Эйлерлік графтың кейбір есептерінің теориясы

1. Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2. Негізгі бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

2.1. Граф ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

2.2. Толық граф ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

2.3. Логикалық есептерді граф арқылы есептеу ... ... ... ... ..

2.4 Эйлерлік графтар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

3.Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

4.Пайданылған әдебиет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
"Эйлерлік графтың кейбір есептерінің теориясы" тақырыбы бойынша көптеген нүктелерді жүргізе отырып, әр түрлі фигураларды құрастырамыз. Соның салдарынан "граф" ұғымы пайда болған. "Граф" деп кез-келген нүктелерді, яғни олардың түзумен немесе бағыттауыштармен (стрелка) байланысқаны. Көптеген элементтерді бейнелейтін нүктелерді "граф шыңы" деп атайды. Егер бағыттауыштардың(стрелка) басы мен соңы теңессе, онда оны дәнекер деп атайды.
Граф теориясы математиканың логика, комбинаторика, тағы басқа салаларында қолданылады. Сондықтан бұл тақырыпты мектепте оқыту жалпы білім беретін, мәдениет танытатын, математикалық мән-мағынасы ерекше. Күнделікті өмірде көптеген графикалық иллюстрацияларды, геометриялық елестерді және т.б. көптеген тәсілдер пайдаланылады
Студенттерге әрбір логикалық пікірдің дәмін сезіне білу керек және бұл жерде графтарды қолдану логикаға назарын аударуға көмектеседі. Графтардың түзулері қабырғалары деп, ал нүктелері төбелері деп аталады. Графтардың төбелері тек нүктемен ғана емес, сонымен қатар, дөңгелектермен немесе басқа да фигуралармен берілуі мүмкін.
Студент граф арқылы есеп шығара отырып, өзінің логикасын дамытады. Есептерді граф арқылы шешуді есеп шығару кезінде қолдана білсе, онда олардың пәнге деген қызығушылығы артады.
1. Акентьев В., Со второго взгляда, "Лениздат",1969 ж.
2. Линьков Г.И. , Внеклассная работа по математике , "Просвещение", 1965 ж
3.Нагибин Ф.Ф., Математическая шкатулка, "Просвещение", 1988 ж.
4.Оре О., Графы и их применение, "Мир", 1965 ж.
5.Перельман Я.И., Живая математика, "Наука", 1978 ж.
        
        Мазмұны
1. Кіріспе…………………………………….……………………………....
2. Негізгі бөлім……………………………………………………….……
2.1. Граф……………………………………………………..............
2.2. ... ... ... есептерді граф арқылы есептеу…….……..…
2.4 Эйлерлік графтар………….………………………………....
3.Қорытынды………………………………………………………….……..
4.Пайданылған әдебиет……….………………………………………….....
I. ... ... ... ... ... ... ... нүктелерді жүргізе отырып, әр түрлі фигураларды құрастырамыз.
Соның ... ... ... пайда болған. "Граф" деп кез-келген
нүктелерді, яғни олардың ... ... ... (стрелка)
байланысқаны. Көптеген элементтерді бейнелейтін нүктелерді "граф шыңы" деп
атайды. Егер бағыттауыштардың(стрелка) басы мен соңы ... онда ... деп ... ... математиканың логика, комбинаторика, тағы басқа
салаларында қолданылады. Сондықтан бұл ... ... ... ... ... мәдениет танытатын, математикалық мән-мағынасы ерекше.
Күнделікті өмірде көптеген графикалық ... ... және т.б. ... ... ... әрбір логикалық пікірдің дәмін сезіне білу ... ... ... ... ... ... ... аударуға көмектеседі.
Графтардың түзулері қабырғалары деп, ал нүктелері ... деп ... ... тек нүктемен ғана емес, сонымен ... ... ... да фигуралармен берілуі мүмкін.
Студент граф арқылы есеп шығара ... ... ... ... граф арқылы шешуді есеп шығару кезінде қолдана ... ... ... ... қызығушылығы артады.
II. Негізгі бөлім
2.1 Граф
"Граф" сөзі математикалық ... ... ... ... ұғым. Сонымен
қатар, граф тек қана математикада ғана қолданылып қоймай, тіпті техника
мен күнделікті өмірде де ... ... ... ... ... граф көптеген логикалық есептерді шығаруда көмектеседі.
Графтар ... ... ... ... ... адам ... ... сақтап
алуы үшін де қолданылады.
Логикалық есептер адамның ойлау қабілеттігін арттырады.
Оқушыларға әрбір логикалық ... ... ... білу ... және ... графтарды қолдану логикаға назарын аударуға көмектеседі. Графтардың
түзулері қабырғалары деп, ал нүктелері төбелері деп ... ... тек ... ғана ... сонымен қатар, дөңгелектермен немесе
басқа да фигуралармен ... ... ... ... ... ... тағы ... қолданылады. Сондықтан бұл тақырыпты мектепте ... ... ... ... танытатын, математикалық мән-мағынасы ... ... ... ... ... ... және т.б. көптеген тәсілдер пайдаланылады
Кенигсберг көпірі жайындағы есепті алғаш рет Л.Эйлер (1707-1783) графтар
теориясы арқылы қарастырды. ... 100 жыл ... соң ... Англияда
жаратылыстану ғылымының барынша әр түрлі формадағы саласында гарфтар
теориясы қолданыла бастады. Электр ... мен ... ... ... ... ... ... теориясы мен программалауда,
биология мен психологияда кеңінен қолданылды.
Граф - Граф (грекше-жазамын) – ... деп ... ... нүктелерддің
жиынтығы;төберлердің кейбіреулері графтың қырлары деп аталатын ... ... ... жиыны (v) және реттелмеген және реттелген
төбелердің (қырлар мен доғалар) жиынтығы (e) граф ... ... Граф ... ... ... Тек ... ғана ... граф – бағдарланбаған,
ал тек доғаларды қамтитыны бағдарланған граф деп ... Кез – ... ... ... ... ... граф – ... граф болып табылады.
Граф — нысандар мен олардың арасындағы ... ... ... ... ... деп, ал ... граф ... деп аталады.
Графты қолданылатын саласына байланысты байланыстар саны, ... және ... ... ... ажыратады. Көптеген
есептерді, нысандарды графтармен сипаттауға болады. Мысалға Уикипедияны да
графпен сипаттауға болады — ... ... ал ...
гиперсілтемелер
Граф, немесе бағытталмаған граф  — бұл  келесі шарттарды
қанағаттандыратын ретті жұптар ... ... ... ... ... ... ... жұптар
(бағытталмаған графта — ретсіз).
Төбелері мен ... ... ... те ... ... ... ... қабырғалар санын  —
графөлшемі деп атайды.
 және  төбелері  қабырғасының шеткі төбелері
(немесе шеттері) деп аталады. Бір ... екі ... ... ... төбелері бар екі қабырға түйіндес деп аталды.
Шеткі төбелер жиыны бірдей болатын екі ... ... ... ... қабырғаны ілмек аталыды, яғни  болса.
 төбесінің дәрежесі  деп оған тірелетін қабырғалар санын айтады
(ілмекті екі рет санайды).
Төбе ешқандай қабырғаның шеті ... ал егер тек ... ... шеті ... ... арқылы кейбір есептерді шешуге болады.
1-есеп: Үш дос- Серік, Талғат, Ернар әр ... үш ... ... физика) Алматының, Қарағандының, Көкшетаудың ... Егер мына ... ... ... 1) ... ... істемейді,
ал Талғат Қарағандыда
тұрмайды; 2) Алматылық физикадан сабақ ... 3) ... ... ... ... 4) ... ... сабақ бермейді. Әр мұғалім
қай қалада тұрады, қандай пәннен сабақ береді?
Шешуі:Үш жиын алып, олардан үштен ... ... ... ... бас ... ... мен қалалардың аттарының бірінші әріптерімен
белгілейміз. Әр түрлі жиыннан алынған нүктелер бір ғана ... ... ... онда ол ... ... (үзіксіз) сызықтармен қосамыз, егер
олар әр түрлі адамның белгілерін білдірсе, үзік сызықтармен (штрихтармен)
қосамыз. ... ал ... – қара ... ... ... ... ... есеп шартында көрсетілген жиын элементі және олардың ... ... Бұл есеп граф ... төбелері үш жиында жатқан,
қабырғалары тұтас сы-зықтармен қосылған үш ... ... ... ... ... Х мен Т-ны ... ... қосамыз, ол КХ сәйкес келеді
(Көкшетауда тұратын мұғалім химиядан береді), Т мен К сәйкес келмейді – ТК,
сондықтан Т мен Х ... ... ... арқылы осы есепке ұқсас есепті шешкенде ... ... 1) Үш ... үш жиында жатқан үщбұрыштың бір қабырғасы тұтас
(қара) сызықпен, екіншісі ... ... ... онда ... үзік ... ... ... 2) Жиыннның бір нүктесінен 2-
жиындағы ... үзік ... ... жүргізілсе, онда үшіншісіне тұтас
(қара) сызық ... 3) Егер ... әр ... ... жатқан
үшбұрыштың екі қабырғасы тұтас (қара) сызықпен сызылса, онда үшіншісі де
тұтас (қара) сызықпен қосылады.
Ережеге сүйеніп Ф мен Т-ны ... ... ... (ФТ). АТ- үзік ... ... ТФА ... ТФ ... ФА- үзік сызықтармен сызылады.
ТҚ тұтас сызықпен қосылады, себебі ТА,ТК- үзік сызықтар. ФҚ- тұтас ... ... ... тұтас сызық болады. АЕ,СК,ХС, БА, ... ... ... ТФҚ, КХС және ЕАБ- ... ... сәйкес келіп,есептің сұрағына жауап береді, яғни Ернар- биолог
Алматыда тұрады; Серік - ... ... ... сабақ береді; Талғат
Қарағандыда тұрады, физикадан сабақ беред.
2-есеп: Дүйсенбі күнгі сабақ кестесін құру кезінде үш ... ... ... 1) ... ... не ... 2) тарих бірінші не үшінші,
3) әдебиет екінші не үшінші болсын.
Қанша ... ... ... ... ... Математика, тарих, әдебиеттің бас әріптерінен бір жиын ... ... ... ... жиын ... ... ... (онда ол 2-бола алмайды) қойсақ, онда тарих тек
үшніші ғана болады, тарих 1-қойылмайды, онда ... ... ... ол 3- ... қойылмайды. Сонымен математика- бірінші, әдебиет-
екінші, тарих-үшінші болады.
Теңдеуді граф арқылы шешу, яғни бұл бағытталған граф ... ... Мен бір сан ... Сол ... 24 ... одан ... ... 9-
ға көбей-тсек, сосын 76- ны алсақ, ендігі шыққан ... 19- ға ... ... ... ... ... + ... құрайық. Енді осы сандарды керісінше амалмен шығарайық (4-СУРЕТ)
23*19 =437 ... 513/9=57 ... ... ... ... ешбір математикалық ережелерді немесе теоремаларды қолдануға
келмейтін, тек ойлау ... ... ... деп ... ... ... математикалық басқатырғыларды шешуде графтар
қолданылады.
Граф деп қандай да бір ... ... ... ... системасын
айтамыз, яғни әуелі біз берілген обьектілерді нүктелер арқылы кескіндейміз,
оларды ... ... ... ... қосамыз, нүктелер мен
кесінділер арасында операциялар орындаймыз.
Графтар теориясы бас қатырғыларды шешумен байланысты XVIII ... ... ... ең бірінші еңбекті белгілі швед математигі Эйлер 1736
жылы жазды. ... ... бұл ... тек ... ... байланысты
графтар теориясы математиканың бір саласы ретінде ең алғаш ХХ ғасырдың 30
жылдарында венгер ... ... ... ... ... картаға қарағанда көзге, бірден темір жол желісі
түседі. Бұл негізгі граф: дөңгелектер станция-граф ... ал ... ... граф ... ... кент ... ... Мұнда әрбір 2 щың қабырғамен байланысады. Мұндай графты толық
граф деп атайды. 5-суреттегі сандар кент жолда5ы ... ... ... пошта және пошташы қалған 4 кентке хат тарату керек. Жол ... әр ... ... бар. ... арасынан ең қысқасын қалай
табамыз? Ең қысқасы бүкіл нұсқаларды нәтижелеу. Мұны істеуге жаңа граф ... ... ... ... жеңіл мүмкіншілікті көретіндей. М-шыңының
үстінде –маршруттар бастамасы. Одан А-ға, Б-ға, В-ға ... Г-ға ... жол ... болады. Біреуін қолданған соң ақырында 3-маршрутты
жалғастырудың 3 ... ... одан ... 2, ... соң ең соңғы кент
және қайтадан М-ға. Барлығы 4*3*2*1=24 тәсіл. Олардың барлығы осы ... ... ... қабырғаларына сандар қоямыз, соңына әрбір
маршруттың соммасын жазамыз. Осыдан ... 24 ... ... 2 сан 28 ... ... және ... маршруттарына сәйкес келеді. Бұл бірдей
жол, бірақ әр түрлі бағытта жүрілген.
5-СУРЕТ
2.1. Толық граф
Толық ... кез ... екі ... қабырғамен байланысқан қарапайым граф.
Яғни,  төбелі толық ... бар және ... ... ... ... ... ... табылады. Төбелер саны көп
болатындай толық графтар ... бола ... ... олар  ішкі
графты қамтиды, сондықтан да Понтрягин-Куратовский теоремасы шарттарын
қанағаттандырмайды.
Төменде төбелер саны 1ден 8ге ... ... ... ... және ... саны ... 0 |: 1 |: 3 |: 6 |
| | | | |
|: 10 |: 15 |: 21 |: 28 |
| | | | ... Логигалық есептерді граф арқылы шешу
Логикалық есептер граф арқылы да шешіледі.
1-есеп: Серік, Ернар, Талғат және Бекарыс қайық ... ... олар ... төрт апта ... ... бір аптадан.) Мыналар белгілі:
1) Егер екінші аптада қайықпен Серік немесе Бекарыс қыдырса, онда Талғат
бірінші аптада ... Егер ... ... ең ... ... қыдырса, онда Талғат үшінші
аптада, ал Серік бірінші болып ... Егер ... ... ... ... ... ... болып қыдырса, онда
Ернар соңғы аптада қыдырды.
4) Егер Серік үшінші аптада қыдырса, онда Ернар –екіншіде, және керісінше.
5) Егер ... ... ... ... онда Талғат- үшіншіде.
6) Егер Бекарыс үшінші аптада ... онда ... ... ... ... Егер есептің шартын жиынның элементтері мен олардың арасындағы
логикалық байланыстар арқылы өрнектесек, онда ... жиын ... ... ... жиын деп аталады. Біздің есебімізде бұл жиын «х қайықпен п
апта қыдырды» типтегі 10 ... ... ... х € {В, К, М, ... осы (х,п) ... арасындағы конъюкция, дизъюнкция, импликация,
эквиваленция операцияларын сәйкес ٨,٧,→ , ... ... ... ... ... жазайық.
1)[(С, 2) ٧ (Б,2)]→(Т,1)
2)(Б,4)→ [(Т,3) ٨(С,1)]
3)[( Т,2)٧ ... ... 4) ... жай ... ... ... есептің шартын
10 импликацияның көмегімен былай жазуға болады.
(С,2)→ (Т,1), (Б,2) → (Т,2), ... (Т,3), ... (С,1), ... ... (Е,4), (С,3) ... ... (С,3), (Б,1)→ (Т,3), (Б,3)→ (С,2)
|«ЖӘНЕ» |КОНЬЮНКЦИЯ(ЛОГИКАЛЫҚ КӨБЕЙТУ) ... ... ... ҚОСУ) ... - ...... - ... ... ... ұл балалар вокзалдың алдында кездесті. Олар бір-бірімен
қол ұстасып амандасты. Қанша ұл бала қалаға кетті, егер 10 қол ... Осы ... граф ... ... Ең алдымен қағазға екі нүктесін
белгілейміз. А мен В және оларды қосайық. ... ... деп, ... ... қол ... деп есептейік. Тағы бір С нүктесін А
мен В нүктелерімен қосамыз. Оларға тағы бір Д ... ... Енді ... ... Енді бес нүктені Е нүктесін белгілеп, А,В,С,Д нүктелерімен
қосамыз. Енді 10 кесінді шықты. Яғни ... 5 ұл бала ... ... ... Эйлерлік графтар
Эйлерлік граф есептеріне жазықтықта тұйық қисықтың әр бөлігін тек бір
рет қана ... өту ... ... бас ... есептері мысал бола алады.
Тарихы жағынан топология және графтар теориясы Л.Эйлердің Кенигсберг
көпірлері туралы есепті шығаруынан ... ... ... Бұл есеп 1736 ... ... ... ... Кенигсберг (қазір Калининград)
қаласы Прегал өзенінің екі ... және өзен ... екі ... Қала ... оның бір ... ... ... көпір арқылы
өтеді. Аралдар және ... 7 ... ... ... бір ... ... үйінен шыққан адам әр көпірден
бір-ақ рет өтіп, қаланы ... ... ... ... ... ... ма?»
Кенигберг есебі – осы. Жағадағы аудандарды А және В ... ... С және D ... ... жол схемасы А, В, С, ... және АС, ВС, АС, ..., СD ... ... граф ... ... және ВС ... екі еселі болады. Эйлер бұл жағдайға сәйкес келетін
мультиграф тұрғызды. Бұл ... ... ... граф ... ... ... ... граф қабырғаларымен кескінделді, ол 9-суретте
келтірілген. Эйлер ... ... ... ... еместігін көрсетті.
Геометрия тілінде айтқанда, қай ... ... да, граф ... жүріп
отырып, ешбір қырдан екі рет өтпей, шыққан төбеге қайтып келуге болмайды.
Келтірілген сұрақты ... ... ... тұжырымдайды. Берілген
мультиграфта оның барлық қабырғаларын қамтитын цикл бар ма?
А
С - ... ... ... ... ... |А | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | ... | | | |D |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| |В | | | ... 8- ... граф ... ... ... ... оның барлық қабырғаларын қамтитын
циклдің бар болуын белгілеп, тұжырымдап ... ... ... ... ... G=(V, Х) ... ... G графының барлық төбелері ... ... цикл ... цикл деп ... ... бар ... ... граф деп аталады.
Теорема 1. Егер графтың эйлерлік циклы болса, онда ол байланысқан ... және оның ... ... жұп сан ... ... ... болатындығы оның эйлерлік граф екендігінен
шығады. Эйлерлік цикл әрбір қабырғаны тек бір рет қана ... әр ... ... ұшы қанша рет барса сонша рет ... әр ... ... екі ... ... ... ... төбеге
ену нәтижесі, екіншісі төбеден шығу нәтижесі. Ендеше, төбе ... ... ... кері ... да дұрыс болады.
Теорема 2. Егер граф байланысқан және ... ... жұп ... онда
оның эйлерлік циклы болады.
10-суреттерде эйлерлік емес және эйлерлік графтар көрсетілген.
10-суреттегі граф эйлерлік емес, бірақ р5 және р3 төбелері ... ... α2, α3, α4, α5, α6 ... ... ... эйлерлік жолы бар. 11-
суретте көрсетілген графтағы α1, α2, α3, α4, α5, α6, α7, α8, α9, ... ... ... цикл құрайды.
| | | | | |
| | |α2 |Р2 |Р3 ... | | | | |
| | | | | |
| | | |α6 | |
| | | | | |
| | | | | ... | |α3 |α5 | |
| | | | | |
| | | | | |
| | |α4 | | ... | | |Р4 | ... | |α2 | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | ... | | | | | |
| |α5 | |α8 | | |
| | | | | | |
| α6 | | | | |α3 |
| | | | | | ... |α7 | | | | |
| | | | |α4 | |
| | |α9 | | | |
| | | | | | ... ... ... көпірлері туралы есепті кескіндейтін
графтың барлық төбелерінің де дәрежесі тақ. Олай болса, бұл ... ... жоқ. ... ... ... тек бір рет қана өтіп, алғашқы
нүктеге қайтып келу мүмкін емес.
Графтар, олардың түрлері және ... ... ... ... ... ... ... кең түрде келтіруге болады.
Қолданбалы есептерді графтар көмегімен өте қарапайым әдіспен шешуге ... бас ... ... ... есептер, комбинаторлық есептер де
графтарды қолдану барысында жеңіл де ... ... ... Қолданбалы
есептердің мысалы ретінде жобаның желілік моделін құру, банктегі ... ... ... ... ... есептері қарастырылады.
Бұдан басқа да графтар теориясының химияда, физикада, биологияда, құрылыс
жұмыстарында т.б. сан түрлі қолданылуларын ... ... ... ... ... ... ... атты тақырыбын зерттей
отырып, мен мынадай қорытындыға ... ... ... ... ... ... ... граф ұғымы менің зерттейтін тақырыбыма тікелей
байланысты.
Графтың, яғни ... ... ... ... орны ... ... ... ой қабілеттігін арттыруда үлкен үлес қосады.
М.И.Калинин "математика ойлауды тездетіп, логикалық ойлауға үйретеді" ... ой ... деп ... ... ... мағынасын студенттерге түсіну қиын. Оны ... граф ... көп ... ... ... ... граф ... тек математика саласында ғана емес, тіпті
күнделікті өмірде де және техникада да ... да ... ... де ... ... ... тікелей байланысты. Мысалы: біз үй
салғанда, үй-жиһаздарын ... ... ... ... ... олардың түрлері және графтардың қолданбалы есептерді шығаруда
қолданылу жағдайлары туралы мәселелерді кең түрде ... ... ... ... ... өте ... ... шешуге болады.
Әртүрлі бас қатыру (головоломка), қызықты есептер, комбинаторлық есептер де
графтарды ... ... ... де ... түрде шешіледі. Қолданбалы
есептердің мысалы ретінде жобаның желілік моделін ... ... ... банктің пайыздық ставкасын анықтау ... ... ... да ... теориясының химияда, физикада, биологияда, құрылыс
жұмыстарында т.б. сан түрлі қолданылуларын келтіруге болады.
Қазіргі математикада графтар теориясы ... тез ... ... ... Графтар қазір пландау және ... ... ... ... ... Сол себебтен мен
осы тақырыпты қозғап, әрі қарай дамытқым келеді.
ІV. Пайдаланылған әдебиеттер
1. Акентьев В., Со ... ... ... ж.
2. Линьков Г.И. , Внеклассная работа по математике , "Просвещение", 1965 ж
3.Нагибин Ф.Ф., Математическая шкатулка, "Просвещение", 1988 ж.
4.Оре О., ... и их ... ... 1965 ... Я.И., Живая математика, "Наука", 1978 ж.
6. https://kk.wikipedia.org/wiki/Эйлер_графы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 10 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 600 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Графтар теориясы және оның элементтері5 бет
Графтар мен ағаштар8 бет
Графтар теориясы50 бет
Модельдеу туралы түсінік25 бет
«АБДИ» компаниясының қаржысын басқаруды талдау және оның тиімділігін арттырудың кейбір жолдарын ұсыну77 бет
Іздеу есептерінің шешілімі6 бет
Іздеу есептерінің шешілімі. Іздеу: қайтару арқылы теріп алу4 бет
Іздеу есептерінің шешілімі. Іздеу: қайтару арқылы теріп алу жайлы8 бет
Іздеу есептерінің шешілімі. іздеу: қайтару арқылы теріп алу туралы ақпарат6 бет
Іле-Алатауы кейбір мүктерінен биологиялық белсенді заттарды алудың сызба-нұсқасын жасау және анализдеу56 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь