Иррационал функцияларды интегралдау
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1 Иррационал функцияларды интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.1Абель тәсілдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
1.2Биномдық дифференциалдыинтегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
2Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
1 Иррационал функцияларды интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.1Абель тәсілдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
1.2Биномдық дифференциалдыинтегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
2Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
Иррационал функцияларды интегралдауда айнымалыны алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келуге болатын кейбір жағдайларды қарастырамыз. ∫R(x,√(n&x))dxтүріндегі интегралдар t =√(n&x)алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келеді. Қарастырылған интеграл ∫R(x,√(n&(ax+b)/(cx+d))) түріндегі интегралдың дербес түрі болады. Мұнда ad ≠cb.Осы интегралды t =√(n&(ax+b)/(cx+d))алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келтіруге болады.
Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
.А.Жәутіков. «Математикалық анализ курсы» , Алматы, «Экономика» баспасы, 2014 жыл.
2. Темірғалиев Н.Т. Математикалық анализ 1,2,3-том. Алматы 1977 ж
3. Әубәкір С.Б. Жоғары математика. 1-2 бөлім. – Алматы, ҚАЗҰУ, 2000 ж.
4. Қасымов Қ., Қасымов Е. Жоғары математика курсы. –Алматы, Санат, 1994ж.
5. Қабдықайыров Қ. Жоғары математика.-Алматы, РБК, 1993.
2. Темірғалиев Н.Т. Математикалық анализ 1,2,3-том. Алматы 1977 ж
3. Әубәкір С.Б. Жоғары математика. 1-2 бөлім. – Алматы, ҚАЗҰУ, 2000 ж.
4. Қасымов Қ., Қасымов Е. Жоғары математика курсы. –Алматы, Санат, 1994ж.
5. Қабдықайыров Қ. Жоғары математика.-Алматы, РБК, 1993.
Иррационал функцияларды интегралдау
Курстық жұмыс
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
1 Иррационал функцияларды интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.1 Абель тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
1.2 Биномдық дифференциалды интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
2 Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
Кіріспе
Иррационал функцияларды интегралдауда айнымалыны алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келуге болатын кейбір жағдайларды қарастырамыз. Rx,nxdx түріндегі интегралдар t =nx алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келеді. Қарастырылған интеграл Rx,nax+bcx+d түріндегі интегралдың дербес түрі болады. Мұнда ad !=cb. Осы интегралды t =nax+bcx+d алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келтіруге болады.
Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
Мақсаты: Иррационал функцияларды интегралдау әдістерін талдау.
Міндеті:
- Иррационал функцияларды интегралдаудың теориялық бөлімін қарастыру.
- Иррационал функцияларды интегралдауды есептермен мысалдарда қарастыру.
Зерттеу объектісі: Функцияларды интегралдау
Зерттеу пәні: Иррационал функцияларды интегралдау
Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу
Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлім, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Иррационал функцияларды интегралдау
Рационал функцияларды интегралдау үшін белгілі әдістің барлығын және әдіс қойылған есепті аяғына дейін шығаруға мүмкіндік береді.
Егер интеграл таңбасы ішінде иррационал өрнектер болса, онда тиісті ауыстыруларды қолданып, берілген интегралды рационал функцияның интегралына келтіреміз. Интеграл таңбасы ішіндегі иррационал өрнекті қолайлы ауыстыру арқылы рационал функцияға түрлендіруді берілген интегралды рационалдандыру дейді.
Иррационал функциядан алынған әрбір интегралды рационалдандыру мәселесі әрқашан да іс жүзіне аса бермейді.
Егер α,β,γ,δ -тұрақты сандар, lm,...,rs -рационал сандар, ал R(x,y,...,z),x,y,...,z айнымалылардың рационал функциясы болса, онда рационал ауыстырудың көмегімен келесі интеграл
Rx,ax+βγx+δ1m, ...,ax+βγx+δrs dx (1)
рационал функцияның интегралына келтіріледі. n-мына m,...,s сандардың ең кіші еселігі болсын. Төмендегі ауыстыруды жүргіземіз:
ax+βγx+δ=zn, бұл арадан
x= δzn-βα-γzn=pz, dx=p'(z)dz.
Rρz,zn1m, ...,znrs ρ'zdz.
Осы кейінгі интеграл таңбасы ішінде тұрған өрнек - айнымалы z-тің рационал функциясы болады, өйткені g(z) оның туындысы ρ'(z)- рационал функциялар, n∙1m,..., n∙rs бүтін сандар. Бұл интегралды табу үшін рационал функцияларды интегралдау тақырыбындағы айтылған әдістерді қолданамыз.
Мысал келтірейік:
dxx+3x ,
мынадай z6=x ауыстыру жүргіземіз, сонда
dxx+3x=6z3dz1+z=61-z+z2dz-6dz1+z=6z -3z2+2z3-6ln1+z+C=6x-33x+2x-6ln1+6x +C.
Енді мынадай интегралды қарайық:
Rx,ax2+bx+cdx.
Алдымен, бұл интегралдың дербес түрлерін қарайық:
I. dxax2+bx+c, (a0).
dxax2+bx+c=1adxx2+bax+ca=1adxx+b2a2 -b2-4ac4a2=1a-dx+b2ax+b2a2-b2-4ac4a 2
Енді осы кейінгі интегралға (6) формуланы қолданамыз.
Сонда
dxax2+bx+c=1alnx+b2a+x+b2a2-b2-4ac4 a2+C немесе
dxax2+bx+c=1alnx+b2a+x2+bax+ca+C. (2)
II. dx-ax2+bx+c=1adx-x2+bax+ca=1adxb2+4 ac4a2-x-b2a2=1ad(x-b2a)b2+4ac4a2-x- b2a2
Енді осы теңдіктің оң жағында тұрған интегралға (5) формуланы қолданамыз. Сонда
dx-ax2+bx+c=1aarcsinx-b2a2ab2+4ac+C =1aarcsin2ax-bb2+4ac+C. (3)
III.ax2+bx+cdx=ax2+bax+cadx=ax+b22- b2-4ac 4a2d(x+b2a) .
Бұл теңдіктің оң жағында тұрған интегралға төмендегі формуланы қолданамыз. Сонда
ax2+bx+c=ax+b2a2x2+bax+ca+b2-4ac2∙4 a2lnx+b2a+x2+bax+ca+C==2ax+b4aax2+b x+c+a(b2-4ac)8a2lnx+b2a+x2+bax+ca+C . (4)
IV.-ax2+bx+cdx=a-x2+bax+cadx=ab2+4a c4a2=x-b2a2dx-b2a.
Бұл теңдіктің оң жағында тұрған интегралға (4) формуланы қолданамыз. Сонда
-ax2+bx+c dx=ax-b2a2b2+4ac2∙4a2-x-b2a2+b2+4ac 8a2arcsinx-b2a2ab2+4ac+C=a2ax-b4a-x 2+bax+ca+a(b2+4ac)8a2arcsin2ax-bb3+ 4ac+C. (5)
V. Im=xmdxax2+bx+c m=1
Келтірілген интегралды табу үшін келесі туындыны іздейміз:
xm-1Rx'
=2m-1xm-2ax2+bx+c+xm-12ax+b2ax2+bx+ c=maxmax2+bx+c+m-12bxm-1ax2+bx+1+m- 1cxm-2ax2+bx+1 , мұнда Rx=ax2+bx+c.
Осы шыққан теңбе-теңдіктің екі жағын интегралдап табамыз:
xm-1ax2+bx+c=malm+m-12blm-1+m-1clm- 2.
m-ге біртіндеп мәндер берейік: m=1, онда
l1=1aax2+bx+c-b2aI0;
егер m=2 болса, онда
l2=14a22ax-3bax2+bx+c+18a23b2-4ac∙l 0.
Содан әрі қарай
Im=Pm-1xax2+bx+1+λI0,
мұнда Pm-1x=αm-1xm-1+αm-2xm-2+...+α1x+α0 коэффициенттері уақытша белгісіз m-1 дәрежелі көпмүше λ да уақытша белгісіз тұрақты сан.
Сонымен,
xmdxax2+bx+c=αm-1xm-1+αm-2xm-2+...+ α1x+α0x
xax2+bx+c+λdxax2+bx+c.
VI. b0xn+b1xn-1+...+bn-1x+bnax2+bx+cdx= cn-1xn-1+cn-2xn-2+...+c1x+c0ax2+bx+ c+βdxax2+bx+c, (6)
(5) және (6) теңдіктерінің оң жақтарында уақытша белгісіз
αm-1, αm-2, ..., α1, α0, λ, cn-1, cn-2,..., c1, c0, β
коэффициенттерді табу үшін осы теңдіктердің екі жақтарынан туынды алып, оның нәтижесінде шыққан өрнектерді ортақ бөлімге келтіріп және одан босатып, теңбе-теңдік құрамыз.
VII. dxx-amax2+bx+c,
бұл интегралды VI интегралға келтіруге болады, ол үшін мынадай x-a=12 ауыстыру жүргіземіз. Сонда
dxx-amax2+bx+c=
= - zm-1dzaα2+bα+cz2+2aα+bz+a. (7)
VIII. dxax2+βax2+c,
мұнда α, β, a, c кез-келген тұрақты сандар. Бұл интегралды табу үшін төмендегі ауыстыруды жасаймыз: ax2+c'=z,
бұл арадан
dx ax2+c = dza-z2, αx2+β=αc-aβz2+a2+βa(a-z2).
Бұдан кейін
dxαx2+βax2+c=dzαc-aβz2+a2β. (8)
IX. px+qdxax2+βx+γax2+bx+c ,
бұл интеграл жөнінде екі жағдай қараймыз.
Бірінші жағдай : квадрат үшмүшелердегі коэффициенттер α, β, a,b өзара пропорционал, яғни
αa=βb = h.
Бұл жағдайда қаралып отырған интегралды мына сияқты
pdxαx2+βax2+c, pxdxαx2+βax2+c
интегралдарға келтіруге болады. Ол үшін төмендегі ауыстыруды жүргіземіз:
ax2+bx+c'=u,
бұл арадан
ax2+bx+c=u2-b2-4ac4a,
ax2+βx+λ=hu2-b2-4ac+4ay-4ach4a,
px+qdx=pu-bp+2aq4adu.
Бұдан кейін
(px+q)dx ax2+βx+λax2+bx+c = 2a
pu+qdxhu2-hb2+4ahc+4ay-4ahcu2-b2-4a c. (9)
(9) теңдіктің оң жағында тұрған интегралды екі интегралға айырып жазуға болады және мұнда бірінші интегралдың алымында бір дәрежелі "u" бар, сондықтан ол интегралды мынадай u2-b2-4ac=t ауыстыруды көмегімен интегралданады; екінші интеграл- қарастырылған IX интеграл.
Екінші жағдай: коэффициенттер α, β және a, b пропорционал емес. Бұл жолы мынадай x=ku+1u-1 ауыстыру жүргіземіз, мұнда k, l- әзірше белгісіз, тұрақты сандар. Осы жүргізіліп отырған ауыстырудан табамыз:
ax2+βx+λ=ak2+βk+λu2+2alk+βk+βl+2γu+ αl2+βl+γu+12;
ax2+bx+c=ak2+bk+cu2+2alk+bk+bl+2cu+ αl2+bl+cu+12
k,l сандарын сайлап алу өз қолымызда болғандықтан, оларды келесі теңдеулер системасы
2alk+βk+βl+2γ=0,
2alk+bk+bl+2c=0, (91)
орындалатындай етіп алайық. Мына анықтауыш αb-aβ!=0 деп ұйғарайық, сонда 9' системадан табамыз:
l+k=2aγ-acαb-aβ, lk=cβ-bγαb-aβ,
Сөйтіп, l және k бір тиісті квадрат теңдеудің түбірі болатын болды. (91) системаны еске алсақ, онда
ax2+βx+λ=ak2+βk+λu2+αl2+βl+γu+12,
ax2+bx+c=ak2+bk+cu2+αl2+bl+cu+12,
px+q=pk+qu+pl+qu+1,
dx=k-lu+12du.
Міне, енді осы кейінгі өрнектердің барлығын IХ интегралға апарып қойып, сонан кейін біраз ықшамдасақ, сонда
... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Курстық жұмыс
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
1 Иррационал функцияларды интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.1 Абель тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
1.2 Биномдық дифференциалды интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
2 Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
Кіріспе
Иррационал функцияларды интегралдауда айнымалыны алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келуге болатын кейбір жағдайларды қарастырамыз. Rx,nxdx түріндегі интегралдар t =nx алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келеді. Қарастырылған интеграл Rx,nax+bcx+d түріндегі интегралдың дербес түрі болады. Мұнда ad !=cb. Осы интегралды t =nax+bcx+d алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келтіруге болады.
Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
Мақсаты: Иррационал функцияларды интегралдау әдістерін талдау.
Міндеті:
- Иррационал функцияларды интегралдаудың теориялық бөлімін қарастыру.
- Иррационал функцияларды интегралдауды есептермен мысалдарда қарастыру.
Зерттеу объектісі: Функцияларды интегралдау
Зерттеу пәні: Иррационал функцияларды интегралдау
Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу
Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлім, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Иррационал функцияларды интегралдау
Рационал функцияларды интегралдау үшін белгілі әдістің барлығын және әдіс қойылған есепті аяғына дейін шығаруға мүмкіндік береді.
Егер интеграл таңбасы ішінде иррационал өрнектер болса, онда тиісті ауыстыруларды қолданып, берілген интегралды рационал функцияның интегралына келтіреміз. Интеграл таңбасы ішіндегі иррационал өрнекті қолайлы ауыстыру арқылы рационал функцияға түрлендіруді берілген интегралды рационалдандыру дейді.
Иррационал функциядан алынған әрбір интегралды рационалдандыру мәселесі әрқашан да іс жүзіне аса бермейді.
Егер α,β,γ,δ -тұрақты сандар, lm,...,rs -рационал сандар, ал R(x,y,...,z),x,y,...,z айнымалылардың рационал функциясы болса, онда рационал ауыстырудың көмегімен келесі интеграл
Rx,ax+βγx+δ1m, ...,ax+βγx+δrs dx (1)
рационал функцияның интегралына келтіріледі. n-мына m,...,s сандардың ең кіші еселігі болсын. Төмендегі ауыстыруды жүргіземіз:
ax+βγx+δ=zn, бұл арадан
x= δzn-βα-γzn=pz, dx=p'(z)dz.
Rρz,zn1m, ...,znrs ρ'zdz.
Осы кейінгі интеграл таңбасы ішінде тұрған өрнек - айнымалы z-тің рационал функциясы болады, өйткені g(z) оның туындысы ρ'(z)- рационал функциялар, n∙1m,..., n∙rs бүтін сандар. Бұл интегралды табу үшін рационал функцияларды интегралдау тақырыбындағы айтылған әдістерді қолданамыз.
Мысал келтірейік:
dxx+3x ,
мынадай z6=x ауыстыру жүргіземіз, сонда
dxx+3x=6z3dz1+z=61-z+z2dz-6dz1+z=6z -3z2+2z3-6ln1+z+C=6x-33x+2x-6ln1+6x +C.
Енді мынадай интегралды қарайық:
Rx,ax2+bx+cdx.
Алдымен, бұл интегралдың дербес түрлерін қарайық:
I. dxax2+bx+c, (a0).
dxax2+bx+c=1adxx2+bax+ca=1adxx+b2a2 -b2-4ac4a2=1a-dx+b2ax+b2a2-b2-4ac4a 2
Енді осы кейінгі интегралға (6) формуланы қолданамыз.
Сонда
dxax2+bx+c=1alnx+b2a+x+b2a2-b2-4ac4 a2+C немесе
dxax2+bx+c=1alnx+b2a+x2+bax+ca+C. (2)
II. dx-ax2+bx+c=1adx-x2+bax+ca=1adxb2+4 ac4a2-x-b2a2=1ad(x-b2a)b2+4ac4a2-x- b2a2
Енді осы теңдіктің оң жағында тұрған интегралға (5) формуланы қолданамыз. Сонда
dx-ax2+bx+c=1aarcsinx-b2a2ab2+4ac+C =1aarcsin2ax-bb2+4ac+C. (3)
III.ax2+bx+cdx=ax2+bax+cadx=ax+b22- b2-4ac 4a2d(x+b2a) .
Бұл теңдіктің оң жағында тұрған интегралға төмендегі формуланы қолданамыз. Сонда
ax2+bx+c=ax+b2a2x2+bax+ca+b2-4ac2∙4 a2lnx+b2a+x2+bax+ca+C==2ax+b4aax2+b x+c+a(b2-4ac)8a2lnx+b2a+x2+bax+ca+C . (4)
IV.-ax2+bx+cdx=a-x2+bax+cadx=ab2+4a c4a2=x-b2a2dx-b2a.
Бұл теңдіктің оң жағында тұрған интегралға (4) формуланы қолданамыз. Сонда
-ax2+bx+c dx=ax-b2a2b2+4ac2∙4a2-x-b2a2+b2+4ac 8a2arcsinx-b2a2ab2+4ac+C=a2ax-b4a-x 2+bax+ca+a(b2+4ac)8a2arcsin2ax-bb3+ 4ac+C. (5)
V. Im=xmdxax2+bx+c m=1
Келтірілген интегралды табу үшін келесі туындыны іздейміз:
xm-1Rx'
=2m-1xm-2ax2+bx+c+xm-12ax+b2ax2+bx+ c=maxmax2+bx+c+m-12bxm-1ax2+bx+1+m- 1cxm-2ax2+bx+1 , мұнда Rx=ax2+bx+c.
Осы шыққан теңбе-теңдіктің екі жағын интегралдап табамыз:
xm-1ax2+bx+c=malm+m-12blm-1+m-1clm- 2.
m-ге біртіндеп мәндер берейік: m=1, онда
l1=1aax2+bx+c-b2aI0;
егер m=2 болса, онда
l2=14a22ax-3bax2+bx+c+18a23b2-4ac∙l 0.
Содан әрі қарай
Im=Pm-1xax2+bx+1+λI0,
мұнда Pm-1x=αm-1xm-1+αm-2xm-2+...+α1x+α0 коэффициенттері уақытша белгісіз m-1 дәрежелі көпмүше λ да уақытша белгісіз тұрақты сан.
Сонымен,
xmdxax2+bx+c=αm-1xm-1+αm-2xm-2+...+ α1x+α0x
xax2+bx+c+λdxax2+bx+c.
VI. b0xn+b1xn-1+...+bn-1x+bnax2+bx+cdx= cn-1xn-1+cn-2xn-2+...+c1x+c0ax2+bx+ c+βdxax2+bx+c, (6)
(5) және (6) теңдіктерінің оң жақтарында уақытша белгісіз
αm-1, αm-2, ..., α1, α0, λ, cn-1, cn-2,..., c1, c0, β
коэффициенттерді табу үшін осы теңдіктердің екі жақтарынан туынды алып, оның нәтижесінде шыққан өрнектерді ортақ бөлімге келтіріп және одан босатып, теңбе-теңдік құрамыз.
VII. dxx-amax2+bx+c,
бұл интегралды VI интегралға келтіруге болады, ол үшін мынадай x-a=12 ауыстыру жүргіземіз. Сонда
dxx-amax2+bx+c=
= - zm-1dzaα2+bα+cz2+2aα+bz+a. (7)
VIII. dxax2+βax2+c,
мұнда α, β, a, c кез-келген тұрақты сандар. Бұл интегралды табу үшін төмендегі ауыстыруды жасаймыз: ax2+c'=z,
бұл арадан
dx ax2+c = dza-z2, αx2+β=αc-aβz2+a2+βa(a-z2).
Бұдан кейін
dxαx2+βax2+c=dzαc-aβz2+a2β. (8)
IX. px+qdxax2+βx+γax2+bx+c ,
бұл интеграл жөнінде екі жағдай қараймыз.
Бірінші жағдай : квадрат үшмүшелердегі коэффициенттер α, β, a,b өзара пропорционал, яғни
αa=βb = h.
Бұл жағдайда қаралып отырған интегралды мына сияқты
pdxαx2+βax2+c, pxdxαx2+βax2+c
интегралдарға келтіруге болады. Ол үшін төмендегі ауыстыруды жүргіземіз:
ax2+bx+c'=u,
бұл арадан
ax2+bx+c=u2-b2-4ac4a,
ax2+βx+λ=hu2-b2-4ac+4ay-4ach4a,
px+qdx=pu-bp+2aq4adu.
Бұдан кейін
(px+q)dx ax2+βx+λax2+bx+c = 2a
pu+qdxhu2-hb2+4ahc+4ay-4ahcu2-b2-4a c. (9)
(9) теңдіктің оң жағында тұрған интегралды екі интегралға айырып жазуға болады және мұнда бірінші интегралдың алымында бір дәрежелі "u" бар, сондықтан ол интегралды мынадай u2-b2-4ac=t ауыстыруды көмегімен интегралданады; екінші интеграл- қарастырылған IX интеграл.
Екінші жағдай: коэффициенттер α, β және a, b пропорционал емес. Бұл жолы мынадай x=ku+1u-1 ауыстыру жүргіземіз, мұнда k, l- әзірше белгісіз, тұрақты сандар. Осы жүргізіліп отырған ауыстырудан табамыз:
ax2+βx+λ=ak2+βk+λu2+2alk+βk+βl+2γu+ αl2+βl+γu+12;
ax2+bx+c=ak2+bk+cu2+2alk+bk+bl+2cu+ αl2+bl+cu+12
k,l сандарын сайлап алу өз қолымызда болғандықтан, оларды келесі теңдеулер системасы
2alk+βk+βl+2γ=0,
2alk+bk+bl+2c=0, (91)
орындалатындай етіп алайық. Мына анықтауыш αb-aβ!=0 деп ұйғарайық, сонда 9' системадан табамыз:
l+k=2aγ-acαb-aβ, lk=cβ-bγαb-aβ,
Сөйтіп, l және k бір тиісті квадрат теңдеудің түбірі болатын болды. (91) системаны еске алсақ, онда
ax2+βx+λ=ak2+βk+λu2+αl2+βl+γu+12,
ax2+bx+c=ak2+bk+cu2+αl2+bl+cu+12,
px+q=pk+qu+pl+qu+1,
dx=k-lu+12du.
Міне, енді осы кейінгі өрнектердің барлығын IХ интегралға апарып қойып, сонан кейін біраз ықшамдасақ, сонда
... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz