Жылуөткізгіштіктің стационарлы және стационарлы емес теңдеулерін шешу

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 10 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым Министірлігі ШҚО Семей қаласы Шәкәрім атындағы МУ

СӨЖ

Орындаған: Румиев А

Тексерген: Нұрғалиев Данияр Нұржанұлы

Тақырыбы: Жылуөткізгіштіктің стационарлы және стационарлы емес теңдеулерін шешу.

2015 жыл

Мазмұны

Кіріспе. 3

1. Жылу өткізгіштік. 4

2. Стационар теңдеу. 6

3. Стационар емес теңдеулер үшін шекаралық есептер. 7

4. Стационар теңдеулер үшін шекаралық есептер. 9

Қортынды. 11

Кіріспе.

Стационарлық процестер үшін ) x(U= ) x, t(, U) x( F= ) x, t(F болғандықтан, толқындық та, жылуөткізгіштік теңдеулері де101 0 2 1 1 2= f +U ∆a, a f (5. 4. 1) − = f f − =U ∆ түрінде беріледі. теңдеуін Пуассон теңдеуі деп атайды. Егер теңдеуіндегі 0=f болса, яғни 0=U ∆, онда оны Лаплас теңдеуі деп атайды.

Стационарлық процестер үшін ) x(U= ) x, t(, U) x( F= ) x, t(F болғандықтан, толқындық та, жылуөткізгіштік теңдеулері де101 0 2 1 1 2= f +U ∆a, a f = f -f − =U ∆ түрінде беріледі. теңдеуін Пуассон теңдеуі деп атайды. Егер теңдеуіндегі 0=f болса, яғни 0=U ∆, онда оны Лаплас теңдеуі деп атайды.

Жылулықтың таралу процессін жалпы алғанда және жылу өткізгіштік сондай-ақ, дененің температурасының таралуымен тығыз байланысты. Сондықтан, алдымен температуралық өріс және температура градиенті ұғымдарымен байланыстығын анықтау керек. Температуралық өріс деп, сол моменттегі қаралып отырған дененің барлық нүктелеріндегі температураларының лездегі, сол момент уақыттағы, шамаларының жиынтығын айтады.

1. Жылу өткізгіштік.

Жылу өткізгіштік - дененің температура айырмасы бар нүктелері арасында бір нүктеден екінші нүктеге жылу энергиясын жеткізу қасиеті; дененің температурасы жоғары жақтан температурасы төмен жағына қарай жылу өткізу қабілеті.

Жылуөткізгіштің негізгі заңдары. Жылулықтың таралу процессін жалпы алғанда және жылу өткізгіштік сондай-ақ, дененің температурасының таралуымен тығыз байланысты. Сондықтан, алдымен температуралық өріс және температура градиенті ұғымдарымен байланыстығын анықтау керек. Температуралық өріс деп, сол моменттегі қаралып отырған дененің барлық нүктелеріндегі температураларының лездегі, сол момент уақыттағы, шамаларының жиынтығын айтады. Егер, дененің қандай болмасын, температурасының уақыт аралығында өзгермеуі және сондықтан, ол, тек ғана, кеңістіктегі координат нүктелерінің (x, y, z) функциясы болуы, онда, мұндай температуралық өрісті тұрақталған немесе тұрақты деп атайды. Егер температура уақытқа байланысты болса, яғни t = f(x, у, z, Ί ), онда, температуралық өріс тұрақталмаған немесе тұрақсыз деп аталады. Температуралық өрістің, қарапайым категориясы болып, бір өлшемді тұрақталған өрісі болып есептеледі, ол, бір координатты өске бағытталған, температураның өзгеруін сипаттайды.

Өрістегі барлық нүктелердің, бірдей температуралықтарын қосып сыза, изотермиялық бетті табамыз. Бұл беттер, бір бірімен қиылыспайды; олар, өзімен тұйықталмайды, немесе дене шекарасында бітеді. Жылулықтың денеде таралып өтуі, тек ғана, бір изотермиялық беттен екінші жағына температураның төмендеуі бағытында болады. Денедегі, жылулықтың таралу жолы, изотермиялық бетке нормалы бағытпен сәйкес келеді.

Δn нөлге үмтылғандағы, изотермиялардың аралық қашықтығының, Δt температура шегінде өзгеру қатынасын температуралық градиенті деп атайды:

grad t = lim (Δt/Δn) _Δa→0 =dt/ḋn

Оның, оң бағытта қолдануы температураның ұлғаю бағыты болып есептеледі. Жылулық мөлшері қатынасының, тең шамадағы бет арқылы өтетін уақыттағысы, бұл жылу мөлшерінің - осы бет арқылы өтуін, жылулық ағыны деп атайды.

Ф = dQ/d' Ί , Вт.

Егер ағын тұрақты болса: Ф = Q/Т Жылулық ағынының беттік тығыздығымен - жылулық ағынының, ауа бетінің қатынасына тең, шама арқылы, осы ағын ағып өтеді, (Вт/м2) .

q = dФ/dҒ немесе q = Ф/Ғ.

Жылу жүргізгіштің (Фурье) негізгі заңына сәйкес, жылулық ағынының тығыздығы, градиент температурасына пропорционалды болады:

-λ grad t = -λḋt / ḋn.

Осы формуланың, оң жақ бөлігіндегі теріс таңбаның көрсетуі, таралу бағытындағы, дененің жылулық температурасы азаяды және шама grad t, теріс таңбалы шамада болады. Сонымен, жылу жүргізгішпен берілген жылулық мөлшерін, мына формуламен табады:

dQ = -λ( ḋ t/ ḋ n) dF d' Ί .

Бүл байланыстылықты 1822жылы Ж. Фурье анықтаған және оны, Фурье заңы деп атайды: жылулық мөлшерін, жылу жүргізгіштік жолымен берілуі, температураның төмендеуіне, пропорционалды уақытына және қима ауданына, жылулықтың таралу бағытына перпендикулярлы болады. Қарапайым жағдайда, қашан жылулық жазық қабырғамен және бір бағытта (х өсі бойымен) таралса, онда Фурье заңы былай жазылады:

q _x = -λḋt/ḋn = -λḋt/ḋx,

мүндағы λ = - q/grad t.

Теңдеудегі (-λ grad t = -λḋt / ḋn) көбейткіш х, пропорционалдылығының жылужүргізгіштігі деп атайды. Ол, физикалық көрсеткіш болып, дененің жылулық өткізгіштік қабілеті немесе үдемелі қарқындылығын сипаттайды, заттардың жылу жүргізгіштік процессі және температуралық градиенті кезіндегі, жылу жүргізгіштік әрекетінің жылулық ағыны, тығыздығының санына тең, ол бірге тең. Сонымен, X - өлшем бірлігі Вт/(мК) .

Заттардың жылу жүргізгіштігі әр түрлі және өте көп санды факторларға байланысты. Газдар үшін, елеулі болып, температурасы мен қысымдары жатады. Мысалы, газ үшін, температураның көбеюінен, жылу жүргізгіштігі артады, ал өте қыздырылған бу үшін, сол сияқты артады, қысымы да, дәл солай артады; сұйықтар үшін, температураның артуынан біраз азаяды. Бұған, су қосылмайды, оның шамамен 120°С температура кезінде, жылу жүргізгіштігі максимумда болады, ал одан ары температурасын көбейткен сайын, судың X кемиді. Көп металлдар үшін, температура ұлғайған сайын, X кемиді. құрылыс материалдары үшін, кеуектілігі мен ылғалдығы ерекше шамасында болады. Кеуектілігі көбейген сайын, X азаяды, себебі материалдардың кеуегі газбен толып, аз жылу өткізгішті болады

2. Стационар теңдеу.

3. Стационар емес теңдеулер үшін шекаралық есептер.

Толқындық теңдеу үшін Коши есебі: (, ), {(, ) ; , 0} 2 1 > ∈ ∈ = + ∆ = U a U f x t Q x t R x R t+ n n tt теңдеуін (, ) ( ) 0 U x t x t = ϕ =, (, ) ( ) 0 x t x t U t ψ= ∂ ∂ =, n R ∈x бастапқы шарттарын қанағаттандыратын ( ) ( ) C Q∩2, 2 0, 1 C Q класына жататын ) x, t(U функциясын табуды толқындық теңдеуіне қойылған Коши есебі деп атайды. Мұндағы x - n координатадан тұратын вектор, ал C(Q), ∈f (x, t) ( ) ( ) R, ( ) ( ) ′C∈ x ϕn R′C∈ x ψn көрсетілген кеңістіктерде жататын белгілі функциялар. Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін Коши есебі: Ut Q∈ f (x, t), (x, t) +U ∆ a = 2 теңдеуін (, ) ( ) 0 U x t x t = ϕ =, n R (6. 1. 4) ∈x бастапқы шартын қанағаттандыратын ( ) ( ) C Q∩2, 1 C Q класында жататын ) x, t(U функциясын табуды жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылған Коши есебі деп атайды. Мұндағы C(Q) , ( ) ( ) ∈f (x, t) R′C∈ x ϕn белгілі функциялар. Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер үшін жалпыланған Коши есебі: = = = ∑ ∑∑         ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Φ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ n i n j n i i n i i j ij t U x U x U x t U x t U a x x U a t U 1 1 1 1 2 0 2 2 2, , , , . . . , , (6. 1. 5) 108 екінші ретті дифференциалдық теңдеу және бөлік-тегіс (x) δ =t теңдеуімен анықталатын беті берсін. Q -депΣ (x) δ >t теңсіздігімен анықталатын және Σ бетімен шенелген облысты белгілейік. (6. 1. 5) теңдеуін және (x, t) ϕ=U(x, t) ∑, (, ) (, ) __ x t x t n U ∑ ψ= ∂ ∂ (6. 1. 6) Σ∈, x шекаралық шарттарын қанағаттандыратын ( ) ( ) C Q∩2, 2 1, 1 C Q класына жататын ) x, t(U функциясын табу екінші ретті теңдеуге қойылған жалпыланған Коши есебі деп аталады. Мұндағы n ρ Σ- бетіне t аргументінің өсу бағытына қарай бағытталған нормаль вектор. Енді шекаралық шартқа бастапқы да, шектік те шарттар қатысатын болсын. Мұндай шекаралық есептерді бастапқы- шекаралық есептер деп атайды. Олар есепке қатысатын шекаралық шарттардың түріне байланысты бастапқы - бірінші шекаралық, бастапқы - екінші шекаралық және бастапқы - үшінші шекаралық болып үш класқа бөлінеді. Мысалы, жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын бастапқы - бірінші шекаралық есеп бір бастапқы шартты және бірінші шекаралық шарттарды қамтиды. Толқындық теңдеу үшін қойылатын бастапқы-бірінші шекаралық есеп екі бастапқы және бірінші шекаралық шарттарды қамтиды. Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін бастапқы -бірінші шекаралық есеп: R n кеңістігінде жататын шенелген D облысын қарастырамыз. QT деп D облысымен (0, Т] жартылай кесіндісінің бірігуінен шыққан цилиндрді белгілейік, яғни {(, ) ; , 0 } 1 Q x t R x D t T n T ≤ < ∈ ∈ = + . - депΩ QT цилиндрінің бүйір бетін, яғни {(, ) ; , 0 } 1 x t R x D t T < < ∂∈ ∈ = Ωn + жиынын, ал {(, ) ; , 0} 1 = ∈ ∈ =0 D x t R x D t+ n - деп QT цилиндрінің табанын белгілейік. U a U f x t x tΤQ∈ + ∆ = t (, ), (, ) 2 (6. 1. 7) теңдеуін (, ) ( ) 0 U x t x t = ϕ =, __ D0 (6. 1. 8) ∈x Ω D ∪Ω∈ (x, t), x, t = 0 U(x, t) ) (бастапқы шартын, 109 μ (6. 1. 9) шекаралық шартын қанағаттандыратын ( ) ( ) 0 D∪Ω∪ ΤС Q∩ Τ2, 1 C Q класына жататын U(x, t) функциясын табуды жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылған бастапқы-бірінші шекаралық есеп деп атайды. Мұндағы ΤC Q∈(, ) ( ), ∪Ω ∈ x t μ), (, ) ( ) C D0 ΩC(∈) x(ϕf x t және Ω∈(x, 0), x μ =(x) ϕ көрсетілген кеңістіктерде жататын белгілі функциялар. Жоғарыда келтірілген бастапқ-бірінші шекаралық есептің мағынасын, онда келтірілген белгілеулерді толық түсіндіру үшін бір өлшемді жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын бастапқы -бірінші шекаралық есепке тоқталып өтейік, мұнда {(, ) ; 0, 0 } 2 QT T≤ t < λ < x < R ∈ x t = жартылай ашық тік төртбұрышты, -осы тік төртбұрыштың QT жиынындаΩ жатпайтын бүйір қабырғаларында жататын нүктелерден тұратын жиынды, ) λ (0, =D интервалын, }λ{0, =D ∂ жиынын, ал [0, ] λ =0 D кесіндісін білдіреді (20 - сурет) . 20 - сурет Ut Q∈ f (x, t), (x, t) + a Uxx = 2 теңдеуін (, 0) (, ) ( ) [0, ] 0 λ ∈ = = = U x U x t x x t ϕ бастапқы шартын (0, ) (, ) ( ) 0 1 U t U x t t x = μ = = (, ) (, ) ( ) [0, ] U t U x t 2 t t T x ∈ = = = λ μ λ шекаралық шарттарын қанағаттандыратын ( ) ( ) С Q∩2, 1 C Q класында жататын U(x, t) функциясын табуды бір өлшемді жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылған 110 бастапқы-бірінші шекаралық есеп деп атайды. Мұндағы 1μ λC ∈ x ϕC Q ∈ [0, ] ( ), ( ) [0, ] f x t ) ((, ) ( ), 2μt C T∈t және 2μ = ϕ1 μ = ϕ (0) ) (, ) 0((0) -λ осы көрсетілген шарттарды қанағаттандыратын белгілі функциялар. Толқындық теңдеуге қойылатын бастапқы -бірінші шекаралық есеп: U a U f x t x tΤQ∈ + ∆ = tt (, ), (, ) 2 теңдеуін (, 0) (, ) ( ), 0 U x U x t x t 0 0 U (x, 0) U (x, t) (x) x D= ϕ= = t t = t ∈ = = ψ бастапқы шарттарын (x, t) μ =U(x, t) Ω шекаралық шартын қанағаттардыратын ( ) ( ) 0 2, 2 0, 1 D∪Ω∪ ΤС Q∩ ΤC Q класында жататын ) x, t(U функциясын табуды толқындық теңдеуі үшін қойылған бастапқы-бірінші шекаралық есеп деп

4. Стационар теңдеулер үшін шекаралық есептер.

Лаплас теңдеуі=U ∆ стационар процеске сәйкес келетін теңдеулердің бірі. Бұл жағдайда Лаплас теңдеуінің шешіміне бастапқы шарттың әсері болмайды. Сондықтан шекаралық шарттарда тек шектік шарттар ғана қатысады. Демек, Лаплас теңдеуі үшін үш түрлі шекаралық есеп қарастыруға болады. Кеңістікте тұйықталған S беті берілсін. S -беті кеңістікті екі облысқа бөледі. S -беттің ішінде орналасқан облысты V + - деп белгілейік. Демек, V + облысы шенелген, ал V− облысы шенелмеген болады. Енді осы облыстарда анықталған Лаплас теңдеуіне қойылатын шекаралық есептерге тоқталайық. 111 V + облысында, яғни шенелген облыста берілген Лаплас теңдеуіне қойылатын шекаралық есептер: 1) 0 (x, y, z) V=U ∆ + ∈ + теңдеуін U g p p S S ∈ = + ( ) шекаралық шартын қанағаттандыратын ( ) ( ) S∪С V ∩2 C V + + класында жататын U (x, y, z) + функциясын табуды Лаплас теңдеуіне қойылатын бірінші шекаралық есеп немесе ішкі Дирихле есебі деп атайды. 2) g p p S n U S ∈ = ∂ ∂ + ( ) шекаралық шартын қанағаттандаратын ( ) ( ) 2 S∪ V ′С∩C V + + класында жататын U (x, y, z) + функциясын табуды Лаплас теңдеуіне қойылған екінші шекаралық есеп немесе ішкі Нейман есебі деп атайды. Мұндағы n - S бетіне сырттай жүргізілген нормаль вектор, ал + ∂ ∂ n U - деп U (x, y, z) + функциясының n нормаль бағыты бойынша алынған туындысы белгіленген. 3) 0, (x, y, z) V= U ∆ + ∈ + теңдеуін S n U + ∂ ∂ h U g p p S S ∈ = − + + ( ( ) ) 0, шекаралық шартын қанағаттандыратын ( ) ( ) S∪ V ′С∩2 C V + + класына жататын U (x, y, z) + функциясын табуды Лаплас теңдеуіне қойылған үшінші шекаралық есеп деп атайды. Мысал ретінде радиусы R санына тең дөңгелектің шекарасында Дирихле шартын π 2< ϕ≤ 0 ϕ sin=) ϕ (, =) ϕ(, = U r U R r R немесе π ϕ ϕ ϕ (, ) sin 0 2 (, ) < ≤ = = ∂ ∂ = U R r r U r R r r112 Нейман шартын қанағаттандыратын полярлық координата арқылы жазылған U r R r < ≤ 0, 0 =U + Ur +Urr 1 2 1 ϕϕ2 Лаплас теңдеуін қарастырайық. Егер осы есептердегі өте жұқа біртекті дискіде таралған температураға сәйкес келетін стационар процесті өрнектеген функцияны есептесек, онда дөңгелектің шекарасында Дирихле шарты π < ϕ<0 болған кезде оң ) 0> ϕsin(, ал π 2< ϕ< π болған кезде теріс ) 0< ϕsin( температура сақталатындығын, ал Нейман шарты π < ϕ<0 болған кезде жылу ағысы дөңгелек ішіне қарай, ал π 2< ϕ< π болған кезде дөңгелектің сыртына қарай бағытталғандығын көрсетеді. Пуассон теңдеуі үшін жоғарыда көрсетілгендей есептер ілгеріде қарастырылатын болғандықтан, оларға бұл пункте тоқталмаймыз. Стационар теңдеулер үшін жоғарыда қарастырылған шекаралық есептерден басқа шенелмеген V - облысында сыртқы есептер қарастырылады. Бұл есептерде бұрынғы шарттармен ізделінді функцияның шексіздіктегі тәртібіне қосымша шарттар қойылады. Жазықтықта қарастырылған шекаралық есептер мен кеңістікте қарастырылған шекаралық есептер үшін бұл шарт әртүрлі болады. Мысалы, Лаплас теңдеуі үшін сыртқы Дирихле есебі былай қойылады: а) жазықтықта 2 2 R= Γ∪Q ∪ R, Q ⊂Q ∈ 0, (x, y) =U ∆ − + − − теңдеуін Γ∈ = Γ U (x, y) g(x, y) (x, y) − шартын қанағаттандыратын және ∞→M(x, y) кезде шенелген − ) C<Q U x y ∈ x y ∀ >C ∃( − 0, (, ) : (, ) ( ) ( ) Γ∪ ∩2 C Q С Q− − класына жататын U (x, y) функциясын табуды Лаплас теңдеуіне жазықтықта қойылған сыртқы− Дирихле есебі деп атайды. ә) кеңістікте 2 3 R= Ω∪V ∪ R, V ⊂V ∈ 0, (x, y, z) =U ∆ − + − − теңдеуін Ω Ω∈ = U (x, y, z) g(x, y, z) (x, y, z) − шартын қанағаттандыратын және ∞→M(x, y, z) кезде нөлге бірқалыпты ұмтылатын (яғни ε < ⊄ ∀ > ε ∃ > ε∀ − 0, R( ) 0, M O (0) U (x, y, z) R ) . 113 ( ) ( ) S∪С V ∩2 C V класында жататын− − U(x, y, z) функциясын табуды Лаплас теңдеуіне кеңістікте қойылған сыртқы Дирихле есебі деп атайды. Лаплас теңдеуі үшін қойылатын сыртқы Нейман есебінің сыртқы Дирихле есебінен айырмашылығы ізделінді функцияға жазықтықта да, кеңістікте де ∞→M(x, y, z) кезде бір ғана регулярлы болу шарты қойылады.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.