Сандық дифференциялдау әдістері

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3

1 Сандық дифференциялдау әдістері

1.1 Жуықтап дифференциялдау мәселесінің қойылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5

1.2 Ньютоның бірінші интерполяциялың формуласына негізделген жуықтап дифференциялдау формуласы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6

1.3. Стирлинг формуласына негізделген жуық диферециалдау формулалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..11
1.4. Өзара бірдей қашықтықта орналасқан нүктелер үшін,осы нүктелерде берілген мәнімен өрнектелген сандық диффренциалдау формулалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..15

1.5 Айнымалылары ажыралатын дифференциял теңдеулер ... ... ... ... ... ... ..20
1.6 Айнымалылары ажыралатын дифференциял теңдеулерді шешудің сандық әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .25

2 Сандық дифференциалдау әдістерін программалау

2.1. Стирлинг формуласына негізделген жуық диферециялдау формулаларын программалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..37

2.2. Ньютон интерполяциялық формуласына негізделген жуық
диффернециялдау формулаларын программалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...31

2.3. Функцияны Тейлор қатарына жаюға негізделген жуықтап диференциялдау формулаларын программалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .41

2.4 Коши есебін сандық шешудің бірінші ретті ренциальдық теңдеулер үшін Эйлер, Эйлер Коши және Рунге.Кутт әдістерінің алгоритмі және бағдарламасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .43

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 62

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...64

Паскаль тілінде сандық дифференциялдау әдісімен шешу қолданбалы мәселелер шешуде жиі қолданылатын есептер қатарына жатады. Диплом жұмысында бұл әдістердің мүмкіншіліктерін талдау, мәселелер шешуде кездесетін дербес тәсілдердің қолдану ерекшеліктерін үйрену, шешілетін есептерді кластарға топтастыру мәселелері қарастырылады [1].
Тақырыптың өзектілігі: Паскаль тілінде сандық дифференциялдау әдістерін талдау және алынған шешімді компьютер экранында көрнекі талдау мүмкіншілігін беретін программалар құру. Қолданбалы мәселелер шешуде сандық дифференциалдау әдістерінің жиі кездесуі паскаль тілінде сандық дифференциалдау әдістерін үйренуді, программаластыруды, қолданбалы мәселелерді шешуде қолдануды өзекті етеді.

1. Рашбаев Ж., Сандық әдістер курсының лабораториялық практикумы, Алматы: Білім 2002ж.
2. Абдукадиров А.А., Лабораторные работы по вычислительной математике и програмированию, Ташкент: Укитувчи 1993г.
3. Пулькин С. П., и другие, Вычислительная математика, М: Наука 1980г.
4. Кузнецов А. В., Холод Н. И., Костевич Л.С., Руководство к решению задач по математическому програмированию, Минск, 1978г.
5. Сұлтанғазин О.М., Атанбаев С.А., Есептеу әдісінің қысқаша теориясы 1-кітап. Оқу құралы. Алматы, Білім 1995ж.
6. Атанбаев С.А., Алгебраның есептеу әдістері /Оқу құралы/. Алматы, Республика баспа кабинеті, 1994г.
7. Бидайбеков Е.Ы., Корнилов В.С., Математическое моделирование и численные методы. Введение, Алматы, 1998г.
8. Демидович, Марон И.А. Основы вычислительной математики. М. Наука, 1966г.
9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений , т.1. М.Физматгиз, 1962г.
10. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений , т.1. М.Физматгиз, 1962г.
11. Волков Е.А. Численные методы , М.: Наука, 1977г.
12. Заварыкин В.М., Житомировский В.Г., Лапчик М.П.Численные методы, М.: Просвещение, 1991г.
13. Калитин М.Г.Численное методы, М.: Наука, 1978г.
14. Марчук Г.И.Методы вычислительной математики, М.: Наука, 1980г.
15. Самарский А.А., Гулин Н.В.. Численные методы, М.Наука, 1989г.
16. Тынкевич М.А.. Лабораторный практикум по курсу "Численные методы анализа" Кемерово . 2002г.
17. Абрамов С.А., Зима Е.В. Начала информатики. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.
18. Васюкова Н.Д., Тюляева В.В. Практикум по основам программирования. Язык ПАСКАЛЬ: Учеб. пособие для учащихся сред. спец. учеб. заведений. - М. Высш. шк., 1991.
19. Дагене В.А. и др. 100 задач по программированию: Кн. для учащихся: Пер. с лит./В.А. Дагене, Г.К. Григас, К.Ф. Аугутис. - М.: Просвещение, 1993.
20. Джонс Ж., Харроу К. Решение задач в системе Турбо Паскаль/Пер. с англ.; Предисл. Ю.П. Широкого. - М.: Финансы и статистика, 1991.

Пән: Информатика, Программалау, Мәліметтер қоры
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 47 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3

1 Сандық дифференциялдау әдістері

1.1 Жуықтап дифференциялдау мәселесінің
қойылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5

1.2 Ньютоның бірінші интерполяциялың формуласына негізделген жуықтап
дифференциялдау
формуласы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6

1.3. Стирлинг формуласына негізделген жуық диферециалдау
формулалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..11
1.4. Өзара бірдей қашықтықта орналасқан нүктелер үшін,осы нүктелерде
берілген мәнімен өрнектелген сандық диффренциалдау
формулалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..15

1.5 Айнымалылары ажыралатын дифференциял
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. 20

1.6 Айнымалылары ажыралатын дифференциял теңдеулерді шешудің сандық
әдістері
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .25

2 Сандық дифференциалдау әдістерін программалау

2.1. Стирлинг формуласына негізделген жуық диферециялдау формулаларын
программалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ..37

2.2. Ньютон интерполяциялық формуласына негізделген жуық
диффернециялдау формулаларын
программалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 31

2.3. Функцияны Тейлор қатарына жаюға негізделген жуықтап диференциялдау
формулаларын
программалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..41

2.4 Коши есебін сандық шешудің бірінші ретті ренциальдық теңдеулер үшін
Эйлер, Эйлер Коши және Рунге-Кутт әдістерінің алгоритмі және
бағдарламасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..43

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..62

Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
.64

Кіріспе

Паскаль тілінде сандық дифференциялдау әдісімен шешу қолданбалы
мәселелер шешуде жиі қолданылатын есептер қатарына жатады. Диплом жұмысында
бұл әдістердің мүмкіншіліктерін талдау, мәселелер шешуде кездесетін дербес
тәсілдердің қолдану ерекшеліктерін үйрену, шешілетін есептерді кластарға
топтастыру мәселелері қарастырылады [1].

Тақырыптың өзектілігі: Паскаль тілінде сандық дифференциялдау
әдістерін талдау және алынған шешімді компьютер экранында көрнекі талдау
мүмкіншілігін беретін программалар құру. Қолданбалы мәселелер шешуде сандық
дифференциалдау әдістерінің жиі кездесуі паскаль тілінде сандық
дифференциалдау әдістерін үйренуді, программаластыруды, қолданбалы
мәселелерді шешуде қолдануды өзекті етеді.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Паскаль тілінде сандық дифференциялдау
әдістерін үйрену, алгоритмдеу, программалау, есептер жинақтау және оларды
түзілген программалар көмегінде шешу, талдау. Программалардың көмегінде
алынған нәтижелерді талдау.
Дипломдық жұмыстың міндеті: Паскаль тілінде сандық дифференциялдау
әдістерін программалау және есептер шешуді үйрену.
Зерттеу объектісі: Сандық дифференциалдау әдістері.
Зерттеу пәні: Сандық әдістер және программалау тілдері.
Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласына негізделген жуықтап
дифференциалдау, Стиирлинг формуласына негізделген жуықтап дифференциалдау,
бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердегі функция мәніне негізделген
жуықтап дифференциалдау әдістеріне алгоритм, программа құру және мәселелер
шешу.
Жоғарыда қойылған мәселені көрнекті шешудің әдістерін талдау және
алынған шешімді компьютер экранында көрнекті талдау мүмкіншілігін беретін
программалық модульдер құру дипломдық жұмыстың негізгі бөлігі болып
табылады.
Орындалған жұмыстың екінші бөлімінде сандық дифференциалдау
әдістерін үйретуде қолданылатын паскаль тілінің операторлары қарастырылған.
Құрылған программаларда әрбір әдістің шешілу кезеңдерінде алынатын
нәтижелер экранда бейнеленетін тәсілде қолданылған. Бұл тәсіл әрбір әдісті
пайдаланушы мысалдар шешкенде терең түсіну мүмкіншілігін береді. Әрбір
кезең нәтижесі экранда Enter клавишасын басқанға дейін көрініп тұрады. Бұл
уақытта пайдаланушы әдістің осы кезеңдегі алынған нәтижесінің қандай
кемшілідктері бар жоқтығын тексеру мүмкінділігі болады. Сол үшін бұл
жұмыста әдістің нәтижелерінің көрнекті бейнелеуге барынша көп көңіл берген.
Программалау барысында қолданылатын идентификаторлар теориялық бөлімде
қолданылған символдармен сәйкестендірілген. Қайталанатын есептеу амалдарына
процедуралар қолданылған, бұл пррограмманы пайдаланушыға түсіну
мүмкіншілігін жеңілдетеді. Құрылған программа модульдік құрылымға барынша
жақындастырылған. Бұл модульдер келешекте кафедраның программалық
библиотека қорына жинақтауға қолайлы болады .
Сандық дифференциалдау әдісіне құрылған программаны тестілеуден өткізу
үшін, осы әдістер берілген әдебиеттердегі мысалдар алынып, программа
нәтижесі және кітаптағы нәтижелермен салыстырып талданды. Жаңы мысалдар
қарастырғанда программалық жолмен қандай шешу керектігін және оларға
берілгендерді қалай дайындау керектігі жайлы әрбір әдіс үшін жеке
ескертулер айтылып өтілген. Берілгендерді оңай ендіру үшін интеактив сұрақ
– көрсету әдісін пайдаланылады [2].

Паскаль тілінде сандық дифференцилдау әдістерін программалық жолмен
көрнекі шешу үшін пайдаланушыларды мәселе шешу кезінде ғылыми көзқарас
деңгейінің өсуіне өз ықпалын тигізеді. Мұнда көп мысалдар шешіледі, олардың
нәтижелерін талдауға көп уақыт болады. Бұл программаны пайдалану барысы
мысалдар шешкенде орындайтын қалыпты амалдарды компьютерді көріп орындап
қайталағандай әсер алады. Программада алынған нәтижелер автоматтандырылған
түрде файлдарға жазылады. Жазылған нәтижелер керекті жағдайларда баспаға
шығарылып талдау мүмкіншілігі беріледі.
Дипломдық жұмыстың құрылымы: Диплом жұмысы екі тараудан тұрады. Бірінші
тарауда төмендегі мәселелер қарастырылған. Паскаль тіліндегі программалар
құрлымы және процедуралар, функцияларды қолданбалы есептерді шешуде сандық
дифференциялдау пайдалану мәселелері талданып оларды қолдану
программаларды тиімділеу әдістері қарастырылған. Программалар құруда
программаның қайта – қайта бірдей есептеу жұмыстарын орындайтын бөлігін
процедуралар көрінісінде сипаттау программаны тиімділеуге алып келеді.
Программаның тиімділеудің екінші бір әдісі функцияларды қолдану.
Программаларды сандық дифференциялдауда функцияларды қолдану
программаладың берілгендерін тиімді түрде сақтау мүмкіншілігін береді. Сол
үшін бұл диплом жұмыста құрылған программаларда процедуралармен
функцияларды қолдану әдістері үйренілген. Процедуралардың параметірлі және
параметірсіз түрлерін сандық дифференциялдау есептер шешуде қолданылып
талданған.
Екінші тарауында осы қарастырылған сандық дифференциялдау әдістеріне
процедуралар және функциялар мүмкіншіліктерін программалауда қолданылған.
Дипломдық жұмыстың көлемі 64 бет.

1 Сандық дифференциялдау әдістері

1.1 Жуықтап дифференциялдау

Практиканың есептерді шешкенде жиі мәндері кестемен берілген
y=f(x)функцияның қажетті ретті туындысын табу керек болады. Кейбір
жағдайларда функцияның аналитикалық өрнегінің күрделі болуынан оны тікелей
дифференциалдау мүмкін болмайды, ол жағдайда жуықтап дифференциалдау
тиімді болады. [3]

Жуықтап дифференциалдау формуласын табу үшін f(x) функциясы берілген
[а,в] аралығында интерполяциялық функциямен көп жағдайда көп мүшелікпен
ауыстырлады, және мұнда axb аралығында.

F’(x)=p’(x) (1)

Теңдігі орынды деп алынады.

f(x) функциясының жоғары ретті туындысын тапқанда да осы тәсілді
қолданамыз.

Егер интерполяциялаушы Р(х) функция үшін қателігі белгілі болса,

R(x)=f(x)-p(x)

онда Р(х) тундының қателігі.

R(x)=f’(x)-p’(x)=R’(x) (2)

Формуласымен өрнектеледі, яғни интерполяциялаушы функция туындысының
қателігі, оның қателігінің туындысына тең. Бұл тұжырым оның жоғары ретті
тундыларынада дұрыс. Мұнда айтып өту керек, функцияны интерполяциялауға
қарағанда, жуықтап дифференциялдау анықтығы төмендеу амалы. Берілген және
құрылған

Y=f(x) және y=P(x)

cәйкес функциялардың [а,в] аралықта координаталарының жақындығы, осы
аралықта f(x) және Р(х) туындыларының жақын болуына толық кепіл емес, яғни
аргументің бір мәнінде қарастырылған қисық сызықтардың бұрыштың
коэффицентерінің кіші айырмашылығына кепілдік.

1.2. Ньютоның бірінші интерполяциялың формуласына негізделген жуықтап
дифференциялдау формуласы
Бізге [а,в] аралығында өзара бірдей қашықтықта орналасқан xi
(i=0.1.2...,n) нүктелерде yi=f(xi) мәндерімен у( f(xi) функция берілген .
[4,5]
Берілген у( f(x) функциясының [а,в] аралықта у ( f(x)
У’’ ( f’’(x) және т. с. с. туындысын табу үшін у ( f(x) функциясын жуықтап
ньютоның бірінші интерполяциялық формуласымен ауыстырамыз, мүнда түйін
нүктелері
x0, x1, ..., xr (R≤n).

Онда төмендегі
(1)

өрнекті аламыз, мұнда
g= и h=xi+1-xi (I=0,1,...).

биономдарды қайта көбейтіп
У(х)=y0 +g (1’)
Төмендегі
(2)
Теңдік орындылығынан

өрнегін табмыз
осылайша

(3)

болса, онда
(3)

Осы тәсілмен керек жағдайда у(х) функциясының кез – келген ретті туындысын
есептеу мүмкін.
Ескерту қажет, y’(x), y''(x), ... , туыдыларын х нүктеде табу үшін х0
нүкте мәні үшін х нүктеге ең жақын кестелік аргументі мәнде алған дұрыс.
Кейде у функциясы туындысын кестенің негізгі xi нүктелерінде табу
талап етіледі.
Бұл жағдайларда дифференциялдау формуласы қысқарады. Кестенің әрбір
мәні бастапқы мәні деп алу мүмкін, сол үшін х(х0, g=0 деп аламыз.

Онда
(4)
Және
(5)
Теңдеуін аламыз.
Егер Pk(x)-(y0(2y0...,(ky0 шекті айырмаларды өзішіне алатын Ньютоның
интерполяциялық көпмүшелігі болсын және

-сәйкес қажетілік, онда туындының анықтамадағы қателігі

болады.
Бізге белгілі

Мұнда - берілген х0, х1,...,хк мәндерінің аралық х мәні. Сол үшін у(х)≤с
(к+2) деп алып

өрнегін аламыз.
Бұдан х=х0 деп алып және q=0 мәнінде керек теңдігін ескеріп
(6)
Формуласын аламыз.
Көп жағдайда у (к+1) ( ) мәнін бағалау қойып, онда кіші h мәнінде

және бұл өрнекті (6)-ға қойып

(7)

өрнегін аламыз.
Осылайша екінші туынды у”(х0) үшін R”(x0) қателікті табу мүмкін.

1-мысал. Берілген 1-кесте у=Lgx формуласының у1(50) мәні табылсын.

1-кесте

у=logx функциясының мәндері

х у Δу Δ2у Δ3у
50 1,9690 414 -36 5
55 1,7404 378 -31
60 1,7782 347
65 1,8129

Шешуі. Мұнда h=5 1-кестені шекті айырмалар бағанымен толықтырамыз
айырмаларда ондық разрядтар әдеттегідей көрсетілмейді, олар функция
мәндерінің ондық разрядтарымен анықталады. Кестенің бірінші қатарын
қолданып, (4) формула көмегінде үшінші ретті айырмаға дейіңнгі анықтықпен

У1(50)= (0,0414+0,0018+0,0002)=0,0087 мәнін табамыз.
Табылған мәннің анықтығын бағалайық.
Кестедегі функция у=Lg x онда

Бұдан

Мәнін табамыаз. Осылайша нәтиже төртінші ондық санға дейінгі дәлдікпен
сәйкес келеді.
2-мысал. У=f(t) функциясы t уақытта сызықты қозғалушы нүктенің өткен жолын
береді (2-кесте)
T Время ti в Путь в см
сек.
0 0,00 0,000
1 0,01 1,519
2 0,02 6,031
3 0,03 13,397
4 0,04 23,396
5 0,05 35,721
6 0,06 50,000
7 0,07 65,798
8 0,08 82,635
9 0,09 100,000

Шекті айырманың 5-ші ретіне дейін қолданып, нүктенің тездік және
теңдеуін ; 0,01; 0,02; 0,03; 0,04.
Моменттер үшін табылсын.
Шешуі. Айырмалар кестесін құрамыз.
3-кесте

0 1,519 2,993 -0,139 -0,082 -0,004
1 4,512 2,854 -0,221 -0,086 0,021
2 7,366 2,633 -0,307 -0,065 0,002
3 9,999 2,326 -0,372 -0,063 0,018
4 12,325 1,954 -0,435 -0,045 0,014
5 14,279 1,519 -0,480 -0,031
6 15,798 1,039 -0,511 -
7 16,837 0,528 -
8 17,365 -
9 -

Қадамды h=0,001 деп алып (4)және(5) формуланы қолданып
V және W-үдеудің жуық мәндерін табамыз.
Мысалы.

V(0)=100 (1,519-1,496-0,046+0,020-0,001)=-0, 4

W (0) =10 000 (2.,993+0,139-0,075+0,003)=30600
мәндерін табамыз.
Кейінгі V және W сәйкес мәндері 4-кестеде берілген у( f(x) қозғалыс заңы
үшін V тездік және W үдеу мәндері

4-кесте

0,00 0,4 30600 0,00 30462
0,01 303,6 29780 303,08 30001
0,02 596,3 28780 596,98 28625
0,03 873,2 26250 872,66 26381
0,04 1121,7 23360 1121,9 23340

Айтып өту керек, кестедегі қозғалыс заңы

Формуласымен беріледі
Бұдан

Және

Формулаларын V және W оның мәндерін салыстыру үшін 4-кестеде берілген .
Ескерту Ньютоның екінші интерполяциялық формуласын қолданыпта жуықтап
дифференциялдау формуласын табу мүмкін.

1.3. Стирлинг формуласына негізделген жуық диферециалдау формулалары
Берілген нүктеде у функцияны жуықтап дафференциалдаудың
Ньютонның бірінші интерполияциялық формуласына негізделген формуласы
болғандағы функцияның мәндерін ғана қолдану кемшілігі бар. Жуық
дифференциалдаудың симметриалы формула парының анықтығы жоғарылау болады
мұнда функцияның және үшін мәндері есепке алынады.
Бұл формулалар әдетте орталық дифференциалдау формулалары деп аталады. Біз
осы формулалардың біреуін, Стирлинг интерполяциялық формуласы көмегінде
шығарумен шектелеміз. [6,7]
Бізге ..., өзара бірдей қашықтықта орналасқан нүктелер, қадамы
және функцияның берілген нүктеде мәндері берілген болсын.

Мұнда

деп алып және жуық функцияны Стирлинг интерполяциялық көпмүшелігі мен
ауыстырып
(1)
мұнда қысқарту үшін

және тағы сол сияқты (1) формуладан және

теңдігін ескеріп.
(2)

(2’)

өрнегін аламыз.
жеке жағдайда деп алып

(3)
және
(3’)
өрнегін аламыз.
Мысал. Кестемен берілген функциясының туындысы табылсын (1-
кесте).
функциясының мәндері
1-кесте

0,96 0,7825361
-86029
0,98 0,7739332 -1326
-87,355 25
1,00 0,7651977 [
-88,656 -1275 26 pic]
1,02 0,7563321
-89,931
1,04 0,7473390

Шешуі функциясының айырмасын 1-кестеде құрамыз және (3) формуланы
қолданып

мәнін табамыз.
Кестеде берілген функция ноль индексті
Бізге белгілі

Осылайша екі рет асты сызылған мүшелерді және (3’) формуланы қолданып

мәнін табамыз.
Бессел функциясының екінші туындысының мәні.

болады.
Осылайша екінші ретті туындыны жуықтап табу амалы бірінші ретті туындыны
табудан анықтығы төмен амал.
Ескерту. Кейбір жағдайда кестеме берілген дифференциалдаушы
функцияның экстримумын табу керек болады. Ол үшін экстримум нүктесінде
тең болу шарт.
(2) формуладағы туындыны нольге теңеп, кетпе-кет жақындасу әдісімен
q-дың сәйкес мәнін табамыз.

Бұдан

Теңдігін табамыз, мұнда мәні (1) формуламен немесе басқа
интерполяциалық формуламен есептеледі. Егер нүктесінің маңайында
екінші айырма табылсын сақтаса, онда мән берілген функцияның
экстримумы болады.

2-мысал Кестемен берілген функциясының туындысының нольі табылсын

функциясының мәндері

Кесте 2

1,80 0,5815170
2561
1,82 0,5817731 -1643
918 2
1,84 0,5818649 -1641
-723 4
1,86 0,5817926 -1637
-2360 2
1,88 0,5815566 -1635
-3995
1,90 0,5811571

2-кестені -функциясының шекті айырмалары мен толтырамыз.
Шешуі. деп аламыз (2) формула негізінде асты сызылған айырмаларды
қолданып

немесе

теңдеуін аламыз.
Бұдан

(4)

Өрнектен сызықты емес бөлігін қысқартып

мәнін табамыз.
Бұл мәнді (4) формулаға қойып екінші жақындасуды табамыз.

Өрнектен q мәнін
деп алу мүмкіндігі шығады.
Бұдан

осылайша

мәнін табамыз.

1.4 Өзара бірдей қашықтықта орналасқан нүктелер үшін, осы нүктелерде
берілген мәнімен өрнектелген сандық диффренциалдау формулалары

Бізге өзара тең қашықтықта орналасқан нүктелер, яғни
,
Ал функция үшін осы нүктедегі мәні белгілі болсын. Брілген
түйін нүктелерде Лагаранждың интерплияциялық көпмүшелігін құрайық
[8,9]
Мұнда

Бұдан

Теңдігін аламыз

Бұл жерде
деп алсақ
Онда

және

(1)
теңдігін аламыз.

Алынған нәтижелрді пайдаланып Лагранж көпмүшелігі үшін

. (2)
өрнегін аламыз
Бұлардан
,
Теңдігін ескеріп
(3)

Бірінші туынды үшін өрнегін аламыз. Осылайша функция үшін жоғарғы
ретті туындыларын табу мүмкін. Төмендегі қателікті

бағалау үшін өзімізге белгілі интерпляциялық формула қателігінің
формуласынан пайдаланыз.
, (4)
Мұнда =-берілген х және х0, х1, ...,хn нүктелердің аралық мәндері.
Берілген деп
.
теңдігін аламыз
Бұдан (1) формуланы ескеріп
(5)
түйін нүктелердегі туындының қажеттігін табамыз, мұнда -берілген х0,
х1, ..., хn нүктелерінің аралық мәндерін.
1. үш нүкте деп алып есептеуді орындаймыз (2) формуладан
.
теңдігін аламыз. Бұдан, теңдігін ескеріп
.
теңдігін аламыз және жағдайда

Туындылар үшін
;
;

Өрнектерін аламыз олардың сәйкес қажеттіліктері
;
;
.
болады.
Мұнда төрт және бес нүкте үшін дифференциалдау формуласын дәлелсіз
келтіреміз. Оның дәлелі оңай.
II. (төрт нүкте) болғанда
;
;
;
.
өрнектері мен есептеледі.
III n=4 (беснүкте) болғанда

,
,
,
;
.
Өрнектерімен есептеледі. 1-III формулалардан, егер нүктелер саны жоқ болса
онда туынды орта нүктеде алынады, онда сәйкес сандық дифференциалдау
формуласы қарапайым өрнектеледі және жоғарғы анықтыққа ие болады.

Сурет 1

Төменде орталық туындылар үшін =2, =4 болғанда формулалар
берілген, мұнда симметрияның анық көрінуі үшін нүктелердің нөмірлері
өзгертілген (1-сурет)
I. =2.

,

мұнда yi=y(xi) және i=-1,0,1;
II. =4.

мұнда yi=y(xi) және i=, -1,0,1, 2.
Графикалық дифференциалдау. Графикалық дифференциалдау мәселесінің
қойылуы: берілген y=f (x) функциясының графигі көмегінде

функциясының графигін құру.
Бізге функцияның графигі брілген болсын(1-сурет). Белгілі
масштабта туындысының графигын сызу үшін берілген қисық сызықта
керегінше тығыз 1, 2, 3, 4, 5, . . . , характерлік нүктелер таңдаймыз. Осы
әрбір берілген функция қисығының нүктеге жанамаларын жүргіземіз. Одан кейін
Ох өсінде P(-,0) (полюс) нүктесін таңдаймыз және осы нүктеден әрбір
жанама түзуге сәйкес саралап P1’, P2’, P3’, P4’ ,P5’, . . . жүргізіледі
Оу өсімен қиылысқанша жүргіземіз Оу өсіндегі: 01’, 02’, 03’, 04’, 05’, . .
. кесінділер берілген нүктедегі туындысының мәндеріне пропорционал
шамалар болады, яғни туынды графигының кординатасы болады. Мысалы 1-
суреттегі 1-нүкте үшін

болады. Басқа нүктелер ішінде осындай нәтижелер аламыз. Сол үшін 1”, 2”,
3”, 4”, 5”, . . . нүктеден өтуші 1’,2’,3’,4’,5’,. . . параллелдер мен
1,2,3,4,5, . . . , жанасу нүктелерден өтуші сәйкес вертикалдар қиылысу
нүктелері графигына тиісті болады. [10]
Біз 1”, 2”, 3”, 4”, 5”, . . . нүктелерді, ішкі нүктелердің орналасуын
ескеріп сызықпен қоссақ, онда туындысының графигын масштабта
жуықтап аламыз. Егер болса, онда туындының графигі табиғи масштабта
болады. Графикты құрудың анықтықтығын асыру үшін бірінші жанаманың бағытын
анықтап, одан кейін жанасу нүктесін белгілеу керек.

Сурет 2

Ол үшін функцияның графигын кіші кесінділерге бөліп шығамыз, мұнда
кесінділер түзуден айырмашылығы кем болсын. Осындай бөліктердің бірі АВ-
ны қарастырайық. АВ-ны қиюшы параллель хордорларды құрайық. Бұл
хордорлардың орта нүктелерінің геометриялық орны қисығын береді. Ол
функция графигын С нүктеде қияды және С нүктеге жүргізілген жанама АВ
қиюшысына параллел болады. Осы тәсілмен әрбір бөлікте жанама жүргізілетін
нүктені оған жүргізілген және жанаманың бағытын табу мүмкін. Кейінгі
құрулар жоғарыда айтылған тәсілмен орындалады.
Дербес туындыларды жуықтап есептеу ұғымы.
Егер
функциясы

Тік бұрышты торда берілген болса, онда оны

(1)
Мұнда

Және аралас екіленген айырма. (1) формуладан дербес туындылырды табу
оңай.

1.5 Айнымалылары ажыралатын дифференциял теңдеулер

1. Анықтама: Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалы х-ті ,
белгісіз функція у-ті және оның туындылары -терді байланыстыратын
теңдеуді айтады.
Төменде біз радиактив заттың желінуі мен байланысты болған есепті
қараймыз. [3]
Жарты желіну уақыты Т болған х0 массалы радиактив зат берілген.
Уақыттың белгілі бір моментінде радиактив заттың желіну уақытына байланысын
анықтаңыз.
Уақыттың белгілі бір t моментіндегі зат мөлшерін х, (t уақыт
аралығында желінген зат мөлшерін (х дейік. Бұл жағдайда радиактив желіну
заңына негізделе
(х = -kx( t (1)
тебе-теңдігіне ие боламыз. Мұнда k- пропорционалдық коэффициент.
Енді (1) теңдіктің екі жағын да (t ға бөліп, (t(0 да шекке
көшеміз.Сонда ке қатысты
(2)
теңдікке ие боламыз.
(2) - х=х(t) белгісіз функцияға қарағанда қарапайым дифференциал
теңдеу. Оның шешімін табайық.
Оның үшін (2) теңдеуді
(3)
көріністе жазып алайық. (3) ті екі жағынан бірдей айнымалылар бойынша
інтеграл алсақ

болып одан
ln = -kt+lnC
немесе
x = Ce-kt
шешімін шығарып аламыз. Бұл жерде С – тұрақты сан болып, оны табу
мүмкін.
Шындығында уақыттың t=0 бастапқы моментінде зат мөлшері х0 екендігін
есепке алсақ, (4) шешім негізінде С=х0 болып, шешім
x=х0 e-kt
көрініске ие болады.
Айталық бірінші ретті дифференциалдық теңдеу берілсін. Бұл
теңдеу туындысына қарағанда шешілген болсын. Яғни
(4)
болсын.
Анықтама: (4) дифференциалдық теңдеудің мынадай бастапқы шартты

(5)
шартты қанағаттандыратын шешімін табу Коши есебі деп аталады.
(4) дифференциалдық теңдеу үшін шешімнің бар болуы мен жалғыз болуы
туралы мына теорема орынды.
Теорема:Айталық (4) теңдеу мен (5) шарт берілсін.Егер
нүктесінің кейбір маңайында дербес туындысы шектелген болса, онда
кесіндісі табылып ,ол кесіндіде жалғыз ғана үздіксіз
функциясы бар болып ,ол функия (4) теңдеуді және (5) шартты
қанағаттандырады.
Мысал: =2х+3 дифференциалдық теңдеуі үшін болғанда
болатын бастапқы шартымен Коши есебін шеш. [4]
Шешуі: у функція 2х+3 ке қарағанда алғашқы функция болып табылады,себебі у
тің туындысы 2х+3 ке тең. Сондықтан берілген теңдеудің жалпы шешімі
болады. Осы жалпы шешімнің құрамынан берілген бастапқы шартты
қанағаттандыратын дербес шешімді табалық. Ол үшін бастапқы шартты жалпы
шешімге апарып қоямыз: 1=0+3 немесе С=1. Сонда қойылған Коши есебінің
шешімі болады.
Анықтама: Мына
(1)
түріндегі теңдеу айнымалылары бөлектенген дифференциалдық теңдеу деп
аталады.
Бұл теңдудің жалпы шешімі немесе жалпы интегралы былай табылады:

яғни жеке-жеке інтеграл алсақ болғаны. Бұндағы С-интегралдау тұрақтысы.

Мысал 1. дифференциалдық теңдеуін шеш.
Шешу. Бұл теңдеу айнымалылары бөлектенген дифференциалдық теңдеу. Он
шешу үшін жеке-жеке інтеграл алсақ болғаны.
Яғни

2. Анықтама: Мына

түріндегі теңдеу айнымалылары ажыралатын дифференциалданатын теңдеу деп
аталады. Он шешу үшін айнымалыларын бөлектеу керек. Айнымалыларын бөлектеу
үшін (2) нің әр бір мүшесін көбейтіндісіне бөлу керек.Сонда

Бұл теңдеу айнымалылары бөлектенген дифференциалдық теңдеу.Шешімін
табу үшін жеке-жеке интегралдасақ болғаны, яғни

Міне осы өрнек (3) тің және (2) нің де жалпы шешімі немесе жалпы
интегралы болып табылады.

2. Егер туындыға қатысты шешілген бірінші ретті теңдеудің оң жағындағы
функция тек х және тек у айнымалыларға тиісті болған функциялардың
көбейтіндісінен немесе олардың қатысынан құралған болса бұл теңдеуді
айнымалылары ажыралатын теңдеулер дейді. Мұндай теңдеулердің жалпы
интегралы теңдеуді бір мәрте интегралдау арқылы табылады.
Шынында осы көріністегі дифференциал теңдеуді қарайық:

(1)
ты есепке алсақ , онда немесе ты аламыз.
Бұл айнымалылары бөлектенген теңдеу болып,

бұл берілген (1)-теңдеудің жалпы интегралын көрсетеді.
Мысал:

Демек, y=C x - жалпы шешім
1. Егер кез-келген саны үшін функцияға қатысты

түріндегі теңдеу орындалатын болса ,онда функция өзінің
аргументтеріне қатысты n-өлшемді бір текті функция деп айтылады.

Егер
(1)
түріндегі теңдік орындалса, қарастырылып отырған функция өзінің
аргументтеріне қатысты 0 өлшемді бір текті функция деп аталады.

Мысалы функция өзінің аргументтеріне қатысты 0-өлшемді бір
текті функция. Шындығында ,

Айталық, туындыға қатысқан шешілген бірінші ретті теңдеуді
қарастырайық.

(2)
Анықтама: (2) теңдеудегі f(x;y) функция өзінің аргументтеріне қатысты
0 өлшемді бір текті функция болса, онда ол біртекті теңдеу деп атайды.
Мысалы,

теңдеу біртекті теңдеу, себебі функция өзінің аргументтеріне қатысты
0 өлшемді біртекті функция [5]
(2) теңдеуді біртекті теңдеу болсын дейік. (2) теңдеудің оң жағындағы
функция (1) теңдікті қанағаттандырғаны үшін деп алсақ:

(3)
ті келтіріп шығарамыз.

(3) теңдеуде
y=ux
(4)
ауыстыру жасасақ болып , осыларды (3)-теңдеуге қойып ,

ны аламыз. Осы теңдекді туынды қатысты шешсек

ны алмаз. Бұл белгісіз функцияға қатысты айнымалылары ажыралатын теңдеу
болып, оның шешімі мына

формула арқылы табылады.
Осы теңдіктен белгісіз u=u(x) функцияны тауып және оны (4)-
теңдікке қоямыз. Нәтижеде қарастырылып отырған бір текті теңдеудің жалпы
шешімі анықталған болады.
2. Біртекті теңдеуге мына түрдегі теңдеулер келтіріледі:

(5)
Егер болса ,онда (5) біртекті теңдеу болып табылады, яғни

Егер С мен С дің ең болмағанда бірі нольден өзгеше болса онда (5)
біртекті теңдеуге келтіріледі.
Егер болса онда (5) ді біртектіге ауыстыру үшін

деп ауыстыру енгізу керек. Бұл жерде мен жаңа айнымалылар, h
пен к уақытша белгісіз тұрақтылар.
Егер болса, онда ax+by+C мен өрнектеріндегі х пен у
тің алдындағы коэффиценттер пропорциональ болады. Онда (5) ді біртекті
теңдеуге келтіру үшін z= ax+by+C деп ауыстыру енгізу керек.
Мысал: теңдеуін шешу керек:
Шешу:

Бұл теңдіктегі z тің орнына х+у ті қойып бастапқы теңдеудің жалпы
интегралына келеміз:

немесе

1.6 Айнымалылары ажыралатын дифференциял теңдеулерді шешудің сандық
әдістері

Мәселенің қойылуы: х тәуелсіз айнымалыны берілген белгісіздің
функциясын және оның туындыларын байланыстыратын
(1)
теңдеудің жай дифференциал теңдеу деп атайды. Мұнда көрсетілген
аргументтердің функциясы. Теңдеуге қатысқан туындының ең үлкен реті деп
аталады. Егер (1) қатынастағы F функцияны төмендегі көріністе жазу
мүмкін болса, [6]
(2)
онда теңдеу n-ші ретті туындысына қатынасты шешілген жай дифференциал
теңдеу деп аталады. Егер F функция берілген функция және оның
туындыларына қатысты сызықты болса, онда теңдеу сызықты деп аталады,
яғни теңдеуді төмендегі көріністе жазу мүмкін болса
, (3)
мұндағы -жалпы жағдайда х айнымалының сызықты емес функциялары. n-ші
ретті дифференциал теңдеулердің шешімі деп, (а, b) аралығында өзімен бірге
n-1 ретті туындысына дейін үздіксіз және n-i3 туындысы
анықталған, теңдеуге қойғанда теңдеуді тепе теңдіке айналдыратын y(x)
функциясына айтылады.
Дифференциал теңдеудің шешімінің графигін интеграл қисық сызығы деп
аталады. Дифференциал теңдеулерді қолдану теориясындағы ең маңызды
мәселердің бірі болып Коши мәселесі саналады. Ол мәселеде берілген
бастапқы шарттарда дифференциал теңдеудің шешімін табу талап етіледі. (2)
теңдеу үшін Коши мәселесі төмендегіше жазылады. [7]
(4)

мұндағы - берілген сандар
1-теорема (Коши мәселесінің шешімінің бар болуы және жеке болуы жайлы).
Төмендегі шарттар орынды болса,
а) функция жабық обылыста анықталған және үздіксіз, тағыда осы
жабық обылыста айнымалының шектелген дербес туындылары
болсын.
б) нүктесі обылысның ішінде жатсын. Онда (4) Коши мәселесінің
шешімі болады және ол біреу болады.
облыста ( обылысында 1-теореманың шарттары орынды) n – ші ретті
дифференциал теңдеулердің жалпы шешімі деп, n кез келген өзгермеске
тәуелді. функция болады және мұнда оны теңдеуге қойғанда -
дердің кез келген мәндерінде теңдеу тепе-теңдікке айналады. Геометриялық
мағанада G обылысындағы жалпы шешім өзара G обылысты толық қамтитын
қилыспайтын интегралдық қисық сызықтардан тұрады. Дифференциал теңдеудің
жалпы интегралы деп

жалпы шешімді анық емес (неявно) анықтайтын өрнекке айтылады.
өзгерместерінің жеке мәндеріне жалпы шешімнің дербес шешімдері алынады.
Ал жалпы интеграл дербес интегралға айналады. Дербес шешімнің немесе
дербес интегралдың әрбір (х,у) нүктесінде 1-теорема шарттары орындалады.
Практикада n-ші ретті дифференциал теңдеулерді шешумен қатар, бірінші
ретті жай дифференциал теңдеулер жүйесін шешу мәселесі көп кездеседі.
Бұл жүйеге х тәуелсіз айнымалысын, белгісіз және олардың туындыларын
байланыстырады. Егер теңдеулер туындыға қатысты төмендегі көріністе
шешілетін болса, онда жүйені Коши нормал формасы көрінісінде жазу
мүмкін. [8]
(5)
Мұнда - белгілі функциялар (5) жүйенің шешімі деп, (a,b)
аралығында үздіксіз , n функциялар жүйесіне қойғанда барлық
теңдеулер тепе-теңдікке айналады. (5) жүйе үшін Коши мәселесі,
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын жүйенің шешімін табу болып
табылады. Мұнда сандары белгілі сандар.
Векторлық формада (5), (6) Коши мәселесі төмендегі көріністе болады;

(7)

Мұнда

2-теорема ((5), (6) Коши мәселесінің шешімінің біреулігі және
табылатындығы жайлы). Төмендегі шарттар орындалсын:
а) функциясы жабық обылысында анықталған және үздіксіз, тағы
да обылыста айнымалысы бойынша шектелген дербес туындысы
болсын;
б) нүктесі жабық обылыстың ішінде жатсын. Онда (5), (6)
Коши мәселесі бірғана шешімге ие болады.
Ескертулер.
1. Көптеген қолданбалы мәселерде тәуелсіз айнымалылар t арқылы
белгіленеді және уақыт мағанасына ие болады, сол үшін Коши мәселесі
бастапқы мәселе деп аталады.
2. Жалпы және дербес шешім ұғымы. Егер у(х) функциясын Y(x) вектор
функциясына, ал f(x,y) функциясын F(x,Y) функциясына, ал y0 –Y0
ауыстырсақ, онда бірінші ретті теңдеулер және жүйелердің формалары
ұқсас болады.
Біз (5), (6) формада жазылған Коши мәселесін шешу әдістерін
қарастырамыз. (4) формада берілген Коши мәселесін берілген әдістермен
шешу үшін ол мәселені бірінші ретті n теңдеудің жүйесіне алып келінуі
керек, яғни (5), (6) көрініске.

деп белгілеп
(8)
Бұл мысалға әр түрлі сандық әдістерді қолданып белгілі анықтықпен
шешімін табамыз.
1-мысал. Коши мәселесінің аналитикалық шешімі табылсын.

Мұнда белгілі сан, уақыттың тұрақтысы деп аталады.
Шешуі: Коши мәселесінің шешімін төмендегі әдістемемен табамыз.
1. бір текті теңдеудің жалпы шешімін табамыз. Сәйкес
характеристикалық теңдеудің түбірі нақты болғаны үшін біртекті
теңдеудің жалпы шешімі болады.
2. Бір текті емес теңдеудің шешімі формада ізделеді. Мұнда A=const.
Шешімді берілген теңдеуге қойып теңдігін аламыз.

3. Бір текті емес теңдеудің жалпы шешімі, бір текті теңдеудің жалпы
шешімімен және бір текті емес теңдеудің дербес шешімдерінің қосындысынан
тұрады.

Бұл шешімге интеграл қисық сызықтарының тобы сәйкес келеді. Олар С
параметрмен сипатталады, мұнда С кез келген мән қабылдайды.
4. Бір текті емес теңдеудің дербес шешімін бастапқы шарттан табамыз.
. Бұдан және
2-мысал. Төмендегі екінші ретті дифференциал теңдеу

Кошидың ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.