Теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫ СТАНДАРТ ТӘСІЛДЕРМЕН
ДӘЛЕЛДЕУ ӘДІСТЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.1Теңсіздіктер және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Теңсіздік ұғымының анықтамасын пайдаланып дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ..
1.3 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу ... ... ... ...
2 ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ СТАНДАРТ ЕМЕС ТӘСІЛДЕРМЕН ДӘЛЕЛДЕУ ... ...
2.1 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу ... ... ... .
2.2 Тенсіздіктерді аналитикалық тәсілмен дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Теңсіздіктерді синтетикалық тәсілмен дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.4 Теңсіздіктердің дұрыстығын математикалық индукция әдісімен
дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.5 Теңсіздіктердің дұрыстығын қарсы жору әдісімен дәлелдеу ... ... ... ... ... ...
2.6 Қиындығы жоғары теңсіздіктерді дәлелдеуге туындынықолдану ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫ СТАНДАРТ ТӘСІЛДЕРМЕН
ДӘЛЕЛДЕУ ӘДІСТЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.1Теңсіздіктер және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Теңсіздік ұғымының анықтамасын пайдаланып дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ..
1.3 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу ... ... ... ...
2 ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ СТАНДАРТ ЕМЕС ТӘСІЛДЕРМЕН ДӘЛЕЛДЕУ ... ...
2.1 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу ... ... ... .
2.2 Тенсіздіктерді аналитикалық тәсілмен дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Теңсіздіктерді синтетикалық тәсілмен дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.4 Теңсіздіктердің дұрыстығын математикалық индукция әдісімен
дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.5 Теңсіздіктердің дұрыстығын қарсы жору әдісімен дәлелдеу ... ... ... ... ... ...
2.6 Қиындығы жоғары теңсіздіктерді дәлелдеуге туындынықолдану ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Зерттеудің көкейкестілігі:Елбасының Н.Ә.Назарбаевтың «Қазақстан экономикалық, әлеуметтік жолдауында - "XXI ғасырда білімін дамыта алмаған елдің тағырыққа тірелері анық. Біздің болашақтың жоғары технологиялық ғылыми қамтылды. өндірістер мен мекемелер үшін мамандар қорын жасақтыруымыз керек. Қазақстан жоғарғы оқу орындары элемдік стандарттар деңгейінде білі беру қажет. Және жетекші оқу орындарының дипломдары күллі әлемге танылуға тиіс. Олар мұны істеуге міндетті. Бәрі де мектептен басталады "-деген.
Мектеп - бұл оқушы тұлғасы мен санасының дамуы қуатты жүретін ерекше құнды, қайталанбайтын кезеңі, себебі келешек елеміздің сауатты да, салауатты азаматының түрлі қасиеттері осы мектепте қаланады.
Сондықтан балалардың математикалық білімін дамытудың бір жолы-ол есеп шығару. Есеп шығару оқушылардың логикалық ойлауын, теориялық практикамен, оқытуды өмірмен байланыстыруға мүмкіндік береді және математикалық ұғымдар қалыптасады, яғни есеп шығару арқылы балалар танымдық және тәрбиелік тұрғыдан алғанда маңызды факторлармен танысады.
Зерттеудің мақсаты: - математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту жолдарын ғылыми тұрғыда негіздеп, әдістемесін жасау.
Зерттеудің өзектілігі:- егер теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылыоқушылардың ой-өрісі дамытылатын болса, онда олардың математикадан білім деңгейі жоғарылайды, өйткені пәнге деген қызығушылығы қалыптасады.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы:- математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту жолдары мен әдістерін ғылыми тұрғыда негіздеу.
Зерттеудің объектісі - оқушыларға математиканы оқыту үдерісі.
Зерттеу пәні - математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылыоқушылардың ой-өрісін дамыту жолдары мен әдістері.
Зерттеудің міндеттері -
1.Зерттеу тақырыбына байланысты әдебиеттермен танысып, оларға ғылыми-әдістемелік тұрғыдан шолу жасау;
2.Математика сабағындатеңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылыоқушылардың ой-өрісін дамыту мүмкіндіктерін дамыту;
3. Математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылыоқушылардың ой-өрісін дамыту әдістемесін және тиімділігін тексеру.
Зерттеудің практикалық құндылығы:- Математиканы оқытуда; пәндерді байланыстыра оқыту әдістемесін жетілдіруде; математика мамандығы студенттерінің математиканы оқыту әдістемесі пәніне арнайы курстарда, студенттердің педагогикалық іс-тәжірибесінде көмекші құрал ретінде пайдалануға болады.
Мектеп - бұл оқушы тұлғасы мен санасының дамуы қуатты жүретін ерекше құнды, қайталанбайтын кезеңі, себебі келешек елеміздің сауатты да, салауатты азаматының түрлі қасиеттері осы мектепте қаланады.
Сондықтан балалардың математикалық білімін дамытудың бір жолы-ол есеп шығару. Есеп шығару оқушылардың логикалық ойлауын, теориялық практикамен, оқытуды өмірмен байланыстыруға мүмкіндік береді және математикалық ұғымдар қалыптасады, яғни есеп шығару арқылы балалар танымдық және тәрбиелік тұрғыдан алғанда маңызды факторлармен танысады.
Зерттеудің мақсаты: - математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту жолдарын ғылыми тұрғыда негіздеп, әдістемесін жасау.
Зерттеудің өзектілігі:- егер теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылыоқушылардың ой-өрісі дамытылатын болса, онда олардың математикадан білім деңгейі жоғарылайды, өйткені пәнге деген қызығушылығы қалыптасады.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы:- математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту жолдары мен әдістерін ғылыми тұрғыда негіздеу.
Зерттеудің объектісі - оқушыларға математиканы оқыту үдерісі.
Зерттеу пәні - математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылыоқушылардың ой-өрісін дамыту жолдары мен әдістері.
Зерттеудің міндеттері -
1.Зерттеу тақырыбына байланысты әдебиеттермен танысып, оларға ғылыми-әдістемелік тұрғыдан шолу жасау;
2.Математика сабағындатеңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылыоқушылардың ой-өрісін дамыту мүмкіндіктерін дамыту;
3. Математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылыоқушылардың ой-өрісін дамыту әдістемесін және тиімділігін тексеру.
Зерттеудің практикалық құндылығы:- Математиканы оқытуда; пәндерді байланыстыра оқыту әдістемесін жетілдіруде; математика мамандығы студенттерінің математиканы оқыту әдістемесі пәніне арнайы курстарда, студенттердің педагогикалық іс-тәжірибесінде көмекші құрал ретінде пайдалануға болады.
1 Есмұханов М.Е., Бейсеков Ж. Применение свойств непрерывных и дифференцируемых функций к решению задач в курсе математики старших классов. – Алма-Ата, 1980. – 72с.
2 Баймұханов Б.Б. Математика есептерін шығаруға үйрету. – Алматы: Мектеп. 1983.
3 Рахымбек Д., «Мектеп математика курсында дәлелдеуге үйрету».- Шымкент, 2009.-128б.
4 Рахымбек Д., Бейсеков Ж., Шарипов Т.А., «Математика оқыту әдістемесі» - Шымкент, М.Әуезов ат. ОҚМУ., 2006.-260 б.
5 Шалбаев Е.Б., Қаңлыбаев Қ.И., Шияпов К.М. «Теңсіздіктер»- Алматы, 2007.-63 б.
6 Бейсеков Ж. “Методика применения основных свойств непрерывных и дифференцируемых функций к решению задач в курсе математики средней школы (на уроках и факультативных занятиях) ” атты педагогика ғылымдарының кандидаты дәрежесін ізденуге арналған диссертациясы. – Баку, 1982. – 232б.
7 Бейсеков Ж.Б., Мостовой А.И. Функциональный подход к доказательству тождеств // Математика в школе. – 1977. - №3.
8 Бейсеков Ж., Назанов Ж., Тортбаев Б. Коши теңсіздігі және оның орта мектепте теңсіздіктерді дәлелдеуде қолданылуы. –Шымкент, 2005.-68б.
9Ағайдарова Ш., Бейсеков Ж. Мектеп математика курсында теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері. –Шымкент, 2010. -224б.
10 Бейсеков Ж., Рахымбек Д., Шарипов Т.А. Орта мектепте математиканы оқыту әдістемесіне арналған оқу құралы. –Шымкент, 2003.-180б.
11 Қарабаев А.Қ. Теңсіздікте туынды мен интегралды қолдану. //Қазақстан мектебі. -1982ж. -54-57б.
12 Қарабаев А.Қ. Векторлық әдісті есептер шығаруға қолдану. Оқу құралы. – Жезқазған: Жезқазған университетінің баспаханасы. 2000ж.-137б.
13Абылайханов Т.Т. Математика есептері. – Алматы: Рауан, 1995. – 224б.
14 Ағайдарова Ш. Жоғары сыныптағы теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен шешуге үйрету. Магистрлік диссертация. Ш, 2010.-91б.
15Григорян Г.В. «Методы доказательства ».- Москва: Физматлит, 2002. -135 б.
16 Есмұханов М.Е., Бейсеков Ж. Применение свойств непрерывных и дифференцируемых функций к решению задач в курсе математики старших классов. – Алма-Ата, 1980. – 72с.
2 Баймұханов Б.Б. Математика есептерін шығаруға үйрету. – Алматы: Мектеп. 1983.
3 Рахымбек Д., «Мектеп математика курсында дәлелдеуге үйрету».- Шымкент, 2009.-128б.
4 Рахымбек Д., Бейсеков Ж., Шарипов Т.А., «Математика оқыту әдістемесі» - Шымкент, М.Әуезов ат. ОҚМУ., 2006.-260 б.
5 Шалбаев Е.Б., Қаңлыбаев Қ.И., Шияпов К.М. «Теңсіздіктер»- Алматы, 2007.-63 б.
6 Бейсеков Ж. “Методика применения основных свойств непрерывных и дифференцируемых функций к решению задач в курсе математики средней школы (на уроках и факультативных занятиях) ” атты педагогика ғылымдарының кандидаты дәрежесін ізденуге арналған диссертациясы. – Баку, 1982. – 232б.
7 Бейсеков Ж.Б., Мостовой А.И. Функциональный подход к доказательству тождеств // Математика в школе. – 1977. - №3.
8 Бейсеков Ж., Назанов Ж., Тортбаев Б. Коши теңсіздігі және оның орта мектепте теңсіздіктерді дәлелдеуде қолданылуы. –Шымкент, 2005.-68б.
9Ағайдарова Ш., Бейсеков Ж. Мектеп математика курсында теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері. –Шымкент, 2010. -224б.
10 Бейсеков Ж., Рахымбек Д., Шарипов Т.А. Орта мектепте математиканы оқыту әдістемесіне арналған оқу құралы. –Шымкент, 2003.-180б.
11 Қарабаев А.Қ. Теңсіздікте туынды мен интегралды қолдану. //Қазақстан мектебі. -1982ж. -54-57б.
12 Қарабаев А.Қ. Векторлық әдісті есептер шығаруға қолдану. Оқу құралы. – Жезқазған: Жезқазған университетінің баспаханасы. 2000ж.-137б.
13Абылайханов Т.Т. Математика есептері. – Алматы: Рауан, 1995. – 224б.
14 Ағайдарова Ш. Жоғары сыныптағы теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен шешуге үйрету. Магистрлік диссертация. Ш, 2010.-91б.
15Григорян Г.В. «Методы доказательства ».- Москва: Физматлит, 2002. -135 б.
16 Есмұханов М.Е., Бейсеков Ж. Применение свойств непрерывных и дифференцируемых функций к решению задач в курсе математики старших классов. – Алма-Ата, 1980. – 72с.
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 51 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 51 бет
Таңдаулыға:
ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ СТАНДАРТ ЖӘНЕ СТАНДАРТ ЕМЕС ТӘСІЛДЕРМЕН ДӘЛЕЛДЕУ
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1 ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫ СТАНДАРТ ТӘСІЛДЕРМЕН
ДӘЛЕЛДЕУ ӘДІСТЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.1Теңсіздіктер және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Теңсіздік ұғымының анықтамасын пайдаланып дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ...
1.3 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу ... ... ... ...
2 ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ СТАНДАРТ ЕМЕС ТӘСІЛДЕРМЕН ДӘЛЕЛДЕУ ... ...
2.1 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу ... ... ... .
2.2 Тенсіздіктерді аналитикалық тәсілмен дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Теңсіздіктерді синтетикалық тәсілмен дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.4 Теңсіздіктердің дұрыстығын математикалық индукция әдісімен
дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.5 Теңсіздіктердің дұрыстығын қарсы жору әдісімен дәлелдеу ... ... ... ... ... ...
2.6 Қиындығы жоғары теңсіздіктерді дәлелдеуге туындыны қолдану ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
КІРІСПЕ
Зерттеудің көкейкестілігі: Елбасының Н.Ә.Назарбаевтың Қазақстан экономикалық, әлеуметтік жолдауында - "XXI ғасырда білімін дамыта алмаған елдің тағырыққа тірелері анық. Біздің болашақтың жоғары технологиялық ғылыми қамтылды. өндірістер мен мекемелер үшін мамандар қорын жасақтыруымыз керек. Қазақстан жоғарғы оқу орындары элемдік стандарттар деңгейінде білі беру қажет. Және жетекші оқу орындарының дипломдары күллі әлемге танылуға тиіс. Олар мұны істеуге міндетті. Бәрі де мектептен басталады "-деген.
Мектеп - бұл оқушы тұлғасы мен санасының дамуы қуатты жүретін ерекше құнды, қайталанбайтын кезеңі, себебі келешек елеміздің сауатты да, салауатты азаматының түрлі қасиеттері осы мектепте қаланады.
Сондықтан балалардың математикалық білімін дамытудың бір жолы-ол есеп шығару. Есеп шығару оқушылардың логикалық ойлауын, теориялық практикамен, оқытуды өмірмен байланыстыруға мүмкіндік береді және математикалық ұғымдар қалыптасады, яғни есеп шығару арқылы балалар танымдық және тәрбиелік тұрғыдан алғанда маңызды факторлармен танысады.
Зерттеудің мақсаты: - математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту жолдарын ғылыми тұрғыда негіздеп, әдістемесін жасау.
Зерттеудің өзектілігі:- егер теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісі дамытылатын болса, онда олардың математикадан білім деңгейі жоғарылайды, өйткені пәнге деген қызығушылығы қалыптасады .
Зерттеудің ғылыми жаңалығы: - математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту жолдары мен әдістерін ғылыми тұрғыда негіздеу.
Зерттеудің объектісі - оқушыларға математиканы оқыту үдерісі.
Зерттеу пәні - математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту жолдары мен әдістері.
Зерттеудің міндеттері -
1.Зерттеу тақырыбына байланысты әдебиеттермен танысып, оларға ғылыми-әдістемелік тұрғыдан шолу жасау;
2. Математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту мүмкіндіктерін дамыту;
3. Математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту әдістемесін және тиімділігін тексеру.
Зерттеудің практикалық құндылығы: - Математиканы оқытуда; пәндерді байланыстыра оқыту әдістемесін жетілдіруде; математика мамандығы студенттерінің математиканы оқыту әдістемесі пәніне арнайы курстарда, студенттердің педагогикалық іс-тәжірибесінде көмекші құрал ретінде пайдалануға болады.
Диплом жұмысының құрылымы: Кіріспеден, екі негізгі бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады
1 ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫ СТАНДАРТ ТӘСІЛДЕРМЕН ДӘЛЕЛДЕУ ӘДІСТЕРІ
0.1 Теңсіздіктер және олардың қасиеттері
Өзара құрамында мына белгілердің (үлкен), (үлкен не тең; кіші емес), (кіші), (кіші не тең; артық емес), 0 (тең емес) біреуі бар екі өрнекті (санды) теңсіздіктер деп атайды.
Екі жағы да бірдей алгебралық өрнектер болып келетін теңсіздіктерді алгебралық теңсіздіктер деп атайды.
Мынадай теңсіздіктер жұбы және және және және бірдей мағыналы теңсіздіктер деп аталады.
Ал мынадай теңсіздіктер жұбы және және және және қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер деп аталады.
Мысалы, 84 және 96 - бірдей мағыналы теңсіздіктер, ал және - қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер.
Мұнда және белгілерін қатаң, ал және белгілерін қатаң емес теңсіздіктер деп атайды.
Нақты сандар өрісінің тәртіптілік қасиеті бар: кез келген екі нақты санның бірі екіншісінен не үлкен, не тең, не кіші болады. Бұл қатыстарды таңбаларымен белгілейді. Сонда нақты сандар болса, онда олар арасында мына қатыстың тек бірі орындалады.
қатыстарын теңсіздіктер дейді. ол теңсіздіктің мүшелері делінеді. деген, мен -ның айырымы оң сан, деген мен -ның айырымы теріс сан деген сөз. мен теңсіздіктерін бір мағыналы, ал мен теңсіздіктерін қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер дейді. Олар қатаң теңсіздіктер болады.
Олармен қатар, қатаң емес теңсіздіктер қарастыры-лады.
теңсіздігі болғанда да, болғанда да дұрыс, ал болғанда дұрыс емес. , екі теңсіздіктің орнына немесе қос теңсіздігін пайдалануға болады. Сандық теңсіздіктердің мынадай қасиеттері бар:
1. Егер болса, онда болады. Бұл теңсіздіктің қайтымсыздық қасиеті.
2. Егер болса, онда кез келген үшін болады.
3. Егер болса, онда болады. (Бұл теңсіздіктің транзитивтік қасиеті).
4. Егер болса, онда болады.
5. Егер болса, онда болады.
Егер болса, онда болады.
6. Егер болса, онда кез келген үшін ал үшін болады.
7. Егер болса, онда болады.
8. Егер болса, онда болады.
9. Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады. Керісінше болғанда болса, онда болады.
10. Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады.
11. Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады.
12. Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады.
Сан модуліне арналған кейбір теңсіздіктерді дәлелдейік.
13. Кез келген саны үшін болады.
Дәлелдеуі: болса, онда ал болса, онда
болатындықтан қатаң теңсіздігі орындалады. Сонымен
болған екі жағдай үшін болады.
14. Кез келген және сандары үшін болады.
Дәлелдеуі: 13 бойынша болады, оларды қоссақ 5
қасиет бойынша: болып шығады. Ал,
болғандықтан, қоссақ .
Сонда мен -ден болады. Мұндағы
теңдік болғанда орын алады.
15. Кез келген және сандары үшін болады.
Дәлелдеуі: болады. Бұған 14 пайдалансақ:
, бұдан .
Екі нақты санды өзара салыстыру үшін түрлі әдістер қолданылады.
1. Егер екі бүтін сан берілсе, онда олардың қайсысының екіншісінен үлкен не кіші екенін ажырату тікелей анықталады.
2. Екі бөлшек сандарды салыстыру үшін, олардың не алымдарын, не бөлімдерін бірдей күйге келтіру керек.
және бөлшектерін ортақ бөлімге келтірсек және
болса, онда болар еді де, қысқартқаннан соң
болып шығады.
1-мысал. және бөлшектерін салыстыру үшін, ортақ бөлімге
келтіреміз және . болғандықтан , бұдан
болады.
3. Түбірлерді (радикалдарды) салыстыру үшін, түбірлердің дәрежелерін теңестіріп, түбір астындағы санды салыстыру керек.
Мәселен, болса, мына және күйге келтіріп болса, онда болады да, болып шығады.
2-мысал. түбірлерін салыстыру үшін, түбір дәрежелерін,
тең күйге келтіреміз. Сонда болып
болғандықтан , бұдан болып
шығады.
3. Логарифмді салыстырғанда мыналарды ескеру керек:
а) болғанда, егер болса, болады.
б) болғанда, егер болса болады.
3-мысал.
Бірінші теңсіздікте , екінші теңсіздікте
4-мысал. . Егер деп жорысақ, онда болар еді. Түрлендірсек болар еді.
Бұл теңсіздік дұрыс емес, сондықтан Дәл осы есепті былайша да салыстыруға болады, әр түбірді жеке-жеке бағалаймыз:
Бұдан қай түбірлер қосындысының үлкен екендігі байқалмайды. Өйткені 6 мен 8-дің арасында жатқан сан 7 мен 9-дың арасында жатқан саннан кіші болады деуге болмайды. Мәселен, бірінші 7,9 екіншісі 7,5 болуы мүмкін. Сондықтан, енді ол қосылғыштарды 0,1 дәлдікте бағалаймыз.
Бұдан екінші қосылғыштың көп екені көрінеді, оның аз мәнінің өзі бірінші қосылғыштың артығымен алынған мәнінен көп болып кетті:
Сонымен
5-мысал. және сандарын салыстыру
керек:
Ал,
Сонымен мен аралықта жатыр екен. аралықтың қақ ортасы . Берілген сандар немесе аралықтың қайсысында жататынын анықтаймыз:
дейік, онда
Бұл дұрыс теңсіздік. Сондықтан яғни аралықта жатады екен.
Енді дейік, онда Бұл дұрыс емес теңсіздік. Сондықтан Сонымен
болып шығады.
6-мысал. және сандарын салыстырыңдар:
және алгебралық өрнектердің мүмкін мәндері облысына кіретін жиынынан алынған сандарға сай келетін өрнегінің сан мәні сол сандарға сай келетін өрнегінің сан мәнінен үлкен (кіші) болатын болса, теңсіздігі жиынында теңбе-тең теңсіздік делінеді.
Мысалы: теңсіздігі нақты сандар жиынында теңбе-тең теңсіздік болады, өйткені -тың кез келген нақты мәнінде бұл теңсіздік дұрыс теңсіздік.
Егер жиыны берілмесе, онда теңбе-тең теңсіздік ол теңсіздікке кіретін өрнектердегі мүмкін мәндері жиынында қарастырылады.
Алгебралық өрнектерде де қатаң теңсіздіктермен қатар, қатаң емес теңсіздіктер қарастырылады. Қатаң емес теңсіздікте бұл өрнектердің мүмкін мәндері облысына кіретін жиынынан алынған сандарға сай келетін өрнектерінің сан мәндері не тең, не -ның сан мәні -ның сан мәнінен үлкен деп түсіну керек.
Теңбе-тең теңсіздіктердің мынадай қасиеттері бар.
алгебралық өрнектерінің мүмкін мәндері облысынан алынған жиынында:
1. болса, онда болады.
2. болса, онда болады.
3. болса, онда болады.
4. болса, онда болады.
5. болса, онда болады.
6. болса, онда болады.
7. болса, онда болады.
8. болса, онда болады.
9. болса, онда болады.
10. болса, онда болады. -натурал сан.
11. болса, онда болады. -натурал сан.
12. болса, онда болады. -натурал сан.
13. болса, онда болады. -натурал сан.
14. болса, онда болады. -натурал сан.
15. болса, онда болады. -натурал сан.
Бұл келтірілген қасиеттер теңсіздіктері үшін де дұрыс. Көптеген жағдайда теңсіздіктердің берілген жиынында немесе ол теңсіздіктерге кіретін алгебралық өрнектердің мүмкін мәндері жиыны облысында теңсіздіктердің дұрыс, не қате екенін дәлелдеуге тура келеді.
Дәлелдеу түрлі жолмен іске асады. Ол жолдардың кейбіреулеріне мысалдар келтірейік.
1.2 Теңсіздікті оның анықтамасына сүйеніп дәлелдеу.
Теңсіздіктің анықтамасы бойынша болу ұшін болуы жеткілікті. Сондықтан және алгебралық өрнектері
үшін екенін көрсету үшін айнымалылар-дың қарастырылып отырған жиыннан алынатын кезкелген сан мәндері үшін екенін дәлелдеу керек.
1-мысал. Таңбалас кез келген екі нақты санның бір-біріне қатынастарының қосындысы 2 -ден кем болмайтындығын ,яғни болса, онда болатындығын дәлелдеңіздер?
Дәлелдеуі: Мына айырымды қарастырамыз.
Бұл өрнек болса оң, ал болса нөлге тең. Сондықтан дұрыс теңсіздік.
2-мысал. Екі оң нақты санның арифметикалық ортасы, сол сандардың геометриялық ортасынан кем болмайды, яғни болса, онда болады(Коши теңсіздігі).
Дәлелдеуі. Айырымын қарастырамыз.
Соңғы өрнек кез келген сандары үшін оң, ал болса нөл. Сондықтан теңсіздік дұрыс.
3-мысал. Оң сан үшін болатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі. Айырымы
Бұл кез келген үшін оң сан. Сондықтан теңсіздік дұрыс. Тепе-теңдік тек болғанда орындалады.
4-мысал. теңсіздігін дәлелдеңіздер.
Дәлелдеуі. Айырма
кезкелген нақты сан үшін оң сан болады. Сондықтан, дұрыс теңсіздік.
5-мысал. Кез келген оң сандар үшін теңсіздігінің дұрыстығын дәлелдеңіздер.
Дәлелдеуі. Айырым
Бұл кез келген үшін оң сан. Сондықтан берілген теңсіздік дұрыс.
Берілген сандар жиынында қарастырылатын теңсіздіктің екі жағының да сандық мағынасы болатын теңсіздіктің құрамына енетін әріптердің мүмкін мәндерін теңсіздіктің мүмкін мәндері деп атайды.
Мысал-1. Теңсіздіктің мүмкін мәндерін табыңдар: .
Шешуі. Егер яғни болса, онда теңсіздіктің сол жағының мағынасы болады. Егер болса, теңсіздіктің оң жағының мағынасы болады.
Жауабы: Теңсіздіктегі әріптердің мүмкін мәндері:
Теңсіздіктің құрамына енетін әріптердің барлық мүмкін мәндерінде дұрыс болатын теңсіздіктерді теңбе-тең теңсіздіктер деп атайды.
Анықтама . Егер болса, онда саны санынан үлкен (кіші) деп атайды. Оларды сәйкесінше былай жазады: .
Теңсіздіктердің қасиеттері
Теңсіздіктердің негізгі қасиеттері төмендегі теоремалар арқылы өрнектеледі.
Теорема 1. Егер болса, онда болады (қайтымсыздық қасиеті).
Дәлелдеуі: Айталық болсын, онда болады. Сонда - ға қарама-қарсы сан теріс таңбалы сан болады, яғни бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы дәлелденді.
Теорема 2. Егер және болса, онда болады (транзитивтік қасиеті).
Дәлелдеуі: Шарт бойынша - оң таңбалы сан, және - оң таңбалы сан; олардың қосындысы саны да оң таңбалы. Демек, (анықтама бойынша).
Теорема 3. Егер болса, онда болады.
Дәлелдеуі: Айталық, яғни болсын. Сонда бұдан болатындығы айқын.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Салдар. Теңбе-тең теңсіздіктің мүшелерін оның бір жағынан екінші жағына қарама-қарсы таңбамен шығаруға болады.
Теорема 4. Егер және болса, онда болады.
Дәлелдеуі: Айталық, , яғни және болатындықтан, екі оң санның көбейтіндісі де оң сан болады, яғни бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Салдар. Егер және болса, онда болады.
Теорема 5. Егер және болса, онда болады.
Дәлелдеуі: Айталық, яғни, және болатындықтан, оң таңбалы сан мен теріс таңбалы санның көбейтіндісі теріс таңбалы сан болатындықтан, бұдан болады.
Сонымен, теңіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Салдар. Егер және болса, болады.
Теорема 6. Егер және болса, онда болады, яғни бірдей мағыналы теңсіздіктерді қосқанда сондай мағыналы теңсіздік шығады.
Дәлелдеуі: Айталық, және , яғни және болсын. Сонда екі оң таңбалы санның қосындысы да оң таңбалы сан болатындықтан, бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Теорема 7. Егер және болса, онда болады, яғни қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктерді алғанда шегеретін азайғыш теңсіздікпен мағыналас теңсіздік шығады.
Дәлелдеуі: Айталық, және яғни және яғни болсын. Сонда екі оң таңбалы санның қосындысы да оң сан болатындықтан, бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Теорема 8. Егер және мұнда , , , болса, онда болады, яғни мүшелері оң бірдей мағыналы теңсіздіктерді көбейткенде сондай мағыналы теңсіздік шығады.
Дәлелдеуі: теңсіздігінің екі жағында бірдей -ға көбейтіп табатынымыз:
теңсіздігінің екі жағында бірдей -ға көбейтіп табатынымыз:
Транзитивтік қасиет бойынша
Теорема 9. Егер және мұнда , , , болса, онда болады, яғни мүшелері оң қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктерді мүшелеп бөлгенде бөлгіш теңсіздікке мағыналас теңсіздік шығады.
Дәлелдеуі: Шынында да, өйткені ,яғни болатындықтан, яғни және екі оң таңбалы санның көбейтіндісі ретінде болады, олай болса, бұдан болады.
Теорема 10. Егер мұндағы , және - натурал сан болса, онда болады, яғни мүшелері оң теңсіздіктің екі жағында бірдей натурал дәрежеге шығарғанда берілген теңсіздікке мағыналас теңсіздік шығады.
Дәлелдеуі: Расында да, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығына мағыналас теңсіздіктерді өзара мүшелеп рет көбейту арқылы көз жеткізуге болады.
Теорема 11. Егер мұндағы , және - натурал сан болса, онда болады, яғни мүшелері оң теңсіздіктің екі жағынан бірдей натурал көрсеткішті түбір тапқанда, берілген теңсіздікке мағыналас теңсіздік шығады.
Теореманың дұрыстығы қарсы жору әдісімен оп-оңай дәлелденеді [82].
Теңсіздіктерді бұл тәсіл бойынша дәлелдеу артық және кіші ұғымдарының тікелей анықтамасына негізделген және теңсіздіктің сол жағы мен оң жағында тұрған айырманың таңбасын анықтауға арналған.
Бұл тәсіл бойынша теңсіздігін дәлелдеудің орнына берілген теңсіздіктің мүмкін мәндеріне теңсіздігінің орындалатындығын көрсету жеткілікті. Ал, теңсіздігін дәлелдеудің орнына сәйкес теңсіздігін дәлелдеу қажет.
Сонымен, бұл тәсіл бойынша немесе теңсіздігінің ақиқаттығын көрсету үшін айырмасын құрып, оның таңбасын зерттеу қажет. Сонда, егер онда ал егер болса, онда болады.
Енді осы тәсілге бірнеше мысалдар қарастырайық.
1-мысал. теңсіздігін дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі. . Олай болса, берілген теңсіздік кез келген үшін орындалады.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
2-мысал. Кез келген және сандары үшін теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: болғандықтан, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
3-мысал. Егер , болса, онда теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Анықтама бойынша, егер болса, онда теңсіздігінің ақиқаттығы шығады:
.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
4-мысал. Барлық және үшін теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Айырманың таңбасын анықтайық: . Сонда , болғандықтан, бұл бөлшектің теріс таңбалы емес екендігі айқын. Олай болса, егер , болса, онда және , демек, теңсіздігі орындалады.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
5-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , мұндағы .
Дәлелдеуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз:
,
бұл айырма болғанда, теріс таңбалы емес. Сондықтан теңсіздіктің анықтамасы бойынша теңсіздігі ақиқат.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
6-мысал. Кез келген нақты ,, сандары үшін теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің екі жағын да бірдей 2-ге көбейтіп, сондағы шыққан айырманы қарастырайық:
.
Олай болса, .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
7-мысал. болғанда, теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз: .
Сонда , болғандықтан, бұл айырма теріс таңбалы емес. Сондықтан берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
8-мысал. Коши теңсіздігін дәлелдеңдер: , мұндағы , (оң сандардың арифметикалық ортасы олардың геометриялық ортасынан кем емес).
Дәлелдеуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз:
.
Сонда , болғанда, болатындықтан, бұл айырма оң таңбалы, яғни теріс таңбалы емес. Сондықтан берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
9-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: екендігін ескеріп, айырманың таңбасын анықтаймыз:
.
Сонда , болғандықтан, бұл айырма оң таңбалы, олай болса, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
10-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:
.
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің айырымын деп белгілеп, оның таңбасын қарастырамыз:
.
Сонда , , , болғандықтан, бұл айырма оң таңбалы, олай болса, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
11-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз:
.
Сонда болғандықтан, бұл айырма теріс таңбалы емес. Олай болса, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді [82].
Теңсіздікті дәлелдеңдер:
1. .
2. , (, , ).
3. .
4. , , .
5. Егер ,,, - оң сандар болса, онда .
6. Егер , , - оң сандар болса, онда .
7. , болғанда .
8. .
9. .
10. , болғанда .
11. , , .
12. Егер болса, онда .
13. .
14. , болғанда .
2 ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ СТАНДАРТ ЕМЕС ТӘСІЛДЕРМЕН ДӘЛЕЛДЕУ
2.1 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу
Бұл әдісті кейде теңсіздікті күшейту немесе бәсеңдету әдісімен дәлелдеу деп те атайды. Бұл әдісте берілген теңсіздіктің мүшелерін жоғарыдан немесе төменнен бағалау арқылы дәлелдейді. Айталық, бізге теңсіздігін дәлелдеу керек болсын. Сонда егер де біз және теңсіздіктерін дәлелдей алсақ, онда теңсіздіктің транзитивті қасиеті бойынша теңсіздігі дәлелденген болып шығады. Бұл әдісті теңсіздікті күшейту әдісімен дәлелдеу деп атайды.
1-мысал. Кез келген үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: екендігін ескеріп, теңсіздіктің сол жағын бағалаймыз: - еселігі -ге тең геометриялық прогрессияның мүшесінің қосындысы. Оның қосындысы мынаған тең: екені белгілі.
Сонда болғандықтан, кез келген үшін .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
2-мысал. Теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: теңдігін пайдаланып табатынымыз:
.
Сөйтіп, теңсіздігінің дұрыстығы дәлелденді.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
3-мысал. Кез келген натурал саны үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: екені айқын. Сондықтан
.
Олай болса, теңсіздігі ақиқат.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
4-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: ; болсын. екені айқын. Сонда . Бұдан .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
5-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: , ,..., . Осы теңсіздіктерді мүшелеп қосып табатынымыз: .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
6-мысал. және шарттарын қанағаттандыратын кез келген нақты ,,, сандары үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Теңсіздікті күшейту әдісі арқылы дәлелдейік. Модульдің қасиеті мен Коши теңсіздігін қолданып табатынымыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
7-мысал. Егер болса, онда теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Коши теңсіздігін қолданып, берілген теңсіздікке енетін әрбір түбірді бағалаймыз:
.
Осы сияқты, , .
Осы теңсіздіктерді мүшелеп қосып табатынымыз:
.
Берілген теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдеу үшін соңғы теңсіздікте теңдік белгісінің орындалмайтындығын көрсетуіміз қажет.
Шынында да, теңдік белгісі мына теңдіктер бір мезгілде орындалған жағдайда ғана болуы мүмкін: , , , яғни , , болғанда.
Онда шарты орындалмайды.
Сөйтіп, , дәлелдеу керегі де осы еді.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
8-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: , болсын. Сонда , ,..., болатындықтан . Олай болса, .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
9-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Әрбір қосылғыштың бөліміндегі иррационалдықты жойып табатынымыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
10-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , мұндағы , .
Дәлелдеуі: Дұрыс бөлшектің қасиетін пайдаланып табатынымыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
Теңсіздікті бәсеңдету тәсілімен дәлелдеу деп берілген теңсіздіктен оған қарағанда бәсең теңсіздікке көшу әдісін айтады. Айталық, бізге теңсіздігін дәлелдеу керек болсын. Сонда егер де біз және теңсіздіктерінің дұрыстығын көрсете алсақ, онда теңсіздіктің транзитивті қасиеті бойынша теңсіздігі дәлелденген болып шығады.
Енді осы әдіске мысалдар келтірейік.
11-мысал. Енді біз жоғарыдағы қарастырылған 6-мысалды бәсеңдету әдісі арқылы дәлелдейік.
Есептің шарты бойынша және екенін ескеріп, мынаны табамыз: , өйткені ,,,-ның кез келген нақты мәндерінде өрнегі тек теріс емес мәндер қабылдайды. Соңғы арақатыстан екені шығады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
12-мысал. Егер , , болса, онда болатындығын дәлелдеңдер..
Дәлелдеуі: Анығырақ болу үшін болсын. , деп белгілейік.
екенін ескереміз, бұдан . Сонда берілген теңсіздік мынадай түрге келеді:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
13-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Есептің шарты бойынша: .
Сонда болатындықтан, теңсіздігі орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
14-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің сол жағында тұрған өрнекті түрлендіріп табатынымыз:
.
Сонда болатындықтан, , олай болса, болады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
15-мысал. Кез келген натурал саны үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Кез келген натурал саны үшін болатындықтан,
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
16-мысал. болатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Бөлшектің бөлімі артқан сайын, оның шамасы кіші болатындықтан, .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
Рационал сандарды салыстыру үшін теңсіздіктің екі бөлігін де 1 санынан азайту әдісін қолданған тиімді.
Көптеген жағдайларда теңсіздіктің екі бөлігін өз алдына түрлендіріп, ықшамдап алғаннан кейін, олардың екі бөлігін жеке-жеке 1-ден шегеріп, сондағы шыққан нәтижені салыстыру арқылы дәлелдейді. Сонда соңғы теңсіздіктің қай бөлігі кіші болып шықса, бастапқы берілген теңсіздіктің сол бөлігі үлкен болып шығады.
Енді осы әдіске мысалдар келтірейік.
17-мысал. және сандарын салыстыру керек.
Шешуі: Әрине, бұл сандарды ортақ бөлімге келтіріп алып, салыстыруға болады. Ал бұл жұмысты калькуляторсыз орындау өте күрделі. Дегенмен, есепті жеңіл жолмен шешуге болады. Ол үшін берілген сандарды 1-мен салыстыру керек. Сонда , және болғандықтан, теңсіздігі орындалады.
Жауабы: .
18-мысал. Қай бөлшек бірлікке жақын: дұрыс бөлшек немесе бұрыс
бөлшек (, ) ?
Дәлелдеуі: Айталық болсын. Сонда , бұдан .
Демек, бірлікке бұрыс бөлшек жақын.
Жауабы: Бұрыс бөлшек.
Кейде екі шаманы өзара салыстыру үшін олардың қатынасының неге тең екенін қарастырған тиімді. Мысалы, А және В шамаларын салыстыру үшін олардың қатынасы -ны табамыз. Сонда болса, онда , ал болса, онда болып шығады. Енді осы әдіске мысалдар қарастырайық.
19-мысал. Мына сандардың қайсысы үлкен: немесе ?
Дәлелдеуі: Екінші санның біріншісінен артық екенін дәлелдейік. Ол үшін бірінші санның екінші санға қатынасын қарастырамыз.
Бұл қатынасты былайша түрлендіруге болады:
.
Сонымен, біз қатынастың әрқайсысы бірден кіші болатын екі санның көбейтіндісіне тең екенін көреміз. Демек, қатынастың өзі бірден кіші болады.
Жауабы: Екінші сан біріншісінен үлкен.
20-мысал. Мына сандардың қайсысы үлкен: немесе ?
Шешуі: Бірінші санды екінші санға бөліп табатынымыз: .
Демек, бірінші сан үлкен.
Жауабы: Бірінші сан.
21-мысал. және сандарының қайсысы үлкен?
Шешуі: Берілген сандардың екеуі де оң таңбалы екендігін ескеріп, олардың қатынасын қарастырайық: , бірақ , өйткені , яғни . Олай болса, [82].
Жауабы: .
Теңсіздікті дәлелдеңдер:
1. .
2. , , .
3. Теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдеңдер: , мұндағы түбірлердің саны 2010 - ға тең.
4. .
5. , (, , ).
6. .
7. .
8. , (-кез келген натурал сан).
9. Қайсысы үлкен: немесе ?
2.2 Тенсіздіктерді аналитикалық тәсілмен дәлелдеу
Теңсіздіктерді бұл тәсілмен дәлелдегенде берілген теңсіздікті дұрыс деп ұйғарып, теңсіздіктердің негізгі қасиеттеріне сүйене отырып, оны дұрыстығына күмән келтірмейтін түрге келтіреді. Одан кейін соңғы теңсіздіктен бастапқы берілген теңсіздікті шығарып алады. Енді осы тәсілге бірнеше мысалдар қарастырайық.
1-мысал. Кез келген оң ,, сандары үшін теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Теңсіздікті дұрыс деп жорып, жақшаларды ашайық:
; .
Бұл дұрыс теңсіздік. Олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
2-мысал. , және болсын. Мынаны дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Есептің шарты бойынша алатынымыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
3-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Берілген теңсіздік мына теңсіздікке мәндес:
.
Сонда бұл теңсіздік дұрыс, өйткені , , болатындықтан, . Олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
4-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , (, , ).
Дәлелдеуі: Дәлелденуге тиісті теңсіздікті мына түрде жазамыз:
, немесе , немесе
.
Бұл дұрыс теңсіздік, өйткені егер , болса, онда теңсіздігі орындалады. Теңдік белгісі болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
5-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Алатынымыз:
.
Сондықтан .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
6-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Дәлелденілуге тиісті теңсіздік оның екі жағын да бірдей 2-ге көбейткен соң мынадай түрде келеді:
, немесе , немесе .
Бұл теңсіздіктің орындалуы ақиқат.
Теңдік белгісі тек болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
7-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Есептің шарты бойынша:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
8-мысал. Айталық, ,, - әртүрлі оң сандар болсын. теңсіздігінің тура болатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Расында да, берілген теңсіздікті былай жазуға болады:
.
Сонда өзара кері екі оң санның қосындысы екіден артық болатындықтан, соңғы теңсіздіктің орындалатындығы ақиқат.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
9-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , (, ).
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің екі жағында бірдей квадрат дәрежеге шығарып табатынымыз:
, бұдан .
Екі оң санның көбейтіндісі оң сан болатындықтан, бұл теңсіздік дұрыс. Олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
10-мысал. Егер , , болса, онда
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Алатынымыз:
.
Сонда өзара кері екі оң санның қосындысы 2-ге тең не одан артық болатындықтан, бұл теңсіздік дұрыс, олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді [82].
Теңсіздікті дәлелдеңдер:
1. , (, , ).
2. .
3. .
4. , ().
5. .
6. .
7. Егер және болса, онда теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
8. , мұндағы ,, - оң сандар.
9. , ().
10. .
11. , мұндағы ,-нольден өзге кез келген сан.
2.3 Теңсіздіктерді синтетикалық тәсілмен дәлелдеу
Бұл тәсілді кейде тірек теңсіздіктер тәсілі деп те атайды. Бұл - берілген теңсіздікті қандай да бар ақиқат теңсіздіктің немесе алдын ала дәлелденген теңсіздіктердің көмегі арқылы дәлелдеу тәсілі. Осындай көмекші теңсіздіктерді тірек теңсіздіктер деп атайды. Мысалы, , , (, ); , () өрнектерін тірек теңсіздіктер ретінде қарастыруға болады.
Енді осы тәсілге бірнеше мысалдар қарастырайық.
1-мысал. Әрбір теріс емес ,, сандары үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Тірек теңсіздіктер ретінде ; ; теңсіздіктерін аламыз. Бұларды мүшелеп көбейту арқылы дәлелдеуге тиісті жоғарыдағы теңсіздікті шығарып аламыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
2-мысал. Әрбір теріс емес ,, сандары үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Мұнда тірек теңсіздіктер ретінде теңсіздіктерін аламыз. Оларды мүшелеп қосып: теңсіздігін аламыз. Соңғы теңсіздіктің екі жақ бөлігіне де 3-ті қосу арқылы немесе теңсіздігін аламыз. Осыдан теңсіздігі шығады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
3-мысал. Егер болса, онда екенін дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Ақиқат теңсіздікті түрлендіріп табатынымыз: . Теңсіздіктің екі жағында бірдей -ға бөліп анықтайтынымыз: .
Мұнда болғанда берілген теңсіздіктің мына теңсіздікке мәндес екенін ескертеміз.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
4-мысал. Егер ,, болса, онда теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Егер , болса, онда , болатындығы айқын. Осы теңсіздікке сүйеніп мынаны табамыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
5-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: болсын, сонда . Бұдан
екені айқын.
Осы теңсіздіктің екі жағында бірдей - ге бөліп, дәлелденілуге тиіс теңсіздікті шығарып аламыз.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
6-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: , теңсіздігін қолданып, табатынымыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
7-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:
, мұндағы , , .
Дәлелдеуі: Кез келген саны үшін екені белгілі. Сондықтан
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
8-мысал. Егер болса, онда теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Мұнда тірек теңсіздігі ретінде теңсіздігін алып, мынаны табамыз: .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
9-мысал. кез келген нақты сан болғанда болатынын дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің сол жақ бөлігін түрлендіреміз, одан кейін өзара кері екі оң санның қосындысының қасиетін пайдаланамыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
10-мысал. Кез келген мен натурал сандары үшін теңсіздігінің тура болатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: , натурал сандары үшін , теңсіздіктерінің орындалатындығы айқын. Бұдан бірінші теңсіздікті-ға, ал екінші теңсіздікті -ға көбейтсек, , болады. Соңғы екі теңсіздікті мүшелеп қосқанда мынау шығады: .
Дербес жағдайда , болғанда, не , болғанда болады.
Олай болса, кез келген натурал сан мен үшін теңсіздігі орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді [82].
Теңсіздікті дәлелдеңдер:
1. , (,,-оң сандар).
2. , (, , ).
3. , (, , ).
4. , (, , ).
5. , ().
6. , (, , ).
7. .
8. , (, , ).
9. .
10. , ().
11. .
12. , (-кез келген нақты сан).
13. .
14. , (,,-натурал сандар).
15. , (, ).
16. , ().
2.4 Теңсіздіктердің дұрыстығын математикалық индукция әдісімен
дәлелдеу
Математикалық индукция әдісінің негізіне мынадай қағида алынады:
Қандай да бір пікір
1. Натурал сан болғанда дұрыс болсын және
2. Бұл пікірдің кез келген мәні үшін дұрыстығынан, оның үшін де дұрыс болатындығы тағайындалса, онда бұл пікір кез келген натурал сан үшін дұрыс болады.
Теңсіздіктің бір немесе екі жағы да бірдей натурал аргумент -ге тәуелді болып келгенде теңсіздіктің дұрыстығын математикалық индукция әдісін қолдану арқылы дәлелдеген тиімді.
Теңсіздікті бұл әдіспен дәлелдегенде мына екі тұжырымды дәлелдейді: а) үшін теңсіздіктің дұрыстығын (немесе үшін дұрыстығын, мұндағы -берілген теңсіздіктегі -нің мүмкін мәндерінің ең кішісі) және б) берілген теңсіздікті үшін дұрыс деп жорығанда ( немесе болғанда), оның үшін дұрыс болатындығын.
Енді осы тәсілге бірнеше мысалдар келтірейік.
1-мысал. болғанда, кез келген натурал саны үшін мына теңсіздіктің (1) орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: үшін (1) теңсіздік дұрыс, өйткені . Енді біз (1) теңсіздіктің натурал саны үшін дұрыс деп жорығанда (2) оның саны үшін дұрыс болатындығын, яғни (3) теңсіздігінің орындалатындығын көрсетейік. Ол үшін (2) теңсіздіктің екі жағында бірдей - ға көбейтеміз. Сонда болатындықтан, болады.
Сондықтан математикалық индукция әдісі бойынша (1) теңсіздік кез келген натурал саны үшін дұрыс болады. Бұл теңсіздікті Бернулли теңсіздігі деп атайды.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
2-мысал. болғанда (1) теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Теңсіздікті математикалық индукция тәсілімен дәлелдейміз.
1) болғанда тұжырым дұрыс. Шындығында да,
.
Сөйтіп, болды. Бірақ , сондықтан . Олай болса, .
2) Айталық, енді . (2) болсын.
Сонда мына теңсіздіктің де орындалатынын дәлелдейік:
.
(2) теңсіздіктің екі жағына да бірдей -ны қосып табатынымыз:
, немесе
, немесе
.
Бірақ . Ендеше теңсіздігі орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
3-мысал. Егер болса, онда кез келген натурал саны үшін теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: болғанда теңсіздігі орындалады, өйткені .
Одан әрі, айталық дәлелденілетін теңсіздік үшін орындалсын, яғни
. (1)
Егер (1) теңсіздік орындалса, онда мына теңсіздіктің де орындалатынын көрсетейік:
, немесе . (2)
Егер біз мына теңсіздіктің дұрыстығын көрсете алсақ, , (3) онда, (2) теңсіздікті дәлелдеген боламыз, өйткені . (3) теңсіздікті мына түрде жазайық: , яғни .
Сонымен, есептің тұжырымының дұрыстығы кез келген натурал саны үшін дәлелденді.
4-мысал. теңсіздігі және болғанда дұрыс екенін дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: болғанда , яғни арақатысы үшін = белгісі орындалады. Арақатысты үшін дұрыс деп ұйғарайық, яғни . Сонда оның үшін де дұрыс болатындығын көрсетейік. Шынында да, .
Сөйтіп, берілген арақатыс үшін де орындалады. Математикалық индукция әдісі бойынша берілген теңсіздік кез келген натурал () саны үшін орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
5-мысал. - нақты сандары үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Нақты санның модулінің анықтамасы бойынша мына теңсіздік , теңсіздіктер орындалады. Осы теңсіздіктерді қосып табатынымыз:
.
Бұл қос теңсіздік мына теңсіздікке мәндес. Олай болса, берілген теңсіздік үшін дұрыс. Берілген теңсіздікті үшін дұрыс деп ұйғарайық:
.
Сөйтіп, осы теңсіздікке сүйеніп,
теңсіздігі орындалатынын көрсетейік. Шынында да,
теңсіздігі орындалады.
Математикалық индукция әдісіне сәйкес берілген теңсіздік кез келген үшін орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
6-мысал. Кез келген натурал сан үшін теңсіздіктің орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: үшін теңсіздік дұрыс: . Айталық теңсіздік үшін дұрыс болсын: .
Сонда теңсіздіктің үшін дұрыс болатындығын көрсетейік:
;
Бұл теңсіздікті алдыңғы теңсіздікпен салыстырсақ, оның бірінші мүшесі жоқ және соңғы үш мүшесі артық. Теңсіздіктің сол жағының артық екендігін көрсетейік.
; ; ; ;
; .
Бұл теңсіздік дұрыс.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы математикалық индукция әдісі бойынша дәлелденді.
7-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , мұндағы .
Дәлелдеуі: 1) үшін теңсіздік дұрыс, өйткені . Теңсіздікті үшін дұрыс деп ұйғарайық: . (1)
Сонда теңсіздіктің үшін де дұрыс болатындығын, яғни орындалатынын дәлелдейік.
Шынында да, мына айқын теңсіздікті аламыз: . (2)
Осы (1) және (2) теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіп, мынаны табамыз: , яғни . Олай болса, математикалық индукция принципі бойынша кез келген натурал саны үшін теңсіздігі орындалады.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
8-мысал. Кез келген натурал сан үшін теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: үшін теңсіздік дұрыс, өйткені .
Берілген теңсіздікті үшін дұрыс деп жориық, яғни . Сонда үшін мынаны аламыз: , ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1 ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫ СТАНДАРТ ТӘСІЛДЕРМЕН
ДӘЛЕЛДЕУ ӘДІСТЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.1Теңсіздіктер және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Теңсіздік ұғымының анықтамасын пайдаланып дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ...
1.3 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу ... ... ... ...
2 ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ СТАНДАРТ ЕМЕС ТӘСІЛДЕРМЕН ДӘЛЕЛДЕУ ... ...
2.1 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу ... ... ... .
2.2 Тенсіздіктерді аналитикалық тәсілмен дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Теңсіздіктерді синтетикалық тәсілмен дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.4 Теңсіздіктердің дұрыстығын математикалық индукция әдісімен
дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.5 Теңсіздіктердің дұрыстығын қарсы жору әдісімен дәлелдеу ... ... ... ... ... ...
2.6 Қиындығы жоғары теңсіздіктерді дәлелдеуге туындыны қолдану ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
КІРІСПЕ
Зерттеудің көкейкестілігі: Елбасының Н.Ә.Назарбаевтың Қазақстан экономикалық, әлеуметтік жолдауында - "XXI ғасырда білімін дамыта алмаған елдің тағырыққа тірелері анық. Біздің болашақтың жоғары технологиялық ғылыми қамтылды. өндірістер мен мекемелер үшін мамандар қорын жасақтыруымыз керек. Қазақстан жоғарғы оқу орындары элемдік стандарттар деңгейінде білі беру қажет. Және жетекші оқу орындарының дипломдары күллі әлемге танылуға тиіс. Олар мұны істеуге міндетті. Бәрі де мектептен басталады "-деген.
Мектеп - бұл оқушы тұлғасы мен санасының дамуы қуатты жүретін ерекше құнды, қайталанбайтын кезеңі, себебі келешек елеміздің сауатты да, салауатты азаматының түрлі қасиеттері осы мектепте қаланады.
Сондықтан балалардың математикалық білімін дамытудың бір жолы-ол есеп шығару. Есеп шығару оқушылардың логикалық ойлауын, теориялық практикамен, оқытуды өмірмен байланыстыруға мүмкіндік береді және математикалық ұғымдар қалыптасады, яғни есеп шығару арқылы балалар танымдық және тәрбиелік тұрғыдан алғанда маңызды факторлармен танысады.
Зерттеудің мақсаты: - математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту жолдарын ғылыми тұрғыда негіздеп, әдістемесін жасау.
Зерттеудің өзектілігі:- егер теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісі дамытылатын болса, онда олардың математикадан білім деңгейі жоғарылайды, өйткені пәнге деген қызығушылығы қалыптасады .
Зерттеудің ғылыми жаңалығы: - математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту жолдары мен әдістерін ғылыми тұрғыда негіздеу.
Зерттеудің объектісі - оқушыларға математиканы оқыту үдерісі.
Зерттеу пәні - математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту жолдары мен әдістері.
Зерттеудің міндеттері -
1.Зерттеу тақырыбына байланысты әдебиеттермен танысып, оларға ғылыми-әдістемелік тұрғыдан шолу жасау;
2. Математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту мүмкіндіктерін дамыту;
3. Математика сабағында теңсіздіктерді стандарт және стандарт емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ой-өрісін дамыту әдістемесін және тиімділігін тексеру.
Зерттеудің практикалық құндылығы: - Математиканы оқытуда; пәндерді байланыстыра оқыту әдістемесін жетілдіруде; математика мамандығы студенттерінің математиканы оқыту әдістемесі пәніне арнайы курстарда, студенттердің педагогикалық іс-тәжірибесінде көмекші құрал ретінде пайдалануға болады.
Диплом жұмысының құрылымы: Кіріспеден, екі негізгі бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады
1 ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫ СТАНДАРТ ТӘСІЛДЕРМЕН ДӘЛЕЛДЕУ ӘДІСТЕРІ
0.1 Теңсіздіктер және олардың қасиеттері
Өзара құрамында мына белгілердің (үлкен), (үлкен не тең; кіші емес), (кіші), (кіші не тең; артық емес), 0 (тең емес) біреуі бар екі өрнекті (санды) теңсіздіктер деп атайды.
Екі жағы да бірдей алгебралық өрнектер болып келетін теңсіздіктерді алгебралық теңсіздіктер деп атайды.
Мынадай теңсіздіктер жұбы және және және және бірдей мағыналы теңсіздіктер деп аталады.
Ал мынадай теңсіздіктер жұбы және және және және қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер деп аталады.
Мысалы, 84 және 96 - бірдей мағыналы теңсіздіктер, ал және - қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер.
Мұнда және белгілерін қатаң, ал және белгілерін қатаң емес теңсіздіктер деп атайды.
Нақты сандар өрісінің тәртіптілік қасиеті бар: кез келген екі нақты санның бірі екіншісінен не үлкен, не тең, не кіші болады. Бұл қатыстарды таңбаларымен белгілейді. Сонда нақты сандар болса, онда олар арасында мына қатыстың тек бірі орындалады.
қатыстарын теңсіздіктер дейді. ол теңсіздіктің мүшелері делінеді. деген, мен -ның айырымы оң сан, деген мен -ның айырымы теріс сан деген сөз. мен теңсіздіктерін бір мағыналы, ал мен теңсіздіктерін қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер дейді. Олар қатаң теңсіздіктер болады.
Олармен қатар, қатаң емес теңсіздіктер қарастыры-лады.
теңсіздігі болғанда да, болғанда да дұрыс, ал болғанда дұрыс емес. , екі теңсіздіктің орнына немесе қос теңсіздігін пайдалануға болады. Сандық теңсіздіктердің мынадай қасиеттері бар:
1. Егер болса, онда болады. Бұл теңсіздіктің қайтымсыздық қасиеті.
2. Егер болса, онда кез келген үшін болады.
3. Егер болса, онда болады. (Бұл теңсіздіктің транзитивтік қасиеті).
4. Егер болса, онда болады.
5. Егер болса, онда болады.
Егер болса, онда болады.
6. Егер болса, онда кез келген үшін ал үшін болады.
7. Егер болса, онда болады.
8. Егер болса, онда болады.
9. Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады. Керісінше болғанда болса, онда болады.
10. Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады.
11. Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады.
12. Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады.
Сан модуліне арналған кейбір теңсіздіктерді дәлелдейік.
13. Кез келген саны үшін болады.
Дәлелдеуі: болса, онда ал болса, онда
болатындықтан қатаң теңсіздігі орындалады. Сонымен
болған екі жағдай үшін болады.
14. Кез келген және сандары үшін болады.
Дәлелдеуі: 13 бойынша болады, оларды қоссақ 5
қасиет бойынша: болып шығады. Ал,
болғандықтан, қоссақ .
Сонда мен -ден болады. Мұндағы
теңдік болғанда орын алады.
15. Кез келген және сандары үшін болады.
Дәлелдеуі: болады. Бұған 14 пайдалансақ:
, бұдан .
Екі нақты санды өзара салыстыру үшін түрлі әдістер қолданылады.
1. Егер екі бүтін сан берілсе, онда олардың қайсысының екіншісінен үлкен не кіші екенін ажырату тікелей анықталады.
2. Екі бөлшек сандарды салыстыру үшін, олардың не алымдарын, не бөлімдерін бірдей күйге келтіру керек.
және бөлшектерін ортақ бөлімге келтірсек және
болса, онда болар еді де, қысқартқаннан соң
болып шығады.
1-мысал. және бөлшектерін салыстыру үшін, ортақ бөлімге
келтіреміз және . болғандықтан , бұдан
болады.
3. Түбірлерді (радикалдарды) салыстыру үшін, түбірлердің дәрежелерін теңестіріп, түбір астындағы санды салыстыру керек.
Мәселен, болса, мына және күйге келтіріп болса, онда болады да, болып шығады.
2-мысал. түбірлерін салыстыру үшін, түбір дәрежелерін,
тең күйге келтіреміз. Сонда болып
болғандықтан , бұдан болып
шығады.
3. Логарифмді салыстырғанда мыналарды ескеру керек:
а) болғанда, егер болса, болады.
б) болғанда, егер болса болады.
3-мысал.
Бірінші теңсіздікте , екінші теңсіздікте
4-мысал. . Егер деп жорысақ, онда болар еді. Түрлендірсек болар еді.
Бұл теңсіздік дұрыс емес, сондықтан Дәл осы есепті былайша да салыстыруға болады, әр түбірді жеке-жеке бағалаймыз:
Бұдан қай түбірлер қосындысының үлкен екендігі байқалмайды. Өйткені 6 мен 8-дің арасында жатқан сан 7 мен 9-дың арасында жатқан саннан кіші болады деуге болмайды. Мәселен, бірінші 7,9 екіншісі 7,5 болуы мүмкін. Сондықтан, енді ол қосылғыштарды 0,1 дәлдікте бағалаймыз.
Бұдан екінші қосылғыштың көп екені көрінеді, оның аз мәнінің өзі бірінші қосылғыштың артығымен алынған мәнінен көп болып кетті:
Сонымен
5-мысал. және сандарын салыстыру
керек:
Ал,
Сонымен мен аралықта жатыр екен. аралықтың қақ ортасы . Берілген сандар немесе аралықтың қайсысында жататынын анықтаймыз:
дейік, онда
Бұл дұрыс теңсіздік. Сондықтан яғни аралықта жатады екен.
Енді дейік, онда Бұл дұрыс емес теңсіздік. Сондықтан Сонымен
болып шығады.
6-мысал. және сандарын салыстырыңдар:
және алгебралық өрнектердің мүмкін мәндері облысына кіретін жиынынан алынған сандарға сай келетін өрнегінің сан мәні сол сандарға сай келетін өрнегінің сан мәнінен үлкен (кіші) болатын болса, теңсіздігі жиынында теңбе-тең теңсіздік делінеді.
Мысалы: теңсіздігі нақты сандар жиынында теңбе-тең теңсіздік болады, өйткені -тың кез келген нақты мәнінде бұл теңсіздік дұрыс теңсіздік.
Егер жиыны берілмесе, онда теңбе-тең теңсіздік ол теңсіздікке кіретін өрнектердегі мүмкін мәндері жиынында қарастырылады.
Алгебралық өрнектерде де қатаң теңсіздіктермен қатар, қатаң емес теңсіздіктер қарастырылады. Қатаң емес теңсіздікте бұл өрнектердің мүмкін мәндері облысына кіретін жиынынан алынған сандарға сай келетін өрнектерінің сан мәндері не тең, не -ның сан мәні -ның сан мәнінен үлкен деп түсіну керек.
Теңбе-тең теңсіздіктердің мынадай қасиеттері бар.
алгебралық өрнектерінің мүмкін мәндері облысынан алынған жиынында:
1. болса, онда болады.
2. болса, онда болады.
3. болса, онда болады.
4. болса, онда болады.
5. болса, онда болады.
6. болса, онда болады.
7. болса, онда болады.
8. болса, онда болады.
9. болса, онда болады.
10. болса, онда болады. -натурал сан.
11. болса, онда болады. -натурал сан.
12. болса, онда болады. -натурал сан.
13. болса, онда болады. -натурал сан.
14. болса, онда болады. -натурал сан.
15. болса, онда болады. -натурал сан.
Бұл келтірілген қасиеттер теңсіздіктері үшін де дұрыс. Көптеген жағдайда теңсіздіктердің берілген жиынында немесе ол теңсіздіктерге кіретін алгебралық өрнектердің мүмкін мәндері жиыны облысында теңсіздіктердің дұрыс, не қате екенін дәлелдеуге тура келеді.
Дәлелдеу түрлі жолмен іске асады. Ол жолдардың кейбіреулеріне мысалдар келтірейік.
1.2 Теңсіздікті оның анықтамасына сүйеніп дәлелдеу.
Теңсіздіктің анықтамасы бойынша болу ұшін болуы жеткілікті. Сондықтан және алгебралық өрнектері
үшін екенін көрсету үшін айнымалылар-дың қарастырылып отырған жиыннан алынатын кезкелген сан мәндері үшін екенін дәлелдеу керек.
1-мысал. Таңбалас кез келген екі нақты санның бір-біріне қатынастарының қосындысы 2 -ден кем болмайтындығын ,яғни болса, онда болатындығын дәлелдеңіздер?
Дәлелдеуі: Мына айырымды қарастырамыз.
Бұл өрнек болса оң, ал болса нөлге тең. Сондықтан дұрыс теңсіздік.
2-мысал. Екі оң нақты санның арифметикалық ортасы, сол сандардың геометриялық ортасынан кем болмайды, яғни болса, онда болады(Коши теңсіздігі).
Дәлелдеуі. Айырымын қарастырамыз.
Соңғы өрнек кез келген сандары үшін оң, ал болса нөл. Сондықтан теңсіздік дұрыс.
3-мысал. Оң сан үшін болатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі. Айырымы
Бұл кез келген үшін оң сан. Сондықтан теңсіздік дұрыс. Тепе-теңдік тек болғанда орындалады.
4-мысал. теңсіздігін дәлелдеңіздер.
Дәлелдеуі. Айырма
кезкелген нақты сан үшін оң сан болады. Сондықтан, дұрыс теңсіздік.
5-мысал. Кез келген оң сандар үшін теңсіздігінің дұрыстығын дәлелдеңіздер.
Дәлелдеуі. Айырым
Бұл кез келген үшін оң сан. Сондықтан берілген теңсіздік дұрыс.
Берілген сандар жиынында қарастырылатын теңсіздіктің екі жағының да сандық мағынасы болатын теңсіздіктің құрамына енетін әріптердің мүмкін мәндерін теңсіздіктің мүмкін мәндері деп атайды.
Мысал-1. Теңсіздіктің мүмкін мәндерін табыңдар: .
Шешуі. Егер яғни болса, онда теңсіздіктің сол жағының мағынасы болады. Егер болса, теңсіздіктің оң жағының мағынасы болады.
Жауабы: Теңсіздіктегі әріптердің мүмкін мәндері:
Теңсіздіктің құрамына енетін әріптердің барлық мүмкін мәндерінде дұрыс болатын теңсіздіктерді теңбе-тең теңсіздіктер деп атайды.
Анықтама . Егер болса, онда саны санынан үлкен (кіші) деп атайды. Оларды сәйкесінше былай жазады: .
Теңсіздіктердің қасиеттері
Теңсіздіктердің негізгі қасиеттері төмендегі теоремалар арқылы өрнектеледі.
Теорема 1. Егер болса, онда болады (қайтымсыздық қасиеті).
Дәлелдеуі: Айталық болсын, онда болады. Сонда - ға қарама-қарсы сан теріс таңбалы сан болады, яғни бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы дәлелденді.
Теорема 2. Егер және болса, онда болады (транзитивтік қасиеті).
Дәлелдеуі: Шарт бойынша - оң таңбалы сан, және - оң таңбалы сан; олардың қосындысы саны да оң таңбалы. Демек, (анықтама бойынша).
Теорема 3. Егер болса, онда болады.
Дәлелдеуі: Айталық, яғни болсын. Сонда бұдан болатындығы айқын.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Салдар. Теңбе-тең теңсіздіктің мүшелерін оның бір жағынан екінші жағына қарама-қарсы таңбамен шығаруға болады.
Теорема 4. Егер және болса, онда болады.
Дәлелдеуі: Айталық, , яғни және болатындықтан, екі оң санның көбейтіндісі де оң сан болады, яғни бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Салдар. Егер және болса, онда болады.
Теорема 5. Егер және болса, онда болады.
Дәлелдеуі: Айталық, яғни, және болатындықтан, оң таңбалы сан мен теріс таңбалы санның көбейтіндісі теріс таңбалы сан болатындықтан, бұдан болады.
Сонымен, теңіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Салдар. Егер және болса, болады.
Теорема 6. Егер және болса, онда болады, яғни бірдей мағыналы теңсіздіктерді қосқанда сондай мағыналы теңсіздік шығады.
Дәлелдеуі: Айталық, және , яғни және болсын. Сонда екі оң таңбалы санның қосындысы да оң таңбалы сан болатындықтан, бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Теорема 7. Егер және болса, онда болады, яғни қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктерді алғанда шегеретін азайғыш теңсіздікпен мағыналас теңсіздік шығады.
Дәлелдеуі: Айталық, және яғни және яғни болсын. Сонда екі оң таңбалы санның қосындысы да оң сан болатындықтан, бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Теорема 8. Егер және мұнда , , , болса, онда болады, яғни мүшелері оң бірдей мағыналы теңсіздіктерді көбейткенде сондай мағыналы теңсіздік шығады.
Дәлелдеуі: теңсіздігінің екі жағында бірдей -ға көбейтіп табатынымыз:
теңсіздігінің екі жағында бірдей -ға көбейтіп табатынымыз:
Транзитивтік қасиет бойынша
Теорема 9. Егер және мұнда , , , болса, онда болады, яғни мүшелері оң қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктерді мүшелеп бөлгенде бөлгіш теңсіздікке мағыналас теңсіздік шығады.
Дәлелдеуі: Шынында да, өйткені ,яғни болатындықтан, яғни және екі оң таңбалы санның көбейтіндісі ретінде болады, олай болса, бұдан болады.
Теорема 10. Егер мұндағы , және - натурал сан болса, онда болады, яғни мүшелері оң теңсіздіктің екі жағында бірдей натурал дәрежеге шығарғанда берілген теңсіздікке мағыналас теңсіздік шығады.
Дәлелдеуі: Расында да, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығына мағыналас теңсіздіктерді өзара мүшелеп рет көбейту арқылы көз жеткізуге болады.
Теорема 11. Егер мұндағы , және - натурал сан болса, онда болады, яғни мүшелері оң теңсіздіктің екі жағынан бірдей натурал көрсеткішті түбір тапқанда, берілген теңсіздікке мағыналас теңсіздік шығады.
Теореманың дұрыстығы қарсы жору әдісімен оп-оңай дәлелденеді [82].
Теңсіздіктерді бұл тәсіл бойынша дәлелдеу артық және кіші ұғымдарының тікелей анықтамасына негізделген және теңсіздіктің сол жағы мен оң жағында тұрған айырманың таңбасын анықтауға арналған.
Бұл тәсіл бойынша теңсіздігін дәлелдеудің орнына берілген теңсіздіктің мүмкін мәндеріне теңсіздігінің орындалатындығын көрсету жеткілікті. Ал, теңсіздігін дәлелдеудің орнына сәйкес теңсіздігін дәлелдеу қажет.
Сонымен, бұл тәсіл бойынша немесе теңсіздігінің ақиқаттығын көрсету үшін айырмасын құрып, оның таңбасын зерттеу қажет. Сонда, егер онда ал егер болса, онда болады.
Енді осы тәсілге бірнеше мысалдар қарастырайық.
1-мысал. теңсіздігін дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі. . Олай болса, берілген теңсіздік кез келген үшін орындалады.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
2-мысал. Кез келген және сандары үшін теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: болғандықтан, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
3-мысал. Егер , болса, онда теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Анықтама бойынша, егер болса, онда теңсіздігінің ақиқаттығы шығады:
.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
4-мысал. Барлық және үшін теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Айырманың таңбасын анықтайық: . Сонда , болғандықтан, бұл бөлшектің теріс таңбалы емес екендігі айқын. Олай болса, егер , болса, онда және , демек, теңсіздігі орындалады.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
5-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , мұндағы .
Дәлелдеуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз:
,
бұл айырма болғанда, теріс таңбалы емес. Сондықтан теңсіздіктің анықтамасы бойынша теңсіздігі ақиқат.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
6-мысал. Кез келген нақты ,, сандары үшін теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің екі жағын да бірдей 2-ге көбейтіп, сондағы шыққан айырманы қарастырайық:
.
Олай болса, .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
7-мысал. болғанда, теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз: .
Сонда , болғандықтан, бұл айырма теріс таңбалы емес. Сондықтан берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
8-мысал. Коши теңсіздігін дәлелдеңдер: , мұндағы , (оң сандардың арифметикалық ортасы олардың геометриялық ортасынан кем емес).
Дәлелдеуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз:
.
Сонда , болғанда, болатындықтан, бұл айырма оң таңбалы, яғни теріс таңбалы емес. Сондықтан берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
9-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: екендігін ескеріп, айырманың таңбасын анықтаймыз:
.
Сонда , болғандықтан, бұл айырма оң таңбалы, олай болса, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
10-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:
.
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің айырымын деп белгілеп, оның таңбасын қарастырамыз:
.
Сонда , , , болғандықтан, бұл айырма оң таңбалы, олай болса, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
11-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз:
.
Сонда болғандықтан, бұл айырма теріс таңбалы емес. Олай болса, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді [82].
Теңсіздікті дәлелдеңдер:
1. .
2. , (, , ).
3. .
4. , , .
5. Егер ,,, - оң сандар болса, онда .
6. Егер , , - оң сандар болса, онда .
7. , болғанда .
8. .
9. .
10. , болғанда .
11. , , .
12. Егер болса, онда .
13. .
14. , болғанда .
2 ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ СТАНДАРТ ЕМЕС ТӘСІЛДЕРМЕН ДӘЛЕЛДЕУ
2.1 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу
Бұл әдісті кейде теңсіздікті күшейту немесе бәсеңдету әдісімен дәлелдеу деп те атайды. Бұл әдісте берілген теңсіздіктің мүшелерін жоғарыдан немесе төменнен бағалау арқылы дәлелдейді. Айталық, бізге теңсіздігін дәлелдеу керек болсын. Сонда егер де біз және теңсіздіктерін дәлелдей алсақ, онда теңсіздіктің транзитивті қасиеті бойынша теңсіздігі дәлелденген болып шығады. Бұл әдісті теңсіздікті күшейту әдісімен дәлелдеу деп атайды.
1-мысал. Кез келген үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: екендігін ескеріп, теңсіздіктің сол жағын бағалаймыз: - еселігі -ге тең геометриялық прогрессияның мүшесінің қосындысы. Оның қосындысы мынаған тең: екені белгілі.
Сонда болғандықтан, кез келген үшін .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
2-мысал. Теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: теңдігін пайдаланып табатынымыз:
.
Сөйтіп, теңсіздігінің дұрыстығы дәлелденді.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
3-мысал. Кез келген натурал саны үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: екені айқын. Сондықтан
.
Олай болса, теңсіздігі ақиқат.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
4-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: ; болсын. екені айқын. Сонда . Бұдан .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
5-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: , ,..., . Осы теңсіздіктерді мүшелеп қосып табатынымыз: .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
6-мысал. және шарттарын қанағаттандыратын кез келген нақты ,,, сандары үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Теңсіздікті күшейту әдісі арқылы дәлелдейік. Модульдің қасиеті мен Коши теңсіздігін қолданып табатынымыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
7-мысал. Егер болса, онда теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Коши теңсіздігін қолданып, берілген теңсіздікке енетін әрбір түбірді бағалаймыз:
.
Осы сияқты, , .
Осы теңсіздіктерді мүшелеп қосып табатынымыз:
.
Берілген теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдеу үшін соңғы теңсіздікте теңдік белгісінің орындалмайтындығын көрсетуіміз қажет.
Шынында да, теңдік белгісі мына теңдіктер бір мезгілде орындалған жағдайда ғана болуы мүмкін: , , , яғни , , болғанда.
Онда шарты орындалмайды.
Сөйтіп, , дәлелдеу керегі де осы еді.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
8-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: , болсын. Сонда , ,..., болатындықтан . Олай болса, .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
9-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Әрбір қосылғыштың бөліміндегі иррационалдықты жойып табатынымыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
10-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , мұндағы , .
Дәлелдеуі: Дұрыс бөлшектің қасиетін пайдаланып табатынымыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
Теңсіздікті бәсеңдету тәсілімен дәлелдеу деп берілген теңсіздіктен оған қарағанда бәсең теңсіздікке көшу әдісін айтады. Айталық, бізге теңсіздігін дәлелдеу керек болсын. Сонда егер де біз және теңсіздіктерінің дұрыстығын көрсете алсақ, онда теңсіздіктің транзитивті қасиеті бойынша теңсіздігі дәлелденген болып шығады.
Енді осы әдіске мысалдар келтірейік.
11-мысал. Енді біз жоғарыдағы қарастырылған 6-мысалды бәсеңдету әдісі арқылы дәлелдейік.
Есептің шарты бойынша және екенін ескеріп, мынаны табамыз: , өйткені ,,,-ның кез келген нақты мәндерінде өрнегі тек теріс емес мәндер қабылдайды. Соңғы арақатыстан екені шығады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
12-мысал. Егер , , болса, онда болатындығын дәлелдеңдер..
Дәлелдеуі: Анығырақ болу үшін болсын. , деп белгілейік.
екенін ескереміз, бұдан . Сонда берілген теңсіздік мынадай түрге келеді:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
13-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Есептің шарты бойынша: .
Сонда болатындықтан, теңсіздігі орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
14-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің сол жағында тұрған өрнекті түрлендіріп табатынымыз:
.
Сонда болатындықтан, , олай болса, болады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
15-мысал. Кез келген натурал саны үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Кез келген натурал саны үшін болатындықтан,
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
16-мысал. болатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Бөлшектің бөлімі артқан сайын, оның шамасы кіші болатындықтан, .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
Рационал сандарды салыстыру үшін теңсіздіктің екі бөлігін де 1 санынан азайту әдісін қолданған тиімді.
Көптеген жағдайларда теңсіздіктің екі бөлігін өз алдына түрлендіріп, ықшамдап алғаннан кейін, олардың екі бөлігін жеке-жеке 1-ден шегеріп, сондағы шыққан нәтижені салыстыру арқылы дәлелдейді. Сонда соңғы теңсіздіктің қай бөлігі кіші болып шықса, бастапқы берілген теңсіздіктің сол бөлігі үлкен болып шығады.
Енді осы әдіске мысалдар келтірейік.
17-мысал. және сандарын салыстыру керек.
Шешуі: Әрине, бұл сандарды ортақ бөлімге келтіріп алып, салыстыруға болады. Ал бұл жұмысты калькуляторсыз орындау өте күрделі. Дегенмен, есепті жеңіл жолмен шешуге болады. Ол үшін берілген сандарды 1-мен салыстыру керек. Сонда , және болғандықтан, теңсіздігі орындалады.
Жауабы: .
18-мысал. Қай бөлшек бірлікке жақын: дұрыс бөлшек немесе бұрыс
бөлшек (, ) ?
Дәлелдеуі: Айталық болсын. Сонда , бұдан .
Демек, бірлікке бұрыс бөлшек жақын.
Жауабы: Бұрыс бөлшек.
Кейде екі шаманы өзара салыстыру үшін олардың қатынасының неге тең екенін қарастырған тиімді. Мысалы, А және В шамаларын салыстыру үшін олардың қатынасы -ны табамыз. Сонда болса, онда , ал болса, онда болып шығады. Енді осы әдіске мысалдар қарастырайық.
19-мысал. Мына сандардың қайсысы үлкен: немесе ?
Дәлелдеуі: Екінші санның біріншісінен артық екенін дәлелдейік. Ол үшін бірінші санның екінші санға қатынасын қарастырамыз.
Бұл қатынасты былайша түрлендіруге болады:
.
Сонымен, біз қатынастың әрқайсысы бірден кіші болатын екі санның көбейтіндісіне тең екенін көреміз. Демек, қатынастың өзі бірден кіші болады.
Жауабы: Екінші сан біріншісінен үлкен.
20-мысал. Мына сандардың қайсысы үлкен: немесе ?
Шешуі: Бірінші санды екінші санға бөліп табатынымыз: .
Демек, бірінші сан үлкен.
Жауабы: Бірінші сан.
21-мысал. және сандарының қайсысы үлкен?
Шешуі: Берілген сандардың екеуі де оң таңбалы екендігін ескеріп, олардың қатынасын қарастырайық: , бірақ , өйткені , яғни . Олай болса, [82].
Жауабы: .
Теңсіздікті дәлелдеңдер:
1. .
2. , , .
3. Теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдеңдер: , мұндағы түбірлердің саны 2010 - ға тең.
4. .
5. , (, , ).
6. .
7. .
8. , (-кез келген натурал сан).
9. Қайсысы үлкен: немесе ?
2.2 Тенсіздіктерді аналитикалық тәсілмен дәлелдеу
Теңсіздіктерді бұл тәсілмен дәлелдегенде берілген теңсіздікті дұрыс деп ұйғарып, теңсіздіктердің негізгі қасиеттеріне сүйене отырып, оны дұрыстығына күмән келтірмейтін түрге келтіреді. Одан кейін соңғы теңсіздіктен бастапқы берілген теңсіздікті шығарып алады. Енді осы тәсілге бірнеше мысалдар қарастырайық.
1-мысал. Кез келген оң ,, сандары үшін теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Теңсіздікті дұрыс деп жорып, жақшаларды ашайық:
; .
Бұл дұрыс теңсіздік. Олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
2-мысал. , және болсын. Мынаны дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Есептің шарты бойынша алатынымыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
3-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Берілген теңсіздік мына теңсіздікке мәндес:
.
Сонда бұл теңсіздік дұрыс, өйткені , , болатындықтан, . Олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
4-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , (, , ).
Дәлелдеуі: Дәлелденуге тиісті теңсіздікті мына түрде жазамыз:
, немесе , немесе
.
Бұл дұрыс теңсіздік, өйткені егер , болса, онда теңсіздігі орындалады. Теңдік белгісі болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
5-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Алатынымыз:
.
Сондықтан .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
6-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Дәлелденілуге тиісті теңсіздік оның екі жағын да бірдей 2-ге көбейткен соң мынадай түрде келеді:
, немесе , немесе .
Бұл теңсіздіктің орындалуы ақиқат.
Теңдік белгісі тек болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
7-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: Есептің шарты бойынша:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
8-мысал. Айталық, ,, - әртүрлі оң сандар болсын. теңсіздігінің тура болатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Расында да, берілген теңсіздікті былай жазуға болады:
.
Сонда өзара кері екі оң санның қосындысы екіден артық болатындықтан, соңғы теңсіздіктің орындалатындығы ақиқат.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
9-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , (, ).
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің екі жағында бірдей квадрат дәрежеге шығарып табатынымыз:
, бұдан .
Екі оң санның көбейтіндісі оң сан болатындықтан, бұл теңсіздік дұрыс. Олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
10-мысал. Егер , , болса, онда
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Алатынымыз:
.
Сонда өзара кері екі оң санның қосындысы 2-ге тең не одан артық болатындықтан, бұл теңсіздік дұрыс, олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді [82].
Теңсіздікті дәлелдеңдер:
1. , (, , ).
2. .
3. .
4. , ().
5. .
6. .
7. Егер және болса, онда теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
8. , мұндағы ,, - оң сандар.
9. , ().
10. .
11. , мұндағы ,-нольден өзге кез келген сан.
2.3 Теңсіздіктерді синтетикалық тәсілмен дәлелдеу
Бұл тәсілді кейде тірек теңсіздіктер тәсілі деп те атайды. Бұл - берілген теңсіздікті қандай да бар ақиқат теңсіздіктің немесе алдын ала дәлелденген теңсіздіктердің көмегі арқылы дәлелдеу тәсілі. Осындай көмекші теңсіздіктерді тірек теңсіздіктер деп атайды. Мысалы, , , (, ); , () өрнектерін тірек теңсіздіктер ретінде қарастыруға болады.
Енді осы тәсілге бірнеше мысалдар қарастырайық.
1-мысал. Әрбір теріс емес ,, сандары үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Тірек теңсіздіктер ретінде ; ; теңсіздіктерін аламыз. Бұларды мүшелеп көбейту арқылы дәлелдеуге тиісті жоғарыдағы теңсіздікті шығарып аламыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
2-мысал. Әрбір теріс емес ,, сандары үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Мұнда тірек теңсіздіктер ретінде теңсіздіктерін аламыз. Оларды мүшелеп қосып: теңсіздігін аламыз. Соңғы теңсіздіктің екі жақ бөлігіне де 3-ті қосу арқылы немесе теңсіздігін аламыз. Осыдан теңсіздігі шығады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
3-мысал. Егер болса, онда екенін дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Ақиқат теңсіздікті түрлендіріп табатынымыз: . Теңсіздіктің екі жағында бірдей -ға бөліп анықтайтынымыз: .
Мұнда болғанда берілген теңсіздіктің мына теңсіздікке мәндес екенін ескертеміз.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
4-мысал. Егер ,, болса, онда теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Егер , болса, онда , болатындығы айқын. Осы теңсіздікке сүйеніп мынаны табамыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
5-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: болсын, сонда . Бұдан
екені айқын.
Осы теңсіздіктің екі жағында бірдей - ге бөліп, дәлелденілуге тиіс теңсіздікті шығарып аламыз.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
6-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: .
Дәлелдеуі: , теңсіздігін қолданып, табатынымыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
7-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:
, мұндағы , , .
Дәлелдеуі: Кез келген саны үшін екені белгілі. Сондықтан
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
8-мысал. Егер болса, онда теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Мұнда тірек теңсіздігі ретінде теңсіздігін алып, мынаны табамыз: .
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
9-мысал. кез келген нақты сан болғанда болатынын дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің сол жақ бөлігін түрлендіреміз, одан кейін өзара кері екі оң санның қосындысының қасиетін пайдаланамыз:
.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
10-мысал. Кез келген мен натурал сандары үшін теңсіздігінің тура болатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: , натурал сандары үшін , теңсіздіктерінің орындалатындығы айқын. Бұдан бірінші теңсіздікті-ға, ал екінші теңсіздікті -ға көбейтсек, , болады. Соңғы екі теңсіздікті мүшелеп қосқанда мынау шығады: .
Дербес жағдайда , болғанда, не , болғанда болады.
Олай болса, кез келген натурал сан мен үшін теңсіздігі орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді [82].
Теңсіздікті дәлелдеңдер:
1. , (,,-оң сандар).
2. , (, , ).
3. , (, , ).
4. , (, , ).
5. , ().
6. , (, , ).
7. .
8. , (, , ).
9. .
10. , ().
11. .
12. , (-кез келген нақты сан).
13. .
14. , (,,-натурал сандар).
15. , (, ).
16. , ().
2.4 Теңсіздіктердің дұрыстығын математикалық индукция әдісімен
дәлелдеу
Математикалық индукция әдісінің негізіне мынадай қағида алынады:
Қандай да бір пікір
1. Натурал сан болғанда дұрыс болсын және
2. Бұл пікірдің кез келген мәні үшін дұрыстығынан, оның үшін де дұрыс болатындығы тағайындалса, онда бұл пікір кез келген натурал сан үшін дұрыс болады.
Теңсіздіктің бір немесе екі жағы да бірдей натурал аргумент -ге тәуелді болып келгенде теңсіздіктің дұрыстығын математикалық индукция әдісін қолдану арқылы дәлелдеген тиімді.
Теңсіздікті бұл әдіспен дәлелдегенде мына екі тұжырымды дәлелдейді: а) үшін теңсіздіктің дұрыстығын (немесе үшін дұрыстығын, мұндағы -берілген теңсіздіктегі -нің мүмкін мәндерінің ең кішісі) және б) берілген теңсіздікті үшін дұрыс деп жорығанда ( немесе болғанда), оның үшін дұрыс болатындығын.
Енді осы тәсілге бірнеше мысалдар келтірейік.
1-мысал. болғанда, кез келген натурал саны үшін мына теңсіздіктің (1) орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: үшін (1) теңсіздік дұрыс, өйткені . Енді біз (1) теңсіздіктің натурал саны үшін дұрыс деп жорығанда (2) оның саны үшін дұрыс болатындығын, яғни (3) теңсіздігінің орындалатындығын көрсетейік. Ол үшін (2) теңсіздіктің екі жағында бірдей - ға көбейтеміз. Сонда болатындықтан, болады.
Сондықтан математикалық индукция әдісі бойынша (1) теңсіздік кез келген натурал саны үшін дұрыс болады. Бұл теңсіздікті Бернулли теңсіздігі деп атайды.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
2-мысал. болғанда (1) теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Теңсіздікті математикалық индукция тәсілімен дәлелдейміз.
1) болғанда тұжырым дұрыс. Шындығында да,
.
Сөйтіп, болды. Бірақ , сондықтан . Олай болса, .
2) Айталық, енді . (2) болсын.
Сонда мына теңсіздіктің де орындалатынын дәлелдейік:
.
(2) теңсіздіктің екі жағына да бірдей -ны қосып табатынымыз:
, немесе
, немесе
.
Бірақ . Ендеше теңсіздігі орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
3-мысал. Егер болса, онда кез келген натурал саны үшін теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: болғанда теңсіздігі орындалады, өйткені .
Одан әрі, айталық дәлелденілетін теңсіздік үшін орындалсын, яғни
. (1)
Егер (1) теңсіздік орындалса, онда мына теңсіздіктің де орындалатынын көрсетейік:
, немесе . (2)
Егер біз мына теңсіздіктің дұрыстығын көрсете алсақ, , (3) онда, (2) теңсіздікті дәлелдеген боламыз, өйткені . (3) теңсіздікті мына түрде жазайық: , яғни .
Сонымен, есептің тұжырымының дұрыстығы кез келген натурал саны үшін дәлелденді.
4-мысал. теңсіздігі және болғанда дұрыс екенін дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: болғанда , яғни арақатысы үшін = белгісі орындалады. Арақатысты үшін дұрыс деп ұйғарайық, яғни . Сонда оның үшін де дұрыс болатындығын көрсетейік. Шынында да, .
Сөйтіп, берілген арақатыс үшін де орындалады. Математикалық индукция әдісі бойынша берілген теңсіздік кез келген натурал () саны үшін орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
5-мысал. - нақты сандары үшін теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Нақты санның модулінің анықтамасы бойынша мына теңсіздік , теңсіздіктер орындалады. Осы теңсіздіктерді қосып табатынымыз:
.
Бұл қос теңсіздік мына теңсіздікке мәндес. Олай болса, берілген теңсіздік үшін дұрыс. Берілген теңсіздікті үшін дұрыс деп ұйғарайық:
.
Сөйтіп, осы теңсіздікке сүйеніп,
теңсіздігі орындалатынын көрсетейік. Шынында да,
теңсіздігі орындалады.
Математикалық индукция әдісіне сәйкес берілген теңсіздік кез келген үшін орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
6-мысал. Кез келген натурал сан үшін теңсіздіктің орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: үшін теңсіздік дұрыс: . Айталық теңсіздік үшін дұрыс болсын: .
Сонда теңсіздіктің үшін дұрыс болатындығын көрсетейік:
;
Бұл теңсіздікті алдыңғы теңсіздікпен салыстырсақ, оның бірінші мүшесі жоқ және соңғы үш мүшесі артық. Теңсіздіктің сол жағының артық екендігін көрсетейік.
; ; ; ;
; .
Бұл теңсіздік дұрыс.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы математикалық индукция әдісі бойынша дәлелденді.
7-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , мұндағы .
Дәлелдеуі: 1) үшін теңсіздік дұрыс, өйткені . Теңсіздікті үшін дұрыс деп ұйғарайық: . (1)
Сонда теңсіздіктің үшін де дұрыс болатындығын, яғни орындалатынын дәлелдейік.
Шынында да, мына айқын теңсіздікті аламыз: . (2)
Осы (1) және (2) теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіп, мынаны табамыз: , яғни . Олай болса, математикалық индукция принципі бойынша кез келген натурал саны үшін теңсіздігі орындалады.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
8-мысал. Кез келген натурал сан үшін теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: үшін теңсіздік дұрыс, өйткені .
Берілген теңсіздікті үшін дұрыс деп жориық, яғни . Сонда үшін мынаны аламыз: , ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz