Дифференциалдық теңдеулер

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ МАТЕМАТИКАДА
АЛАР ОРНЫ
1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ МЕКТЕПТЕ
ОҚЫТУДЫҢ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР АРҚЫЛЫ ПӘНАРАЛЫҚ БАЙЛАНЫСТАРЫ
1.4 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАР ... .
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР..
2.1 ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР
2.2АЙНЫМАЛЫСЫ АЖЫРАТЫЛАТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2.1 ДЕНЕЛЕРДІҢ САЛҚЫНДАУЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.2 ДЕНЕЛЕРДІҢ ЖЫЛУЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2.3 ДЕНЕЛЕРДІҢ ІШІНДЕ ТЕМПЕРАТУРАНЫҢ БӨЛІНУІ
СФЕРАЛЫҚ ҚАБЫҚША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.4 ЦИЛИНДРЛІК ҚАБЫҚША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.5 БРУСҚА ТҮСЕТІН КҮШ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2.6 БАРОМЕТРЛІК ФОРМУЛА ЖӘНЕ ТЕРЕҢДІКТЕГІ ҚЫСЫМ ... ...
2.3 КЕЙБІР ХИМИЯЛЫҚ РЕАКЦИЯЛАР ЖӘНЕ ЭКОЛОГИЯ ТЕОРИЯСЫ ЕСЕПТЕРІНЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.3.1 ХИМИЯЛЫҚ РЕАКЦИЯЛАР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3.2 ЭКОЛОГИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.4 БИОЛОГИЯДАҒЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ..
2.5 БІРТЕКТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.6 БІРІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.6.1 МАТЕРИАЛДЫҚ НҮКТЕНІҢ ҚОЗҒАЛЫСЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.7 БЕРНУЛЛИ ТЕҢДЕУІНЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ...
2.8 РЕТІ ТӨМЕНДЕТІЛЕТІН ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.9 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.9.1 ГОРМОНИКАЛЫҚ ТЕРБЕЛІС ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.9.2 ДЕНЕНІҢ АТМОСФЕРАЛЫҚ ОРТАДА ҚҰЛАУЫ ... ... ... ... ... ... ..
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Қазіргі кездегі мектеп бағдарламасында дифференциал теңдеулер туралы мағлұматтар беріледі. Атап айтқанда, дифференциал теңдеулер деген не, оның шешімі және олардың математикалық, физикалық және техникалық есептерді шығаруға қолданылуы т.б.
Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына байланысты мектеп бағдарламасына енгізілген дифференциалдық теңдеулер теориясы ғылымының әртүрлі облыстарында кеңінен қолданылады.
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу теңіз деңгейінен биіктігіне байланысты атмосфералық қысымның өзгеру процессін де, радийдің түсу процесін де, тұрғындар, санының өзгеру процессін де, суыту процесін де және т.б. сипаттайды.
1. Жәутіков О.А. Дифференциалдық теңдеулердің қолданылуы туралы
әңгіме. - Алматы: Ғылым, 1986.
2.Сулейменов Ж. Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер.
Алматы, КазГУ. 1981.- 45 б
3.Альчинбаева А.Дифференциалдық теңдеулер. Түркістан 2008 .[5-10]б.
4. Көлекеев К, Назарова К. Дифференциалдық теңдеулер. Түркістан 2010
[11-12]б.
5. Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер курсы. Алматы.:
Рауан,1991, 360 б.
6.Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. 2-ші этап. Алматы.: Білім, 1996, 256 б.
6.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1959,
468 б.
7.Филлиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1984, 128 б.
8.Бейлин Н. Математика в биологии и медицине. Пер. С англ. М., Мир, 1970.
9.Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. М., Наука, 1974.
10.Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985,448 6.
11.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука,1965
        
        МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ.....................................................................
........................................
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ
ТҮСІНІКТЕР..................................................................
...................
1.1. Дифференциалдық ... ... ... ... теңдеулерді мектепте
оқытудың
ерекшеліктері...............................................................
....
1.3 Дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстары
1.4 Дифференциалдық теңдеу туралы негізгі ұғымдар.....
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ... Жай ... ... ... ... ... ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН
ЕСЕПТЕР..................................................
2.2.1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... және тереңдіктегі қысым........
2.3 Кейбір химиялық реакциялар және экология теориясы есептеріне
келтірілетін ... ... ... ... ... ... дифференциалдық
теңдеулер..........................................................
2.4 Биологиядағы дифференциалдық теңдеулер..................
2.5 Біртекті дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін
есептер.....................................................................
.......................................
2.6 БІРІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ... ... ... ... ... ... ... БЕРНУЛЛИ теңдеуіне келтірілетін есептер............................
2.8 РЕТІ ТӨМЕНДЕТІЛЕТІН ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ
ТЕҢДЕУЛЕР...........................................................
2.9 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ ... ... ... ... ... ... ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Кіріспе
Қазіргі кездегі мектеп бағдарламасында дифференциал ... ... ... Атап ... ... теңдеулер
деген не, оның шешімі және олардың математикалық, ... ... ... шығаруға қолданылуы т.б.
Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына ... ... ... ... ... ... ... облыстарында кеңінен қолданылады.
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық ... ... ... байланысты атмосфералық ... ... де, ... түсу ... де, ... санының өзгеру
процессін де, суыту процесін де және т.б. ... ... ... ... әртүрлі мысалдар жиынын радиоқұрылғылар береді. Бұл
жағдайда құрылғының ... ... ... өтетін токтар ... ... жеке ... ... кернеулердің түсуі
уақыттың белгісіз функциясы болып табылады. Бұндай теңдеулерді ... ... ... тербелістер тән. Есептерді
шығаруда табылған жалпы ... ... ... ... ... ... шешімдері мен құрылғының жұмысындағы
«орнатылған тәртіптің» ... ... ... ... ... ... шешімін өзара әрекеттесуші биологиялық
популяциялардың даму ... ... ... болады ( мысалы, Вольтер-Лотка моделі).
Зерттеудің көкейтестілігі.Дифференциалдық ... оқу ... ... нәр ... оқушыларға дифференциалдық теңдеулердің
абстрактілігі табиғат құбылыстарын ... ... ... ... құралы болып табылады. [1]
Дифференциалдық теңдеулер болашақ студенттің ... атап ... ... ... ... ... белгілі бір ... ... роль ... ... мен олардың әдістерін оқып ... өмір ... ... тану үшін тағы бір ... береді,
яғни нақты физикалық кеңістік туралы бейнелік және ... ... ... ... ... ... өзектілігі келесілермен
түсіндіріледі:
- математикалық талдау және ... ... ... ... математикалық біліміне үлкен үлес қосады.
- дифференциалдық теңдеулер мектептің ... ... ... ... ... ... мақсаты:Бұл жұмыстың негізгі мақсаты – осы пән ... беру және ... ... ... ... ... ... дифференциал теңдеулерге сағат аз болғандықтан
біз мұнда негізгі анықтамалар мен ... ... ... ... келтірумен шектелеміз.
Дифференциалдық теңдеудің көмегімен жаратылыстану ғылымдарындағы ең
негізгі проблеманың бірі - ... ... ... табиғат құбылыстарының
кейбір жасырын сырының қалай ашылғаның, оның өмірде қалай пайдаланатынын
көрсетуге болады.
Соның бір мысалы ... ... ... (мекендес өсіп -
өну) санының қарапайым моделі ретінде көрсету жатады. Популяция ... ... ... яғни ... ең ... мәселесі болып
табылады. Популяцияның математикалық моделін қүру биологиялық түрдің ... ... ... ... есеп ... ... Осындай
математикалық моделдер көптеген физикалық, химиялық, ... ... ... ... ... ... ... курсын
білген оқушы дүниенің біртұтас екендігіне көзін жеткізеді және ... ... ең бір ... ... өз ... тандауға ықпалын
тигізеді, өйткені дифференциалдық теңдеулердің пәнаралық байланысы өте
зор.[2]
Дипломдық жұмыстың құрылымы:Бұл дипломдық жұмыс ... екі ... және ... ... ... ... бөлімде дифференциалдық теңдеудің теориялық негіздері,олардың
басқа пәндермен байланыстары ... ... ... ... теңдеулерге келтірілетін физикалық, химиялық, биологиялық
есептердің шешу әдістері қарастырылды.
1 ... ... ... теориялық негіздері
1.1 Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар орны
Дифференциалдық теңдеу негізгі математикалық ұғымдардың бірі ... ... ... - бұл ... ... ... бір ... берілген шарттарды
қанағаттандыратын теңдеу. ... бір ... ... пен ... ... алынған дифференциалдық теңдеу дифференциалдық
модель деп ... ... - бірі ... ... әлемді оқып
үйренуде құрылуы мүмкін математикалық модельдер ... ... ... ... ... ... ... модельдердің
өздерінің де түрлі ... бар ... атап өту ... Біз ... тек ... ... ... сипатталатын
модельдерді ғана қарастырамыз, оларға тән ... бірі ... ... ... тек бір ғана ... ... дефференциалдық модельдерді құру процесінде ... ... ... ... ... ... білу маңызды және
алдыңғы ... ие. ... ... бұл ... ... ... тізбектік теориясында – Кирхгоф заңдары, ... ... ... - ... әсер ету заңы ... іс ... дифференциалдық теңдеулерді құруға мүмкіндік
беретін белгісіз заңдарды да ... ... ... - ... аз ... ... жүруіне
қатысты әртүрлі жорамалдарға ( ... ... ... Онда
дифференциалдық теңдеулерге шектік ауысу келтіреді. ... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеуді зерттеу
нәтижесі тәжірибелік ... ... ... онда ... ... ... күйін дұрыс көрсететінін білдіреді.
Кейбір жағдайларда ғана дифференциалдық теңдеулерді тұйық ... ... ... ... яғни элементар функциялармен қарапайым
операциялардың шектеулі санын пайдаланатын ... ... ... ... ... әрине, бұл ... ... бар ... ... болған кезде. Басқаша айтқанда,
дифференциалдық теңдеулердің ... ... ... ... саны ... ... операциялармен тұйық
формада көрсету үшін ... Бұл ... ... ... ... ... және екінші ... ... ... олардың шешімдері радикалдарда оңай ... егер ... және ... ... ... ... онда
радикалдардағы шешімдер алынуы мүмкін, ... ... ... ... ал ... төрттен жоғары ... ... ... ... онда ... ... ... жалпы айтқанда, алынуы мүмкін емес.
Дифференциалдық теңдеулердің ... ... үшін ... ... ... ... ... пайдалансақ, онда тұйық формалардағыға
қарағанда едеуір көп теңдеуді шешуге тура ... ... ... және тиімді қасиеттерін, алынған қатар түрінен анықтау еш ... ... ... ... ... теңдеуді тұйық формада
шығара алсақ та, мұндай ... ... ... емес, немесе әр түрлі
параметрлер арасындағы ... өте қиын ... ... ... ... өзін ... қайсыбір қасиеттері туралы қажетті мағлұматтар алуға
мүмкіндік ... ... мен ... қажеттілігі анық болып
отырады. ... ... ... мен ... бар және ... ... сапалық теориясының мазмұнын ... ... ... бар ... мен ... болуы, шешімнің
бастапқы берілгендер мен ... ... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеудің ... ... мен ... (ХІХ-шы ғасырдың соңы) жұмыстарынан
бастап дамып ... және оның ... ... ... ... тану
процессінде кең қолданылады.
1.2 ... ... ... оқытудың ерекшеліктері
Мектептегі математика курсының ... ... ... ... ... ... деп есептелінеді. Жоғарыда
аталған мақсатты жүзеге асыру мағынасында ... ... ... ... жалпы мойындаған жағдай математиканы оқытудың кез
келген сатысында (мектепте, лицейде, ... ... және ... ... ... ... яғни ... методологиялық
аспекті деп аталатындарды ... ... ... ... ... ... мен дамуы, математиканың ... даму ... ... ... ... және ... отыратын оның
зерттеу пәнінің анықтамасы, математиканың ... ... ... ... ... іс-тәжірибенің математикадағы ролі
және ең соңында қазіргі ... ... ... ... ... ... мәселелерді әрдайым ... ... ... ... отырып, олардың әлемге деген іс-
тәжірибелік көзқарастың ... ... ... ... ... Олар математиканың жалпы ұғымдарының нақты әлемнің ... ... көре ... ... редукцияланған философияның
негізгі сұрағына дұрыс жауап бере алуы керек.
Математикалық – ... ... ... ... тұтас байланысын, ... ... ... ... ... ... даму тарихын ... ... ... ... Россия, Қазақстан және басқа ТМД
елдерінің ... ... ... ... ... және жалпы мәдениетін
қалыптастыруға осы ... ... ... ... оны ... яғни оқытудың жалпы принциптерін - ... ... ... ... ... ... ... орынды үлес қосады.
Оқыту процессінде қолданбалы мәселелерді пайдалану тек ... ... ... ... ... ... ... әсер етеді.
Дифференциалдық теңдеулердің ... ... ... ... математикалық модельдермен байланыстыру тәжірибесін алады.
Нақты процесстің математикалық ... деп, ... бұл ... ... ... ... түсінеміз.
Математикалық модельдеу өнері нақты ... ... ... ... ... модельдеу өзінің қарапайымдылығымен процесті жақсы
түсінуге көмектесді, ... ... ... және ... сипатын
орнатуға мүмкіндік береді.
Әр түрлі ... ... ... математикалық моделі
көбіне дифференциалдық ... ... ... ... мен ... ... ... түрде
сипаттауға болады. Қандай да бір процесс ... ... ... ... ... ... Бізді бұл процестің белгілі бір
функционалдық ... ... ... ... температураның
немесе қысымның, массаның, кеңістіктегі қалпының өзгеру ... Егер бұл ... ... ... толық ақпарат бар болса,
онда оның математикалық ... ... ... ... ... ... ... модель дифференциалдық сипаттамасы болып табылады.
Дифференциалдық теңдеу, процестің ... ... ... ... ... ... ... өзгерістерінің бастапқы күйін байланыстыратын ... ... ... оқып ... оның жеке ... анықтау
мен оның ағымының жалпы заңын орнатуға келіп тіреледі.
Процестен ... ... жеке ... ... айнымалы
шамаларын олардың дифференциалдарды және туындыларымен ... ... ... ... ... алынатын
құбылыстың жалпы орындалу заңдылығы процестің айнымалы ... ... ... теңдеулерді құрудың қатаң тәртібі жоқ. Көптеген
жағдайларда қарапайым дифференциалдық ... ... ... ... ... ... келесіге келтіріледі:
1) есептің шартын талдап, оның ... ... ... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеуін құру;
3) осы теңдеуді интегралдап, оның ... ... ... берілген бастапқы шарттардың негізінде есептің дербес ... ... ... ... ... көмекші параметрлерді (мысалы, пропорционалдық
коэффициентін және т.б.) ... бұл ... үшін ... ... ... қарастырылып отырған процестің жалпы заңын тұжырымдау ... ... ... ... ... ... талдау және есептің бастапқы қалпын тексеру.
Модельдеу икемділігі танымдылық іс-әрекеттің ажыратылмас ... ... ... ... ... адам ... ... оның көптүрлілігі мен ішкі және ... ... ... тұрпайыланған жуық түрде бейнелеуден ... ... ... ... сезіну мен түсіну арқылы алатын толық
емес ... ... ... ... емес түрде елестетулер мен
бейнелер ... ... ... негізінде құбылыстың модельдері
болып ... ... ... қоршаған әлем туралы түсінігіміз
принципиалды модельды ... ... ... ... іс әрекеттің жемісі ретінде модельдің
мәні сезілуде. Сонымен ... ... ... ... ... әр түрлі
аспектілірде қарастырады. Бірқатар ғалымдар модельді адамның қоршаған
ортамен ... ... ... негізгі жемісі ретінде
қарастырылады. Кейбір зерттеушілер оқытудағы модельдеуге ... ... ... оны жеке ... бөледі. Мысалы, В.В. ... ... ... ... ... оны
модельдеу принципімен алмастыруды ұсынады.
Л.М. Фридман, В.В. ... орта ... ... ... ... ... дамытып, былай деп жазады:
«... математиканы оқытудағы ... ... ... мектеп
курсындағы математика мазмұнын модельдік көзқараспен меңгеруді, екіншіден,
оқушыларда әртүрлі құбылыстар мен ... ... ... мен ... ... ... ішкі ойды,
ойлаудың ғылыми-теориялық ... ... үшін ... ... ... ... қолдануды білдіреді».
Бұдан оқушыларды нақты процестерді құру ... ... ... және ең ... дифференциалдық теңдеулердің
негізгі шарттарының бірі.
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағыты арқылы біз ... ... пән ... ... ... математиканы оқыту әдістемесінің түрлері бағыттарында:
оқыту процесін ... оқу ... ... ... жүргізіледі.
Мазмұны жақын пәндердің өзара ... тек ... ... ... қана ... алынған білімдерді іс-тәжірибеде пайдалану
дайындығына ықпал етеді, оқушылардың ғылыми дүниетанымын ... ... ... ... ... ... да арта түсті. Біз пән аралық байланысты мәселені
тұжырымдау ... да арта ... Біз пән ... ... ... табиғи құбылыстардың ... ... ... ... қарастыруды дұрыс көрдік.
Пәнаралық байланыстар, оқытудың барлық қызметтерінің, ... ... ... және ... ... ... етеді. Бұл қызметтері өзара байланыста орындалады
және бір бірін толықтырады.
Жоғарыда ... ... ... ... ... ... негізгі бағыттарын тұжырымдауға
тырысып көрейік.
Ең алдымен, бұл дифференциалдық теңдеулердің ... ... ... дұрыс түсінікті қалыптастырудағы ... ... ... ... ... ... бұған
тақырыптың тарихи-математикалық, бөлігі ықпал етеді.
Әрі ... ... ... ... ... және пәнаралық байланысты ... ... ... ... ... керек.
Ең соңында, дифференциалдық теңдеулер - бұл табиғат сөйлейтін тіл.
Математика курсының тілдік ... ... ... ... ... облысындағы зерттеушілерді күннен күнге қызықтырып ... ... ... қазіргі заманда, адамның ... ... ... ой ... ... ... жоққа шығарылмайды.
Болашақ студенттер бұл ойды ... үшін ... ... орнын белгілеулері керек.
1.3 Дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстары
Ғылымның дамып келе жатқан салаларының бірі – ... ... ... ... ... ... ... пен машықтықты
бойға дарытатын тиянықты ілгері білімдер көлемін анықтау және ... ... ... сай ... ... ... ... идеялары мен тенденцияларын анықтау қажет болады.
Дифференциалдық теңдеулерді ... ... ... математиканы
оқытуда қосымша, дарынды оқушыларымен жүмыс ... ... ... теңдеулер теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық
ойлауды, шығармашылық қабілетті жетілдіруді керек етеді және ... ... ... ... ... бірі ... ... шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру саналады. Сонымен қатар
игерілетін материалдың математикалық қабілетін ... ... ... ... ... тигізетін ұстанымдардың да маңызы айырықша.
Дифференциалдық теңдеулердің табиғи және өміршең есептерді шығаруда
пайдаланатын ғажайып мүмкіндіктері оның сырттай қарағанда ... ... ... көрінетіндігін жеңеді. Ол оқушылардың ... ... ... ... ізденіске, біліммен сусындауға жетелейді.
Сондықтан оқушыларды қызықтыра оқытып, оларды қолдай ... өз ... ... ... ету ... ... ... кезеңін жандандыруға
әкеліп соғады.[3]
Дифференциалдық теңдеулерге келтіретін есептерді шығару үшін ... мен ... ... ... ... ... теориялық
пайымдауларын қисынды - теориялық және практикалық бағытта ... ... ... ... ... ... ... маңызы зор. Себебі оның ұғымдарын, формулаларын, әдістерін,
алгоритмдерін ... ... ... және басқа да ғылым
саласының мамандары жиі қолданылады. ... ... ... ... ... ... ... математика саласына да
жатады жэне ол жаратылыстану ... мен ... ... ... Сол себептен мектептегі дарынды оқушылардың білімінің деңгейін
кеңейту мақсатында дифференциалдық ... ... ... ... болады. Өйткені механиканың, астрономияның,
физиканың, химияның, биологияның, космостық зерттеудің ... ... ... ... оның ... табуға тіреледі.
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде, ... - ... ... ... ... физика және де басқа саладағы ... ... ... ... пен ... тәсілдері негізінде
пәнаралық жаңа байланыстар қалыптасады. Ол есептердің шарттарын жүйелі
түсіну, алға ... ... ... оны ... ... үшін ... ... орындау үшін әдістер тану, шешу барысын кезендерге бөліп ... ... ...... ... ... тауып дәл тұжырым жасау
үрдісі әртүрлі ... сай өз ... ... ортақ қисынға,
заңдылыққа бағынады. Ол заңдылықты пайдалану пәнаралық қатынасты ... ... ... ... ... бір ... қалыптастырады және олардың ... ... ... және қолданбалы бағыттарын түсінуінің маңызы зор.
Дифференциалдық теңдеудің көмегімен жаратылыстану ғылымдарындағы ... ... бірі - ... ... ... ... ... жасырын сырының қалай ашылғанын, оның өмірде қалай пайдаланатынын
көрсетуге болады.
Соның бір ... ... ... популяция (мекендес өсіп -
өну) санының қарапайым моделі ... ... ... ... ... ортаны қорғаудың, яғни биоэкологияның ең маңызды мәселесі болып
табылады. Популяцияның математикалық моделін қүру биологиялық түрдің ... ... ... ... есеп ... ... Осындай
математикалық модельдер көптеген физикалық, химиялық, биологиялық т.б.
процесстерді ... ... ... ... ... ... оқушы дүниенің біртұтас екендігіне ... ... және ... ... ең бір маңызды қадамды, өз мамандығын тандауға ... ... ... ... ... ... өте ... теңдеулердің басқа пәндермен байланысы жоғарыда атап
өтілген байланыс түрлерін сұрыптай сипаттауға, ... ішкі ... ... ... жүзеге асырудың обьективтік заңдылықтарын тиімді
пайдалануға, сол арқылы ... ... ... ... ... ... ... Демек, дифференциалдық теңдеулердің
пәнаралық байланысы тек білім, біліктілік, машықтық деңгейін көтеретін
ұтымды дидактикалық ... шарт қана ... ... ... ... жұмысы тәсілдерінің де жалпы педагогикалық кешендік құралы болып
табылады.
1.4 Дифференциалдық теңдеу туралы негізгі ұғымдар
Анықтама. Дифференциалдық ... деп ... ... х-ті, ... функция у-ті және оның ... ... ... айтады.
Мұндай дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
F(x,y,у(,у((,...,у(п)
)=0
немесе
Егер белгісіз (ізделетін) функция у тек қана бір ... ... онда ... теңдеу жай дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Ал, егер белгісіз (ізделетін) функция у бірнеше аргументке ... ... ... ... дербес туындыдағы дифференциалдық теңдеу деп
аталады. Олай болса жоғарыдағы дифференциалдық ... жай ... ... табылады, себебі ондағы ізделетін функция у тек жалғыз
аргумент х-ке ... ... ... реті деп ... теңдеудегі
ізделетін функцияның туындысының ең жоғарғы ретін айтады.
Мысалы:
1. ... x ... ... ... жай ... ... ... реті бірге тең.
2. у((-у(+х=0 теңдеуі екінші ретті дифференциалдық теңдеу
3. уIV+2y((=x төртінші ретті дифференциалдық теңдеу болып ... ... мына F( x, y, у(, у((, ..., у(п)) = 0 ... n - ші ретті
дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Анықтама: Дифференциалдық ... ... деп ... теңдеудегі
орнына апарып қойғанда оны ... ... кез ... ... ... ... онда ... дифференциалдық теңдеуінің
шешімі деп аталады.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай ... Егер ... ... ... ... ... шешілген болсы, онда (1.1) туындысына ... ... ... деп ... және ... жазылады:
.
(1.2)
(1.2) дифференциалдық теңдеудің мынадай бастапқы шартын
(1.3)
немесе
(1.3()
қанағаттандыратын y=у(x) шешімін табу Коши есебі деп аталады.
(1.2) – ... ... үшін мына ... орынды. Бұл теорема
шешімнің бар болуы мен жалғыз болуы туралы деп ... ... (1.2) – ... ... және (1.3) ... ... Егер ... нүктесінің кейбір маңайында дербес ... ... онда [x0 – h , x0 + h] ... ... ... жалғыз ғана үздіксіз у=y(x) функциясы бар болып, ол функция ... және (1.3) ... ... ... кез ... y = ((x) шешімінің графигін, осы теңдеудің
интегралдық сызығы деп атайды. ... ... ... ... ... ... ... сызығы (немесе траекториясы) деп
аталады.[3]
Диференциалдық теңдеудің шешімін табу ... оны ... ... Мұны ... ... ... үшін көбінесе соңғысын
квадратуралау деп атайды. Осыған орай, дифференциалдық теңдеуді интеграл
алу операциясына алып келуді оны квадратурада шешу деп ... ... ... ... ЕСЕПТЕР
2.1 Жай дифференциалдық теңдеуге келтірілетін есептер
Табиғаттағы көптеген құбылыстардың ... ... ... ... ... жиі ... ... бұл құбылыстарды дифференциалдық
теңдеулер арқылы өрнектеуге болады. Егер осы ... ... онда әлгі ... ... ... тапқан боламыз.
Дифференциалдық теңдеулерге келетін бірнеше есептерді қарастыралық.
1-мысал: хОу жазықтығында сондай қисықты тап, ол ... ... ... Ох ... оң ... ... бұрыш жасайды, ол
бұрыштың тангенсі жанасу ... екі ... ... ... Айталық, іздеп отырған қисықтың теңдеуі у=((х) ... әр ... ... ... бар және ол ... ... коэффициенті
(((х) – ке тең, яғни (((х)=2 (есептің шарты бойынша). Сөйтіп,
есептің шарты бойынша ... ... ... ... Бұл ... ... теңдеу. Бұл теңдеуді мына функция у=х2 қанағаттандырады.
Ол үшін бұл функцияны берілген теңдеуге ... ... ... ... ... мына ... y=x2+C, ... C- кез келген тұрақты, да
қанағаттандырады. Бұл соңғы ... ... ... ... ... ... ... хOу жазықтығында сондай қисықтарды тап, ол қисықтардың
жанамасы мен Oх осінің оң бағыты арасындағы бұрышының тангенсі жанасу
нүктесінің абциссасына кері ... ... ... ... теңдеуі y=((х) болсын. Есептің шарты
бойынша у(= теңдеуін жазуға ... Мына ... y=k ln(x(+C ... теңдеуінің шешімі болады. [3]
3-мысал: Массасы m-тең дене кейбір биіктіктен тасталған. Бұл дененің
түсу жылдамдығы қандай заң бойынша өзгеретінін анықтау ... ... ... тарту күшінен басқа тағы да ауаның кедергі күші әсер ... ... ... пропорционал, яғни пропорционалдық коэффициенті k- ға тең.
Сөйтіп, v=((t) екендігін табу талап етіледі.
Шешуі: Ньютонның екінші заңы бойынша
мұндағы – ... ... ... ал ... ... бағытымен бағыттас әсер етуші күші. Бұл күш екі күштің
қосындысынан тұрады: mg және – kv ... ... ... ... ... ... ... минус болады). Сөйтіп,
(2.1)
Бұл жерде біз белгісіз функция - мен оның ... - ... ... ... ... (2.1) – ді m- ге ... мына түрге келеміз:
(2.2)
Бұл теңдеудің шешімі мынадай функция болатынын тексеру арқылы
көз жеткізуге болады. Шынында,
( (
( ... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеуін
тап. [5]
Шешуі: Жазықтықтағы барлық түзулер үйірі жалпы түрде у=Cx деп ... ... ... ... ... табу үшін, одан х бойынша
туынды аламыз: у(=С. Содан кейін жүйесінен С-ні ... у=xy(. ... ... ... ... ... ... болып табылады. Оған ... үшін ... ... ... ... Сонда Сх=хС, яғни
қанағаттандырады.
5-мысал: Жазықтықтағы барлық дөңгелектер ... ... ... яғни (, ( және r-ге. Жазықтықтағы барлық дөңгелектер
үйірінің дифференциалдық теңдеуін тап.
Шешуі: Бұл ... х ... үш рет ... ... ... ... ... 2y(y((+y((((y-()+y(y((=0,
y((((y-()+3y(y((=0.
( және r параметрлері туынды алу ... ... ... Енді тек (
параметрін жойсақ болғаны. Оны ... екі ... ... ... х3 + y2 =C2 ... үйірінің А(3; 4) нүктесі арқылы өтетінін
табу керек.
Шешуі: Ізделініп ... ... табу үшін оған ... ... C=C0
параметрін табамыз. Ізделінді шеңбер А нүктесі аркылы өтетіндіктен бұл
нүктенің координатилары ... ... ... х=3, ... ... ... Со=25 ... Сонымен ізделінді ... ... ... ... ... ... ... жазып
және оның дифференциалдық қасиетін тағайындау керек.
Шешуі: х2+у2=С теңдеуін х бойынша дифференциалдасақ 2х + 2уу(=0 ... ... жоқ у(= - x/y ... ... ізделінді дифференцалдық теңдеу у(=-x/y дифференциалдық теңдеуіне
М(х,у) нүктесі ... ... ... жүргізілген жанаманың бұрыштык
коэффициенті -1/к екендігін кереміз, мүндағы к = ОВ ... ... ... 1) ... және ... tg(=-1/ tg(, (=(/2 +(.
Сонымен, бұл шеңберлер шоғырының ... ... ... ... ... ... нүктесіне жүргізілген радиусқа
перпендикуляр.
8-мысал: Дене V ... ... ... ... тузу
сызықты козғалып келеді. Erep t=0, S=S0 белгілі болса, жүрілген жол S ... t ... ... ... ... V=dS/dt ... S(t) және t арасындағы тәуелділік dS/dt=кt2
дифференциалдық теңдеумен байланыстырылған, немесе dS = kt2dt ... ... екі ... ... S(t) = kt2/3 +С ... ... ... шешімін аламыз. Бастапқы уақыт мезетінде S=So, ... ... t=0, S=S0 ... ... онда ... мәні ... So=0+С, ... Демек, S(t)=kt2/3+S0 – ізделінді тәуелділік.
9-мысал: Космостан жерге түсіп келе жатқан материалдық нүктенің
қозғалысының ... ... ... ... ... ... заңы бойынша нүктеге күші әсер
етеді, мұндағы М – жердің ... m – ... ... ... ... және ... ... бетіне дейінгі
арақашықтық («минус» таңбасы қойылғанының себебі ... ... ... ... ... ... екінші заңы
бойынша болғандықтан, немесе Бірақ болғандықтан
ізделінді ... ... ... ... ... ... ... жазылады.
Жалпы алғанда, егер ізделінді функция бір белгісіз ... ... онда ... теңдеу қарапайым дифференциалдық
теңдеу деп аталады.
2.2 ... ... ... ... ... Мына ... ... + Q(y)dy = 0
(2.3)
теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп аталынады.
Теңдеудің жалпы ... мына ... ... xdx + ydy = 0 ... ... ... ... Теңдеуді интегралдасақ, жалпы интегралды аламыз:
Егерде
(2.5)
және f2(x)((1(y) ( 0 болса, онда теңдеудің шешімі былай ... ... ... f2(x)=0 және (1(y)=0 ... да ... керек.
Мына түрде жазылған
(2.7)
теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеулерге келтіруге болады. Мұнда ... c – ... Бұл ... шешу үшін жаңа ... ... z= ax +
by + ... z- айнымалысы үшін төмендегідей айнымалысы ажыратылатын ... ... ... ... жаңа ... нанның температурасы 20 мин ішінде 100С
-ден 60С-қа түседі. Қоршаған ортаның температурасы 25С. Қанша ... ... ... 30С ... 2 ... салқындауы
Шешуі: дененің сууы жылдамдығын – уақыт бірлігінде Т- ... деп ... ... ... ... ... заңы бойынша
дененің салқындау жылдамдығы оның температурасымен ... ... ... ... ... бұл ... тұрақты емес.
Температураларының өзгеруіне байланысты дененің ... ... ... ... ... тендеуі
(2.9)
Бұл жерде Т- нанның температурасы, t- қоршаған ортаның температурасы,
k- пропорциональдық коефициенті, –салқындау жылдамдығы.- ... ... ... ... ... ауыстыру аркылы
мына түрге келеді.
есептің шарты бойынша
екендігі белгілі, екі жағын интегралдау ... екі ... ... ... ... ... ... бастапқы шарт бойынша анықтаймыз: =0 мин Т=100С
және C=75
Ал ek мәнін есептің қосымша шартын пайдалану арқылы табамыз: = 20 ... ... ... ... ... ... ... мына түрде
(2.11)
(2.11) теңдеуден Т=30С болған кездегі ... ... ... ... ... ... 1 кг суды 20С –тан 100С-қа дейін көтеруге
канша уақыт жұмсайды? Егер спиральдағы ... 120В, ал ... 14,4Ом ... су 10 минутта 40С-тан 30С-қа түсетіні белгілі болса.
Шешуі: Q-t ... бойы суға ... жылу ... болсын, - судың
температурасы.
Джоуль- Ленц заңы бойынша
Бұл жерде -жылу мөлшері, Дж; i- ток күші, а; ... Ом; ... ... -ге ... , жылу мөлшері
уақыт бойы өсуі, яғни
Бұл жерде с- жылу сыйымдылық және m- масса; су коршаған ... ... ... ... ... жылу ... яғни
Бұл жерде, –Ньютон заңы бойынша, суытқыш заттың дифференциалдық
теңдеуі.
Жылудың уақытта толық өсуі
немесе
Судың жылу ... с=1 ... ... ...... ... Ленц заңы ... теңдеуге ток күшінің, кедергінің мәнін койғанда
(2.13)
Болады. М=1 ... ... ... 10 мин ... су 40С ... ... түскенде, есептің
дифференциалдық теңдеуі
болады. Айнымалыларды ажыратқанда
(2.14)
(2.14) интегралдау арқылы
Осыдан
(2.15)
(2.13), (2.14) және (2.15) қатынасын ескере отырып, мынадай ... ... ... ... ... ... бөлінуі
Сфералық қабықша
12-мысал: Станционарлық жылулық күйде тұрған ... ... ... ішкі ... 6 см және ... ... 10 см. Ішкі ... 200С, ал сыртқы қабаты 20 С (сурет 3).
Сурет 3 Дене температурасының бөлінуі
Шар центрінен r ... ... және 1 ... ... ... мөлшерін табу керек(k=0.14 құрыштың жылу сыйымдылығы).
Шешуі: Шар симметриялы болғандықтан, жылу бірдей таралады. Шардың ... ... ... ... сол жердің бетінің ауданына тең:
Фурьеның жылу өткізгіштік заңы ... ... ... ... жылу ... кез ... екі кабаттың арасынан бірдей жылу
өтеді. F ауданына таралатын жылудың жылдамдығы, тең ... ... Т- дене ... k- ... жылу ... ... мына ... келеді
Айнымалыларды ажыратып, интегралдағаннан кейін жалпы шешімін табамыз
(2.18)
Есептің жауабын табу үшін ... ... ... ... ... r=6 болғандағы C мен Q- дің мәндерін табамыз:
Бұл ... ... 1 ... ... ... жатқан жылу мөлшерін табамыз
кал
2.2.4 Цилиндрлік қабықша
13-мысал: Жылу магистралының (20 см ... ... ... ... ... жылу өткізгіштік коэффициенті k=0,00017.
Құбырдың температурасы 160С, сыртқы қабатының температурасы 30С
(сурет 4). ... мен ... ... ... температура мен 1 м
құбырдың бөлетін жылу мөлшерін табу керек.[7]
Сурет 4 Цилиндрлік қабықша
Шешуі: егер дене ... ... ... ... дененің барлық жерінен
бірқалыпты Т температура шақса, және ло функциясы тек бір х коордиратасында
жатса, онда ол ... жылу ... ... ... ... ... жерде F(x)- x қашықтықта кесілген қиманың ауданы, k- жылу
өткізгіштік коэффициенті.
Есеп бойынша
Бұл ... l- ... ... см. Х- ... ... ... кейін есептің дифференциалдық тендеуі мына түрге
келеді
(2.19)
Теңнің екі жағында интегралдаймыз
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.22) пен (2.23) -ті ... ... ... жерден температураның оқшаулану заңдылығы шығады
T=591,8-431,8lgx.
(2.21)- тен l=100cм болғанда
Бір ... ... жылу ... ... ... ... ... l=100 м болған 2Т жукке керілетін металдық ... ... ... ... ... Металдың шыдамдылығы σ
=1000кг/, ал оның салыстырмалы слмағы γ=7,6 г/. Брустың төбесінің
қимасының ауданын табу керек.
Сурет 5 ... ... ... Күш ... 1см2 ... ... ... Брустың
көлденен қимасына түсетін керілуші күш жүктің Р ... және ... ... тең, яғни ... төменгі жағымен салыстырғанда жоғарғы
жағына көп күш түседі. Сондықтан күштерді теңестіру үшін брус ... ... ... ... ... ... да ұзаруы керек. Сол кезде ең
үлкен аудан үстіңгі бөлігінде болады.
Х осін ... брус ... тең ... 5), ... ... S1- ... болған брустың жоғарғы қиманың ауданы
болсын; S2- астынғы қиманың ауданы; S- ... x ... ... Q- S ... ... ... ... салмағы; P- брустың көтере алатын
жүгі; -мүмкін болған және брустың көлденен қималарының бірдей керілуі
деп есептейік.
S(x) қимадағы күш ... ... ... S(x)+dS(x) қимада
.
болады.
бойынша брусқа түсірілетін күштер бірдей болғандықтан
болады.
Екінші теңдіктен бірінші теңдеуді ... мен ... ... ... ... жақын салмағын табамыз:
(2.24)
Брустың бұл бөлігін цилиндр деп алатын болсақ
(2.25)
(2.24) және (2.25) ... ... ... дифференциалды теңдеу
шығады
.
Екі жағын интегралдай отырып
Потенциалдағаннан ... ... ... x=0 , S=. Бұл ... (2.26) ... кезде
(2.27)
болатыны белгілі. (2.27) бойынша х- тің кез-келген ... ... ... ... X=l ... брус ... шарты бойынша мәндерді енгіземіз. Төменгі қимадағы күш
болады, бұл жерде
болғандықтан
Осылайша, жоғарғы қима ауданы
.
болады.
2.2.6 Барометрлік формула және тереңдіктегі қысым
15-мысал: Ауа ... ... ... ... ... ... ... табу керек. Орташа атмосфералық жағдайда h=1000 ... ... табу ... Егер ... ... қабаттары бірқалыпты
0C болса. Жер бетіндегі орташа атмосфералық қысым =10330 ... ... ... ... ... =1,29 кГ/м3.
Шешуі: Һ биіктіктегі р ауа қысымы сол ауа ... ... және ... ... ... яғни АВ ауданы 1м2 ... ... ... dh ... кіші мәнге өзгергенде, қысым dp –ға ... ... һ ... АВ ... һ+ dh ... СД ... ... Сонда ауа қысымының өзгеруі 1 м2 аудандағы ауаның массасына
және dh биіктікке тең. dh ... ауа ... бір ... деп ... онда осы ауа ... массасы тең болады, сонда мына
дифференциалды теңдеу
(2.28)
Бар болады. –ны -ға ауыстырамыз. Барлық қабатта ... ... ... 0 0С тең болғаны үшін, Бойл-Марриот заңы бойынша
(2.29)
(2.28) мәнін (2.29) ... оң ... ... ... ... ... теңдеуі
(2.30)
Теңдеуді интегралдаймыз
Теңдеуді потенциалдағаннан кейін жалпы шешімін табамыз
(2.31)
Бастапқы шарт: h=0 p=. Сонда
Барометрлік формула (2.31) мына ... ... –ті һ ... ... табамыз:
(2.33)
(2.33) теңдеуі биіктікті қысым бойынша ... (2.32) –ке ... ... үшін , ... ... ... ... температурасы өзгеруші деп алайық, сонда газ мына заңға бағынады
Сонда процесстің бастапқы ... ... ... ... ... шарт: h=0 p=. Сонда интегралдық тұрақты
С-нің мәнін (2.34) теңдеуіне енгіземіз және ұқсас мүшелерін қысқартамыз
(2.35)
h=0 p= және ... ... ... ... (бұл ... T=t+273 және ... )
(2.37)
Сонда
Бұл жерде табылған мәнді (2.37) –ға енгізгенде,
(2.38)
Екені белгілі. (2.38) ... ... ... Бұл ... тереңдіктегі қысымға қатысты есеп оңай ... ... ... ... һ- ... ... ... тереңдікте болса, онда
Сонда
Бұл жерде - 1 м2 теңіз суының массасы.
2.3 Кейбір химиялық реакциялар және экология теориясы ... ... ... Химиялық реакциялар
Химиялық теңдеу 6ip затпен ... ... ... ... зат ... көрсетеді. Мысалы, мына теңдеу:
2Н2+ 02 => ... ... eкi ... мен оттегінің бip молекуласының
әрекеттесу нәтижесінде, судың eкi молекуласының шығатынын көреміз.
Жалпы жағдайда теңдеу мына ... ... => mM + nN + ... А, В, С - ... ... ... молекуласы. М, N, Р
–химиялық реакция кезінде ... ... ... ал ... ... ... ... санын көрсететін, оң бүтін
сан. Жаңадан түзілетін ... ... ... ... деп аталады.
Нақты әрекет ететін масса немесе әсер ... ... ... ... ... санымен өрнектеледі. Химиялық реакцияның ... ... ... бiрi әсер ететін массаларының заңдылығы
болып табылады және бұл заңдылықта ... ... ... ... ... ... ... заттың концетрация көбейтіндісіне
пропорционал болып келеді. Keлeci мәселені шешейік. Көлемі 10 және 20 ... А және В екі ... ... ... ... ... ... жаңа зат С береді. Реакция кезінде температура өзгермейді ... А ... eкi ... және В ... 6ip ... ... С
затының 3 көлемі пайда болады. t (сағатпен өрнектегенде) уақытында пайда
болған С ... ... х ... (литрмен) белгілейік. Бұл кезде химиялық
реакцияға А ... 2х/3 ... және В ... х/3 ... Соңғысы, белгіленген уақытқа дейін А затының және В ... ... ... ... әрекет ететін
массанын ... ... ... ... теңдеуге келеміз:
Мұндағы к – пропорционалды тұрақтысы (k=2К/9). ... ... ... С заты әлі ... ... қажет, онда бұл уақытта х=0 деп
есептеуге болады, ал t=l/3 ... ... ... онда мұндағы х=6 екенін
ескеруіміз ... ... ... мәселенің шешімі мына ... ... табу үшін ... ... х=0 ... соңғы дифференциалдық
теңдеуді интегралдаймыз. Нәтижесінде мына арақатынасты аламыз:
Енді t=l/3 кезінде х=6 ... бұл ... ... ... коя ... е 15k = 3/2 ... ... Онда,
Яғни,
Х = 15 (1 -(2/3 )3t)/(1 ... ... ... t ... ... реакция нәтижесінде түзілген С затының
санын ... ... ... ... ... ... пікірден А
затының 10 литр және В затының 20 литрімен химиялық реакция кезінде тек ... ... ... ... ... түсінікті. х-тің t-ғa байланысын
формальды қарастырғанымыз t мәнінің әсіресе мына нақты жағдайда ... 4 , х ... ... айналады. Бұл айғақ тәжірибелі тұрғыда
қайшы келмейді немесе соңғы теңдік тек t-ның тepic ... ғана ... ... Ал химиялық реакцияныц процессі тек t>0 болса ғана қарастырылады.
2.3.2 Экологиялық есептерге келтірілетін дифференциалдық теңдеулер
Экология адамның және жалпы тipi ... ... ... қарым-
қатынасын зерттейді. Экологияның негізгі нысанасы эволюция популяциясы
болып табылады. Төменде популяцияның дифференциалды модельдері ... ... ... ... ... әртүрлерінің өсіп-өнуімен
және жойылуымен байланысты суреттеледі. X(t) ... ... ... ... саны болса, сонда А- популяцияда уақыт бірлігінде пайда
болатын түрлердің саны, ал ... ... ... түрлердің саны,
сонда жеткілікті негізде х жылдамдығының ... ... өте келе ... ... болады, деп тұжырым жасасақ болады.
(2.39)
Мәселенің ендігі міндеті А және В ... х ... ... Ең ... мына ... болып табылады:
А=ax, B=bx
(2.40)
Мұндағы а және b-пайда болатын және ... ... (2.40), ... ... ... теңдеу мына турде жазылады:
(2.41)
t=to уақыт кезінде түрлердің саны х=х0 деп ... (2.41) ... ... аламыз:
Алынған теңдіктен, егер а>b болса, онда t => ∞ ... саны ... х=> ... Бip ... егер а < b ... онда t =>∞ кезінде популяция құрып
бара жатқан ... ... үлгі ... болып көрінеді, дегенмен
де ол ... ... ... Іс ... ... ... ... мен процесстерді бейнелейтін сызықтық емес және дифференциалдық
теңдеудің орнына мына теңдікті қарастырған жөн:
Мұндағы f(x) сызықтық ... ... мына ... а>0, b>0 t=to ... х=х0, деп ... ... ... мынаны
табамыз:
Бұл жерде t=>∞ кезінде популяцияда x(t) =>a/b ... ... тұр. ... eкi ... ... а/b >х0 және а/b 0 ... ... T=T0 түрлердің саны белгілі деп алайық, яғни
, ... бiз тек оң ... ... ... u және υ арасындағы
байланысты анықтайық. Ол үшiн бipiншi теңдеуді ... ... ... ... ... ... интегралдап, мынаны табамыз:
Мұндағы Н-а пapaмeтpi арқылы бастапқы шартпен анықталатын тұрақты.
u0>0 , υ0t0 барлық уақыт үшін ... ... де ... функция.(2.49) теңдеуден шығады, туындысы
оң және ... ... ... жерден ке тең мағыналарын алсақ
х=t не өседі, не кесіп өтеді.
Бірінші жағдайда, оң жақтың қиылысуынан және ... ... ... ... ге тең бола алмайды, егер
болса.Енді (2.49) теңдеуді интегралдаймыз. Айнымалыларды ажырата отырып,
мына теңдікті ... ... деп ... мына ... ... кейін:
(2.50)
Оңай болу үшін және алайық. (2.50) теңдікке қоя отырып, С-
ті табамыз.
Енді С- ті теңдікке ... мына ... ... ... Ферхюльст-Перлдың заңы:
(2.51)
Енді осы функцияны зерттейік. ** теңдікті қолдансақ, болады.
барлық жерде оң.Енді (2.51) теңдеуді аламыз:
Бұл жерге (2.51) теңдеудің х-ін ... мына ... ... ... көрініп тұрғандай, кезінде ... ... ішке ... ... ... ... ... және
x(t) функциясы сыртқа қарай шығып тұрады.Бірінші теңсіздіктен ішке қарай
кірген бөлігін табамыз.
яғни,
(2.52)
Сондықтан ол мына ... ... енді ... ... ... ... мына теңсіздікпен өрнектеледі:
Сонда,
және
болады.
Ал мына нүкте:
(2.53)
иілу нүктесі болып табылады.
туындысы барлық t үшін 0-ден ... ... онда ... ... ... ... ... деп алып,
кезінде болады.
2.5 Біртекті дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін есептер
Изогональды траектория(әрекет жолы)
16-мысал: Түзу ... ... ... ... табу ... Өзінің әр бір нүктесінен өтуші түзу баулар бір қалыпты α ... ... ... ... деп ... 9 ... траектория
Осы баудың теңдеуі y=ax болсын. tgα=k деп санайық. Осы ... ... ... осы ... ... ... бұрыштық
коэффициенті болады.
Шарт бойынша
Кез келген нүктеде болады (баудың теңдеуінен). Сондықтан
(2.54)
(2.54)теңдеуі бір түрдегі теңдеу болғандықтан, мына ауыстыруды ... ... ... ауыстыруды (2.54) теңдеуге енгізгенде
Жіктегеннен кейін
(2.56)
(2.56)теңдеудің айнымалыларын бөлеміз
Интегралдаймыз:
(2.57)
Егер , ал lne=1 болса, (2.57) теңдеуді түрлендіреміз
Полярлық координаларды енгізгенде, x=rcosφ , y=rsinφ ... ... ... ... ... кез ... нүктесінде қисықтың астындағы ұзындық сол
нүктенің арифметикалық ортасына тең. (-3,2) ... ... ... табу ... y=f(x) қисығының астындағы ұзындық . Осы ... ... ... ... ... ... ... қатысты мынандай дифференциалдық теңдеу
аламыз.
(2.58)
Бұл біртекті теңдеу. Оны түлендіреміз
(2.59)
Және ... ... (2.59) ... мына ... келеді
х-ке қысқартқаннан кейін теңдеуміз мына түрге келеді
(2.60)
Айнымалыларды ауыстыру арқылы
(2.61)
Теңдеудің сол жағының бөлгішін жіктейіз және 2-ге ... ... ... ... ... және ... ... арқылы
Бұл жерде
Коэффициентін теңестіру арқылы, мына теңдеулер жүйесін аламыз
Бұл жүйеде A=B=1/3 екені белгілі.
(2.62) –ға табылған мәнді енгізгенде
табылады.
u=y/x енгізіп ... екі ... ... ... ... ... (-3,2) ... нүктесі болғандықтан
C=25
Сонда қисықтың негізгі теңдеуі
болады.
2.6 БІРІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ... ... ... ... у’ ... қатысты
(2.63)
Түрдегі сызықтық бірінші ретті біртексіз дифференциалдық ... ... Q(x)=0 ... ... ... деп ... у функция
және оның құрамына кіретін туынды сызықтық бірінші ... ... ... ... P(x) және Q(x) ... ... немесе олардың біреуі
тұрақты болады. Сонда (2.63) теңдеу
(2.63) теңдеудің жалпы интегралы мына ... ... ... ... ... және ... белгісіздері яғни екі шарттармен
анықталады.
2) интегралдық көбейткіш көмегімен – толық ... ... ... ... бір ... ... ... шешімі белгісіз
болса, онда
4) егерде және екі ... ... ... ... ... ... ) ... комбинация шешімдері және -нің
қандай-да бір мәндерінде тең болғаннан басқа мәндерінде ... ... ... орындалмайды.
формула бойынша.
18-мысал: (1,1) нүктелері арқылы ордината ... ... қиып ... нүктесі абсциссаға тең болатын қисықты табу керек.
Шешуі: Қисықтың иілуі ... ... ... ... осы ... ... да болады. . Сондықтан жанама теңдеуі
.
(2.64)
Жанаманың ... ... ... ... ... ... ... Жанасу нүктелерінің координаттары ... осін ... ... ... түзу -ге тең, бұл ... ... абсциссаға тең ... ... ... ... ... сызықтық болып табылады, түрлендіруден соң мына түрге келеді
(2.66)
Бернулли алмастыруын қолданамыз
.
Сонда (2.66) ... мына ... ... және z ... мына ... ... ... интегралдауынан соң u=z ;
Б) немесе интегралдауынан соң .
(2.56) ізделінді теңдеудің ... ... мына ... ... шарт (1,1) ... ... ... бұдан
1=1 lnC\1
немесе
болады.
Қисықтың теңдеуі
19-мысал: Ординатасы 2-ге тең нүктеде қисық oy осіне 450 бұрышпен бұрылған.
Жанама түзу ... осін ... тең ... ... қиып ... ... ... табыңдар.
Шешуі: Абсцисса осін жанамамен қиып өтетін кесінді -қа тең.
Есептің шарты бойынша
немесе ізделінді функцияның дифференциалдық теңдеуі:
.
(2.67)
(2.67) ... х-ке ... ... ал оның ... ... y=2 ...
y ... (2.68) теңдеуді мүшелеп интегралдасақ, онда
немесе бұл туындының y=2
бұдан немесе
Ізделінді ... ... ... осі 2-ге тең және осі нүкте жанама болатын қисықтың кез-
келген нүктесі ... ... ... ... ... Егер ол (-
2,2) нүктесінен өтетін болса, онда қисықтың теңдеуін табыңдар.
Сурет 10 Теңдеудегі ... ... ОМА ... ... Ох ... ... ... ОА кесіндісі болады. Ох
осінде кесіп өтетін жанамасы өрнегін табамыз.
Үшбұрыштың ... y ... осі ... ... ауданы
Есептің шарты бойынша, ізделінді дифференциалдық теңдеу
(2.69)
(2.69) теңдеу x-ке ... ... ал оның ... ... ... ... (2,-2) нүктесі арқылы өтеді, бұдан және
Қисықтың ізделінді теңдеуі:
2.6.1 Материалдық нүктенің қозғалысы
Алгебралық көпмүшеліктің қозғалыс заңы
21-мысал: t уақыттың ... ... v ... ... ... t уақыт үшін орташа жылдамдықты ұлғайтады. Егер t=0,
, v=0 болған қозғалыс заңын табу ... t ... ... . ... ... t уақытта . Есептің
шарты бойынша . ... ... ... ... ... ... ... теңдеуінің жалпы шешімі
(2.71)
t=0 ,
болғанда бастапқы шарт болады.
(2.71) ... ... ... ... ... ... C=0 ... )
(2.72) мәнді (2.71) теңдеудің ... ... ... ... ... аламыз
Қозғалыс заңының периодтылығы
22-мысал: V жылдамдық, s жол және t ... ... ... Егер t=0, S=2 ... қозғалыс заңын табу керек.
Шешуі: Демек, болса, онда бұл берілген теңдеуде v ... ... ... ... ... ... теңдеуді шеше отырып, аламыз.
Бастапқы шарт t=0, S=2 ... ... ... ... ... есептер
Бернулли дифферанциалдық теңдеуі мына түрде болады
(2.73)
мұнда n-тұрақты,0 немесе 1-ге тең емес
Бұл ... yn-ге ... ... және айнымалы еңгізген соң мына ... ... ... ... ... ... ... z -ке қатысты шешіледі.
Кері алмастыру арқылы жалпы шешімі
(2.75)
Геометриялық түсіндірме
23-мысал: Қисықтың кез-келген нүктесінде ... ... ... ... осін ... ... қиып ... ол (3,2) нүктелері
арқылы өтетін болса, қисықтың теңдеуін тап.
Шешуі: Ох осін нормальмен қиып өтетін Х 0 кесіндісі Ох ... ... ... ... ... координаттары
Ох осі бойынша нормаль теңдеу
(2.76)
ізделінді дифференциалдық теңдеуді есептің шарты бойынша
(2.77)
Бернулли теңдеуіне түрлендіру үшін
(2.77)-теңдеуді мына түрге ... ... ... ... (2.78) ... қойсақ ,сонда
сызықтық теңдеуді аламыз алмастыру нәтижесінде
мына түрге келеді.
u функциясын бірінші жақша нөлге айналатындай етіп іздейміз.
бұдан көмекші фунция
Сонда
соңғы ... оң ... ... ... ... ... функция
сонда
(2.77) теңдеудегі дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі z=у2 қатынасынан
түріне келеді.
қосымша шарт: қисық (0,3) нүктесінен өтетін болса,бұдан
Немесе
=9.
Ізделінді қисықтың теңдеуі
24-мысал: Жанасу ... ... ... ... ... ... ... қиып өтетін жанама жанасу нүктесінің
ординатасынан екі ... Егер ... ... ... ... ... тап.
Шешуі: жанасу нүктесінің геометриялық ортасының координатасы . Oу осін
қиып ... ... ... ... ... тең. Бұл ... жүйені қанағаттандырады.
Бұл жүйені шеше отырып ... ... ... ... ... ... теңдеу болып табылады.
(2.80) теңдеу мына түрде болуы мүмкін
Бұл Бернулли теңдеуі. Бұл теңдеудің жалпы шешеімі
қосымша шарттар: қисық (1:1) ... ... өтсе ... екі ... ... Есептің шарты бойынша
теңдеуді аламыз, бұл ізделінді дифференциалдық теңдеу болып табылады.
(2.80) ... мына ... ... мүмкін.
Бұл Бернулли теңдеуі.
Бұл теңдеудің жалпы шешімі
.
(2.81)
қосымша шарттар: қисық (1:1) нүктесі арқылы өтсе, бұдан
және
(2.82)
Ізделінді екі қисық аламыз
және
2.8 РЕТІ ... ... ... ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ
ТЕҢДЕУЛЕР
I. түріндегі теңдеулер
25-мысал: Егер ауыспалы қисықтың ұзындығы L, ал жолдың айналым
радиусы r болатын айналмалы бағыттан өтпелі ... ... ... ... теңдеуін табу керек.
Шешуі: Қисықтың ауыспалы қисығы бірқалыпты 0-ден -ге дейін
өзгереді. Шындығында ... k ... ... s ... қисықтың доғасының басынан М(х,у) нүктесіне дейінгі ... ... ... ... ... ... қисық L –ұзындығында абцисса осінің барлық ... ... және s- ... М ... х ... ... ... соң бұрыштық коэффициенттің М нүктесіндегі жанамасы өте аз,
сондықтан дифференциалдық формадағы қисық
Сонымен s=x деп алайық және
Ауыспалы ... ... ... ... ... ... ... шарттарынан
Осы табылған мәндерді жалпы шешімге қойып, ауыспалы қисықтың теңдеуін
Аламыз.
ІІ. ... ... ... R=5 ... А(5,7) және В(6,6) ... ... ... берілген. Осы қисықтың теңдеуін табу керек.
Шешімі: Қисықтың радиусы
Есептің шарты бойынша R=5 болғандағы дифференциалдық теңдеу
(2.83)
(2.83 ) ... ... ... ... ... және В(6,6) ... ... өтетін қисықтың теңдеуінің қосымша
шарттарынан
(2.84)
Бұл жерде болғанда
болады.
ІІІ. түріндегі теңдеулер
27-мысал: Қисықтың кез-келген нүктесіндені нормалдың ұзындығы осы
нүктедегі қисық R ... тең. (0,1) ... ... осіне
параллель болатын қисықтың теңдеуін тап.
Шешуі: Нормаль ұзындығы .Есептің шарты бойынша ол қисықтың радиусына
тең. Сондықтан ізделінді дифференциалдық теңдеу
немесе
(2.85)
дифференциалдық теңдеудің түріндегі жалпы ... ... (0,1) ... ... ... болса y’=0 нүктесі
(2.86)
Сонымен
X=0, y=1 болғанда
(2.87)
(2.86 ) пен (2.87) теңдеулерден тұрақтыны ... ... шеше ... ... ... ... интегралдауға қойып, ізделінді дифференциалдық
теңдеудің жалпы шешімін табамыз.
2.9 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР
28-мысал: Материялық ... ... ... түзу ... ... тап, егер ... а-ға тең болса.
Шешуі: Нүктенің жүрген жолын S-ті уақыт t-нің функциясы түрінде табу талап
етілген, яғни S=((t) деп. ... ... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеу. а-ға қарағанда
алғашқы функция болады, себебі - дан ... ... а-ға ... болады. Соңғы теңдіктің екі жағынан t бойынша туынды ... ... ... Дәл осы ... S – аt+С1 –ге ... ... себебі S-тен t бойынша ... ... ... ... ... С1 мен С2- кез ... тұрақтылар. Сөйтіп,
іздеп отырған қозғалыс заңын анықтайды.
2.9.1 Гормоникалық тербеліс.
f функциясының ... ... ... f ... ... деп ... және деп ... (оқылуы: эф екі
штрих). Мысалы:
(2.88)
Функцияның сипатын ... ... ... ... ... септігі мол. Бірінші туынды функция өзгерісінің жылдамдығы
болса, ал екінші ... сол ... ... ... ... ... талдай келе, синус пен косинустың екінші
туындыларының сол ... ... ... тек ... ... аңғарамыз. Басқаша айтқанда, бұл функциялардың екеуі ... ... ... ... мына ... қанағаттандырады:
Физикада, атап айтқанда, механикада, мына теңдеуді
(2.89)
қанағаттандыратын f функциялары үлкен роль атқарады, мұндағы – ... ... ... ... бір ... ... ... Айталық, массасы кішкентай ... ... ... бекітілген де, оның ... ұшы ... ... және де шар центрінің х ... ... ... ... ... ... ... Сурет12 Гормоникалық тербеліс
Шар центрін координатасы ... орын ... ... ... қалыпқа қайтаратындай күш пайда болады. Гук заңы бойынша ол күш
орын ауыстыру шамасы х-ке ... яғни ... k – ... ... 12). ... ... заңы ... түзу бағытта
қозғалғандағы үдеу координатаның екінші туындысы ... ... ... ... ... шар ... ... күшінің әсерінен
қозғалысы болғандағы (9) теңдеуге бағынады.
теңдеу (9)-ға ... ... ... физикалық шама гармоникалық тербеліс
жасайтынын көрсетейік. Ал, (9) ... өзін ... ... ... деп ... мен ... ... болғанда да
( 2.90)
функциясы (2.90) теңдеудің шешімі екенін тексерейік. ... ... ... ... ... формуланы пайдаланып, мынаны
табамыз:
Кері ұйғарым орын алады: (2.89) теңдеуінің кез ... ... ... ... ... ... ... былай таңдап алынады:
Мұның дәлелдемесі мектеп ... ... ... ... бастапқы шарттар алдын ала берілсе, онда А ... ... ... ... ... ... құлауы
Енді күрделі бір мысалды қарастырайық. Дене атмосферада құлаған
жағдайда ауаның оған ... ... ... қажет болады.
Эксперимент ... ... ... денеге әсері ететін F күші
мұндағы m- дененің ... ... түсу ... түзу
бойындағы координатасы (Oh осі вертикаль төмен бағытталған), k ... ... ... ... ... шығады.
яғни
мұнда деп белгілеп қозғалыс жылдамдығына қатысы ... ... ... қолайлы:
мұндағы
(2.91)
Бұл теңдеуді өзімізге ... ... ... үшін ... енгіземіз сонда және (2.90) ... мына ... яғни ... бұл ... шешімдері белгілі: . Олай ... ... R ... ... сонымен бірге t ... ... ... кез ... с үшін оның ... ... кемиді). Мұның
мәнісі қозғалыс жылдамдығы тұрақты шамасына жуықтап, бұл болса,
пропорционалдық ... k мен ... m – ге ... ... ... ... (парашют ашылмай қалған) ол жылдамдық шамамен
50 м/с-қа тең, ал парашюттің жерге ... ... (k ... ... ... ... 4-5 ... мысалдардан-ақ функцияларды зерттеу барасында ... ... ... құрал болып табылатынын оңай ... ... да бір ... бағынатын жеңіл-желпі заңдар көбінесе
дифференциалдық ... ... ... ал ... ... ... ... айқандау үшін, ол ... ... тура ... ... математикалық анализ, алгебра ... ... ... ... Дифференциалдық теңдеулер
жаратылыс ғылымдарының физика, механика, химия, биология, техника тағы
басқа ... ... ... ... ... ... математикалық моделі
дифференциалдық теңдеулермен беріледі. Теоретикалық ережелерді негіздеу,
практикалық есептерге қолдану тәріздес ... ... ... теңдеулер арқылы іскe асыруға ... ... ... ... ... механика, информатика т.б. секілді
арнайы пәндермен байланысы ... ... ... ... пәнаралық
байланыс жузеге асады.
Сондықтан дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... дүниетанымын қалыптастырады,
олардың кәделі, кәсіби дайындығының ... ... ... ғылым
жүйесіндегі математиканың орнын анықтауға болысады. ... ... өз ... ... 6ip ... ретінде қалыптасуына
XYIII ғасырдан бастап көптеген ұлы ғалымдар ат салысты. ... ... ... ... ... улес қосқан келесі ұлы
математик, физик ғалымдарды жатқызуға болады. Ньютон, Эйлер, Лагранж, ... ... ... т.с.с.
Дифференциалдық теңдеулер табиғи, жасанды құбылыстардың ... ... ... пайда болды. Алғашында дифференциалдық
теңдеулер теориясы қарапайым теңдеулердің ... табу ... ... ... ... ... бар болуы және жалғыздығы
туралы, шешімнің сапалы қасиеттерін зерттеу ... ... ... ... ... мен құбылыстардың математикалық модельдері
дифференциалдық теңдеулер және ... ... ... ... ... мен шешу ... ... айқын. Математикалық зерттеулер әдісінің жалпы, дербес жағдайда
дифференциалдық теңдеулердің маңызы ерекше. ... ... ... ғана ... қоймай, нақты мәселелерді шешу құралы ретінде
де дифференциалдық теңдеулердің негізін біліп- үйренсе ... ... ... ... да ... әдебиеттер ТІЗІМІ
1. Жәутіков О.А. Дифференциалдық теңдеулердің қолданылуы ... - ... ... 1986.
2.Сулейменов Ж. Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер.
Алматы, КазГУ. 1981.- 45 б
3.Альчинбаева А.Дифференциалдық теңдеулер. Түркістан 2008 .[5-10]б.
4. ... К, ... К. ... ... Түркістан 2010
[11-12]б.
5. Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер курсы. Алматы.:
Рауан,1991, 360 б.
6.Сулейменов Ж.С. ... ... 2-ші ... ... 1996, 256 ... В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1959,
468 б.
7.Филлиппов А.Ф. Сборник задач по ... ... М.: ... 128 б.
8.Бейлин Н. Математика в биологии и медицине. Пер. С ... М., ... К.К. ... ... ... М., Наука, 1974.
10.Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,
1985,448 6.
11.Эльсгольц Л.Э. ... ... и ... исчисление. М.:
Наука,1965
-----------------------
Сурет 1 Шеңбердің жанамасы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 37 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 000 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
Дифференциалдық теңдеулер курсында тірек конспектілерін қолдану, және де дифференциалдық теңдеулерді шешу жолдары36 бет
Дифференциалдық теңдеулер көмегімен физика есептерін шешу және оны компьютерлік модельдеуде пайдалану25 бет
Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқыту28 бет
Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі21 бет
Дифференциалдық теңдеулерді шешу алгоритмін құру және сол теңдеулерді Matlab жүйесінде көрсету15 бет
Дифференциалдық теңдеулерді шешудің Ранге-Кутта әдісі7 бет
Интегро-дифференциалдық теңдеулерді шешудің кейбір әдістері22 бет
Механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеулері28 бет
Сызықты дифференциалдық теңдеулер20 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь