Арнайы функциялар

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
Арнайы функциялар теориясының жалпы теңдеулері ... ... ... ... ... ... ... ... .4
Цилиндрлік функциялар түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
0.1 Бессель функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
0.2 Ханкель функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..8
0.3 Модифицирленген Бессель функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...13
0.4 Бурже функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...14
0.5 Біртекті емес Бессель функцияларының дербес шешімдері ... ... ... ... ... ..15
0.6 Параболалық цилиндрлік функциялар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .17
0.7 Кельвин функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...19
1 Бессель теңдеулері
1.1 Бессель теңдеулері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..22
1.2 Бессель теңдеуінің шешімдері. Бірінші текті Бессель функциясы ... ... ...23
1.3 Бессель теңдеуінің жалпы шешімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 31
1.4 Екінші текті Бессель функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...33
1.5 Бессель теңдеуіне келтірілетін теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 37
1.6 Бессель функциялары үшін рекурентті қатынас ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .40
1.7 Үшінші текті Бессель функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .44
2 Модифицирленген Бессель функциялары
2.1 Модифицирленген Бессель функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...46
2.2 Бессельдік функциялар жүйесінің туындылаушы (өңдеуші) функциясы. интегралдық көрсетілуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .48
2.2.1 Натурал индексті Бессель функциялары бойынша жіктелуі ... ... ... ... .48
2.2.2 Бессель функциясының интегралдық бейнелеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..51
3 Цилиндрлік функцияның асимптотикалық көрінісі
3.1 Цилиндрлік функцияның асимптотикалық көрінісі ... ... ... ... ... ... ... ... ...55
3.2 Цилиндрлік функциялардың нольдерінің үлестірілуі. Цилиндрлік функциялардың графиктері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..57
3.3 Цилиндрлік функциялар жүйесінің ортогональдығы. Бессельдік функциялар бойынша қатарға жіктелуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...61
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...66
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .67
Дипломдық жұмыста цилиндрлік функциялар және олардың қолданылулары қарастырылған. Яғни цилиндрлік функциялардың түрлеріне тоқталып өткен және Бессель теңдеуінің шешімдері болатын Бессель функцияларының, модифицирленген Бессель функциялары және цилиндрлік функцияларның асимптотикалық көрінісі мен олардың қасиеттері берілген.
Диплом жұмысы кіріспеден, үш тараудан, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Жұмыстың бірінші тарауында Бессель теңдеуінің анықтамасы және Бессель функциясының қасиеттері келтірілген. Ал екінші тарауында Бессель теңдеуінің шешімі туралы, І-текті, ІІ-текті, ІІІ-текті Бессель функциялары және модифицирленген Бессель функциясы туралы айтылған. Үшінші тарауда цилиндрлік функциялардың нольдерінің орналасуы туралы, интегралдық көрінісі туралы, ортогональдық жүйесі туралы және Бессель функциясының қатарға жіктелуі туралы, сонымен қатар цилиндрлік функциялардың асимптотикалық көрінісі туралы айтылған.
1. А.М.Колобов, Л.П.Черенкова Избранные главы высшей математики. Минск,1967
2. Трикоми Ф. Интегральные уравнение. Москва, 1960
3. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. Москва, 1962
4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Москва, 1961
5. Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической физики, Москва, 1953.
6. Кузнецов Д.С. Специальные функции. Москва, 1965.
7. Кузьмин Р.О. Бесселевы функции. Москва, 1935.
8. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. Москва, 1963.
9. Розет Т.А. Элементы теории цилиндрических функций с приложениями к радиотехнике. Москва, 1956.
10. Тоқыбетов Ж. Арнаулы функциялар және олардың қолданулары. Алматы, 1992.
11. Ватсон Дж.Н. Теория бесселевых функции. Москва, 1949.
12. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.:Наука,1971. 512б.
13. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. –М.:Наука, 1966.
14. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. – М.:Наука, 1985.
15. Михлин С.Г. Курс математической физики. –М.:Наука, 1968.
        
        М А З М Ұ Н Ы
КІРІСПЕ.....................................................................
.............................................3
Арнайы функциялар ... ... ... Бессель
функциялары.................................................................
......................6
0.2 Ханкель
функциясы...................................................................
.......................8
0.3 Модифицирленген Бессель
функциялары...................................................13
0.4 Бурже
функциялары.................................................................
......................14
0.5 Біртекті емес ... ... ... Параболалық цилиндрлік
функциялар.........................................................17
0.7 Кельвин
функциялары.................................................................
..................19
1 Бессель теңдеулері
1.1 ... ... ... ... Бірінші текті Бессель
функциясы...........23
1.3 Бессель теңдеуінің жалпы
шешімі................................................................31
1.4 Екінші текті Бессель
функциясы...................................................................
33
1.5 ... ... ... Бессель функциялары үшін рекурентті
қатынас.........................................40
1.7 Үшінші текті Бессель
функциясы.................................................................44
2 ... ... ... ... ... Бессельдік функциялар жүйесінің туындылаушы (өңдеуші) ... ... ... ... функциялары бойынша
жіктелуі.................48
2.2.2 Бессель функциясының интегралдық
бейнелеуі......................................51
3 Цилиндрлік функцияның асимптотикалық көрінісі
3.1 ... ... ... Цилиндрлік функциялардың нольдерінің үлестірілуі. Цилиндрлік
функциялардың
графиктері..................................................................
................57
3.3 ... ... ... ... ... ... қатарға
жіктелуі...............................................................61
ҚОРЫТЫНДЫ...................................................................
....................................66
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
ТІЗІМІ.....................................................67
КІРІСПЕ
Дипломдық жұмыста цилиндрлік функциялар және ... ... Яғни ... ... ... ... ... және
Бессель теңдеуінің ... ... ... ... Бессель функциялары және ... ... ... мен ... ... берілген.
Диплом жұмысы кіріспеден, үш тараудан, қорытындыдан және ... ... ... ... бірінші тарауында Бессель теңдеуінің
анықтамасы және Бессель функциясының қасиеттері келтірілген. Ал ... ... ... ... ... І-текті, ІІ-текті, ІІІ-текті
Бессель функциялары және модифицирленген Бессель функциясы туралы айтылған.
Үшінші тарауда цилиндрлік функциялардың ... ... ... ... ... ортогональдық жүйесі туралы және Бессель
функциясының қатарға жіктелуі туралы, ... ... ... асимптотикалық көрінісі туралы айтылған.
Диплом жұмысының мақсаты: Арнайы функциялар – цилиндрлік функциялардың
түрлерін және олардың қолданылуын баяндау.
Арнайы ... ... ... ... ... ... физика (жалпы түрде дербес
туындылы) теңдеулерінің есептерін шешуде қолданатын айнымалылары ... шешу ... ... міндетті түрде Штурм-Лиувиль ... Ол есеп ... ... теңдеудің аймақ шекарасы
-те шекаралық шартын қанағаттандыратын ... ... ... нөлдік емес, шешімін (меншікті функцияны) табу керек.
Егер ... - ... , ... ... онда - меншікті функциялар тригонометриялық функциялармен
өрнектелетін болады. Ал аймақ ... ... ... шар ... онда ... ... есептің меншікті функцияларын табу үшін
цилиндрлік және сфералақ функциялар деп аталатын жаңа ... ... ... ... ... ... ... жіктеп шешу
тәсілі – жуықтап шешу тәсілі болғандықтан, жуық ... ... үшін ... ... ... ... мәселесі өте өзекті.
Қарапайым арнайы функциялар
Қарапайым арнайы функциялар
(0.1)
теңдеуінің шешімі болып келеді, ... ... оның ... ең ... ... яғни (1) ... үшін ... функциялары
тригонометриялық функцияларға сәйкес келеді.
Енді, басқа арнайы функциялар үшін ... ... ... теңдеуі. Бұл (1) теңдеудің мәндеріне сәйкес келетін
теңдеу:
Лежандр теңдеуі. Бұл (1) ... ... ... келетін
теңдеу:
Лежандрдың жалғасушы функциясының теңдеуі. Бұл (0.1) теңдеудің
мәндеріне сәйкес келетін теңдеу:
Чебышев-Эрмит теңдеуі. Бұл (0.1) ... ... ... ... Бұл (0.1) теңдеудің мәндеріне сәйкес
келетін
немесе
теңдеулер.
Бұл ... ... ... ... ... ...
теңдеулердегі коэффициенттің интервалының ең болмағанда бір
шеткі нүктесіндегі нөлге айналуы. Себебі, осы ... бұл ... (1) ... үшін ... есептердің қойылымында ерекше роль
ойнайды. Бұл төменде осы функцияның ... ... ... ... (0.1) ... шешімінің қалай өзгеретінінің кейбір
жағдайларын ... ... ... функциялар – математикалық физика теңдеулері үшін
айнымалыны ... ... ... ... қарапайым дифференциалдық
теңдеулердің шешімі болатын бір айнымалылы арнайы функциялардың жалпы атауы
болып табылады. Мысалы, ... ... ... ... ... ... теңдеуі және тағы басқалар. Негізінен
айнымалы ретінде ... ... ... ... Цилиндрлік
функциялардың гармониялық функциялармен көбейтіндісі цилиндрлік гармонияны
береді.
Жиі кездесетін цилиндрлік функциялар:
1. Бессель функциялары
А) бірінші ... ... ... текті («Нейман функциялары» деп те аталады), нольде
шектелмеген;
2. Ганкель функциялары, бірінші және екінші текті – Бессель және
Нейман функцияларының комплексті ... ... ... ... ... – шектелмеген, монотонды,
комплекс аргументтен тәуелді Бессель функциялары:
А) бірінші текті («Инфельд функциялары» деп те аталады);
Б) екінші ... ... ... деп те ... Бурже функциялары – Бессель функцияларының жалпыланған
интегралдық бейнеленуі;
5. Біртекті емес Бессель функциялары дербес шешімдері:
А) ... ... ... функциялары;
В) Струве функциялары;
Г) Ломмель функциялары;
6. Параболалық цилиндрлік функциялар;
7. Кельвин функциялары.
0.1 Бессель функциялары
Анықтама. Бессель теңдеуі деп ... ... ... екінші ретті сызықты дифференциал теңдеуді айтамыз:
(0.2)
немесе
.
(0.2) теңдеу сызықты болғандықтан, онда оның ... ... мына ... және - екі ... ... ... ал және
- тұрақты шама.
(0.2) теңдеудің шешімі Бессель функциясы немесе цилиндрлік функциялар
деп аталатын арнайы функцияларды береді.
Теңдеуге ... саны ... шама ... Ол ... ... деп ... ... бірге сәйкес цилиндрлік функцияның
реті немесе индексі деп аталады.
А) Бірінші текті Бессель функциялары
Анықтама: Мына ... ... ... x-тің кез ... мәнінде жинақталатын, индексті бірінші текті
Бессель функциясы деп аталады.
Бұл функцияны арқылы белгілеу қабылданған, яғни
(0.3)
Б) ... ... ... ... теңдеуінің бұл шешімі анықталмаған өрнек болады. ... ... оның ... шегін табамыз:
Бұл шекті болғандағы (0.2) теңдеудің екінші ... ... ... дербес шешім ретінде, мысалы, келесіні алуға болады:
(0.4)
Бұл болғандағы Бессель теңдеуінің жалпы ... ... ... емес ... екінші текті Бессель функциясы
немесе Нейман функциясы деп аталады.
0.2 ... ... ... ... ... Бессель функциялары) – бұл бірінші
және екінші текті Бессель ... ... ... ал ... ... ... ... болып табылады. Оны неміс математигі
Герман Ханкельдің ... ... 0 ... ... ... ... ... шешімдері болып табылады.
Келтірілген Бессельдің бірінші текті функциясынан басқа Бессель
теңдеуінің шешімі ... ... да ... ... ... ... ... бірінші және екінші текті арнайы функциялары болып
табылады. Бұл функциялар Бессель теңдеуінің комплекс ... ... ... ... ... бұл ... Бессель теңдеуінің
шешімдері болғандықтан, цилиндрлік функциялар ретінде мынадай:
(*)
(**)
асимтотикалық өрнектермен беріледі, бұлардағы көп нүктелер қосылғыш ... () ... ... ... шама бар деп түсіндіріледі. Бұл (*) және
(**) өрнектер жоғарыдағы ... ... ... және ... ... Бұл ... ... және жорамал бөліктерге ажыратып
төмендегіше жазайық:
- бірінші текті Ганкель функциясы,
- екінші ... ... ... бұл ... екі ... ... өрнектер орынды (бұлар (*) және (**) өрнектерден алынады).
Егер бірінші текті Бессель функциялардың ... ... ... -бүтін емес; ал егер бүтін болса, онда жоғарыдағы
Лопиталь ... ... ... талдау арқылы төмендегі
өрнектерін аламыз.
Ал бірінші және екінші текті Ханкель функцияларынан
функцияларын анықтасақ, онда
,
түріндегі, кәдуілгі
Эйлер ... ... ... ... ... ... бірінші рет Пуассон шұғылданған. Алдымен
функцияны қатарға жіктеп,одан кейін ... және Бета ... ... ... ... ... ... пайдаланып және алмастыру енгізсек онда (0.5) өрнекті
(0.6)
түріне келтіреміз. Міне бұл (0.6) осы функцияның интегралдық ... деп ... ... түрін алу үшін комплекс анализдің мына
өрнегін пайдалансақ, онда
(0.7)
Егер z>0 деп және s= aлмастыру енгізсек , онда (0.7) ... ... ... деп ... С ... секілді. Бұл
(0.8) өрнeкті функциясының ... ... ... ... ... (0.8) ... ... енгізіп, ондағы радиусты
(шеңбердің) бірге тең деп алсақ, онда
Ал бұған деп алмастырсақ, ... Rez>0, v-кез ... ... (0.9) ... болса, онда оң жақтағы екінші қосылғыш нөлге
тең болып, қарапайымданады.
Осылайша талдаулар жасап Бессельдің ... және ... ... үшін де ... ... ... болады.
Мәселен, (0.9) өрнекке және бүтін емес деп қабылдап
өрнекті аламыз.Ал,егер бұл өрнектің оң ... ... ... ... айнымалыға алмастырсақ, онда қарапайым түрлендіруден кейін
үшін
(0.10)
өрнегін аламыз.
Осы соңғы ... ... үшін мына ... үшін ... ... ... қасиеттері:
Бірінші текті Бессель функциялары арқылы бейнеленуі:
Вронский анықтауышы:
Индекстері бойынша симметриялы:
Асимптотикалық бейнеленуі:
, если
если
0.3 Модифицирленген Бессель функциялары
А) бірінші текті ... ... ... ... (0.2) ... ... ... яғни Оның
дербес шешімі жорамал аргументті функциясы ... ... ... функциясын қарастырудың тиімсіздігі х-аргументтің нақты
мәндерінде ... ... ... ... мән ... Мұны болдырмас
үшін, мынадай функция енгіземіз:
яғни х-тің нақты болғанда нақты мән қабылдайды. Шын ... ... ... ... функциясы немесе
модифицирленген цилиндрлік функция деп аталады.
Б) екінші текті модифицирленген Бессель функциялары
болғанда шекке ... ... ... ... ... ... Макдональд
функциясы деп аталады.
0.4 Бурже функциясы
Бурже функциясы – бессельдік функциялардың интегралдық ... ... ... Ол ... 1861 жылы Ж. ... енгізген.
Ол мына түрде анықталады:
Дербес жағдайда, яғни k=0 болғанда Ангер функциясы келіп шығады.
0.5 Біртекті емес Бессель ... ... ... ... ...... функция емес, яғни біртекті емес Бессель
теңдеулерінің дербес шешімі болып табылады:
Ангер функциясының интегралдық өрнек ... ... ... функциясы.
Бүтін -дер үшін ... ... ... ... Сондықтан Бессель функциясының анықтамасын бергенде, Ангер
функциясына ұқсас, қысқартылған интеграл беріледі. ... да, ... ... үшін ... ... айтарлықтай айырмашылық бар:
Вебер функциясымен ара қатынасы:
.
Б)Вебер функциясы
Вебер функциясы – біртекті емес Бессель теңдеулерінің ... ... ... ... емес ... ... ... өрнектелуі мына түрде болады:
Ангер функциясымен ара қатынасы:
Бүтін -дер үшін Вебер функциясының ... ... ара ... ... ...... емес ... функцияларының дербес
шешімдері болатын элементар емес функциялар болып табылады:
Струве функциясының интегралдық өрнектелуі мына ... ... ... мына ... ... ... ... мына түрде жазылады:
Г)Ломмель функциялары
Ломмель функциясы – біртекті емес Бессель функцияларының ... ... ... емес ... ... ... ... неміс математигі Эйген фон Ломмель енгізген.
Ломмель функциясының интегралдық өрнектелуі мына түрде белгіленеді:
мұндағы - Бессель функциясы; - ... ... ... қатарға жіктелуі мына түрде болады:
.
0.6 Параболалық цилиндрлік функциялар ( Вебер функциясы)
Лаплас теңдеуі сияқты, Пуассон ... ... ... ... математикалық физиканың теңдеулері үшін параболалық цилиндрлік
координаталар жүйесінде айнымалыларды ажырату ... ... ... ... ... болып табылатын арнайы функциялар
үшін жалпы атауы болып табылады.
Жалпы жағдайда цилиндрлік параболалық ...... ... ... болады
(0.13)
Осы теңдеулерге сызықты түрлендірулер жасасақ, онда келесі теңдеу
пайда болады:
Яғни бұл ... ... ... ... деп ... және ... белгіленеді .
, , , функциялары Вебер ... ... ... ... ... бүтін емес үшін , ... ... ... үшін , ... да ... тәуелсіз
болады.
Практикада цилиндрлік параболалық функциялардың басқа да функциялары
жиі қолданылады, (0.13) теңдеуде алмастыруын ... ... ... ... ... ... қолданылады
. ... ... ... ... ... . (0.14) теңдеудің
жалпы шешімі мына ... ... ... ... ... емес ... болғанда Эрмит функциясы ... ... ... ... ... ... ... функциялар арқылы тұйық түрде туындалады.
Рекуррентті қатынастар
Дифференциалдау формулалары
0.7 Кельвин функциялары
Егер (0.1)- дифференциалдық теңдеуде болса және x айнымалыны ... ... ... t ... ... ... Бұл ... бір-біріне сызықты тәуелсіз дербес
шешімдері:
, ... ... (0.15) ... алмастыруын енгізсек, онда
немесе
теңдеуді аламыз. Онда жоғарыдағы (0.16) жеке шешімдер бойынша
мұндағы
Дәл осылайша талдап, (0.16) шешімді төмендегідей ... ... ... ... , ... ... функциялар болады.
Олардың нақты және жорамал бөліктерін бөліп алсақ:
ber және bei ker және kei белгілеулерін Кельвин енгізді.
Кельвин функцияларының бірқатар қатынастар бар; ... ... ... ... жоғарыдағы Бессель теңдеуіне қабылдағандағы ... ... онда олар ... аламыз. Бұл өрнекті Макденольд функциясы деп атаймыз.
өрнегіне деп алсақ , онда
теңдікке келеміз.
Егер бұларда ... , ... ... ... ... оны
деп қабылдасақ, онда
Бұл комплекс функциялардың сәйкес нақты және жорамал бөліктерін
теңестіріп
теңдіктерін ... ... ... ... ... ... ... шешімдері элементар функциялар
интегралының ақырлы сандар көмегімен өрнектеле алмайтын теңдеулер ... ... яғни ... ... ... ... алмайды.
Оларға жоғарғы математиканың жалпы курсында қарастырылатын Риккати теңдеуі
жатады.
Қосымшаларда көбінесе, шешімдері элементар ... ... ... ... ... ... жиі ... яғни
шешімдері бар, бірақ шешімдерді қандай да бір ... ... ... ... ... ... ... біз қазір
танысамыз.
Анықтама. Бессель теңдеуі деп коэффициенттері айнымалы болатын,
мынадай екінші ретті ... ... ... айтамыз:
(1.1)
Немесе
.
(1.1) теңдеу сызықты болғандықтан, онда оның жалпы шешімі мына түрде
жазылады:
Мұндағы және - екі ... ... ... ал ... ... шама.
(1.1) теңдеудің шешімі Бессель функциясы немесе цилиндрлік функциялар
деп аталатын ... ... ... ... саны ... шама ... Ол ... индексі деп аталады, сонымен бірге сәйкес цилиндрлік функцияның
реті немесе индексі деп аталады.
Осылайша, әрбір ... ... және ... ... ... теңдеуге көптеген физикалық құбылыстарды
сипаттайтын ... ... ... (1.1) ... 1766 ... ... ... кезінде Л. Эйлер дәлелдеген. Шындығында,
функциясы, яғни t уақыт моментіндегі мембрананың орнын анықтайтын ... ... ... қарастырылатын толқындық теңдеуді
қанағаттандырады:
Сонымен қатар, оны Фурье әдісімен шешу ... ... ... Міне ... (1) ... ...... функция
аталуы шыққан.
(1.1) теңдеуі – немістің математигі және астрономы, яғни 1824 ... ... ... ... ... ... ... аты
бойынша аталған. Бірақ, бұл атау онша ... ... ... ... функциялары бұған дейін Д. Бернулли және Л. Эйлер жұмыстарында
кездескен болатын.
1.2 ... ... ... ... текті Бессель функциясы
Енді (1.1) теңдеудің шешімін табамыз. Ол үшін, дифференциал ... ... ... ... ... біз ... дәлелдеусіз келтіреміз.
Мына теңдеу берілген болсын:
(1.2)
Мұндағы коэффиценттері х – ке қатысты көпмүшеліктер, . ... ... ... ... ... емес ... ... бойынша
жинақталатын дәрежелік қатармен өрнектеледі, яғни мына ... ... ... ... ... ... (1.3) қатарды (1.2)
теңдеуге қойып және табылған теңдіктің сол ... х – тің ... ... ... ... ... ... , болса, онда (1.2) теңдеудің шешімін ... ... ... ... ... (1.2) теңдеудің екі жағына да - ... соң ... ... енді x=0 ... ... ... Бұл келеңсіздіктен шығу мүмкін болады, егер (1.2) теңдеудің
шешімі қарастырылып отырған жағдайда, жалпыланған ... ... ... ... ... кәдімгі дәрежелік қатардан айырмашылығы тек көбейткішінде
ғана. Мұнда ... ... ... ... ... сан ... да ... теңдеуіне қайта оралайық.
(1.1/)
Мұнда және болғанда, бұл ... ... ... (1.1/) теңдеудің жалпыланған дәрежелік қатар түріндегі шешімін
тауып көрейік:
(1.4)
Сонда
;
;
.
-мәндерін (1.1/) теңдеудің сол ... ... және х – тің ... коэффиценттерді нольге теңестіріп:
............................................................................
..
............................................................................
......................
Немесе
............................................................................
..
............................................................................
.....................
-ны анықтау үшін алынған ... ... ... екі ... біріншісі – тақ индексті коэффиценттері үшін, ...... ... ... ... шешімдері қатар коэффиценттерінің нольдік мәндері
болады:
Екінші жүйеде - ді кез ... ... ... алса ... сонда
коэффициенттері арқылы бірмәнді өрнектеледі, егер ... ... емес сан ... ... (4)-ке қоямыз. Сонда ... ... ... ... ... ... -дің оң болғандағы және теріс болғандағы ... (1.1) ... ... ... жағдайы тек болғанда.
Негізінде, ... ... ... ... ... ... болып қалады. Сондықтан (1.5)
қатары, болғандағы, яғни -дің ... оң және ... (1.1) ... ... ... индексіне сәйкес
мәніндегі Бессель теңдеуінің шешімін арқылы белгілейміз.
Осылайша,
Енді Бессель ... ... ... ... табамыз. Бұл (1.5)
қатардың жинақты болғандағы х мәндерінің жиыны болатыны, анық. ... ... х – тың кез ... ... ... ... бұған Даламбер
белгісі бойынша оның жинақтылық радиусын анықтап, оңай көз ... ... ... тең ... (1.5) ... жинақтылық
облысы барлық сандық ось болады. Зерттеліп отырған дәрежелік қатар өзінің
жинақтылық ... ... ... ... ... ... үшін ... тұрақты шамасы
кіреді. ... кез ... ... ... ... ... ... анықтайтын қатардың жалпы мүшесі жинақты формада жазылатындай етіп
- ді ... ... ... ма? ... ... екен. Ол үшін бізге гамма-
функция үшін келтіру формуласы көмектеседі.
Шынында да,
Егер енді (1.5) қатардың жалпы мүшесіндегі бөлшектің бөлімін ге
көбейтсек, онда ... ... осы ... ... -ға ... өйткені айнымалысын
бір дәреже таңбасының астына жазуға болар еді.
Ендеше, ретінде мына өрнекті таңдаймыз:
Сонда (1.5) қатардың орнына мына ... ... ... Мына қатармен анықталған функция,
яғни x-тің кез келген мәнінде жинақталатын, индексті бірінші текті
Бессель функциясы деп ... ... ... ... ... яғни
(1.6)
Алдыңғылардан, бірінші текті Бессель функциясы барлық ... ... ... яғни -дің бүтін, теріс сан ... ... ... ... ... шешімі бар болады.
Егер болса, онда гамма-функцияның қасиетін пайдаланып,
мына түрдегі бүтін индексті бірінші ... ... ... ... ... онда ... теріс индексті Бессель функциясын мына формула
бойынша табуға болады:
Енді қосындылау - нен ... ... ... ... -коэффициенттері бірмәнді емес анықталады,
осындай жасалған ... ... ... ... жүйесінің
сәйкес нольдік шешімі, яғни алынатынын, ... ... ... ... ... ... бірінші текті Бессель
функциясы бұл жағдайда да Бессель теңдеуінің шешімі болады.
Осылайша, (1.6) ... ... кез ... мән ... бірінші
текті Бессель функциясын анықтайды.
Мысал ретінде, бессельдік функцияның қатар түріндегі бейнелеуін ... ... ... ... ... өрнектеуден
табамыз.
Мысал: Көрсету керек:
Шешуі: (1.6) қатардың өрнегінде қоямыз. Сонда
(1.5) формула бойынша
Соңғы өрнекті түрлендіруге болады. ... да, ... оңай ... ... үшін ... ... олай ... осылай мынаны табамыз
және функцияларының ... ... 1 ... ... ... ... бессельдік функциялардың тамаша бір
қасиетін көрсетеді. ... ... ... Бессель функциялары
элементар функциялар арқылы өрнектеледі екен. ... ... ... тақ ... жартысына тең болатын Бессель функциялары да ... ие, яғни ... ... ... ... ... индексті Бессель функцияларында мұндай қасиет жоқ.
1.3 Бессель теңдеуінің жалпы шешімі
индексті Бессель функциясын интегралдау есебіне қайта келейік.
Оның ... ... құру үшін екі ... ... екі ... шешімі қажет.
Бұл шешімдердің ролін және ... ... ... ... ... болса бүтін емес болғандағы ... ... ... ... көз ... ... ... өзгерісіне, мысалы болғандағы өзгерісін бақыласақ,
жеткілікті. Сызықты тәуелділік ... бұл ... ... ... ... мұндағы С – тұрақты шама. Бірақ қарастырылып отырған жағдайда,
ал ... және ... ... ... егер ... сан болмаса, және шешімдері
(1.1) теңдеудің фундаменталь жүйесін құрайды және сонда теңдеудің ... мына ... ... кез ... ... мына ... ... мына түрде жазылады
Егер де - бүтін оң сан болса, яғни ... онда ... ... енді тәуелсіз болмайды. Бұл функциялардың ... ) ... ... ... ... бірге, бұл
олардың қатармен бейнеленуінен келіп шығады, бұл ... бірі ... ... ... ... оңай көз ... ... да, функциясын анықтайтын қатардағы
формуласы бойынша қосындылау индексіне ... ... біз ... ... ... ... функциясының
бүтін оң индексті Бессель ... ... тек ... ... бүтін болғандағы бірінші текті Бессель функциясы (1)
теңдеудің жалпы ... ... үшін ... ... Теңдеудің тағы
бір -дан сызықты тәуелсіз шешімін табу қажет.
Мұндай шешім ... ... ... ... ... ... біз енді өтеміз.
1.4 Екінші текті Бессель функциясы
Бессель теңдеуінің индексінің бүтін мәніндегі жалпы шешімі туралы
мәселе әлі де ашық ... тұр. Мұны ... ... индексінің бүтін
мәніндегі, -дан сызықты тәуелсіз Бессель теңдеуінің шешімін құру ... көшу ... ... Бұл әдіс ... ... ... емес ... -дан сызықты тәуелсіз, бірақ
болғанда түріндегі анықталмағандықты ... ... ... шешімін құрайды. Егер болғанда, алынған өрнектің шегі ... онда оны ... ... деп қарастыруға болады.
Бірінші текті Бессель функциясының сызықты комбинациясы
яғни индексті Бессель теңдеуінің ... ... ... айналатыны анық. Сондықтан, мына функцияны енгіземіз:
.
болғанда, Бессель ... бұл ... ... ... ... ... пайдаланып, оның болғандағы шегін табамыз:
Бұл шекті ... (1.1) ... ... ... ... ... ойды жүзеге асыруға болады, әйтпесе, бастапқы өрнектің
орнына индексті Бессель ... ... ... ... ... ... ол тек болғанда түріндегі анықталмағандықты ... ... ... ... мысалы, келесіні алуға болады:
(1.7)
Бұл болғандағы Бессель теңдеуінің жалпы шешімінен алынады.
шешімі бүтін емес индексті ... ... ... ... ... ... деп аталады.
Егер бүтін санға тең болса, онда ... ... оңай ... болады. Осы анықталмағандықты Лопиталь ережесі
бойынша ашсақ, онда ... ... ... ... ... ... егер - ... болса, онда екінші текті Бессель функциясы мына
түрде болады:
Екінші текті Бессель функциясы -дің ... ... де, ... ... де ... теңдеуінің шешімі болады. Бұл тұжырымның біз
дәлелдеуін келтірмейміз. Тек, ... ... ... ... -дан ... ... болатынын көрсетеміз.
және өрнектерін тапқанда функциясын қатар ... ... ... ... (1.6) қатары бірқалыпты жинақталады, сондықтан
параметрі бойынша дифференциалдау мүмкін.
Қатарын бөлшектің туындысын табу ережесі бойынша дифференциалдасақ,
сосын ... ... ... онда ... ... болғанда, және ... ... олай ... ... ... ... болады,
бірақ олардың шектерінің ақырлы болатынын дәлелдеуге болады.
функциясының қатары мына түрде жазылады:
Көрініп ... бұл ... ... бар, сондықтан
болғанда функциясы ... ... ... ... кез ... ... және ... тәуелсіз болатынын дәлелдейді.
Барлық айтылғандарды жалпылай келе, индексінің кез келген
мәніндегі Бессель теңдеуінің ... ... мына ... ... ... және - кез келген тұрақтылар.
Мысал-1: Мына ... ... ... жазу керек.
Шешуі: және бірінші ... ... ... ... ... ... шешімі өзара сызықты тәуелсіз, сондықтан екінші
текті Бессель функциясын анықтайтын тағы бір шешім қарастырамыз.
және дербес ... ... ... ... ... ... ... шешімі мына түрде болады:
мұндағы және - кез ... ... ... ... және ... Бүтін емес индексті анықтайтын формулада
және ... , онда ... ... Бессель теңдеуіне келтірілетін теңдеулер
Бессель теңдеуіне келтірілетін теңдеулердің ішінде өте жиі кездесетін
теңдеу:
(1.8)
Мұндағы нольден өзгеше, ... да бір ... Бұл ...
жалпыланған Бессель теңдеуі деп аталады. Жаңа айнымалысын ... , ... ... (1.8) ... мына ... ... ... жалпы шешімі
немесе, айнымалысына оралсақ,
Тағы бір теңдеу алу үшін, ... жиі ... ... Бессель
теңдеуін түрлендіреміз:
(мұндағы және - нольден өзгеше, тұрақтылар )
алмастыруынан,
Сонда
(1.9)
Енді:
Сонда (1.9) теңдеу мына түрде жазылады:
(1.10)
Алынған теңдеу бессельдік функцияларда өрнектелген ... ... ... ... ... мына ... ... біз оның Бессель теңдеуіне келтірілгенін ... ... ... ... жағдайы келесі теңдеу болады:
(*)
Мына алмастыру арқылы көрсететініміз:
Ол Бессель теңдеуіне ... да, ... ... кейін, теңдеу мына түрде болады:
.
Оның барлық мүшесін -ға көбейтіп, Бессель теңдеуіне келеміз
.
(*) теңдеуінің ... ... және - кез ... ... ... Бессель функциялары үшін рекурентті қатынас
Әртүрлі индексті бірінші текті Бессель ... ... ... ... үшін мына ... ... ... анықтайтын қатардың бірқалыпты жинапқтылығын
пайдаланып, (1.12) формуланы ... ал ... оның ... ... ... ... ... Сондықтан,
дифференциалдалдан кейін алынған қосындының бірінші қосындысы ... ... ... ... ... ... ... Егер біз қосындылау
ретін сақтайтын болсақ (бастайтын ... онда ... ... -мен ... ... ... біз мынаны алдық:
Бұдан, (1.12) формуланың дәлелденгені шығады.
Осылайша, (1.11) формуланың дәлелденуі алынады. (1.11) және ... ... ... ... Мынаны ескеріп,
(1.11) формуласынан мынаны табамыз:
Бұдан, -ға бөлсек, онда ... ... ... (1.12) ... ... және (1.12') ... ... алып тастасақ:
(1.13)
Тізбектелген үш бессельдік функцияларды байланыстыратын ... ... ... ... ... құру үшін ... ... бүтін индексті барлық бессельдік функцияларды және арқылы
өрнектеуге мүмкіндік береді.
Шынында да, десек, онда ... ... ... ... формуланы тізбектей қолданғанда, және және тағы басқа
функциялары үшін өрнектерді алуға болады.
(1.11') және (1.12') ... ... алып ... жиі ... ... аламыз:
(1.14)
Бірінші текті бессельдік функциялар үшін осы параграфта ... ... ... ... ... функциялар, үшін де орынды
болады, яғни функциясы үшін қатынастар мына түрде жазылады:
.
Бұл формулаларды дәлелдеу үшін мына ... ... және ... ... ал ... ... алу
арқылы мынаны аламыз:
Немесе мына теңдіктерді ескеретін болсақ, онда
Осы сияқты, қалған қатынастар да дәлелденеді.
Мысал-1: Элементар функциялардағы және ... ... (1.13) ... ... онда ... табамыз:
Бұдан
Себебі,
2) өрнегінің мәнін осы сияқты аламыз:
Себебі,
3) Жалпы рекутенттік қатынастарды пайдаланып, мынаны көрсетуге ... және ... саны ... ... ... өрнектелетіні, шығады.
Мысал-2: Мына теңдіктің дұрыстығын дәлелдеу керек:
Шешуі: Қарастырылатын қатынас болғандағы (1.12) ... ... ... ... ... функциясы
Бессельдік функциялар теориясының көптеген қосымшаларында ... жиі ... және ... ... комбинациясын енгізу
мақсатқа лайықтылығы, оларда х-тің үлкен мәнінде ... ... ... ... ... және ... сызықты
комбинациясын үшінші текті Бессель функциялары ... ... ... атау ... ... ... үшін ... енгізілген:
;
.
Мынау анық:
.
және функциялары Бессель ... ... ... ... ... ... сызықты тәуелсіз және
шешімдері арқылы шығады.
Үшінші текті Бессель функциялары үшін өрнекті бірінші ... ... ... ... ... ... осылай , мынаны табамыз:
(1.16)
Бұл формулалар тек бүтін емес болғанда ғана ... ... ... сан болса, онда қарастырылатын формулада -дің ... ... өту ... (1.15) және (1.16) ... ... ... Бессель функцияларын
алып тастасақ, онда , және , ... ... ... ... ... ... сол рекуренттік
қатыстарды қанағаттандырады.
болғанда және ... мына ... ... ... ... функциялары
2.1 Модифицирленген Бессель функциялары
(2.1)
Теңдеуі болғандағы (1.1) теңдеудің дербес жағдайы, яғни ... ... ... аргументті функциясы түрінде жазылуы мүмкін.
Бірақ функциясын қарастырудың ... ... ... олар, жалпы айтқанда, комплекс мән қабылдайды. Мұны болдырмас
үшін, мынадай функция ... ... ... ... нақты мән қабылдайды. Шын мәнінде,
функциясы жорамал аргументтің ... ... ... ... функция деп аталады.
бүтін емес болғандағы (2.1) теңдеудің екінші шешімі -тен
сызықты тәуелсіз болатын ... ... ... ... ... және кез ... ... бүтін болған жағдайында және ... ... бар ... ... қиын ... ... ... теңдеудің жалпы шешімін жазу үшін, бүтін емес
үшін және ... шама ... ... және ... ... ... ... фундаменталь жүйенің екінші
шешімін енгіземіз. Сонда
болғанда шекке көшеміз:
функциясы екінші ... ... ... ... ... деп ... ... бар болатын функция және ... п ... ... ... ... ... онда ол - сызықты тәуелсіз.
Осылайша әрбір (2.1) ... ... ... мына түрде
жазылады.
(2.1) ... ... ... ... деп ... ... Бессель теңдеуінде және деп
алсақ, онда теңдеуіміз мына түрге келеді.
Оның дербес ... ... ... және ... ... Функциялары комплексті функциялар болады.
Олардың нақты және жорамал бөліктерін бөліп ... және bei ker және kei ... ... ... функцияларының бірқатар қатынастар бар; олардың кейбіреулерін
біз дәлелдеусіз келтіреміз:
2.2 Бессельдік функциялар жүйесінің туындылаушы (өңдеуші) функциясы.
интегралдық көрсетілуі
2.2.1 Натурал индексті ... ... ... ... ... бар ... ... Оның
айнымалысы бойынша дәрежелік қатарға ... ... ... ... ... айнымалылы қандай да бір функцияның
алынған жіктелуінің коэффициенттері мынадай болады, ... ... ... ... функцияны жүйенің туындылаушы
функциясы деп атайды.
Анықтама. ... ... ... Х ... ... ... ... мына қатардың қосындысы деп аталады
, яғни Х ... ... ... ... х ... ... ... өлшемі , мұндағы - комплекс
айнымалы, функциясының ерекше нүктелерінің орнымен анықталатын ... ... ... ... ... ... ... көрсеткіштік фунциясының Лоран қатарына жіктелуі бүтін
индексті бірінші ... ... ... ... келтіреді.
Басқаша айтқанда, функциялар бірінші текті бессельдік функциялар
жүйесінің туындылаушы функциясы болады. ... ... ... ... және екі
ерекшк ... бар ... ... ... ... ... ... ол Лоран қатарына жіктеледі, сонымен қоса, бұл қатардың
коэффициенттері х параметрінің ... ... ... ... ... текті Бессель функциялары болатынын, көрсетеміз, яғни ... ... үшін екі ... ... ... жазамыз,
олардың әрбіреуі дәрежелік қатар түрінде бейнеленеді
Теңдіктің оң жағындағы қатар ... ... ... ... ... басқа барлық және -тер үшін ... ... ... ... ... ... ... мүшесіне
көбейтіп, біз осы қатарлардың көбейтіндісін табамыз.
Бірдей дәрежелі ... ... ... аламыз
Ішкі қосындыда барлық оң , үшін, мәндері ... ... ... ... болғанда, ... ... яғни ... бұл болады.
Осылайша, ішкі қосынды бірінші жағдайда, мына түрде болады
ал екінші жағдайда,
болады.
Сонда үшін қатар мына түрде жазылады
(2.2)
немесе ... ... ... ... бүтін ретті бірінші текті бессельдік
функциялар жүйесінің туындылаушы ... ... ... ... ... интегралдық бейнелеуі
Бессель функциясының интегралдық бейнелеуін алуға болады, яғни
функциясының анықталған ... ... ... ... ... және болғанда жинақталады.
деп алайық, сонда . Нақты ... ... ... ... алу ... ... кейін жұп индексті мүшелерін () және тақ
индексті мүшелерін ( ) бөлек ... Мына ... ... қолданып,
Табатынымыз
Басқаша айтқанда,
Нақты бөлігі мен жорамал бөлігін теңестіріп:
(2.3)
(2.4)
Бұл жіктелулерді функциясын косинус бойынша, ал функциясын
синус бойынша ... ... ... ... ... ... коэффициенттерін есептейтін формулаларды пайдаланып, мынаны
аламыз
Төмендегіні ескеріп, екі формуланы бір ғана ... ... ... яғни -жұп болғанда,
,
-тақ болғанда,
.
Кез келген бүтін үшін бірінші текті Бессель функциясы ... ... ... ... ... ... ... текті цилиндрлік функциялардың
интегралдық бейнелеуін береді.
(2.5) теңдіктің оң жағындағы интеграл Бессель интегралы деп аталады.
Алынған формула тек ... ... ... ... үшін ... бүтін емес сан болған жағдайында, барлық үшін
орындалатын біз бұдан да күрделі формыланы аламыз
Оның дәлелдеуін ... ... ... ... Бессель функциясының
қатары сияқты радиотехникада жиілікті-модульдік сигналдарды зерттеу кезінде
қолданылады.
Мысал-1: Қарапайым жиілікті-модульдік сигналдың амплитудалы-жиілікті
спектрін табу керек.
Шешуі: ... ... ... ... ... - ... амплитудасы, -жиілік. Модульденбеген
тербеліс кезінде екі параметр де , ... шама ... ... ... заң ... қарастырамыз
мұндағы - жиілікті ауытқуы, - модуляция тереңдігі, ... ... ... ... мұнда сигналдың фазасы оның
жиілігінің интегралы болады, яғни
.
Жиілікті-модульденген сигнал мына түрде болады
,
немесе , ... ... ... ... ... көмегімен былайша жазуға болады
Бессель функциясы бойынша ... ... ... ... ... ... амплитудасы болатын, -жиілігіне
симметриялы шексіз дискретті спектрі болатынын, көрсетеді.
х ... ... ... ... ... ... индексті Бессель функциясы бойынша
қатарға жіктеу керек.
Шешуі: (19) және (20) формулаларда деп ... ... ... ... ... ... ... өрнектейтін
тағы да бірқатар қатыстарды алуға болады.
Мысалы, (2.4) теңдікті бойынша дифференциалдаймыз
,
және деп алсақ, ... ... ... ... ... көз ... Цилиндрлік функцияның асимптотикалық көрінісі
3.1 Цилиндрлік функцияның асимптотикалық ... ... х ... өсуі ... ... ... ... анықтау -мен салыстырғанда үлкен болмаған
кезде ... ... үшін өте ... ... -тер ... отырған қатар өте жылдам жинақталады.
Бірақ, үлкен -тер үшін Бессель функциясын ... ... ... және олардың бастапқы мүшелері бесчсельдік функциялардың
жуық мәндерін алуға мүмкіндік бермейді. ... ... жуық ... функцияларды қарастыру қажеттілігі
туындайды.
Алдымен цилиндрлік ... тән, ... ... ... ... ... бір ... дәлелдейміз.
Бессель теңдеуін түрлендіреміз
,
функциясының орнына ... ... , ... ... қоямыз
,
Алатынымыз
,
немесе бірнеше түрлендірулерден кейін
(3.1)
х-тің үлкен мәндерінде сол жақ ... ... ... ... онша ... болмайды, сондықтан (3.1) теңдеудің
шешімі х-тіңғ үлкен мәндерінде келесі теңдеудің ... ... ... ... ... мына ... болатыны, белгілі.
,
мұндағы ал . Олар ... - А , ... ... ... ... ... тербелісті сипаттайды.
Осылайша, (3.1) теңдеудің х-тің үлкен мәндерінде мына ... аз ... ... ... ... ... А , - тұрақты шамалар. Оларды берілген ... ... ... ... ... ... ... жуық мәндерін
беретіндей етіп таңдау керек, яғни А және - ны ... ... етіп ... ... -(1) ... ... анықталған шешімі, ал -
шексіз аз шама, ... -тей аз ... ... ... ... көмегімен (3.2) формуланың
дұрыс екендігі дәлелденеді және әрбір цилиндрлік функциялар үшін тұрақты
мән анықталады.
болғандағы маңызды ... ... ... ... ... ... ... Цилиндрлік
функциялардың графиктері
Бессельдік функциялардың түбірлері туралы мәселе, нольдік шекаралық
шарттармен берілген математикалық физиканың ... ... ... ... ... бессельдік функциялардың нольдерінің орналасуын
түсіндіреміз.
Бірінші текті бессельдік функциялардың ... ... ... сан ... онда болғанда функциясы
нольге айналатыны, шығады. Мұнымен қоса, бессельдік функциялардың ... ... ... , яғни егер - ... түбірі
болса, онда - да осы функциясының түбірі болады.
Асимптотикалық формула
функциясының оң түбірлердің сансыз көп жиыны болатынын, айтады.
Сонымен ... ... жуық ... мына ... ... алынады
.
Шынында да, барлық берілген облыста ... ... көп рет ... ... ... ... ... еселі оң түбірі болмайтынын,
дәлелдеу қиын емес. Біз бұған кейін ... ... ... ... ... ... Бессельдік функциялардың бірлікке ажыратылатын ретті
нольдері, бір бірінен өзара бөлінеді.
Дәлелдеуі: ... ... Ол ... тақырыптарда
қарастырылған екінші ретті дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады
(3.3)
Бұл теңдеудің түбірлері, яғни ... ... ... ... ... себебі болғандағы шарт бойынша
.
Туындысының түбірлері
яғни рекурентті қатыстың көмегімен анықталған түбірлер ... ... ... ... ... және ... үшін
дәлелдеу керек.
Енді - туындысының қандай да бір оң ... ... ... теңдеу болғанда,мына түрде болады
немесе
.
Бұлардан, және таңбаларының әртүрлі екендігі, шығады.
Енді және - ... екі ... ... оң түбірлері
болсын. Сонда Ролль теоремасы бойынша интервалында ... ... ең ... бір түбірі орналасуы керек, яғни
орындалатындай интервалында ең болмағанда бір с ... ... ... ... бар ... да бір интервалында ... бар ... ... ... ... ... ... таңбадағы мәндерді
қабылдайды,ал ендеше әртүрлі таңбалар ... осы ... ... аралығында әртүрлі мәндер қабылдайтын функциясы
осы аралықта ең болмағанда бір ... бар ... Бұл ... ... ... да ... себебі функциясының түбірлерінің арасында
функциясының түбірі жатуы керек, ал функциясының аралығының
ішінде түбірлер шарт ... ... және ... оң түбірлері бір бірімен өзара
бөлінеді, ал бұл ... ... ... дәлелденгені.
Мысал ретінде, және функцияларының бірнеше ... 2 ... ... жиі ... ... 3 ... ... графиктері
Бірінші функциялардың графиктерінен графиктік дифференциалдағаннан
алынған көптеген ... , ... ... ... ... 2 және 3 ... көрсетілген,
;
.
3.3 Цилиндрлік функциялар жүйесінің ортогональдығы. Бессельдік
функциялар бойынша қатарға жіктелуі
функциясын тригонометриялық Фурье қатарына жіктелу ... ... ... ... шешу ... мына ... -ға
тең кесіндіде төмендегі ... ... ... деп ... функциялар жүйесінің тамаша қасиеті маңызды
орын алады
1,
Ол ... ... ... ... -ға тең ... ... тең болатын, екі әртүрлі функциясының көбейтіндісінен тұрады.
Ортогональдық қасиет функциясының коэффициенттерін оңай ... ... одан ... осы ... ... қатарға жіктеу
есебі тез шешіледі.
Математикалық физиканың есептерін шешу кезінде ... ... ... ... ... жіктелу қажеттілігі туындайды.
Бұл қатар мына түрде болады:
мұндағы ... ... өсу ... ... оң ... да, ... ... есептегі функциясының Фурье
қатарына жіктелуінің шартына келетін едік, егер ... ... ... ортогональдық қасиетін орнықтыратын
болсақ.
болғанда, мынаны көрсету қиын емес
,
яғни бессельдік функциялар жүйесі кесіндісінде ортогональ емес.
Мұндай жағдайдан шығуға болады, егер
функциялар ... ... ... ... ... ... ... бессельдік функциялар жүйесі кесіндісінде х салмақты
ортогональ болады.
Бессельдік функциялар жүйесінің ортогональдық қасиетін дәлелдеу үшін
мына интегралдың ... ... ... және - екі ... емес сандар.
және функциялары мына теңдеулердің шешімдері болады
(3.4)
(3.5)
(3.4) теңдеуді -ке, ал (3.5) ... -ке ... және ... ... теңдікті азайтсақ, онда мынаны аламыз
,
сонымен бірге тікелей дифференциалдау арқылы мынаған көз жеткіземіз
Сонда табылған өрнек мына ... ... ... 0 мен 1-дің ... ... ... ... орындарына қойсақ:
.
болғанда, соңғы теңдіктің төменгі шегін қойғанда нольге айналатынын,
тексеру қиын ... да, үшін ... ... ... ал
үшін қатар басталады, ... ... мына ... ... ... ... мүше жіктелуінде де болады, олай болса бұл мүшелер
өзара жойылып кетеді. ... ... ... ... ... ... ... Бірақ, шарт бойынша . Ендеше, болғанда квадрат жақшаның
ішіндегі өрнек нольге ... ... ... ... ... және - ... ... оң түбірлері, яғни
болғанда және .
Сонда (3.6) теңдіктен қажет болған ортогональдық қасиетін аламыз:
.
2. және - ... ... оң ... яғни ... және .
Бұл жағдайда (3.6) формуласында ... ... көшу ... ... оң жақ бөлігі түріндегі анықталмағандыққа келеді,
Лопиталь ережесін қолдансақ,
Ендеше, функциясын ... ... ... ... ... есептің бірінші бөлігі шешілді.
Енді функциясының жіктелуінің коэффициенттері үшін өрнекті табу
оңай:
(3.7),
егер бұл жіктелу бар ... және ... ... ... ... ... анықтау үшін, (3.7) теңдіктің екі жағын да
-ке көбейтеміз және аралығы ... ... ... ... теңдікті аламыз:
бұдан
(3.8)
Коэффициенттері (3.8) формула бойынша есептелетін (3.7) ... ... ... деп ... (3.7) ... жікткелу шартын анықтайтын теореманы
дәлелдеусіз келтіреміз.
Теорема. Егер ... ... ... ... және ... бар болса, онда Фурье-Бессель қатары жинақты
болады және қосындысы мынаған тең
,
яғни функциясын оның ... ... ... береді.
ҚОРЫТЫНДЫ
Дифференциалдық теңдеулер теориясынан, шешімдері элементар функциялар
интегралының ақырлы сандар көмегімен өрнектеле алмайтын теңдеулер ... ... яғни ... ... бар, ... ... қандай да
бір жинақталатын дәрежелік қатарлар түрінде өрнектеледі. Дипломдық жұмыста
осындай арнайы функциялар, оның ... ... ... және ... ... ... жұмысы кіріспеден, үш бөлімнен,
қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... тоқталған:
А) Бессель теңдеулері;
Ә) Бессель функциялары;
Б) Цилиндрлік функциялардың қолданылулары.
Бірінші бөлімде Бессель теңдеуінің шешімдері туралы ... ... ... ... ... туындылаушы функциясы, Бессельдік
функцияның интегралдық бейнелеуі көрсетілген. Үшінші бөлімде цилиндрлік
функциялардың ... ... ... шешімдері элементар функциялардың ... ... ... дифференциал теңдеулерді шешуде маңызды.
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1. А.М.Колобов, Л.П.Черенкова Избранные главы высшей математики.
Минск,1967
2. Трикоми Ф. Интегральные уравнение. Москва, 1960
3. ... Ф. ... ... Москва, 1962
4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным
уравнениям, Москва, 1961
5. ... А.Н. ... А.А. ... ... ... Москва,
1953.
6. Кузнецов Д.С. Специальные функции. Москва, 1965.
7. Кузьмин Р.О. Бесселевы функции. ... ... ... Н.Н. ... ... и их ... ... 1963.
9. Розет Т.А. Элементы теории цилиндрических функций с приложениями к
радиотехнике. Москва, 1956.
10. ... Ж. ... ... және ... ... ... 1992.
11. Ватсон Дж.Н. Теория бесселевых функции. Москва, 1949.
12. Владимиров В.С. Уравнения математической ...... ... ... В.Я. ... ... Основные уравнения и специальные
функции. –М.:Наука, 1966.
14. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. – М.:Наука, 1985.
15. Михлин С.Г. Курс ... ... ... ...

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 29 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 000 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
"Ақпарат түсінігі мен түрлері"13 бет
SCADA жүйесіне түсініктеме6 бет
«Бағдаршам»бағдарламасын құру.37 бет
АлЭС-1 ЖЭО 6/110 кВ кернеулі генератор-трансформатор блогының релелік қорғанысы және автоматикасы57 бет
Алғашқы мәліметтер5 бет
Аурухананың тіркеу орнының автоматтандырылған жұмыс орнын жасау46 бет
Ашық жүйелердің өзара қарым-қатынастың эталондық моделі10 бет
Білім беру мекемелері менеджментінің ғылыми қағидалары10 бет
Виртуалды желілер56 бет
Обьектілі - бағытталған программалау негіздері22 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь