Дифференциалдық теңдеулер
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ МАТЕМАТИКАДА
АЛАР ОРНЫ
1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ МЕКТЕПТЕ
ОҚЫТУДЫҢ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР АРҚЫЛЫ ПӘНАРАЛЫҚ БАЙЛАНЫСТАРЫ
1.4 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАР ... .
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР..
2.1 ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР
2.2АЙНЫМАЛЫСЫ АЖЫРАТЫЛАТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2.1 ДЕНЕЛЕРДІҢ САЛҚЫНДАУЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.2 ДЕНЕЛЕРДІҢ ЖЫЛУЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2.3 ДЕНЕЛЕРДІҢ ІШІНДЕ ТЕМПЕРАТУРАНЫҢ БӨЛІНУІ
СФЕРАЛЫҚ ҚАБЫҚША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.4 ЦИЛИНДРЛІК ҚАБЫҚША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.5 БРУСҚА ТҮСЕТІН КҮШ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2.6 БАРОМЕТРЛІК ФОРМУЛА ЖӘНЕ ТЕРЕҢДІКТЕГІ ҚЫСЫМ ... ...
2.3 КЕЙБІР ХИМИЯЛЫҚ РЕАКЦИЯЛАР ЖӘНЕ ЭКОЛОГИЯ ТЕОРИЯСЫ ЕСЕПТЕРІНЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.3.1 ХИМИЯЛЫҚ РЕАКЦИЯЛАР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3.2 ЭКОЛОГИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.4 БИОЛОГИЯДАҒЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ..
2.5 БІРТЕКТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.6 БІРІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.6.1 МАТЕРИАЛДЫҚ НҮКТЕНІҢ ҚОЗҒАЛЫСЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.7 БЕРНУЛЛИ ТЕҢДЕУІНЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ...
2.8 РЕТІ ТӨМЕНДЕТІЛЕТІН ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.9 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.9.1 ГОРМОНИКАЛЫҚ ТЕРБЕЛІС ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.9.2 ДЕНЕНІҢ АТМОСФЕРАЛЫҚ ОРТАДА ҚҰЛАУЫ ... ... ... ... ... ... ..
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ МАТЕМАТИКАДА
АЛАР ОРНЫ
1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ МЕКТЕПТЕ
ОҚЫТУДЫҢ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР АРҚЫЛЫ ПӘНАРАЛЫҚ БАЙЛАНЫСТАРЫ
1.4 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАР ... .
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР..
2.1 ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР
2.2АЙНЫМАЛЫСЫ АЖЫРАТЫЛАТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2.1 ДЕНЕЛЕРДІҢ САЛҚЫНДАУЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.2 ДЕНЕЛЕРДІҢ ЖЫЛУЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2.3 ДЕНЕЛЕРДІҢ ІШІНДЕ ТЕМПЕРАТУРАНЫҢ БӨЛІНУІ
СФЕРАЛЫҚ ҚАБЫҚША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.4 ЦИЛИНДРЛІК ҚАБЫҚША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.5 БРУСҚА ТҮСЕТІН КҮШ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2.6 БАРОМЕТРЛІК ФОРМУЛА ЖӘНЕ ТЕРЕҢДІКТЕГІ ҚЫСЫМ ... ...
2.3 КЕЙБІР ХИМИЯЛЫҚ РЕАКЦИЯЛАР ЖӘНЕ ЭКОЛОГИЯ ТЕОРИЯСЫ ЕСЕПТЕРІНЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.3.1 ХИМИЯЛЫҚ РЕАКЦИЯЛАР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3.2 ЭКОЛОГИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.4 БИОЛОГИЯДАҒЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ..
2.5 БІРТЕКТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.6 БІРІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.6.1 МАТЕРИАЛДЫҚ НҮКТЕНІҢ ҚОЗҒАЛЫСЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.7 БЕРНУЛЛИ ТЕҢДЕУІНЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ...
2.8 РЕТІ ТӨМЕНДЕТІЛЕТІН ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.9 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.9.1 ГОРМОНИКАЛЫҚ ТЕРБЕЛІС ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.9.2 ДЕНЕНІҢ АТМОСФЕРАЛЫҚ ОРТАДА ҚҰЛАУЫ ... ... ... ... ... ... ..
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Қазіргі кездегі мектеп бағдарламасында дифференциал теңдеулер туралы мағлұматтар беріледі. Атап айтқанда, дифференциал теңдеулер деген не, оның шешімі және олардың математикалық, физикалық және техникалық есептерді шығаруға қолданылуы т.б.
Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына байланысты мектеп бағдарламасына енгізілген дифференциалдық теңдеулер теориясы ғылымының әртүрлі облыстарында кеңінен қолданылады.
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу теңіз деңгейінен биіктігіне байланысты атмосфералық қысымның өзгеру процессін де, радийдің түсу процесін де, тұрғындар, санының өзгеру процессін де, суыту процесін де және т.б. сипаттайды.
Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына байланысты мектеп бағдарламасына енгізілген дифференциалдық теңдеулер теориясы ғылымының әртүрлі облыстарында кеңінен қолданылады.
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу теңіз деңгейінен биіктігіне байланысты атмосфералық қысымның өзгеру процессін де, радийдің түсу процесін де, тұрғындар, санының өзгеру процессін де, суыту процесін де және т.б. сипаттайды.
1. Жәутіков О.А. Дифференциалдық теңдеулердің қолданылуы туралы
әңгіме. - Алматы: Ғылым, 1986.
2.Сулейменов Ж. Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер.
Алматы, КазГУ. 1981.- 45 б
3.Альчинбаева А.Дифференциалдық теңдеулер. Түркістан 2008 .[5-10]б.
4. Көлекеев К, Назарова К. Дифференциалдық теңдеулер. Түркістан 2010
[11-12]б.
5. Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер курсы. Алматы.:
Рауан,1991, 360 б.
6.Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. 2-ші этап. Алматы.: Білім, 1996, 256 б.
6.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1959,
468 б.
7.Филлиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1984, 128 б.
8.Бейлин Н. Математика в биологии и медицине. Пер. С англ. М., Мир, 1970.
9.Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. М., Наука, 1974.
10.Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985,448 6.
11.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука,1965
әңгіме. - Алматы: Ғылым, 1986.
2.Сулейменов Ж. Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер.
Алматы, КазГУ. 1981.- 45 б
3.Альчинбаева А.Дифференциалдық теңдеулер. Түркістан 2008 .[5-10]б.
4. Көлекеев К, Назарова К. Дифференциалдық теңдеулер. Түркістан 2010
[11-12]б.
5. Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер курсы. Алматы.:
Рауан,1991, 360 б.
6.Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. 2-ші этап. Алматы.: Білім, 1996, 256 б.
6.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1959,
468 б.
7.Филлиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1984, 128 б.
8.Бейлин Н. Математика в биологии и медицине. Пер. С англ. М., Мир, 1970.
9.Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. М., Наука, 1974.
10.Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985,448 6.
11.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука,1965
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 54 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 54 бет
Таңдаулыға:
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ
ТҮСІНІКТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
1.1. Дифференциалдық теңдеулердің математикада
алар орны
1.2. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте
оқытудың
ерекшеліктері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
...
1.3 Дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстары
1.4 Дифференциалдық теңдеу туралы негізгі ұғымдар ... .
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР..
2.1 Жай дифференциалдық теңдеуге келтірілетін есептер
2.2АЙНЫМАЛЫСЫ АЖЫРАТЫЛАТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН
ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.1 Денелердің
салқындауы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2.2 Денелердің
жылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
..
2.2.3 Денелердің ішінде температураның бөлінуі
Сфералық
қабықша ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ...
2.2.4 Цилиндрлік
қабықша ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.5 БРУСҚА ТҮСЕТІН
КҮШ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.6 Барометрлік формула және тереңдіктегі қысым ... ...
2.3 Кейбір химиялық реакциялар және экология теориясы есептеріне
келтірілетін дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3.1 Химиялық реакциялар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3.2 Экологиялық есептерге келтірілетін дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.4 Биологиядағы дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ..
2.5 Біртекті дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.6 БІРІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.6.1 Материалдық нүктенің қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.7 БЕРНУЛЛИ теңдеуіне келтірілетін есептер ... ... ... ... ... ... ...
2.8 РЕТІ ТӨМЕНДЕТІЛЕТІН ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ
ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.9 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН
ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ...
2.9.1 Гормоникалық
тербеліс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.9.2 Дененің атмосфералық ортада құлауы ... ... ... ... ... ... ..
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Кіріспе
Қазіргі кездегі мектеп бағдарламасында дифференциал теңдеулер
туралы мағлұматтар беріледі. Атап айтқанда, дифференциал теңдеулер
деген не, оның шешімі және олардың математикалық, физикалық және
техникалық есептерді шығаруға қолданылуы т.б.
Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына байланысты мектеп
бағдарламасына енгізілген дифференциалдық теңдеулер теориясы
ғылымының әртүрлі облыстарында кеңінен қолданылады.
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу теңіз
деңгейінен биіктігіне байланысты атмосфералық қысымның өзгеру
процессін де, радийдің түсу процесін де, тұрғындар, санының өзгеру
процессін де, суыту процесін де және т.б. сипаттайды.
Сызықты диффренциалдық теңдеулердің қолданылуын
илюстрациялайтын әртүрлі мысалдар жиынын радиоқұрылғылар береді. Бұл
жағдайда құрылғының түрлі бөлшектері арқылы өтетін токтар шамасы
немесе құрылғының жеке түйіндері арасындағы кернеулердің түсуі
уақыттың белгісіз функциясы болып табылады. Бұндай теңдеулерді шешуге
тригонометриялық (немесе гармоникалық) тербелістер тән. Есептерді
шығаруда табылған жалпы шешімдер қарапайым, сапалы талдау
жүргізуге, модельдің орнықты шешімдері мен құрылғының жұмысындағы
орнатылған тәртіптің нақты сипаты арасында сәйкестік орнатуға
болады.
Параметрлі теңдеулердің шешімін өзара әрекеттесуші биологиялық
популяциялардың даму динамикасын сипаттайтын модульдермен
иллюстрациялауға болады ( мысалы, Вольтер-Лотка моделі).
Зерттеудің көкейтестілігі.Дифференциалдық теңдеулерді оқу қиял
ойдың дамуына нәр береді, оқушыларға дифференциалдық теңдеулердің
абстрактілігі табиғат құбылыстарын математикалық модельдер көмегімен
оқып білудің құралы болып табылады. [1]
Дифференциалдық теңдеулер болашақ студенттің фундаметальды
дайындығында, атап айтқанда оқушының ғылыми дүниетанымын,
математикалық мәдениетінің белгілі бір дәрежесін қалыптастыруда
үлкен роль атқарады.
Дифференциалдық теңдеулер мен олардың әдістерін оқып үйрену
біз өмір сүретін әлемді тану үшін тағы бір құралды береді,
яғни нақты физикалық кеңістік туралы бейнелік және ғылыми түсінікті
қалыптастыруға мүмкіндік береді.
Осылайша, біздің тақырыптың өзектілігі келесілермен
түсіндіріледі:
- математикалық талдау және дифференциалдық теңдеулер негізінен
болашақ студенттердің математикалық біліміне үлкен үлес қосады.
- дифференциалдық теңдеулер мектептің математика курсында оқытудың
әдістемесіне арналған зерттеулердің кемдігі.
Зерттеудің мақсаты:Бұл жұмыстың негізгі мақсаты – осы пән туралы
мағлұмат беру және қарапайым теңдеулерді шығару жолдарын көрсету.
Мектеп курсында дифференциал теңдеулерге сағат аз болғандықтан
біз мұнда негізгі анықтамалар мен ұғымдарды беріп, соларға
көптеп мысалдар келтірумен шектелеміз.
Дифференциалдық теңдеудің көмегімен жаратылыстану ғылымдарындағы ең
негізгі проблеманың бірі - өзімізді қоршап тұрған табиғат құбылыстарының
кейбір жасырын сырының қалай ашылғаның, оның өмірде қалай пайдаланатынын
көрсетуге болады.
Соның бір мысалы дифференциалдық теңдеуді популяция (мекендес өсіп -
өну) санының қарапайым моделі ретінде көрсету жатады. Популяция саны
қоршаған ортаны қорғаудың, яғни биоэкологияның ең маңызды мәселесі болып
табылады. Популяцияның математикалық моделін қүру биологиялық түрдің сан
жағынан өсуінің жылдамдығын анықтайтын есеп ретінде қарастырылады. Осындай
математикалық моделдер көптеген физикалық, химиялық, биологиялық т.б.
процесстерді айқындауға мүмкіндік береді. Дифференциалдық теңдеулер курсын
білген оқушы дүниенің біртұтас екендігіне көзін жеткізеді және де
оқушылардың алдыңғы ең бір маңызды қадамды, өз мамандығын тандауға ықпалын
тигізеді, өйткені дифференциалдық теңдеулердің пәнаралық байланысы өте
зор.[2]
Дипломдық жұмыстың құрылымы:Бұл дипломдық жұмыс кіріспе, екі тарау,
қорытынды және пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Бірінші бөлімде дифференциалдық теңдеудің теориялық негіздері,олардың
басқа пәндермен байланыстары жайлы баяндалса, екінші бөлімде
дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін физикалық, химиялық, биологиялық
есептердің шешу әдістері қарастырылды.
1 Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың теориялық негіздері
1.1 Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар орны
Дифференциалдық теңдеу негізгі математикалық ұғымдардың бірі болып
табылады. Дифференциалдық теңдеу - бұл туындыларды (немесе
дифференциалдары) қандайда бір алдынала берілген шарттарды
қанағаттандыратын теңдеу. Қандайда бір нақты құбылыс пен процессті
зерттеудің нәтижесінде алынған дифференциалдық теңдеу дифференциалдық
модель деп аталады.
Дифференциалдық модельдер - бірі бізді қоршаған әлемді оқып
үйренуде құрылуы мүмкін математикалық модельдер жиынының дербес
жағдайы екені түсінікті. Сонымен қатар, дифференциалдық модельдердің
өздерінің де түрлі типтері бар екенін атап өту қажет. Біз бұл
жұмыста тек қарапайым дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын
модельдерді ғана қарастырамыз, оларға тән ерекшеліктердің бірі бұл
теңдеулердегі белгісіз функциялар тек бір ғана айнымалыға тәуелді
болады.
Қарапайым дефференциалдық модельдерді құру процесінде зерттеліп
жатқан есептің табиғатына қатысты ғылым заңдарын білу маңызды және
алдыңғы мәнге ие. Мысалға, механикада бұл Ньютонның заңдары, ал
электрлік тізбектік теориясында – Кирхгоф заңдары, химиялық
реакциялардың жылдамдығы теориясында - салмақтың әсер ету заңы және
т.б.
Әрине іс жүзінде дифференциалдық теңдеулерді құруға мүмкіндік
беретін белгісіз заңдарды да кездестіруге болады, сондықтан
параметрлердің - айнымалылардың аз өзгерісінде процесстің жүруіне
қатысты әртүрлі жорамалдарға ( гипотезаларға) сүйену қажет. Онда
дифференциалдық теңдеулерге шектік ауысу келтіреді. Мұнда, егер
математикалық модель ретінде алынған дифференциалдық теңдеуді зерттеу
нәтижесі тәжірибелік берілгендермен сәйкес келсе, онда тұжырымдалған
гипотеза заттардың шынайы күйін дұрыс көрсететінін білдіреді.
Кейбір жағдайларда ғана дифференциалдық теңдеулерді тұйық форма
деп аталатын түрде шығаруға, яғни элементар функциялармен қарапайым
операциялардың шектеулі санын пайдаланатын шешімді аналитикалық
формула түрінде көрсетуге болады. әрине, бұл дифференциалдық
теңдеулердің шешімі бар екені белгілі болған кезде. Басқаша айтқанда,
дифференциалдық теңдеулердің шешімдері өздерінің көптүрлілігімен
мынадай, олардың саны шектеулі аналитикалық операциялармен тұйық
формада көрсету үшін жеткіліксіз. Бұл жағдай алгебралық теңдеулер
теориясындағыға ұқсас: бірінші және екінші дәрежелі алгебралық
теңдеулер жағдайында олардың шешімдері радикалдарда оңай алынуы
мүмкін; егер үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулерге келсек, онда
радикалдардағы шешімдер алынуы мүмкін, бірақ формалар едәуір қиын
болады; ал дәрежесі төрттен жоғары жалпы түрдегі алгабралық
теңдеулерді қарастырсақ, онда бұндай теңдеулердің радикалдардағы
шешімдерді, жалпы айтқанда, алынуы мүмкін емес.
Дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін көрсету үшін қандай да
бір түрдегі шексіз қатарларды пайдалансақ, онда тұйық формалардағыға
қарағанда едеуір көп теңдеуді шешуге тура келеді. Бірақ, шешімнің
орынды және тиімді қасиеттерін, алынған қатар түрінен анықтау еш мүмкін
емес. Сонымен қатар, тіпті дифференциалдық теңдеуді тұйық формада
шығара алсақ та, мұндай шешімді талдау мүмкін емес, немесе әр түрлі
параметрлер арасындағы тәуелділік өте қиын болып шығады.
Осылайша, дифференциалдық теңдеулердің өзін шығармай-ақ
шешімдердің қайсыбір қасиеттері туралы қажетті мағлұматтар алуға
мүмкіндік беретін әдістер мен тәсілдердің қажеттілігі анық болып
отырады. Мысалыға, бұндай әдістер мен тәсілдер бар және олар
дифференциалдық теңдеулердің сапалық теориясының мазмұнын құрайды,
олардың негізінде шешімдердің бар болуы мен жалғыз болуы, шешімнің
бастапқы берілгендер мен параметрлерге үзіліссіз тәуелділігі туралы
жалпы теориялар жатыр.
Қарапайым дифференциалдық теңдеудің сапалық теориясы
А.Пуанкаре мен А.М.Ляпуновтың (ХІХ-шы ғасырдың соңы) жұмыстарынан
бастап дамып келеді және оның әдістері бізді қоршаған ортаны тану
процессінде кең қолданылады.
1.2 Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың ерекшеліктері
Мектептегі математика курсының негізгі мақсаттарының бірі
оқушыларды ғылыми дүниетанымға тәрбиелеу деп есептелінеді. Жоғарыда
аталған мақсатты жүзеге асыру мағынасында дифференциалдық теңдеулер
тақырабы тиімді.
Қазіргі заманда, жалпы мойындаған жағдай математиканы оқытудың кез
келген сатысында (мектепте, лицейде, колледжде, ЖОО-да және т.б.)
әрдайым методология, философия, тарих, яғни оқытудың методологиялық
аспекті деп аталатындарды құрайтындармен байланыстыру қажет. Бұл
аспект дербес шығуы мен дамуы, математиканың тарихи даму процесінде
оқушының ойында әрқашан нақтыланып және кеңейіп отыратын оның
зерттеу пәнінің анықтамасы, математиканың нақты өмірмен, адамдардың
қоғамдық іс-әрекетімен байланысы, іс-тәжірибенің математикадағы ролі
және ең соңында қазіргі заманғы ғылыми білімнің математизациялану
мағынасының ашылуымен байланысты мәселелерді әрдайым талқылау
қажеттілігі енеді.
Оқушыларды рухани дамыта отырып, олардың әлемге деген іс-
тәжірибелік көзқарастың негізі ретінде ғылыми дүниетанымды қалыптастыру
қажет. Олар математиканың жалпы ұғымдарының нақты әлемнің белгілі
бір бейнелерін көре білуі, математикаға редукцияланған философияның
негізгі сұрағына дұрыс жауап бере алуы керек.
Математикалық – жаратылыс ғылымдарының матедологиясының
дифференциалдық теңдеулермен тұтас байланысын, дифференциалдық
теңдеулердің методологиялық бағытын көрсететін дифференциалдық
теңдеулер теориясының даму тарихын қарастырамыз. Негізінен
дифференциалдық теңдеулер теориясына Россия, Қазақстан және басқа ТМД
елдерінің ғалымдарының үлесі үлкен.
Оқушылардың ғылыми дүниетанымын және жалпы мәдениетін
қалыптастыруға осы пәнді оқытудың қолданбалы бағыты, оны дұрыс
ұйымдастырғанда, яғни оқытудың жалпы принциптерін - оқытудың өмірмен,
теорияның практикамен байланысы принциптерінің бірін орындағандағы
ұйымдастыруда, орынды үлес қосады.
Оқыту процессінде қолданбалы мәселелерді пайдалану тек қана
ғылымның негіздерін түсінуге емес, ғылыми танымның тәсілдерін
меңгеругеде әсер етеді.
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағытынан оқушы нақты
процесті математикалық модельдермен байланыстыру тәжірибесін алады.
Нақты процесстің математикалық моделі деп, әдетте, бұл процес
математика тілінде жуықтап сипатталуын түсінеміз.
Математикалық модельдеу өнері нақты есепті математикалық тілге
аудара білуден тұрады.
Матетикалық модельдеу өзінің қарапайымдылығымен процесті жақсы
түсінуге көмектесді, процестің қалпының сапалық және сандық сипатын
орнатуға мүмкіндік береді.
Әр түрлі есептерде нақты процестердің математикалық моделі
көбіне дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі.
Бұл есептердің сипаты мен шығару әдістемесін схемалық түрде
сипаттауға болады. Қандай да бір процесс жүріп жатыр делік, мысалы,
физикалық, химиялық, биологиялық. Бізді бұл процестің белгілі бір
функционалдық сипаттамасы, мысалы, уақытқа қатысты температураның
немесе қысымның, массаның, кеңістіктегі қалпының өзгеру заңдылығы
қызықтырады. Егер бұл процестің жүруі туралы толық ақпарат бар болса,
онда оның математикалық моделін құруға әрекет жасауға болады. Көп
жағдайларда бұндай модель дифференциалдық сипаттамасы болып табылады.
Дифференциалдық теңдеу, процестің эволюциясын материалдық жүйемен
болып жатқан өзгерістер сипатын, бұл
жүйе өзгерістерінің бастапқы күйін байланыстыратын нұсқауларды
сипаттайды.
Кез келген процесті оқып үйрену оның жеке моменттерін анықтау
мен оның ағымының жалпы заңын орнатуға келіп тіреледі.
Процестен (қарапайым процестің) жеке моменттегі процестің айнымалы
шамаларын олардың дифференциалдарды және туындыларымен байланыстыратын
дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі. Интегралдаудан кейін алынатын
құбылыстың жалпы орындалу заңдылығы процестің айнымалы шамаларын
байланыстыратын теңдеумен өрнектеледі.
Дифференциалдық теңдеулерді құрудың қатаң тәртібі жоқ. Көптеген
жағдайларда қарапайым дифференциалдық теңдеулерді қолданумен байланысты
қолданбалы есептерді шығарудың әдістемесі келесіге келтіріледі:
1) есептің шартын талдап, оның мәнін айқындайтын сызбаны салу;
2) қарастырылып отырған процестің дифференциалдық теңдеуін құру;
3) осы теңдеуді интегралдап, оның жалпы шешімін анықтау;
4) берілген бастапқы шарттардың негізінде есептің дербес шешімін анықтау;
5) қажет болған жағдайда көмекші параметрлерді (мысалы, пропорционалдық
коэффициентін және т.б.) анықтау, бұл мақсат үшін есептің қосымша
шарттары пайдаланылады;
6) қарастырылып отырған процестің жалпы заңын тұжырымдау және
ізделінді шамалардың сандық мәнін анықтау;
7) жауапты талдау және есептің бастапқы қалпын тексеру.
Модельдеу икемділігі танымдылық іс-әрекеттің ажыратылмас бөлігі
болып табылады. Модельдеудің психологиялық аспектісі, адам санасында
сыртқы әлемді оның көптүрлілігі мен ішкі және сыртқы байланыстарның
толықтығында емес, тұрпайыланған жуық түрде бейнелеуден тұрады.
Біз нақты құбылыс туралы сезіну мен түсіну арқылы алатын толық
емес ақпарат біздің санамызда толық емес түрде елестетулер мен
бейнелер жүйесі ретінде қалыптасатындар негізінде құбылыстың модельдері
болып табылады. Сондықтан, біздің қоршаған әлем туралы түсінігіміз
принципиалды модельды сипатқа ие.
Соңғы жылдары психикалық іс әрекеттің жемісі ретінде модельдің
мәні сезілуде. Сонымен қатар модель мидың құбылысы ретінде әр түрлі
аспектілірде қарастырады. Бірқатар ғалымдар модельді адамның қоршаған
ортамен қатынасындағы психикалық іс-әрекетінің негізгі жемісі ретінде
қарастырылады. Кейбір зерттеушілер оқытудағы модельдеуге үлкен роль
бөлетіні соншалық оны жеке принципке бөледі. Мысалы, В.В. Давыдов
традициялық дидактикалық көрнектілік принципінің шектеулілігін, оны
модельдеу принципімен алмастыруды ұсынады.
Л.М. Фридман, В.В. Давыдовтың орта мектепте математиканы оқытудағы
модельдің тәсіл идеясын дамытып, былай деп жазады:
... математиканы оқытудағы модельдеу принципі, біріншіден, мектеп
курсындағы математика мазмұнын модельдік көзқараспен меңгеруді, екіншіден,
оқушыларда әртүрлі құбылыстар мен жағдайларды математикалық модельдеу
біліктілігі мен икемділігін қалыптастыруды, үшіншіден, ішкі ойды,
ойлаудың ғылыми-теориялық стилін дамыту үшін сыртқы тірек ретінде
соларды кеңінен қолдануды білдіреді.
Бұдан оқушыларды нақты процестерді құру әдістемесімен оқыту
математика курсының және ең алдымен дифференциалдық теңдеулердің
негізгі шарттарының бірі.
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағыты арқылы біз оқыту
процесіндегі шынайы пән аралық байланысты орнатамыз.
Жалпы математиканы оқыту әдістемесінің түрлері бағыттарында:
оқыту процесін жақсарту, оқу пәндеріне қызығу бағытында жүргізіледі.
Мазмұны жақын пәндердің өзара байланысы, тек оқушылардың білімдерінің
сапасын арттырып қана қоймай, алынған білімдерді іс-тәжірибеде пайдалану
дайындығына ықпал етеді, оқушылардың ғылыми дүниетанымын дамытады.
Соңғы жылдары зерттеушілердің пәнаралық байланысты орнатуға
қызығушылықтары да арта түсті. Біз пән аралық байланысты мәселені
тұжырымдау сандары да арта түсті. Біз пән аралық байланысты
жүйеліліктің көрінуі, табиғи құбылыстардың объективті өзара
байланысының бейнесі ретінде қарастыруды дұрыс көрдік.
Пәнаралық байланыстар, оқытудың барлық қызметтерінің, атап
айтқанда, білімділіктің, дамытушылық және тәрбиелік мәнінің
орындалуына ықпал етеді. Бұл қызметтері өзара байланыста орындалады
және бір бірін толықтырады.
Жоғарыда айтылғандардың бәрін жалпылап, дифференциалдық
теңдеулердің гуманитарлық құраушысының негізгі бағыттарын тұжырымдауға
тырысып көрейік.
Ең алдымен, бұл дифференциалдық теңдеулердің оқушыға қоршаған
орта туралы дұрыс түсінікті қалыптастырудағы мүмкіндік беретін
дүниетанымдылық, метадологиялық аспекті. Белгілі шамада бұған
тақырыптың тарихи-математикалық, бөлігі ықпал етеді.
Әрі қарай, дифференциалдық теңдеудің математикалық модельдеу
әдісімен және пәнаралық байланысты орнату мәселесімен тікелей
байланысты аспектілерді ерекшелеу керек.
Ең соңында, дифференциалдық теңдеулер - бұл табиғат сөйлейтін тіл.
Математика курсының тілдік аспектісі соңғы кезде математиканы оқыту
әдістемесі облысындағы зерттеушілерді күннен күнге қызықтырып отыр.
Математикалық тілді меңгеру, қазіргі заманда, адамның жалпы
мәдениетін құрайтыны туралы ой соңғы жылдары тіпті жоққа шығарылмайды.
Болашақ студенттер бұл ойды түсінуі үшін дифференциалдық
теңдеулердің алатын орнын белгілеулері керек.
1.3 Дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстары
Ғылымның дамып келе жатқан салаларының бірі – дифференциалдық теңдеу
теориясын толығынан түсінуге, игеруге қажетті білімділік пен машықтықты
бойға дарытатын тиянықты ілгері білімдер көлемін анықтау және ғылым мен
техниканың дамуына сай дифференциалдық теңдеулер теориясының өрбуінің
бағыттаушы идеялары мен тенденцияларын анықтау қажет болады.
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту мазмұны мектептерде математиканы
оқытуда қосымша, дарынды оқушыларымен жүмыс ретінде қарастыруға болады.
Дифференциалдық теңдеулер теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық
ойлауды, шығармашылық қабілетті жетілдіруді керек етеді және соған
жетелейді. Жетілдіре оқытудың маңызды құрамының бірі ретінде оқушылардың
танымдық, шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру саналады. Сонымен қатар
игерілетін материалдың математикалық қабілетін қарқынды дамытатын, оларға
терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың да маңызы айырықша.
Дифференциалдық теңдеулердің табиғи және өміршең есептерді шығаруда
пайдаланатын ғажайып мүмкіндіктері оның сырттай қарағанда салқын, қызықсыз
ғылым сияқты көрінетіндігін жеңеді. Ол оқушылардың математикаға деген
ынтасын арттылып, қызығуға, ізденіске, біліммен сусындауға жетелейді.
Сондықтан оқушыларды қызықтыра оқытып, оларды қолдай отыра, өз бетінше
білім жинақтауға құштар ету оқыту үрдісінің барлық кезеңін жандандыруға
әкеліп соғады.[3]
Дифференциалдық теңдеулерге келтіретін есептерді шығару үшін оның
теориясы мен әдістерін, көршілес пәндердің негізгі заңының, теориялық
пайымдауларын қисынды - теориялық және практикалық бағытта түсіне
отырып пайдалану керек.
Дүниетанымдық көзқарасты қалыптастыруда дифференциалдық теңдеулер
теориясының маңызы зор. Себебі оның ұғымдарын, формулаларын, әдістерін,
алгоритмдерін механиктер, биологтар, экономистер және басқа да ғылым
саласының мамандары жиі қолданылады. Сондықтан дифференциялдық теңдеулер
пәні теориялық маңыздылығымен бірге қолданбалы математика саласына да
жатады жэне ол жаратылыстану ғылымы мен техниканың көптеген мәселелерін
зерттейді. Сол себептен мектептегі дарынды оқушылардың білімінің деңгейін
кеңейту мақсатында дифференциалдық теңдеулерді математикадан факультатив
сабақтарында қолдануға болады. Өйткені механиканың, астрономияның,
физиканың, химияның, биологияның, космостық зерттеудің көптеген мәселелері
дифференцалдық теңдеу қүрып, оның шешімдерін табуға тіреледі.
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде, инженер - техникалық, химия
-биологиялық, ақпараттық есептеу, физика және де басқа саладағы есептерді
шығару барысында орнығатын біліктілік пен әрекет тәсілдері негізінде
пәнаралық жаңа байланыстар қалыптасады. Ол есептердің шарттарын жүйелі
түсіну, алға қойған мақсатты анықтап, оны жүзеге асыру үшін жоспар қүру,
жоспарды орындау үшін әдістер тану, шешу барысын кезендерге бөліп жүргізу,
алған нәтижені зерттеп — сұрыптау, есептің жауабын тауып дәл тұжырым жасау
үрдісі әртүрлі пәндерге сай өз өзгешіліктері болғанымен, ортақ қисынға,
заңдылыққа бағынады. Ол заңдылықты пайдалану пәнаралық қатынасты жандандыра
түседі.[2]
Дифференциалдық теңдеулер курсы оқушылардың белгілі бір математикалық
мәдениетін қалыптастырады және олардың ғылыми, әсіресе математиканың
практикалық және қолданбалы бағыттарын түсінуінің маңызы зор.
Дифференциалдық теңдеудің көмегімен жаратылыстану ғылымдарындағы ең
негізгі проблеманың бірі - өзімізді қоршап түрған табиғат құбылыстарының
кейбір жасырын сырының қалай ашылғанын, оның өмірде қалай пайдаланатынын
көрсетуге болады.
Соның бір мысалы дифференциалдық теңдеуді популяция (мекендес өсіп -
өну) санының қарапайым моделі ретінде көрсету жатады. Популяция саны
қоршаған ортаны қорғаудың, яғни биоэкологияның ең маңызды мәселесі болып
табылады. Популяцияның математикалық моделін қүру биологиялық түрдің сан
жағынан өсуінің жылдамдығын анықтайтын есеп ретінде қарастырылады. Осындай
математикалық модельдер көптеген физикалық, химиялық, биологиялық т.б.
процесстерді айқындауға мүмкіндік береді. Дифференциалдық теңдеулер курсын
білген оқушы дүниенің біртұтас екендігіне көзін жеткізеді және де
оқушылардың алдыңғы ең бір маңызды қадамды, өз мамандығын тандауға ықпалын
тигізеді, өйткені дифференциалдық теңдеулердің пәнаралық байланысы өте зор.
Дифференциалдық теңдеулердің басқа пәндермен байланысы жоғарыда атап
өтілген байланыс түрлерін сұрыптай сипаттауға, әрқайсысының ішкі мазмұның,
мәнін ашып, оларды жүзеге асырудың обьективтік заңдылықтарын тиімді
пайдалануға, сол арқылы оқушылардың дүниетанымдық көзқарасын кеңейтіп,
білімін терендетуге ықпалын тигізеді. Демек, дифференциалдық теңдеулердің
пәнаралық байланысы тек білім, біліктілік, машықтық деңгейін көтеретін
ұтымды дидактикалық құрал, шарт қана емес, оқыту барысында оқушыларды
тәрбиелеу жұмысы тәсілдерінің де жалпы педагогикалық кешендік құралы болып
табылады.
1.4 Дифференциалдық теңдеу туралы негізгі ұғымдар
Анықтама. Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалы х-ті, белгісіз
(ізделетін) функция у-ті және оның у(,у((,...,у(п) туындыларын
байланыстыратын теңдеуді айтады.
Мұндай дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
F(x,y,у(,у((,...,у(п)
)=0
немесе
Егер белгісіз (ізделетін) функция у тек қана бір аргументке тәуелді
болса, онда дифференциалдық теңдеу жай дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Ал, егер белгісіз (ізделетін) функция у бірнеше аргументке тәуелді болса,
онда дифференциалдық теңдеу дербес туындыдағы дифференциалдық теңдеу деп
аталады. Олай болса жоғарыдағы дифференциалдық теңдеу жай дифференциалдық
теңдеу болып табылады, себебі ондағы ізделетін функция у тек жалғыз
аргумент х-ке тәуелді.
Анықтама. Дифференциалдық теңдеудің реті деп берілген теңдеудегі
ізделетін функцияның туындысының ең жоғарғы ретін айтады.
Мысалы:
1. ху(-y=sin x теңдеуі бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеу,
себебі туындының реті бірге тең.
2. у((-у(+х=0 теңдеуі екінші ретті дифференциалдық теңдеу
3. уIV+2y((=x төртінші ретті дифференциалдық теңдеу болып табылады.
Олай болса мына F( x, y, у(, у((, ..., у(п)) = 0 теңдеу n - ші ретті
дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Анықтама: Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп берілген теңдеудегі
орнына апарып қойғанда оны теңбе-теңдікке айналдыратын кез келген
функцияны айтады.
Басқаша айтқанда, егер
болса, онда функциясы дифференциалдық теңдеуінің
шешімі деп аталады.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
(1.1)
Анықтама. Егер бірінші ретті дифференциалдық теңдеу туындысына
қатысты шешілген болсы, онда (1.1) туындысына қатысты шешілген
дифференциалдық теңдеу деп аталады және былай жазылады:
.
(1.2)
(1.2) дифференциалдық теңдеудің мынадай бастапқы шартын
(1.3)
немесе
(1.3()
қанағаттандыратын y=у(x) шешімін табу Коши есебі деп аталады.
(1.2) – дифференциалдық теңдеу үшін мына теорема орынды. Бұл теорема
шешімнің бар болуы мен жалғыз болуы туралы деп аталады.
Теорема. Айталық, (1.2) – дифференциалдық теңдеу және (1.3) бастапқы
шарт берілсін. Егер (х0,у0) нүктесінің кейбір маңайында дербес туындысы
шектелген болса, онда [x0 – h , x0 + h] кесіндісі табылып, ол
кесіндіде жалғыз ғана үздіксіз у=y(x) функциясы бар болып, ол функция (1.2)
теңдеуді және (1.3) шартты қанағаттандырады.
(1.2) теңдеудің кез келген y = ((x) шешімінің графигін, осы теңдеудің
интегралдық сызығы деп атайды. Шешім графигінің ордината осіне проекциясы
дифференциалдық теңдеудің фазалық сызығы (немесе траекториясы) деп
аталады.[3]
Диференциалдық теңдеудің шешімін табу процесін оны интегралдау деп
аталады. Мұны интегралдау ұғымымен шатастырмас үшін көбінесе соңғысын
квадратуралау деп атайды. Осыған орай, дифференциалдық теңдеуді интеграл
алу операциясына алып келуді оны квадратурада шешу деп аталады.
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР
2.1 Жай дифференциалдық теңдеуге келтірілетін есептер
Табиғаттағы көптеген құбылыстардың өзгеру заңдылығын бірден таба
алмайтын жағдайлар жиі кездеседі. Бірақ бұл құбылыстарды дифференциалдық
теңдеулер арқылы өрнектеуге болады. Егер осы дифференциалдық теңдеулерді
шешсек, онда әлгі құбылыстардың өзгеру заңдылығын тапқан боламыз.
Дифференциалдық теңдеулерге келетін бірнеше есептерді қарастыралық.
1-мысал: хОу жазықтығында сондай қисықты тап, ол қисықтың әрбір
нүктесіндегі жанамасы Ох осінің оң бағытымен сондай бұрыш жасайды, ол
бұрыштың тангенсі жанасу нүктесінің екі еселенген абциссасына тең.
Шешуі: Айталық, іздеп отырған қисықтың теңдеуі у=((х) болсын. әр бір
М(х,((х)) нүктесінде жанамасы бар және ол жанамасының бұрыштық коэффициенті
(((х) – ке тең, яғни (((х)=2 (есептің шарты бойынша). Сөйтіп,
есептің шарты бойынша мынадай теңдеуді жазуға болады. Бұл бірінші ретті
дифференциалдық теңдеу. Бұл теңдеуді мына функция у=х2 қанағаттандырады.
Ол үшін бұл функцияны берілген теңдеуге апарып қойсақ болғаны. Бірақ
бұл теңдеуді мына функция y=x2+C, мұндағы C- кез келген тұрақты, да
қанағаттандырады. Бұл соңғы функция берілген дифференциалдық теңдеудің
жалпы шешімі болып табылады.
2-мысал: хOу жазықтығында сондай қисықтарды тап, ол қисықтардың
жанамасы мен Oх осінің оң бағыты арасындағы бұрышының тангенсі жанасу
нүктесінің абциссасына кері пропорционал.
Шешуі: Іздеп отырған қисықтардың теңдеуі y=((х) болсын. Есептің шарты
бойынша у(= теңдеуін жазуға болады. Мына функция y=k ln(x(+C берілген
дифференциалдық теңдеуінің шешімі болады. [3]
3-мысал: Массасы m-тең дене кейбір биіктіктен тасталған. Бұл дененің
түсу жылдамдығы қандай заң бойынша өзгеретінін анықтау талап етілген. Бұл
денеге тарту күшінен басқа тағы да ауаның кедергі күші әсер етеді. Кедергі
күші жылдамдыққа пропорционал, яғни пропорционалдық коэффициенті k- ға тең.
Сөйтіп, v=((t) екендігін табу талап етіледі.
Шешуі: Ньютонның екінші заңы бойынша
мұндағы – қозғалыстағы дененің үдеуі, ал F-мәселеде бағыты
қозғалыстың бағытымен бағыттас әсер етуші күші. Бұл күш екі күштің
қосындысынан тұрады: mg және – kv (кедергі күштің бағыты қозғалыстың
бағытына қарама-қарсы болғандықтан таңбасы минус болады). Сөйтіп,
(2.1)
Бұл жерде біз белгісіз функция - мен оның туындысы - ні
байланыстыратын дифференциалдық теңдеуге келеміз. (2.1) – ді m- ге бөліп
жіберсек, мына түрге келеміз:
(2.2)
Бұл теңдеудің шешімі мынадай функция болатынын тексеру арқылы
көз жеткізуге болады. Шынында,
( (
(
4-мысал: Жазықтықтағы барлық түзулер үйірінің дифференциалдық теңдеуін
тап. [5]
Шешуі: Жазықтықтағы барлық түзулер үйірі жалпы түрде у=Cx деп жазылады.
Бұған сәйкес келетін дифференциалдық теңдеуді табу үшін, одан х бойынша
туынды аламыз: у(=С. Содан кейін жүйесінен С-ні жоямыз: у=xy(. Міне
осы теңдеу іздеп отырған дифференциалдық теңдеу болып табылады. Оған көз
жеткізу үшін у=Сх–ті у=ху(-ке апарып қоямыз. Сонда Сх=хС, яғни
қанағаттандырады.
5-мысал: Жазықтықтағы барлық дөңгелектер (х-()2+(у-()2=r2 үш
параметрге тәуелді, яғни (, ( және r-ге. Жазықтықтағы барлық дөңгелектер
үйірінің дифференциалдық теңдеуін тап.
Шешуі: Бұл үйірден х бойынша үш рет туынды аламыз.
2(х-()+2(у -()(у(=0 немесе х-(+(у-()у(=0,
1+у(2+(у-()у((=0, 2y(y((+y((((y-()+y(y((=0,
y((((y-()+3y(y((=0.
( және r параметрлері туынды алу кезінде жойылып кетті. Енді тек (
параметрін жойсақ болғаны. Оны соңғы екі теңдеуден жоямыз.
( -
y((((1+y(2)-3y(y((2=0
6-мысал: х3 + y2 =C2 шеңберлер үйірінің А(3; 4) нүктесі арқылы өтетінін
табу керек.
Шешуі: Ізделініп отырған шеңберді табу үшін оған сәйкес келетін C=C0
параметрін табамыз. Ізделінді шеңбер А нүктесі аркылы өтетіндіктен бұл
нүктенің координатилары х2+у2=С0 теңдеуін қанағаттандырады. х=3, у=4
мәндерін тецдеуге қойсақ Со=25 болады. Сонымен ізделінді шеңбер
х2+у2=225 болады.
7-мысал: х2+у2=С шеңберлер үйірінің дифференциалдық теңдеуін жазып
және оның дифференциалдық қасиетін тағайындау керек.
Шешуі: х2+у2=С теңдеуін х бойынша дифференциалдасақ 2х + 2уу(=0 немесе С
параметрі жоқ у(= - xy теңдеуі табылады.
Бүл ізделінді дифференцалдық теңдеу у(=-xy дифференциалдық теңдеуіне
М(х,у) нүктесі арқылы өтетін, шеңберге жүргізілген жанаманың бұрыштык
коэффициенті -1к екендігін кереміз, мүндағы к = ОВ түзуінің бұрыштық
коэффициенті (сурет 1) к=tg(=ух және у=tg(=-ху, tg(=-1 tg(, (=(2 +(.
Сонымен, бұл шеңберлер шоғырының жалпы қасиеті мынадай екен:
Шеңбердің жанамасы, жанасу нүктесіне жүргізілген радиусқа
перпендикуляр.
8-мысал: Дене V жылдамдыкпен, уақыттың квадратына пропорционал тузу
сызықты козғалып келеді. Erep t=0, S=S0 белгілі болса, жүрілген жол S және
уақыт t арасындағы тәуелділікті тағайындау керек.
Шешуі: V=dSdt болғандықтан, S(t) және t арасындағы тәуелділік dSdt=кt2
дифференциалдық теңдеумен байланыстырылған, немесе dS = kt2dt болады. Бұл
теңдіктің екі жағын интегралдап, S(t) = kt23 +С болатын дифференциалдық
теңдеудің жалпы шешімін аламыз. Бастапқы уақыт мезетінде S=So, сондықтан
жалпы шешімге t=0, S=S0 қоятын болсақ, онда С-ның мәні табылады. So=0+С, С=
So. Демек, S(t)=kt23+S0 – ізделінді тәуелділік.
9-мысал: Космостан жерге түсіп келе жатқан материалдық нүктенің
қозғалысының дифференциалдық теңдеуін жазыңыз.
Шешуі: Бүкіл әлемдік тартылыс заңы бойынша нүктеге күші әсер
етеді, мұндағы М – жердің массасы, m – нүктенің массасы -
пропорционалдық коэффициенті және х-нүктеден жердің бетіне дейінгі
арақашықтық (минус таңбасы қойылғанының себебі күштің бағыты
координаттар осінің бағытана қарама-қарсы). Ньютонның екінші заңы
бойынша болғандықтан, немесе Бірақ болғандықтан
ізделінді дифференциалдық теңдеу
түрінде жазылады.
Символдық түрде дифференциалдық теңдеу былай жазылады.
Жалпы алғанда, егер ізделінді функция бір белгісіз айнымалыға
тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу қарапайым дифференциалдық
теңдеу деп аталады.
2.2 АЙНЫМАЛЫСЫ АЖЫРАТЫЛАТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ
КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР
Анықтама. Мына түрде жазылатын
P(x)dx + Q(y)dy = 0
(2.3)
теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп аталынады.
Теңдеудің жалпы интегралы мына түрде жазылады
(2.4)
Мысалы, xdx + ydy = 0 тендеуі айньмалылары ажыратылатылған
дифференциалдық тендеу. Теңдеуді интегралдасақ, жалпы интегралды аламыз:
Егерде
(2.5)
және f2(x)((1(y) ( 0 болса, онда теңдеудің шешімі былай табылады
.
(2.6)
Бұл теңдеуді интегралдағанда f2(x)=0 және (1(y)=0 интегралдық
қисықтары да ескерілуі керек.
Мына түрде жазылған
(2.7)
теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеулерге келтіруге болады. Мұнда a,
b, c – тұрақтылар. Бұл теңдеуді шешу үшін жаңа айнымалы енгіземіз z= ax +
by + c.
Сонда z- айнымалысы үшін төмендегідей айнымалысы ажыратылатын теңдеу
аламыз:
(2.8)
2.2.1 Денелердің салқындауы
10-мысал: Пештен жаңа шыккан нанның температурасы 20 мин ішінде 100С
-ден 60С-қа түседі. Қоршаған ортаның температурасы 25С. Қанша уақыттан
кейін нанның температурасы 30С түседі?
Сурет 2 Дененің салқындауы
Шешуі: дененің сууы жылдамдығын – уақыт бірлігінде Т- температурасының
азаюы деп алғанда, туындысы шығатыны белгілі. Ньютон заңы бойынша
дененің салқындау жылдамдығы оның температурасымен қоршаған ортаның
температурасының айырымынына пропорционал. Бірақ бұл процесс тұрақты емес.
Температураларының өзгеруіне байланысты дененің салқындау жылдамдығы
өзгереді. Наның салқындауының дифференциальдық тендеуі
(2.9)
Бұл жерде Т- нанның температурасы, t- қоршаған ортаның температурасы,
k- пропорциональдық коефициенті, –салқындау жылдамдығы.- уақыт
бірлігінде салқындайды дейік. Онда, көбейткіштерді ауыстыру аркылы
мына түрге келеді.
есептің шарты бойынша
екендігі белгілі, екі жағын интегралдау арқылы
немесе
Теңдіктің екі жағында потенциалдаймыз:
екені белгілі болса, онда
(2.10)
С тұрақтыны бастапқы шарт бойынша анықтаймыз: =0 мин Т=100С
және C=75
Ал ek мәнін есептің қосымша шартын пайдалану арқылы табамыз: = 20 мин
Т=60С, сонда
болады.
Есеп шарты бойынша нанның салкындауының теңдеуі, мына түрде
(2.11)
(2.11) теңдеуден Т=30С болған кездегі уақытты есептеуге
болады
Немесе
мин
2.2.2 Денелердің жылуы
11-мысал: Электр құрылғы 1 кг суды 20С –тан 100С-қа дейін көтеруге
канша уақыт жұмсайды? Егер спиральдағы кернеу 120В, ал кедергі 14,4Ом және
1кг су 10 минутта 40С-тан 30С-қа түсетіні белгілі болса.
Шешуі: Q-t уақыт бойы суға берілген жылу мөлшері болсын, - судың
температурасы.
Джоуль- Ленц заңы бойынша
Бұл жерде -жылу мөлшері, Дж; i- ток күші, а; R-кедергі, Ом; t-уақыт,
секунд;
Судың температурасы -ге өзгергенде , жылу мөлшері
уақыт бойы өсуі, яғни
Бұл жерде с- жылу сыйымдылық және m- масса; су коршаған ауамен жылу
ауысқан кезде уақытта жұтылатын жылу мөлшері, яғни
Бұл жерде, –Ньютон заңы бойынша, суытқыш заттың дифференциалдық
теңдеуі.
Жылудың уақытта толық өсуі
немесе
Судың жылу сыйымдылығы с=1 екені белгілі, сонда 1г судың жылуының
жылдамдығы
(2.12)
болады.
Джоуль- Ленц заңы бойынша
Сонғы теңдеуге ток күшінің, кедергінің мәнін койғанда
(2.13)
Болады. М=1 кг=1000г болғанда
Шарт бойынша 10 мин ішінде су 40С –тан 30С-қа түскенде, есептің
дифференциалдық теңдеуі
болады. Айнымалыларды ажыратқанда
(2.14)
(2.14) интегралдау арқылы
Осыдан
(2.15)
(2.13), (2.14) және (2.15) қатынасын ескере отырып, мынадай дифференциалды
теңдеу шығады
(2.16)
Интегралдау аркылы
аламыз
2.2.3 Денелердің ішінде температураның бөлінуі
Сфералық қабықша
12-мысал: Станционарлық жылулық күйде тұрған құрыштан жасалған шар
қабықша, ішкі радиусы 6 см және сыртқы радиусы 10 см. Ішкі қабатының
температурасы 200С, ал сыртқы қабаты 20 С (сурет 3).
Сурет 3 Дене температурасының бөлінуі
Шар центрінен r қашықтықтағы температураны және 1 сек.та өзінен бөлетін
жылу мөлшерін табу керек(k=0.14 құрыштың жылу сыйымдылығы).
Шешуі: Шар симметриялы болғандықтан, жылу бірдей таралады. Шардың центрінен
r қашықтықтан өтетін жылу, сол жердің бетінің ауданына тең:
Фурьеның жылу өткізгіштік заңы бойынша бөлек сфералыұқ қабаттардың
арасындағы жылу озгеріссіз, кез келген екі кабаттың арасынан бірдей жылу
өтеді. F ауданына таралатын жылудың жылдамдығы, тең болады
(2.17)
Бұл жерде Т- дене температурасы, k- заттың жылу өткізгіштік коэффициенті.
(2.17) мына түрге келеді
Айнымалыларды ажыратып, интегралдағаннан кейін жалпы шешімін табамыз
(2.18)
Есептің жауабын табу үшін бастапқы шарттарын орнына қойамыз Т=20,r=10;
Т=200, r=6 болғандағы C мен Q- дің мәндерін табамыз:
Бұл жерден
Осылайша дененің 1 сек.те өзінен бөліп жатқан жылу мөлшерін табамыз
кал
2.2.4 Цилиндрлік қабықша
13-мысал: Жылу магистралының (20 см диаметр) құбыры қалындығы
10см.лік қабықпен оқшауланған; жылу өткізгіштік коэффициенті k=0,00017.
Құбырдың температурасы 160С, сыртқы қабатының температурасы 30С
(сурет 4). Құбыр мен қабық арасындағы бөлінетін температура мен 1 м
құбырдың бөлетін жылу мөлшерін табу керек.[7]
Сурет 4 Цилиндрлік қабықша
Шешуі: егер дене стационарлы жылулық жағдайда турса, дененің барлық жерінен
бірқалыпты Т температура шақса, және ло функциясы тек бір х коордиратасында
жатса, онда ол Фурьенің жылу өткізгіштік заңына сәйкес 1сек.та
жылу шығарады.
Бұл жерде F(x)- x қашықтықта кесілген қиманың ауданы, k- жылу
өткізгіштік коэффициенті.
Есеп бойынша
Бұл жерде l- құбыр ұзындығы, см. Х- құбырдың радиусы,см.
Айнымалыларды ажыратқаннан кейін есептің дифференциалдық тендеуі мына түрге
келеді
(2.19)
Теңнің екі жағында интегралдаймыз
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.22) пен (2.23) -ті мүшелеріне сәйкес бөлгенде
Бұл жерден температураның оқшаулану заңдылығы шығады
T=591,8-431,8lgx.
(2.21)- тен l=100cм болғанда
Бір күнде бөлінетін жылу мөлшері
кал
2.2.5 БРУСҚА ТҮСЕТІН КҮШ
14-мысал: Ұзындығы l=100 м болған 2Т жукке керілетін металдық брус
(көлденең қималарына түсетін куштер бірдей). Металдың шыдамдылығы σ
=1000кг, ал оның салыстырмалы слмағы γ=7,6 г. Брустың ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫ ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ
ТҮСІНІКТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
1.1. Дифференциалдық теңдеулердің математикада
алар орны
1.2. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте
оқытудың
ерекшеліктері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
...
1.3 Дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстары
1.4 Дифференциалдық теңдеу туралы негізгі ұғымдар ... .
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР..
2.1 Жай дифференциалдық теңдеуге келтірілетін есептер
2.2АЙНЫМАЛЫСЫ АЖЫРАТЫЛАТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН
ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.1 Денелердің
салқындауы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2.2 Денелердің
жылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
..
2.2.3 Денелердің ішінде температураның бөлінуі
Сфералық
қабықша ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ...
2.2.4 Цилиндрлік
қабықша ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.5 БРУСҚА ТҮСЕТІН
КҮШ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.6 Барометрлік формула және тереңдіктегі қысым ... ...
2.3 Кейбір химиялық реакциялар және экология теориясы есептеріне
келтірілетін дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3.1 Химиялық реакциялар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3.2 Экологиялық есептерге келтірілетін дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.4 Биологиядағы дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ..
2.5 Біртекті дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.6 БІРІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.6.1 Материалдық нүктенің қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.7 БЕРНУЛЛИ теңдеуіне келтірілетін есептер ... ... ... ... ... ... ...
2.8 РЕТІ ТӨМЕНДЕТІЛЕТІН ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ
ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.9 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН
ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ...
2.9.1 Гормоникалық
тербеліс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.9.2 Дененің атмосфералық ортада құлауы ... ... ... ... ... ... ..
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Кіріспе
Қазіргі кездегі мектеп бағдарламасында дифференциал теңдеулер
туралы мағлұматтар беріледі. Атап айтқанда, дифференциал теңдеулер
деген не, оның шешімі және олардың математикалық, физикалық және
техникалық есептерді шығаруға қолданылуы т.б.
Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына байланысты мектеп
бағдарламасына енгізілген дифференциалдық теңдеулер теориясы
ғылымының әртүрлі облыстарында кеңінен қолданылады.
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу теңіз
деңгейінен биіктігіне байланысты атмосфералық қысымның өзгеру
процессін де, радийдің түсу процесін де, тұрғындар, санының өзгеру
процессін де, суыту процесін де және т.б. сипаттайды.
Сызықты диффренциалдық теңдеулердің қолданылуын
илюстрациялайтын әртүрлі мысалдар жиынын радиоқұрылғылар береді. Бұл
жағдайда құрылғының түрлі бөлшектері арқылы өтетін токтар шамасы
немесе құрылғының жеке түйіндері арасындағы кернеулердің түсуі
уақыттың белгісіз функциясы болып табылады. Бұндай теңдеулерді шешуге
тригонометриялық (немесе гармоникалық) тербелістер тән. Есептерді
шығаруда табылған жалпы шешімдер қарапайым, сапалы талдау
жүргізуге, модельдің орнықты шешімдері мен құрылғының жұмысындағы
орнатылған тәртіптің нақты сипаты арасында сәйкестік орнатуға
болады.
Параметрлі теңдеулердің шешімін өзара әрекеттесуші биологиялық
популяциялардың даму динамикасын сипаттайтын модульдермен
иллюстрациялауға болады ( мысалы, Вольтер-Лотка моделі).
Зерттеудің көкейтестілігі.Дифференциалдық теңдеулерді оқу қиял
ойдың дамуына нәр береді, оқушыларға дифференциалдық теңдеулердің
абстрактілігі табиғат құбылыстарын математикалық модельдер көмегімен
оқып білудің құралы болып табылады. [1]
Дифференциалдық теңдеулер болашақ студенттің фундаметальды
дайындығында, атап айтқанда оқушының ғылыми дүниетанымын,
математикалық мәдениетінің белгілі бір дәрежесін қалыптастыруда
үлкен роль атқарады.
Дифференциалдық теңдеулер мен олардың әдістерін оқып үйрену
біз өмір сүретін әлемді тану үшін тағы бір құралды береді,
яғни нақты физикалық кеңістік туралы бейнелік және ғылыми түсінікті
қалыптастыруға мүмкіндік береді.
Осылайша, біздің тақырыптың өзектілігі келесілермен
түсіндіріледі:
- математикалық талдау және дифференциалдық теңдеулер негізінен
болашақ студенттердің математикалық біліміне үлкен үлес қосады.
- дифференциалдық теңдеулер мектептің математика курсында оқытудың
әдістемесіне арналған зерттеулердің кемдігі.
Зерттеудің мақсаты:Бұл жұмыстың негізгі мақсаты – осы пән туралы
мағлұмат беру және қарапайым теңдеулерді шығару жолдарын көрсету.
Мектеп курсында дифференциал теңдеулерге сағат аз болғандықтан
біз мұнда негізгі анықтамалар мен ұғымдарды беріп, соларға
көптеп мысалдар келтірумен шектелеміз.
Дифференциалдық теңдеудің көмегімен жаратылыстану ғылымдарындағы ең
негізгі проблеманың бірі - өзімізді қоршап тұрған табиғат құбылыстарының
кейбір жасырын сырының қалай ашылғаның, оның өмірде қалай пайдаланатынын
көрсетуге болады.
Соның бір мысалы дифференциалдық теңдеуді популяция (мекендес өсіп -
өну) санының қарапайым моделі ретінде көрсету жатады. Популяция саны
қоршаған ортаны қорғаудың, яғни биоэкологияның ең маңызды мәселесі болып
табылады. Популяцияның математикалық моделін қүру биологиялық түрдің сан
жағынан өсуінің жылдамдығын анықтайтын есеп ретінде қарастырылады. Осындай
математикалық моделдер көптеген физикалық, химиялық, биологиялық т.б.
процесстерді айқындауға мүмкіндік береді. Дифференциалдық теңдеулер курсын
білген оқушы дүниенің біртұтас екендігіне көзін жеткізеді және де
оқушылардың алдыңғы ең бір маңызды қадамды, өз мамандығын тандауға ықпалын
тигізеді, өйткені дифференциалдық теңдеулердің пәнаралық байланысы өте
зор.[2]
Дипломдық жұмыстың құрылымы:Бұл дипломдық жұмыс кіріспе, екі тарау,
қорытынды және пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Бірінші бөлімде дифференциалдық теңдеудің теориялық негіздері,олардың
басқа пәндермен байланыстары жайлы баяндалса, екінші бөлімде
дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін физикалық, химиялық, биологиялық
есептердің шешу әдістері қарастырылды.
1 Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың теориялық негіздері
1.1 Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар орны
Дифференциалдық теңдеу негізгі математикалық ұғымдардың бірі болып
табылады. Дифференциалдық теңдеу - бұл туындыларды (немесе
дифференциалдары) қандайда бір алдынала берілген шарттарды
қанағаттандыратын теңдеу. Қандайда бір нақты құбылыс пен процессті
зерттеудің нәтижесінде алынған дифференциалдық теңдеу дифференциалдық
модель деп аталады.
Дифференциалдық модельдер - бірі бізді қоршаған әлемді оқып
үйренуде құрылуы мүмкін математикалық модельдер жиынының дербес
жағдайы екені түсінікті. Сонымен қатар, дифференциалдық модельдердің
өздерінің де түрлі типтері бар екенін атап өту қажет. Біз бұл
жұмыста тек қарапайым дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын
модельдерді ғана қарастырамыз, оларға тән ерекшеліктердің бірі бұл
теңдеулердегі белгісіз функциялар тек бір ғана айнымалыға тәуелді
болады.
Қарапайым дефференциалдық модельдерді құру процесінде зерттеліп
жатқан есептің табиғатына қатысты ғылым заңдарын білу маңызды және
алдыңғы мәнге ие. Мысалға, механикада бұл Ньютонның заңдары, ал
электрлік тізбектік теориясында – Кирхгоф заңдары, химиялық
реакциялардың жылдамдығы теориясында - салмақтың әсер ету заңы және
т.б.
Әрине іс жүзінде дифференциалдық теңдеулерді құруға мүмкіндік
беретін белгісіз заңдарды да кездестіруге болады, сондықтан
параметрлердің - айнымалылардың аз өзгерісінде процесстің жүруіне
қатысты әртүрлі жорамалдарға ( гипотезаларға) сүйену қажет. Онда
дифференциалдық теңдеулерге шектік ауысу келтіреді. Мұнда, егер
математикалық модель ретінде алынған дифференциалдық теңдеуді зерттеу
нәтижесі тәжірибелік берілгендермен сәйкес келсе, онда тұжырымдалған
гипотеза заттардың шынайы күйін дұрыс көрсететінін білдіреді.
Кейбір жағдайларда ғана дифференциалдық теңдеулерді тұйық форма
деп аталатын түрде шығаруға, яғни элементар функциялармен қарапайым
операциялардың шектеулі санын пайдаланатын шешімді аналитикалық
формула түрінде көрсетуге болады. әрине, бұл дифференциалдық
теңдеулердің шешімі бар екені белгілі болған кезде. Басқаша айтқанда,
дифференциалдық теңдеулердің шешімдері өздерінің көптүрлілігімен
мынадай, олардың саны шектеулі аналитикалық операциялармен тұйық
формада көрсету үшін жеткіліксіз. Бұл жағдай алгебралық теңдеулер
теориясындағыға ұқсас: бірінші және екінші дәрежелі алгебралық
теңдеулер жағдайында олардың шешімдері радикалдарда оңай алынуы
мүмкін; егер үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулерге келсек, онда
радикалдардағы шешімдер алынуы мүмкін, бірақ формалар едәуір қиын
болады; ал дәрежесі төрттен жоғары жалпы түрдегі алгабралық
теңдеулерді қарастырсақ, онда бұндай теңдеулердің радикалдардағы
шешімдерді, жалпы айтқанда, алынуы мүмкін емес.
Дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін көрсету үшін қандай да
бір түрдегі шексіз қатарларды пайдалансақ, онда тұйық формалардағыға
қарағанда едеуір көп теңдеуді шешуге тура келеді. Бірақ, шешімнің
орынды және тиімді қасиеттерін, алынған қатар түрінен анықтау еш мүмкін
емес. Сонымен қатар, тіпті дифференциалдық теңдеуді тұйық формада
шығара алсақ та, мұндай шешімді талдау мүмкін емес, немесе әр түрлі
параметрлер арасындағы тәуелділік өте қиын болып шығады.
Осылайша, дифференциалдық теңдеулердің өзін шығармай-ақ
шешімдердің қайсыбір қасиеттері туралы қажетті мағлұматтар алуға
мүмкіндік беретін әдістер мен тәсілдердің қажеттілігі анық болып
отырады. Мысалыға, бұндай әдістер мен тәсілдер бар және олар
дифференциалдық теңдеулердің сапалық теориясының мазмұнын құрайды,
олардың негізінде шешімдердің бар болуы мен жалғыз болуы, шешімнің
бастапқы берілгендер мен параметрлерге үзіліссіз тәуелділігі туралы
жалпы теориялар жатыр.
Қарапайым дифференциалдық теңдеудің сапалық теориясы
А.Пуанкаре мен А.М.Ляпуновтың (ХІХ-шы ғасырдың соңы) жұмыстарынан
бастап дамып келеді және оның әдістері бізді қоршаған ортаны тану
процессінде кең қолданылады.
1.2 Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың ерекшеліктері
Мектептегі математика курсының негізгі мақсаттарының бірі
оқушыларды ғылыми дүниетанымға тәрбиелеу деп есептелінеді. Жоғарыда
аталған мақсатты жүзеге асыру мағынасында дифференциалдық теңдеулер
тақырабы тиімді.
Қазіргі заманда, жалпы мойындаған жағдай математиканы оқытудың кез
келген сатысында (мектепте, лицейде, колледжде, ЖОО-да және т.б.)
әрдайым методология, философия, тарих, яғни оқытудың методологиялық
аспекті деп аталатындарды құрайтындармен байланыстыру қажет. Бұл
аспект дербес шығуы мен дамуы, математиканың тарихи даму процесінде
оқушының ойында әрқашан нақтыланып және кеңейіп отыратын оның
зерттеу пәнінің анықтамасы, математиканың нақты өмірмен, адамдардың
қоғамдық іс-әрекетімен байланысы, іс-тәжірибенің математикадағы ролі
және ең соңында қазіргі заманғы ғылыми білімнің математизациялану
мағынасының ашылуымен байланысты мәселелерді әрдайым талқылау
қажеттілігі енеді.
Оқушыларды рухани дамыта отырып, олардың әлемге деген іс-
тәжірибелік көзқарастың негізі ретінде ғылыми дүниетанымды қалыптастыру
қажет. Олар математиканың жалпы ұғымдарының нақты әлемнің белгілі
бір бейнелерін көре білуі, математикаға редукцияланған философияның
негізгі сұрағына дұрыс жауап бере алуы керек.
Математикалық – жаратылыс ғылымдарының матедологиясының
дифференциалдық теңдеулермен тұтас байланысын, дифференциалдық
теңдеулердің методологиялық бағытын көрсететін дифференциалдық
теңдеулер теориясының даму тарихын қарастырамыз. Негізінен
дифференциалдық теңдеулер теориясына Россия, Қазақстан және басқа ТМД
елдерінің ғалымдарының үлесі үлкен.
Оқушылардың ғылыми дүниетанымын және жалпы мәдениетін
қалыптастыруға осы пәнді оқытудың қолданбалы бағыты, оны дұрыс
ұйымдастырғанда, яғни оқытудың жалпы принциптерін - оқытудың өмірмен,
теорияның практикамен байланысы принциптерінің бірін орындағандағы
ұйымдастыруда, орынды үлес қосады.
Оқыту процессінде қолданбалы мәселелерді пайдалану тек қана
ғылымның негіздерін түсінуге емес, ғылыми танымның тәсілдерін
меңгеругеде әсер етеді.
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағытынан оқушы нақты
процесті математикалық модельдермен байланыстыру тәжірибесін алады.
Нақты процесстің математикалық моделі деп, әдетте, бұл процес
математика тілінде жуықтап сипатталуын түсінеміз.
Математикалық модельдеу өнері нақты есепті математикалық тілге
аудара білуден тұрады.
Матетикалық модельдеу өзінің қарапайымдылығымен процесті жақсы
түсінуге көмектесді, процестің қалпының сапалық және сандық сипатын
орнатуға мүмкіндік береді.
Әр түрлі есептерде нақты процестердің математикалық моделі
көбіне дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі.
Бұл есептердің сипаты мен шығару әдістемесін схемалық түрде
сипаттауға болады. Қандай да бір процесс жүріп жатыр делік, мысалы,
физикалық, химиялық, биологиялық. Бізді бұл процестің белгілі бір
функционалдық сипаттамасы, мысалы, уақытқа қатысты температураның
немесе қысымның, массаның, кеңістіктегі қалпының өзгеру заңдылығы
қызықтырады. Егер бұл процестің жүруі туралы толық ақпарат бар болса,
онда оның математикалық моделін құруға әрекет жасауға болады. Көп
жағдайларда бұндай модель дифференциалдық сипаттамасы болып табылады.
Дифференциалдық теңдеу, процестің эволюциясын материалдық жүйемен
болып жатқан өзгерістер сипатын, бұл
жүйе өзгерістерінің бастапқы күйін байланыстыратын нұсқауларды
сипаттайды.
Кез келген процесті оқып үйрену оның жеке моменттерін анықтау
мен оның ағымының жалпы заңын орнатуға келіп тіреледі.
Процестен (қарапайым процестің) жеке моменттегі процестің айнымалы
шамаларын олардың дифференциалдарды және туындыларымен байланыстыратын
дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі. Интегралдаудан кейін алынатын
құбылыстың жалпы орындалу заңдылығы процестің айнымалы шамаларын
байланыстыратын теңдеумен өрнектеледі.
Дифференциалдық теңдеулерді құрудың қатаң тәртібі жоқ. Көптеген
жағдайларда қарапайым дифференциалдық теңдеулерді қолданумен байланысты
қолданбалы есептерді шығарудың әдістемесі келесіге келтіріледі:
1) есептің шартын талдап, оның мәнін айқындайтын сызбаны салу;
2) қарастырылып отырған процестің дифференциалдық теңдеуін құру;
3) осы теңдеуді интегралдап, оның жалпы шешімін анықтау;
4) берілген бастапқы шарттардың негізінде есептің дербес шешімін анықтау;
5) қажет болған жағдайда көмекші параметрлерді (мысалы, пропорционалдық
коэффициентін және т.б.) анықтау, бұл мақсат үшін есептің қосымша
шарттары пайдаланылады;
6) қарастырылып отырған процестің жалпы заңын тұжырымдау және
ізделінді шамалардың сандық мәнін анықтау;
7) жауапты талдау және есептің бастапқы қалпын тексеру.
Модельдеу икемділігі танымдылық іс-әрекеттің ажыратылмас бөлігі
болып табылады. Модельдеудің психологиялық аспектісі, адам санасында
сыртқы әлемді оның көптүрлілігі мен ішкі және сыртқы байланыстарның
толықтығында емес, тұрпайыланған жуық түрде бейнелеуден тұрады.
Біз нақты құбылыс туралы сезіну мен түсіну арқылы алатын толық
емес ақпарат біздің санамызда толық емес түрде елестетулер мен
бейнелер жүйесі ретінде қалыптасатындар негізінде құбылыстың модельдері
болып табылады. Сондықтан, біздің қоршаған әлем туралы түсінігіміз
принципиалды модельды сипатқа ие.
Соңғы жылдары психикалық іс әрекеттің жемісі ретінде модельдің
мәні сезілуде. Сонымен қатар модель мидың құбылысы ретінде әр түрлі
аспектілірде қарастырады. Бірқатар ғалымдар модельді адамның қоршаған
ортамен қатынасындағы психикалық іс-әрекетінің негізгі жемісі ретінде
қарастырылады. Кейбір зерттеушілер оқытудағы модельдеуге үлкен роль
бөлетіні соншалық оны жеке принципке бөледі. Мысалы, В.В. Давыдов
традициялық дидактикалық көрнектілік принципінің шектеулілігін, оны
модельдеу принципімен алмастыруды ұсынады.
Л.М. Фридман, В.В. Давыдовтың орта мектепте математиканы оқытудағы
модельдің тәсіл идеясын дамытып, былай деп жазады:
... математиканы оқытудағы модельдеу принципі, біріншіден, мектеп
курсындағы математика мазмұнын модельдік көзқараспен меңгеруді, екіншіден,
оқушыларда әртүрлі құбылыстар мен жағдайларды математикалық модельдеу
біліктілігі мен икемділігін қалыптастыруды, үшіншіден, ішкі ойды,
ойлаудың ғылыми-теориялық стилін дамыту үшін сыртқы тірек ретінде
соларды кеңінен қолдануды білдіреді.
Бұдан оқушыларды нақты процестерді құру әдістемесімен оқыту
математика курсының және ең алдымен дифференциалдық теңдеулердің
негізгі шарттарының бірі.
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағыты арқылы біз оқыту
процесіндегі шынайы пән аралық байланысты орнатамыз.
Жалпы математиканы оқыту әдістемесінің түрлері бағыттарында:
оқыту процесін жақсарту, оқу пәндеріне қызығу бағытында жүргізіледі.
Мазмұны жақын пәндердің өзара байланысы, тек оқушылардың білімдерінің
сапасын арттырып қана қоймай, алынған білімдерді іс-тәжірибеде пайдалану
дайындығына ықпал етеді, оқушылардың ғылыми дүниетанымын дамытады.
Соңғы жылдары зерттеушілердің пәнаралық байланысты орнатуға
қызығушылықтары да арта түсті. Біз пән аралық байланысты мәселені
тұжырымдау сандары да арта түсті. Біз пән аралық байланысты
жүйеліліктің көрінуі, табиғи құбылыстардың объективті өзара
байланысының бейнесі ретінде қарастыруды дұрыс көрдік.
Пәнаралық байланыстар, оқытудың барлық қызметтерінің, атап
айтқанда, білімділіктің, дамытушылық және тәрбиелік мәнінің
орындалуына ықпал етеді. Бұл қызметтері өзара байланыста орындалады
және бір бірін толықтырады.
Жоғарыда айтылғандардың бәрін жалпылап, дифференциалдық
теңдеулердің гуманитарлық құраушысының негізгі бағыттарын тұжырымдауға
тырысып көрейік.
Ең алдымен, бұл дифференциалдық теңдеулердің оқушыға қоршаған
орта туралы дұрыс түсінікті қалыптастырудағы мүмкіндік беретін
дүниетанымдылық, метадологиялық аспекті. Белгілі шамада бұған
тақырыптың тарихи-математикалық, бөлігі ықпал етеді.
Әрі қарай, дифференциалдық теңдеудің математикалық модельдеу
әдісімен және пәнаралық байланысты орнату мәселесімен тікелей
байланысты аспектілерді ерекшелеу керек.
Ең соңында, дифференциалдық теңдеулер - бұл табиғат сөйлейтін тіл.
Математика курсының тілдік аспектісі соңғы кезде математиканы оқыту
әдістемесі облысындағы зерттеушілерді күннен күнге қызықтырып отыр.
Математикалық тілді меңгеру, қазіргі заманда, адамның жалпы
мәдениетін құрайтыны туралы ой соңғы жылдары тіпті жоққа шығарылмайды.
Болашақ студенттер бұл ойды түсінуі үшін дифференциалдық
теңдеулердің алатын орнын белгілеулері керек.
1.3 Дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстары
Ғылымның дамып келе жатқан салаларының бірі – дифференциалдық теңдеу
теориясын толығынан түсінуге, игеруге қажетті білімділік пен машықтықты
бойға дарытатын тиянықты ілгері білімдер көлемін анықтау және ғылым мен
техниканың дамуына сай дифференциалдық теңдеулер теориясының өрбуінің
бағыттаушы идеялары мен тенденцияларын анықтау қажет болады.
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту мазмұны мектептерде математиканы
оқытуда қосымша, дарынды оқушыларымен жүмыс ретінде қарастыруға болады.
Дифференциалдық теңдеулер теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық
ойлауды, шығармашылық қабілетті жетілдіруді керек етеді және соған
жетелейді. Жетілдіре оқытудың маңызды құрамының бірі ретінде оқушылардың
танымдық, шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру саналады. Сонымен қатар
игерілетін материалдың математикалық қабілетін қарқынды дамытатын, оларға
терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың да маңызы айырықша.
Дифференциалдық теңдеулердің табиғи және өміршең есептерді шығаруда
пайдаланатын ғажайып мүмкіндіктері оның сырттай қарағанда салқын, қызықсыз
ғылым сияқты көрінетіндігін жеңеді. Ол оқушылардың математикаға деген
ынтасын арттылып, қызығуға, ізденіске, біліммен сусындауға жетелейді.
Сондықтан оқушыларды қызықтыра оқытып, оларды қолдай отыра, өз бетінше
білім жинақтауға құштар ету оқыту үрдісінің барлық кезеңін жандандыруға
әкеліп соғады.[3]
Дифференциалдық теңдеулерге келтіретін есептерді шығару үшін оның
теориясы мен әдістерін, көршілес пәндердің негізгі заңының, теориялық
пайымдауларын қисынды - теориялық және практикалық бағытта түсіне
отырып пайдалану керек.
Дүниетанымдық көзқарасты қалыптастыруда дифференциалдық теңдеулер
теориясының маңызы зор. Себебі оның ұғымдарын, формулаларын, әдістерін,
алгоритмдерін механиктер, биологтар, экономистер және басқа да ғылым
саласының мамандары жиі қолданылады. Сондықтан дифференциялдық теңдеулер
пәні теориялық маңыздылығымен бірге қолданбалы математика саласына да
жатады жэне ол жаратылыстану ғылымы мен техниканың көптеген мәселелерін
зерттейді. Сол себептен мектептегі дарынды оқушылардың білімінің деңгейін
кеңейту мақсатында дифференциалдық теңдеулерді математикадан факультатив
сабақтарында қолдануға болады. Өйткені механиканың, астрономияның,
физиканың, химияның, биологияның, космостық зерттеудің көптеген мәселелері
дифференцалдық теңдеу қүрып, оның шешімдерін табуға тіреледі.
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде, инженер - техникалық, химия
-биологиялық, ақпараттық есептеу, физика және де басқа саладағы есептерді
шығару барысында орнығатын біліктілік пен әрекет тәсілдері негізінде
пәнаралық жаңа байланыстар қалыптасады. Ол есептердің шарттарын жүйелі
түсіну, алға қойған мақсатты анықтап, оны жүзеге асыру үшін жоспар қүру,
жоспарды орындау үшін әдістер тану, шешу барысын кезендерге бөліп жүргізу,
алған нәтижені зерттеп — сұрыптау, есептің жауабын тауып дәл тұжырым жасау
үрдісі әртүрлі пәндерге сай өз өзгешіліктері болғанымен, ортақ қисынға,
заңдылыққа бағынады. Ол заңдылықты пайдалану пәнаралық қатынасты жандандыра
түседі.[2]
Дифференциалдық теңдеулер курсы оқушылардың белгілі бір математикалық
мәдениетін қалыптастырады және олардың ғылыми, әсіресе математиканың
практикалық және қолданбалы бағыттарын түсінуінің маңызы зор.
Дифференциалдық теңдеудің көмегімен жаратылыстану ғылымдарындағы ең
негізгі проблеманың бірі - өзімізді қоршап түрған табиғат құбылыстарының
кейбір жасырын сырының қалай ашылғанын, оның өмірде қалай пайдаланатынын
көрсетуге болады.
Соның бір мысалы дифференциалдық теңдеуді популяция (мекендес өсіп -
өну) санының қарапайым моделі ретінде көрсету жатады. Популяция саны
қоршаған ортаны қорғаудың, яғни биоэкологияның ең маңызды мәселесі болып
табылады. Популяцияның математикалық моделін қүру биологиялық түрдің сан
жағынан өсуінің жылдамдығын анықтайтын есеп ретінде қарастырылады. Осындай
математикалық модельдер көптеген физикалық, химиялық, биологиялық т.б.
процесстерді айқындауға мүмкіндік береді. Дифференциалдық теңдеулер курсын
білген оқушы дүниенің біртұтас екендігіне көзін жеткізеді және де
оқушылардың алдыңғы ең бір маңызды қадамды, өз мамандығын тандауға ықпалын
тигізеді, өйткені дифференциалдық теңдеулердің пәнаралық байланысы өте зор.
Дифференциалдық теңдеулердің басқа пәндермен байланысы жоғарыда атап
өтілген байланыс түрлерін сұрыптай сипаттауға, әрқайсысының ішкі мазмұның,
мәнін ашып, оларды жүзеге асырудың обьективтік заңдылықтарын тиімді
пайдалануға, сол арқылы оқушылардың дүниетанымдық көзқарасын кеңейтіп,
білімін терендетуге ықпалын тигізеді. Демек, дифференциалдық теңдеулердің
пәнаралық байланысы тек білім, біліктілік, машықтық деңгейін көтеретін
ұтымды дидактикалық құрал, шарт қана емес, оқыту барысында оқушыларды
тәрбиелеу жұмысы тәсілдерінің де жалпы педагогикалық кешендік құралы болып
табылады.
1.4 Дифференциалдық теңдеу туралы негізгі ұғымдар
Анықтама. Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалы х-ті, белгісіз
(ізделетін) функция у-ті және оның у(,у((,...,у(п) туындыларын
байланыстыратын теңдеуді айтады.
Мұндай дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
F(x,y,у(,у((,...,у(п)
)=0
немесе
Егер белгісіз (ізделетін) функция у тек қана бір аргументке тәуелді
болса, онда дифференциалдық теңдеу жай дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Ал, егер белгісіз (ізделетін) функция у бірнеше аргументке тәуелді болса,
онда дифференциалдық теңдеу дербес туындыдағы дифференциалдық теңдеу деп
аталады. Олай болса жоғарыдағы дифференциалдық теңдеу жай дифференциалдық
теңдеу болып табылады, себебі ондағы ізделетін функция у тек жалғыз
аргумент х-ке тәуелді.
Анықтама. Дифференциалдық теңдеудің реті деп берілген теңдеудегі
ізделетін функцияның туындысының ең жоғарғы ретін айтады.
Мысалы:
1. ху(-y=sin x теңдеуі бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеу,
себебі туындының реті бірге тең.
2. у((-у(+х=0 теңдеуі екінші ретті дифференциалдық теңдеу
3. уIV+2y((=x төртінші ретті дифференциалдық теңдеу болып табылады.
Олай болса мына F( x, y, у(, у((, ..., у(п)) = 0 теңдеу n - ші ретті
дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Анықтама: Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп берілген теңдеудегі
орнына апарып қойғанда оны теңбе-теңдікке айналдыратын кез келген
функцияны айтады.
Басқаша айтқанда, егер
болса, онда функциясы дифференциалдық теңдеуінің
шешімі деп аталады.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
(1.1)
Анықтама. Егер бірінші ретті дифференциалдық теңдеу туындысына
қатысты шешілген болсы, онда (1.1) туындысына қатысты шешілген
дифференциалдық теңдеу деп аталады және былай жазылады:
.
(1.2)
(1.2) дифференциалдық теңдеудің мынадай бастапқы шартын
(1.3)
немесе
(1.3()
қанағаттандыратын y=у(x) шешімін табу Коши есебі деп аталады.
(1.2) – дифференциалдық теңдеу үшін мына теорема орынды. Бұл теорема
шешімнің бар болуы мен жалғыз болуы туралы деп аталады.
Теорема. Айталық, (1.2) – дифференциалдық теңдеу және (1.3) бастапқы
шарт берілсін. Егер (х0,у0) нүктесінің кейбір маңайында дербес туындысы
шектелген болса, онда [x0 – h , x0 + h] кесіндісі табылып, ол
кесіндіде жалғыз ғана үздіксіз у=y(x) функциясы бар болып, ол функция (1.2)
теңдеуді және (1.3) шартты қанағаттандырады.
(1.2) теңдеудің кез келген y = ((x) шешімінің графигін, осы теңдеудің
интегралдық сызығы деп атайды. Шешім графигінің ордината осіне проекциясы
дифференциалдық теңдеудің фазалық сызығы (немесе траекториясы) деп
аталады.[3]
Диференциалдық теңдеудің шешімін табу процесін оны интегралдау деп
аталады. Мұны интегралдау ұғымымен шатастырмас үшін көбінесе соңғысын
квадратуралау деп атайды. Осыған орай, дифференциалдық теңдеуді интеграл
алу операциясына алып келуді оны квадратурада шешу деп аталады.
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР
2.1 Жай дифференциалдық теңдеуге келтірілетін есептер
Табиғаттағы көптеген құбылыстардың өзгеру заңдылығын бірден таба
алмайтын жағдайлар жиі кездеседі. Бірақ бұл құбылыстарды дифференциалдық
теңдеулер арқылы өрнектеуге болады. Егер осы дифференциалдық теңдеулерді
шешсек, онда әлгі құбылыстардың өзгеру заңдылығын тапқан боламыз.
Дифференциалдық теңдеулерге келетін бірнеше есептерді қарастыралық.
1-мысал: хОу жазықтығында сондай қисықты тап, ол қисықтың әрбір
нүктесіндегі жанамасы Ох осінің оң бағытымен сондай бұрыш жасайды, ол
бұрыштың тангенсі жанасу нүктесінің екі еселенген абциссасына тең.
Шешуі: Айталық, іздеп отырған қисықтың теңдеуі у=((х) болсын. әр бір
М(х,((х)) нүктесінде жанамасы бар және ол жанамасының бұрыштық коэффициенті
(((х) – ке тең, яғни (((х)=2 (есептің шарты бойынша). Сөйтіп,
есептің шарты бойынша мынадай теңдеуді жазуға болады. Бұл бірінші ретті
дифференциалдық теңдеу. Бұл теңдеуді мына функция у=х2 қанағаттандырады.
Ол үшін бұл функцияны берілген теңдеуге апарып қойсақ болғаны. Бірақ
бұл теңдеуді мына функция y=x2+C, мұндағы C- кез келген тұрақты, да
қанағаттандырады. Бұл соңғы функция берілген дифференциалдық теңдеудің
жалпы шешімі болып табылады.
2-мысал: хOу жазықтығында сондай қисықтарды тап, ол қисықтардың
жанамасы мен Oх осінің оң бағыты арасындағы бұрышының тангенсі жанасу
нүктесінің абциссасына кері пропорционал.
Шешуі: Іздеп отырған қисықтардың теңдеуі y=((х) болсын. Есептің шарты
бойынша у(= теңдеуін жазуға болады. Мына функция y=k ln(x(+C берілген
дифференциалдық теңдеуінің шешімі болады. [3]
3-мысал: Массасы m-тең дене кейбір биіктіктен тасталған. Бұл дененің
түсу жылдамдығы қандай заң бойынша өзгеретінін анықтау талап етілген. Бұл
денеге тарту күшінен басқа тағы да ауаның кедергі күші әсер етеді. Кедергі
күші жылдамдыққа пропорционал, яғни пропорционалдық коэффициенті k- ға тең.
Сөйтіп, v=((t) екендігін табу талап етіледі.
Шешуі: Ньютонның екінші заңы бойынша
мұндағы – қозғалыстағы дененің үдеуі, ал F-мәселеде бағыты
қозғалыстың бағытымен бағыттас әсер етуші күші. Бұл күш екі күштің
қосындысынан тұрады: mg және – kv (кедергі күштің бағыты қозғалыстың
бағытына қарама-қарсы болғандықтан таңбасы минус болады). Сөйтіп,
(2.1)
Бұл жерде біз белгісіз функция - мен оның туындысы - ні
байланыстыратын дифференциалдық теңдеуге келеміз. (2.1) – ді m- ге бөліп
жіберсек, мына түрге келеміз:
(2.2)
Бұл теңдеудің шешімі мынадай функция болатынын тексеру арқылы
көз жеткізуге болады. Шынында,
( (
(
4-мысал: Жазықтықтағы барлық түзулер үйірінің дифференциалдық теңдеуін
тап. [5]
Шешуі: Жазықтықтағы барлық түзулер үйірі жалпы түрде у=Cx деп жазылады.
Бұған сәйкес келетін дифференциалдық теңдеуді табу үшін, одан х бойынша
туынды аламыз: у(=С. Содан кейін жүйесінен С-ні жоямыз: у=xy(. Міне
осы теңдеу іздеп отырған дифференциалдық теңдеу болып табылады. Оған көз
жеткізу үшін у=Сх–ті у=ху(-ке апарып қоямыз. Сонда Сх=хС, яғни
қанағаттандырады.
5-мысал: Жазықтықтағы барлық дөңгелектер (х-()2+(у-()2=r2 үш
параметрге тәуелді, яғни (, ( және r-ге. Жазықтықтағы барлық дөңгелектер
үйірінің дифференциалдық теңдеуін тап.
Шешуі: Бұл үйірден х бойынша үш рет туынды аламыз.
2(х-()+2(у -()(у(=0 немесе х-(+(у-()у(=0,
1+у(2+(у-()у((=0, 2y(y((+y((((y-()+y(y((=0,
y((((y-()+3y(y((=0.
( және r параметрлері туынды алу кезінде жойылып кетті. Енді тек (
параметрін жойсақ болғаны. Оны соңғы екі теңдеуден жоямыз.
( -
y((((1+y(2)-3y(y((2=0
6-мысал: х3 + y2 =C2 шеңберлер үйірінің А(3; 4) нүктесі арқылы өтетінін
табу керек.
Шешуі: Ізделініп отырған шеңберді табу үшін оған сәйкес келетін C=C0
параметрін табамыз. Ізделінді шеңбер А нүктесі аркылы өтетіндіктен бұл
нүктенің координатилары х2+у2=С0 теңдеуін қанағаттандырады. х=3, у=4
мәндерін тецдеуге қойсақ Со=25 болады. Сонымен ізделінді шеңбер
х2+у2=225 болады.
7-мысал: х2+у2=С шеңберлер үйірінің дифференциалдық теңдеуін жазып
және оның дифференциалдық қасиетін тағайындау керек.
Шешуі: х2+у2=С теңдеуін х бойынша дифференциалдасақ 2х + 2уу(=0 немесе С
параметрі жоқ у(= - xy теңдеуі табылады.
Бүл ізделінді дифференцалдық теңдеу у(=-xy дифференциалдық теңдеуіне
М(х,у) нүктесі арқылы өтетін, шеңберге жүргізілген жанаманың бұрыштык
коэффициенті -1к екендігін кереміз, мүндағы к = ОВ түзуінің бұрыштық
коэффициенті (сурет 1) к=tg(=ух және у=tg(=-ху, tg(=-1 tg(, (=(2 +(.
Сонымен, бұл шеңберлер шоғырының жалпы қасиеті мынадай екен:
Шеңбердің жанамасы, жанасу нүктесіне жүргізілген радиусқа
перпендикуляр.
8-мысал: Дене V жылдамдыкпен, уақыттың квадратына пропорционал тузу
сызықты козғалып келеді. Erep t=0, S=S0 белгілі болса, жүрілген жол S және
уақыт t арасындағы тәуелділікті тағайындау керек.
Шешуі: V=dSdt болғандықтан, S(t) және t арасындағы тәуелділік dSdt=кt2
дифференциалдық теңдеумен байланыстырылған, немесе dS = kt2dt болады. Бұл
теңдіктің екі жағын интегралдап, S(t) = kt23 +С болатын дифференциалдық
теңдеудің жалпы шешімін аламыз. Бастапқы уақыт мезетінде S=So, сондықтан
жалпы шешімге t=0, S=S0 қоятын болсақ, онда С-ның мәні табылады. So=0+С, С=
So. Демек, S(t)=kt23+S0 – ізделінді тәуелділік.
9-мысал: Космостан жерге түсіп келе жатқан материалдық нүктенің
қозғалысының дифференциалдық теңдеуін жазыңыз.
Шешуі: Бүкіл әлемдік тартылыс заңы бойынша нүктеге күші әсер
етеді, мұндағы М – жердің массасы, m – нүктенің массасы -
пропорционалдық коэффициенті және х-нүктеден жердің бетіне дейінгі
арақашықтық (минус таңбасы қойылғанының себебі күштің бағыты
координаттар осінің бағытана қарама-қарсы). Ньютонның екінші заңы
бойынша болғандықтан, немесе Бірақ болғандықтан
ізделінді дифференциалдық теңдеу
түрінде жазылады.
Символдық түрде дифференциалдық теңдеу былай жазылады.
Жалпы алғанда, егер ізделінді функция бір белгісіз айнымалыға
тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу қарапайым дифференциалдық
теңдеу деп аталады.
2.2 АЙНЫМАЛЫСЫ АЖЫРАТЫЛАТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ
КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР
Анықтама. Мына түрде жазылатын
P(x)dx + Q(y)dy = 0
(2.3)
теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп аталынады.
Теңдеудің жалпы интегралы мына түрде жазылады
(2.4)
Мысалы, xdx + ydy = 0 тендеуі айньмалылары ажыратылатылған
дифференциалдық тендеу. Теңдеуді интегралдасақ, жалпы интегралды аламыз:
Егерде
(2.5)
және f2(x)((1(y) ( 0 болса, онда теңдеудің шешімі былай табылады
.
(2.6)
Бұл теңдеуді интегралдағанда f2(x)=0 және (1(y)=0 интегралдық
қисықтары да ескерілуі керек.
Мына түрде жазылған
(2.7)
теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеулерге келтіруге болады. Мұнда a,
b, c – тұрақтылар. Бұл теңдеуді шешу үшін жаңа айнымалы енгіземіз z= ax +
by + c.
Сонда z- айнымалысы үшін төмендегідей айнымалысы ажыратылатын теңдеу
аламыз:
(2.8)
2.2.1 Денелердің салқындауы
10-мысал: Пештен жаңа шыккан нанның температурасы 20 мин ішінде 100С
-ден 60С-қа түседі. Қоршаған ортаның температурасы 25С. Қанша уақыттан
кейін нанның температурасы 30С түседі?
Сурет 2 Дененің салқындауы
Шешуі: дененің сууы жылдамдығын – уақыт бірлігінде Т- температурасының
азаюы деп алғанда, туындысы шығатыны белгілі. Ньютон заңы бойынша
дененің салқындау жылдамдығы оның температурасымен қоршаған ортаның
температурасының айырымынына пропорционал. Бірақ бұл процесс тұрақты емес.
Температураларының өзгеруіне байланысты дененің салқындау жылдамдығы
өзгереді. Наның салқындауының дифференциальдық тендеуі
(2.9)
Бұл жерде Т- нанның температурасы, t- қоршаған ортаның температурасы,
k- пропорциональдық коефициенті, –салқындау жылдамдығы.- уақыт
бірлігінде салқындайды дейік. Онда, көбейткіштерді ауыстыру аркылы
мына түрге келеді.
есептің шарты бойынша
екендігі белгілі, екі жағын интегралдау арқылы
немесе
Теңдіктің екі жағында потенциалдаймыз:
екені белгілі болса, онда
(2.10)
С тұрақтыны бастапқы шарт бойынша анықтаймыз: =0 мин Т=100С
және C=75
Ал ek мәнін есептің қосымша шартын пайдалану арқылы табамыз: = 20 мин
Т=60С, сонда
болады.
Есеп шарты бойынша нанның салкындауының теңдеуі, мына түрде
(2.11)
(2.11) теңдеуден Т=30С болған кездегі уақытты есептеуге
болады
Немесе
мин
2.2.2 Денелердің жылуы
11-мысал: Электр құрылғы 1 кг суды 20С –тан 100С-қа дейін көтеруге
канша уақыт жұмсайды? Егер спиральдағы кернеу 120В, ал кедергі 14,4Ом және
1кг су 10 минутта 40С-тан 30С-қа түсетіні белгілі болса.
Шешуі: Q-t уақыт бойы суға берілген жылу мөлшері болсын, - судың
температурасы.
Джоуль- Ленц заңы бойынша
Бұл жерде -жылу мөлшері, Дж; i- ток күші, а; R-кедергі, Ом; t-уақыт,
секунд;
Судың температурасы -ге өзгергенде , жылу мөлшері
уақыт бойы өсуі, яғни
Бұл жерде с- жылу сыйымдылық және m- масса; су коршаған ауамен жылу
ауысқан кезде уақытта жұтылатын жылу мөлшері, яғни
Бұл жерде, –Ньютон заңы бойынша, суытқыш заттың дифференциалдық
теңдеуі.
Жылудың уақытта толық өсуі
немесе
Судың жылу сыйымдылығы с=1 екені белгілі, сонда 1г судың жылуының
жылдамдығы
(2.12)
болады.
Джоуль- Ленц заңы бойынша
Сонғы теңдеуге ток күшінің, кедергінің мәнін койғанда
(2.13)
Болады. М=1 кг=1000г болғанда
Шарт бойынша 10 мин ішінде су 40С –тан 30С-қа түскенде, есептің
дифференциалдық теңдеуі
болады. Айнымалыларды ажыратқанда
(2.14)
(2.14) интегралдау арқылы
Осыдан
(2.15)
(2.13), (2.14) және (2.15) қатынасын ескере отырып, мынадай дифференциалды
теңдеу шығады
(2.16)
Интегралдау аркылы
аламыз
2.2.3 Денелердің ішінде температураның бөлінуі
Сфералық қабықша
12-мысал: Станционарлық жылулық күйде тұрған құрыштан жасалған шар
қабықша, ішкі радиусы 6 см және сыртқы радиусы 10 см. Ішкі қабатының
температурасы 200С, ал сыртқы қабаты 20 С (сурет 3).
Сурет 3 Дене температурасының бөлінуі
Шар центрінен r қашықтықтағы температураны және 1 сек.та өзінен бөлетін
жылу мөлшерін табу керек(k=0.14 құрыштың жылу сыйымдылығы).
Шешуі: Шар симметриялы болғандықтан, жылу бірдей таралады. Шардың центрінен
r қашықтықтан өтетін жылу, сол жердің бетінің ауданына тең:
Фурьеның жылу өткізгіштік заңы бойынша бөлек сфералыұқ қабаттардың
арасындағы жылу озгеріссіз, кез келген екі кабаттың арасынан бірдей жылу
өтеді. F ауданына таралатын жылудың жылдамдығы, тең болады
(2.17)
Бұл жерде Т- дене температурасы, k- заттың жылу өткізгіштік коэффициенті.
(2.17) мына түрге келеді
Айнымалыларды ажыратып, интегралдағаннан кейін жалпы шешімін табамыз
(2.18)
Есептің жауабын табу үшін бастапқы шарттарын орнына қойамыз Т=20,r=10;
Т=200, r=6 болғандағы C мен Q- дің мәндерін табамыз:
Бұл жерден
Осылайша дененің 1 сек.те өзінен бөліп жатқан жылу мөлшерін табамыз
кал
2.2.4 Цилиндрлік қабықша
13-мысал: Жылу магистралының (20 см диаметр) құбыры қалындығы
10см.лік қабықпен оқшауланған; жылу өткізгіштік коэффициенті k=0,00017.
Құбырдың температурасы 160С, сыртқы қабатының температурасы 30С
(сурет 4). Құбыр мен қабық арасындағы бөлінетін температура мен 1 м
құбырдың бөлетін жылу мөлшерін табу керек.[7]
Сурет 4 Цилиндрлік қабықша
Шешуі: егер дене стационарлы жылулық жағдайда турса, дененің барлық жерінен
бірқалыпты Т температура шақса, және ло функциясы тек бір х коордиратасында
жатса, онда ол Фурьенің жылу өткізгіштік заңына сәйкес 1сек.та
жылу шығарады.
Бұл жерде F(x)- x қашықтықта кесілген қиманың ауданы, k- жылу
өткізгіштік коэффициенті.
Есеп бойынша
Бұл жерде l- құбыр ұзындығы, см. Х- құбырдың радиусы,см.
Айнымалыларды ажыратқаннан кейін есептің дифференциалдық тендеуі мына түрге
келеді
(2.19)
Теңнің екі жағында интегралдаймыз
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.22) пен (2.23) -ті мүшелеріне сәйкес бөлгенде
Бұл жерден температураның оқшаулану заңдылығы шығады
T=591,8-431,8lgx.
(2.21)- тен l=100cм болғанда
Бір күнде бөлінетін жылу мөлшері
кал
2.2.5 БРУСҚА ТҮСЕТІН КҮШ
14-мысал: Ұзындығы l=100 м болған 2Т жукке керілетін металдық брус
(көлденең қималарына түсетін куштер бірдей). Металдың шыдамдылығы σ
=1000кг, ал оның салыстырмалы слмағы γ=7,6 г. Брустың ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz