Тұтқырлы пластикалық сұйықтың керек ортадағы қозғалысын жылжымалы шекарасы бойынша сандық зерттеу
КІРІСПЕ 4
1Тұтқырлы пластикалық сұйықтың (TПС) ФИЛЬТРАЦИЯСЫНЫҢ КЕЙБІР МЕХАНИКАЛЫҚ МОДЕЛДЕРІ.НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕРІ МЕН ҚАТЫНАСТАРЫ 9
1.1 Полигональды аппроксимация. Модель1. 12
1.2 Гиперболалық аппроксимация.Модель.2 16
2 СУТЕГЕУРІНДІ РЕЖИМ КЕЗІНДЕ ОРНАТЫЛҒАН ФИЛЬТРАЦИЯ.НЬЮТОНДЫҚ ТПС.ТЫ ЫҒЫСТЫРУ 17
2.1 Түзусызықты.параллелді ағыс 18
2.2 Жазық тарамдалған ағыс 29
3 ТПС.ҚА БІРТЕКТІ КЕУЕК ОРТАДАҒЫ ЕСЕП ҚОЮ 39
3.1Есеп № 1 39
3.2 Есеп № 2 45
4 ТҰТҚЫРЛЫ.ПЛАСТИКАЛЫҚ СҰЙЫҚТЫҢ КЕУЕК ОРТАДАҒЫ САНДЫҚ ШЕШІМІН ҚАРАСТЫРУ 47
4.1 Тұтқырлы.пластикалық сұйықтың кеуек ортадағы ағысын сандық зерттеу 47
4.2 Жылжымалы шекараны торлық түйініне аулау 47
4.3 Сандық санаудың тура өту әдісі 49
4.4 Екі торлық әдісті қолдану 51
5 БАСТАПҚЫ ҚЫСЫМ ГРАДИЕНТІ АЙНЫМАЛЫ БОЛҒАНДАҒЫ САНДЫҚ НӘТИЖЕЛЕРІНЕ ТАЛДАУ 53
ҚОРЫТЫНДЫ 58
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 59
1Тұтқырлы пластикалық сұйықтың (TПС) ФИЛЬТРАЦИЯСЫНЫҢ КЕЙБІР МЕХАНИКАЛЫҚ МОДЕЛДЕРІ.НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕРІ МЕН ҚАТЫНАСТАРЫ 9
1.1 Полигональды аппроксимация. Модель1. 12
1.2 Гиперболалық аппроксимация.Модель.2 16
2 СУТЕГЕУРІНДІ РЕЖИМ КЕЗІНДЕ ОРНАТЫЛҒАН ФИЛЬТРАЦИЯ.НЬЮТОНДЫҚ ТПС.ТЫ ЫҒЫСТЫРУ 17
2.1 Түзусызықты.параллелді ағыс 18
2.2 Жазық тарамдалған ағыс 29
3 ТПС.ҚА БІРТЕКТІ КЕУЕК ОРТАДАҒЫ ЕСЕП ҚОЮ 39
3.1Есеп № 1 39
3.2 Есеп № 2 45
4 ТҰТҚЫРЛЫ.ПЛАСТИКАЛЫҚ СҰЙЫҚТЫҢ КЕУЕК ОРТАДАҒЫ САНДЫҚ ШЕШІМІН ҚАРАСТЫРУ 47
4.1 Тұтқырлы.пластикалық сұйықтың кеуек ортадағы ағысын сандық зерттеу 47
4.2 Жылжымалы шекараны торлық түйініне аулау 47
4.3 Сандық санаудың тура өту әдісі 49
4.4 Екі торлық әдісті қолдану 51
5 БАСТАПҚЫ ҚЫСЫМ ГРАДИЕНТІ АЙНЫМАЛЫ БОЛҒАНДАҒЫ САНДЫҚ НӘТИЖЕЛЕРІНЕ ТАЛДАУ 53
ҚОРЫТЫНДЫ 58
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 59
Сансыз көп рет есептеулер мен лабораториялық тәжірибелік мәліметтер негізінде жылдамдық фильтрациясы қысым градиенті модулімен индикаторлық қисықты келесі түрде схематикалық бейнелеуге болады.v=v(|∇p|) функциясы координат басынын абсцисса өсіне жантайлап барып, асимптоталық түрде монотонды өседі және мынадай қисық көрінісінде болады (1-сурет).
1-сурет – Сұйық жылдамдығының қысымға тәуелділігі
Қысым градиенті модулінің аз мәнінде бұл қисықабсцисса өсіне қарай аз ғана жантайып, жылжу градиенті деп аталатын кейбір қысым градиентімодулінің (|∇p|^*=g_0) мәніне жетіп содан кейінжылдам өсе бастайды. Сондықтан келесі суретті көз алдымызға келтіруге болады. Қысым градиенті аз болғанда, сүзу қабатындағы қысым градиентінің айқын мөлшері байқалады.
1-сурет – Сұйық жылдамдығының қысымға тәуелділігі
Қысым градиенті модулінің аз мәнінде бұл қисықабсцисса өсіне қарай аз ғана жантайып, жылжу градиенті деп аталатын кейбір қысым градиентімодулінің (|∇p|^*=g_0) мәніне жетіп содан кейінжылдам өсе бастайды. Сондықтан келесі суретті көз алдымызға келтіруге болады. Қысым градиенті аз болғанда, сүзу қабатындағы қысым градиентінің айқын мөлшері байқалады.
1. Самарский А.А., Гулин А.Б., Устойчивость разностных схем. –М.:Наука,1973ж. – 415 б.
2. Бартеньев О.В. Visual FORTRAN: новые возможности. – М: Диалог-МИФИ, 1999. – 301 б.
3. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.:Наука,1979 ж. – 44 б.
4. Гельфанд И.М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: 1959 ж. – 39 б.
5. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. – К.: Наука, 1976 ж. – 158 б.
6. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом. – К.: 1985 ж. – 110-118 б.
7. Шварц Л. Математические методы для физических наук. – М.: «Мир», 1965 ж. – 94 б.
8. Штыков В.В. Fortran & Win32 API: Создание программного интерфейса для Windows средствами современного Фортрана. – М.:Наука,2000ж.
9. Каримов А.К., Зулкарнаева Д.Е., Применение обобщенной функции для решения задачи параболического типа в области с подвижными границами. – Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2005».- Астана, 2005. – Б. 72-74
10. W.Joppich and S.Mijalkovic // Muiltgrid Methods for Process Simulation.- Springer-Verlag Wien New York 1993. – 309 p.
11. Баренблатт Г.Н., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. – М.: «Недра», 1972 ж. – Б.217-224.
2. Бартеньев О.В. Visual FORTRAN: новые возможности. – М: Диалог-МИФИ, 1999. – 301 б.
3. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.:Наука,1979 ж. – 44 б.
4. Гельфанд И.М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: 1959 ж. – 39 б.
5. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. – К.: Наука, 1976 ж. – 158 б.
6. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом. – К.: 1985 ж. – 110-118 б.
7. Шварц Л. Математические методы для физических наук. – М.: «Мир», 1965 ж. – 94 б.
8. Штыков В.В. Fortran & Win32 API: Создание программного интерфейса для Windows средствами современного Фортрана. – М.:Наука,2000ж.
9. Каримов А.К., Зулкарнаева Д.Е., Применение обобщенной функции для решения задачи параболического типа в области с подвижными границами. – Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2005».- Астана, 2005. – Б. 72-74
10. W.Joppich and S.Mijalkovic // Muiltgrid Methods for Process Simulation.- Springer-Verlag Wien New York 1993. – 309 p.
11. Баренблатт Г.Н., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. – М.: «Недра», 1972 ж. – Б.217-224.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 4
1 Тұтқырлы пластикалық сұйықтың (TПС) ФИЛЬТРАЦИЯСЫНЫҢ КЕЙБІР МЕХАНИКАЛЫҚ МОДЕЛДЕРІ.НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕРІ МЕН ҚАТЫНАСТАРЫ 9
1.1 Полигональды аппроксимация. Модель1. 12
1.2 Гиперболалық аппроксимация.Модель.2 16
2 СУТЕГЕУРІНДІ РЕЖИМ КЕЗІНДЕ ОРНАТЫЛҒАН ФИЛЬТРАЦИЯ.НЬЮТОНДЫҚ ТПС-ТЫ ЫҒЫСТЫРУ 17
2.1 Түзу сызықты-параллелді ағыс 18
2.2 Жазық тарамдалған ағыс 29
3 ТПС-ҚА БІРТЕКТІ КЕУЕК ОРТАДАҒЫ ЕСЕП ҚОЮ 39
3.1Есеп № 1 39
3.2 Есеп № 2 45
4 ТҰТҚЫРЛЫ-ПЛАСТИКАЛЫҚ СҰЙЫҚТЫҢ КЕУЕК ОРТАДАҒЫ САНДЫҚ ШЕШІМІН ҚАРАСТЫРУ 47
4.1 Тұтқырлы-пластикалық сұйықтың кеуек ортадағы ағысын сандық зерттеу 47
4.2 Жылжымалы шекараны торлық түйініне аулау 47
4.3 Сандық санаудың тура өту әдісі 49
4.4 Екі торлық әдісті қолдану 51
5 БАСТАПҚЫ ҚЫСЫМ ГРАДИЕНТІ АЙНЫМАЛЫ БОЛҒАНДАҒЫ САНДЫҚ НӘТИЖЕЛЕРІНЕ ТАЛДАУ 53
ҚОРЫТЫНДЫ 58
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 59
КІРІСПЕ
Сансыз көп рет есептеулер мен лабораториялық тәжірибелік мәліметтер негізінде жылдамдық фильтрациясы қысым градиенті модулімен индикаторлық қисықты келесі түрде схематикалық бейнелеуге болады. v=v(∇p) функциясы координат басынын абсцисса өсіне жантайлап барып, асимптоталық түрде монотонды өседі және мынадай қисық көрінісінде болады (1-сурет).
1-сурет - Сұйық жылдамдығының қысымға тәуелділігі
Қысым градиенті модулінің аз мәнінде бұл қисық абсцисса өсіне қарай аз ғана жантайып, жылжу градиенті деп аталатын кейбір қысым градиенті модулінің (∇p*=g0) мәніне жетіп содан кейін жылдам өсе бастайды. Сондықтан келесі суретті көз алдымызға келтіруге болады. Қысым градиенті аз болғанда, сүзу қабатындағы қысым градиентінің айқын мөлшері байқалады. Ал қысым градиентінің үлкен немесе тең мәнінде, ТПС сүзу қабатында жылдам өзгерісті байқаймыз: сүзу жылдамдығы елеулі түрде өседі және оның қысым градиентіне тәуелділігі асимптоталық түрде сызыққа жақындайды. Жоғарыдағы айтылғандардың нәтижесінде индикаторлық қисыққа [1] әр түлі аппроксимациялау тәсілдерін қолдануға болады.
1953ж. А.Х.Мирзаджанзаде [2] феноменологиялық ТПС сүзу теориясын жылжу градиентімен сүзу пішіні негізінде ұсынды. Бұл пішінмен келісе отырып, тәжірибелік тәуелділік v=v(∇p) асимптота графигімен сәйкес келетін және абсцисса өсінің оң бөлігіндегі кесіп алынған кесінді шамасы ∇p*=β тең болатын жарты түзумен аппроксимацияланады.Қазіргі жағдайда Дарсидің сызықтық емес заңы мына түрде жазылыды:
v=0, ∇p=g0-ku1-g0∇p∇p, ∇pg0 (к. 1)
Мұндағы v-сүзу жылдамдығы, ∇p-қысым градиенті, k-өткізгіштік коэффициенті, μ-сұйықтың тұтқырлығы. Сайып келгенде, жылжу градиентімен сүзу пішінін қолданғанда сұйық ағысы тек қана пластың қысым градиенті кейбір өскен жағдайда ғана жүзеге асады. Сірә бұл пішінді қысым
болған жағдайдағы суреттегідей мәні сондай-ақ сүзіліс сыйпаттамасы өзгермеaген жағдайда сузілісті ескермеген жағдайда пайдалансақ болады. Егер қысым градиенті аз болғанда сұйықтың сүзілуі толығымен сүзілу суретіне айқын әсер етеді, сондықтан бұл жағдайда қысым градиенті ∇pаз болғандағы сұйық ағысын ескеретін сүзу пішінін қолданған жөн.
Көрсетілген пішінге, мысалы, индикаторлық қисыққа v=v∇p [1, 6] полигоналдық және гиперболалық аппроксимацияны қолдансақ және көрсетілген пішінге апарып қойуға болады. Сонымен бұл полигон индикаторлық қисықта бірінші бөлімінде координат басынан өтетін және қысым градиенті аз болғандағы сүзілісті сипаттайды, ал екінші бөлімінде асимптота графигімен v=v∇p сәйкес келетін және қысым градиенті үлкен болғандағы сұйықтың ағысын сипаттайды. Индикаторлық қисықты гипперболалық аппроксимациялау кезін де координат басына орналастырады. Ал гиперболаның асимптотасы асимтотамен v=v∇p функциясының графигі бірігеді. 2- сурет,полигон пунктир сызықтармен, ал гипербола және оның асимптотасы түзу сызықтармен көрсетілген. Индикаторлық қисық суретте пунктир штрихтармен бейнеленген.
2-сурет - Сұйық жылдамдығының қысымға тәуелділігі
Индикаторлық қисықты полигональдық және гиперболплық аппроксимациялауға негізделген сүзу пішіні үшін сүзу жылдамдығы сәйкесінше келесі түрде жазылыды:
v=-kμ∇p, ∇pβ-ku1-βμ0∇p∇p, ∇pβ (к. 2)
v=-ku[β2+∇p-β]∇p∇p (к. 3)
Мұндағы μ0=1-μυ,v-қысым градиенті аз болғандағы ТПС тұтқырлығы. Серпінді, сонда әдеттегідей,
mγ=γ0[m0+β*(p-p0)] (к. 4)
мұндағы m-кеуектілік коэффициенті, γ-сұйықтың тығыздығы, m0 және γ0-дің мәндері кеуектілік коэффициенті және қысым p0, β*-пластың серпінді сығылуы кезінде сәйкес келетін коэффициент. Енді узіліссіздік теңдеуін сузілген ағымға қолданамыз:
divγv=-ddt(mγ) (к. 5)
(к. 1), (к. 2) және (к. 3) сүзу заңынан сәйкесінше әрбір сүзу пішінінен серпімді пластағы қысымды анықтау үшін келесі дифференциялдық теңдеулерді аламыз:
ædiv1-g0∇p∇p=dpdt , ∇pg0 (к. 6)
ædivμp∇p=dpdt , ∇pg0 (к. 7)
ædiv1-g0μ0∇p∇p=dpdt , ∇pg0 (к. 8)
ædivg0+(∇p)2-g0∇p∇p=dpdt . (к. 9)
Әрбір келтірілген дифференциялдық теңдеулерді нақты сүзу есебін шешетін кезде есептің сипаттамасынан шыққан қарапайым бастапқы және шекаралық шарттардың орнына қоюға болады. Сонымен қатар жылжу градиентімен сүзу пішініндегі есепті шығару барысында сүзудің құбылмалы облысы пайда болады, және бұл облыстағы шекрада әзірге ол пластың шекарасына жетпейді, себебі қысым градиентінің модулі жылжу градиентіне, ал қысым - бастапқы пластың қысымына тең болуы керек. Егер индикаторлық қисықты полигональдық және гиперболалық аппроксимациялауға негізделген есепті, сүзу пішінін пайдаланып шығарсақ, сүзу облысында қысым градиентінің модулі қысым градиентінің нақты мәніне теңболатын, ал одан кіретін қысым үзіліссіз ауысатын жылжымылы шекара пайда болады.Сұйықтар мен газдардың сызықты емес уақытқа тәуелді жағдайындағы теориялық жұмастарға қысқаша мәлімет береміз.
А.Х.Мирзаджанзаденің, М.Т.Абасованың [4] жұмысында жартылай шексіз пластағы тұтқырлы сұйықтың тұтқырлы-пластикалық ығысуы қарастырылған. Ал шешімін алу үшін уақыттан тәуелсіз жүйеге алмасатын әдіс қолданылады.ыыы
[5] жұмыста галлереядағы шығын тұрақты болғандағы сүзудің узік сызықты заңы түзу сызықты сүзілген ағымдағы қысым үшін теңдеудің автопішінді шешімін алуға қолайлы жағдай туғызды. Жоғарыда айтылған теңдеу шешімі оңашаланған кескінде табылған екі қарапайым сызықтық теңдеуден тұратын жүйеге қоямыз. Шекаралық өткелде схеманың жылжымалы градиенті үшін шешім табылған.
[7] жұмыста, серпімді күйдегі және скважинаның дебиті тұрақты болғандағы шексіз пласта бірлік скважинаға ағатын сұйық қарастырылады. Интегралдық қатынас [6] әдісімен біреуі жылжу градиентімен пішіндеуге келетін сүзілістің екі сызықтық емес заңы үшін есептің асимптоталық шешімі алынған. Ары қарай қысым өзгерісі жүріп жатқан қисықты бақылаумен сүзу заңының параметрлерін анықтау жүзеге асырылады.
Жылу градиенті және дебитпен алынған пішін үшін [11] жұмыста шексіз пластағы, жазық радиалды сүзу бірлік скважинада t - ға пропорционал болатын есеп қарастырылады.Есептің автопішінді шешімі қатар түрінде, ал жуық шешімі интегралдық қатыныс арқылы алынған және олардың жақсы сәйкестігі үйлесімді интервал ішінде екендігі көрсетілген. Ары қарай екі мүшелік (пораболалық) сүзу заңы қарастырылады. Есептің автопішінділігі оны жуық шешімі сонымен қоса интегралдық қатынас әдісі арқылы табылған екі қарапайым теңдеуден тұратын жүйенің шешіміне апарып қоюымызға болады.
С.А.Агаеваның [4] жұмысында, түзусызықты галлереяда немесе скважинада қысым t - ға пропорционалды өзгергендегі сұйықтың сүзілісі кезіндегі бастаптқы градиенттің автопішінді шешімі алынған.
Жылжу градиентімен сұйықтың сүзілуі есебі үшін [3] жұмысы қарастырылады. Ньютондық емес мұнайдың фильтрациясы тәжірибелік зерттеу негізінде өндіріс шартындағы жылжу градиентінің анықталу әдісі қолданылады. Галереяға сұйықтың белгілі бір бөлігі құйылып жатқан жағдайда тұрақты қысым берілгенде жылжу градиентімен сығылатын ТПС-тың фильтрациялануы есебінің шешімін интегралдық қатынас есебін пайдаланып алған.
[1,2] жұмыстарда материалдық баланс қатынасынан шыққан шарт жылжымалы шекарада сызықтық емес заң бойынша сұйықтың фильтрациясы кезінде ашық және жабық зоналарға болінеді. Бұл қатынастар серпімді күйдегі ТПС [1,3] есебінің жуық шешімін алу әдісін құру үшін пайдалы болып шықты.Қатардың келтірілген сандық мәні қарапайым негізгі ТПС [3] фильтрациясы есебінің жуық шешімімен сәйкес келеді.
[7] жұмыста серпімді әлсіз сығылатын сұйық фильтрациясының уақытқа тәуелділігі теорисынан t үлкен болғанда Коши есебін шешу асимптоталық жағдайы қарастырылады. Бұл асимптотика екінші турдегі автопішінді шешім болып анықталады - ол үшін автопішіндік айнымалы өрнегінің дәрежелік көрсеткінің шамалық ұғынысымен емес, қарапайым дифференциалдық жүйені шешу барысындағы шешімді есептің шешіміне қою арқылы табылады. Сонымен автопішіндік айнымалы кейбір тұрақты сан болып табылады, жалпы айтқанда, интегралдық сақталу заңын пайдаланып табу мүмкін емес, автопішіндік бастапқы шартты пайдаланып сандық мәнін табу керек.
Уақытқа тәуелді газдың скважинаға ағымы есебінің жуық шешімі [10] жұмысында кедергі заңынан алынған; [9] жұмыста осындай уақытқа тәуелді заң үшін газдың фильтрациясы есебінің автопішінді жағдайы қарастырылған.
[4] жұмыста қатар негізіндегі тәжірибелерден газ фильтрацияланғандағы сызықтық әсер көріністері орнатылған , сонымен қатар, фильтрация заңы (жылжу градиентімен) шектік градиент моделімен жақсы жазылды. Сонымен қатар тәжірибелердің бірінде фильтрацияның сызықтық емес заңы анықталған, сондай-ақ гиперболалық немесе полигональдық модельдер [4]-ке қарағанда жақсы көрсетілген. Шектік градиентті модельдегі есептің шешімін интегралдық қатынас әдісін пайдаланып галереядағы газдың ағымын оған қысым берілгенде жуықталып шешілген.
[1, 3, 5, 9] жұмыстарда ТПС фильтрациясына арналған жылжу градиентінің қойылымын пайдалану ұсынысы қарастырылған. Сонымен қатар, мұнайдың құрылымды- механикалық қасиеті шекарада бір бастапқы шыққан орнында бірдей болмайды [1-3]. Сондай-ақ қазіргі заманғы практикада мұнай шығатын орындарда пластың үлкен көлемді үстіңгі салқын су қабатына шайқау әдісі кеңінен қолданылады, бұл елеулі түрде бастапқы шыққан жылы орнын білдіреді. Бұл өз жағынан ТПС- тың және фильтрация [7] шартының қасиетінің мәндерін өзгертеді. Сондақтан айнымалысы бар жылжымалы градиентті есепті теориялық және практикалық жағынан да қарастыруға қызуғушылық туады.
Есептің физикалық қойылымы.
Бірдей, изотропты, бірлік күшті және ені жартылай шексіз (немесе бірлік күшті, шексіз, разбуренный бір скважинада) пласт жылжымалы градиентті ТПС- пен толтырылған және кеңістік координатасынан тәуелді. Сұйық сығылатын сұйық болсын, онда пластағы қысым эксплуатацияланғанға дейін тұрақты және p0- ге тең болады. Уақыттың бастапқы моментінде пластың сол жақ соңында эксплуатацияланған галерея (эксплуатацияланған скважина радиусы rc=0), забойда немесе тұрақты қысымда тұратын немесе тұрақты дебитпен жұмыс істей бастайды. Сұйық жылжу градиентіне ие болып пласта екі зонаға бөлінеді: фильтрация зонасы және зона оның жоқ болуы, шекара бөлім аралығына l=lt; l0=0 (l0=rc=0) заңы бойынша бірте-бірте орналасады. Cұйық пластың берілген нүктесі үшін сыпатталған құрылымды-пластикалық қасиетке ие болады.
1 ТПС-ТЫҢ ФИЛЬТРАЦИЯСЫНЫҢ КЕЙБІР МЕХАНИКАЛЫҚ МОДЕЛДЕРІ.НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕРІ МЕН ҚАТЫНАСТАРЫ
Бұл тарауда ТПС фильтрациясының кейбір механикалық моделдері қарастырылады,бұл модельдер фильтрация жылдамдығының моделі мен қысым градиенті арасындағы эксперименталды(тәжірибелі) алынған тәуелділіктің белгілі өңдеуімен шартталған.Әрбір фильтрация моделінің шегінде фильтрация заңы(Дарси заңының аналогы) орнатылады,ола келешекте не қабаттың өткізгіштігі бойынша біртекті еместікпен,не сұйықтың әр түрлі қасиеттерімен байланысты,негізгі қатынастарды алу мен қабаттың серпінді және су тегеурінді(водонапорный) режимі жағыдайында қысымды анықтау үшін дифференциялдық теңдеулерді шығару үшін қолданылады.
10. А.Х Мирзаджанзаде [10] ТПС феноменологиялық сүзу теориясы эксперименталды(тәжірибелі) мәліметтерді өңдеу v=v(∇p) тәуелділігін түзу сызық түрінде көрсетуге негіз берді,ол абцисса өсінің оң жақ бөлігінде ∇p*=β тең кесінді кесіп өтеді(1-сурет).Бұл Мирзаджанзадеге ТПС фильтрациясының мынадай механикалық моделін ұсынуға мүмкіндік берді,ол үшін фильтрация заңы,Дарсидің жалпыланған заңы деп аталған,келесі түрде жазуға болады.
v=0, ∇p=g0-ku1-β∇p∇p, ∇pg0 , (1,1)
Мұндағы v-сүзу жылдамдығы, k-өткізгіштік коэффициенті, μ-сұйықтың тұтқырлығы β-қысым градиенті,ол жылжудың (сдвига) шектік кернеуінен өту үшін керек, ∇=ddx i + ddy j.
1-сурет
Дәл сол жерде ТПС-тың сызықты фильтрациясы кезінде β шектік градиентінің мәні мына қатынаспен
β =∇Ρкр=aτ0k0 (1.2)
анықталатыны белгіленген,мұндағы τ0-шектік жылжу кернеуі, k0-ауа өткізгіштік коэффиценті, a-белгілі тұрақты.
Осылайша ТПС фильтрациясы бастапқы жылжу градиенті бар ағыс моделін қолданған жағыдайда тек қысым градиенті белгілі бір шектік мәннен асқандағы обылыстарда ғана орындалатын болады,фильтрация моделін бастапқы жылжу градиентімен қолдана отырып [13-21] авторлар ТПС фильтрациясының дәл сол немесе басқа қойылымда кейбір есептерін шешкен болатын.
20. келесілері анығырақ,керек ортада ТПС ағысы бойынша тәжірибелер аз ғана фильтрацияның болатынын анықтады және қысым градиенттері кезінде шектік шамадан төмен.
2-сурет
Бұл жағдай ϑ=ϑ(∇p) тәуелділігі 2-суретте схематикалық кескінделген монотонды өспелі функциямен түсіндіруге (интерпретировать) мүмкіндік береді,бұл функция координата басы арқылы өтеді және абсица өсіне көлбеу асимптотасы бар.Онда келесі фильтрация суретін (картинасын) елестетуге болады.Аз қысым градиенті кезінде кеуек орта оте аз не елеусіз сұйық ағысы орын алады,бұл құбылыс қысым градиентінің белгілі (шектік) мәніне дейін қаралады.Қысым градиенті шектік мәніне жеткенде және одан асқанда ТПС фильтрациясында сапалық және сандық өзгерістер байқалады, фильтрация жылдамдығы күрт артады және қысым градиентінен түзу сызықты тәуелсіздікке асимптоталық шығады.
Алынған ϑ=ϑ(∇p) эксперименталды(тәжірибелі) тәуелділігінен ТПС фильтрациясының басқада механикалық моделдер қатарын ұсынуға болады.
30.модель1. ϑ=ϑ(∇p) графигі координаталар басынан өтетін белгілі бір қисықтықпен аппроксимацияланады.Бұл қисықтықтың бірінші бөлігі (AB) ТПС фильтрациясын қысым градиентінің аз кезінде сипаттайды,ал екінші (BC) қысым градиентінің көп кезінде көрсетілген ϑ=ϑ(∇p) қисығының полигоналды (полигональная) аппроксимацияланады 3-суретте үздік сызықтармен көрсетілген.
3-сурет
Осылайша ТПС фильтрациясының 1 моделі негізінде келесі жатыр: қысым градиентінің аз шамасы кезінде (шектік жағыдайға дейін) ТПС ағысы кеуек ортада Дарсидың сызықтық заңы бойынша жүреді,ал қысым градиентінің үлкен мәндері кезінде (шектік жағыдайдан жоғары) ТПС фильтрациясы Дарсидың жалпыланған заңы бойынша жүзеге асады[4.8].
Модель2. ϑ=ϑ(∇p) функциясының графигі ,қысым градиенті өзінің шектік мәнінен асып кетсе,түзу сызыққа асимптотикалық шығатын жағдайн ескеріп,оны сәйкес асимптотасы бар монотонды өспелі белгілі бір сызықпен аппроксимациялауға болады.ондай қисық ретінде шамасы,төбесі координата басында жататын және асимптотасы қысым градиентінің үлкен мәндері кезінде ϑ=ϑ(∇p) функциясының графигі шығатын түзумен сәйкес келетін гиперболаны алған ыңғайлы.
4-сурет
4-суретте бұл гипербола және оның асимптотасы үзік сызықпен бейнеленген.
Жоғарыда ұсынылған ϑ=ϑ(∇p) функция графигінің аппрокцимациясының екі тәсілімен бірге басқалары да болуы мүмкін[4.8],оны мысалы,координаталар басы арқылы өтетін қайсыбір дәрежелік немесе көрсеткіштік функциямен аппрокцимациялауға болады.
1.1 Полигональды аппроксимация. Модель1
10. Жоғарыда көрсетілгендей полигональды аппроксимация кезінде ϑ=ϑ(∇p) тәелділік графигі координата басынан өтетін белгілі бір қисықтықпен алмастырылады.Бұл қисықтықтың теңдеуін мына түрде келтіруге болады:
∇pβ кезінде, ϑ=d2∇p
∇pβ кезінде, ϑ=d0+d1∇p.
d0,d1және d2 параметрлері келесі түсініктерден анықталады.AB түзуі координата басынан өтетін болғандықтан (сурет 3 ті қара) және де аз қысым градиенті кезінде ТПС фильтрациясын кеуек ортада сығылмайтын сұйық ағысы кезінде Дарсидың сызықты заңына ұқсас сипаттайтын болғандықтан,онда d2=kν өрнегін қабылдау табиғи,мұнда ν-аз қысым градиенті кезіндегі ТПС тың динамикалық тұтқырлығы.Ары қарай BC түзуі ТПС фильтрациясын үлкен қысым градиентінде спаттайды,бұл кезде кеуек ортада сұйық ағыны Дарсидың жалпылнған заңына бағынады(1.1).онда бұл түзудің бұрштық коэффиценті kη-ге тең болады,яғни d1=kη.
d0 параметрі ТПС фильтрациясының жылдамдығының үзіліссіздік шарты бойынша қысым градиенті шектік шамаға тең кезде (∇p=∇pкр=β ) оңай анықталады,онда
kν β=d0+kη β .
Осы жерден d0=-kη β η0 ,мұнда η0=1-ην. Осылайша
ϑ=kν∇p, ∇pβ кезінде.
ϑ=kη(∇p-β η0 ) ∇pβ кезінде.
Демек,қарастырылып отырған ТПС ағысының моделінде кеуек ортаға фильтрация жылдамдығы былай жазылады:
ϑ=-kν∇p, ∇pβ кезінде (1.3)
ϑ=-kη(1-β η0∇p )∇p, ∇pβ кезінде (1.4).
20.Түр (порода) серіппелі болсын,ал ТПС тамшылы-сығылмалы сүйық класына жататын болса,онда
dm= β0 dp немесе m= m0+βс (p-p0) ,
ал dγγ = βжdp немесе γ= γ0еβж (p-p0) ≅γ0[1+βж(p-p0) ],
мұнда m-кеуектілік коэффиценті, γ-сұйық тығыздығы, m0 және γ0- p0 атмосфералық қысым кезінде сәйкес кеуектілік пен тығыздықтың коэффиценттерінің мәндері, βс,βж-сәйкес түр(порода) мен сұйықтың көлемдік серіппелік коэффиценттері.
Сондықтан ,
m γ=γ0[m0+β* (p-p0) ] (1.5)
мұнда β* =βс+m0βж-пластын (упругоемкости) коэффиценті.
dp=1βж. dγγ болғандықтан ,онда ∇=1γβж∇ γ.
Осылайша,
γ∇p=1βж∇ γ≈γ0∇p (1.6).
Онда фильтрациялық ағынның үзіліссіздік теңдеуі
div(γϑ) =-ddt(m γ) (1.7)
(1.3), (1.4), (1.5) және (1.6) қатынастарын ескерсек,мына түрге ие болады.
div(kν∇p) =β*dpdt , ∇pβ кезінде (1.8)
div[kη(1-β η0∇p)∇p ]=β*dpdt , ∇pβ кезінде (1.9)
(1.8) және (1.9) қабаттың серіппелі режимі кезінде қысымды анықтаудың дифференциялдық теңдеулері болып табылады,қабаттың (пластың) сутегеурінді режимі жағдайында (түр және сығылмайтын сұйықтар) дифференциялдық теңдеулері (1.8) және (1.9) келесі түрге ие:
div(kν∇p) =0 , ∇pβ кезінде (1.10)
div[kη(1-β η0∇p)∇p ]=0 , ∇pβ кезінде (1.11)
30.Қабат екі ТПС пен толтырылсын және бір ТПС-тан екіншісіне поршендік ығыстыру жүргізілсін,онда сұйық бөлімінің шекарасында келесі түйіндестік шарттар орын алады:қысымдардың теңдігі
p1=p2 (1.12)
және фильтрацияның массалық жылдамдықтарының нормаль құраушыларының теңдігі
γ1ϑ1n=γ2ϑ2n (1.13)
Мұнда, p1 және p2, γ1 және γ2-сәйкес сұйық бөлімінің шекарасынан бір жағы мен екінші жағы бойынша қысым мен тығыздықтар
ϑ1n =-kν1dp1dn, (1.14)
ϑ2n=-kν2dp2dn, (1.15)
∇p1.2β1.2 кезінде
ϑ1n=-kη1(1-β1 η10∇p1)dp1dn, (1.16)
ϑ1n=-kη2(1-β2 η20∇p2)dp2dn, (1.17)
∇p1.2β1.2кезінде,сәйкес фльтрация жылдамдығының нормаль құраушылары, ddη - сұйық бөлімінің шекарасына нормаль ағыты бойынша туынды, ϑ1, ϑ2 және η1, η2 - бөлім шекарасынан екі жағы бойынша сәйкес жылдамдық тұрақтылары.
Тамшылы-сығылмалы. ТПС үшін (1.13) шарты келесі түрге ие болады:
γ10[1+β1ж(p1-p0) ]ϑ1n=γ20[1+β2ж(p2-p0) ]ϑ2n (1.18)
Егер ТПС шамамен көлемдік серпінділік коэффиценері тең болса,
онда (1.18) қатынасы оңайлаылады және келесі түрде жазылады
γ10ϑ1n=γ20ϑ2n (1.19)
Әрине,соңында сығылатын және бірдей тығыздыққа ие ТПС үшін алаынымыз:
ϑ1n=ϑ2n (1.20)
(1.18), (1.19) және (1.20) қатынастарында ϑ1n жәнеϑ2n қатынастарында фльтрация жылдамдығының нормаль құраушылары ∇p шамасына тәуелді (1.14), (1.15), (1.16) және (1.17) түрге ие болады.Егер ∇p1.2β1.2 ,онда (1.14) және (1.15) формулаларын қолдану керек,егер ∇p1.2β1.2 онда -(1.16) және (1.17) формулаларын,егер ∇p1β1 ,ал ∇p2β2 онда (1.15) және (1.16) формулалары орындалады.
Егер біртекті өтімділігі бойынша,макро-біртекті кеуек ортада фильтрленсе,онда біртектілік бөлімінің шекарасында келесі (сопрежение) шарттары орын алады:
∇p1=∇p2 (1.20)
немесе
k1dp1dη=k2dp2dη, ∇p1.2 β кезінде (1.21)
немесе
k1(1-βη0∇p1)dp1dη=k2(1-βη0∇p2)d p2dη, ∇p1.2β кезінде (1.22)
Мұнда k1 және k2 -біртектілік болімінің шекарасының екі жағы бойынша да өтімділік коэффицентері.
ddη - біртектілік бөлімінің шекарасына нормаль бағыты бойынша туынды.
40.Жоғарыда келтірілгендермен қатар ∇p =β орындалатын сызықтан өту кезінде,яғни жоғарылатылған (∇pβ )және төмендетілген (∇p β) тұтқырлықтың зона бөлімінің шекарасы арқылы өту кезінде қысым мен қысым градиентінің үзіліссіздік шартын сақтау керектігін есте сақтау қажет,ал дәлірек
pν=pη, ∇pν=∇pη= β (1.23)
Мұнда pν және pη-сәйкес жоғарылатылған және төмендетілген тұтқырлық зоналарының қысымдары.
1.2 Гиперболалық аппроксимация.Модель.2
10 ϑ=ϑ(∇p) функционалдық тәуелділігін зерттеу кезінде оның графигі үлкен қысым градиенттері кезінде түзу сызыққа асимптотикалық шығатыны(4-суретті қараңыз) жоғарыда ескертілген болатын.Бұл жағыдай ϑ=ϑ(∇p) -ны келесі түрдегі гиперболамен аппроксимациялауға мүмкіндік береді.
ϑ=ba a 2+(∇p) 2- b,
Бұл гиперболаның асимптотасы мына қатынаспен анықталады:
ω=ba∇p- b.
Егер гиперболаның асимптотасы Дарсидың жалпылама заңын (1.1)
алудың негізіне жататын түзу ретінде қарастырылса, онда белгісіз тұрақтылар толық анықталады (1-суретті қараңыз),ал дәлірек
ω=kη(∇p-β ).
Онда
a= β, b=kη β.
Демек,ТПС ағынының ұсынылып отырған моделінде кеуек ортада фильтрация жылдамдығы былай болады
ϑ=-kη[ β 2+∇p 2- β]∇p∇p . (1.24)
20Егер бұрынғыша түрді серпінді деп,сұйықты тамшылы-сығылатын деп санасақ,онда (1.7) фильтрациялық ағынның үзіліссіздік теңдеуі (1.5), (1.6) және (1.24) қатынастарын ескеріп келесі формулада жазылады
div{kη[ β 2+∇p 2- β]∇p∇p}=β*dpdt (1.25)
Алынған (1.25) теңдеуі қабаттың серпінді режимі жағыдайында қысымды анықтау үшін дифференциялды теңдеу болып табылады,қабаттың сутегеурінді режимі үшін (γ мен m -тұрақтылар). (1.25) дифференциялды теңдеуі мына түрде болады
div{kη[ β 2+∇p 2- β]∇p∇p}=0. (1.26)
30.Қабатта бір ТПС-тің екіншісіне поршенді ығысуы жүзеге ассын дейік,онда сұйық бөлімінің шекарасында (контактіде) (1.12) және (1.13) түйіндестік шарты орын алады,онда
ϑ1n=-kη1[ β1 2+∇p 2- β1]∇p1. dp1dn, (1.27)
ϑ2n=-kη2[ β2 2+∇p 2- β2]∇p2. dp2dn, (1.28)
ТПС қасиетіне байланысты (1.13) шарты (1.18) не (1.19) ,немесе (1.20) түріне ие болуы мүмкін.
Егер біртекті ТПС фильтрациясы өткізгіштік бойынша бөлікті-біртекті кеуек ортада жүрсе,онда біртектілік бөлімінің шекарасында келесі түйіндестік шарты орын алады
p1=p2
k1[ β2+∇p1 2- β]∇p1 . dp1dn=k2[ β2+∇p2 2- β]∇p2 . dp2dn (1.29)
2 СУТЕГЕУРІНДІ РЕЖИМ КЕЗІНДЕ ОРНАТЫЛҒАН ФИЛЬТРАЦИЯ. НЬЮТОНДЫҚ ТПС-ТЫ ЫҒЫСТЫРУ
Бұл тарауда горизонтальды изотропты және біртекті қабаттардағы Ньютондық ТПС-тың поршендік ағуының негізгі бірөлшемді есептері қарастырылады,ол қабаттар тұрақты қуат және өткізбейтін жабын (кровля) мен табанға (подошва) ие.Есепті шешу брысында фильтрацияның бірінші және екінші моделдері қолданылады,сонда алынған нәтижелер Ньютондық СС (сығылмайтын сұйық)-ты ығыстыру бойынша сәйкес келетін есептер шешімдерімен салыстырылады.
Бұл тарауда горизонтальды изотропты және біртекті қабаттардағы Ньютондық ТПС-тың поршендік ағуының негізгі бірөлшемді есептері қарастырылады,ол қабаттар тұрақты қуат және өткізбейтін жабын (кровля) мен табанға (подошва) ие.Есепті шешу брысында фильтрацияның бірінші және екінші моделдері қолданылады,сонда алынған нәтижелер Ньютондық СС (сығылмайтын сұйық)-ты ығыстыру бойынша сәйкес келетін есептер шешімдерімен салыстырылады.
2.1 Түзу сызықты-параллелді ағыс
1. Физикалық суреті.Қуаты және ені бойынша бірлік қабат,h ұзындығы бар тұтқырлы-пластикалық және Ньюондық сұйықтар мен толтырылған.Сол жақ соңында тұтынымдық галерея жұмыс жасайды,оң жағында-баспалық.Баспалық галерея арқылы қабатқа СС(сығылмайтын сұйық) келіп түседі,ол ТПС-тың поршендік ығысуын жүзеге асырады.Екі сұйық та және түр де сығылмайтын деп болжанады.
Жасалған болжамдар барысында қабатта түзусызықты-параллелді ағыс жүзеге асатын болады,ТПС және СС бөлімінің шекарасындағы қысым мен түйіндестік шартын анықтау үшін дифференциялдық теңдеулер әр түрлі формада жазылады,олар сәйкесінше фильтрация моделін шешуге қолданылады.
Модель1.ТПС-пен толтырылған аймақта (0=x=ξ)фильтрация жылдамдығы және дифференциялдық теңдеу мына түрге ие:
ϑ1ν (1)=-kν1dp1ν(1)dx егер dp1(1)dxβ1, (2.1)
ϑ1ν (1)=-kη1(dp1η(1)dx-β1η10) егер dp1(1)dxβ1; (3.2)
ddx[1ν1(dp1ν(1)dx) ] =0 егер dp1(1)dxβ1, (2.3)
ddx[1η1(dp1η(1)dx-β1η10)] =0 егер dp1(1)dxβ1. (2.4)
(2.3) және (2.4) теңдеулерінің жалпы шешімдері
p1ν1x,t=a01t+ν1a1(1)tx, (2.5)
p1η1x,t=b01t+η1b11t+β1η10x. (2.6)
СС (сығылмайтын сұйықпен) толтырылған аймақта (ξ=x=L),фильтрация жылдамдығы мен дифференциялдық теңдеу келесі түрде
ϑ2 (1)=-kμ2dp2(1)dx, (2.7)
ddx[1μ2(dp2(1)dx] =0. (2.8)
(2.8) теңдеудің жалпы шешімі
p21x,t=c01t-μ2c11t(L-x). (2.9)
ТПС және СС бөлімінің шекарасында түйіндестік шарты x= ξt ξ0=ξ0=L
p1ν1=p21,
1ν1dp1ν(1)dx=1μ2dp2(1)dx, (2.10)
dp1(1)dxβ1болғанда,және
p1η1=p21,
1 η1dp1η(1)dx-β1η10=1μ2dp2(1)dx, (2.11)
dp1(1)dxβ1 болғаны.
Модель2.ТПС-пен толтырылған аймақта (0=x=ξ)фильтрация жылдамдығы және дифференциялдық теңдеу мына түрге ие болады:
ϑ1 (2)=-kη1β12+(dp1(2)dx)2-β1; (2.12)
ddx1 η1 β12+(dp1(2)dx)2-β1=0 (2.13)
(3.13) теңдеудің жалпы шешімі
p12(x,t) =a02t+ (β1+η1a12t)2-β12x. (2.14)
СС (сығылмайтын сұйықпен) толтырылған аймақта ,фильтрация жылдамдығы және дифференциялдық теңдеу сәйкесінше былай жазылады
ϑ2 (2)=-kμ2dp2(2)dx (2.15)
ddx 1μ2dp2(2)dx=0. (2.16)
(3.16) теңдеудің жалпы шешімі
p22(x,t) =c02t-μ2c11t(L-x). (2.17)
болады.
ТПС және СС бөлімінің шекарасында түйіндестік шарты x =𝜉t
p12 =p22,
1η1[β12+(dp1(2)dx)2-β1] =1μ2dp2(2)dx (2.18)
20.Есеп 1.Тұтынымдық галереяда pг қысым сақталып тұрсын,ал баспалық (нагнетательной) галереяда қысым-pk;сонымен бірге pkpг.Бастапқы уақыт мезетінде сұйықтар арасындағы бөлімнің шекарасы тұтынымдық галереядадан ξ0 қашықтықта болады,қысымның қабат бойынша бөлінуін ,сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстырыу заңы және тұтынымдық галереяның q дебитін анықтау керек.
Бұл есеп таңдалған фильтрация моделіне байланысты әр түрлі математикалық қойылымдар мен шешу формаларына ие болады.
Модель1.Осы фильтрация моделінде есепті шешу кезінде ТПС-пен толтырылған обылыста ығысудың барлық уақытында қысым градиентінің келесі әртүрлі мәндері болуы мүмкіндігін ескеру керек:
Не dp1(1)dxβ1, не dp1(1)dxβ1,не алдымен dp1(1)dxβ1,ал сосын t0(x =𝜉t) уақыт моментінен бастап ығысудың соңына дейін dp1(1)dxβ1.Онда есеп мүмкін болатын жағыдайлардың әрқайсына сәйкес шешімге ие болады.
Төменде болжамның ең соңғы жағыдайы үшін есеп қарастырылады,
ν1η1μ1 болады.Ығыстырудың тізбектей кезеңдері 5-суретте көрсетілген.
Есептің математикалық қойылымы (2.4), (2.5) және (2.8) теңдеулер шешімін табу,және де ξ(1)=ξ(1)tөзгеру заңын анықтау және q дебитті мына шарыттарда анықтау:
ξ0=ξ(1)ν=x0болса,онда p(1)1ν0,t=pг, p(1)2L,t=pк, x=ξ(1)νtξ(1)ν0=ξ0=L де (3.10) түйіндестік шарты орын алады;
x0=ξ(1)η=0 болса,онда p(1)1η0,t=pг, p(1)2L,t=pк, x=ξ(1)ηt ξ(1)ηt0=ξ(1)ηt0=x0 де (2.11) түйіндестік шарты орын алады.
Есептің шешімі ξ(1)=ξ(1)t сұйық бөлімі шекарасының жағыдайына сәйкес кезең-кезңімен өтеді.
5-сурет
ξ0=ξν(1)=x0болсын.онда есептің шешімін (2.5) және (2.9) түрінде іздеп,алатынымыз
p1ν(1)x,t=pг+ν1(pк-pг)ν1ξν(1)+μ2(L- ξν(1)) x, (2.19)
p2(1)x,t=pк+μ2pк-pгν1ξν1+μ2L-ξν1(L- x), (2.20)
qν(1)=kν1dp1ν(1)dx⎢x=0=k(pк-pг)ν1ξν (1)+μ2(L-ξν(1)) . (2.21)
x=x0 шамасын табу үшін мына шартты қолданамыз:
dp1ν1dx⎢ξν1=x0=ν1pк-pгν1x0+μ2L-x0=β 1,
Бұдан
x0=ν1(pк-pг)β2(ν1-μ2) -μ2Lν1-μ2 . (2.22)
ξν1=ξν1t өзгеріс заңы келесі қатынастан анықталады:
-mdξν1dt=kμ2dp2(1)dx⎢x=ξν1=kμ2.μ2(p к-pг)ν1ξν(1)+μ2(L-ξν(1)) .
Онда ξν10=ξ0 екенін ескеріп алатынымыз
t=mkpк-pг [μ2Lξ0-ξν1+ν1-μ22 ξ02-ξν12]. (2.23)
ξν1=x0 мәнін (3.23) ке қойып, t=t0 ығысудың бірінші фазасының ұзақтығын табамыз,дәлірек
t0=mkpк-pг [μ2Lξ0-x0+ν1-μ22 ξ02-x02]. (2.24)
Енді 0=ξη1=x0 болсын,онда шешімді (3.6) және (3.9) түрінде іздеп табатынымыз
p1η(1)x,t=pг+pк-pгη1+β1η10μ2(L-ξη(1 ))η1ξη(1)+μ2(L-ξη(1)) x, (2.25)
p2(1)x,t=pк-pк-pгμ2-β1η10μ2ξη(1)η1ξ η1+μ2L-ξη1(L-x), (2.26)
qη(1)=kη1[dp1η1dx-β1η10]x=0=k[pк-pг -β1η10ξη(1)]η1ξη(1)+μ2(L-ξη(1)) . (2.27)
ξη1=ξη1t сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңын келесі шарттан анықтаймыз
-mdξη1dt=kμ2dp2(1)dx⎢x=ξη1=kμ2.(pк- pг)μ2-β1η10μ2ξη(1)η1ξη(1)+μ2(L-ξη(1 )) .
Бұл жерден ξη1t0=x0 екенін ескеріп алатынымыз
t=t0-m(η1-μ2)k β1η10x0-ξη1+m[β1η10μ2L+(η1-μ2)pк-pг ]kβ12η102 ln(pк-pг)-β1η10ξη(1)(pк-pг)-β1η10x0 . (2.28)
(2.28) де ξη1=0 деп есептеп ТПС-тың толық ығысу уақытын табамыз
T1=t0-mη1-μ2kβ1η10x0+
m[β1η10μ2L+(η1-μ2)pк-pг]kβ12η102 lnpк-pг(pк-pг)-β1η10x0. (2.29)
x0=0 болсын,яғни қабатта зона болмайды, dp1(1)dxβ1. (2.22) қатынасында x0=0 деп есептеп ,алатынымыз
pк-pг0=μ2ν1Lβ1. (2.30)
Бұл жағыдайда қысымның бөлінуі,дебит және сұйық бөлімінің шекарасының орын ауыстыру заңы сәйкесінше (2.19), (2.20), (2.21) және (2.29) формулаларынан анықталады:
Tν(1)=mkpк-pгμ2Lξ0+ν1-μ22 ξ02. (2.31)
Егер x0=ξ0 болса, яғни қабатта зона жоқ болса, dp1(1)dxβ1,онда (2.22) қатынасында x0=ξ0 деп есептеп табатынымыз
pк-pгξ0=ξ0β1+μ2ν1(L-ξ0)β1. (2.32)
Онда қысымның бөлінуі және дебит сәйкесінше (2.25), (2.26) және (2.27) формулаларымен табылады,сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңы мен ТПС-тың толық ығысу уақыты сәйкес былай жазылады:
T=-mη1-μ2k β1η10ξ0-ξη1+
m[β1η10μ2L+(η1-μ2)pк-pг]kβ12η102 ln(pк-pг)-β1η10ξη(1)(pк-pг)-β1η10ξ0 , (2.33)
Tη1=-mη1-μ2kβ1η10ξ0+
m[β1η10μ2L+(η1-μ2)pк-pг]kβ12η102 lnpк-pг(pк-pг)-β1η10ξ0. (2.34)
Осылайша,егер pк-pг0=pк-pг,онда қабатта барлық жерде dp11dx=β1,және қысымды,дебитті ,сұйық бөлімінің шекарасының орын ауыстыру заңын және ТПС-тың толық ығысу уақытын табу үшін (2.19), (2.20), (2.21), (2.23) және (2.31) формулаларын қолдану керек.Егер pк-pгξ0=pк-pг болса,онда қабаттың кез-келген нүктесінде dp11dx=β1,және қысым бөлінісі дебит,сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңы және ТПС-тың толық ығысу уақыты (2.25), (2.26), (2.27), (2.33) және (2.34) қатынастары мен анықталады,егер pк-pгξ0pк-pгpк-pг0,онда қабатта ξ0=ξ1=x0 кезінде dp11dxβ1,ал x0=ξ1=0 кезінде dp11dxβ1.
Бұл жағдайда қысым , дебит,сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңы және ТПС-тың толық ығысу уақыты (2.19), (2.20), (2.21), (2.23),(2.25), (2.26) (2.27) (2.28) және (2.29) қатынастары мен анықталады.
Модель 2.Есептің математикалық қойылымы (2.13) және (2.16) теңдеулерінің шешімдерін табу және де ξ2=ξ2t өзгеру заңын анықтау және q дебитті P1(2)0,t=pг , P2(2)L,t=pк шарттарда анықта, x=ξ2t, ξ20=ξ0=L та (3.18) түйіндестік шарттары орын алады.
Егер есептің шешімін (2.14) және (2.17) түрінде іздесек,онда қабаттағы қысым бөлінуі,тұтынымдық галерея дебиті
P1(2)x,t=pг+β1+η1a1(2)t2-β12x, (2.35)
P2(2)x,t=pк-μ2a1(2)tL-x, (2.36)
q2=kη1β12+(dp1(2)dx)2-β1x=0 =ka1(2)ξ2, (2.37)
Қатынастарымен анықталады,мұнда
a12ξ2=μ2L-ξ2pк-pг+η1β1ξ22μ22L-ξ22-η 12ξ22-
ξ2β12[η12ξ22-μ22L-ξ22]+[η1pк-pг+β1μ 2L-ξ2]2μ22L-ξ22-η12ξ22 . (2.38)
ξ2=ξ2t өзгеріс заңы бойынша
-mdξ2dt=kμ2dp2(2)dx⎢x=ξ2=ka1(2)ξ2,
Қатынасынан табылады,мұнда t=0 кезінде ξ2=ξ0 екенін ескеріп алатынымыз
t=mkξ2ξ0dξ2a1(2)ξ2 2,39
Егер 2,39 өрнегінде интегралдың төменгі шегін нольге теңестіріп алсақ,онда ТПС-тың толық ығысу уақты T2-ні аламыз.
a1(2),q және t шамаларын 2,38, 2,37 және 2,39 формулалары бойынша есептеу β1 аз мәндері үшін ықшамдалуы мүмкін,ал дәлірек түбір астындағы өрнектің бірінші мүшесін ескермей β12-аз,алсақ
a1(2)=(pк-pг)-β1ξ(2)η1ξ(2)+μ2(L-ξ(2 )), 2,40
q1(2)=k[(pк-pг)-β1ξ(2)]η1ξ(2)+μ2(L- ξ(2)), 2,41
t=mkξ2ξ0μ2L+(η1-μ2)ξ2(pк-pг)-β1ξ(2)
dξ2=- mη1-μ2kβ1ξ0-ξ2+
m[β1μ2L+η1-μ2(pк-pг)]kβ12ln(pк-pг)- β1ξ2(pк-pг)-β1ξ0 2,42
T2 =- mη1-μ2kβ1ξ0+m[β1μ2L+η1-μ2(pк-pг)]kβ 12ln(pк-pг)(pк-pг)-β1ξ0. 2,43
Дәл осы шарттар кезінде μ1тұтқырлығы бар СС (сығылмайтын сұйық) тың басқа μ2 тұтқырлыққа ие СС ығыстыруы жағыдайнда
P1*x,t=pг+μ1(pк-pг)μ1ξ*+μ2(L-ξ*)x, (2.44)
P2*x,t=pк-μ2(pк-pг)μ1ξ*+μ2(L-ξ*)L-x , (2.45)
q*=k(pк-pг)μ1ξ*+μ2(L-ξ*), (2.46)
t*=mk(pк-pг)[μ2Lξ0-ξ*+μ1-μ22ξ02-ξ*2 ], (2.47)
T*=mk(pк-pг)[μ2Lξ0+μ1-μ22ξ02]. (2.48)
Төменде бірінші және екінші фильтрация моделдерін қолдану кезіндегі ТПС-тың толық ығысу уақыты мен дебиттерінің сәйкесінше СС-тың толық ығысу уақыты мен дебиттерімен салыстыру нәтижелері келтіріледі.Бұл ретте салыстыру сұйық бөлімі шекарасының бірдей қалпы үшін беріледі ξν1=ξη1=ξ*=ξ және ТПС-тың η1 тұтқырлығы СС-тың μ1 тұтқырлығына тең деп саналады.
q*-qν(1)=k(pк-pг)(ν1-μ2)ξ[μ1ξ+μ2(L- ξ)][ν1ξ+μ2(L-ξ)], 2,49
q*-qη(1)=β1η10ξη1ξ+μ2(L-ξ), 2,50
q*-q2=β1ξη1ξ+μ2(L-ξ), 2,51
Tν(1)-T*=mk(pк-pг).ν1-μ12ξ02. (2.52)
Tη1-T*=mβ1η10μ2L+η1-μ2pк-pгkβ12η102 ln pк-pгpк-pг-β1η10ξ0-mη1-μ2kβ1η10ξ0-m k(pк-pг)[μ2Lξ0+μ1-μ22ξ02] , 2,53
T2-T*=m[β1μ2L+η1-μ2(pк-pг)]kβ12ln pк-pг(pк-pг)-β1η10ξ0-mη1-μ2kβ1ξ0-mk (pк-pг)[μ2Lξ0+μ1-μ22ξ02] . 2,54
Алынған нәтижелерден барлық шарттарға Ньютондық ТПС ығысуы кезінде тұтынымдық галерея дебиті Ньютондық СС ығысуы жағдайындағы дебиттен кем болатындығы,ал ТПС-тың толық ығысу уақыты СС-тың толық ығысу уақытынан артық болатыны шығады.
30.Есеп 2.Баспалық галереяда pк қысым берілген болсын және тұтынымдық галереяның бастапқы моментінде сұйықтар арасындағы бөлім шекарасы тұтынымдық галереядан ξ0 қашықтықта болсын,қабат бойынша қысым бөлінуін табу керек,сондай-ақ сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңын табу керек.
Мұнда да алдынғы есептегі сияқты математикалық қойылымы және шығару формуласы таңдалған фильтрация моделіне тәуелді болады.
Модель 1.Бұл фильтрация моделінде есепті шешу барысында 2 жағдай болуы мүмкін:1) ТПС-пен толтырылған зонадада қозғалыстың барлық уақытында dp11dxβ1,2) dp11dxβ1.Онда әрбір жағдай үшін есептің өз математикалық қойылымы және оның шешімі бар болады.
Жағдай 1.Есептің математикалық қойылымы (2.3) және (2.8) теңдеулерінің шешімін табу,сондай-ақ ξ(1)ν=ξ(1)νt заңын анықтау келесі шарттарда P2(1)L,t=pк,q=kν1dp11dx ⎮x=0 , x=ξ(1)νt,( ξ(1)ν0=ξ0=L) (2.10) түйіндестік шарттары орындалады.
Есептің шешімін (2.5) және (2.9) үрінде іздеп аламыз
P1ν(1)x,t=pк-qμ2kL-ξ1ν-qν1kξ1ν-x, (2.55)
P2ν(1)x,t=pк-qμ2kL-x, (2.56)
ξ(1)ν=ξ(1)νt өзгеріс заңы мына қатынастан анықталады
-mdξ(1)νdt=kμ2dp2ν(1)dx⎢x=ξ(1)ν=q.
Мұнда ξ(1)ν0=ξ0=L екнін ескеріп табамыз:
ξ(1)ν=ξ0-0tqtm dt 2,57
Жағдай 2.Есептің математикалық қойылымы (2.4) және (2.8) теңдеулерінің шешімін табу және де ξ(1)η=ξ(1)ηt өзгеріс заңын анықтау
P2η(1)L,t=pк,q=kη1(dp1η1dx-η10β1)⎮x =0 , x=ξ(1)ηt,( ξ(1)η0=ξ0=L) шарттарында (2.10) түйіндестік шарттары орындалады.
Есептің шешімін (2.6) және (2.9) түрінде іздеп аламыз
P1η(1)x,t=pк-qμ2kL-ξ1η-(qη1k+η10β1) ξ1η-x, (2.58)
P2η(1)x,t=pк-qμ2kL-x, (2.59)
ξ(1)η=ξ(1)ηt сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңы (2.57) формуласымен табылатын болады,мұнда ν индексін η-мен алмастыру керек.
Модель 2.Есептің математикалық қойылымы (2.13) және (2.16) теңдеулерінің шешімін шешімін табу және де ξ(2)=ξ(2)t өзгеріс заңын анықтау.
P2(2)L,t=pк,q=kη1β12+(dp12dx)2-β1)x =0,
шарттары кезінде x=ξ(2)t ξ(2)0=ξ0=L те (2.18) түйіндестік шартары орын алады.
Есептің шешімін (2.14) және (2.17) түрінде іздеп аламыз.
P1(2)x,t=pк-qμ2kL-ξ(2)-β1+qη1k2-β12 ξ(2)-x, (2.60)
P2(2)x,t=pк-qμ2kL-x. (2.61)
ξ(2)=ξ(2)t сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстру заңы (2.57) формуласымен табылатын болады,онда ν индекісі жазылмайды,ал (1) ,(2) мен алмастырылады.
Дәл осы шарттар кезінде μ1тұтқырлығы бар СС-тың басқа μ2 тұтқырлыққа ие СС-ты ығыстыруы кезінде білетініміз
P1*x,t=pк-qμ2kL-ξ*-qμ1kξ*-x, (2.62)
... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ 4
1 Тұтқырлы пластикалық сұйықтың (TПС) ФИЛЬТРАЦИЯСЫНЫҢ КЕЙБІР МЕХАНИКАЛЫҚ МОДЕЛДЕРІ.НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕРІ МЕН ҚАТЫНАСТАРЫ 9
1.1 Полигональды аппроксимация. Модель1. 12
1.2 Гиперболалық аппроксимация.Модель.2 16
2 СУТЕГЕУРІНДІ РЕЖИМ КЕЗІНДЕ ОРНАТЫЛҒАН ФИЛЬТРАЦИЯ.НЬЮТОНДЫҚ ТПС-ТЫ ЫҒЫСТЫРУ 17
2.1 Түзу сызықты-параллелді ағыс 18
2.2 Жазық тарамдалған ағыс 29
3 ТПС-ҚА БІРТЕКТІ КЕУЕК ОРТАДАҒЫ ЕСЕП ҚОЮ 39
3.1Есеп № 1 39
3.2 Есеп № 2 45
4 ТҰТҚЫРЛЫ-ПЛАСТИКАЛЫҚ СҰЙЫҚТЫҢ КЕУЕК ОРТАДАҒЫ САНДЫҚ ШЕШІМІН ҚАРАСТЫРУ 47
4.1 Тұтқырлы-пластикалық сұйықтың кеуек ортадағы ағысын сандық зерттеу 47
4.2 Жылжымалы шекараны торлық түйініне аулау 47
4.3 Сандық санаудың тура өту әдісі 49
4.4 Екі торлық әдісті қолдану 51
5 БАСТАПҚЫ ҚЫСЫМ ГРАДИЕНТІ АЙНЫМАЛЫ БОЛҒАНДАҒЫ САНДЫҚ НӘТИЖЕЛЕРІНЕ ТАЛДАУ 53
ҚОРЫТЫНДЫ 58
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 59
КІРІСПЕ
Сансыз көп рет есептеулер мен лабораториялық тәжірибелік мәліметтер негізінде жылдамдық фильтрациясы қысым градиенті модулімен индикаторлық қисықты келесі түрде схематикалық бейнелеуге болады. v=v(∇p) функциясы координат басынын абсцисса өсіне жантайлап барып, асимптоталық түрде монотонды өседі және мынадай қисық көрінісінде болады (1-сурет).
1-сурет - Сұйық жылдамдығының қысымға тәуелділігі
Қысым градиенті модулінің аз мәнінде бұл қисық абсцисса өсіне қарай аз ғана жантайып, жылжу градиенті деп аталатын кейбір қысым градиенті модулінің (∇p*=g0) мәніне жетіп содан кейін жылдам өсе бастайды. Сондықтан келесі суретті көз алдымызға келтіруге болады. Қысым градиенті аз болғанда, сүзу қабатындағы қысым градиентінің айқын мөлшері байқалады. Ал қысым градиентінің үлкен немесе тең мәнінде, ТПС сүзу қабатында жылдам өзгерісті байқаймыз: сүзу жылдамдығы елеулі түрде өседі және оның қысым градиентіне тәуелділігі асимптоталық түрде сызыққа жақындайды. Жоғарыдағы айтылғандардың нәтижесінде индикаторлық қисыққа [1] әр түлі аппроксимациялау тәсілдерін қолдануға болады.
1953ж. А.Х.Мирзаджанзаде [2] феноменологиялық ТПС сүзу теориясын жылжу градиентімен сүзу пішіні негізінде ұсынды. Бұл пішінмен келісе отырып, тәжірибелік тәуелділік v=v(∇p) асимптота графигімен сәйкес келетін және абсцисса өсінің оң бөлігіндегі кесіп алынған кесінді шамасы ∇p*=β тең болатын жарты түзумен аппроксимацияланады.Қазіргі жағдайда Дарсидің сызықтық емес заңы мына түрде жазылыды:
v=0, ∇p=g0-ku1-g0∇p∇p, ∇pg0 (к. 1)
Мұндағы v-сүзу жылдамдығы, ∇p-қысым градиенті, k-өткізгіштік коэффициенті, μ-сұйықтың тұтқырлығы. Сайып келгенде, жылжу градиентімен сүзу пішінін қолданғанда сұйық ағысы тек қана пластың қысым градиенті кейбір өскен жағдайда ғана жүзеге асады. Сірә бұл пішінді қысым
болған жағдайдағы суреттегідей мәні сондай-ақ сүзіліс сыйпаттамасы өзгермеaген жағдайда сузілісті ескермеген жағдайда пайдалансақ болады. Егер қысым градиенті аз болғанда сұйықтың сүзілуі толығымен сүзілу суретіне айқын әсер етеді, сондықтан бұл жағдайда қысым градиенті ∇pаз болғандағы сұйық ағысын ескеретін сүзу пішінін қолданған жөн.
Көрсетілген пішінге, мысалы, индикаторлық қисыққа v=v∇p [1, 6] полигоналдық және гиперболалық аппроксимацияны қолдансақ және көрсетілген пішінге апарып қойуға болады. Сонымен бұл полигон индикаторлық қисықта бірінші бөлімінде координат басынан өтетін және қысым градиенті аз болғандағы сүзілісті сипаттайды, ал екінші бөлімінде асимптота графигімен v=v∇p сәйкес келетін және қысым градиенті үлкен болғандағы сұйықтың ағысын сипаттайды. Индикаторлық қисықты гипперболалық аппроксимациялау кезін де координат басына орналастырады. Ал гиперболаның асимптотасы асимтотамен v=v∇p функциясының графигі бірігеді. 2- сурет,полигон пунктир сызықтармен, ал гипербола және оның асимптотасы түзу сызықтармен көрсетілген. Индикаторлық қисық суретте пунктир штрихтармен бейнеленген.
2-сурет - Сұйық жылдамдығының қысымға тәуелділігі
Индикаторлық қисықты полигональдық және гиперболплық аппроксимациялауға негізделген сүзу пішіні үшін сүзу жылдамдығы сәйкесінше келесі түрде жазылыды:
v=-kμ∇p, ∇pβ-ku1-βμ0∇p∇p, ∇pβ (к. 2)
v=-ku[β2+∇p-β]∇p∇p (к. 3)
Мұндағы μ0=1-μυ,v-қысым градиенті аз болғандағы ТПС тұтқырлығы. Серпінді, сонда әдеттегідей,
mγ=γ0[m0+β*(p-p0)] (к. 4)
мұндағы m-кеуектілік коэффициенті, γ-сұйықтың тығыздығы, m0 және γ0-дің мәндері кеуектілік коэффициенті және қысым p0, β*-пластың серпінді сығылуы кезінде сәйкес келетін коэффициент. Енді узіліссіздік теңдеуін сузілген ағымға қолданамыз:
divγv=-ddt(mγ) (к. 5)
(к. 1), (к. 2) және (к. 3) сүзу заңынан сәйкесінше әрбір сүзу пішінінен серпімді пластағы қысымды анықтау үшін келесі дифференциялдық теңдеулерді аламыз:
ædiv1-g0∇p∇p=dpdt , ∇pg0 (к. 6)
ædivμp∇p=dpdt , ∇pg0 (к. 7)
ædiv1-g0μ0∇p∇p=dpdt , ∇pg0 (к. 8)
ædivg0+(∇p)2-g0∇p∇p=dpdt . (к. 9)
Әрбір келтірілген дифференциялдық теңдеулерді нақты сүзу есебін шешетін кезде есептің сипаттамасынан шыққан қарапайым бастапқы және шекаралық шарттардың орнына қоюға болады. Сонымен қатар жылжу градиентімен сүзу пішініндегі есепті шығару барысында сүзудің құбылмалы облысы пайда болады, және бұл облыстағы шекрада әзірге ол пластың шекарасына жетпейді, себебі қысым градиентінің модулі жылжу градиентіне, ал қысым - бастапқы пластың қысымына тең болуы керек. Егер индикаторлық қисықты полигональдық және гиперболалық аппроксимациялауға негізделген есепті, сүзу пішінін пайдаланып шығарсақ, сүзу облысында қысым градиентінің модулі қысым градиентінің нақты мәніне теңболатын, ал одан кіретін қысым үзіліссіз ауысатын жылжымылы шекара пайда болады.Сұйықтар мен газдардың сызықты емес уақытқа тәуелді жағдайындағы теориялық жұмастарға қысқаша мәлімет береміз.
А.Х.Мирзаджанзаденің, М.Т.Абасованың [4] жұмысында жартылай шексіз пластағы тұтқырлы сұйықтың тұтқырлы-пластикалық ығысуы қарастырылған. Ал шешімін алу үшін уақыттан тәуелсіз жүйеге алмасатын әдіс қолданылады.ыыы
[5] жұмыста галлереядағы шығын тұрақты болғандағы сүзудің узік сызықты заңы түзу сызықты сүзілген ағымдағы қысым үшін теңдеудің автопішінді шешімін алуға қолайлы жағдай туғызды. Жоғарыда айтылған теңдеу шешімі оңашаланған кескінде табылған екі қарапайым сызықтық теңдеуден тұратын жүйеге қоямыз. Шекаралық өткелде схеманың жылжымалы градиенті үшін шешім табылған.
[7] жұмыста, серпімді күйдегі және скважинаның дебиті тұрақты болғандағы шексіз пласта бірлік скважинаға ағатын сұйық қарастырылады. Интегралдық қатынас [6] әдісімен біреуі жылжу градиентімен пішіндеуге келетін сүзілістің екі сызықтық емес заңы үшін есептің асимптоталық шешімі алынған. Ары қарай қысым өзгерісі жүріп жатқан қисықты бақылаумен сүзу заңының параметрлерін анықтау жүзеге асырылады.
Жылу градиенті және дебитпен алынған пішін үшін [11] жұмыста шексіз пластағы, жазық радиалды сүзу бірлік скважинада t - ға пропорционал болатын есеп қарастырылады.Есептің автопішінді шешімі қатар түрінде, ал жуық шешімі интегралдық қатыныс арқылы алынған және олардың жақсы сәйкестігі үйлесімді интервал ішінде екендігі көрсетілген. Ары қарай екі мүшелік (пораболалық) сүзу заңы қарастырылады. Есептің автопішінділігі оны жуық шешімі сонымен қоса интегралдық қатынас әдісі арқылы табылған екі қарапайым теңдеуден тұратын жүйенің шешіміне апарып қоюымызға болады.
С.А.Агаеваның [4] жұмысында, түзусызықты галлереяда немесе скважинада қысым t - ға пропорционалды өзгергендегі сұйықтың сүзілісі кезіндегі бастаптқы градиенттің автопішінді шешімі алынған.
Жылжу градиентімен сұйықтың сүзілуі есебі үшін [3] жұмысы қарастырылады. Ньютондық емес мұнайдың фильтрациясы тәжірибелік зерттеу негізінде өндіріс шартындағы жылжу градиентінің анықталу әдісі қолданылады. Галереяға сұйықтың белгілі бір бөлігі құйылып жатқан жағдайда тұрақты қысым берілгенде жылжу градиентімен сығылатын ТПС-тың фильтрациялануы есебінің шешімін интегралдық қатынас есебін пайдаланып алған.
[1,2] жұмыстарда материалдық баланс қатынасынан шыққан шарт жылжымалы шекарада сызықтық емес заң бойынша сұйықтың фильтрациясы кезінде ашық және жабық зоналарға болінеді. Бұл қатынастар серпімді күйдегі ТПС [1,3] есебінің жуық шешімін алу әдісін құру үшін пайдалы болып шықты.Қатардың келтірілген сандық мәні қарапайым негізгі ТПС [3] фильтрациясы есебінің жуық шешімімен сәйкес келеді.
[7] жұмыста серпімді әлсіз сығылатын сұйық фильтрациясының уақытқа тәуелділігі теорисынан t үлкен болғанда Коши есебін шешу асимптоталық жағдайы қарастырылады. Бұл асимптотика екінші турдегі автопішінді шешім болып анықталады - ол үшін автопішіндік айнымалы өрнегінің дәрежелік көрсеткінің шамалық ұғынысымен емес, қарапайым дифференциалдық жүйені шешу барысындағы шешімді есептің шешіміне қою арқылы табылады. Сонымен автопішіндік айнымалы кейбір тұрақты сан болып табылады, жалпы айтқанда, интегралдық сақталу заңын пайдаланып табу мүмкін емес, автопішіндік бастапқы шартты пайдаланып сандық мәнін табу керек.
Уақытқа тәуелді газдың скважинаға ағымы есебінің жуық шешімі [10] жұмысында кедергі заңынан алынған; [9] жұмыста осындай уақытқа тәуелді заң үшін газдың фильтрациясы есебінің автопішінді жағдайы қарастырылған.
[4] жұмыста қатар негізіндегі тәжірибелерден газ фильтрацияланғандағы сызықтық әсер көріністері орнатылған , сонымен қатар, фильтрация заңы (жылжу градиентімен) шектік градиент моделімен жақсы жазылды. Сонымен қатар тәжірибелердің бірінде фильтрацияның сызықтық емес заңы анықталған, сондай-ақ гиперболалық немесе полигональдық модельдер [4]-ке қарағанда жақсы көрсетілген. Шектік градиентті модельдегі есептің шешімін интегралдық қатынас әдісін пайдаланып галереядағы газдың ағымын оған қысым берілгенде жуықталып шешілген.
[1, 3, 5, 9] жұмыстарда ТПС фильтрациясына арналған жылжу градиентінің қойылымын пайдалану ұсынысы қарастырылған. Сонымен қатар, мұнайдың құрылымды- механикалық қасиеті шекарада бір бастапқы шыққан орнында бірдей болмайды [1-3]. Сондай-ақ қазіргі заманғы практикада мұнай шығатын орындарда пластың үлкен көлемді үстіңгі салқын су қабатына шайқау әдісі кеңінен қолданылады, бұл елеулі түрде бастапқы шыққан жылы орнын білдіреді. Бұл өз жағынан ТПС- тың және фильтрация [7] шартының қасиетінің мәндерін өзгертеді. Сондақтан айнымалысы бар жылжымалы градиентті есепті теориялық және практикалық жағынан да қарастыруға қызуғушылық туады.
Есептің физикалық қойылымы.
Бірдей, изотропты, бірлік күшті және ені жартылай шексіз (немесе бірлік күшті, шексіз, разбуренный бір скважинада) пласт жылжымалы градиентті ТПС- пен толтырылған және кеңістік координатасынан тәуелді. Сұйық сығылатын сұйық болсын, онда пластағы қысым эксплуатацияланғанға дейін тұрақты және p0- ге тең болады. Уақыттың бастапқы моментінде пластың сол жақ соңында эксплуатацияланған галерея (эксплуатацияланған скважина радиусы rc=0), забойда немесе тұрақты қысымда тұратын немесе тұрақты дебитпен жұмыс істей бастайды. Сұйық жылжу градиентіне ие болып пласта екі зонаға бөлінеді: фильтрация зонасы және зона оның жоқ болуы, шекара бөлім аралығына l=lt; l0=0 (l0=rc=0) заңы бойынша бірте-бірте орналасады. Cұйық пластың берілген нүктесі үшін сыпатталған құрылымды-пластикалық қасиетке ие болады.
1 ТПС-ТЫҢ ФИЛЬТРАЦИЯСЫНЫҢ КЕЙБІР МЕХАНИКАЛЫҚ МОДЕЛДЕРІ.НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕРІ МЕН ҚАТЫНАСТАРЫ
Бұл тарауда ТПС фильтрациясының кейбір механикалық моделдері қарастырылады,бұл модельдер фильтрация жылдамдығының моделі мен қысым градиенті арасындағы эксперименталды(тәжірибелі) алынған тәуелділіктің белгілі өңдеуімен шартталған.Әрбір фильтрация моделінің шегінде фильтрация заңы(Дарси заңының аналогы) орнатылады,ола келешекте не қабаттың өткізгіштігі бойынша біртекті еместікпен,не сұйықтың әр түрлі қасиеттерімен байланысты,негізгі қатынастарды алу мен қабаттың серпінді және су тегеурінді(водонапорный) режимі жағыдайында қысымды анықтау үшін дифференциялдық теңдеулерді шығару үшін қолданылады.
10. А.Х Мирзаджанзаде [10] ТПС феноменологиялық сүзу теориясы эксперименталды(тәжірибелі) мәліметтерді өңдеу v=v(∇p) тәуелділігін түзу сызық түрінде көрсетуге негіз берді,ол абцисса өсінің оң жақ бөлігінде ∇p*=β тең кесінді кесіп өтеді(1-сурет).Бұл Мирзаджанзадеге ТПС фильтрациясының мынадай механикалық моделін ұсынуға мүмкіндік берді,ол үшін фильтрация заңы,Дарсидің жалпыланған заңы деп аталған,келесі түрде жазуға болады.
v=0, ∇p=g0-ku1-β∇p∇p, ∇pg0 , (1,1)
Мұндағы v-сүзу жылдамдығы, k-өткізгіштік коэффициенті, μ-сұйықтың тұтқырлығы β-қысым градиенті,ол жылжудың (сдвига) шектік кернеуінен өту үшін керек, ∇=ddx i + ddy j.
1-сурет
Дәл сол жерде ТПС-тың сызықты фильтрациясы кезінде β шектік градиентінің мәні мына қатынаспен
β =∇Ρкр=aτ0k0 (1.2)
анықталатыны белгіленген,мұндағы τ0-шектік жылжу кернеуі, k0-ауа өткізгіштік коэффиценті, a-белгілі тұрақты.
Осылайша ТПС фильтрациясы бастапқы жылжу градиенті бар ағыс моделін қолданған жағыдайда тек қысым градиенті белгілі бір шектік мәннен асқандағы обылыстарда ғана орындалатын болады,фильтрация моделін бастапқы жылжу градиентімен қолдана отырып [13-21] авторлар ТПС фильтрациясының дәл сол немесе басқа қойылымда кейбір есептерін шешкен болатын.
20. келесілері анығырақ,керек ортада ТПС ағысы бойынша тәжірибелер аз ғана фильтрацияның болатынын анықтады және қысым градиенттері кезінде шектік шамадан төмен.
2-сурет
Бұл жағдай ϑ=ϑ(∇p) тәуелділігі 2-суретте схематикалық кескінделген монотонды өспелі функциямен түсіндіруге (интерпретировать) мүмкіндік береді,бұл функция координата басы арқылы өтеді және абсица өсіне көлбеу асимптотасы бар.Онда келесі фильтрация суретін (картинасын) елестетуге болады.Аз қысым градиенті кезінде кеуек орта оте аз не елеусіз сұйық ағысы орын алады,бұл құбылыс қысым градиентінің белгілі (шектік) мәніне дейін қаралады.Қысым градиенті шектік мәніне жеткенде және одан асқанда ТПС фильтрациясында сапалық және сандық өзгерістер байқалады, фильтрация жылдамдығы күрт артады және қысым градиентінен түзу сызықты тәуелсіздікке асимптоталық шығады.
Алынған ϑ=ϑ(∇p) эксперименталды(тәжірибелі) тәуелділігінен ТПС фильтрациясының басқада механикалық моделдер қатарын ұсынуға болады.
30.модель1. ϑ=ϑ(∇p) графигі координаталар басынан өтетін белгілі бір қисықтықпен аппроксимацияланады.Бұл қисықтықтың бірінші бөлігі (AB) ТПС фильтрациясын қысым градиентінің аз кезінде сипаттайды,ал екінші (BC) қысым градиентінің көп кезінде көрсетілген ϑ=ϑ(∇p) қисығының полигоналды (полигональная) аппроксимацияланады 3-суретте үздік сызықтармен көрсетілген.
3-сурет
Осылайша ТПС фильтрациясының 1 моделі негізінде келесі жатыр: қысым градиентінің аз шамасы кезінде (шектік жағыдайға дейін) ТПС ағысы кеуек ортада Дарсидың сызықтық заңы бойынша жүреді,ал қысым градиентінің үлкен мәндері кезінде (шектік жағыдайдан жоғары) ТПС фильтрациясы Дарсидың жалпыланған заңы бойынша жүзеге асады[4.8].
Модель2. ϑ=ϑ(∇p) функциясының графигі ,қысым градиенті өзінің шектік мәнінен асып кетсе,түзу сызыққа асимптотикалық шығатын жағдайн ескеріп,оны сәйкес асимптотасы бар монотонды өспелі белгілі бір сызықпен аппроксимациялауға болады.ондай қисық ретінде шамасы,төбесі координата басында жататын және асимптотасы қысым градиентінің үлкен мәндері кезінде ϑ=ϑ(∇p) функциясының графигі шығатын түзумен сәйкес келетін гиперболаны алған ыңғайлы.
4-сурет
4-суретте бұл гипербола және оның асимптотасы үзік сызықпен бейнеленген.
Жоғарыда ұсынылған ϑ=ϑ(∇p) функция графигінің аппрокцимациясының екі тәсілімен бірге басқалары да болуы мүмкін[4.8],оны мысалы,координаталар басы арқылы өтетін қайсыбір дәрежелік немесе көрсеткіштік функциямен аппрокцимациялауға болады.
1.1 Полигональды аппроксимация. Модель1
10. Жоғарыда көрсетілгендей полигональды аппроксимация кезінде ϑ=ϑ(∇p) тәелділік графигі координата басынан өтетін белгілі бір қисықтықпен алмастырылады.Бұл қисықтықтың теңдеуін мына түрде келтіруге болады:
∇pβ кезінде, ϑ=d2∇p
∇pβ кезінде, ϑ=d0+d1∇p.
d0,d1және d2 параметрлері келесі түсініктерден анықталады.AB түзуі координата басынан өтетін болғандықтан (сурет 3 ті қара) және де аз қысым градиенті кезінде ТПС фильтрациясын кеуек ортада сығылмайтын сұйық ағысы кезінде Дарсидың сызықты заңына ұқсас сипаттайтын болғандықтан,онда d2=kν өрнегін қабылдау табиғи,мұнда ν-аз қысым градиенті кезіндегі ТПС тың динамикалық тұтқырлығы.Ары қарай BC түзуі ТПС фильтрациясын үлкен қысым градиентінде спаттайды,бұл кезде кеуек ортада сұйық ағыны Дарсидың жалпылнған заңына бағынады(1.1).онда бұл түзудің бұрштық коэффиценті kη-ге тең болады,яғни d1=kη.
d0 параметрі ТПС фильтрациясының жылдамдығының үзіліссіздік шарты бойынша қысым градиенті шектік шамаға тең кезде (∇p=∇pкр=β ) оңай анықталады,онда
kν β=d0+kη β .
Осы жерден d0=-kη β η0 ,мұнда η0=1-ην. Осылайша
ϑ=kν∇p, ∇pβ кезінде.
ϑ=kη(∇p-β η0 ) ∇pβ кезінде.
Демек,қарастырылып отырған ТПС ағысының моделінде кеуек ортаға фильтрация жылдамдығы былай жазылады:
ϑ=-kν∇p, ∇pβ кезінде (1.3)
ϑ=-kη(1-β η0∇p )∇p, ∇pβ кезінде (1.4).
20.Түр (порода) серіппелі болсын,ал ТПС тамшылы-сығылмалы сүйық класына жататын болса,онда
dm= β0 dp немесе m= m0+βс (p-p0) ,
ал dγγ = βжdp немесе γ= γ0еβж (p-p0) ≅γ0[1+βж(p-p0) ],
мұнда m-кеуектілік коэффиценті, γ-сұйық тығыздығы, m0 және γ0- p0 атмосфералық қысым кезінде сәйкес кеуектілік пен тығыздықтың коэффиценттерінің мәндері, βс,βж-сәйкес түр(порода) мен сұйықтың көлемдік серіппелік коэффиценттері.
Сондықтан ,
m γ=γ0[m0+β* (p-p0) ] (1.5)
мұнда β* =βс+m0βж-пластын (упругоемкости) коэффиценті.
dp=1βж. dγγ болғандықтан ,онда ∇=1γβж∇ γ.
Осылайша,
γ∇p=1βж∇ γ≈γ0∇p (1.6).
Онда фильтрациялық ағынның үзіліссіздік теңдеуі
div(γϑ) =-ddt(m γ) (1.7)
(1.3), (1.4), (1.5) және (1.6) қатынастарын ескерсек,мына түрге ие болады.
div(kν∇p) =β*dpdt , ∇pβ кезінде (1.8)
div[kη(1-β η0∇p)∇p ]=β*dpdt , ∇pβ кезінде (1.9)
(1.8) және (1.9) қабаттың серіппелі режимі кезінде қысымды анықтаудың дифференциялдық теңдеулері болып табылады,қабаттың (пластың) сутегеурінді режимі жағдайында (түр және сығылмайтын сұйықтар) дифференциялдық теңдеулері (1.8) және (1.9) келесі түрге ие:
div(kν∇p) =0 , ∇pβ кезінде (1.10)
div[kη(1-β η0∇p)∇p ]=0 , ∇pβ кезінде (1.11)
30.Қабат екі ТПС пен толтырылсын және бір ТПС-тан екіншісіне поршендік ығыстыру жүргізілсін,онда сұйық бөлімінің шекарасында келесі түйіндестік шарттар орын алады:қысымдардың теңдігі
p1=p2 (1.12)
және фильтрацияның массалық жылдамдықтарының нормаль құраушыларының теңдігі
γ1ϑ1n=γ2ϑ2n (1.13)
Мұнда, p1 және p2, γ1 және γ2-сәйкес сұйық бөлімінің шекарасынан бір жағы мен екінші жағы бойынша қысым мен тығыздықтар
ϑ1n =-kν1dp1dn, (1.14)
ϑ2n=-kν2dp2dn, (1.15)
∇p1.2β1.2 кезінде
ϑ1n=-kη1(1-β1 η10∇p1)dp1dn, (1.16)
ϑ1n=-kη2(1-β2 η20∇p2)dp2dn, (1.17)
∇p1.2β1.2кезінде,сәйкес фльтрация жылдамдығының нормаль құраушылары, ddη - сұйық бөлімінің шекарасына нормаль ағыты бойынша туынды, ϑ1, ϑ2 және η1, η2 - бөлім шекарасынан екі жағы бойынша сәйкес жылдамдық тұрақтылары.
Тамшылы-сығылмалы. ТПС үшін (1.13) шарты келесі түрге ие болады:
γ10[1+β1ж(p1-p0) ]ϑ1n=γ20[1+β2ж(p2-p0) ]ϑ2n (1.18)
Егер ТПС шамамен көлемдік серпінділік коэффиценері тең болса,
онда (1.18) қатынасы оңайлаылады және келесі түрде жазылады
γ10ϑ1n=γ20ϑ2n (1.19)
Әрине,соңында сығылатын және бірдей тығыздыққа ие ТПС үшін алаынымыз:
ϑ1n=ϑ2n (1.20)
(1.18), (1.19) және (1.20) қатынастарында ϑ1n жәнеϑ2n қатынастарында фльтрация жылдамдығының нормаль құраушылары ∇p шамасына тәуелді (1.14), (1.15), (1.16) және (1.17) түрге ие болады.Егер ∇p1.2β1.2 ,онда (1.14) және (1.15) формулаларын қолдану керек,егер ∇p1.2β1.2 онда -(1.16) және (1.17) формулаларын,егер ∇p1β1 ,ал ∇p2β2 онда (1.15) және (1.16) формулалары орындалады.
Егер біртекті өтімділігі бойынша,макро-біртекті кеуек ортада фильтрленсе,онда біртектілік бөлімінің шекарасында келесі (сопрежение) шарттары орын алады:
∇p1=∇p2 (1.20)
немесе
k1dp1dη=k2dp2dη, ∇p1.2 β кезінде (1.21)
немесе
k1(1-βη0∇p1)dp1dη=k2(1-βη0∇p2)d p2dη, ∇p1.2β кезінде (1.22)
Мұнда k1 және k2 -біртектілік болімінің шекарасының екі жағы бойынша да өтімділік коэффицентері.
ddη - біртектілік бөлімінің шекарасына нормаль бағыты бойынша туынды.
40.Жоғарыда келтірілгендермен қатар ∇p =β орындалатын сызықтан өту кезінде,яғни жоғарылатылған (∇pβ )және төмендетілген (∇p β) тұтқырлықтың зона бөлімінің шекарасы арқылы өту кезінде қысым мен қысым градиентінің үзіліссіздік шартын сақтау керектігін есте сақтау қажет,ал дәлірек
pν=pη, ∇pν=∇pη= β (1.23)
Мұнда pν және pη-сәйкес жоғарылатылған және төмендетілген тұтқырлық зоналарының қысымдары.
1.2 Гиперболалық аппроксимация.Модель.2
10 ϑ=ϑ(∇p) функционалдық тәуелділігін зерттеу кезінде оның графигі үлкен қысым градиенттері кезінде түзу сызыққа асимптотикалық шығатыны(4-суретті қараңыз) жоғарыда ескертілген болатын.Бұл жағыдай ϑ=ϑ(∇p) -ны келесі түрдегі гиперболамен аппроксимациялауға мүмкіндік береді.
ϑ=ba a 2+(∇p) 2- b,
Бұл гиперболаның асимптотасы мына қатынаспен анықталады:
ω=ba∇p- b.
Егер гиперболаның асимптотасы Дарсидың жалпылама заңын (1.1)
алудың негізіне жататын түзу ретінде қарастырылса, онда белгісіз тұрақтылар толық анықталады (1-суретті қараңыз),ал дәлірек
ω=kη(∇p-β ).
Онда
a= β, b=kη β.
Демек,ТПС ағынының ұсынылып отырған моделінде кеуек ортада фильтрация жылдамдығы былай болады
ϑ=-kη[ β 2+∇p 2- β]∇p∇p . (1.24)
20Егер бұрынғыша түрді серпінді деп,сұйықты тамшылы-сығылатын деп санасақ,онда (1.7) фильтрациялық ағынның үзіліссіздік теңдеуі (1.5), (1.6) және (1.24) қатынастарын ескеріп келесі формулада жазылады
div{kη[ β 2+∇p 2- β]∇p∇p}=β*dpdt (1.25)
Алынған (1.25) теңдеуі қабаттың серпінді режимі жағыдайында қысымды анықтау үшін дифференциялды теңдеу болып табылады,қабаттың сутегеурінді режимі үшін (γ мен m -тұрақтылар). (1.25) дифференциялды теңдеуі мына түрде болады
div{kη[ β 2+∇p 2- β]∇p∇p}=0. (1.26)
30.Қабатта бір ТПС-тің екіншісіне поршенді ығысуы жүзеге ассын дейік,онда сұйық бөлімінің шекарасында (контактіде) (1.12) және (1.13) түйіндестік шарты орын алады,онда
ϑ1n=-kη1[ β1 2+∇p 2- β1]∇p1. dp1dn, (1.27)
ϑ2n=-kη2[ β2 2+∇p 2- β2]∇p2. dp2dn, (1.28)
ТПС қасиетіне байланысты (1.13) шарты (1.18) не (1.19) ,немесе (1.20) түріне ие болуы мүмкін.
Егер біртекті ТПС фильтрациясы өткізгіштік бойынша бөлікті-біртекті кеуек ортада жүрсе,онда біртектілік бөлімінің шекарасында келесі түйіндестік шарты орын алады
p1=p2
k1[ β2+∇p1 2- β]∇p1 . dp1dn=k2[ β2+∇p2 2- β]∇p2 . dp2dn (1.29)
2 СУТЕГЕУРІНДІ РЕЖИМ КЕЗІНДЕ ОРНАТЫЛҒАН ФИЛЬТРАЦИЯ. НЬЮТОНДЫҚ ТПС-ТЫ ЫҒЫСТЫРУ
Бұл тарауда горизонтальды изотропты және біртекті қабаттардағы Ньютондық ТПС-тың поршендік ағуының негізгі бірөлшемді есептері қарастырылады,ол қабаттар тұрақты қуат және өткізбейтін жабын (кровля) мен табанға (подошва) ие.Есепті шешу брысында фильтрацияның бірінші және екінші моделдері қолданылады,сонда алынған нәтижелер Ньютондық СС (сығылмайтын сұйық)-ты ығыстыру бойынша сәйкес келетін есептер шешімдерімен салыстырылады.
Бұл тарауда горизонтальды изотропты және біртекті қабаттардағы Ньютондық ТПС-тың поршендік ағуының негізгі бірөлшемді есептері қарастырылады,ол қабаттар тұрақты қуат және өткізбейтін жабын (кровля) мен табанға (подошва) ие.Есепті шешу брысында фильтрацияның бірінші және екінші моделдері қолданылады,сонда алынған нәтижелер Ньютондық СС (сығылмайтын сұйық)-ты ығыстыру бойынша сәйкес келетін есептер шешімдерімен салыстырылады.
2.1 Түзу сызықты-параллелді ағыс
1. Физикалық суреті.Қуаты және ені бойынша бірлік қабат,h ұзындығы бар тұтқырлы-пластикалық және Ньюондық сұйықтар мен толтырылған.Сол жақ соңында тұтынымдық галерея жұмыс жасайды,оң жағында-баспалық.Баспалық галерея арқылы қабатқа СС(сығылмайтын сұйық) келіп түседі,ол ТПС-тың поршендік ығысуын жүзеге асырады.Екі сұйық та және түр де сығылмайтын деп болжанады.
Жасалған болжамдар барысында қабатта түзусызықты-параллелді ағыс жүзеге асатын болады,ТПС және СС бөлімінің шекарасындағы қысым мен түйіндестік шартын анықтау үшін дифференциялдық теңдеулер әр түрлі формада жазылады,олар сәйкесінше фильтрация моделін шешуге қолданылады.
Модель1.ТПС-пен толтырылған аймақта (0=x=ξ)фильтрация жылдамдығы және дифференциялдық теңдеу мына түрге ие:
ϑ1ν (1)=-kν1dp1ν(1)dx егер dp1(1)dxβ1, (2.1)
ϑ1ν (1)=-kη1(dp1η(1)dx-β1η10) егер dp1(1)dxβ1; (3.2)
ddx[1ν1(dp1ν(1)dx) ] =0 егер dp1(1)dxβ1, (2.3)
ddx[1η1(dp1η(1)dx-β1η10)] =0 егер dp1(1)dxβ1. (2.4)
(2.3) және (2.4) теңдеулерінің жалпы шешімдері
p1ν1x,t=a01t+ν1a1(1)tx, (2.5)
p1η1x,t=b01t+η1b11t+β1η10x. (2.6)
СС (сығылмайтын сұйықпен) толтырылған аймақта (ξ=x=L),фильтрация жылдамдығы мен дифференциялдық теңдеу келесі түрде
ϑ2 (1)=-kμ2dp2(1)dx, (2.7)
ddx[1μ2(dp2(1)dx] =0. (2.8)
(2.8) теңдеудің жалпы шешімі
p21x,t=c01t-μ2c11t(L-x). (2.9)
ТПС және СС бөлімінің шекарасында түйіндестік шарты x= ξt ξ0=ξ0=L
p1ν1=p21,
1ν1dp1ν(1)dx=1μ2dp2(1)dx, (2.10)
dp1(1)dxβ1болғанда,және
p1η1=p21,
1 η1dp1η(1)dx-β1η10=1μ2dp2(1)dx, (2.11)
dp1(1)dxβ1 болғаны.
Модель2.ТПС-пен толтырылған аймақта (0=x=ξ)фильтрация жылдамдығы және дифференциялдық теңдеу мына түрге ие болады:
ϑ1 (2)=-kη1β12+(dp1(2)dx)2-β1; (2.12)
ddx1 η1 β12+(dp1(2)dx)2-β1=0 (2.13)
(3.13) теңдеудің жалпы шешімі
p12(x,t) =a02t+ (β1+η1a12t)2-β12x. (2.14)
СС (сығылмайтын сұйықпен) толтырылған аймақта ,фильтрация жылдамдығы және дифференциялдық теңдеу сәйкесінше былай жазылады
ϑ2 (2)=-kμ2dp2(2)dx (2.15)
ddx 1μ2dp2(2)dx=0. (2.16)
(3.16) теңдеудің жалпы шешімі
p22(x,t) =c02t-μ2c11t(L-x). (2.17)
болады.
ТПС және СС бөлімінің шекарасында түйіндестік шарты x =𝜉t
p12 =p22,
1η1[β12+(dp1(2)dx)2-β1] =1μ2dp2(2)dx (2.18)
20.Есеп 1.Тұтынымдық галереяда pг қысым сақталып тұрсын,ал баспалық (нагнетательной) галереяда қысым-pk;сонымен бірге pkpг.Бастапқы уақыт мезетінде сұйықтар арасындағы бөлімнің шекарасы тұтынымдық галереядадан ξ0 қашықтықта болады,қысымның қабат бойынша бөлінуін ,сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстырыу заңы және тұтынымдық галереяның q дебитін анықтау керек.
Бұл есеп таңдалған фильтрация моделіне байланысты әр түрлі математикалық қойылымдар мен шешу формаларына ие болады.
Модель1.Осы фильтрация моделінде есепті шешу кезінде ТПС-пен толтырылған обылыста ығысудың барлық уақытында қысым градиентінің келесі әртүрлі мәндері болуы мүмкіндігін ескеру керек:
Не dp1(1)dxβ1, не dp1(1)dxβ1,не алдымен dp1(1)dxβ1,ал сосын t0(x =𝜉t) уақыт моментінен бастап ығысудың соңына дейін dp1(1)dxβ1.Онда есеп мүмкін болатын жағыдайлардың әрқайсына сәйкес шешімге ие болады.
Төменде болжамның ең соңғы жағыдайы үшін есеп қарастырылады,
ν1η1μ1 болады.Ығыстырудың тізбектей кезеңдері 5-суретте көрсетілген.
Есептің математикалық қойылымы (2.4), (2.5) және (2.8) теңдеулер шешімін табу,және де ξ(1)=ξ(1)tөзгеру заңын анықтау және q дебитті мына шарыттарда анықтау:
ξ0=ξ(1)ν=x0болса,онда p(1)1ν0,t=pг, p(1)2L,t=pк, x=ξ(1)νtξ(1)ν0=ξ0=L де (3.10) түйіндестік шарты орын алады;
x0=ξ(1)η=0 болса,онда p(1)1η0,t=pг, p(1)2L,t=pк, x=ξ(1)ηt ξ(1)ηt0=ξ(1)ηt0=x0 де (2.11) түйіндестік шарты орын алады.
Есептің шешімі ξ(1)=ξ(1)t сұйық бөлімі шекарасының жағыдайына сәйкес кезең-кезңімен өтеді.
5-сурет
ξ0=ξν(1)=x0болсын.онда есептің шешімін (2.5) және (2.9) түрінде іздеп,алатынымыз
p1ν(1)x,t=pг+ν1(pк-pг)ν1ξν(1)+μ2(L- ξν(1)) x, (2.19)
p2(1)x,t=pк+μ2pк-pгν1ξν1+μ2L-ξν1(L- x), (2.20)
qν(1)=kν1dp1ν(1)dx⎢x=0=k(pк-pг)ν1ξν (1)+μ2(L-ξν(1)) . (2.21)
x=x0 шамасын табу үшін мына шартты қолданамыз:
dp1ν1dx⎢ξν1=x0=ν1pк-pгν1x0+μ2L-x0=β 1,
Бұдан
x0=ν1(pк-pг)β2(ν1-μ2) -μ2Lν1-μ2 . (2.22)
ξν1=ξν1t өзгеріс заңы келесі қатынастан анықталады:
-mdξν1dt=kμ2dp2(1)dx⎢x=ξν1=kμ2.μ2(p к-pг)ν1ξν(1)+μ2(L-ξν(1)) .
Онда ξν10=ξ0 екенін ескеріп алатынымыз
t=mkpк-pг [μ2Lξ0-ξν1+ν1-μ22 ξ02-ξν12]. (2.23)
ξν1=x0 мәнін (3.23) ке қойып, t=t0 ығысудың бірінші фазасының ұзақтығын табамыз,дәлірек
t0=mkpк-pг [μ2Lξ0-x0+ν1-μ22 ξ02-x02]. (2.24)
Енді 0=ξη1=x0 болсын,онда шешімді (3.6) және (3.9) түрінде іздеп табатынымыз
p1η(1)x,t=pг+pк-pгη1+β1η10μ2(L-ξη(1 ))η1ξη(1)+μ2(L-ξη(1)) x, (2.25)
p2(1)x,t=pк-pк-pгμ2-β1η10μ2ξη(1)η1ξ η1+μ2L-ξη1(L-x), (2.26)
qη(1)=kη1[dp1η1dx-β1η10]x=0=k[pк-pг -β1η10ξη(1)]η1ξη(1)+μ2(L-ξη(1)) . (2.27)
ξη1=ξη1t сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңын келесі шарттан анықтаймыз
-mdξη1dt=kμ2dp2(1)dx⎢x=ξη1=kμ2.(pк- pг)μ2-β1η10μ2ξη(1)η1ξη(1)+μ2(L-ξη(1 )) .
Бұл жерден ξη1t0=x0 екенін ескеріп алатынымыз
t=t0-m(η1-μ2)k β1η10x0-ξη1+m[β1η10μ2L+(η1-μ2)pк-pг ]kβ12η102 ln(pк-pг)-β1η10ξη(1)(pк-pг)-β1η10x0 . (2.28)
(2.28) де ξη1=0 деп есептеп ТПС-тың толық ығысу уақытын табамыз
T1=t0-mη1-μ2kβ1η10x0+
m[β1η10μ2L+(η1-μ2)pк-pг]kβ12η102 lnpк-pг(pк-pг)-β1η10x0. (2.29)
x0=0 болсын,яғни қабатта зона болмайды, dp1(1)dxβ1. (2.22) қатынасында x0=0 деп есептеп ,алатынымыз
pк-pг0=μ2ν1Lβ1. (2.30)
Бұл жағыдайда қысымның бөлінуі,дебит және сұйық бөлімінің шекарасының орын ауыстыру заңы сәйкесінше (2.19), (2.20), (2.21) және (2.29) формулаларынан анықталады:
Tν(1)=mkpк-pгμ2Lξ0+ν1-μ22 ξ02. (2.31)
Егер x0=ξ0 болса, яғни қабатта зона жоқ болса, dp1(1)dxβ1,онда (2.22) қатынасында x0=ξ0 деп есептеп табатынымыз
pк-pгξ0=ξ0β1+μ2ν1(L-ξ0)β1. (2.32)
Онда қысымның бөлінуі және дебит сәйкесінше (2.25), (2.26) және (2.27) формулаларымен табылады,сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңы мен ТПС-тың толық ығысу уақыты сәйкес былай жазылады:
T=-mη1-μ2k β1η10ξ0-ξη1+
m[β1η10μ2L+(η1-μ2)pк-pг]kβ12η102 ln(pк-pг)-β1η10ξη(1)(pк-pг)-β1η10ξ0 , (2.33)
Tη1=-mη1-μ2kβ1η10ξ0+
m[β1η10μ2L+(η1-μ2)pк-pг]kβ12η102 lnpк-pг(pк-pг)-β1η10ξ0. (2.34)
Осылайша,егер pк-pг0=pк-pг,онда қабатта барлық жерде dp11dx=β1,және қысымды,дебитті ,сұйық бөлімінің шекарасының орын ауыстыру заңын және ТПС-тың толық ығысу уақытын табу үшін (2.19), (2.20), (2.21), (2.23) және (2.31) формулаларын қолдану керек.Егер pк-pгξ0=pк-pг болса,онда қабаттың кез-келген нүктесінде dp11dx=β1,және қысым бөлінісі дебит,сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңы және ТПС-тың толық ығысу уақыты (2.25), (2.26), (2.27), (2.33) және (2.34) қатынастары мен анықталады,егер pк-pгξ0pк-pгpк-pг0,онда қабатта ξ0=ξ1=x0 кезінде dp11dxβ1,ал x0=ξ1=0 кезінде dp11dxβ1.
Бұл жағдайда қысым , дебит,сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңы және ТПС-тың толық ығысу уақыты (2.19), (2.20), (2.21), (2.23),(2.25), (2.26) (2.27) (2.28) және (2.29) қатынастары мен анықталады.
Модель 2.Есептің математикалық қойылымы (2.13) және (2.16) теңдеулерінің шешімдерін табу және де ξ2=ξ2t өзгеру заңын анықтау және q дебитті P1(2)0,t=pг , P2(2)L,t=pк шарттарда анықта, x=ξ2t, ξ20=ξ0=L та (3.18) түйіндестік шарттары орын алады.
Егер есептің шешімін (2.14) және (2.17) түрінде іздесек,онда қабаттағы қысым бөлінуі,тұтынымдық галерея дебиті
P1(2)x,t=pг+β1+η1a1(2)t2-β12x, (2.35)
P2(2)x,t=pк-μ2a1(2)tL-x, (2.36)
q2=kη1β12+(dp1(2)dx)2-β1x=0 =ka1(2)ξ2, (2.37)
Қатынастарымен анықталады,мұнда
a12ξ2=μ2L-ξ2pк-pг+η1β1ξ22μ22L-ξ22-η 12ξ22-
ξ2β12[η12ξ22-μ22L-ξ22]+[η1pк-pг+β1μ 2L-ξ2]2μ22L-ξ22-η12ξ22 . (2.38)
ξ2=ξ2t өзгеріс заңы бойынша
-mdξ2dt=kμ2dp2(2)dx⎢x=ξ2=ka1(2)ξ2,
Қатынасынан табылады,мұнда t=0 кезінде ξ2=ξ0 екенін ескеріп алатынымыз
t=mkξ2ξ0dξ2a1(2)ξ2 2,39
Егер 2,39 өрнегінде интегралдың төменгі шегін нольге теңестіріп алсақ,онда ТПС-тың толық ығысу уақты T2-ні аламыз.
a1(2),q және t шамаларын 2,38, 2,37 және 2,39 формулалары бойынша есептеу β1 аз мәндері үшін ықшамдалуы мүмкін,ал дәлірек түбір астындағы өрнектің бірінші мүшесін ескермей β12-аз,алсақ
a1(2)=(pк-pг)-β1ξ(2)η1ξ(2)+μ2(L-ξ(2 )), 2,40
q1(2)=k[(pк-pг)-β1ξ(2)]η1ξ(2)+μ2(L- ξ(2)), 2,41
t=mkξ2ξ0μ2L+(η1-μ2)ξ2(pк-pг)-β1ξ(2)
dξ2=- mη1-μ2kβ1ξ0-ξ2+
m[β1μ2L+η1-μ2(pк-pг)]kβ12ln(pк-pг)- β1ξ2(pк-pг)-β1ξ0 2,42
T2 =- mη1-μ2kβ1ξ0+m[β1μ2L+η1-μ2(pк-pг)]kβ 12ln(pк-pг)(pк-pг)-β1ξ0. 2,43
Дәл осы шарттар кезінде μ1тұтқырлығы бар СС (сығылмайтын сұйық) тың басқа μ2 тұтқырлыққа ие СС ығыстыруы жағыдайнда
P1*x,t=pг+μ1(pк-pг)μ1ξ*+μ2(L-ξ*)x, (2.44)
P2*x,t=pк-μ2(pк-pг)μ1ξ*+μ2(L-ξ*)L-x , (2.45)
q*=k(pк-pг)μ1ξ*+μ2(L-ξ*), (2.46)
t*=mk(pк-pг)[μ2Lξ0-ξ*+μ1-μ22ξ02-ξ*2 ], (2.47)
T*=mk(pк-pг)[μ2Lξ0+μ1-μ22ξ02]. (2.48)
Төменде бірінші және екінші фильтрация моделдерін қолдану кезіндегі ТПС-тың толық ығысу уақыты мен дебиттерінің сәйкесінше СС-тың толық ығысу уақыты мен дебиттерімен салыстыру нәтижелері келтіріледі.Бұл ретте салыстыру сұйық бөлімі шекарасының бірдей қалпы үшін беріледі ξν1=ξη1=ξ*=ξ және ТПС-тың η1 тұтқырлығы СС-тың μ1 тұтқырлығына тең деп саналады.
q*-qν(1)=k(pк-pг)(ν1-μ2)ξ[μ1ξ+μ2(L- ξ)][ν1ξ+μ2(L-ξ)], 2,49
q*-qη(1)=β1η10ξη1ξ+μ2(L-ξ), 2,50
q*-q2=β1ξη1ξ+μ2(L-ξ), 2,51
Tν(1)-T*=mk(pк-pг).ν1-μ12ξ02. (2.52)
Tη1-T*=mβ1η10μ2L+η1-μ2pк-pгkβ12η102 ln pк-pгpк-pг-β1η10ξ0-mη1-μ2kβ1η10ξ0-m k(pк-pг)[μ2Lξ0+μ1-μ22ξ02] , 2,53
T2-T*=m[β1μ2L+η1-μ2(pк-pг)]kβ12ln pк-pг(pк-pг)-β1η10ξ0-mη1-μ2kβ1ξ0-mk (pк-pг)[μ2Lξ0+μ1-μ22ξ02] . 2,54
Алынған нәтижелерден барлық шарттарға Ньютондық ТПС ығысуы кезінде тұтынымдық галерея дебиті Ньютондық СС ығысуы жағдайындағы дебиттен кем болатындығы,ал ТПС-тың толық ығысу уақыты СС-тың толық ығысу уақытынан артық болатыны шығады.
30.Есеп 2.Баспалық галереяда pк қысым берілген болсын және тұтынымдық галереяның бастапқы моментінде сұйықтар арасындағы бөлім шекарасы тұтынымдық галереядан ξ0 қашықтықта болсын,қабат бойынша қысым бөлінуін табу керек,сондай-ақ сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңын табу керек.
Мұнда да алдынғы есептегі сияқты математикалық қойылымы және шығару формуласы таңдалған фильтрация моделіне тәуелді болады.
Модель 1.Бұл фильтрация моделінде есепті шешу барысында 2 жағдай болуы мүмкін:1) ТПС-пен толтырылған зонадада қозғалыстың барлық уақытында dp11dxβ1,2) dp11dxβ1.Онда әрбір жағдай үшін есептің өз математикалық қойылымы және оның шешімі бар болады.
Жағдай 1.Есептің математикалық қойылымы (2.3) және (2.8) теңдеулерінің шешімін табу,сондай-ақ ξ(1)ν=ξ(1)νt заңын анықтау келесі шарттарда P2(1)L,t=pк,q=kν1dp11dx ⎮x=0 , x=ξ(1)νt,( ξ(1)ν0=ξ0=L) (2.10) түйіндестік шарттары орындалады.
Есептің шешімін (2.5) және (2.9) үрінде іздеп аламыз
P1ν(1)x,t=pк-qμ2kL-ξ1ν-qν1kξ1ν-x, (2.55)
P2ν(1)x,t=pк-qμ2kL-x, (2.56)
ξ(1)ν=ξ(1)νt өзгеріс заңы мына қатынастан анықталады
-mdξ(1)νdt=kμ2dp2ν(1)dx⎢x=ξ(1)ν=q.
Мұнда ξ(1)ν0=ξ0=L екнін ескеріп табамыз:
ξ(1)ν=ξ0-0tqtm dt 2,57
Жағдай 2.Есептің математикалық қойылымы (2.4) және (2.8) теңдеулерінің шешімін табу және де ξ(1)η=ξ(1)ηt өзгеріс заңын анықтау
P2η(1)L,t=pк,q=kη1(dp1η1dx-η10β1)⎮x =0 , x=ξ(1)ηt,( ξ(1)η0=ξ0=L) шарттарында (2.10) түйіндестік шарттары орындалады.
Есептің шешімін (2.6) және (2.9) түрінде іздеп аламыз
P1η(1)x,t=pк-qμ2kL-ξ1η-(qη1k+η10β1) ξ1η-x, (2.58)
P2η(1)x,t=pк-qμ2kL-x, (2.59)
ξ(1)η=ξ(1)ηt сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстыру заңы (2.57) формуласымен табылатын болады,мұнда ν индексін η-мен алмастыру керек.
Модель 2.Есептің математикалық қойылымы (2.13) және (2.16) теңдеулерінің шешімін шешімін табу және де ξ(2)=ξ(2)t өзгеріс заңын анықтау.
P2(2)L,t=pк,q=kη1β12+(dp12dx)2-β1)x =0,
шарттары кезінде x=ξ(2)t ξ(2)0=ξ0=L те (2.18) түйіндестік шартары орын алады.
Есептің шешімін (2.14) және (2.17) түрінде іздеп аламыз.
P1(2)x,t=pк-qμ2kL-ξ(2)-β1+qη1k2-β12 ξ(2)-x, (2.60)
P2(2)x,t=pк-qμ2kL-x. (2.61)
ξ(2)=ξ(2)t сұйық бөлімі шекарасының орын ауыстру заңы (2.57) формуласымен табылатын болады,онда ν индекісі жазылмайды,ал (1) ,(2) мен алмастырылады.
Дәл осы шарттар кезінде μ1тұтқырлығы бар СС-тың басқа μ2 тұтқырлыққа ие СС-ты ығыстыруы кезінде білетініміз
P1*x,t=pк-qμ2kL-ξ*-qμ1kξ*-x, (2.62)
... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz