Рационал функцияларды интегралдау

Рационал функцияларды интегралдау

Курстық жұмыс

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

1. Рационал функцияларды интегралдау . . . 4

1. 1. Қарапайым бөлшектерді интегралдау . . . 4

1. 2. Рационалды функцияларды Остроградский әдісі бойынша

интегралдау . . . 7

2. Рационал функцияларды интегралдау есептер мен мысалдар . . . 11

Қорытынды . . . 14

Қолданылған әдебиеттер тізімі . . . 15

Кіріспе

Рационал функция - х айнымалысы мен тұрақты шамаларға саны шекті арифметикалық амалдарды ( қосу, азайту, көбейту, бөлу) қолданғаннан пайда болған функция. Рационал функцияның жалпы түрі мынадай:

мұндағы a0, a1, an, b0, b1, bm ( a0-0, b0-0 ) - тұрақтылар, ал n мен m - оң бүтін сандар. Рационал функция бөлшектің бөлімі нөлге айналмайтын нүктелердің бәрінде анықталған. m=0 болған жағдайда R(x) функциясы бүтін Рационал функция немесе көпмүше деп аталады. Ал кез келген Рационал функция көпмүшеліктердің қатынасы ретінде де қарастырылады. Рационал функцияны дифференциалдау мен интегралдау амалдары оңай орындалады, Рационал функцияның туындысы да Рационал функция болады. Рационал функцияның интегралы әр уақытта элементар функциялар арқылы өрнектеледі. Рационал функция - алгебр. функцияның дербес жағдайы. Бірнеше айнымалылардың Рационал функциясы алымы мен бөлімі бірнеше айнымалылардың көпмүшелігі болатын бөлшек ретінде анықталады.

Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.

Мақсаты: Рационал функцияларды интегралдау әдістерін талдау.

Міндеті:

- Рационал функцияларды интегралдаудың теориялық бөлімін қарастыру.

- Рационал функцияларды интегралдауды есептермен мысалдарда қарастыру.

Зерттеу объектісі: Функцияларды интегралдау

Зерттеу пәні: Рационал функцияларды интегралдау

Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу

Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлім, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1. Рационал функцияларды интегралдау

1. 1Қарапайым бөлшектерді интегралдау

$\frac{f(x) }{g(x) }$ - рационал функцияны қарайық, мұнда $f(x)$ және $g(x)$ - көпмүшелер. Айталық, $g(x)$ көпмүшенің дәреже көрсеткіші $f(x)$ - көпмүшенің дәреже көрсеткішінен артық, былайша, бөлшек - дұрыс бөлшек. Егер $f(x)$ - көпмүшенің дәрежесі, $g(x)$ көпмүшенің дәрежесінен артық болса, онда көпмүшені көпмүшеге бөлеміз және сонда бөлінді $\frac{f(x) }{g(x) }$ бүтін бөлікке және дұрыс бөлшекке жіктеледі.

Енді осы рационал функцияның интегралын қарайық:

$$\int_{}^{}{\frac{f(x) }{g(x) }dx. }$$

Әрбір $g(x)$ көпмүшені бірінші және екінші дәрежелі көбейткіштердің көбейтіндісіне жіктеп жазуға болады, яғни

$g(x) = \left( x - a) ^{k} \right) \left( x - b) ^{l} \right) \ldots(x^{2} + px + q) ^{m}(x^{2} + rx + s) ^{n}$ , 18

Мұнда дәреже көрсеткіштері k, l, m, n - оң бүтін сандар, олардың қосындысы $g(x)$ көпмүшенің бас мүшесінің дәреже көрсеткішіне тең.

Бұл теорема жоғарғы алгебра пәнінен белгілі. Егер 18 теңдік орындалса, онда

$\frac{f(x) }{g(x) } = \frac{A_{1}}{x - a} + \frac{A_{2}}{(x - {a) }^{2}} + \ldots + \frac{A_{k}}{(x - {a) }^{k}} + \frac{B_{1}}{x - b} + \frac{B_{2}}{(x - {b) }^{2}} + \ldots + \frac{B_{k}}{(x - {b) }^{k}} + \ldots + \frac{p_{1}x + q_{1}}{x^{2} + px + q} + \frac{p_{2}x + q_{2}}{(x^{2} + px + q) ^{2}} + \ldots + \frac{p_{m}x + q_{m}}{(x^{2} + px + q) ^{m}} + \frac{r_{1}x + s_{1}}{x^{2} + rx + s} + \frac{r_{2}x + s_{2}}{(x^{2} + rx + s) ^{2}} + \ldots + \frac{r_{n}x + s_{n}}{(x^{2} + rx + s) ^{n}},$ 19

Мұнда А _1, А ₂ , … А _k B ₁ , B ₂ , … B _l p ₁ , p ₂ , … p _m , q ₁ , r ₁ , s ₁ … q _m , r _k , s _n , - белгісіз, табуға жататын коэфиценттер.

Белгісіз коэфиценттерді табу үшін 19 теңбе - теңдіктің екі жағын ортақ бөлімнен босатып жібереміз де, екі жағында тұрған көпмүшелердегі бірдей дәрежелі $x$ -тердің коэфиценттерін бір-бірімен салыстырып, коэфиценттер бойынша теңдеулер системасын құрамыз. Осы теңдеулер системасын табылған коэфиценттердің мәндерін 19 теңдікке апарып қойып, ол теңдіктің екі жағын интегралдаймыз.

19 теңдіктің оң жағында тұрған функцияларды қалай интегралдауды білеміз.

Енді осы айтылғандырды мысал жүзінде көрсетейік.

1. ∫dxx4+1=∫dx(x2+1) 2−2x2=dx(x2−x2+1) (x2+x2+1) ; \int_{}^{}\frac{dx}{x^{4} + 1} = \int_{}^{}\frac{dx}{{(x}^{2} + 1) ^{2} - 2x^{2}} = \frac{dx}{{(x}^{2} - x\sqrt{2} + 1) {(x}^{2} + x\sqrt{2} + 1) };

$\frac{1}{{(x}^{2} - x\sqrt{2} + 1) {(x}^{2} + x\sqrt{2} + 1) } = \frac{Ax + B}{{(x}^{2} - x\sqrt{2} + 1) }$ + $\frac{Cx + D}{{(x}^{2} + x\sqrt{2} + 1) };$

1= $\ (Ax + B) (\ x^{2} + x\sqrt{2} + 1) {+ (Cx + D) (x}^{2} - x\sqrt{2} + 1) ;$

1=A $x^{2} + A\sqrt{2}x^{2} + Ax + Bx^{2} + Bx\sqrt{2} + b + Cx^{3} - C\sqrt{2}x^{2} + Cx + Dx^{2} - D\sqrt{2}x + D.$

Енді осы кейінгі теңбе - теңдік екі жағында тұрған дәрежелерді бірдей $x -$ тердің коэфиценттерін салыстырып табамыз:

А+С=0

A $\sqrt{2}$ +B $\sqrt{2} -$ C $\sqrt{2\ \ }$ - D $\sqrt{2}$ +B+D=0

A+B $\sqrt{2} +$ C - D $\sqrt{2}$ = 0

B+D=1

Осы теңдеулер системасын шешіп табамыз:

А= - $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ B= $\frac{1}{2}$ C= $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ D= $\frac{1}{2}$

Бұдан кейін

$\frac{1}{{(x}^{2} - x\sqrt{2} + 1) {(x}^{2} + x\sqrt{2} + 1) } = \frac{- \ \frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{2}}{{(x}^{2} - x\sqrt{2} + 1) }$ + $\frac{\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2}}{{(x}^{2} + x\sqrt{2} + 1) }$ ,

$\int_{}^{}\frac{dx}{x^{4} + 1} = \int_{}^{}\frac{dx}{{(x}^{2} + 1) ^{2} - 2x^{2}} = \frac{dx}{{(x}^{2} - x\sqrt{2} + 1) {(x}^{2} + x\sqrt{2} + 1) } = \frac{1}{2\sqrt{2}}\int_{}^{}{\frac{x + \sqrt{2}}{x^{2} + x\sqrt{2} - 1}dx -}\frac{1}{2\sqrt{2}}\int_{}^{}{\frac{x - \sqrt{2}}{{(x}^{2} - x\sqrt{2} + 1}dx. }$ (20)

(20) теңдіктің оң жағында тұрған интегралдарды табу жолы жоғарыда көрсетілді.

Міне, енді сол жолды әрқайсысына жеке-жеке қолданыңыз:

$$\int_{}^{}\frac{x + \sqrt{2}}{x^{2} + x\sqrt{2} + 1}dx\ \ \ \ \ \ = \frac{1}{2}\int_{}^{}{\frac{x + \sqrt{2}}{{(x}^{2} + x\sqrt{2} + 1}dx =}\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x + \sqrt{2}}{x^{2} + x\sqrt{2} + 1}dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \frac{\sqrt{2}}{2}\int_{}^{}{\frac{2x + \sqrt{2}}{{(x}^{2} + x\sqrt{2} + 1) }dx = \frac{1}{2}\ln{{(x}^{2} + x\sqrt{2} + 1) +}}\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{}^{}{\frac{d\left( x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) }{(x + \frac{\sqrt{2}}{2}) ^{2} + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\ln{{(x}^{2} + x\sqrt{2} + 1) +}}\frac{1}{\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{2}}{1}arctg\frac{\left( x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \sqrt{2}}{1}.$$

Енді осы теңдіктің оң жағын 20 теңдіктің оң жағындағы бірінші интегралдың орнына апарып қояйық. Сонда

$\int_{}^{}\frac{dx}{x^{4} + 1}$ = $\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln{{(x}^{2} + x\sqrt{2} + 1) +}\frac{1}{2\sqrt{2}}$ arctg $\frac{\left( x\sqrt{2} + 1 \right) }{1} - \frac{1}{2\sqrt{2}}\int_{}^{}\frac{x - \sqrt{2}}{x^{2} - x\sqrt{2} + 1}dx$ (21)

Енді 21 теңдіктің оң жағындағы интегралды жеке алайық :

$$\int_{}^{}\frac{x - \sqrt{2}}{x^{2} - x\sqrt{2} + 1}dx = \ \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x - 2\sqrt{2}}{x^{2} - x\sqrt{2} + 1}dx = \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x - \sqrt{2}}{x^{2} - x\sqrt{2} + 1}dx - \frac{1}{2}\int_{}^{}{\frac{dx}{x^{2} - x\sqrt{2} + 1} =}\frac{1}{2}\ln{{(x}^{2} - x\sqrt{2} + 1) - \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{}^{}{\frac{d\left( x - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) }{(x - \frac{\sqrt{2}}{2}) ^{2} + \frac{1}{2}} =}}\frac{1}{2}\ln{{(x}^{2} - x\sqrt{2} + 1) - arctg}\left( x\sqrt{2} - 1 \right) .$$

Осы теңдіктің оң жағына 21 теңдіктің оң жағында тұрған интегралдың орнына апарып қойып табамыз:

$$\int_{}^{}\frac{dx}{x^{4} + 1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln{\sqrt{\frac{x^{2} + x\sqrt{2} + 1}{x^{2} - x\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{2\sqrt{2}}arctg}\frac{x\sqrt{2}}{1 - x^{2}}} + C.$$

Бұл парграфтың қорытындысында айтып кететін мәселе мынау: рационал бөлшектерді жабайы бөлшектер қосындысына жіктеп рационал функциялардың интегралдарын табуды іс жүзінде асыруға болады, бірақ бұл мәселе жоғары дәрежелі алгебралық теңдеулерді шешумен байланысты, өйткені 18 формуланы білу үшін, мына $g(x) = 0$ теңдеудің түбірлерін табу керек. Міне, жоғарыдағы баяндалған тәсілдің негізгі кемшілігі осында. Мысалы $\int_{}^{}\frac{4х^{9} + 21х^{6} + 2х^{3} + 3х^{2} - 3}{{(x}^{7} - x + 1) ^{2}}$ dx интегралды бұл жолмен шығара алмаймыз.

Егер $f(x) -$ элементар функция болса, оның интегралы да элементар функция бола ала ма ? -деген сұрақ туады.

Рационал функцияның интегралы болып табылады. Бұдан басқа элементар функциялардың интегралдары элементар функциялар болуы да, болмауыда мүмкін.

Мәселен, мына сияқты интеграл:

$\int_{}^{}\frac{sinx}{x}dx, \int_{}^{}\frac{cosx}{x}dx, \int_{}^{}e^{- x^{2}}dx, \int_{}^{}{\sin{(x}^{2}) }dx, \int_{}^{}{\cos{(x}^{2}) }dx, \int_{}^{}\frac{dx}{lnx}$ т. т.

Элементар функциялар арқылы өрнектелмейтіні әлдеқашан зерттелген. Бұл интегралды «алынбайтын» интегралдар деп атайды. Бірақ тырнақшаның ішіне алынған терминді жаңағы келтірілген интегралдар мүлдем жоқ деген мағынада түсінбеу керек. Бұл интегралдардың бар болатындыңын және олардың мәндері тиянақты функциялар болатынын келесі тараулардан көрерсіздер.

1. 2. Рационалды функцияларды Остроградский әдісі бойынша интегралдау

Рационалды функцияларды интегралдау проблемасының ең маңызды мәселелерінің бірін шешкен орыс халқының атақты математигі Остроградский.

Рационал функциядан алынған интегралдың рационал бөлігін, $g(x)$ көпмүшенің түбірлерін білмей-ақ элементар алгебралық амалдардың көмегімен - ақ табуды Остоградский тұңғыш рет көрсетті.

Остоградскийдің бұл әдісін, рационал бөлшектен алынған интегралдың рационал бөлігін трасйендент бөлігінен айыру деп атайды.

Мына $\frac{f(x) }{g(x) }$ дұрыс бөлшектің интегралын қарайық:

$$\int_{}^{}{\frac{f(x) }{g(x) }dx. }$$

мұнда $\ f(x)$ - және $g(x)$ - көпмүшелер.

Остоградскийдің әдісі бойынша $\int_{}^{}\frac{f(x) }{g(x) }dx = \frac{\varphi(x) }{\psi(x) } + \int_{}^{}\frac{\Phi(x) }{F(x) }dx$ , (22)

мұндағы $\psi(x)$ , $\psi(x)$ , $\Phi(x)$ , $F(x)$ , - көпмүшелер, $\psi(x)$ - мына $g(x)$ пен оның туындысының ортақ ең үлкен бөлгіші, $F(x)$ мына $g(x)$ -ті $\psi(x)$ бөлгендегі шығатын бөлінді. Егер $\psi(x)$ көпмүшенің дәреже көрсеткіші p болса, онда $\varphi(x)$ - дәреже көрсеткіші p -1 - ден аспауы керек.

Шынында, егер a, b, … $g(x)$ көпмүшенің еселігі, k, l, … … түбірлері болса, онда (19) теңдік орындалады. Осы (19) теңдіктің екі жағын dx -ке көбейтіп интегралдасақ, онда $\int_{}^{}\frac{f(x) }{g(x) }dx\ = \int_{}^{}\frac{A_{3}}{x - a} - \ldots - \frac{A_{k}}{{(k - 1) (x - a) }^{k - 1}} - \frac{K_{2}}{x - b} - \ldots - \frac{B_{l}}{{(l - 1) (x - b) }^{l - 1}} + \ldots + \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{A_{1}}{x - a} + \frac{B_{1}}{x - b} + \frac{a_{1}x + b_{1}}{x^{2} + px + q} + \ldots + \frac{m_{1}x + n_{1}}{x^{2} + rx + s} \right\rbrack dx. }$

Осы кейінгі теңдіктің оң жағында тұрған интегралдан шығатын нәтижелер трансценденттік функциялар, атап айтқанда, логарифм мен арктангенстер.

Интегралдың сыртында тұрған бөлшектерді қосып, мына түрге келтіреміз: $\frac{\varphi(x) }{\psi(x) }$ . Интеграл таңбасы ішінде тұрған бөлшектерді қосып, олардың мына түрде $\frac{\Phi(x) }{F(x) }$ келтіруге болады.

Сөйтіп, $\int_{}^{}\frac{f(x) }{g(x) }dx = \frac{\varphi(x) }{\psi(x) } + \int_{}^{}\frac{\Phi(x) }{F(x) }dx.$

Бір мысал келтірейік: $\int_{}^{}{\frac{x^{2} + 1}{{x\left( x^{3} + 1 \right) }^{2}}dx. }$

Мұнда $g(x) = {x\left( x^{3} + 1 \right) }^{2},$

$g^{, (x) } = \left( x^{3} + 1 \right) \left( x^{3} + {6x}^{2} + 1 \right) .$ Демек, $\psi(x) = x^{3} + 1,$

$F(x) = \frac{g(x) }{\psi(x) } = \ x\left( x^{3} + 1 \right) . (22)$ формула бойынша $\int_{}^{}{\frac{x^{2} + 1}{{x\left( x^{3} + 1 \right) }^{2}}dx = \ \frac{{Ax}^{2} + Bx + C}{x^{3} + 1}} + \int_{}^{}\frac{A_{1}x^{3} + B_{1}x^{2} + C_{1}x + D_{1}}{x\left( x^{3} + 1 \right) }dx, \$ мұнда A, B, C, ${A_{1}, \ \ B}_{1}, \ \ C_{1}, \ \ D_{1}$ - табуға жататын, әзірше белгісіз коэффиценттер. Оларды табу үшін кейінгі теңдіктің екі жағынан туынды алып, келесі теңбе-теңдікті құрамыз: $x^{2} + 1 = \left( {2Ax}^{2} + Bx \right) \left( x^{3} + 1 \right) - \ {3x}^{3}({Ax}^{2} + Bx + C)$ + $\left( A_{1}x^{3} + B_{1}x^{2} + C_{1}x + D_{1} \right) \left( x^{3} + 1 \right)$ .

Осы теңбе-теңдіктің екі жағындағы бірдей дәрежелі x-тің коэффиценттерін салыстырып табамыз:

$$A_{1} = 0, \ \ B = 0, \ \ C_{1} = 0, \ \ A = \frac{1}{3}, \ \ C = \frac{1}{3}, \ \ B_{1} = \frac{1}{3}, \ \ D_{1} = 1.$$

Ендеше

$\int_{}^{}{\frac{x^{2} + 1}{{x\left( x^{3} + 1 \right) }^{2}}dx = \frac{x^{2} + 1}{3\left( x^{3} + 1 \right) } + \frac{1}{3}\int_{}^{}{\frac{x^{2} + 3}{x\left( x^{3} + 1 \right) } + dx, }}$ (23)

Енді осы (23) теңдіктің оң жағындағы интегралды жеке алайық:

$\int_{}^{}{\frac{x^{2} + 3}{\left( x^{3} + 1 \right) }dx = \int_{}^{}\frac{(x^{2} + 3) dx}{x(x + 1) \left( x^{2} - x + 1 \right) }}$ ,

$\frac{x^{2} + 3}{x(x + 1) \left( x^{2} - x + 1 \right) } = \frac{a}{x} + \frac{\beta}{x + 1} + \frac{\gamma x + \delta}{x^{2} - x + 1}\,$

бұл арадан $x^{2} + 3 = \ a(x + 1) \left( x^{2} - x + 1 \right) + \beta x\left( x^{2} - x + 1 \right) + x(x + 1) (\gamma x + \delta)$ мұнда $\alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta$ - әзірше белгісіз коэффиценттер. Оларды табудың екінші бір жолы былай: теңбе-теңдіктің екі жағындағы x-тің орнына кезкелген сандарды қойып, белгісіз коэффиценттер бойынша теңдеулер системасын құрамыз. Бірақ x- тің орнына интеграл таңбасы ішіндегі бөлшектің бөліміндегі көбейткішткердің түбірлерін қойған өте қолайлы болады.

Мәселен x-т ің орнына нольді қойсақ, онда $\alpha = 3$ ; x- тің орнына -1 -ді қойсақ, онда 4=-3β, бұл арадан $\beta = - \frac{4}{3}$ .

Айталық, $x_{1}$ - мына $x^{2} - x + 1$ квадрат үш мүшенің түбірі болсын $x_{1}^{2} - \left( x_{1} + 1 \right) = 0$ , бұл арадан $x_{1}^{2} = x_{1} - 1$ .

Енді теңбе-теңдіктегі x-тің орнына $x_{1}$ -ді қойсақ, онда

$x_{1}^{2} + 3 = \left( \gamma x_{1}^{2} - {\delta x}_{1} \right) \left( x_{1} + 1 \right)$ . Бұл теңбе-теңдіктің оң жағындағы және сол жағындағы $x_{1}^{2}$ -тың орнына $x_{1} - 1$ -ді қоямыз. Сонда:

$$x_{1} - 1 + 3 = \left( \gamma x_{1} - {\gamma + \delta x}_{1} \right) \left( x_{1} + 1 \right)$$

немесе

$$x_{1} + 2 = \left( \gamma x_{1}^{2} + {\delta x_{1}^{2}}_{} - {\gamma x_{1} + \gamma x_{1} + \delta x}_{1} - \gamma \right)$$

$x_{1} + 2 = \left( \gamma x_{1}^{2} + {\delta x_{1}^{2}}_{}{+ \delta x}_{1} - \gamma \right)$ .

$x_{1}^{2} -$ тағы да ауыстырамыз, сонда

$$x_{1} + 2 = \left( \gamma x_{1} - {\gamma + \delta x}_{1} - \delta + {\delta x}_{1} - \gamma \right)$$

Осы кейінгі теңбе-теңдіктің екі жағындағы бірдей дәрежелі $x_{1} - дің$ коэффиценттерін теңестіріп табамыз:

1= $\ \gamma + 2\delta$

2 = $- \delta - 2\gamma$ , $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \gamma = - \frac{5}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \delta = \frac{4}{3}$

5 = - 3 $\ \gamma$ ,

... жалғасы

Қарапайым рационал бөлшек функцияларды интегралдау

Анықталмаған интеграл және интегралдаудың негізгі әдістері

Рационал функцияларды интегралдау жолдары

Иррационал функцияларды интегралдау

Математикалық талдау

Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру

Еселі интегралдардың қолданулары

Жиындар мен математикалық логика элементтері. Дәрістер жинағы

Айнымалыны алмастыру әдісі

Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс