Хаос генераторлары

КІРІСПЕ
1. БЕЙСЫЗЫҚ ЖӘНЕ ХАОСТЫҚ БЕЙНЕЛЕР
1.1. Логистикалық бейнелеу
1.2. Жартышеңбер бейнелеуі
1.3. Гармоникалық бейнелеу
1.4. Дәрежелік бейнелеу
1.5. Ығысу бейнелеуі
1.6. Хенон генераторы
1.7. Лоци генераторы
2. ХАОС ГЕНЕРАТОРЛАРЫ
2.1. Лоренц генераторы
3. СИГНАЛДАРДЫҢ АҚПАРАТТЫ.ЭНТРОПИЯЛЫҚ АНАЛИЗІ
4. КАНАЛЫНЫҢ ӨТКІЗУ ЖОЛАҒЫ
5. ТӘЖІРИБЕЛІК БӨЛІМ
5.1 Хаос генераторларының реализациясы мен фазалық портреттері
ҚОРЫТЫНДЫ
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

Әр түрлі табиғаттағы (физикалық, бейсызық, радиотехниалық, т.б.) детерминирленген бейсызық динамикалық жүйелердегі хаосты тербелістердің ашылуы XX ғасыр соңындағы ең үлкен ғылыми жаңалық болды. Бұл құбылысты детерминирленген немесе динамикалық хаос деп атады.
Динамикалық хаос - детерминирленген заңдылықпен анықталатынына қарамастан, бейсызық жүйе тәртібі кездейсоқ болған кездегі динамикалық жүйе теориясындағы құбылыс.
Динамикалық хаостың пайда болу себебі бастапқы шарттар мен параметрлердің тұрақсыздығы (сезімталдығы) болып табылады: бастапқы шарттың уақыт өте өзгеруі жүйе динамикасына аса үлкен өзгеріс алып келеді.

1. Шахтарин Б.И., Кобылкина П.И., Сидоркина Ю.А., Кондратьев А.В., Митин С.В. Генераторы хаотических колебании // М.: Гелиос АРВ, 2007. 248 с.
2. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров: Пер с англ. // М.:Мир, 1990. 312 с.
3. Сидоркина Ю.А., Морозова В.Д., Кобылкина П.И. Источники хаотических колебаний с дискретным временем // Научный Вестник МГТУ ГА №62,серия Радиофизика и радиотехника. М.: МГТУ ГА, 2003. 140-147 с.
4. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений // Изд. вузов «ПНД». – Саратов, 1993. Т.1, №1-2, 15-27с.
5. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений // Отв. ред. Луковский И.А. – Киев: Наук. думка, 1989. 216 с.
6. Морозов А.Г. Использование цифровых хаотических последовательностей для передачи информации. Канд. диссертация. – М.: МЭИ, 2001, 301 с.
7. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учебное руководство. – М.: Наука, 1990. 272 с.
8. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике: Цикл лекций. – М.: Радио и связь, 2000. 584 с.

Пән: Автоматтандыру, Техника
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 28 бет
Таңдаулыға:

КІРІСПЕ

Әр түрлі табиғаттағы (физикалық, бейсызық, радиотехниалық, т.б.) детерминирленген бейсызық динамикалық жүйелердегі хаосты тербелістердің ашылуы XX ғасыр соңындағы ең үлкен ғылыми жаңалық болды. Бұл құбылысты детерминирленген немесе динамикалық хаос деп атады.
Динамикалық хаос - детерминирленген заңдылықпен анықталатынына қарамастан, бейсызық жүйе тәртібі кездейсоқ болған кездегі динамикалық жүйе теориясындағы құбылыс.
Динамикалық хаостың пайда болу себебі бастапқы шарттар мен параметрлердің тұрақсыздығы (сезімталдығы) болып табылады: бастапқы шарттың уақыт өте өзгеруі жүйе динамикасына аса үлкен өзгеріс алып келеді.
Динамикалық хаостың пайда болуы жаңа маңызды инженерлік идеялар берді, осылардың негізінде қазіргі практикада қолданып жүрген құрылғылар мен теориялардың құрылуына алып келді. Көптеген радиотехникалық, нанотехнологиялық лабороторияларда электронды құрылғыларды пайда болатын жоғары өткізу қабілеті бар, хаосты тербелістерді қолдана отырып ақпаратты жіберу үшін тиімді құрылғылар зерттелуде.
Қазіргі таңда технологияның қарқынды дамуына байланысты ақпаратты өзгеріссіз жіберудің көптеген жаңа әдістері пайда болды. Ал хаос генераторлары тек аз ғана ақпаратты аз ғана қашықтыққа жіберумен шектелді.
Осы жұмыста белгілі хаос генераторлары, логистикалық бейнелеу, Лоци, жинақтау-лақтыру генераторлары қарастырылды. Олардың хаос жүйесіндегі тербелістерінің реализациясы мен фазалық портреттері QT программалау тілінде алынды. Тербелістің хаостық жүйедегі орнын анықтайтын басқарушы параметрлерін өзгерте отырып, адамның есту диапазоны 20 кГц-ке дейінгі аралықтағы өткізу қабілеттері анықталды. Алынған нәтижелер кестелерге орналастырылып, MatLab ортасында хаос генераторларының жиілігі мен өткізу қабілеті арасындағы тәуелділік графигі алынды. Осы графиктің көмегімен хаос генераторларының өткізу қабілеттері жоғары екені дәлелденді.
Диплoмдық жұмыcтың мақcаты: бірнеше хаос генераторларының өткізу қабілеттерін зерттеу арқылы телекоммуникациялық жүйедегі маңызын анықтау.
Диплoмдық жұмыcтың өзeктілігі: ақпаратты жіберу жүйесінде динамикалық хаосты пайдалану барысында пайда болатын ауытқулар берілген параметрлермен хаосты тербелістерді алуға, өткізу қабілеті жоғары хаос генераторлары арқылы ақпаратты жіберудің қауіпсіздігіне негізделген.

1. БЕЙСЫЗЫҚ ЖӘНЕ ХАОСТЫҚ БЕЙНЕЛЕР

Динамикалық хаос үздіксіз спектрі бар күрделі периодсыз тербелістің бейсызық динамикалық жүйесіндегі пайда болатын кең таралған құбылысты сипаттайды [1].
Хаосты тербеліс - бұл толығымен детерминирленген жүйеде реттелмеген қозғалыстардың пайда болуы. Хаосты тербелістерді зерттеу өзімен бірге жаңа идеяларды алып келеді, олар көптеген себептермен инженерлік зерттеулерде маңызды рөл атқарады [2].
Хаосты тербелістердің ерекшелігі - жоғары сезімталдық, бастапқы шартқа аз өзгерту енгізгеннің өзінде сезеді.
Дискретті бейнелеулердің сандық байланыс жүйесінде қолданылуы генерациялау және хаосты процесстерді өңдеуге арналған сандық сигналдық процессорлардың негізінде стандартты және өңделген шешімдерді қолдануға мүмкіндік бергендітен, сонымен қатар ақпарат пен сигналды өңдеудің сандық әдістерін барлық жерге практикалық түрде енгізгендіктен өте ыңғайлы болып келеді.
Хаосты тербелістердің дискретті генераторларының қасиеттері бейнелеу функциясының түрімен және басқарушы параметрлерінің мәндерімен анықталады [3].

1.1. Логистикалық бейнелеу

Логистикалық бейнелеуді қарастырайық:

(1.1)

мұндағы, - басқарушы параметр. Логистикалық бейнелеуді параболалық бейнелеу көрсеткендіктен квадраттық бейнелеу деп те атайды [4].
Логистикалық бейнелеудің негізгі қасиеттерін қарастырайық. Cурет 1.1-де бифуркациялық диаграмма мен Ляпунов көрсеткіші көрсетілген.
Логистикалық бейнелеуде (сурет 1.1) Ляпунов көрсеткішін пайдаланып, хаосты режимде болатын α параметрінің мәнін таңдауға болады. болған кездегі логистикалық бейнелеу үшін Ляпунов көрсеткіші оң болады және жүйеде тербелістің хаосты режимі байқалады. Бейнелеу параметрінің мәні процесстің хаостылық деңгейін анықтайды және жүйеде бола алатын мүмкін болатын күй сандары.

(а) (ә)

Cурет 1.1. Логистикалық бейнелеу үшін бифуркациялық диаграмма (а) мен Ляпунов көрсеткіші (ә)

Параметрдің өзгеруі сипаттамаға бастапқы шарттың өзгеруінен күштірек әсерін тигізеді. Бейнелеу параметрінің мәні процесстің хаостылығының деңгейін, яғни жүйе сол жерде бола алатын мүмкін болатын қалыптың санын анықтайды. Сигнал тұйықтығы мен шуылдан қорғаудың шыңына жету үшін энтропияның үлкеюіне сәйкес келетін сондай күйлердің көп болуы қажет.

1.2. Жартышеңбер бейнелеуі

Келесі бейнелеу жартышеңбер бейнелеуі деп аталад және мына формуламен есептеледі:

(1.3)

мұндағы, - басқарушы параметр.
Бұл бейнелеу гистограммның мәні максималды болған жағдайда да мүмкін болатын мәндердің барлық аралығын алмайтынымен қызықты болып келеді [5].
Хаосты тербелістің (сурет 1.2) режимі басқарушы параметр мәнінің аз диапазонында жүзеге асады. Осы сипаттаманың озінен жартышеңбер бейнелеуі қалған бейнелеулерге қарағанда ақпаратты жіберуге қолайлы болы келеді.

(а) (ә)

Cурет 1.2. Жартышеңбер бейнелеуі үшін бифуркациялық диаграмма (а) мен Ляпунов көрсеткіші (ә)

Синус функциясы секілді квадраттың түбірін шығару функциясы әр түрлі тілдерде және әр түрлі құрылғы платформаларында тербелмелі процесстердің ажыратылатын реализациясын алуға алып келетін әр түрлі нүктелермен жүзеге асады. Бұл қасиет санкцияланбайтын қолжетімділіктің күрделенуі үшін қолданылуы мүмкін. Бірақ, басқа жағынан, бұл осы бейнелеуді ақпаратты жіберудің конфеденциалды жүйесінде қолдануға шектеу қояды.
Жартышеңбер бейнелеуінің реализациясы мен фазалық портреті (сурет 1.3, 1.4) көрсетілген.

Сурет 1.3. Жартышеңбер бейнелеуінің реализациясы(α=0.98)

Сурет 1.4. Жартышеңбер бейнелеуінің фазалық портреті

1.3. Гармоникалық бейнелеу

Тағы бір бірпараметрлі бейнелеу жүйесін гармоникалық бейнелеуден алуға болады:

(1.4)

мұндағы, - басқарушы параметр,; - жалпы жағдайда негізсіз мәнді, сонымен қатар бөлшек мәнді қабылдайтын деңгей көрсеткіші [6].
Деңгей көрсеткішінің бейнелеу қасиетіне ықпалын қарастырайық. Cурет 1.5-те мәні әр түрлі болған жағдайдағы бейнелеу графигі көрсетілген.

Cурет 1.5. Әр түрлі деңгей көрсеткіштері үшін гармоникалық бейнелеудің графиктері

Деңгей көрсеткішінің бірден төмен және бірден жоғары болғандағы жағдайын бөлек қарастырайық. Бірінші жағдайда бейнелеуде теңдік екі нүктеден аспайды, екінші жағдайда - теңдіктің бір немесе үш күйі болады.
Деңгей көрсеткіші бірден жоғары болған жағдайдағы теңдік нүктесі сурет 1.6-да көрсетілген.
Сурет 1.6-да көрсетілгендей - басқарушы параметрдің кейбір мәні болсын делік. болған кезде бейнелеу тек бір ғана теңдік күйінде болады. мұндай жүйеде хаосты тербелістің болуы мүмкін емес. болғанда бейнелеуде теңдіктің екі күйі болады. бейнелеуде теңдіктің үш күйі болады. Егер бастапқы шарт теңдіктің екінші нүктесінің аргументінің мәнін арттырмаса, онда процесс тез өшеді. Егер бастапқы шарт теңдіктің екінші нүктесінің аргументінің мәнін арттырса, онда жүйе шығысында саны теңдіктің үшінші нүктесінің аргументінен көп мөлшерде қалыс қалмайтын хаос пайда болады. Ереже бойынша, мұндай хаосты тербеліс біртіндеп өшеді.

Cурет 1.6. болған кездегі гармоникалық бейнелеудің теңдік нүктесі

және болған жағдайдағы бифуркациялық диаграмма және Ляпунов көрсеткіші cурет 1.7, 1.8-де көрсетілген.
болған кезде бейнелеудің хаос облысы тар болады. m мәні үлкейген сайын хаос облысы да кеңейеді. Осы кезде Шарковский терезелерінің саны көп болады. болған кезде, хаосты режим облысы тарылады, хаос облысы параметр азайған жаққа ығысады, хаостың динамикалық диапазоны азаяды, Шарковский терезелері жойылады.
Осылайша, болған кез (сурет 1.7) алдыңғы қарастырған бейнелеулерге ұқсас келеді. мәні (сурет 1.8) хаосты тербелістердің диапазоны үлкен емес және Шарковский терезелері бар болғандықтан, ақпаратты жіберуге қолайлы емес. мәнінде хаосты режим бақыланғанымен, олар хаосты жарқырауға сәйкес келеді.

(а) (ә)

(б) (в)

Cурет 1.7. (а, ә), (б, в) болған кездегі деңгей көрсеткіші үшін бифуркациялық диаграмма мен Ляпунов көрсеткіші

(а) (ә)

(б) (в)

Cурет 1.8. (а, ә), (б, в), болған кездегі деңгей көрсеткіші үшін бифуркациялық диаграмма мен Ляпунов көрсеткіші

Гармоникалық бейнелеудің реализациясы мен фазалық портреті сурет 1.9, 1.10-да көрсетілген.

Сурет 1.9. Гармоникалық бейнелеу реализациясы (α=1)

Сурет 1.10. Гармоникалық бейнелеудің фазалық портреті
1.4. Дәрежелік бейнелеу

Дәрежелік бейнелеуді қарастырайық.

, (1.5)

- басқарушы параметр, , - деңгей көрсеткіші.
Деңгей көрсеткішінің бейнелеу қасиетіне ықпалын қарастырайық. Cурет 1.11-де әр түрлі мәніндегі бейнелеу графиктері көрсетілген.
Гармоникалық бейнелеу секілді дәрежелік бейнелеу де (сурет 1.11) дәрежелік типті бейнелеу үшін мәнін қарастырмағанда, параметрінің барлық мәні және параметрі мәнінің барлық облыстары үшін тегіс экстремумды көрсетеді. мәні үшін бейнелеу функциясының бірінші туындысында ажырайтын өткір экстремумды көрсетеді. Ляпунов көрсеткішін анықтау барысында, ереже бойынша, жарылыс нүктесін анықтағанға дейінгі жолда жояды.

Cурет 1.11. Әр түрлі деңгей көрсеткіші үшін дәрежелік бейнелеу графиктері. Басқару параметрі

Деңгей көрсеткіші бірден кіші және бірден үлкен болған жағдайларын бөлек қарастырайық. Бірінші жағдайда бейнелеуде теңдіктің бір, екі немесе үш күй болуы мүмкін, екіншісінде - теңдік екі нүктеден аспайды. Бірінші жағдай үшін теңдік нүктесі сурет 1.12-де көрсетілген.
болған кезде бейнелеуде теңдіктің бір ғана күйі болады. Мұндай жүйеде хаосты тербелістің болуы мүмкін емес. болған кезде, мұндағы - параметрдің кейбір мәні, бейнелеуде үш күй болады. теңдіктің нөлдік нүктесі тұрақты, ал қалған екі нүктесі тұрақсыз болады. егер бастапқы шарт теңдіктің екінші нүктесін арттырса, онда

Cурет 1.12. болған кездегі дәрежелік бейнелеудің теңдік нүктесі.
жүйенің шығысында хаостық тербелістер көріне бастайды. Ереже бойынша, мұндай хаосты режим уақыт өте келе сөнеді және жүйе нөлге орнайды

және жағдайлары үшін бифуркациялық диаграммалары сурет 1.13, 1.14-те көрсетілген.
мәнінде бейнелеуде хосты тербелістің облысы тар болады. артқан сайын хаос облысы кеңейеді (сурет 1.13,(ә)), Бұл жерде Шарковский терезелері болмайды. болғанда (сурет 1.14) хаосты режим облысы тарылады, Шарковский терезелері пайда болады. жағдайы Шарковский терезесі болмағандықтан, ақпаратты жіберу жүйесінде берілген бейнелеуді қолдануға мүмкіндік береді.

(а) (ә)

Cурет 1.13. (а), (ә) деңгей көрсеткіштері үшін бифуркациялық диаграммалар

Cурет 1.14. деңгей көрсеткіші үшін бифуркациялық диаграмма

Дәрежелік бейнелеу генераторының реализациясы мен фазалық портреті сурет 1.15, 1.16-да көрсетілген.

Сурет 1.15. Дәрежелік бейнелеу реализациясы (α=1, m=0.8)

Сурет 1.16. Дәрежелік бейнелеудің фазалық портреті

1.5. Ығысу бейнелеуі

Ығысу бейнелеуі мынадай түрде болады:

. (1.6)

Бұл бейнелеуді Бернулли ығысуы деп те атайды. параметрінің мәніне тәуелділігіне байланысты -типті Бернулли ығысуын ажыратады. Үштік және он бірлік Бернулли ығысуының графиктері сурет 1.17-де көрсетілген.

(а) (ә)

Cурет 1.17. (а) және (ә) мәні үшін ығысу бейнелеуінің графигі

Ығысу бейнелеуі үшін бифуркациялық диаграмма сурет 1.18-де көрсетілген.

Cурет 1.18. Ығысу бейнелеуі үшін жағдайындағы бифуркациялық диаграмма.

Ығысу бейнелеуінің реализациясы мен фазалық портреті сурет 1.19, 1.20-да көрсетілген.

Сурет 1.19. Ығысу бейнелеуінің реализациясы (a=1.4, b=0.3)

Сурет 1.20. Ығысу бейнелеуінің фазалық портреті

1.6. Хенон генераторы

Екіөлшемді жағдай үшін квадратты бейнелеудің жалпылама ұғымы француз астрономы Хенонмен ұсынылды:

,
(1.7)

және - басқарушы параметрлер.
Cурет 1.21-де және параметрлерінің мәні үшін процесстің реализациясы мен тербелістің фазалық портреті ұсынылған.
Сандық есептерде көрсетілгендей, жүйенің барлық күйі Хенон аттракторына жиналады (сурет 1.21, ә). Бұл аттрактордың геометриялық инвариантты қасиеті бар [7-8].
Cурет 1.21, б-да қарастырылып отырған бейнелеудің бифуркациялық диаграммасы көрсетілген. Хенон бейнелеуін зерттеу барысында Ляпунов көрсеткішінің спектрі және аттрактордың кореляциялық өлшемі бөлініп алынды.

(а) (ә)

(б)

Cурет 1.21. Хенон генераторы: (а) - процесстің реализациясы; (ә) - тербелістің фазалық портреті; (б) - бифуркациялық диаграмма

Хенон генераторының реализациясы мен фазалық портреті сурет 1.22, 1.23-те көрсетілген.

Сурет 1.22. Хенон генераторының реализациясы (α=1.4, b=0.3)

Сурет 1.23. Хенон генераторының фазалық портреті

1.7. Лоци генераторы

Лоци генераторы екіөлшемді бейнелеумен сипатталады:

,
(1.8)

мұндағы, және - басқарушы параметрлер. Негізінен, Лоци бейнелеуі бейсызық тегіс функциясының бөлік-сызықтық функцияға ауысуы жүзеге асатын Хенон бейнелеуінің бір варианты болып табылады. [2, 9-10]

және басқарушы параметрлерінің мәндері үшін тербеліс реализациясы, олардың фазалық портреті және бифуркациялық диаграммасы сурет 1.24-те көрсетілгендей, Лоци бейнелеуі Хенон бейнелеуі секілді сығуға бейім болып келеді.

(а) (ә)

(б)

Cурет 1.24. Лоци генераторы: а - процесстің реализациясы; ә - тербелістің фазалық портреті, б - бифуркациялық диаграмма

Айта кету керек, Хенон және Лоцидің дискретті жүйелері байланыс каналындағы шуылға тұрақты және коммуникациялық жүйелердегі генераторлардың істен шығуына тұрақты жақсы қасиеттерге ие.
Лоци генераторының реализациясы мен фазалық портреті сурет 1.25, 1.26-да көрсетілген.

Сурет 1.25. Лоци генераторының реализациясы (a=1.8, b=0.25)

Сурет 1.26. Лоци генераторының фазалық портреті

2. ХАОС ГЕНЕРАТОРЛАРЫ

Хаос генераторлары екі классқа жіктеледі: үздіксіз және дискретті. Үздіксіз және дискретті түсініктері хаосты жүйенің уақытша ауыспалы математикалық модельге жатады [11].

2.1. Лоренц генераторы

1963 жылы Массачусетс технологиялық институтының атмосфера физикасының маманы Э.Н. Лоренц атмосфераның жылу конвекциясының қарапайым моделін ұсынды, кейінірек анықталғандай бұл модель турбуленттілікті зерттеу үшін жақсы модель болып шыға келді.
Э.Н.Лоренц бірқатар жорамалдар жасады және қарапайым дифференциалдық теңдеулерде жылулық конвекцияның үш өлшемді моделін алды:

(2.1)

мұндағы, - жылдамдық амплитудасына пропорционал болатын өлшемсіз айнымалы; , -, канал бойымен температураның таралуын көрсететін өлшемсіз айнымалылар [12-15].
(2.1)-теңдеуде үш параметр бар: , Прандтля және Рэлей сандарымен сәйкесінше байланысқан, ал жүйенің геометриясын сипаттайды. Негізінен бұл параметрлердің мына мәндерін қабыдайды ; ; . Зерттеулер барысында және параметрлері тұрақты болып саналды, ал -ың конвективті процесстерді сипаттайтын динамикаға әсері зерттелді.
Сурет 2.1-де Лоренц генераторының бифуркациялық диаграммасы мен Ляпунов көрсеткіші бейнеленген.
Хаостық сигналдың мәндері өзінің тондық ерекшелігіне сәйкес келеді: диаграммадағы (сурет 2.1) нүктенің түсі ашық болған сайын, бұл мән көбірек болады. жарықтылығының бірқалыпты өзгерісі бар бифуркациялық картаның облысы тұрақты қозғалыстың куәсі болады. Көрші нүктедегі жарықтылықтың шұғыл өзгерісінің карта учаскесі хаостық режимнің бар екенін білдіреді [16].

(а)

(ә)

Cурет 2.1. параметрінің өзгеруі кезіндегі Лоренц жүйесі үшін бифуркациялық диаграмма (а) мен Ляпунов көрсеткіші (ә)

1.8. Жинақтау-лақтыру генераторы

Бірқатар x(t) функцияның эволюциясы, фракталдық шамамен байланысын t уақыт бойынша келесі түде жазамыз:

(2.2)

мұндағы, - Гельдер шартын қанағаттандыру үшін статистикалық сипаттама t-ның әртүрлі мәндерінде, Лифшиц- [17]. Модуль қадамын фракталдық шартының өлшемінен ауыстырамыз :
, , (2.3)

Бұл жерде фракталдық емес тұрақты шама, -фракталдық шама, d-тасушының топологиялық мәні.
(2.3) формуланы алып (2.2) қою арқылы дискретті айырмалықтарға көшеміз. Дискретті жағдайда белгілі функция тығыздық ықтималдық арқылы жазылады.
Ықтималдықтың сақталу заңын қолданамыз:

. (2.4)

деп есептеп келесідей мәнге ие болады:

(2.5)

Тығыздықты ықтималдықты табу үшін (2.5) формуланың туындысын ескеретін болсақ, автоматты түрде белгілі функция sign(dxi+1dxi) аламыз.
Өзі - өзіне ұқсас жүйелердің ерекшеліктерін сипаттау үшін (2.5) формуланың қозғалыссыз нүктесіндегі туындысын аламыз:

(2.6)

Динамикалық хаосты теориясында бұл теңдеуді дифференциалды түде мультипликатор деп аталады.
(2.3), (2.5), (2.16) формулаларын (2.2) формуласы үшін ескерсек, жағдай үшін келесі түрде жазамыз:

(2.7)

(2.7) формуладан бірдей уақыт моменттерін алу үшін мәнін ескермейміз. Осы мақсатта модулдің тәуелділігін жалпы броуындық қозғалыс түрінде аламыз:

(2.8)

c-диффузия коэффициенті, - Херст көрсеткіші [18].
(2.7) теңдікті келесі түрде жазамыз:

(2.9)

Келесі нұсқаулықты қабылдаймыз . Бұл белгілеулер стандартты шартты қанағаттандыру үшін алынған

, (2.10)

(2.10) ескере отырып келесідей формуланы аламыз:

(2.11)

(2.11), (2.8) формулаларын салыстыра отырып келесіні аламыз:

(2.12)

Осы жерден , болуы тиіс.
деп есептеп (2.9) теңдеуін қорытынды теңдеуін жазамыз:

(2.13)

(2.13) теңдеуін дифференциалдау арқылы келесіні аламыз:

(2.14)

(2.13) және (2.14) формулалар кезектесу бейнеленуінің қажетті көрінісін сипаттайды.
Кезектесу бейнелеуінің ((2.13) және (2.14) формулалар) іске асыру бейнесі жинақтау-лақтыру типті сигналды сипаттайды (сурет 2.2.).

(а)

(ә)

Сурет 2.2. Кезектесу бейнесінің іске асырылуы: а - , , ә - ,

Осы алынған кезектесудің ерекше бейнелеуі - хаостық лақтырулар үлкен амплитудалы. Сол себепті -5x5 аралық үшін бифуркационды диаграмманың фрагменті алынған. Белгілі шарттардан автотербеліс үшін . мәнінен бірден бастап хаосты режим болады. Ал 23 интервалы аралығында хаоста бірінші периодтар байқала бастайды.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.