Меншіксіз интегралдар туралы

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1 Меншіксіз интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
1.1Шектері шексіз интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1.2 Меншіксіз интегралдардың жинақтылық белгілері ... ... ... ... ... ... ..13
2 Шектелмеген функциялардан алынған интегралдың жинақтылық белгілері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
2.1 Шектелмеген функциялардан алынған интегралдар ... ... ... ... ... .. 22
2.2 Шектелмеген функциялардан алынған интегралдың жинақтылық белгілері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
3 Меншіксіз интегралдардың бас мәндері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 33
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 37
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 38

Зерттеудің өзектілігі:курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
Мақсаты:Меншіксіз интегралдар теориясын талдау.
Міндеті:
-Меншіксіз интегралдар теориялық бөлігін қарастыру.
-Меншіксіз интегралдар теориясының практикалық қолданылуын құрастыру.
Зерттеу объектісі: Функцияларды интегралдау
Зерттеу пәні:Меншіксіз интеграл
Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу
Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық жұмыс, қорытынды жәнеқолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1. Темірғалиев Н.Т. Математикалық анализ 1,2,3-том. Алматы 1977 ж

2. О.А.Жәутіков. «Математикалық анализ курсы» , Алматы, «Экономика» баспасы, 2014 жыл.
3. Әубәкір С.Б. Жоғары математика. 1-2 бөлім. – Алматы, ҚАЗҰУ, 2000 ж.
4. Қасымов Қ., Қасымов Е. Жоғары математика курсы. –Алматы, Санат, 1994ж.
5. Қабдықайыров Қ. Жоғарыматематика.-Алматы, РБК, 1993

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 25 бет
Таңдаулыға:

Меншіксіз интегралдар

Курстық жұмыс

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
1 Меншіксіз интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1.1 Шектері шексіз интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1.2 Меншіксіз интегралдардың жинақтылық белгілері ... ... ... ... ... ... ..13
2 Шектелмеген функциялардан алынған интегралдың жинақтылық белгілері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
2.1 Шектелмеген функциялардан алынған интегралдар ... ... ... ... ... .. 22
2.2 Шектелмеген функциялардан алынған интегралдың жинақтылық белгілері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
3 Меншіксіз интегралдардың бас мәндері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 33
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 37
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 38

Кіріспе

Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
Мақсаты: Меншіксіз интегралдар теориясын талдау.
Міндеті:
-Меншіксіз интегралдар теориялық бөлігін қарастыру.
-Меншіксіз интегралдар теориясының практикалық қолданылуын құрастыру.
Зерттеу объектісі: Функцияларды интегралдау
Зерттеу пәні: Меншіксіз интеграл
Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу
Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық жұмыс, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1.Меншіксіз интегралдар
1.1. Шектері шексіз интегралдар
Айталық, функция f(x) , (a,infinity) аралығында анықталған және осы аралықтың кез келген бөлігі (a,l) аралығында интегралданатын болсын. Сонымен, біз келесі интегралды
I=alfxdx (la)
қараймыз.
Егер l-дің шексіз өсуімен бірге, осы қарастырып отырған интеграл бір тиянақты шекке ұмтылса, онда f(x) функцисын a-дан infinity-ке дейін интегралданатын функция деп атайды. Сөйтіп, анықтауымыз бойынша
ainfinityfxdx=liml--infinityalfxdx . (1)
Егер (1) теңдіктің оң жағында тұрған шек бар болатын болса, онда мына интегралды
ainfinityf(x)dx
жинақты интеграл деп атайды.
Егер l шексіздікке ұмтылғанда интеграл І ешбір тиянақты шекке ұмтылмаса немесе абсолют шамасы бойынша шексіз өссе, онда мына интегралдың
ainfinityf(x)dx
мағынасы болмайды және бұл жағдайда интегралды жинақсыз интеграл деп атайды.
Мына төмендегі интегралдар да
-infinitybf(x)dx және -infinityinfinityf(x)dx
жоғарыдағыша анықталады. Бұл екі интегралдың кейінгісін былай анықтауға да болады:
liml1--infinityl2--+infinityl1l2f (x)dx=-infinityinfinityf(x)dx.
Алғашқы F(x) функциясы бар, f(x) функциясы үшін интеграл
ainfinityf(x)dx
кәдімгі анықталған интеграл қалай есептелініп шығарылса, ол да солай шығарылады, яғни
ainfinityf(x)dx=F(x)ainfinity= F(infinity) -F(a), (2)
F(infinity)=lim l--infinityF(l).
Шынында анықтама бойынша
ainfinityf(x)dx=liml--infinityalf( x)dx=liml--infinityFl-Fa=liml--in finityF(l)-F(a)=F(x)
1-мысал.
0infinitydx1+x2=arctgxinfinitya=PI2 .
2-мысал.
1infinitydxx2=1.
3-мысал.
1infinity1x1+1x4dx.
lim1l1x1+1x4dx=lim1ldxx=liml--inf initylnl=infinity
Сөйтіп, интеграл
0infinity1x1+1x4dx
жинақсыз.
Шексіз аралықта анықталған немесе шекті аралықтың кейбір нүктелерінде берілген функция шексіздікке айналатын интегралдар меншіксіз интегралдар деп аталады.
Меншіксіз интегралдарға келтірілетін физиканың кейбір мәселелерін қарайық.
4-мысал. Координаталардың бас нүктесінде массасы m-ге тең бір материалды нүкте болсын, осы нүкте Х осінде жатқан, массасы 1-ге тең екінші бір материалды М нүктені өзіне тартсын. Егер осы екі нүктенің бір-бірінен қашықтығы х болса, онда Ньютон заңы бойынша тарту күші F
F=mx2
болады.
Егер М нүктесі Х осінің бойымен x=r-ден шексіздікке дейін қозғалса, онда F күшінің өндіретін жұмысы қандай болады?
Біріншіден F күшінің өндіретін жұмысы теріс таңбалы болады, өйткені күш қозғалысқа қарсы бағытталған.
Екіншіден күштің өндіретін жұмысын қандай формуламен табуды біз білеміз. Міне сол формуланы осы есепке қолданып, мынаны табамыз:
T=-rinfinitymx2dx=infinityx1infinit y=-mx.
Егер М нүктесі, керісінше шексіздіктен x=r-ге дейін жылжитын болса, онда ньютондық тарту күші F оң таңбалы Т=mr жұмыс жүргізген болар еді. Осы шаманы физикада немесе механикада қарастырып отырған күштің М нүктесіндегі потенциалы деп атайды. Бұл шама нүктеде жиналған (қорланған) потенциал энергияның өлшеуі болып табылады.
Алғашқы функцияны білмей-ақ меншіксіз интегралдардың жинақталған туралы біраз белгілерді келтіруге болады.
Одан бұрын біз бір көмекші теоремаға тоқтап кетейік.
Лемма: Айнымалы х мына +infinity=-ке ұмтылғанда функция F(x) бір тиянақты шекке ұмтылу үшін р мен q сандары бір-біріне тәуелсіз шексіздікке ұмтылғанда мына F(p)- F(q) айырманың нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті.
Бұл лемманы екінші түрде былай тұжырымдауға болады:
Функция F(x) бір тиянақты шекке ұмтылу үшін алдын ала берілген оң мейлінше аз ε санына сәйкес N саны табылып, осы N санынан артық р және q сандары (p, q=N) үшін келесі теңсіздіктің:
F(p) - F(q)ε (3)
орындалуы қажетті және жеткілікті.
Алдымен леммадағы айтылған шарттың қажеттілігін дәлелдейік. Ол үшін аргумент х мына +infinity=-ке ұмтылғанда, функция F(x) тиянақты L санына ұмтылады деп ұйғарайық, яғни
limx--+infinityF(x)=L,
немесе бәрібір алдын ала берілген оң ε санына сәйкес N саны табылып, осы N -нен артық барлық х-тер үшін келесі теңсіздік орындалады
F(x)-Lε2.
Айталық, p және q мына N санынан артық кез келген сандар болсын, онда кейінгі теңсіздік бойынша:
F(p)-Lε2, (4)
F(q)-Lε2.
Келесі теңбе- теңдікті құрайық:
F(p) - F(q) = F(p) - L+L-F(q).
Бұл арадан
F(p)-F(q)=F(p)-L+L-F(q).
(4) теңсіздіктерді еске алсақ,
F(p)-F(q)ε2+ε2=ε.
Сонымен (3) теңсіздік келіп шықты, былайша айтқанда, леммадағы шарттың қажеттілігі дәлелденді.
Енді бұл шарттың жеткіліктілігін дәлелдейік. Ол үшін келесі
F(a),F(a+1), F(a+2), ... , F(a+n), ... (5)
тізбекті қарастырайық (мұнда n- оң бүтін сан) және мұнымен бірге (3) теңсіздік орындалады деп есептейік. Сол себептен егер a+n мына N санынан артық болса, яғни a+n=N, онда кез келген оң бүтін k саны үшін төмендегі теңсіздік
F(a+n+k)-F(a+n)ε2 (6)
орындалады. Ендеше (5) тізбек үшін Коши критерийі орындалатын болды. Демек,
limn--infinityF(a+n)=L. (7)
Мынадай x=a+nx-1 теңсіздікті қанағаттандыратын кез келген х-ті және оң бүтін n санын қарастырайық та, олардың осы мәндері үшін келесі
F(x)-L=F(x)-F(a+n)+F(a+n)-L (8)
тепе-теңдікті құрайық.
Егер айнымалы х шексіз өссе, a+n де шексіз өседі және (6) теңсіздік, (7) теңдік бойынша (8) теңдіктің оң жағындағы екі айырма нольге ұмтылады. Олай болса,
limx--infinityF(x)-L=0
немесе
limx--infinityF(x)=L.
Дәл осы сияқты етіп келесі салдарды дәлелдеуге болады:
Егер айнымалы x өзінен кіші a санына ұмтылғанда функция F(x) бір тиянақты шекке ұмтылу үшін, p мен q сандары өздерінен кіші а санына бір-біріне тәуелсіз ұмтылғанда мына F(p)-F(q) айырманың нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті.
Енді мәселе мына функция
I(l)=alf(x)dx (la)
аргумент l шексіздікке ұмтылғанда тиянақты шекке ұмтыла ма,міне соны білуде. Жоғарыда айтылған лемма бойынша бұл функцияның тиянақты шегі болу үшін төмендегі
I(p)-I(q)=apf(x)dx-aqf(x)dx=qpf(x)d x
айырманың, p мен q бір-біріне тәуелсіз шексіздікке ұмтылғанда нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті. Осы тұжырымдалған теореманы
qinfinityf(x)dx
меншіксіз интегралдың жинақтылығының белгісі немесе критерийі дейді.
Теорема. Егер мына
ainfinityf(x)dx
меншіксіз интегралжинақты болса онда мына
ainfinityf(x)dx
меншіксіз интеграл да жинақты болады. Керісінше қорытынды кейде дұрыс болмайды.
Бұл теореманы дәлелдеу қиын емес. Шынында, егер р саны q-ден артық болса, онда анықталған интегралдың қасиеті бойынша
qpf(x)dx=qpf(x)dx.
Меншіксіз интеграл
ainfinityf(x)dx
жинақты болғандықтан, кейінгі теңсіздіктің сол жағы жинақтылық белгісі бойынша нольге ұмтылады. Олай болса, бұл теңсіздіктің сол жағы да нольге ұмтылады. Демек, меншіксіз интеграл
ainfinityf(x)dx
жинақты. Интеграл
ainfinityf(x)dx
жинақты болғанымен, абсолют жинақты болмауы мүмкін деп біз жоғарыда айттық. Міне, осы жағдайды көрсету үшін төмендегі мысалды қарастырайық.
Мысал.
PI2infinitysinxxdx.
Егер х шектеусіз өссе sinx біресе оң, біресе теріс мәндерді қабылдайды.
Алдымен осы интегралдың жинақтылығын дәлелдейік.
Егер мына интегралды
PI2lsinxx
бөліпшелеп интегралдасақ, онда төмендегі нәтижеге келеміз:
PI2lsinxx=-cosll-PI2lcosxx2dx,
бұл арадан шекке көшсек,
PI2infinitysinxx-PI2infinitycosxx2d x. (9)
(9) теңдіктің оң жағында тұрған интеграл абсолют жинақты өйткені
PI2lcosxx2dxPI2ldxx2=2PI-1l2PI.
l-дің өсуімен бірге бұл теңсіздіктің сол жағы да өседі; бірақ қаншама өскенімен PI2 санынан асып кетпейді;олай болса,мына интегралдың
PI2lcosxx2dx
тиянақты шегі бар:
limPI2lcosxx2dx,
яғни меншіксіз интеграл
PI2infinitycosxx2dx
абсолют жинақты.Сондықтан да қарастырып отырған интеграл
PI2infinitysinxxdx
жинақты.
Енді осы интегралдың абсолют жинақты емес екенін дәлелдеу керек.Ол үшін мына
PI2infinitysinxx2dx
меншіксіз интегралдың жинақсыз екенін дәлелдеу керек.
Мынадай интегралды
PI2(2n+1)PI2+PI4sinxxdx
қарайық:
PI2(2n+1)PI2+PI4sinxxdxPI2PI2+PI4s inxxdx+3PI23PI2+PI4sinxxdx+.. .+(2n+1)PI2(2n+1)PI2+PI4sinxxdx.
Бұл арадан
PI22n+1PI2+PI4sinxxdxPI4221PI2+PI4 +13PI2+PI4+ ... +12n+11PI2+PI4= =2213+17+...+14n+32214+18+...+14n+ 4 =281+12+...+1n+1.
Егер п шексіздікке ұмтылса, кейінгі теңсіздіктің оң жағы шексіз өседі,олай болса, теңсіздіктің сол жағы да шексіз өседі.Сонымен,
liml--infinityPI2lsinxxdx=infinity .
Интеграл
PI2infinitysinxxdx
жинақсыз.

1.2.Меншіксіз интегралдардың жинақтылық белгілері
Егер біз функцияны шексіз (a,infinity) интервалда қарайтын болсақ, онда функцияны бұл интервалдың кез келген [a,l] шекті бөлігінде интегралданады деп ұйғарамыз. Мәселе интегралдың шексіз (a,infinity) аралықта болу-болмауында.
1-теорема. f(x) және φ(x) мына х=а теңсіздікті қанағаттандыратын х-тің барлық мәндері үшін анықталған және f(x) = φ(x) теңсіздікті қанағаттандыратын оң таңбалы функциялар болсын; сонда мына интегралдың
ainfinityφxdx
жинақталған мына
ainfinityfxdx
интегралдың жинақтылығы туады немесе бәрібір мына интегралдың
ainfinityfxdx
жинақсыздығы келіп шығады.
Бұл теореманы дәлелдеу оп-оңай:
Il=afxdx=aφxdx=ainfinityφxdx.
l-дің шексіз өсуімен байланысты функция I(l) өседі, бірақ қаншама өскнімен тұрақты
ainfinityφxdx.
санынан асып кетпейді. Олай болса, l шексіздікке ұмтылғанда, функция I(l) бір тиянақты шекке ұмтылады, бұл жағдай мына интегралдың
ainfinityfxdx
жинақтылығын көрсетеді.
Дәлелденген теоремадан мына салдар шығады:Егер
limx--infinityf(x)φ(x)=c 01=+infinity,
онда мына интеграл
ainfinityφxdx.
жинақты болса, мына интеграл да
ainfinityfxdx
жинақты болады, ал бірінші интеграл жинақсыз болса, онда екінші интегралда жинақсыз болады.
Шынында, егер φx- интегралданатын және с+infinity болса, онда қандай болмасын ε0 x-тің аса үлкен мәндері үшін салдардың шыртынан f(x)φx немесе fx(c+ε)φx шығады.
Бұл арадан жаңағы мұның алдында болған теореманың шарттарын қанағаттандыратын функциялар fx және (c+ε)φx келіп шығатын болды.
Енді мына функцияны 1xα қарайық. Дәреже көрсеткіш α-ны оң деп есептейміз. Мәселен, мынада α-ның қандай мәндерінде меншіксіз интеграл
αinfinitydxxα (a0)
жинақты болады
α!=1 деп ұйғарамыз да, төмендегі интегралды есептеп шығарамыз:
aldxxα=11-αx1-αla=11-αl1-α-a1-α.
Бұл жерден былай деп қорытынды жасауға болады: егер α1 болса, онда зерттелініп отырған интеграл жинақты және оның мәні тең 11-αx1-α, ал егер α=1 болса, онда интеграл
αinfinitydxxα
жинақсыз болады.
Енді мына меншіксіз
ainfinityfxdx
интегралдың жинақтылық бнлгісіне көшейік.
2-теорема.Айнымалы х-тің аса үлкен мәндері үшін функция fx мына түрде болсын:
fx=g(x)xα α0.
Онда, егер α1 және gx=c+infinity болса, интеграл
ainfinityfxdx
жинақты болады; егер α=1 және gx=с0 болса, интеграл
ainfinityfxdx
жинақсыз болады.
Бұл теореманы дәлелдеу үшін бірінші теоремаға сүйенеміз.
3-теорема. Егер х шексіздікке ұмтылғанда, функция fx мына 1x функциямен салыстырғанда реті α-дей шексіз аз болса, онда
ainfinityfxdx
интегралдың жинақтылығы немесе жинақсыздығы α бірден артық па немесе бірден кем бе, я оған тең бе, соған байланысты.
Бұл теореманы дәлелдеу үшін салдарға сүйенеміз: φx функцияның ролін мына функция 1xα атқарады.
Мысал үшін төмендегі екі интегралды
0infinityx321+x2dx, 1infinitydxx1+x4 қарайық,
Егер х шексіздікке ұмтылса, онла интегралдар астында тұрған функциялар нольге ұмтылады, былайша айтқанда, олар шексіз аздар. Бірінші интеграл астындағы функцияның аздық реті 12, екінші интегралдағы функцияның аздық реті 3. Сондықтан бірінші интеграл жинақсыз да, екінші интеграл жинақты.
Егер мынадай интегралды
ainfinityP(x)Q(x)dx
қарайық, мұнда P(x)- дәреже көрсеткіші m-ге тең көпмүше, ал Q(x)- дәреже көрсеткіші n-ге тең көпмүше және nm. Көпмүше Q(x)-тің (α ,infinity) аралығындағы түбірі жоқ деп есептейміз және х-тің аса үлкен міндері үшін интеграл астындағы функция P(x)Q(x) таңбасын өзгертпейді деп ұйғарамыз. Сондықтан бұл интегралға жоғарыда айтылған белгіні қолдануға болады. Интеграл астында тұрған функция P(x)Q(x), айнымалы х-тің аса үлкен мәндері үшін, реті n-m шексіз аз болып табылады. Олай болса, интеграл
ainfinityP(x)Q(x)dx
егер n=m+2 болса, жинақты болады,егер n=m+1 болса, жинақсыз болады.
Егер (α ,infinity) аралығында fx функцияның таңбасы өзгеріп отыратын болса, онда жоғарыда келтірілген белгілерді бірден қолдануға болмайды. Бірақ, дегенмен осы белгілердің көмегімен, мынадай оң таңбалы fx функциядан, (α ,infinity) аралығында алынған интегралдың жинақтылығын тағайындауға болады.
Егер fx- интегралданатын функция болса, онда fx-те интегралданатын болады. Бұл жағдайда fx-ті абсолют интегралданатын функция деп атайды.
4-теорема. Егер fx , (α ,infinity) аралығында абсолют интегралданатын функция болса,ал gx-бұл арлықта шектелген функция болса,онда олардың көбейтіндісі fxgx-(α ,infinity) аралықта абсолют интегралданатын функция болып табылады.
Бұл теореманы дәлелдеу үшін төмендегі теңсіздікке
fxg(x)=Mf(x)
сүйенеміз.
Теоремадан мынадай салдарлар шығады:
1. Егер айнымалы х-тің аса үлкен мәндері үшін функция fx келесі теңсіздікті
xαfx=L
қанағаттандырса (мұнда α1,L-бір белгілі тұраұты сан), онда интеграл
ainfinityfxdx
абсолют жинақты болады.
2.Егер limxαfx бір тиянақты санға тең болса (мұнда да α1), онда да интеграл
ainfinityfxdx
абсолют жинақты болады.
Егер бұл салдардың шарттары орындалса, онда бірінші салдардың шарттары да орындалғаны.
fx пен g(x)- (α ,infinity) аралықта анықталған функциялар болсын. Мұнда fx жаңағы шексіз аралықтың кез келген a,l бөлңгңнде интегралданатын функция болсын.
5-теорема. Егер мына интеграл
Jl=alfxdx (10)
l-дің шектелген функциясын сипаттайтын болса, яғни
I(l)=alfxdx=K, (11)
мұнда К- тұрақты сан, ал g(x) біркелкі және х шексіздікке ұмтылғанда,нольге ұмтылса, онда интеграл
ainfinityf(x)g(x)dx
жинақты болады.
Анықталған интегралдың орта мәні жөніндегі екінші теоремаға (Бонне теоремасына) сүйеніп төменгі теңдікті табамыз:
ll1fxgxdx=g(l)lξfxdx+g(l1)ξl1fxdx, (12)
мұнда l1la, l=ξ=l1.
Теореманың шарты бойынша
lξfxdx=Iξ-I(l)=2K
ξl1fxdx=2K.
Теоременың шарты бойынша, х шексіздікке ұмтылғанда g(x)--0. Сол себепті алдын ала берілген оң құнарсыз аз ε саны бойынша аса үлкен N саны табылып, х-тің мына xN теңсіздікті қанағаттандыратын барлық мәндері үшін төмендегі теңсіздік
g(x)ε4K
орындалады.Осы теңсіздікті және (13) теңсіздікті еске алып, мынаны табамыз:
ξl1fxgxdx=g(l)lξfxdx+ g(l1)ξl1fxdxξ4K∙2K+ξ4K∙2K=ε
Бұл теңсіздіктің ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.