Интегро-дифференциалдық теңдеулерді шешудің кейбір әдістері

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3
ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ БІРІНШІ АНАЛОГЫ ... ... ...
5
Интегралды диффреренциалды теңдеулерді интегралды теңдеулерге келтіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

5
Сипаттауыш көпмүшелік және А.И.Некрасовтың минорлы қатары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

12
ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ ЕКІНШІ АНАЛОГЫ ... ... ...
27
Жоғарғы ретті минорлы қатарлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
27
Сызықтық тәуелсіздік және фундаментальды функциялар жүйесінің шешімдерінің толықтығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

34
ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ ҮШІНШІ АНАЛОГЫ ... ... ...
43
Екі шешілетін интегралдық теңдеулердің шешімдері арасындағы байланыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

43
Сызықтық интегралдық дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... .
55
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
68
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 69
XVIII-XIX ғасырларда физиктер мен математиктер интегралды дифференциалды теңдеулермен шешілетін есептерді зерттеді.Мысалы:
1) серпімді аралық тепе теңдігі бойынша Проктор есебі
2) айналмалы тербеліс бойынша Вольтерр есебі
3) ұшақ қанатын есептеу Прандтля есебі
Интегралды дифференциалды теңдеулер теориясын жасау тарихы 1903 жылы Бурбакидің жұмыстарынан басталды. 1934 жылы А.И.Некрасов [6] интегралды дифференциалды теңдеулерді зерттеу және шешу бойынша маңызды нәтижелерді жариялады. Кейіннен осы жұмыстың идеясын С.Г.Михлин [1], М.Л.Краснов [2], И.Г.Петровский [4] және басқалар дамытты.
1. Михлин С.Г. Лекций по линейным интегральным уравнениям. М.: ГИФМЛ, 1959.-234 с.
2. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. Уч.пособие. 1975 г.-303 стр.
3.Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Задачи и упражнения. Уч.пособие.1968 год. 192 стр.
4. Петровский И.Г. Линейные интегральные уравнения. Изд-во Моск. Ун-та, 1984.-136 с.
5. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. 2-е изд., стереот., М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.-160 с.
6. Некрасов А.И. Об одном классе линейных интегро-дифференциальных уравнений // ТР.Цаги, в.190.-М.,1934.
7. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Пер с англ. М.: Наука, 1982 г.-304 с.
8. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения. Учебное пособие. Часть I, II, III, IV. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2007 г.-195 с.
9. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дтфференциальные уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом. Изд-во БГУ.-Улан-Удэ, 2006г
        
        Интегро-дифференциалдық теңдеулерді шешудің кейбір әдістері
Мазмұны
|КІРІСПЕ..............................................................|3 |
|.............................................. | |
|1 ... ... ... АНАЛОГЫ........... |5 |
|1.1|Интегралды диффреренциалды ... ... ... | |
| ... |
| ... | ... ... және А.И.Некрасовтың минорлы | |
| ... |
| ... | |
|2 ... ... ... АНАЛОГЫ............ |27 ... ... ... |27 |
| ... |
| |.. | ... ... және фундаментальды функциялар жүйесінің | |
| ... ... |34 |
| ... |
| |....... | |
|3 ... ... ҮШІНШІ АНАЛОГЫ........... |43 ... ... ... ... ... ... | |
| ... |
| |........................................... | ... ... ... |55 |
| ... | ... ... | ... ӘДЕБИЕТТЕР |69 ... | ... ... ... мен ... интегралды
дифференциалды теңдеулермен шешілетін есептерді зерттеді.Мысалы:
1) серпімді аралық тепе теңдігі бойынша Проктор есебі
;
2) айналмалы тербеліс бойынша ... ... ұшақ ... ... ... ... дифференциалды теңдеулер теориясын жасау тарихы 1903
жылы Бурбакидің жұмыстарынан басталды. 1934 жылы ... ... ... ... зерттеу және шешу бойынша маңызды
нәтижелерді ... ... осы ... ... ... ... [2], И.Г.Петровский [4] және басқалар дамытты.
Интегралды дифференциалды теңдеулерге белгісіз функциясы және ... ... ... немесе интегралдың сыртына кіретін функционалды
теңдеулер жатады. ... ... ... ... ... функцияның туындылары жатады. Интегралды дифференциалды теңдеулер,
интегралды сияқты Фредгольм және Вольтерр типті теңдеулерге бөлінеді.
Фредгольм ... ... емес ... ... ... ... ... келтіреміз:
.
Жұмыстың мақсаты: Жұмыстың негізгі мақсаты интегралды дифференциалды
теңдеулер үшін ... ... ... ... теңдеулерге
келтіру болып табылады. Интегралдық дифференциалдық теңдеулерді ... ... ... ... және ... аналогтары бойынша
қарастыру. Шешілетін интегралдық теңдеудің арнайы түрін шешу, ядро және
резольвентаны интегралдау, Коши ... Коши ... ... ... ... және ішкі ... операторлардың реттіліктерінің
қатынастарына байланысты есептерді шешу және т.с.с.
Зерттеу әдістері: Жұмысты ... ... ... ... үшін ... теоремасы және кейбір есептеулер
қолданылды. Сондай-ақ, А.И. ... [6] ... ... ... ... ... Жұмыстың негізгі бөлімі, үш тараудан
және алты парагрофтан құралған.
Бірінші тарауда, Фредгольм ... ... ... ... ... ... ... және А.И. Некрасовтың [6] ... ... ... Фредгольм теоремасының екінші аналогын енгізуге
арналады. Бұл жерде жоғарғы ретті ... ... ... ... тәуелсіздік және фундаментальды функциялар жүйесінің шешімдерінің
толықтығы ... ... ... теоремасының үшінші аналогы қарастырылады,
мұнда екі ... ... ... ... арасындағы байланыс
және сызықтық интегралдық дифференциалдық теңдеулер қолданылды.
1. ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ ... ... ... ... ... ... КЕЛТІРУ
Теңдеуді қарастырайық
(1.1.1)
мұнда
Екі дифференциялдық операторлардың коэффициенттері-үзіліссіз функция-
лар ядросы квадратында регулярлы, ... ... ... ... ... келтіру есебін қояйық.
дифференциялдық теңдеулердің фундаментальді шешімінің жүйесі болсын
,
(1.1.2)
cонда оның жалпы интегралы
(1.1.3)
түрінде ... ... ... ... әзірше белгісіз функция.
(1.1.4)теңдеудегі ті белгісіз функция арқылы ... ... ... вариациялау әдісін қолданамыз, яғни (1.1.4)
теңдеудің шешімін
түрінде іздейміз.
Сонда ... ... ... жүйенің бас ... ті (1.1.2) ... ... ... Вронский анықтауышы .
(1.1.6)
Сонда Крамер формуласы бойынша
табамыз немесе элементінің соңғы қатарына алгебралық толықтауыш
арқылы белгілесек
(1.1.7)
аламыз.
(1.1.7) ... ... ... ... ... (1.1.4) ... жалпы интегралын
(1.1.9)
Сонымен (1.1.9) өрнек (1.1.1) интегралдық дифференциялдық
теңдеуді қанағаттандыруы үшін ... ... ... Ол ... ті рет ... және (1.1.5) теңдікті ескеріп,
аламыз.
Енді (1.1.9) және оның туындылары және функциялары
(1.1.1) теңдеуді ... ... ... ... ... (1.1.1) теңдеуге қойып шешілетін интегралдық теңдеудің ... ... ... ... ... ... шешімін Нейман қатары түрінде іздейміз
.
(1.1.11)
Егерде (1.1.10) теңдеудің шешімін (1.1.11) қатар түрінде ұсынылса ... (1.1.10) ... ... және ... ... ның ... ... коэффициенттері үшін рекурренті формуласын аламыз:
Бұл қатардың келесі (1.1.12) шектеулермен жинақтылығын ... ... оң ... бағалау коэффициенттерінен сандық қатар
құрайық
.
(1.1.13)
(1.1.13) қатардың мүшелері алымындағы бірге геометриялық
прогрессия құрайтындығын және ... ... ... оңай ... ... ... құру үшін ол (1.1.11) қатар үшін ... ... ... критериі бойынша қатар абсолютті жинақты және
бірқалыпты ... ... ... (1.1.12) және (1.1.14) ... ... 1. ... ... теңдеу болады, оған сәйкесті сипаттаушы теңдеу
, ал түбірлері , ... және ... ... ... ... ... ... , болып, жалпы шешім
ретінде жазуға болады.
(1.1.4) теңдеудің шешімін табу үшін ... ... ... ... ... , , ,
,
,
, .
Бұдан әрі және ... (1.1.10) ... ... құрайық
, .
(1.1.1) теңдеудің шешімін белгісіз функциясы арқылы (1.1.9)
формула бойынша жазылады:
,
ал оның (1.1.10) ... ... мына ... болады
.
Шешімді (1.1.11) қатар түріндегі шешілетін теңдеуге қойсақ, осы ... ... , ... ,
, ... , ... (1.1.10) ... шешімін табамыз
.
Бұл шешімді (1.1.9) формулаға қойсақ, берілген ... ... ... ... ... ... түрлендірейік, ол үшін
өрнегін ке қойып, алдын-ала ... және ... ... ... ретінің өзгеруінен
. ... ... ... ... ... квадратты жақшадағы итерацияланған ядроны екінші үшін қолдансақ
, ... Одан соң ... ... ... ... ... . ... ... ... жаңа ... қойып және осы
қатардың бірқалыпты жинақтылығынан бір ... ... ... ... ... ... резольвента деп және оны
. ... ... ... ... ... ... ... [4].
Резольвентаның бірқалыпты және абсолютті жинақтылығын аналогиялық
түрде (1.1.11) қатардағы сол шектеулермен жасалғандай дәлелдеу қиын ... ... ... үшін ... басқа ретпен
алмастыруды қолдансақ, онда итерацияланған ядро үшін басқа формуланы аламыз
, , ... ... ... тағы да екеуін құруға болады.
(1.1.16) резольвента қатарына итериацияланған ядро ... ... ... ... үшін ... ... ... қайта жазуға
болады
,
Бұл жерден квадраттық жақшадағы тағы да ... ... ... ... (1.1.16) ... ... (1.1.18) итериацияланған өрнекті
қойсақ, онда қайта есептеп келесі резольвента теңдеуін аламыз
. ... ... ... ЖӘНЕ ... ҚАТАРЫ
(1.1.10) шешілетін теңдеуді шешуге Нейман қатарын қолданып (1.1.14)
шектеулерін аламыз.
Бұдан әрі (1.1.10) ... ... ... шектеулерсіз
шешеміз. Ол үшін жаңа белгісіз функция енгіземіз
(1.2.21)
.
және (1.1.10) теңдеудегі ті (1.2.21) теңдікке қойып,
аламыз, бұл жерде белгісіз өрнектер үшін белгілеулер ... ... ... ... ... ... ... теоремасын сипаттауыш көпмүшелікке
[1] сәйкесті қолданамыз
және ... соң (1.2.22) ... ... -ға ... ... (1.1.1) ... үшін сипаттауыш көпмүшелікті аламыз
.
(1.2.23)
(1.1.10) теңдеуді эквиваленттілігін және (1.2.22) ... ... ... ... күтуге болады. Белгілеулер
қайта жазып
.
(1.1.24)
(1.1.10) теңдеудің шешіміне (1.1.17) ... ... ... ... ... мұнда әзірше
белгісіз функция. Сонда (1.1.10) теңдеудің шешімі мына түрге келеді
.
(1.2.25)
анықтау үшін (1.1.19) резольвента ... ... ... ... ... функцияны қатардың көмегімен аламыз
,
(1.2.27)
оны (1.2.26) теңдікке қойып, бірдей дәрежелі коэффициенттерін теңестіріп
,
.
Аналогиялық түрде
.
...... ... ... .. ........ ........ ... ... ... ... ... ... ... ...... ..... ... .... ..... .... ... .. .... ... .. .......... ... .. ... ... ...........
(1.1.27) ... ... ... ... ... [6]
минорлы қатарын –Фредгольмның минорлы қатарына ұқсастығын аламыз
.
(1.2.28)
(1.1.24) формулаға белгілеулерді ... ... ... ... жинақтылыққа зерттейміз( қатары аналогиялық түрде
зерттеледі).
қатарының ... үшін (1.2.23) ... ... ... ... (1.2.21) қатар
.
(1.1.30)
түріне келеді
(1.1.30) қатардың жинақтылыққа дәлелдеу үшін ... ... ... ... болғанда, онда
;
және болсын, сонда
.
бағалауынан (1.1.23) қатар мүшелерінен оң ... ... ... ... белгісін пайдаланып дәлелдейміз
,
сондықтан
.
қатары құру бойынша (1.1.30) қатар үшін ... ... ... (1.1.30) ... ... критерии бойынша барлық мәнінде
бірқалыпты және абсолютті жинақталады.
Бәрінен бұрын Фредгольм теоремасының бірінші аналогын тұжырымдау ... (1.2.25) ... ... (1.1.10) ... көз ... (1.2.25) ...
функциясының мәнін (1.1.10) ... ... ... атын ... ... ... ... бір жалпы
интеграл астына топтастырамыз. Нәтижесінде бірінші ... ... ... ,жалпы айтқанда , онда
,
яғни
.
Содан соң (1.2.25) формадағы (1.1.10) ... ... ... кері жору ... ... (1.1.10) ... ... болсын, сонда
. ... ... ты ға ... ... және интегралдаймыз.
.
«*» белгіленген өрнектер:
,
екінші интегралдық теңдеудің резольвентасы , оны соңғы қосылғышқа
қойып интегралдардың қосындысына тіркеп ... ... және ... қосылғыштар жойылады.
(1.2.32)
.
(1.2.32)-ні (1.2.31) теңдеуге қойсақ интегралдар айырмасын жазып
.
Демек, квадратты жақшадағы резольвента болса ((1.1.19)сәйкесті) ... . ... ... ... бірінші аналогын тұжырымдайық.
Егерде , (1.1.10) шешілетін интегралдық теңдеудің (1.2.25)
формуламен ... ... ... ... және қатарларда барлық мәнінде абсолютті
және бірқалыпты жинақты.
Анықтама. болғандағы ... және ... ... ... саны деп атаймыз [7].
,
(1.2.23)-дегі қосылғыштарды (1.2.30)-ғы мен (1.1.28) ... мен ... , ... ... ... көреміз
,
(1.2.33)
.
(1.2.34)
(1.2.34) теңдікті көбейтіп бойынша интегралдаймыз:
.
Соңғы теңдіктің оң жағын ті ге, ді ... ге, ді ... ... ... ... деп алсақ,
табамыз.
коэффициенттерін анықтау үшін (1.2.26) ... ... ... теңдікке (1.1.29) қатарды қоямыз
,
бірдей коэффициенттерін теңестіріп ті ке ... ... ... деп (1.1.36) ... ... әрі (1.2.35) және (1.2.36) ... формуланы
қолданамыз.
Ескерту 1. Егерде болғанда, яғни сипаттауыш сан ... ... (1.1.10) ... ... ... тек қана ... ие ... (1.1.1) интегралдық дифференциалдық теңдеудің шешімі
дифференциалдық теңдеудің шешімдері мен дәлелге дәл келеді.
, яғни .
Ескерту 2. Егерде , ... онда ... ... ... ... көп шешімі бар және ол сәйкесінше (1.1.1)
интегралдық дифференциалдық теңдеудің шексіз шешімдері ... 3. және ... ... ... ... 2. .
, , , , ,
, , .
,
(1.1.7) және (1.1.10) ... ... ... , , ,
, ... және (1.1.36) ... формулаларды пайдаланып (1.2.30)
және(1.2.29) қатардың коэффициенттерін табамыз
, , ... , және ... және (1.2.29) ... ... .
табамыз.
Сонда (1.1.11) және (1.2.25) формулаға сәйкесінше алдымен ті
содан соң (1.1.9) ... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеуді бастапқы шарттарымен
бастапқы есебін қарастырамыз
, және ... ... ... ... (1.1.9) ... (1.1.1) ... белгісіз функция арқылы қайта жазуымызға болады
.
тұрақтының мәні бұл этапта бастапқы есептің шешімін анықтауға
болады. деп алсақ ... ... ... ... ... ... әрқашан шешімі бар, демек бұл жүйенің бас анықтауышы Вронский
анықтауышының мәні бар ... , ... ... ... ... ... есептеп және оларды (1.1.10)
теңдеудегі өрнегіне қойсақ, ... ... ... арнайы
түріне келеміз
, ... және (1.1.10) ... ... және ... ... ... үшін (1.1.10) ... шешуде бастапқы шарттарды ескере отырып
,
.
(1.2.37)
Берілген бастапқы шарттармен (1.1.1) және (1.1.10) ... ... ... табамыз [5].
Мысал 3. Коши есебінің шешімдерін және сипаттауыш ... ... ,
, ... ... 1-ші ... ... нәтижесі қолданылады. Бұдан әрі
деп алып, және тұрақтыларын тауып ... ... ... , және
, .
шешілетін теңдеу
жазылады.
Енді және мәндерін (1.2.29) және (1.2.37) ... ... ... ... екінші және жоғарғы ретті анықтауыштары
нөлге тең болса, онда
,
.
және ... ... ... мәнін табамыз.
2 ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ ЕКІНШІ АНАЛОГЫ
2.1 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ МИНОРЛЫ ҚАТАРЛАР
Келесі қатарларды жоғарғы ... ... ... деп ... ... ретті минорлы қатарын келесі шектеулермен , ,
жинақтайық. Сонда Адамар теңсіздігімен сәйкесті
,
(2.1.1) қатардың мүшелері үшін шектеулерді аламыз
.
қатары Даламбер ... ... ... , ... шек ... ... (1.2.29) қатарының жинақтылыққа зерттеу
барысында ... ... ... (2.1.1) ... Вейерштрасс
критерии бойынша бірқалыпты және абсолютті жинақталады.
Минорлы қатарлар арасындағы оның құрамына кіретін анықтауыштарды ... ... ... ... ... ... (1.2.28) формуладағы
екінші ретті минорлы қатарынан бастайық. үшін оның ... ... ... ... ... бар мүшелерін топтап және ортақ
көбейткішті жақша сыртына шығарып, жақша ішіне сәйкесті ... ... ... ... ... үшін ... қатарын алмастырып, содан соң
ке, ке және ... ке және ке және ... тік ... ... ... ... екенін көреміз.
Мұндағы ті , ті ке ауыстырып,.
.
(2.1.2)
аламыз.
Бесінші минорды ... ... ... ... ... пайдаланып, ажыратып аламыз. Сонда бұл (2.1.1) қатар
былай жазылады
немесе
. ... ... ... ... ... үшін формуланы аламыз
. ... ... ... ны ... бойынша минорға жіктеу
формуласын алуға болады
. ... ... емес ... ... түріне сәйкесті біртекті
интегралдық теңдеуді жазамыз
.
(2.1.6)
(2.1.6)теңдеудің фундаментальдық функциясын табу үшін ... ... ... ... ... ... жақшалы (2.1.1) формуламен сәйкес келетін аламыз және
сонымен
.
(2.1.7)
Аналогиялық түрде
, ... .... ..... ... ... ..... .... . . ... ... ... .. ...... .... ... ... ... түбірі болсын, сонда
, , ... , ал тең. (2.1.9)формуладағы
деп алсақ, сонда , , ..., , .
, , ..., , ... ... ... ,
, ..., , ал екендігін көру қиын ... яғни , ... ... ... ... табылады [2-3].
Анықтама.Сипаттауыш санның рангі деп жоғарғы ретті ... ... ... ... емес.
Жоғарыда қарастырылған жағдайда сипаттауыш санның рангі
тең.
Енді ... сан үшін ранг деп ... ... ... ... ... және ... аламыз, мұнда және кез-келген сан, ... ... ... реті ... ... бола алмайды.
Сонда (2.1.6) формадағы минордың ... ... ... жоғалып, яғни
аламыз.
(2.1.6) біртекті интегралдық теңдеудің шешімінен
функциясын алуға болады,мұнда , яғни ... ... ... ... ... және (2.1.6) ... ... болса, онда функция
,
(2.1.10)
Мұнда оның шешімдері болып табылады.
Анықтама. (2.1.10) формуладығы ... ... ... ... деп атаймыз.
(2.1.10) формуладан фундаментальды функцияның өте маңызды екі қасиеті
шығады.
1) , 2) ... ... ... ... бөліміне тең, ал екіншіде алымында екі бірдей
қатар пайда болады [8].
2.2 СЫЗЫҚТЫҚ ТӘУЕЛСІЗДІК ЖӘНЕ ФУНДАМЕНТАЛЬДЫ
ФУНКЦИЯЛАР ЖҮЙЕСІНІҢ ШЕШІМДЕРІНІҢ ТОЛЫҚТЫҒЫ
Алдымен (2.1.10) ... ... ... ... формуланың қасиеттерін пайдаланып және кері жору әдістерімен
дәлелдейік.
деп алсақ, мұнда ... да ... тең ... ... ... тепе-теңдік орындалуы мүмкін, онда деп алсақ (2.1.11)
формуладағы екінші қасиет ... ... ... ... салдарынан
, бірақ , яғни барлығы және бұдан сызықтық тәуелсіздік
дәлелденді.
Енді шешімнің ... ... яғни ... ... ... ... да шешімдері сызықтық және біртекті фундаментальды
функция арқылы өрнектелетіндігін көрсетейік [4].
(2.1.6) теңдеудің тағы да бір ... ... ... ... деп ... ... ... тепе-теңдік орындалады
.
(2.2.12)
Әзірше анықталмаған бірақ үзіліссіз емес енгізейік және келесі
тепе-теңдікті жазайық
. ... соң ... ді ге, ті ге ... ... (2.2.13) ... ... және олардың
қосындысын бір интегралға біріктіріп, екінші қосылғыштағы ті ге,
ны ге ... ... ... ... ... ... ... әрі ші ... ... ... оның ... ... (2.1.5) ... сәйкесті жіктелуін жазайық
.
Алынған жіктеуді екіншіден бастап, ... ... ... ... ... ... ал ... оған тең болатындай
алмастырсақ, онда
.
аламыз.
Аналогиялық түрде болғанда (2.1.5) ... ... ... ... ...
деп аламыз.
белгісі арқылы белгіленген санда минор
болатындай етіп таңдаймыз және оны (2.2.15) ... ... ... ... сол жақтан үшін алайық, ал қалған
бөлшектің (2.1.10) формулаға сәйкесті фундаментальды ... ... ... ... ... ті ға және ... (2.2.14) тепе-теңдікке сәйкесті белгілеулермен ауыстырамыз
.
үшін алынған өрнекті (2.2.14) тепе-теңдігіне қоямыз:
немесе
.
Тік ... ... ... ... ... соң ... аламыз, оларды арқылы белгілесек, сонда
,
яғни (2.1.6) теңдеудің кез-келген шешімі ... ... ... және ... ... ... ... алынған фундаментальды
функциялар жүйесі толық болады [8].
Енді Фредгольм теоремасының екінші аналогын тұжырымдайық.
Егерде теңдеуінің түбірі ... ... тең, ... ... ... интегралдық теңдеудің сызықтық тәуелсіз
шешімдері бар, бұл ... ... және (2.1.10) ... ал бұл ... ... ... олар ... сызықтық және
біртекті болып өрнектеледі.
Мысал 4. Теңдеудің жалпы ... ... ... ... ... ... тап.
, ,
, , , ,
, , .
,
, ,
, ,
.
(1.2.29)және (2.1.2) қатарлар ... ... және (1.2.34) ... ... табамыз
,
,
, және тағы басқа.
Сондықтан, , , (1.1.20) және (1.1.9) ... ... ... ... , ... мәндерін табамыз,
сондықтан сипаттауыш санның рангы және ,
, , яғни шешілетін теңдеудің фундаментальды ... ... ... ... ... есепті бастапқы шарттармен (1.1.1) ... ... үшін ... , ... ядро. болсын, сонда (1.1.10)
шешілетін теңдеу
немесе
жазылады, мұнда , ... әрі ... ... ... ... егерде деп алсақ.
интегралын есептеуден соң , яғни тұрақтыларын
біртекті теңдеулердің сызықтық тәуелсіздік жағдайларында аламыз және ... ... ... ... ... ... тең ... сипаттауыш санын
табамыз және бір ... ... ... Біртекті
теңдеудің жалпы шешімі , мұнда - кез-келген тұрақты.
(1.1.1) біртекті теңдеудің жалпы шешімін формула бойынша табамыз
,
мұнда ... бірі ... ... ... сонымен бастапқы
есепті шешу барысында қарама қайшылық туындаған жоқ, ... ... ... ... ... болып қалады, яғни
Коши есебінің шешімінің жалғыздығын бұзады [5].
Мысал 5. Коши есебінің арнайы ... ... , .
, , , , , .
, , ,
, .
, ... сан және (1.1.10) ... шарттан жазып, немесе табамыз. Біртекті
теңдеу
болады.
Бұдан және біртекті теңдеудің жалпы шешімі түрінде ... әрі ... және ... ... ... ... ... ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРИЯСЫНЫҢ ҮШІНШІ АНАЛОГЫ
3.1 ЕКІ ШЕШІЛЕТІН ИНТЕГРАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ
ШЕШІМДЕРІ АРАСЫНДАҒЫ БАЙЛАНЫС
Алдында біз (1.1.1) ... ... ... ... ... ... (1.1.10) және ядролы және (1.2.22)
Фредгольм теңдеуін ... ... Олар ... ... ... ... [6] ... (1.2.22) теңдеудің бірінші және жоғарғы
ретті детерминантты қатарларын :
. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... үшін ... ... ... ... детерминантты қатарының түрлендірулерінен бастайық:
(3.1.5)
(3.1.4) өрнекті (3.1.5) қоямыз:
.
.
Тік жақшадан (1.2.28) формуласына сәйкесті алуды байқау киын
емес, сонда
.
(3.1.6)
үшін ... ... ... ... ... шекті қатарының
детерминантын табамыз
,
(2.1.1)өрнегіне сәйкесті квадратты жақшадағы оның мәнімен алмастырып
. ... ... ... ... ... ... ... индукция бойынша ші ретті ... ... үшін ... ... алынған (1.1.10) және (1.2.22) екі шешілетін интегралдық
теңдеулердің ... ... ... құру үшін алдымен (1.1.1)
интегралдық дифференциалдық теңдеу үшін мына теңдеулерді ... ... ... ... онда (1.2.25) ... ... ... оның шешімдерін табамыз. Ал керісінше, егерде
(1.2.25) теңдеудегі шешімі белгілі ... онда (1.2.21) ... және оны (1.1.10) ... ... шешімін табамыз
.
(3.1.10)
Егерде сипаттауыш сан болмаса, онда (1.1.10) ... ... ... түрінде жазылады
.
Егерде енді (1.2.25)-ні (1.2.21) формуладағы үшін ... ... ... ... аламыз
,
(3.1.11)
бірақ бұл (1.2.22) теңдеудің шешімін Фредгольмнің тікелей формуласы бойынша
алуға болады
.
(3.1.12)
Енді (3.1.12) (3.1.10) қоямыз
және (3.1.6) формула ... ... ... ... болған
келеміз.
Бұл нәтижені алу үшін басқада нұсқалары болуы мүмкін. Ол үшін (3.1.11)-
ні (3.1.10)-ге қоямыз
және тік ... ... үшін (1.2.26) ... ... ... интегралды қосындыға бөліп сол нәтижені аламыз
.
Біртекті теңдеуге сәйкесті шешілетін теңдеудің (1.1.10) арнайы түрін
жазамыз
,
(1.1.10) алынған
.
(3.1.13)
(1.2.22) шешілетін ... ... ... ... ... (1.2.22) ... ... (3.1.13) тепе-теңдік орындалса, онда (3.1.15) орындалады және
керісінше. Сондайақ (3.1.14) ... ... (2.1.6) ... ... ... ... үшін (3.1.13) шартты қабылдауға болады.
Егерде рангысы болатын сипаттауыш сан болса, онда (2.1.6)
және (3.1.14) ... ... ... ... (3.1.16) формула
бойынша байланыс құрылады, яғни
, ... ... ... ... ... сонда (2.1.6) теңдеудің жалпы шешімін (3.1.17) теңдеудің шешімі
арқылы ... ... ... ... (3.1.18) ... ... ... беретін көру қиын
емес
.
(3.1.19)
Ол үшін (3.1.18) -пен ... (3.1.17) ... ... (2.1.6) біртекті теңдеуді қанағаттандыруы керек, яғни
, . ... ... ... ... және (3.1.20) ... ... ... аламыз
.
(3.1.19)
Аналогты қорыту үшін шешілетін (1.2.22) теңдеудің Фредгольмнің алғашқы екі
теоремасын ... ... ... ... ... шешілетін
(1.2.22) теңдеусіз дәлелдеуге қиын болады.
(1.1.1) теңдеу үшін ... екі ... ... сәйкесті біртекті теңдеу
,
.
(2.1.6) теңдеуге түйіндес теңдеуді тікелей құру мүмкіндігі өте қиын,
сонда (3.1.14) теңдеу үшін түйіндес ... өте ... ... ... ... ... сәйкесінше
.
(3.1.22)
болады.
рангысы болатын сипаттауыш сан болсын. (3.1.22)
үшін ядроның ... ... ... (2.1.6) ... ... ... қабылдай алады ма
деген сұрақ туындайды. Ия деп ... Ол үшін және ... ... ... енгіземіз
.
(3.1.24)
Бұл енгізілген скаляр көбейтіндіден коммутативтілік заң орындалмайды,
яғни функционалдық ... екі ... ... ... ... түйіндестігін дәлелдейік. Ол үшін дағы ті ге
және ді ге ауыстырсақ, сонда
.
Енді ді ге, ді ге, ті ке, ... ... ... дәлелденді.
Бұдан әрі (2.1.6) теңдеудегі сипаттауыш көпмүшеліктердегі ... ... ... ... яғни ... теорияларды (3.1.23) түйіндес теңдеуге сүйене отырып
құруға болады. Біз ең ... ... ... ... және біртекті
емес (1.2.22) интегралдық теңдеулер және (3.1.6) біртекті ... ... ... ... ... болатын сипаттауыш сан болсын, бұл жағдайда
(1.2.22) теңдеу сонда және тек ... ғана ... бар ... ... (3.1.22) ... ... ... функциясына
ортогональ болады(Фредгольмның үшінші теоремасы бойынша), яғни
, ... ... ... ... шешімі
Фредгольм теориясына сәйкесті формула бойынша
табылған.
өрнегі үшін (3.1.9) формуласы бойынша алуға болады.
(1.2.22) теңдеудің ... ... ол бар ... ... ... ... ... жалпыланған
резольвентасы,
. ... (1.1.10) ... ... ... ... ... еске түсіріп
және ол үшін (3.1.27) сәйкесті қоямыз
және
. ... әрі және ... ... ... арқылы
өрнектеуге болады және (1.1.10) ... ... үшін ... ... ... шешімділік шарты бойынша
, ... ... ... ... ... тұжырымдайық:
Егерде рангысы сипаттауыш сан болса, онда (1.1.10)
шешілетін ... ... ... ... ... бірақ (3.1.30)
ортогональдық шарт орындалса, онда (1.1.10) теңдеудің шешімі (3.1.29) ... ... ... ... ... (1.1.1) теңдеудің шешімі
(1.1.9) формуладан алынады.
Бұл ... ... ... ... ... ... (3.1.29) ... тұрақты, анықталмаған бастапқы шарттар бар. Ал ... ... ... ... 6. ... ... шешімін тап.
және сипаттауыш мәнінде теңдеудің шешімі бар болса.
, , ... ... , ... (1.1.10) ... ... ... .
(3.1.28)және рекуррентті формуланы қолдана отырып
және
анықтаймыз, және содан соң (1.2.25) және (1.1.9) формула ... ... ... ... және ... ... ... шешімін табамыз
,
.
Енді есептің шешімінің екінші бөлігіне көшейік.
теңестіріп, ... ... ... ... ... (1.1.11) ... бойынша ... ... ... (1.1.10) ... ... ... ... шешімі бар
болатындығын көрейік, ол үшін (3.1.30) ортогональдық шартының орындалуын
тексерейік.
.
3.2 СЫЗЫҚТЫҚ ... ... ... ... ... , және бар ... теңдеуді рет дифференциалдайық:
.
(3.2.32)
Бұрынғыдай сияқты белгісіз функциялар енгізейік
.
(3.2.33)
Соңғы ... рет ... ... ... ... ... қолдана отырып, шешілетін теңдеуге келеміз
.
(3.2.34)
Теңдеуден ... , ... ... ... бар болсын,
сонда оның шешімі
түрінде жазылады.
Кез-келген тұрақтыға вариациялау әдісін ... (3.2.36) ... ... ... ... жүйенің анықтауышы , функциясының фундаментальды жүйесінің
Вронский анықтауышы . Крамер ережесі бойынша шешімін табамыз
, ,
мұнда
,
ал анықтауышты ші ... ... ... ... ... интегралдаумен анықталады
.
Алынған өрнекті шешімге қойып
,
аламыз және белгілеулер енгізсек
,
(3.2.37)
(3.2.35) біртекті теңдеудің ... ... ... ... теңдеудің шешімі үшін нөлге тең ... ... ... ... интегралдар
,
өзара сызықтық тәуелсіз, пен .
Енді тағы да кез-келген тұрақтыны вариациялау әдісін қолданайық
бұл жүйенің бас анықтауышы. Қалған анықтауыштары
болады. Жүйені шеше ... ... ... алдыңғы жағдайлардағыдай ті ші баған және
соңғы қатар элементтерінің анықтауышы бойынша ... ... ... ... ... Сонда (3.2.38) теңдеудің шешімі
(3.2.40)
жазылады. Бұдан әрі артық кез-келген тұрақтыларды ... ... ... үшін ... ... ... ... дифференциалдық теңдеуге келеміз
. ... ... ... ... рет ... интегралдық теңдеудің арнайы түріне оңай түрленеді
, ... (3.2.40) ... ... ... ... (3.2.31) теңдеудің
жалпы шешімін аламыз.
Егерде Коши есебін қойсақ (3.2.31) теңдеудің ... ... ... сонда (3.2.40) формуладағы теңдеудің шешімінде
интегралдың төменгі шегінде ... ... ... алмастыру барысында интегралдың төменгі шегінің
пайда болуы (3.2.41) ... ... ... ал ... шығара
алмайтын жүктелген интегралдық дифференциалдық теңдеуді
шешу [1].
Шешімде тұрақтыларды сақтаудың басқа ... ... ... ... Коши ... шешкенде реттеуге болады. (3.2.31) теңдеуді
қойып, ... ... ... ... ... ... кез-келген артық тұрақтыларды ретке келтіреміз,
(3.2.43)
деп алып, шешілетін ... ... ... ... ... рет ... (3.2.42) ... арнайы түріне келеміз
. ... ... ... ... ... үшін ... және , сонда
(3.2.46)
жүйені аламыз.
тұрақтылардың бірі бастапқы берілгендерді қолданып, алдын-ала
анықтауға болады. ... ... ... ... ... жойылады,демек
.
Қарастырылатын шешімнің нұсқауларында Коши есебінің шешімін қатты
күрделендіреді, сондықтан рационалдырақ болатын бұл жағдайда алдымен ... және одан соң ... ... қолдана отырап, қалған
тұрақтыларды анықтау [7].
Мысал 7. Коши есебінің шешімін тап.
,
,
.
Соңғы ... ... ал ... соң ... ... ... ... жалпы
шешімі
.
деп алып, анықтаймыз:
.
жалпы шешімін үшін табылған өрнекті қойып Коши есебінің шешімін
табамыз
.
қарастырылатын жағдайды жалғастырамыз
(3.2.47)
деп алсақ, сонда ... ... ... ... түрге келеді, немесе
(3.2.48)
мұнда .
жағдайында егерде сипаттауыш сан ... (3.2.48) ... (1.2.22) ... ... ... және (3.2.47) ... шешімі
(3.2.50)
жазылады.
(3.2.47) интегралдық дифференциалдық теңдеу үшін бастапқы ... ... ... және ... (3.2.48) ... ... ... ... ... ... .
жағдайында егерде сипаттауыш сан болмаса, теңдеудің
шешімі формуласына ... ... және Коши ... ... ... ... ... мұнда , , және және бар
болсын.
(3.2.47) теңдеуді рет дифференциалдап:
, ... соң деп ... ... рет дифференциалдап
(3.2.52)
теңдеуге шешілетін, аналогиялық түрде және кез-келген тұрақтыны екі ... ... ... ... ... ... оған сәйкес келетін
біртекті теңдеуді қарастырайық
,
бұдан
шығады.
Егерде болса , ... ... ... ... онда бұл ... ... түрінде жазылады, бұдан әрі барлығы
аналогиялық түрде болады.
Жүйенің кез-келген тұрақтыларына вариациялау әдісін қайтадан қолдануда
олардың анықталуы бірнеше рет өзгереді
Бұл ... ... ... ... ... ... ші баған элементтері бойынша
жіктеудегі алгебралық толықтауыштар
Сонда (3.2.52) теңдеудің шешімі
. ... әрі жеке ... ... айналдырамыз
,
табамыз және белгісіз өрнекті үшін белгілеулер енгізейік
, ... ... ... ... ... ... рет ... оны интегралдық теңдеудің
арнайы түріне түрлендіреміз
, ... ... ... (3.2.54) ... ... (3.2.47) ...
жағдайында жалпы шешімін табамыз [4].
(3.2.47) теңдеудің , берілгенін қарастырайық. Бұл жағдайды
тіпті бір теңдікте болған ... ... ... қиындалына береді. Сол
себепті мұндай жағдайда Коши тапсырмасының шешімін рациналды ... ... ... одан ... ... ... ... болады.
ҚОРЫТЫНДЫ
Дипломдық жұмысты қорыта ... ... ... теория жүзінде қарастырдым, интегралдық, интегралдық
дифференциалдық теңдеулердегі қарапайым және ... ... ... ... ... және білімімді жетілдірдім.
Дипломдық жұмыста берілген тапсырмаларды жұмыстың мақсатына байланысты
анықталынды: интегралды теңдеу туралы білімдерін ... ... ... ... ... ... қарастырылды,
дифференциалды және өзгеде теңдеулер түрлерін шектемелі аргументтермен
қарастырып, сонымен бірге оларды ... ... ... ... ... Михлин С.Г. Лекций по линейным интегральным уравнениям. М.: ГИФМЛ,
1959.-234 с.
2. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в ... ... г.-303 ... М.Л. Интегральные уравнения. Задачи и ... год. 192 ... ... И.Г. ... интегральные уравнения. Изд-во Моск. Ун-
та, 1984.-136 с.
5. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. ... ... 2-е ... М.: ... ... с.
6. Некрасов А.И. Об одном ... ... ... // ТР.Цаги, в.190.-М.,1934.
7. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и ... ... Пер с ... М.: ... 1982 г.-304 ... ... Г.А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения. Учебное
пособие. Часть I, II, III, IV. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2007 г.-195 ... ... Г.А. ... интегро-дтфференциальные уравнения Фредгольма
с запаздывающим аргументом. Изд-во БГУ.-Улан-Удэ, 2006г

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 22 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 000 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Дифференциалдық теңдеулерді шешудің Ранге-Кутта әдісі7 бет
050717 – Жылуэнергетика мамандығы бойынша оқитын студенттердің оқу -өндірістік машықтанудан өтуге арналған әдістемелік нұсқау8 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
«АБДИ» компаниясының қаржысын басқаруды талдау және оның тиімділігін арттырудың кейбір жолдарын ұсыну77 бет
«Девиантты мінез – құлқы бар балаларды анықтау және оқыту проблемаларын шешудің болашақ даму жолдары»9 бет
«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»47 бет
Іле-Алатауы кейбір мүктерінен биологиялық белсенді заттарды алудың сызба-нұсқасын жасау және анализдеу56 бет
Алгебралық теңдеулердің шешудің жанама әдісі7 бет
Алматы қаласының кейбір ағаш өсімдіктерінің салыстырмалы экологиялық ерекшеліктері27 бет
Анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа әдістері23 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь