Диференциалдық оператор
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
1 Негізгі түсініктер мен тұжырымдар
1.1 Сызықты дифференциалдық оператордың анықтамасы
мен негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
1.2 Дифференциалдық оператордың меншікті мәндері мен
меншікті функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..15
2 Екінші ретті жай дифференциалдық операторлар үшін қисынды шекаралық есептің түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттері
2.1 Түбірлік функциялар жүйесінің қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
2.2 Түбірлік функциялар жүйесінің басты шешімдерінің
апроксимациясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...36
3 Ауытқыған диференциалдық оператор меншікті мәндерінің асимптотикасы
3.1 Екінші ретті ауытқыған дифференциалдық оператор меншікті мәндерінің асимптотикасы туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..39
3.2 Жоғарғы ретті ауытқыған дифференциалдық операторлардың меншікті мәндерінің асимптотикасы туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .44
4 Айнымалы коэффициенттері бар екінші ретті біртекті емес дифференциалдық теңдеулер үшін барлық жерде шешілетін шекаралық есептер
4.1 Қосымша тұжырымдар мен теоремалардың дәлелдері ... ... ... ... ... ..50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 85
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 86
1 Негізгі түсініктер мен тұжырымдар
1.1 Сызықты дифференциалдық оператордың анықтамасы
мен негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
1.2 Дифференциалдық оператордың меншікті мәндері мен
меншікті функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..15
2 Екінші ретті жай дифференциалдық операторлар үшін қисынды шекаралық есептің түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттері
2.1 Түбірлік функциялар жүйесінің қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
2.2 Түбірлік функциялар жүйесінің басты шешімдерінің
апроксимациясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...36
3 Ауытқыған диференциалдық оператор меншікті мәндерінің асимптотикасы
3.1 Екінші ретті ауытқыған дифференциалдық оператор меншікті мәндерінің асимптотикасы туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..39
3.2 Жоғарғы ретті ауытқыған дифференциалдық операторлардың меншікті мәндерінің асимптотикасы туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .44
4 Айнымалы коэффициенттері бар екінші ретті біртекті емес дифференциалдық теңдеулер үшін барлық жерде шешілетін шекаралық есептер
4.1 Қосымша тұжырымдар мен теоремалардың дәлелдері ... ... ... ... ... ..50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 85
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 86
Соңғы он жылдықтарда дифференциалдық теңдеулер теориясы ішкі және сыртқы күштер әсерінен тез дамыды. Яғни, ішкі күштер дифференциалдық теңдеулер теориясын топологиялық және аналитикалық әдістердің дамуы мен тереңдеуіне алып келсе. Сыртқы күштер ретінде техниканың, әсіресе, байланыс техникасының, автоматты басқару және электрониканың дамуы зор ықпалын тигізді.
Математикалық физиканың көптеген мәселелері дифференциалдық операторлардың меншікті мәндері мен меншікті функцияларын табу және меншікті функциялар бойынша қатарға жіктеуге келіп тіреледі.
Математикалық физиканың көптеген мәселелері дифференциалдық операторлардың меншікті мәндері мен меншікті функцияларын табу және меншікті функциялар бойынша қатарға жіктеуге келіп тіреледі.
1. Кангужин Б.Е., Нурахметов Д.Б. Всюду разрешимые краевые задачи для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, Вестник КазНУ, 2010, №2., стр 9-26.
2. Кангужин Б.Е., Нурахметов Д.Б. Оценки резольвент корректных дифференциальных операторов на отрезке, Вестник КарГУ, 2010, №3, стр. 10-18.
3. Владимиров В.С., «Приближенное решение одной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка», Прикл. Матем. И механ. , 19:3(1955), 315-324.
4. Садовничий В.А., Подольский В.Е. // УМН. 2006. Т.61. №5. С. 89-159.
5. Наймарк М.А., Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528с.
6. Кангужин Б.Е., Токмагамбетов Н.Е. Об асимптотике собственных значений возмущенных дифференциальных операторов высших порядков // Вестник КазНУ, №2, 2011г. стр.
7. Токмагамбетов Н.Е., Толеуханов А.Е. Об асимптотике собственных значений возмущенного дифференциального оператора второго порядка // Известия НАН РК, №3, 2011г., стр.
2. Кангужин Б.Е., Нурахметов Д.Б. Оценки резольвент корректных дифференциальных операторов на отрезке, Вестник КарГУ, 2010, №3, стр. 10-18.
3. Владимиров В.С., «Приближенное решение одной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка», Прикл. Матем. И механ. , 19:3(1955), 315-324.
4. Садовничий В.А., Подольский В.Е. // УМН. 2006. Т.61. №5. С. 89-159.
5. Наймарк М.А., Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528с.
6. Кангужин Б.Е., Токмагамбетов Н.Е. Об асимптотике собственных значений возмущенных дифференциальных операторов высших порядков // Вестник КазНУ, №2, 2011г. стр.
7. Токмагамбетов Н.Е., Толеуханов А.Е. Об асимптотике собственных значений возмущенного дифференциального оператора второго порядка // Известия НАН РК, №3, 2011г., стр.
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 71 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 71 бет
Таңдаулыға:
М А З М Ұ Н Ы
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1 Негізгі түсініктер мен тұжырымдар
1.1 Сызықты дифференциалдық оператордың анықтамасы
мен негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
1.2 Дифференциалдық оператордың меншікті мәндері мен
меншікті функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...15
2 Екінші ретті жай дифференциалдық операторлар үшін қисынды шекаралық есептің түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттері
2.1 Түбірлік функциялар жүйесінің қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... .27
2.2 Түбірлік функциялар жүйесінің басты шешімдерінің
апроксимациясы ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...36
3 Ауытқыған диференциалдық оператор меншікті мәндерінің асимптотикасы
3.1 Екінші ретті ауытқыған дифференциалдық оператор меншікті мәндерінің асимптотикасы туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .39
3.2 Жоғарғы ретті ауытқыған дифференциалдық операторлардың меншікті мәндерінің асимптотикасы туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... 44
4 Айнымалы коэффициенттері бар екінші ретті біртекті емес дифференциалдық теңдеулер үшін барлық жерде шешілетін шекаралық есептер
4.1 Қосымша тұжырымдар мен теоремалардың дәлелдері ... ... ... ... ... ..50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 85
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...86
Кіріспе
Соңғы он жылдықтарда дифференциалдық теңдеулер теориясы ішкі және сыртқы күштер әсерінен тез дамыды. Яғни, ішкі күштер дифференциалдық теңдеулер теориясын топологиялық және аналитикалық әдістердің дамуы мен тереңдеуіне алып келсе. Сыртқы күштер ретінде техниканың, әсіресе, байланыс техникасының, автоматты басқару және электрониканың дамуы зор ықпалын тигізді.
Математикалық физиканың көптеген мәселелері дифференциалдық операторлардың меншікті мәндері мен меншікті функцияларын табу және меншікті функциялар бойынша қатарға жіктеуге келіп тіреледі. Осындай есептерге дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін Фурье әдістерін қолдану арқылы келеді. Сондықтан, жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді зерттеуге көп назар бөлінген. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді зерттеуге арналған еңбектер де аз емес.
Бұл жұмыста локалдық емес есептерге сәйкес келетін екінші ретті жай дифференциалдық операторлар қарастырамыз. Екінші ретті жай дифференциалдық операторлардың түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттерін зерттейміз. Екінші ретті жай дифференциалдық операторлардың түбірлік функциялар жүйесінің жеткілікті шарттарын аламыз.
Сонымен қоса, жоғарғы ретті жай дифференциалдық теңдеулер үшін қисынды шекаралық шарттарды табуға есептер қарастырылған. Барлық тұжырымдар леммалар, тұжырымдар, теоремалар ретінде құрасытырылып, математикалық тұрпатқа сәйкес қатаң дәлелденген. Бұл жұмыста жүргізілген зерртеу әдістері дифференциалдық операторлардың классикалық теориясына негізделген.
1 Негізгі түсініктер мен тұжырымдар
0.1 Сызықты дифференциалдық оператордың анықтамасы мен негізгі қасиеттері
Сызықты дифференциалдық өрнек. Сызықтық дифференциалды өрнек деп келесі өрнек атаймыз
l y= p 0xyn + p 1xyn-1+...+ pn (x) y (1.1.1)
p 0x, p 1x, pn (x) функциялары коэффициент деп аталады, ал n дифференциалдық өрнектің реті.
Біз осы бөлімде тұспалдаймыз, 1p0(x), , p 0x, p 1x, pn (x) функциялары бекітілген ақырлы [a, b] интервалында үзіліссіз, ал кейбір жағдайларда оларға тағы да қосымша шарттарды қоямыз.
C(n) арқылы [a, b] бекітілген тұйық ақырлы интервалымен қоса n ретке дейінгі үзіліссіз туындылары бар y (x) барлық функцияларының жиынтығын белгілейміз.
[a, b] интервалында үзіліссіз функция болатын, барлық yϵ C(n) функциясы үшін l (y) дифференциалды өрнегінде анықталған.
Шекаралық шарттар. (1.1.2) арқылы у функциясының мәндерін және оның a мен b нүктелеріне сәйкес алғашқы n - 1 туындысы берілсін:
ya,ya',...,ya(n-1); yb,yb',...,yb(n-1) (1.1.2)
Uy арқылы (1.1.2)-ң айнымалыларына қатысты сызықты формасын Uy келесі түрді қабылдайтындай белгілейміз:
Uy=∝0уα+∝1уα'+...+∝n - 1уα(n - 1)+β0уb+β1уb'+...+βn-1уb(n-1) (1.1.3)
Егер осындай форманың бірнешеуі берілсе Uv(y), v=1,2,...,m, онда келесі теңдік
Uvy=0, v=1,2,...,m (1.1.4)
шекаралық шарт деп аталады.
(1.1.4)-шекаралық шарттын қанағаттандыратын D арқылы барлық у∈C(n) функцияның жиынтығын белгілейміз
D C(n)-де сызықтық кеңістік екені айқын, (1.1.4) өрнек жоқ болса D C(n)-ге сәйкес келеді. (4)-шартпен анықталған кейбір дифференциалдық l(y) өрнегі және кейбір D бейнесі берілген. Әрбір у∈D функцияға сәйкестікке u=l(у) функциясын қоямыз. Бұл сәйкестік D облысы бар сызықтық операторды білдіреді. Оны L арқылы белгілейміз. Осылайша, егер у∈D және u=l(у) онда L операторының анықтамасы бойынша:
u=L у
Дифференциалдық өрнек l(у) және (1.1.4) шекаралық шарттан пайда болған L операторы дифференциалдық оператор деп аталады.
Осылайша (1.1.4) шекаралық шарттын таңдап алуына байланысты бір диффренциалдық оператордан әртүрлі дифференциалдық өрнектер пайда болады.
Егер дербес жағдайда, (1.1.4) шарты болмаса, онда D=∁(n) анықталу облысы бар дифференциалдық оператор пайда болады, оны l1 арқылы белгілейміз. l(у) диф-ференциалдық өрнектен пайда болған барлық L операторының кеңейтілуі екені анық.
Көптеген сұрақтарды қарастырғанда тек қана кеңінен анықталған L1 операторы емес, сонымен қатар L1 операторының қысылуы болатын жоғарыда айтылған оператор қарастырған жеңіл екен.
Uv(y) - дің кейбір формасы басқаларының сызықтық комбинациясы болуы мүмкін. Онда осындай формаға сәйкес келетін Uv(y)=0 басқаларының салдары болады және оны алып тастауға болады. Сондықтан Uv(y) формасын басынан бастап сызықтық тәуелсіз деп есептесе болады. Бұл осы форманың коэффициенттерінен құралған матрицаның рангы m-ге тең екені белгілі.
Егер m=2n болса, онда (1.1.4) келесі түрде болған кезде ғана орындалады:
уα=уα'=...=уα(n-1)=уβ=уβ'=...=уβ(n- 1)=0
Осындай шартпен пайда болған дифференциалдық операторды L0 арқылы белгілейік.
Біртекті шекаралық есеп.
l(y)=0 (1.1.5)
Uv(y)=0, v=1,2,...,m (1.1.6)
шарттарын қанағаттандыратын C(n)-нен алынған y функциясын табу есебі біртекті шекаралық есеп деп аталады. L - l(y) дифференциалдық өрнегі мен (1.1.6) шартынан туындаған оператор, онда біртекті шекаралық есепті шешу нөльге айналатын D анықталу облысында y функциясының L операторын табуға келіп тіреледі.
Әрбір біртекті шекаралық есептің кемінде бір шешімі болатыны айқын, y≡0. Бұл шешім тривиалды деп аталады. Оның басқа да тривиалды емес шешімі болу мүмкін, яғни, y≢0.
Біртекті шекаралық есептің қай уақытта тривиалды емес шешімі болатынын қарастырайық.
y1,y2,...,yn - ly=0 дифференциалдық теңдеуінің сызықты тәуелсіз шешімі болсын. Дифференциалдық теңдеулер теориясынан белгілі: ly=0 теңдеуінің әрбір шешімі, сонымен қоса, шекаралық есеп шешімі
y=c1y1+c2y2+...+cnyn
түрінде болу керек, мұнда, c1,c2,...,cn - кейбір тұрақтылар. Бұл өрнектер (1.1.6) шартына қойып, c1,c2,...,cn тұрақтыларын анықтау үшін
c1U1y1+c2U1y2+...+cnU1yn=0c1U2y1+c2 U2y2+...+cnU2yn=0...c1Umy1+c2Umy2+. ..+cnUmyn=0 (1.1.7)
сызықты біртекті теңдеулер жүйесін аламыз. r арқылы матрицаның рангын белгілейміз:
U=U1(y1)U1(y2)U2(y1)U2(y2) ... ..Um( y1)Um(y2)...U1(yn)...U2(yn) ... ... .Um(yn) (1.1.8)
Онда (1.1.7) теңдеуін шекаралық есептің n-r y тәуелсіз шешіміне сәйкес келетін c1,c2,...,cn қатысты n-r тәуелсіз шешімі бар.
Осылайша:
I. U матрицасының рангы r-ге тең болса, онда біртекті шекаралық есептің дәл n-r тәуелсіз шешімі бар.
Дербес жағдайда:
II. а) біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар, сонда және тек сонда ғана, U матрицасының r рангы дифференциалдық оператордың n ретінен кіші болса.
б) егер mn болса, онда біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар.
в) егер m=n болса, онда біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар, сонда және тек сонда ғана, U матрицасының анықтауышы нөльге тең болса (бұл жағдай квадрат матрицасы үшін).
U матрицасының рангы y1,y2,...,yn фундаменталды жүйесін таңдап алынуына байланысты емес. Шынымен де, y1,y2,...,yn жүйесінен y1,y2,...,yn жүйесіне өту анықтауышы нөльге тең
yi=j=1naijyj, i=1,2,...,n
Сызықты түрлендіруі арқылы іске асады. Өту кезінде U матрицасы aij i=1,...,n матрицасына көбейтіліп, U матрицасының рангы өзгермейді. U матрицасының рангы шекаралық есептің рангы деп аталады.
Лагранж формуласы, түйіндес дифференциалдық өрнек.
ly=p0xdnydxn+p1xdn-1ydxn-1+...+pnxy
дифференциалдық өрнектің pkx, k=0,1,2,..n коэффициенттері (n-k) ретке дейін a,b интервалында үзіліссіз туындылары бар болсын.
y және z - C(n) алынған кез келген функциялар болсын. k рет бөліктеп интегралдауды қолданып,
abpn-kzykdx=[pn-kzyk-1-pn-kz'yk-2+. ..+-1k-1pn-kzyk-1]x=ax=b
+-1kabypn-kz(k)dx (1.1.9)
аламыз. k=n, n-1, ..., 0 деп есептеп, алынған теңдіктерді қосу арқылы
ablyzdx=Pη,ξ+abyl*(z)dx (1.1.10)
формуласына келеміз. Мұнда
l*z=-1n(p0z)(n)+(-1)n-1p1z(n-1)+(-1 )n-2p2z(n-2)+...+pnz (1.1.11)
және P(η,ξ) - η=(ya,ya',...,ya(n-1),yb,yb',...,yb (n-1)), ξ=(za,za',...,zan-1, zb,zb',...,zbn-1) айнымалыларына қатысты бисызықты форма. (1.1.11) формуласынан l*z дифференциалдық өрнегі ly дифференциалдық өрнегіне түйіндес деп аталады. (1.1.10) формуласы Лагранж формуласы деп аталады. Алдыңғы пайымдаудан abl*zydx интегралына қолданып,
abl*zydx=Qη,ξ+abzl(y)dx
түріндегі формуласына келеміз. Демек, ly дифференциалдық өрнегі l*z - ке түйіндес:
l**y=l(y)
Басқаша айтқанда, l(y) және l*y дифференциалдық өрнектері бір-біріне түйіндес. (11) формуласынан анықталған түйіндес өрнектен
(l1+l2)*=l1*+l2* (1.1.12)
шығады және егер λ саны,
(λl)*=λl* (1.1.13)
l(y) дифференциалдық өрнегі өзіне-өзі түйіндес деп аталады, егер
l*y=l(y)
(1.1.12) және (1.1.13) формулаларынан келесі шығады:
ΙΙΙ. а) өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің қосындысы да өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болады.
б) өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің нақты санға көбейтіндісі де өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болады.
Барлық өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің жалпы түрін табайық.
ΙV. Кез келген өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің қосындысы
l2vy=(pyv)(v);
l2v-1y=12ipyv-1(v)+ipyv(v-1)
Түріндегі дифференциалдық өрнектің қосындысы болады. Мұнда p - тек нақты мәндерді қабылдайтын функция.
Дәлелі:
abl2vyzdx, abl2v-1yzdx интегралдарын қарастырайық. Мұнда, y,z∈C(n), бөліктеп интегралдау арқылы l2vy, l2v-1y - өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек екенін білу оңай. Сондықтан, l2vy, l2v-1y түріндегі өрнектердің қосындысы да өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болады.
Керісінше, ly=p0y(n)+p1yn-1+...+pny - өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болсын, ly - l2vy, l2v-1y түріндегі өрнектердің қосындысы болатынын дәлелдейік.
Анықтама бойынша, ly -
l*y=-1np0yn+-1n-1p1yn-1+...+pny=
=-1np0yn+-1nnp0'+-1n-1p1yn-1+...
түйіндес өрнекпен сәйкес келу керек.
Бұдан, дербес жағдайда,
p0=(-1)np0 (1.1.14)
шығады. n саналымды, n=2μ болсын, онда (1.1.14)-тен p0=p0 болады, яғни, p0 тек нақты мәнді қабылдайды.
ly -дан өзіне түйіндес өрнекті есептеп,
l2μy=p0y(μ)(μ)=p0y(n)+μp0'y(n-1)+.. .
n-1 ретті ly-l2μy өзіне-өзі түйіндес өрнекті аламыз.
n саналымсыз, n=2μ-1 болсын, онда (1.1.14)-тен p0=-p0 болады. Демек, p0=іp0, мұнда p тек нақты мән қабылдайды. ly -дан өзіне түйіндес өрнекті
l2μ-1y=12ipyμ-1μ+ipyμμ-1=
=ipy2μ-1+12nip'y2μ-2+...=p0y(n)+12n p0'y(n-1)+...
n-1 ретті ly-l2μ-1y өзіне-өзі түйіндес өрнекті аламыз. Бұл пайымдаудан, ly-дан l2v(y) және l2v-1(y) түріндегі өзіне-өзі түйіндес өрнектерді есептеп, l0y=py сәйкес келетін нөльдік ретті өзіне-өзі түйіндес өрнекті алуға болады, мұнда p нақты функция. ΙV сөйлемі дәлелденді.
Егер дербес жағдайда, ly-нақты коэффициенттері бар өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек, онда оның l2μ-1y түріндегі қосындысы болмайды. Демек,
V. нақты коэффициенттері бар кез-келген өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек жұп ретті болады және ly=(p0y(μ))(μ)+(p1y(μ-1))(μ-1)+...+ (pμ-1y')'+pμy түрінде болады. Мұнда p0, p1,..., pμ - нақты функциялар.
Түйіндес шекаралық шарттар, түйіндес операторлар.
U1,...,Um - ya,ya',...,ya(n-1), yb,yb',...,yb(n-1) айнымалыларының сызықты тәуелсіз формалары болсын, оларды m2n кезіндегі формалардың 2n сызықты тәуелсіз жүйеге дейін Um+1,...,U2n қандай да бір формасымен толықтырамыз. Осы формалардың сызықты тәуелсіздігінен ya,ya',...,ya(n-1), yb,yb',...,yb(n-1) айнымалыларын U1,U2,...,U2n формасының сызықты комбинациясы ретінде өрнектеуге болады.
Бұл өрнектерді Лагранж формуласындағы бисызықты Pη,ξ формасына қоямыз. Онда Pη,ξ - U1,U2,...,U2n айнымалылары бар сызықты біртекті форма болады. U1,U2,...,U2n айнымалылары кезінде коэффициенттер za,za',...,za(n-1), zb,zb',...,zb(n-1) айнымалыларынан алынған сызықты біртекті форма болады. Бұл формаларды сәйкес V2n,V2n-1,...,V1 арқылы белгілейміз. Онда Лагранж формуласы келесі түрде болады:
ablyzdx=U1V2n+U2V2n-1+...+U2nV1+aby l*zdx (1.1.15)
V1,V2,...,V2n формалары сызықты тәуелсіз.
Бұл тұжырымдарды дәлелдеу үшін, ең алдымен, Pη,ξ формасы x=a және x=b мәндеріне жауап беретін екі рет алмастыруды қолдану нәтижесінде пайда болатынын ескеру қажет. Демек, ол келесі түрде болады: Pη,ξ=Pbη,ξ-Paη,ξ. Мұнда, Paη,ξ және Pbη,ξ тек x=a және x=b кезінде сәйкес y,y',...,y(n-1); z,z',...,z(n-1) функциялардың мәндерін қабылдайды.
Сондықтан Pη,ξ формасының матрицасы
-∆a00∆b (1.1.16)
түрінде болады. Мұнда ∆a және ∆b - Paη,ξ және Pbη,ξ формаларының сәйкес матрицалары, ал 0 - нөльдік матрица.
Бірақ, (1.1.9) формасынан ∆a және ∆b матрицасының әрқайсысы
... ... ... (-1)n-1p0 ... ... .(-1)n -1p00 ... ... ... ... ..-p0 ... ... . p0 ... ..00
түрінде болады. Мұнда p0 -ды сәйкес x=a және x=b кезінде алу керек. Бұл матрицаның диагональ үстінде тұрған элементтері жазылмаған, себебі, қазір олардың мәні қажет болмай тұр. Демек, олардың әрқайсысының анықтауышы нөльден өзге. (1.1.16)-дан қорытындыласақ, Pη,ξ формасының анықтауышы да нөльден өзге. ya,ya',...,ya(n-1), yb,yb',...,yb(n-1) айнымалысынан U1,U2,...,U2n айнымалысына өту анықтауышы нөльден өзге сызықты түрлендіру болады. Сондықтан, P формасының матрицасының U1,U2,...,U2n және za,za',...,za(n-1), zb,zb',...,zb(n-1) айнымалылары кезінде анықтауыш нөльден өзге. Бірақ бұл матрица бір мезгілде V2n,V2n-1,...,V1 форма коэффициенттерінің матрицасы болады. Демек, бұл формалар сызықты тәуелсіз болады.
V1=0, V2=0, ...,V2n-m=0 (1.1.17)
шекаралық шарты
U1=0, U2=0, ...,Um=0 (1.1.18)
шекаралық шартына түйіндес деп аталады.
Шекаралық шарт өзіне-өзі түйіндес деп аталады, егер олар өздерінің түйіндес шартына эквивалентті болса. l*(y) өрнегі мен (1.1.17) шартынан туындаған дифференциалдық оператор ly өрнегі мен (1.1.18) шартынан туындаған L операторына түйіндес оператор деп аталады. L-ға түйіндес оператор L* арқылы белгіленеді.
(1.1.15) формуласы және (1.1.17), (1.1.18) шекаралық шарттарынан L және L* операторлары үшін
abLyzdx=abyL*zdx (1.1.19)
теңдігі орындалады. Қысқа белгілеуді енгіземіз: y,z=aby(x)z(x)dx. Онда (1.1.19) теңдігі
Ly,z=y,L*z (1.1.20)
түріне келеді. Түйіндес оператор анықтамасынан L операторы L* -ге түйіндес екені шығады L**=L.
L операторы өзіне-өзі түйіндес деп аталады, егер L*=L. L* оперторының анықтамасынан: L операторы өзіне-өзі түйіндес болады, сонда жәәне тек сонда ғана егер ол өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек пен өзіне-өзі түйіндес шекаралық шарттарынан туындаса.
L өзіне-өзі түйіндес оператор кезінде (1.1.20) формуласынан
Ly,z=y,Lz (1.1.21)
түрінде болады.
Түйіндес шекаралық есеп.
Егер L* операторы L операторына түйіндес болса, онда
L*z=0 (1.1.22)
біртекті шекаралық есеп
Ly=0 (1.1.23)
Біртекті шекаралық есебіне түйіндес деп аталады. (1.1.22) шекаралық есепті ашып жазсақ:
l*z=0 (1.1.24)
Vvz=0, v=1,2,...,2n-m (1.1.25)
Мұнда, l*z - l(y) -ға түйіндес дифференциалдық өрнек, ал (1.1.25) - L операторын туындататын шартқа түйіндес шекаралық шарт.
Берілген және түйіндес рангыларының арасындағы қатынастарды табайық.
z1,z2,...,zn - l*z=0 теңдеуінің сызықты тәуелсіз шешімдері және r'
V1(z1)V2(z1) ... V2n-m(z1) ... ... .. ..V1(zn)V2(z1)...V2n-m(zn) (1.1. 26)
матрицасының рангы болсын. Онда (1.1.24), (1.1.25) түйіндес шекаралық есептердің дәл n-r' тәуелсіз шешімі бар.
Бірақ, егер y (1.1.23) формуласында берілген шекаралық есептің кез келген шешімі болса, онда z=zv кезінде Лагранж формуласындағы интегралдар нөльге айналады. Сонымен қатар, U1y=...=Umy=0 . Демек, бұл жағдайда Лагранж формуласы келесі түрде болады:
Um+1yV2n-mzv+...+U2nyV1zv=0
v=1,2,...,n деп есептеп, Um+1y,...,U2ny формалары
Um+1yV2n-mz1+...+U2nyV1z1=0Um+1yV2n -mz2+...+U2nyV1z2=0 ... ..Um+1yV2n-m zn+...+U2nyV1zn=0 (1.1.27)
теңдеулер жүйесін қанағаттандырады. Бұл жүйе кемінде n-r тәуелсіз шешімі бар, Um+1yj,...,U2nyj, j=1,2,...,n-r, мұнда, y1,...,yn-r - (1.1.23) есебінің сызықты тәуелсіз шешімдері. Демек, (1.1.27) жүйе матрицасының рангы =2n-m-n-r=n-m-r. Бірақ, (1.1.27) жүйесінің матрицасы қатар мен бағанның ретіне дейін (26) матрицасымен сәйкес келеді, яғни,
r'=n-m+r (1.1.28)
Бұл жерде теңдік белгісі орындалатынын дәлелдеу керек. Ол үшін, қарастырылып отырған 2 шекаралық есеп өзара түйіндес екенін ескереміз, сондықтан олардың рөлін ауыстыруға болады. Бұл кезде r' және r орындарын ауыстырады, ал m (2n-m) -ге өтеді. Демек, r=n-2n-m+r' , яғни,
r=m-n+r' (1.1.29)
(1.1.28) және (1.1.29)-ды салыстырып,
r'=n-m+r (1.1.30)
аламыз.
VΙ. Шекаралық есептің r рангы түйіндес r' рангпен r'=n-m+r қатынасы арқылы байланысқан. Егер дербес жағдайда, m=n болса, онда (30) формуласынан r'=r екендігі шығады. Демек:
VΙΙ. Егер тәуелсіз шекаралық шарттардың саны дифференциалдық өрнектің ретіне тең болса, онда шекаралық есептің рангы оған түйіндес шекаралық есептің рангымен сәйкес келеді.
Дербес жағдайда:
VΙΙΙ. Егер тәуелсіз шекаралық шарттардың саны дифференциалдық өрнектің ретіне тең болып және егер сәйкес біртекті шекаралық есептің тек тривиалды шешімі бар болса, онда оған түйіндес шекаралық есептің де тек тривиалды шешімі бар.
0.2 Дифференциалдық оператордың меншікті мәндері мен
меншікті функциялары
Меншікті мәндері мен меншікті функцияның анықтамалары.
λ саны L оператордың меншікті мәні деп аталады, егер L оператордың D анықталу облысында
Ly=λy (1.2.1)
орындалатындай y≢0 функциясы бар болса.
Бұл y функциясы λ меншікті мәніне сәйкес келетін L оператордың меншікті функциясы деп аталады.
L операторын туындататын ly және
U1y=0,...,Umy=0 (1.2.2)
дифференциалдық өрнек және шекаралық шарттар. y меншікті функциясы L оператордың анықталу облысына тиісті болу қажет, онда ол (1.2.2) шартын қанағаттандыру керек.сонымен қатар, Ly=l(y), демек, (1.2.1)-ден
l(y)=λy (1.2.3)
аламыз. Демек:
L оператордың меншікті мәндерінің мәні
ly=λy, Uvy=0, v=1,2,...,m (1.2.4)
біртекті шекаралық есебінің тривиалды емес шешімі болатын λ параметрінің мәндері, бұл тривиалды емес шешімдер меншікті функцияларға сәйкес.
Бір ғана λ меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті функцияның сызықты комбинациясы λ-ға сәйкес келетін меншікті функция болады. Шынымен, егер Lyi=λy1 және Ly2=λy2, онда Lc1y1+c2y2=λ(c1y1+c2y2), кез келген c1, c2 тұрақтылары кезінде.
Берілген λ кезінде (1.2.3) біртекті теңдеуінің n-нен аспайтын сызықты тәуелсіз шешімдері болса, онда бұдан, бір меншікті мәнге сәйкес келетін барлық меншікті функцияның жиынының өлшемі =n болатын ақырлы өлшемді кеңістік болады. Бұл кеңістіктің өлшемі λ берілген меншікті мәні кезіндегі (1.2.4) шекаралықесептің сызықты тәуелсіз шешімініңсаны болады; бұл сан меншікті мәндердің еселігі деп аталады.
Меншікті мәндерді табатын шарттарды табайық.
yj(v-1)a,λ={0, j!=v1, j=v (1.2.6)
бастапқы шартпен анықталған (1.2.3) дифференциалдық теңдеу шешімінің фундаменталды жүйесін
y1x,λ, y2x,λ,...,ynx,λ (1.2.5)
арқылы белгілейік.
Сызықты дифференциалдық теңдеулерді шешу туралы теоремадан a,b-дан алынған кез келген бекітілген x үшін (1.2.5) функциялары λ параметрінің бүтін аналитикалық функциялары болады. 4 пунктінің §1 парагрыфының нәтижесінен (1.2.4) шекаралық есептің сонда және тек сонда ғана тривиалды емес шешімі болады, егер
U=U1(y1)...U1(yn) ... ... .Um(y1)... Um(yn)
матрицаның r рангы n-нен кіші болса.
Егер mn, онда rn; бұл жаңдайда (1.2.4) шекаралық есептің кез келген λ мәндерінде тривиалды емес шешімі болады. Демек, mn кезінде кез келген λ меншікті болады.
Егер m=n, онда U матрицасының рангы n-нен кіші болады сонда және тек сонда ғана, U матрицасының n реттегі барлық анықтауыштары нөльге тең болса. Бірақ, осы анықтауыштың әрқайсысы λ-дан алынған бүтін аналитикалық функция болады. Сондықтан, келесі жағдайлар мүмкін:
1. U матрицасының барлық n ретті анықтауыштары нөльге тең. Бұл жағдайда да кез келген λ мәні меншікті.
2. U матрицасының n ретті анықтауыштарының кемінде біреуі нөльге тең емес. Бұл жағдайда меншікті мәндер U матрицасының n ретті анықтауыштарының қалғандары да нөльге айналатын тек осы анықтауыштардың нөльдері ғана бола алады.
Нөльге тең емес бүтін емес функциясының ақырлы шектік нүктесі жоқ саны саналымды нөльдері бар. Демек, 2-ші жағдайда L операторының ақырлы шектікнүктесі жоқ саналымдыдан аспайтын меншікті мәндері бар.
Барлық жағдайларды біріктіріп, келесі альтернативаны аламыз:
Ι. Кез келген L дифференциалдық операторы үщін тек келесі 2 мүмкіндік орынды:
1). Кез келген λ саны L операторының меншікті мәні.
2). L оператордың меншікті мәндерінің жиыны саналымдыдан аспайды және ақырлы шектік нүктелері жоқ.
m=n жағдайы қызығырақ. Келешекте, егер келісіп алынған болмаса, біз тек осы жағдайларды қарастырамыз. m=n кезінде
∆λ=U1(y1)...U1(yn) ... ... .Un(y1).. .Un(yn) (1.2.7)
Алдыңғыдан, ∆λ - λ-дан алынған бүтін аналитикалық функция. Ол L оператордың сипаттамалық анықтауышы деп аталады.
Алдыңғы тұжырымдар бұл жағдайда келесі тұжырымдарға келеді:
ΙΙ. L оператордың меншікті мәндері ∆(λ) функциясының нөльдері. Егер ∆(λ) нөльге тең болса, онда кез келген λ саны L оператордың меншікті мәні.
Егер ∆(λ) функциясы нөльге айналмаса, онда L оператордың ақырлы шектік нүктесі болмайтын саналымдыдан аспайтын меншікті мәндердің саны бар.
Егер дербес жағдайда, ∆(λ) нөль болмаса, онда L оператордың меншікті мәндері болмайды.
ΙΙΙ. Егер λ0 - V еселі ∆(λ) сипаттамалық анықтауышының нөлі болса, онда λ0 меншікті мәнінің еселігі V-дан аспайды.
Дәлелі:
r - ∆(λ0) анықтауыш матрицасының рангы болсын, онда λ0 меншікті мән еселігі n-r болады.
Екінші жағынан, анықтауыштардың дифференциалдық ережесінен λ=λ0 кезінде (n-r-1) ретке дейінгі ∆(λ) анықтауышының туындылары нөльге тең. Себебі, λ0 - V-ң нөльдік еселігі, онда бұдан қорытындыласақ, n-r-1=v-1; демек, n-r=v.
Егер дербес жағдайда, v=1, онда n-r=1; екінші жағынан, n-r=1, немесе ∆λ0=0, демек, n-r=1 келесі нәтижеге келеміз:
ΙV. Егер λ0 - ∆(λ)сипаттамалық анықтауыштың жай нөлі болса, онда L оператордың λ0 меншікті мәндердің еселігі бірге тең. Меншікті мән жай деп аталады, егер ол ∆(λ)сипаттамалық анықтауыштың жай нөлі болса.
Қосылған функциялар.
l(y) дифференциалдық өрнегі мен Uv(y) формаларының коэффициенттері λ параметрінің аналитикалық функциялары болатын ly=0, Uvy=0,v=1,2,...,n меншікті мәндердегі жалпыланған есепті қарастырайық. λ0 - меншікті мәндер, ал φ(х) - осы есептің сәйкес меншікті функциясы. φ1x,φ2x,...,φk(x) функциялар жүйесі φ(х) функциясына қосылған функцияның тізбегі деп аталады, егер φ0, φ1, ..., φк мұнда, φ0=φ, λ=λ0 кезінде
lφq+11!dldλφq-1+...+1q!dqldλqφ0=0, q=0,...,k (1.2.9)
дифференциалдық теңдеулер мен
U0φq+11!dUvdλφq-1+...+1q!dqUvdλqφ0= 0, q=0,...,k, v=1,...,n;(1.2.10)
шарттарын қанағаттандырса. Мұнда, dqldλq дифференциалдық өрнегін, ал dqUvdλq сәйкес l және Uv коэффициенттерінен λ айнымалысы бойынша q ретіндегі туындыларға тең коэффициенттері бар шекаралық форма.
Лемма А: Φ(x,λ) функциясы a=x=b кезінде λ0 нүктесінің кейбір маңайында жинақталатын
Φx,λ=φ0x+φ1xλ-λ0+φ2xλ-λ02+... (1.2. 11)
дәрежелік қатарға жіктелсін. φ0, φ1, ..., φк функциялары (1.2.9) және (1.2.10) теңдеулерін қанағаттандыру үшін λ0 a=x=b кезінде әрбір l(Φ) және U1Φ,...,Un(Φ) функцияларының k еселігінің нөлі болу қажетті және жеткілікті.
Дәлелі: (1.2.9)-ң сол жағы l(Φ) жіктеуінде λ-λ0q кезінде λ-λ0 дәрежесі бойынша коэффициенттке тең; (1.2.10)-ң сол жағында осыған ұқсас түрде болады.
Лемма Б: φ0, φ1, ..., φк функциялары (1.2.9) теңдігін қанағаттандырсын, ал Φx,λ функциясы (1.2.11) формуласымен анықталсын. Егер ly=0 (a=x=b) теңдеуінің шешімі yx,λ - x= a кезінде Φx,λ функциясы қанағаттандыратын бастапқы шарттарды қанағаттандырса, онда yx,λ және Φx,λ функциясының λ-λ0 дәрежесі бойынша алғашқы k+1 мүшесі сәйкес келеді.
Дәлелі: (1.2.12) шарты бойынша
lyx.λ=0y(q)a,λ=Φ(q)a,λ, q=0,...,n-1 (1.2.12)
Φ(q)a,λ0=φ0(q)(a) болғандықтан, онда дифференциалдық теңдеулер шешімдерінің жалғыздығы туралы теоремадан yx,λ0=φ0(x). Жіктеудің келесі коэффициенттерінің сәйкес келуі λ бойынша дифференциалданатын (1.2.12)-ден алынатын қатынастардың көмегімен дәлелденеді.
Салдар: yx.λ функциясы лемма Б-ң шарттарын және сонымен қатар φ0, φ1, ..., φк (1.2.9) және (1.2.10) шарттарын қанағаттандырсын. Онда λ0 әрбір U1y,...,Un(y) функцияларының k еселігінің нөлі болады.
φn(x) меншікті функциясының m0 еселігі бар деп айтамыз, егер m0-1 функциядан тұратын оған қосылған функцияның тізбегі бар болса және m0 функциясынан құралған тізбек болмаса.
V. егер λ0 - m еселі Δ(λ) функциясының нөлі болса, онда λ0 -ге жауап беретін кез келген меншікті функцияның еселігі m-нен аспайды.
Дәлелі: φ0(x) - m0 еселігі меншікті функция, k=m0-1 және φ1x,φ2x,...,φk(x) - қосылған функциялардың сәйкес тізбегі болсын.
y1x,λ=y(x,λ), мұнда y(x,λ) - Б леммасының шартын қанағаттандыратын функция болсын. y2x,λ,...,,ynx,λарқылы λ=λ0 нүктесінің аймағында y1x,λ мен бірге ly=0 теңдеу шешімінің фундаменталды жүйесін құратын функцияны белгілейік. Алдыңғы салдардан λ0 сәйкес Δ(λ) анықтауышының k еселігінің нөлі болады. Демек, km, яғни, m0=m.
φ1 максималды еселікті меншікті функция; φ2 - φ1-ден сызықты тәуелсіз меншікті функциялардың арасында максимал еселікті меншікті функция; φj - φ1,φ2,...,φj-1-ден сызықты тәуелсіз меншікті функциялар арасында максимал еселікті меншікті функция болсын. Осындай функциялардың жалпы саны λ0 меншікті мәндерінің p еселігіне тең екені айқын. mj арқылы φj меншікті функциясының еселігін, ал φj1, φj2,...,φj,mj-1 арқылы қосылған функцияның сәйкес тізбегін белгілейміз. mj сандарының анықтамасынан m1=m2=...=mp шығалы. Алынған φj1, φj2,...,φj,mj-1, j=1,2,...,p функцияның жүйесі меншікті және қосылған функциялардың каноникалық жүйесі деп аталады.
VΙ. m1+m2+...+mp еселіктің қосындысы Δ(λ) функциясының λ0 нөлінің еселігіне тең. m1+m2+...+mp=m.
Дәлелі: yjx,λ - x=a кезінде
φix+φj1xλ-λ0+...+φjmj-1(x)(λ-λ0)m0- 1
функциясы бастапқы шарттарды қанағаттандыратын ly=0 теңдеуінің шешімі болсын және yp+1x,λ,...,ynx,λ функциялары y1x,λ,...,ypx,λ мен бірге λ0 нүктесінің аймағында ly=0 теңдеуінің шешімінің фундаменталды жүйесін құрады. y1x,λ,...,ynx,λ функциясының көмегімен Δ(λ) анықтауышын құрамыз. Себебі, А және Б леммаларынан λ0 i=1,...,p кезінде Δ(λ) анықтауышының i-ші баған элементтернің =mi еселігінің нөлі болғандықтан, онда m=m1+...+mp , мұнда m - Δ(λ)-ң түбірі ретінде λ0 -ң еселігі. Кері теңсіздікті дәлелдеу үшін
Δλ=λ-λ0m1+...+mpΔ1(λ) болсын, және біздің тұжырымға қарамай, Δ1(λ0)=0 . Онда Δ1(λ0) анықтауышының j нөмірі бар бағаны нөмірлері j бағанының сызықты комбинациясы болатындай j бар болады. αj+1,...,αn арқылы осы сызықты комбинацияның сәйкес коэффициенттерін белгілейміз және
yx,λ=yjx,λ-ijαiyi(x,λ)
болсын, мұнда, yix,λ=λ-λ0mj-miyix,λ, ij; Осы кезде біз ip үшін mi=0 деп есептейміз. yx,λ функциясын осылай анықтау кезінде λ0 саны l(yx,λ) функциясының кез келген еселігінің нөлі(бұл функция нөльге тең)және Uvy1;v=1,...,n функциясыеың =mj+1 еселігінің түбірі болады. Демек, А леммасынан y(x,λ0) - =mj+1 еселігі бар меншікті функция болады. j=p кезінде бұл φ1,...,φj-1 -ден сызықты тәуелсіз меншікті функциялардың =mj еселігі бар дегенге қайшы. jp кезінде φ1,...,φp -дан сызықты тәуелсіз меншікті функциялар бар дегенді білдіреді, ал бұл да мүмкін емес.
VΙ. Меншікті және қосылған функциялардың каноникалық жүйесі қосылған функциялар меншікті функциялар жиынын керекті өлшем кеңістігіне дейін толықтыратын өлшемі Δλ анықтауышының λ0 түбірлерінің еселігіне тең ішкі кеңістік туындатады.
Қосылған функциялар теориясы ақырлы өлшемді кеңістігі сызықты оператордың элементар бөлгіштерінің теориясының аналогы болып келеді. Осында келтірілген қосылған функциялар тнориясы М.В.Келдышке тиісті.
Түйіндес оператордың меншікті мәндері мен меншікті функциялар арасындағы қатынастар:
Теорема 1: Егер λ - L оператордың p еселі меншікті мәні болса, онда λ - L* түйіндес оператордың p еселі меншікті мәні.
Дәлелі: l(y) дифференциалдық өрнегі мен Uvy=0, v=1,2,...,m шартарынан туындаған L операторы болсын, ал L* операторы - l*(y) және Vvy=0, v=1,2,...,n шартарынан. liy=ly-λy болсын, онда l1*y=l*y-λy болады. Егер λ - p еселі L оператордың меншікті мәні болса, онда l1y=0, Uvy=0, v=1,2,...,n шекаралық есептің p сызықты тәуелсіз шешімі бар. §1-ң VΙΙ тұжырымынан
l1*y=0, Vvy=0, v=1,2,...,n
түйіндес шекаралық есебінің де p сызықты тәуелсіз шешімі бар. Бұл, λ - p еселі L оператордың меншікті мәні екенін білдіреді.
y(x) және z(x) екі функция ортогональды деп аталады, егер y,z=0 болса.
Теорема 2: Сәйкес λ және μ меншікті мәндерге сәйкес келетін L және L* операторларының меншікті функциялары ортогональды, егер λ!=μ.
Дәлелі: y - λ меншікті мәніне сәйкес келетін L оператордың меншікті функциясы болсын, ал z - μ меншікті мәніне сәйкес келетін L* оператордың меншікті функциясы болсын. Бұл Ly=λy және L*z=μz екенін білдіреді. Бұдан,
Ly,z=λy,z=λ(y,z)
y,L*z=y,μz=μ(y,z)
Бірақ, Ly,z=y,L*z, сондықтан, алдыңғы екі теңдікті мүшелеп алып тастасақ,
λ-μy,z=0 аламыз. λ!=μ -дан y,z=0 екені шығады, яғни, y және z функциялары ортогональды.
Өзіне-өзі түйіндес оператордың меншікті мәндер мен меншікті функциялары.
Теорема 3: Өзіне-өзі түйіндес оператордың барлық меншікті мәндері нақты.
Дәлелі: Егер L - Өзіне-өзі түйіндес оператор болса, онда Ly,z=(y,Lz); дербес жағдайда, Ly,y=(y,Ly). Екінші жағынан, y,Ly=Ly,y; Демек, Ly,y нақты сан.
λ - L оператордың меншікті мәні болсын, ал y - сәйкес меншікті функция. Онда, Ly=λy екені шығады. Себебі, (y,y)0, ал Ly,y нақты сан, онда λ=Ly,y(y,y) те нақты сан. Теорема 2 және теорема 3-тен:
Салдар: Әртүрлі меншікті мәндер сәйкес өзіне-өзі түйіндес оператордың меншікті функциясы ортогональды.
Бір меншікті мәнге сәйкес келетін меншікті функцияларды сонымен қатар, өзара ортогональды етіп таңдауға болады. Ол үшін бір меншікті мәнге сәйкес келетін барлық меншікті функциялардың ішкі кеңістігінде ортогональды базис алсақ жеткілікті. Нәтижесінде, L оператордың меншікті функциясының ортогональды жүйесін аламыз.
Меншікті мәндердегі есептердің мысалдары.
1). -y''=λy;y0=y1; y'0=y'(1) (1.2.13)
дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.
y=Acosλx+Bsinλx
шекаралық шартқа қойып, λn=2nPI2, n=0,1,2,3,... меншікті мәндер болатынын табу оңай. n!=0 кезінде λn меншікті мәніне екі сызықты тәуелсіз cos2nPIx, sin(2nPIx) меншікті функциялары жауап береді; Демек, n!=0 кезінде λn екі еселі меншікті мән болады. n=0 кезінде λ0=0 меншікті мәніне тұрақты көбейткішке дейінгі дәлдікпен тек бір ғана y≡1 меншікті функциясы
жауап береді; демек, меншікті мәндер бір еселі.
2). Оның x=l ұшы қысылған, ал x=0 ұшы бос болатын, ұзындығы l-ға тең стерженьды қарастырайық. x=0 бос ұшына стерженьның ось бойына бағытталған P қысу күші қойылған.
P-ң жеткілікті кіші мәндерінде стерженьның тік сызықты формасы орнықты болатыны белгілі.
Бірақ, pp0 кезінде стерженның тік сызықты формасы орнықсыз және стержень майысқақ келетін p күшінің p0 критикалық мәні бар болады.
Бұл майысқан сызықтың басталған жерінен бастап қарастырып көрейік; басқаша айтқанда, тік сызықтан аз айырмашылығы бар тепе-теңдік жағдайын қарастырайық.
Онда y=y(x) стерженьның майысқан ось келесі түрде болады.
Py=-EIy'' (1.2.14)
Мұнда, I - стерженьның қиюының аксиолды мезгілі, E - Юнг модулі.
Шынымен де, теңдеудің оң және сол жақтары басынан бастап X қашықтығында стерженьның қиюында майысқақ мезгілді өрнектейді.
Тұрақты қиюдың біртекті стерженьның қарапайым жағдайын қарастырайық; онда EI=const . λ=PEI болсын деп,
-y''=λy (1.2.15)
теңдігін аламыз. y(x)
y0=0, y'l=0 (1.2.16)
шартын қанағаттандырады. Біз (1.2.15), (1.2.16) меншікті мәндер туралы есепке өтеміз. (1.2.16) шартына (1.2.15) теңдеуінің y=Acosλx+Bsinλx жалпы шешімін қойып,
A=0, cosλl=0 екенін табамыз. Бұдан, λ=2n-12lPI2, n=1,2,3,... . Бұл меншікті мәндер жай және оларға yx=Bsin2n-12lPIx меншікті функциялар сәйкес келеді.
Меншікті мәндерге Pn=EI(2n-12l)2 критикалық жүктемелер сәйкес келеді, ал меншікті функциялары көбейткішке дейінгі дәлдікпен стерженьның тепе-теңдігінің сәйкес формаларын анықтайды.
Айнымалы қиюы бар стерженьның жағдайында EI x -тан алынған функция болады. 1(EI)=ρ(x) деп, меншікті мәндер туралы келесі есепке келеміз:
-y''=Pρxy, y0=0, y'l=0
кез келген p(x) функциясының жалпы жағдайында меншікті мәндерді және меншікті функцияларды жуықтап шешу ғана мүмкін болады.
3). Бұл жағдайда x=0 нүктесінде H реакциясының горизонталь күш пайда болады. Сондықтан, майысқан мезгіл M=Py-Hx=-EIy'' . Бұл теңдікті екі рет дифференциалдап,
(EIy'')''=-Py'' (1.2.17)
аламыз. Сонымен қатар, y(x) функциясы
y0=0, y''0=0, yl=0, y'l=0 (1.2.18)
шекаралық шартын қанағаттандыру керек.
Шынымен де, бірінші және үшінші шарттар айқын; ал екіншісі x=0 нүктесінде майысқақ мезгіл нөльге тең немесе бұл нүктеде бекіту шарнирды екенін білдіреді; соңғы шарт x=l ұшы қысылған дегеннен шығады, демек, жанама ox осімен сәйкес келеді.
Біз меншікті мәндердің жалпыланған (1.2.17), (1.2.18) есебіне келеміз.
Мысалы, EI=const болсын; P:EI=r2 деп есептеп; сонымен қатар, қарапайымдылық үшін l=1 деп есептейік. Онда (1.2.17) теңдігі
yΙV=-R2y'' (1.2.19)
түріне келеді. Оның k!=0 кезінде жалпы интегралы:
y=A+Bx+Ccoskx+Dsinkx (1.2.20)
(1.2.18) шекаралық шартынан, A=C=0 және меншікті мәндер tgk=k теңдеуінің түбірлерінің мәні болып шығады. Олар қисықтың қиылысудың абцисса нүктелері ретінде анықталады.
y=tgx және y=x
Бұл меншікті мәндер қарапайым; оларға y=sinkx-xsink меншікті функциялар сәйкес келеді. k=0 кезінде дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы
y=A+Bx+Cx2+Dx3 (1.2.21)
болады. (1.2.18) шекаралық шарттары тек A=B=C=D=0 кезінде ғана қанағаттандырылады; демек, k=0 меншікті мән болмайды.
4). yΙV=-R2y''; y''0=y'''0=y1=y'1=0, егер k=0, онда (1.2.21) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы бұл шекаралық шарттарды тек
A=B=C=D=0 кезінде ғана қанағаттандырады. Егер k!=0, онда (1.2.20) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы да бұл шекаралық шартты тек
A=B=C=D=0 кезінде ғана қанағаттандырады. Демек, қарастырылып отырған есептің меншікті мәндері жоқ.
5). yΙV=-R2y''; y0=y'0=y''0=y(1).
Жоғарыда айтылғандай k=0 меншікті мәндері болмайтынын көз жеткіземіз. k!=0 кезінде (1.2.20) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын шекаралық шартқа қойып, sink=k аламыз. Бұл теңдеулердің k=0 өзге тек комплекс түбірлері бар. Демек, қарастырып отырған есептің тек коплекс меншікті мәндері бар.
6). Бекітілген шектің меншікті айытқуы: шектің бос кіші көлденең ауытқулар теңдеуі:
d2udt2=a2d2udx2 (1.2.22)
Мұнда, u=ux,t - t мезгіліндегі x абциссамен бірге шек нүктесінің жылжуы және a -кейбір тұрақты.
Шектің меншікті ауытқуы деп (1.2.22) теңдеуінің келесі түрдегі шешімдері аталады:
u=ux,t=yxsin(awt+φ) (1.2.23)
(22) қойып, yx функциясы
y''+w2y=0 (1.2.24)
Дифференциалдық теңдеуін қанағаттандырсын. Егер шектің ұзындығы бірге тең болса, онда оның ұштарындағы бекіту шарттары келесі түрде жазылады:
y0=yl=0 (1.2.25)
меншікті мәндер туралы (1.2.24), (1.2.25) есебіне келеміз. (1.2.25) шекаралық шартына (1.2.24) теңдеуінің y=Acoswx+Bsinwx жалпы интегралына қою арқылы A=0, sinw=0 аламыз. Бұдан, w=nPI, n=1,2,3,...
Осылайша, wn2=(nPI)2, n=1,2,3,...меншікті мәні болады. Бұл меншікті мәндер қарапайым және оларға ynx=BnsinnPIx меншікті функциялар сәйкес келеді.
Қарастырырылған жағдайда, меншікті мәндер және меншікті функциялардың қарапайым механикалық мәні бар. Тұрақты көбейткішке дейінгі дәлдікпен меншікті мәндер жиіліктің квадраттары, ал меншікті фугкциялар меншікті ауытқудың амплитудалық функциялары болады.
1 Екінші ретті жай дифференциалдық операторлар үшін қисынды шекаралық есептің түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттері
2.1 Түбірлік функциялар жүйесінің қасиеттері
Бұл бөлімде L2(0,1) функционал кеңістігінде
lyx≔-y''x+qxux=fx, 0x1
y(v-1)0-01lyxσv(x)dx=0, v=1,2
локалдық емес есепке сәйкес келетін Lσ1σ2 екінші ретті жай дифференциалдық операторын қарастырайық. Мұндағы, σv(x) - L2(0,1) кеңістігінен алынған шекаралық функция, σv түйіндестікті білдіреді. Lσ1σ2 операторының түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттерін зерттейміз. Шекаралық функциялардың берілген терминдерінде Lσ1σ2 операторының түбірлік функциялар жүйесінің толықтығы туралы жеткілікті шарт алынған.
σ1∙, σ2(∙) - L2(0,1) функционал кеңістігінен алынған кез келген функциялар болсын. λ функциясы бойынша бүтіндерді енгіземіз:
Δλ=1-λφ1∙,λ,σ1(∙)-λφ2∙,λ,σ1(∙)- λφ1∙,λ,σ2(∙)1-λφ2∙,λ,σ2(∙) (2.1 .1)
k1x,λ=φ1(x,λ)φ2(x,λ)-λφ1∙,λ,σ2(∙) 1-λφ2∙,λ,σ2(∙) (2.1.2)
k2x,λ=1-λφ1∙,λ,σ1(∙)-λφ2∙,λ,σ1(∙ )φ1(x,λ)φ2(x,λ) (2.1.3)
Мұндағы, ∙,∙ скаляр көбейтіндіні білдіреді, яғни,
f∙,g∙ =01fxgxdx
және φix,λ, i=1,2 арнайы фундаменталды шешімдер, яғни, келесі есептің шешімдері
lφix,λ=λφi(x,λ)
φi(v-1)0,λ=δiv, v=1,2
Λ=λ1,λ2,... арқылы Δ(λ) бүтін функциясының нөльдерінің тізбегін белгілейміз. Δ(λ) функциясының әрбір λs нөлі ms еселі
Yσ1σ2=1j!djkv(x,λ)dλjλ=λ0:j=0,ms-1 ,v=1,2, λs∈Λ
Есепті құру: L2(0,1) кеңістігінен алынған σ1∙, σ2(∙) шарттары қандай болған кезде Yσ1σ2 функциясының жүйесі L2(0,1) функционал кеңістігінде толық жүйе бола ма?
Yσ1σ2 функциясының жүйесі σ1∙, σ2(∙) функциялары шекаралық функциялар рөлін атқаратын l(∙) операторы бар түбірлік функциялар жүйесін өрнектейді. Дифференциалдық операторлар түбірлік жүйе ретінде болатын жағдайда экспоненталар жүйесі пайда болады.
Жұмыстың негізгі нәтижесін құрайық:
Теорема 1.1: Егер
limε--0+01ε0εσ11-xσ2x-σ1xσ21-xdx!= 0
онда, Yσ1σ2 функциясының жүйесі L2(0,1) функционал кеңістігінде толық.
Теорема 1.1.-ң дәлелі екі этаптан тұрады:
1). Алдымен, L2(0,1) кеңістігінде kv∙,μ, v=1,2, ∀μϵC функциялар жиынының толықтығы дәлелденеді.
2). Содан кейін, kv∙,μ, v=1,2, ∀μϵC функцияларын кез келген дәлдікпен Yσ1σ2 элементтерінің сызықты комбинациясына жуықтауға болатын қажеттілік шартын табу.
Тұжырым 1: теорема1.1-ң орындалсын, онда , L2(0,1) кеңістігінде
kix,μ=limN--infinityλsRNv=12j=0ms -1cs,ms-1-j(v)1j!djkv(x,λ)dλjλ=λs, i=1,2
жіктелуі орындалатындай RNinfinity, RN--infinity бар. Мұнда, cs,ms-1-j(v) - Yσ1σ2 жүйесі бойынша kix,μ i=1,2 функциясының Фурье коэффициенттерінің аналогы.
Теорема(М.Өтелбаев): а).
lx=fx, 0x1, (2.1.4)
yv-10-01(lx)σv(x)dx=0, v=1,2. (2.1.5)
локалды шекаралық есебі үшін L2(0,1) кеңістігінен алынған кез келген σv(x), v=1,2 функциялары үшін L2(0,1) кеңістігінен L-1 үзіліссіз кері операторы болатындай L операторын сәйкестікке қоялық.
б). Оң жағы кез келген f(x)∈L2(0,1) болатын кейбір қосымша шарттары бар (2.1.4) біртекті емес теңдеуінің W22[0,1] кеңістігінде жалғыз y(x) шешімі бар және ол шешім үшін келесі априорлық бағалау орындалсын:
yL2(0.1)=cfL2(0.1)
Онда қосымша шарттары (2.1.5) шартына эквивалентті болатын L2(0.1) кеңістігінен σv(x), v=1,2 жалғыз ғана функциялар жиыны табылады. (2.1.4), (2.1.5) шарттарына сәйкес операторды Lσ1,σ2 деп белгілейміз.
Анықтама 2.1: △(λ) функциясын (2.1.4), (2.1.5) шекаралық есептерінің характеристикалық анықтауышы деп атаймыз.
λ бойынша келесі бүтін функцияларды қарастырайық:
k1x.λ=cosλxsinλxλ-λ01cosλτσ2τdτ1-λ0 1sinλτλσ2τdτ,
k2x.λ=1-λ01cosλτσ1τdτ-λ01sinλτλσ1(τ )dτcosλxsinλxλ.
Анықтама 2.2: k1x.λ, k2x.λ функцияларын lx=λy(x) теңдеуінің басты шешімі деп аталады.
Келешекте k1x.λ, k2x.λ басты шешімдерінің кейбір негізгі қасиеттері қажет болады.
Лемма 2.1: Кез келген λ комплекс сандары үшін келесі қатынастар орындалады:
1). kv(i-1)0,λ-λ01kvx,λσixdx=δiv∆(λ)
Келесі теоремада Lσ1,σ2 оператор резольвентасының интегралдық өрнегі беріледі.
Теорема 2.1: Lσ1,σ2 оператор резольвентасы келесі қатынаспен анықталады
(Lσ1,σ2-λI)-1fx=(L00-λI)-1fx+i=12k1 x.λ∆λf∙,M1∙,λ
мұндағы, Mit,λ=L00*(L00*-λI)-1σi, i=1,2.
L00* - L00 операторының түйіндес операторы. Ескере кетсек, L00 - операторы σ1=σ1=0 кезіндегі (2.1),(2.2) есебіне сәйкес оператор. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1 Негізгі түсініктер мен тұжырымдар
1.1 Сызықты дифференциалдық оператордың анықтамасы
мен негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
1.2 Дифференциалдық оператордың меншікті мәндері мен
меншікті функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...15
2 Екінші ретті жай дифференциалдық операторлар үшін қисынды шекаралық есептің түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттері
2.1 Түбірлік функциялар жүйесінің қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... .27
2.2 Түбірлік функциялар жүйесінің басты шешімдерінің
апроксимациясы ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...36
3 Ауытқыған диференциалдық оператор меншікті мәндерінің асимптотикасы
3.1 Екінші ретті ауытқыған дифференциалдық оператор меншікті мәндерінің асимптотикасы туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .39
3.2 Жоғарғы ретті ауытқыған дифференциалдық операторлардың меншікті мәндерінің асимптотикасы туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... 44
4 Айнымалы коэффициенттері бар екінші ретті біртекті емес дифференциалдық теңдеулер үшін барлық жерде шешілетін шекаралық есептер
4.1 Қосымша тұжырымдар мен теоремалардың дәлелдері ... ... ... ... ... ..50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 85
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...86
Кіріспе
Соңғы он жылдықтарда дифференциалдық теңдеулер теориясы ішкі және сыртқы күштер әсерінен тез дамыды. Яғни, ішкі күштер дифференциалдық теңдеулер теориясын топологиялық және аналитикалық әдістердің дамуы мен тереңдеуіне алып келсе. Сыртқы күштер ретінде техниканың, әсіресе, байланыс техникасының, автоматты басқару және электрониканың дамуы зор ықпалын тигізді.
Математикалық физиканың көптеген мәселелері дифференциалдық операторлардың меншікті мәндері мен меншікті функцияларын табу және меншікті функциялар бойынша қатарға жіктеуге келіп тіреледі. Осындай есептерге дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін Фурье әдістерін қолдану арқылы келеді. Сондықтан, жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді зерттеуге көп назар бөлінген. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді зерттеуге арналған еңбектер де аз емес.
Бұл жұмыста локалдық емес есептерге сәйкес келетін екінші ретті жай дифференциалдық операторлар қарастырамыз. Екінші ретті жай дифференциалдық операторлардың түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттерін зерттейміз. Екінші ретті жай дифференциалдық операторлардың түбірлік функциялар жүйесінің жеткілікті шарттарын аламыз.
Сонымен қоса, жоғарғы ретті жай дифференциалдық теңдеулер үшін қисынды шекаралық шарттарды табуға есептер қарастырылған. Барлық тұжырымдар леммалар, тұжырымдар, теоремалар ретінде құрасытырылып, математикалық тұрпатқа сәйкес қатаң дәлелденген. Бұл жұмыста жүргізілген зерртеу әдістері дифференциалдық операторлардың классикалық теориясына негізделген.
1 Негізгі түсініктер мен тұжырымдар
0.1 Сызықты дифференциалдық оператордың анықтамасы мен негізгі қасиеттері
Сызықты дифференциалдық өрнек. Сызықтық дифференциалды өрнек деп келесі өрнек атаймыз
l y= p 0xyn + p 1xyn-1+...+ pn (x) y (1.1.1)
p 0x, p 1x, pn (x) функциялары коэффициент деп аталады, ал n дифференциалдық өрнектің реті.
Біз осы бөлімде тұспалдаймыз, 1p0(x), , p 0x, p 1x, pn (x) функциялары бекітілген ақырлы [a, b] интервалында үзіліссіз, ал кейбір жағдайларда оларға тағы да қосымша шарттарды қоямыз.
C(n) арқылы [a, b] бекітілген тұйық ақырлы интервалымен қоса n ретке дейінгі үзіліссіз туындылары бар y (x) барлық функцияларының жиынтығын белгілейміз.
[a, b] интервалында үзіліссіз функция болатын, барлық yϵ C(n) функциясы үшін l (y) дифференциалды өрнегінде анықталған.
Шекаралық шарттар. (1.1.2) арқылы у функциясының мәндерін және оның a мен b нүктелеріне сәйкес алғашқы n - 1 туындысы берілсін:
ya,ya',...,ya(n-1); yb,yb',...,yb(n-1) (1.1.2)
Uy арқылы (1.1.2)-ң айнымалыларына қатысты сызықты формасын Uy келесі түрді қабылдайтындай белгілейміз:
Uy=∝0уα+∝1уα'+...+∝n - 1уα(n - 1)+β0уb+β1уb'+...+βn-1уb(n-1) (1.1.3)
Егер осындай форманың бірнешеуі берілсе Uv(y), v=1,2,...,m, онда келесі теңдік
Uvy=0, v=1,2,...,m (1.1.4)
шекаралық шарт деп аталады.
(1.1.4)-шекаралық шарттын қанағаттандыратын D арқылы барлық у∈C(n) функцияның жиынтығын белгілейміз
D C(n)-де сызықтық кеңістік екені айқын, (1.1.4) өрнек жоқ болса D C(n)-ге сәйкес келеді. (4)-шартпен анықталған кейбір дифференциалдық l(y) өрнегі және кейбір D бейнесі берілген. Әрбір у∈D функцияға сәйкестікке u=l(у) функциясын қоямыз. Бұл сәйкестік D облысы бар сызықтық операторды білдіреді. Оны L арқылы белгілейміз. Осылайша, егер у∈D және u=l(у) онда L операторының анықтамасы бойынша:
u=L у
Дифференциалдық өрнек l(у) және (1.1.4) шекаралық шарттан пайда болған L операторы дифференциалдық оператор деп аталады.
Осылайша (1.1.4) шекаралық шарттын таңдап алуына байланысты бір диффренциалдық оператордан әртүрлі дифференциалдық өрнектер пайда болады.
Егер дербес жағдайда, (1.1.4) шарты болмаса, онда D=∁(n) анықталу облысы бар дифференциалдық оператор пайда болады, оны l1 арқылы белгілейміз. l(у) диф-ференциалдық өрнектен пайда болған барлық L операторының кеңейтілуі екені анық.
Көптеген сұрақтарды қарастырғанда тек қана кеңінен анықталған L1 операторы емес, сонымен қатар L1 операторының қысылуы болатын жоғарыда айтылған оператор қарастырған жеңіл екен.
Uv(y) - дің кейбір формасы басқаларының сызықтық комбинациясы болуы мүмкін. Онда осындай формаға сәйкес келетін Uv(y)=0 басқаларының салдары болады және оны алып тастауға болады. Сондықтан Uv(y) формасын басынан бастап сызықтық тәуелсіз деп есептесе болады. Бұл осы форманың коэффициенттерінен құралған матрицаның рангы m-ге тең екені белгілі.
Егер m=2n болса, онда (1.1.4) келесі түрде болған кезде ғана орындалады:
уα=уα'=...=уα(n-1)=уβ=уβ'=...=уβ(n- 1)=0
Осындай шартпен пайда болған дифференциалдық операторды L0 арқылы белгілейік.
Біртекті шекаралық есеп.
l(y)=0 (1.1.5)
Uv(y)=0, v=1,2,...,m (1.1.6)
шарттарын қанағаттандыратын C(n)-нен алынған y функциясын табу есебі біртекті шекаралық есеп деп аталады. L - l(y) дифференциалдық өрнегі мен (1.1.6) шартынан туындаған оператор, онда біртекті шекаралық есепті шешу нөльге айналатын D анықталу облысында y функциясының L операторын табуға келіп тіреледі.
Әрбір біртекті шекаралық есептің кемінде бір шешімі болатыны айқын, y≡0. Бұл шешім тривиалды деп аталады. Оның басқа да тривиалды емес шешімі болу мүмкін, яғни, y≢0.
Біртекті шекаралық есептің қай уақытта тривиалды емес шешімі болатынын қарастырайық.
y1,y2,...,yn - ly=0 дифференциалдық теңдеуінің сызықты тәуелсіз шешімі болсын. Дифференциалдық теңдеулер теориясынан белгілі: ly=0 теңдеуінің әрбір шешімі, сонымен қоса, шекаралық есеп шешімі
y=c1y1+c2y2+...+cnyn
түрінде болу керек, мұнда, c1,c2,...,cn - кейбір тұрақтылар. Бұл өрнектер (1.1.6) шартына қойып, c1,c2,...,cn тұрақтыларын анықтау үшін
c1U1y1+c2U1y2+...+cnU1yn=0c1U2y1+c2 U2y2+...+cnU2yn=0...c1Umy1+c2Umy2+. ..+cnUmyn=0 (1.1.7)
сызықты біртекті теңдеулер жүйесін аламыз. r арқылы матрицаның рангын белгілейміз:
U=U1(y1)U1(y2)U2(y1)U2(y2) ... ..Um( y1)Um(y2)...U1(yn)...U2(yn) ... ... .Um(yn) (1.1.8)
Онда (1.1.7) теңдеуін шекаралық есептің n-r y тәуелсіз шешіміне сәйкес келетін c1,c2,...,cn қатысты n-r тәуелсіз шешімі бар.
Осылайша:
I. U матрицасының рангы r-ге тең болса, онда біртекті шекаралық есептің дәл n-r тәуелсіз шешімі бар.
Дербес жағдайда:
II. а) біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар, сонда және тек сонда ғана, U матрицасының r рангы дифференциалдық оператордың n ретінен кіші болса.
б) егер mn болса, онда біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар.
в) егер m=n болса, онда біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар, сонда және тек сонда ғана, U матрицасының анықтауышы нөльге тең болса (бұл жағдай квадрат матрицасы үшін).
U матрицасының рангы y1,y2,...,yn фундаменталды жүйесін таңдап алынуына байланысты емес. Шынымен де, y1,y2,...,yn жүйесінен y1,y2,...,yn жүйесіне өту анықтауышы нөльге тең
yi=j=1naijyj, i=1,2,...,n
Сызықты түрлендіруі арқылы іске асады. Өту кезінде U матрицасы aij i=1,...,n матрицасына көбейтіліп, U матрицасының рангы өзгермейді. U матрицасының рангы шекаралық есептің рангы деп аталады.
Лагранж формуласы, түйіндес дифференциалдық өрнек.
ly=p0xdnydxn+p1xdn-1ydxn-1+...+pnxy
дифференциалдық өрнектің pkx, k=0,1,2,..n коэффициенттері (n-k) ретке дейін a,b интервалында үзіліссіз туындылары бар болсын.
y және z - C(n) алынған кез келген функциялар болсын. k рет бөліктеп интегралдауды қолданып,
abpn-kzykdx=[pn-kzyk-1-pn-kz'yk-2+. ..+-1k-1pn-kzyk-1]x=ax=b
+-1kabypn-kz(k)dx (1.1.9)
аламыз. k=n, n-1, ..., 0 деп есептеп, алынған теңдіктерді қосу арқылы
ablyzdx=Pη,ξ+abyl*(z)dx (1.1.10)
формуласына келеміз. Мұнда
l*z=-1n(p0z)(n)+(-1)n-1p1z(n-1)+(-1 )n-2p2z(n-2)+...+pnz (1.1.11)
және P(η,ξ) - η=(ya,ya',...,ya(n-1),yb,yb',...,yb (n-1)), ξ=(za,za',...,zan-1, zb,zb',...,zbn-1) айнымалыларына қатысты бисызықты форма. (1.1.11) формуласынан l*z дифференциалдық өрнегі ly дифференциалдық өрнегіне түйіндес деп аталады. (1.1.10) формуласы Лагранж формуласы деп аталады. Алдыңғы пайымдаудан abl*zydx интегралына қолданып,
abl*zydx=Qη,ξ+abzl(y)dx
түріндегі формуласына келеміз. Демек, ly дифференциалдық өрнегі l*z - ке түйіндес:
l**y=l(y)
Басқаша айтқанда, l(y) және l*y дифференциалдық өрнектері бір-біріне түйіндес. (11) формуласынан анықталған түйіндес өрнектен
(l1+l2)*=l1*+l2* (1.1.12)
шығады және егер λ саны,
(λl)*=λl* (1.1.13)
l(y) дифференциалдық өрнегі өзіне-өзі түйіндес деп аталады, егер
l*y=l(y)
(1.1.12) және (1.1.13) формулаларынан келесі шығады:
ΙΙΙ. а) өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің қосындысы да өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болады.
б) өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің нақты санға көбейтіндісі де өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болады.
Барлық өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің жалпы түрін табайық.
ΙV. Кез келген өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің қосындысы
l2vy=(pyv)(v);
l2v-1y=12ipyv-1(v)+ipyv(v-1)
Түріндегі дифференциалдық өрнектің қосындысы болады. Мұнда p - тек нақты мәндерді қабылдайтын функция.
Дәлелі:
abl2vyzdx, abl2v-1yzdx интегралдарын қарастырайық. Мұнда, y,z∈C(n), бөліктеп интегралдау арқылы l2vy, l2v-1y - өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек екенін білу оңай. Сондықтан, l2vy, l2v-1y түріндегі өрнектердің қосындысы да өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болады.
Керісінше, ly=p0y(n)+p1yn-1+...+pny - өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болсын, ly - l2vy, l2v-1y түріндегі өрнектердің қосындысы болатынын дәлелдейік.
Анықтама бойынша, ly -
l*y=-1np0yn+-1n-1p1yn-1+...+pny=
=-1np0yn+-1nnp0'+-1n-1p1yn-1+...
түйіндес өрнекпен сәйкес келу керек.
Бұдан, дербес жағдайда,
p0=(-1)np0 (1.1.14)
шығады. n саналымды, n=2μ болсын, онда (1.1.14)-тен p0=p0 болады, яғни, p0 тек нақты мәнді қабылдайды.
ly -дан өзіне түйіндес өрнекті есептеп,
l2μy=p0y(μ)(μ)=p0y(n)+μp0'y(n-1)+.. .
n-1 ретті ly-l2μy өзіне-өзі түйіндес өрнекті аламыз.
n саналымсыз, n=2μ-1 болсын, онда (1.1.14)-тен p0=-p0 болады. Демек, p0=іp0, мұнда p тек нақты мән қабылдайды. ly -дан өзіне түйіндес өрнекті
l2μ-1y=12ipyμ-1μ+ipyμμ-1=
=ipy2μ-1+12nip'y2μ-2+...=p0y(n)+12n p0'y(n-1)+...
n-1 ретті ly-l2μ-1y өзіне-өзі түйіндес өрнекті аламыз. Бұл пайымдаудан, ly-дан l2v(y) және l2v-1(y) түріндегі өзіне-өзі түйіндес өрнектерді есептеп, l0y=py сәйкес келетін нөльдік ретті өзіне-өзі түйіндес өрнекті алуға болады, мұнда p нақты функция. ΙV сөйлемі дәлелденді.
Егер дербес жағдайда, ly-нақты коэффициенттері бар өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек, онда оның l2μ-1y түріндегі қосындысы болмайды. Демек,
V. нақты коэффициенттері бар кез-келген өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек жұп ретті болады және ly=(p0y(μ))(μ)+(p1y(μ-1))(μ-1)+...+ (pμ-1y')'+pμy түрінде болады. Мұнда p0, p1,..., pμ - нақты функциялар.
Түйіндес шекаралық шарттар, түйіндес операторлар.
U1,...,Um - ya,ya',...,ya(n-1), yb,yb',...,yb(n-1) айнымалыларының сызықты тәуелсіз формалары болсын, оларды m2n кезіндегі формалардың 2n сызықты тәуелсіз жүйеге дейін Um+1,...,U2n қандай да бір формасымен толықтырамыз. Осы формалардың сызықты тәуелсіздігінен ya,ya',...,ya(n-1), yb,yb',...,yb(n-1) айнымалыларын U1,U2,...,U2n формасының сызықты комбинациясы ретінде өрнектеуге болады.
Бұл өрнектерді Лагранж формуласындағы бисызықты Pη,ξ формасына қоямыз. Онда Pη,ξ - U1,U2,...,U2n айнымалылары бар сызықты біртекті форма болады. U1,U2,...,U2n айнымалылары кезінде коэффициенттер za,za',...,za(n-1), zb,zb',...,zb(n-1) айнымалыларынан алынған сызықты біртекті форма болады. Бұл формаларды сәйкес V2n,V2n-1,...,V1 арқылы белгілейміз. Онда Лагранж формуласы келесі түрде болады:
ablyzdx=U1V2n+U2V2n-1+...+U2nV1+aby l*zdx (1.1.15)
V1,V2,...,V2n формалары сызықты тәуелсіз.
Бұл тұжырымдарды дәлелдеу үшін, ең алдымен, Pη,ξ формасы x=a және x=b мәндеріне жауап беретін екі рет алмастыруды қолдану нәтижесінде пайда болатынын ескеру қажет. Демек, ол келесі түрде болады: Pη,ξ=Pbη,ξ-Paη,ξ. Мұнда, Paη,ξ және Pbη,ξ тек x=a және x=b кезінде сәйкес y,y',...,y(n-1); z,z',...,z(n-1) функциялардың мәндерін қабылдайды.
Сондықтан Pη,ξ формасының матрицасы
-∆a00∆b (1.1.16)
түрінде болады. Мұнда ∆a және ∆b - Paη,ξ және Pbη,ξ формаларының сәйкес матрицалары, ал 0 - нөльдік матрица.
Бірақ, (1.1.9) формасынан ∆a және ∆b матрицасының әрқайсысы
... ... ... (-1)n-1p0 ... ... .(-1)n -1p00 ... ... ... ... ..-p0 ... ... . p0 ... ..00
түрінде болады. Мұнда p0 -ды сәйкес x=a және x=b кезінде алу керек. Бұл матрицаның диагональ үстінде тұрған элементтері жазылмаған, себебі, қазір олардың мәні қажет болмай тұр. Демек, олардың әрқайсысының анықтауышы нөльден өзге. (1.1.16)-дан қорытындыласақ, Pη,ξ формасының анықтауышы да нөльден өзге. ya,ya',...,ya(n-1), yb,yb',...,yb(n-1) айнымалысынан U1,U2,...,U2n айнымалысына өту анықтауышы нөльден өзге сызықты түрлендіру болады. Сондықтан, P формасының матрицасының U1,U2,...,U2n және za,za',...,za(n-1), zb,zb',...,zb(n-1) айнымалылары кезінде анықтауыш нөльден өзге. Бірақ бұл матрица бір мезгілде V2n,V2n-1,...,V1 форма коэффициенттерінің матрицасы болады. Демек, бұл формалар сызықты тәуелсіз болады.
V1=0, V2=0, ...,V2n-m=0 (1.1.17)
шекаралық шарты
U1=0, U2=0, ...,Um=0 (1.1.18)
шекаралық шартына түйіндес деп аталады.
Шекаралық шарт өзіне-өзі түйіндес деп аталады, егер олар өздерінің түйіндес шартына эквивалентті болса. l*(y) өрнегі мен (1.1.17) шартынан туындаған дифференциалдық оператор ly өрнегі мен (1.1.18) шартынан туындаған L операторына түйіндес оператор деп аталады. L-ға түйіндес оператор L* арқылы белгіленеді.
(1.1.15) формуласы және (1.1.17), (1.1.18) шекаралық шарттарынан L және L* операторлары үшін
abLyzdx=abyL*zdx (1.1.19)
теңдігі орындалады. Қысқа белгілеуді енгіземіз: y,z=aby(x)z(x)dx. Онда (1.1.19) теңдігі
Ly,z=y,L*z (1.1.20)
түріне келеді. Түйіндес оператор анықтамасынан L операторы L* -ге түйіндес екені шығады L**=L.
L операторы өзіне-өзі түйіндес деп аталады, егер L*=L. L* оперторының анықтамасынан: L операторы өзіне-өзі түйіндес болады, сонда жәәне тек сонда ғана егер ол өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек пен өзіне-өзі түйіндес шекаралық шарттарынан туындаса.
L өзіне-өзі түйіндес оператор кезінде (1.1.20) формуласынан
Ly,z=y,Lz (1.1.21)
түрінде болады.
Түйіндес шекаралық есеп.
Егер L* операторы L операторына түйіндес болса, онда
L*z=0 (1.1.22)
біртекті шекаралық есеп
Ly=0 (1.1.23)
Біртекті шекаралық есебіне түйіндес деп аталады. (1.1.22) шекаралық есепті ашып жазсақ:
l*z=0 (1.1.24)
Vvz=0, v=1,2,...,2n-m (1.1.25)
Мұнда, l*z - l(y) -ға түйіндес дифференциалдық өрнек, ал (1.1.25) - L операторын туындататын шартқа түйіндес шекаралық шарт.
Берілген және түйіндес рангыларының арасындағы қатынастарды табайық.
z1,z2,...,zn - l*z=0 теңдеуінің сызықты тәуелсіз шешімдері және r'
V1(z1)V2(z1) ... V2n-m(z1) ... ... .. ..V1(zn)V2(z1)...V2n-m(zn) (1.1. 26)
матрицасының рангы болсын. Онда (1.1.24), (1.1.25) түйіндес шекаралық есептердің дәл n-r' тәуелсіз шешімі бар.
Бірақ, егер y (1.1.23) формуласында берілген шекаралық есептің кез келген шешімі болса, онда z=zv кезінде Лагранж формуласындағы интегралдар нөльге айналады. Сонымен қатар, U1y=...=Umy=0 . Демек, бұл жағдайда Лагранж формуласы келесі түрде болады:
Um+1yV2n-mzv+...+U2nyV1zv=0
v=1,2,...,n деп есептеп, Um+1y,...,U2ny формалары
Um+1yV2n-mz1+...+U2nyV1z1=0Um+1yV2n -mz2+...+U2nyV1z2=0 ... ..Um+1yV2n-m zn+...+U2nyV1zn=0 (1.1.27)
теңдеулер жүйесін қанағаттандырады. Бұл жүйе кемінде n-r тәуелсіз шешімі бар, Um+1yj,...,U2nyj, j=1,2,...,n-r, мұнда, y1,...,yn-r - (1.1.23) есебінің сызықты тәуелсіз шешімдері. Демек, (1.1.27) жүйе матрицасының рангы =2n-m-n-r=n-m-r. Бірақ, (1.1.27) жүйесінің матрицасы қатар мен бағанның ретіне дейін (26) матрицасымен сәйкес келеді, яғни,
r'=n-m+r (1.1.28)
Бұл жерде теңдік белгісі орындалатынын дәлелдеу керек. Ол үшін, қарастырылып отырған 2 шекаралық есеп өзара түйіндес екенін ескереміз, сондықтан олардың рөлін ауыстыруға болады. Бұл кезде r' және r орындарын ауыстырады, ал m (2n-m) -ге өтеді. Демек, r=n-2n-m+r' , яғни,
r=m-n+r' (1.1.29)
(1.1.28) және (1.1.29)-ды салыстырып,
r'=n-m+r (1.1.30)
аламыз.
VΙ. Шекаралық есептің r рангы түйіндес r' рангпен r'=n-m+r қатынасы арқылы байланысқан. Егер дербес жағдайда, m=n болса, онда (30) формуласынан r'=r екендігі шығады. Демек:
VΙΙ. Егер тәуелсіз шекаралық шарттардың саны дифференциалдық өрнектің ретіне тең болса, онда шекаралық есептің рангы оған түйіндес шекаралық есептің рангымен сәйкес келеді.
Дербес жағдайда:
VΙΙΙ. Егер тәуелсіз шекаралық шарттардың саны дифференциалдық өрнектің ретіне тең болып және егер сәйкес біртекті шекаралық есептің тек тривиалды шешімі бар болса, онда оған түйіндес шекаралық есептің де тек тривиалды шешімі бар.
0.2 Дифференциалдық оператордың меншікті мәндері мен
меншікті функциялары
Меншікті мәндері мен меншікті функцияның анықтамалары.
λ саны L оператордың меншікті мәні деп аталады, егер L оператордың D анықталу облысында
Ly=λy (1.2.1)
орындалатындай y≢0 функциясы бар болса.
Бұл y функциясы λ меншікті мәніне сәйкес келетін L оператордың меншікті функциясы деп аталады.
L операторын туындататын ly және
U1y=0,...,Umy=0 (1.2.2)
дифференциалдық өрнек және шекаралық шарттар. y меншікті функциясы L оператордың анықталу облысына тиісті болу қажет, онда ол (1.2.2) шартын қанағаттандыру керек.сонымен қатар, Ly=l(y), демек, (1.2.1)-ден
l(y)=λy (1.2.3)
аламыз. Демек:
L оператордың меншікті мәндерінің мәні
ly=λy, Uvy=0, v=1,2,...,m (1.2.4)
біртекті шекаралық есебінің тривиалды емес шешімі болатын λ параметрінің мәндері, бұл тривиалды емес шешімдер меншікті функцияларға сәйкес.
Бір ғана λ меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті функцияның сызықты комбинациясы λ-ға сәйкес келетін меншікті функция болады. Шынымен, егер Lyi=λy1 және Ly2=λy2, онда Lc1y1+c2y2=λ(c1y1+c2y2), кез келген c1, c2 тұрақтылары кезінде.
Берілген λ кезінде (1.2.3) біртекті теңдеуінің n-нен аспайтын сызықты тәуелсіз шешімдері болса, онда бұдан, бір меншікті мәнге сәйкес келетін барлық меншікті функцияның жиынының өлшемі =n болатын ақырлы өлшемді кеңістік болады. Бұл кеңістіктің өлшемі λ берілген меншікті мәні кезіндегі (1.2.4) шекаралықесептің сызықты тәуелсіз шешімініңсаны болады; бұл сан меншікті мәндердің еселігі деп аталады.
Меншікті мәндерді табатын шарттарды табайық.
yj(v-1)a,λ={0, j!=v1, j=v (1.2.6)
бастапқы шартпен анықталған (1.2.3) дифференциалдық теңдеу шешімінің фундаменталды жүйесін
y1x,λ, y2x,λ,...,ynx,λ (1.2.5)
арқылы белгілейік.
Сызықты дифференциалдық теңдеулерді шешу туралы теоремадан a,b-дан алынған кез келген бекітілген x үшін (1.2.5) функциялары λ параметрінің бүтін аналитикалық функциялары болады. 4 пунктінің §1 парагрыфының нәтижесінен (1.2.4) шекаралық есептің сонда және тек сонда ғана тривиалды емес шешімі болады, егер
U=U1(y1)...U1(yn) ... ... .Um(y1)... Um(yn)
матрицаның r рангы n-нен кіші болса.
Егер mn, онда rn; бұл жаңдайда (1.2.4) шекаралық есептің кез келген λ мәндерінде тривиалды емес шешімі болады. Демек, mn кезінде кез келген λ меншікті болады.
Егер m=n, онда U матрицасының рангы n-нен кіші болады сонда және тек сонда ғана, U матрицасының n реттегі барлық анықтауыштары нөльге тең болса. Бірақ, осы анықтауыштың әрқайсысы λ-дан алынған бүтін аналитикалық функция болады. Сондықтан, келесі жағдайлар мүмкін:
1. U матрицасының барлық n ретті анықтауыштары нөльге тең. Бұл жағдайда да кез келген λ мәні меншікті.
2. U матрицасының n ретті анықтауыштарының кемінде біреуі нөльге тең емес. Бұл жағдайда меншікті мәндер U матрицасының n ретті анықтауыштарының қалғандары да нөльге айналатын тек осы анықтауыштардың нөльдері ғана бола алады.
Нөльге тең емес бүтін емес функциясының ақырлы шектік нүктесі жоқ саны саналымды нөльдері бар. Демек, 2-ші жағдайда L операторының ақырлы шектікнүктесі жоқ саналымдыдан аспайтын меншікті мәндері бар.
Барлық жағдайларды біріктіріп, келесі альтернативаны аламыз:
Ι. Кез келген L дифференциалдық операторы үщін тек келесі 2 мүмкіндік орынды:
1). Кез келген λ саны L операторының меншікті мәні.
2). L оператордың меншікті мәндерінің жиыны саналымдыдан аспайды және ақырлы шектік нүктелері жоқ.
m=n жағдайы қызығырақ. Келешекте, егер келісіп алынған болмаса, біз тек осы жағдайларды қарастырамыз. m=n кезінде
∆λ=U1(y1)...U1(yn) ... ... .Un(y1).. .Un(yn) (1.2.7)
Алдыңғыдан, ∆λ - λ-дан алынған бүтін аналитикалық функция. Ол L оператордың сипаттамалық анықтауышы деп аталады.
Алдыңғы тұжырымдар бұл жағдайда келесі тұжырымдарға келеді:
ΙΙ. L оператордың меншікті мәндері ∆(λ) функциясының нөльдері. Егер ∆(λ) нөльге тең болса, онда кез келген λ саны L оператордың меншікті мәні.
Егер ∆(λ) функциясы нөльге айналмаса, онда L оператордың ақырлы шектік нүктесі болмайтын саналымдыдан аспайтын меншікті мәндердің саны бар.
Егер дербес жағдайда, ∆(λ) нөль болмаса, онда L оператордың меншікті мәндері болмайды.
ΙΙΙ. Егер λ0 - V еселі ∆(λ) сипаттамалық анықтауышының нөлі болса, онда λ0 меншікті мәнінің еселігі V-дан аспайды.
Дәлелі:
r - ∆(λ0) анықтауыш матрицасының рангы болсын, онда λ0 меншікті мән еселігі n-r болады.
Екінші жағынан, анықтауыштардың дифференциалдық ережесінен λ=λ0 кезінде (n-r-1) ретке дейінгі ∆(λ) анықтауышының туындылары нөльге тең. Себебі, λ0 - V-ң нөльдік еселігі, онда бұдан қорытындыласақ, n-r-1=v-1; демек, n-r=v.
Егер дербес жағдайда, v=1, онда n-r=1; екінші жағынан, n-r=1, немесе ∆λ0=0, демек, n-r=1 келесі нәтижеге келеміз:
ΙV. Егер λ0 - ∆(λ)сипаттамалық анықтауыштың жай нөлі болса, онда L оператордың λ0 меншікті мәндердің еселігі бірге тең. Меншікті мән жай деп аталады, егер ол ∆(λ)сипаттамалық анықтауыштың жай нөлі болса.
Қосылған функциялар.
l(y) дифференциалдық өрнегі мен Uv(y) формаларының коэффициенттері λ параметрінің аналитикалық функциялары болатын ly=0, Uvy=0,v=1,2,...,n меншікті мәндердегі жалпыланған есепті қарастырайық. λ0 - меншікті мәндер, ал φ(х) - осы есептің сәйкес меншікті функциясы. φ1x,φ2x,...,φk(x) функциялар жүйесі φ(х) функциясына қосылған функцияның тізбегі деп аталады, егер φ0, φ1, ..., φк мұнда, φ0=φ, λ=λ0 кезінде
lφq+11!dldλφq-1+...+1q!dqldλqφ0=0, q=0,...,k (1.2.9)
дифференциалдық теңдеулер мен
U0φq+11!dUvdλφq-1+...+1q!dqUvdλqφ0= 0, q=0,...,k, v=1,...,n;(1.2.10)
шарттарын қанағаттандырса. Мұнда, dqldλq дифференциалдық өрнегін, ал dqUvdλq сәйкес l және Uv коэффициенттерінен λ айнымалысы бойынша q ретіндегі туындыларға тең коэффициенттері бар шекаралық форма.
Лемма А: Φ(x,λ) функциясы a=x=b кезінде λ0 нүктесінің кейбір маңайында жинақталатын
Φx,λ=φ0x+φ1xλ-λ0+φ2xλ-λ02+... (1.2. 11)
дәрежелік қатарға жіктелсін. φ0, φ1, ..., φк функциялары (1.2.9) және (1.2.10) теңдеулерін қанағаттандыру үшін λ0 a=x=b кезінде әрбір l(Φ) және U1Φ,...,Un(Φ) функцияларының k еселігінің нөлі болу қажетті және жеткілікті.
Дәлелі: (1.2.9)-ң сол жағы l(Φ) жіктеуінде λ-λ0q кезінде λ-λ0 дәрежесі бойынша коэффициенттке тең; (1.2.10)-ң сол жағында осыған ұқсас түрде болады.
Лемма Б: φ0, φ1, ..., φк функциялары (1.2.9) теңдігін қанағаттандырсын, ал Φx,λ функциясы (1.2.11) формуласымен анықталсын. Егер ly=0 (a=x=b) теңдеуінің шешімі yx,λ - x= a кезінде Φx,λ функциясы қанағаттандыратын бастапқы шарттарды қанағаттандырса, онда yx,λ және Φx,λ функциясының λ-λ0 дәрежесі бойынша алғашқы k+1 мүшесі сәйкес келеді.
Дәлелі: (1.2.12) шарты бойынша
lyx.λ=0y(q)a,λ=Φ(q)a,λ, q=0,...,n-1 (1.2.12)
Φ(q)a,λ0=φ0(q)(a) болғандықтан, онда дифференциалдық теңдеулер шешімдерінің жалғыздығы туралы теоремадан yx,λ0=φ0(x). Жіктеудің келесі коэффициенттерінің сәйкес келуі λ бойынша дифференциалданатын (1.2.12)-ден алынатын қатынастардың көмегімен дәлелденеді.
Салдар: yx.λ функциясы лемма Б-ң шарттарын және сонымен қатар φ0, φ1, ..., φк (1.2.9) және (1.2.10) шарттарын қанағаттандырсын. Онда λ0 әрбір U1y,...,Un(y) функцияларының k еселігінің нөлі болады.
φn(x) меншікті функциясының m0 еселігі бар деп айтамыз, егер m0-1 функциядан тұратын оған қосылған функцияның тізбегі бар болса және m0 функциясынан құралған тізбек болмаса.
V. егер λ0 - m еселі Δ(λ) функциясының нөлі болса, онда λ0 -ге жауап беретін кез келген меншікті функцияның еселігі m-нен аспайды.
Дәлелі: φ0(x) - m0 еселігі меншікті функция, k=m0-1 және φ1x,φ2x,...,φk(x) - қосылған функциялардың сәйкес тізбегі болсын.
y1x,λ=y(x,λ), мұнда y(x,λ) - Б леммасының шартын қанағаттандыратын функция болсын. y2x,λ,...,,ynx,λарқылы λ=λ0 нүктесінің аймағында y1x,λ мен бірге ly=0 теңдеу шешімінің фундаменталды жүйесін құратын функцияны белгілейік. Алдыңғы салдардан λ0 сәйкес Δ(λ) анықтауышының k еселігінің нөлі болады. Демек, km, яғни, m0=m.
φ1 максималды еселікті меншікті функция; φ2 - φ1-ден сызықты тәуелсіз меншікті функциялардың арасында максимал еселікті меншікті функция; φj - φ1,φ2,...,φj-1-ден сызықты тәуелсіз меншікті функциялар арасында максимал еселікті меншікті функция болсын. Осындай функциялардың жалпы саны λ0 меншікті мәндерінің p еселігіне тең екені айқын. mj арқылы φj меншікті функциясының еселігін, ал φj1, φj2,...,φj,mj-1 арқылы қосылған функцияның сәйкес тізбегін белгілейміз. mj сандарының анықтамасынан m1=m2=...=mp шығалы. Алынған φj1, φj2,...,φj,mj-1, j=1,2,...,p функцияның жүйесі меншікті және қосылған функциялардың каноникалық жүйесі деп аталады.
VΙ. m1+m2+...+mp еселіктің қосындысы Δ(λ) функциясының λ0 нөлінің еселігіне тең. m1+m2+...+mp=m.
Дәлелі: yjx,λ - x=a кезінде
φix+φj1xλ-λ0+...+φjmj-1(x)(λ-λ0)m0- 1
функциясы бастапқы шарттарды қанағаттандыратын ly=0 теңдеуінің шешімі болсын және yp+1x,λ,...,ynx,λ функциялары y1x,λ,...,ypx,λ мен бірге λ0 нүктесінің аймағында ly=0 теңдеуінің шешімінің фундаменталды жүйесін құрады. y1x,λ,...,ynx,λ функциясының көмегімен Δ(λ) анықтауышын құрамыз. Себебі, А және Б леммаларынан λ0 i=1,...,p кезінде Δ(λ) анықтауышының i-ші баған элементтернің =mi еселігінің нөлі болғандықтан, онда m=m1+...+mp , мұнда m - Δ(λ)-ң түбірі ретінде λ0 -ң еселігі. Кері теңсіздікті дәлелдеу үшін
Δλ=λ-λ0m1+...+mpΔ1(λ) болсын, және біздің тұжырымға қарамай, Δ1(λ0)=0 . Онда Δ1(λ0) анықтауышының j нөмірі бар бағаны нөмірлері j бағанының сызықты комбинациясы болатындай j бар болады. αj+1,...,αn арқылы осы сызықты комбинацияның сәйкес коэффициенттерін белгілейміз және
yx,λ=yjx,λ-ijαiyi(x,λ)
болсын, мұнда, yix,λ=λ-λ0mj-miyix,λ, ij; Осы кезде біз ip үшін mi=0 деп есептейміз. yx,λ функциясын осылай анықтау кезінде λ0 саны l(yx,λ) функциясының кез келген еселігінің нөлі(бұл функция нөльге тең)және Uvy1;v=1,...,n функциясыеың =mj+1 еселігінің түбірі болады. Демек, А леммасынан y(x,λ0) - =mj+1 еселігі бар меншікті функция болады. j=p кезінде бұл φ1,...,φj-1 -ден сызықты тәуелсіз меншікті функциялардың =mj еселігі бар дегенге қайшы. jp кезінде φ1,...,φp -дан сызықты тәуелсіз меншікті функциялар бар дегенді білдіреді, ал бұл да мүмкін емес.
VΙ. Меншікті және қосылған функциялардың каноникалық жүйесі қосылған функциялар меншікті функциялар жиынын керекті өлшем кеңістігіне дейін толықтыратын өлшемі Δλ анықтауышының λ0 түбірлерінің еселігіне тең ішкі кеңістік туындатады.
Қосылған функциялар теориясы ақырлы өлшемді кеңістігі сызықты оператордың элементар бөлгіштерінің теориясының аналогы болып келеді. Осында келтірілген қосылған функциялар тнориясы М.В.Келдышке тиісті.
Түйіндес оператордың меншікті мәндері мен меншікті функциялар арасындағы қатынастар:
Теорема 1: Егер λ - L оператордың p еселі меншікті мәні болса, онда λ - L* түйіндес оператордың p еселі меншікті мәні.
Дәлелі: l(y) дифференциалдық өрнегі мен Uvy=0, v=1,2,...,m шартарынан туындаған L операторы болсын, ал L* операторы - l*(y) және Vvy=0, v=1,2,...,n шартарынан. liy=ly-λy болсын, онда l1*y=l*y-λy болады. Егер λ - p еселі L оператордың меншікті мәні болса, онда l1y=0, Uvy=0, v=1,2,...,n шекаралық есептің p сызықты тәуелсіз шешімі бар. §1-ң VΙΙ тұжырымынан
l1*y=0, Vvy=0, v=1,2,...,n
түйіндес шекаралық есебінің де p сызықты тәуелсіз шешімі бар. Бұл, λ - p еселі L оператордың меншікті мәні екенін білдіреді.
y(x) және z(x) екі функция ортогональды деп аталады, егер y,z=0 болса.
Теорема 2: Сәйкес λ және μ меншікті мәндерге сәйкес келетін L және L* операторларының меншікті функциялары ортогональды, егер λ!=μ.
Дәлелі: y - λ меншікті мәніне сәйкес келетін L оператордың меншікті функциясы болсын, ал z - μ меншікті мәніне сәйкес келетін L* оператордың меншікті функциясы болсын. Бұл Ly=λy және L*z=μz екенін білдіреді. Бұдан,
Ly,z=λy,z=λ(y,z)
y,L*z=y,μz=μ(y,z)
Бірақ, Ly,z=y,L*z, сондықтан, алдыңғы екі теңдікті мүшелеп алып тастасақ,
λ-μy,z=0 аламыз. λ!=μ -дан y,z=0 екені шығады, яғни, y және z функциялары ортогональды.
Өзіне-өзі түйіндес оператордың меншікті мәндер мен меншікті функциялары.
Теорема 3: Өзіне-өзі түйіндес оператордың барлық меншікті мәндері нақты.
Дәлелі: Егер L - Өзіне-өзі түйіндес оператор болса, онда Ly,z=(y,Lz); дербес жағдайда, Ly,y=(y,Ly). Екінші жағынан, y,Ly=Ly,y; Демек, Ly,y нақты сан.
λ - L оператордың меншікті мәні болсын, ал y - сәйкес меншікті функция. Онда, Ly=λy екені шығады. Себебі, (y,y)0, ал Ly,y нақты сан, онда λ=Ly,y(y,y) те нақты сан. Теорема 2 және теорема 3-тен:
Салдар: Әртүрлі меншікті мәндер сәйкес өзіне-өзі түйіндес оператордың меншікті функциясы ортогональды.
Бір меншікті мәнге сәйкес келетін меншікті функцияларды сонымен қатар, өзара ортогональды етіп таңдауға болады. Ол үшін бір меншікті мәнге сәйкес келетін барлық меншікті функциялардың ішкі кеңістігінде ортогональды базис алсақ жеткілікті. Нәтижесінде, L оператордың меншікті функциясының ортогональды жүйесін аламыз.
Меншікті мәндердегі есептердің мысалдары.
1). -y''=λy;y0=y1; y'0=y'(1) (1.2.13)
дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.
y=Acosλx+Bsinλx
шекаралық шартқа қойып, λn=2nPI2, n=0,1,2,3,... меншікті мәндер болатынын табу оңай. n!=0 кезінде λn меншікті мәніне екі сызықты тәуелсіз cos2nPIx, sin(2nPIx) меншікті функциялары жауап береді; Демек, n!=0 кезінде λn екі еселі меншікті мән болады. n=0 кезінде λ0=0 меншікті мәніне тұрақты көбейткішке дейінгі дәлдікпен тек бір ғана y≡1 меншікті функциясы
жауап береді; демек, меншікті мәндер бір еселі.
2). Оның x=l ұшы қысылған, ал x=0 ұшы бос болатын, ұзындығы l-ға тең стерженьды қарастырайық. x=0 бос ұшына стерженьның ось бойына бағытталған P қысу күші қойылған.
P-ң жеткілікті кіші мәндерінде стерженьның тік сызықты формасы орнықты болатыны белгілі.
Бірақ, pp0 кезінде стерженның тік сызықты формасы орнықсыз және стержень майысқақ келетін p күшінің p0 критикалық мәні бар болады.
Бұл майысқан сызықтың басталған жерінен бастап қарастырып көрейік; басқаша айтқанда, тік сызықтан аз айырмашылығы бар тепе-теңдік жағдайын қарастырайық.
Онда y=y(x) стерженьның майысқан ось келесі түрде болады.
Py=-EIy'' (1.2.14)
Мұнда, I - стерженьның қиюының аксиолды мезгілі, E - Юнг модулі.
Шынымен де, теңдеудің оң және сол жақтары басынан бастап X қашықтығында стерженьның қиюында майысқақ мезгілді өрнектейді.
Тұрақты қиюдың біртекті стерженьның қарапайым жағдайын қарастырайық; онда EI=const . λ=PEI болсын деп,
-y''=λy (1.2.15)
теңдігін аламыз. y(x)
y0=0, y'l=0 (1.2.16)
шартын қанағаттандырады. Біз (1.2.15), (1.2.16) меншікті мәндер туралы есепке өтеміз. (1.2.16) шартына (1.2.15) теңдеуінің y=Acosλx+Bsinλx жалпы шешімін қойып,
A=0, cosλl=0 екенін табамыз. Бұдан, λ=2n-12lPI2, n=1,2,3,... . Бұл меншікті мәндер жай және оларға yx=Bsin2n-12lPIx меншікті функциялар сәйкес келеді.
Меншікті мәндерге Pn=EI(2n-12l)2 критикалық жүктемелер сәйкес келеді, ал меншікті функциялары көбейткішке дейінгі дәлдікпен стерженьның тепе-теңдігінің сәйкес формаларын анықтайды.
Айнымалы қиюы бар стерженьның жағдайында EI x -тан алынған функция болады. 1(EI)=ρ(x) деп, меншікті мәндер туралы келесі есепке келеміз:
-y''=Pρxy, y0=0, y'l=0
кез келген p(x) функциясының жалпы жағдайында меншікті мәндерді және меншікті функцияларды жуықтап шешу ғана мүмкін болады.
3). Бұл жағдайда x=0 нүктесінде H реакциясының горизонталь күш пайда болады. Сондықтан, майысқан мезгіл M=Py-Hx=-EIy'' . Бұл теңдікті екі рет дифференциалдап,
(EIy'')''=-Py'' (1.2.17)
аламыз. Сонымен қатар, y(x) функциясы
y0=0, y''0=0, yl=0, y'l=0 (1.2.18)
шекаралық шартын қанағаттандыру керек.
Шынымен де, бірінші және үшінші шарттар айқын; ал екіншісі x=0 нүктесінде майысқақ мезгіл нөльге тең немесе бұл нүктеде бекіту шарнирды екенін білдіреді; соңғы шарт x=l ұшы қысылған дегеннен шығады, демек, жанама ox осімен сәйкес келеді.
Біз меншікті мәндердің жалпыланған (1.2.17), (1.2.18) есебіне келеміз.
Мысалы, EI=const болсын; P:EI=r2 деп есептеп; сонымен қатар, қарапайымдылық үшін l=1 деп есептейік. Онда (1.2.17) теңдігі
yΙV=-R2y'' (1.2.19)
түріне келеді. Оның k!=0 кезінде жалпы интегралы:
y=A+Bx+Ccoskx+Dsinkx (1.2.20)
(1.2.18) шекаралық шартынан, A=C=0 және меншікті мәндер tgk=k теңдеуінің түбірлерінің мәні болып шығады. Олар қисықтың қиылысудың абцисса нүктелері ретінде анықталады.
y=tgx және y=x
Бұл меншікті мәндер қарапайым; оларға y=sinkx-xsink меншікті функциялар сәйкес келеді. k=0 кезінде дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы
y=A+Bx+Cx2+Dx3 (1.2.21)
болады. (1.2.18) шекаралық шарттары тек A=B=C=D=0 кезінде ғана қанағаттандырылады; демек, k=0 меншікті мән болмайды.
4). yΙV=-R2y''; y''0=y'''0=y1=y'1=0, егер k=0, онда (1.2.21) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы бұл шекаралық шарттарды тек
A=B=C=D=0 кезінде ғана қанағаттандырады. Егер k!=0, онда (1.2.20) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы да бұл шекаралық шартты тек
A=B=C=D=0 кезінде ғана қанағаттандырады. Демек, қарастырылып отырған есептің меншікті мәндері жоқ.
5). yΙV=-R2y''; y0=y'0=y''0=y(1).
Жоғарыда айтылғандай k=0 меншікті мәндері болмайтынын көз жеткіземіз. k!=0 кезінде (1.2.20) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын шекаралық шартқа қойып, sink=k аламыз. Бұл теңдеулердің k=0 өзге тек комплекс түбірлері бар. Демек, қарастырып отырған есептің тек коплекс меншікті мәндері бар.
6). Бекітілген шектің меншікті айытқуы: шектің бос кіші көлденең ауытқулар теңдеуі:
d2udt2=a2d2udx2 (1.2.22)
Мұнда, u=ux,t - t мезгіліндегі x абциссамен бірге шек нүктесінің жылжуы және a -кейбір тұрақты.
Шектің меншікті ауытқуы деп (1.2.22) теңдеуінің келесі түрдегі шешімдері аталады:
u=ux,t=yxsin(awt+φ) (1.2.23)
(22) қойып, yx функциясы
y''+w2y=0 (1.2.24)
Дифференциалдық теңдеуін қанағаттандырсын. Егер шектің ұзындығы бірге тең болса, онда оның ұштарындағы бекіту шарттары келесі түрде жазылады:
y0=yl=0 (1.2.25)
меншікті мәндер туралы (1.2.24), (1.2.25) есебіне келеміз. (1.2.25) шекаралық шартына (1.2.24) теңдеуінің y=Acoswx+Bsinwx жалпы интегралына қою арқылы A=0, sinw=0 аламыз. Бұдан, w=nPI, n=1,2,3,...
Осылайша, wn2=(nPI)2, n=1,2,3,...меншікті мәні болады. Бұл меншікті мәндер қарапайым және оларға ynx=BnsinnPIx меншікті функциялар сәйкес келеді.
Қарастырырылған жағдайда, меншікті мәндер және меншікті функциялардың қарапайым механикалық мәні бар. Тұрақты көбейткішке дейінгі дәлдікпен меншікті мәндер жиіліктің квадраттары, ал меншікті фугкциялар меншікті ауытқудың амплитудалық функциялары болады.
1 Екінші ретті жай дифференциалдық операторлар үшін қисынды шекаралық есептің түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттері
2.1 Түбірлік функциялар жүйесінің қасиеттері
Бұл бөлімде L2(0,1) функционал кеңістігінде
lyx≔-y''x+qxux=fx, 0x1
y(v-1)0-01lyxσv(x)dx=0, v=1,2
локалдық емес есепке сәйкес келетін Lσ1σ2 екінші ретті жай дифференциалдық операторын қарастырайық. Мұндағы, σv(x) - L2(0,1) кеңістігінен алынған шекаралық функция, σv түйіндестікті білдіреді. Lσ1σ2 операторының түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттерін зерттейміз. Шекаралық функциялардың берілген терминдерінде Lσ1σ2 операторының түбірлік функциялар жүйесінің толықтығы туралы жеткілікті шарт алынған.
σ1∙, σ2(∙) - L2(0,1) функционал кеңістігінен алынған кез келген функциялар болсын. λ функциясы бойынша бүтіндерді енгіземіз:
Δλ=1-λφ1∙,λ,σ1(∙)-λφ2∙,λ,σ1(∙)- λφ1∙,λ,σ2(∙)1-λφ2∙,λ,σ2(∙) (2.1 .1)
k1x,λ=φ1(x,λ)φ2(x,λ)-λφ1∙,λ,σ2(∙) 1-λφ2∙,λ,σ2(∙) (2.1.2)
k2x,λ=1-λφ1∙,λ,σ1(∙)-λφ2∙,λ,σ1(∙ )φ1(x,λ)φ2(x,λ) (2.1.3)
Мұндағы, ∙,∙ скаляр көбейтіндіні білдіреді, яғни,
f∙,g∙ =01fxgxdx
және φix,λ, i=1,2 арнайы фундаменталды шешімдер, яғни, келесі есептің шешімдері
lφix,λ=λφi(x,λ)
φi(v-1)0,λ=δiv, v=1,2
Λ=λ1,λ2,... арқылы Δ(λ) бүтін функциясының нөльдерінің тізбегін белгілейміз. Δ(λ) функциясының әрбір λs нөлі ms еселі
Yσ1σ2=1j!djkv(x,λ)dλjλ=λ0:j=0,ms-1 ,v=1,2, λs∈Λ
Есепті құру: L2(0,1) кеңістігінен алынған σ1∙, σ2(∙) шарттары қандай болған кезде Yσ1σ2 функциясының жүйесі L2(0,1) функционал кеңістігінде толық жүйе бола ма?
Yσ1σ2 функциясының жүйесі σ1∙, σ2(∙) функциялары шекаралық функциялар рөлін атқаратын l(∙) операторы бар түбірлік функциялар жүйесін өрнектейді. Дифференциалдық операторлар түбірлік жүйе ретінде болатын жағдайда экспоненталар жүйесі пайда болады.
Жұмыстың негізгі нәтижесін құрайық:
Теорема 1.1: Егер
limε--0+01ε0εσ11-xσ2x-σ1xσ21-xdx!= 0
онда, Yσ1σ2 функциясының жүйесі L2(0,1) функционал кеңістігінде толық.
Теорема 1.1.-ң дәлелі екі этаптан тұрады:
1). Алдымен, L2(0,1) кеңістігінде kv∙,μ, v=1,2, ∀μϵC функциялар жиынының толықтығы дәлелденеді.
2). Содан кейін, kv∙,μ, v=1,2, ∀μϵC функцияларын кез келген дәлдікпен Yσ1σ2 элементтерінің сызықты комбинациясына жуықтауға болатын қажеттілік шартын табу.
Тұжырым 1: теорема1.1-ң орындалсын, онда , L2(0,1) кеңістігінде
kix,μ=limN--infinityλsRNv=12j=0ms -1cs,ms-1-j(v)1j!djkv(x,λ)dλjλ=λs, i=1,2
жіктелуі орындалатындай RNinfinity, RN--infinity бар. Мұнда, cs,ms-1-j(v) - Yσ1σ2 жүйесі бойынша kix,μ i=1,2 функциясының Фурье коэффициенттерінің аналогы.
Теорема(М.Өтелбаев): а).
lx=fx, 0x1, (2.1.4)
yv-10-01(lx)σv(x)dx=0, v=1,2. (2.1.5)
локалды шекаралық есебі үшін L2(0,1) кеңістігінен алынған кез келген σv(x), v=1,2 функциялары үшін L2(0,1) кеңістігінен L-1 үзіліссіз кері операторы болатындай L операторын сәйкестікке қоялық.
б). Оң жағы кез келген f(x)∈L2(0,1) болатын кейбір қосымша шарттары бар (2.1.4) біртекті емес теңдеуінің W22[0,1] кеңістігінде жалғыз y(x) шешімі бар және ол шешім үшін келесі априорлық бағалау орындалсын:
yL2(0.1)=cfL2(0.1)
Онда қосымша шарттары (2.1.5) шартына эквивалентті болатын L2(0.1) кеңістігінен σv(x), v=1,2 жалғыз ғана функциялар жиыны табылады. (2.1.4), (2.1.5) шарттарына сәйкес операторды Lσ1,σ2 деп белгілейміз.
Анықтама 2.1: △(λ) функциясын (2.1.4), (2.1.5) шекаралық есептерінің характеристикалық анықтауышы деп атаймыз.
λ бойынша келесі бүтін функцияларды қарастырайық:
k1x.λ=cosλxsinλxλ-λ01cosλτσ2τdτ1-λ0 1sinλτλσ2τdτ,
k2x.λ=1-λ01cosλτσ1τdτ-λ01sinλτλσ1(τ )dτcosλxsinλxλ.
Анықтама 2.2: k1x.λ, k2x.λ функцияларын lx=λy(x) теңдеуінің басты шешімі деп аталады.
Келешекте k1x.λ, k2x.λ басты шешімдерінің кейбір негізгі қасиеттері қажет болады.
Лемма 2.1: Кез келген λ комплекс сандары үшін келесі қатынастар орындалады:
1). kv(i-1)0,λ-λ01kvx,λσixdx=δiv∆(λ)
Келесі теоремада Lσ1,σ2 оператор резольвентасының интегралдық өрнегі беріледі.
Теорема 2.1: Lσ1,σ2 оператор резольвентасы келесі қатынаспен анықталады
(Lσ1,σ2-λI)-1fx=(L00-λI)-1fx+i=12k1 x.λ∆λf∙,M1∙,λ
мұндағы, Mit,λ=L00*(L00*-λI)-1σi, i=1,2.
L00* - L00 операторының түйіндес операторы. Ескере кетсек, L00 - операторы σ1=σ1=0 кезіндегі (2.1),(2.2) есебіне сәйкес оператор. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz