Сызықты дифференциалдық теңдеулер

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1. Сызықты дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 9
1.1 Біртекті сызықты дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... .9
1.2 Біртекті емес дифференциалдық теңдеулердің жалпы
шешімінің құрылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .12
1.3 Тұрақтыларды вариациялау әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
1.4 Тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық дифференциалдық
теңдеудің фундаменталды шешімін Эйлер әдісімен құру ... ... 16
1.5 Тұрақты коэффициентті біртекті емес сызықтық дифференциал.
дық теңдеудің дербес шешімін құру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20

2. Лаплас түрлендірулерінің сызықты дифференциалдық
теңдеулерді шешуде қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...29
2.1 Лаплас түрлендірулерінің негізгі түсініктері ... ... ... ... ... ... ... ...29
2.2 Лаплас түрлендірулерінің қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...31
2.3 Лаплас түрлендіруін кері түрлендіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .42
2.4 Лаплас түрлендірулері арқылы дифференциалдық теңдеулерді
шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..51

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...59
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... .60
Жаратылыстану ғылымындағы ең негізгі проблемалардың бірі-өзімізді қоршап тұрған табиғат құбылыстарындағы алуан түрлі процестерді зерттеу.
Қандай түрде болмасын құбылысты немесе процесті аяғына дейін білу үшін оның бүкіл ағымын басқаратын заңдылықты, былайша айтқанда өзгерісі қандай заңға бағынатынын зерттеу керек. Ал бұл заң – құбылыстың немесе процестің әрбір мезгілдегі күйінің өзгерісі және оны туғызушы бір себептің екіншісіне тәуелділігі өзімізді қоршап тұрған реалды дүниедегі алуан түрлі табиғаттық, қоғамдық процестерді ғылыми жолмен талдау, түптеп келгенде функциялық тәуелділікке келуден бұрын құбылыстың жалпы ағымын зерттеп, кез-келген уақыттағы оның күйін есептеп білу керек. Міне мұны шешу үшін кең түрде математикалық әдіс қолданылады.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. –М.,Наука,1971.
2. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. –Минск: Вышейшая школа, 1974.
3. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи.-М.: «Высшая школа», 1989.
4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.: 1952.
5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: «Высшая школа», 1975.
6. Мартыненко В.С. Операционное исчисление: учеб.-метод. пособие. К.: Киевская книжная типография №5, 1968.-198стр.
7. Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер курсы: жай дифференциалдық теңдеулер жә не олардың системалары. Алматы. Рауан, 1991. -360 бет.
8. Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы: «Білім», 1996.-253 бет.
9. Көлекеев К.Д., Назарова К.Ж. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы, 2012.
10. Назарова К.Ж. Дифференциалдық теңдеулер практикумы. Түркістан, 2011.
        
        М А З М Ұ Н Ы
КІРІСПЕ........................................................................................................3
1. ... ... ... Біртекті сызықты дифференциалдық теңдеулер.........................9
1.2 ... емес ... ... ... ... ... ... вариациялау әдісі..................................................13
1.4 Тұрақты коэффициентті ... ... ... ... ... ... ... құру........16
1.5 Тұрақты коэффициентті біртекті емес ... ... ... ... ... ... ... Лаплас түрлендірулерінің ... ... ... ... қолданылуы ...................................................29
2.1 Лаплас түрлендірулерінің негізгі түсініктері...............................29
2.2 Лаплас түрлендірулерінің қасиеттері...........................................31
2.3 ... ... кері ... Лаплас түрлендірулері арқылы дифференциалдық теңдеулерді
шешу..................................................................................................51
ҚОРЫТЫНДЫ...................................................................................59
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ең ... проблемалардың бірі-өзімізді қоршап тұрған табиғат құбылыстарындағы алуан ... ... ... ... ... болмасын құбылысты немесе процесті аяғына дейін білу үшін оның бүкіл ағымын басқаратын ... ... ... ... қандай заңға бағынатынын зерттеу керек. Ал бұл заң - ... ... ... әрбір мезгілдегі күйінің өзгерісі және оны туғызушы бір ... ... ... ... қоршап тұрған реалды дүниедегі алуан түрлі табиғаттық, қоғамдық процестерді ғылыми жолмен талдау, түптеп келгенде функциялық тәуелділікке ... ... ... ... ағымын зерттеп, кез-келген уақыттағы оның күйін есептеп білу керек. Міне мұны шешу үшін кең түрде математикалық әдіс ... ... жәй ... ... ... ... дифференциалдық теңдеулер, орама типті интегралдық теңдеулер, қолданбалы математиканың көптеген есептерін шешуде операциялық ... ... ... ... Л. ... Лагранж, Лаплас, Фурье, Коши жұмыстарында қарастырылған. Ағылшын инженер-электригі Оливер Хевисайд операциялық есептеуді дифференциалдық теңдеулерді шешуде қолданып сымдағы ... ... ... ... мәселелері бойынша маңызды нәтижелер алған. Физикалық-техникалық есептерді шешу үшін ... ... ... ... ... ... ... О. Хевисайд болды. Сондықтан символдық есептеу- лерді О. Хевисайд атымен атады. Операциялық есептеулер ... Дж. ... ... Леви және тағы ... ... жұмыстарында интегралдық түрлендірулер негізінде мақұлданып зерттеу аясы кеңейе түсті.
Лаплас түрлендіруі нақты айнымалы -нің ... ... -нің ... кластарын комплекс айнымалы -нің бейне функциясы-ға түрлендіреді. түрлендіруін алғашқы ... Л. ... ... Бұл түрлендірудің қасиеттерін Лаплас анықтап шексіз шектермен ... ... ... ... түрлендіруі басқа салаларда да қолданылатын болды. Америкалық инженер Дж. Карсон операциялық есептеу мен ... ... ... ... ... көрсетті және түпнұсқа мен бейне арасындағы қатынасты белгісіз ... ... ... теңдеу арқылы тағайындады. Ал түпнұсқа мен бейне арасындағы кері тәуелділікті
контурлы интеграл түрінде ... ... ... Джон ... ... ... операциялық есептеулерді Лаплас түрлендіруі арқылы негіздеп математикалық көзқараспен қарағанда қатаң және нәтижелері Хевисайд жасаған ... ... әдіс ... ... ... операциялық әдістеріне негіз алғаннан кейін тәжірибеде контурлы интеграл әдісінен гөрі Хевисайд әдісін ... ... ... ... деген қорытындыға келді.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Лаплас түрлендіруін пайдалана отырып дифференциалдық теңдеулер шешімін табу.
Дипломдық жұмыстың ... ... ... ... жәй дифференциалдық теңдеулер шешімін Лаплас түрлендірулері арқылы табу жолдары қарастырылған.
Нақты айнымалы функциясының Лаплас түрлендіруі деп, ... ... ... ... ... айтады.
Теңдіктің оң жағындағы комплекс тәуелді меншіксіз интеграл Лаплас интегралы деп аталады.
Үш шартты
1) -функциясы мәндерінде бөлшектеп - ... яғни ... не ... ... ... ... ... үзіліс нүктелері бар.
2) ... (3) ... ... ... ... ... деп ... (1) формуламен анықталатын функциясы оның бейнесі (Лаплас бойынша бейнесі) деп ... ... мен ... ... ... мынадай түрде өрнектеледі:
,
Теорема. ... ... ... Онда ... ... ... жазықтығында), 3) шартындағы мәндерінде абсолютті жинақты және ... ... ... функция болып, бейнені анықтайды.
Лаплас түрлендірулерінің негізгі қасиеттеріне тоқталайын. Түпнұсқа функцияларды , ... деп белгілеп, олардың Лаплас бойынша бейнелерін , ... ... ... ... және ... ... теоремасы. -тұрақтысында
(5)
3.Өшу теоремасы
Кезкелген нақты немесе комплекс саны үшін
. ... ... ... ... ... ... ... теоремасы.
Егер мәнінде түпнұсқасына бейнесі сәйкестендірілсе, онда
. ... ... ... ... болса, онда
. ... ... ... ... ... Егер және ... онда
. ... Бейнені дифференциалдау теоремасы.
Егер болса, онда
. ... ... ... ... ... ережесінен шығады
.
9. Бейнені интегралдау теоремасы.
Егер интеграл жинақы болса, онда
. ... Екі ... және ... ... айтады.
Бұл интеграл айнымалысының функциясы, айнымалы интеграл астындағы өрнекке де және жоғарғы шегі айнымалы етіп интеграл шегіне де енген. ... ... ... ... ... ... Бейнелерді көбейту теоремасы
Егер және болса, онда функциялар орамына бейнелердің көбейтіндісі сәйкес
. ... ... ...
,
.
Осы сияқты
.
Қолданыста көбейтіндісі де кездеседі.
, ... ашып ... ... (15) ... интегралы деп аталады.
, және осы екі Лаплас интегралы да ... ... ... жазықтық делік.
Екі бейненің орамы деп
(16)
интегралын айтады, интегралдау сызығы , -комплекс айнымалы, ... ... ... ... және ... онда
. ... түрлендіру теоремасы. Егер түпнұсқа, оның бейнесі ... онда ... ... ... ... ... ... ... ... ... интегралы абсолютті жинақты болатын жарты жазықтықтың кезкелген шексіз түзуі бойымен орындалады.
Жордан ... ... ... Онда ... ... ... нольге ұмтылады
. ... ... ... теңдеулер
+ Біртекті сызықты дифференциалдық теңдеулер
Екінші ретті дифференциалдық теңдеуді қарастырайық
(1.1)
Дифференциалдық теңдеу шешімі деп (1.1) дифференциалдық теңдеуін, қанағаттандыратын, үзіліссіз ... ... ... ... ... теңдеудің үш негізгі қасиетіне тоқталайық.
. Егер ... (1.1) ... ... ... ...
, ... ... ... функциясы да осы теңдеудің шешімі болады.
Егер және біртекті (1.1) теңдеуінің шешімі болса, онда ... ... да
, ... теңдеуінің шешімі болады.
Егер және біртекті (1.1) теңдеуінің шешімі болса, онда ... ... ... да
(1.3)
мұндағы -кез-келген тұрақтылар, (1.1) теңдеуінің шешімі болады.
Анықтама. , ... ... ... ... деп ... егер ... ... мынадай қатынас орындалса:
(1.4)
мұндағы - барлығы бірдей нөлге тең емес ... ... ... , ... ... деп аталады. (1.4) шартын мынадай түрде түрлендіріп жазуға болады:
мұндағы
, ... ... ... туындысы бар деп жорымалдап, анықтауыш құрамыз:
Бұл және ... үшін ... ... ... ... деп ... тәуелділіктің қажетті және жеткілікті шарты келесі теоремада тұжырымдалады.
Теорема 1. Егер және ... ... ... ... ... онда оның ... ... осы интервалда нөлге тепе-тең болады.
Теорема 2. Егер ... -да ... және ... (1.1) ... сызықты тәуелсіз шешімдері болса, онда олардың Вронскиан анықтауышы ... ... ... нөлге тең емес.
Тұжырымдардан мынадай қорытынды шығаруға болады: (1.1) теңдеуінің екі шешімі сызықты тәуелсіз болуы үшін интервалының ... ... ... ... ... тең болмауы қажетті және жеткілікті.
Шынында, егер және функциялары интервалында ... ... ... онда ... . ... (1.1) теңдеуінің екі шешімінің сызықты тәуелсіз ... ... үшін ... ... ... бір ... нөлге тең емес екенін білу жеткілікті.
Анықтама. (1.1) дифференциалдық теңдеуінің анықталған және сызықты тәуелсіз екі шешімі осы ... ... ... жүйесі деп аталады.
Теорема 4. Егер (1.1) теңдеуінің коэффициенттері интервалында үзіліссіз ... онда осы ... ... ... ... ... бар ...
Дәлелдеуі. интервалынан нүктесін алып бастапқы шарттары
(1.5)
болатын ... ... ... соң ... ... ... екінші шешім құрамыз. Құрылған шешімдердің нүктесінде вронскианын есептейміз, сонда
Ендеше және ... ... ... ... ... ... ... 4 дәлелденді.
(1.5), (1.6) теңдіктерінде 1 және 0 сандарының орнына анықтауышы нөлден өзгеше ... ... 4 ... ... болады. Сонда
және тағы да фундаменталды шешімдер жүйесі алынады.
Анықтама. Екінші ретті теңдеудің жалпы шешімі деп құрамында берілген теңдеудің ... ... бар ... ... ... Егер және (1.1) ... фундаменталды шешімдер жүйесі болса, онда
(1.7)
мұндағы - кез ... ... (1.3) ... ... ... ... ... 5. (1.1) теңдеуінің екі сызықты тәуелсіз дербес шешімі бар болады.
Дәлелдеуі. Дифференциалдық теңдеудің үш ... ... бар ... және , . ... екі ... ... Егер олар сызықты тәуелді болса, онда үш шешімде сызықты тәуелді, өйткені мынадай қатынас орындалады:
мұндағы ... ... тең емес ... Егер ,, үш ... де ... тәуелсіз болса, онда негізгі теорема бойынша кез келген шешім, соның ішінде шешімі де және ... ... ... ... , , ... ... ... тәуелді.
1.2 Біртекті емес дифференциалдық теңдеулердің жалпы ... ... емес ... ... ... - -да ...
+ теңдеуі үшін дербес шешімі табылған болсын. Ендеше
, ... ... ... ... ... ...
. ... - дің оң ... ... ... ... ... ... біртекті теңдеуді қанағаттандыруы тиіс
. ... ... ... егер және (1.9) ... ... ... жүйесі, ал - кез келген тұрақтылар болса, онда оның ... ... ... ... (1.13) ... оң ... (1.11) ... қоямыз, сонда шығатыны:
. ... ... ... ... (1.14) теңдеуінің құрамында бар. (1.14) функциясы (1.9) теңдеуінің берілген аймағындағы ... ... ... ... ... (1.9) ... емес теңдеуінің жалпы шешімін табу үшін оның бір ... ... ... оған ... ... (1.12) ... ... қоссақ жеткілікті.
Егер (1.9) біртекті емес теңдеуінің оң жағы -функциясы екі қосындыдан тұратын болсын, ... ... ... ... ... екі ... түрінде қарстырамыз. Бірінші теңдеудің
дербес шешімі , ал екіншінің
дербес шешімі болса, онда (1.15) ... ... ... ... ... вариациялау әдісі
Екінші ретті біртекті емес дифференциалдық теңдеуді қарастырайық
(1.16)
мұндағы - -да ... ... ... ... ... ... ...
(1.17)
жалпы шешімі белгілі болғанда ғана анықтай аламыз. , функциялары (1.17) теңдеуінің фундаменталды шешімдер жүйесі болсын. Онда оның ... ... ... ... ... ... Ол үшін ... функция түрінде қолданамыз, яғни
. ... ... (1.16) ... ... ... етіп ... таңдаймыз. Бұл функциялар (1.18) функциясын (1.16) теңдеуіне қойғанда ... ... тек бір ғана ... ... ... ... ... анықтау үшін кез келген бір шартқа бағындыруға болады. ... ... ... теңдеулер жүйесін алу үшін (1.18) функциясынан туындысын есептеп ... бар ... ... теңестіреміз. Сонда мынадай теңдік аламыз
Табылған - мәндерді (1.16) теңдеуіне қойсақ мынадай теңдік аламыз:
немесе
.
функциялары ... (1.17) ... ... болғандықтан
яғни
,
,
соңғы теңдікті өзгертіп қайта жазайық
.
Сонымен ... ... үшін ... ... жүйесін алдық
(1.19)
белгісіздеріне байланысты (1.19) алгебралық теңдеулер жүйесі болғандықтан оның шешімі:
(1.20)
мұндағы
.
(1.20) ... екі ... ... ... кез ... ... ... табылған мәндерін (1.18) теңдеуіне қойсақ:
тұрақтылары нөлге тең болған жағдайда (1.16) ... емес ... ... ... шешімін аламыз
(1.21)
Дербес шешім (1.21) ... ... ... яғни ... (1.16) ... емес ... теңдеудің жалпы шешімін табу үшін (1.17) біртекті теңдеудің фундаменталды шешімдер жүйесін құра білу ... ... соң (1.16) ... жалпы шешімі квадратура арқылы табылады.
1.4 Тұрақты коэффициентті біртекті сызықты дифференциалдық
теңдеудің ... ... ... ... ... емес ... ... жалпы шешімін табу үшін оған сәйкес
(1.22)
біртекті ... ... ... жүйесін құру жеткілікті. (1.22) дифференциалдық теңдеуінің фундаменталды шешімдер жүйесі элементар функциялардан құралады.
Бірінші ретті біртекті дифференциалдық ...
, ... ... тұрақты нақты сан
түрінде дербес шешімі бар. Эйлер бойынша (1.22) екінші ретті біртекті сызықтық теңдеулер үшін ... ...
, ... кез-келген уақытша анықталмаған тұрақты сан, түрінде іздестіреміз.
(1.23) функциясының туындыларын
(1.22) теңдеуіне қоямыз:
. ... -не ... ... ... ... теңдігінен саны (1.25) теңдеуінің шешімі болғанда ғана функциясы (1.22) ... ... ... анық. Бұл теңдеуді (1.22) біртекті сызықты теңдеудің характеристикалық теңдеуі, ал оның түбірлерін ... саны деп ... ... ... құру үшін (1.22) ... шы ... туындыны -ның шы ретті дәрежесімен алмастыру ... ... ... теңдеу болғандықтан оның екі шешімі болады. (1.25) характеристикалық теңдеуді шешуде үш жағдай болуы мүмкін:
Жағдай 1. (1.25) теңдеуінің және ... ... және ... , , Бұл ... (1.25) теңдеуінің дербес шешімі және ... ... Олар ... ... ... ... өйткені олардың вронскианы
Демек, (1.25) теңдеуінің жалпы шешімі формуласы бойынша мынадай болады:
(1.26)
Жағдай 2. (1.25) ... және ... ... және ... тең:
Бұл жағдайда тек жалғыз ғана дербес шешімі болады. . Бірінші ... ... ... да (1.22) ... ... ... көрсетеміз. Ол үшін функциясын (1.22) теңдеуіне қоямыз. Сонда:
-саны (1.25) теңдеуінің шешімі болғандықтан
болады. Ендеше
. ... ... ... ... ... да (1.25) ... шешімі болады.
,
дербес шешімдері фундаменталды шешімдер жүйесін құрайды, өйткені
Сондықтан (1.22) тұрақты коэффициентті сызықты біртекті дифференциалдық теңдеудің ... ... ... ... 3. (1.25) ... ... және ... - комлексті:
Ендеше шешім мынадай түрде болады:
немесe ... ... екі ... ... табамыз. Ол үшін екі сызықты комбинация құрамыз
.
Екінші ретті біртекті сызықты ... ... ... 3-ші ... және функциялары (1.22) теңдеуінің шешімі болады. Бұл ... ... ... ... ... ... (1.22) ... жалпы шешімі мынадай түрде жазылады:
немесе
. ... ... ... ... емес ... ...
дық ... ... ... ... ретті сызықты біртекті емес тұрақты коэффициентті теңдеуді қарастырамыз
(1.29)
мұндағы кез келген ... сан, ... - - да ... Егер ... ... ... фундаменталды шешімдер жүйесі табылса, онда (1.29) теңдеуінің жалпы шешімін Лагранж әдісі бойынша анықтауға болады.
Егер ... ... ... ... ... ... (1.29) ... үшін дербес шешімді табудың қарапайым жолы бар.
Бұл әдіс, яғни белгісіз коэффициенттер әдісінің негізгі ... ... (1.29) ... функциясының түріне қарап дербес шешім -ны ... ... ... ... (1.29) ... қояды да табылған тепе-теңдіктен белгісіз коэффициенттер мәндерін анықтайды.
Жағдай 1. (1.29) ... оң ... ... ... ... Бұл ... ... шешімді келесі түрде іздестіреміз
,
мұндағы берілген теңдеуге байланысты құрылған
характеристикалық теңдеудің түбірі болғандағы ... ал ... ... ... ... ші ... көпмүшелік.
а) саны ... ... ... ... яғни . ... ... (1.29) ... қойғаннан кейін теңдеудің екі жағында өрнегіне бөлеміз, сонда:
яғни
. ... ... сол ... ... ... ... ші дәрежелі көпмүшелік, ал оң жағында коэффициенттері белгілі ші дәрежелі көпмүшелік. - нің бірдей ... ... ... ... ... анықтау үшін алгебралық теңдеуден ... жүйе ... 1. ... ... ... ... Берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің
жалпы шешімін табамыз. Ол үшін оның характеристикалық теңдеуін ... ... бір ... тең екі түбірі бар. Өйткені квадрат теңдеудің ... ... тең, яғни . ... ... теңдеудің жалпы шешімі
болады. Енді біртекті емес теңдеудің дербес шешімін іздестіреміз. Оның оң жағы мына ... ... ... ... мұндағы характеристикалық теңдеудің түбірі емес. Сондықтан (2.12) формуласы бойынша
теңдеуінің дербес шешімін мына ... ... ...
, ... және - белгісіз ... ... ... ... ... теңестіріп, белгісіз коэффициенттерді анықтайтын теңдеулер ... ... ... теңдеудің дербес шешімі болады, ал біртекті емес теңдеудің ... ... ... саны (1.30) ... ... жәй түбірі болсын, яғни . Көпмүшеліктер тепе-теңдігін алу үшін ... -ші ... ... ... керек. Сондықтан дербес шешімді
(1.32)
түрінде іздестіреміз.
Мысал 2. ... ... ... тап.
Шешімі. ... ... ... ... ... ... ... түбірлері . Демек, біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі
.
Енді біртекті емес ... ... ... ... Оның оң жағы ... ... түріне келеді. Мұндағы ... ... жәй ... ... (1.32) формуласы бойынша теңдеудің дербес шешімі
,
яғни
, ... және - ... ... түрінде іздестіріледі. Онда
,
-нің бірдей дәрежедегі коэффициенттерін салыстыра отырып, белгісіз коэффициенттерді анықтайтын теңдеулер жүйесін аламыз:
Сондықтан ... ... ... ... ... .
Ендеше тұрақты коэффициентті сызықты біртекті емес ... ... ...
с) саны (1.30) ... ... екі ... түбірі болсын., яғни . Бұл жағдайда ... емес (1.28) ... ... ... ... ... ...
. ... 3. ... ... шешімін тап.
Шешімі. ... ... ... ... ... Ол үшін ... ... құрамыз
.
Бұл теңдеудің түбірлері . Демек, ... ... ... ... ... Енді ... емес ... дербес шешімін қарастырайық. Берілген дифференциалдық теңдеудің оң жағы
-ке сәйкес келетін формула ... ... ... ... ... екі ... ... Сондықтан, (1.33) формуласына сәйкес теңдеудің дербес шешімін келесі түрде іздестіреміз
, яғни , ... және ... ... Онда
.
-нің бірдей дәрежесіндегі коэффициенттерді салыстырып белгісіз коэффициенттерді анықтайтын теңдеулер жүйесін құрамыз:
Сондықтан ... ... ... ...
Ендеше тұрақты коэффициентті сызықты біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі
Жағдай 2. (1.28) ... оң жағы ... және ... ... , ... ... -нен ... -дан тәуелді көпмүшелік. Олар тұрақты сан болуы немесе нөлге тепе-тең болуы да мүмкін. (1.28) теңдеуі мынадай ... ...
. ... функцияларын Эйлер формуласы ... ... ... ... ... ... келеді:
(1.36)
мұндағы -ші дәрежелі көпмүшеліктер.
а) егер және ... (1.30) ... ... ... ... сандар болса, онда (1.35) теңдеуінің дербес шешімі мынадай түрде анықталады
немесе нақты ...
. ... 4. ... ... шешімін тап.
Шешімі. біртекті сызықты теңдеудің жалпы шешімін табамыз. Характеристикалық теңдеудің
комплекс түдірлері бар, яғни . ... ... ... жалпы шешімі түрінде жазылады. Енді бастапқы теңдеудің ... ... ... ... теңдеудің оң жағы
-ке сәйкес келетін формула
, ... ... ... ... ... Сондықтан (1.37) формуласы бойынша берілген теңдеудің дербес шешімі
, яғни
мұндағы және - ... ... ... функцияларының коэффициенттерін салыстыру арқылы теңдеулер жүйесін құрамыз
Сонымен ... ... ... , ал ... ... ... ... болады.
в) егер және ... (1.30) ... ... түбірі болатындай сандар болса, онда (1.35) теңдеуінің дербес шешімі мынадай түрде анықталады
немесе нақты түрде
(1.38)
іздестіріледі.
Мысал 5. ... ... ... ... ... сызықты теңдеудің жалпы шешімін табамыз. Характеристикалық теңдеудің комплекс ... бар, яғни . ... ... теңдеудің жалпы шешімі
түрінде жазылады. Енді бастапқы теңдеудің дербес шешімін іздестіреміз. Берілген теңдеудің оң жағы -ке ... ... ...
, ...
характеристикалық ... ... . ... (1.38) ... ... берілген теңдеудің дербес шешімі
мұндағы - белгісіз коэффициерттер. Онда
.
және ... ... ... ... ... ... ... дербес шешімі мынадай: , ал бастапқы ... ... ...
2 ... ... ... ...
теңдеулерді шешуде қолданылуы
2.1 Лаплас түрлендірулерінің негізгі түсініктері.
Нақты айнымалы функциясының ... ... деп, ... ... комплекс айнымалы функциясын айтады.
Теңдіктің оң жағындағы комплекс тәуелді меншіксіз интеграл Лаплас интегралы деп ... (2.1) ... ... ... анықтауы үшін функциясына мынадай талаптар қойылады:
1) -функциясы мәндерінде ... - ... яғни ... не ... ... ... түрдегі санаулы үзіліс нүктелері бар.
2) ... (2.3) ... 3) ... ... шектеулі функциялар орындайды. Мысалы сондай-ақ барлық дәрежелік функциялар да орындайды. Өйткені олар көрсеткіштік ... ... жәй ... ... үш ... орындайтын кезкелген функциясын түпнұсқа (оригинал) деп атайды. (2.1) формуламен анықталатын функциясы оның бейнесі (Лаплас ... ... деп ... ... мен ... арасындағы сәйкестік
, ...
, ... ... ... ... функциясының
(2.4)
көмегімен кезкелген 2) шартты орындамайтын функциясын түрінде жазып, түпнұсқа ете ... ... ... ... ие:
Теорема. Функция түпнұсқа делік. Онда Лаплас интегралы
(яғни ... ... 3) ... мәндерінде абсолютті жинақты және жарты жазықтығында аналитикалық функция болып, бейнені анықтайды.
Абсолютті жинақтылығын дәлелдеу үшін 3) шартты ... Егер ... ,
. ...
, ... ... ... бойынша . Демек Лаплас интегралы абсолютті жинақты.
Мысал ретінде функциясының бейнесін табайық
.
,
егер . Бұл мүмкін, егер , яғни болса. Сонымен
. ... ... ... Лаплас интегралының жинақтылығы мәндерінде ғана деп көрсетілгенімен, мысалдан функцияның аналитикалығы барлық мәндерінде екендігін көреміз. Теореманы пайдалансақ ... ... ... ... емес ... ... келеміз: барлық ерекше нүктелер түзуінің сол жағында немесе осы түзудің үстінде жатады.
Кезкелген бейненің шексіздіктегі өзгерісін қарастырайық. ... (2.6) - ... ... ... 3) ... ... және , осы себепті егер да өссе, онда . Демек
. (2.9) ... ... егер ... ... ... онда оның міндетті түрде нөлі бар.
Түпнұсқалардың арасындағы ... ... ... ... ... ... ... болады. Осы себепті Лаплас түрлендірулерінің қасиеттеріне негізделген операциялық есептеу теориясы көптеген есептерді шешуде қолданылады. Мысалы түпнұсқалардағы ... ... ... ... ... ... Осы теңдеулерді шешіп, бейнелерден түпнұсқаларға көшу нәтижесінде бастапқы дифференциалдық теңдеулердің шешімдеріне көшеміз.
Жалпы операциялық есептеу деп, ... ... ... ... ... ... айтады:
* ізделінді функциялардан олардың бейнелеріне көшу;
* функцияларға орындалатын операциялардан, олардың бейнелеріне тиісті операцияларға көшу;
* ... ... ... ... ... ... функцияларға кері көшу.
2.2 Лаплас түрлендіруінің қасиеттері
Лаплас түрлендірулерінің ... ... ... ... ... ... ... олардың Лаплас бойынша бейнелерін , т.с.с. белгілейміз:
.
1.Сызықтық теоремасы. және тұрақтыларында
(2.10)
Дәлелдеуі. ... Егер және ... оң ... интеграл олардың жалпы бөлігінде жинақты.
Мысалдар 1.
Онда
(2.11)
(2.12)
2. ... ... .
. (2.15) ... ... -тұрақтысында
(2.16)
Дәлелдеуі. . Интегралда алмастыру енгізсек
.
Мысалы . Онда ... ... ... ... ... саны үшін
. ... ...
, ,
, ... айтылған теоремалардан келесі формулаларды қорытуға болады
,
.
4.Кешігу теоремасы. тұрақтысы үшін
. ... , ... ... . ... ... ... да озу теоремасы да қолданылады
. ... ... ... ... да ... ... ... мәндерінде түпнұсқа десек, оның бейнесі
. ... ... ... (2.20) ... ... ... ... орындаса
.
5.Параметр бойынша дифференциалдау теоремасы.
Егер мәнінде түпнұсқасына ... ... ... ... ... тоқталайық. белгі формасында параметр бойынша дифференциалдасақ ... рет ... ... ... ... ... ... дифференциалдау нәтижесінде формулаларынан
.
Түпнұсқа нүктесінде ... ... ... да ... ... ... Осы сияқты туындысы да үзілісті кезінде
(2.23)
деп қабылдаймыз.
6.Түпнұсқаны дифференциалдау теоремасы ... ... онда
. ... ... ... , ... ... байланысты егер болса, онда
.
Демек . Теореманы бірнеше рет ... ... (2.26) ... шарттар болғанда
. ... ... екі ... ... ... түпнұсқа, ал шексіздікте аналитикалық функция
болса, онда
. ... ... егер ... ... ... (2.28) жәй ... ... ... .
2. Егер ... ... ... шегі бар ... ... ... функциясы үшін дұрыс нүкте болса, онда . Осы себепті формула (29) қызықты, егер ... үшін ... ... болса.
Салдарды ерекше сақтықпен қолдану керек. Алдын ала шегі бар ... көз ... ... емес нәтижелер алуымыз мүмкін.
және ... ... шегі жоқ, ... (29) ... ... функцияның екендігі белгілі, демек формуланы (2.29) қолдануға болады
.
7.Түпнұсқаны интегралдау теоремасы. Егер және ... онда
. ... және ... ...
. ... , ... , .
Теоремаларды 6 және 7 жәй мысалдармен тексерейік.
, ... ... ... ... орындалады.
Егер деп, интегралдау теоремасын қолдансақ, қайтадан ... ... ... ... ... жағын дифференциалдау, оң жағын -ға көбейту нәтижесінде келесі сәйкестікті аламыз
.
Келтірілген түпнұсқаны дифференциалдау және интегралдау теоремалары және мысалдар, ... ... ... ... және ... ... жәй ... (-ға көбейту және бөлумен, біріншіде тұрақтысын шегерумен) ауысатындығын айғақтап көрсетіп тұр.
Бейнелерді дифференциалдау және интегралдау ... ... ... ... ... болса, онда
. ... ... ... ... ... ережесінен шығады
.
Ал бұл екендігі айқын. Теореманы ... рет ... мына ... ... ; , , ..., .
9. ... интегралдау теоремасы.
Егер интеграл жинақы болса, онда
. ... ... ... ... келтірейік.
, ал ,
онда
.
Бұдан 7-теореманы қолдансақ
.
Интеграл элементар ... ... және ... емес ... ... сияқты сәйкестігінен мынаны қорытамыз
, .
Теореманы 9 сәйкестігіне қолдануға болмайды, себебі интегралы жинақы емес және ... да ... бола ... ... ... ...
Анықтама. Екі функцияның және орамы ... ... ... ... ... айнымалы интеграл астындағы өрнекке де және жоғарғы шегі ... етіп ... ... де енген. Функциялар орамын әдетте түрінде белгілейді:
. ... ... ... , онда ...
. ... ... ... ... және ...
. ... нәтижені десек те аламыз.
,
.
Егер және түпнұсқалар болса, онда олардың орамы да түпнұсқа екендігін көрсетуге болады.
, , ... үшін ,
. Онда , ... . ... орам түпнұсқаның үшінші шартын орындайды.
10. Бейнелерді көбейту теоремасы
Егер және ... онда ... ... бейнелердің көбейтіндісі сәйкес
. ... Орам үшін ... ... ... ... ... шексіз облыста қос интергал болады
c. 1
D
Қос интегралда интегралдау ретін ауыстырсақ
.
Оң ... ішкі ... ... ... ,
. ... . ... ... қаралған мысалдарды тексеріп көрелік.
Көбейту теоремасы бойынша
,
.
Осы ... ... ... де ...
, ... ашып ... ... (2.37) Дюамель интегралы деп аталады.
, және осы екі Лаплас интегралы да абсолютті жинақталатын жарты жазықтық делік.
Екі бейненің орамы ... ... ... сызығы , -комплекс айнымалы, .
11. Түпнұсқаларды көбейту теоремасы
Егер және ... онда
. ... (39) ...
. ... (2.39) әдетте комплекс айнымалы функциялар теориясындағы шегерінділер туралы теореманың көмегімен есептейді. Бір мысал келтірейік
және .
.
.
2.3 Лаплас ... кері ... ... ... функцияны табу жолдарын, яғни Лаплас түрлендіруін кері түрлендіру тәсілдерін қарастырамыз.
Кері түрлендіру теоремасы. Егер түпнұсқа, оның ... ... онда ... ... ... ... нүктесінде
, ... ... ... Лаплас интегралы абсолютті жинақты болатын жарты жазықтықтың кезкелген шексіз түзуі ... ... (2.41) ... ... ... ... Осы себепті функциясы комплекс жазықтықта аналитикалық, санаулы ғана ерекше нүктелері бар және
(2.42)
деп алынады. Мұнда шексіздікте ... ала ... деп ... ... ... ... сол ... немесе түзудің үстінде орналасқан деп, Жордан леммасының ... ... (2.41) оңай ... ... ... делік. Онда интеграл шеңбері бойымен ... ...
. ... 1. Табу ... ... Түпнұсқа интеграл астындағы функцияның жәй полюсы , шегеріндісі бірге тең. Демек ... 2. , табу ... ... ... ... негізгі теореманы қолданамыз
, (2.43)
- ... ... ... ... (2.43) ... ... ... қолданайық
, ... ... (2.44) ... ... Онда ... ... ... ... - ... ... ... комплекс айнымалы бойынша, -ны тұрақты деп атқарылады. Формула (2.45) жіктеу формуласы (немесе жіктеу теоремасы) ... ...
. ... ... жәй ... (еселі емес)
. ... ... нөлі ... . Онда ... (2.48) ... 3. . Табу ... ... .
Туынды . Онда (2.48) формула бойынша
Бөлшекті қарапайым (жәй) бөлшектерге жіктеп, белгілі ... ... ... де ... ... ... бөлшектердің түпнұсқасы , бөлшектерінікі .
Бөлшекті мына ... ...
, ... ... онда ... ... ... жіктеледі) кестедегі формулаларды деп пайдаланамыз.
Мысал 4. . Табу керек .
Шешуі. ... ... ... ... Онда
, ... ... ... көшсек
.
Мысал 5. . Табу керек .
Шешуі. ... ... 3 және ... 2 екі ... бар. ... (46) қолданып, полюстердегі шегерінділерді есептесек
,
.
Сонымен ... 6. ... ... Табу ... ... ... жәй ... түйіндес түбірлері және ,
.
шегерінділерін есептесек
,
.
Комплекс түйіндес полюстарындағы шегерінділер де комплекс түйіндес болғандықтан, олардың қосындысы кез ... екі ... ... ... тең ... осылайша, екінші жұп шегерінділерінің қосындысы ... ... ... коэффициенттері нақты болса, -ның комплекс түйіндес және ... (2.45) ... ... ... жәй ... ... болғанда (2.47) формуланы мына түрде жазуға болады
, ... ... ... -ның ... ... ... ал екінші қосынды жорымал бөлігі оң таңбалы барлық комплекс ... ... (2.49) ... ... ... былай түрлендіруге де болады
Егер , яғни таза жорымал сан болса, онда оған ... ... ... ... ... ... 2
Рационал бөлшек бейнелерінің түпнұсқалары.
Реттік нөмірі
Бейне
Түпнұсқа
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
2.4 Лаплас түрлендірулері арқылы дифференциалдық теңдеулерді шешу
Тұрақты коэффициентті сызықты дифференциалдық теңдеулерді ... ... ... сызықты біртекті емес теңдеудің
(2.50)
бастапқы шарттарды
. ... ... ...
Бұндай есепті шешудің операциялық әдісі ізделінді және функцияларын түпнұсқалар деп, (1) теңдеуден олардың бейнелерін байланыстырушы теңдеуге көшуден ... Ол үшін ... ... және сызықтық теоремаларын қолданып, теңдеуде (1) бейнелерге көшеміз:
. ... ... ... ... ... көштік. Оны шешсек
,
. ... ... ... ... Енді ... ... кері түрлендіру теоремасының көмегімен түпнұсқаны , яғни ... ... ... ... ... болса
, ... ... . ... n ... болса
, ... ... ... ... ... ... ... , ... ... ... коэффициенттері -ден тәуелді көпмүшелік.
Егер болса, онда
. ... (2.58), (2.59) кері ... ... ... яғни ... шешімдерді табамыз.
Мысал 1. Теңдеудің
нольдік бастапқы шарттарды
орындайтын шешімін табу керек.
Шешуі. , операторлық ... ... ... ... ... ... бар. Онда жәй ... үшін жіктелу формуласын қолдансақ, дифференциалдық теңдеудің шешімі шығады
.
Мысал 2. ... ... ... ... табу ... ... ... мына түрге келеді
;
бұдан
.
Түпнұсқаға көшсек: болғандықтан
.
Сонымен теңдеудің шешімі
.
Мысал 3. Есептің шешімін табу керек
Шешуі. Операторлық теңдеуі
,
онда . ... ... ... ... ... ... нүктесіндегі шегеріндіні ғана есептейміз,
.
Екі еселенген нақты бөлігі шешімін береді:
.
Мысал 4. Есептің шешімін табу ... ... ... және оның ... шарттары мына түрде жазылады
,
.
Операторлық теңдеуге көшсек
,
.
Түпнұсқаларға көшсек:
.
.
Дифференциалдық теңдеулерді шешкенде көбейту теоремасының, дербес жағдайда ... ... ... тоқталайық.
Сызықтық дифференциалдық оператор енгізейік
. ... ... емес ... ... ... ... ... мағынасы мынада: егер теңдеудің (2.62) бір шешімі белгілі болса, онда осы шешім бойынша оң жағы кез келген функция ... ... ... ... құруды жағдайынан бастау ерекше тиімді.
, ... (2.63) ... ... (2.64) ... десек, бейнесін делік, онда операторлық теңдеуінен
,
, (2.65)
- ... ... ... және оның ... ... десек, онда
. ... оң жағы ... ... ... ... ... ... . (2.68) ... 5. ... ... табу ... Алдымен есебін шешелік.
Түпнұсқасы . Онда (2.67) формула бойынша
.
Мысал 6. ... ... ... интегралымен жазу керек
Шешуі. теңдеуінен бастайық.
Онда ... 7. ... ... табу ...
* ... дифференциалдау қасиеті және кестедегі (9) формула
бойынша ... ... ... ... ... мынадай түрде жазып оның шешімін табамыз. Ол үшін белгісіз ... ... ...
егер ... ... ... ... ... ... ... Енді ... үшін кері ... ... ... ...
.
Қорытынды
Қолданбалы математиканың көптеген есептерін шешуде операциялық есептеулер ... ... ... шешу үшін ... ... ... ... бірінші болып зерттеген О. Хевисайд болғандықтан оны О. Хевисайд ... ... ... ... ... ... шешу үшін
Лаплас түрлендіруі қолданыла ды. Дифференциалдық теңдеулерді Лаплас ... ... ... ... ... ... -нің ... функциялары -нің кейбір кластарын комплекс ... -нің ... ... -ға ... ... арқылы табылады да қайтадан сәйкес түп-нұсқаға ... ... ... екі ... тұрады. Бірінші тарауда дифференциалдық теңдеулер қасиеттері, теңдеулерді шешу жолдары қарастырылған. Екінші тарауда Лаплас түрлендірулерінің қасиеттері қарастырылып дифференциалдық теңдеулердің шешімін табуда ... ... ... ... В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.,Наука,1971.
* Матвеев Н.М. Методы интегрирования ... ... ... - ... ... школа, 1974.
* Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи.-М.: , 1989.
* ... В.В. Курс ... ... ... Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. - М.: , ... ... В.С. ... ... учеб.-метод. пособие. К.: Киевская книжная типография №5, 1968.-198стр.
* ... Ж.С. ... ... ... жай дифференциалдық теңдеулер жә не олардың системалары. Алматы. Рауан, 1991. -360 бет.
* Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. ... , ... ... ... К.Д., ... К.Ж. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы, 2012.
* Назарова К.Ж. ... ... ... ... 2011.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 20 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 000 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»47 бет
Автотербелмелі жүйелер кластерінің сигнал өндіру режимдері және оларға шуыл мен флуктуациялардың әсерін тәжірибе жүзінде зерттеу40 бет
Диференциалдық оператор49 бет
Дифференциалдық теңдеулер37 бет
Дифференциалдық теңдеулер курсында тірек конспектілерін қолдану, және де дифференциалдық теңдеулерді шешу жолдары36 бет
Зерттеу процессі кезіндегі экспериментті жоспарлау әдістері4 бет
Интегро-дифференциалдық теңдеулерді шешудің кейбір әдістері22 бет
Механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеулері28 бет
Сызықты дифференциялдық теңдеулер жүйесінің негізгі кластарының біреуін құрайтын дұрыс жүйелер24 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь