Мектеп математикасының тарихи мағлұматтары
I. Кіріспе:
II. Негігі бөлім:
1. V.XI сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
а) V.IX сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
ә) X.XI сыныптар алгебрасы және анализ бастамаларының тарихи мағлұматтары
б) VII.XI сыныптар геометриясының тарихи мағлұматтары
2. Математиктердің өмірлері мен шығармашылықтары
а) Грек және Орта Азия математиктері
б) Еуропа және Орыс математиктері
III. Қорытынды
II. Негігі бөлім:
1. V.XI сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
а) V.IX сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
ә) X.XI сыныптар алгебрасы және анализ бастамаларының тарихи мағлұматтары
б) VII.XI сыныптар геометриясының тарихи мағлұматтары
2. Математиктердің өмірлері мен шығармашылықтары
а) Грек және Орта Азия математиктері
б) Еуропа және Орыс математиктері
III. Қорытынды
Әрбір ғылымның дамуына байланысты өздеріне тән ерекше тарихы болады. Сол ғылымдардың тарихын білмей, оның теориясын, практикадағы маңызын және өмірімен байланыстығын жете түсіну қиын болар еді. Сондықтан орта мектепте оқытылатын математиканың тарихи мағлұматтарына ерекшк көңіл бөлген жөн.
Бұндағы мақсатымыз орта мектеп математикасындағы тақырыптарды өзінің тарихымен байланыстыра оқыту.
Математика даму тарихында ұлы математиктердің еңбектері арқылы қалыптасып, ғылымға өшпес із қалдырған. Олардың өмірі жастар үшін зор тәрбиелік маңызы бар. Сондықтан дарынды математиктердің өмірлері мен шығармашылықтарына көңіл бөлген дұрыс. Математиктердің есімдері және математиканың тарихи мағлұматтары бір – бірімен байланыстыра баяндалады.
Зерттеу тақырыбы: Мектеп математикасының тарихи мағлұматтары.
Зерттеу нысыаны: Орта мектеп оқушылары мен мұғалімдері.
Зерттеудің мақсаты: Орта мектеп математикасындағы тақырыптарды өзінің тарихымен байланыстыра оқыту.
Бұндағы мақсатымыз орта мектеп математикасындағы тақырыптарды өзінің тарихымен байланыстыра оқыту.
Математика даму тарихында ұлы математиктердің еңбектері арқылы қалыптасып, ғылымға өшпес із қалдырған. Олардың өмірі жастар үшін зор тәрбиелік маңызы бар. Сондықтан дарынды математиктердің өмірлері мен шығармашылықтарына көңіл бөлген дұрыс. Математиктердің есімдері және математиканың тарихи мағлұматтары бір – бірімен байланыстыра баяндалады.
Зерттеу тақырыбы: Мектеп математикасының тарихи мағлұматтары.
Зерттеу нысыаны: Орта мектеп оқушылары мен мұғалімдері.
Зерттеудің мақсаты: Орта мектеп математикасындағы тақырыптарды өзінің тарихымен байланыстыра оқыту.
1. Алдамұратова Т.А. Математика 5−Алматы: Атамұра, 2001.
2. Алдамұратова Т.А. Математика 6. −Алматы: Атамұра, 2001.
3. Бөленов А., Алгебра 7. –Алматы: Рауан, 1993.
4. Жаутықов О.А. Орыс математикасының атақты ғалымдары. Алматы: Мектеп, 1967.
5. Искаков М.Ө. , т.б. Математика және математиктер жайындағы әңгімелер.1-3 кітап – Алматы: Мектеп, 1967, 1970, 1971.
6. Көбесов А. Математика тарихы туралы әңгімелер. Журнал: Білім және еңбек, 1965-1967.
7. Көбесов А. Математика тарихы. – Алматы: Қазақ Университеті, 1993.
8. Қаңлыбаев Қ., т.б. Алгебра 8. – Алматы: Білім, 2001.
9. Собалақов А. Математика тарихынан.−Алматы: Мектеп, 1966.
2. Алдамұратова Т.А. Математика 6. −Алматы: Атамұра, 2001.
3. Бөленов А., Алгебра 7. –Алматы: Рауан, 1993.
4. Жаутықов О.А. Орыс математикасының атақты ғалымдары. Алматы: Мектеп, 1967.
5. Искаков М.Ө. , т.б. Математика және математиктер жайындағы әңгімелер.1-3 кітап – Алматы: Мектеп, 1967, 1970, 1971.
6. Көбесов А. Математика тарихы туралы әңгімелер. Журнал: Білім және еңбек, 1965-1967.
7. Көбесов А. Математика тарихы. – Алматы: Қазақ Университеті, 1993.
8. Қаңлыбаев Қ., т.б. Алгебра 8. – Алматы: Білім, 2001.
9. Собалақов А. Математика тарихынан.−Алматы: Мектеп, 1966.
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 55 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 55 бет
Таңдаулыға:
Жоспар:
I. Кіріспе:
II. Негігі бөлім:
1. V-XI сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
а) V-IX сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
ә) X-XI сыныптар алгебрасы және анализ бастамаларының тарихи
мағлұматтары
б) VII-XI сыныптар геометриясының тарихи мағлұматтары
2. Математиктердің өмірлері мен шығармашылықтары
а) Грек және Орта Азия математиктері
б) Еуропа және Орыс математиктері
III. Қорытынды
Әрбір ғылымның дамуына байланысты өздеріне тән ерекше тарихы болады.
Сол ғылымдардың тарихын білмей, оның теориясын, практикадағы маңызын және
өмірімен байланыстығын жете түсіну қиын болар еді. Сондықтан орта мектепте
оқытылатын математиканың тарихи мағлұматтарына ерекшк көңіл бөлген жөн.
Бұндағы мақсатымыз орта мектеп математикасындағы тақырыптарды өзінің
тарихымен байланыстыра оқыту.
Математика даму тарихында ұлы математиктердің еңбектері арқылы
қалыптасып, ғылымға өшпес із қалдырған. Олардың өмірі жастар үшін зор
тәрбиелік маңызы бар. Сондықтан дарынды математиктердің өмірлері мен
шығармашылықтарына көңіл бөлген дұрыс. Математиктердің есімдері және
математиканың тарихи мағлұматтары бір – бірімен байланыстыра баяндалады.
Зерттеу тақырыбы: Мектеп математикасының тарихи мағлұматтары.
Зерттеу нысыаны: Орта мектеп оқушылары мен мұғалімдері.
Зерттеудің мақсаты: Орта мектеп математикасындағы тақырыптарды
өзінің тарихымен байланыстыра оқыту.
1. V-XI сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
1.1. V-VI сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
Арифметикалық симвалдар мен амалдар
XVI ғасырдың ақырына дейін арифметикада қазіргідей амал таңбалар,
теңдік, теңсіздік белгілері және жақшалар қолданылмады.
Қосу (+) мен азайту (-) таңбалары. Бұл таңбалар XV ғасырдың аяқ
кезінде Италия ғалымы Леонардо да Винчи мен неміс математигі И.Видманның
(1489ж) еңбектерінде алғаш рет кездеседі. Қосу таңбасы латынның et (және)
деген жалғауының қысқартылып жазылуынан шықты деп есептелінеді. Олай деудің
себебі XII ғасырдың қолжазбаларында et жалғау латынның t әрпі тәрізді
болып жазылған.
Қосу мен азайту таңбаларының “плюс” және “минус” деген атаулары
латынның “plus”- артық, “minus”- кем деген сөздерден шыққан. Қосу мен
азайту таңбаларының орнына көпке дейін осы сөздердің алғашқы әріптері (p
мен m) қолданылған кез де болды.
Көбейту (х, ∙) мен бөлу (:, -)таңбалары. Айқыш сызықты (х), мүмкін
қосу таңбасына ұйқастырған болар, көбейту таңбасы ретінде алғаш рет ағылшын
ғалымы Вильям Оутред (1571-1600) қолданды. Оутред математикада әріптер
қолдану жөнінде де едәуір еңбек етті. Көбейту таңбасы ретінде нүктені әуелі
Регномонтан, содан кейін, оның маңызын көрсете отырып, Лейбниц қолданды.
XVII ғасырларда көбейтудің әр түрлі бірнеше таңбасы болды.
Теңдік(=), теңсіздік(›,‹) беглілері мен жақшалар. Ағылшындық
математик және дәрігер Роберт Рекорд (1510-1558) өзінің “Тапқырлыққа тарту”
(1557ж.) атты еңбегінде Ұзындығы бірдей екі сызықшадай болып еш нәрсе тең
бола алмайды деп алғаш теңдік белгісін қолданды.
1631 жылы алғаш рет ағылшын математигі Т.Хәриот қолданған теңсіздік
белгілері басқа математикалық таңбалардай емес, математикаға бірдей кіріп,
сіңісіп кетті, өйткені математикалық жаңа таңбаларды қолдануға көбіне
типографиялық таңбалардың жоқтығы және оларды жасатудың қиындығы бөгет
болып келген болса, бұл таңбалардың орнына латынның V әрпі пайдаланылып,
ондай қиыншылық кездеспейді.
Араптар арифметиканы үнділерден үйренді, сондықтан да әл-Хореми
еңбегін “Үнді арифметикасы” деп атады. Үнділер ол кезде арифметикалық
амалдарды қазіргі бізше қосумен азайтудан бастамай, мысырлықтарша (мүмкін
солардан үйренген болар), екі есе арттыру мен екі есе еселеуден басталуы
ғажап емес.
Әр елде әр кезде қолданылған арифметикалық амалдарды өту тәртібі әр
түрлі болды. Орта ғасырлардағы арифметикалық оқулықтарында мынадай 9 амал
қолданылды:
1. нумерация;
2. қосу;
3. азайту;
4. екі еселеу;
5. көбейту;
6. екіге бөлу;
7. бөлу;
8. прогрессия (натурал сандар қатарының қосындысын табу);
9. түбір табу (квадрат түбір);
Қосу амалы. Қазіргі сияқты, бірақ сол жақтан бастап қосу тәсілі
Үндістаннан шықты. Мұндай сол жақтан (жоғарғы разрядтан) бастап қосу ауызша
есептеулерде қазір де қолданылады.
XIII ғасырлардың орта кезінде Францияда санды оң жағынан (төменгі
разрядтан) бастап қосу тәсілі шықты, ол XV ғасырларда қазіргідей болып
қалыптасты.
Азайту амалы. Азайту амалы әр кезде әр түрлі мынадай екі тәсілмен
орындалып келеді:
1) азайғыштың азайтқыштан артығын табу;
2) азайтқышқа қосқанда азайғышпен теңелетін санды табу.
Бірінші тәсіл Үндістаннан шыққан.
Шотландия математигі Непердің 1617 жылы ойлап шығарған таяқшалары
арқылы кез келген санды біріне-бірін көбейту жоғарыда айтылған “тор көз
тәсілі” бойынша орындалады, мысалы: 456-ны 76-ға көбейту үшін Непер
таяқшаларының ішінен нөлдік, төрттік, бестік, алтылық таяқшаларды алып,
оларды таблицада көрсетілгендей етіп орналастырамыз да 456-ны 7-ге, 10-ға,
яғни 70-ке, содан кейін 6-ға көбейтіп, екі көбейтіндіні қосамыз:
456∙76=456∙(70+6)=456∙7∙10+456∙6=31 920+2736=34656
Бөлу амалы. Амалдардың ішіндегі адамға ең қиын тигені − бөлу. Бөлуді
білген кісі едәуір мәдениетті адам саналып, оған “абак докторы” деген атақ
берілетін.
Сөйтіп, көп таңбалы санды біріне-бірін бөлу амалының орындалу
техникасы көпке дейін ретке қойылмай, тек XV-XVI ғасырлардан бастап (ондық
бөлшек шыққаннан кейін) қазіргідей (қалдық ондық бөлшекпен есептелінетін)
болып тиянақталады.
Бөлшек санның шығуы. Алғашқы адам әр түрлі нәрселерді өмірде санай
жүріп, тіпті ертеде, натурал сандар қатарын тапты. Сонымен қатар ол түрлі
нәрсенің ұзындығын (қалыңдығын), ауданын (бетін), көлемін (үлкендігін) өз
мүшесінің немесе айналасының көпшілікке жақсы таныс бір нәрсенің
ұзындығымен салыстырды.
Бөлшек сандардың даму тарихына көз жіберсек, бөлшектердің мынадай
негізгі үш түрін кездестіреміз:
1) бірлік бөлшектер;
2) системалы (жүйелі) бөлшектер;
3) жалпы түрдегі бөлшектер.
Бірлік бөлшектер− бөлшек ұғымы алғаш шыға бастаған кездегі, ең
қарапайым ұғым, сондықтан ол тек мысырлықтардан ғана емес, басқа елдерде
де, соның ішінде, бөлшектен хабары жоқ қазақ арасында да жарты (½), және
(14) және тағы басқа ұғымдары болған.
Натурал сандар
Натурал сандар− ең көне математикалық ұғымдардың бірі. Ол мыңдаған
жылдар бұрын адамзат қоғамының дамуының алғашқы кезеңінде, адамдардың
нәрселерді (мал, балық және т.б.) санау қажеттігінен туған. Әрине,
нәрселерді ол кезде қазіргідей санамаған, алдымен оларды белгілі
нәрселермен, дененің бөліктерімен, мысалы, қолдың саусақтарымен санап,
көзбен салыстырған, кейіннен санды белгілеу үшін ерекше таңбалар қазіргі
цифрлардың алғашқы белгілері пайда болған.
Бізге белгілі 0,1,2, ... ,9 цифрлары үнді елінде пайда болған, және
бұдан шамамен 2000 жыл бұрын дүниеге келген. Еуропаға оларды араптар
апарған, сондықтан оларды араб цифрлары деп атайды.
Санаудың позициялық принципке негізделген көне жүйесі алты ондық
(алпыстық) жүйе болып есептелінеді. Ол ежелгі Вавилонда бұдан шамамен 4000
жыл бұрын шықты. Оны біз қазіргі кезде де пайдаланып жүрміз.Мысалы: 1сағ =
60мин, 1мин = 60сек.
Кей жағдайларда рим цифрлары қолданылады:
I1, V5, X10, L50, C100, D500, M1000, ...
Арифметиканың бізге жеткен ежелгі еңбектерінің бірі армян философы
және математигі А. Ширакацидің (XIIғ.) оқулығы “Сұрақтар мен шешулер”.
Ондық нумерациялық алфавит Киев Русінде таралған.
Ежелгі Вавилонда есептеу жұмысын жеңілдету үшін әр түрлі кестелер
оның ішінде көбейту кестесін жасады. Ежелгі бірқатар елдерде бірінші
есептеу құралы− абак қолданды.
Орта ғасырлық Еуропада Рим цифрларын пайдалану қиын болғандықтан,
есептеу жұмыстары абак арқылы орындалды. XII ғасырда әл-Хорезмидің
“Арифметикасы” латын тілінде аударылды, осының арқасында еуропалықтар ондық
позициялық принциппен танысты. Осы уақыттан бастап, біртіндеп араб
цифрларына және жаңа есептеу жүйелеріне өте бастады.
Жай сандар
Ежелгі грек ғалымы Эратосфен (б.э.д. IIIғ.) жай сандардың кестесін
жасауға арналған өзінің тәсілін ұсынды. Бұл тәсіл “Эратосфен елегі” деп
аталады. Оның мәні неде? Мысалы, 1-ден 20-ға дейінгі сандардан жай сандарды
тізіп жазамыз:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,16,17,18,19,20.
Бұдан әрі жай емес сандарды сызамыз. Алдымен, 1-ді үстінен сызамыз,
өйткені бұл − жай сан емес. Бірінші жай сан 2, оның астын сызамыз да,
барлық 2-ге еселік болатын, 4,6, ... ,20 сандарын үстін сызамыз. Келесі жай
сан 3, оның да астын сызып, 3-ке еселік барлық санды (сызылмай қалғандарын)
сызамыз және т.с.с. Сөйтіп, біз өзімізге қажетті барлық жай сандарды:
2,3,5,7,11,13,17,19 “електен” өткіземіз.
Сан жөніндегі ұғым − адамзат мәдениетінің тууымен, оның дамуымен
тығыз байланысты. Егер осы ұғымды алып тастасақ біздің рухани өміріміз бен
практикалық қызметіміз әлсіз болған болар еді. Есеп-қисап жүргізу, уақытты,
алыстықты өлшеу, еңбек нәтижелерінің қорытындыларын шығару сан ұғымынсыз
мүмкін емес. Адам өмірінде сан ұғымының өте қажеттілігі сонша, өткен
замандарда барлық елдердің атақты математиктері натурал сандар ішінде жай
сандардың орналасу сырын табумен шұғылданды.
Жай сандарды зерттеу саласында орыс математиктері зор еңбек сіңірді.
П.Л. Чебышев (1821-1894) 1-ден үлкен кез келген натурал сан мен берілген
саннан екі есе үлкен санның арасында (мысалы, 2 және 4,3 және 6,10 және 20,
т.б.) кем дегенде бір жай сан бар болатынын дәледеді. Сандар теориясының
негізін қалаушы П.Л. Чебышев болды. И.М. Виноградов(1891–1983) кез келген
жеткілікті үлкен санды үш жай санның қосындысы түрінде көрсетуге болатынын
ұсынды. Мысалы, 7=2+2+3, 9=3+3+3=2+2+5, 15=3+5+7=5+5+5, т.б.
Жай бөлшектер
Ежелгі заманда-ақ (б.э.б. 2000ж) қарапайым бөлшектер пайдаланылған.
Ежелгі вавилондықтар 12, 13, 23, ... бөлшектерін белгілеуге арналған
арнайы белгілері болған. Ежелгі Египетте бірлік бөлшектер, яғни 1n
(мұндағы n-натурал сан) түріндегі бөлшектер пайдаланылған. Егер де өлшеу
нәтижесінде 78 саны шығатын болса, онда мұны бірлік бөлшектердің қосындысы
түрінде жазған: 78=12+14+18.
Ерте кезде адамдарға сауда – саттық және түрлі есептеу жұмыстарында
бөлшектер мен үлестерді есептеу қажет болған. Бөлшектер туралы түсініктің
дамуына үш түрлі бөлшектер ұғымы қалыптасқан.
1. Бірлік бөлшектер – аламдары бір болатын үлестер.
2. Жүйеленген бөлшектер. Оның алымы кез келген бүтін сан, бөлімі тек
10 санының немесе 60 санының дәрежелері ғана болған.
3. Жалпы түрдегі бөлшектер. Оның алымы да, бөлімі де кез келген
натурал сан болады.
Бөлшектердің мұндай әр түрлілігі есептеу және өлшеу жұмыстарында
көптеген қиындықтар туғызады. Бөлшек ұғымының дамуы ғылым мен сауда- саттық
жұмыстары өркендеген елдерде: Египетте, Вавилонда, Үндістанда және Римде
қалыптасты.
Жай бөлшектер туралы ілімінің дамуына үнді математиктері көп үлес
қосты. Оларда негізгі бөлшекте, яғни 13, 15, 17, т.б. бөлшектердің
түрлері кездеседі.
Қазіргі жай бөлшектерді белгілеу VIII ғасырда Үндістанда
қабылданған. Бөлшектердің алымы мен бөлімі бөліп тұратын сызықты, грек
математиктері Александриялық Герон (б.э.Iғ.) және Диафант (IIIғ.), Италия
математигі Л.Лизанский (Фибоначчи) (1180-1240) еңбектерінде кездеседі.
Бұдан кейін бөлшек сызық барлық жерге жалпылай таралған.
Бірлік бөлшектермен қатар бір мезгілде жүйелі бөлшектер, яғни
алымдары кез келген сандар бола алатын, ал бөлімдері белгілі бір санның
мысалы, онның, жиырманың, алпыстың дәрежесі болатын бөлшектері шықты.
Алпыстық бөлшектер XVII ғасырға дейін пайдаланылып келді. Қазіргі кезге
дейін уақыт бірліктері алпыстық жүйемен өрнектеледі.
Грек ғалымы Архимедтің (б.э.д. 287-212) кейбір еңбегінде алымы мен
бөлімі кез келген натурал сандар болатын бөлшектің жалпы түрі кездеседі.
Ежелгі гректер іс жүзінде жай бөлшектерге барлық амалдарды қолдана білген.
Бірақ та бөлшекті қазіргі кездегідей сызықша арқылы жазу болмаған. Сызықша
жазу тек 1202 жылы Италия ғалымы А. Фибоначчидің “Абак кітабы” атты
шығармасында ғана енгізілген.
Ұзақ уақыт бойы бөлшектерді сандар деп атамаған. Бұларды кейде
“сынық сандар” деп атаған. Тек XVIII ғасырда ғана бөлшектерді сандар
ретінде қабылдай бастады. Бұған ағылшын ғалымы И. Ньютонның (1643-1727)
1707 жылы жарық көрген “Жалпыға бірдей арифметика” атты кітабы ықпал
жасады, мұнда бөлшек ұғымы бір өрнекті екінші өрнекке бөлуден шығатын
бөлінді ретінде кеңейтілді.
Ондық бөлшектер
Вавилонда б.э.д. 4000 жыл бұрын ежелгі жүйелі бөлшектерді
пайдаланған, ал ежелгі грек астрономдары арқылы Батыс Еуропа астрономдарына
алпыстық бөлшек жүйесі тараған.
XVI ғасырдың аяғында тұрмыстық жағдайларға бөлшектердің күрделі
есептеулерін пайдалану қажеттілігін басқа ондық бөлшек жүйесі
пайдаланылды: 110, 1100, 11000, ... . Басқа жүйелерге қарағанда ондық
бөлшек жүйесінің артықшылығы, біріншіден жазылуы және оған амалдар
қолданылуы бүтін сандарға негізделген.
Оның жазылуы: 7,305=7+310+0100+51000 немесе 7,305=7. Ондық
бөлшектің бүтін бөлігі болмаса, онда үтірдің алдында нөл жазу керек,
мысалы, 35100=0,35. Ондық бөлшектің қасиеті бойынша былай жазуға болады:
12,7=12,70=12,700 және т.с.с.
Ондық бөлшектерді есептеу натурал сандарды есептеуге ұқсастығына
қарай және ыңғайлығына байланысты ғылымдағы, өндірістегі, күнделікті
өмірдегі есептеулерде жиі пайдаланылады. Ондық бөлшектер және оларға
амалдар қолдану туралы Орта Азия ғалымы әл-Кәши ондық бөлшектерді көбейту
мен бөлу тәсілдерін қалыптастырды. Сондықтан ол есептеуде ондық бөлшекті ең
алғаш пайдаланған ғалым ретінде тарихқа енген. Әл-Кәши ондық бөлшектерді
жазуды үтірді пайдаланбаған, бірақ ол үтірдің орнына тік сызық қойған.
Ондық бөлшекпен есептеу туралы әл-Кәши еңбектерінен кейін 158 жылдан
соң голландиялық математик Симон Стевин (1585ж) атты кітабында жазды.
Стевин Еуропа елдерінде ондық бөлшектерді есептеу жұмыстарына пайдалануды
насихаттады.
Ондық бөлшектің бүтін бөлігін ажыратуды Шотландия математигі Дж.
Непер (1550-1617) және аспан әлемін зерттеуші неміс математигі И.
Кеплер (1571-1630) енгізген.
Ресейде 1703 жылы Л.Ф. Магницкий (1660-1739) өзінің еңбегі
"Арифметика – сандар туралы ғылым" деген оқулығында ондық бөлшектер туралы
ұғымды ғылыми түрде баяндаған.
Проценттер
Әр түрлі практикалық есептеулерде проценттерді пайдалану Вавилонда
және Ежелгі Римде кеңінен таралған. “Процент” дегеніміз (латынның pro cento
– жүзден деген сөз) жүзден бір бөлігі деген мағынаны білдіреді, яғни 1%
деген ұғым 0,01; 27%= 0,27; 100%=1; 150%=1,5 және т.б.
Процент белгісі %- cto (cento сөзінің қысқаша жазылуы) сөзінің
жазылуының өзгертілген түрі.
Айлық табыстың 1% деп, оның 0,01-ін айтады, ал жоспар түгел
орындалды деген, яғни 100% орындалған, ал жоспар 150% орындалды дегенді 1,5
жоспар орындалған дегенді білдіреді.
Берілген санның проценттік мәнін табу үшін ол санды 100-ге көбейту
керек. Мысалы, 2 санының проценттік мәні 200% болады.
Нақты сандар
Сан ұғымы өте ерте заманда туып, ғасырлар бойы дамыған. Теріс сандар
ұзақ уақыт бойы “жалған” сандар деп есептелініп, “қарыз” (“борыш”),
“жеткіліксіздік” (“жетімсіздік”) ретінде түсіндіріліп келген. Оң және теріс
сандарға амалдар қолданылу ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу және азайту
жағдайлары үшін ғана қарастырылып отырған. Мысалы, бұл ережені үнді
математиктері VII ғасырда былай тұжырымдаған: “Екі мүліктің қосындысы мүлік
болады, екі қарыздың қосындысы қарыз болады, мүлік пен қарыздың қарыздың
қосындысы бұлардың айырмасына тең болады”.
XVII ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координатор әдісі
пайдаланыла бастағаннан бері теріс сандар оң сандармен тең құқықты сандар
ретінде қабылданды. Теріс сан практикада теңдеуді шешу кезінде пайда болды.
Бүтін және бөлшек сандар рационал сандар жиынын құрайды. Бұл сандар
есептеуге қолайлы екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі
және бөліндісі (бөлгіш нөлден өзге сан болғанда) рационал сандар болып
табылады. Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасы кез келген
дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал (бүтін
және бөлшек) санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт
бойы азаматтың іс жүзіндегі қажеттіктерін толық қамтамасыз етіп келді (және
де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу
мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді. Ежелгі Грекияда
Пифагор (б.э.д. VIғ.) оқушыларының мектебінде, егер өлшеу бірлігі
ретінде квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың диагоналын
рационал санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденбеген болатын.
Квадраттың диагоналы және оның қабырғасы секілді кесінділерді
өлшенбейтін кесінділер деп атаған. Бұған кейінгі уақытта (б.э.д.V-VI ғ.)
ежелгі грек математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n саны
үшін санының иррационалдығын дәлелдеді.
Үндістанның, Таяу және Орта Шығыстың, ал кейініректе Еуропаның
математиктері иррационал шамаларды пайдаланды. Бірақ ұзақ уақыт бұларды тең
құқықты сан ретінде қабылдамай келген. Оларды қабылдауға Декарт (1596-1650)
“Геометриясының” шығуы ықпал жасады. Әрбір рационал немесе иррационал сан
координаттық түзудің бойындағы барлық “бос орындар” толтырылды. Осы
қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны (рационал сандар жиынынан
айырмашылығы) үздіксіз болып табылады делінеді.
Грек математиктері геометриялық алгебраның негізін салды.
Кесінділердің ұзындығын иррационал сандармен белгілейді. Орта Азия
ғалымдары Омар Хайям (XII ғ.) және Насыреддин Туси (XII ғ.) сан ұғымын
кеңейтіп, иррационал сандарды рационал сандармен қатар қолданды. Еуропада
С. Стевин кез келген нақты санды жазу үшін ондық бөлшектерді қолданды.
Кез келген нақты санды шектеусіз (периодты немесе периодсыз)
ондық бөлшектер түрінде көрсетуге болады. XVIII ғасырда Л. Эйлер (1707-
1789) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан болатынын көрсетті.
Шектеусіз ондық бөлшектер негізінде нақты сандар құруды неміс математигі К.
Вейрштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын мазмұндаудың басқаша
тәсілдерін неміс математиктері Р. Дедекинд (1831-1961) пен Г.
Кантор (1845-1918) ұсынды.
Шамаларды өлшеу
Ерте заманда әр елдің халықтарында ұзындық өлшем әр түрлі болды.
Мысалы: шынтақ, табан, ер адамның қадамы және т.б.. Ал, кейбір елдерде
келісімді өлшеулер болмағандықтан соған байланысты дау жанжалдар болып
тұрған. Ұлы француз халқы республика территориясына өлшеудің бірлік метрлік
жүйесін енгізді. Жаңа өлшем бірлік туралы негізі ойлары айтты. Ұзындық
бірлігіне 110000000 Париж географиялық меридианның ¼ бөлігі алынды. Бұл
меридиананы өлшеу үшін, Дюнкерк және Барселон қалаларының арасында 6 жыл
бойы екі француз оқымыстылары Б. Мешен және Даламбер өлшеу жұмыстарын
жүргізді.
XVIII ғасырдың аяғында бұл жерде заңды ұзындық бірлігі ретінде метр
тағайындалды. Еуропаның басқа елдерінде метрлік жүйені XIX ғасырдың аяғында
пайда бола бастады. Ал, Ресейде көне орыс өлшеу бірліктері (мысалы, бір
шақырым жуық шамамен 1 км 67 метр, т.б.) қолданылды. Ресейде метрлік бірлік
жүйені енгізу 1889 жылы басталды. Бұл кезеңде ескі өлшеу бірліктері
қолданылады. Ресейде алғаш рет ұзындық бірлігі үшін метрді қолданған Н.И.
Лобачевский (1792-1856). Метрикалық жүйені халықаралық дәрежеде ұсынған
орыс оқымыстысы Б.С. Якоби (1801-1874). Ресейде 1809 жылы Менделеев метрлік
жүйесін енгізуге келісім алды, сөйтіп бұл өлшеудің жүйесін 1918 жылдан
бастап қана міндетті деп саналатын болды. Метрлік жүйеге көшу − бұл маңызды
қадам болды. Бір тұтас өлшеу бірлігін пайдалану халықтар арасындағы
қарым−қатынасты, мысалы Халықаралық сауда– саттық жүйесіндегі есеп–қисап
жасауды едеуір жеңілдетті. Алайда кейбір елдерде дәстүр бойынша қазірдің
өзінде де метрлік жүйеге жатпайтын бірліктер қолданылып жүр. Мысалы,
Англияда, ұзындық бірліктер ретінде ярд (1ярд≈91см) қолданылады. Оны 1101
жылы I Генрих каролі енгізген болатын.
Есептеу құралдары
Ерте заманнан – ақ адамдар есептеулерді жеңілдетуге тырысқан. Ежелгі
“есептеу машинасы” қол мен аяқтың саусақтары, тастар мен уақ заттар болған.
Қолөнершілер мен саудагерлер ұсақ тастар арқылы әр түрлі разрядтар
бірліктерін көрсетуге болатындай бағандарға бөлінген есептеу тақталарын
пайдаланған. Бұл тақтаны “абак” деп атаған. Ежелгі римдіктерден бізге “ұсақ
тастармен есептеулер” дегенді білдіретін “калькуляция” сөзі келіп жетті.
Қазіргі кезде “ калькуляция ” термині “есептеу” деген мағынада қолданылады.
Абакты одан әрі жетілдіру арқылы есепшот пайда болды. Орыс есепшоты XVI
ғасырда дүниеге келді.
Арифметикалық амалдарды механикалық жолмен орындайтын машинаны
арифмометр деп атайды. Ондай машиналардың бастапқыларын 1641 жылы француз
оқымыстысы Б. Паскаль (1623-1662) және неміс математигі Г. В. Лейбниц (1646-
1716) жылы жазған.
Инженер -өнертапқыштар микрокалькуляторды (МК) ойлап шығарды.
МК–лар есептеулерге ыңғайлы және арифметикалық және логикалық амалдарды
тез, қатесіз есептеп бер алады. МК–лар арқылы тек арифметикалық амалдар
ғана емес, түбір табу, дәрежелеу, тригонометриялық функциялардың,
логорифмдердің мәндерін табуға да болады. Калькулятор (латынша –
“calculator” – есептеуіш деген сөз)− электронды элементтерден құрастырылған
есептеу құралы. Біздің елімізде МК–лардың 40–тан астам түрі
шығарылады.
Функционалдық мүмкіндіктері бойынша барлық МК–лар арифметикалық,
инжерерлік және программалаушы болып үш топқа бөлінеді. Арифметикалық
МК–лар негізінен арифметикалық төрт амалды және олармен байланысқан әр
түрлі тізбектен тұратын өрнектердің мәнін табуға арналған.
Арифметикалық (қарапайым) МК–лардың жетілдірілген түрі инженерлік
калькуляторлар. Бұлардың тұрақты есіне жазылып қойылған айырым
программалардың көмегімен көптеген қарапайым функциялардың (sinx, cosx,
tg, sinx, cosx, tgx, x, lnx, lgx, П, e,
10, x,) мәндерін автоматты түрде есептеуге болады.
Программалаушы МК–лардың құрылғылары үлкен электронды – есептеу
машиналарының құрылғыларына сәйкес келеді. Олар: енгізу, қорытынды шығару,
есте сақтау, тұрақты ес, басқару және арифметикалық құрылғылар, бұл
құрылғылардың міндеттері үлкен электрондық есептеу машиналарына ұқсас.
1822 жылы Англияда автомат машинаны Г. Беббидж ойлап тапқан, оның
қызы Лавлайс бірінші бағдарламаны жасаған. Ал, 1937 жылы Америкада
профессор Атанасов электрондық есептеуіш машинаны (ЭЕМ) ойлап тауып, оған
екілік санау жүйесін пайдаланған. XX ғасырдың ортасында пайда болған
ЭЕМ–лар есептеу техникасында төңкеріс жасады. Ресейде алғашқы рет ЭЕМ–сын
профессор Лукянов пен Гутенмахер және академик С.А. Лебедевтің (1902-1974)
басшылығымен 1950 жылы жасалды.
Қазіргі ЭЕМ секундына бірнеше операция жасайды. Олар ғылым мен
техника және халықшаруашылығының әр түрлі салаларында кеңінен қолданылады.
Еңбек өнімін арттыруға, өндірістің алға қарай өсуіне, басқару ісін
жетілдіруге жаңа мүмкіндік ашты.
ЭЕМ–ның немесе компьютердің ағылшынша (compute – есептеу) пайда
болуы – қазіргі ғылыми техниканың ерекше белгісінің бірі.
1.2. VII-IX сыныптар алгебрасының тарихи мағлұматтары
Алгебраға анықтама
Ежелгі египеттіктер, вавилондықтар және үнділерде алгебраның алғашқы
элементтері туралы мағлұматтар болды. Алгебраның пайда болуы мен дамуында
Орта Азия оқымыстылары әл-Хорезми, Омар Хайям және т.б. үлкен үлес қосты.
Алгебраның алғашқы анықтамасын Омар Хайям (XI ғ.) берді: “Алгебра дегеніміз
ғылыми әдіс. Ол сандар мен шамалардың пәні, алгебра белгілі шамалар мен
белгісіз шамаларды байланыстыратын қатынастарды анықтайды. Алгебралық
есептерді шешу теңдеулердің көмегімен орындалады”.
Алгебраның қалыптасуына итальян математиктері Тарталья (1499-1557),
Карнадо (1501-1576) және француз оқымыстылары Виет пен Декарт үлкен үлес
қосты. Ресейде алгебра туралы алғашқы мағлұмат 1703 жылы Магницкийдің
“Арифметика” еңбегінде баяндалады.
XVI ғасырға дейін алгебраны баяндау негізінен ауызша жүргізілді.
Әріптік белгілеулер мен математикалық белгілер біртіндеп пайда болды.
+ және − таңбалары бірінші рет XVI ғасырда неміс алгебраларының
жұмыстарында кездеседі. Одан біраз кейінірек көбейту үшін х белгісі
енгізілді. Бөлудің (:) белгісі XVII ғасырда ғана енгізілген еді.
Алгебралық символиканы қолдануда XVI ғасырда француз математигі
Франсуа Виет (1540-1603) және оның замандастарының тек белгісіздерді ғана
емес, сонымен қатар кез келген санды белгілеу үшін де әріптерді қолдануына
байланысты батыл қадам жасалды. Дегенмен, ол символика қазіргіден өзгеше
еді. Айталық, Виет белгісіз санды белгілеу үшін N (Numerus - сан) әріпін,
белгісіздің квадраты мен кубын белгілеу үшін Q (Quadratus – квадрат) және C
(cubus – куб) әріптерін қолданды. Мысалы: теңдеуін Виет мынадай түрде
жазды: 1С + 8Q + 16N aequ.(aequali - тең).
Алгебраның даму барысында теңдеулер туралы ғылымнан сандарға амалдар
қолдануға азды – көпті ұқсайтын операциялар туралы ғылымға түрленіп дамыды.
Қазіргі алгебра – математиканың негізгі бөлімдерінің бірі.
Мектеп алгебра курсына бірсыпыра алгебралық мағлұматтарға қоса
математиканың басқа да бөлімдерінен (функциялар, координаталар әдісі,
жуықтап есептеулер және де тағы басқалар) кейбір жеке мәселелерде енген.
Натурал көрсеткішті дәреже
Сандардың квадраттары мен кубтарының таблицасын Вавилонда қолданды.
Үнді оқымыстылары 1, 2, ..., 9 көрсеткішті дәрежелерді қарастырды.
Өзбек математигі әл–Кәши (XV ғ.) одан кейін неміс математигі Штифель
(1486 – 1567) болатынын тағайындады. Штифель “дәреже көрсеткіш” деген
терминді енгізіп, өзінің “жалпы арифметикасында” (1544ж) сандарды негіздері
бірдей дәрежелер түрінде жазды.
Француздың ұлы математигі және философы Р. Декарттың ( 1596 – 1650)
“Геометриясы ” 1637 жылы шықты. Осы еңбегінде Декарт дәреженің көп жыл бойы
табылмай келген, қазіргідей жазылуын қолданды.
Натурал көрсеткішті дәреже практикада натурал сандарға ( 1, 2, 3,
... , N...) бөлінетін квадраттың ауданын және кубтың көлемін табуға
пайдаланады.
Пропорция
Арифметикада практикалық маңызы күшті материалдардың бірі−пропорция.
Пропорция түрлі практикалық есептерді, өнер, құрылыс, т.с.с. байланысты
мәселелерді шешу үшін өте ерте кезде қолданылды.
Пифагоршілер пропорцияның 1) арифметикалық пропорция a – b =c – d;
2) геометриялық пропорция a:b =c:d; 3) гармониялық пропорция 1a – 1b =1c
– 1d деп аталатын үш түрін білді. Арифметикаға олар үздіксіз (орта деген
мүшелері тең) пропорция, пропорционал орта, гармониялық орта, деген
ұғымдарды енгізді.
Евдокс (409–356) геометриялық шамалардың пропорционалдығы жөніндегі
ілімді – геометриялық пропорция теориясын жасады. Евдокстың осы пропорция
теориясын Евклидтің (б.э.д III ғ.) “Басталамарының” V
кітабында баяндалды, ал оның IV кітабында пропорцияның геометрияда,
әсіресе, ұқсас фигураларды қолданылуы көрсетілді. Жалпы пропорция ұғымы
грек алгебрасына негіз болды.
Пропорция әр кезде әр түрлі жазылып келді, 1668 жылы оны қазіргідей
жазуды неміс математигі Лейбниц ( 1646 – 1716) шығарды.
Адамның дене құрылысының пропорциясын зерттеп білу, мүсін мен сурет
салу үшін және белгілі денеге дұрыс киімдер тігу үшін пропорция қажет.
Теңдеулер
Қазіргі әріп символикасы ұзақ уақыт тарихи дамудың нәтижесінің
жемісі. Оны 3 этапқа бөліп көрсетуге болады.
1. Теңдеуді сөз арқылы жазу.
2. Сөздерді қысқарту және белгілеу үшін жеке әріптер қолдану.
3. Символикалық.
Француз ғалымы Ф.Виет (1540–1603) белгілі символикаға негіздеп,
есептердегі белгісіз шамаларды бір әріппен, ал белгілі әріп
коэффиценттерімен белгілеуді енгізді. Алгебралық символика Декарт, Ньютон,
Эйлер және т.б. еңбектерінде жетілдірілді.Символикалардың дерлік енгізілуі
математиканың тез дамуына әсерін тигізді. Ертедегі вавилондықтар мен
египеттіктерге шешімі (қазіргі жазуда) теңдеуіне келтіретін көптеген
есептер белгілі болды.
Үнділер бірінші, екінші дәрежелі теңдеулерінің шешу тәсілдерін білді
және теңдеулерді шешкен кезде, гректер теріс және иррационал сандарды
қолданып отырды.
Орта Азияның ұлы математигі әл–Хорезми грек және үнді
математиктердің еңбектерін оқып білу нәтижесінде алгебрадан, бірінші және
екінші дәрежелі теңдеулерді шешуге арналған еңбектер жазды, бірақ ол оларды
сөз жүзінде жазды.
Ал, үшінші дәрежелі теңдеулердің дербес түрлерін вавилондықтар
таблицалар арқылы, Архимед геометриялық тәсілмен қытай және араб
математиктері басқа тәсілдермен шешті.
XVI ғасырда италияның математиктері Тарталья мен Кардано үшінші
дәрежелі теңдеудің, ал Карданоның шәкірті Феррари төртінші дәрежелі
теңдеудің жалпы түрдегі шешуін тапты.
Алгебраға әріптік символикалардың енуі теңдеулерді шешу әдістері
ұғымын біршама жеңілдетті.
Теңсіздіктер
Заттарды санауға байланысты және әр түрлі шамаларды салыстыру
қажеттілігінен теңдік ұғымымен қатар "артық" және "кем" ұғымы шыққан.
Ежелгі гректер теңсіздік ұғымын пайдалана білген. Архимед (б.э.д. III ғ.)
шеңбердің ұзындығын есептеп шығарумен айналыса отырып, "кез-келген
дөңгелектің периметрі артығымен алынған үш еселенген диаметрге тең, бұл
диаметрдің жетіден бір бөлігінен кем, бірақ жетпіс бірден он бөлігінен
артық" болатынын анықтаған. Екінші сөзбен айтқанда, Архимед санының
шекараларын көрсеткен: . Евклид өзінің атақты "Бастамалар"
трактатыңда бір қатар теңсіздіктер келтірген. Мысалы, ол екі оң санның
геометриялық ортасы бұлардың арифметикалық ортасынан артық болмайтынын,
яғни теңсіздігі тура екенін дәлелдеген.
Грек ғалымы Папптың (III ғ.) "Математикалық жинағында" егер
(а,b,с және d оң сандар) болса, онда болатыны дәлелденген.
Теңсіздіктердің қазіргі кездегі таңбалары тек ХҮІІ-ХҮІІІ ғасырларда
пайда болды. және таңбаларын ағылшын математигі Г. Гарриот (1560-1621),
және таңбаларын француз математигі П. Буге (1698-1758) енгізген.
Теориялық зерттеулерде және іс жүзінде қолданылатын маңызды
есептерді шешу кезінде теңсіздіктер және теңсіздіктер жүйесі көп
пайдаланылады.
Вектор ұғымы
Бағытталған кесінділерді алғаш зерттеген Норвегия математигі
К.Вессель (1745-1818). "Вектор" терминін Ирландия математигі У.Р. Гамильтон
(1805-1865) енгізді. Одан тәуелсіз вектор ұғымын неміс математигі Герман
Грасман (1809-1877) да ұсынды. Вектор сөзі латынның vector - тасымалдаушы
деген сөзінен шыққан. Вектор теріс сандармен орындалатын әрекеттерге
қанағаттанарлықтай түсінік берді.
Қазіргі математиканың негізгі ұғымдарының бірі — вектор.
Математикада, механикада және техниканың әр түрлі салаларында вектор ұғымы
кеңінен пайдаланылады.
XIX ғасырдың ортасында У.Р. Гамильтон мен неміс математигі А.Ф.
Мёбиус (1790-1868) еңбектерінде үш өлшемді және көп өлшемді кеңістіктердің
қасиетін білу үшін вектор ұғымы кең түрде қолданылды.
XIX ғасырдың аяғы XX ғасырдың басында векторлық есептеудің
қолданылуы кең өріс алды. Векторлық алгебра және векторлық анализ, өріс
теориясы, тензорлық анализ, көпөлшемді векторлық кеңістіктің жалпы теориясы
пайда болды.
Қазіргі кезде математикада векторлық ұғым сызықтық алгебра мен
аналитикалық және дифференциалдық геометрияларда пайдаланылады.
Мектеп математикасының бағдарламасына вектор үғымы енгізілгенше
оқушылар онымен физика курсынан таныс (күш, үдеу, жылдамдық, т.б.),
сондықтан да олар векторды физикалық ұғым деп түсінуі мүмкін, ал шындығында
вектор математикалық ұғым, ол физикада және қолданбалы ғылымдарда
қолданылады.
Қазіргі математиканың негізгі ұғымдарының бірі — векторлық кеңістік
ұғымы. Ол "Сызықтық алгебра", "Сызықтық программалау", "Функционалдық
анализ" және физикада кең қолданылады.
Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар
Ертедегі халықтардың да алгебралық және геометриялық прогрессиялар
алғашқы түсініктері болған. Вавилондық сына жазуларының шағын кестелерінде
және мысырлықтардың папирус жапырақтарындағы жазуларында прогрессияларға
берілген есептер мен оларды шешу жөніндегі нұсқаулар кездеседі.
Біздің заманымыздан 2000 жыл бұрынғы Ежелгі Мысыр папирусында
мынадай есеп келтірілген: "Саған 10 өлшем арпаны 10 адамға бөліп бер деп
тапсырылсын, әрі әр адам мен оның көршісі алған арпа өлшемінің айырмасы 18
өлшемге тең болады". Мұнда арифметикалық прогрессия туралы сөз болып отыр.
Қазіргі белгілерді пайдалана отырып, есеп шартын былай жазуға болады:
болса, онда неге тең болады?
Прогрессиямен байланысты алғашқы теориялық мәліметтер көне, грек
құжаттарында бар. Ежелгі грек папирустарының бірінде мынадай есеп
келтірілген: "7 үйдің әрқайсысында 7 мысықтан бар, әр мысық 7 тышқан жейді,
әр тышқан 7 бидай масағын жейді, егер осы масақты жерге сепсе, одан 7 өлшем
астық шығар еді. Үйлердің, мысықтардың, тышқандардың, масақтардың, саны мен
астық өлшемінің қосындысын есептеп шығару керек". Бұл есепті шығару
қосындысына, яғни геометриялық прогрессияның бес мүшесінің
қосындысына алып келеді.
Ежелгі грек оқымыстылары прогрессияларды және олардың қосындыларын
таба білген. Мәселен, оларға натурал жұп және тақ сандар тізбегінің п
санның қосындысының формуласы белгілі болған: . Олар шектеусіз
кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табу жолын
көрсетті. Арифметикалық және геометриялық прогрессияларды қытай және
үнді ғалымдары да білген.
Прогрессия терминін (progression — деген латынның сөзінен шыққан,
"алға қарай қозғалыс" дегенді білдіреді) римдік ғалым Боэций (VI ғ.)
енгізген. Бұл кең мағынада шектеусіз сан тізбегі ретінде түсінілген.
Прогрессияларға "арифметикалық" және "геометриялық" деген атау
үздіксіз пропорциялар теориясынан ауысқан, мұны зерттеумен ежелгі гректер
де шұғылданған. Ал түріндегі теңдікті олар үздіксіз
арифметикалық пропорция деп, ал теңдігін үздіксіз геометриялық
пропорция деп атаған.
Бұл теңдіктен және шығады, яғни бұл екі қатынастармен
арифметикалық және геометриялық прогрессияның сипаттық касиеттері
өрнектеледі.
Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысының формуласы
Евклидтің (б.э.д. III ғ.) "Бастамалары" атты кітабында берілген.
Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысының формуласын ежелгі грек
ғалымы Диофант (III ғ.) далелдеген. Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің
қосындысын табу ережесі итальян ғалымы Л. Фибоначчидің (1180-1240) 1202
жылы жазған "Абак кітабында" кездеседі. Кез келген шектеусіз кемімелі
геометриялық прогрессияны қосындылау ережесі Н. Шюкеннің "Сандар туралы
ғылым" (1484) атты кітабында да берілген.
1.3. Х-ХІ сыныптар алгебра және анализ бастамаларының тарихи
мағлұматтары
Бұрыштарды өлшеу
Бұрыштардың градустық өлшеуі Ежелгі Вавилонда б.ж.с. көп бұрын пайда
болған. Вавилонда алпыстық санау жұйесі қабылданған-ды, яғни іс жүзінде
сандар бізде кабылданған ондық жүйедегідей 10 санының емес, 60 санының
дәрежелерінің қосындысы түрінде жазылатын еді. Әрине, сондықтан да
бұрыштарды өлшеудің өте кішкентай бірліктерін енгізу үшін 60 бөлікке
бөлінетін болған.
Бұрыштарды өлшеудің Вавилондық жүйесі әбден қолайлы болып шықты да,
оны Грекия мен Рим математиктері сол күйінде сақтады. Бұрыштық шамаларды
атау үшін біз пайдаланып жүрген терминдердің түбірі латындікі. "Градус"
сөзі латынның gradus minutus “кішірейтілген” дегенді білдіреді.
Бұрыш шамаларының қазіргі кезде қолданып жүрген жүйесі XVI және XVII
ғасырларда кеңінен таралған-ды; оны Н. Коперник (1473-1543) және Т.
Браге (1546-1601) сияқты белгілі астрономдар пайдаланған. Грек ғалымы К.
Птоломей (б.э.д. II ғ.) градустар санын (ол да жай ғана бөліктер деп
атаған) −дөңгелектермен , минуттар санын бір штрихпен, ал секундтар санын
екі штрихпен белгілеген.
Бұрыштардың тағы бір өлшеу бірлігі радиан енгізілгеніне көп уакыт
еткен жоқ. "Радиан" термині Англияда 1873 жылы жарық көрді. "Радиан" деген
терминнің өзі латынның radius (сәуле) деген сөзінен шыққан. Егер бір радиан
бұрыштың анықтамасын (доғаның ұзындығы шеңбердің радиусына тең болатын
центрлік бұрыш) еске түсірсек, онда мұндай бұрышты атау үшін "рад" деген
түбірдің таңдалып алынуы әбден орынды болып табылады.
Функциялар және олардың қасиеттері
Математика тарихында көп жаңалықтар XVII ғасырда ашылды. Декарт
жазықтықта орналасқан қисықтарды зерттеу үшін координаталар әдісін енгізді.
Жаратылыстанудың дамуы функциялардың, әсіресе қозғалыстағы дененің және
басқа да физикалық шамалардың уақытқа тәуелділігін өрнектейтін
функциялардың экстремумдарын табуға, әр түрлі сызықтарға жүргізілген
жанамаларды табуға, т.с.с. қолданылды.
"Функция" деген терминді Лейбниц (1646-1716) енгізген-ді. Санды
функцияның, оның берілу тәсіліне байланысты болмайтын, қазіргі кездегі
анықтамасын бір-біріне байланыссыз 1834 жылы орыс математигі Н.И.
Лобачевский (1792-1856) және 1837 жылы неміс математигі П.Г. Дирихле (1805-
1859) берген еді. Ал, функцияның қазіргі кезде қабылданған белгілеулерін
енгізген Эйлер (1707-1783) болатын-ды.
Функция шегі ұғымының көрнекі мағынасы XVII ғасыр математиктеріне
айқын болған-ды. Олар іс жүзінде шектерді дұрыс таба білген. Алайда, тізбек
шегі мен функция шегі туралы ұғымдардың б.э.д. сақталып келген дәйекті
анықтамаларын француз математигі О. Коши (1789-1857) берген болатын, бірақ
ол анықтамаларды көпшілік бірден түсіне қоймаған еді.
Іс жүзінде бір мезгілде (және бір-біріне тәуелсіз) француз
математиктері П. Ферма (1601-1665) мен Р. Декарт (1596-1650) жазықтықтағы
координаталар жүйесін енгізу және фигураларды олардың теңдеулерімен беру
көптеген геометриялық есептерді геометриялық фигуралардың теңдеулерін
зерттеуге ұштастыруға мүмкіндік беретінін байқады. "Геометрия" және "Әдіс
жайлы пайымдаулар" атты кітаптарында жаңа әдісті жан-жақтылы баяндап берген
Декарттың кұрметіне тікбұрышты координаталар жүйесі кейінірек, декарттық
координаталық жүйе деп аталды.
Ұлы ағылшын ғалымы, математигі, физигі Исаак Ньютон (1643-1727)
қозғалыстағы нүктенің уақытқа тәуелділігін зерттей отырып, іс жүзінде
функцияларды зерттеумен шұғылданған-ды.
Анықталу облысы мен мәндерінің облысы еркін алынатын қазіргі кездегі
функция ұғымы, шын мәніңде, тіпті бертінде ғана, жиындар теориясын жасаған
неміс математигі Г. Кантордың (1845-1918) жұмыстарынан кейін, XX ғасырдың
бірінші жартысында қалыптасты.
Тригонометриялық функциялар
Б.э.д. IV ғасырда грек математиктері тұрақты радиусты шеңберде әр
түрлі центрлік бұрыштар үшін хорданың ұзындығының алғашқы таблицаларын
құрды. Осы хорданың жартысының ұзындығы қазіргі синус ұғымына сәйкес
келеді. Синустар мен косинустар мәндерінің таблицасын жоғары дәлдікпен
құруды үнді оқымыстылары енгізді. Синустар мен тангенстер таблицасы
жазылған араб тіліндегі алғашқы кітабы – әл-Хорезмидің
астрономиялық трактаты. 1260 жылы Әзірбайжан математигі Насыреддин Туси
(1201-1274) тригонометрияның негізгі курсын жазды. Онда "доғаның синусы",
"доғаның тангенсі" ұғымдары кездеседі.
Еуропа оқымыстылары ішінен бірінші болып, неміс математигі
Решомонтан (1436-1476) тригонометрияның синустар мен косинустардың өте дәл
таблицаларын құрды.
Тригонометриялық функциялары шеңбер ішінде жүргізілген
кесінділердің ұзындықтарының қатынасы ретінде V-Х ғасырларда өмір сүрген
үнді және араб математиктерінің еңбектерінде кездеседі. Үнді математигі
Ариабхата (V ғ.) , жарты бұрыштың синусы, косинусы және тангенсі үшін
формулаларды білген, ал бұл формулаларды осы функциялардың таблицаларын
қүрастыруға пайдаланған.
Біраз нәтижелер бұл тұста француз математигі Ф. Виеттің (1540-1603)
үлесіне тиді. Дифференциалдық есептеудің пайда болуымен бірге
тригонометриялық функциялардың туындылары үшін формулалар табылған. Мән-
мағынасы жағынан ол формулалар кезінде И. Ньютонға (1642-1727) да белгілі
болған.
Швейцар математигі Эйлер (1707-1783) тригонометрияның казіргі
белгілеулерін енгізді. Ол тригонометриялық сызықтардың радиусқа қатынасын
өрнектейтін сан ретінде қарастыруды ұсынды. Бұл тригонометриялық функциялар
аргументімен санды да түсіндіруге мүмкіндік берді.
Тригонометриялық функциялардың қазіргі атаулары XVI-XVII ғасырларда
пайда болды. Латын тілінен аударғанда "синус — дөңес",
"тангенс-жанама" дегенді білдіреді. "Косинус" және "котангенс"
үғымдарындағы "ко" — жұрнағы латынның "соmplеmentum" - қосымша деген
сөзінің қысқарған түрі.
Екі айнымалы тендеулер
Екі айнымалы теңдеуге берілетін геометриялық интерпретацияны
енгізген ғалым-аналитикалық геометрияны жасаған Р. Декарт (1596-1650)
болатын.
Көп айнымалылы тендеулердің сызықтық жүйелерін түңғыш рет зерттеген
Г.В. Лейбниц (1646-1716) болды, n - айнымалылы сызықтық тендеулер жүйелерін
шешу үшін жалпы формуланы 1750 жылы Швейцар математигі Г. Крамер тапты.
Сызықтық жүйелерді шешудің практика тұрғысынан анағүрлым қолайлы әдістерін
К.Ф. Гаусс (1777-1855) ұсыңды.
Сызықтық теңсіздіктер жүйелерін оқып, үйрену ісі сызықтық
программалаудың шығуымен байланысты XX ғасырдың 30-шы жылдарынан бастап
күшті өрістей бастады.
Практикада қызғылықты болып табылатын есептер көбінесе айнымалылар
саны екеуден әлдеқайда көп болып келетін сызықтық программалау есептері
болады. Мұндай есептерде қателеспей, дұрыс бағдар алып отыру үшін "n -
өлшемдік кеңістік" R — де n-айнымалылы сызықтық теңдеулерге берілетін
геометриялық интерпретацияны игеріп алу тиімді-ақ.
Сызықтық программалау әдістерін жасап шығару негізінен орыс
математигі Л.В. Канторович (1912 ж.т.) еңбектерінен басталады.
Логарифмдік және дәрежелік функциялар
Дәреженің бөлшек көрсеткіштері және бөлшек көрсеткішті дәрежелерге
қолданылатын ең қарапайым ережелер, XIX ғасырда француз математигі Н. Оресм
(1323-1382) еңбектерінде кездескен болатынды.
Неміс математигі М. Штифель (1486-1632) "көрсеткіштер" деген атауды
енгізіп және болғанда деп анықтама берген.
Логарифмдерді шотланд математигі Дж. Непер (1550-1617) мен швейцар
математигі И. Бюрги (1552-1632) (бір-біріне байланыссыз) енгізген.
Логарифмдер теориясын Непер дамытқан. Ол арифметикалық өрнектерді
логарифмдердің жәрдемімен есептеу тәсілдерін ойлап тапқан және
логарифмдердің толық таблицаларын құрастырған.
Ондық логарифмдерді ағылшын математигі Г. Бригсс (1556-1630)
енгізген. Ал, Лейбниц XVII ғасырдың аяғында-ақ логарифмдеу ережелерінің
көмегімен көрсеткіштік теңдеулерді шешкен болатын. Логарифмдер
таблицаларын, ал кейінірек логарифмдік сызғышты пайдаланып есептеу
жұмыстарын анағұрлым жеңілдетті және олар ұзақ уақыт бойы негізгі есептеу
құралдарының бірі болып келді. Француз математигі Лаплас логарифмдердің
табылуы есепшілердің өмірін ұзартты дегенді айтты.
1.4. ҮІІ-ХІ сыныптар геометриясының тарихи мағлүматтары
Геометрияның пайда болуы
Геометрия — грек сөзі. Ол "гео" — жер және "метро"-өлшеймін деген
сөзден шыққан. Геометрия ғылым ретінде Ертедегі Египетте пайда болған. Ол
кезде геометрия жер учаскесін іс жүзінде өлшеу жөніндегі ілім болды. Егін
шаруашылығының, құрылыстың, қол өнері мен сауда-саттықтың дамуы аудандарды
және түрлі геометриялық фигуралар пішінді ыдыстардың сыйымдылығын өлшей
білуді, сондай-ақ осы фигуралардың қасиеттерін білуді қажет етті.
Геометрия Ежелгі грек ғалымдарының еңбектерінен ары карай дамыды.
Жүз жыл бойында жинақталған білім бір жүйеге келтірілді. Геометрия осы
кезенде әр түрлі геометриялық фигуралардың қасиеттері жөніндегі ғылым
ретінде тұжырымдалды. Біздің заманымызға дейінгі VІІ-ІІІ ғасырлар кезеңінде
грек ғалымдары геометрияны көптеген жаңа теоремалармен байыптап қана
қоймай, оны қатаң түрде негіздеуге маңызды қадамдар жасады. Бұдан 2300 жыл
бұрын шамасында құрастырылған Евклидтің (б.э.д. 330-275) "Бастамалар"
(немесе "Негіздер") атты еңбегі осының нәтижесі. Бұл еңбек осы уақытқа
дейін сақталған. Евклидтің "Бастамаларында" осы күнгі мектептерде оқытылып
жүрген геометрияның негізі каланған.
Евклидтің "Бастамаларында" геометрияны баяндау аксиомалар жүйесінде
құрылған. Аксиомалардың бұл жүйесі біздің оқулықтағыдан өзгеше. Бірақ, онда
да параллельдер аксиомасы бар. Параллельдер аксиомасының басқа
аксиомалардан өзгешелігі — ол көрнекі түсініктермен бекітілмейді. Мүмкін
сондықтан болар, Евклидтің кезінен бастап көп елдің математиктері оны
теорема ретінде дәлелдеуге тырысты. Бірақ ешкім дәлелдей алмады. Ақырыңда,
XIX ғасырда оны дәлелдеу мүмкін еместігі айқын болды. Бірінші болып бұл
пікірді айтқан орыстың ұлы математигі Н.И. Лобачевский (1792-1856) болды.
Геометриялық салулар
Мектеп геометриясының негізгі материалдарының бірі – геометриялық
салулар. Бастауыш сыныптан бастап, кеңістіктің әр түрлі қасиетін
сипаттайтын геометриялық абстрактілі тарауларына дейін фигураларды салу жиі
кездеседі. Мұндай конструктивті геометрияны б.э.д. ІІІ-ІV ғасырларда өмір
сүрген грек математиктері Евклид, Архимед, Аполоний және Ежелгі Отрар
шаһарында туған руы қыпшақ, қазақ математигі әл-Фараби (870-950) дамытқан.
Жоғарғы математиканың негізін салған ағылшын математигі әрі физигі
Исаак Ньютон (1643-1727), неміс математиктері Г.В. Лейбниц (1646-1716) пен
К.Ф.Гаусс (1744-1803), француз математигі Р.Декарт (1596-1650), швейцар
математигі А.Эйлер (1707-1783), т.б. конструктивтік есептерге ерекше көңіл
бөлген. Геометриялық салулар теориясы И.И.Александровтың,
Н.Ф.Четверухиннің, Б.И.Аргуновтың, Ж. Адамардың, т.б. еңбектерінде
зерттелген, ал оны оқыту әдістемесі жөнінде Д.И. Перепелкиннің,
Г.Л.Сенниковтың, Г.Г.Маслованың, т.б. еңбектері бар.
Геометрия тарихынан математиканың аса маңызды тараулары геометриялық
салуларға тәуелді болғанын білеміз. Геометриялық салулар теориясы
геометрияның негізгі салалары – аналитикалық геометрия, проективтік
геометрия, сызба геометриялардың пайда болуына байланысты жоғарғы дәрежеде
дами бастады.
Салу есебі физика мен ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
I. Кіріспе:
II. Негігі бөлім:
1. V-XI сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
а) V-IX сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
ә) X-XI сыныптар алгебрасы және анализ бастамаларының тарихи
мағлұматтары
б) VII-XI сыныптар геометриясының тарихи мағлұматтары
2. Математиктердің өмірлері мен шығармашылықтары
а) Грек және Орта Азия математиктері
б) Еуропа және Орыс математиктері
III. Қорытынды
Әрбір ғылымның дамуына байланысты өздеріне тән ерекше тарихы болады.
Сол ғылымдардың тарихын білмей, оның теориясын, практикадағы маңызын және
өмірімен байланыстығын жете түсіну қиын болар еді. Сондықтан орта мектепте
оқытылатын математиканың тарихи мағлұматтарына ерекшк көңіл бөлген жөн.
Бұндағы мақсатымыз орта мектеп математикасындағы тақырыптарды өзінің
тарихымен байланыстыра оқыту.
Математика даму тарихында ұлы математиктердің еңбектері арқылы
қалыптасып, ғылымға өшпес із қалдырған. Олардың өмірі жастар үшін зор
тәрбиелік маңызы бар. Сондықтан дарынды математиктердің өмірлері мен
шығармашылықтарына көңіл бөлген дұрыс. Математиктердің есімдері және
математиканың тарихи мағлұматтары бір – бірімен байланыстыра баяндалады.
Зерттеу тақырыбы: Мектеп математикасының тарихи мағлұматтары.
Зерттеу нысыаны: Орта мектеп оқушылары мен мұғалімдері.
Зерттеудің мақсаты: Орта мектеп математикасындағы тақырыптарды
өзінің тарихымен байланыстыра оқыту.
1. V-XI сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
1.1. V-VI сыныптар математикасының тарихи мағлұматтары
Арифметикалық симвалдар мен амалдар
XVI ғасырдың ақырына дейін арифметикада қазіргідей амал таңбалар,
теңдік, теңсіздік белгілері және жақшалар қолданылмады.
Қосу (+) мен азайту (-) таңбалары. Бұл таңбалар XV ғасырдың аяқ
кезінде Италия ғалымы Леонардо да Винчи мен неміс математигі И.Видманның
(1489ж) еңбектерінде алғаш рет кездеседі. Қосу таңбасы латынның et (және)
деген жалғауының қысқартылып жазылуынан шықты деп есептелінеді. Олай деудің
себебі XII ғасырдың қолжазбаларында et жалғау латынның t әрпі тәрізді
болып жазылған.
Қосу мен азайту таңбаларының “плюс” және “минус” деген атаулары
латынның “plus”- артық, “minus”- кем деген сөздерден шыққан. Қосу мен
азайту таңбаларының орнына көпке дейін осы сөздердің алғашқы әріптері (p
мен m) қолданылған кез де болды.
Көбейту (х, ∙) мен бөлу (:, -)таңбалары. Айқыш сызықты (х), мүмкін
қосу таңбасына ұйқастырған болар, көбейту таңбасы ретінде алғаш рет ағылшын
ғалымы Вильям Оутред (1571-1600) қолданды. Оутред математикада әріптер
қолдану жөнінде де едәуір еңбек етті. Көбейту таңбасы ретінде нүктені әуелі
Регномонтан, содан кейін, оның маңызын көрсете отырып, Лейбниц қолданды.
XVII ғасырларда көбейтудің әр түрлі бірнеше таңбасы болды.
Теңдік(=), теңсіздік(›,‹) беглілері мен жақшалар. Ағылшындық
математик және дәрігер Роберт Рекорд (1510-1558) өзінің “Тапқырлыққа тарту”
(1557ж.) атты еңбегінде Ұзындығы бірдей екі сызықшадай болып еш нәрсе тең
бола алмайды деп алғаш теңдік белгісін қолданды.
1631 жылы алғаш рет ағылшын математигі Т.Хәриот қолданған теңсіздік
белгілері басқа математикалық таңбалардай емес, математикаға бірдей кіріп,
сіңісіп кетті, өйткені математикалық жаңа таңбаларды қолдануға көбіне
типографиялық таңбалардың жоқтығы және оларды жасатудың қиындығы бөгет
болып келген болса, бұл таңбалардың орнына латынның V әрпі пайдаланылып,
ондай қиыншылық кездеспейді.
Араптар арифметиканы үнділерден үйренді, сондықтан да әл-Хореми
еңбегін “Үнді арифметикасы” деп атады. Үнділер ол кезде арифметикалық
амалдарды қазіргі бізше қосумен азайтудан бастамай, мысырлықтарша (мүмкін
солардан үйренген болар), екі есе арттыру мен екі есе еселеуден басталуы
ғажап емес.
Әр елде әр кезде қолданылған арифметикалық амалдарды өту тәртібі әр
түрлі болды. Орта ғасырлардағы арифметикалық оқулықтарында мынадай 9 амал
қолданылды:
1. нумерация;
2. қосу;
3. азайту;
4. екі еселеу;
5. көбейту;
6. екіге бөлу;
7. бөлу;
8. прогрессия (натурал сандар қатарының қосындысын табу);
9. түбір табу (квадрат түбір);
Қосу амалы. Қазіргі сияқты, бірақ сол жақтан бастап қосу тәсілі
Үндістаннан шықты. Мұндай сол жақтан (жоғарғы разрядтан) бастап қосу ауызша
есептеулерде қазір де қолданылады.
XIII ғасырлардың орта кезінде Францияда санды оң жағынан (төменгі
разрядтан) бастап қосу тәсілі шықты, ол XV ғасырларда қазіргідей болып
қалыптасты.
Азайту амалы. Азайту амалы әр кезде әр түрлі мынадай екі тәсілмен
орындалып келеді:
1) азайғыштың азайтқыштан артығын табу;
2) азайтқышқа қосқанда азайғышпен теңелетін санды табу.
Бірінші тәсіл Үндістаннан шыққан.
Шотландия математигі Непердің 1617 жылы ойлап шығарған таяқшалары
арқылы кез келген санды біріне-бірін көбейту жоғарыда айтылған “тор көз
тәсілі” бойынша орындалады, мысалы: 456-ны 76-ға көбейту үшін Непер
таяқшаларының ішінен нөлдік, төрттік, бестік, алтылық таяқшаларды алып,
оларды таблицада көрсетілгендей етіп орналастырамыз да 456-ны 7-ге, 10-ға,
яғни 70-ке, содан кейін 6-ға көбейтіп, екі көбейтіндіні қосамыз:
456∙76=456∙(70+6)=456∙7∙10+456∙6=31 920+2736=34656
Бөлу амалы. Амалдардың ішіндегі адамға ең қиын тигені − бөлу. Бөлуді
білген кісі едәуір мәдениетті адам саналып, оған “абак докторы” деген атақ
берілетін.
Сөйтіп, көп таңбалы санды біріне-бірін бөлу амалының орындалу
техникасы көпке дейін ретке қойылмай, тек XV-XVI ғасырлардан бастап (ондық
бөлшек шыққаннан кейін) қазіргідей (қалдық ондық бөлшекпен есептелінетін)
болып тиянақталады.
Бөлшек санның шығуы. Алғашқы адам әр түрлі нәрселерді өмірде санай
жүріп, тіпті ертеде, натурал сандар қатарын тапты. Сонымен қатар ол түрлі
нәрсенің ұзындығын (қалыңдығын), ауданын (бетін), көлемін (үлкендігін) өз
мүшесінің немесе айналасының көпшілікке жақсы таныс бір нәрсенің
ұзындығымен салыстырды.
Бөлшек сандардың даму тарихына көз жіберсек, бөлшектердің мынадай
негізгі үш түрін кездестіреміз:
1) бірлік бөлшектер;
2) системалы (жүйелі) бөлшектер;
3) жалпы түрдегі бөлшектер.
Бірлік бөлшектер− бөлшек ұғымы алғаш шыға бастаған кездегі, ең
қарапайым ұғым, сондықтан ол тек мысырлықтардан ғана емес, басқа елдерде
де, соның ішінде, бөлшектен хабары жоқ қазақ арасында да жарты (½), және
(14) және тағы басқа ұғымдары болған.
Натурал сандар
Натурал сандар− ең көне математикалық ұғымдардың бірі. Ол мыңдаған
жылдар бұрын адамзат қоғамының дамуының алғашқы кезеңінде, адамдардың
нәрселерді (мал, балық және т.б.) санау қажеттігінен туған. Әрине,
нәрселерді ол кезде қазіргідей санамаған, алдымен оларды белгілі
нәрселермен, дененің бөліктерімен, мысалы, қолдың саусақтарымен санап,
көзбен салыстырған, кейіннен санды белгілеу үшін ерекше таңбалар қазіргі
цифрлардың алғашқы белгілері пайда болған.
Бізге белгілі 0,1,2, ... ,9 цифрлары үнді елінде пайда болған, және
бұдан шамамен 2000 жыл бұрын дүниеге келген. Еуропаға оларды араптар
апарған, сондықтан оларды араб цифрлары деп атайды.
Санаудың позициялық принципке негізделген көне жүйесі алты ондық
(алпыстық) жүйе болып есептелінеді. Ол ежелгі Вавилонда бұдан шамамен 4000
жыл бұрын шықты. Оны біз қазіргі кезде де пайдаланып жүрміз.Мысалы: 1сағ =
60мин, 1мин = 60сек.
Кей жағдайларда рим цифрлары қолданылады:
I1, V5, X10, L50, C100, D500, M1000, ...
Арифметиканың бізге жеткен ежелгі еңбектерінің бірі армян философы
және математигі А. Ширакацидің (XIIғ.) оқулығы “Сұрақтар мен шешулер”.
Ондық нумерациялық алфавит Киев Русінде таралған.
Ежелгі Вавилонда есептеу жұмысын жеңілдету үшін әр түрлі кестелер
оның ішінде көбейту кестесін жасады. Ежелгі бірқатар елдерде бірінші
есептеу құралы− абак қолданды.
Орта ғасырлық Еуропада Рим цифрларын пайдалану қиын болғандықтан,
есептеу жұмыстары абак арқылы орындалды. XII ғасырда әл-Хорезмидің
“Арифметикасы” латын тілінде аударылды, осының арқасында еуропалықтар ондық
позициялық принциппен танысты. Осы уақыттан бастап, біртіндеп араб
цифрларына және жаңа есептеу жүйелеріне өте бастады.
Жай сандар
Ежелгі грек ғалымы Эратосфен (б.э.д. IIIғ.) жай сандардың кестесін
жасауға арналған өзінің тәсілін ұсынды. Бұл тәсіл “Эратосфен елегі” деп
аталады. Оның мәні неде? Мысалы, 1-ден 20-ға дейінгі сандардан жай сандарды
тізіп жазамыз:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,16,17,18,19,20.
Бұдан әрі жай емес сандарды сызамыз. Алдымен, 1-ді үстінен сызамыз,
өйткені бұл − жай сан емес. Бірінші жай сан 2, оның астын сызамыз да,
барлық 2-ге еселік болатын, 4,6, ... ,20 сандарын үстін сызамыз. Келесі жай
сан 3, оның да астын сызып, 3-ке еселік барлық санды (сызылмай қалғандарын)
сызамыз және т.с.с. Сөйтіп, біз өзімізге қажетті барлық жай сандарды:
2,3,5,7,11,13,17,19 “електен” өткіземіз.
Сан жөніндегі ұғым − адамзат мәдениетінің тууымен, оның дамуымен
тығыз байланысты. Егер осы ұғымды алып тастасақ біздің рухани өміріміз бен
практикалық қызметіміз әлсіз болған болар еді. Есеп-қисап жүргізу, уақытты,
алыстықты өлшеу, еңбек нәтижелерінің қорытындыларын шығару сан ұғымынсыз
мүмкін емес. Адам өмірінде сан ұғымының өте қажеттілігі сонша, өткен
замандарда барлық елдердің атақты математиктері натурал сандар ішінде жай
сандардың орналасу сырын табумен шұғылданды.
Жай сандарды зерттеу саласында орыс математиктері зор еңбек сіңірді.
П.Л. Чебышев (1821-1894) 1-ден үлкен кез келген натурал сан мен берілген
саннан екі есе үлкен санның арасында (мысалы, 2 және 4,3 және 6,10 және 20,
т.б.) кем дегенде бір жай сан бар болатынын дәледеді. Сандар теориясының
негізін қалаушы П.Л. Чебышев болды. И.М. Виноградов(1891–1983) кез келген
жеткілікті үлкен санды үш жай санның қосындысы түрінде көрсетуге болатынын
ұсынды. Мысалы, 7=2+2+3, 9=3+3+3=2+2+5, 15=3+5+7=5+5+5, т.б.
Жай бөлшектер
Ежелгі заманда-ақ (б.э.б. 2000ж) қарапайым бөлшектер пайдаланылған.
Ежелгі вавилондықтар 12, 13, 23, ... бөлшектерін белгілеуге арналған
арнайы белгілері болған. Ежелгі Египетте бірлік бөлшектер, яғни 1n
(мұндағы n-натурал сан) түріндегі бөлшектер пайдаланылған. Егер де өлшеу
нәтижесінде 78 саны шығатын болса, онда мұны бірлік бөлшектердің қосындысы
түрінде жазған: 78=12+14+18.
Ерте кезде адамдарға сауда – саттық және түрлі есептеу жұмыстарында
бөлшектер мен үлестерді есептеу қажет болған. Бөлшектер туралы түсініктің
дамуына үш түрлі бөлшектер ұғымы қалыптасқан.
1. Бірлік бөлшектер – аламдары бір болатын үлестер.
2. Жүйеленген бөлшектер. Оның алымы кез келген бүтін сан, бөлімі тек
10 санының немесе 60 санының дәрежелері ғана болған.
3. Жалпы түрдегі бөлшектер. Оның алымы да, бөлімі де кез келген
натурал сан болады.
Бөлшектердің мұндай әр түрлілігі есептеу және өлшеу жұмыстарында
көптеген қиындықтар туғызады. Бөлшек ұғымының дамуы ғылым мен сауда- саттық
жұмыстары өркендеген елдерде: Египетте, Вавилонда, Үндістанда және Римде
қалыптасты.
Жай бөлшектер туралы ілімінің дамуына үнді математиктері көп үлес
қосты. Оларда негізгі бөлшекте, яғни 13, 15, 17, т.б. бөлшектердің
түрлері кездеседі.
Қазіргі жай бөлшектерді белгілеу VIII ғасырда Үндістанда
қабылданған. Бөлшектердің алымы мен бөлімі бөліп тұратын сызықты, грек
математиктері Александриялық Герон (б.э.Iғ.) және Диафант (IIIғ.), Италия
математигі Л.Лизанский (Фибоначчи) (1180-1240) еңбектерінде кездеседі.
Бұдан кейін бөлшек сызық барлық жерге жалпылай таралған.
Бірлік бөлшектермен қатар бір мезгілде жүйелі бөлшектер, яғни
алымдары кез келген сандар бола алатын, ал бөлімдері белгілі бір санның
мысалы, онның, жиырманың, алпыстың дәрежесі болатын бөлшектері шықты.
Алпыстық бөлшектер XVII ғасырға дейін пайдаланылып келді. Қазіргі кезге
дейін уақыт бірліктері алпыстық жүйемен өрнектеледі.
Грек ғалымы Архимедтің (б.э.д. 287-212) кейбір еңбегінде алымы мен
бөлімі кез келген натурал сандар болатын бөлшектің жалпы түрі кездеседі.
Ежелгі гректер іс жүзінде жай бөлшектерге барлық амалдарды қолдана білген.
Бірақ та бөлшекті қазіргі кездегідей сызықша арқылы жазу болмаған. Сызықша
жазу тек 1202 жылы Италия ғалымы А. Фибоначчидің “Абак кітабы” атты
шығармасында ғана енгізілген.
Ұзақ уақыт бойы бөлшектерді сандар деп атамаған. Бұларды кейде
“сынық сандар” деп атаған. Тек XVIII ғасырда ғана бөлшектерді сандар
ретінде қабылдай бастады. Бұған ағылшын ғалымы И. Ньютонның (1643-1727)
1707 жылы жарық көрген “Жалпыға бірдей арифметика” атты кітабы ықпал
жасады, мұнда бөлшек ұғымы бір өрнекті екінші өрнекке бөлуден шығатын
бөлінді ретінде кеңейтілді.
Ондық бөлшектер
Вавилонда б.э.д. 4000 жыл бұрын ежелгі жүйелі бөлшектерді
пайдаланған, ал ежелгі грек астрономдары арқылы Батыс Еуропа астрономдарына
алпыстық бөлшек жүйесі тараған.
XVI ғасырдың аяғында тұрмыстық жағдайларға бөлшектердің күрделі
есептеулерін пайдалану қажеттілігін басқа ондық бөлшек жүйесі
пайдаланылды: 110, 1100, 11000, ... . Басқа жүйелерге қарағанда ондық
бөлшек жүйесінің артықшылығы, біріншіден жазылуы және оған амалдар
қолданылуы бүтін сандарға негізделген.
Оның жазылуы: 7,305=7+310+0100+51000 немесе 7,305=7. Ондық
бөлшектің бүтін бөлігі болмаса, онда үтірдің алдында нөл жазу керек,
мысалы, 35100=0,35. Ондық бөлшектің қасиеті бойынша былай жазуға болады:
12,7=12,70=12,700 және т.с.с.
Ондық бөлшектерді есептеу натурал сандарды есептеуге ұқсастығына
қарай және ыңғайлығына байланысты ғылымдағы, өндірістегі, күнделікті
өмірдегі есептеулерде жиі пайдаланылады. Ондық бөлшектер және оларға
амалдар қолдану туралы Орта Азия ғалымы әл-Кәши ондық бөлшектерді көбейту
мен бөлу тәсілдерін қалыптастырды. Сондықтан ол есептеуде ондық бөлшекті ең
алғаш пайдаланған ғалым ретінде тарихқа енген. Әл-Кәши ондық бөлшектерді
жазуды үтірді пайдаланбаған, бірақ ол үтірдің орнына тік сызық қойған.
Ондық бөлшекпен есептеу туралы әл-Кәши еңбектерінен кейін 158 жылдан
соң голландиялық математик Симон Стевин (1585ж) атты кітабында жазды.
Стевин Еуропа елдерінде ондық бөлшектерді есептеу жұмыстарына пайдалануды
насихаттады.
Ондық бөлшектің бүтін бөлігін ажыратуды Шотландия математигі Дж.
Непер (1550-1617) және аспан әлемін зерттеуші неміс математигі И.
Кеплер (1571-1630) енгізген.
Ресейде 1703 жылы Л.Ф. Магницкий (1660-1739) өзінің еңбегі
"Арифметика – сандар туралы ғылым" деген оқулығында ондық бөлшектер туралы
ұғымды ғылыми түрде баяндаған.
Проценттер
Әр түрлі практикалық есептеулерде проценттерді пайдалану Вавилонда
және Ежелгі Римде кеңінен таралған. “Процент” дегеніміз (латынның pro cento
– жүзден деген сөз) жүзден бір бөлігі деген мағынаны білдіреді, яғни 1%
деген ұғым 0,01; 27%= 0,27; 100%=1; 150%=1,5 және т.б.
Процент белгісі %- cto (cento сөзінің қысқаша жазылуы) сөзінің
жазылуының өзгертілген түрі.
Айлық табыстың 1% деп, оның 0,01-ін айтады, ал жоспар түгел
орындалды деген, яғни 100% орындалған, ал жоспар 150% орындалды дегенді 1,5
жоспар орындалған дегенді білдіреді.
Берілген санның проценттік мәнін табу үшін ол санды 100-ге көбейту
керек. Мысалы, 2 санының проценттік мәні 200% болады.
Нақты сандар
Сан ұғымы өте ерте заманда туып, ғасырлар бойы дамыған. Теріс сандар
ұзақ уақыт бойы “жалған” сандар деп есептелініп, “қарыз” (“борыш”),
“жеткіліксіздік” (“жетімсіздік”) ретінде түсіндіріліп келген. Оң және теріс
сандарға амалдар қолданылу ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу және азайту
жағдайлары үшін ғана қарастырылып отырған. Мысалы, бұл ережені үнді
математиктері VII ғасырда былай тұжырымдаған: “Екі мүліктің қосындысы мүлік
болады, екі қарыздың қосындысы қарыз болады, мүлік пен қарыздың қарыздың
қосындысы бұлардың айырмасына тең болады”.
XVII ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координатор әдісі
пайдаланыла бастағаннан бері теріс сандар оң сандармен тең құқықты сандар
ретінде қабылданды. Теріс сан практикада теңдеуді шешу кезінде пайда болды.
Бүтін және бөлшек сандар рационал сандар жиынын құрайды. Бұл сандар
есептеуге қолайлы екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі
және бөліндісі (бөлгіш нөлден өзге сан болғанда) рационал сандар болып
табылады. Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасы кез келген
дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал (бүтін
және бөлшек) санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт
бойы азаматтың іс жүзіндегі қажеттіктерін толық қамтамасыз етіп келді (және
де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу
мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді. Ежелгі Грекияда
Пифагор (б.э.д. VIғ.) оқушыларының мектебінде, егер өлшеу бірлігі
ретінде квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың диагоналын
рационал санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденбеген болатын.
Квадраттың диагоналы және оның қабырғасы секілді кесінділерді
өлшенбейтін кесінділер деп атаған. Бұған кейінгі уақытта (б.э.д.V-VI ғ.)
ежелгі грек математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n саны
үшін санының иррационалдығын дәлелдеді.
Үндістанның, Таяу және Орта Шығыстың, ал кейініректе Еуропаның
математиктері иррационал шамаларды пайдаланды. Бірақ ұзақ уақыт бұларды тең
құқықты сан ретінде қабылдамай келген. Оларды қабылдауға Декарт (1596-1650)
“Геометриясының” шығуы ықпал жасады. Әрбір рационал немесе иррационал сан
координаттық түзудің бойындағы барлық “бос орындар” толтырылды. Осы
қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны (рационал сандар жиынынан
айырмашылығы) үздіксіз болып табылады делінеді.
Грек математиктері геометриялық алгебраның негізін салды.
Кесінділердің ұзындығын иррационал сандармен белгілейді. Орта Азия
ғалымдары Омар Хайям (XII ғ.) және Насыреддин Туси (XII ғ.) сан ұғымын
кеңейтіп, иррационал сандарды рационал сандармен қатар қолданды. Еуропада
С. Стевин кез келген нақты санды жазу үшін ондық бөлшектерді қолданды.
Кез келген нақты санды шектеусіз (периодты немесе периодсыз)
ондық бөлшектер түрінде көрсетуге болады. XVIII ғасырда Л. Эйлер (1707-
1789) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан болатынын көрсетті.
Шектеусіз ондық бөлшектер негізінде нақты сандар құруды неміс математигі К.
Вейрштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын мазмұндаудың басқаша
тәсілдерін неміс математиктері Р. Дедекинд (1831-1961) пен Г.
Кантор (1845-1918) ұсынды.
Шамаларды өлшеу
Ерте заманда әр елдің халықтарында ұзындық өлшем әр түрлі болды.
Мысалы: шынтақ, табан, ер адамның қадамы және т.б.. Ал, кейбір елдерде
келісімді өлшеулер болмағандықтан соған байланысты дау жанжалдар болып
тұрған. Ұлы француз халқы республика территориясына өлшеудің бірлік метрлік
жүйесін енгізді. Жаңа өлшем бірлік туралы негізі ойлары айтты. Ұзындық
бірлігіне 110000000 Париж географиялық меридианның ¼ бөлігі алынды. Бұл
меридиананы өлшеу үшін, Дюнкерк және Барселон қалаларының арасында 6 жыл
бойы екі француз оқымыстылары Б. Мешен және Даламбер өлшеу жұмыстарын
жүргізді.
XVIII ғасырдың аяғында бұл жерде заңды ұзындық бірлігі ретінде метр
тағайындалды. Еуропаның басқа елдерінде метрлік жүйені XIX ғасырдың аяғында
пайда бола бастады. Ал, Ресейде көне орыс өлшеу бірліктері (мысалы, бір
шақырым жуық шамамен 1 км 67 метр, т.б.) қолданылды. Ресейде метрлік бірлік
жүйені енгізу 1889 жылы басталды. Бұл кезеңде ескі өлшеу бірліктері
қолданылады. Ресейде алғаш рет ұзындық бірлігі үшін метрді қолданған Н.И.
Лобачевский (1792-1856). Метрикалық жүйені халықаралық дәрежеде ұсынған
орыс оқымыстысы Б.С. Якоби (1801-1874). Ресейде 1809 жылы Менделеев метрлік
жүйесін енгізуге келісім алды, сөйтіп бұл өлшеудің жүйесін 1918 жылдан
бастап қана міндетті деп саналатын болды. Метрлік жүйеге көшу − бұл маңызды
қадам болды. Бір тұтас өлшеу бірлігін пайдалану халықтар арасындағы
қарым−қатынасты, мысалы Халықаралық сауда– саттық жүйесіндегі есеп–қисап
жасауды едеуір жеңілдетті. Алайда кейбір елдерде дәстүр бойынша қазірдің
өзінде де метрлік жүйеге жатпайтын бірліктер қолданылып жүр. Мысалы,
Англияда, ұзындық бірліктер ретінде ярд (1ярд≈91см) қолданылады. Оны 1101
жылы I Генрих каролі енгізген болатын.
Есептеу құралдары
Ерте заманнан – ақ адамдар есептеулерді жеңілдетуге тырысқан. Ежелгі
“есептеу машинасы” қол мен аяқтың саусақтары, тастар мен уақ заттар болған.
Қолөнершілер мен саудагерлер ұсақ тастар арқылы әр түрлі разрядтар
бірліктерін көрсетуге болатындай бағандарға бөлінген есептеу тақталарын
пайдаланған. Бұл тақтаны “абак” деп атаған. Ежелгі римдіктерден бізге “ұсақ
тастармен есептеулер” дегенді білдіретін “калькуляция” сөзі келіп жетті.
Қазіргі кезде “ калькуляция ” термині “есептеу” деген мағынада қолданылады.
Абакты одан әрі жетілдіру арқылы есепшот пайда болды. Орыс есепшоты XVI
ғасырда дүниеге келді.
Арифметикалық амалдарды механикалық жолмен орындайтын машинаны
арифмометр деп атайды. Ондай машиналардың бастапқыларын 1641 жылы француз
оқымыстысы Б. Паскаль (1623-1662) және неміс математигі Г. В. Лейбниц (1646-
1716) жылы жазған.
Инженер -өнертапқыштар микрокалькуляторды (МК) ойлап шығарды.
МК–лар есептеулерге ыңғайлы және арифметикалық және логикалық амалдарды
тез, қатесіз есептеп бер алады. МК–лар арқылы тек арифметикалық амалдар
ғана емес, түбір табу, дәрежелеу, тригонометриялық функциялардың,
логорифмдердің мәндерін табуға да болады. Калькулятор (латынша –
“calculator” – есептеуіш деген сөз)− электронды элементтерден құрастырылған
есептеу құралы. Біздің елімізде МК–лардың 40–тан астам түрі
шығарылады.
Функционалдық мүмкіндіктері бойынша барлық МК–лар арифметикалық,
инжерерлік және программалаушы болып үш топқа бөлінеді. Арифметикалық
МК–лар негізінен арифметикалық төрт амалды және олармен байланысқан әр
түрлі тізбектен тұратын өрнектердің мәнін табуға арналған.
Арифметикалық (қарапайым) МК–лардың жетілдірілген түрі инженерлік
калькуляторлар. Бұлардың тұрақты есіне жазылып қойылған айырым
программалардың көмегімен көптеген қарапайым функциялардың (sinx, cosx,
tg, sinx, cosx, tgx, x, lnx, lgx, П, e,
10, x,) мәндерін автоматты түрде есептеуге болады.
Программалаушы МК–лардың құрылғылары үлкен электронды – есептеу
машиналарының құрылғыларына сәйкес келеді. Олар: енгізу, қорытынды шығару,
есте сақтау, тұрақты ес, басқару және арифметикалық құрылғылар, бұл
құрылғылардың міндеттері үлкен электрондық есептеу машиналарына ұқсас.
1822 жылы Англияда автомат машинаны Г. Беббидж ойлап тапқан, оның
қызы Лавлайс бірінші бағдарламаны жасаған. Ал, 1937 жылы Америкада
профессор Атанасов электрондық есептеуіш машинаны (ЭЕМ) ойлап тауып, оған
екілік санау жүйесін пайдаланған. XX ғасырдың ортасында пайда болған
ЭЕМ–лар есептеу техникасында төңкеріс жасады. Ресейде алғашқы рет ЭЕМ–сын
профессор Лукянов пен Гутенмахер және академик С.А. Лебедевтің (1902-1974)
басшылығымен 1950 жылы жасалды.
Қазіргі ЭЕМ секундына бірнеше операция жасайды. Олар ғылым мен
техника және халықшаруашылығының әр түрлі салаларында кеңінен қолданылады.
Еңбек өнімін арттыруға, өндірістің алға қарай өсуіне, басқару ісін
жетілдіруге жаңа мүмкіндік ашты.
ЭЕМ–ның немесе компьютердің ағылшынша (compute – есептеу) пайда
болуы – қазіргі ғылыми техниканың ерекше белгісінің бірі.
1.2. VII-IX сыныптар алгебрасының тарихи мағлұматтары
Алгебраға анықтама
Ежелгі египеттіктер, вавилондықтар және үнділерде алгебраның алғашқы
элементтері туралы мағлұматтар болды. Алгебраның пайда болуы мен дамуында
Орта Азия оқымыстылары әл-Хорезми, Омар Хайям және т.б. үлкен үлес қосты.
Алгебраның алғашқы анықтамасын Омар Хайям (XI ғ.) берді: “Алгебра дегеніміз
ғылыми әдіс. Ол сандар мен шамалардың пәні, алгебра белгілі шамалар мен
белгісіз шамаларды байланыстыратын қатынастарды анықтайды. Алгебралық
есептерді шешу теңдеулердің көмегімен орындалады”.
Алгебраның қалыптасуына итальян математиктері Тарталья (1499-1557),
Карнадо (1501-1576) және француз оқымыстылары Виет пен Декарт үлкен үлес
қосты. Ресейде алгебра туралы алғашқы мағлұмат 1703 жылы Магницкийдің
“Арифметика” еңбегінде баяндалады.
XVI ғасырға дейін алгебраны баяндау негізінен ауызша жүргізілді.
Әріптік белгілеулер мен математикалық белгілер біртіндеп пайда болды.
+ және − таңбалары бірінші рет XVI ғасырда неміс алгебраларының
жұмыстарында кездеседі. Одан біраз кейінірек көбейту үшін х белгісі
енгізілді. Бөлудің (:) белгісі XVII ғасырда ғана енгізілген еді.
Алгебралық символиканы қолдануда XVI ғасырда француз математигі
Франсуа Виет (1540-1603) және оның замандастарының тек белгісіздерді ғана
емес, сонымен қатар кез келген санды белгілеу үшін де әріптерді қолдануына
байланысты батыл қадам жасалды. Дегенмен, ол символика қазіргіден өзгеше
еді. Айталық, Виет белгісіз санды белгілеу үшін N (Numerus - сан) әріпін,
белгісіздің квадраты мен кубын белгілеу үшін Q (Quadratus – квадрат) және C
(cubus – куб) әріптерін қолданды. Мысалы: теңдеуін Виет мынадай түрде
жазды: 1С + 8Q + 16N aequ.(aequali - тең).
Алгебраның даму барысында теңдеулер туралы ғылымнан сандарға амалдар
қолдануға азды – көпті ұқсайтын операциялар туралы ғылымға түрленіп дамыды.
Қазіргі алгебра – математиканың негізгі бөлімдерінің бірі.
Мектеп алгебра курсына бірсыпыра алгебралық мағлұматтарға қоса
математиканың басқа да бөлімдерінен (функциялар, координаталар әдісі,
жуықтап есептеулер және де тағы басқалар) кейбір жеке мәселелерде енген.
Натурал көрсеткішті дәреже
Сандардың квадраттары мен кубтарының таблицасын Вавилонда қолданды.
Үнді оқымыстылары 1, 2, ..., 9 көрсеткішті дәрежелерді қарастырды.
Өзбек математигі әл–Кәши (XV ғ.) одан кейін неміс математигі Штифель
(1486 – 1567) болатынын тағайындады. Штифель “дәреже көрсеткіш” деген
терминді енгізіп, өзінің “жалпы арифметикасында” (1544ж) сандарды негіздері
бірдей дәрежелер түрінде жазды.
Француздың ұлы математигі және философы Р. Декарттың ( 1596 – 1650)
“Геометриясы ” 1637 жылы шықты. Осы еңбегінде Декарт дәреженің көп жыл бойы
табылмай келген, қазіргідей жазылуын қолданды.
Натурал көрсеткішті дәреже практикада натурал сандарға ( 1, 2, 3,
... , N...) бөлінетін квадраттың ауданын және кубтың көлемін табуға
пайдаланады.
Пропорция
Арифметикада практикалық маңызы күшті материалдардың бірі−пропорция.
Пропорция түрлі практикалық есептерді, өнер, құрылыс, т.с.с. байланысты
мәселелерді шешу үшін өте ерте кезде қолданылды.
Пифагоршілер пропорцияның 1) арифметикалық пропорция a – b =c – d;
2) геометриялық пропорция a:b =c:d; 3) гармониялық пропорция 1a – 1b =1c
– 1d деп аталатын үш түрін білді. Арифметикаға олар үздіксіз (орта деген
мүшелері тең) пропорция, пропорционал орта, гармониялық орта, деген
ұғымдарды енгізді.
Евдокс (409–356) геометриялық шамалардың пропорционалдығы жөніндегі
ілімді – геометриялық пропорция теориясын жасады. Евдокстың осы пропорция
теориясын Евклидтің (б.э.д III ғ.) “Басталамарының” V
кітабында баяндалды, ал оның IV кітабында пропорцияның геометрияда,
әсіресе, ұқсас фигураларды қолданылуы көрсетілді. Жалпы пропорция ұғымы
грек алгебрасына негіз болды.
Пропорция әр кезде әр түрлі жазылып келді, 1668 жылы оны қазіргідей
жазуды неміс математигі Лейбниц ( 1646 – 1716) шығарды.
Адамның дене құрылысының пропорциясын зерттеп білу, мүсін мен сурет
салу үшін және белгілі денеге дұрыс киімдер тігу үшін пропорция қажет.
Теңдеулер
Қазіргі әріп символикасы ұзақ уақыт тарихи дамудың нәтижесінің
жемісі. Оны 3 этапқа бөліп көрсетуге болады.
1. Теңдеуді сөз арқылы жазу.
2. Сөздерді қысқарту және белгілеу үшін жеке әріптер қолдану.
3. Символикалық.
Француз ғалымы Ф.Виет (1540–1603) белгілі символикаға негіздеп,
есептердегі белгісіз шамаларды бір әріппен, ал белгілі әріп
коэффиценттерімен белгілеуді енгізді. Алгебралық символика Декарт, Ньютон,
Эйлер және т.б. еңбектерінде жетілдірілді.Символикалардың дерлік енгізілуі
математиканың тез дамуына әсерін тигізді. Ертедегі вавилондықтар мен
египеттіктерге шешімі (қазіргі жазуда) теңдеуіне келтіретін көптеген
есептер белгілі болды.
Үнділер бірінші, екінші дәрежелі теңдеулерінің шешу тәсілдерін білді
және теңдеулерді шешкен кезде, гректер теріс және иррационал сандарды
қолданып отырды.
Орта Азияның ұлы математигі әл–Хорезми грек және үнді
математиктердің еңбектерін оқып білу нәтижесінде алгебрадан, бірінші және
екінші дәрежелі теңдеулерді шешуге арналған еңбектер жазды, бірақ ол оларды
сөз жүзінде жазды.
Ал, үшінші дәрежелі теңдеулердің дербес түрлерін вавилондықтар
таблицалар арқылы, Архимед геометриялық тәсілмен қытай және араб
математиктері басқа тәсілдермен шешті.
XVI ғасырда италияның математиктері Тарталья мен Кардано үшінші
дәрежелі теңдеудің, ал Карданоның шәкірті Феррари төртінші дәрежелі
теңдеудің жалпы түрдегі шешуін тапты.
Алгебраға әріптік символикалардың енуі теңдеулерді шешу әдістері
ұғымын біршама жеңілдетті.
Теңсіздіктер
Заттарды санауға байланысты және әр түрлі шамаларды салыстыру
қажеттілігінен теңдік ұғымымен қатар "артық" және "кем" ұғымы шыққан.
Ежелгі гректер теңсіздік ұғымын пайдалана білген. Архимед (б.э.д. III ғ.)
шеңбердің ұзындығын есептеп шығарумен айналыса отырып, "кез-келген
дөңгелектің периметрі артығымен алынған үш еселенген диаметрге тең, бұл
диаметрдің жетіден бір бөлігінен кем, бірақ жетпіс бірден он бөлігінен
артық" болатынын анықтаған. Екінші сөзбен айтқанда, Архимед санының
шекараларын көрсеткен: . Евклид өзінің атақты "Бастамалар"
трактатыңда бір қатар теңсіздіктер келтірген. Мысалы, ол екі оң санның
геометриялық ортасы бұлардың арифметикалық ортасынан артық болмайтынын,
яғни теңсіздігі тура екенін дәлелдеген.
Грек ғалымы Папптың (III ғ.) "Математикалық жинағында" егер
(а,b,с және d оң сандар) болса, онда болатыны дәлелденген.
Теңсіздіктердің қазіргі кездегі таңбалары тек ХҮІІ-ХҮІІІ ғасырларда
пайда болды. және таңбаларын ағылшын математигі Г. Гарриот (1560-1621),
және таңбаларын француз математигі П. Буге (1698-1758) енгізген.
Теориялық зерттеулерде және іс жүзінде қолданылатын маңызды
есептерді шешу кезінде теңсіздіктер және теңсіздіктер жүйесі көп
пайдаланылады.
Вектор ұғымы
Бағытталған кесінділерді алғаш зерттеген Норвегия математигі
К.Вессель (1745-1818). "Вектор" терминін Ирландия математигі У.Р. Гамильтон
(1805-1865) енгізді. Одан тәуелсіз вектор ұғымын неміс математигі Герман
Грасман (1809-1877) да ұсынды. Вектор сөзі латынның vector - тасымалдаушы
деген сөзінен шыққан. Вектор теріс сандармен орындалатын әрекеттерге
қанағаттанарлықтай түсінік берді.
Қазіргі математиканың негізгі ұғымдарының бірі — вектор.
Математикада, механикада және техниканың әр түрлі салаларында вектор ұғымы
кеңінен пайдаланылады.
XIX ғасырдың ортасында У.Р. Гамильтон мен неміс математигі А.Ф.
Мёбиус (1790-1868) еңбектерінде үш өлшемді және көп өлшемді кеңістіктердің
қасиетін білу үшін вектор ұғымы кең түрде қолданылды.
XIX ғасырдың аяғы XX ғасырдың басында векторлық есептеудің
қолданылуы кең өріс алды. Векторлық алгебра және векторлық анализ, өріс
теориясы, тензорлық анализ, көпөлшемді векторлық кеңістіктің жалпы теориясы
пайда болды.
Қазіргі кезде математикада векторлық ұғым сызықтық алгебра мен
аналитикалық және дифференциалдық геометрияларда пайдаланылады.
Мектеп математикасының бағдарламасына вектор үғымы енгізілгенше
оқушылар онымен физика курсынан таныс (күш, үдеу, жылдамдық, т.б.),
сондықтан да олар векторды физикалық ұғым деп түсінуі мүмкін, ал шындығында
вектор математикалық ұғым, ол физикада және қолданбалы ғылымдарда
қолданылады.
Қазіргі математиканың негізгі ұғымдарының бірі — векторлық кеңістік
ұғымы. Ол "Сызықтық алгебра", "Сызықтық программалау", "Функционалдық
анализ" және физикада кең қолданылады.
Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар
Ертедегі халықтардың да алгебралық және геометриялық прогрессиялар
алғашқы түсініктері болған. Вавилондық сына жазуларының шағын кестелерінде
және мысырлықтардың папирус жапырақтарындағы жазуларында прогрессияларға
берілген есептер мен оларды шешу жөніндегі нұсқаулар кездеседі.
Біздің заманымыздан 2000 жыл бұрынғы Ежелгі Мысыр папирусында
мынадай есеп келтірілген: "Саған 10 өлшем арпаны 10 адамға бөліп бер деп
тапсырылсын, әрі әр адам мен оның көршісі алған арпа өлшемінің айырмасы 18
өлшемге тең болады". Мұнда арифметикалық прогрессия туралы сөз болып отыр.
Қазіргі белгілерді пайдалана отырып, есеп шартын былай жазуға болады:
болса, онда неге тең болады?
Прогрессиямен байланысты алғашқы теориялық мәліметтер көне, грек
құжаттарында бар. Ежелгі грек папирустарының бірінде мынадай есеп
келтірілген: "7 үйдің әрқайсысында 7 мысықтан бар, әр мысық 7 тышқан жейді,
әр тышқан 7 бидай масағын жейді, егер осы масақты жерге сепсе, одан 7 өлшем
астық шығар еді. Үйлердің, мысықтардың, тышқандардың, масақтардың, саны мен
астық өлшемінің қосындысын есептеп шығару керек". Бұл есепті шығару
қосындысына, яғни геометриялық прогрессияның бес мүшесінің
қосындысына алып келеді.
Ежелгі грек оқымыстылары прогрессияларды және олардың қосындыларын
таба білген. Мәселен, оларға натурал жұп және тақ сандар тізбегінің п
санның қосындысының формуласы белгілі болған: . Олар шектеусіз
кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табу жолын
көрсетті. Арифметикалық және геометриялық прогрессияларды қытай және
үнді ғалымдары да білген.
Прогрессия терминін (progression — деген латынның сөзінен шыққан,
"алға қарай қозғалыс" дегенді білдіреді) римдік ғалым Боэций (VI ғ.)
енгізген. Бұл кең мағынада шектеусіз сан тізбегі ретінде түсінілген.
Прогрессияларға "арифметикалық" және "геометриялық" деген атау
үздіксіз пропорциялар теориясынан ауысқан, мұны зерттеумен ежелгі гректер
де шұғылданған. Ал түріндегі теңдікті олар үздіксіз
арифметикалық пропорция деп, ал теңдігін үздіксіз геометриялық
пропорция деп атаған.
Бұл теңдіктен және шығады, яғни бұл екі қатынастармен
арифметикалық және геометриялық прогрессияның сипаттық касиеттері
өрнектеледі.
Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысының формуласы
Евклидтің (б.э.д. III ғ.) "Бастамалары" атты кітабында берілген.
Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысының формуласын ежелгі грек
ғалымы Диофант (III ғ.) далелдеген. Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің
қосындысын табу ережесі итальян ғалымы Л. Фибоначчидің (1180-1240) 1202
жылы жазған "Абак кітабында" кездеседі. Кез келген шектеусіз кемімелі
геометриялық прогрессияны қосындылау ережесі Н. Шюкеннің "Сандар туралы
ғылым" (1484) атты кітабында да берілген.
1.3. Х-ХІ сыныптар алгебра және анализ бастамаларының тарихи
мағлұматтары
Бұрыштарды өлшеу
Бұрыштардың градустық өлшеуі Ежелгі Вавилонда б.ж.с. көп бұрын пайда
болған. Вавилонда алпыстық санау жұйесі қабылданған-ды, яғни іс жүзінде
сандар бізде кабылданған ондық жүйедегідей 10 санының емес, 60 санының
дәрежелерінің қосындысы түрінде жазылатын еді. Әрине, сондықтан да
бұрыштарды өлшеудің өте кішкентай бірліктерін енгізу үшін 60 бөлікке
бөлінетін болған.
Бұрыштарды өлшеудің Вавилондық жүйесі әбден қолайлы болып шықты да,
оны Грекия мен Рим математиктері сол күйінде сақтады. Бұрыштық шамаларды
атау үшін біз пайдаланып жүрген терминдердің түбірі латындікі. "Градус"
сөзі латынның gradus minutus “кішірейтілген” дегенді білдіреді.
Бұрыш шамаларының қазіргі кезде қолданып жүрген жүйесі XVI және XVII
ғасырларда кеңінен таралған-ды; оны Н. Коперник (1473-1543) және Т.
Браге (1546-1601) сияқты белгілі астрономдар пайдаланған. Грек ғалымы К.
Птоломей (б.э.д. II ғ.) градустар санын (ол да жай ғана бөліктер деп
атаған) −дөңгелектермен , минуттар санын бір штрихпен, ал секундтар санын
екі штрихпен белгілеген.
Бұрыштардың тағы бір өлшеу бірлігі радиан енгізілгеніне көп уакыт
еткен жоқ. "Радиан" термині Англияда 1873 жылы жарық көрді. "Радиан" деген
терминнің өзі латынның radius (сәуле) деген сөзінен шыққан. Егер бір радиан
бұрыштың анықтамасын (доғаның ұзындығы шеңбердің радиусына тең болатын
центрлік бұрыш) еске түсірсек, онда мұндай бұрышты атау үшін "рад" деген
түбірдің таңдалып алынуы әбден орынды болып табылады.
Функциялар және олардың қасиеттері
Математика тарихында көп жаңалықтар XVII ғасырда ашылды. Декарт
жазықтықта орналасқан қисықтарды зерттеу үшін координаталар әдісін енгізді.
Жаратылыстанудың дамуы функциялардың, әсіресе қозғалыстағы дененің және
басқа да физикалық шамалардың уақытқа тәуелділігін өрнектейтін
функциялардың экстремумдарын табуға, әр түрлі сызықтарға жүргізілген
жанамаларды табуға, т.с.с. қолданылды.
"Функция" деген терминді Лейбниц (1646-1716) енгізген-ді. Санды
функцияның, оның берілу тәсіліне байланысты болмайтын, қазіргі кездегі
анықтамасын бір-біріне байланыссыз 1834 жылы орыс математигі Н.И.
Лобачевский (1792-1856) және 1837 жылы неміс математигі П.Г. Дирихле (1805-
1859) берген еді. Ал, функцияның қазіргі кезде қабылданған белгілеулерін
енгізген Эйлер (1707-1783) болатын-ды.
Функция шегі ұғымының көрнекі мағынасы XVII ғасыр математиктеріне
айқын болған-ды. Олар іс жүзінде шектерді дұрыс таба білген. Алайда, тізбек
шегі мен функция шегі туралы ұғымдардың б.э.д. сақталып келген дәйекті
анықтамаларын француз математигі О. Коши (1789-1857) берген болатын, бірақ
ол анықтамаларды көпшілік бірден түсіне қоймаған еді.
Іс жүзінде бір мезгілде (және бір-біріне тәуелсіз) француз
математиктері П. Ферма (1601-1665) мен Р. Декарт (1596-1650) жазықтықтағы
координаталар жүйесін енгізу және фигураларды олардың теңдеулерімен беру
көптеген геометриялық есептерді геометриялық фигуралардың теңдеулерін
зерттеуге ұштастыруға мүмкіндік беретінін байқады. "Геометрия" және "Әдіс
жайлы пайымдаулар" атты кітаптарында жаңа әдісті жан-жақтылы баяндап берген
Декарттың кұрметіне тікбұрышты координаталар жүйесі кейінірек, декарттық
координаталық жүйе деп аталды.
Ұлы ағылшын ғалымы, математигі, физигі Исаак Ньютон (1643-1727)
қозғалыстағы нүктенің уақытқа тәуелділігін зерттей отырып, іс жүзінде
функцияларды зерттеумен шұғылданған-ды.
Анықталу облысы мен мәндерінің облысы еркін алынатын қазіргі кездегі
функция ұғымы, шын мәніңде, тіпті бертінде ғана, жиындар теориясын жасаған
неміс математигі Г. Кантордың (1845-1918) жұмыстарынан кейін, XX ғасырдың
бірінші жартысында қалыптасты.
Тригонометриялық функциялар
Б.э.д. IV ғасырда грек математиктері тұрақты радиусты шеңберде әр
түрлі центрлік бұрыштар үшін хорданың ұзындығының алғашқы таблицаларын
құрды. Осы хорданың жартысының ұзындығы қазіргі синус ұғымына сәйкес
келеді. Синустар мен косинустар мәндерінің таблицасын жоғары дәлдікпен
құруды үнді оқымыстылары енгізді. Синустар мен тангенстер таблицасы
жазылған араб тіліндегі алғашқы кітабы – әл-Хорезмидің
астрономиялық трактаты. 1260 жылы Әзірбайжан математигі Насыреддин Туси
(1201-1274) тригонометрияның негізгі курсын жазды. Онда "доғаның синусы",
"доғаның тангенсі" ұғымдары кездеседі.
Еуропа оқымыстылары ішінен бірінші болып, неміс математигі
Решомонтан (1436-1476) тригонометрияның синустар мен косинустардың өте дәл
таблицаларын құрды.
Тригонометриялық функциялары шеңбер ішінде жүргізілген
кесінділердің ұзындықтарының қатынасы ретінде V-Х ғасырларда өмір сүрген
үнді және араб математиктерінің еңбектерінде кездеседі. Үнді математигі
Ариабхата (V ғ.) , жарты бұрыштың синусы, косинусы және тангенсі үшін
формулаларды білген, ал бұл формулаларды осы функциялардың таблицаларын
қүрастыруға пайдаланған.
Біраз нәтижелер бұл тұста француз математигі Ф. Виеттің (1540-1603)
үлесіне тиді. Дифференциалдық есептеудің пайда болуымен бірге
тригонометриялық функциялардың туындылары үшін формулалар табылған. Мән-
мағынасы жағынан ол формулалар кезінде И. Ньютонға (1642-1727) да белгілі
болған.
Швейцар математигі Эйлер (1707-1783) тригонометрияның казіргі
белгілеулерін енгізді. Ол тригонометриялық сызықтардың радиусқа қатынасын
өрнектейтін сан ретінде қарастыруды ұсынды. Бұл тригонометриялық функциялар
аргументімен санды да түсіндіруге мүмкіндік берді.
Тригонометриялық функциялардың қазіргі атаулары XVI-XVII ғасырларда
пайда болды. Латын тілінен аударғанда "синус — дөңес",
"тангенс-жанама" дегенді білдіреді. "Косинус" және "котангенс"
үғымдарындағы "ко" — жұрнағы латынның "соmplеmentum" - қосымша деген
сөзінің қысқарған түрі.
Екі айнымалы тендеулер
Екі айнымалы теңдеуге берілетін геометриялық интерпретацияны
енгізген ғалым-аналитикалық геометрияны жасаған Р. Декарт (1596-1650)
болатын.
Көп айнымалылы тендеулердің сызықтық жүйелерін түңғыш рет зерттеген
Г.В. Лейбниц (1646-1716) болды, n - айнымалылы сызықтық тендеулер жүйелерін
шешу үшін жалпы формуланы 1750 жылы Швейцар математигі Г. Крамер тапты.
Сызықтық жүйелерді шешудің практика тұрғысынан анағүрлым қолайлы әдістерін
К.Ф. Гаусс (1777-1855) ұсыңды.
Сызықтық теңсіздіктер жүйелерін оқып, үйрену ісі сызықтық
программалаудың шығуымен байланысты XX ғасырдың 30-шы жылдарынан бастап
күшті өрістей бастады.
Практикада қызғылықты болып табылатын есептер көбінесе айнымалылар
саны екеуден әлдеқайда көп болып келетін сызықтық программалау есептері
болады. Мұндай есептерде қателеспей, дұрыс бағдар алып отыру үшін "n -
өлшемдік кеңістік" R — де n-айнымалылы сызықтық теңдеулерге берілетін
геометриялық интерпретацияны игеріп алу тиімді-ақ.
Сызықтық программалау әдістерін жасап шығару негізінен орыс
математигі Л.В. Канторович (1912 ж.т.) еңбектерінен басталады.
Логарифмдік және дәрежелік функциялар
Дәреженің бөлшек көрсеткіштері және бөлшек көрсеткішті дәрежелерге
қолданылатын ең қарапайым ережелер, XIX ғасырда француз математигі Н. Оресм
(1323-1382) еңбектерінде кездескен болатынды.
Неміс математигі М. Штифель (1486-1632) "көрсеткіштер" деген атауды
енгізіп және болғанда деп анықтама берген.
Логарифмдерді шотланд математигі Дж. Непер (1550-1617) мен швейцар
математигі И. Бюрги (1552-1632) (бір-біріне байланыссыз) енгізген.
Логарифмдер теориясын Непер дамытқан. Ол арифметикалық өрнектерді
логарифмдердің жәрдемімен есептеу тәсілдерін ойлап тапқан және
логарифмдердің толық таблицаларын құрастырған.
Ондық логарифмдерді ағылшын математигі Г. Бригсс (1556-1630)
енгізген. Ал, Лейбниц XVII ғасырдың аяғында-ақ логарифмдеу ережелерінің
көмегімен көрсеткіштік теңдеулерді шешкен болатын. Логарифмдер
таблицаларын, ал кейінірек логарифмдік сызғышты пайдаланып есептеу
жұмыстарын анағұрлым жеңілдетті және олар ұзақ уақыт бойы негізгі есептеу
құралдарының бірі болып келді. Француз математигі Лаплас логарифмдердің
табылуы есепшілердің өмірін ұзартты дегенді айтты.
1.4. ҮІІ-ХІ сыныптар геометриясының тарихи мағлүматтары
Геометрияның пайда болуы
Геометрия — грек сөзі. Ол "гео" — жер және "метро"-өлшеймін деген
сөзден шыққан. Геометрия ғылым ретінде Ертедегі Египетте пайда болған. Ол
кезде геометрия жер учаскесін іс жүзінде өлшеу жөніндегі ілім болды. Егін
шаруашылығының, құрылыстың, қол өнері мен сауда-саттықтың дамуы аудандарды
және түрлі геометриялық фигуралар пішінді ыдыстардың сыйымдылығын өлшей
білуді, сондай-ақ осы фигуралардың қасиеттерін білуді қажет етті.
Геометрия Ежелгі грек ғалымдарының еңбектерінен ары карай дамыды.
Жүз жыл бойында жинақталған білім бір жүйеге келтірілді. Геометрия осы
кезенде әр түрлі геометриялық фигуралардың қасиеттері жөніндегі ғылым
ретінде тұжырымдалды. Біздің заманымызға дейінгі VІІ-ІІІ ғасырлар кезеңінде
грек ғалымдары геометрияны көптеген жаңа теоремалармен байыптап қана
қоймай, оны қатаң түрде негіздеуге маңызды қадамдар жасады. Бұдан 2300 жыл
бұрын шамасында құрастырылған Евклидтің (б.э.д. 330-275) "Бастамалар"
(немесе "Негіздер") атты еңбегі осының нәтижесі. Бұл еңбек осы уақытқа
дейін сақталған. Евклидтің "Бастамаларында" осы күнгі мектептерде оқытылып
жүрген геометрияның негізі каланған.
Евклидтің "Бастамаларында" геометрияны баяндау аксиомалар жүйесінде
құрылған. Аксиомалардың бұл жүйесі біздің оқулықтағыдан өзгеше. Бірақ, онда
да параллельдер аксиомасы бар. Параллельдер аксиомасының басқа
аксиомалардан өзгешелігі — ол көрнекі түсініктермен бекітілмейді. Мүмкін
сондықтан болар, Евклидтің кезінен бастап көп елдің математиктері оны
теорема ретінде дәлелдеуге тырысты. Бірақ ешкім дәлелдей алмады. Ақырыңда,
XIX ғасырда оны дәлелдеу мүмкін еместігі айқын болды. Бірінші болып бұл
пікірді айтқан орыстың ұлы математигі Н.И. Лобачевский (1792-1856) болды.
Геометриялық салулар
Мектеп геометриясының негізгі материалдарының бірі – геометриялық
салулар. Бастауыш сыныптан бастап, кеңістіктің әр түрлі қасиетін
сипаттайтын геометриялық абстрактілі тарауларына дейін фигураларды салу жиі
кездеседі. Мұндай конструктивті геометрияны б.э.д. ІІІ-ІV ғасырларда өмір
сүрген грек математиктері Евклид, Архимед, Аполоний және Ежелгі Отрар
шаһарында туған руы қыпшақ, қазақ математигі әл-Фараби (870-950) дамытқан.
Жоғарғы математиканың негізін салған ағылшын математигі әрі физигі
Исаак Ньютон (1643-1727), неміс математиктері Г.В. Лейбниц (1646-1716) пен
К.Ф.Гаусс (1744-1803), француз математигі Р.Декарт (1596-1650), швейцар
математигі А.Эйлер (1707-1783), т.б. конструктивтік есептерге ерекше көңіл
бөлген. Геометриялық салулар теориясы И.И.Александровтың,
Н.Ф.Четверухиннің, Б.И.Аргуновтың, Ж. Адамардың, т.б. еңбектерінде
зерттелген, ал оны оқыту әдістемесі жөнінде Д.И. Перепелкиннің,
Г.Л.Сенниковтың, Г.Г.Маслованың, т.б. еңбектері бар.
Геометрия тарихынан математиканың аса маңызды тараулары геометриялық
салуларға тәуелді болғанын білеміз. Геометриялық салулар теориясы
геометрияның негізгі салалары – аналитикалық геометрия, проективтік
геометрия, сызба геометриялардың пайда болуына байланысты жоғарғы дәрежеде
дами бастады.
Салу есебі физика мен ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz