Тригонометриялық функциялар
КІРІСПЕ
1 МЕКТЕП КУРСЫНДА ТРИГОНОМЕТРИАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫ ҮЙРEНУДІҢ ЖАЛПЫ МӘСЕЛЕЛЕРІ
1.1 ТРИГОНОМЕТРИАЛЫҚ ФУНКЦИЯ ТУРАЛЫ ҚЫСҚАША ТАРИХИМАҒЛҮМАТТАР
1.2 МЕКТЕП КУРСЫНДА ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚФУНКЦИЯ.ЛАРДЫ ҮЙРЕНУДІҢ ЖАЛПЫ МӘСЕЛЕЛЕРІ
1.3 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАР
1 Кез келген бүрыштың тригонометриялық функциялары
2 Тригонометриялық тепе.теңдіктер
3 Қосу және жарты бұрыштардың формулалары
2 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСІЗДІКТЕР
2.1 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ГРАФИКТЕРІ МЕН ҚАСИЕТТЕРІ
2.2 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ ӘДІСІ
2.3 ГЕОМАТРИЯЛЫҚ ЖӘНЕ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСІЗДІК ТЕРДІ ВЕКТОРЛЫҚ ӘДІСТІ ПАЙДАЛАНЫП ДӘЛЕЛДЕУ
3 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ БІР ТЕНДЕУДІҢ ШЕШІМДЕРІ АРҚЫЛЫ ТАРИХ ПЕНІНДЕГІ «ЖОНҒАР ШАПҚЫНШЫЛЫҒЫ» ТАҚЫРЫБЫН СИПАТТАУДЫН МОДЕЛІ ТУРАЛЫ
3.1 АНАЛИТИКАЛЫҚ ЖӘНЕ ГРАФИКТІК ШЕШУДІҢ ӘДІСТЕРІ
3.2 БЛОК.СХЕМА ЖӘНЕ ПРОГРАММАЛАУ
ҚОРЫТЫНДЫ
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕРТІЗІМІ
1 МЕКТЕП КУРСЫНДА ТРИГОНОМЕТРИАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫ ҮЙРEНУДІҢ ЖАЛПЫ МӘСЕЛЕЛЕРІ
1.1 ТРИГОНОМЕТРИАЛЫҚ ФУНКЦИЯ ТУРАЛЫ ҚЫСҚАША ТАРИХИМАҒЛҮМАТТАР
1.2 МЕКТЕП КУРСЫНДА ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚФУНКЦИЯ.ЛАРДЫ ҮЙРЕНУДІҢ ЖАЛПЫ МӘСЕЛЕЛЕРІ
1.3 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАР
1 Кез келген бүрыштың тригонометриялық функциялары
2 Тригонометриялық тепе.теңдіктер
3 Қосу және жарты бұрыштардың формулалары
2 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСІЗДІКТЕР
2.1 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ГРАФИКТЕРІ МЕН ҚАСИЕТТЕРІ
2.2 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ ӘДІСІ
2.3 ГЕОМАТРИЯЛЫҚ ЖӘНЕ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСІЗДІК ТЕРДІ ВЕКТОРЛЫҚ ӘДІСТІ ПАЙДАЛАНЫП ДӘЛЕЛДЕУ
3 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ БІР ТЕНДЕУДІҢ ШЕШІМДЕРІ АРҚЫЛЫ ТАРИХ ПЕНІНДЕГІ «ЖОНҒАР ШАПҚЫНШЫЛЫҒЫ» ТАҚЫРЫБЫН СИПАТТАУДЫН МОДЕЛІ ТУРАЛЫ
3.1 АНАЛИТИКАЛЫҚ ЖӘНЕ ГРАФИКТІК ШЕШУДІҢ ӘДІСТЕРІ
3.2 БЛОК.СХЕМА ЖӘНЕ ПРОГРАММАЛАУ
ҚОРЫТЫНДЫ
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕРТІЗІМІ
Тарих пәніне үңіліп, оған назар аударған кез келген индивид мынадай логикалық көсе-көлденең сұрақтарға тап болуы ғажап емес. Жалпы Адам ата жаралғанна бергі оның біздерге келіп жеткен тарихи мәліметтері? Оны көптеген философтар, зерттеушілер, антропологтар, генетиктер, теологтар зерттеген, зерттеп те жатыр. Яғни, олай болса, тарих пәнінің өзі де осы айтылып өткен ғылым салаларының тармақтарына жүгінетіні даусыз. Ақиқат пен таным теориясының анықтамалары бойынша:
(Зерттеліп отырған, объекті жөніндегі толық емес білімді салыстырмалы ақиқат, ал толық және дәл білімді абсолюттік ақиқат деп атайды. Салыстырмалы ақиқат пен абсолюттік ақиқат әлеуметтік, тарихи процесс ретіндегі объективтік ақиқаттың көрініс сәттері. Объективтік ақиқат салыстырмалы – абсолюттік формада ғана өмір сүреді).
(Зерттеліп отырған, объекті жөніндегі толық емес білімді салыстырмалы ақиқат, ал толық және дәл білімді абсолюттік ақиқат деп атайды. Салыстырмалы ақиқат пен абсолюттік ақиқат әлеуметтік, тарихи процесс ретіндегі объективтік ақиқаттың көрініс сәттері. Объективтік ақиқат салыстырмалы – абсолюттік формада ғана өмір сүреді).
1. А. Әбілқасымов Бекбоев, А. Абдиев, 3. Жұмағұлова «Алгебра» Алматы 2009
2. Ә. Н. Шыныбеков «Алгебра және анализ бастамалары» Алматы 2006
3. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев,
С.И. Шварцбурд «Алгебра және анализ бастамалары» Алматы 1996
4. В.С. Крамор, П.А. Михайлов «Тригонометричиские функций» Москва 79
5. В.А. Гусев, А.Г.Мордкович «Математика» Москва 1990
6. В.И.Мишин «Методика преподавания математики в средней школе» Москва 1987
7. А.Г.Мордкович «Методические проблемы изучение тригонометрии в общеобразовательной школе» Москва 2002
8. А.Е.Әбілқасымова, А.К.Көбесов, Д.Р.Рахымбек, Ә.С.Кенеш «Математиканы оқытудыц теориясы мен әдістемесі» Алматы «Білім» 1998
9. А.Е.Абилкасимова «Методика преподавания математики» Алматы 1993
10. Л.С.Атанасян және т.б. «Геометрия» Алматы 1992
11. А.Е. Әбілқасымова «Студенттердің танымдық ізденімпаздығын қалыптастыру» Алматы 1994
12. Ю.К.Бабанский «Выбор методов обучения в средней школе» Москва 1989
13. Ә.Бидосов «Математиканы оқыту методикасы» Алматы 1989
14. Д.Н.Богоявлинский, Н.А.Менчинская «Психология усвоения знаний в школе» Москва 1959
2. Ә. Н. Шыныбеков «Алгебра және анализ бастамалары» Алматы 2006
3. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев,
С.И. Шварцбурд «Алгебра және анализ бастамалары» Алматы 1996
4. В.С. Крамор, П.А. Михайлов «Тригонометричиские функций» Москва 79
5. В.А. Гусев, А.Г.Мордкович «Математика» Москва 1990
6. В.И.Мишин «Методика преподавания математики в средней школе» Москва 1987
7. А.Г.Мордкович «Методические проблемы изучение тригонометрии в общеобразовательной школе» Москва 2002
8. А.Е.Әбілқасымова, А.К.Көбесов, Д.Р.Рахымбек, Ә.С.Кенеш «Математиканы оқытудыц теориясы мен әдістемесі» Алматы «Білім» 1998
9. А.Е.Абилкасимова «Методика преподавания математики» Алматы 1993
10. Л.С.Атанасян және т.б. «Геометрия» Алматы 1992
11. А.Е. Әбілқасымова «Студенттердің танымдық ізденімпаздығын қалыптастыру» Алматы 1994
12. Ю.К.Бабанский «Выбор методов обучения в средней школе» Москва 1989
13. Ә.Бидосов «Математиканы оқыту методикасы» Алматы 1989
14. Д.Н.Богоявлинский, Н.А.Менчинская «Психология усвоения знаний в школе» Москва 1959
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 55 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 55 бет
Таңдаулыға:
КІРІСПЕ
Тарих пәніне үңіліп, оған назар аударған кез келген индивид мынадай логикалық көсе-көлденең сұрақтарға тап болуы ғажап емес. Жалпы Адам ата жаралғанна бергі оның біздерге келіп жеткен тарихи мәліметтері? Оны көптеген философтар, зерттеушілер, антропологтар, генетиктер, теологтар зерттеген, зерттеп те жатыр. Яғни, олай болса, тарих пәнінің өзі де осы айтылып өткен ғылым салаларының тармақтарына жүгінетіні даусыз. Ақиқат пен таным теориясының анықтамалары бойынша:
(Зерттеліп отырған, объекті жөніндегі толық емес білімді салыстырмалы ақиқат, ал толық және дәл білімді абсолюттік ақиқат деп атайды. Салыстырмалы ақиқат пен абсолюттік ақиқат әлеуметтік, тарихи процесс ретіндегі объективтік ақиқаттың көрініс сәттері. Объективтік ақиқат салыстырмалы - абсолюттік формада ғана өмір сүреді). Тарих баспалдағы Жер планетасының пайда болуынан туындайды, сондай-ақ алғашқы бір клеткалы, сонан соңғы жерде биологиялық даму кезеңдеріне байланысты материалистік көзқараста маймылдан адамға ауысу сатысымен шенеледі. Ал дін этаптарына тоқталсақ, табиғат, барлық планеталар жер панетасындағы барлық тіршілік элементтері. Алла-тағаланың, құдіреті күшті бір құдайдың жаратқанын ескереміз.
Сонда тарих деген пәнді зерттеуге оның жалғыз өзінің қауқары жетпейтінін көруге болады, (географиялық орта, территориялық, этникалық шекаралар, дін, шаруашылық-экономикалық, саяси-әлеуметтік) факторлардың жемісі деп көруге болады. Қазақ халқының белгілі бір этаптағы арғы-бергі тарихына тоқталсақ, бір қарағанда жариялауға ауыр соғады. Ғұндар, Сақтар, Үйсіндер (б.д.д. ІІІ ғ.-б.д. ІІІ ғ.), Оғыздар мен Қидандар (8-9 ғ.ғ.), Моңғолдар (12-14 ғ.ғ.), тіпті кейінгі Жоңғарлардан (17-18 ғ.ғ.) әскери стратегия мен тактика талабынан тарих зерттеушілері уағыздайды. Ғалымдар мен зерттеушілер географиялық детерменизмнен, яғни, қоғам мен өркениет тағдырына жер жағдайы, климат, тағы сол сияқты, бір сөзбен айтқанда табиғи ортаның әсерін бағалаудан қаша отырып, керісінше географиялық нигилизмге (Л.Н.Гумилев), жеткізгенде табиғи ортаның маңызын мүлдем есепке алмауға ұрынғандығын байқамай да қалатыны бар. Бұл бойынша Қазақстан территориясы физикалық-географиялық сипаттамасы жағынан негізгі үш бөліктен тұрады. (В.М.Чупахин Физическая география Казахстана. А-Ата -1968. стр11-12) Батыс, Солтүстік Батыс Қазақстан - шөлейтті, ойпат далалы; Солтүстік және Орталық Қазақстан - далалық, шүйгін жайылымды, таулы; Оңтүстік, Оңтүстік Шығыс Қазақстан өзенді-көлді, жайылымды, таулы. Осындай этнотерритриялық дәріптеулер, тарих пәнін математикалық аспектілер бойынша нақтыландырруға көмек көрсетеді. Негізгі қарастырылып отырған тақырыпты жоғарыда айтылып өтілген көзқарастармен және де математикалық мектеп программасынан аспайтын заңдылықтармен дәлелдеп сынға алуға тырысайық. Тарихи деректерді зерттеп жарыққа осы тақырыпты (Қазақ әдебиеті, 16 қазан 1992 жыл) Қарағандды мемлекеттік университетінің оқытушысы, профессор Талғат Әбдіразақов шығарған. Ал, бұл мақаладағы жарияланатын жұмыстың негізгі сипаттамасы, Талғат Әбдіразақовтың мақаласына (математикалық, логикалық, информатикалық) тұрғыда мектеп қабырғасында математика тарих пән аралық байланысының бір бөлігін насихаттау. Негізгі бөлімнің маңызы, мынандай сұрақтың айналасындағы зерттеулерден тұрады: Қазақтар мен Жоңғарлар арасындағы ұзаққа созылған жаугершіліктің төркіні неде? 150 млн. Жыл бұрын Қазақстан территориясының орнында Тэтип мұхиты болғанның әсерінен де көп нәрсе туындайды.
1 МЕКТЕП КУРСЫНДА ТРИГОНОМЕТРИАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫ ҮЙРEНУДІҢ ЖАЛПЫ МӘСЕЛЕЛЕРІ
1.1 ТРИГОНОМЕТРИАЛЫҚ ФУНКЦИЯ ТУРАЛЫ ҚЫСҚАША ТАРИХИМАҒЛҮМАТТАР
Көне заманда тригонометрия астрономияның, жер өлшеуінің, суда жүзу және құрылыс жұмыстарының сұраныстарына байланысты пайда болды. Қандайда бір элементтер арқылы есептеу әдістерін ойлап табуға алып келеді.
Мысалы, олардың көмегімен қол жетпейтін заттарга дейінгі қашықтықты анықтау және географиялық карталарды құрастыруға арналған жергілікті жердің геодезиалық көшірмесін жасау жұмыстары бір қатар оңайлатылды.
Тригонометриалық танымдардың негізі ежелгі заманда пайда болды. Бастапқы кезде тригонометрия астрономиямен тығыз байланыста дамыды, оның көмекші тарауы болды.
Тригонометрия атауының өзі грек сөзінен аударғанда үшбұрыштарды өлшеу деген ұғымды білдіреді.
Ежелгі грек ғалымы, белгілі астроном Птолемей ( ІІғ.) Алмагест атты еңбегінде жазғандай, хорда тригонометриясын ойлап тапты. Птолемей жарты және екі еселенген бұрыштың, екі бұрыштың қосындысы мен айырымының қазіргі кездегі формулаларына мәндес болатын шеңбердің sdsdsd хордалары арасындағы (ол кезде математикалық белгілеулер қолданылмағандықтан, есептерді шығару жолы сөзбен жазылған) келесі қатынастарды шығарды:
яғни таза геометриялық сипатта болады және негізінен хордаларды есептеуді кұрады. Уақыт озуымен оған біртіндеп кейбір аналитикалық моменттер ене бастады. [1-7]
Хордаларды синустармен ауыстырып, тригонометрияның әрі қарай дамуына Үндістандық ғалымдар үлкен үлес қосты. Бұл жаңа енгізу VIII ғасырда тригонометрияны бірте-бірте астрономия тарауынан бөліп алып, жеке ғылымға айналдырды. Олараб тіліндегі жақын және алыс Батыс мемілекеттерінің математикасына ауысты.Синустан басқа тригонометриялық функциялар да енгізілді және олар үшін де кестелер күрылды.
Тригонометрияны өзіндік ғылыми пэн ретінде қалыптастыруда ІХ-ХІІІ ғасырлардағы Орта азиялық ғалымдардың еңбектері орасан зор. Орта азиялық математиканың дамуы астрономия, география, геодезия үсынған есептеу тапсырмаларын шешу қажеттілігімен тығыз байланысты болады. Сондықтан тригонометрия өзіндік зерттеу эдістері бар жеке ғылым, оның мақсаты қарапайым геометриалық фигуралардың элементтерін, жазық және сфералық үшбұрыштарды есептеу тэсілдерін табу болды. Тригонометриялық функциялар туралы ілім геометрия негізінде жасалды. Геометриялық тәсілдермен орындалған тригонометриялық функциялар арасындагы алгебралық қатыстар осы функцияларды зерттеуге, алгебралық тәсілдерді қолдануға, түрлендірулер жүргізуге, геометриялық фигуралардың элементтердің арасында әртүрлі қатынастарды қорытуга мүмкіндік берді. Осылайша геометрияға негізделген және алгебралық әдістерді кең қолданатын тригонометрияға ерекше сипаттамг берілді.
Тригонометрия туралы жалпы ұғымдар, тригонометриялық функциялардын белгілеулері және анықтамалары ұзақ тарихи даму процесінде қалыптасты. Негізгі тригонометриялық ұғымдарды енгізу кезінде тригонометриялық дөңгелектің радиусын 1 -ге тең деп алу оңай тәрізді, бірақ бұл қарапайым идея Х-ХІ гасырларда ғана игерілді. Егер біз тікбұрышты үшбұрыштағы α бұрышының синусы қарсы жатқан ВС катетінің ОС гипотенузасына қатынасы деп түсінсек, онда орта ғасырда синус терминін ВС синус сызығының өзі деп белгіледі. Тура осылай косинусты да, ОВ косинусының сызығы деп және баска да тригонометриалық функцияларды осылай түсінген.
Ғылымның әрі қарай дамуы тригонометриялық функциялардың периоттык процестерді игеру кезінде физикада, техникада маңызды мэні бар екенін көрсетті. Ж.Фурье қандайда бір периодтық қозғалысты кез келген дәлдікпен қарапайым синусоидалық тербелістің қосындысы түрінде беруге болатынын дәлелдеді. Сондықтан тригонометрияның мазмұны кеңейді, өйткені ондағы сая аргументіне қатысты тригонометриялық функцияларды зерттеу өзіндік мәнге ие болды.
1.2 МЕКТЕП КУРСЫНДА ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚФУНКЦИЯ-ЛАРДЫ ҮЙРЕНУДІҢ ЖАЛПЫ МӘСЕЛЕЛЕРІ
Кіріспеде алгебра және анализ бастамаларының мектеп курсында тригонометриялық функцияларды оқытудың қажеттілігі туралы айтылды. Бұл қажеттілікке не себепші?
Сонымен, тригонометриялық функцияларын оқытудың негізгі мақсаттары:
1) оқушыларды функциялардың жаңа түрілерімен таныстыру;
2) есептеу практикасының дағдыларын дамыту (функциялармен жүмыс көбінесе көп есептеулерді талап етеді);
3) функцияның барлық негізгі қасиеттерін көрнекі иллюстрациялау (эсіресе периодтығын);
4) практикамен байланыстарды тагайындау (маятник тербелісін, электр тогын, жарықтың толқындық теориясын оқыту тригонометриялық функцияларсыз мүмкін емес);
5) логикалық пікірлеуді дамыту (формулалардың көптігі зерттеу сипатындагы алгебралық сипатта болмайтын түрлендірулер қажеттілігін туғызды);
Тригонометриялық функцияларды үйренуде келесі басқыштарды атап көрсетуге болады.
I. Геометриядагы бүрыштық аргументті тригонометриялық функциялармен алгашқы танысады. Аргумент мэні (0°,90°) аралыгында қарастырылады. Бұл бүрышқа оқушылар, оның градустық шамасына байланысты, кестелік мәндермен, негізгі тригонометриялық тепе-теңдікпен және кейбір келтіру формулаларымен танысады.
II. (0°,180°) бүрыштары үшін синус, косинус, тангенс жәнекотангенс үгымдарын жалпылау. Бұл басқышта тригонометриялық функцияларының және жазықтықтагы нүкте координаттары өзара байланыста қарастырылады, синустар және косинустар теоремалары дэлелденеді, үшбүрыштарды тригонометриялык қатынастар арқылы шешу мәселесі қарастырылады.
III. Сандық аргументтік тригонометриялық функциялар үғымын енгізу.
Тригонометриялық функцияларды анықтаудың бірнеше тәсілі бар екендігін ескереміз. Оларды екі топқа бөлуге болады: аналитикалық және геометриялык.
Аналитикалық тэсілге y= sinxфункцияны f" x= -c* fx
дифференциалдық теңдеудің шешімі ретінде немесе
sinx=x-x33!+x25!.. дәрежелік қатардың қосындысы ретінде анықталады.Геометриялық тэсілдерге тригонометриялық функцияларды проекциялаг және радиус-вектордың координаттар негізінде анықталғандарды, бүрышты үшбүрыштың қабырғаларының қатынасы арқылы анықтауды және сандык шеңбер көмегінде анықталады. Мектеп курсында басымдылық қарапайым жәве көрнекілігі себепті геометриялық тәсілдерге беріледі.
Мектеп курсында тригонометриялық функцияларды үйрену кейбір ерекшеліктерге ие болатынын ескереміз. [8-15]
Біріншіден, тригонометриялық функцияларды үйренуге дейін, у = f(х) түріндегі функция қарастырылады, ал Бұл оқушылар үшін біршама міндетке сай емес болады. Бүдан басқа, алдын барлық функциялар формулалармен берілетін, онда айқын түрде функция мэнін алу үшін аргумент мәндері үстінде оқушылар кестелік түрде берілген функцияларға кездеседі.
Сонымен, тригонометриялық функцияларды оқытуда оқушылар функция үғымыныц мән-мағынасын дүрыс түсіне бастайды. Олар, кез келген обьектілер жиындарыныц арасындағы байланыс, егер әртүрлі табиғатқа ие болса да, (тек аргументтің әрбір мэніне функцияның бір ғана мэні сәйкес келетін болса) функция болатынын түсіне бастайды.
1.3 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАР
Алгебра және анализ бастамалары курсында тригонометриялық функциялар тақырыбын оқыту әдістемесі
Мектепте тригонометриялық функцияларды оқытуда екі негізгі басқышты атап өтуге болады.
Геометрия курсында (8-9сынып) бұрыштық аргументтің тригонометриялық функциялармен алғашқы танысу.
Алгебра және анализ бастамалары курсында (9-10 сынып) тригонометриялық функциялар туралы білімдерді кеңейту және жүйелеу.
Бірінші басқышта оқытылатын байланыстар функциялар екендігі дәлелденбейді және анықталмайды. Бүрыштың өзгеруінде синус және косинустың өзгеруінің қасиеттері негізінде дэлелденеді.
Бұл үғымдар геометрия курсы үшін жеткілікті түрде абстракті, сондықтан жақсы меңгерілмейді және 90-градустан жоғары аргументке өту үлкен қиыншылықтар тудырады. Себебі, біз тригонометриялық функцияларды тікбүрышты үшбүрыштың қабырғаларының қатынасы арқылы анықтадық, ал тікбүрышты үшбүрышта 90- нан үлкен градустық өлшемдегі бүрыштың болмайтындығы белгілі. Осы факті түсіндіру үшін осы басқышта шеңберді қарастыруға тура келеді жәнеБұл алгебра және анализ бастамалры курсында сан аргументті тригонометриялық функциялар шеңбер көмегінде енгізу үшін өзіне тэн жүмыс болып табылады.
Екінші басқышта бүрыштық аргументтен сандыққа өту жүргізіледі. Курстың басынан кез келген шамадағы бүрыштық тригонометриялық функцияларын қарастыруымыз керек. Демек, оқушыларды алдын ала бұрыштан -infinity тен +infinity -ге дейін өзгере алатын шама екендігімен таныстыру керек. Геометрия курсында бұндай ұғым жоқ болатын, сондықтан бұны екінші басқышта толықтыру қажет. Сонымен сандық шеңберді енгізу қажеттілігі туындайды және екінші басқышта өткізген мақсатқа сай.
Сандық шеңбердің моделін үйрену үшін пропедевтикалық жұмыстар сипатында берілген радиустағы шеңбердің ширек жарты және үштен бір ұзындықтағы доғасын табуға арналған геометриялық есепті қарастырған жөн. Алынған нэтижелерді жалпылап, оқушыларды алдындағы жүмыстар үшін кез келген радиуыстағы емес, бірлік радиуыстағы шеңберді таңдаған тиімді екендігіне әкелу қажет.
Сандық шеңбермен жүмыс процесінде оқушыларда келесі біліктіліктер қалыптасқан болуы керек;
Сандық шеңберде п санының үлестерінде өрнектелген және п санының үлестерінде өрнектелмеген, берілген сандарға сәйкес келетін нүктелерді табу;
Сандық шеңбердің доғасы үшін аналитикалық жазуларды құрастыру;
Бір мезгілде екі координат жүйесінде жұмыс істеу - қисық сызықты және тік бүрыштыны табу;
Декарттық және бір координат жүйесінен екіншісіне өтуді орындауды;
Сандық шеңберде нүктелердің координаттарын табуды және сандык шеңберде берілген координаттары бойынша нүктелерді табуды.
Бұл үшін келесі типтегі тапсырмаларды қарастырған мақсатқа сай:
1) Сандық шеңберде PI2, 9 PI, 26 PI3, 5 PI4,7 PI6,... нүктелерді тап
2) Сандық шеңберде 1,2,-7,4,5,-31,... нүктелерді тап
3) 21PI4,-37PI6,10,-95 нүктелері қай ширектерге тиісті екендігін анықта
4) келесі теңсіздіктерді қанағаттандыратын t нүктелерін сандық шеңберде белгілеңіз.
a) PI6+2kPI=t=2PI3+2kPI;k∈Z
b) -PI3+2kPI=t=3PI4+2kPI;k∈Z
5) PI4, -З PI2, 23 PI6,-13 PI3,... сандарына сәйкес келетін нүктелердің декарттық координаттарын анықта
6) (12; √32) (-√22; √22), (√32;-12), (-1;0),... координаттар нүктелері сәйкес келетін оң және бүрыштарды сандарды тап.
7) Сандық шеңберде ординаталары √32,12,- √22,0 -ге тең болатын, ал абциссалары теріс болатын күктелерді тап және олар қай сандарға сәйкес екендігін жаз.
8) Сандық шеңберде √22 ординаттар нүктелерін тап және олар қай сандарға сәйкес келетінін жаз.
Сандық шеңбермен жүмыс істеу процесінде келесі моменттерге назар аудару керек.
Мүғалімнің қолында минимум екі сандық шеңбері бар макет болуы қажет. Олардың бірінде 0, PI6, PI4, PI6, PI2, 2PI3 нүктелері көрсетілген және есептеу оң бағытта жүргізілген болуы, ал екіншісінде, теріс бағытта және
0, -PI6, -PI4, -PI6, -PI2, -2PI3 нүктелері көрсетілген болуы керек, және де екінші макет оқушылардан Егер нүкте оң бағытта емес, теріс бағытта қозғалатын болса, онда не болады? деген сүраққа жауап беретін немесе жауап беруге әрекеттенетін болғаннан соң ілген жөн болады.
Бұл мотивациялық есеп сандық шеңбермен сандық түзу арасындағы байланысты жүргізуге мүмкіндік береді. Сандық түзуде тек оң мәндері емес, сондай-ақ теріс мәндері де, және де соншалықты үлкендерінде қоюға болады. Сандық шеңберді де осылай етуге болады, бірақ түзуде нүктелер арасындағы сәйкестік өзара бір мәнді, ал шеңберде әрбір нүктенің шексіз көп аттары болатынын, олар бір-бірінен 2PIк -ға бүнда к е 2, айырмашылығы болатын фактін ескеру керек.
Бұл басты ерекшелікті оқушылар айқын түсінуі және сезінуі керек. Бұл үшін сандық шеңберді дөңгелекпен, ал сандық түзуді бойында нүктелер белгіленген шексіз үзын жіппен салыстыруы мүмкін.
Жіпті дөңгелекке орап, алдын-ала нөлдік нүктелерді сәйкестендіріп бірлік радиуыстағы сандық шеңбердің ұзындығы дэл 2PI -ді қүрайтындығын 2п -мен өзгешеленетін нүктелер дөңгелекте бір орынға түсетіндігін байқауға болады. Шеңберде нүктелермен сандар арасындағы сәйкестіктің бірмәнді еместігімен байланысты проблема келесі түрдегі мәселені шешуде келіп
шығады: Сандық шеңберде √32 -ден үлкен ординаталы нүктелерді табыңыз және олар қай сандарға сәйкес екендігін жазыңыз .
Доғаны сипаттайтын бүндай теңсіздіктерді бастапқы басқышта екі қадамда қүрастырылу үсынылады. Бірінші қадамда, аналитикалық жазудың ядросы деп аталатын PI3t2PI3 -ті қүрастыру және тек екінші қадамда жалпы жазу PI3+2кPIt2PI3+2кPI -ны қүрастыру керек (мүндағы к∈Z). Көптеген жағдайларда бүны шынында ешқандай кедергісіз орындауға болады, бірақ теңдеулердің немесе теңсіздіктердің шешімін анықтауда немесе функцияға белгілі бір шектеулерді қойғанда, к параметрі барлық а-ларды қабылдамауында, мысалы, тек оң немесе тек жүп мәндерді қалай болады?
+2PIк жазуға бейімделген оқушылар к параметрі қандай мәндерді қабылдауын ойланбастан осындай жағдайда +2PIк деп жазады, ал Бұл олардың шешімдерін автомат түрде қате деуге алып келеді.
Ал Бұл мысалы, 4PIк, мүнда к ∈Z және 2PIк, мүнда к е 2Z сәйкес деген фактіні түсінбеуіне алып келеді. Бұл өз кезегінде, периоды 4PI -ға тең функцияларды қарастырғанда қиыншылықтарға алып келуі мүмкін.
Ал Тригонометриялық функциялар тақырыбын үйренуде бүндай функцияларға аз уақыт бөлінбейді.
Сонымен, ең кішкене деталдарға дейін, сандық шеңберді үйренуде ешқандай деталдарды назардан тыс қалдыруға болмайды, Бұл тригонометриялық функцияларды үйренуде білімдегі үлкен кемшіліктердің болуына себеп болуы мүмкін.
Тригонометриялық функцияларды сандық шеңбер көмегінде анықтау оқушылар санасында жақсы қабылданбайтындығын бір ғана қарапайым себеппен болатындығын естен шығармауы керек:бірінші басқышта анықтама геометриялық трактовкада (түсіндірмеде) берілген болатын тікбүрышты үшбүрыштың қабырғалар арасындағы қатынас ретінде.
Психологшдан белгілі: Егер қандайда бір маңызды үғым алғаш енгізіліп жатса, онда оған сәйкес ассоциациялар оқушылар санына берік енеді. Келесі әсерлер босаңдау болуы және алғаш берілген үғымдарды жоя алмауы мүмкін.
Бүрыштық қабылдайтын мәндер жиынының кеңеюі басқышында синус және косинусының жаңа анықтамасын енгізу үшін біз шеңберді пайдаланганымызға қарамастан және бір рет тікбүрышты үшбүрышпен сандық шеңбер арасындағы байланысты айқындау қажет.
Мектеп оқулықтарында Бұл фактіге неліктен айтарлықтай көңіл бөлінбейтінін ескертеміз (әртүрлі мектеп оқушыларында Тригонометриялық функциялар тақырыбын баяндаудың талдау тарауына қараңыз), сондықтан мүғалім осы басқышта триғонометриялық функцияларды енгізуде келесі моменттердің айтылуына назар аудару керек.
Тікбүрышты декарттық координаттарды орналасқан бірлік радиустағы сандық шеңберді қарастырамыз.
Сурет 1
ОХ өсінен оң бағытта 0α90° болатындай α бұрышты қоямыз. Шеңберде алынған нүктені Рα - нүктесінде О х -осіне перпендикуляр жүргіземіз және М нүктені аламыз. Алынған ОМ Рα тікбүрышты үшбүрышты қарастырамыз. Анықтама бойынша, зіпа МРαОРα қатынасына тең, бірақ шеңбердің ОРа радиусы 1 - ге тең. Демек, Sinα = МРα. Дэл осылай, cosα = ОМ. Тікбүрыштыдекарттық координат жүйесінде ОМ ұзындығыБұл Рα нүктесінің абциссасы, ал МРα ұзындығы оның ординатасы. Сонымен α бүрышының синусы мен косинусы Рα нүктенің ординатасы және абциссасымен анықталады, Бұл тікбүрышты декарттық координат жүйесінде жүмыс істеуге қолайлы.
Сандық шеңбермен жүмыс істеуде бірлік шеңбердің доғасының ұзындығы, доғаға тірелетін центрлік бүрышпен оңай өрнектелетін фактын біз алдын меңгердік,сондықтан, Рα нүктесін басқа тэсілмен де қүруға болады берілген үзындықтағы доганы салумен. Доғаның ұзындығы барлық уақытта нақты сан болғандықтан, демек, бүрыштық аргументті тригонометриялық функцияларға оңай өтуге болады. Енді α бүрышына қойылған шектеулерге қайтайық. α бүрышы 0° тан 90° дейінгі аралыққа тиісті, демек, доға ұзындығы 0 мен PI2арасында жатады.Геометриялық интерпретацияны пайдаланып, Бұл анықтамаларды кез келген бүрыш және сандарға таратуға болады.
Тангенс және котангенс ұғымдарын екі түрге келтіріп шығаруға болады. Синустың косинусқа (косинустың синусқа) қатынасы ретінде және шеңберге ((1;0),(0;1)) нүктедегі жанаманың және ОРα түзудің қиылысу нүктесінің ординатасы (абсциссасы) ретінде. [16-24]
Сурет 2
Жалпы айтқанда, синус пен косинус функцияларын анықтап, оларды сандық шеңберге тангенс және котангенс ұғымдарын енгізу үшін қүрал ретінде қарастыруға біз мүқтаж емеспіз. Осы моделмен жүмыс істеуді алғандығымыздан, тек геометриялық анықтаманы ғана пайдаланып, тангенс және котангенс функцияларын анықтауды көрсету жөн болады. (α бүрыштың тангенсі - Бұл синус α-ға қатынасы сөйлемдері анықтама болып табылмайтынын олар қасиеттер екендігін ескереміз).
Екінші жанасуды пайдалану тригонометриялық функцияларды үйрену басқышында ғана емес, сондай-ақ тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу басқышында да көмектеседі. Сондықтан дэл осы екінші жанасуды пайдалану мақсатқа сай, ал тангенс α-синус α -тың косинус α -ға қатынасы анықтамасын қасиет ретінде қарастыру жөн.
Сонымен, біз барлық тригонометриялық функциялар үғымын енгіздік (бағдарламамен көзделген).
Бірақ, графиктерді қүру және зерттеуге өтуге алдын, оқушыларда келесі дағдылардың болуын бақылау қажет:
::Басты нүктелерді барлық тригонометриялардың мәндерін табу.
::Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу.
::Тригонометриялық функциялардың берілген нүктелердегі мәндерін анықтау.
::Негізгі тригонометриялық тепе-теңдікті және келтіру формулаларын пайдаланумен өрнектерді ықшамдау.
::Бір тригонометриялық функцияның берілген мәндері бойынша қалған барлық тригонометриялық функциялардың мэнін табу.
Жоғарыда аталған дағдыларды игеріп, оқушылар тригонометриялық функциялардың графиктерін ілгері күру және зерттеу үшін жеткілікті құралдар арсеналын алады.
Графиктерді құру және функцияларды зерттеу жұмысы екі тэсілмен жүргізілуі мүмкін:
1)Алдымен нүктелер бойынша график құралады, содан соң графиктік интерпретация көмегінде функцияның барлық қасиеттері зерттеледі.
2) Графикті кұру функцияны зерттеуден соң жүргізіледі, ал қасиеттер туралы көрнекті түсініктерді оқушылар функцияның сандық шеңбердегі өзгеруін талдаудан алады.
Екінші жанасуды қолданған мақсатқа сай Бұл жанасуда, біріншіден, тригонометриялық функцияның барлық қасиеттері екі моделде де бейнеленеді (сандық шеңберде де, графикте де), ал екіншіден, бұл туынды көмкгінде функцияларды зерттеу және графиктерді құруды әрі қарай оқыту үшін жақсы дайындық жұмысы болып табылады.
Сандық шеңберде функцияның өзгеруін талдауға қарамастан, біз тек кейбір қасиетті бейнелейміз, кейде шеңбер көмегінде дэлелдеу оқушылар үшін кейбір фактілерді негіздеудің жалғыз ұғынықты тәсілі болып табылатынын естен шығармау керек. Кейбір жағдайлар қалыптасқан ұғымдарды айқын негіздеуді талап етеді.
Тригонометриялық функцияларды зерттеуге толығырақ тоқталайық:
1) Аныцталу Облысы
Нақты айнымалы функцияның анықталу облысы деп функция нақты мәндерді алатын аргументтік нақты мәндер жиынына айтылады
y=sinx: және y=соsx функцияларының анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны. Бұл факт шеңбер көмегінде жеткілікті оңай негізделеді: әрбір х нақты саныны шеңберде Рх нүктесіне сәйкес келеді. Әрбір Р, нүктесіне оның абциссасы және ординатасы сәйкес келеді. Олардың әрбірі - нақты сан. Демек, кез келген x үшін y=sinxжәнеy=соsxфункцияларының мәндері нақты сандар болады.
y=tgx және y=ctgxфункцияларының анықталу облыстары кейбіршектеулерге ие. Бұл қасиетті негіздеуді tgx=SinxCosx фактінен алу мүмкін. Онда,y=tgxфункцияның анықталу облысы у = cosх функциясының нөлдерін шығарумен барлық нақты сандар болады. Бұл фактіні шеңбер көмегінде негіздеу мүмкін.
Сурет 3
Әрқандай x нақты санға шеңбердегі Рᵡ нүктесі сәйкес келеді.
Егер x!= PI2 + PIк, к ∈Z, онда Бұл нүкте (0;1) және (0;-1)-лерден басқа координаттарғаие,онда О жәнеРᵡнүктелері арқылы түзу жүргізу мүмкін, ол шеңбердің (1 ;0) нүктесі арқылы өтетін жанаманы қандайда бір Тᵡ нүкте қияды. Бұл нүкте нақты сан болып табылатын ординатага ие. Яғни бүндай нүктелерді у = tgxфункңиясының нақты мәндерін қабылдайды. Егер де х = PI2 + PIк,к∈Z болса, ондаОРᵡ түзуі ОУ осімен сәйкес келеді, демек шеңбер жанамасына параллель болады. Бұл жағдайда біз нүктесін және оның ординатасын таба алмаймыз, демек Бұл параллельде у = tgх функңиясы анықталмаған болады. Сонымен,
Dtgx= , k ∈Z.
Қорытындысын жасаймыз. у = ctgx функңиясы үшін пайымдаулар дэл осылай, сондықтан оларды оқушылар өз бетінше жүргізе алады.
Тригонометрияны үйренгенге дейін анықталу облысы функңияның қасиетіретінде жеткілікті жақсы үйренілген, ал оны табу процесі біліктілік разрядынантригонометриялық функцияларды үйренуде анықталу облысын табуға тағыназар аудару керек, у = ctgx∙tgx ;
типіндегі және бөліктеп берілген,
y=ctgxx+PI2,x PI, x=PI y=sinx, x -PI2tgxx-7, x=2PI
2) Мәндер Облысы
f функциясының мәндер облысы деп х -ті функциясының анықталу облысына тиісті болатын f(х) сандарынан қүралған жиынға айтылады. y=sinxжәнеу=соsх функциялардың мәндер жиыны [-1;1] кесінді болып табылатындығы фактісінің айқын негіздемесі әрбір қолданыстағы оқулықтарда келтірілген, ал бүның орнына -1 sinx 1 және -1 cosx 1 теңсіздіктері қарастырылған, олар х -тің барлық мәндері үшін орындалған. Бірақ, бүдан осы функциялардың мәндер облысына [-1;1] кесіндінің барлық нүктелері енетіндігі мүлдем келіп шықпайды. Бұл моментке ерекше назар аудару керек, себебі, оқушылардың санасына мүлдем екі түрлі қасиетті айыру үшін: шектелгендік және мәндер облысы түсініктерін білу керек.
Сурет 4
Бұл жағдайда f(х) функциясы шектелген болып табылады.(-1=f(x)=1) теңсіздігі орындалады, бірақ [- 1;1] кесіндісі осы функцияның мәндер жиыны болып табылмайды. Сондықтан [-1;1] кесіндісіндегі кез келген сан у = sinх (у = соsx) функцияның қандай да бір нүктедегі мэні болатын фактін көрсету қажет. Бүны ең болмаганда мынандай етіп көрсету мүмкін. -1 =х= 1 болатындай кез келген нақты х санын аламыз. ОХ осіне тиісті [-1;1] кесіндісінқарастырамыз және осы кесіндінің х1 -ге сәйкес келетін нүктесін аламыз, одан ОХ осіне перпендикуляр жүргіземіз. Ол бірлік шеңберді қандай да бір Рх1 нүктеде қиып өтеді. X, - Р^ нүктенің абциссасы екендігін ескереміз, демек, X1 саны Рx1 нүктесі үшін у =cosx функциясының мэні болып табылады (у=sinx функциясы үшін осыған ұқсас). [25-29]
Сурет 5
Мәндер облысын үйренгеннен соң у=sinx және y=cosx: функцияларынын шектелгендік қасиетінқарастырған мақсатқа сай және осы қасиеттер арасындағы өзара байланысты тек тригонометриялық функцияларга гана емес, сондай-ак функциялардың басқа кластарына да көрсеткен жөн.
3) Жұптъқ және тақтық
Тригонометриялық функциялардың жұп және тақ болу қасиеттерін үйренуде кез келген х - тің нақты мәндері үшін:
sin(x)=-sin(x),ал соs(- х) = соs(х)фактін айқын негіздеу қажет. Көбінесе, Бұл фактіні негіздеу қай басқышта Бұл негіздеу жүруіне байланысты t және - t бүрыштарына немесе сандарға сәйкес келетін шеңбер нүктелерінің симметриялығына келтіреді. Егер t санына сандық шеңбердің М нүктесіне сәйкес келсе, онда tсанына, шеңбердің горизонтал диаметріне, яғни абцисса осіне қарағанда М нүктеге симметриялы болған Р нүктесіне сәйкес келеді.
Бүндай нүктелерде бірдей абциссалар, ал ординаталары модуль бойынша тең, бірақ таңбалары әртүрлі болады. Демек, sin(t)=- sin(t),ал соs(-t )=соsttжәне - t нүктелерінің симметриялығы фактінің өзіне айқын емес, сондықтан оның өзі негізделуге мүқтаж, оны мысалы, МОР үшбұрышын қарастырумен көрсету мүмкін. МР кесіндінің ОХ осімен қиылысу нүктесін в- мен белгілейміз. Онда МОР үшбұрышы тең бүйірлі (ОМ=ОР, бір шеңбердің радиуыстары), ОВ сәулелі МОР бұрышының биссектрисасы, демек, МОР үшбүрышының әрі биіктігі, әрі медианасы.
Онда М және Р нүктелері, шындығында ОХ осіне қарағанда анықтама бойынша симметриялық болады. Бұл қарама-қарсы бұрыштардың синусы және косинусының мәндері туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді.
Бүдан соң tg(-t) = -tg(t) және ctg(-t)=-ctg(t) теңсіздіктерін негіздеу ешқандай қиындықтудырмайды.
Анықтама: Егер аргументтің таңбасы өзгергенде функцияның таңбасы өзгерсе, онда ондай функция тақ деп аталады.
Егер аргументтің таңбасы өзгергенде функцияның таңбасы өзгермесе, онда функция жұп деп аталады. Демек, синус, тангенс және котангенс тақ функциялар, косинус жұп функция болады.Әрі қарай оқушылардың назарын және бір рет келесі фактіге аудару керек.
Жүп және тақ функциялардың анықтамаларында айқын түрде бұндай функциялар координаттар басына қатысты симметриялық анықталу облысынаие екендігі көрсетілмеген, бірақ бұл факт y=sin√xфункциясы жұпта емес, тақта еместігін дэлелдеңіз типіндегі есептерді шешуде пайдалы болады. Жоғарыда айтылған фактіні пайдаланып және берілген функцияның анықталу облысы координаттар басына қатысты симметриялы еместігін анықтап, сәйкес теңдеулерді қарастырмай, шынында да y=sin√xфункциясы жұпта, тақта болмйтыны туралы қорытынды жасау мүмкін. Бұл нүктелерді мына түрде жазуға болады.
sin(x)=-sin(x), соs(- х) = соs(х)
Сондай-ақ, бөліктеп терілген функцияның жұп екендігін анықтау пайдалы. Мысалы, келесі функциялар жұп немесе тақ болатынын анықтау:
fx= sinxегер x =0cosxегер x=0 болса
fx= cos(x2) егер x=PI PI2+ x2, егер 0 xPIcos(x2)егер x= PI
4) Монотондыц
Тригонометриялық функциялардың монотондық қасиетін қарастыруда қолданыстағы көпшілік оқулықтарда сәйкесінше (PI2,PI) және (- PI,0)y=sin(x) және у =cos(x)функцияларының өсуінің айқын дэлелдемесі көрсетілмеген, бұл фактілердің негіздемесі сандық шеңберге сүйене отырып жүргізілген. Шеңбердің төртінші және бірінші ширектері бойынша оң бағытта нүкте қозғалысында оның ординатасы бір қалыпты жоғарылайды. (-1 - ден 1 -ге дейін), демекy=sin(x) функциясы осы аралықта өспелі болады.
Бұл фактінің қатаңдау дәлелдемесі синустар айырмасы формуласына сүйенумен келтірілген және тригонометриялық түрлендірулер тригонометриялық функциялардан алдын үйренілетін жағдайда қолданылады, яғни тригонометриялық функциялардың зерттелу моментіне дейін синустар айырмасы формуласы белгілі болғанда.
Айталық,-PI2=x1=x2=PI2синустар айырмасы формуласын қолданып, sinx1 - sinx2 = 2cos[(x1 + x2)2*sin[(x1+x2)2], -PI2=x1=x2=PI2
теңсіздігінен табамыз. -PI2(x1+x2)2PI2және 0(x1+x2)2 PI2 келіп шығады, сондықтан cos(х1 + х2 )2 0 жәнеsin(х1 - х2 )2 0 демек sinх2 - sinх1 0 яғни sinх2 - sinх1"
Бүданмүғалім -PI2=x1=x2=PI2 теңсіздігінен -PI2(x1+x2)2PI2 және0(x1+x2)2 PI2теңсіздігі алынатындығын түсіндіруге назар аударуы керек.
Бүны [-PI 2,PI 2] кесіндісін бейнелеп көрсету мақсатқа сай (х1 + х2 )2 x1жәнех2 сандарының арифметикалық ортасы екендігін ескертеміз, демек,
[х1 + х2 ] аралығына тиісті, ал ол оз кезегінде толығымен [-PI 2,PI 2]аралығында жатады, яғни бірінші теңсіздік орынды. Екінші теңсіздікті негіздеу үлкен қиыншылық туғызады. х, +х2 айырмасының модулі - Бұл x1жәнех2 нүктелері арасындағы қашықтық екенін ескереміз, ал екі нүктеде бір ғана [-PI 2,PI 2] аралығына тиісті болғандықтан, олардың ара қашықтығы осы кесіндінің ұзындығынан, яғни PI -ден артық болмайды. Екінші жағынан модуль терісемес функция, әрі бұл жағдайда оң, себебі х1жәнех2әр түрлі болғандықтан 0х, -х2=PI-ге иеміз. Бірақ х1х2 болғандықтан, х1 +х2 =(х2 - х1).
Теңсіздіктің екі жағын 2-ге бөліп, дэлелденіп жатқан теңсіздікті аламыз.
у = tg(x) функциясының [-PI 2,PI 2]аралығында өсуін дэлелдейді. Тангенстер айырмасы формуласын пайдаланып, осыған үқсас жүргізген мақсатқа сай. Тригонометриялық түрлендірулер функциялардан соң үйренілетін, яғни функцияларды зерттеу моментіне дейін тангенстер айырмасы формуласы белгілі болмайтын оқулықтар бойынша оқыту жүргізілген жағдайда дәлелдеуді [-PI 2,PI 2] аралығында екі [0; PI2] және [-PI2;0] жартылай аралықтарға бөліп жүргізген дүрыс.
Айталық, - PI2х1х2PI2 болсын, 0 -х2-ххPI2 Енді х1 және х2сандандары бірінші ширекте жатады, онда тангенс өседі, демек,
tg(-х2)tgх1) у = tgх функциясы тақ болатынtg(-хг)tg(-х1)= -tg(х2)tgх2) болады, демек tg(х2)tg(х1). Ал, бұдан у = tg(х) функциясы [-PI2;0] аралығында өседі, демек [-PI2;PI2] аралығында өседі. у=ctgх функциясының монотондыгын дәлелдеуді өзіндік орындау үшін тапсырма ретінде ұсыну мақсатқа сай.
Функцияның нөлдері мен таңба тұрацтылыгы аралыцтары функцияның нөлдері және таңба тұрақтылығы аралықтарын табу оқушыларсандық шеңберді үйренгендіғі қарастырған және оларға қиыншылық туғызбайтын қарапайым тригонометриялық теңдеулермен теңсіздіктерді шешуге келтіріледі.
5) Периодтық
Бұл қасиетті үйренуге ерекше назар аудару қажет, себебі оқушылар периодтық функциялармен алғаш кезіғу. Функцияның периодтығы үғымын қалыптастыру үшін келесі жаттығуларды пайдаланған мақсатқа сай.
Суретте, ұзындығы функция периодына тең, [-2;2] кесіндісіндегі периодтық функцияның графигінің бөлігі бейнеленген. [-6;-2], [2;3] кесіндісіндегі функция графигін қүрыңыз.
Егер [- 1;1] кесіндісіндегі f(х) =x^22екендігі белгілі болса, онда периоды 2-гетең у =f(х) периодтық функциясының графигін қүрыңыз.
16 PI саны у =sinх функциясының периоды болып табыла ма? Ал оның негізгі периоды?
у = sin(6x),y=cos〖x2〗,у = sin(kx) функцияларының негізгі периодтарынтабыңыз.
Егер у = f(х) функциясы периодты болса, онда у = к*f(х)+b -да периодтық болатынын дэлелдеңіз.
Айталық, функциясы периодтық, Т1жәнеТ2оның периодттары болсын. Кез келген пТ1 + тТ2 түріндегі сандар да, мүнда п,т е N,
f функциясының периодттары болатынын дэлелдеңіз.
7.f(х)= 5sinх2және соs(х)*соs(√х) функциялары периодтық еместігін дэлелдеңіз.Өспелі функция периодтық болмайтынын дәлелдеңіз және т.с.с.
Оқушылардың назарын, периодтық функциялар шексіз периодтар жиынына ие екендігі, олардың арасынан, мүмкіндігінше негізгі деп аталатын, ең кіші оң периодты ажыратуға әрекеттің фактіне қарату керек.
Бүдан соң тригонометриялық функциялардың барлық қасиеттерін графикте бейнелеу және бір кестеге келтіру жөн.
Тригонометриялық функцияларды зерттеу және олардың графигін құру бойынша дағдыларды әрі қарай қалыптастыру үшін у = Asin(wt + а)жәнеу=Асоs(wt+а) түріндегі гармониялық тербелістерді пайдаланады. Гармониялық тербелістерді енгізудің негізгі мақсаты А,w және а коэффиценттерінің мәндеріне байланысты функциялар қасиеттерінің қалай өзгеретінін көрнекі көрсету болып табылады.
Кесте 1
Қасиеттері
y=sin(x)
у = соs(х)
y=tg(x)
у = ctg(х)
Анықгалу
облысы
R
R
x!=PI2+PIn
x!= PIn
Мәндер
облысы
[-1;1]
[1;-1]
R
R
Фуикциянын
нөлдері
PIn
PI2+PIn
PIn
PI2+PIn
Бұдан келесі түрдегі пайдаланған жөн:
1. Функция графигі бойынша оны беретін формуланы анықтаңыз.
Сурет 6
Тригонометриялық функциялардың қасиеттерімен жеткілікті түрде жақсы жүмыс істеуді үйренгеннен соң тригонометриялық теңдеулерді шешуге және тригонометриялық функцияларды үйренуде салмақты алгебраға қарай ыгыстыру керек емес, ягни тригонометриялық түрлендірулерден орындаумен байланысты біліктілікті бірінші орынға шығару қажет емес. Бұл біліктер, әрине, маңызды және оқушыларда комбинаториялық, логикалық және алгоритмдік дағдыларды дамытады, бірақ тригонометриялық функцияларды үйренуде бастысы бұнда қалады. Сонымен, математиканы оқытудың негізгі мәселесі баланың ақыл-ой қабілетін дамыту екендігін естен шығармау керек.
Әртүрлі мектеп оқулықтарыида Тригонометриялық функциялар тақырыбының баяндалуын талдау
Қазіргі уақытта тригонометрия мәселелері 9-10-11 сыныптарда Алгебра және анализ бастамалары курсында үйретіледі. Әртүрлі автордың оқулықтарына сүйенген тақырыптық жоспарлардың әртүрлі нүсқаларында 17- ден 25 сағатқа дейін сағат бөлінеді.
Жоғарыда аталған мақсаттарды жүзеге асыру түргысынан жалпы білім беретін мектептерде кең таралған оқулықтарды ([1],[2],[3]) талдайық.
Алдымен осы оқулықтардың тек осы тақырып бойынша ғана емес, түтас әдістемелік қүрал ретіндегі кейбір ерекшеліктерін атап өтейік. Жалпы, Бұл оқулықтар алгебра және анализ бастамаларының мектеп курсы туралы түтас және толық түсінік береді, білім беру мазмүнының міндетті минимум талаптарына сай. Бірақ олардың әрбірі өзіндік ерекшеліктерге ие. Мысалы, [1] оқулық, басқа оқулықтармен салыстыру бойынша, оқушылар үшін теориялық материалды үғынарлы баяндаумен ерекшеленеді, баяндаулар өте толық, үғынарлы әдеби тілде жүргізілген және көптеген мысалдар шешімдерімен бар және тест тапсырмалары енгізілген.
[3] оқулықтың соңында барлық өтілген материалдар схема және кестелер түрінде берілген, ал Бұл оқушыларға қандайда бір бақылау іс-шараларына дайындалуына қолайлы, сонымен бірғе мүғалімге де сабаққа немесе сабақтар жүйесіне дайындалуына қолайлы.
Осы оқулықтардағы нақты тақырып тригонометриялық функциялардың баяндалуын талдауға кірісейік. Әр жылдары мектеп математикасы курсында триғонометриялық функцияларды енгізудің әртүрлі нүсқалары пайдаланылганын ескереміз. [31- 34]
Бұл оқулықтарда жалпы тригонометрия мәселелері келесі тәртіппен қарастырылған: тригонометриялық функциялар; тригонометриялық теңдеулер; тригонометриялық теңсіздіктер; тригонометриялық түрлендірулер.
[3] оқулықта тақырып 10 сыныптың басынан басталады, [1],[2] оқулықтарда 9 сыныптың соңынан басталады. [1] оқулықта сандық шеңбер арқылы түсіндіріледі, [2],[з] оқулықтарда сан аргумент арқылы түсіндіріледі. [1],[2] оқулықтарда қасиеттеріне, формулалардың дэлелдеуіне жеке тоқталған, ал [з] оқулықта жеке тоқталмаған. [1] оқулықта тест тапсырмалары берілген және есептерде күрделі келген. [2],[з] оқулықтарда тест тапсырмалары берілмеген және есептерде аз, онша күрделі емес.
Тригонометрияны туындыны үйренгеннен соң үйрену үсынылады. Бұл тригонометриялық функцияларының нүктелердегі жуық мәндерін есептеуге мүмкіндік береді, ал Бұл оларды зерттеуді жеңілдетеді. Графиктер қүруға және тригонометриялық есептерді шешуде көмектеседі. Ал оқулықтарда керісінше.
Әрбір оқулық тригонометриялық функциялардың өзін енгізуде де өздерінін ерекшеліктеріне ие. Кейбір оқулықтар есептердің қиындығымен немесе өзгеше есептерімен баланы тардады. Ал кейбір есептердің бірнеше шешу жолдарымен түсіндіреді, кейбірі теориялық түрде және формулаларды дәлелдеу түрде түсіндіреді.
Тригонометриялық функциядың зерттелу және графиктерін қүру мәселелеріне толығырақ тоқталайық.
оқулықта күрделірек түсіндірген, онда функцияның зерттелуін кесте түрінде түсіндірілген. Мүнда тақ, жүп функциясына периодына жеке параграф.
[1] оқулықта графиктерді барлығын ашып түсіндірілген, бірақ ctgx функциясын оқушыларға өзіндік жүмас ретінде берілген. [2] оқулықта қарапайым түрде түсіндірілген.
Бұл оқулықтардың негізгі ортақ мақсаттар қойылады:
кез келген бүрыш үшін синус, косинус, тангенс, котангенс үғымдарыненгізу;
бүрыштық аргументті тригонометриялық функциялар туралы оқушыларға білімдерді жүйелеу, жалпылау және кеңейту;
триғонометриялық функциялардың қасиеттерін үйрену;
оқушыларды тригонометриялық функциялардың графигін құруға жәнеБұл графиктерде кейбір түрлендірулерді орындауға үйрету.
Бұл оқулықтың жетістіктерінің бірі ретінде әрбір тарау жаңа негізгі үғымдардың келіп шығуына дайындайтын кіріспе әңгімемен және математикамен қызығатын оқушылар үшін пайдалы мәліметтерді қамтитын қорытынды әңгімемен аяқталу фактін атап өткен жөн.
Бұл оқулықтар баланың ақыл ойына байланысты жазылған: [1] оқулық жаратылыстану сыныбына арналған, [2] гуманитарлық сыныбына арналған оқулық.
1 Кез келген бүрыштың тригонометриялық функциялары
Тригонометриялық функцияларды енгізу үшін сан түзуінен басқа жаңа математикалық үлгі - санды шеңбер қажет. Сан түзуін берген кезде, оның санақ басы О нүктесі, масштабы және оң бағыты берілген. Кез келген нақты санды осы түзудегі нүктеге сәйкес қоюға болады және керісінше. Сонымен қатар кез келген нүктенің координатасы орналасу орнына қарай сан түзуінде оң және теріс сан болып өрнектеледі. Нақты сан мен шеңбер нүктесінің арасындағы сәйкестікті анықтау үшін шеңбер бойынан алынған бас нүктені А деп белгілейік, оң бағыт (жылжымалы сағат тіліне қарсы) және бірлік масштаб таңдап алайық. Бірлік масштаб ретінде шеңбердің К радиусы алынсын.
Сурет 7
Сан түзуімен санды шеңбердің үқсастығына сүйеніп, шеңбер бойындағы М нүктесіне доғаның үшына АМ =z радиан сәйкес қоямыз. Бұл санды М нүктесінің дөңгелек координатасы деп атап, М(z) деп белгілейміз. Сондықтан, кез келген нақты санға шеңбердің нақты бір нүктесі сәйкес келеді. Демек, 0 санына Анүктесінің бастапқы нүктесі сәйкес, 1 санына АЕ=1 радиан болатын доғаның соңы Е нүктесіне сәйкес, 2 санына АF = 2 радиан болатын доғаның соңы Ғ нүктесі сәйкес келеді. Әрине, кез келген теріс санға теріс доғаның соңы болатын доғаның соңы Ғ1 нүктесі сәйкес болады. [35]
Сонымен, сандар мен шеңбер ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Тарих пәніне үңіліп, оған назар аударған кез келген индивид мынадай логикалық көсе-көлденең сұрақтарға тап болуы ғажап емес. Жалпы Адам ата жаралғанна бергі оның біздерге келіп жеткен тарихи мәліметтері? Оны көптеген философтар, зерттеушілер, антропологтар, генетиктер, теологтар зерттеген, зерттеп те жатыр. Яғни, олай болса, тарих пәнінің өзі де осы айтылып өткен ғылым салаларының тармақтарына жүгінетіні даусыз. Ақиқат пен таным теориясының анықтамалары бойынша:
(Зерттеліп отырған, объекті жөніндегі толық емес білімді салыстырмалы ақиқат, ал толық және дәл білімді абсолюттік ақиқат деп атайды. Салыстырмалы ақиқат пен абсолюттік ақиқат әлеуметтік, тарихи процесс ретіндегі объективтік ақиқаттың көрініс сәттері. Объективтік ақиқат салыстырмалы - абсолюттік формада ғана өмір сүреді). Тарих баспалдағы Жер планетасының пайда болуынан туындайды, сондай-ақ алғашқы бір клеткалы, сонан соңғы жерде биологиялық даму кезеңдеріне байланысты материалистік көзқараста маймылдан адамға ауысу сатысымен шенеледі. Ал дін этаптарына тоқталсақ, табиғат, барлық планеталар жер панетасындағы барлық тіршілік элементтері. Алла-тағаланың, құдіреті күшті бір құдайдың жаратқанын ескереміз.
Сонда тарих деген пәнді зерттеуге оның жалғыз өзінің қауқары жетпейтінін көруге болады, (географиялық орта, территориялық, этникалық шекаралар, дін, шаруашылық-экономикалық, саяси-әлеуметтік) факторлардың жемісі деп көруге болады. Қазақ халқының белгілі бір этаптағы арғы-бергі тарихына тоқталсақ, бір қарағанда жариялауға ауыр соғады. Ғұндар, Сақтар, Үйсіндер (б.д.д. ІІІ ғ.-б.д. ІІІ ғ.), Оғыздар мен Қидандар (8-9 ғ.ғ.), Моңғолдар (12-14 ғ.ғ.), тіпті кейінгі Жоңғарлардан (17-18 ғ.ғ.) әскери стратегия мен тактика талабынан тарих зерттеушілері уағыздайды. Ғалымдар мен зерттеушілер географиялық детерменизмнен, яғни, қоғам мен өркениет тағдырына жер жағдайы, климат, тағы сол сияқты, бір сөзбен айтқанда табиғи ортаның әсерін бағалаудан қаша отырып, керісінше географиялық нигилизмге (Л.Н.Гумилев), жеткізгенде табиғи ортаның маңызын мүлдем есепке алмауға ұрынғандығын байқамай да қалатыны бар. Бұл бойынша Қазақстан территориясы физикалық-географиялық сипаттамасы жағынан негізгі үш бөліктен тұрады. (В.М.Чупахин Физическая география Казахстана. А-Ата -1968. стр11-12) Батыс, Солтүстік Батыс Қазақстан - шөлейтті, ойпат далалы; Солтүстік және Орталық Қазақстан - далалық, шүйгін жайылымды, таулы; Оңтүстік, Оңтүстік Шығыс Қазақстан өзенді-көлді, жайылымды, таулы. Осындай этнотерритриялық дәріптеулер, тарих пәнін математикалық аспектілер бойынша нақтыландырруға көмек көрсетеді. Негізгі қарастырылып отырған тақырыпты жоғарыда айтылып өтілген көзқарастармен және де математикалық мектеп программасынан аспайтын заңдылықтармен дәлелдеп сынға алуға тырысайық. Тарихи деректерді зерттеп жарыққа осы тақырыпты (Қазақ әдебиеті, 16 қазан 1992 жыл) Қарағандды мемлекеттік университетінің оқытушысы, профессор Талғат Әбдіразақов шығарған. Ал, бұл мақаладағы жарияланатын жұмыстың негізгі сипаттамасы, Талғат Әбдіразақовтың мақаласына (математикалық, логикалық, информатикалық) тұрғыда мектеп қабырғасында математика тарих пән аралық байланысының бір бөлігін насихаттау. Негізгі бөлімнің маңызы, мынандай сұрақтың айналасындағы зерттеулерден тұрады: Қазақтар мен Жоңғарлар арасындағы ұзаққа созылған жаугершіліктің төркіні неде? 150 млн. Жыл бұрын Қазақстан территориясының орнында Тэтип мұхиты болғанның әсерінен де көп нәрсе туындайды.
1 МЕКТЕП КУРСЫНДА ТРИГОНОМЕТРИАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫ ҮЙРEНУДІҢ ЖАЛПЫ МӘСЕЛЕЛЕРІ
1.1 ТРИГОНОМЕТРИАЛЫҚ ФУНКЦИЯ ТУРАЛЫ ҚЫСҚАША ТАРИХИМАҒЛҮМАТТАР
Көне заманда тригонометрия астрономияның, жер өлшеуінің, суда жүзу және құрылыс жұмыстарының сұраныстарына байланысты пайда болды. Қандайда бір элементтер арқылы есептеу әдістерін ойлап табуға алып келеді.
Мысалы, олардың көмегімен қол жетпейтін заттарга дейінгі қашықтықты анықтау және географиялық карталарды құрастыруға арналған жергілікті жердің геодезиалық көшірмесін жасау жұмыстары бір қатар оңайлатылды.
Тригонометриалық танымдардың негізі ежелгі заманда пайда болды. Бастапқы кезде тригонометрия астрономиямен тығыз байланыста дамыды, оның көмекші тарауы болды.
Тригонометрия атауының өзі грек сөзінен аударғанда үшбұрыштарды өлшеу деген ұғымды білдіреді.
Ежелгі грек ғалымы, белгілі астроном Птолемей ( ІІғ.) Алмагест атты еңбегінде жазғандай, хорда тригонометриясын ойлап тапты. Птолемей жарты және екі еселенген бұрыштың, екі бұрыштың қосындысы мен айырымының қазіргі кездегі формулаларына мәндес болатын шеңбердің sdsdsd хордалары арасындағы (ол кезде математикалық белгілеулер қолданылмағандықтан, есептерді шығару жолы сөзбен жазылған) келесі қатынастарды шығарды:
яғни таза геометриялық сипатта болады және негізінен хордаларды есептеуді кұрады. Уақыт озуымен оған біртіндеп кейбір аналитикалық моменттер ене бастады. [1-7]
Хордаларды синустармен ауыстырып, тригонометрияның әрі қарай дамуына Үндістандық ғалымдар үлкен үлес қосты. Бұл жаңа енгізу VIII ғасырда тригонометрияны бірте-бірте астрономия тарауынан бөліп алып, жеке ғылымға айналдырды. Олараб тіліндегі жақын және алыс Батыс мемілекеттерінің математикасына ауысты.Синустан басқа тригонометриялық функциялар да енгізілді және олар үшін де кестелер күрылды.
Тригонометрияны өзіндік ғылыми пэн ретінде қалыптастыруда ІХ-ХІІІ ғасырлардағы Орта азиялық ғалымдардың еңбектері орасан зор. Орта азиялық математиканың дамуы астрономия, география, геодезия үсынған есептеу тапсырмаларын шешу қажеттілігімен тығыз байланысты болады. Сондықтан тригонометрия өзіндік зерттеу эдістері бар жеке ғылым, оның мақсаты қарапайым геометриалық фигуралардың элементтерін, жазық және сфералық үшбұрыштарды есептеу тэсілдерін табу болды. Тригонометриялық функциялар туралы ілім геометрия негізінде жасалды. Геометриялық тәсілдермен орындалған тригонометриялық функциялар арасындагы алгебралық қатыстар осы функцияларды зерттеуге, алгебралық тәсілдерді қолдануға, түрлендірулер жүргізуге, геометриялық фигуралардың элементтердің арасында әртүрлі қатынастарды қорытуга мүмкіндік берді. Осылайша геометрияға негізделген және алгебралық әдістерді кең қолданатын тригонометрияға ерекше сипаттамг берілді.
Тригонометрия туралы жалпы ұғымдар, тригонометриялық функциялардын белгілеулері және анықтамалары ұзақ тарихи даму процесінде қалыптасты. Негізгі тригонометриялық ұғымдарды енгізу кезінде тригонометриялық дөңгелектің радиусын 1 -ге тең деп алу оңай тәрізді, бірақ бұл қарапайым идея Х-ХІ гасырларда ғана игерілді. Егер біз тікбұрышты үшбұрыштағы α бұрышының синусы қарсы жатқан ВС катетінің ОС гипотенузасына қатынасы деп түсінсек, онда орта ғасырда синус терминін ВС синус сызығының өзі деп белгіледі. Тура осылай косинусты да, ОВ косинусының сызығы деп және баска да тригонометриалық функцияларды осылай түсінген.
Ғылымның әрі қарай дамуы тригонометриялық функциялардың периоттык процестерді игеру кезінде физикада, техникада маңызды мэні бар екенін көрсетті. Ж.Фурье қандайда бір периодтық қозғалысты кез келген дәлдікпен қарапайым синусоидалық тербелістің қосындысы түрінде беруге болатынын дәлелдеді. Сондықтан тригонометрияның мазмұны кеңейді, өйткені ондағы сая аргументіне қатысты тригонометриялық функцияларды зерттеу өзіндік мәнге ие болды.
1.2 МЕКТЕП КУРСЫНДА ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚФУНКЦИЯ-ЛАРДЫ ҮЙРЕНУДІҢ ЖАЛПЫ МӘСЕЛЕЛЕРІ
Кіріспеде алгебра және анализ бастамаларының мектеп курсында тригонометриялық функцияларды оқытудың қажеттілігі туралы айтылды. Бұл қажеттілікке не себепші?
Сонымен, тригонометриялық функцияларын оқытудың негізгі мақсаттары:
1) оқушыларды функциялардың жаңа түрілерімен таныстыру;
2) есептеу практикасының дағдыларын дамыту (функциялармен жүмыс көбінесе көп есептеулерді талап етеді);
3) функцияның барлық негізгі қасиеттерін көрнекі иллюстрациялау (эсіресе периодтығын);
4) практикамен байланыстарды тагайындау (маятник тербелісін, электр тогын, жарықтың толқындық теориясын оқыту тригонометриялық функцияларсыз мүмкін емес);
5) логикалық пікірлеуді дамыту (формулалардың көптігі зерттеу сипатындагы алгебралық сипатта болмайтын түрлендірулер қажеттілігін туғызды);
Тригонометриялық функцияларды үйренуде келесі басқыштарды атап көрсетуге болады.
I. Геометриядагы бүрыштық аргументті тригонометриялық функциялармен алгашқы танысады. Аргумент мэні (0°,90°) аралыгында қарастырылады. Бұл бүрышқа оқушылар, оның градустық шамасына байланысты, кестелік мәндермен, негізгі тригонометриялық тепе-теңдікпен және кейбір келтіру формулаларымен танысады.
II. (0°,180°) бүрыштары үшін синус, косинус, тангенс жәнекотангенс үгымдарын жалпылау. Бұл басқышта тригонометриялық функцияларының және жазықтықтагы нүкте координаттары өзара байланыста қарастырылады, синустар және косинустар теоремалары дэлелденеді, үшбүрыштарды тригонометриялык қатынастар арқылы шешу мәселесі қарастырылады.
III. Сандық аргументтік тригонометриялық функциялар үғымын енгізу.
Тригонометриялық функцияларды анықтаудың бірнеше тәсілі бар екендігін ескереміз. Оларды екі топқа бөлуге болады: аналитикалық және геометриялык.
Аналитикалық тэсілге y= sinxфункцияны f" x= -c* fx
дифференциалдық теңдеудің шешімі ретінде немесе
sinx=x-x33!+x25!.. дәрежелік қатардың қосындысы ретінде анықталады.Геометриялық тэсілдерге тригонометриялық функцияларды проекциялаг және радиус-вектордың координаттар негізінде анықталғандарды, бүрышты үшбүрыштың қабырғаларының қатынасы арқылы анықтауды және сандык шеңбер көмегінде анықталады. Мектеп курсында басымдылық қарапайым жәве көрнекілігі себепті геометриялық тәсілдерге беріледі.
Мектеп курсында тригонометриялық функцияларды үйрену кейбір ерекшеліктерге ие болатынын ескереміз. [8-15]
Біріншіден, тригонометриялық функцияларды үйренуге дейін, у = f(х) түріндегі функция қарастырылады, ал Бұл оқушылар үшін біршама міндетке сай емес болады. Бүдан басқа, алдын барлық функциялар формулалармен берілетін, онда айқын түрде функция мэнін алу үшін аргумент мәндері үстінде оқушылар кестелік түрде берілген функцияларға кездеседі.
Сонымен, тригонометриялық функцияларды оқытуда оқушылар функция үғымыныц мән-мағынасын дүрыс түсіне бастайды. Олар, кез келген обьектілер жиындарыныц арасындағы байланыс, егер әртүрлі табиғатқа ие болса да, (тек аргументтің әрбір мэніне функцияның бір ғана мэні сәйкес келетін болса) функция болатынын түсіне бастайды.
1.3 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАР
Алгебра және анализ бастамалары курсында тригонометриялық функциялар тақырыбын оқыту әдістемесі
Мектепте тригонометриялық функцияларды оқытуда екі негізгі басқышты атап өтуге болады.
Геометрия курсында (8-9сынып) бұрыштық аргументтің тригонометриялық функциялармен алғашқы танысу.
Алгебра және анализ бастамалары курсында (9-10 сынып) тригонометриялық функциялар туралы білімдерді кеңейту және жүйелеу.
Бірінші басқышта оқытылатын байланыстар функциялар екендігі дәлелденбейді және анықталмайды. Бүрыштың өзгеруінде синус және косинустың өзгеруінің қасиеттері негізінде дэлелденеді.
Бұл үғымдар геометрия курсы үшін жеткілікті түрде абстракті, сондықтан жақсы меңгерілмейді және 90-градустан жоғары аргументке өту үлкен қиыншылықтар тудырады. Себебі, біз тригонометриялық функцияларды тікбүрышты үшбүрыштың қабырғаларының қатынасы арқылы анықтадық, ал тікбүрышты үшбүрышта 90- нан үлкен градустық өлшемдегі бүрыштың болмайтындығы белгілі. Осы факті түсіндіру үшін осы басқышта шеңберді қарастыруға тура келеді жәнеБұл алгебра және анализ бастамалры курсында сан аргументті тригонометриялық функциялар шеңбер көмегінде енгізу үшін өзіне тэн жүмыс болып табылады.
Екінші басқышта бүрыштық аргументтен сандыққа өту жүргізіледі. Курстың басынан кез келген шамадағы бүрыштық тригонометриялық функцияларын қарастыруымыз керек. Демек, оқушыларды алдын ала бұрыштан -infinity тен +infinity -ге дейін өзгере алатын шама екендігімен таныстыру керек. Геометрия курсында бұндай ұғым жоқ болатын, сондықтан бұны екінші басқышта толықтыру қажет. Сонымен сандық шеңберді енгізу қажеттілігі туындайды және екінші басқышта өткізген мақсатқа сай.
Сандық шеңбердің моделін үйрену үшін пропедевтикалық жұмыстар сипатында берілген радиустағы шеңбердің ширек жарты және үштен бір ұзындықтағы доғасын табуға арналған геометриялық есепті қарастырған жөн. Алынған нэтижелерді жалпылап, оқушыларды алдындағы жүмыстар үшін кез келген радиуыстағы емес, бірлік радиуыстағы шеңберді таңдаған тиімді екендігіне әкелу қажет.
Сандық шеңбермен жүмыс процесінде оқушыларда келесі біліктіліктер қалыптасқан болуы керек;
Сандық шеңберде п санының үлестерінде өрнектелген және п санының үлестерінде өрнектелмеген, берілген сандарға сәйкес келетін нүктелерді табу;
Сандық шеңбердің доғасы үшін аналитикалық жазуларды құрастыру;
Бір мезгілде екі координат жүйесінде жұмыс істеу - қисық сызықты және тік бүрыштыны табу;
Декарттық және бір координат жүйесінен екіншісіне өтуді орындауды;
Сандық шеңберде нүктелердің координаттарын табуды және сандык шеңберде берілген координаттары бойынша нүктелерді табуды.
Бұл үшін келесі типтегі тапсырмаларды қарастырған мақсатқа сай:
1) Сандық шеңберде PI2, 9 PI, 26 PI3, 5 PI4,7 PI6,... нүктелерді тап
2) Сандық шеңберде 1,2,-7,4,5,-31,... нүктелерді тап
3) 21PI4,-37PI6,10,-95 нүктелері қай ширектерге тиісті екендігін анықта
4) келесі теңсіздіктерді қанағаттандыратын t нүктелерін сандық шеңберде белгілеңіз.
a) PI6+2kPI=t=2PI3+2kPI;k∈Z
b) -PI3+2kPI=t=3PI4+2kPI;k∈Z
5) PI4, -З PI2, 23 PI6,-13 PI3,... сандарына сәйкес келетін нүктелердің декарттық координаттарын анықта
6) (12; √32) (-√22; √22), (√32;-12), (-1;0),... координаттар нүктелері сәйкес келетін оң және бүрыштарды сандарды тап.
7) Сандық шеңберде ординаталары √32,12,- √22,0 -ге тең болатын, ал абциссалары теріс болатын күктелерді тап және олар қай сандарға сәйкес екендігін жаз.
8) Сандық шеңберде √22 ординаттар нүктелерін тап және олар қай сандарға сәйкес келетінін жаз.
Сандық шеңбермен жүмыс істеу процесінде келесі моменттерге назар аудару керек.
Мүғалімнің қолында минимум екі сандық шеңбері бар макет болуы қажет. Олардың бірінде 0, PI6, PI4, PI6, PI2, 2PI3 нүктелері көрсетілген және есептеу оң бағытта жүргізілген болуы, ал екіншісінде, теріс бағытта және
0, -PI6, -PI4, -PI6, -PI2, -2PI3 нүктелері көрсетілген болуы керек, және де екінші макет оқушылардан Егер нүкте оң бағытта емес, теріс бағытта қозғалатын болса, онда не болады? деген сүраққа жауап беретін немесе жауап беруге әрекеттенетін болғаннан соң ілген жөн болады.
Бұл мотивациялық есеп сандық шеңбермен сандық түзу арасындағы байланысты жүргізуге мүмкіндік береді. Сандық түзуде тек оң мәндері емес, сондай-ақ теріс мәндері де, және де соншалықты үлкендерінде қоюға болады. Сандық шеңберді де осылай етуге болады, бірақ түзуде нүктелер арасындағы сәйкестік өзара бір мәнді, ал шеңберде әрбір нүктенің шексіз көп аттары болатынын, олар бір-бірінен 2PIк -ға бүнда к е 2, айырмашылығы болатын фактін ескеру керек.
Бұл басты ерекшелікті оқушылар айқын түсінуі және сезінуі керек. Бұл үшін сандық шеңберді дөңгелекпен, ал сандық түзуді бойында нүктелер белгіленген шексіз үзын жіппен салыстыруы мүмкін.
Жіпті дөңгелекке орап, алдын-ала нөлдік нүктелерді сәйкестендіріп бірлік радиуыстағы сандық шеңбердің ұзындығы дэл 2PI -ді қүрайтындығын 2п -мен өзгешеленетін нүктелер дөңгелекте бір орынға түсетіндігін байқауға болады. Шеңберде нүктелермен сандар арасындағы сәйкестіктің бірмәнді еместігімен байланысты проблема келесі түрдегі мәселені шешуде келіп
шығады: Сандық шеңберде √32 -ден үлкен ординаталы нүктелерді табыңыз және олар қай сандарға сәйкес екендігін жазыңыз .
Доғаны сипаттайтын бүндай теңсіздіктерді бастапқы басқышта екі қадамда қүрастырылу үсынылады. Бірінші қадамда, аналитикалық жазудың ядросы деп аталатын PI3t2PI3 -ті қүрастыру және тек екінші қадамда жалпы жазу PI3+2кPIt2PI3+2кPI -ны қүрастыру керек (мүндағы к∈Z). Көптеген жағдайларда бүны шынында ешқандай кедергісіз орындауға болады, бірақ теңдеулердің немесе теңсіздіктердің шешімін анықтауда немесе функцияға белгілі бір шектеулерді қойғанда, к параметрі барлық а-ларды қабылдамауында, мысалы, тек оң немесе тек жүп мәндерді қалай болады?
+2PIк жазуға бейімделген оқушылар к параметрі қандай мәндерді қабылдауын ойланбастан осындай жағдайда +2PIк деп жазады, ал Бұл олардың шешімдерін автомат түрде қате деуге алып келеді.
Ал Бұл мысалы, 4PIк, мүнда к ∈Z және 2PIк, мүнда к е 2Z сәйкес деген фактіні түсінбеуіне алып келеді. Бұл өз кезегінде, периоды 4PI -ға тең функцияларды қарастырғанда қиыншылықтарға алып келуі мүмкін.
Ал Тригонометриялық функциялар тақырыбын үйренуде бүндай функцияларға аз уақыт бөлінбейді.
Сонымен, ең кішкене деталдарға дейін, сандық шеңберді үйренуде ешқандай деталдарды назардан тыс қалдыруға болмайды, Бұл тригонометриялық функцияларды үйренуде білімдегі үлкен кемшіліктердің болуына себеп болуы мүмкін.
Тригонометриялық функцияларды сандық шеңбер көмегінде анықтау оқушылар санасында жақсы қабылданбайтындығын бір ғана қарапайым себеппен болатындығын естен шығармауы керек:бірінші басқышта анықтама геометриялық трактовкада (түсіндірмеде) берілген болатын тікбүрышты үшбүрыштың қабырғалар арасындағы қатынас ретінде.
Психологшдан белгілі: Егер қандайда бір маңызды үғым алғаш енгізіліп жатса, онда оған сәйкес ассоциациялар оқушылар санына берік енеді. Келесі әсерлер босаңдау болуы және алғаш берілген үғымдарды жоя алмауы мүмкін.
Бүрыштық қабылдайтын мәндер жиынының кеңеюі басқышында синус және косинусының жаңа анықтамасын енгізу үшін біз шеңберді пайдаланганымызға қарамастан және бір рет тікбүрышты үшбүрышпен сандық шеңбер арасындағы байланысты айқындау қажет.
Мектеп оқулықтарында Бұл фактіге неліктен айтарлықтай көңіл бөлінбейтінін ескертеміз (әртүрлі мектеп оқушыларында Тригонометриялық функциялар тақырыбын баяндаудың талдау тарауына қараңыз), сондықтан мүғалім осы басқышта триғонометриялық функцияларды енгізуде келесі моменттердің айтылуына назар аудару керек.
Тікбүрышты декарттық координаттарды орналасқан бірлік радиустағы сандық шеңберді қарастырамыз.
Сурет 1
ОХ өсінен оң бағытта 0α90° болатындай α бұрышты қоямыз. Шеңберде алынған нүктені Рα - нүктесінде О х -осіне перпендикуляр жүргіземіз және М нүктені аламыз. Алынған ОМ Рα тікбүрышты үшбүрышты қарастырамыз. Анықтама бойынша, зіпа МРαОРα қатынасына тең, бірақ шеңбердің ОРа радиусы 1 - ге тең. Демек, Sinα = МРα. Дэл осылай, cosα = ОМ. Тікбүрыштыдекарттық координат жүйесінде ОМ ұзындығыБұл Рα нүктесінің абциссасы, ал МРα ұзындығы оның ординатасы. Сонымен α бүрышының синусы мен косинусы Рα нүктенің ординатасы және абциссасымен анықталады, Бұл тікбүрышты декарттық координат жүйесінде жүмыс істеуге қолайлы.
Сандық шеңбермен жүмыс істеуде бірлік шеңбердің доғасының ұзындығы, доғаға тірелетін центрлік бүрышпен оңай өрнектелетін фактын біз алдын меңгердік,сондықтан, Рα нүктесін басқа тэсілмен де қүруға болады берілген үзындықтағы доганы салумен. Доғаның ұзындығы барлық уақытта нақты сан болғандықтан, демек, бүрыштық аргументті тригонометриялық функцияларға оңай өтуге болады. Енді α бүрышына қойылған шектеулерге қайтайық. α бүрышы 0° тан 90° дейінгі аралыққа тиісті, демек, доға ұзындығы 0 мен PI2арасында жатады.Геометриялық интерпретацияны пайдаланып, Бұл анықтамаларды кез келген бүрыш және сандарға таратуға болады.
Тангенс және котангенс ұғымдарын екі түрге келтіріп шығаруға болады. Синустың косинусқа (косинустың синусқа) қатынасы ретінде және шеңберге ((1;0),(0;1)) нүктедегі жанаманың және ОРα түзудің қиылысу нүктесінің ординатасы (абсциссасы) ретінде. [16-24]
Сурет 2
Жалпы айтқанда, синус пен косинус функцияларын анықтап, оларды сандық шеңберге тангенс және котангенс ұғымдарын енгізу үшін қүрал ретінде қарастыруға біз мүқтаж емеспіз. Осы моделмен жүмыс істеуді алғандығымыздан, тек геометриялық анықтаманы ғана пайдаланып, тангенс және котангенс функцияларын анықтауды көрсету жөн болады. (α бүрыштың тангенсі - Бұл синус α-ға қатынасы сөйлемдері анықтама болып табылмайтынын олар қасиеттер екендігін ескереміз).
Екінші жанасуды пайдалану тригонометриялық функцияларды үйрену басқышында ғана емес, сондай-ақ тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу басқышында да көмектеседі. Сондықтан дэл осы екінші жанасуды пайдалану мақсатқа сай, ал тангенс α-синус α -тың косинус α -ға қатынасы анықтамасын қасиет ретінде қарастыру жөн.
Сонымен, біз барлық тригонометриялық функциялар үғымын енгіздік (бағдарламамен көзделген).
Бірақ, графиктерді қүру және зерттеуге өтуге алдын, оқушыларда келесі дағдылардың болуын бақылау қажет:
::Басты нүктелерді барлық тригонометриялардың мәндерін табу.
::Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу.
::Тригонометриялық функциялардың берілген нүктелердегі мәндерін анықтау.
::Негізгі тригонометриялық тепе-теңдікті және келтіру формулаларын пайдаланумен өрнектерді ықшамдау.
::Бір тригонометриялық функцияның берілген мәндері бойынша қалған барлық тригонометриялық функциялардың мэнін табу.
Жоғарыда аталған дағдыларды игеріп, оқушылар тригонометриялық функциялардың графиктерін ілгері күру және зерттеу үшін жеткілікті құралдар арсеналын алады.
Графиктерді құру және функцияларды зерттеу жұмысы екі тэсілмен жүргізілуі мүмкін:
1)Алдымен нүктелер бойынша график құралады, содан соң графиктік интерпретация көмегінде функцияның барлық қасиеттері зерттеледі.
2) Графикті кұру функцияны зерттеуден соң жүргізіледі, ал қасиеттер туралы көрнекті түсініктерді оқушылар функцияның сандық шеңбердегі өзгеруін талдаудан алады.
Екінші жанасуды қолданған мақсатқа сай Бұл жанасуда, біріншіден, тригонометриялық функцияның барлық қасиеттері екі моделде де бейнеленеді (сандық шеңберде де, графикте де), ал екіншіден, бұл туынды көмкгінде функцияларды зерттеу және графиктерді құруды әрі қарай оқыту үшін жақсы дайындық жұмысы болып табылады.
Сандық шеңберде функцияның өзгеруін талдауға қарамастан, біз тек кейбір қасиетті бейнелейміз, кейде шеңбер көмегінде дэлелдеу оқушылар үшін кейбір фактілерді негіздеудің жалғыз ұғынықты тәсілі болып табылатынын естен шығармау керек. Кейбір жағдайлар қалыптасқан ұғымдарды айқын негіздеуді талап етеді.
Тригонометриялық функцияларды зерттеуге толығырақ тоқталайық:
1) Аныцталу Облысы
Нақты айнымалы функцияның анықталу облысы деп функция нақты мәндерді алатын аргументтік нақты мәндер жиынына айтылады
y=sinx: және y=соsx функцияларының анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны. Бұл факт шеңбер көмегінде жеткілікті оңай негізделеді: әрбір х нақты саныны шеңберде Рх нүктесіне сәйкес келеді. Әрбір Р, нүктесіне оның абциссасы және ординатасы сәйкес келеді. Олардың әрбірі - нақты сан. Демек, кез келген x үшін y=sinxжәнеy=соsxфункцияларының мәндері нақты сандар болады.
y=tgx және y=ctgxфункцияларының анықталу облыстары кейбіршектеулерге ие. Бұл қасиетті негіздеуді tgx=SinxCosx фактінен алу мүмкін. Онда,y=tgxфункцияның анықталу облысы у = cosх функциясының нөлдерін шығарумен барлық нақты сандар болады. Бұл фактіні шеңбер көмегінде негіздеу мүмкін.
Сурет 3
Әрқандай x нақты санға шеңбердегі Рᵡ нүктесі сәйкес келеді.
Егер x!= PI2 + PIк, к ∈Z, онда Бұл нүкте (0;1) және (0;-1)-лерден басқа координаттарғаие,онда О жәнеРᵡнүктелері арқылы түзу жүргізу мүмкін, ол шеңбердің (1 ;0) нүктесі арқылы өтетін жанаманы қандайда бір Тᵡ нүкте қияды. Бұл нүкте нақты сан болып табылатын ординатага ие. Яғни бүндай нүктелерді у = tgxфункңиясының нақты мәндерін қабылдайды. Егер де х = PI2 + PIк,к∈Z болса, ондаОРᵡ түзуі ОУ осімен сәйкес келеді, демек шеңбер жанамасына параллель болады. Бұл жағдайда біз нүктесін және оның ординатасын таба алмаймыз, демек Бұл параллельде у = tgх функңиясы анықталмаған болады. Сонымен,
Dtgx= , k ∈Z.
Қорытындысын жасаймыз. у = ctgx функңиясы үшін пайымдаулар дэл осылай, сондықтан оларды оқушылар өз бетінше жүргізе алады.
Тригонометрияны үйренгенге дейін анықталу облысы функңияның қасиетіретінде жеткілікті жақсы үйренілген, ал оны табу процесі біліктілік разрядынантригонометриялық функцияларды үйренуде анықталу облысын табуға тағыназар аудару керек, у = ctgx∙tgx ;
типіндегі және бөліктеп берілген,
y=ctgxx+PI2,x PI, x=PI y=sinx, x -PI2tgxx-7, x=2PI
2) Мәндер Облысы
f функциясының мәндер облысы деп х -ті функциясының анықталу облысына тиісті болатын f(х) сандарынан қүралған жиынға айтылады. y=sinxжәнеу=соsх функциялардың мәндер жиыны [-1;1] кесінді болып табылатындығы фактісінің айқын негіздемесі әрбір қолданыстағы оқулықтарда келтірілген, ал бүның орнына -1 sinx 1 және -1 cosx 1 теңсіздіктері қарастырылған, олар х -тің барлық мәндері үшін орындалған. Бірақ, бүдан осы функциялардың мәндер облысына [-1;1] кесіндінің барлық нүктелері енетіндігі мүлдем келіп шықпайды. Бұл моментке ерекше назар аудару керек, себебі, оқушылардың санасына мүлдем екі түрлі қасиетті айыру үшін: шектелгендік және мәндер облысы түсініктерін білу керек.
Сурет 4
Бұл жағдайда f(х) функциясы шектелген болып табылады.(-1=f(x)=1) теңсіздігі орындалады, бірақ [- 1;1] кесіндісі осы функцияның мәндер жиыны болып табылмайды. Сондықтан [-1;1] кесіндісіндегі кез келген сан у = sinх (у = соsx) функцияның қандай да бір нүктедегі мэні болатын фактін көрсету қажет. Бүны ең болмаганда мынандай етіп көрсету мүмкін. -1 =х= 1 болатындай кез келген нақты х санын аламыз. ОХ осіне тиісті [-1;1] кесіндісінқарастырамыз және осы кесіндінің х1 -ге сәйкес келетін нүктесін аламыз, одан ОХ осіне перпендикуляр жүргіземіз. Ол бірлік шеңберді қандай да бір Рх1 нүктеде қиып өтеді. X, - Р^ нүктенің абциссасы екендігін ескереміз, демек, X1 саны Рx1 нүктесі үшін у =cosx функциясының мэні болып табылады (у=sinx функциясы үшін осыған ұқсас). [25-29]
Сурет 5
Мәндер облысын үйренгеннен соң у=sinx және y=cosx: функцияларынын шектелгендік қасиетінқарастырған мақсатқа сай және осы қасиеттер арасындағы өзара байланысты тек тригонометриялық функцияларга гана емес, сондай-ак функциялардың басқа кластарына да көрсеткен жөн.
3) Жұптъқ және тақтық
Тригонометриялық функциялардың жұп және тақ болу қасиеттерін үйренуде кез келген х - тің нақты мәндері үшін:
sin(x)=-sin(x),ал соs(- х) = соs(х)фактін айқын негіздеу қажет. Көбінесе, Бұл фактіні негіздеу қай басқышта Бұл негіздеу жүруіне байланысты t және - t бүрыштарына немесе сандарға сәйкес келетін шеңбер нүктелерінің симметриялығына келтіреді. Егер t санына сандық шеңбердің М нүктесіне сәйкес келсе, онда tсанына, шеңбердің горизонтал диаметріне, яғни абцисса осіне қарағанда М нүктеге симметриялы болған Р нүктесіне сәйкес келеді.
Бүндай нүктелерде бірдей абциссалар, ал ординаталары модуль бойынша тең, бірақ таңбалары әртүрлі болады. Демек, sin(t)=- sin(t),ал соs(-t )=соsttжәне - t нүктелерінің симметриялығы фактінің өзіне айқын емес, сондықтан оның өзі негізделуге мүқтаж, оны мысалы, МОР үшбұрышын қарастырумен көрсету мүмкін. МР кесіндінің ОХ осімен қиылысу нүктесін в- мен белгілейміз. Онда МОР үшбұрышы тең бүйірлі (ОМ=ОР, бір шеңбердің радиуыстары), ОВ сәулелі МОР бұрышының биссектрисасы, демек, МОР үшбүрышының әрі биіктігі, әрі медианасы.
Онда М және Р нүктелері, шындығында ОХ осіне қарағанда анықтама бойынша симметриялық болады. Бұл қарама-қарсы бұрыштардың синусы және косинусының мәндері туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді.
Бүдан соң tg(-t) = -tg(t) және ctg(-t)=-ctg(t) теңсіздіктерін негіздеу ешқандай қиындықтудырмайды.
Анықтама: Егер аргументтің таңбасы өзгергенде функцияның таңбасы өзгерсе, онда ондай функция тақ деп аталады.
Егер аргументтің таңбасы өзгергенде функцияның таңбасы өзгермесе, онда функция жұп деп аталады. Демек, синус, тангенс және котангенс тақ функциялар, косинус жұп функция болады.Әрі қарай оқушылардың назарын және бір рет келесі фактіге аудару керек.
Жүп және тақ функциялардың анықтамаларында айқын түрде бұндай функциялар координаттар басына қатысты симметриялық анықталу облысынаие екендігі көрсетілмеген, бірақ бұл факт y=sin√xфункциясы жұпта емес, тақта еместігін дэлелдеңіз типіндегі есептерді шешуде пайдалы болады. Жоғарыда айтылған фактіні пайдаланып және берілген функцияның анықталу облысы координаттар басына қатысты симметриялы еместігін анықтап, сәйкес теңдеулерді қарастырмай, шынында да y=sin√xфункциясы жұпта, тақта болмйтыны туралы қорытынды жасау мүмкін. Бұл нүктелерді мына түрде жазуға болады.
sin(x)=-sin(x), соs(- х) = соs(х)
Сондай-ақ, бөліктеп терілген функцияның жұп екендігін анықтау пайдалы. Мысалы, келесі функциялар жұп немесе тақ болатынын анықтау:
fx= sinxегер x =0cosxегер x=0 болса
fx= cos(x2) егер x=PI PI2+ x2, егер 0 xPIcos(x2)егер x= PI
4) Монотондыц
Тригонометриялық функциялардың монотондық қасиетін қарастыруда қолданыстағы көпшілік оқулықтарда сәйкесінше (PI2,PI) және (- PI,0)y=sin(x) және у =cos(x)функцияларының өсуінің айқын дэлелдемесі көрсетілмеген, бұл фактілердің негіздемесі сандық шеңберге сүйене отырып жүргізілген. Шеңбердің төртінші және бірінші ширектері бойынша оң бағытта нүкте қозғалысында оның ординатасы бір қалыпты жоғарылайды. (-1 - ден 1 -ге дейін), демекy=sin(x) функциясы осы аралықта өспелі болады.
Бұл фактінің қатаңдау дәлелдемесі синустар айырмасы формуласына сүйенумен келтірілген және тригонометриялық түрлендірулер тригонометриялық функциялардан алдын үйренілетін жағдайда қолданылады, яғни тригонометриялық функциялардың зерттелу моментіне дейін синустар айырмасы формуласы белгілі болғанда.
Айталық,-PI2=x1=x2=PI2синустар айырмасы формуласын қолданып, sinx1 - sinx2 = 2cos[(x1 + x2)2*sin[(x1+x2)2], -PI2=x1=x2=PI2
теңсіздігінен табамыз. -PI2(x1+x2)2PI2және 0(x1+x2)2 PI2 келіп шығады, сондықтан cos(х1 + х2 )2 0 жәнеsin(х1 - х2 )2 0 демек sinх2 - sinх1 0 яғни sinх2 - sinх1"
Бүданмүғалім -PI2=x1=x2=PI2 теңсіздігінен -PI2(x1+x2)2PI2 және0(x1+x2)2 PI2теңсіздігі алынатындығын түсіндіруге назар аударуы керек.
Бүны [-PI 2,PI 2] кесіндісін бейнелеп көрсету мақсатқа сай (х1 + х2 )2 x1жәнех2 сандарының арифметикалық ортасы екендігін ескертеміз, демек,
[х1 + х2 ] аралығына тиісті, ал ол оз кезегінде толығымен [-PI 2,PI 2]аралығында жатады, яғни бірінші теңсіздік орынды. Екінші теңсіздікті негіздеу үлкен қиыншылық туғызады. х, +х2 айырмасының модулі - Бұл x1жәнех2 нүктелері арасындағы қашықтық екенін ескереміз, ал екі нүктеде бір ғана [-PI 2,PI 2] аралығына тиісті болғандықтан, олардың ара қашықтығы осы кесіндінің ұзындығынан, яғни PI -ден артық болмайды. Екінші жағынан модуль терісемес функция, әрі бұл жағдайда оң, себебі х1жәнех2әр түрлі болғандықтан 0х, -х2=PI-ге иеміз. Бірақ х1х2 болғандықтан, х1 +х2 =(х2 - х1).
Теңсіздіктің екі жағын 2-ге бөліп, дэлелденіп жатқан теңсіздікті аламыз.
у = tg(x) функциясының [-PI 2,PI 2]аралығында өсуін дэлелдейді. Тангенстер айырмасы формуласын пайдаланып, осыған үқсас жүргізген мақсатқа сай. Тригонометриялық түрлендірулер функциялардан соң үйренілетін, яғни функцияларды зерттеу моментіне дейін тангенстер айырмасы формуласы белгілі болмайтын оқулықтар бойынша оқыту жүргізілген жағдайда дәлелдеуді [-PI 2,PI 2] аралығында екі [0; PI2] және [-PI2;0] жартылай аралықтарға бөліп жүргізген дүрыс.
Айталық, - PI2х1х2PI2 болсын, 0 -х2-ххPI2 Енді х1 және х2сандандары бірінші ширекте жатады, онда тангенс өседі, демек,
tg(-х2)tgх1) у = tgх функциясы тақ болатынtg(-хг)tg(-х1)= -tg(х2)tgх2) болады, демек tg(х2)tg(х1). Ал, бұдан у = tg(х) функциясы [-PI2;0] аралығында өседі, демек [-PI2;PI2] аралығында өседі. у=ctgх функциясының монотондыгын дәлелдеуді өзіндік орындау үшін тапсырма ретінде ұсыну мақсатқа сай.
Функцияның нөлдері мен таңба тұрацтылыгы аралыцтары функцияның нөлдері және таңба тұрақтылығы аралықтарын табу оқушыларсандық шеңберді үйренгендіғі қарастырған және оларға қиыншылық туғызбайтын қарапайым тригонометриялық теңдеулермен теңсіздіктерді шешуге келтіріледі.
5) Периодтық
Бұл қасиетті үйренуге ерекше назар аудару қажет, себебі оқушылар периодтық функциялармен алғаш кезіғу. Функцияның периодтығы үғымын қалыптастыру үшін келесі жаттығуларды пайдаланған мақсатқа сай.
Суретте, ұзындығы функция периодына тең, [-2;2] кесіндісіндегі периодтық функцияның графигінің бөлігі бейнеленген. [-6;-2], [2;3] кесіндісіндегі функция графигін қүрыңыз.
Егер [- 1;1] кесіндісіндегі f(х) =x^22екендігі белгілі болса, онда периоды 2-гетең у =f(х) периодтық функциясының графигін қүрыңыз.
16 PI саны у =sinх функциясының периоды болып табыла ма? Ал оның негізгі периоды?
у = sin(6x),y=cos〖x2〗,у = sin(kx) функцияларының негізгі периодтарынтабыңыз.
Егер у = f(х) функциясы периодты болса, онда у = к*f(х)+b -да периодтық болатынын дэлелдеңіз.
Айталық, функциясы периодтық, Т1жәнеТ2оның периодттары болсын. Кез келген пТ1 + тТ2 түріндегі сандар да, мүнда п,т е N,
f функциясының периодттары болатынын дэлелдеңіз.
7.f(х)= 5sinх2және соs(х)*соs(√х) функциялары периодтық еместігін дэлелдеңіз.Өспелі функция периодтық болмайтынын дәлелдеңіз және т.с.с.
Оқушылардың назарын, периодтық функциялар шексіз периодтар жиынына ие екендігі, олардың арасынан, мүмкіндігінше негізгі деп аталатын, ең кіші оң периодты ажыратуға әрекеттің фактіне қарату керек.
Бүдан соң тригонометриялық функциялардың барлық қасиеттерін графикте бейнелеу және бір кестеге келтіру жөн.
Тригонометриялық функцияларды зерттеу және олардың графигін құру бойынша дағдыларды әрі қарай қалыптастыру үшін у = Asin(wt + а)жәнеу=Асоs(wt+а) түріндегі гармониялық тербелістерді пайдаланады. Гармониялық тербелістерді енгізудің негізгі мақсаты А,w және а коэффиценттерінің мәндеріне байланысты функциялар қасиеттерінің қалай өзгеретінін көрнекі көрсету болып табылады.
Кесте 1
Қасиеттері
y=sin(x)
у = соs(х)
y=tg(x)
у = ctg(х)
Анықгалу
облысы
R
R
x!=PI2+PIn
x!= PIn
Мәндер
облысы
[-1;1]
[1;-1]
R
R
Фуикциянын
нөлдері
PIn
PI2+PIn
PIn
PI2+PIn
Бұдан келесі түрдегі пайдаланған жөн:
1. Функция графигі бойынша оны беретін формуланы анықтаңыз.
Сурет 6
Тригонометриялық функциялардың қасиеттерімен жеткілікті түрде жақсы жүмыс істеуді үйренгеннен соң тригонометриялық теңдеулерді шешуге және тригонометриялық функцияларды үйренуде салмақты алгебраға қарай ыгыстыру керек емес, ягни тригонометриялық түрлендірулерден орындаумен байланысты біліктілікті бірінші орынға шығару қажет емес. Бұл біліктер, әрине, маңызды және оқушыларда комбинаториялық, логикалық және алгоритмдік дағдыларды дамытады, бірақ тригонометриялық функцияларды үйренуде бастысы бұнда қалады. Сонымен, математиканы оқытудың негізгі мәселесі баланың ақыл-ой қабілетін дамыту екендігін естен шығармау керек.
Әртүрлі мектеп оқулықтарыида Тригонометриялық функциялар тақырыбының баяндалуын талдау
Қазіргі уақытта тригонометрия мәселелері 9-10-11 сыныптарда Алгебра және анализ бастамалары курсында үйретіледі. Әртүрлі автордың оқулықтарына сүйенген тақырыптық жоспарлардың әртүрлі нүсқаларында 17- ден 25 сағатқа дейін сағат бөлінеді.
Жоғарыда аталған мақсаттарды жүзеге асыру түргысынан жалпы білім беретін мектептерде кең таралған оқулықтарды ([1],[2],[3]) талдайық.
Алдымен осы оқулықтардың тек осы тақырып бойынша ғана емес, түтас әдістемелік қүрал ретіндегі кейбір ерекшеліктерін атап өтейік. Жалпы, Бұл оқулықтар алгебра және анализ бастамаларының мектеп курсы туралы түтас және толық түсінік береді, білім беру мазмүнының міндетті минимум талаптарына сай. Бірақ олардың әрбірі өзіндік ерекшеліктерге ие. Мысалы, [1] оқулық, басқа оқулықтармен салыстыру бойынша, оқушылар үшін теориялық материалды үғынарлы баяндаумен ерекшеленеді, баяндаулар өте толық, үғынарлы әдеби тілде жүргізілген және көптеген мысалдар шешімдерімен бар және тест тапсырмалары енгізілген.
[3] оқулықтың соңында барлық өтілген материалдар схема және кестелер түрінде берілген, ал Бұл оқушыларға қандайда бір бақылау іс-шараларына дайындалуына қолайлы, сонымен бірғе мүғалімге де сабаққа немесе сабақтар жүйесіне дайындалуына қолайлы.
Осы оқулықтардағы нақты тақырып тригонометриялық функциялардың баяндалуын талдауға кірісейік. Әр жылдары мектеп математикасы курсында триғонометриялық функцияларды енгізудің әртүрлі нүсқалары пайдаланылганын ескереміз. [31- 34]
Бұл оқулықтарда жалпы тригонометрия мәселелері келесі тәртіппен қарастырылған: тригонометриялық функциялар; тригонометриялық теңдеулер; тригонометриялық теңсіздіктер; тригонометриялық түрлендірулер.
[3] оқулықта тақырып 10 сыныптың басынан басталады, [1],[2] оқулықтарда 9 сыныптың соңынан басталады. [1] оқулықта сандық шеңбер арқылы түсіндіріледі, [2],[з] оқулықтарда сан аргумент арқылы түсіндіріледі. [1],[2] оқулықтарда қасиеттеріне, формулалардың дэлелдеуіне жеке тоқталған, ал [з] оқулықта жеке тоқталмаған. [1] оқулықта тест тапсырмалары берілген және есептерде күрделі келген. [2],[з] оқулықтарда тест тапсырмалары берілмеген және есептерде аз, онша күрделі емес.
Тригонометрияны туындыны үйренгеннен соң үйрену үсынылады. Бұл тригонометриялық функцияларының нүктелердегі жуық мәндерін есептеуге мүмкіндік береді, ал Бұл оларды зерттеуді жеңілдетеді. Графиктер қүруға және тригонометриялық есептерді шешуде көмектеседі. Ал оқулықтарда керісінше.
Әрбір оқулық тригонометриялық функциялардың өзін енгізуде де өздерінін ерекшеліктеріне ие. Кейбір оқулықтар есептердің қиындығымен немесе өзгеше есептерімен баланы тардады. Ал кейбір есептердің бірнеше шешу жолдарымен түсіндіреді, кейбірі теориялық түрде және формулаларды дәлелдеу түрде түсіндіреді.
Тригонометриялық функциядың зерттелу және графиктерін қүру мәселелеріне толығырақ тоқталайық.
оқулықта күрделірек түсіндірген, онда функцияның зерттелуін кесте түрінде түсіндірілген. Мүнда тақ, жүп функциясына периодына жеке параграф.
[1] оқулықта графиктерді барлығын ашып түсіндірілген, бірақ ctgx функциясын оқушыларға өзіндік жүмас ретінде берілген. [2] оқулықта қарапайым түрде түсіндірілген.
Бұл оқулықтардың негізгі ортақ мақсаттар қойылады:
кез келген бүрыш үшін синус, косинус, тангенс, котангенс үғымдарыненгізу;
бүрыштық аргументті тригонометриялық функциялар туралы оқушыларға білімдерді жүйелеу, жалпылау және кеңейту;
триғонометриялық функциялардың қасиеттерін үйрену;
оқушыларды тригонометриялық функциялардың графигін құруға жәнеБұл графиктерде кейбір түрлендірулерді орындауға үйрету.
Бұл оқулықтың жетістіктерінің бірі ретінде әрбір тарау жаңа негізгі үғымдардың келіп шығуына дайындайтын кіріспе әңгімемен және математикамен қызығатын оқушылар үшін пайдалы мәліметтерді қамтитын қорытынды әңгімемен аяқталу фактін атап өткен жөн.
Бұл оқулықтар баланың ақыл ойына байланысты жазылған: [1] оқулық жаратылыстану сыныбына арналған, [2] гуманитарлық сыныбына арналған оқулық.
1 Кез келген бүрыштың тригонометриялық функциялары
Тригонометриялық функцияларды енгізу үшін сан түзуінен басқа жаңа математикалық үлгі - санды шеңбер қажет. Сан түзуін берген кезде, оның санақ басы О нүктесі, масштабы және оң бағыты берілген. Кез келген нақты санды осы түзудегі нүктеге сәйкес қоюға болады және керісінше. Сонымен қатар кез келген нүктенің координатасы орналасу орнына қарай сан түзуінде оң және теріс сан болып өрнектеледі. Нақты сан мен шеңбер нүктесінің арасындағы сәйкестікті анықтау үшін шеңбер бойынан алынған бас нүктені А деп белгілейік, оң бағыт (жылжымалы сағат тіліне қарсы) және бірлік масштаб таңдап алайық. Бірлік масштаб ретінде шеңбердің К радиусы алынсын.
Сурет 7
Сан түзуімен санды шеңбердің үқсастығына сүйеніп, шеңбер бойындағы М нүктесіне доғаның үшына АМ =z радиан сәйкес қоямыз. Бұл санды М нүктесінің дөңгелек координатасы деп атап, М(z) деп белгілейміз. Сондықтан, кез келген нақты санға шеңбердің нақты бір нүктесі сәйкес келеді. Демек, 0 санына Анүктесінің бастапқы нүктесі сәйкес, 1 санына АЕ=1 радиан болатын доғаның соңы Е нүктесіне сәйкес, 2 санына АF = 2 радиан болатын доғаның соңы Ғ нүктесі сәйкес келеді. Әрине, кез келген теріс санға теріс доғаның соңы болатын доғаның соңы Ғ1 нүктесі сәйкес болады. [35]
Сонымен, сандар мен шеңбер ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz