Stud.kz

Иррационал функцияларды интегралдау


Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Курстық жұмыс
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 16 бет
Таңдаулыға:   

Иррационал функцияларды интегралдау

Курстық жұмыс

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

1 Иррационал функцияларды интегралдау . . . 4

1. 1 Абель тәсілдері . . . 12

1. 2 Биномдық дифференциалды интегралдау… . . . 12

2 Практикалық бөлім . . . … . . . 16

Қорытынды . . . 23

Қолданылған әдебиеттер тізімі . . . 24

Кіріспе

Иррационал функцияларды интегралдауда айнымалыны алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келуге болатын кейбір жағдайларды қарастырамыз. ∫ R ( x , x n ) d x \int_{}^{}{R\left( x, \sqrt[n] {x} \right) dx} түріндегі интегралдар t = x n \sqrt[n] {x} алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келеді. Қарастырылған интеграл ∫ R ( x , a x + b c x + d n ) \int_{}^{}{R\left( x, \sqrt[n] {\frac{ax + b}{cx + d}} \right) } түріндегі интегралдың дербес түрі болады. Мұнда ad ≠ c b \ \neq cb . Осы интегралды t = a x + b c x + d n \sqrt[n] {\frac{ax + b}{cx + d}} алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келтіруге болады.

Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.

Мақсаты: Иррационал функцияларды интегралдау әдістерін талдау.

Міндеті:

- Иррационал функцияларды интегралдаудың теориялық бөлімін қарастыру.

- Иррационал функцияларды интегралдауды есептермен мысалдарда қарастыру.

Зерттеу объектісі: Функцияларды интегралдау

Зерттеу пәні: Иррационал функцияларды интегралдау

Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу

Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлім, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

  1. Иррационал функцияларды интегралдау

Рационал функцияларды интегралдау үшін белгілі әдістің барлығын және әдіс қойылған есепті аяғына дейін шығаруға мүмкіндік береді.

Егер интеграл таңбасы ішінде иррационал өрнектер болса, онда тиісті ауыстыруларды қолданып, берілген интегралды рационал функцияның интегралына келтіреміз. Интеграл таңбасы ішіндегі иррационал өрнекті қолайлы ауыстыру арқылы рационал функцияға түрлендіруді берілген интегралды рационалдандыру дейді.

Иррационал функциядан алынған әрбір интегралды рационалдандыру мәселесі әрқашан да іс жүзіне аса бермейді.

Егер α , β , γ , δ \alpha, \beta, \gamma, \delta -тұрақты сандар, l m , … , r s \frac{l}{m}, \ldots, \frac{r}{s} -рационал сандар, ал R(x, y, …, z), x, y, …, z айнымалылардың рационал функциясы болса, онда рационал ауыстырудың көмегімен келесі интеграл

∫ R [ x , ( a x + β γ x + δ ) 1 m , … , ( a x + β γ x + δ ) r s ] \int_{}^{}{R\left\lbrack x, \left( \frac{ax + \beta}{\gamma x + \delta} \right) ^{\frac{1}{m}}, \ \ \ \ \ \ \ \ldots, \left( \frac{ax + \beta}{\gamma x + \delta} \right) ^{\frac{r}{s}}\ \right\rbrack} dx (1)

рационал функцияның интегралына келтіріледі. n-мына m, …, s сандардың ең кіші еселігі болсын. Төмендегі ауыстыруды жүргіземіз:

a x + β γ x + δ = z n , б ұ л а р а д а н \frac{ax + \beta}{\gamma x + \delta} = z^{n}, \ бұл\ арадан\

x= δ z n − β α − γ z n = p ( z ) , d x = p ′ ( z ) \frac{\delta z^{n} - \beta}{\alpha - \gamma z^{n}} = p(z), \ \ \ \ \ \ \ dx = p'(z) dz.

∫ R [ ρ ( z ) , z n 1 m , … , z n r s ] ρ ′ ( z ) d z . \int_{}^{}{R\left\lbrack \rho(z), z^{n\frac{1}{m}}, \ \ \ \ \ \ \ \ldots, z^{n\frac{r}{s}}\ \right\rbrack}\ \rho'(z) dz.

Осы кейінгі интеграл таңбасы ішінде тұрған өрнек - айнымалы z-тің рационал функциясы болады, өйткені g(z) оның туындысы ρ ′ ( \rho'( z) - рационал функциялар, n • 1 m , … , n • r s \bullet \frac{1}{m}, \ldots, \ n \bullet \frac{r}{s} бүтін сандар. Бұл интегралды табу үшін рационал функцияларды интегралдау тақырыбындағы айтылған әдістерді қолданамыз.

  1. Мысал келтірейік:

∫ d x x + x 3 , \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[3] {x}}\,

м ы н а д а й z 6 = x а у ы с т ы р у ж ү р г і з е м і з , с о н д а мынадай\ z^{6} = x\ \ ауыстыру\ жүргіземіз, \ сонда

∫ d x x + x 3 = 6 ∫ z 3 d z 1 + z = 6 ∫ ( 1 − z + z 2 ) d z − 6 ∫ d z 1 + z = 6 z − 3 z 2 + 2 z 3 − 6 ln ⁡ ( 1 + z ) + C = 6 x \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[3] {x}} = 6\int_{}^{}{\frac{z^{3}dz}{1 + z} = 6\int_{}^{}{\left( 1 - z + z^{2} \right) dz - 6\int_{}^{}{\frac{dz}{1 + z} = 6z - 3z^{2} + 2z^{3} - 6\ln{(1 + z) + C = 6\sqrt{x -3 x 3 + 2 x − 6 ln ⁡ ( 1 + x 6 ) + C . \sqrt[3] {x} + 2\sqrt{x} - 6\ln{\left( 1 + \sqrt[6] {x} \right) + C. }

Енді мынадай интегралды қарайық:

∫ R ( x , a x 2 + b x + c ) d x . \int_{}^{}{R\left( x, \sqrt{ax^{2} + bx + c} \right) dx. }

Алдымен, бұл интегралдың дербес түрлерін қарайық:

I. ∫ d x a x 2 + b x + c \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} , ( a > 0 a > 0 ) .

∫ d x a x 2 + b x + c \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = 1 a ∫ d x x 2 + b a x + c a = 1 a ∫ d x ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a 2 = 1 a ∫ − d ( x + b 2 a ) ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a 2 \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{\left( x + \frac{b}{2a} \right) ^{2} - \frac{b^{2 - 4ac}}{4a^{2 =}}\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{}^{}{- \frac{d\left( x + \frac{b}{2a} \right) }{\sqrt{\left( x + \frac{b}{2a} \right) ^{2} - \frac{b^{2 - 4ac}}{4a^{2

Енді осы кейінгі интегралға (6) формуланы қолданамыз.

Сонда

∫ d x a x 2 + b x + c = 1 a ln ⁡ ( x + b 2 a + ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a 2 ) + C \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\ln{\left( x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\left( x + \frac{b}{2a} \right) ^{2} - \frac{b^{2} - 4ac}{{4a}^{2}}} \right) + C} немесе

∫ d x a x 2 + b x + c = 1 a ln ⁡ ( x + b 2 a + x 2 + b a x + c a ) + C . \ \ \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\ln{\left( x + \frac{b}{2a} + \sqrt{x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) + C}. (2)

II. ∫ d x − a x 2 + b x + c \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{- ax^{2} + bx + c}} = 1 a ∫ d x − x 2 + b a x + c a = 1 a ∫ d x b 2 + 4 a c 4 a 2 − ( x − b 2 a ) 2 = 1 a ∫ d ( x − b 2 a ) b 2 + 4 a c 4 a 2 − ( x − b 2 a ) 2 \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{{- x}^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{\frac{b^{2} + 4ac}{4a^{2}} - \left( x - \frac{b}{2a} \right) ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{}^{}\frac{d(x - \frac{b}{2a}) }{\sqrt{\frac{b^{2} + 4ac}{4a^{2}} - \left( x - \frac{b}{2a} \right) ^{2

Енді осы теңдіктің оң жағында тұрған интегралға (5) формуланы қолданамыз. Сонда

∫ d x − a x 2 + b x + c \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{- ax^{2} + bx + c}} = 1 a arcsin ⁡ ( x − b 2 a ) 2 a b 2 + 4 a c \frac{1}{\sqrt{a}}\arcsin\frac{\left( x - \frac{b}{2a} \right) 2a}{\sqrt{b^{2} + 4ac}} +C= 1 a arcsin ⁡ 2 a x − b b 2 + 4 a c + C . \frac{1}{\sqrt{a}}\arcsin\frac{2ax - b}{\sqrt{b^{2} + 4ac}} + C. (3)

III. ∫ a x 2 + b x + c d x = a ∫ x 2 + b a x + c a d x = a ∫ ( x + b 2 ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a 2 d ( x + b 2 a ) . \int_{}^{}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}dx = \sqrt{a}\int_{}^{}{\sqrt{x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}}dx = \sqrt{a}\int_{}^{}\sqrt{\left( x + \frac{b}{2} \right) ^{2} - \frac{b^{2} - 4ac\ }{4a^{2d(x + \frac{b}{2a}) \ .

Бұл теңдіктің оң жағында тұрған интегралға төмендегі формуланы қолданамыз. Сонда

∫ a x 2 + b x + c = a [ x + b 2 a 2 x 2 + b a x + c a + b 2 − 4 a c 2 • 4 a 2 ln ( x + b 2 a + x 2 + b a x + c a ) ] + C = = 2 a x + b 4 a a x 2 + b x + c + a ( b 2 − 4 a c ) 8 a 2 ln ⁡ ( x + b 2 a + x 2 + b a x + c a ) + C . \int_{}^{}{\sqrt{ax^{2} + bx + c} = \sqrt{a}}\left\lbrack \frac{x + \frac{b}{2a}}{2}\sqrt{x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} + \frac{b^{2} - 4ac}{2 \bullet 4a^{2}}\ln\left( x + \frac{b}{2a} + \sqrt{x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) \right\rbrack + C = = \frac{2ax + b}{4a}\sqrt{ax^{2} + bx + c} + \frac{\sqrt{a}(b^{2} - 4ac) }{8a^{2}}\ln{\left( x + \frac{b}{2a} + \sqrt{x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) + C. } (4)

IV. ∫ − a x 2 + b x + c d x = a ∫ − x 2 + b a x + c a d x = a ∫ b 2 + 4 a c 4 a 2 = ( x − b 2 a ) 2 d ( x − b 2 a ) . \int_{}^{}{\sqrt{- ax^{2} + bx + c}dx = \sqrt{a}}\int_{}^{}\sqrt{{- x}^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}}dx = \sqrt{a}\int_{}^{}{\sqrt{\frac{b^{2} + 4ac}{4a^{2}} = \left( x - \frac{b}{2a} \right) ^{2}}d\left( x - \frac{b}{2a} \right) . }

Бұл теңдіктің оң жағында тұрған интегралға (4) формуланы қолданамыз. Сонда

∫ − a x 2 + b x + c d x = a [ x − b 2 a 2 b 2 + 4 a c 2 • 4 a 2 − ( x − b 2 a ) 2 + b 2 + 4 a c 8 a 2 arcsin ( x − b 2 a ) 2 a b 2 + 4 a c ] + C = a ( 2 a x − b ) 4 a − x 2 + b a x + c a + a ( b 2 + 4 a c ) 8 a 2 arcsin ⁡ 2 a x − b b 3 + 4 a c + C . \int_{}^{}{\sqrt{- ax^{2} + bx + c\ }dx =}\sqrt{a}\left\lbrack \frac{x - \frac{b}{2a}}{2}\sqrt{\frac{b^{2} + 4ac}{2 \bullet 4a^{2}} - \left( x - \frac{b}{2a} \right) ^{2} +}\frac{b^{2} + 4ac}{8a^{2}}\arcsin\frac{\left( x - \frac{b}{2a} \right) 2a}{\sqrt{b^{2} + 4ac}} \right\rbrack + C = \frac{\sqrt{a}(2ax - b) }{4a}\sqrt{- x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} + \frac{{\sqrt{a}(b}^{2} + 4ac) }{8a^{2}}\arcsin\frac{2ax - b}{\sqrt{b^{3} + 4ac}} + C. \ \ \ \ \ \ (5)

V. I m = ∫ x m d x a x 2 + b x + c \int_{}^{}\frac{x^{m}dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} ( m ≥ 1 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (m \geq 1)

Келтірілген интегралды табу үшін келесі туындыны іздейміз:

[ x m − 1 R ( x ) ] ′ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack x^{m - 1}\sqrt{R(x) } \right\rbrack'

= 2 ( m − 1 ) x m − 2 ( a x 2 + b x + c ) + x m − 1 ( 2 a x + b ) 2 a x 2 + b x + c = m a x m a x 2 + b x + c + ( m − 1 2 ) b x m − 1 a x 2 + b x + 1 + ( m − 1 ) c x m − 2 a x 2 + b x + 1 , м ұ н д а R ( x ) = a x 2 + b x + c . \frac{2(m - 1) x^{m - 2}\left( ax^{2} + bx + c \right) + x^{m - 1}(2ax + b) }{2\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = ma\frac{x^{m}}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} + \left( m - \frac{1}{2} \right) b\frac{x^{m - 1}}{\sqrt{ax^{2} + bx + 1}} + (m - 1) c\frac{x^{m - 2}}{\sqrt{ax^{2} + bx + 1}}\, \ \ \ \ \ \ \ \ мұнда\ \ R(x) = \sqrt{ax^{2} + bx + c}.

Осы шыққан теңбе-теңдіктің екі жағын интегралдап табамыз:

x m − 1 a x 2 + b x + c = x^{m - 1}\sqrt{ax^{2} + bx + c} = mal m + ( m − 1 2 ) b l m − 1 + ( m − 1 ) c l m − 2 . \left( m - \frac{1}{2} \right) bl_{m - 1} + (m - 1) cl_{m - 2}.

m-ге біртіндеп мәндер берейік: m=1, онда

l 1 = 1 a a x 2 + b x + c − b 2 a I 0 ; l_{1} = \frac{1}{a}\sqrt{ax^{2} + bx + c} - \frac{b}{2a}I_{0};

егер m=2 болса, онда

l 2 = 1 4 a 2 ( 2 a x − 3 b ) a x 2 + b x + c + 1 8 a 2 ( 3 b 2 − 4 a c ) • l 0 . l_{2} = \frac{1}{4a^{2}}(2ax - 3b) \sqrt{ax^{2} + bx + c} + \frac{1}{8a^{2}}\left( 3b^{2} - 4ac \right) \bullet l_{0}.

Содан әрі қарай

I m = P m − 1 ( x ) a x 2 + b x + 1 {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I}_{m} = P_{m - 1}(x) \sqrt{ax^{2} + bx + 1} + λ I 0 , \lambda I_{0},

мұнда P m − 1 ( x ) = α m − 1 x m − 1 + α m − 2 x m − 2 + … + α 1 x + α 0 P_{m - 1}(x) = \alpha_{m - 1}x^{m - 1} + \alpha_{m - 2}x^{m - 2} + \ldots + \alpha_{1}x + \alpha_{0} коэффициенттері уақытша белгісіз ( m − 1 ) (m - 1) \ дәрежелі көпмүше λ да уақытша белгісіз тұрақты сан.

Сонымен,

∫ x m d x a x 2 + b x + c = ( α m − 1 x m − 1 + α m − 2 x m − 2 + … + α 1 x + α 0 ) × \int_{}^{}{\frac{x^{m}dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} =}\left( \alpha_{m - 1}x^{m - 1} + \alpha_{m - 2}x^{m - 2} + \ldots + \alpha_{1}x + \alpha_{0} \right) \times

× a x 2 + b x + c + λ ∫ d x a x 2 + b x + c . \times \sqrt{ax^{2} + bx + c} + \lambda\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}. }

VI. ∫ b 0 x n + b 1 x n − 1 + … + b n − 1 x + b n a x 2 + b x + c d x = ( c n − 1 x n − 1 + c n − 2 x n − 2 + … + c 1 x + c 0 ) a x 2 + b x + c + β ∫ d x a x 2 + b x + c , \ \int_{}^{}{\frac{b_{0}x^{n} + b_{1}x^{n - 1} + \ldots + b_{n - 1}x + b_{n}}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx =}\left( c_{n - 1}x^{n - 1} + c_{n - 2}x^{n - 2} + \ldots + c_{1}x + c_{0} \right) \sqrt{ax^{2} + bx + c} + \beta\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}, } (6)

(5) және (6) теңдіктерінің оң жақтарында уақытша белгісіз

α m − 1 , α m − 2 \alpha_{m - 1}, {\ \ \alpha}_{m - 2} , . . . , α 1 , α 0 , λ , c n − 1 , c n − 2 , … , c 1 , c 0 , β \ \ \alpha_{1}, \ {\ \ \alpha}_{0}, \ \ \ \ \lambda, \ {\ \ \ \ c}_{n - 1}, \ \ \ c_{n - 2}, \ldots, \ {\ c}_{1}, \ \ c_{0}, \ \ \beta\

коэффициенттерді табу үшін осы теңдіктердің екі жақтарынан туынды алып, оның нәтижесінде шыққан өрнектерді ортақ бөлімге келтіріп және одан босатып, теңбе-теңдік құрамыз.

VII. ∫ d x ( x − a ) m a x 2 + b x + c , \int_{}^{}\frac{dx}{(x - a) ^{m}\sqrt{ax^{2} + bx + c}},

бұл интегралды VI интегралға келтіруге болады, ол үшін мынадай x − a = 1 2 x - a = \frac{1}{2} ауыстыру жүргіземіз. Сонда

∫ d x ( x − a ) m a x 2 + b x + c = \int_{}^{}\frac{dx}{(x - a) ^{m}\sqrt{ax^{2} + bx + c}} =

= - ∫ z m − 1 d z ( a α 2 + b α + c ) z 2 + ( 2 a α + b ) z + a . \int_{}^{}{\frac{z^{m - 1}dz}{\sqrt{\left( a\alpha^{2} + b\alpha + c \right) z^{2} + (2a\alpha + b) z + a}}. } (7)

VIII. ∫ d x ( a x 2 ¯ + β ) a x 2 ¯ + c , \int_{}^{}{\frac{dx}{\left( ax^{\overline{2}} + \beta \right) \sqrt{ax^{\overline{2}} + c}}, }

мұнда α, β, a , c a, \ c кез-келген тұрақты сандар. Бұл интегралды табу үшін төмендегі ауыстыруды жасаймыз: ( a x 2 + c ) ′ \left( \sqrt{{ax}^{2} + c} \right) ' =z,

бұл арадан

d x a x 2 ¯ + c \frac{dx\ }{\sqrt{{ax}^{\overline{2}} + c}} = d z a − z 2 ¯ , α x 2 + β = ( α c − a β ) z 2 ¯ + a 2 + β a ( a − z 2 ) \ \frac{dz}{a - z^{\overline{2}}}, \ \alpha x^{2} + \beta = \frac{(\alpha c - a\beta) z^{\overline{2}} + a^{2} + \beta}{a(a - z^{2}) } .

Бұдан кейін

∫ d x ( α x 2 + β ) a x 2 + c = ∫ d z ( α c − a β ) z 2 + a 2 β . \int_{}^{}{\frac{dx}{\left( \alpha x^{2} + \beta \right) \sqrt{ax^{2} + c}} = \int_{}^{}{\frac{dz}{(\alpha c - a\beta) z^{2} + a^{2}\beta}. \ \ \ }} (8)

IX. ∫ ( p x + q ) d x ( a x 2 + β x + γ ) a x 2 + b x + c \int_{}^{}\frac{(px + q) dx}{\left( ax^{2} + \beta x + \gamma \right) \sqrt{ax^{2} + bx + c}} ,

бұл интеграл жөнінде екі жағдай қараймыз.

Бірінші жағдай : квадрат үшмүшелердегі коэффициенттер α , β , a , b \alpha, \ \beta, \ a, b өзара пропорционал, яғни

α a = β b \frac{\alpha}{a} = \frac{\beta}{b}\ = h.

Бұл жағдайда қаралып отырған интегралды мына сияқты

∫ p d x ( α x 2 + β ) a x 2 ¯ + c \int_{}^{}\frac{pdx}{\left( \alpha x^{2} + \beta \right) \sqrt{ax^{\overline{2}} + c}} , ∫ p x d x ( α x 2 ¯ + β ) a x 2 ¯ + c \int_{}^{}\frac{pxdx}{\left( \alpha x^{\overline{2}} + \beta \right) \sqrt{ax^{\overline{2}} + c}}

интегралдарға келтіруге болады. Ол үшін төмендегі ауыстыруды жүргіземіз:

( a x 2 + b x + c ) ′ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( ax^{2} + bx + c \right) }' =u,

бұл арадан

a x 2 + b x + c = u 2 − ( b 2 − 4 a c ) 4 a , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ax^{2} + bx + c = \frac{u^{2} - \left( b^{2} - 4ac \right) }{4a},

a x 2 + β x + λ \ \ \ ax^{2} + \beta x + \lambda = h [ u 2 − ( b 2 − 4 a c ) ] + 4 a y − 4 a c h 4 a , \frac{h\left\lbrack u^{2} - \left( b^{2} - 4ac \right) \right\rbrack + 4ay - 4ach}{4a},

( p x + q ) (px + q) dx= p u − b p + 2 a q 4 a d u . \frac{pu - bp + 2aq}{4a}du.

Бұдан кейін

∫ ( p x + q ) d x ( a x 2 + β x + λ ) a x 2 + b x + c \int_{}^{}\frac{(px + q) dx}{\left( \ ax^{2} + \beta x + \lambda \right) \sqrt{ax^{2} + bx + c}} = 2 a \ \frac{2}{\sqrt{a}}

∫ ( p u + q ) d x ( h u 2 − h b 2 + 4 a h c + 4 a y − 4 a h c ) u 2 − ( b 2 − 4 a c ) . \int_{}^{}\frac{(pu + q) dx}{\left( hu^{2} - hb^{2} + 4ahc + 4ay - 4ahc \right) \sqrt{u^{2} - \left( b^{2} - 4ac \right) }}. (9)

(9) теңдіктің оң жағында тұрған интегралды екі интегралға айырып жазуға болады және мұнда бірінші интегралдың алымында бір дәрежелі “u” бар, сондықтан ол интегралды мынадай u 2 − ( b 2 − 4 a c ) = t \sqrt{u^{2} - \left( b^{2} - 4ac \right) } = t\ ауыстыруды көмегімен интегралданады; екінші интеграл- қарастырылған IX интеграл.

... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Математикалық талдау
Анықталмаған интеграл және интегралдаудың негізгі әдістері
Жиындар мен математикалық логика элементтері. Дәрістер жинағы
Дифференциалдық және интегралдық есептеудің элементтерін оқыту әдістемесі
Дифференциалдық және интегралдық есептеулерді оқыту жүйесі
Рационал функцияларды интегралдау
Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру
Айнымалыны алмастыру әдісі
Комплекс айнымалы жалпы дәрежелік функция
Рационал сандар жиынының қасиеттері
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

google play appstore

instagram tiktok

Ақпарат

Қосымша


Email: info@stud.kz



Реферат Курстық жұмыс Диплом Материал Диссертация Практика Презентация Сабақ жоспары Мақал-мәтелдер 1‑10 бет 11‑20 бет 21‑30 бет 31‑60 бет 61+ бет Негізгі Бет саны Қосымша Іздеу Ештеңе табылмады :( Соңғы қаралған жұмыстар Қаралған жұмыстар табылмады Тапсырыс Антиплагиат Қаралған жұмыстар kz