Рационал функцияларды интегралдау


Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
1.Рационал функцияларды интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.1.Қарапайым бөлшектерді интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
1.2. Рационалды функцияларды Остроградский әдісі бойынша
интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7
2.Рационал функцияларды интегралдау есептер мен мысалдар ... ... ... ... ... .11
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
Рационал функция — х айнымалысы мен тұрақты шамаларға саны шекті арифметикалық амалдарды (қосу, азайту, көбейту, бөлу) қолданғаннан пайда болған функция. Рационал функцияның жалпы түрі мынадай:
мұндағы a0, a1, an, b0, b1, bm (a0-0, b0-0) — тұрақтылар, ал n мен m — оң бүтін сандар. Рационал функция бөлшектің бөлімі нөлге айналмайтын нүктелердің бәрінде анықталған. m=0 болған жағдайда R(x) функциясы бүтін Рационал функция немесе көпмүше деп аталады. Ал кез келген Рационал функция көпмүшеліктердің қатынасы ретінде де қарастырылады. Рационал функцияны дифференциалдау мен интегралдау амалдары оңай орындалады, Рационал функцияның туындысы да Рационал функция болады. Рационал функцияның интегралы әр уақытта элементар функциялар арқылы өрнектеледі. Рационал функция — алгебр. функцияның дербес жағдайы. Бірнеше айнымалылардың Рационал функциясы алымы мен бөлімі бірнеше айнымалылардың көпмүшелігі болатын бөлшек ретінде анықталады.
Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
1. Темірғалиев Н.Т. Математикалық анализ 1,2,3-том. Алматы 1977 ж
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., “Наука”, 1980.
3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, Т.1, М., “Высшая школа”, 1981.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., “Наука”, 1979.
5. Берман Г.Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
6. Әубәкір С.Б. Жоғары математика. 1-2 бөлім. – Алматы, ҚАЗҰУ, 2000 ж.
7. Жәутіков О.А.Математикалық анализ.-Алматы, Ғылым,1961 ж.
8. Қасымов Қ., Қасымов Е. Жоғары математика курсы. –Алматы, Санат, 1994ж.
9. Қабдықайыров Қ. Жоғары математика.-Алматы, РБК, 1993.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 7 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 900 теңге




Рационал функцияларды интегралдау
Курстық жұмыс

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1.Рационал функцияларды интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
1.1.Қарапайым бөлшектерді интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
1.2. Рационалды функцияларды Остроградский әдісі бойынша
интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..7
2. Рационал функцияларды интегралдау есептер мен мысалдар ... ... ... ... ... .11
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15

Кіріспе
Рационал функция -- х айнымалысы мен тұрақты шамаларға саны шекті арифметикалық амалдарды (қосу, азайту, көбейту, бөлу) қолданғаннан пайда болған функция. Рационал функцияның жалпы түрі мынадай:
мұндағы a0, a1, an, b0, b1, bm (a0-0, b0-0) -- тұрақтылар, ал n мен m -- оң бүтін сандар. Рационал функция бөлшектің бөлімі нөлге айналмайтын нүктелердің бәрінде анықталған. m=0 болған жағдайда R(x) функциясы бүтін Рационал функция немесе көпмүше деп аталады. Ал кез келген Рационал функция көпмүшеліктердің қатынасы ретінде де қарастырылады. Рационал функцияны дифференциалдау мен интегралдау амалдары оңай орындалады, Рационал функцияның туындысы да Рационал функция болады. Рационал функцияның интегралы әр уақытта элементар функциялар арқылы өрнектеледі. Рационал функция -- алгебр. функцияның дербес жағдайы. Бірнеше айнымалылардың Рационал функциясы алымы мен бөлімі бірнеше айнымалылардың көпмүшелігі болатын бөлшек ретінде анықталады.
Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
Мақсаты: Рационал функцияларды интегралдау әдістерін талдау.
Міндеті:
- Рационал функцияларды интегралдаудың теориялық бөлімін қарастыру.
- Рационал функцияларды интегралдауды есептермен мысалдарда қарастыру.
Зерттеу объектісі: Функцияларды интегралдау
Зерттеу пәні: Рационал функцияларды интегралдау
Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу
Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлім, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1.Рационал функцияларды интегралдау
1.1Қарапайым бөлшектерді интегралдау
f(x)g(x) - рационал функцияны қарайық, мұнда f(x) және g(x) - көпмүшелер. Айталық, g(x) көпмүшенің дәреже көрсеткіші f(x) - көпмүшенің дәреже көрсеткішінен артық, былайша, бөлшек - дұрыс бөлшек. Егер f(x) - көпмүшенің дәрежесі, g(x) көпмүшенің дәрежесінен артық болса, онда көпмүшені көпмүшеге бөлеміз және сонда бөлінді f(x)g(x) бүтін бөлікке және дұрыс бөлшекке жіктеледі.
Енді осы рационал функцияның интегралын қарайық:
f(x)g(x)dx.
Әрбір g(x) көпмүшені бірінші және екінші дәрежелі көбейткіштердің көбейтіндісіне жіктеп жазуға болады, яғни
gx=x-a)kx-b)l...(x2+px+q)m(x2+rx+s) n , 18
Мұнда дәреже көрсеткіштері k, l, m, n - оң бүтін сандар, олардың қосындысы g(x) көпмүшенің бас мүшесінің дәреже көрсеткішіне тең.
Бұл теорема жоғарғы алгебра пәнінен белгілі. Егер 18 теңдік орындалса, онда
f(x)g(x)=A1x-a+A2(x-a)2+...+Ak(x-a) k+B1x-b+B2(x-b)2+...+Bk(x-b)k+...+p 1x+q1x2+px+q+p2x+q2(x2+px+q)2+...+p mx+qm(x2+px+q)m+r1x+s1x2+rx+s+r2x+s 2(x2+rx+s)2+...+rnx+sn(x2+rx+s)n, 19
Мұнда А1, А2, ... АkB1, B2, ... Blp1, p2, ... pm, q1, r1,s1 ... qm, rk, sn, - белгісіз, табуға жататын коэфиценттер.
Белгісіз коэфиценттерді табу үшін 19 теңбе - теңдіктің екі жағын ортақ бөлімнен босатып жібереміз де, екі жағында тұрған көпмүшелердегі бірдей дәрежелі x-тердің коэфиценттерін бір-бірімен салыстырып, коэфиценттер бойынша теңдеулер системасын құрамыз. Осы теңдеулер системасын табылған коэфиценттердің мәндерін 19 теңдікке апарып қойып, ол теңдіктің екі жағын интегралдаймыз.
19 теңдіктің оң жағында тұрған функцияларды қалай интегралдауды білеміз.
Енді осы айтылғандырды мысал жүзінде көрсетейік.
dxx4+1=dx(x2+1)2-2x2=dx(x2-x2+1)(x2 +x2+1);
1(x2-x2+1)(x2+x2+1)=Ax+B(x2-x2+1)+C x+D(x2+x2+1);
1= (Ax+B)( x2+x2+1)+(Cx+D)(x2-x2+1);
1=Ax2+A2x2+Ax+Bx2+Bx2+b+Cx3-C2x2+Cx +Dx2-D2x+D.
Енді осы кейінгі теңбе - теңдік екі жағында тұрған дәрежелерді бірдей x-тердің коэфиценттерін салыстырып табамыз:
А+С=0
A2+B2-C2 - D2 +B+D=0
A+B2+C - D2=0
B+D=1
Осы теңдеулер системасын шешіп табамыз:
А= - 122B=12C=122D= 12
Бұдан кейін
1(x2-x2+1)(x2+x2+1)=- 122x+12(x2-x2+1)+122+12(x2+x2+1),
dxx4+1=dx(x2+1)2-2x2=dx(x2-x2+1)(x2 +x2+1)=122x+2x2+x2-1dx-122x-2(x2-x2 +1dx.(20)
(20) теңдіктің оң жағында тұрған интегралдарды табу жолы жоғарыда көрсетілді.
Міне, енді сол жолды әрқайсысына жеке-жеке қолданыңыз:
x+2x2+x2+1dx =12x+2(x2+x2+1dx=122x+2x2+x2+1dx +222x+2(x2+x2+1)dx=12ln(x2+x2+1)+12 dx+22(x+22)2+12=12ln(x2+x2+1)+12*21 arctgx+2221.
Енді осы теңдіктің оң жағын 20 теңдіктің оң жағындағы бірінші интегралдың орнына апарып қояйық. Сонда
dxx4+1=142ln(x2+x2+1)+122arctgx2+11 -122x-2x2-x2+1dx (21)
Енді 21 теңдіктің оң жағындағы интегралды жеке алайық :
x-2x2-x2+1dx= 122x-22x2-x2+1dx=122x-2x2-x2+1dx-12 dxx2-x2+1=12ln(x2-x2+1)-12dx-22(x-2 2)2+12=12ln(x2-x2+1)-arctgx2-1.
Осы теңдіктің оң жағына 21 теңдіктің оң жағында тұрған интегралдың орнына апарып қойып табамыз:
dxx4+1=122lnx2+x2+1x2-x2+1+122arctg x21-x2+C.
Бұл парграфтың қорытындысында айтып кететін мәселе мынау: рационал бөлшектерді жабайы бөлшектер қосындысына жіктеп рационал функциялардың интегралдарын табуды іс жүзінде асыруға болады, бірақ бұл мәселе жоғары дәрежелі алгебралық теңдеулерді шешумен байланысты, өйткені 18 формуланы білу үшін, мына gx=0 теңдеудің түбірлерін табу керек. Міне, жоғарыдағы баяндалған тәсілдің негізгі кемшілігі осында. Мысалы 4х9+21х6+2х3+3х2-3(x7-x+1)2dx интегралды бұл жолмен шығара алмаймыз.
Егер fx- элементар функция болса,оның интегралы да элементар функция бола ала ма ? - деген сұрақ туады.
Рационал функцияның интегралы болып табылады. Бұдан басқа элементар функциялардың интегралдары элементар функциялар болуы да, болмауыда мүмкін.
Мәселен, мына сияқты интеграл:
sinxxdx,cosxxdx,e-x2dx,sin(x2)dx,co s(x2)dx,dxlnxт.т.
Элементар функциялар арқылы өрнектелмейтіні әлдеқашан зерттелген. Бұл интегралды алынбайтын интегралдар деп атайды. Бірақ тырнақшаның ішіне алынған терминді жаңағы келтірілген интегралдар мүлдем жоқ деген мағынада түсінбеу керек. Бұл интегралдардың бар болатындыңын және олардың мәндері тиянақты функциялар болатынын келесі тараулардан көрерсіздер.

1.2.Рационалды функцияларды Остроградский әдісі бойынша интегралдау

Рационалды функцияларды ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Рационал бөлшектерді интегралдау
Иррационал функцияларды интегралдау
Элементар функцияларды интегралдау
Рационал сандар. Нақты сандар.
Цилиндрлік функцияларды контурлық интегралдармен өрнектеу
Элементар функцияларды дифференциалдау
Функцияларды салыстыру. Ландау символдары
Толық анықталмаған функцияларды минимизациялау
Анықталған интегралдың қасиеттері мен интегралдау әдістері
Интегралды параметр бойынша дифференциалдау және интегралдау
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь