Күрделі сызықтардық қисықтықтары мен бұралымдары


КІРІСПЕ 3
1 КҮРДЕЛІ ҚИСЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ 6
1.1 Жазықтықтағы және кеңістіктегі сызықтар. Олардың берілу тәсілдері 6
1.2 Жазықтықтағы және кеңістіктегі күрделі сызықтар 9
2 КҮРДЕЛІ СЫЗЫҚТАРДЫҢ ҚИСЫҚТЫҚТАРЫН ЕСЕПТЕУ 19
2.1 Қисықтықты есептеу теориясы 19
2.2 Күрделі сызықтардың қисықтықтарын есептеу 26
3 КҮРДЕЛІ СЫЗЫҚТАРДЫҢ БҰРАЛЫМДАРЫН ЕСЕПТЕУ 34
3.1 Бұралымды есептеу теориясы 34
3.2 Күрделі сызықтардың бұралымдарын есептеу 37
4 ҚИСЫҚТЫҚ ПЕН БҰРАЛЫМДАРДЫҢ АРАСЫНДАҒЫ
БАЙЛАНЫС 45
ҚОРЫТЫНДЫ 47
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 49
Дифференциалдық геометрия – геометрияның геометриялық бейнелерді (сызықтарды, беттерді және олардың үйірлерін) математикалық анализдің тәсілімен зерттейтін бөлімі. Зерттелетін құбылысты сипаттайтын математикалық заңдылықтар, көбінесе, күрделі болып кедеді де, олар шектеусіз аз облыста қарастырғанда жадағайланып, қарапайым түрде көрінеді.ал қарапайым заңдылықтар мәлім болғанда, бүкіл құбылысқа тән күрделі заңдылықтарды табу мүмкіндігі туады. Дифференциалдық геометрияның түп негізінде осы идея жатыр.
Дифференциалдық геометрия анализдің даму нәтижесінде пайда болып, тығыз байланыста дамыған. Көптеген геометрияның ұғымдары анализдің ұғымдарынан туындаған. Мысалға, жанама ұғымы анализдегі туынды ұғымынан пайда болған. Дифференциалдық геометрия XVIII ғасырда пайда болып, Л.Эйлер мен Г.Монж («Приложение анализа к геометрии», 1795г.) есімдерімен тығыз байланысты. Келешекте дифференциалдық геометрияның дамуына Гаусс, Н.И.Лобачевский, Б.Риман, Ф.Клейна, Х.Гюйгенс, Бернулли ғалымдарының еңбектерінде көрініс тапты. Дифференциалдық геометрияда алдымен сызықтар мен бетердің шектеусіз аз үйірлерінің қасиеттері айқындалады, содан кейін сызық пен беттің тұтас тұлғасындағы ерекшеліктері айқындалады. 1687 жылы швейцарилық ғалым И. Бернулли (1667 – 1748) берілген бетегі «ең төте жолды» табу туралы есепті жариялады. Бұл есеп дифференциалдық геометрияның алғашқы дәуірінде елеулі рөл атқарды.
1. Александров А. Д. Геометрия : учеб. пособие / А. Д. Александров, Нецветаев Н. Ю. – М. : Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1990. – 672 с.
2. Атанасян Л. С. Геометрия : университеттер студентттеріне арналған оқу құралы / Л. С. Атанасян, Г. Б. Гуревич. – часть 2. – М. : Просвещение, 1976. – 447 с.
3. Атанасян Л. С. Сборник задач по геометрии : учеб. пособие / Л. С. Атанасян, В. А. Атанасян. – М. : Просвещение, 1973. – 205 с.
4. Базылев В. Т. Геометрия дифференцируемых многообразий : учеб. пособие для вузов / В. Т. Базылев. - М. : Высш. шк., 1989. – 223 с.
5. Воднева В. Т. Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометрии. / Под общ. Ред. В. Т. Воднева. Минск : Высшэйш. Школа, 1970. – 376 с.
6. Гильберт Д. Наглядная геометрия / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен : пер. с нем. С. А. Каменецкого. – Изд. 2-е. – М. : Гостехтеориздат, 1951. – 352 с.
7. Искаков М.Ө. Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер : университеттер студентттеріне арналған оқу құралы / М. Ө. Искаков: - үшінші кітап. – Алматы : Мектеп баспасы, 1971. – 241 бет.
8. Костин В. И. Основания геометрии : учеб. пособие / В. И. Костин. – Изд. 2-е. – М. : Учпедгиз, 1948. – 304 с.
9. Кудря¬вцев Л. Д. Сборник задач по математическому анализу : пердел, непреры¬вность, дифференцируемость : учеб. пособие для вузов / Л. Д. Кудря¬вцев – под ред. Л. Д. Кудрявцева. – М. : Наука, 1984. – 592 с.
10. Норден А. П. Дифференциальная геометрия : учеб. пособие для вузов / А. П. Норден. – М. : Учпедгиз, 1948. – 215 с.
11. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия : учеб. пособие для вузов / А. В. Погорелов. – М. : Наука, 1974. – 176 с.
12. Погорелов А. В. Лекции по дифференциальной геометрии. : Уч. пос. для yн-тов / А. В. Погорелов. – 4-е изд. – Изд.-во Харьковского гос. ун-т, 1967. – 164 с.
13. Погорелов А. В. Геометрия : учеб. пособие для вузов / А. В. Погорелов. - Изд. 2-е. - М. : Наука, 1984. – 288 с.
14. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии : учеб. для гос ун- тов / П. К. Рашевский. – Изд. 3-е, перераб. – М. : Гостехиздат, 1950. – 425 с.
15. Сабитова И. Х. Начальные глава дифференциальной геометрии : учеб. пособие / Пер. с англ. И. Х. Сабитова. – М : Платон, 1998. – 359 с.
16. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии : учеб. пособие / Пер.с англ.И.Х.Сабитова. – Волгоград : Платон, 1998. – 359 с.
17. Фиников С. П. Дифференциальная геометрия : учеб. для пед. ин-тов / С. П. Фиников. - М. : Учпедгиз, 1955. – 215 с.
18. Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология : Доп.гл. / А.Т.Фоменко. - 2-е изд.,исправ.и доп. – Ижевск : НИЦ "РХД", 1999. – 252 с.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 19 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 700 теңге




ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ БІЛІМ МИНИСТРЛІГІ
РЕСПУБЛИКАЛЫҚ МЕМЛЕКЕТТІК ҚАЗЫНАЛЫҚ КӘСІПОРЫНЫ

с. аМАНЖОЛОВ АТЫНДАҒЫ ШЫҒЫС ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА ЖӘНЕ ТЕХНОЛОГИЯ ФАКУЛЬТЕТІ

Математика кафедрасы

БІТІРУ ЖҰМЫСЫ

Тақырыбы:   КҮРДЕЛІ СЫЗЫҚТАРДЫҚ ҚИСЫҚТЫҚТАРЫ МЕН БҰРАЛыМДАРЫ

Өскемен, 2008

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ
3

1 КҮРДЕЛІ ҚИСЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ
6
1.1 Жазықтықтағы және кеңістіктегі сызықтар. Олардың берілу тәсілдері 6
1.2 Жазықтықтағы және кеңістіктегі күрделі сызықтар
9
2 КҮРДЕЛІ СЫЗЫҚТАРДЫҢ ҚИСЫҚТЫҚТАРЫН ЕСЕПТЕУ 19

2.1 Қисықтықты есептеу теориясы
19
2.2 Күрделі сызықтардың қисықтықтарын есептеу
26
3 КҮРДЕЛІ СЫЗЫҚТАРДЫҢ БҰРАЛЫМДАРЫН ЕСЕПТЕУ 34
3.1 Бұралымды есептеу теориясы
34
3.2 Күрделі сызықтардың бұралымдарын есептеу
37

4 ҚИСЫҚТЫҚ ПЕН БҰРАЛЫМДАРДЫҢ АРАСЫНДАҒЫ
БАЙЛАНЫС
45
ҚОРЫТЫНДЫ
47
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
49

КІРІСПЕ

Дифференциалдық геометрия – геометрияның геометриялық бейнелерді
(сызықтарды, беттерді және олардың үйірлерін) математикалық анализдің
тәсілімен зерттейтін бөлімі. Зерттелетін құбылысты сипаттайтын
математикалық заңдылықтар, көбінесе, күрделі болып кедеді де, олар
шектеусіз аз облыста қарастырғанда жадағайланып, қарапайым түрде
көрінеді.ал қарапайым заңдылықтар мәлім болғанда, бүкіл құбылысқа тән
күрделі заңдылықтарды табу мүмкіндігі туады. Дифференциалдық геометрияның
түп негізінде осы идея жатыр.
Дифференциалдық геометрия анализдің даму нәтижесінде пайда болып,
тығыз байланыста дамыған. Көптеген геометрияның ұғымдары анализдің
ұғымдарынан туындаған. Мысалға, жанама ұғымы анализдегі туынды ұғымынан
пайда болған. Дифференциалдық геометрия XVIII ғасырда пайда болып, Л.Эйлер
мен Г.Монж (Приложение анализа к геометрии, 1795г.) есімдерімен тығыз
байланысты. Келешекте дифференциалдық геометрияның дамуына Гаусс,
Н.И.Лобачевский, Б.Риман, Ф.Клейна, Х.Гюйгенс, Бернулли ғалымдарының
еңбектерінде көрініс тапты. Дифференциалдық геометрияда алдымен сызықтар
мен бетердің шектеусіз аз үйірлерінің қасиеттері айқындалады, содан кейін
сызық пен беттің тұтас тұлғасындағы ерекшеліктері айқындалады. 1687 жылы
швейцарилық ғалым И. Бернулли (1667 – 1748) берілген бетегі ең төте жолды
табу туралы есепті жариялады. Бұл есеп дифференциалдық геометрияның алғашқы
дәуірінде елеулі рөл атқарды.
Дифференциалдық геометрияда сызықтар теориясының дамуына өз үлесін
көптеп қосқан Гюйгенс болатын. Голландияның кемеңгер ғалымы математик,
физик және астроном Христиан Гюйгенс ван Цюйлихем 1629 жылы 14 сәуірде
Гаага қаласында туған. Жастайынан білімге деген құштарлығы көрінді. Гюйгенс
- өз заманының перзенті, Галилей мен Декарттың тікелей мирасқоры. 66 жыл
өмірінде ол математика мен физиканың көптеген күрделі мәселелерін шешіп,
кейінгі ұрпаққа жол көрсетті. Дифференциалдық геометрияда жеткен
жетістіктері көзге көрінерлік. Көптеген күрделі сызықтар, соның ішінде
циклойданы, строфойданың, кардиойданың, конхоиданың және т.б. көптеген
күрделі қисықтардың теориялық құрылымын қалыптастыруға көп еңбек етті.
Олардың теңдеулерін, сызбасының салыну жолдарын терең зерттеген. Гюйгенс
қисықтардың эвалютасы мен эволвенталары жөнінде 11 теорема тағайындаған.
Эволвенталар мен валюталар теориясы, кейін қисықтықтардың ілімі мен
бұралымы жөніндегі ілімінің қалыптасуына себеп болды. Атақты ғалымдардың
сөздері бойынша: Гюйгенс - өз заманының ұлы геометрі (И. Ньютон).
1760 жылы Л. Эйлердің қисық сызықтың қисықтығы жөніндегі еңбегі
жарыққа шықты. Дифференциалдық геометрияны Петерсон – Майнарди тұрғысынан
қарап, оны одан әрі дамытты. Дифференциалдық геометрияда Монж мектебінің
(Ф.Френе, О.Бонне, Г.Дарбу, т.б., Франция) , Э.Бельтрами мектебінің
(Майнарди, Кодацци, Бианки, т.б., Италия), Гаусс ізбасарларының (Б.Риман,
Ф.Клейн, Д.Гильберт, В.Бляшке, т.б., Германия), Петерсон мектебінің
(Ф.Миндинг, т.б., Ресей) еңбектері ерекше маңызды орын алды. Сондай-ақ, бұл
салада Ресей ғалымдары Н.Н.Лузин (1883 – 1950), Д.Ф.егоров (1869 – 1931),
А.Д.Александров (1912), Н.Ф.Ефимов (1910 – 1982), т.б. үздік табыстарға
жетті. Қазақстанда дифференциалдық геометрияның геометрия саласында
Н.Қ.Білиев жұмыс атқарған болатын.
Бітіру жумысымның зерттеу нысанасы ретінде күрделі сызықтардың
қисықтықтары мен бұралымдары алынған.
Бітіру жұмысының негізгі мақсаттары:
1) Күрделі сызықтардың теориясын ашып көрсету;
2) Қисықтықтар мен бұралымдарды есептеу кезеңдерін нақтылау;
3) Осы сызықтардың қисықтықтары мен бұралымдарын есептеп шығару;
Жұмыс барысында күрделі қисықтардың теңдеулерімен, сызбаларының
салыну ерекшеліктерімен таныс болып, қисықтықтары мен бұралымдарының
есептелу ерекшеліктеріне көп көңіл бөлетін боламыз.
Бітіру жұмысы негізінен төрт бөлімнен тұрады:
1-де жазықтықтағы және кеңістіктегі сызықтар мен олардың берілу
тәсілдерімен танысып, жазықтықтағы және кеңістіктегі күрделі сызықтардың
негізгі теориялық құрылымын айқындаймыз.
2-де сызықтардың қисықтықтарын есептеу, мұнда жалпы қисықтықтарды
есептеп шығару жолдары баяндалады және күрделі сызықтардың қисықтықтары
есептеліп шығарылады.
3-де сызықтардың бұралымдарын есептеу жүргізіледі, яғни кеңістіктік
сызықтарының бұралымдарын есептеу әдістері қарастырылады және күрделі
сызықтардың бұралымдары есептеліп шығарылады.
4-де сызықтардың қисықтықтары мен бұралымдарының арасындағы
байланыстар анықталып, көрсетіледі.
Жұмыс барысындағы негізгі міндеттердің бірі күрделі сызықтардың
қисықтықтары мен бұралымдарын есептеудің неғұрлым тиімді әдістерімен
таныстыру және нақты есептелген мысалдармен негіздеу.

1 КҮРДЕЛІ СЫЗЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ

1.1 Жазықтықтағы және кеңістіктегі сызықтар. Олардың берілу
тәсілдері.

Сызықтарды зерттеу үшін олардың нақты анықтамаларын білу қажет.
Сызықтардың анықтамаларын шығарып көрейік. С жиыны элементар сызық
(жазықтықтықтағы немесе кеңістіктегі) деп аталады егер кесіндінің бейнесі
өзара үздіксіз жазықтықта немесе кеңістікте бұл кесіндінің бейнеленуі болып
табылса.
Мысалы элементар сызықтар – бұл шеңбердің, эллипстің доғасы,
үздіксіз функциялардың графиктері және т.б. (1- сурет).
Кесіндінің шеткі нүктесінің бейнесі элементар сызықтың шеткі, ал
бастапқы нүктесінің бейнесімен қосатын аралықты доға деп атайды. Элементар
сызықтың кезкелген доғасының өзі элементар сызық болатыны анық.

1 – сурет.
Егер элементар С сызық үздіксіз бейнеленетін
кесіндісінің бейнесі болса, онда кезкелген Р нүктесінің сызығында
бейнеленуі тек қана бір санмен анықталады: . t айнымалысы
сызықтың параметрі деп аталады. Параметрдің әртүрлі мәндеріне сәйкес
сызықтың әркелкі нүктелері табылады. F бейнеленуді C түзуінің
парметрлизациялануы деп атаймыз. Бір түзудің өзінде әртүрлі
параметрлизациялары болуы мүмкін. Параметрлері бар сызықтарды
параметрленген сызық деп атайтын боламыз
(2 – сурет).
Координаталар жүйесін бекітейік. нүктесі x,y,z
координаталары болсын. t параметрінің өзгеруінен олар да өзгеріп отырады,
себебі әрбір координата t бойынша функция болып табылады:

мұндағы - кесіндісінде берілген үздіксіз сандық функциялар
(3 – сурет).

2 – сурет.
функциялары F параметризациясын тұтастай қамтып, оның
координаталық функциясы деп аталады. сәйкестіктерін параметрленген С
түзуінің теңдеуі деп аталады.

3 – сурет.
4 – сурет.
Егер - үздіксіз функция болса, онда оның графигі параметрленген
жазықтықтағы элементар сызық болады. С сызығы қалайша
теңдеуімен байланысты. Сызықтың осылайша берілуі айқын деп аталады (4 –
сурет). Кеңістіктегі сызық түріндегі пераметрлікпен берілетін болса,
ол айқын берілген болады.
Мұндай сызық келесі параметрлікпен де берілуі мүмкін: .
Кезкелген сызық айқын түрде берілмейді.
Айталық, шеңберді кезкелген 1800-тан артық доғасы айқын берілмейді.
С сызығының параметризациясы, ал - оның координаталық
функциялары болсын. F параметризациясы регулярлық деп аталады, егер,
біріншіден, функциялары майда, екіншіден, параметрінің әрбір
мәнінде осы функциялардың туындысының тым болмағанда

5 - сурет
біреуі нолге айналып кетпесе. Регулярлық параметрлігі болатын сызықтар
майда деп аталады (5 – сурет).

6 – сурет.
кесіндіснің кесіндісіндегі монотонды бейнеленуін
қарастырайық. Егер С сызығының параметрленуі болса, бейнеленуі
де формуласымен берілген С сызығының параметрленуі болады.
араметрін қоя отырып F параметризациясын аламыз. Егер және
болса, онда монотонды өспелі функция, ал егер және , онда
монотонды кемімелі функция (6 – сурет).
Әрбір параметрлеу сызықтың бойындағы нүктелердің ретін анықтайды.
Егер екі параметрлеу өспелі параметрінінң ауысуымен анықталса, онда олар
бір ғана ретті анықтайды, ал егер кемімелі параметрлерді ауысуымен
байланыста болса, онда әртүрлі болады. Нүктелердің ретін сызықта бекіту
үшін сызқтың бастапқы және ақырғы нүктесін көрсету жеткілікті.
Шеткі нүктелері көрсетілген элементар сызықтард ы ориентацияланған
деп атайды. Ориентацияланған әрбірсызықтың кезкелген доғасы
ориентацияланған болады. Ориентациясының бағытын стерелкамен көрсеткен
ыңғайлы (7 – сурет).

7 – сурет

1.2 Жазықтықтағы және кеңістіктегі күрделі сызықтар

Жазықтықтағы және кеңістіктегі сызықтар мен олардың ерекшеліктерімен
таныс болдық. Енді сызықтардың күрделі түрлеріне көшейік. Күрделі сызықтар
өзінің салу және күрделі теңдеулерінің құрылумен ерекшеленеді. Оларға жеке-
жеке тоқталып зерттейік:
I. Бернулли Лемнискатасы. 1694ж Яков Бернулли теңдеуімен
берілген қисықты енгізді. Ол қисықтың сызбасын 8 санына
ұқсатады. Лемниск грек тілінен аударғанда байлам деп
аударылады. Осыдан лемниската атанып кетті. Лемниската 1718
жылдан бастап кең түрде пайдалана бастады. Бірақ лемниската
Бернулли деп тек 1806ж атана бастады.
Анықтама. Берілген F1F2=2c кесіндісінің ұштарына дейінгі
аралықтардың көбейтіндісі c2-ға тең болатын нүктелердің геометриялық орны.
Мұндағы F1, F2 нүктелері лемниската фокустары деп аталады. F1F2 түзуі оның
осі.
Тікбұрышты жүйедегі канондық теңдеуі ( О – F1F2 кесіндісінің
ортасы, OX осі F2F1 бойлаған)

Полярлық жүйедегі теңдеуі (О - полюс, ОХ – полярлық ось)

φ бұрышы және аралықтарында өзгереді.
Рационалдық параметрлік теңдеуі
,
мұндағы u параметрі φ-мен келесі тәуелділікте

8 – сурет. Бернулли Лемнискатасының сызбасы
Сызықты салуда Кассини сызығын салудың ортақ әдісін пайдалануға
болады, бірақ төмендегі тәсіл (К.Маклорен) ыңғайлырақ және жеңілірек.
Центрі F1 (немесе F2) болатындай радиусын алып шеңбер сызамыз.
Кезкелген OPQ қиюшы түзу саламыз, оның бойынан PQ хордасына тең болатын OM
және OM1 кесінділерін өлшеп саламыз. М нүктесі лемнискатаның бір бөлігін
сызып шығады, М1 екіншісін.
Ерекшелігі: сызықтың екі симметрия осі бар - F1F2(OX) және OY(OX.
Лемнискатаның А1, А2 нүктелері О нүктесінен ең алыс орналасқан және F1F2
осінде қашықтықта жатыр.
II. Логарифмдік спираль. Сызықты алғаш рет 1638ж Р.Декарт
ерекшелігін байқап зерттей бастаған. Қатарынан сол уақытта
Э.Торричелли Декаттан тәуелсіз және тереңірек геометриялық
спиральдің қасиеттерін зерттеген. Торричелли ғажайып спиральдың
көптеген қасиеттерін дәлелдеді. Сызыққа логарифмдік спираль
атын 1704 жылы П.Вариньон берген болатын. Себебі полярлық
радиустардың арасындағы бұрыш олардың қатынастарының
логарифміне пропорционал.
Анықтама. UV түзуі O нүтесіне бекітіліп, сол нүктеде (полюс) бір
қалыпты айналсын, ал M нүктесі O нүктесінен OM –ге пропорционал
жылдамдықпен алыстай берсін,. M нүктесімен сызылған қисықты логарифмдік
спираль дап атайды.
Егер М нүктесінің О полюсінан алыстауы UV түзуінің айналуы сағат
тілімен бағыттас болса, онда логарифмдік спираль оң, кері жағдайда – теріс
болып табылады. Оң спираль үшін q1; теріс спираль үшін q1. q=1 болғанда
спираль шеңберге ауысады.
Оң логарифмдік спиральды салу үшін осі кооэффициентін q деп алып, О
центрі болатын кезкелген шеңберді сағат тіліне қарама-қарсы бағытта В1, В2,
В3,..., нүктелері болатындай бөлікке бөледі. Анық болу үшін
деп алайық. ОВ0 сәулесінің бойынан кезкелген А0 нүктесін алып, OA1=qOA0
кесінділерін саламыз. OA1 кесіндісін диаметрі деп алып O шеңберін саламыз
және К нүктесінде шеңбермен қиылысатындай етіп A0К ( OA1 түзуін саламыз.
ОК радиусты шеңбер OB8 сәулесін D8 нүктесінде қиып өтеді; ол шеңбер L
нүктесінде OA1 сәулесін де қиып өтеді. O шеңберімен K нүктесінде
қиылысатындай LК ( OA1 түзуін жүргіземіз. OK радиусты шеңбер OB12
сәулесін D12 нүтесінде қиып, ал OA1 сәулесін L нүктесінде қиып өтеді. Ол
арқылы тағы да LК ( OA1 жүргіземіз т.с.с. Нәтижесінде D14 және D15
нүктелерін аламыз.
B0B8, B1B9 түзулерінің бойында жатқан спиральдің шексіз нүктелерін
келесі түрмен анықтауға болады. D14 нүктесіндегі OD14Q бұрышы OD15D14
бұрышына тең болатын бұрыштар салынады; OB13 сәулесімен қиылысқанда D13
ізделінді спиральдың нүктесін аламыз. A1 нүктесіндегі OA1Q=
OD15A1 саламыз; OB1 сәулесімен қиылысқаннан E1 нүктесін саламыз және
т.с.с.

9 – сурет. Логарифмдік спираль
Полярлық координатадағы теңдеуі (полюс спиральдің полюсімен сәйкес
келеді; полярлық ось спиральдың М0 кезкелген нүкте сі арқылы жүргізілген):

мұндағы r0 = OM0 – M0 нүктесінің полярлық радиусы, ал q - өсу
коэффициенті.
Әдетте бұл теңдеу келесі түрде беріледі
,
мұндағы k - өсу коэффициенті q арқылы өрнектелген параметр:
Керісінше,
k параметрінің геометриялық мағынасы келлесі теңдігінен шығады

мұндағы - ОМ түзуі мен МТ жанаманың арасындағы бұрыш. Оң спираль үшін
k параметрінің мәні – оң, теріске – теріс.
III. Аньеза Верзьера (Локон Аньези). теңдеуімен берілген сызық
17 ғасырдың 30-шы жылдарындағы П.Ферма еңбектерінде көптеп
кездеседі. Верзьераның салу тәсілі мен қасиеттерін 1718 жылы
итальян ғалымы Гвидо Гранди ұсынған. Верзьера атауын да
енгізген Гвидо болатын.
Анықтама. АО = a кесіндісін диаметрі ретінде алып шеңбер салайық
және ВС хордасы BM:BC=OA:OB пропорциясы бойынша М нүктесіне дейін созылсын.
C нүктесі арқылы OC1C2 шеңбері жүргізілсе M нүктесі арқылы Аньеза верзьера
аты қисықты сызып шығады. Сызықтың түбегелі зерттеп, негіздеген Мария
Гаэтана Аньези итальян ғалымының есімімен байланысты.

10 – сурет. Аньеза Верзьера
Теңдеуі. (О – басы, ХХ кез келген шеңбердің абсцисса осіндегі О
нүктесіне жүргізілген жанамасы)

Параметрлік теңдеуі

М.Г. Аньези верзьераны сызудудың келесі әдісін ұсынған. OC және UV
түзулерінің қиылысу нүктесі L берілген шеңбермен A нүктесінде
жанасады.LMllAO және CBllAL түзулерін сызамыз. LM және CB түзулері M
нүктесінде қиылысады. Сызбасын салуды сызықтың ерекшеліктерін ескеру қажет.
Сызықтың ерекшеліктерімен таныс болайық: ОА диаметрі – верзьераның
симметрия осі. Ол тұтастай түзуінің бір жақ жазықтығында орналасқан.
Верзьераның екі бүгілу нүктелері бар: . М2F, M2F жанамаларының XX
осьтерімен жасайтын бұрыштарды келесі формулалармен есептеуге болады:
. М2F, M2F жанамаларын салу үшін ОА диаметріне кесіндісін салу
жеткілікті.
IV. Кардиоида.

11 – сурет. Кардиоида
Анықтамасы. Радиусы а болатын шеңбердің бойындағы О және А нүктелері
арқылы сәуле жүргізілген. қатынасын қанағаттандыратын М нүктелерінің
геометриялық орны кардиоида болып табылады.
Тікбұрышты жүйедегі теңдеуі (координатал басы - О полюсінде; ОХ осі
ОВ сәулесінің боймен бағытталған):

Полярлық жүйедегі теңдеуі (О – полюс; ОХ – полярлық ось):

Параметрлік теңдеуі

V. Диоклес Циклоидасы. Диоклес б.з.д. 2 ғасырда өмір сүрген ежелгі
грек ғалымы. Сызықты зерттеу мен ерекшеліктерін айқындау
жолында көптеген еңбектері үшін циклоида – диоклес циклоидасы
атына ие болған.

12 – сурет. Диоклес циклоидасы
ОА=2a кесіндісін диаметрі ретінде алып С шеңберін сызайық (12 –
сурет) және А нүктесі арқылы UV жанамасын жүргіземіз. О нүктесі арқылы
өтетін кезкелген ОF , ол UV мен F нүктесінде, Е нүтесінде С шеңберімен
қиылысады. ОЕ хордасына тең болатындай етіп, OF түзуінің бойынан F-дан O-ға
қарай FM кесіндісін саламыз.OF түзінің бұрылғандағы M нүктесінің сызып
өтетін қисығын Диоклес циклоидасы деп атаймыз.
Координаталық жүйедегі теңдеуі ( О-басы, ОХ – абсцисса осі)

Полярлық жүйедегі теңдеуі (О - полюс, ОХ – полярлық ось)

Рационалдық параметрлігі
немесе мұндағы u = tgφ
VI. Конхоида Никомеда. Никомед б.д.д. 250-150ғ.ғ. өмір сүрген
ежелгі грек ғалымы. Сызықты қабыршаққа ұқсас болғандықтан
конхоида деп атаған.
Қазір белгілі болғандай бұл есеп сызғыш пен циркульдің көмегімен
бұрышты таңдай отырып салуға болады. Бұл қисықтың сызбасын салу үшін
Никомед арнайы конхоидограф атты сызу құралын құрастырған.

13 – сурет.
O нүктесі (полюс), UV түзуі (табаны) және l кесіндісі берілсін. O
полюсінен N түзуімен қиылысатындай етіп кезкелген ON түзуін жүргіземіз. ON
түзуінің бойынан N-нан екі жағына қарай NM1=NM2=l кесінділер саламыз. M1
және M2 нүктелерінің геометриялық орнын Конхоида Никомеда деп аталады.
Конхоиданың ON түзуінің бойындағы N (М1 нүктесмен сызғанда) нүктесінен
кейін орналасқан сызықты конхоиданың сыртқы бөлігі, М2 нүктесмен сызғандағы
бөлігің ішкі бөлігі болып табылады.
Тікбұрышты жүйедегі теңдеуі (координаталар басы – О полюсінде;
абсциисса осі ОВ сәулесімен бағытталған, В нүктесі – полюстің табанына
проекциясы)

Полярлық жүйедегі теңдеуі

Параметрлік теңдеуі

VII. Төртжапырақшалы раушан (четырехлепестковая роза).
Тікбұрышты координаталық жүйедегі теңдеуі

Параметрлік теңдеуі

VIII. Конондық спираль.
Анықтамасы. ОL түзуі перпендикуляр борлмайтын Oz осін тұрақты (
бұрыштық жылдамдығымен бірқалыпты айналады. M нүтесі OL түзуімен жылжиды:
а) O нүктесіне дейінгі жылжымалы нүктеге дейінгі OM аралығына пропорционал
жылдамдық; б) тұрақты жылдамдықпен; Бірінші жағдайда М нүктесі конондық
спиралды, екіншісінде – конондық винттік сызықты шығып өтеді.
Параметрлік теңдеуі , мұндағы
Егер конондық спиральды жазықтыққа жинақтайтын болсақ, бұрындары
зерттеліп жүрген спиральды алуға болады. Конондық спиральдың ерекшелігі де
осыда.
IX. Бицилиндрика.
Анықтама. Радиустары a және b болатын екі цилиндрдің остері тікбұрыш
жасап қиылысады. Цилиндрлердің қиылысуынан пайда болған екі тұтас сызықтан
құралады, бұл тұтастық бицилиндрика деп аталады.
Тікбұрышты жүйедегі теңдеуі

Параметрлік теңдеуі

Бициллиндрика атауы айтып тұрғандай екі цилиндрдіңқиылысуынан
пайдаболғандықтан сызбасы өте оңай сызылады. a=b болған жағдайда
бицилиндрика екі эллипсқа айналады.

14 – сурет. Конондық спираль 15 – сурет. Бицилиндрика

2 КҮРДЕЛІ СЫЗЫҚТАРДЫҢ ҚИСЫҚТЫҚТАРЫН ЕСЕПТЕУ

2.1 Қисықтықты есептеу теориясы

Сызықтардың басты ерекшеліктерінің бірі оладың қисықтықтарының
шамасының бар болуы, яғни қисықтықты есептеудің арнайы ережелері мен
әдістері қалыптасқан. Қисықтықты есептеуден бұрын доға ұғымымен және оның
сызықтағы алатын орны жайлы мәлімет алайық.
( - g кесіндінің f топологиялық бейнеленуінің көрінісі болып
табылады. Г сынығына қатысты (16 – сурет) біз ( сызығы дұрыс салынған деп
есептейтін болмыз. Сынықтың қасиеттерінің бірі сызыққа тәуелсіз дұрыс
салыну болып табылады. Доғаның ұзындығы деп бұл доғаға дұрыс сызылған
сынықтың ұзындығын айтамыз.

16 – сурет .
Теорема. Жазық сызық ( - түзетілетін сызық. Егер оның жазық
параметрленуі және - ( сызығының бөлігі болса, онда

бұл бөліктің ұзындығы.
Дәлелдеуі. Р – сызықтың кезкелген нүктесі болсын және r=r(t) осы
нүктеге байланысты параметрленген сызық. Г сынығының Р нүтесінің маңындағы
кесінің ұзындағын айқындайық.
- сынық сызықтың төбелеріне байланысты параметрлігі.
және төбелерін біріктіретін сынықтың ұзындығы тең. Сынықтың
бүкіл ұзындығы:

Алатынымыз .
Бұдан
мұндағы М - шартын қанағаттандыратын тұрақты. ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Күрделі қарсыласу
Күрделі етістік
Күрделі эмоциялар
Адам – әлемнен де күрделі
Күрделі аталымдардың ғылыми негіздері мен басты ұстанымдары
Күрделі функцияның туындысы
Күрделі эмоциялар туралы
Күрделі сөздер классификациясы
Күрделі қаржы бюджетін оңтайландыру
«Ассемблер-күрделі машиналық тіл»
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь