Предикаттар логикасы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 20 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

І
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
ІІ Негізгі бөлім
1. Предикаттар
логикасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... .4
2. Предикаттар. Негізгі
ұғымдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
...7
3.
Кванторлар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
4. Орындалуы мен
шынайылығы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... 19
ІІІ
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ..21

Кіріспе

Педикаттар логикасы ойын айту логикасын дамытуды айқындайды. Ойын
айтып жеткізу логикасының формулаларының көмегімен, мысалы алгебра логикасы
арқылы ойын айтып жеткізудің күрделі жүйесін суреттеп және зерттеуде, оған
кіретін қарапайым ойын айтып жеткізудің ақиқат және жалған екендігіне
байланысты екендігін айқындау қажет.
Қарапайым ойын айтып жеткізудің ішкі логикалық жүйесін суреттеу үшін
предикат ұғымы пайдаланылады.
Логикалық байланыстардың көмегімен предикаттар бірігіп әртүрлі
логикалық формулаларға предикатты формулалар болады.
Предикатты формулаларды зерттеу және олардың ақиқатты екенін айқындау
тәсілі предикаттар логикасының негізгі пәні болып табылады.
Предикаттар теориясы, ойын айтып жеткізу логикасы секілді алгебра
логикасының предикаттары және санау предикаттары түрінде құрылуы мүмкін.
Осындай таңдау бірқатар себептермен айқындалады. Предикаттарды
қолдана отырып, түзіліс процесс жүйенің логикалық болжамдарында
предикаттардың логикасының және байланыстары маңызды рол ойнайды.
Предикаттар логикасы соған кіретін ойын айтып жеткізетін логикасы мен
математиканың логикалық тілінің негізі болып табылады. Соның көмегімен
формуландыру және математикалық теориялары дәл зерттеудің негізгі әдістері
болып табылады.
Предикаттар логикасы дамыған жүйелерді, тілдерді және формальды
жүйелерді құрудың маңызды құралы болып табылады.
Курс жұмысы кіріспеден, екі тарудан, қорытындыдан және пайдаланылған
әдебиеттер тізімінен тұрады.

Предикаттар логикасы
Предикаттар логикасы ойын айту логикасын дамытуды айқындайды. Ойын
айтып жеткізу логикасының формулаларының көмегімен, мысалы алгебра
логикасы арқылы ойын айтып жеткізудің күрделі жүйесін суреттеп және
зерттеуге, оған кіретін қарапайым ойын айтып жеткізудің ақиқат немесе
жалған екендігіне байланысты екендігін айқындау қажет. Қарапайым ойын
айтып жеткізудің (байланысы жоқ ойын айтып жеткізу) ішкі логикалық
жүйесін суреттеу үшін предикат ұғымы пайдаланылады.
Предикат дегеніміз – ауыспалы заттық мазмұны бар соған сәйкес көп
жақты ұғыммен айқындалған хабарлы сөйлем.
Ауыспалыларды нақты мағыналармен (элементтермен) ауыстырғанда көп
түр немесе сөйлемге айналып ақиқат немесе талғам деген мағынаға ие
болады. Предикатты белгілеу яғни п ауыспалы мазмұнында болса (п –
орынды предикат); Р (х1, х2, ... хп) мұндай кезде айқындалатыны егер
х1є М1, х2 є М2; ... хп є Мп
Мысал ретінде үш ой айтып жеткізуді қарастырамыз:
А – сом – Ресей валютасы
В – Доллар – Ресей валютасы
С – Доллар – АҚШ валютасы
А және С айтып жеткізу – ақиқат, ал В – жалған. Е – ге нақты
валютаның аттарының А, В ойын айтып жеткізу (мүмкін соған ұқсас болуы
мүмкін) пәндік ауыспалы х – ті қойып ақша бірліктерінің аттарының
көпшілінде анықтауға болады х є сом, доллар, фунт стерлинг, ...,
марка, сонда бір орынды предикат Р (х) – х – Ресей валютасы.
Егер А, В, С ойын айтып жеткізулерінде (немесе соған ұқсас болса)
онда нақты валюта мен мемлекеттердің орнына соған сәйкес х және у
мәндерін қойса, онда у є Ресей, АҚШ, Англия, ..., Германия
деген мағынада екі орынды предикат алынады Р (х, у) – х – валюта у.
Аталған прдикаттар үшін жалпы болып табылады, яғни соған сәйкес анықтау
облысына кіретін ауыспалылардың мағынасын жазғаннан кейін, ақиқат
немесе жалған қасиеттері бар ойын айтып жеткізу мағынасын аламыз.
Логикалық байланыстардың (жақшалардың) көмегімен предикаттар бірігіп
әр түрлі логикалық формулаларға – предикатты формулалар болады.
Предикатты формуларды зерттеу және олардың ақиқатты екенін айқындау
тәсілі предикаттар логикасының негізгі пәні болып табылады.
Предикаттар логикасы соған кіретін ойын айтып жеткізетін логикасымен
математиканың логикалық тілінің негізі болып табылады. Соның көмегімен
формуландыру және математикалық теорияларды дәл зерттеудің негізгі
әдістері болып табылады. Предикаттар логикасы дамыған жүйелерді
тілдерді және формальды жүйелерді (формальді теориялар) құрудың маңызды
құралы болып табылады.
Предикаттар теориясы, ойын айтып жеткізу логикасы секілді алгебра
логикасының предикаттары және санау предикаттары түрінде құрылуы
мүмкін. Осындай таңдау бірқатар себептермен айқындалады:
• Алгебра логикасының предикатты формулаларын зерттеу, олардың қайта
пайда болуы предикаттарды санауға қарағанда қарапайымдылау болады.
• Алгебра аппаратын қолдануды шектеу айқындалғаны, пәндік облыстарда
(пәнді ауыспалы предикаттарда белгіленген көпжақтылық) теориялық
жағынан шексіз болуы мүмкін. Мұндай жағдайларда предикаттардың және
жалпы алғанда формулаларыдың ақиқат екендігін тексерудің стандартты
тәсілі пәндік ауыспалалардың барлық мүмкін қоюылуын қажет ететін тәсіл
қатаң мағынада іске асырыла алмайды (дәлірек айтқанда ақиқатты есептеу
процедурасы шексіз болуы мүмкін және қандайды соңғы уақытқа жауап бере
алмауы мүмкін). Бірақ тәжірибеде кездесетіндей пәндікоблыстар ретінде
нақты жүйелерді, процестерді, құбылыстарды суреттегенде ереже бойынша
соңғы көп жақтылық қолданылады. Сондақтан шексіздік мәселесі өзінің
маңызды деңгейлігінде өзінің өзектілігін жоғалтады.
• Төменде, суреттелген мысалдарда шексіз көп жақтылықпен көптеген
натуралды сандармен ақиқатты формула арқылы тексеру қажеттілігінде орта
мектепте басқа пәндерден алған білімдерге, мысалы мектептік
арифметикаға негізделеміз.

§ 5.1. Предикаттар. Негізгі ұғымдар.

n – орындық предикат – ол дегеніміз Р (х1, х2, ... , хn)
функциясының n ауыспалыларынан кейбір пәндік облыстарда мағыналарды
қабылдайды, яғни х1 є М1 , х2 є М2 , ... х є Мп болып, ал Р функциясы
екі логикалық мағына – ақиқат және жалған мағыналарды қабылдайды
(белгілеулер: И, Л, 1,0). Сонымен предикат Р (х1,
х2, ... , хn) төмендегідей типтегі фунция болып табылады. Р: М1 х М2 х
... х Мn → В, бұл жерде көп жақтылар М1, М2, ..., Мn предикаттың
пәндік облыстары болып табылады, ал х1, х2, ... , хn – предикаттың
пәндік ауыспалылары, ал В – екі еселенген (биналық) көпжақтылық: В =
{И, Л} немесе {1,0}. Егер предикаттың ауыспалалардың мағынасы бір
көпжақтылықта болса Р: Мn → В.
Предикаттардың, қатынастардың және функциялардың арасындағы
сәйкестіктер:
1. Кез келген М және п арасында бір мағыналық сәйкестіктер п –
орындық қатынастардың көрінісі R Мn → В
- әр n – орынды қатынастарға R – ға предикаттар Р (х1, х2, ...
, хп) сәйкес яғни Р (а1, а2, ... , ап) = 1 егер және сол кезде (а1, а2,
... , ап) є R болса.
- предикаттың әрқайсысы Р (х1, х2, ... , хn) қатынастарды
айқындап R сағынасы егер (а1, а2, ... , ап) є R егер тек қана сол Р(а1,
а2, ... , ап) = 1
Мұндай кезде R предикат Р – дің ақиқаттың облысын айқындайды.
2. Әр функцияға f (х1, х2, ... , хп) және f: Мn → М, соған сәйкес
предикат Р (х1, х2, ... , хп , хп+1 ), Р:Мn+1 → B және P(a1, a2,..., an,
an+1)=1 егерде f(a1, a2, ..., an)=an+1
Предикаттың ұғымы функцияның ұғымына қарағанда кеңірек (5.1-суретті
қараңыз) сондықтан керісі де сәйкес (n+1) – орындық предикаттан n-
орынды функцияға барлық кезде сәйкес келмейді, ол тек қана Р(
предикатына егер оларға кейбір жағдай орындалса, іске асады (функцияның
бір мағыналылық талаптарымен байланысты болса):
егер Р((a1, a2,..., an, an+1)=R
онда кез келген a(n+1 ( an+1
Р((a1, a2,..., an, a(n+1)=0 (5.1)
Сондай сәйкестік (өзара бір
мағыналық) көпжақтылық қатынасы арасында және функция
көпшілігінде болады. Осы кластағы қатынастар үшін сондай жағдай
орындалады:
егер (a1, a2,..., an, an+1) £ R(, онда әр a(n+1 ( an+1, (a1, a2,..., an,
an+1)(R(0 (5.2)
P(a1, a2,..., an) теңдеуіне Р(a1, a2,..., an)=1 тұжырымы ретінде
қарастырамыз немесе Р(a1, a2,..., an) ақиқат, ал Р(х1, x2,..., xn)
теңдеуін ауыспалы тұжырым ретінде қарастырамыз, оның шынайы түрі х1,
х2, ..., хn ауыспалыларының орнына М көбейтінді элементін қойып
анықталады. Мұндай жағдайда Р(х1, х2, ..., хn) логикалық ауыспалы деп
атайтын боламыз, х1, х2, ..., хn ерекшелігі – пәндік ауыспалылар
(логикалық емес).
Жоғарыда айтып өткендей предикаттардан қосымша болжамдар түзуге
болады,
- предикаттар логикасының формуласы.
Префиксті жазбаға байланысты екі орынды предикаттарды белгілеу үшін
P(x1,x2) инфиксті таспалар жиі қолданыла бермейді. х1Рх2
1-мысал. Натуральды сан көбейтіндісінде анықталған төмендегі
предикаттар қандай қатынастарға және функцияларға сәйкес келеді:
1) Е(N2→B теңдігінің предикаты;
Е(а1, а2)=1 сонда және тек қана сонда а1=а2 болғанда
2) Q(N2→B ретінің предикаты
Q(a1, a2)=1 сонда а1=а2 болғанда ғана
3.D(N2→B бөлінгішінің предикаты
D(a1, a2)=1 сонда а1 бөлінеді а2 болғанда ғана
4.S(N3→B мөлшерінің предикаты
S(a1, a2, a3) =1 сонда, a1+a2=a3 болғанда ғана
5.П(N3→B шығармасының предикаты
П(a1, a2, a3)=1 сонда және a1(a2=a3 болғанда ғана
→1.E-x1=x2 мәнінің екі орынды предикатына өзара бірыңғай сәйкес
келеді:
a) Екі орынды қатынас R1 – тең болу, R1(N2: (a1, a2)(R1 сонда және тек
қана E(a1, a2)=1;
b) Бір орынды функция f 1(x1)=x2 мәнінде атап атқанда: f1(x)=x, f(N→N
2.Q-x1(x2 ретінің екі орынды предикатына R2 екі орынды қатынас
өзара бірыңғaй сәйкес келеді R2 – көп болмау R2(N2
(a1, a2)(R2 сонда және тек қана Q(a1, a2)=1 болғанда ғана
Бірақ та f(x1)=x2 функциясы Q(x1, x2) ретінің предикаты үшін
болмайды, (5(1) теңдеуі орындалмағандықтан: х ауыспалының бірдей
мәнінде х2 ауыспалының бір ғана мәні болмайды, мұндай жағдайда Q
предикаты шынайы. Мысалы, Q(2,4)=1 және Q(2,6)=1, бірақ та 4(6.
3.D=x1-x2–ге бөлінеді бөлінгішінің екі орынды предикатына өзара
бірыңғай екіорынды қатынас сәйкес келеді.
(a1, a2)(R3 сонда және D(a1, a2)=1 болғанда ғана.
Бірақ та f (x1)=x2 функциясы D(x1, x2) бөлгіштік предикаты үшін
болмайды, мұндағы (5,1) шарты орындалмағандықтан, мысалы, D(6.2) =1
және D(6.3) =1, бірақ та 2(3.
4.S – x1+x2=x3 мөлшерінің үш орынды предикатына өзара бірыңғай
сәйкес келеді:
a) R4(N3 үш орынды қатынас:
(a1, a2, a3) є R4 сонда және S(a1, a2, a3)=1 болғанда ғана;
f2(x1, x2)=x3 қосындысы, ал атап айтқанда:
x1+x2=x3
5. П – x1(x2=x3 мәнінің үш орынды предикатына өзара бірыңғай
сәйкес келеді:
a) R5(N3 үш орынды қатынас:
(a1, a2, a3)(R5 сонда және П(x1, x2, x3)=1 болғанда ғана;
б) екі орынды функция (арифметика операциясы) көбейтінді f3(x1,
x2)=x3, атап айтқанда, x1(x2=x3
S және f2 (П және f3) арасындағы сәйкестіктің өзара бірыңғайлығы
S(П) предикаты үшін орындаумен (5(1) теңдеуі негізделген;
a1, a2(N элементінің әрбір жүйелі үшін мынадай жалғыз ғана элемент
болады а3((, мұнда S(a1, a2, a3)=1 (П (a1, a2, a3)=1 үшін сәйкес
келеді)
2-мысал. Бөлгіштік предикатының мысалында қайта үйлестіру, нақты 1
мысалда анықталғанда, ауыспалы болжам ұғымы, шынайы болжам, жалған
болжам.
→D(x1, x2) бөлгіштігінің предикаты – бұл ауыспалы болжам (екі
орынды), оның пәндік аймағы ретінде шынайы санның кез келген
көбейтіндісі қолданылады, мысалы ( көбейтіндісі.
D(6,2) – болжам, оның мәні шындық, яғни шынайы болжам.
D(5,2) – жалған болжам;
D(3,х), D(х,2) – ауыспалы (бір орынды) болжам, оның шынайылығы
символ х қандай санмен орналасатындығына ғана байланысты, бірақ D(а1,
1) – шынайы болжам, а(N кез келген элементі үшін D(а1, 1) =1 орын
алады.
3-мысал. Тұжырым предикаттарын логика өрнегімен жазу, бүтін сан
бөлгіштігінің транзистік қасиетін білдіреді.
→ Бүтін сан бөлінгіштігі қатынасатын транзитивтілігі қасиетінің
формулировкасына қосымша тұжырым жатады.
егер а бөлінеді b және b болса, с бөлінетін болса, онда а бөлінеді
с-ға.
Үш жай тұжырымнан тұрады D(а1,в), D(в, с) және D(а, с). Нәтижесінде,
бөлінгіштіктің транзитивті қасиетін қосымшада тұжырым түрінде жазуға
болады. (логикалық өрнектер):
егер D(а, в) және D(в, с) болса, онда D(а, с) немесе
(D(а, в) & D (в, с)→ D(а, с)
4-мысал. Төмендегі қосымшада тұжырымға сөздік өрнектер беру:
1.S(a,b,c) &D(a,d) &D(b,d)→D(c,d).
Мұндағы S және D – сәйкес келетін бөлгіштік және мөлшер
предикаттары;
2. S(a,в,c);
3. S(a,в,c) ~ S(в,a,c);
4. P1~ P2.
Тұндағы Р1-3n санының прединаты тақ санға жатады; Р2-n санының
предикаты шуы.
Егер әрбір өажетті а,в бүтін сом мөлшеді d кейбір санға бөлінсе,
онда с мөлшері мына санға бөлінеді:
S (a,b,c)& D(a,d) & D(в,d)→ D(c,d).
2. a саны в санына белінбейді, және олардың саны с тең екендігі
дұрыс емес.
S(a,в,c).
3. а және в мәнінің орнын реттеуден с мөлшері өзгермейді, -
арифиетекалық операцияның коммутативтілік қастеті:
S(a,в,c) ~ S(в,a,c);

4. 3 n саны жұп болады, n жұп болғанжа ғана:
Р1 ~ Р2
Эквиваленттілік басқа да тіркестік өрнектермен де бекіледі, соның
ішінде:

§ 5.2 Кванторлар.

Предикаттарды қолдана отырып түзіліс процесс, жүйенің логикалық
болжамдарында предикаттарың логикасының және байланыстары маңызды рол
ойнайды. Жалпының және бар болуы .
Р(х)-предикат болсын делік, М-де анықталған, яғни х є М.
Барлық х үшін тутырындар М Р (х)-тен шынайы х Р(х) белгіленеді;
х белгісі жалпының х Р(х); кванторы деп аталады.
Р(х)-тен х Р(х)-ке немесе х Р(х) өтуі хауыспалыны
байланыстыру деп аталады, немесе кез-келген х ауыспалыға кванторды
өлшей отырып, немесе х ауыспалыны квалтивикациялап.
Квантор өлшенген ауыспалы, байланысқан деп аталады, квантормен
байланыспаған ауыспалы еркін деп аталады.
Кванторларды көп орында предикаттарға өлшеуге болады және кез-келген
логикалық тұжырымға барлығы. Квантор өлшенетін ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.