Тейлор қатары. Жалғыздық теоремасы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

Тейлор қатары. Жалғыздық теоремасы

Лекция мақсаты: Аналитикалық функцияларды Тейлор қатарына

жіктеу әдісімен, алгебраның негізгі теоремасымен

және аналитикалық функцияның жалғыздық

теоремасымен танысу.

Лекция жоспары:

1. Аналитикалық функцияларды Тейлор қатарына жіктеу.

2. Алгебраның негізгі теоремасы.

Лекция мәтіні:

1. Аналитикалық функцияларды Тейлор қатарына жіктеу.

Теорема1: Аналитикалық функцияны облыстың әрбір ішкі нүктесінде жинақталу радиусы а нүктеден облыс шекарасына дейінгі ең қысқа қашықтықтан кем болмайтын Тейлор қатарына жіктеуге болады.

(1)

Функция облыс - да аналитикалық, нүкте осы облыстың кез келген ішкі нүктесі болсын.

- дан облыс - ның шекарасына дейінгі ең қысқа қашықтықты арқылы белгілейік. Центрі - нүктеде жатқан, радиусы - ға тең шеңбер жүргіземіз және оның ішінде еркін бір нүкте - ті аламыз. Содан соң нүктенің төңірегінде екінші шеңбер - ны сызамыз. Бұл шеңбердің - ең қысқа қашықтық - дан кіші. Алайда нүкте - ның ішінде жататындай жеткілікті үлкен. Функция - ны өз ішіне алатын облыс - да аналитикалық болғандықтан Кошидің интегралдық формуласына сәйкес

(2)

Интеграл астындағы бөлшекті - ті мынадай түрлендіреміз.

(3)

Нәтижеде геометриялық прогрессия алдық.

, ,

Демек, болғандықтан, жоғарыда алынған прогрессия жинақталады.

(3) - тің екі жағын - ға көбейтіп, келесіні аламыз.

(4)

Егер интегралдау қисығында қатар бірқалыпты жинақталса, онда комплекс қатарлар үшін шеңберде (4) қатардың бірқалыпты жинақталатынын дәлелдеуге болады. Енді функцияның ерекше нүктелері белгілі болғанда, Тейлор қатарының жинақталу радиусын анықтайық. Бұл үшін келесі анықтаманы енгіземіз.

Анықтама: нүкте функцияның регулярлы нүктесі деп аталады, егер оның қандай да бір маңайында функция аналитикалық болса.

нүкте функцияның ерекше нүктесі деп аталады, егер функция аналитикалық болмаса.

Егер функция облыста аналитикалық болса, онда облыстың әрбір ішкі нүктесі функцияның регулярлы нүктесі болады. Функцияның үзіліс нүктелері және тармақталу нүктелері ерекше нүктеге мысал бола алады.

Шынында да, үзіліс нүктелерінің және тармақталу нүктелерінің қандай да кіші маңайын алмайық, ол бұл нүктеде не функцияның , не бірмәнділігі бұзылады.

Мысалы: , үзіліс нүктесі және тамақталу нүктесі. Осы нүктеден өзге ақырлы нүктелері регулярлы нүкте, тармақталу нүкте болатынын оңай тексеруге болады.

Егер функцияның ерекше нүктелері белгілі болса, онда оның

- ның дәрежелері бойынша жіктелуінің жинақталу радиусын былай табуға болады.

Функцияның ерекше нүктелері оның аналитикалығының облысы үшін шекаралы болады. Сондықтан алдыңғы теоремаға сәйкес Тейлор қатарының жинақталу радиусы нүктеден функцияның нүктеге жақын ерекше нүктеге дейінгі қашықтықтан кем емес. Алайда, жинақталу радиусы бұл қашықтықтан үлкен бола алмайды. (Үлкен болған жағдайда ерекше нүкте жинақталу дөңгелегінің ішіне түсіп қалады. )

Алдыңғы лекциядағы теоремаға сәйкес дәрежелік қатардың қосындысы жинақталу дөңгелегінде аналитикалық. Сондықтан онда функцияның ерекше нүктесі болуы мүмкін емес. Сонымен біз келесі теореманы дәлелдедік.

Теорема 2 : Функцияны - ның дәрежесі бойынша Тейлор қатарына жіктеудің жинақталу радиусы нүктеден функцияның жақын жатқан ерекше нүктесіне дейінгі қашықтыққа тең.

Мысалы: функцияны -дің дәрежесі бойынша жіктеудің алғашқы екі мүшесін және қатардың жинақталу радиусын табайық.

Шешуі:

Есептің шартына сәйкес біз мына қатарды алуымыз қажет:

туындыны таба, және - де - тің орнына 1 санын қоя келесіні табамыз.

Демек, таппақшы болған жіктеуіміз келесіге тең:

Қатардың жинақталу радиусын табу үшін функцияның ерекше нүктелерін анықтаймыз. Бұл үшін түбір астындағы өрнекті және логарифм белгісі астында тұрған өрнекті 0 -ге теңестіріп табамыз.

, тармақталудың алгебралық нүктесі.

және тармақталудың логарифмдік нүктесі.

нүктеден ерекше нүкте - ге дейінгі қашықтық 2 - ге тең, ал еркше нүктеге дейінгі қашықтық - ге тең. Бұл қашықтықтардың ең қысқасы - ге тең. Демек, жинақталу радиусы - ге тең. Қорытындыда келесі ескертпелерді келтірейік.

1. Дәрежелі қатарға жіктеудің келесі жалғыздық қасиеті орынды. Егер функция нүктенің маңайында

дәрежелік қатарға жіктелсе, онда қатар функцияның Тейлор қатары деп аталады. .

2. Теорема 1 комплексті айнымалы функцияның нақты айнымалы функцияның тағы да бір айырмашылығын (өзгешелігін) айқындап береді. Бұл теоремаға сәйкес, егер функция облыстың әрбір нүктесінде бірінші ретті туындыға ие болса, онда облыстың әрбір нүктесінде Тейлор қатарына жіктелуі мүмкін. Нақты облыста бұл олай емес.

3. Жоғарыда талқыланған Коши мысалы (кітаптан қара. ) нақты айнымалы функциялар теориясының түсіндіре алмаған сұрақтарды комплексті айнымалы функциялар теориясы түсіндіре алатындығын көрсетеді.

4. Математикалық анализ курсында берілген қатарды Тейлор қатарына жіктеуге болады және егер мүмкін болса, қатардың жинақталу радиусы неге тең деген сұраққа жауап беру өте қиын. Комплексті айнымалы функциялар теориясында бұл сұраққа жауап беру оңай, егер функция аналитикалық және оның ерекше нүктелері белгілі болса.

- ның дәрежелері бойынша жіктеу мүмкін, егер функцияның регулярлы нүктесі болса, жинақталу нүктесі нүктеден жақын тұрған ерекше нүктеге дейінгі қашықтыққа тең болса.