бұл белгілер орта мән ... ... ... ... ... Олар шексіз қатарлардың ... ... және ... ... ... ... Айталық және функциялары аралы-ғында анықталған, сонымен ...
1) ... ол ... ... ...
(1) ... ... функциясы бірсарынды және ... ... онда ... Орта мән ... ... ... ... кез келген үшін мынау болады
, (6) ... . 1) шарт ... яғни (1) ... ... шарт ... кез ... үшін ... табылып, болғанда мынау болады
Ал енді 2) шарт ... ... ... ... (5) ... ... келіп шығады.
Дирихле белгісі. Айталық
1) функциясы кез ... ... ... ... және (4) ... ... ... болсын
,
2) функциясы - да ... ... ... ... ... (5) ... жинақталады.
Дәлелдеу. Бұл белгінің ... ... ... яғни (6) ... ... шығады. Бірақ бұл жерде мен ... ... аз ... ... ал ... көбейткіштер санымен шенелген.
Мысал. және инт ... ... ... ... ... біз мынаған келеміз: ... деп ... ал . Бұл ... 1) ... ... тұр, яғни және , ал ... - да ... ... ... ... жағдайда мына интегралдың жинақтылығы келіп ... бұл ... деп ... ... ... ... ... функция да ақырлы шекке ие. Мынаны көрсетуге ... ... ... абсолют емес жинақталады, яғни мына ... ... егер де бұл ... ... ... онда ... теоремасы бойынша
интеграл да жинақталады, өйткені . Басқаша айтқанда
интегралы да ... Бұл ... ... ... алдынан белгілі мына интегралды
қоссақ, онда мынадай қорытындыға келеміз:
интегралы да ... ... ... еді. ... олай ... яғни интегралы жинақсыз.
Мына ... ... ... (Д). ... ... ... ерекше нүкте| =
2343 (Д). ... (Д). ... (Д). Мына ... ...
Б) ...
II. ... ТЕКТІ МЕНШІКСІЗ ИНТЕГРАЛДАР
2.1 Екінші ... ... ... ұғымы
Бұл жерде ақырлы аралығында ... ... ... ... бұл ... шенелмеген. Анығырақ айтқанда функциясы кез келген ... ... және ... ... ... ... ... яғни нүктесінің сол жағында шенелмеген. Бұл ... ... ... ... ... ... атқа ... интегралының дағы шегі функция-сының - дан - ға ... ... ... интегралы деп аталады және оны ... ... ... бұл шек ... ... ... (1) ... жинақталады деп айтылады, ал ... ... ... деп ... Егер де (1) шек ... ... немесе мүлде жоқ болса, онда (1) интеграл ... деп ... 1) ... кез келген ... ... және ... ... ... ... ... шексіздікке айналады. Бұл деген сөз - да ... ... ... ... тұр кез ... ... ... шенелмеген, яғни ... ... ... ... ... ... Практикада осындай текті ерекше нүктелермен жұмыс істеуге тура келеді.
Сөйтіп, ... ... ... - да ... ... ... енді ... кез келген аралығында ... және ... ... ... ... ... ... шенелмеген болып табылады, яғни нүктесінің оң жағында ... ... ... ... функциясының ерекше нүктесі болады.
Анықтама. интегралының - дағы шегі ... -дан - ға ... ... ... ... деп ... және ол мына ... анықталады
(2)
Жалпы жағдайда аралығында саны ақырлы ерекше ... ... ... Бұл ... ... ... шенелмеген. Бірақ ерекше нүкте жоқ аралықтарда функциясы шенелген және ... ... және ... болу ... ... ... үшеу ... Олардың екеуі мен шекараларымен дәл ... де, ал ... с ... ... ... функциясының - дан - ға ... ... ... интегралы мына теңдікпен анықталады
. ... ... ... ... ... ... ... көруге болады, (3) шектің бар болуы жоғарыдағы төрт интегралдың күн ... бар ... тең ... Олай ... (3) - тің ... ... алмастыруға болады:
бірақ оң ... ... ... интегралдар бар деп ұйғару керек.
(2) және (3) ... ... үшін де (1) ... интеграл үшін терминдер сақталады.
Мысалдар. 2) берілген. Интеграл астындағы ... ... ... ... ... ... функцияның және екі ... ... ... - нің қандай мәндерінде мына ... ... ... ... (4) ... интеграл
- нің мәніне байланысты әртүрлі жағдайда болады.
Шынында,
Егер де ... онда ... ... ... (4) ... ... ... ие, яғни жинақталады, ал болғанда жинақталмайды.
5) ... да ... ... Интегралдық есептеудің негізгі ... ... ... аралығында анықталған және әрбір аралығында интегралданатын ... Бұл ... ... ... үшін ... нүкте болып табылады. Егер функциясы үшін аралығында, яғни үшін ... ... бар ... онда
,
және (1) меншіксіз ... бар ... мына ... ... бар болуына тең күшті. Егер соңғы шек бар болса, онда оны - нің мәні үшін ... ... яғни ... ... болғандағы мәні. Тек функциясының бүкіл ... ... ... қол ... ... (1) ... есептеу үшін онда біз әдеттегі түрдегі мына формулаға келеміз:
. ... ... өз ... ... және ... ... да, егер ... нүкте аралықтың ішінде жатса да немесе ... ... ... Тек ... ... ... барлық жерде -ке тең болса (ерекше нүктелерді шығарып тастағанда). Бұл ... сөз ... ... ... де үзіліссіз болатын болсын. Бұндай алғашқы функцияның бар болуы ... ... бар ... ... ... негізгі формулада - ні - пен, ал - ті - пен ... біз оны мына ... ... ... ... туынды бойынша алғашқы функциясы тіктеледі, егер тек ... ... ... 1) ... Бұл ... ... астындағы функ-ция үшін ерекше нүкте. Оның ... ... . Ол ... ... нүктесінде үзіліссіз. Онда интеграл бар ... ... жоқ, ... ... ... ерекше нүктелерінде - ке айналады.
3) . Интеграл астындағы функция үшін ... ... ... ... ... ... болады да, ол ... ... ... ... бар ... және оның мәні ге ... берілген. Интеграл астындағы функция үшн ... ... ... ... . Міне осы ... ... ... және оның мәні ... 0 - ге тең. ... сайып келгенде
.
5) берілген. ... ... ... үшін ... нүкте болады.
.
6) берілген. Интеграл астындағы функция ерекше ... . Бұл ... жоқ, ... ... ... ... - ке айналады.
2.3 Меншіксіз интегралдың бар ... ... ... тек (1) ... ... байланысты жағдайларды қарастырамыз. Бұл жағдайлар басқа меншіксіз интегралдарға жарай ... (1) ... ... функциясы оң болған жағдайда, жинақталуы үшін барлық үшін мына ... ... және ... ... ... ... түрде айтылады және дәлелденеді. Енді Коши белгісін ... - ға ... ... - тің ... ... мына ... ... 1) егер және болса, онда ... ... егер де және ... онда бұл интеграл жинақ-талмайды.
Мына дербес форма практикада өте ... ... ... реті - ге тең ... үлкен болса ( мен салыстыру бойынша), онда ... ... ... да, ... жинақталмайды.
Анықтама. интегралының - дағы шегі ... -дан - ға ... ... ... ... деп аталады және ол мына теңдікпен анықталады
(2)
Жалпы жағдайда аралығында саны ... ... ... ... мүмкін. Бұл нүктелерге жақындағанда ... ... ... ... ... жоқ ... функциясы шенелген және ... ... және ... болу ... ... ... үшеу болсын. Олардың екеуі мен шекараларымен дәл ... де, ал ... с ... ... болсын.
Онда функциясының - дан - ға ... ... ... ... мына ... ... ... ... ... ... ... ... ... көруге болады, (3) шектің бар ... ... төрт ... күн бұрын бар болуымен тең күшті. Олай болса (3) - тің ... ... ... ... оң жағындағы барлық меншіксіз интегралдар бар деп ... ... және (3) ... интегралдар үшін де (1) меншіксіз ... үшін ... ... 2) ... ... ... ... үшін
ерекше нүкте.
3) ... ... ... ... және екі ... нүктесі бар
.
4) - нің қандай ... мына ... ... ... зерттелік:
. (4) ... ... нің ... ... ... ... ...
Егер де болса, онда болады. Бұдан
.
Сөйтіп, (4) ... ... ... ие, яғни ... ал ... жинақталмайды.
5) интегралы да ... ... 1) . ... астындағы функция - да реті - ге тең ақырсыз ... ... ... берілген интеграл жинақталады, себебі .
2) . Интеграл астындағы функция ... - ге тең ... ... ... (- да). ... ... интеграл жинақталады, себебі .
3) . Егер ... онда - да. ... ... ... ... ... интеграл ретінде бар болады. болғанда интеграл астындағы функция ... ... ... ... қолданып, мынадай жалпы жинақтылық ... ... - ... ... ... интегралы жинақталуы үшін, егер ... ... ... ... саны ... және ... мына теңсіздіктің орындалуы
қажет және жеткілікті.
Бұдан, ... ... ... ... ... жинақталса, онда ... да ... ... ... ... ... ... Сондықтан бұл жерде мынаған ерекше көңіл бөлу керек.
Егер ... ... ... да ... онда ... ... жинақталады деп атайды, ал ... ... ... ... ... деп ... Егер ... аралығында абсолют интеграл-данса, ал ... ... ... ... интег-ралданса, онда функциясы да сол аралығында ... ... ... - ... ... ... интегралы жинақталуы үшін айнымалысы қандай ... ... ... ... қажет және жеткілікті; соңғы ... ... ... ... ... ... 1) . Интеграл астындағы функция
үшін ... ... ... Мына ... бар ... ... ... өрнек - да реті - ге тең ... ... ... ( - ге ... Сондықтан берілген интеграл жинақталады.
2) . Интеграл ... ... үшін ... ... ... . ... ... функция реті - ге тең ... ... ... ... интеграл жинақталады.
3) . Бұл жерде - да. ... ... ... ... ... ... бас мәндері
Айталық, ... ... ... деп ... және ... ... тек бір ... нүкте - ге ие, сонымен бірге аралықтың әрбір ... ... ... Бұл ... ... интеграл мына теңдікпен анықталады
, ... ... бұл шек ... бойынша шекке көшуден тәуел-сіз бар болуы ... ... ... бұл шек жоқ ... Бірақ бұл өрнектің шегін ... ... ... ... Егер болғанда бұл шек бар ... онда оны ... Коши ... ... ... бас мәні деп ... және мына символмен белгілейді:
бұл жердегі - мына сөздің бас ... Ол ... ... ... береді. Бұл жағдайда интеграл бас мән ... бар ... Егер ... меншіксіз ретінде бар болса, онда ол, көрініп тұр, бас мән ... да бар ... ... керісі, жалпы айтқанда, дұрыс емес. Бірнеше мысалдар қарас-тыралық.
1) Интеграл ... ... жоқ, ... мына өрнек
анық бір шекке ие емес, егер мен бір - ... ... ... ұмтылса. Егер осы кезде мен - ке ═ деп ... ... онда ... ... ... ... іс жүзінде - ға тәуелді емес. ... ... бас мәні бар ... ... ... жұп ... шексіздікке ие, ал тақ болғанда меншіксіз ретінде мәні жоқ ... ... ... ... тақ ... тұрақты санға тең, яғни
санына тең. Бұл ... бас мән де ... тең, ... - ... Енді мына ... ... . Бұл интеграл жинақталмайтын интеграл. Ерекше нүкте теңдігінен ... яғни ... және - да. ... - да ... ... функция 1 - ретті шексіздікке айналады. ... ... да ... ... логарифм астындағы өрнек 1 - ге ұмтылады. ... көз ... үшін ... ... ... бол-ғаны. Сөйтіп, сайып келгенде
.
Мына төмендегі интегралдарды тап:
2392 (Д).
Табу.
2393 ... (Д). ... ... (Д). ... ... ... ... ИНТЕГРАЛДАРДЫҢ ПАРАМЕТРДЕН
ТӘУЕЛДІ ИНТЕГРАЛ ҰҒЫМЫ БОЛЫП КЕЛГЕН
ЖАҒДАЙЛАРЫ
3.1 Меншіксіз интеграл ... ... ... жағдайда
шекке көшу
Анықтама. Егер тәуелсіз айнымалы ақырлы не ақырсыз ... ал ... ... ... сол М жиынындағы - ның әрбір мәнінде екі аргумент пен - ның ... ... ... - ның ... болатын интеграл
(1) параметрден тәуелді интеграл деп ... ... - тің ... ... - ның М ... ... ... болғандықтан, бұдан былай функциясын ... ... деп ... ... бұл ... ... ... мыналарды анықтауымыз керек:
1) функциясының бар болу ... ... ... ... ... және оның ... үзіліссіздігін анықтау;
3) функциясының дифференциалын анықтау;
4) ... ... ... интеграл белгісі астында шекке көшу шартын ... Оны мына ... ... ... Егер ... ... ... анықталған және үзіліссіз болса, мына параметрден интеграл
(1) ... ... - ның ... ... ... Теореманың шарты бойынша функция жабық төртбұрышта үзіліссіз, ... ол ... сол ... ... үзіліссіз. Олай болса берілген кез келген саны үшін саны ... кез ... пар пен пар пен ... ... ... ... деген сөз.
Егер, дербес ... ... ) деп ... ... орындалуынан барлық үшін
теңсіздігі орындалатыны шығады.
Мұнан мына ... ... ... ... ... ... Егер параметр - ның ... бір ... деп ... ал ... ... ... үзі-ліссіз болса, (1) интегралдың ... мәні ... ... ... шегінің интегралының мәніне тең, яғни
(2)
Шынында ... ... ... ... болғандықтан, дәлелденген теорема бойынша (1) интеграл аралығында үзіліссіз ... ... Олай ... ... ... ... орындалады, демек, (2) формула әділ ... 1) ... - дан ... ... Оның - дағы ... табу ... (2) формуланы пайдалансақ,
2) - дағы ... ... табу ...
3.2 ... ... ... тәуелді болған жағдайда
дифференциалдау және интегралдау
Кейбір шарттарды пайдаланып, пааметрден ... ... ... табу ... ... ... ... көрсетелік.
Теорема. Егер мына шарттар орындалса:
1) функция жабық ... ...
2) ... - ның ... кез ... тағайындалған мәнінде функциясы бойынша ... ... ... ... ... - пен ... бойынша үзіліссіз болса.
(1) интегралының параметр ... ... ... ... ... ... бойынша туындысының интегралына тең, яғни ... - ның ... - ты және ... етіп ... ... 2) және 3) шарттарын ескеріп, ... ... ... ... ... ... мына ... келеміз:
Мұнан: ... (3) ... екі ... да - қа ... ... ... - да ... көшсек, дәлелдемек (2) формула шығады.
Ескертпе. Интеграл белгісі ... ... ... дифферен-циалдау жөніндегі (2) формуланы 1697 жылы ... ... ... ... ... ... бойынша дифференциалдау жолымен
интегралының мәнін есептеп табу керек.
Шешу. ... ... ... ... ауыстырмасын енгізсек, , түріне келеді де, ... ... онда және ... ... ... ... ... деп алып, интеграл белгісі астында параметр бойынша диф-ференциалдау жолымен
интегралын ... табу ... ... ... ... , , ... келеді де,
болады. Демек,
Ал ... және ... ... . Сонымен:
болып шықты.
Енді біз параметрі ... ... ... ... ... ... ... мақсатын көздейміз.
Егер функциясы ... ... ... деп ... пен ... бар бола-тынын;
2) мен функциялары сәйкесінше мен ... ... ... ... пен интегралданатын ... ... сол ... ... бар болады.
Енді мына сұрақты қою орынды: (2) және (3) ... ... ... өзара тең?
Бұл сұраққа мына теорема жауап береді.
Теорема. теңдік
(4) орындалуы үшін ... ... ... болуы жеткілікті.
Дәлелдеу. Көмекші айнымалы - ні болатындай етіп ... ... екі ... құрамыз:
(5)
(6)
Енді болатынын дәлелдесек, (4) ... да ... ... ... -тің ... ... (5) мен (6) ... бар болатыны шығады. Енді (5) мен (6) функцияларды ... ... (7) мен (8) ... оң ... өзара тең болып шықты. Ендеше . Онан (- ... ... ... онда . ... . ... , яғни (5) мен (6) ... оң жағындағы интегралдар өзара тең. Олай болса, дербес ... да, ... да (4) ... ... ... шектеріде параметрден тәуелді интегралдар
Енді параметрі бойынша интеграл астындағы ... ... ... ... ... ... интегралдау шектері а мен b - де сол ... ... яғни , ... ... ... ... біз
(1) түріндегі интегралдарды қарастырмақшымыз.
Негізгі мәселе: (1) интегралдың үзіліссіздігі мен ... ... ... ... Бұл мақсатта мына теореманы дәлелдейік.
Теорема 1. Егер ... ... ... ал ... мен үзіліссіз және төртбұрыш құрамынан шықпайтын болып, ... ... ... онда (1) ... ... - ның ... ... болады.
Дәлелдеу. деп аралығындағы кез келген нүктені ... - ге ... ... етіп ... мына бағаламаға көшелік:
(2)
Дәлелдемек теореманың шартына сәйкес мен ... ... ... кез ... саны үшін саны ... орындалысымен бірге
(3)
(4) теңсіздіктері орындалады.
Ал ... ... ... ... бойынша үшін
(5) теңсіздігі ... ... (3), (4), (5) ... ... (2) ... мына ... ...
яғни 1-теореманың әділдігі дәлелденді.
Теорема 2. Егер ... ... ... ... ... ... ... дербес туындысы бар және мен функциялары ... ... ... (1) ... ... ... ... болады да, мына формуламен анықталады:
. ... Егер деп ... - ның ... ... бір мәнін белгілесек, (1) интегралды былайша ... ... ... ... ... алдында дәлелденген теоре-маның шарттарын түгелдей ... ... ... ... бар да және ол
(8) шамасына тең.
интегралына орта мән ... ... ...
(9) ... Ал (9) ... - да ... көшсек,
, (10) ... ... ... да ... орта мәні туралы теореманы қолдансақ,
(11)
Демек, (7), (8), (10), (11) ... (6) ... ... ... Егер болса, онда - ті есепте.
Шешу.
Мысал. (3718б) ... - ті табу ...
IV. ... ... ... ... БОЛҒАН ЖАҒДАЙДА ОЛАРДЫ КЕЙБІР
ИНТЕГРАЛДАРДЫ ЕСЕПТЕУДЕ ҚОЛДАНЫЛУЫ
4.1 ... ... ... ... ... барлық , параметр -ның ... ... ... үшін ... ... ... ...
(1) бар деп жорыйық.
Онда меншіксіз интегралдың анықтамасына сәйкес:
(2) болады.
Екі ... х пен - ның ... ... облысы Е деп белгілейік.
Анықтама. Кейбір Е ... ... ... үшін кез ... ... санына сәйкес саны табылып,
(3) теңсіздігі орындалғанда
(4) ... ... (1) бір ... ... ... деп ... бір ... жинақталыстың анықтамасын мына меншікті ... үшін
(5) ... ... ... егер ... саны үшін саны ... шек
бар болса, (5) интеграл бір қалыпты жинақталатын деп аталады да, ... ... ... мәнінен басқа мәндерінде үзіліссіз болады.
Енді функциялық ... бір ... ... ... ... ... ... меншіксіз интегралдың бір қалыпты ... ... ... ... көшейік.
Жеткілікті белгі. (1) меншіксіз интеграл Е ... ( және ) ... ... үшін ... ... теңсіздігі орындалысымен бірге мына ... ... ... болуы жеткілікті.
4.2 Меншіксіз интеграл белгісінің астында ... ... Егер ... ... ... үзіліссіз, ал меншіксіз интеграл
(1) ... ... (1) ... бір қалыпты жинақталатын болғандықтан, берілген үшін саны ... ... ... ... - ты ... етіп аламыз.
Функция - тің жабық ... ... оның сол ... бір ... ... ... ... айырым
үшін мына бағалама шығады:
.
Демек, (2) функция ... ... Егер ... облысында анықталған, үзіліссіз болып, (1) интеграл кесіндісінде бір ... ... ... ... ... ... теореманың шарттары түгелімен орындалады. Сондықтан (2) фкнуция сегментінде ... ... ол ... шегі бар және ол шек (3) ... ... ... ... параметр бойынша интегралдау
және дифференциалдау
Теорема. Егер ... ... ... және ... ал ... ... ... бір қалыпты жинақталса,
(1) ... ... ... интегралмен қатар арасындағы байланысты пайдаланамыз. Бұл ... ... ... ... ... алынған сандар тізбегін алсақ,
(2) деп жазуға болатыны айқын.
Дәлелдемек ... ... ... (2) ... оң ... ... жалпы мүшесі
сегментінде үзіліссіз, сол себепті сол ... бір ... ... ... ... бұл қатар мүшелеп интегралданады, яғни:
(3)
Ал интегралдар
меншікті интегралдар, ... ... (3) пен ... айқындалады, дәлелдеу керегі де осы еді.
Теорема. Егер мына ... ... ... ... облысында анықталған және ... ... ... ... ... ... ... жинақталатын,
4) меншіксіз интеграл
сегментінде бір қалыпты жинақталатын ... ... Егер ... ... ... ...
болады. Функциялық
қатарын қарастырайық.
Функциялық (3) қатардың әрбір мүшесінің интегралдау ... мен ... ... ал ... ... функциялар 1) шартқа сәйкес үзіліссіз, 2) шартқа ... ... ... және 4) бойынша қатар
бір қалыпты жинақталатын болғандықтан, функциялық қатарларды мүшелеп ... ... ... ... келеміз, демек, (1) формула орынды.
4.4 ... ... ... ... ... ... ... төмендегі меншіксіз интегралдар-ды есептеуде жиі қолданылады.
I. (1) ... ... ( - ... оң сан) ауыстырмасын енгізсек, болады да, (1) интеграл
(2) ... ... (2) ... екі жағын да - қа көбейтіп алып, шыққан теңдікті ... ... ... ... ... табылған (3) мәнді параметр - ның функциясы
интегралына қолдансақ, деп ... ... ...
(4) болып шығатынын көреміз.
II. (5) ... онан да ...
(6) ... ) ... ... ... (6) ... параметр бойынша дифференциалдасақ, жинақталмайтын меншіксіз
интегралына ... (6)-ны ... ... ... ... ... дифференциалдамастан бұрын әуелі
(7) меншіксіз интегралын қарастырамыз.
Бұл (7) ... ... ... ... ... . ...
демек,
. ... бұл (8) ... үшін ... болады.
(8) мен (9) мәндерді біріктіріп, ақырында ... ... ... ... келетін (5) интегралдың мәні ... ... , ... интегралы.
Болуы мүмкін мына жағдайларды қарастыру керек.
1) функциясы барлық ... ... ... ... ... шек
бар және ақырлы болған жағдай. Функция үзіліссіз ... ... ... (13) ... оң ... ... ... , екінші интегралда ... ... (13) мына ... ... (14) ... оң жағындағы интегралдарға ... орта мәні ... ... ... төмендегі теңдіктерге келеміз:
(15)
(16)
(15) мен (16)-ны ... (14) ... - да ... ... ...
(17) болады.
Сонымен, 1) ... (12) ... мәні (17) ... ... , ... ... бар ... жағдай.
Бұл жағдайда:
(18)
Егер 1) жағдайдағыдай бірінші интегралда , екінші интегралда ... ... ... 2) ... (12) интегралдың мәні (19) формуламен анық-талатын болды.
3) функциясы ... ... ... ... болған жағдай.
Бұл жағдайда (12) интеграл
(20) формуласымен анықталады.
4.5 Эйлердің біртекті және ... ... ... ... Эйлердің 1 - текті интегралы немесе екі айнымалы мен - дың деп ... Егер мына ... ... ... ... облысында анықталған және үзіліссіз,
* үзіліссіз дербес ... ... ... интеграл
сегментінде жинақталатын,
4) меншіксіз интеграл
сегментінде бір қалыпты жинақталатын болса,
формуласы ... Егер ... ... ақырсыздыққа жинақталса,
(2)
болады. Функциялық
қатарын қарастырайық.
Функциялық (3) қатардың әрбір ... ... ... мен ... ... ал интеграл астындағы функциялар 1) шартқа ... ... 2) ... ... ... туындылар
бар және 4) бойынша ... ... ... ... ... қатарларды мүшелеп дифференциалдау жөніндегі ... ... ... ... (1) формула орынды.
Эйлердің бірінші текті интегралының ... ... ... ... ... ... (1) интеграл екі интегралдың қосындысы ... ... ... ... ... , ... ... бірге
болуы себепті, интеграл
болғанда жинақталады.
2) Бета - функция ... ... мен ... сим-метриялы.
Шынында, егер ауыстырмасын енгізсек, онда , және . ... ... ... ... ... кез келген нүктесінде үзіліссіз.
* Функция үшін келтіру формуласы деп ... ... саны ... ... ... Егер ауыстырмасын ... ... ... ... бөліктеп интегралдау жолымен есептесек,
(3) болады.
Осы (3) теңдіктің оң ... ... (1) ... салыстырсақ,
екенін көреміз. Демек,
(4)
Соңғы (4) теңдіктегі - ды ... сан - мен ... ... ... Ал ... (5) мен (6) ... ... үшін (2) келтіру формуласының әділдігі шығады.
Эйлердің бірінші текті интегралы (1)-ні ... ... де ... болады. Ол үшін ... ... ... , ... да, (1) ... мына ... ... (7)
Егер (7) ... деп ... ... Ал екені белгілі. ... . ... (8) ... деп ... болады.
Анықтама.
(9) түріндегі интеграл Эйлердің ... ... ... немесе деп аталады.
функцияның қасиеттері:
А) ол барлық ... ... ... үшін ... ... ... үшін мынадай келтіру формуласы орындалады.
(10)
Дәлелдеу. Егер (9) ... - ның ... - ді ... ... ... Сонан соң деп ... (11) ... ... ... келеміз.
Егер (- натурал сан) деп алсақ,
болар ... ... ... ... ... Эйлер интегралдары мен - нің арасында мынадай ... ... (9) ... ( ... сан) ... ...
түріне келеді. Соңғы теңдікте - ні мен, -ні -мен ... ... бұл ... екі ... да - ге ... шыққан теңдікті бойынша интегралдағанда
(14) ... Ал ... ... ... (14) ... мына түрге келеді:
,
яғни (12) формула әділ.
Д) Гамма - функция үшін ... - ... ... ... егер (12) ... деп алып, (8) формуланы және ... ...
, яғни ... ... деп ... ... келеміз.
4.6 Эйлер интегралдарының ... ... ... , ... ... деп ... енгізсек, онда
2.
дербес жағдайында: .
3. (3843 - ... (3847 - ... ... ... ... ... тақырыбы баяндалған. Меншіксіз интегралдардың екі типіне, яғни ... ... және ... ... ... ... ... жасалған. Олардың жинақты не жинақсыз екенін тікелей, яғни ... ... ... анықтауға болатындығын көрсеткен. Ал, егер ... ... ... ... онда жинақтылық белгілерінің көмегімен анықтаған. Жинақтылық белгілері әртүрлі, яғни ... ... және ... Дирихле белгілерінің көмегімен меншіксіз интегралдардың жинақты не ... ... ... интегралдарды зерттеудің қиындығы, осында. ... оны ... ... роль ... ... ... жиі ... Бұндай есептерді тікілей шығару қиын ... ... ... жағдайларда ол есептерді ... ... амал ... ... ... амалдарды, яғни шекті, туындыны және ... ... ... ... Бұл көрсетілген амалды орындауды ... ... ... жұмыста дәл осы мәселе қарастырылған. Оны есептер шығару арқылы көз ... ... ... ... Қ., ... Р. ... және ... есептеулер.- Алматы: Мектеп, 1985.
* Темірғалиев Н. Математикалық анализ.- ... ... ... 1987, ... 1991., ... ... Әубакір С.Б. Жоғары математика.- Алматы: Эверо, 2004.
* Фихтенгольц Г.М. Курс ... ... ... М.: ... ... ... В.И. Лекций по дополнительным главам математического анализа.- М.: ... ... ... Н.Я., Балк М.Б., ... В.А. ... ... Мощность. Метрика. Интеграл.- М.: ... ... ... Г.И., ... В.А., ... В.Н. Лекций по матема-тическому анализу.- М.: Наука, 1998.
* Карташев А.П., ... Б.Л. ... ... М.: ... 1984.
* Очан Ю.С. Сборник задач по математическому ... М.: ... ... ... Г.Н. Сборник задач по ... ... ... М.: ... 1985.
* Жәутіков О.А. Математикалық анализ курсы.- Алматы, 1999.
* Натансон И.Г. Теория функций ... ... ... Т.Б. ... ... ... Алматы, 1988.
* Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы.- ... ... 1970.- ... ... Г.М. Основы математического анализа.- Т.II, 1956.
* Фролов Н.А. Курс математикеского анализа.- Ч.1, ... ... Н.С. ... и ... ... Т.1, ... ... И.М. и Маллер М.З. Математический ... ... ... П.П. ... ... 1972.
* Гюнкер Н.М. и Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей матема-тике.-Ч.2, ... ... Б.П. ... ... и ... по ... ... 1972.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 23 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Меншіксіз интегралдар туралы15 бет
Кванттық химияның даму тарихы. кванттық химиядағы есептеу әдістері. нанотехнология7 бет
Меншіксіз интегралдар30 бет
Көркем әдебиеттің табиғаты, ерекшелігі және мәндері18 бет
Көркем әдебиеттің табиғаты, ерекшелігі және мәндері жайлы9 бет
Көркем әдебиеттің табиғаты, ерекшелігі және мәндері. Әдебиет теориясындағы әдеби шығарма, орта және автор мәселелері. Әдеби туынды және оның мазмұны мен құрылымы7 бет
Көркем әдебиеттің табиғаты, ерекшелігі және мәндері.Әдебиет теориясындағы әдеби шығарма, орта және автор мәселелері. Әдеби туынды және оның мазмұны мен құрылымы6 бет
Микрогетерогенді жүйелердің практикалық мәндері8 бет
Өндірістік объектілерге арналған өрт қатерінің нормативтік мәндері27 бет
"Сегнетоэлектриктер және пьезоэлектриктер туралы негізгі мағлұматтар."4 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь