Ток функциясы, құйын

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6

1 «ТОК ФУНКЦИЯСЫ, ҚҰЙЫН» АЙНЫМАЛЫЛАРЫНДАҒЫ ТҰТҚЫР СЫҒЫЛМАЙТЫН СҰЙЫҚТЫҢ ҚОЗҒАЛЫСЫН СИПАТТАЙТЫН ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
1.1 Есептің қойылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...9
1.2 Модельдік есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
1.2.1 Тасымалдаудың бірінші модельді теңдеуі:
конвективті және диффузиялық мүшелері бар сызықтандырылған бірөлшемді теңдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
1.2.2 Тасымалдаудың екінші модельді теңдеуі: Бюргерс теңдеу ... ... ... ... ... ...14
1.3 Гидродинамиканың толық есебінің барлық шешу процедурасының жалпы түрі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
1.4 Ток функциясы мен құйын үшін шекаралық мәндер ... ... ... ... ... ... ... ... .17
1.5 Ток функциясы мен құйын үшін шекаралық шарттардың
қойылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...20
1.6 Құйынның шекаралық мәні үшін тестілік есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...22

2 САНДЫҚ СҰЛБАЛАРҒА ШОЛУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
2.1 Конвекция.диффузия сызықтық теңдеуі үшін
айырымдық сұлбалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .25
2.2 Қуалау әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .30

3 САНДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРДІҢ НӘТИЖЕЛЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 34

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 38
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .39

Жұмыстың жалпы сипаттамасы. Дипломдық жұмысым «ток функциясы, құйын» айнымалыларындағы тұтқыр сығылмайтын сұйықтың қозғалысын сипаттайтын теңдеулер үшін айырымдық сұлбаларды құру мен зерттеуге арналған.
Зерттеу нысанасы – «ток функциясы, құйын» айнымалыларындағы бірөлшемді тұтқыр сығылмайтын сұйықтың қозғалысын сипаттайтын теңдеу мен модельдік теңдеулер.
Мәселенің (проблема) өзектілігі. Техника және жаратылыстанудың дамуында сұйық қозғалысысының заңын зерттеу әрқашан маңызды роль ойнаған. Бұл саладағы зерттелу авиация, кеме жасау, жылу энергетикасы, атом энергетикасы, геофизика және т.б. қажеттіліктеріне жағдай жасап отырады. Осы соңғы он жылда сұйық қозғалысына байланысты зерттелу сферасы мен осы сферадағы құбылыс қолданысы айтарлықтай кеңейді.

1. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. – М: Наука, 1970.- 288с.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973..
3. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.
4. Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1977.
5. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. – М.: высшая школа, 1987.
6. Ковеня В.М. Разностные методы решения многомерных задач. Курс лекций. Новосибирск: НГУ, 2004.-146с.
7. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. – Л.: Гидрометеоиздат, 1986, .-352с
8. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.-М.: Мир, 1980
9. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Т. 1,2. – М.: Мир, 1990.
10. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. // Иркутск: Издательство Иркутского Университета, 1990.
11. Пухначев В.В. Лекции по динамике вязкой несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1969.
12. Лойцянский Л.В. Механика жидкости и газа. – М: Наука, 1987. –840 с.
13 Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М: Наука, 1973. –
400 с.

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 31 бет
Таңдаулыға:

РЕФЕРАТ

Бітіру жұмысында Ток функциясы, құйын айнымалыларындағы тұтқыр сығылмайтын сұйықтың қозғалысын сипаттайтын теңдеулер қарастырылған. Есептің қойылымында сыртқы күш жоқ болған кездегі қасиеттері тұрақты болатын сығылмайтын ньютондық тұтқыр сұйықтың жазық ағынын сипаттайтын негізгі теңдеулер: қозғалыс мөлшерінің екі теңдеуі (Навье - Стокс теңдеулері) және үзіксіздік теңдеуінен құйын тасымалдау теңдеуі мен ток функциясын анықтаған. Құйын тасымалдау теңдеу тәртібінің көптеген аспектісін зерттеу үшін, модельдік теңдеу ретінде конвективті және диффузиялық мүшелері бар сызықтандырылған бірөлшемді теңдеу мен Бюргерс теңдеуін қарастырылған.
Аталған теңдеулер бойынша әр түрлі сандық сұлбаларды келтіріп, зерттелген. Ток функциясы, құйын айнымалылары бойынша сығылмайтын сұйықтың торлық теңдеулеріне әр түрлі сұлбалар бойынша сандық есептеулер жүргізіп, зерттелген.
Көлемі 40 беттен тұратын бітіру жұмысы кіріспе бөлімінен, 3 бөлімнен, қорытынды бөлімнен, пайдалынылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Жалпы бітіру жұмыстың құрамына 7 сурет кіреді. Бітіру жұмыстың соңында қосымшалар бар.
Кілт сөздер: сығылмайтын сұйық, конвективті және диффузиялық мүшелері бар сызықтандырылған бірөлшемді теңдеу, құйын тасымал теңдеуі, сұлбалар, Том формуласы, Вудс формуласы, орнықтылық шарт.

АНЫҚТАМАЛАР

Гидродинамика --

гидроаэромеханиканың сығылмайтын сұйықтықтың қозғалысын және оның өзімен шекаралас орналасқан қатты денемен әсерлесуін зерттейтін бөлімі.
Рейнольдс саны --
(ағылшын ғалымы О.Рейнольдстың атымен) -- инерциялық күш пен тұтқырлық күш арасындағы қатынасты анықтайтын, тұтқыр сұйықтық пен газ ағысының ұқсастық критерилерінің бірі.
Тұтқырлық --

сұйықтар мен газдардың негізгі қасиеттерінің бірі, сұйыктың қозғалысына кедергі жасайтын ішкі үйкеліс күштері.
Сызықтық теңдеу --
белгісіздері (айнымалы шамалары) 1-дәрежелі болып келетін және белгісіздердің көбейтінділері қатыспайтын теңдеу
Диффузия --
(лат. dіffusіo - таралу, жайылу) - нақтылы дене бөлшектерінің жылулық қозгалыстарга ұшырай отырып, сол дене конңентрациясының селдір аудандарына қарай жылжуы; молекулалардың жылулық қозғалысы салдарынан шеқаралас орналасқан әр түрлі заттардың бір-біріне өту құбылысы..
Проекция (лат. projectio - алға лақтыру) --
бұйымның бетке, көбінесе жазықтыққа белгілі бір әдіспен тұрғызылған кескіні.
Айырымдық сұлба (the difference circuit) --
дифференциалдық тендеулер мен белгілі бір нүктелердегі туынды функциялар мәндерінің ақырғы саны арқылы жуықталып ұсынылған айырымдық теңдеулер жүйесінің қосымша шарттарының аппроксимациясы.
Итерация (лат. іteratіo - қайталау) -
қандай да бір математикалық амалды қайталап қолдану.
Түйін -
тордағы нүктелер.
Конвекция (лат. convectio -- әкелу, жеткізу)-
1. атмосферада -- жер бетіндегі неғұрлым жылыған (тығыздығы кем) ауа массасының немесе ағынының жекелеген бөліктерінің жоғары көтеріліп, онымен бір мезгілде неғұрлым салқын (тығыздау) ауа массасының төмен түсуі.
2.мұхиттағы конвекция -- температура немесе тұздылықтың өзгеруі нәтижесінде судың тығыздығы өзгеруінен туындайтын вертикаль қозғалысы.

Белгілеулер

Тығыздығық
u, υ-
жылдамдық.
p-
қысым.
ω-
Құйын
ψ -
ток функциясы
L -
өзіндік ұзындық.
Cr -
Курант саны.
U0 -
есептің өзіндік жылдамдығы
Re -
өлшемсіз параметр, Рейнольдс саны
α
құйын тасымалдау теңдеуіндегі 1Re өлшемге сәйкес келетін диффузияның жалпыланған коэффициенті
I -
жорамал бірлік
G -
өту көбейткіші

МАЗМҰНЫ

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..6

1
ТОК ФУНКЦИЯСЫ, ҚҰЙЫН АЙНЫМАЛЫЛАРЫНДАҒЫ ТҰТҚЫР СЫҒЫЛМАЙТЫН СҰЙЫҚТЫҢ ҚОЗҒАЛЫСЫН СИПАТТАЙТЫН ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
1.1
Есептің қойылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .9
1.2
Модельдік есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...13
1.2.1
Тасымалдаудың бірінші модельді теңдеуі:
конвективті және диффузиялық мүшелері бар сызықтандырылған бірөлшемді теңдеу ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
1.2.2
Тасымалдаудың екінші модельді теңдеуі: Бюргерс теңдеу ... ... ... ... ... ...14
1.3
Гидродинамиканың толық есебінің барлық шешу процедурасының жалпы түрі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..16
1.4
Ток функциясы мен құйын үшін шекаралық мәндер ... ... ... ... ... ... ... . ... 17
1.5
Ток функциясы мен құйын үшін шекаралық шарттардың
қойылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..20
1.6
Құйынның шекаралық мәні үшін тестілік есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22

2
САНДЫҚ СҰЛБАЛАРҒА ШОЛУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .25
2.1
Конвекция - диффузия сызықтық теңдеуі үшін
айырымдық сұлбалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...25
2.2
Қуалау әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .30

3
САНДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРДІҢ НӘТИЖЕЛЕРІ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ...34

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 38

Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .39

Кіріспе

Жұмыстың жалпы сипаттамасы. Дипломдық жұмысым ток функциясы, құйын айнымалыларындағы тұтқыр сығылмайтын сұйықтың қозғалысын сипаттайтын теңдеулер үшін айырымдық сұлбаларды құру мен зерттеуге арналған.
Зерттеу нысанасы - ток функциясы, құйын айнымалыларындағы бірөлшемді тұтқыр сығылмайтын сұйықтың қозғалысын сипаттайтын теңдеу мен модельдік теңдеулер.
Мәселенің (проблема) өзектілігі. Техника және жаратылыстанудың дамуында сұйық қозғалысысының заңын зерттеу әрқашан маңызды роль ойнаған. Бұл саладағы зерттелу авиация, кеме жасау, жылу энергетикасы, атом энергетикасы, геофизика және т.б. қажеттіліктеріне жағдай жасап отырады. Осы соңғы он жылда сұйық қозғалысына байланысты зерттелу сферасы мен осы сферадағы құбылыс қолданысы айтарлықтай кеңейді. Бұл сфераға техниканың алдыңғы қатарлы бағыттарымен ( химиялық технология, металлургия, мұнай өндірісі және т.б.) қоса негізгі жаратылыстану ғылымдары
( биология, атмосфера және мұхит физикасы және т.б.) кіреді.
Сұйық динамикасын зерттеу барысында шыққан әр түрлі болып келетін есептер теориялық жолмен немесе мұқият та ұқыпты қойылған физикалық эксперимент көмегімен зерттелуі мүмкін. Көптеген жағдайларда сұйық ағысы кезінде өз орны болатын құбылысты модельдеу лабораториялық және табиғи жағдайында аса қиындатылған. Осы сұйық қозғалысынын зерттеу сияқты бағыттардағы физикалық эксперименттер әдетте техникалық жағынан ауыр, қиын және қымбатқа шығады. Онымен қоса, тәжірибелі өлшеулердің берілімі жалпы жағдайда шектеулі сипатқа ие болып келеді. Сол себептен гидродинамикалық зерттеулерде математикалық модельдеу маңызды роль атқарады.
Сығылмайтын сұйықтың дифференциалдық теңдеулер жүйесінің сандық шешілуіне көптеген монографиялар мен ғылыми мақалалар арналған, оның ішінде қазақ зерттеушілерінің құнды жұмыстары баршылық. Есептеу гидродинамика саласында жұмыс атқаратын мамандар үшін тұтқыр сығылмайтын сұйықтың Навье - Стокс теңдеуінің шешіміне тиімді сандық алгоритм құру аса қызығушылық тудырады. Бұл жүйені ток функциясы, құйын айнымалылары бойынша қарастыратын болсақ, есептеулік және теориялық қиындықтар туады.
Сондықтан сығылмайтын сұйық теңдеулерін шешудегі айырымдылық әдістер теориясының ары қарай дамуы есептеу математикасында өзекті мәселелердің бірі болып табылады.
Жұмысымның мақсаты ток функциясы, құйын айнымалыларындағы сығылмайтын сұйықтың торлық теңдеулері үшін ең тиімді итерациялық сұлбаларды зерттеу болып табылады.
Жұмыстағы көрсетілген мақсатқа жету үшін келесі міндеттер қойылды:
1) сығылмайтын сұйықтың торлық теңдеулері үшін итерациялық
сұлбалар құру.
2) айқын емес итерациялық сұлбалардың орнықтылығы мен дәлдікке зерттеу.
3) сандық есептеулер жүргізу және алынған нәтижелерге талдау
жасау.

1 ТОК ФУНКЦИЯСЫ, ҚҰЙЫН АЙНЫМАЛЫЛАРЫНДАҒЫ ТҰТҚЫР СЫҒЫЛМАЙТЫН СҰЙЫҚТЫҢ ҚОЗҒАЛЫСЫН СИПАТТАЙТЫН ТЕҢДЕУЛЕР

Тұтқыр сығылмайтын сұйықтың ағынын сипаттайтын Навье - Стокстың теңдеуі көптеген жылдар ағынында жеке туындылы теңдеулерді шешу мәселесімен айналысатын зерттеушілер мен сандық талдау аймағында жұмыс атқаратын мамандардың назарын аударып келеді. Бұндай қызығушылыққа қарамастан, үш кеңістік айнымалылар жағдайындағы стационарлы емес Навье - Стокс теңдеуінің шешімінің болуы мен жалғыздығы туралы сұрақ әлі де ашық қалуда.
Бұл теңдеулердің сандық шешу жағдайы өте ауыр сипатқа ие. Мұндағы мәселе, бір түрдегі есепті жақсы шығаруда көрінген сандық әдіс басқа түрдегі есепті шығаруында тиімсіз болып келеді. Өлшемнің аз болып келуі тордағы қадамның ұсақталуына байланысты проблемаға тірейді.
Тұтқыр сұйық ағыны туралы есептің шешімі сызықты емес теңдеулердің шешілуін қажет етеді, және де оның сызықты еместігі теңдеудің сол жақ бөлігіндегі тұрған, жылдамдықтың конвективті бөлігін сипаттайтын инерциондық мүшесінде тұр. Бұл мүшені оған жақындатылған сызықты өрнекке ауыстыратын болсақ теңдеудің сызықтандырылуына алып келеді. Бұндай сызықтандырудың қарапайым мысалы ретінде Стокстың классикалық есебі бола алады.
Навье - Стокс теңдеулер жүйесін интегралдау кезінде нақты шешімді алу үшін шекаралық шарт қолданылуы тиіс, егер қозғалыс стационарлы емес болған кезде бастапқы шарттар қолданылуы керек. Тұтқыр сұйықтың қозғалысы туралы жеке түрдегі есептер үшін шешімнің бар болуы мен жалғыздығы туралы теоремалардың қатал дәлелдеулері бар [1]. Бұл теоремалар өзінің жалпы математикалық мазмұнын қоса дифференциалдық теңдеулерге қойылған шекаралық және бастапқы шарттардың қандай болу керек екендігін көрсететіні үшін маңызды.
Қазіргі уақытта гидродинамика есептеріне негізделген сандық әдістерде бағыттардың қатары анықталған. Оның інінде ерекше орын алатын әдістер: ақырлы айырымдық әдістер, ірі бөлшектер, ақырлы элементтердің, интегралдық қатынастардың, торлық-варияциялықтың және т.б. әдістер болыа табылады. Тұтқыр сұйық динамикасына байланысты айтатын болсақ, онда бұл жерде ақырлы айырымдық әдісін қолдану аса сәттілік алып келуде. Бұл әдіс өзінің қарапайымдылығы мен негізінің жан жақты болып келуімен ерекшеленеді және де нәтижесінің жоғарғы деңгейде дәл шығуын қамтамасыз етеді. Бұл әдіс әр түрлі шекаралық және бастапқы шарттары бар сызықты емес теңдеулері мен сызықты да теңдеулерін сандық шешу үшін қолданылады.
Сызықты айырымдық сұлбалардың теориялары, яғни айырымдық сұлбалардың аппроксимация, рет, орнықтылық , жинақтылық сияқты қастиеттерін зерттеу А.А. Самарский, А.В Гулин [2], А.А. Самарский, Е.С. Николаев [3], А.А. Самарский [4], А.А Самарский., Р.Д. Лазаров, В.Л. Макаров [5], В.М Ковеня [6] және де тағы басқа өз еліміздегі және шетел елдеріндегі есептеуіш математиктердің монографиярында кеңінен, тереңінен жазылған.
Навье-Стокс теңдеуін шешуде Н.Т. Данаев, Ш.С Смагулов [15] үлкен еңбегін сіңдірген. Бұл еңбекте қатты өзгермелі коэффициенттері бар Навье-Стокс теңдеуі үшін тиімді сандық әдістер қарастырылған.
Екі айнымалы болған кездегі Навье-Стокс теңдеуін шешу тәсілінің бірі ток функциясы мен құйын айнымалыларын қолдануында бекітіледі және де сығылмайтын сұйық үшін екіөлшемді теңдеуді шешудің таралған әдістерінің бірі болып саналады.
Сандық әдістердің көптеген бөлігі ток функциясы мен құйын айнымалыларын қолданғандағы теңдеулер жүйесі үшін құракстырылған. Бұл әдістердің жалпы кемшілігі қатты беттегі құйын үшін шекаралық шарттарды қолдану болып табылады, ол есептің физикалық қойылымда жоқ.
Стационарлы емес күйде жағдай нашарлай түседі, ψ-дан уақыт бойынша алынған туынды қосылады. Онымен қоса, ток функциясы үшін екі шекаралық мән беріледі, ал құйын шекаралық мән жоқ болып келеді. Бұның бәрі арнайы сандық әдістерді құруды талап етеді. Ереже бойынша бұл әдістер құйын үшін жасанды шекаралық шарт енгізуге негізделген. (Том, Вудс формуласы және т.б) [22], [23].
Шаршы кавернадағы тұтқыр сығылмайтын сұйық ағынына сандық зерттеу [21] мақалада қарастырылған. Және де есептің қойылымы бір белгісіз функция - ток функциясы алынған, ол үшін төртінші ретті теңдеу жазылған.
Бұл мақаланың аса бір ерекшелігі кавернаның жоғарғы беті ақырындап нөлден кей шекті мәнге дейін өсетін айнымалы жыламдықтан тұратыны ([21] - те жоғарғы бетінің шекті мәні 1 тең).

1.1 ЕСЕПТІҢ ҚОЙЫЛЫМЫ

Сыртқы күш жоқ болған кездегі қасиеттері тұрақты болатын сығылмайтын ньютондық тұтқыр сұйықтың жазық ағынын сипаттайтын негізгі теңдеулер қозғалыс мөлшерінің екі теңдеуі (Навье - Стокс теңдеулері) және үзіксіздік теңдеуі болып табылады және келесі түрде жазылады:

dudt+ududx+υdudy=-1ρdPdx+νd2udx2+d2 udy2, (1.1.1)

dυdt+udυdx+υdυdy=-1ρdPdy+νd2υdx2+d2 υdy2, (1.1.2)

dudx+dυdy=0 (1.1.3)

Теңдеулер V жылдамдығының u, υ векторлары мен P қысымнан тұратын физикалық айнымалылар үшін жазылған. Сұйықтың қасиеттері тығыздық
ρ=const пен тұтқырлық кинематикалық коэффициентімен ν=const сипатталады. Бұл теңдеулер келесі физикалық заңдарға негізделген: (1.1.1), (1.1.2) теңдеулер қозғалыс мөлшерінің векторлық теңдеуінің F=ma (Ньютонның екінші заңы) проекциясы болып табылады, онымен қоса тұтқыр күштер жанама кернеу үшін сызықты ньютондық заң бойынша деформация жылдамдығымен байланысқан, ал (1.1.3) теңдеуі массаның сақталу заңын білдіреді. Келтірілген теңдеулер координатаның эйлерлік жүйесінде жазылған, дәлірек айтқанда қозғалмайтын жүйеде. Сұйық сол қозғамайтын жүйеге салыстырмалы қозғалады. Тікелей осы теңдеулерді сандық шешуге болатынына қарамастан, өте жақсы нәтижелерді құйын мен ток функция үшін сандық шешуде алуға болады.
(1.1.1), (1.1.2) теңдеулерінің біріншісін у бойынша, ал екінші теңдеуді х бойынша дифференциалдап, шыққан нәтижені бір бірінен алып, қысымды шығырып тастауға болады. Құйынды төмендегідей анықтап

ω=dudy-dυdx , (1.1.4)

параболалық типті құйынды тасымалдау теңдеуін аламыз:

dωdt=-udωdx-υdωdy+νd2ωdx2+d2ωdy2=-V ∙∇ω+ν∇2ω, (1.1.5)

Субстанциональды туынды қолданып, бұл теңдеуді келесі түрде көрсетуге болады:

Dωdt=ν∇2ω (1.1.6)

Ток функциясын ψ келесі арақатынастармен анықтап

dψdy=u, dψdx=-υ, (1.1.7)

(1.1.4) теңдеуді эллиптикалық типті Пуассон теңдеуі ретінде жазуға болады:

∇2ψ=ω. (1.1.8)

Құйынды тасымалдау теңдеу (1.1.5) құрамына тұрақты емес мүше dωdt, конвективті мүшелер udωdx және υdωdy және тұтқыр диффузиямен байланысты мүше ν∇2ω кіреді. Бұл теңдеу конвективті мүщелері үшін сызықты емес, өйткені (1.1.7) және (1.1.8) күшінен u мен υ өздігімен ω тәуелді айнымалының функциялары түрінде көрсетіледі.Ол уақыт бойынша параболалық болып табылады, сондықтан оған бастапқы шарттары болатын есеп қойылады. Ол есепте шешім кейбір бастапқы берілімнен әр қадам бойынша жылжиды.
Ток функциясының (1.1.8) теңдеуі эллиптикалық болып табылады, сондықтан оған итерациялық әдіспен шығарылатын, шекаралық шарттары берілген есеп қойылады. Көптеген практикалық есептерде шешімнің уақыт бойынша шығу нәтижесі емес, тек тұрақты шешімі ғана қызықтырады; бұл жағдайда (1.1.5) теңдеуінің сол жақ бөлігіне dωdt=0 қойып, бір тәуелсіз айнымалы - уақытты алып тастаймыз. Негізі ереже бойынша аналитикалық зерттеу жүргізген уақытта дәл солай істейміз; сондықтан осы есептеу гидродинамикасымен жұмыс істеп көрмеген адамдар гидродинамиканың тіпті стационарлы есептерінің көптеген(тек барлығы емес) тиімді сандық әдістерімен шешілуі стационарлы емес теңдеулерді интегралдауға негізделетініне, ал стационарлы шешім (егер ол болса) стационарлы емес теңдеулерінің шешілу шегі уақыт бойынша асимптоталы болып келетініне таңқалады.
Тағы бір есекеретін жағдай, құйынды тасымалдау теңдеуі (1.1.5) басқа да көптеген үрдістерге модельдік сипаттама жасау қызметін атқарады.
Әдетте математиктер жеке туындылы (сызықты) дифференциалдық теңдеулердің келесі типтегі классификациясына қанағаттанады: параболалық, эллиптикалық және гиперболалық. Бұндай классификацияда құйын тасымадау теңдеуі мен диффузия теңдеуінің dωdt=αd2ω dx2 арасында айырмашылық жасалмайды, бірақ, төменде көрсетіп отырғанымдай, (1.1.5) теңдеуде бірінші ретті туындының болуы, оның диффузия теңдеуіне қарағанда сапалы өте жақсы екендігін көрсетеді, және де конвективті мүше сандық шешу кезінде аса маңызды рөл ойнайды. Өкінішке орай, көрсетілген екі мүше үшін әртүрлі сандық сұлбалар ең тиімдірек болып шығуы мүмкін.

Теңдеудің консервативті формасы

Үзіксіздік теңдеуін (1.1.3)

dudx+dυdy=0

толық жылдамдық векторы арқылы келесі түрде жазуымызға болады:

∇∙V=0 (1.1.9)

∇∙Vω қарастырайық. Векторлық алгебрада келесі тепе-теңдік белгілі

∇∙Vω=V∙∇ω+ω∇∙V=V∙∇ω.

Сонымен құйын тасымалдау теңдеуінің консервативті формасын алу үшін (1.1.5) теңдеуде V∙∇ω мүшесін ∇∙Vω осы мүшеге ауыстыру керек, нәтижесінде

dωdt=-V∙∇ω+ν∇2ω=-duωdx-dυωdy+νd2ωdx 2+d2ωdy2. (1.1.10)

осындай түрге келеді.

Өлшемсіз айнымалылар теңдеулері

Менің дипломдық жұмысымда қолданылған өлшемсіз айнымалылармен келетін теңдеулер жүйесі барлық жерінде конвективті масштабқа LU0 негізделеді, мұндағы L - өзіндік ұзындық, ал U0 - есептің өзіндік жылдамдығы; мысалы, егер L - қанатты пішіндегі хорда ұзындығы және U0 - жүгірмелі ағынның жылдамдығы, онда LU0 - уақыт, осы уақыт аралығында жүгірмелі ағынның бөлшегі бүкіл пішіннен(профиль) өтеді. Келесі өлшемсіз шамалар енгіземіз:

u=uU0, υ=υU0, x=xL, y= yL , ω=ωU0L, t=tLU0 (1.1.11)

Осыдан (1.1.10) және (1.1.8) теңдеулер келесі түрге келеді

dωdt=-∇∙Vω+ 1Re∇2ω, 1.1.12

∇2ψ=ω (1.1.13)

мұндағы Re - өлшемсіз параметр, Рейнольдс саны,

Re=U0Lν. (1.1.14)

Сайып келгенде, шекаралық шарттағы кез келген берілген жиынтығы үшін ағын бір өлшемсіз параметр - Рейнольдс санымен сипатталады.
Ендігі есеп қойылымымда мен N=1 болғанын қарастырамын.
1Re d2ωdx2+fx=0 (1.1.15)

d2ψdx2=ω, x∈0,1 ( 1.1.16)

Ток функциясы үшін келесі шекаралық мәндері қойылады:

ψ0=dψdx0=0 (1.1.17)

1.2 Модельдік есептер.

Құйын тасымалдау теңдеуі консервативті емес және консервативті (1.1.12) формада да уақыт бойынша параболалық болып келеді, екі тәуелсіз кеңістік айнымалыдан тұрады және сызықты емес конвективті мүшелер арқылы ток функциясы үшін келтірілген эллиптикалық Пуассон теңдеуімен (1.1.13) байланысты. Бұл теңдеулердің ақырлы - айырымдық ұқсастығының орнықтылығына жоғарыда айтылған теңдеу қаситтерін ескере отырып, зерттеу әлі де жүргізілген емес. Дегенмен құйын тасымалдау теңдеу тәртібінің көптеген аспектісін зерттеп, төменде келтірілген екі модельдік теңдеулерінің кез келгенін қарастыра отырып, көптеген ақырлы - айырымдық сұлбалардың елеулі белгілерін анықтауға болады [11].

1.2.1 Тасымалдаудың бірінші модельді теңдеуі: конвективті және
диффузиялық мүшелері бар сызықтандырылған бірөлшемді теңдеу

Тасымалдаудың бірінші модельді теңдеуі болып конвективті және диффузиялық мүшелері бар (Аллен [1968], У. Кроули [1968а]) сызықтандырылған бірөлшемді теңдеу болып табылады, консервативті формада жазылған түрі

dωdt=- duωdx+ α d2ωdx2, (1.2.1.1)

Я болмаса консервативті емес формада

dωdt=-u dωdx+ α d2ωdx2. (1.2.1.2)

Бұл теңдеулерде ω құйынды немесе басқа бір конвективті және диффузиялық өлшемді білдіреді, α - құйын тасымалдау теңдеуіндегі 1Re өлшемге сәйкес келетін диффузияның жалпыланған коэффициенті, u - конвекцияның сызықтандырылған жылдамдығы. u x бойынша тұрақты деп санаймыз, u=const. Қарастырылып отырған екі бірөлшемді теңдеулер құйын тасымалдау теңдеулері болып табылмайды(өйткені бірөлшемді біртекті ағында құйын болмайды), әйтсе де көпөлшемді теңдеулердің кейбір аспекттерін модельдейді. Физикалық түрде бұл теңдеулер бір біріне бояуы араласқан сұйықтың конвекциясы мен диффузиясын сипаттайды. Бірінші модельдік теңдеудің нақты шешімі

ωx,t=e-αμ2tcosμx-ut. (1.2.1.3)

Тексеру:

ωt=-αμ2e-αμ2tcosμx-ut+e-αμ2tuμsinμx -ut ,

ωx=-e-αμ2tμsinμx-ut ,

ωt+uωx=e-αμ2tμ-μcosμx-ut+usinμx-ut- usinμx-ut=-e-αμ2tμ2cosμx-ut.

ωxx=-e-αμ2tμ2cosμx-ut.

Нақты шешімнің дұрыс екендігі айқындалды.

1.2.2 Тасымалдаудың екінші модельді теңдеуі: Бюргерс теңдеу

Тасымалдаудың екінші модельдік теңдеуі Бюргерс теңдеу

dudt=-u dudx+ α d2udx2, (1.2.2.1)

болып табылады. Мұндағы u жалпыланған жылдамдық болып қарастырылады. Бұл теңдеу құйын тасымалдау теңдеулері мен Навье - Стокс теңдеуінің сызықты еместігін сақтайды. Бұл теңдеуде әртүрлі ақырлы - айырымдық сұлбаларды зерттеуге болады. Бюргерс теңдеуінің нақты шешімі

ux,t=12-12thx-t2-x04α. (1.2.2.2)

Тексеру:

ut=-12th'x-t2-x04α∙-18α=121ch2x-t 2-x04α∙18α ,

ux=-12th'∙14α=-121ch2x-t2-x04α∙14α ,

uux=-12-12thx-t2-x04α18α1ch2x-t2- x04α ,

ut+uux=116α1ch2x-t2-x04α-18α1ch2x-t 2-x04α12-12thx-t2-x04α==116αthx-t 2-x04αch2x-t2-x04α

uxx=-18α-2ch-3x-t2-x04αch'x-t2-x0 4α==14αch31x-t2-x04αshx-t2-x04α∙1 4α==116α2thx-t2-x04αch2x-t2-x04α ,

αuxx=116αthx-t2-x04αch2x-t2-x04α

Нақты шешімнің дұрыс екендігі айқындалды.
1.3 Гидродинамиканың толық есебінің барлық шешу процедурасының жалпы түрі

Негізі жеке есептерді, нұсқаларды және болмашы сұрақтарды зерттеуден бұрын гидродинамиканың толық есебінің барлық шешу процедурасын жалпы түрде сипаттап кеткен жөн. Нақтылық үшін тек стационарлы емес теңдеулер шешіміне негізделген жай тәсіл үшін есептеу циклын сипаттаймыз.
Зерттеліп отырған ағын аймағы ақырлы - айырымдық тормен жабылады. Ақырлы - айырымдық шешім тордың қиылысқан сызықтарында жататын тордың түйіндерінде анықталатын болады.
Жалпы шешім t=0 уақыт мерзімінде тордың барлық түйіндеріне алғашқы шарттар ψ, ω, u және υ қойылудан басталады. Бұл алғашқы шарттар кейбір айқын бастапқы жағдайларға (егер стационарлы емес есептерді шешу жағдайы қарастырылатын болса) немесе стационарлы шешімге кей өрескел жуықтауына(егер орнатылған тәртіп жағдайы қарастырылса) сәйкес бола алады.
Саналып отырған аймақтың барлық ішкі нүктелерінде жуықтап анықтау dωdt үшін құйын тасымалдаудың дифференциалдық теңдеуінің (1.1.12) кейбір ақырлы - айырымдық ұқсастығы қолданылған кезден бастап есептеу циклы басталады. ω жаңа мәндері құйын тасымалдау теңдеуін уақыт бойынша жылжытуымен ∆t өсу уақытына сәйкес келетін жаңа уақыт қабатында есептелінеді, мысалы (жаңа ω)=(ескі ω)+ ∆t∙dωdt. Келесі есептеу циклы ток функциясының ψ жаңа мәндерін анықтау үшін Пуассон теңдеуіндегі (1.1.13) ақырлы - айырымдық ұқсастықты шешу болып табылады, сонымен қатар (1.1.13) теңдеудің оң жақ бөлігінде тордың ішкі түйіндеріндегі ω жаңа мәндері қолданылады. Жаңа ψ үшін Пуассон теңдеуі әлі белгілі емес жаңа ω үшін шекаралық шарттарына тәуелді еместігі маңызды. Әдетте жаңа ψ үшін шешім итерациялық жолмен шығады, сондықтан ψ табу үшін итерациялық үрдіс жалпы есептеу циклына қосылады. Енді өлшемсіз айнымалыдан тұратын теңдеудің (1.1.7) ақырлы - айырымдық ұқсастығын қолдана отырып, жаңа құрылған жылдамдықтарды табамыз. Есептеу циклының соңғы қадамы қарастырылып отырған аймақтың шекарасындағы құйынның жаңа мәнін есептеуден тұрады. Әдетте бұл ω жаңа шекаралық мәндері сол шекараға жақын орналасқан аймақтың ішкі нүктелеріндегі жаңа ψ және ω (есептеліп қойылған) мәндерге тәуелді болады. Одан кейін есептеу циклы уақыттың берілген мәніне жетпейінше немесе шешім дәлдіктің берілген дәрежесіндегі стационарлыққа өтіп кетпейінше қайталана береді. Бұл процедураның кейбір жерлері әр түрлі белгілі бір есептер үшін өзгеріп отырады, тек негізгі сұлба өзгеріссіз қалады.

1.4 Ток функциясы мен құйын үшін шекаралық мәндер

Ары қарай ток функциясы мен құйын үшін шекаралық мәндерді есептеу әдістерін толық сипаттаймын. ψ және ω шындыққа сай келетін шекаралық шарттарының кейбір типтерін елестету қиын емес, бірақ орнықты шешімге әкелетін анық нақты шарттарды анықтау мүмкіндігі сәтті болып келмеуі мүмкін. Сандық эксперимент көмегімен анықталған кез келген шекаралық шарттардың сәйкестілігі Рейнольдс санына, ішкі нүктелерде қолданылатын айырымдық сұлбаларға, басқа шекаралық шарттарға, кейде бастапқы шарттарға да тәуелді болатыны белгілі болды. Мұндай факторлардың көп болуы аналитикалық зерттеуді қиындатады және олардың қолданысына шек қояды. Әйткенмен бұл бағытта жасалған жұмыстар көп; мысалы Эдди [1949], Кист пен Митчелл [1967], Кемпбелл мен Кист[1968], П. Дж. Тейлор[1968, 1969, 1970] мен Чен [1968, 1970].
Көптеген есептерде математикалы қатаң шешімдері жоқ. Біздің негізгі қорытындылар интуиция мен сандық эксперименттерге негізделетін болады.
Шекаралық шарттарды зерттеу кезіндегі көптеген сандық эксперименттер құйын тасымалдау теңдеуі үшін жай екіқабатты айқын сұлбалар көмегімен орындалды [12]. Ескеріп кетсек, басқа сұлбалардан алынған тура сол шекаралық шарттар орнықсыздыққа алып келетін бірнеше жағдай белгілі. (бұл жерде орнықсыздық термині міндетті түрде қателіктің экспоненциальды өсуі деген мағынада емес, итерация жинақтылығы жоқ деген мағынада қолданылады). Бұл мысалдардың осындай маңызды жеке әдістерді қолданудан алдын ала сақтау қызметін атқаруына болады.
Көбінесе берілетін шекаралық шарттар не Дирихле шарттары (функция мәні берілген), не болмаса Нейман типінің шарттары(шекараға нормаль келетін функция градиенті берілген) болып келеді. Осы уақытқа дейін функция мәнінің сызықтық комбинациясы мен нормальды туынды берілген, аралас типті шарттардан (Роббин шарттары) тұратын гидродинамикалық есептер шығарылған емес [13].
Ток функциясы мен құйын үшін шекаралық шарттарды есептеу тәсілін қарастырайын ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.