Диференциалдық оператор

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 71 бет
Таңдаулыға:

М А З М Ұ Н Ы

КІРІСПЕ . . . 4

Негізгі түсініктер мен тұжырымдар

1. 1 Сызықты дифференциалдық оператордың анықтамасы

мен негізгі қасиеттері . . . 5

Дифференциалдық оператордың меншікті мәндері мен

меншікті функциялары . . . 15

Екінші ретті жай дифференциалдық операторлар үшін қисынды шекаралық есептің түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттеріТүбірлік функциялар жүйесінің қасиеттері . . . 27Түбірлік функциялар жүйесінің басты шешімдерінің

апроксимациясы . . . 36

Ауытқыған диференциалдық оператор меншікті мәндерінің асимптотикасы

3. 1 Екінші ретті ауытқыған дифференциалдық оператор меншікті мәндерінің асимптотикасы туралы . . . 39

3. 2 Жоғарғы ретті ауытқыған дифференциалдық операторлардың меншікті мәндерінің асимптотикасы туралы . . . 44

Айнымалы коэффициенттері бар екінші ретті біртекті емес дифференциалдық теңдеулер үшін барлық жерде шешілетін шекаралық есептер

4. 1 Қосымша тұжырымдар мен теоремалардың дәлелдері . . . 50

ҚОРЫТЫНДЫ . . . 85

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ . . . 86

Кіріспе

Соңғы он жылдықтарда дифференциалдық теңдеулер теориясы ішкі және сыртқы күштер әсерінен тез дамыды. Яғни, ішкі күштер дифференциалдық теңдеулер теориясын топологиялық және аналитикалық әдістердің дамуы мен тереңдеуіне алып келсе. Сыртқы күштер ретінде техниканың, әсіресе, байланыс техникасының, автоматты басқару және электрониканың дамуы зор ықпалын тигізді.

Математикалық физиканың көптеген мәселелері дифференциалдық операторлардың меншікті мәндері мен меншікті функцияларын табу және меншікті функциялар бойынша қатарға жіктеуге келіп тіреледі. Осындай есептерге дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін Фурье әдістерін қолдану арқылы келеді. Сондықтан, жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді зерттеуге көп назар бөлінген. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді зерттеуге арналған еңбектер де аз емес.

Бұл жұмыста локалдық емес есептерге сәйкес келетін екінші ретті жай дифференциалдық операторлар қарастырамыз. Екінші ретті жай дифференциалдық операторлардың түбірлік функциялар жүйесінің апроксимативты қасиеттерін зерттейміз. Екінші ретті жай дифференциалдық операторлардың түбірлік функциялар жүйесінің жеткілікті шарттарын аламыз.

Сонымен қоса, жоғарғы ретті жай дифференциалдық теңдеулер үшін қисынды шекаралық шарттарды табуға есептер қарастырылған. Барлық тұжырымдар леммалар, тұжырымдар, теоремалар ретінде құрасытырылып, математикалық тұрпатқа сәйкес қатаң дәлелденген. Бұл жұмыста жүргізілген зерртеу әдістері дифференциалдық операторлардың классикалық теориясына негізделген.

Негізгі түсініктер мен тұжырымдарСызықты дифференциалдық оператордың анықтамасы мен негізгі қасиеттері

Сызықты дифференциалдық өрнек . Сызықтық дифференциалды өрнек деп келесі өрнек атаймыз

$l\ (y) = \ {p\ }_{0}(x) y^{(n) }\ + \ {p\ }_{1}(x) y^{(n - 1) } + . . . + \ p_{n}\ (x) \ y$ (1. 1. 1)

${p\ }_{0}(x), \ {p\ }_{1}(x), \ p_{n}\ (x)$ функциялары коэффициент деп аталады, ал $n$ дифференциалдық өрнектің реті.

Біз осы бөлімде тұспалдаймыз, $\ \frac{1}{p_{0}(x), \ \ }$ , ${p\ }_{0}(x), \ {p\ }_{1}(x), \ p_{n}\ (x)$ функциялары бекітілген ақырлы [a, b] интервалында үзіліссіз, ал кейбір жағдайларда оларға тағы да қосымша шарттарды қоямыз.

$C^{(n) }$ арқылы $\lbrack a, \ b\rbrack$ бекітілген тұйық ақырлы интервалымен қоса n ретке дейінгі үзіліссіз туындылары бар $y\ (x)$ барлық функцияларының жиынтығын белгілейміз.

$\lbrack a, \ b\rbrack$ интервалында үзіліссіз функция болатын, барлық $y\epsilon\ C^{(n) \ }$ функциясы үшін $l\ (y)$ дифференциалды өрнегінде анықталған.

Шекаралық шарттар. (1. 1. 2) арқылы $у$ функциясының мәндерін және оның $a$ мен $b$ нүктелеріне сәйкес алғашқы $n-1$ туындысы берілсін:

$y_{a}, y_{a}', \ldots, y_{a}^{(n - 1) }; \ y_{b}, y_{b}', \ldots, y_{b}^{(n - 1) }\$ (1. 1. 2)

$U(y)$ арқылы (1. 1. 2) -ң айнымалыларына қатысты сызықты формасын $U(y)$ келесі түрді қабылдайтындай белгілейміз:

$U(y) = \propto_{0}у_{\alpha} + \propto_{1}у_{\alpha}' + . . . + \propto_{n-1}у_{\alpha}^{(n-1) } + \beta_{0}у_{b} + \beta_{1}у_{b}' + . . . + \beta_{n - 1}у_{b}^{(n - 1) }\$ (1. 1. 3)

Егер осындай форманың бірнешеуі берілсе $U_{v}(y), \ \ v = 1, 2, \ldots, m$ , онда келесі теңдік

$U_{v}(y) = 0, \ v = 1, 2, \ldots, m$ (1. 1. 4)

шекаралық шарт деп аталады.

(1. 1. 4) -шекаралық шарттын қанағаттандыратын $D$ арқылы барлық $у \in C^{(n) }$ функцияның жиынтығын белгілейміз

$D\ C^{(n) }$ -де сызықтық кеңістік екені айқын, (1. 1. 4) өрнек жоқ болса $D\ C^{(n) }$ -ге сәйкес келеді. (4) -шартпен анықталған кейбір дифференциалдық $l(y)$ өрнегі және кейбір $D$ бейнесі берілген. Әрбір у $\in D$ функцияға сәйкестікке $u = \mathcal{l}$ (у) функциясын қоямыз. Бұл сәйкестік D облысы бар сызықтық операторды білдіреді. Оны $L$ арқылы белгілейміз. Осылайша, егер $у \in D$ және $u = l(у)$ онда $L$ операторының анықтамасы бойынша:

$u = L\ у$

Дифференциалдық өрнек $l(у)$ және (1. 1. 4) шекаралық шарттан пайда болған $L$ операторы дифференциалдық оператор деп аталады.

Осылайша (1. 1. 4) шекаралық шарттын таңдап алуына байланысты бір диффренциалдық оператордан әртүрлі дифференциалдық өрнектер пайда болады.

Егер дербес жағдайда, (1. 1. 4) шарты болмаса, онда $D = \complement^{(n) }$ анықталу облысы бар дифференциалдық оператор пайда болады, оны $l_{1}$ арқылы белгілейміз. $\mathcal{l}$ (у) диф-ференциалдық өрнектен пайда болған барлық $L$ операторының кеңейтілуі екені анық.

Көптеген сұрақтарды қарастырғанда тек қана кеңінен анықталған $L_{1}$ операторы емес, сонымен қатар $L_{1}$ операторының қысылуы болатын жоғарыда айтылған оператор қарастырған жеңіл екен.

$U_{v}(y)$ -дің кейбір формасы басқаларының сызықтық комбинациясы болуы мүмкін. Онда осындай формаға сәйкес келетін $U_{v}(y) = 0$ басқаларының салдары болады және оны алып тастауға болады. Сондықтан $U_{v}(y)$ формасын басынан бастап сызықтық тәуелсіз деп есептесе болады. Бұл осы форманың коэффициенттерінен құралған матрицаның рангы m-ге тең екені белгілі.

Егер m=2n болса, онда (1. 1. 4) келесі түрде болған кезде ғана орындалады:

$у_{\alpha} = у_{\alpha}' = . . . = у_{\alpha}^{(n - 1) } = у_{\beta} = у_{\beta}' = . . . = у_{\beta}^{(n - 1) } = 0$

Осындай шартпен пайда болған дифференциалдық операторды $L_{0}$ арқылы белгілейік.

Біртекті шекаралық есеп.

$l(y) = 0$ (1. 1. 5)

$U_{v}(y) = 0, \ \ \ \ v = 1, 2, \ldots, m$ (1. 1. 6)

шарттарын қанағаттандыратын $C^{(n) }$ -нен алынған $y$ функциясын табу есебі біртекті шекаралық есеп деп аталады. $L$ - $l(y)$ дифференциалдық өрнегі мен (1. 1. 6) шартынан туындаған оператор, онда біртекті шекаралық есепті шешу нөльге айналатын $D$ анықталу облысында $y$ функциясының $L$ операторын табуға келіп тіреледі.

Әрбір біртекті шекаралық есептің кемінде бір шешімі болатыны айқын, $y \equiv 0$ . Бұл шешім тривиалды деп аталады. Оның басқа да тривиалды емес шешімі болу мүмкін, яғни, $y ≢ 0$ .

Біртекті шекаралық есептің қай уақытта тривиалды емес шешімі болатынын қарастырайық.

$y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$ - $l(y) = 0$ дифференциалдық теңдеуінің сызықты тәуелсіз шешімі болсын. Дифференциалдық теңдеулер теориясынан белгілі: $l(y) = 0$ теңдеуінің әрбір шешімі, сонымен қоса, шекаралық есеп шешімі

$y = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2} + \ldots + c_{n}y_{n}$

түрінде болу керек, мұнда, $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ - кейбір тұрақтылар. Бұл өрнектер (1. 1. 6) шартына қойып, $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ тұрақтыларын анықтау үшін

$\begin{Bmatrix} c_{1}U_{1}\left( y_{1} \right) + c_{2}U_{1}\left( y_{2} \right) + \ldots + c_{n}U_{1}\left( y_{n} \right) = 0 \\ c_{1}U_{2}\left( y_{1} \right) + c_{2}U_{2}\left( y_{2} \right) + \ldots + c_{n}U_{2}\left( y_{n} \right) = 0 \\ \begin{matrix} \ldots \\ c_{1}U_{m}\left( y_{1} \right) + c_{2}U_{m}\left( y_{2} \right) + \ldots + c_{n}U_{m}\left( y_{n} \right) = 0 \end{matrix} \end{Bmatrix}$ (1. 1. 7)

сызықты біртекті теңдеулер жүйесін аламыз. $r$ арқылы матрицаның рангын белгілейміз:

$U = \begin{pmatrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} U_{1}(y_{1}) & U_{1}(y_{2}) \end{matrix} \\ \begin{matrix} U_{2}(y_{1}) & U_{2}(y_{2}) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \ldots & \ldots \end{matrix} \\ \begin{matrix} U_{m}(y_{1}) & U_{m}(y_{2}) \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \ldots & U_{1}(y_{n}) \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & U_{2}(y_{n}) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \ldots & \ldots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & U_{m}(y_{n}) \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{pmatrix}$ (1. 1. 8)

Онда (1. 1. 7) теңдеуін шекаралық есептің $n - r$ $y$ тәуелсіз шешіміне сәйкес келетін $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ қатысты $n - r$ тәуелсіз шешімі бар.

Осылайша:

UUматрицасының рангыrr-ге тең болса, онда біртекті шекаралық есептің дәлn−rn - rтәуелсіз шешімі бар.

Дербес жағдайда:

а) біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар, сонда және тек сонда ғана, UUматрицасыныңrrрангы дифференциалдық оператордыңnnретінен кіші болса.

б) егер $m < n$ болса, онда біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар.

в) егер $m = n$ болса, онда біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар, сонда және тек сонда ғана, $U$ матрицасының анықтауышы нөльге тең болса (бұл жағдай квадрат матрицасы үшін) .

$U$ матрицасының рангы $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$ фундаменталды жүйесін таңдап алынуына байланысты емес. Шынымен де, $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$ жүйесінен ${\widehat{y}}_{1}, {\widehat{y}}_{2}, \ldots, {\widehat{y}}_{n}$ жүйесіне өту анықтауышы нөльге тең

${\widehat{y}}_{i} = \sum_{j = 1}^{n}{a_{ij}y_{j}, \ \ \ i = 1, 2, \ldots, n}$

Сызықты түрлендіруі арқылы іске асады. Өту кезінде $U$ матрицасы $\left( a_{ij} \right) \ \ i = 1, \ldots, n\$ матрицасына көбейтіліп, $U$ матрицасының рангы өзгермейді. $U$ матрицасының рангы шекаралық есептің рангы деп аталады.

Лагранж формуласы, түйіндес дифференциалдық өрнек.

$l(y) = p_{0}(x) \frac{d^{n}y}{dx^{n}} + p_{1}(x) \frac{d^{n - 1}y}{dx^{n - 1}} + \ldots + p_{n}(x) y$

дифференциалдық өрнектің $p_{k}(x), \ k = 0, 1, 2, . . n$ коэффициенттері $(n - k)$ ретке дейін $\lbrack a, b\rbrack$ интервалында үзіліссіз туындылары бар болсын.

$y$ және $z$ - $C^{(n) }$ алынған кез келген функциялар болсын. $k$ рет бөліктеп интегралдауды қолданып,

$\int_{a}^{b}{p_{n - k}\overline{z}y^{(k) }dx =}\lbrack p_{n - k}\overline{z}y^{(k - 1) } - \left( p_{n - k}\overline{z} \right) 'y^{(k - 2) } + \ldots + ( - 1) ^{k - 1}p_{n - k}\overline{z}{y^{(k - 1) }\rbrack}_{x = a}^{x = b}$

$+ ( - 1) ^{k}\int_{a}^{b}{y\left( p_{n - k}\overline{z} \right) ^{(k) }dx}$ (1. 1. 9)

аламыз. $k = n, \ n - 1, \ \ldots, \ 0$ деп есептеп, алынған теңдіктерді қосу арқылы

$\int_{a}^{b}{l(y) \overline{z}dx = P(\eta, \xi) + \int_{a}^{b}{y\overline{l^{*}(z) }dx}}$ (1. 1. 10)

формуласына келеміз. Мұнда

$l^{*}(z) = ( - 1) ^{n}{(\overline{p_{0}}z) }^{(n) } + {( - 1) }^{n - 1}\left( \overline{p_{1}}z \right) ^{(n - 1) } + {( - 1) }^{n - 2}\left( \overline{p_{2}}z \right) ^{(n - 2) } + \ldots + \overline{p_{n}}z$ (1. 1. 11)

және $P(\eta, \xi)$ - $\eta = (y_{a}, y_{a}', \ldots, y_{a}^{(n - 1) }, y_{b}, y_{b}', \ldots, y_{b}^{(n - 1) })$ , $\xi = (z_{a}, z_{a}', \ldots, z_{a}^{(n - 1) }, \ z_{b}, z_{b}', \ldots, z_{b}^{(n - 1) })$ айнымалыларына қатысты бисызықты форма. (1. 1. 11) формуласынан $l^{*}(z)$ дифференциалдық өрнегі $l(y)$ дифференциалдық өрнегіне түйіндес деп аталады. (1. 1. 10) формуласы Лагранж формуласы деп аталады. Алдыңғы пайымдаудан $\int_{a}^{b}{l^{*}(z) }\overline{y}dx$ интегралына қолданып,

$\int_{a}^{b}{l^{*}(z) \overline{y}dx = Q(\eta, \xi) + \int_{a}^{b}{z\overline{l(y) }dx}}$

түріндегі формуласына келеміз. Демек, $l(y)$ дифференциалдық өрнегі $l^{*}(z)$ - ке түйіндес:

$l^{**}(y) = l(y)$

Басқаша айтқанда, $l(y)$ және $l^{*}(y)$ дифференциалдық өрнектері бір-біріне түйіндес. (11) формуласынан анықталған түйіндес өрнектен

${(l_{1} + l_{2}) }^{*} = l_{1}^{*} + l_{2}^{*}$ (1. 1. 12)

шығады және егер $\lambda$ саны,

${(\lambda l) }^{*} = \overline{\lambda}l^{*}$ (1. 1. 13)

$l(y)$ дифференциалдық өрнегі өзіне-өзі түйіндес деп аталады, егер
$l^{*}(y) = l(y)$

(1. 1. 12) және (1. 1. 13) формулаларынан келесі шығады:

ΙΙΙ. а) өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің қосындысы да өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болады.

б) өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің нақты санға көбейтіндісі де өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болады.

Барлық өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің жалпы түрін табайық.

ΙV. Кез келген өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнектің қосындысы

$l_{2v}(y) = {(py^{(v) }) }^{(v) }$ ;

$l_{2v - 1}(y) = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( ipy^{(v - 1) } \right) ^{(v) } + \left( ipy^{(v) } \right) ^{(v - 1) } \right\rbrack$

Түріндегі дифференциалдық өрнектің қосындысы болады. Мұнда $p$ - тек нақты мәндерді қабылдайтын функция.

Дәлелі:

$\int_{a}^{b}{l_{2v}(y) \overline{z}dx}$ , $\int_{a}^{b}{l_{2v - 1}(y) \overline{z}dx}$ интегралдарын қарастырайық. Мұнда, $y, z \in C^{(n) }$ , бөліктеп интегралдау арқылы $l_{2v}(y)$ , $l_{2v - 1}(y)$ - өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек екенін білу оңай. Сондықтан, $l_{2v}(y)$ , $l_{2v - 1}(y)$ түріндегі өрнектердің қосындысы да өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болады.

Керісінше, $l(y) = p_{0}y^{(n) } + p_{1}y^{(n - 1) } + \ldots + p_{n}y$ - өзіне-өзі түйіндес дифференциалдық өрнек болсын, $l(y)$ - $l_{2v}(y)$ , $l_{2v - 1}(y)$ түріндегі өрнектердің қосындысы болатынын дәлелдейік.

Анықтама бойынша, $l(y)$ -

$l^{*}(y) = ( - 1) ^{n}\left( {\overline{p}}_{0}y \right) ^{(n) } + ( - 1) ^{n - 1}\left( {\overline{p}}_{1}y \right) ^{(n - 1) } + \ldots + {\overline{p}}_{n}y =$

$= ( - 1) ^{n}\left( {\overline{p}}_{0}y \right) ^{(n) } + \left\lbrack ( - 1) ^{n}n{\overline{p}}_{0}' + ( - 1) ^{n - 1}{\overline{p}}_{1} \right\rbrack y^{(n - 1) } + \ldots$

түйіндес өрнекпен сәйкес келу керек.

Бұдан, дербес жағдайда,

$p_{0} = {( - 1) }^{n}{\overline{p}}_{0}$ (1. 1. 14)

шығады. $n$ саналымды, $n = 2\mu$ болсын, онда (1. 1. 14) -тен $p_{0} = {\overline{p}}_{0}$ болады, яғни, $p_{0}$ тек нақты мәнді қабылдайды.

$l(y)$ -дан өзіне түйіндес өрнекті есептеп,

$l_{2\mu}(y) = \left( p_{0}y^{(\mu) } \right) ^{(\mu) } = p_{0}y^{(n) } + \mu p_{0}'y^{(n - 1) } + \ldots$

$n - 1$ ретті $l(y)$ - $l_{2\mu}(y)$ өзіне-өзі түйіндес өрнекті аламыз.

$n$ саналымсыз, $n = 2\mu - 1$ болсын, онда (1. 1. 14) -тен $p_{0} = - {\overline{p}}_{0}$ болады. Демек, $p_{0} = і{\overline{p}}_{0}$ , мұнда $p$ тек нақты мән қабылдайды. $l(y)$ -дан өзіне түйіндес өрнекті