Интегро-дифференциалдық теңдеулерді шешудің кейбір әдістері

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3
ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ БІРІНШІ АНАЛОГЫ ... ... ...
5
Интегралды диффреренциалды теңдеулерді интегралды теңдеулерге келтіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

5
Сипаттауыш көпмүшелік және А.И.Некрасовтың минорлы қатары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

12
ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ ЕКІНШІ АНАЛОГЫ ... ... ...
27
Жоғарғы ретті минорлы қатарлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
27
Сызықтық тәуелсіздік және фундаментальды функциялар жүйесінің шешімдерінің толықтығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

34
ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ ҮШІНШІ АНАЛОГЫ ... ... ...
43
Екі шешілетін интегралдық теңдеулердің шешімдері арасындағы байланыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

43
Сызықтық интегралдық дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... .
55
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
68
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 69

XVIII-XIX ғасырларда физиктер мен математиктер интегралды дифференциалды теңдеулермен шешілетін есептерді зерттеді.Мысалы:
1) серпімді аралық тепе теңдігі бойынша Проктор есебі
2) айналмалы тербеліс бойынша Вольтерр есебі
3) ұшақ қанатын есептеу Прандтля есебі
Интегралды дифференциалды теңдеулер теориясын жасау тарихы 1903 жылы Бурбакидің жұмыстарынан басталды. 1934 жылы А.И.Некрасов [6] интегралды дифференциалды теңдеулерді зерттеу және шешу бойынша маңызды нәтижелерді жариялады. Кейіннен осы жұмыстың идеясын С.Г.Михлин [1], М.Л.Краснов [2], И.Г.Петровский [4] және басқалар дамытты.

1. Михлин С.Г. Лекций по линейным интегральным уравнениям. М.: ГИФМЛ, 1959.-234 с.
2. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. Уч.пособие. 1975 г.-303 стр.
3.Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Задачи и упражнения. Уч.пособие.1968 год. 192 стр.
4. Петровский И.Г. Линейные интегральные уравнения. Изд-во Моск. Ун-та, 1984.-136 с.
5. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. 2-е изд., стереот., М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.-160 с.
6. Некрасов А.И. Об одном классе линейных интегро-дифференциальных уравнений // ТР.Цаги, в.190.-М.,1934.
7. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Пер с англ. М.: Наука, 1982 г.-304 с.
8. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения. Учебное пособие. Часть I, II, III, IV. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2007 г.-195 с.
9. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дтфференциальные уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом. Изд-во БГУ.-Улан-Удэ, 2006г

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 46 бет
Таңдаулыға:

Интегро-дифференциалдық теңдеулерді шешудің кейбір әдістері

Мазмұны

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
1 ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ БІРІНШІ АНАЛОГЫ ... ... ... 5
1.1Интегралды диффреренциалды теңдеулерді интегралды теңдеулерге
келтіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5
... ... ... ... ... ...
1.2Сипаттауыш көпмүшелік және А.И.Некрасовтың минорлы
қатары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2 ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ ЕКІНШІ АНАЛОГЫ ... ... ... 27
2.1Жоғарғы ретті минорлы 27
қатарлар ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
..
2.2Сызықтық тәуелсіздік және фундаментальды функциялар жүйесінің
шешімдерінің толықтығы 34
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
3 ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ ҮШІНШІ АНАЛОГЫ ... ... ... 43
3.1Екі шешілетін интегралдық теңдеулердің шешімдері арасындағы
байланыс ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...43
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .
3.2Сызықтық интегралдық дифференциалдық 55
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... 68
... ... ... ... ... ... ... ... .. ..
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 69
ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

КІРІСПЕ

XVIII-XIX ғасырларда физиктер мен математиктер интегралды
дифференциалды теңдеулермен шешілетін есептерді зерттеді.Мысалы:
1) серпімді аралық тепе теңдігі бойынша Проктор есебі

;

2) айналмалы тербеліс бойынша Вольтерр есебі

;

3) ұшақ қанатын есептеу Прандтля есебі

.

Интегралды дифференциалды теңдеулер теориясын жасау тарихы 1903
жылы Бурбакидің жұмыстарынан басталды. 1934 жылы А.И.Некрасов [6]
интегралды дифференциалды теңдеулерді зерттеу және шешу бойынша маңызды
нәтижелерді жариялады. Кейіннен осы жұмыстың идеясын С.Г.Михлин [1],
М.Л.Краснов [2], И.Г.Петровский [4] және басқалар дамытты.
Интегралды дифференциалды теңдеулерге белгісіз функциясы және оның
туындылары интеграл астына немесе интегралдың сыртына кіретін функционалды
теңдеулер жатады. Сондықтан, интегралды теңдеулерге қарағанда оларға
белгісіз функцияның туындылары жатады. Интегралды дифференциалды теңдеулер,
интегралды сияқты Фредгольм және Вольтерр типті теңдеулерге бөлінеді.
Фредгольм типті сызықты емес интегралды дифференциалды теңдеуге
қатысты жалпы есебін келтіреміз:

.

Жұмыстың мақсаты: Жұмыстың негізгі мақсаты интегралды дифференциалды
теңдеулер үшін Фредгольм теоремасын қолданып интегралды теңдеулерге
келтіру болып табылады. Интегралдық дифференциалдық теңдеулерді шешуде
Фредгольм теоремасының бірінші, екінші, және үшінші аналогтары бойынша
қарастыру. Шешілетін интегралдық теңдеудің арнайы түрін шешу, ядро және
резольвентаны интегралдау, Коши есебі, Коши специкалық есебі, шеткі
есептерімен сыртқы және ішкі дифференциалды операторлардың реттіліктерінің
қатынастарына байланысты есептерді шешу және т.с.с.
Зерттеу әдістері: Жұмысты дайындау барысында интегралды
дифференциалды теңдеулер үшін Фредгольм теоремасы және кейбір есептеулер
қолданылды. Сондай-ақ, А.И. Некрасовтың [6] минорлы қатары есептеулерде
қолданылады.
Дипломдық жұмыстың құрылымы: Жұмыстың негізгі бөлімі, үш тараудан
және алты парагрофтан құралған.
Бірінші тарауда, Фредгольм теоремасының бірінші аналогын енгізу
мәселесі, интегралды теңдеуге келтіру және А.И. Некрасовтың [6] минорлы
қатары қарастырылады.
Екінші тарауда, Фредгольм теоремасының екінші аналогын енгізуге
арналады. Бұл жерде жоғарғы ретті минорлы қатарлар арасындағы байланыс,
сызықтық тәуелсіздік және фундаментальды функциялар жүйесінің шешімдерінің
толықтығы қарастырылады.
Үшінші тарауда, Фредгольм теоремасының үшінші аналогы қарастырылады,
мұнда екі шешілетін интегралдық теңдеулердің шешімдері арасындағы байланыс
және сызықтық интегралдық дифференциалдық теңдеулер қолданылды.

1. ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ БІРІНШІ АНАЛОГЫ

1. ИНТЕГРАЛДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫ ТЕҢДЕУЛЕРДІ
ИНТЕГРАЛДЫ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРУ

Теңдеуді қарастырайық

(1.1.1)

мұнда

Екі дифференциялдық операторлардың коэффициенттері-үзіліссіз функция-
лар ядросы квадратында регулярлы, сандық параметр және
.
Шешілетін интегралдық теңдеуге келтіру есебін қояйық.
дифференциялдық теңдеулердің фундаментальді шешімінің жүйесі болсын

,
(1.1.2)

cонда оның жалпы интегралы

(1.1.3)

түрінде жазылады.
(1.1.2) теңдеуді

(1.1.4)

деп алайық, мұнда әзірше белгісіз функция.
(1.1.4)теңдеудегі ті белгісіз функция арқылы өрнектеу
үшін еркін тұрақтыларды вариациялау әдісін қолданамыз, яғни (1.1.4)
теңдеудің шешімін

түрінде іздейміз.
Сонда белгісіз жүйеден анықталады

(1.1.5)

Бұл жүйенің бас анықтауышы ті (1.1.2) теңдеудегі
функциясының фундаментальды жүйенің Вронский анықтауышы .

(1.1.6)

Сонда Крамер формуласы бойынша

табамыз немесе элементінің соңғы қатарына алгебралық толықтауыш
арқылы белгілесек

(1.1.7)

аламыз.
(1.1.7) өрнекті интегралдасақ анықтаймы:

(1.1.8)

және формуласына қойып, (1.1.4) теңдеудің жалпы интегралын

(1.1.9)

Сонымен (1.1.9) өрнек (1.1.1) интегралдық дифференциялдық
теңдеуді қанағаттандыруы үшін функциясын таңдауды қояйық. Ол үшін
(1.1.9) ті рет дифференциялдап және (1.1.5) теңдікті ескеріп,

аламыз.
Енді (1.1.9) және оның туындылары және функциялары
(1.1.1) теңдеуді қанағаттандыру керек екендігін талап етеміз.Олардың
өрнектерін (1.1.1) теңдеуге қойып шешілетін интегралдық теңдеудің арнайы
түріне келтіреміз.

(1.1.10)

мұнда белгісіз функция,

және

(1.1.10) теңдеудің шешімін Нейман қатары түрінде іздейміз

.
(1.1.11)

Егерде (1.1.10) теңдеудің шешімін (1.1.11) қатар түрінде ұсынылса онда
оны (1.1.10) теңдеуге қойып және бірдей дәрежелі ның коэффициенттерін
теңестіріп,бұл қатардың коэффициенттері үшін рекурренті формуласын аламыз:

Бұл қатардың келесі (1.1.12) шектеулермен жинақтылығын дәлелдейік:

.

(1.1.11) қатардың оң жағындағы бағалау коэффициенттерінен сандық қатар
құрайық

.
(1.1.13)

(1.1.13) қатардың мүшелері алымындағы бірге геометриялық
прогрессия құрайтындығын және болғанда жинақты болып

(1.1.14)

орындалатындығын оңай көруге болады.
(1.1.13) қатарды құру үшін ол (1.1.11) қатар үшін мажорланған болып
және Вейершрасс критериі бойынша қатар абсолютті жинақты және
бірқалыпты болып табылады, мұнда (1.1.12) және (1.1.14) шектеулер
орындалады [2].

Мысал 1. Теңдеуді шешеміз

.

(1.1.2) теңдеу болады, оған сәйкесті сипаттаушы теңдеу
, ал түбірлері , болады және бұларға сәйкесті (1.1.2)
теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері , болып, жалпы шешім
ретінде жазуға болады.
(1.1.4) теңдеудің шешімін табу үшін еркін тұрақтыларды вариациялау
әдісін қолданамыз бұдан , , ,

,

,

, .

Бұдан әрі және функцияларын (1.1.10) теңдеудегі сәйкесті
белгілеулермен құрайық

, .

(1.1.1) теңдеудің шешімін белгісіз функциясы арқылы (1.1.9)
формула бойынша жазылады:

,

ал оның (1.1.10) шешілетін теңдеуі мына түрде болады

.

Шешімді (1.1.11) қатар түріндегі шешілетін теңдеуге қойсақ, осы қатардың
коэффициентін анықтаймыз

, , ... ,

, ... , қолданып (1.1.10) теңдеудің шешімін табамыз

.

Бұл шешімді (1.1.9) формулаға қойсақ, берілген интегралдық
дифференциялдық теңдеудің шешімін

түрінде аламыз.

(1.1.11) қатардың коэффициенттерін түрлендірейік, ол үшін
өрнегін ке қойып, алдын-ала өрнегін және
алмастырамыз, сонда интегралдау ретінің өзгеруінен

. (1.1.15)

аламыз.
Алғашқы берілген ядроны бірінші үшін

,

ал квадратты жақшадағы итерацияланған ядроны екінші үшін қолдансақ

,

аламыз. Одан соң коэффициенттерін түрлендіреміз.

,

мұнда

,

дәл осындай ,

мұнда
, .

(1.1.11) қатардағы коэффициентінің жаңа өрнегіне қойып және осы
қатардың бірқалыпты жинақтылығынан бір интеграл астындағы барлық
қосылғыштарды топтастырып

.

табамыз.
Квадратты жақшадағы қатарды резольвента деп және оны

. (1.1.16)

белгілейміз.
Сонда шешілетін теңдеудің шешімі резольвента арқылы

.
(1.1.17)

түрінде жазылады [4].
Резольвентаның бірқалыпты және абсолютті жинақтылығын аналогиялық
түрде (1.1.11) қатардағы сол шектеулермен жасалғандай дәлелдеу қиын емес.
Егерде коэффициенттерін түрлендіру үшін интегралды басқа ретпен
алмастыруды қолдансақ, онда итерацияланған ядро үшін басқа формуланы аламыз

, , (1.1.18)

Интегралдық теңдеудің резольвентасы тағы да екеуін құруға болады.
(1.1.16) резольвента қатарына итериацияланған ядро мәнін қоюға болады
, .

Резольвента үшін өрнектің бірқалыпты жинақтылығынан қайта жазуға
болады

,

Бұл жерден квадраттық жақшадағы тағы да резольвента екенін көреміз

. (1.1.19)

Егерде (1.1.16) резольвента қатарына (1.1.18) итериацияланған өрнекті
қойсақ, онда қайта есептеп келесі резольвента теңдеуін аламыз

. (1.1.20)

1.2 СИПАТТАУЫШ КӨПМҮШЕЛІК ЖӘНЕ А.И.НЕКРАСОВТЫҢ
МИНОРЛЫ ҚАТАРЫ

(1.1.10) шешілетін теңдеуді шешуге Нейман қатарын қолданып (1.1.14)
шектеулерін аламыз.
Бұдан әрі (1.1.10) теңдеуді параметрге қатаң шектеулерсіз
шешеміз. Ол үшін жаңа белгісіз функция енгіземіз

(1.2.21)
.
және (1.1.10) теңдеудегі ті (1.2.21) теңдікке қойып,

аламыз, бұл жерде белгісіз өрнектер үшін белгілеулер енгізіп, Фредгольмнің
интегралдық теңдеуіне келеміз

,
(1.2.22)

мұнда

, .

(1.2.22) теңдеуге Фредгольм теоремасын сипаттауыш көпмүшелікке
[1] сәйкесті қолданамыз

және содан соң (1.2.22) теңдеудегі ядроны -ға қойып, анықтауышты
түрлендіріп, (1.1.1) теңдеу үшін сипаттауыш көпмүшелікті аламыз

.
(1.2.23)

(1.1.10) теңдеуді эквиваленттілігін және (1.2.22) теңдеудегі
сипаттауыш сандарды сәйкес мүмкіндігін күтуге болады. Белгілеулер

қайта жазып

.
(1.1.24)

(1.1.10) теңдеудің шешіміне (1.1.17) түріне қайта ораламыз

.

Резольвентаны түрінде іздейміз, мұнда әзірше
белгісіз функция. Сонда (1.1.10) теңдеудің шешімі мына түрге келеді

.
(1.2.25)

анықтау үшін (1.1.19) резольвента теңдеуін қолданып интегралдық
теңдеуді аламыз

. (1.2.26)

Бұл функцияны қатардың көмегімен аламыз

,
(1.2.27)
оны (1.2.26) теңдікке қойып, бірдей дәрежелі коэффициенттерін теңестіріп

,

.

Аналогиялық түрде

.

... .. ... ... .. ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... .

... ... ... ... ... ... .. ... . ... ... ... . ... ... .. ... ...
... .. ... ... .. ... .. ... ... ... ... ...

(1.1.27) қатарға табылған өрнекті қойып, А.И.Некрасовтың [6]
минорлы қатарын –Фредгольмның минорлы қатарына ұқсастығын аламыз

.
(1.2.28)
(1.1.24) формулаға белгілеулерді қолданып қатар қайта жазылады

.
(1.1.29)

қатарын жинақтылыққа зерттейміз( қатары аналогиялық түрде
зерттеледі).
қатарының коэффициенттері үшін (1.2.23) белгілеулер енгіземіз

,

,

мұнда

, .

сонда (1.2.21) қатар

.
(1.1.30)

түріне келеді
(1.1.30) қатардың жинақтылыққа дәлелдеу үшін Адамара теңсіздігін еске
түсіреміз. Егерде болғанда, онда

;

және болсын, сонда

.

бағалауынан (1.1.23) қатар мүшелерінен оң сандық қатарын
құрамыз, жинақтылыққа Даламбер белгісін пайдаланып дәлелдейміз

,

сондықтан

.

қатары құру бойынша (1.1.30) қатар үшін мажорланған болады және
шындығында (1.1.30) қатар Вейершрасс критерии бойынша барлық мәнінде
бірқалыпты және абсолютті жинақталады.
Бәрінен бұрын Фредгольм теоремасының бірінші аналогын тұжырымдау үшін
,алдымен (1.2.25) формуладағы функциясы (1.1.10) теңдеуді
қанағаттандыратындығына көз жеткіземіз. (1.2.25) формуладағы
функциясының мәнін (1.1.10) теңдеуге қоямыз, қысқартамыз,
айнымалылардың атын өзгертеміз, жалпы көбейткішті шығарып, бір жалпы
интеграл астына топтастырамыз. Нәтижесінде бірінші резольвента теңдеуіне
келеміз

,

,

бұдан, өйткені ,жалпы айтқанда , онда

,

яғни

.

Содан соң (1.2.25) формадағы (1.1.10) теңдеудің шешімінің жалғыздығын
дәлелдейміз.
Дәлелдеуді кері жору әдісімен жүргіземіз. (1.1.10) теңдеуді басқа
шешімі болсын, сонда

. (1.2.31)

Бұл тепе-теңдікте ты ға алмастырамыз, оны

көбейтіп және интегралдаймыз.

.

* белгіленген өрнектер:

,

екінші интегралдық теңдеудің резольвентасы , оны соңғы қосылғышқа
қойып интегралдардың қосындысына тіркеп жазамыз

;

сонда бірінші және соңғы қосылғыштар жойылады.

(1.2.32)
.

(1.2.32)-ні (1.2.31) теңдеуге қойсақ интегралдар айырмасын жазып

.

Демек, квадратты жақшадағы резольвента болса ((1.1.19)сәйкесті) онда
яғни . Жалғыздығы дәлелденді.
Фредгольм теоремасының бірінші аналогын тұжырымдайық.
Егерде , (1.1.10) шешілетін интегралдық теңдеудің (1.2.25)
формуламен анықталатын жалғыз шешімі бар

,

және және қатарларда барлық мәнінде абсолютті
және бірқалыпты жинақты.
Анықтама. болғандағы мәнін және ядроларының
сипаттаушы немесе фундаментальды саны деп атаймыз [7].
,

(1.2.23)-дегі қосылғыштарды (1.2.30)-ғы мен (1.1.28) формуланы
(1.1.29) мен салыстырсақ , екендігін келесі формуладан көреміз

,
(1.2.33)

.
(1.2.34)

(1.2.34) теңдікті көбейтіп бойынша интегралдаймыз:

.

Соңғы теңдіктің оң жағын ті ге, ді ге,...,
және ге, ді ге,..., алмастырсақ
коэффициенттерін аламыз, яғни

.
(1.1.35)

(1.1.35) деп алсақ,

табамыз.
коэффициенттерін анықтау үшін (1.2.26) интегралдық теңдеуді
үшін пайдаланамыз.
(1.2.26) теңдікке (1.1.29) қатарды қоямыз

,

бірдей коэффициенттерін теңестіріп ті ке және
тіге ауыстырып,

. (1.1.36)

Енді, деп (1.1.36) қойып,

анықтаймыз, бұдан әрі (1.2.35) және (1.2.36) рекурренттік формуланы
қолданамыз.
Ескерту 1. Егерде болғанда, яғни сипаттауыш сан болмаса,
ал болса (1.1.10) шешілетін интегралдық теңдеу тек қана нөлдік
шешімге ие болады,және (1.1.1) интегралдық дифференциалдық теңдеудің шешімі
дифференциалдық теңдеудің шешімдері мен дәлелге дәл келеді.

, яғни .

Ескерту 2. Егерде , болса, онда шешілетін (1.1.10)
интегралдық теңдеудің шексіз көп шешімі бар және ол сәйкесінше (1.1.1)
интегралдық дифференциалдық теңдеудің шексіз шешімдері болады.

Ескерту 3. және жағдайын ерекше қарауға болады.
Мысал 2. .

, , , , ,

, , .

,

(1.1.7) және (1.1.10) белгілеулерге сәйкес табамыз

, , , ,

, ,

,

.

(1.1.35) және (1.1.36) рекуррентті формулаларды пайдаланып (1.2.30)
және(1.2.29) қатардың коэффициенттерін табамыз

, , ,

,

,

,

сонымен, , және т.б.
(1.2.30) және (1.2.29) формула бойынша

, .

табамыз.
Сонда (1.1.11) және (1.2.25) формулаға сәйкесінше алдымен ті

содан соң (1.1.9) формула бойынша анықтаймыз

,

, .

(1.1.1) интегралдық дифференциалдық теңдеуді бастапқы шарттарымен
бастапқы есебін қарастырамыз

, және .

Бастапқы шартты ескере отырып, (1.1.9) формуладан (1.1.1) теңдеудің
шешімін белгісіз функция арқылы қайта жазуымызға болады

.

тұрақтының мәні бұл этапта бастапқы есептің шешімін анықтауға
болады. деп алсақ формуладан қатысты сызықты алгебралық
жүйені аламыз

, ,

бұл әрқашан шешімі бар, демек бұл жүйенің бас анықтауышы Вронский
анықтауышының мәні бар нүктесіндегі , фундаментальды
функцияның жүйесі болады

жүйенің тұрақтының мәнін есептеп және оларды (1.1.10)
теңдеудегі өрнегіне қойсақ, шешілетін интегралдық теңдеудің арнайы
түріне келеміз

,

мұнда және (1.1.10) фолмуладағыдай.
сипаттауыш көпмүшелігін және алғашқы минорлы қатарын
табу үшін (1.1.10) теңдеуді шешуде бастапқы шарттарды ескере отырып

,

.
(1.2.37)

Берілген бастапқы шарттармен (1.1.1) және (1.1.10) теңдеуді шешімдерін

,

формула бойынша табамыз [5].

Мысал 3. Коши есебінің шешімдерін және сипаттауыш сандарды анықтау.

. ,

, ,

.

Бұл жерде 1-ші мысалдағы есептеу нәтижесі қолданылады. Бұдан әрі
деп алып, және тұрақтыларын тауып жүйені жазсақ

, бұдан , және

, .

шешілетін теңдеу

жазылады.
Енді және мәндерін (1.2.29) және (1.2.37) формуласы
бойынша табамыз. Сонда берілген екінші және жоғарғы ретті анықтауыштары
нөлге тең болса, онда

,

.

және формуласы бойынша

,
.

табамыз.
нөлге теңестіріп

сипаттауыш мәнін табамыз.

2 ФРЕДГОЛЬМ ТЕОРЕМАСЫНЫҢ ЕКІНШІ АНАЛОГЫ

2.1 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ МИНОРЛЫ ҚАТАРЛАР

Келесі қатарларды жоғарғы ретті минорлы қатар деп атаймыз

, .
(2.1.1)

Жоғарғы ретті минорлы қатарын келесі шектеулермен , ,
жинақтайық. Сонда Адамар теңсіздігімен сәйкесті

,

(2.1.1) қатардың мүшелері үшін шектеулерді аламыз

.

қатары Даламбер белгісі бойынша, мұнда , сонымен

жинақталады.
Бұл шек бірінші тарауда (1.2.29) қатарының жинақтылыққа зерттеу
барысында қарастырылып қойылған. Сондықтан (2.1.1) қатары Вейерштрасс
критерии бойынша бірқалыпты және абсолютті жинақталады.
Минорлы қатарлар арасындағы оның құрамына кіретін анықтауыштарды қатар
және баған элементтеріне жіктеу тәуелділігін алайық. (1.2.28) формуладағы
екінші ретті минорлы қатарынан бастайық. үшін оның анықтауышын
бірінші қатардың элементтеріне жіктейміз:

.

және көбейткіштері бар мүшелерін топтап және ортақ
көбейткішті жақша сыртына шығарып, жақша ішіне сәйкесті өрнекті алып,
және жіктеуін аламыз:

Симметриялық жазба үшін анықтауыштар қатарын алмастырып, содан соң
ке, ке және қарама-қарсы ке және ке және т.б.
ауыстырамыз

формуладағы тік жақшадағы көрсеткіш фредгольмның минорлы
қатарынан екенін көреміз.
Мұндағы ті , ті ке ауыстырып,.

.
(2.1.2)

аламыз.
Бесінші минорды үшінші қатардағы элементтен (жекеше түрде)
(1.2.29)түсінігін пайдаланып, ажыратып аламыз. Сонда бұл (2.1.1) қатар
былай жазылады

немесе

. (2.1.3)

ның қатар бойынша минорға жіктеу үшін формуланы аламыз

. (2.1.4)

Енді аналогиялық түрде ны баған бойынша минорға жіктеу
формуласын алуға болады

. (2.1.5)

(1.1.10) біртекті емес теңдеудің арнайы түріне сәйкесті біртекті
интегралдық теңдеуді жазамыз

.
(2.1.6)
(2.1.6)теңдеудің фундаментальдық функциясын табу үшін бізге
туындысы қажет болып, оларды табамыз
,

.

Квадратты жақшалы (2.1.1) формуламен сәйкес келетін аламыз және
сонымен

.
(2.1.7)

Аналогиялық түрде

, (2.1.8)

... ... ... . ... ... ... . ... . . ... ...
... ... .. ... .. ... ...

(2.1.9)

табамыз.
сипаттауыш теңдеудің еселі түбірі болсын, сонда
, , ... , ал тең. (2.1.9)формуладағы
деп алсақ, сонда , , ..., , .
, , ..., , осындай формуладан керісінше ,
, ..., , ал екендігін көру қиын емес, яғни ,
теңдеудің еселі түбірі болып табылады [2-3].
Анықтама.Сипаттауыш санның рангі деп жоғарғы ретті минордың бірінші
реті нөлге тепе-тең емес.
Жоғарыда қарастырылған жағдайда сипаттауыш санның рангі
тең.
Енді сипаттауыш сан үшін ранг деп алайық. ретті
минорды қатары бойынша жіктеп және оған

,

деп аламыз, мұнда және кез-келген сан, бірақ мұндай -ші
минордың реті нөлге тепе-тең бола алмайды.
Сонда (2.1.6) формадағы минордың өрнегі болғандағы қосылғыш
қосындыда жоғалып, яғни

аламыз.
(2.1.6) біртекті интегралдық теңдеудің шешімінен

функциясын алуға болады,мұнда , яғни әртүрлі шешімдері бар
болады.Алынған шешімдерді бөлейік және (2.1.6) теңдеу қаншалықты
біртекті болса, онда функция

,
(2.1.10)

Мұнда оның шешімдері болып табылады.
Анықтама. (2.1.10) формуладығы функциясын сипаттауыш
санның фундаментальды шешімдері деп атаймыз.
(2.1.10) формуладан фундаментальды функцияның өте маңызды екі қасиеті
шығады.

1) , 2)
(2.1.11)

демек бірінші жағдайда алымы бөліміне тең, ал екіншіде алымында екі бірдей
қатар пайда болады [8].

2.2 СЫЗЫҚТЫҚ ТӘУЕЛСІЗДІК ЖӘНЕ ФУНДАМЕНТАЛЬДЫ
ФУНКЦИЯЛАР ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.