Меншіксіз интегралдар және олардың бас мәндері

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

I. Бірінші текті меншіксіз интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.1 Бірінші текті меншіксіз интеграл ұғымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Меншіксіз интеграл мен қатар арасындағы сәйкестіктер ... ... ...
1.3 Меншіксіз интегралдың жинақтылық белгілері ... ... ... ... ... ... ... .
1.4 Абель және Дирихле интегралдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

II. Екінші текті меншіксіз интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ...
2.1 Екінші текті меншіксіз интеграл ұғымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2 Интегралдық есептеудің негізгі формуласын қолдану ... ... ... ... .
2.3 Меншіксіз интегралдың бар болуының шарттары мен
белгілері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.4 Меншіксіз интегралдардың бас мәндері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

III.Меншіксіз интегралдардың параметрден тәуелді
болып келген жғадайлары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.1Меншіксіз интеграл параметрден тәуелді болған жағдайда
шекке көшу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.2 Меншіксіз интеграл параметрден тәуелді болған жағдайда
дифференциалдау және интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3.3 Интегралдау шектеріде параметрден тәуелді интегралдар ... ... ...

IV.Меншіксіз интегралдар параметрден тәуелді болған
жағдайда оларды кейбір интегралдарды есептеуде
қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
4.1 Меншіксіз интегралдаршектеріде параметрден тәуелді
болып келге жағдайлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
4.2 Меншіксіз интеграл белгісінің астында шекке көшу ... ... ... ... ...
4.3 Меншіксіз интегралды параметр бойынша интегралдау және
дифференциалдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4.4 Кейбір меншіксіз интегралдарды есептеуге қолданылуы ... ... ... .
4.5 Эйлердің біртекті және екітекті интегралдары ... ... ... ... ... ... ... ...
4.6 Эйлер интегралдарының көмегімен кейбір интегралдарды
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4

Өзектілігі.Әдеттегі анықталған интегралдан өзгеше интегралдар да бар. Олар меншіксіз интегралдар деп аталады. меншіксіз интегралдар біртекті және екітекті болып, екі түрлі болады.
Біртекті меншіксіз интегралдар интегралдау шектері ақырсыз болып келген интегралдар, ал екітекті меншіксіз интегралдар интеграл астындағы функция интегралдау аралығының шеттерінде немесе оның ішінде шенелмеген болып келген интегралдар.
Жаңашылдығы.Бұндай интегралдардың мәндерін табу кейде мүмкін, кейде мүмкін емес болады. Егер мәні табылып, ол мән тиянақ-ты санға тең болса, онда меншіксіз интегралдың мәні сол мәнге тең бо-лады да, онда меншіксіз интегралды жинақталады деп айтамыз. Көпте-ген жағдайларда меншіксіз интегралдың мәнін табу мүмкін болмайды. Бұл жағдайда меншіксіз интегралдарды жинақталу белгісі арқылы жинақтылыққа зерттейді. Әр түрлі белгілер бар: салыстыру белгісі, Абель және Дирихле белгілері.
Проблемалық маңыздылығы.Көп өрнектерде параметр қатысқан болады, соның ішінде интегралдар да параметр қатысқан болады. Ол интегралдардан тікелей шек табу және интеграл табу өте қиын болады.
Мақсаты.Осындай жағдайларда ол өрнектерден алдымен параметр бойынша шекке көшсек, параметр бойынша туынды тапсақ немесе параметр бойынша интеграл тауып алып, кейін көрсетілген амалды орындасақ, онда әлдеқайда жеңіл болады.
Бұл жұмыс III және IV-тараулардан және қорытындыдан тұрады. III-тарауда үш параграф, ал IV-тарауда төрт параграф бар. Соңында әдебиеттер тізімі келтірілген.
Міндеті.Әрбір параграфтан кейін есептер шығарылып көрсетілген. IV- тараудың соңғы 4-ші параграфта тек есептер шығарылған.
Жұмыс төрт тараудан, кіріспеден және қорытындыдан тұрады. Соңында пайдаланған әдебиеттер тізімі келтірілген.

1. ҚабдықайыровҚ., Еселбаева Р. Дифференциалдық және интеграл-дық есептеулер.- Алматы: Мектеп, 1985.
2. Темірғалиев Н. Математикалық анализ.- Алматы:Мектеп.- 1-том, 1987, 2-том, 1991., 3-том,1997.
3. Әубакір С.Б. Жоғары математика.-Алматы: Эверо, 2004.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального интегрального исчис-ления.- М.: Наука, 1970.
5. Соболев В.И. Лекций по дополнительным главам математического анализа.- М.: Наука, 1968.
6. ВиленкинН.Я., БалкМ.Б., Петров В.А. Математический анализ. Мощность. Метрика. Интеграл.- М.:Просвещение, 1980.
7. АрхиновГ.И., СодовничийВ.А., Чубариков В.Н. Лекций по матема-тическому анализу.- М.: Наука, 1998.
8. КарташевА.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ.- М.: Наука, 1984.
9. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу.- М.: Наука, 1981.
10. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математическому анализа.- М.: Наука, 1985.
11. Жәутіков О.А. Математикалық анализ курсы.- Алматы, 1999.
12. Натансон И.Г. Теория функций вещественной переменной.-1989.
13. Досымов Т.Б. Функционалдық анализ негіздері.- Алматы, 1988.
14. Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы.- Алматы: Мектеп, 1970.-Т.1-2.
15. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.- Т.II, 1956.
16. ФроловН.А. Курс математикеского анализа.- Ч.1, 1964.
17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- Т.1, 1971.
18. Уваренков И.М. и МаллерМ.З. Математический анализ.-Т.1, 1966.
19. КоровкинП.П. Математический анализ.-Т.1, 1972.
20. Гюнкер Н.М. и КузьминР.О. Сборник задач по высшей матема-тике.-Ч.2, 1949.
21. ДемидовичБ.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.- 1972.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 45 бет
Таңдаулыға:

ПАПАЛЛЕЛ ИНТЕГРАЛ

МАЗМҰНЫ

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

I. Бірінші текті меншіксіз интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.1 Бірінші текті меншіксіз интеграл ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .
1.2 Меншіксіз интеграл мен қатар арасындағы сәйкестіктер ... ... ...
1.3 Меншіксіз интегралдың жинақтылық белгілері ... ... ... ... ... ... .. ...
1.4 Абель және Дирихле интегралдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

II . Екінші текті меншіксіз интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ...
2.1 Екінші текті меншіксіз интеграл ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.2 Интегралдық есептеудің негізгі формуласын қолдану ... ... ... ... .
2.3 Меншіксіз интегралдың бар болуының шарттары мен
белгілері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.4 Меншіксіз интегралдардың бас мәндері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

III . Меншіксіз интегралдардың параметрден тәуелді
болып келген жғадайлары ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ..
3.1 Меншіксіз интеграл параметрден тәуелді болған жағдайда
шекке көшу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3.2 Меншіксіз интеграл параметрден тәуелді болған жағдайда
дифференциалдау және интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3.3 Интегралдау шектеріде параметрден тәуелді интегралдар ... ... ...

IV. Меншіксіз интегралдар параметрден тәуелді болған
жағдайда оларды кейбір интегралдарды есептеуде
қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
4.1 Меншіксіз интегралдар шектеріде параметрден тәуелді
болып келге жағдайлар ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4.2 Меншіксіз интеграл белгісінің астында шекке көшу ... ... ... ... ...
4.3 Меншіксіз интегралды параметр бойынша интегралдау және
дифференциалдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
4.4 Кейбір меншіксіз интегралдарды есептеуге қолданылуы ... ... ... .
4.5 Эйлердің біртекті және екітекті интегралдары ... ... ... ... ... ... ... ... .
4.6 Эйлер интегралдарының көмегімен кейбір интегралдарды
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4

5
5
13
14
17

23
23
26

27
32

38

38

40
44

47

47
48

49
51
54

59

62
63

КІРІСПЕ

Өзектілігі. Әдеттегі анықталған интегралдан өзгеше интегралдар да бар. Олар меншіксіз интегралдар деп аталады. меншіксіз интегралдар біртекті және екітекті болып, екі түрлі болады.
Біртекті меншіксіз интегралдар интегралдау шектері ақырсыз болып келген интегралдар, ал екітекті меншіксіз интегралдар интеграл астындағы функция интегралдау аралығының шеттерінде немесе оның ішінде шенелмеген болып келген интегралдар.
Жаңашылдығы. Бұндай интегралдардың мәндерін табу кейде мүмкін, кейде мүмкін емес болады. Егер мәні табылып, ол мән тиянақ-ты санға тең болса, онда меншіксіз интегралдың мәні сол мәнге тең бо-лады да, онда меншіксіз интегралды жинақталады деп айтамыз. Көпте-ген жағдайларда меншіксіз интегралдың мәнін табу мүмкін болмайды. Бұл жағдайда меншіксіз интегралдарды жинақталу белгісі арқылы жинақтылыққа зерттейді. Әр түрлі белгілер бар: салыстыру белгісі, Абель және Дирихле белгілері.
Проблемалық маңыздылығы. Көп өрнектерде параметр қатысқан болады, соның ішінде интегралдар да параметр қатысқан болады. Ол интегралдардан тікелей шек табу және интеграл табу өте қиын болады.
Мақсаты. Осындай жағдайларда ол өрнектерден алдымен параметр бойынша шекке көшсек, параметр бойынша туынды тапсақ немесе параметр бойынша интеграл тауып алып, кейін көрсетілген амалды орындасақ, онда әлдеқайда жеңіл болады.
Бұл жұмыс III және IV-тараулардан және қорытындыдан тұрады. III-тарауда үш параграф, ал IV-тарауда төрт параграф бар. Соңында әдебиеттер тізімі келтірілген.
Міндеті. Әрбір параграфтан кейін есептер шығарылып көрсетілген. IV- тараудың соңғы 4-ші параграфта тек есептер шығарылған.
Жұмыс төрт тараудан, кіріспеден және қорытындыдан тұрады. Соңында пайдаланған әдебиеттер тізімі келтірілген.

I. БІРІНШІ ТЕКТІ МЕНШІКСІЗ ИНТЕГРАЛДАР

1.1 Бірінші текті меншіксіз интеграл ұғымы

Біз осы уақытқа дейін түріндегі интеграл ұғымын қарас-тырып келдік. Бірақ бұл интегралды қарастырғандла мынадай екі шарттың орындалуын талап еттік. Олар:
1. аралығы ақырлы аралық болсын.
2. функциясы сол аралығында шенелген болсын.
Біз бұл I тарауда жоғарыдағы екі шарттың бірінші шарты сақталмаған жағдайды қарастырамыз.
Айталық функциясы аралығында анықталған болсын, яғни үшін анықталған болсын және ол аралықтың кез келген ақырлы бөлігі аралығында интегралданатын болсын. Бұл деген сөз
интегралы болғанда мағынаға ие деген сөз.
Анықтама. интегралының - дағы шегі функция-сының - дан ке дейін алынған интегралы деп атайды және оны мына символмен белгілейді:
. (1)
Егер бұл шек ақырлы болса, онда (1) интеграл жинақталады деп аталады ал функциясын ақырсыз аралығында интеграл-данады деп атайды. Егер де (1) шек ақырсыз немесе мүлде жоқ болса, онда (1) интеграл жинақталмайды деп аталады.
интегралы бұрын қарастырған. интегралынан ажы-ратып айту үшін бірінші текті меншіксіз интеграл деп атайды, ал интегралын меншікті интеграл немесе анықталған интеграл деп атайды.
Анықтама.
(1) түріндегі интеграл Эйлердің 1 - текті интегралы немесе екі айнымалы мен - дың Бета - функциясы деп аталады.
Эйлердің бірінші текті интегралының қасиеттері:
1) функциясының жинақталыс облысы болады. Шынында, (1) интеграл екі интегралдың қосындысы түрінде былай өрнектеледі:
.
Шек
.
Сондықтан интеграл , болғанда жинақталады.
Сонымен бірге
болуы себепті, интеграл

болғанда жинақталады.
2) Бета - функция өзінің аргументтері мен бойынша сим-метриялы.
Шынында, егер ауыстырмасын енгізсек, онда , және . Сонда:

3) функция өзінің жинақталу облысының кез келген нүктесінде үзіліссіз.
4) Функция үшін келтіру формуласы деп аталатын натурал саны үшін
(2)
формуласы орынды.
Дәлелдеу. Егер ауыстырмасын енгізіп, сонан кейін интегралын бөліктеп интегралдау жолымен есептесек,

(3)
болады.
Осы (3) теңдіктің оң жағындағы интегралды (1) интегралмен салыстырсақ,
екенін көреміз. Демек,
(4)
Соңғы (4) теңдіктегі - ды натурал сан - мен ауыстырсақ,
(5) формуласына келеміз. Ал
(6)
Ендеше (5) мен (6) теңдіктерден функциясы үшін (2) келтіру формуласының әділдігі шығады.
Эйлердің бірінші текті интегралы (1)-ні екінші түрде де жазуға болады. Ол үшін ауыстырмасын енгіземіз. Сонда , болады да, (1) интеграл мына түрге келеді:
. (7)
Егер (7) формулада деп алсақ,
болып шығады. Ал екені белгілі. Демек,
, . (8)
Егер (8) формулада деп алсақ, болады.

Анықтама.
(9) түріндегі интеграл Эйлердің екінші текті интегралы немесе Гамма - функция деп аталады.
функцияның қасиеттері:
А) ол барлық мәндерінде жинақталады.
Б) барлық үшін үзіліссіз функция.
В) функциясы үшін мынадай келтіру формуласы орындалады.
(10)
Дәлелдеу. Егер (9) интегралдағы - ның орнына - ді алсақ,
(11) болады. Сонан соң деп белгілеп, (11) интегралды бөліктеп интегралдасақ,
теңдігіне келеміз.
Егер (- натурал сан) деп алсақ,

болар еді.
Ал екенін ескерсек, формуласы шыға-ды.
2) Эйлер интегралдары мен - нің арасында мынадай байланыс бар:
(12)
Дәлелдеу. (9) интегралда ( нақты сан) ауыстырмасын енгізсек,

түріне келеді. Соңғы теңдікте - ні мен, -ні -мен ауыстырсақ,

немесе
(13) болады. бұл теңдіктің екі жағын да - ге көбейтіп, шыққан теңдікті бойынша интегралдағанда
(14) болады. Ал

((7) формула бойынша).
Демек, (14) теңдік мына түрге келеді:
,
яғни (12) формула әділ.
Д) Гамма - функция үшін Эйлер - Гаусс формуласы
(15) орындалады.
Е) егер (12) формулада деп алып, (8) формуланы және екенін ескерсек,
, яғни толықтыру формуласы деп аталатын
(16) формуласына келеміз.
Мысалдар. 1. функциясы кез келген ақырлы аралығында интегралданады, сонымен бірге мынаған ие боламыз
.
Бұл интеграл үшін - да ақырлы шек бар. Онда 0 - ден - ке дейін интеграл жинақталады және оның мәні
.
2. (2) меншіксіз интегралы - нің қандай мәндерінде бар болады, соны зерттелік.
Айталық болсын. Онда
.

Егер болса, онда және - да бұның шегі - ке тең болады.
Сонымен (2) интеграл болғанда жинақталады да, мәні - ге тең болады, ал болғанда жинақталмайды.
(1) - ге ұқсас функциясының - тен - ға дейін алынған интегралы да анықталады, яғни:
(3) және функциясының - тен - ке дейін алынған интегралы да анықталады, яғни:
.
Соңғы анықталаған интегралдар да меншіксіз интегралдар деп аталады.
интеграл жағдайында кез келген -ні алып, былай жазуға болады
.
Бұл теңдеудің сол жағындағы интегралдың , болғанда да бар болуы (1) мен (3) шектердің күн бұрын бар болуымен, яғни (1) мен (3) интегралдардың бар болуымен тең күшті. Сонымен, - тен - ке дейінгі интегралды мынадай теңдікпен анықтауға болады
.
Мысалдар.

1. .
2. .
Сөйтіп, біз жоғарыда меншіксіз интегралдардың мәнін есептеу үшін алдымен оның ақырлы аралық үшін алғашқы функциясын тауып алып, кейін шекке көшу амалын қолдандық. Олай болса осы екі жағдайды біріктіріп жіберуге болады.
Айталық, мысалы, функциясы аралығында анықталған және аралығының әрбір ақырлы аралығында интеграл-данатын болсын. Егер функциясы үшін бүкіл аралығында алғашқы функция бар болса, онда интегралдық есептеудің негізгі формуласы былай жазуға болады
.
Бұдан көрініп тұр, (1) меншіксіз интеграл бар болады сонда, тек сонда, егер мына ақырлы шек бар болса
,
және
.
Дәл осы сияқты

бұл жерде арқылы шегін түсіну керек.
Мысалдар. 1. меншщіксіз интегралын есептеу керек.

Шешу.

2.
3. гиперболасының тармағы осінен айналады. Сонда пайда болған айналу денесінің көлемі мен бетін есепте.
Шешу.

.
Бұдан - да , яғни көлем ақырлы санға тең де, беті шексізге тең.

1.2 Меншіксіз интеграл мен қатар арасындағы сәйкестіктер

Біз бұл жерде тек (1) түріндегі меншіксіз интегралды қарастырумен шектелеміз, себебі бұл (1) үшін орынды қасиеттер (2) мен (3) үшін де орынды бола береді. Бұл жерде функциясы барлық уақытта мен шектері арасында меншікті түрде интегралданады деп ұйғарамыз.
Сонымен меншіксіз интегралы мен қатарының арасында өте көп ұқсастық бар.
Егер бойынша қосындылау процесін бойынша интегралдау процесімен алмастырсақ, онда мынадай ұқсастықтар шығады:
1. - қатардың жалпы мүшесі
- интеграл астындағы функция
2. - қатардың дербес қосындысы
- меншікті интеграл
3. - қатардың қосындысы (дербес қосындының шегі ретінде)
- меншіксіз интеграл (алдыңғы интегралдың - дағы шегі
ретінде).
4. - қатардың қалдығы
- интеграл.
Қатарлар туралы теоремаларға ұқсас меншіксіз интегралдар туралы мына теоремаларды келтіреміз.
. Егер интегралы жинақталса, онда () интег-ралы да жинақталады, және керісінше. Сонда
.
. интегралы жинақты болған жағдайда мынаған келеміз:
.
. интегралының жинақтылығынан интегралының жинақтылығы шығады, сонымен бірге
.
. Егер және интегралдарының екеуі де жинақты болса, онда интегралы да жинақты болады және
.

1.3 Меншіксіз интегралдың жинақтылық белгілері

Егер функциясы оң (теріс емес) болса, онда
(4) интегралы бірсарынды өспелі функцияны береді, яғни айнымалы - ның бірсарынды функциясын береді. Оның - да ақырлы шегі бар болуы бірсарынлды функцияның шегі бар болуы туралы теоремадан белгілі, яғни:
(1) меншіксіз интегралдың функциясы оң болған жағдайда жинақты болуы үшін (4) интеграл А өскенде жоғарыдан шенелген болуы, яғни

болуы қажет және жеткілікті.
Егер де бұл шарт орындалмаса, онда (1) интегралдың мәні - ке тең.
Осы тұжырымға мына теорема (салыстыру теоремасы) негізделген.
Теорема 1. Егер ең болмағанда болғанда мына теңсіздік
орынды болса, онда интегралының жинақтылығынан интегралының жинақтылығы келіп шығады, немесе, интегралының жинақсыздығынан интегралының жинақсыздығы келіп шығады.
Бұл теореманы дәлелдеу үшін қатарлардың жинақтылығының салыстыру теоремасын сөзбе - сөз көшірсе болғаны.
Теорема 2. Егер мына шек
бар болса, онда болғанда интегралының жинақтылығынан интегралының жинақтылығы келіп шығады, ал болғанда интегралының жинақсыздығынан интегралының жинақ-сыздығы келіп шығады.
Сөйтіп, болғанда екі интеграл не бір уақытта жинақталады, не бір уақытта жинақталмайды.
Бұл теореманың да дәлелдемесі қатардағы теореманың дәлелдемесіне ұқсас.
Салыстыру үшін тиянақты функцияны таңдап алып, интег-ралының жинақтылығын немесе жинақсыздығын анықтайтын дербес белгілер табуға болады. Практикада функциясымен салыстыру жиі қолданылады, яғни болғанда бұл функция интегралданады ( - дан - ке дейін алынған интеграл үшін), ал болғанда интегралданбайды.
Айталық - тің жеткілікті үлкен мәндері үшін функциясы мынадай түрге ие болсын
.
Онда: 1) егер және болса, онда жинақталады,
2) егер де және болса, онда интеграл жинақталмайды.
Бұл теореманы дәлелдеу үшін 1-теореманы пайдалану керек; салыс-тыру функциясы функциясы болып табылады.
Егер - да функциясы реті - ге тең ақырсыз кішкене болып табылса ( пен салыстырғанда), онда итеграл - ның мәніне байланысты жинақты немесе жинақсыз болады, яғни болғанда жинақты, ал болғанда жинақсыз болады.
Бұл жерде 2 -теоремаға жүгіну керек. функциясының ролін функциясы атқарады.
Мысалдар. 1.
Бұл интегралдардағы интеграл астындағы функциялар ақырсыз кіш-кене функциялар реттері сәйкесінше және 2 тең. Сондықтан бірінші интеграл жинақталмайды, ал екінші интеграл жинақталады.
Енді меншіксіз интегралдың жинақтылығынан жалпы жағдайда қарастырамыз.
меншіксіз интегралдың бар болуы туралы мәселе, (1)-дің анықтамасына сәйкес, - да мына функцияның
(4) шегінің ақырлы болуына келіп тіреледі.
Осы функцияға Больцано-Коши белгісін қолданып, меншіксіз интегралдың бар болуын шартын мына түрде айтуға болады:
меншщіксіз интегралының жинақталуы үшін кез келген үшін сондай саны табылып, және болғанда мына теңсіздіктің орындалуы
қажет және жеткілікті.
Бұл критерий оңай ғана мына тұжырымды алып келеді:
Егер интеграл жинақталса, онда интегралы одан да бетер жинақталады.
Шынында, жоғарыдағы критерийді интегралына қолданып және оның жинақтылығын ескеріп, мынаған келеміз: кез келген үшін саны табылып, тек болғанда болады. Мынадай болатыны анық (белгілі)
.
Олай болса . Бұдан келіп шығады интегралының жинақтылығы.
Мынаны ескеру керек: интегралының жинақталуынан, жалпы жағдайда, интегралының жинақтылығы шықпайды. Егер интегралымен қатар интегралы да жинақталатын болса, онда интегралы абсолют жинақталатын болса, онда интегралы абсолют жинақталатын деп аталады, ал функциясын абсолют интегралданатын функция деп атайды ( аралығында). Абсолют емес жинақталатын интегралға мысалды сәл кейін келтіреміз.
Таңбасы айнымалы функциясы үшін жоғарыдағы белгілер қолданылмайды. Бірақ функциясы үшін ол белгілерді қолдануға болады.
Бұдан келесі тұжырым келіп шығады және бұл жиі пайдалы болады:
Егер функциясы аралығында абсолют интегралданса,ал функциясы шенелген болса, онда олардың көбейтіндісі те аралығында абсолют интегралданатын болады.
Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін мына теңсіздікке жүгінсек жеткілікті:

Мысал. интегралы берілген. Бұл жерде функциясы (абсолют) интегралданады, ал функциясы, көрініп тұр, шенелген. Бұдан келіп шығады берілген интеграл абсолют жинақ-талады.

1.4 Абель және Дирихле интегралдары

Біз бұл жерде басқа типтегі белгілерді келтіреміз. Бұл белгілер орта мән туралы теоремалардың екінші теоремасына негізделген. Олар шексіз қатарлардың жинақтылығының Абель және Дирихле белгілеріне ұқсас.
Абель белгісі. Айталық және функциялары аралы-ғында анықталған, сонымен бірге
1) функциясы ол аралықта интегралданады, демек,
(1) интеграл жинақталады.
2) функциясы бірсарынды және шенелген, яғни:
, онда
(5)
жинақталады.
Дәлелдеу. Орта мән туралы екінші теорема бойынша кез келген үшін мынау болады
, (6)
бұндағы . 1) шарт бойынша, яғни (1) интегралға қойылған шарт бойынша кез келген үшін сондай табылып, болғанда мынау болады

Ал енді 2) шарт бойынша болғанда мынау болады
.
Бұдан (5) интегралдың жинақтылығы келіп шығады.
Дирихле белгісі. Айталық
1) функциясы кез келген ақырлы аралығында интегралданады және (4) интеграл шенелген болатын болсын
,
2) функциясы - да бірсарынды нольге ұмтылатын болсын, яғни:
,
онда (5) интеграл жинақталады.
Дәлелдеу. Бұл белгінің дәлелдемесі жоғарыдағыдай жүргізіледі, яғни (6) теңдіктен келіп шығады. Бірақ бұл жерде мен көбейткіштері жеткілікті аз болуы мүмкін, ал екінші көбейткіштер санымен шенелген.
Мысал. және инт егралдары болғанда жинақталады.
Дирихле белгісін пайдаланып, біз мынаған келеміз: немесе деп ұйғарамыз, ал . Бұл жерде 1) шарттар орындалып тұр, яғни және , ал функция - да нольге ұмтылады.
Бұдан болған дербес жағдайда мына интегралдың жинақтылығы келіп шығады
.
Біз бұл жерде деп алуымызға болады, өйткені интеграл астындағы функция да ақырлы шекке ие. Мынаны көрсетуге болады: жоғарыдағы интеграл абсолют емес жинақталады, яғни мына интеграл
жинақталмайды. Шынында, егер де бұл интеграл жинақталатын болса, онда салысьыру теоремасы бойынша

интеграл да жинақталады, өйткені . Басқаша айтқанда
интегралы да жинақталады. Бұл соңғы интегралға жинақтылығы алдынан белгілі мына интегралды
қоссақ, онда мынадай қорытындыға келеміз:
интегралы да жинақты болған болар еді. Бірақ олай емес, яғни интегралы жинақсыз.
Мына меншіксіз интегралдарды есепте.
2342 (Д).
Есептеу.

бұл жерде ерекше нүкте =

2343 (Д).

Есептеу.

2344 (Д).
Есептеу.

2357 (Д). Мына шектерді тап:

А)

Б)

В)

Г)

II. ЕКІНШІ ТЕКТІ МЕНШІКСІЗ ИНТЕГРАЛДАР

2.1 Екінші текті меншіксіз интеграл ұғымы

Бұл жерде ақырлы аралығында берілген функциясын қарастырамыз, бірақ бұл аралықта шенелмеген. Анығырақ айтқанда функциясы кез келген аралығында шенелген және интегралданады, бірақ әрбір аралығында шенелмеген, яғни нүктесінің сол жағында шенелмеген. Бұл жағдайда нүктесі функциясының ерекше нүктесі деген атқа ие.
Анықтама. интегралының дағы шегі функция-сының - дан - ға дейін алынған меншіксіз интегралы деп аталады және оны былай белгілейді:
. (1)
Егер бұл шек ақырлы болған жағдайда (1) интеграл жинақталады деп айтылады, ал функциясын аралығында интегралданады деп атайды. Егер де (1) шек ақырсыз болса немесе мүлде жоқ болса, онда (1) интеграл жинақталмайды деп аталады.
Мысал. 1) функциясы кез келген аралығында шенелген және интегралданады, сонымен бірге
.
нүктесінде функциясы шексіздікке айналады. Бұл деген сөз - да функциясы шексіздікке ұмтылады. Көрініп тұр кез келген аралығында функциясы шенелмеген, яғни нүктесі функциясының ерекше нүктесі болып табылады. Практикада осындай текті ерекше нүктелермен жұмыс істеуге тура келеді.
Сөйтіп, жоғарыдағы есептелген интеграл - да шегіне ұмтылады. Онда
.
Айталық енді функциясы кез келген аралығында шенелген және интегралданатын болсын, бірақ әрбір аралығында функциясы шенелмеген болып табылады, яғни нүктесінің оң жағында функциясы шенелмеген. Демек, нүктесі функциясының ерекше нүктесі болады.
Анықтама. интегралының - дағы шегі функция-сының -дан - ға дейін алынған меншіксіз интегралы деп аталады және ол мына теңдікпен анықталады
(2)
Жалпы жағдайда аралығында саны ақырлы ерекше нүктелер болуы мүмкін. Бұл нүктелерге жақындағанда функциясы шенелмеген. Бірақ ерекше нүкте жоқ аралықтарда функциясы шенелген және интегралданады.
Айталық, анығырақ және қарапайым болу үшін, бұндай нүктелер үшеу болсын. Олардың екеуі мен шекараларымен дәл келсін де, ал үшщіншісі с олардың арасында болсын.
Онда функциясының - дан - ға дейін алынған меншіксіз интегралы мына теңдікпен анықталады
. (3)
аралықтарының әрқайсысынан сәйкес нүктеден алып, мынаған келеміз:

.
Оңай көруге болады, (3) шектің бар болуы жоғарыдағы төрт интегралдың күн бұрын бар болуымен тең күшті. Олай болса (3) - тің анықталуын мынамен алмастыруға болады:
бірақ оң жағындағы барлық меншіксіз интегралдар бар деп ұйғару керек.
(2) және (3) меншіксіз интегралдар үшін де (1) меншіксіз интеграл үшін терминдер сақталады.
Мысалдар. 2) берілген. Интеграл астындағы функция үшін
ерекше нүкте.

3) берілген. Интеграл астындағы функцияның және екі ерекше нүктесі бар

.

4) - нің қандай мәндерінде мына меншіксіз интеграл жинақ-талатынын зерттелік:
. (4) болғанда интеграл

- нің мәніне байланысты әртүрлі жағдайда болады.
Шынында,

Егер де болса, онда болады. Бұдан
.
Сөйтіп, (4) интеграл болғанда мәніне ие, яғни жинақталады, ал болғанда жинақталмайды.
5) интегралы да осылай зерттеледі.

2.2 Интегралдық есептеудің негізгі формуласын қолдану

Айталық функциясы аралығында анықталған және әрбір аралығында интегралданатын болсын. Бұл жағдайда нүктесі функциясы үшін ерекше нүкте болып табылады. Егер функциясы үшін аралығында, яғни үшін алғашқы функция бар болса, онда
,
және (1) меншіксіз интегралдың бар болуы мына ақырлы шектің бар болуына тең күшті. Егер соңғы шек бар болса, онда оны - нің мәні үшін қабылдау табиғи, яғни алғашқы функциясының болғандағы мәні. Тек функциясының бүкіл аралығы бойынша үзіліссіздігіне қол жеткізіп алсақ. (1) интегралды есептеу үшін онда біз әдеттегі түрдегі мына формулаға келеміз:
. (5)
Бұл формула өз орнында қалады және сондай жағдайда да, егер ерекше нүкте аралықтың ішінде жатса да немесе бірнеше ерекшелер болады. Тек алғашқы функциясының туындысы барлық жерде -ке тең болса (ерекше нүктелерді шығарып тастағанда). Бұл деген сөз функциясы ерекше нүктелерде де үзіліссіз болатын болсын. Бұндай алғашқы функцияның бар болуы меншіксіз интегралдың бар болуын қамтамасыз етеді.
(5) негізгі формулада - ні - пен, ал - ті - пен алмастырып, біз оны мына түрде жазуымызға болады:
.
Сөйтіп, берілген туынды бойынша алғашқы функциясы тіктеледі, егер тек туынды интегралданатын болса.
Мысалдар. 1) берілген. Бұл жерде интеграл астындағы функ-ция үшін ерекше нүкте. Оның алғашқы функциясы . Ол алғашқы функция нүктесінде үзіліссіз. Онда интеграл бар болады:

2) интегралы жоқ, себебі алғашқы функциясы ерекше нүктелерінде - ке айналады.
3) . Интеграл астындағы функция үшін нүктесі ерекше нүкте.
Бұл жерде алғашқы функция болады да, ол болғанда үзіліссіз. Сондықтан, интеграл бар болады және оның мәні ге тең.
4) берілген. Интеграл астындағы функция үшн нүктесі ерекше нүкте болады. . Міне осы функ-ция алғашқы функция және оның мәні болғанда 0 - ге тең. Сонда, сайып келгенде
.
5) берілген. Интеграл астындағы функция үшін ерекше нүкте болады.
.
6) берілген. Интеграл астындағы функция ерекше нүкте . Бұл интеграл жоқ, себебі алғашқы функция болғанда - ке айналады.

2.3 Меншіксіз интегралдың бар болуының шарттары мен
белгілері

Біз тек (1) интегралдың анықтамасымен байланысты жағдайларды қарастырамыз. Бұл жағдайлар басқа меншіксіз интегралдарға жарай береді.
Тұжырым. (1) меншіксіз интегралдың, функциясы оң болған жағдайда, жинақталуы үшін барлық үшін мына теңсіздіктің

орындалуы қажет және жеткілікті.
Салыстыру теоремалары әдеттегі түрде айтылады және дәлелденеді. Енді Коши белгісін келтіреміз.
Айталық - ға жеткілікті жақын - тің мәндерінде функциясы мына түрде болсын:
.
Сонда: 1) егер және болса, онда интеграл жинақталады.
2) егер де және болса, онда бұл интеграл жинақ-талмайды.
Мына дербес форма практикада өте қолайлы:
Егер болғанда функциясы реті - ге тең шексіз үлкен болса ( мен салыстыру бойынша), онда интегралы болғанда жинақталады да, болғанда жинақталмайды.
Анықтама. интегралының - дағы шегі функция-сының -дан - ға дейін алынған меншіксіз интегралы деп аталады және ол мына теңдікпен анықталады
(2)
Жалпы жағдайда аралығында саны ақырлы ерекше нүктелер болуы мүмкін. Бұл нүктелерге жақындағанда функциясы шенелмеген. Бірақ ерекше нүкте жоқ аралықтарда функциясы шенелген және интегралданады.
Айталық, анығырақ және қарапайым болу үшін, бұндай нүктелер үшеу болсын. Олардың екеуі мен шекараларымен дәл келсін де, ал үшщіншісі с олардың арасында болсын.
Онда функциясының - дан - ға дейін алынған меншіксіз интегралы мына теңдікпен анықталады
. (3)
аралықтарының әрқайсысынан сәйкес нүктеден алып, мынаған келеміз:

.
Оңай көруге болады, (3) шектің бар болуы жоғарыдағы төрт интегралдың күн бұрын бар болуымен тең күшті. Олай болса (3) - тің анықталуын мынамен алмастыруға болады:
бірақ оң жағындағы барлық меншіксіз интегралдар бар деп ұйғару керек.
(2) және (3) меншіксіз интегралдар үшін де (1) меншіксіз интеграл үшін терминдер сақталады.
Мысалдар. 2) берілген. Интеграл астындағы функция үшін
ерекше нүкте.

3) берілген. Интеграл астындағы функцияның және екі ерекше нүктесі бар

.

4) - нің қандай мәндерінде мына меншіксіз интеграл жинақ-талатынын зерттелік:
. (4) болғанда интеграл

- нің мәніне байланысты әртүрлі жағдайда болады.
Шынында,

Егер де болса, онда болады. Бұдан
.
Сөйтіп, (4) ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.