Лаплас түрлендіру қасиеттері

Пән: Автоматтандыру, Техника
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі

Семей қаласының Шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті

СӨЖ

Тақырыбы: лаплас түрлендіру қасиеттері

Орындаған: Кусманов А.

Тексерген: Секербаева А. Б.

2015

Жоспары:

1. Лаплас түрлендіру.

2. Түпнұсқа және бейне. Лаплас интегралы.

3. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері

Лаплас түрлендіру.

Лаплас түрлендіру. Бұл өрнектер Фурье түрлендірумен тығыз байланысқан. Өңдеу теориясында Фурье түрлендіруі жоқ болатын бір неше функциялар бар, мысалы, немесе , себебі түрлендіруді белгілейтін интегралдың шешімі жоқ. Бірақ осындай функциялар да үшін спектрлік түрлендірудің аппараты құрастырылған.

Әр түрлі геофизикалық процесті зерттегенде уақыт ден -ке дейін өзгереді деп санайды. Бірақ практикалық жағдайда процесс 0-ге тең деп алуға болатын белгілі бір уақыт мезгілінде басталады. Осылайша, . Осындай жағдай болуы мүмкін, егер <0 болғанда . Онда Фурье түрлендіру былай жазылады:

(1. 1)

Интегралдың шешімі жоқ функциялардың Фурье түрлендіру есептеунің мүмкін еместігін аттап өтуге болады, егер Фурье түрлендірудегі уақыттық функциясын басылатын функциясына аустырсақ (мұндағы - тең болатындай кез-келген нақты, оң және жоғары параметр) . Бұл жағдайда функциясының Фурье түрлендіруі болады, бірақ оны функциясынан Лаплас түрлендіруі деп атайды. Егер <0 болған жағдайда болса, онда біржақты Лаплас түрлендіруін аламыз:

Бұл интегрдаың шешімі барлық жағдайларда болады, егер . Бұл формуланы келесі түрге келтірейк:

комплексті компонента пайда болғанын көріп отырмыз. Ауыстыруларды енгізейк: . Онда

(1. 2)

Бұл өрнекті түрлендіру ретінде қарастыруға болады. Оның көмегімен уақыттық функциясынан спектріне аусуға болады.

Физикалық түсіндіруден басқа Лаплас түрлендіруінің келесі түсініктемесін қосайық. Қалайша фотокамера оригиналдан кескінді алуға мүмкіндік береді, солайша Лаплас түрлендіруі функция-оригиналдың функция-кескінін анықтайды. Сонымен, Лаплас түрлендіруінің нақты мағынасы функцияны оригинал кеңістігінен кескін кеңістігіне ауыстыруда болып табылады және оригинал кеңістігімен салыстырғанда кескін кеңістігіндегі математикалық түрлендірулер бір неше қарапайым және көрнекті.

Лаплас түрлендіруінің сызықтылық қасиеттеріне, яғни аддитивтілік және біртектілік қасиеттеріне, ие болатынын дәлелдеп шығарайық.

Егер , онда және сәйкесінше және уақыттық функцияларының Лаплас спектрлері болып табылады. немесе тең екендігін дәлелдеп шығарайық. Дәлелдеуі:

. (1. 3)

Лаплас түрлендіруінің дәнімен функциясы болады.

Мысал 1. функциясы бірлік Хависайд функциясы болсын:

егер >0

егер <0

Лаплас түрлендіруін табамыз:

Фурье түрлендіруіне ұқсас, Лаплас түрлендіруі тура және кері болып табылады. Кері Лаплас түрлендіруі келесі өрнекпен сипатталанады:

. (1. 4)

Егер біз жиілікке немесе фазаға тәуелді сигнал қасиеттерін зерттесек, онда Фурье түрлендіруін пайдалануға ыңғайлы болады. Оны ықтималдық теориясының белгілі бір бөліктерінде және Фурье немесе Фурье-Бессель қатарлар сияқты шекаралық шарттарымен сызықтық дифференциалды теңдеулерді шешкенде кең пайдаланады. Лаплас түрлендіруін пайдалануға ыңғайлы болады, егер түрлендірулердің аналитикалық қасиеттері зерттелінсе немесе алғашқы шарттары белгілі тұрақты коэффициенттерімен сызықтық дифференциалды теңдеулерді шешкенде.

2. Түпнұсқа және бейне. Лаплас интегралы.

Нақты айнымалы t-ның функциясы үшін мына шарттар орындалсын:

1) Айнымалы t-ның мәндерінде функция мәні болсын;

2) Нақты айнымалы t-ның функциясы барлық мәндерінде үздіксіз болсын.

Үздіксіздік шарты тек бірінші текті үзіліс нүктелерінде ғана орындалмасын және ондай нүктелер саны шектеулі болсын;

3) Берілген функциясының өсу дәрежесі шектеулі болсын, яғни барлық мәндерінде теңсіздігі орындалатындай және сандары табылсын. Осы шартты қанағаттандыратын сандарының ең кішісі функциясының өсу көрсеткіші деп аталады.

Осы (1) -(3) шарттарды қанағаттандыратын функциясы түпнұсқа деп аталады.

Автоматты жүйелердегі құбылыстарды сипаттағанда кездесетін көптеген функциялар түпнұсқа болады. Мысалы, Хевисайдтың бірлік функциясы деп аталатын функциясы, функциялары түпнұсқа болады. Бұл функциялардың бірлік баспалдақты функция түріндегі көбейткіштерінің бар болуы түпнұсқаның (1) шартының орындалуын қамтамасыз етеді. Оны физикалық тұрғыдан түсіндірудің ешқандай қиындығы жоқ. Шынында да, автоматты жүйелердегі құбылыстар қандай да бір белгілі уақыт кезеңінен басталады.

Осы уақытты алғашқы уақыт кезеңі ретінде алуға болады. Сонда t болғанда f(t) =0 болады да түпнұсқаның (1) шарты орындалады.

Ал (2) және (3) шарттар автоматты жүйелерді сипаттайтын көптеген f(t) функциялары үшін орындалады.

Егер осы (1) -(3) шарттардың ең болмағанда біреуі орындалмаса, онда f(t) функциясы түпнұсқа болмайды. Мысалы, функциялары түпнұсқа болмайды. Бұл функциялар үшін (3) шарт орындалмайды.

Түпнұсқаның (3) шартын қанағаттандыратын функциялардың мысалын келтірейік:

а) Барлық шектелген функциялар; мұндай функциялар үшін өсу көрсеткіші өйткені

б) Барлық түріндегі дәрежелік функциялар. Бұлар үшін болады. Шынында да

өйткені -тің модулі көрсеткіштік функциясына қарағанда баяу өседі. Мұндағы -қаншалықты болса да аз оң сан.

Осыдан функциясының аралығында шектелген функция екендігі көрінеді. Басқаша айтқанда, барлық мәндері үшін , немесе теңсіздігі орындалады.

Мұндағы А-кез-келген оң сан, -қаншалықты болса да аз оң сан. Сондықтан функциясының өсу көрсеткіші болады.

Егер болса, онда үзіліс нүктесі болады да функциясы түпнұсқаның (3) шартын қанағаттандырмайды.

Жоғарыдағы

(2. 1)

теңдігімен анықталған комплекс айнымалының функциясы функциясының Лаплас бойынша бейнесі деп аталады. Осы (2. 1) теңдіктің оң жағындағы интеграл Лаплас интегралы деп аталады. Анықтама бойынша бұл меншіксіз интеграл мынаған тең:

Equation. 3 (2. 2)

Мұндағы оңжақтық шекке көшу амалын көрсетеді. Лаплас интегралының көмегімен функциясы мен оның бейнесі арасында сәйкестік орнатылады.

Берілген функциясы бойынша оның бейнесін табу амалы Лаплас түрлендіруі деп аталады. Ол былай белгіленеді:

Equation. 3

Егер функцияға бейнесі сәйкес келсе, ол сәйкестік әдетте былай жазылады:

немесе .

Егер (2. 2) теңдіктің оң жағындағы шек бар болатын болса, онда Лаплас интегралы жинақталады.

Енді Лаплас бойынша қандай функцияларын түрлендіруге болатынын қарастырайық.

Егер функциясы түпнұсқа болса, онда оны Лаплас бойынша түрлендіруге болады және оның бейнесі жарты жазықтығында анықталған.

Мұндағы деп функциясының өсу көрсеткішін ұғамыз.

Теореманы дәлелдеу үшін р комплекс айнымалысының жазықтығының теңсіздігі орындалатын бөлігінде (2. 1) теңдіктің оң жағындағы интеграл жинақталатындығын көрсетсек жеткілікті.

Түпнұсқаның (3) шартын пайдаланып мынадай теңсіздіктер аламыз:

Ал болғандықтан

(2. 3)

Мұндағы болғандықтан, болса, Лаплас интегралы жинақталады. Сонымен, функциясы түпнұсқа болса, онда оны Лаплас бойынша түрлендіруге болады. Оның бейнесі р комплекс айнымалысы жазықтығының жорымал оске параллель және одан қашықтықта өтетін түзуден оңға қарай бөлігінде анықталған.