Сүт өнімі туралы мәлімет
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
І. ӘДЕБИЕТКЕ ШОЛУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1.1. Сүттің химиялық және минералдық құрамы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2. Сүт және сүт өнімдерінің микрофлорасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.2.1. Сүт қышқылы ашу процесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
1.2.2. Гомоферментативті сүт қышқылы ашуының
қоздырғыштары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .11
1.2.3. Гетероферментативті сүт қышқылы ашу процесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..11
1.2.4. Моноқышқылды бактериялардың практикада қолданылуы ... ... ... ... ... ... ..14
1.3. Сүттің құрамы мен қасиеті ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
1.3.1. Сүттің химиялық құрамы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .18
1.3.2. Сүттің минералдық құрамы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .20
1.3.3. Витаминдер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
1.4. Сүт ферменттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..22
1.5. Сүттің пайда болуы мен бөлінуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...30
ІІ. ТӘЖІРИБЕЛІК БӨЛІМ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .39
2.1. Сүттегі және сүт өнімдеріндегі микроорганизмдердің тұқымының жайылу көздері және олардың зерттеу көздері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .
2.2.Сүт қышқылы өнімдеріндегі ашытқылар мен сүтқышқылы бактерияларын зерттеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .40
2.2.1. Сүт өнімдеріндегі сүтқышқылы бактериялары мен ашытқылар
оларды жинау және бөліп алу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .41
2.2.2. Ацидофильді таяқшаларды таңдау және бөліп алу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
2.2.3. Лактозаны ашытатын ашытқыларды таңдау мен бөліп алу ... ... ... ... ... ... ..44
2.3. Сүтқышқылды тағамдардың микрофлорасы мен осы өнімдердің таза культураларда дайындалуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .44
2.4. Сүттің сақталу кезіндегі микрофлораларының өзгеруі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...45
2.4.1. Ашытқылар мен зеңдердің даму фазасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 46
2.4.2. Сүттің бактериялық ластануын анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .47
2.4.3. Сүттің бойында кездесетін бактерияларды дақылдандыру
және дақылдық белгілерін зерттеу әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...48
2.4.4. Сүттің ең ақырғы қышқылдығын анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..50
2.5.Тәжірибелік дақылдардың морфофизиологиялық қасиеттерін анықтау әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...50
2.5.1. Тірі препарат дайындау әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .51
2.5.2. Қақталған препарат дайындау әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...51
2.5.3. Грам әдісімен бояу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 51
ІІІ. ЗЕРТТЕУ НӘТИЖЕЛЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .52
3.1. Сүттің бактериялық ластануын анықтау нәтижелері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.2. Сүттің бойында кездесетін бактериялардың дақылдық белгілерін зерттеу нәтижелері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...53
3.3. Тәжірибелік дақылдардың морфофизиологиялық белгілерін анықтау нәтижесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...54
3.3.1 Тірі препарат дайындау әдісінің нәтижелері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .55
3.3.2. Қақталған препарат дайындау әдісінің нәтижесі. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .55
3.3.3. Грам әдісімен бояудың нәтижесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..56
ІV. ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..58
V. ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... 59
І. ӘДЕБИЕТКЕ ШОЛУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1.1. Сүттің химиялық және минералдық құрамы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2. Сүт және сүт өнімдерінің микрофлорасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.2.1. Сүт қышқылы ашу процесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
1.2.2. Гомоферментативті сүт қышқылы ашуының
қоздырғыштары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .11
1.2.3. Гетероферментативті сүт қышқылы ашу процесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..11
1.2.4. Моноқышқылды бактериялардың практикада қолданылуы ... ... ... ... ... ... ..14
1.3. Сүттің құрамы мен қасиеті ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
1.3.1. Сүттің химиялық құрамы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .18
1.3.2. Сүттің минералдық құрамы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .20
1.3.3. Витаминдер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
1.4. Сүт ферменттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..22
1.5. Сүттің пайда болуы мен бөлінуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...30
ІІ. ТӘЖІРИБЕЛІК БӨЛІМ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .39
2.1. Сүттегі және сүт өнімдеріндегі микроорганизмдердің тұқымының жайылу көздері және олардың зерттеу көздері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .
2.2.Сүт қышқылы өнімдеріндегі ашытқылар мен сүтқышқылы бактерияларын зерттеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .40
2.2.1. Сүт өнімдеріндегі сүтқышқылы бактериялары мен ашытқылар
оларды жинау және бөліп алу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .41
2.2.2. Ацидофильді таяқшаларды таңдау және бөліп алу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
2.2.3. Лактозаны ашытатын ашытқыларды таңдау мен бөліп алу ... ... ... ... ... ... ..44
2.3. Сүтқышқылды тағамдардың микрофлорасы мен осы өнімдердің таза культураларда дайындалуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .44
2.4. Сүттің сақталу кезіндегі микрофлораларының өзгеруі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...45
2.4.1. Ашытқылар мен зеңдердің даму фазасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 46
2.4.2. Сүттің бактериялық ластануын анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .47
2.4.3. Сүттің бойында кездесетін бактерияларды дақылдандыру
және дақылдық белгілерін зерттеу әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...48
2.4.4. Сүттің ең ақырғы қышқылдығын анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..50
2.5.Тәжірибелік дақылдардың морфофизиологиялық қасиеттерін анықтау әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...50
2.5.1. Тірі препарат дайындау әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .51
2.5.2. Қақталған препарат дайындау әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...51
2.5.3. Грам әдісімен бояу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 51
ІІІ. ЗЕРТТЕУ НӘТИЖЕЛЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .52
3.1. Сүттің бактериялық ластануын анықтау нәтижелері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.2. Сүттің бойында кездесетін бактериялардың дақылдық белгілерін зерттеу нәтижелері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...53
3.3. Тәжірибелік дақылдардың морфофизиологиялық белгілерін анықтау нәтижесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...54
3.3.1 Тірі препарат дайындау әдісінің нәтижелері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .55
3.3.2. Қақталған препарат дайындау әдісінің нәтижесі. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .55
3.3.3. Грам әдісімен бояудың нәтижесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..56
ІV. ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..58
V. ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... 59
Сүт – адамзаттың ежелден келе жатқан тағамы. Тарихи деректерге қарағанда адам әуелі етпен, содан кейін сүтпен қоректенгенді үйренген секілді.
Сөйтіп, сүтті ашытып – сусын, қайнатып – құрт, ірімшік, тағы басқа тағамдар дайындаған. Бұл баға жетпес тағамдар талай ғасырлардан бері өз мәнін жойған жоқ. Қазіргі таңда осы сүт өнімінен жасалған тағамдардың сапасын мемлекеттік стандартқа сәйкес бақылау жүзеге асырылуда.
Сүт – өте бағалы өнім. Олай дейтініміз, адам ағзасына сүттің құрамдас бөлігінің 95 – 98% сіңеді. Сүт сондай – ақ амин қышқылдарының, макро және микроэлементтердің, дәрумендердің таптырмайтын көзі болып табылады. Сүт өсімдік өнімдерімен және мал өнімдерімен қосылып, адам тағамының биологиялық құндылығын арттырады.
Сөйтіп, сүтті ашытып – сусын, қайнатып – құрт, ірімшік, тағы басқа тағамдар дайындаған. Бұл баға жетпес тағамдар талай ғасырлардан бері өз мәнін жойған жоқ. Қазіргі таңда осы сүт өнімінен жасалған тағамдардың сапасын мемлекеттік стандартқа сәйкес бақылау жүзеге асырылуда.
Сүт – өте бағалы өнім. Олай дейтініміз, адам ағзасына сүттің құрамдас бөлігінің 95 – 98% сіңеді. Сүт сондай – ақ амин қышқылдарының, макро және микроэлементтердің, дәрумендердің таптырмайтын көзі болып табылады. Сүт өсімдік өнімдерімен және мал өнімдерімен қосылып, адам тағамының биологиялық құндылығын арттырады.
1. Барақбаев Б. Сүт және сүт тағамдары. Алматы, «Қайнар», 1989ж. 6 б.
2. Федоров М.В. Микробиология. Москва, 1960г.
3. Шоканов Н. Микробиология. А., 2003ж.
4. Бренц М.Я., Козлов В.Н. Сүт және сүт тағамдары 1983ж. 766
5. Ивашура А.И. Сүт тіршілік тірегі. Алматы, «Қайнар», 1979ж.
115 б.
6. Теппер Е.З. и др. Практикум по микробиологии. Под редакцией
Шильниковой. Москва, 2004г. 546.
7. Чурбанова Н.Н. Микробиология, Москва, 1987г. 336.
8.Асонов Н.Р. Микробиология. Москва, 1989г. 246.
9. Диланян З.Х. Молочное дело. Москва, «Колос» 1979г. 1216.
10. Будорагина Л.В. Производство кисломолочных продуктов.
Москва, 1989г. 2096.
11.Королев С.А. Основы технической микробиологии молочного дела. 986.
12. Медицинская микробиология, вирусология, иммунология. Москва,
Медицина, 1994г. 566 б.
13. Мишустин Е.Н., Емцев В.Т. Микробиология, Москва, 1979г. 186 б.
14. Мукашева Г.Д. Практическое занятие по микробиологии. А., 1991.
15. Ысқақбаев Б. Сүт және сүт өнімдері. «Қайнар», 1977ж. 856 б.
16. Абдрахманов О. Төменгі сатыдағы өсімдіктер систематикасы.
Алматы, 1972ж. 126 б.
17. Ивашура А.И. Молоко и жизнь. Москва, 1976г. 236 б.
18.Аникиев В.В., Лукомская К.А. Руководство к практическим
занятиям по микробиологии. Москва, «Просвещение», 1983г. 326 с.
19. Індеттану және микробиология негіздері. А., 1991ж.
20. Жаппарбергенова Э.Б., Сейтметова А.М. Микробиология пәніне
арналған әдістемелік нұсқаулар. Шымкент, 2002ж.
2. Федоров М.В. Микробиология. Москва, 1960г.
3. Шоканов Н. Микробиология. А., 2003ж.
4. Бренц М.Я., Козлов В.Н. Сүт және сүт тағамдары 1983ж. 766
5. Ивашура А.И. Сүт тіршілік тірегі. Алматы, «Қайнар», 1979ж.
115 б.
6. Теппер Е.З. и др. Практикум по микробиологии. Под редакцией
Шильниковой. Москва, 2004г. 546.
7. Чурбанова Н.Н. Микробиология, Москва, 1987г. 336.
8.Асонов Н.Р. Микробиология. Москва, 1989г. 246.
9. Диланян З.Х. Молочное дело. Москва, «Колос» 1979г. 1216.
10. Будорагина Л.В. Производство кисломолочных продуктов.
Москва, 1989г. 2096.
11.Королев С.А. Основы технической микробиологии молочного дела. 986.
12. Медицинская микробиология, вирусология, иммунология. Москва,
Медицина, 1994г. 566 б.
13. Мишустин Е.Н., Емцев В.Т. Микробиология, Москва, 1979г. 186 б.
14. Мукашева Г.Д. Практическое занятие по микробиологии. А., 1991.
15. Ысқақбаев Б. Сүт және сүт өнімдері. «Қайнар», 1977ж. 856 б.
16. Абдрахманов О. Төменгі сатыдағы өсімдіктер систематикасы.
Алматы, 1972ж. 126 б.
17. Ивашура А.И. Молоко и жизнь. Москва, 1976г. 236 б.
18.Аникиев В.В., Лукомская К.А. Руководство к практическим
занятиям по микробиологии. Москва, «Просвещение», 1983г. 326 с.
19. Індеттану және микробиология негіздері. А., 1991ж.
20. Жаппарбергенова Э.Б., Сейтметова А.М. Микробиология пәніне
арналған әдістемелік нұсқаулар. Шымкент, 2002ж.
Пән: Ет, сүт, шарап өнімдері
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 53 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 53 бет
Таңдаулыға:
Кіріспе
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан
ір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін
күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта
мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы
санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды
жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
Математикалық есептерді шешкенде мектеп оқушыларында логикалық ойлау
қабілеті мен олардың өнертапқыштық қасиеттері дамитындығы белгілі. Жоғарғы
сынып оқушыларының математика пәнін оқу кезінде олардың төмендегі
қасиеттері дамитындығы белгілі:
1.Берілген есеп белгілі бір есептердің класына жататындығын ұғыну;
Есепті әртүрлі әдістермен шешіп және ол әдістердің жеңіл және қиын
жақтарын ескере отырып, оның керемет шешу жолын анықтау. Есептің
шығарылу әдістерін салыстыру және талдау арқылы, оқушылар өздерінің алған
білімдерін терңдетуге және нықтауға мүмкіндік алады. Сондықтан бір типтегі
есептердің бірнешеуін шешкеннен, бір есепті бірнеше әдіспен шешу
тиімділігін ұғынады.
2.Өздігінше бірнеше белгілі әдістерді комбинациялайды.
3.Есепті шешу кезінде ең кем дегенде жаңаша бір әдіс алу мүмкіндігі
дамиды.
Зерттеудің өзектілігі: Оқушылардың творчествалық дамуы үшін қиын және
стандартты емес есептерді шешу өте маңызды. Қиын математикалық есептерді
шешу үшін, оқушылардың мұндай есептерді шешуде тәжербиесінің, оларды шешу
әдістері мен оларға түрлендірулер пайдалана білу қабілеттіліктерін мол
болуы талап етеді. Стандартты емес есептер – нақты бір шешу алгоритмі жоқ
есептер. Сондықтан мұндай есептерді шешу кезінде оқушыларда математикалық
мәдениет, ой – өрісінің тереңдігі дамиды. Қорыта айтқанда, стандартты емес
есептер оқушылардың интелектуалдық мүмкіндіктерін арттырады, ал стандартты
есептер мұндай мүмкіндікті бермейді.
Стандартты емес есептер көбіне математикалық олимпиада есептері мен
конкурстық есептерде кездеседі. Әдетте стандартты емес есептерді шешу үшін,
стандартты емес әдістер қолданылатындығы түсінікті. Мұндай есептерді шешу
үшін оқушыларда қосымша стандартты емес есептерді шешу әдістерінің қоры
болуы керек.
Мектеп курсындағы алгебралық теңдеулерді тригонометриялық
түрлендірулердің көмегімен шешу стандартты емес әдістердің бірі болып
табылады. Тригонометриялық түрлендірулер өте күрделі және көпқадамды
есептерді жеңіл шешуге мүмкіндік береді. Ол көбіне, негізгі әдістермен
шешілмейтін немесе өте қиын шешілетін есептерді шешуде қолданылады.
Математиканың тереңдетіп оқыту сыныптарында, тригонометриялық
турлендірулер көмегімен алгебралық есептерді шешуге қосалқы сағаттар
беріледі, ал қарапайым сыныптарда мұндай сағаттар бөлінбейді. Сондықтан
математикалық олимпиадаларда, көбіне математиканы тереңдетіп оқытатын
сыныптардың оқушылары жоғарғы орындарды иеленіп жатады.
Зерттеу мақсаттары: Жоғарыда айтылғандарды ескере келіп, алгебралық
теңдеулерді тригонометриялық түрлендірулердің көмегімен шешу әдістерін
барлық мектеп сыныптарында енгізу қажеттілігі туындайды. Себебі:
1.Тереңдетіп оқыту курсты әртүрлі стандартты емес есептермен
толықтыруға мүмкіндік береді. Ал ол өз кезегінде оқушылардың творчествалық
мүмкіндіктерін дамытуға зор үлесін тигізеді. Сонымен қатар,
тригонометриялық түрлендірулер күрделі олимпиада есептерін шешудің тиімді
әдістерінің бірі болып табылады.
2.Математикалық мектептерге, немесе математиканың тереңдетіп оқыту
мектептеріне және т.б. қабылдағанда оқушыларға күрделі есептер ұсынатындығы
белгілі. Оқушыларға бұл есептерді шешу барысында стандартты емес әдістерді
пайдалану қажеттілігі туындайды. Сондай әдістердің бірі тригонометриялық
түрлендірулер болып табылады.
3.Тригонометриялық алмастырулар көмегімен шешілетін есептер жеткілікті
түрде жоғарғы деңгейлі алгебралық мүмкіндіктер қандай қажеттілік тудырса,
тригонометриялық алмастырулардың да соншалық мүмкіндігі бар. Бұл дегеніміз
белігілі бір есепті шешуде қолайлы әдісті пайдаланып, оның шешу әдістерін
бағалау болып табылады.
4.Оқушы тригонометриялық алмастыруларды қолдану барысында есепті шешу
үшін алмастыру енгізу аргументтерін толықтай үйренеді.
Дипломдық жұмыс кіріспе, үш тарау, қорытынды, пайдаланған әдебиеттер
тізімінен тұрады. Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді
оқыту әдістемесі атты тарауында негізгі түсініктер мен теңдеулерді шешу
жолдары қарастырылған. Алгебралық теңдеулерді шешуде тригонометриялық
алмастыруларды қолдану атты тарауында иррационал, рационал, көрсеткіштік
және тағы басқа теңдеулерді тригонометриялық алмастыруларды қолданып шешу
жолдары көрсетілген есептер қарастырылып, аталған тақырыптарға мысалдар
келтірілген. Алгебралық теңдеулерді шешуде компьютерлік технология
көмегімен шешу атты тарауында теңдеулерді заманауи талапқа сай арнайы
математикалық пакеттердің көмегімен алгебралық теңдеулердің нақты шешімдері
көрсетілген.
Пәні: Математиканы оқыту әдістемесі.
Зерттеу объектісі: Математикалық стандарты емес теңдеулер мен
теңсіздіктер ұғымы.
Алгебралық есептерді шешу барысында тригонометриялық алмастыруларды
қолдану бағытында математиканың әртүрлі бөлімдерімен өзара байланыс
жасалған. Атап айтсақ, алгебра мен тригонометрия.Сонымен қатар есептерді
шешу барысында туындайтын мәселелерді тез шешуге, есептерді шешуге қолайлы
әдістерді іздеу арқылы белгілі нәтижеге қол жеткізу оқушыларды
батылдылыққа, ізденімпаздыққа тәрбиелейді.
1 Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқыту әдістемесі
1.1 Теңдеулер мен теңсіздіктер жайлы ұғымның қысқаша тарихы
4000 жылдай бұрыңғы уақыттың өзінде-ақ вавилондықтар мен мысырлықтар
жер өлшеу, құрылыс және әскери істерінің әр түрлі есептерін теңдеулер құрып
шығарған. Бірінші және екінші дәрежелі теңдеулерді ежелгі заманда Қытай
және Үнді ғалымдары да шеше білген.
Теңдеулер арқылы шығарылатын есептер ең ежелгі көптеген текстерде
кездеседі. Мысалы, өсімдіктерден жасалған орам түріндегі Мәскеулік
папируста б. э. дейінгі 1850 ж. шамасында жасалған жазуда және Ахмес
папирусында кездесетін есептерде белгісіз шама ерекше символмен көрсетілген
және “хау” немесе “аха” деп аталған. Ал бұл атау “мөлшер”, “үйме” деген
мағынадағы сөз. “Үйме есептеуі”, немесе “хау есептеуі” деп аталған есептеу
біздің, есепті теңдеулер арқылы шешуімізге азды-көпті сәйкес келеді.
Ахмес папирусындағы бір есеп және оны шешу мысалы мынадай:
1-есеп. “Мөлшер мен оның, төрттен бір бөлігін бірге алғанда 15 болады”.
Бұл есепті қазіргіше шығарғанда
х +14х=15 тендеуі құрылады.
Мұны шешкенде табатынымыз: х= 12.
Ахмес папирусында есеп шешуі былай басталады: “4-тен бастап сана; оның
ширегін, яғни 1-ді алуға тиіссің; онымен бірге алғанда 5”. Мұнан кейін 15
саны 5-ке бөлінеді, бөлінді 4-ке көбейтіледі, сонда белгісіз 12 шығады.
Шешудің бұл мысырлық методы мәнісі жағынан болжау методы болып табылады.
Шешуге кіріскенде белгісіз шама ретінде кез келген сан, бұл жерде 4 саны
алынды, өйткені оның ширегі, 1, оп-оңай табылады. Онан кейін 4+1 = 5.
Алайда есеп шарты бойынша нәтиже 5 емес, 15 болуға тиіс, демек, 15 саны 5-
тен неше есе артық болса, белгісіз шама еркін алынған 4 санынан сонша есе
артық болуға тиіс.[1]
Бұл метод орта ғасырларда Азия мен Европада кеңінен қолданылған және
“жалған болжам методы” деп аталған. “Екі жалған болжам методы” да
қолданылған болатын, ал бұл туралы сөз кейініректе болады.
Теңдеулер құруға берілген есептердің ең ежелгі алғашқыларына, сірә,
ежелгі мысырлық Мәскеулік папирустағы кейбір есептерді жатқызуға болар.
(Бұл папирус Мәскеудегі бейнелеу өнері музейінде сақтаулы. Оны зерттеген
және жазуын анықтап таныған орыс ғалымдары.).
Мәскеулік папирустағы есептердің біреуі мынау.
2 - е с е п. “Сан және оның жартысы 9 болады” . Санды табу керек.
Бұл есепті шешуге арналған теңдеуді қазіргіше жазғанда мы-
нандай болады:
х+12х=9.
Ежелгі гректердің “геометриялық алгебрасында” теңдеулерді шешу мәселесі
олардың оң шешімдері ретінде алынатын кесінділерді салу мәселесіне келіп
саятын. Жаңа арифметикалық алгебраның бастамасы тек Диофантта кездеседі.
Грек математикасындағы біздіп, заманымыздың I-II ғасырларында басталған
бетбұрыс, жана қаркын III ғасырдың ортасында өзінің шарықтау шегіне жетеді.
Бұл самғау ежелгі дүниенін ең соңғы ұлы математигі Диофанттың математикалық
шығармашылығынан көрінеді.
Диофант біздің заманымыздың 250 жылдары Александрияда өмір сүрген. Тек
кана VI ғасырда грамматик Метродор антологиясында оның қанша жасағаны
туралы бір жұмбақ есеп бар. Диофанттың кабірінің басына қойылған құлпытасқа
осы жұмбақ есеп жазылса керек.
Диофанттың 13 кітаптан түратын, “Арифметика” деп аталатын көлемді
еңбегінің бізге алтауы ғана жеткен. Бұл енбек түгелдей арифметика мен
алгебра есептеріне арналған. Онда 180 есептің шығарылу жолы көрсетіледі.
Арифметика Дионосий дейтін замандасына арнап жазылған. “Құрметті Дионосий,—
деп бастайды еңбегін Диофант,— сенің сандар араласатын мәселелерді ерекше
ынтамен оқып-зерттейтінінді ескеріп, мен олардың табиғаты мен құдіретін ең
басынан бастап баяндап беруді мақұл көрдім”
Диофант “Арифметикасының” баяндау стилінің ежелгі грек математиктерінің
канондарынан сапалы түрде екі өзгешелігі бар. Ол теңдеулердің шешуін
геометриядан тыс таза арифметикалық-алгебралык әдістер арқылы жүргізеді.
Диофант теңдеулерінде белгісіз сан (аритмос) S сан коэффиценті болғанда
белгісіздің таңбасынан кейін жазылады. Мысалы: sa=11 аритомс-11x.
Белгісіздің дәрежелерін Диофант сәйкес грек атауларының бас әріптерімен
таңбалайды. x2-“диафанис”Sv x3 –“кюбос” Hv т.с. (алтыншы дәрежеге дейін ).
Диофантта белгісіздің кері шамасы да және оның дәрежелері де таңбаланады.
Қосу, көбейту, бөлу таңбалары жоқ, азайту үшін (таңбасы алынған. Теңдік
сөзбен немесе і әрпімен жазылады. Теңдеудің бос мүшесі үшін арнайын (0
таңбасы алынған, ол бірлік (монес) сөзінің бас әріпі. Сандар әріптер арқылы
кескінделеді. Мысалдар келтірейік:
а) Hv(s(((v ((0((s( бізше x+8x-(5x2+1)=теңдеуін белгілейді.
б) Hv((v ((((((0(( бізше x3+13x2+5x+2 көпмүшесін білдіреді.
Диофанттың “Арифметикасында” осындай символикамен белгіленген
анықталған, анықталмаған теңдеулерге келтірілетін есептердің шешуі
беріледі, ал ережелер мысалдар арқылы көрсетеді. Теңдеулердің оң бүтін және
бөлшек шешулерін табуға аса назар аударылады. Шешуі теріс сан болатындай
теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп санап, бүтіндей қарастырмайды. Диофонт
иррацианал сандарды қолданбайды. Егер теңдеудің түбірі иррацианал болып
келсе, есептің шартындағы берілгендерді іріктей отырып, жауабы рационал
сандарға келетіндей етіп, есепті қайта құрады.
Анықталған теңдеуге арналған есептер сызықтық, квадрат, тек бір дербес
жағдайда куб теңдеуге келеді. Диофант берілген теңдеуді канондық түрге
келтіру үшін ұқсас мүшелерін топтау, теңдеудің екі жағына бірдей шамалар
қосу арқылы теріс мүшені жою ережелерін көрсетеді. Ол тек бір оң, түбір
табумен қанағаттанады. [9.104]
а және Ь өзара жай сандар болып келген жағдайда ах+Ьу=1 түріндегі
Диофант теңдеулерінің жалпы теориясын XVII ғасырдағы француз математигі
Баше де Мезариа (1589—1638) құрады. Ол 1621 жылы Диофанттың “Арифметикасын”
грек және латын тілдерінде түсініктемелер жазып бастырып шығарады. Екінші
дәрежелі Диофант теңдеулерінің жалпы теориясын жасау жолында П.Ферма Дж.
Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, К. Гаусс сияқты көрнекті математиктер көп
еңбек сіңірді. Осынын нәтижесінде, XIX ғасырдың басында екі белгісізі бар
екінші дәрежелі рационал коэффициентті
ax3+bxy+cy2+ax+by+f=0
теңдеуін жалпы түрде шешу проблемасы қарастырады. Диофант теңдеулері
қазіргі математикада да жан-жақты зерттелуде.
Орта ғасырлар заманында алгебра, алгебралық символика бойынша
жинақталған мағұлматтар, қол жеткен табыстар нәтижесіне XVI ғасырдың
математиктері күн тәртібіне бұрыннан қойылған, көптен бері шешуі табылмай
келе жатқан бірсыпыра ірі мәселелерді қолға алады. Солардың бірі- үшінші
және төртінші дәрежелі теңдеулерді шешу үшін формулаларды қорытып шығару.
Омар Хайям және басқа Шығыс оқымыстылары бұл проблеманы шеше алмай,
болашаққа аманат ретінде қалдырып кеткенін жоғарыда айтқанбыз. Үшінші
дәрежелі теңдеуге арналған осындай формуланы математика тарихында тұңғыш
рет XVI ғасырда өмір сүрген Итальян математиктері Николо Тарталья (1500-
1557) және Джироламо Кардалано (1501-1556) табады.
Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулерді радикалдар арқылы арқылы
шешетін формуланы табу қайта өрлеу заманы математикасының үлкен жетістігі
болды, міне осыдан бастап Европа математиктері ежелгі грек және орта
ғасырдағы арай оқымыстылары жеткен деңгейге жетіп қана қоймай, олардан көш
ілгері кетеді. Осыдан кейін енді математиктер бесінші және одан жоғары
дәрежелі теңдеулерді шешудің жалпы формулаларын іздей бастады. Бұл сырт
қарағанда шешілуі күмән туғызбайтын мәселе болғанымен, оның радиоканалдар
арқылы формуланы табу оңай шаруа болмайды, осы бағытта көп ғасырлар 300 жыл
бойы зерттеулер жүргізіп, XIX ғасырда n4 болғанда алгабралық теңдеулерді
жалпы түрде радикал арқылы шешуге болмайтының дәлелдейді. Мұны анықтағандар
жас математиктер Галуа мен Абель болды.
Ал қазіргі заманда теңдеу мен теңсіздіктің классификациясы жасалып,
стандартты емес түрлері ажыратылды. Осы тұста негізгі назарды Пойяның “Как
решить задачу” (М. 1959.) еңбегінде, Л. М. Фридманның “Теоретические основы
методики обучения математике” (М. 1998), Сондай- ақ, осы ғалымның Е.
Н.Турецкиймен бірігіп жазған “Как научиться решать задачи” (М. 1998.) атты
еңбектеріне аудару керек. Осында стандартты емес теңдеулер мен
теңсіздіктерге, жалпы математикалық есептер жайлы түсінік беріп, оларды
шешудің ең тиімді жолдарын көрсеткен. Сондай-ақ оқушылардың осы стандартты
емес есептерден қиыншылықтарға ұшырайтындарының есебі анықталып, олардың
алдын алу, стандартты емес есептерді шығара білуге үйретудің тиімді
әдістеріне сәтті тоқталған.
1.2 Стандартты емес есеп пен стандартты есеп арасындағы айырмашылықтары
Берілген есеп түріндегі есепті шешу алгоритмі бойынша мектеп
курсындағы барлық есептер екі класқа жіктеледі: Стандартты немесе
алгоритмдік есептер. Оларды шешу үшін мектеп курсында белгілі алгоритм
болады. А.А. Ляпуновтың алгоритмге берген анықтамасын қабылдайық: “Берілген
есепті шешу үшін алынатын алгоритм кез келген бастапқы мәндер, демек
бастапқы ақпарат бойынша дұрыс жауапқа әкелетін жұмыс тәртібін қамтамассыз
ететін элементарлы схема шегі тексерілген шарттардың бірігуі.”
Стандартты емес есептер. Бұларды шешу үшін мектеп курсында нақты
алгоритм жоқ. Стандартты емес есептерді шешу бір немесе бірнеше стандартты
есепті шешуге әкеледі.
Неліктен мектеп оқушылары көп жағдайда есепті дұрыс шығарып, таныс
емес есепті шешудің ең тиімді әрі жеңіл әдісін үйрене алмайды. Бұл мектепте
есеп шығарудың дәстүрлі әдістемесімен байланысты (көбінесе солай аталса да,
бұл әдістемені есеп шығаруды үйрету әдістемесі деп атау қиын).
Мұғалімдердің жұмыс тәжірибесінің талдауы онда оқытудың бірнеше
әдісін әр түрлі пропорцияда көрсетеді.
Алғашқы әдісте оқушылар шығару керек деп есептелетін барлық есептер
көптеген типке бөлінеді. Бұл типтердің саны әртүрлі болуы мүмкін. Осылайша
өткен ғасырда құралдар қатарына есептің жүзден артық типі ерекшеленетін, ал
осы шақта олар азайса да, саны аз емес. Бұл есеп типологиясы есеп
сюжетінің сызығымен де (сату мен сатып алу есептері, қозғалыс есептері,
бірлескен жұмыс, қоспалар, т.б. есептер), мектепте оқытылатын математикалық
алгоритм сызығымен де жүрді (алгебралық өрнектерді қалыпты түрге келтіру,
қысқарған көбейту формулалары арқылы көпмүшені көбейткіштерге жіктеу,
сызықтық теңдеу мен теңдеулер жүйесін шешу, рационалды теңсіздіктерді шешу,
үшбұрыш жақтарын есептеу, көпбұрыштар, жазықтық пен қарапайым денелер
көлемінің ауданын есептеп шығару, т.б.).
Есептің осындай әрбір типі үшін мұғалім бірнеше, мысал арқылы жете
көрсететін, ғасырлар бойы қалыптасқан шығарудың типтік әдісі (алгоритм)
бар. Содан соң, оқушылар бұл типтегі есептерді тақтада , үйде не сыныпта өз
бетімен көп көлемде шығарады.
Бұл барлық есептер стандартты есептер класын құрады. Бұнда тек бір
нәрсені ескеру керек.
Мәселе-мектепте оқытылатын есепті шығару алгоритмі оқу құралдарында,
сондай – ақ мұғалімдер мазмұндамасында қысқартылған түрде беріледі.
Математиканы жақсы меңгерген мұғалімге қысқарған алгоритмді ойша-ақ жіктеп
ашу ешқандай қиындық келтірмейді. Бірақ оқушы (әсіресе әлсіз, керекті
деңгейде оқытылмаған) қысқартылған алгоритмді қадамдар жіктелген
бағдарламаға ойша ашу қиын.
Қысқартылған алгоритмдер математика курсында әртүрлі берілуі мүмкін:
ауызша ережелер, формулалар, теоремалар және т.б. Осындай әрбір
қысқартылған алгоритмді оқушыларды қадамдап жіктелген бағдарламаға, алдымен
әрине әр қадамның тұжырымынан, содан соң осы әрекетті меңгергені бойынша
ойша ашу керек.
Қысқартылған алгоритмдерді қадамдап жіктеу бағдарламасын қалай ашуға
болатынын көрсететін мысал келтірейік:
1.Ауызша ереже. Осындай ереженің мысалы ретінде туынды дәрежесіне көтеру
ережесі бола алады: туындының дәрежелерінің қосындысына тең.
Осы ереже негізінде осындай алынған алгоритмді құруға болады.
1 қадам – туындының барлық көбейткіштерін анықтау.
2 қадам - әр көбейткіштің берілген дәрежесін табу.
3 қадам – 2-ші қадам нәтижесін көбейту.
2. Формула. Мектепте төменде көрсетілген түрде берілетін квадрат теңдеу
түбірінің формуласы осындай формуланың мысалы бола алады.
теңдеуінің түбірлерін
(егер және , мұндағы )
формуласы арқылы табуға болады.
Бұл формуланы (қысқартылған алгоритм) осындай қадамдап жіктеу
бағдарламасына ашу керек:
1 қадам - шартын тексереміз. Егер ол орындалса, онда келесі
қадамға көшеміз; егер де ол орындалмаса, онда берілген теңдеу квадрат емес
және берілген формула қолданылмайды.
2 қадам -
3 қадам - шартын тексереміз. Егер ол орындалса, онда келесі
қадамға көшеміз, егер ол орындалмаса, онда берілген теңдеу квадратты емес
және берілген формула қолданылмайды.
4 қадам – түбір мәнін формуласы арқылы табамыз.
2 және 4 – қадамдар күрделі және оларды қарапайым қадамдарға бөлуге
болатынын байқаймыз.
3. Тепе-теңдік. Мысал ретінде теңдігін алайық.
1 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін табу
2 қадам – екі мүшеліктің екінші мүшесін табу
3 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін квадратқа шығару
4 қадам - екі мүшеліктің екінші мүшесін квадратқа шығару
5 қадам - екі мүшеліктің бірінші, екінші мүшелерінің туындысын
табу
6 қадам - бесінші қадамның нәтижесін екіеселеу
7 қадам – үшінші, төртінші және алтыншы қадам нәтижелерін қосу.
Оқушыларға екімүшеліктің айырмасы үшін тепе-теңдік беру қажет емес
екенін байқаңыз. Берілген тождество екімүшеліктің кез келген белгілері үшін
қолданылады.
Мысал келтірейік:
4.Теорема. Көптеген теоремалар негізінде кез-келген өлшемдерді табу
үшін ереже құруға болады.
Мысалы: осылайша Пифогор теоремасы бойынша егер катет ұзындығы немесе
катет ұзындығын табу ережесі бар болса, егер гипотенуза ұзындығы немесе
басқа катет ұзындығы берілген болса, гипотенуза ұзындығын табу ережесін
құруға болады.
5.Анықтама. Кейде кейбір есептерді шешу ережесінің негізі ретінде
сәйкес ұғымның ережесін алуға болады. Мысалы, бір айнымалысы бар
теңсіздіктер жүйесінің шешімін анықтау негізінде: ”Бір айнымалысы бар
теңсіздіктер жүйесінің шешімі деп – жүйенің әрбір теңсіздігіне қойғанда
дұрыс болатын айнымаланың мәнін атайды”, - теңсіздіктер жүйесін шешудің
осындай бағдарламасын құруға болады:
1 қадам - әрбір теңсіздік айнымалы үшін сандық аралықты оның шешімін
алып, жүйенің әрбір теңсіздігін шешу;
2 қадам – алынған санды аралықтардың ортақ бөлігін табу.
1.3 Жалпы стандартты емес есептерді шығару әдістемесі
Оқушылардың математикалық даму дәрежесі олардың есеп шығара білуінен
анық байқалады. Есеп дегеніміздің өзі - әрбір мектеп оқушысының ақыл-ойын
ұштаудың негізгі құралы. Әдеттен тыс, қызықты есептердің шешімін табу
балалардың математикалық шығармашылығында маңызды орын алады. Ең әуелі,
есеп шығаруды үйрену - оның шешімін табу екенін есте ұстаған жөн.
Кез келген қиын есепті шығару оқушыдан үлкен еңбекті, ерен күші мен
табандылықты талап етеді. Бұл қасиеттер баланың есепке ынтасы оянғанда
күшейе түседі. Қызықты есептер ақыл-ой энергиясын қозғалысқа
келтіретіндіктен, оларды шешу оңайға түседі. Міне, сондықтан мүғалім
оқушылар қызығып, өз еріктерімен шығаратын есептерді таңдап алуы қажет.
Оқушылардың математикалық қабілеттерін дамыту және математикаға ынтасын
тәрбиелеуде әзіл-есептер мен математикалық ребустарды пайдалану тиімді.
Есепті шығара алатынына оқушының сенімді болуы да табысқа жеткізетін
маңызды фактордың бірі. Есеп шамадан тыс қиын болса мектеп оқушысының
шарасы таусылып, ойлау нәтижелігі төмендейді, әрі қарай үйренуіне нұқсан
келеді. Мұғалім есептерді ептілікпен таңдау арқылы өз шәкірттерінің сенім
күшін, жігері мен қызығуын, оның шешімін табуға ұмтылуы қолдан келетініне
сену жетістікке жету үшін қажет алғы шарттар. Әрбір есепті шығару
процесіндегі төрт сатыны ажырата білетін дұрыс: 1) есептің шартын ұғу; 2)
жоспар құру; 3) жоспарды жүзеге асыру; 4) артқа көз салу, яғни табылған
шешімді пысықтап үйрену.
Оқушының меңгерген материалын шығармашылықпен ұғынуы және жаңа іс-
әрекет тәсілдерінің туындап, дамуы ойлаудың мынадай үш құрамының болуына
байланысты: 1) анализ және синтез, салыстыру, аналогия, классификация
тәрізді қарапайым ойлау операцияларының жоғары деңгейде қалыптасуы; 2) көп
болжам, шешімдер варианттары мен тосын идеялар ұсынудан көрінетін ойлау
белсенділігінің плюралистігінің жоғары денгейі; 3) өзіндік ойлау әдісінен
көрінетін ұйымдасқандық пен мақсаткерліктің жоғары деңгейі.
Аталған ойлау сапаларының қалыптасуы оқушының шығармашылық тұлғасын
дамытуға оқу материалын игерудегі қиындықтарды жеңуге жол ашады. Мұның мәні
мынада, оқушы білім мен іс - әрекеттің теориялық негізделген тәсілдерін
біліп, оны тосын жағдайларда қолданады немесе қойылған мәселені шешуге жаңа
тәсілдерді өз бетінше таба алады. Мұғалімнің міндеті осы айтылған ойлау
компоненттерін қалыптастыра білу болмақ. Ал оның кілті – шығармашылық есеп
шығару. Оқушылардың шығармашылық есептерді шығаруы олардың білім, білік,
дағдысы арқылы іске асады. Сонымен қатар, сабақта жоғары белсенді ойлау
әрекетінің сақталуында мотивация, оқушының өз ісіне ынтасы рөл атқарады.
Демек, оқушының шығармашылық іс-әрекетке бейімдейтін, ақыл-ойын, дамытатын
құрал деп қызықты есептерді (долбарлау есептері, басқатырғылар, логикалық
есептер) айтуға болады. Оларды шығармашылық іс-әрекетті жетілдіріп, ақыл-
ойды жаттықтыратын көмекші, қосымша жол ретінде ұғымды пайдалану мүмкіндігі
мол. Мұндай материалдар сан алуан болғанымен, төмендегідей ортақ қасиеттері
бар.
1) Қызықты есептердін шешу жолы белгісіз. Олардың шешіміне жету
ойдың броундық қозғалысы тәрізді, яғни байқап көру, қателесу әдісімен
іске асады. Байқап көру арқылы іздену жеке жағдайларда негізгі шешімге
бастайтын тізгінді қолға ұстатады;
2) қызықты есептер оқушының пәнге қызығуына, белсенділігіне негіз
болады. Есеп сюжетінің шешілу жолының әдеттен тыс болуы бала көңіліне әсер
етіп, қайткенде де оны шығаруға итермелейді;
3) қызықты есептер ойлау заңдылықтарын білуге негізделіп жасалады.
Міне, осындай есеп түрлерін жүйелі түрде қолдану аталған ойлау
операцяларын дамытуға, балалардың математакалық түсініктерін қалыптастыруға
жағдай жасайды. Қызықты есептерді шығару көбінесе байқап көріп іздену
процесімен жүреді. Ойша болжай білу балалардың бойындағы тапқырлық пен
аңғарымпаздықты байқатады. Тапқырлық- шығармашылықтың ерекше көрінісі, ол
талдау, салыстыру, жалпылау, байланыстарды анықтау, ұқсастыру, тұжырымдау
ой корыту нәтижесінде байқалады. Ал аңғарымпаздықтың белгісі нақты жағдайды
ой елегінен өткізіп, өзара байланыстарды анықтай білу, соның негізінде есеп
шығарушы бір тұжырымға келіп, ойын топтайды. Аңғарымпаздық өз білімін
кәдеге асыра білудің көрсеткіші болып табылады. Қызықты есептердің шешімін
болжауға қол жеткізетін тапқырлық пен аңғарымпаздық ғайыптан келер нәрсе
емес. Мұндай ақыл-ой әрекетінің жетістігін оқыту процесінде дамытуға
болады, әрі солай ету қажет.
Кез келген жағдайда есептің шешімін болжау үшін мұқият талдау жасалады:
есептің басты қасиеттерін, фигуралардың кеңістіктегі орналасуы мен
топтасуын, олардың ерекшелігін, ұқсас белгілерін ажыратып алу, т.б. Алайда,
қызықты есептерді шығару үшін байқау және қателесу әдісі оншалық сенімді
әрі жан-жақты емес. Неғұрлым тиімді әдіс-балаларды ақыл-ой әрекетінің
анализ және синтез, салыстыру, ұқсастыру, дәрежелеу тәрізді маңызды
тәсілдермен қаруландыру.
Бірнеше есеп қарастырып көрейік.
Мысал 1. АВСД дөңес төртбұрышының диагоналдары Е нүктесінде қиылысады.
АВД, АСД, АЕД ұшбұрыштарының аудандары тиісінше 10 см2, 9 см2, 6 см2
болғанда, АВСД төртбұрышының ауданы қандай?
Шешуі:
Сызбасын қағазға түсіру арқылы біз есептің мәні ВСЕ үшбұрышының ауданын
табуда екенін аңғарамыз. Зер салып карап, үшбұрыштың медианасы оны тендей
екі үшбұрышқа бөлетінін еске түсіріп, АЕД үшбұрышына ДМ медианасын
жүргізсек болғаны. АМД, МЕД және ЕСД тең екенін, сондықтан олардың АМ, МЕ,
ЕС табандарында (биіктіктері бірдей болғандықтан) тең екенін көреміз. Бұдан
АВМ, МВЕ және ВСЕ үшбұрыштары ауданының теңдігі шығады. Демек, ВСЕ ауданы 2
см3. Ал тұтас төртбұрыштың ауданы 15 см2 болады.
Мысал 2. Бір куб берілген. Кубтың жақтарын 1-ден 12-ге дейінгі
сандармен нөмірлегенде оның әр төбесіне қарасты сандар қосындысы бірдей
болуы керек. Бұл мүмкін болса нөмірле, мүмкін емес болса, себебін түсіндір.
Оқушылар әр түрлі варианттарды байқап көріп, нәтиже шығара алмаған соң
нөмірлеу мүмкін емес дей бастайды. Бірақ себебін түсіндіре алмайды.
Шешуі:
Кубтың әрбір жағында екі төбесі бар. Кубтың жақтарына жазылған сандар
қосындысы әр төбесі бойынша тең деп, оны N санымен белгілейік. Ал төбелер
саны 8 болғандықтан, әр төбедегі сандар қосыңдысы 8 N. Бұл сан кубтың
жақтарында жазылған сандар қосындысынан екі есе көп болады, яғни
2(1+2+3+ ... +12)=156. Одан шығатыны N=19,5. N бүтін сан болуы тиіс,
сондықтан бұлай болуы мүмкін емес.
Мысал 3.
+ВАГОН
ВАГОН
СОСТАВ
Әріптерді сандармен ауыстыр. Бірдей әріптер бірдей сандарға әр түрлі
әріптер әр түрлі сандарға айналсын және шешуі дұрыс шықсын.
Мұндай есептер оқушыларды ерекше қызықтырады. Олар осы жолмен есеп
құрастыруға тырысады.
Шешуі:
Қосылғыштардың бес орынды, ал қосындының алты орынды жұп сан екені
байқалып тұр, демек В= 5 немесе одан үлкен сан. Жұп болуы тиіс
болғандықтан, 6 немесе 8-ге тең. О барлық вариантта 1-ге тең. Бұдан А
саны 0 немесе 5 болатынын болжаймыз. Белгісіз әріптер біршама айқындала
түскендіктен, байқау әдісін пайдалануға болады. В=6 десек, шешім дүрыс
болмайды. В=8 болса, Н=9. Ойлана келе А саны тек 5 болуы мүмкін, екеніне
көз жеткіземіз. Толық шешімі мынандай:
+85679
85679
171358
Қызықты есептер мектептегі оқу материалының меңгерілуін және ойлау
процесінің тиімділігін анықтайды. Бұл оқу процесінде анализ, синтез,
салыстыру, ұқсастыру, дәрежелеу тәрізді операцияларға басты назар аударуға
негіз болады. Мұндай есептерді шығарудағы ерекше ойлау про-цестері
шығармашылық белсенділіктің де көрінісі.
Москва университетінің профессоры, белгілі математик С. Янковская
(1896- 1966) математикалық олимпиадаға қатысушылар алдында Есепті шығару
дегеніміз не? деген сұраққа Есепті шығару дегеніміз - оны бұрынғы
шығарылған есептерге келтіру деген жауап беріпті.
Бұл арада С. Янковская стандартты емес есептер туралы, яғни олар-ды
шығару үшін әртүрлі түрлендіру арқылы стандартты есептерді шығаруға
келтіруді айтады.
Қандай да бір есепті шығарғанда, оны талдау барысында, бұл есепті
шығару тәсілдерінің бізге таныс емес екендігін байқаймыз, содан соң оны
бұрын шығарылған есептерге келтіру жолын іздейміз. С. Янковскаяның ұсынып
отырған жолы да осы. Бұл жол өте карапайым болып көрінгенімен, оны іс-
жүзінде қолдана білу оңай емес. Себебі шығарылатын есептерді бұрын
шығарылған есептерге келтірудің накты ережесі жоқ. Дегенмен, тиянақты
түрде, есептің талдауын жасап, ойланып шығарсақ, шығару барысында бұрынғы
шығарылған есептердің шешімін табу жолдарын, әдіс-тәсілдерін ескерсек есеп
шығару білігі біртіндеп калыптасады.
Төмендегі бірнеше мысал арқылы стандартты емес есептерді шығаруды
бұрынғы шығарылған есептерге келтіруді көрсетейік.
Мысал 4. Теңсіздікті шешіңіздер:
Шешуі: Берілген теңсіздікті оң бөлігі ноль болатын теңсіздікпен
ауыстырамыз.
Бұл тәсіл, яғни теңсіздікті түрлендіру арқылы, оның бір жақ бөлігін
нольге келтіріп шығару, теңсіздіктің бір жағы сан немесе өрнек болып келген
теңсіздіктерді шешуден көп жеңіл. Егер теңсіздіктің оң жақ бөлігінде ноль
болса, онда сол жақ бөлігінің оң немесе теріс екендігін дәлелдеу керек.
Сондықтан 3 соsх-ті сол жаққа көшіреміз, яғни 2+ соз 2х- 3 соз х 0
Мұндағы тригонометриялық функциялардың аргументтері бірдей болса,
онда теңсіздік ықшамдалар еді. Сондықтан қос бұрыштың формуласын қолдана
отырып, теңсіздікті мынадай түрге келтіреміз: . Енді белгілеп,
алгебралық квадрат теңсіздікті аламыз да, оған квадрат үшмүшеліктің
қасиетін пайдалана отырып екендігін көреміз. Яғни теңсіздіктің
шешімі болады, енді қайтадан t-ның орнына қойсақ тригонометриялық
теңсіздікке келеміз. Бұл қарапайым теңсіздік, шешімі
Мысал 5. Төмендегі теңдеуінің графигін салыңыздар.
1-тәсіл. Берілген тендеудің графигін салуды, бұрыннан бізге таныс
теңдеудің графигін салуға келтіруге тырысайық.
Тәуелділік тендеуін өзімізге таныс түрде жазайық: .
Егер біз теңдеуінің графигін сала алсақ, бұл теңдеудің
графигін салу жеңілденер еді.
Ал бұл теңдеудің графигін теңдеуінің графигін ОХ — осі бойымен
оң жаққа 1 бірлікке параллель жылжыту арқылы алуға болады. Яғни енді біз
теңдеуінің графигін салуға көшеміз.
Абсолют шаманың анықтамасын пайдалана отырып, есепті (;0) және
(0;) облыстарында қарастырамыз. Сонда
1) онда
2) онда
Сурет 1
Осы теңдеудің графигін ОХ — бойымен оңға бір бірлікке параллель
көшіру арқылы, теңдеуінің графигін аламыз.
2-сурет
Енді теңдеуінің графигін салып көрейік. Егер болса,
теңдеу мағынасын жояды, сондыктан оң мәндер кабыдайтын облыста
карастырамыз, х [-1;3]
Және егер у0, теңдеу түріне, ал у0 болса түріне
келеді.
тәуелділігінің графигі 3-суреттегідей болады.
Сурет 3
2-тәсіл.
(1) тәуелділігінің графигін, (2) тәуелділігінің графигін
ОХ бойымен оңға бір бірлікке параллель көшіру арқылы салуға болатынын
байқаймыз. Сонымен қатар (2) теңдеуде х-ті - х пен, у - ті - у ауыстырғанда
ол өзгермейді, яғни оның графигі координаттар осіне карағанда симметриялы
болады. Бұдан біз графикті координаттық бір ширекте салсақ та
жеткілікті, мысалы бірінші ширекте. Онда тендеуіміз х+у = 2 келеді.
Бұл тәуелділіктің графигі 4-суретте көрсетілген.
Сурет 4
Енді бұл графиктің ОХ және ОУ осіне қарағанда симметриялы екенін
еске түсіре отырып келесі графикті саламыз.
Сурет 5
Ал (1) тәуелділіктің графигін салу үшін, графикті оңға ОХ бойымен
бір бірлікке параллель көшіреміз. Яғни ізделінді графикті аламыз.
Сурет 6
Біз екі тәсіл арқылы стандартты емес есепті бұрынғы шығарылған
есепке келтірдік. 1-тәсілде біртіндеп түрлендіру арқылы берілген есепті
бұрын шығарылған стандартты түрдегі есепке келтірдік.
Ал 2-тәсіл арқылы біз есептің шартын тиянақты түрде талдау барысында
бұрын шығарылған есепке келдік.
1.4 Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдісін іздеу
Оқушылардың математикалық қабілетін қалыптастыру және дамыту туралы
көп айтылып та, жазылып та жүр. Бірақ оқушылардың бойында пәнге деген
қызығушылықты оятпайынша, олардың математикалық қабілетін қалыпастыру да,
дамыту да мүмкін емес.
Бұл жұмыста оқушылардың ой қызметтеріне азық бола алатын, одардың
бойында пәнге деген қызығушылықты оятуға түрткі бола алатын оқушыларды
стандарт емес теңдеулерді дәстүрлі емес әдістер арқылы шешуге баулу
мәселесіне тоқталмақпыз.
Стандарт емес теңдеулердің іздеу барысында, оларды мейлінше қарапайым
(стандарт) түрге келтіру жолында айнымалыны ауыстыру, теңбе-тең түрлендіру
және т.б. әртүрлі дәстүрлі әдістерді пайдаланатындығымыз баршаға аян.
Дегенмен, көпшілік жағдайларда теңдеулерді дәстүрлі әдістермен шешу процесі
тым созылып кетеді, тіпті кейде осындай әдістерді пайдалану нәтижесінде
алынған теңдеулеріміз бәрібір күрделі күйінде қалып қояды, яғни жоғарыда
аттары аталған дәстүрлі әдістеріміз өздерінің тиімді нәтижелерін бермей
жатады. Атап айтқанда, стандарт емес теңдеулер жағдайында ұтымды да
мақсатқа тез жеткізетін дәстүрлі әдістерді әр жолы тауып көрсете білу оңай
шаруа емес.
Сонымен біз стандартты (алгоритмдік) есептерді шешу үшін мыналар керек
екенін көріп тұрамыз: Есепке талдау жасап, математикада (нақтырақ айтсақ,
оның шығарушыға белгілі және зерттелген саласы, бөлімі) қолданыла отырып
берілген есепті шығаруға болатын қысқартылған алгоритм бар ма екенін
анықтау. Егер сондай алгоритм бар болса, онда оны жазбаша және ойша ашу
керек, ал егер де осындай алгоритм жоқ немесе шығарушыға белгісіз болса,
онда берілген есеп стандартты емес және оның шешу әдісін табуды жүргізу
керек.
Осындан шығатыны, оқушылар барлық өтілген ережелерді - қысқартылған
алгоритмдерді (осыны оқушылар есте сақтау керек) жақсы біліп, қандай
формада берілсе де, қысқартылған алгоритмдерді қадамдап жіктеу бағдарламасы
бойынша аша білу керек. Сондай-ақ осындай бағдарламаларды нақты есеп
шарттарында пайдалана білу керек.
Осының барлығын оқушыларға үйретпесе (әсіресе әлсіздерге) олар өз
беттерінше үйрене алмайды.
Сондай-ақ келесі жаттығулар пайдалы:
1) Қайсыбір теорема дәлелденгеннен кейін оқушылар алдында осындай
мәселе тудыруға болады: берілген теорема негізінде қандай есептерді нақты
шешуге болады?
2) Тепе-теңдікті дәлелдеп, осы тождествоны оңнан солға қарай оқып “осы
түрдегі тождествоны қандай алгоритм белгілейді?” деген сұрақ қою
керек; Бұл алгоритм негізінде қандай есеп шығаруға болады?
3) Қайсыбір формула шыққаннан кейін (арифметикалық прогрессия
мүшелерінің қосындысының формуласы) келесідегі сұрақтар: осы
формула көмегімен қандай есептерді шығаруға болады? Осы есептің
әрбіреуінде не белгілі болуы керек және не ізделінді болады? және
т.с.с.
Оқушыларға есеп шығаруды үйрететін алғашқы әдісті пайдалана отырып,
олардың бойынан есеп шығарудың тек сәйкес жеке әдістеріне қарап бейім
қалыптастыруға болады. Ал есеп шығару әдісін іздеуге жалпылама және ортақ
бейімділікті қалыптастыру үшін бұл оқыту әдісі нәтижелі емес. Өйткені,
мектепте оқытылатын есептердің көпшілігі стандартты емес болып келеді,
демек оларды шығару үшін математиканың өзінде алгоритмі (ереже, формуласы),
шығарудың дайын әдісі жоқ: ол әдісті шығарушы өзі тауып құру керек. Егер
мұғалім есептің шығару әдісін оқушыларға өзі берсе, онда оқушылар қайсібір
стандартты емес есепті шығару әдісін өз бетінше табуды қалайша үйренеді?
Сондықтан да, бірінші әдіспен қатар оқытудың басқа да әдістерін пайдаланған
дұрыс.
Екінші әдіс оқушыларға былайша айтқанда дамытатын, демек стандартты
емес есеп шығаруды ұсынғаннан тұрады. Кейбір мұғалім мен әдіскерлер ”осы
есептерден неғұрлым көп нәтиже оларды алдын ала дайындықсыз және мазмұны
мен шығару әдістері жағынан әртүрлі болғанда алынады деп санайды. Бұл әдіс
жүзуді үйрететін әдістің ең қарапайым әдісіндей: адамды суға тастай салу
керек, сонда ол өзінен өзі біртіндеп жүзіп үйренеді. Д. Пойяның кеңесі де:
“Егер есеп шығарып үйренгіңіз келсе, онда шығарыңыз!” Бірақ Д. Пойяның өзі
шығару үшін есеп беретін емес, есеп шығаруды үйрететін үш тамаша кітапты
жарыққа шығарған.
Оқытудың осындай әдісін ұстанған авторлар мен әдіскерлер оқушылардың
табиғи мүмкіндіктеріне сеніммен қарайды (мүмкін оқушылар шығару әдісін
тауып, стандартты емес есептердің шешімін табу әдісін өз бетімен-ақ іздеп
таба алар). Әрине сондай оқушылар бар, сондықтан да бұл әдіс тек табиғи
дарындылығы бар оқушылар үшін ғана жарамды, ал шектеулі дәрежеде дамыған
балалар үшін бұндай әдіспен есептің шешімін табу үлкен қиыншылық туғызады.
Біріншіден, есепті шығара білу, стандартты емес есептерді шығару
әдістерін табу жүзіп үйренуден әлдеқайда қиын екенін ескеруіміз керек.
Соңғы дағды үшін ерекше ойлау жұмысы қажет емес, ал есепті шығара білу
және қабілетті болу – бұл шығармашылық, күрделі қабілет және оның
қалыптасуы үшін талай жылдар қажет.
Екіншіден, негізгі мақсат ол оқушылардың ұсынылған есептерді тек
шығаруы емес, ол – оқушылар өз бойынша талдау жасау және есеп шығару әдісін
іздеу дағдысын қалыптастыру, кез келген есеп шығару, ең тиімді ортақ әдісін
құру, т.б. Осының бәріне көптеген есептерді сынау және қателік әдісімен
шешу жолымен жету мүмкін емес.
Оқытудың үшінші әдісін біз кішкене кейінірек қолдана бастадық,
қолдануымыздың ең бастысы Д. Пойя кітаптарының ықпалы. Мұнда оқушыларға Д.
Пойяның “Как решить задачу” атты кітабының соңындағы шешудің жалпы сызба
кестесі түрінде берілгендер сияқты есеп шығарудың ортақ эвристикалық
ережелері беріледі. Әрине, бұл әдісті алғашқы екеуімен үйлестіріп қолдану
стандартты емес есептерді шығаруды үйрететін әдістеме құруға үлкен қадам
болды.
Бірақ бұл әдіс те үлкен нәтиже бере қойған жоқ, өйткені оқушыларға
әртүрлі нұсқаулар да берілген эвристикалық сызба кестелердің ортақтығы мен
абстрактілігі соншама, оларды қолдану тек едәуір қабілетті балаларға ғана
пайда әкелді, ал қалған оқушылар олар пайдалана біледі. Өйткені
математикалық есептер әртүрлі және “ұсынылған есепті ұғу”, “белгісіздер мен
берілгендер арасында қатынас орнату” сияқты нұсқаулар олардың шешімін іздеу
барысында көп көмек көрсете қоймайды.
Бірақ, эвристикалық сызба-кестелерді кезінен қолдану идеясы өзінен өзі
пайымды және осы идеяны нәтижелі қолдану үшін, оқушылардың стандартты емес
есептерді шешу барысында көретін негізгі қиыншылықтардың себептерін
неғұрлым терең зерттеу керек. Осы әдісті ерекше қарастырайық.
Оқушылардың стандартты емес есептерді өз бетінше шеше алмаудың
себептері.
Осы себептерді ұғу үшін, оқушыны жиһаз жасауға немесе көйлек тігуге
үйрету керек деп ойлаңыз. Үйретуді қайсыбір орындықты жасау немесе көйлек
тігуден бастаймыз ба? Жоқ, бұндай кәсіпке осылайша үйретпейді. Ең алдымен
жиһаз және көйлекке қолданылатын материалдарды айыра білуге үйретеді. Содан
соң оқушыларды жеке қарапайым операцияларды түрлі құралдармен орындауға
дағдыларын қалыптастырады. Содан соң ғана оқушыға орындық жасау ұсынылады.
Сол сияқты басқа да кәсіпке үйретеді. Басқаша айтқанда, адам қайсыбір
күрделі істі саналы түрде меңгеру үшін, оған жұмыс істейтін объектілер
жайлы ақпарат беру керек, осы жұмыстың негізгі әдістеріне үйрету керек.
Ал есеп шығару – ол жиһаз немесе басқа бір заттарды шығарудан әлдеқайда
қиын (ойлау жағынан). Біз оқушылар стандартты емес есептерді өз бетінше
үйренсін дейміз, бірақ осы есептер және оларды шешу туралы ешқандай білім
бермейміз, бұл үшін олардың бойынан керекті дағды мен іскерлікті
қалыптастырмаймыз.
Есеп шығару үрдісінің жалпы эвристикалық сызба-кестесімен танысу әрине
пайдалы, бірақ жалғыз танысу ғана есеп шығаруды үйрету жағдайынан
құтқармайды.
Сонымен оқушыларды стандартты емес есептер шығаруға үйрету үшін
келесілер қажет:
1) Оқушыларға есеп теориясының элементарлы білім беру. Бұл білім жеке
тақырып қып бөлу қажет емес, оқытудың барлық жылдары барысында есеп
шығарумен бірге, бір ұғымға бірнеше реторалып беруге болады. Мысалы, есеп
пен оның құрылымы жайындағы ұғымды жоғары сыныптарда бұл ұғымды нақтылап,
тереңдету керек. Осыны басқа да есеп теориясының ұғымдарымен жасау керек:
есеп генезисі, есеп классификациясы, есептің мәні және үрдісі, т.с.с.
2) Оқушылар бойынан күрделі есеп шығару үрдісіне кіретін элементарлы
жеке әрекеттерді орындауда дағды мен іскерлікті қалыптастыру керек: есеп
талдауын жасау, оның түрлі модельдерін құру, шығару әдісінің іздеуді жүзеге
асыру, шешімді тексеруді жүргізу, есеп пен оның шешімін зерттеу дағдылары
және есеп пен табылған шешімнің оқу-танымдық талдауы.
Бұған оқушылардың жаттығулардың ерекше жүйесін орындау көмегімен қол
жеткізіледі.
3) Оқушыларды мектептегі математикалық есептердің негізгі
эвристикалық әдістермен таныстыру, олардың бойларынан осы әдістерді әртүрлі
есеп шығару үшін пайдаланудың мықты дағдысын қалыптастыру.
Оқушыларға қиыншылықтарды әдеттегідей мектеп оқулықтары мен басқа да
оқу құралдарындағы жоғары күрделі есептер арасында екеуі орын алатын
стандартты емес есептер тудырады.
Стандартты еместерге шығарудың дәстүрлі алгоритмі келмейтін теңдеулер
мен теңсіздіктер жатқызылады. Көптеген жағдайларда ондай теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешу “функционалды деңгейде” жүзеге асады, демек, графиктер
көмегімен немесе теңдеу не теңсіздіктің сол және оң жақтарында бар
функциялардың кейбір қасиеттерін салыстыру көмегімен.
Мысалы, егер , функциаларының ең кіші мәні басқа фукцияның
ең үлкен мәніне сәкес болса (бұл мәндерді А әріпімен белгілейік), онда
теңдеуі неғұрлым қарапайым жүйесіне айналады.
Сонымен қандай есептер стандартты емес деп аталады екен? “Стандартты
емес есептер – бұл шешудің нақты бағдарламасын анықтайтын жалпы ережелер
мен жағдайлар жоқ есептер”.
Алайда, “стандартты емес” ұғымы салыстырмалы ұғым екенін ескеру керек.
Бір есеп шығарушы бұл типтегі есепті шығару әдістерімен таныс па, жоқ па
екеніне байланысты стандартты да, стандартты емес те болуы мүмкін.
Бұл “стандартты емес” есептер әртүрлі болуы мүмкін. Кейбірі сырттай
қарапайым емес болғандықтан, алғашқыда оларға қай жағынан қарау да
түсініксіз болады. Басқалары жасырылған: сырттай, мысалы, бұл қарапайым
теңдеу, бірақ стандартты әдістерімен ол шығарылмайды. Үшіншілерін шешу үшін
өте өткір және дәл ойлау қажет. Төртіншіден, ... ... бұл “стандартты емес”
есептердің барлық ерекшкліктерін шексіз көрсетуге болады және олардың бірін
қалдырмай атап өту де, олардың шешімін табудың барлық әдістерін табу мүмкін
емес. Стандартты емес есептер мен оларды шешудің “стандартты емес” әдістері
жоғарғы оқу орнына түсушілер үшін бағдарламалық шегінен аспайтынын ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан
ір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін
күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта
мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы
санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды
жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
Математикалық есептерді шешкенде мектеп оқушыларында логикалық ойлау
қабілеті мен олардың өнертапқыштық қасиеттері дамитындығы белгілі. Жоғарғы
сынып оқушыларының математика пәнін оқу кезінде олардың төмендегі
қасиеттері дамитындығы белгілі:
1.Берілген есеп белгілі бір есептердің класына жататындығын ұғыну;
Есепті әртүрлі әдістермен шешіп және ол әдістердің жеңіл және қиын
жақтарын ескере отырып, оның керемет шешу жолын анықтау. Есептің
шығарылу әдістерін салыстыру және талдау арқылы, оқушылар өздерінің алған
білімдерін терңдетуге және нықтауға мүмкіндік алады. Сондықтан бір типтегі
есептердің бірнешеуін шешкеннен, бір есепті бірнеше әдіспен шешу
тиімділігін ұғынады.
2.Өздігінше бірнеше белгілі әдістерді комбинациялайды.
3.Есепті шешу кезінде ең кем дегенде жаңаша бір әдіс алу мүмкіндігі
дамиды.
Зерттеудің өзектілігі: Оқушылардың творчествалық дамуы үшін қиын және
стандартты емес есептерді шешу өте маңызды. Қиын математикалық есептерді
шешу үшін, оқушылардың мұндай есептерді шешуде тәжербиесінің, оларды шешу
әдістері мен оларға түрлендірулер пайдалана білу қабілеттіліктерін мол
болуы талап етеді. Стандартты емес есептер – нақты бір шешу алгоритмі жоқ
есептер. Сондықтан мұндай есептерді шешу кезінде оқушыларда математикалық
мәдениет, ой – өрісінің тереңдігі дамиды. Қорыта айтқанда, стандартты емес
есептер оқушылардың интелектуалдық мүмкіндіктерін арттырады, ал стандартты
есептер мұндай мүмкіндікті бермейді.
Стандартты емес есептер көбіне математикалық олимпиада есептері мен
конкурстық есептерде кездеседі. Әдетте стандартты емес есептерді шешу үшін,
стандартты емес әдістер қолданылатындығы түсінікті. Мұндай есептерді шешу
үшін оқушыларда қосымша стандартты емес есептерді шешу әдістерінің қоры
болуы керек.
Мектеп курсындағы алгебралық теңдеулерді тригонометриялық
түрлендірулердің көмегімен шешу стандартты емес әдістердің бірі болып
табылады. Тригонометриялық түрлендірулер өте күрделі және көпқадамды
есептерді жеңіл шешуге мүмкіндік береді. Ол көбіне, негізгі әдістермен
шешілмейтін немесе өте қиын шешілетін есептерді шешуде қолданылады.
Математиканың тереңдетіп оқыту сыныптарында, тригонометриялық
турлендірулер көмегімен алгебралық есептерді шешуге қосалқы сағаттар
беріледі, ал қарапайым сыныптарда мұндай сағаттар бөлінбейді. Сондықтан
математикалық олимпиадаларда, көбіне математиканы тереңдетіп оқытатын
сыныптардың оқушылары жоғарғы орындарды иеленіп жатады.
Зерттеу мақсаттары: Жоғарыда айтылғандарды ескере келіп, алгебралық
теңдеулерді тригонометриялық түрлендірулердің көмегімен шешу әдістерін
барлық мектеп сыныптарында енгізу қажеттілігі туындайды. Себебі:
1.Тереңдетіп оқыту курсты әртүрлі стандартты емес есептермен
толықтыруға мүмкіндік береді. Ал ол өз кезегінде оқушылардың творчествалық
мүмкіндіктерін дамытуға зор үлесін тигізеді. Сонымен қатар,
тригонометриялық түрлендірулер күрделі олимпиада есептерін шешудің тиімді
әдістерінің бірі болып табылады.
2.Математикалық мектептерге, немесе математиканың тереңдетіп оқыту
мектептеріне және т.б. қабылдағанда оқушыларға күрделі есептер ұсынатындығы
белгілі. Оқушыларға бұл есептерді шешу барысында стандартты емес әдістерді
пайдалану қажеттілігі туындайды. Сондай әдістердің бірі тригонометриялық
түрлендірулер болып табылады.
3.Тригонометриялық алмастырулар көмегімен шешілетін есептер жеткілікті
түрде жоғарғы деңгейлі алгебралық мүмкіндіктер қандай қажеттілік тудырса,
тригонометриялық алмастырулардың да соншалық мүмкіндігі бар. Бұл дегеніміз
белігілі бір есепті шешуде қолайлы әдісті пайдаланып, оның шешу әдістерін
бағалау болып табылады.
4.Оқушы тригонометриялық алмастыруларды қолдану барысында есепті шешу
үшін алмастыру енгізу аргументтерін толықтай үйренеді.
Дипломдық жұмыс кіріспе, үш тарау, қорытынды, пайдаланған әдебиеттер
тізімінен тұрады. Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді
оқыту әдістемесі атты тарауында негізгі түсініктер мен теңдеулерді шешу
жолдары қарастырылған. Алгебралық теңдеулерді шешуде тригонометриялық
алмастыруларды қолдану атты тарауында иррационал, рационал, көрсеткіштік
және тағы басқа теңдеулерді тригонометриялық алмастыруларды қолданып шешу
жолдары көрсетілген есептер қарастырылып, аталған тақырыптарға мысалдар
келтірілген. Алгебралық теңдеулерді шешуде компьютерлік технология
көмегімен шешу атты тарауында теңдеулерді заманауи талапқа сай арнайы
математикалық пакеттердің көмегімен алгебралық теңдеулердің нақты шешімдері
көрсетілген.
Пәні: Математиканы оқыту әдістемесі.
Зерттеу объектісі: Математикалық стандарты емес теңдеулер мен
теңсіздіктер ұғымы.
Алгебралық есептерді шешу барысында тригонометриялық алмастыруларды
қолдану бағытында математиканың әртүрлі бөлімдерімен өзара байланыс
жасалған. Атап айтсақ, алгебра мен тригонометрия.Сонымен қатар есептерді
шешу барысында туындайтын мәселелерді тез шешуге, есептерді шешуге қолайлы
әдістерді іздеу арқылы белгілі нәтижеге қол жеткізу оқушыларды
батылдылыққа, ізденімпаздыққа тәрбиелейді.
1 Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқыту әдістемесі
1.1 Теңдеулер мен теңсіздіктер жайлы ұғымның қысқаша тарихы
4000 жылдай бұрыңғы уақыттың өзінде-ақ вавилондықтар мен мысырлықтар
жер өлшеу, құрылыс және әскери істерінің әр түрлі есептерін теңдеулер құрып
шығарған. Бірінші және екінші дәрежелі теңдеулерді ежелгі заманда Қытай
және Үнді ғалымдары да шеше білген.
Теңдеулер арқылы шығарылатын есептер ең ежелгі көптеген текстерде
кездеседі. Мысалы, өсімдіктерден жасалған орам түріндегі Мәскеулік
папируста б. э. дейінгі 1850 ж. шамасында жасалған жазуда және Ахмес
папирусында кездесетін есептерде белгісіз шама ерекше символмен көрсетілген
және “хау” немесе “аха” деп аталған. Ал бұл атау “мөлшер”, “үйме” деген
мағынадағы сөз. “Үйме есептеуі”, немесе “хау есептеуі” деп аталған есептеу
біздің, есепті теңдеулер арқылы шешуімізге азды-көпті сәйкес келеді.
Ахмес папирусындағы бір есеп және оны шешу мысалы мынадай:
1-есеп. “Мөлшер мен оның, төрттен бір бөлігін бірге алғанда 15 болады”.
Бұл есепті қазіргіше шығарғанда
х +14х=15 тендеуі құрылады.
Мұны шешкенде табатынымыз: х= 12.
Ахмес папирусында есеп шешуі былай басталады: “4-тен бастап сана; оның
ширегін, яғни 1-ді алуға тиіссің; онымен бірге алғанда 5”. Мұнан кейін 15
саны 5-ке бөлінеді, бөлінді 4-ке көбейтіледі, сонда белгісіз 12 шығады.
Шешудің бұл мысырлық методы мәнісі жағынан болжау методы болып табылады.
Шешуге кіріскенде белгісіз шама ретінде кез келген сан, бұл жерде 4 саны
алынды, өйткені оның ширегі, 1, оп-оңай табылады. Онан кейін 4+1 = 5.
Алайда есеп шарты бойынша нәтиже 5 емес, 15 болуға тиіс, демек, 15 саны 5-
тен неше есе артық болса, белгісіз шама еркін алынған 4 санынан сонша есе
артық болуға тиіс.[1]
Бұл метод орта ғасырларда Азия мен Европада кеңінен қолданылған және
“жалған болжам методы” деп аталған. “Екі жалған болжам методы” да
қолданылған болатын, ал бұл туралы сөз кейініректе болады.
Теңдеулер құруға берілген есептердің ең ежелгі алғашқыларына, сірә,
ежелгі мысырлық Мәскеулік папирустағы кейбір есептерді жатқызуға болар.
(Бұл папирус Мәскеудегі бейнелеу өнері музейінде сақтаулы. Оны зерттеген
және жазуын анықтап таныған орыс ғалымдары.).
Мәскеулік папирустағы есептердің біреуі мынау.
2 - е с е п. “Сан және оның жартысы 9 болады” . Санды табу керек.
Бұл есепті шешуге арналған теңдеуді қазіргіше жазғанда мы-
нандай болады:
х+12х=9.
Ежелгі гректердің “геометриялық алгебрасында” теңдеулерді шешу мәселесі
олардың оң шешімдері ретінде алынатын кесінділерді салу мәселесіне келіп
саятын. Жаңа арифметикалық алгебраның бастамасы тек Диофантта кездеседі.
Грек математикасындағы біздіп, заманымыздың I-II ғасырларында басталған
бетбұрыс, жана қаркын III ғасырдың ортасында өзінің шарықтау шегіне жетеді.
Бұл самғау ежелгі дүниенін ең соңғы ұлы математигі Диофанттың математикалық
шығармашылығынан көрінеді.
Диофант біздің заманымыздың 250 жылдары Александрияда өмір сүрген. Тек
кана VI ғасырда грамматик Метродор антологиясында оның қанша жасағаны
туралы бір жұмбақ есеп бар. Диофанттың кабірінің басына қойылған құлпытасқа
осы жұмбақ есеп жазылса керек.
Диофанттың 13 кітаптан түратын, “Арифметика” деп аталатын көлемді
еңбегінің бізге алтауы ғана жеткен. Бұл енбек түгелдей арифметика мен
алгебра есептеріне арналған. Онда 180 есептің шығарылу жолы көрсетіледі.
Арифметика Дионосий дейтін замандасына арнап жазылған. “Құрметті Дионосий,—
деп бастайды еңбегін Диофант,— сенің сандар араласатын мәселелерді ерекше
ынтамен оқып-зерттейтінінді ескеріп, мен олардың табиғаты мен құдіретін ең
басынан бастап баяндап беруді мақұл көрдім”
Диофант “Арифметикасының” баяндау стилінің ежелгі грек математиктерінің
канондарынан сапалы түрде екі өзгешелігі бар. Ол теңдеулердің шешуін
геометриядан тыс таза арифметикалық-алгебралык әдістер арқылы жүргізеді.
Диофант теңдеулерінде белгісіз сан (аритмос) S сан коэффиценті болғанда
белгісіздің таңбасынан кейін жазылады. Мысалы: sa=11 аритомс-11x.
Белгісіздің дәрежелерін Диофант сәйкес грек атауларының бас әріптерімен
таңбалайды. x2-“диафанис”Sv x3 –“кюбос” Hv т.с. (алтыншы дәрежеге дейін ).
Диофантта белгісіздің кері шамасы да және оның дәрежелері де таңбаланады.
Қосу, көбейту, бөлу таңбалары жоқ, азайту үшін (таңбасы алынған. Теңдік
сөзбен немесе і әрпімен жазылады. Теңдеудің бос мүшесі үшін арнайын (0
таңбасы алынған, ол бірлік (монес) сөзінің бас әріпі. Сандар әріптер арқылы
кескінделеді. Мысалдар келтірейік:
а) Hv(s(((v ((0((s( бізше x+8x-(5x2+1)=теңдеуін белгілейді.
б) Hv((v ((((((0(( бізше x3+13x2+5x+2 көпмүшесін білдіреді.
Диофанттың “Арифметикасында” осындай символикамен белгіленген
анықталған, анықталмаған теңдеулерге келтірілетін есептердің шешуі
беріледі, ал ережелер мысалдар арқылы көрсетеді. Теңдеулердің оң бүтін және
бөлшек шешулерін табуға аса назар аударылады. Шешуі теріс сан болатындай
теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп санап, бүтіндей қарастырмайды. Диофонт
иррацианал сандарды қолданбайды. Егер теңдеудің түбірі иррацианал болып
келсе, есептің шартындағы берілгендерді іріктей отырып, жауабы рационал
сандарға келетіндей етіп, есепті қайта құрады.
Анықталған теңдеуге арналған есептер сызықтық, квадрат, тек бір дербес
жағдайда куб теңдеуге келеді. Диофант берілген теңдеуді канондық түрге
келтіру үшін ұқсас мүшелерін топтау, теңдеудің екі жағына бірдей шамалар
қосу арқылы теріс мүшені жою ережелерін көрсетеді. Ол тек бір оң, түбір
табумен қанағаттанады. [9.104]
а және Ь өзара жай сандар болып келген жағдайда ах+Ьу=1 түріндегі
Диофант теңдеулерінің жалпы теориясын XVII ғасырдағы француз математигі
Баше де Мезариа (1589—1638) құрады. Ол 1621 жылы Диофанттың “Арифметикасын”
грек және латын тілдерінде түсініктемелер жазып бастырып шығарады. Екінші
дәрежелі Диофант теңдеулерінің жалпы теориясын жасау жолында П.Ферма Дж.
Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, К. Гаусс сияқты көрнекті математиктер көп
еңбек сіңірді. Осынын нәтижесінде, XIX ғасырдың басында екі белгісізі бар
екінші дәрежелі рационал коэффициентті
ax3+bxy+cy2+ax+by+f=0
теңдеуін жалпы түрде шешу проблемасы қарастырады. Диофант теңдеулері
қазіргі математикада да жан-жақты зерттелуде.
Орта ғасырлар заманында алгебра, алгебралық символика бойынша
жинақталған мағұлматтар, қол жеткен табыстар нәтижесіне XVI ғасырдың
математиктері күн тәртібіне бұрыннан қойылған, көптен бері шешуі табылмай
келе жатқан бірсыпыра ірі мәселелерді қолға алады. Солардың бірі- үшінші
және төртінші дәрежелі теңдеулерді шешу үшін формулаларды қорытып шығару.
Омар Хайям және басқа Шығыс оқымыстылары бұл проблеманы шеше алмай,
болашаққа аманат ретінде қалдырып кеткенін жоғарыда айтқанбыз. Үшінші
дәрежелі теңдеуге арналған осындай формуланы математика тарихында тұңғыш
рет XVI ғасырда өмір сүрген Итальян математиктері Николо Тарталья (1500-
1557) және Джироламо Кардалано (1501-1556) табады.
Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулерді радикалдар арқылы арқылы
шешетін формуланы табу қайта өрлеу заманы математикасының үлкен жетістігі
болды, міне осыдан бастап Европа математиктері ежелгі грек және орта
ғасырдағы арай оқымыстылары жеткен деңгейге жетіп қана қоймай, олардан көш
ілгері кетеді. Осыдан кейін енді математиктер бесінші және одан жоғары
дәрежелі теңдеулерді шешудің жалпы формулаларын іздей бастады. Бұл сырт
қарағанда шешілуі күмән туғызбайтын мәселе болғанымен, оның радиоканалдар
арқылы формуланы табу оңай шаруа болмайды, осы бағытта көп ғасырлар 300 жыл
бойы зерттеулер жүргізіп, XIX ғасырда n4 болғанда алгабралық теңдеулерді
жалпы түрде радикал арқылы шешуге болмайтының дәлелдейді. Мұны анықтағандар
жас математиктер Галуа мен Абель болды.
Ал қазіргі заманда теңдеу мен теңсіздіктің классификациясы жасалып,
стандартты емес түрлері ажыратылды. Осы тұста негізгі назарды Пойяның “Как
решить задачу” (М. 1959.) еңбегінде, Л. М. Фридманның “Теоретические основы
методики обучения математике” (М. 1998), Сондай- ақ, осы ғалымның Е.
Н.Турецкиймен бірігіп жазған “Как научиться решать задачи” (М. 1998.) атты
еңбектеріне аудару керек. Осында стандартты емес теңдеулер мен
теңсіздіктерге, жалпы математикалық есептер жайлы түсінік беріп, оларды
шешудің ең тиімді жолдарын көрсеткен. Сондай-ақ оқушылардың осы стандартты
емес есептерден қиыншылықтарға ұшырайтындарының есебі анықталып, олардың
алдын алу, стандартты емес есептерді шығара білуге үйретудің тиімді
әдістеріне сәтті тоқталған.
1.2 Стандартты емес есеп пен стандартты есеп арасындағы айырмашылықтары
Берілген есеп түріндегі есепті шешу алгоритмі бойынша мектеп
курсындағы барлық есептер екі класқа жіктеледі: Стандартты немесе
алгоритмдік есептер. Оларды шешу үшін мектеп курсында белгілі алгоритм
болады. А.А. Ляпуновтың алгоритмге берген анықтамасын қабылдайық: “Берілген
есепті шешу үшін алынатын алгоритм кез келген бастапқы мәндер, демек
бастапқы ақпарат бойынша дұрыс жауапқа әкелетін жұмыс тәртібін қамтамассыз
ететін элементарлы схема шегі тексерілген шарттардың бірігуі.”
Стандартты емес есептер. Бұларды шешу үшін мектеп курсында нақты
алгоритм жоқ. Стандартты емес есептерді шешу бір немесе бірнеше стандартты
есепті шешуге әкеледі.
Неліктен мектеп оқушылары көп жағдайда есепті дұрыс шығарып, таныс
емес есепті шешудің ең тиімді әрі жеңіл әдісін үйрене алмайды. Бұл мектепте
есеп шығарудың дәстүрлі әдістемесімен байланысты (көбінесе солай аталса да,
бұл әдістемені есеп шығаруды үйрету әдістемесі деп атау қиын).
Мұғалімдердің жұмыс тәжірибесінің талдауы онда оқытудың бірнеше
әдісін әр түрлі пропорцияда көрсетеді.
Алғашқы әдісте оқушылар шығару керек деп есептелетін барлық есептер
көптеген типке бөлінеді. Бұл типтердің саны әртүрлі болуы мүмкін. Осылайша
өткен ғасырда құралдар қатарына есептің жүзден артық типі ерекшеленетін, ал
осы шақта олар азайса да, саны аз емес. Бұл есеп типологиясы есеп
сюжетінің сызығымен де (сату мен сатып алу есептері, қозғалыс есептері,
бірлескен жұмыс, қоспалар, т.б. есептер), мектепте оқытылатын математикалық
алгоритм сызығымен де жүрді (алгебралық өрнектерді қалыпты түрге келтіру,
қысқарған көбейту формулалары арқылы көпмүшені көбейткіштерге жіктеу,
сызықтық теңдеу мен теңдеулер жүйесін шешу, рационалды теңсіздіктерді шешу,
үшбұрыш жақтарын есептеу, көпбұрыштар, жазықтық пен қарапайым денелер
көлемінің ауданын есептеп шығару, т.б.).
Есептің осындай әрбір типі үшін мұғалім бірнеше, мысал арқылы жете
көрсететін, ғасырлар бойы қалыптасқан шығарудың типтік әдісі (алгоритм)
бар. Содан соң, оқушылар бұл типтегі есептерді тақтада , үйде не сыныпта өз
бетімен көп көлемде шығарады.
Бұл барлық есептер стандартты есептер класын құрады. Бұнда тек бір
нәрсені ескеру керек.
Мәселе-мектепте оқытылатын есепті шығару алгоритмі оқу құралдарында,
сондай – ақ мұғалімдер мазмұндамасында қысқартылған түрде беріледі.
Математиканы жақсы меңгерген мұғалімге қысқарған алгоритмді ойша-ақ жіктеп
ашу ешқандай қиындық келтірмейді. Бірақ оқушы (әсіресе әлсіз, керекті
деңгейде оқытылмаған) қысқартылған алгоритмді қадамдар жіктелген
бағдарламаға ойша ашу қиын.
Қысқартылған алгоритмдер математика курсында әртүрлі берілуі мүмкін:
ауызша ережелер, формулалар, теоремалар және т.б. Осындай әрбір
қысқартылған алгоритмді оқушыларды қадамдап жіктелген бағдарламаға, алдымен
әрине әр қадамның тұжырымынан, содан соң осы әрекетті меңгергені бойынша
ойша ашу керек.
Қысқартылған алгоритмдерді қадамдап жіктеу бағдарламасын қалай ашуға
болатынын көрсететін мысал келтірейік:
1.Ауызша ереже. Осындай ереженің мысалы ретінде туынды дәрежесіне көтеру
ережесі бола алады: туындының дәрежелерінің қосындысына тең.
Осы ереже негізінде осындай алынған алгоритмді құруға болады.
1 қадам – туындының барлық көбейткіштерін анықтау.
2 қадам - әр көбейткіштің берілген дәрежесін табу.
3 қадам – 2-ші қадам нәтижесін көбейту.
2. Формула. Мектепте төменде көрсетілген түрде берілетін квадрат теңдеу
түбірінің формуласы осындай формуланың мысалы бола алады.
теңдеуінің түбірлерін
(егер және , мұндағы )
формуласы арқылы табуға болады.
Бұл формуланы (қысқартылған алгоритм) осындай қадамдап жіктеу
бағдарламасына ашу керек:
1 қадам - шартын тексереміз. Егер ол орындалса, онда келесі
қадамға көшеміз; егер де ол орындалмаса, онда берілген теңдеу квадрат емес
және берілген формула қолданылмайды.
2 қадам -
3 қадам - шартын тексереміз. Егер ол орындалса, онда келесі
қадамға көшеміз, егер ол орындалмаса, онда берілген теңдеу квадратты емес
және берілген формула қолданылмайды.
4 қадам – түбір мәнін формуласы арқылы табамыз.
2 және 4 – қадамдар күрделі және оларды қарапайым қадамдарға бөлуге
болатынын байқаймыз.
3. Тепе-теңдік. Мысал ретінде теңдігін алайық.
1 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін табу
2 қадам – екі мүшеліктің екінші мүшесін табу
3 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін квадратқа шығару
4 қадам - екі мүшеліктің екінші мүшесін квадратқа шығару
5 қадам - екі мүшеліктің бірінші, екінші мүшелерінің туындысын
табу
6 қадам - бесінші қадамның нәтижесін екіеселеу
7 қадам – үшінші, төртінші және алтыншы қадам нәтижелерін қосу.
Оқушыларға екімүшеліктің айырмасы үшін тепе-теңдік беру қажет емес
екенін байқаңыз. Берілген тождество екімүшеліктің кез келген белгілері үшін
қолданылады.
Мысал келтірейік:
4.Теорема. Көптеген теоремалар негізінде кез-келген өлшемдерді табу
үшін ереже құруға болады.
Мысалы: осылайша Пифогор теоремасы бойынша егер катет ұзындығы немесе
катет ұзындығын табу ережесі бар болса, егер гипотенуза ұзындығы немесе
басқа катет ұзындығы берілген болса, гипотенуза ұзындығын табу ережесін
құруға болады.
5.Анықтама. Кейде кейбір есептерді шешу ережесінің негізі ретінде
сәйкес ұғымның ережесін алуға болады. Мысалы, бір айнымалысы бар
теңсіздіктер жүйесінің шешімін анықтау негізінде: ”Бір айнымалысы бар
теңсіздіктер жүйесінің шешімі деп – жүйенің әрбір теңсіздігіне қойғанда
дұрыс болатын айнымаланың мәнін атайды”, - теңсіздіктер жүйесін шешудің
осындай бағдарламасын құруға болады:
1 қадам - әрбір теңсіздік айнымалы үшін сандық аралықты оның шешімін
алып, жүйенің әрбір теңсіздігін шешу;
2 қадам – алынған санды аралықтардың ортақ бөлігін табу.
1.3 Жалпы стандартты емес есептерді шығару әдістемесі
Оқушылардың математикалық даму дәрежесі олардың есеп шығара білуінен
анық байқалады. Есеп дегеніміздің өзі - әрбір мектеп оқушысының ақыл-ойын
ұштаудың негізгі құралы. Әдеттен тыс, қызықты есептердің шешімін табу
балалардың математикалық шығармашылығында маңызды орын алады. Ең әуелі,
есеп шығаруды үйрену - оның шешімін табу екенін есте ұстаған жөн.
Кез келген қиын есепті шығару оқушыдан үлкен еңбекті, ерен күші мен
табандылықты талап етеді. Бұл қасиеттер баланың есепке ынтасы оянғанда
күшейе түседі. Қызықты есептер ақыл-ой энергиясын қозғалысқа
келтіретіндіктен, оларды шешу оңайға түседі. Міне, сондықтан мүғалім
оқушылар қызығып, өз еріктерімен шығаратын есептерді таңдап алуы қажет.
Оқушылардың математикалық қабілеттерін дамыту және математикаға ынтасын
тәрбиелеуде әзіл-есептер мен математикалық ребустарды пайдалану тиімді.
Есепті шығара алатынына оқушының сенімді болуы да табысқа жеткізетін
маңызды фактордың бірі. Есеп шамадан тыс қиын болса мектеп оқушысының
шарасы таусылып, ойлау нәтижелігі төмендейді, әрі қарай үйренуіне нұқсан
келеді. Мұғалім есептерді ептілікпен таңдау арқылы өз шәкірттерінің сенім
күшін, жігері мен қызығуын, оның шешімін табуға ұмтылуы қолдан келетініне
сену жетістікке жету үшін қажет алғы шарттар. Әрбір есепті шығару
процесіндегі төрт сатыны ажырата білетін дұрыс: 1) есептің шартын ұғу; 2)
жоспар құру; 3) жоспарды жүзеге асыру; 4) артқа көз салу, яғни табылған
шешімді пысықтап үйрену.
Оқушының меңгерген материалын шығармашылықпен ұғынуы және жаңа іс-
әрекет тәсілдерінің туындап, дамуы ойлаудың мынадай үш құрамының болуына
байланысты: 1) анализ және синтез, салыстыру, аналогия, классификация
тәрізді қарапайым ойлау операцияларының жоғары деңгейде қалыптасуы; 2) көп
болжам, шешімдер варианттары мен тосын идеялар ұсынудан көрінетін ойлау
белсенділігінің плюралистігінің жоғары денгейі; 3) өзіндік ойлау әдісінен
көрінетін ұйымдасқандық пен мақсаткерліктің жоғары деңгейі.
Аталған ойлау сапаларының қалыптасуы оқушының шығармашылық тұлғасын
дамытуға оқу материалын игерудегі қиындықтарды жеңуге жол ашады. Мұның мәні
мынада, оқушы білім мен іс - әрекеттің теориялық негізделген тәсілдерін
біліп, оны тосын жағдайларда қолданады немесе қойылған мәселені шешуге жаңа
тәсілдерді өз бетінше таба алады. Мұғалімнің міндеті осы айтылған ойлау
компоненттерін қалыптастыра білу болмақ. Ал оның кілті – шығармашылық есеп
шығару. Оқушылардың шығармашылық есептерді шығаруы олардың білім, білік,
дағдысы арқылы іске асады. Сонымен қатар, сабақта жоғары белсенді ойлау
әрекетінің сақталуында мотивация, оқушының өз ісіне ынтасы рөл атқарады.
Демек, оқушының шығармашылық іс-әрекетке бейімдейтін, ақыл-ойын, дамытатын
құрал деп қызықты есептерді (долбарлау есептері, басқатырғылар, логикалық
есептер) айтуға болады. Оларды шығармашылық іс-әрекетті жетілдіріп, ақыл-
ойды жаттықтыратын көмекші, қосымша жол ретінде ұғымды пайдалану мүмкіндігі
мол. Мұндай материалдар сан алуан болғанымен, төмендегідей ортақ қасиеттері
бар.
1) Қызықты есептердін шешу жолы белгісіз. Олардың шешіміне жету
ойдың броундық қозғалысы тәрізді, яғни байқап көру, қателесу әдісімен
іске асады. Байқап көру арқылы іздену жеке жағдайларда негізгі шешімге
бастайтын тізгінді қолға ұстатады;
2) қызықты есептер оқушының пәнге қызығуына, белсенділігіне негіз
болады. Есеп сюжетінің шешілу жолының әдеттен тыс болуы бала көңіліне әсер
етіп, қайткенде де оны шығаруға итермелейді;
3) қызықты есептер ойлау заңдылықтарын білуге негізделіп жасалады.
Міне, осындай есеп түрлерін жүйелі түрде қолдану аталған ойлау
операцяларын дамытуға, балалардың математакалық түсініктерін қалыптастыруға
жағдай жасайды. Қызықты есептерді шығару көбінесе байқап көріп іздену
процесімен жүреді. Ойша болжай білу балалардың бойындағы тапқырлық пен
аңғарымпаздықты байқатады. Тапқырлық- шығармашылықтың ерекше көрінісі, ол
талдау, салыстыру, жалпылау, байланыстарды анықтау, ұқсастыру, тұжырымдау
ой корыту нәтижесінде байқалады. Ал аңғарымпаздықтың белгісі нақты жағдайды
ой елегінен өткізіп, өзара байланыстарды анықтай білу, соның негізінде есеп
шығарушы бір тұжырымға келіп, ойын топтайды. Аңғарымпаздық өз білімін
кәдеге асыра білудің көрсеткіші болып табылады. Қызықты есептердің шешімін
болжауға қол жеткізетін тапқырлық пен аңғарымпаздық ғайыптан келер нәрсе
емес. Мұндай ақыл-ой әрекетінің жетістігін оқыту процесінде дамытуға
болады, әрі солай ету қажет.
Кез келген жағдайда есептің шешімін болжау үшін мұқият талдау жасалады:
есептің басты қасиеттерін, фигуралардың кеңістіктегі орналасуы мен
топтасуын, олардың ерекшелігін, ұқсас белгілерін ажыратып алу, т.б. Алайда,
қызықты есептерді шығару үшін байқау және қателесу әдісі оншалық сенімді
әрі жан-жақты емес. Неғұрлым тиімді әдіс-балаларды ақыл-ой әрекетінің
анализ және синтез, салыстыру, ұқсастыру, дәрежелеу тәрізді маңызды
тәсілдермен қаруландыру.
Бірнеше есеп қарастырып көрейік.
Мысал 1. АВСД дөңес төртбұрышының диагоналдары Е нүктесінде қиылысады.
АВД, АСД, АЕД ұшбұрыштарының аудандары тиісінше 10 см2, 9 см2, 6 см2
болғанда, АВСД төртбұрышының ауданы қандай?
Шешуі:
Сызбасын қағазға түсіру арқылы біз есептің мәні ВСЕ үшбұрышының ауданын
табуда екенін аңғарамыз. Зер салып карап, үшбұрыштың медианасы оны тендей
екі үшбұрышқа бөлетінін еске түсіріп, АЕД үшбұрышына ДМ медианасын
жүргізсек болғаны. АМД, МЕД және ЕСД тең екенін, сондықтан олардың АМ, МЕ,
ЕС табандарында (биіктіктері бірдей болғандықтан) тең екенін көреміз. Бұдан
АВМ, МВЕ және ВСЕ үшбұрыштары ауданының теңдігі шығады. Демек, ВСЕ ауданы 2
см3. Ал тұтас төртбұрыштың ауданы 15 см2 болады.
Мысал 2. Бір куб берілген. Кубтың жақтарын 1-ден 12-ге дейінгі
сандармен нөмірлегенде оның әр төбесіне қарасты сандар қосындысы бірдей
болуы керек. Бұл мүмкін болса нөмірле, мүмкін емес болса, себебін түсіндір.
Оқушылар әр түрлі варианттарды байқап көріп, нәтиже шығара алмаған соң
нөмірлеу мүмкін емес дей бастайды. Бірақ себебін түсіндіре алмайды.
Шешуі:
Кубтың әрбір жағында екі төбесі бар. Кубтың жақтарына жазылған сандар
қосындысы әр төбесі бойынша тең деп, оны N санымен белгілейік. Ал төбелер
саны 8 болғандықтан, әр төбедегі сандар қосыңдысы 8 N. Бұл сан кубтың
жақтарында жазылған сандар қосындысынан екі есе көп болады, яғни
2(1+2+3+ ... +12)=156. Одан шығатыны N=19,5. N бүтін сан болуы тиіс,
сондықтан бұлай болуы мүмкін емес.
Мысал 3.
+ВАГОН
ВАГОН
СОСТАВ
Әріптерді сандармен ауыстыр. Бірдей әріптер бірдей сандарға әр түрлі
әріптер әр түрлі сандарға айналсын және шешуі дұрыс шықсын.
Мұндай есептер оқушыларды ерекше қызықтырады. Олар осы жолмен есеп
құрастыруға тырысады.
Шешуі:
Қосылғыштардың бес орынды, ал қосындының алты орынды жұп сан екені
байқалып тұр, демек В= 5 немесе одан үлкен сан. Жұп болуы тиіс
болғандықтан, 6 немесе 8-ге тең. О барлық вариантта 1-ге тең. Бұдан А
саны 0 немесе 5 болатынын болжаймыз. Белгісіз әріптер біршама айқындала
түскендіктен, байқау әдісін пайдалануға болады. В=6 десек, шешім дүрыс
болмайды. В=8 болса, Н=9. Ойлана келе А саны тек 5 болуы мүмкін, екеніне
көз жеткіземіз. Толық шешімі мынандай:
+85679
85679
171358
Қызықты есептер мектептегі оқу материалының меңгерілуін және ойлау
процесінің тиімділігін анықтайды. Бұл оқу процесінде анализ, синтез,
салыстыру, ұқсастыру, дәрежелеу тәрізді операцияларға басты назар аударуға
негіз болады. Мұндай есептерді шығарудағы ерекше ойлау про-цестері
шығармашылық белсенділіктің де көрінісі.
Москва университетінің профессоры, белгілі математик С. Янковская
(1896- 1966) математикалық олимпиадаға қатысушылар алдында Есепті шығару
дегеніміз не? деген сұраққа Есепті шығару дегеніміз - оны бұрынғы
шығарылған есептерге келтіру деген жауап беріпті.
Бұл арада С. Янковская стандартты емес есептер туралы, яғни олар-ды
шығару үшін әртүрлі түрлендіру арқылы стандартты есептерді шығаруға
келтіруді айтады.
Қандай да бір есепті шығарғанда, оны талдау барысында, бұл есепті
шығару тәсілдерінің бізге таныс емес екендігін байқаймыз, содан соң оны
бұрын шығарылған есептерге келтіру жолын іздейміз. С. Янковскаяның ұсынып
отырған жолы да осы. Бұл жол өте карапайым болып көрінгенімен, оны іс-
жүзінде қолдана білу оңай емес. Себебі шығарылатын есептерді бұрын
шығарылған есептерге келтірудің накты ережесі жоқ. Дегенмен, тиянақты
түрде, есептің талдауын жасап, ойланып шығарсақ, шығару барысында бұрынғы
шығарылған есептердің шешімін табу жолдарын, әдіс-тәсілдерін ескерсек есеп
шығару білігі біртіндеп калыптасады.
Төмендегі бірнеше мысал арқылы стандартты емес есептерді шығаруды
бұрынғы шығарылған есептерге келтіруді көрсетейік.
Мысал 4. Теңсіздікті шешіңіздер:
Шешуі: Берілген теңсіздікті оң бөлігі ноль болатын теңсіздікпен
ауыстырамыз.
Бұл тәсіл, яғни теңсіздікті түрлендіру арқылы, оның бір жақ бөлігін
нольге келтіріп шығару, теңсіздіктің бір жағы сан немесе өрнек болып келген
теңсіздіктерді шешуден көп жеңіл. Егер теңсіздіктің оң жақ бөлігінде ноль
болса, онда сол жақ бөлігінің оң немесе теріс екендігін дәлелдеу керек.
Сондықтан 3 соsх-ті сол жаққа көшіреміз, яғни 2+ соз 2х- 3 соз х 0
Мұндағы тригонометриялық функциялардың аргументтері бірдей болса,
онда теңсіздік ықшамдалар еді. Сондықтан қос бұрыштың формуласын қолдана
отырып, теңсіздікті мынадай түрге келтіреміз: . Енді белгілеп,
алгебралық квадрат теңсіздікті аламыз да, оған квадрат үшмүшеліктің
қасиетін пайдалана отырып екендігін көреміз. Яғни теңсіздіктің
шешімі болады, енді қайтадан t-ның орнына қойсақ тригонометриялық
теңсіздікке келеміз. Бұл қарапайым теңсіздік, шешімі
Мысал 5. Төмендегі теңдеуінің графигін салыңыздар.
1-тәсіл. Берілген тендеудің графигін салуды, бұрыннан бізге таныс
теңдеудің графигін салуға келтіруге тырысайық.
Тәуелділік тендеуін өзімізге таныс түрде жазайық: .
Егер біз теңдеуінің графигін сала алсақ, бұл теңдеудің
графигін салу жеңілденер еді.
Ал бұл теңдеудің графигін теңдеуінің графигін ОХ — осі бойымен
оң жаққа 1 бірлікке параллель жылжыту арқылы алуға болады. Яғни енді біз
теңдеуінің графигін салуға көшеміз.
Абсолют шаманың анықтамасын пайдалана отырып, есепті (;0) және
(0;) облыстарында қарастырамыз. Сонда
1) онда
2) онда
Сурет 1
Осы теңдеудің графигін ОХ — бойымен оңға бір бірлікке параллель
көшіру арқылы, теңдеуінің графигін аламыз.
2-сурет
Енді теңдеуінің графигін салып көрейік. Егер болса,
теңдеу мағынасын жояды, сондыктан оң мәндер кабыдайтын облыста
карастырамыз, х [-1;3]
Және егер у0, теңдеу түріне, ал у0 болса түріне
келеді.
тәуелділігінің графигі 3-суреттегідей болады.
Сурет 3
2-тәсіл.
(1) тәуелділігінің графигін, (2) тәуелділігінің графигін
ОХ бойымен оңға бір бірлікке параллель көшіру арқылы салуға болатынын
байқаймыз. Сонымен қатар (2) теңдеуде х-ті - х пен, у - ті - у ауыстырғанда
ол өзгермейді, яғни оның графигі координаттар осіне карағанда симметриялы
болады. Бұдан біз графикті координаттық бір ширекте салсақ та
жеткілікті, мысалы бірінші ширекте. Онда тендеуіміз х+у = 2 келеді.
Бұл тәуелділіктің графигі 4-суретте көрсетілген.
Сурет 4
Енді бұл графиктің ОХ және ОУ осіне қарағанда симметриялы екенін
еске түсіре отырып келесі графикті саламыз.
Сурет 5
Ал (1) тәуелділіктің графигін салу үшін, графикті оңға ОХ бойымен
бір бірлікке параллель көшіреміз. Яғни ізделінді графикті аламыз.
Сурет 6
Біз екі тәсіл арқылы стандартты емес есепті бұрынғы шығарылған
есепке келтірдік. 1-тәсілде біртіндеп түрлендіру арқылы берілген есепті
бұрын шығарылған стандартты түрдегі есепке келтірдік.
Ал 2-тәсіл арқылы біз есептің шартын тиянақты түрде талдау барысында
бұрын шығарылған есепке келдік.
1.4 Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдісін іздеу
Оқушылардың математикалық қабілетін қалыптастыру және дамыту туралы
көп айтылып та, жазылып та жүр. Бірақ оқушылардың бойында пәнге деген
қызығушылықты оятпайынша, олардың математикалық қабілетін қалыпастыру да,
дамыту да мүмкін емес.
Бұл жұмыста оқушылардың ой қызметтеріне азық бола алатын, одардың
бойында пәнге деген қызығушылықты оятуға түрткі бола алатын оқушыларды
стандарт емес теңдеулерді дәстүрлі емес әдістер арқылы шешуге баулу
мәселесіне тоқталмақпыз.
Стандарт емес теңдеулердің іздеу барысында, оларды мейлінше қарапайым
(стандарт) түрге келтіру жолында айнымалыны ауыстыру, теңбе-тең түрлендіру
және т.б. әртүрлі дәстүрлі әдістерді пайдаланатындығымыз баршаға аян.
Дегенмен, көпшілік жағдайларда теңдеулерді дәстүрлі әдістермен шешу процесі
тым созылып кетеді, тіпті кейде осындай әдістерді пайдалану нәтижесінде
алынған теңдеулеріміз бәрібір күрделі күйінде қалып қояды, яғни жоғарыда
аттары аталған дәстүрлі әдістеріміз өздерінің тиімді нәтижелерін бермей
жатады. Атап айтқанда, стандарт емес теңдеулер жағдайында ұтымды да
мақсатқа тез жеткізетін дәстүрлі әдістерді әр жолы тауып көрсете білу оңай
шаруа емес.
Сонымен біз стандартты (алгоритмдік) есептерді шешу үшін мыналар керек
екенін көріп тұрамыз: Есепке талдау жасап, математикада (нақтырақ айтсақ,
оның шығарушыға белгілі және зерттелген саласы, бөлімі) қолданыла отырып
берілген есепті шығаруға болатын қысқартылған алгоритм бар ма екенін
анықтау. Егер сондай алгоритм бар болса, онда оны жазбаша және ойша ашу
керек, ал егер де осындай алгоритм жоқ немесе шығарушыға белгісіз болса,
онда берілген есеп стандартты емес және оның шешу әдісін табуды жүргізу
керек.
Осындан шығатыны, оқушылар барлық өтілген ережелерді - қысқартылған
алгоритмдерді (осыны оқушылар есте сақтау керек) жақсы біліп, қандай
формада берілсе де, қысқартылған алгоритмдерді қадамдап жіктеу бағдарламасы
бойынша аша білу керек. Сондай-ақ осындай бағдарламаларды нақты есеп
шарттарында пайдалана білу керек.
Осының барлығын оқушыларға үйретпесе (әсіресе әлсіздерге) олар өз
беттерінше үйрене алмайды.
Сондай-ақ келесі жаттығулар пайдалы:
1) Қайсыбір теорема дәлелденгеннен кейін оқушылар алдында осындай
мәселе тудыруға болады: берілген теорема негізінде қандай есептерді нақты
шешуге болады?
2) Тепе-теңдікті дәлелдеп, осы тождествоны оңнан солға қарай оқып “осы
түрдегі тождествоны қандай алгоритм белгілейді?” деген сұрақ қою
керек; Бұл алгоритм негізінде қандай есеп шығаруға болады?
3) Қайсыбір формула шыққаннан кейін (арифметикалық прогрессия
мүшелерінің қосындысының формуласы) келесідегі сұрақтар: осы
формула көмегімен қандай есептерді шығаруға болады? Осы есептің
әрбіреуінде не белгілі болуы керек және не ізделінді болады? және
т.с.с.
Оқушыларға есеп шығаруды үйрететін алғашқы әдісті пайдалана отырып,
олардың бойынан есеп шығарудың тек сәйкес жеке әдістеріне қарап бейім
қалыптастыруға болады. Ал есеп шығару әдісін іздеуге жалпылама және ортақ
бейімділікті қалыптастыру үшін бұл оқыту әдісі нәтижелі емес. Өйткені,
мектепте оқытылатын есептердің көпшілігі стандартты емес болып келеді,
демек оларды шығару үшін математиканың өзінде алгоритмі (ереже, формуласы),
шығарудың дайын әдісі жоқ: ол әдісті шығарушы өзі тауып құру керек. Егер
мұғалім есептің шығару әдісін оқушыларға өзі берсе, онда оқушылар қайсібір
стандартты емес есепті шығару әдісін өз бетінше табуды қалайша үйренеді?
Сондықтан да, бірінші әдіспен қатар оқытудың басқа да әдістерін пайдаланған
дұрыс.
Екінші әдіс оқушыларға былайша айтқанда дамытатын, демек стандартты
емес есеп шығаруды ұсынғаннан тұрады. Кейбір мұғалім мен әдіскерлер ”осы
есептерден неғұрлым көп нәтиже оларды алдын ала дайындықсыз және мазмұны
мен шығару әдістері жағынан әртүрлі болғанда алынады деп санайды. Бұл әдіс
жүзуді үйрететін әдістің ең қарапайым әдісіндей: адамды суға тастай салу
керек, сонда ол өзінен өзі біртіндеп жүзіп үйренеді. Д. Пойяның кеңесі де:
“Егер есеп шығарып үйренгіңіз келсе, онда шығарыңыз!” Бірақ Д. Пойяның өзі
шығару үшін есеп беретін емес, есеп шығаруды үйрететін үш тамаша кітапты
жарыққа шығарған.
Оқытудың осындай әдісін ұстанған авторлар мен әдіскерлер оқушылардың
табиғи мүмкіндіктеріне сеніммен қарайды (мүмкін оқушылар шығару әдісін
тауып, стандартты емес есептердің шешімін табу әдісін өз бетімен-ақ іздеп
таба алар). Әрине сондай оқушылар бар, сондықтан да бұл әдіс тек табиғи
дарындылығы бар оқушылар үшін ғана жарамды, ал шектеулі дәрежеде дамыған
балалар үшін бұндай әдіспен есептің шешімін табу үлкен қиыншылық туғызады.
Біріншіден, есепті шығара білу, стандартты емес есептерді шығару
әдістерін табу жүзіп үйренуден әлдеқайда қиын екенін ескеруіміз керек.
Соңғы дағды үшін ерекше ойлау жұмысы қажет емес, ал есепті шығара білу
және қабілетті болу – бұл шығармашылық, күрделі қабілет және оның
қалыптасуы үшін талай жылдар қажет.
Екіншіден, негізгі мақсат ол оқушылардың ұсынылған есептерді тек
шығаруы емес, ол – оқушылар өз бойынша талдау жасау және есеп шығару әдісін
іздеу дағдысын қалыптастыру, кез келген есеп шығару, ең тиімді ортақ әдісін
құру, т.б. Осының бәріне көптеген есептерді сынау және қателік әдісімен
шешу жолымен жету мүмкін емес.
Оқытудың үшінші әдісін біз кішкене кейінірек қолдана бастадық,
қолдануымыздың ең бастысы Д. Пойя кітаптарының ықпалы. Мұнда оқушыларға Д.
Пойяның “Как решить задачу” атты кітабының соңындағы шешудің жалпы сызба
кестесі түрінде берілгендер сияқты есеп шығарудың ортақ эвристикалық
ережелері беріледі. Әрине, бұл әдісті алғашқы екеуімен үйлестіріп қолдану
стандартты емес есептерді шығаруды үйрететін әдістеме құруға үлкен қадам
болды.
Бірақ бұл әдіс те үлкен нәтиже бере қойған жоқ, өйткені оқушыларға
әртүрлі нұсқаулар да берілген эвристикалық сызба кестелердің ортақтығы мен
абстрактілігі соншама, оларды қолдану тек едәуір қабілетті балаларға ғана
пайда әкелді, ал қалған оқушылар олар пайдалана біледі. Өйткені
математикалық есептер әртүрлі және “ұсынылған есепті ұғу”, “белгісіздер мен
берілгендер арасында қатынас орнату” сияқты нұсқаулар олардың шешімін іздеу
барысында көп көмек көрсете қоймайды.
Бірақ, эвристикалық сызба-кестелерді кезінен қолдану идеясы өзінен өзі
пайымды және осы идеяны нәтижелі қолдану үшін, оқушылардың стандартты емес
есептерді шешу барысында көретін негізгі қиыншылықтардың себептерін
неғұрлым терең зерттеу керек. Осы әдісті ерекше қарастырайық.
Оқушылардың стандартты емес есептерді өз бетінше шеше алмаудың
себептері.
Осы себептерді ұғу үшін, оқушыны жиһаз жасауға немесе көйлек тігуге
үйрету керек деп ойлаңыз. Үйретуді қайсыбір орындықты жасау немесе көйлек
тігуден бастаймыз ба? Жоқ, бұндай кәсіпке осылайша үйретпейді. Ең алдымен
жиһаз және көйлекке қолданылатын материалдарды айыра білуге үйретеді. Содан
соң оқушыларды жеке қарапайым операцияларды түрлі құралдармен орындауға
дағдыларын қалыптастырады. Содан соң ғана оқушыға орындық жасау ұсынылады.
Сол сияқты басқа да кәсіпке үйретеді. Басқаша айтқанда, адам қайсыбір
күрделі істі саналы түрде меңгеру үшін, оған жұмыс істейтін объектілер
жайлы ақпарат беру керек, осы жұмыстың негізгі әдістеріне үйрету керек.
Ал есеп шығару – ол жиһаз немесе басқа бір заттарды шығарудан әлдеқайда
қиын (ойлау жағынан). Біз оқушылар стандартты емес есептерді өз бетінше
үйренсін дейміз, бірақ осы есептер және оларды шешу туралы ешқандай білім
бермейміз, бұл үшін олардың бойынан керекті дағды мен іскерлікті
қалыптастырмаймыз.
Есеп шығару үрдісінің жалпы эвристикалық сызба-кестесімен танысу әрине
пайдалы, бірақ жалғыз танысу ғана есеп шығаруды үйрету жағдайынан
құтқармайды.
Сонымен оқушыларды стандартты емес есептер шығаруға үйрету үшін
келесілер қажет:
1) Оқушыларға есеп теориясының элементарлы білім беру. Бұл білім жеке
тақырып қып бөлу қажет емес, оқытудың барлық жылдары барысында есеп
шығарумен бірге, бір ұғымға бірнеше реторалып беруге болады. Мысалы, есеп
пен оның құрылымы жайындағы ұғымды жоғары сыныптарда бұл ұғымды нақтылап,
тереңдету керек. Осыны басқа да есеп теориясының ұғымдарымен жасау керек:
есеп генезисі, есеп классификациясы, есептің мәні және үрдісі, т.с.с.
2) Оқушылар бойынан күрделі есеп шығару үрдісіне кіретін элементарлы
жеке әрекеттерді орындауда дағды мен іскерлікті қалыптастыру керек: есеп
талдауын жасау, оның түрлі модельдерін құру, шығару әдісінің іздеуді жүзеге
асыру, шешімді тексеруді жүргізу, есеп пен оның шешімін зерттеу дағдылары
және есеп пен табылған шешімнің оқу-танымдық талдауы.
Бұған оқушылардың жаттығулардың ерекше жүйесін орындау көмегімен қол
жеткізіледі.
3) Оқушыларды мектептегі математикалық есептердің негізгі
эвристикалық әдістермен таныстыру, олардың бойларынан осы әдістерді әртүрлі
есеп шығару үшін пайдаланудың мықты дағдысын қалыптастыру.
Оқушыларға қиыншылықтарды әдеттегідей мектеп оқулықтары мен басқа да
оқу құралдарындағы жоғары күрделі есептер арасында екеуі орын алатын
стандартты емес есептер тудырады.
Стандартты еместерге шығарудың дәстүрлі алгоритмі келмейтін теңдеулер
мен теңсіздіктер жатқызылады. Көптеген жағдайларда ондай теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешу “функционалды деңгейде” жүзеге асады, демек, графиктер
көмегімен немесе теңдеу не теңсіздіктің сол және оң жақтарында бар
функциялардың кейбір қасиеттерін салыстыру көмегімен.
Мысалы, егер , функциаларының ең кіші мәні басқа фукцияның
ең үлкен мәніне сәкес болса (бұл мәндерді А әріпімен белгілейік), онда
теңдеуі неғұрлым қарапайым жүйесіне айналады.
Сонымен қандай есептер стандартты емес деп аталады екен? “Стандартты
емес есептер – бұл шешудің нақты бағдарламасын анықтайтын жалпы ережелер
мен жағдайлар жоқ есептер”.
Алайда, “стандартты емес” ұғымы салыстырмалы ұғым екенін ескеру керек.
Бір есеп шығарушы бұл типтегі есепті шығару әдістерімен таныс па, жоқ па
екеніне байланысты стандартты да, стандартты емес те болуы мүмкін.
Бұл “стандартты емес” есептер әртүрлі болуы мүмкін. Кейбірі сырттай
қарапайым емес болғандықтан, алғашқыда оларға қай жағынан қарау да
түсініксіз болады. Басқалары жасырылған: сырттай, мысалы, бұл қарапайым
теңдеу, бірақ стандартты әдістерімен ол шығарылмайды. Үшіншілерін шешу үшін
өте өткір және дәл ойлау қажет. Төртіншіден, ... ... бұл “стандартты емес”
есептердің барлық ерекшкліктерін шексіз көрсетуге болады және олардың бірін
қалдырмай атап өту де, олардың шешімін табудың барлық әдістерін табу мүмкін
емес. Стандартты емес есептер мен оларды шешудің “стандартты емес” әдістері
жоғарғы оқу орнына түсушілер үшін бағдарламалық шегінен аспайтынын ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz