Радиотехникалық динамикалық хаос генераторларының энергетикалық тиімділігін анықтау
КІРІСПЕ 5
1. БАЙЛАНЫС ЖҮЙЕЛЕРІНДЕ АҚПАРАТТЫ ТАСУШЫ РЕТІНДЕ ХАОСТЫ СИГНАЛДАРДЫ ҚОЛДАНУ 6
1.1 Бейсызық физикадағы динамикалық хаос және оның ерекшеліктері 6
1.2 Хаосты сигналдар генераторлары және олардың ерекшеліктері 8
2 СИГНАЛДАРДЫҢ СПЕКТРЛІК СИПАТТАМАЛАРЫ 29
2.1 сигналдардың спектрлерінде қуат және энергияның үлестіруі 29
3 ХАОСТЫ СИГНАЛДАРДЫҢ ИНФОРМАЦИЯЛЫҚ . ЭНТРОПИЯЛЫҚ АНАЛИЗІ 33
3.1 информациялық тиімділігі 33
3.2 Хаосты сигналдың ақпаратты энтропиялық анализі 35
3.3 Өзқауымдық деңгейінің информациялық критериі 36
3.4 Импультердің форма және аффиндік коэффициенттері 38
3.5 Хаостық жүйелердің өзұқсас және өзаффинділік критерилері 39
4 Тәжірибелік бөлім 45
4.1 Есептеу жұмыстары жүргізілетін MatLab программалау ортасы 45
4.2 Энергетикалық тиіміділігі жоғары генераторды анықтау 45
ҚОРЫТЫНДЫ 57
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 60
1. БАЙЛАНЫС ЖҮЙЕЛЕРІНДЕ АҚПАРАТТЫ ТАСУШЫ РЕТІНДЕ ХАОСТЫ СИГНАЛДАРДЫ ҚОЛДАНУ 6
1.1 Бейсызық физикадағы динамикалық хаос және оның ерекшеліктері 6
1.2 Хаосты сигналдар генераторлары және олардың ерекшеліктері 8
2 СИГНАЛДАРДЫҢ СПЕКТРЛІК СИПАТТАМАЛАРЫ 29
2.1 сигналдардың спектрлерінде қуат және энергияның үлестіруі 29
3 ХАОСТЫ СИГНАЛДАРДЫҢ ИНФОРМАЦИЯЛЫҚ . ЭНТРОПИЯЛЫҚ АНАЛИЗІ 33
3.1 информациялық тиімділігі 33
3.2 Хаосты сигналдың ақпаратты энтропиялық анализі 35
3.3 Өзқауымдық деңгейінің информациялық критериі 36
3.4 Импультердің форма және аффиндік коэффициенттері 38
3.5 Хаостық жүйелердің өзұқсас және өзаффинділік критерилері 39
4 Тәжірибелік бөлім 45
4.1 Есептеу жұмыстары жүргізілетін MatLab программалау ортасы 45
4.2 Энергетикалық тиіміділігі жоғары генераторды анықтау 45
ҚОРЫТЫНДЫ 57
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 60
Қазіргі таңда ақпараттық және телекоммуникация жүйелерінің қарқынды даму үстіндегі бағыттарының бірі – байланыс жүйелеріндегі, радиолокациядағы ақпарат тасушы ретінде хаосты сигналдарды қолдану. Бұл мәселелерге терең үңілетін болсақ, автотербелісті генераторлардың жұмысына флуктуацияның әсері, шуылдан сигналды бөліп алу, турбулентті ортада радиотолқындардың таралуы және сигнал идентификациясы мен ақпаратты қорғау сынды статистикалық радиофизика мәселелері орын алуда. Оның себебі, радиоэлектрондық құрылғылардың динамикасының бейсызық сипатында.
1 Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структур и свойств динамического хаоса в радиофизических системах. – М.: Наука, 1990. – 312 с.
2 Кузнецов С.П. Динамический хаос. – М.: Физматлит, 2001. – 296 c.
3 Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос. Новые носители информации для систем связи. ISBN 5-94052-066-9. Физматлит 2002 г.
4 Дмитриев А., Кузьмин Л., Панас А.И., Старков С.О. "Радиосвязь с использованием хаотических сигналов", Труды 5ой Международной школы "Хаос'98". 1998. Саратов. С.85
5 Дмитриев А.С., Клецов А.В., Лактюшкин А.М., Панас А.И., Старков С.О., Хименский А.Д. Сверхширокополосная беспроводная связь на основе динамического хаоса. // Институт радиотехники и электроники. РАН. Москва 2010
6 Дмитриев А.С., Кузьмин Л.В., Панас А.И., Старков С.О. "Радиосвязь с использованием хаотических сигналов", Препринт ИРЭ РАН. 1997. №1(615).
7 Л.В.Вдовин. Системы передачи информации на хаотической несущей. Виртуальный лабораторный стенд. 2006 г
8 Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.O. Ring oscillating systems and their application to the synthesis of chaos generators //Int.J.of Bifurcation and Chaos. 1996. V.6.№5.P.851-865.
9 Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Панас А.И., Максимов Н.А. Генерация хаоса – М.: Техносфера, 2012, 424 с.
10 Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Кяргинский Б.Е., Лактюшкин А.М., Панас А.И. "Генератор широкополосных СВЧ хаотических сигналов", Патент РФ № 51805, приоритет от 12.04.2005 г.
11 Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Панас А.И., Максимов Н.А. Генерация хаоса – М.: Техносфера, 2012, 424 с.
12 N. Rulkov, M. Sushchik et al. Digital Communication Using Chaotic Pulse Generators. ArXiv: chao-dyn/9908015/ 1999
13 Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Генератор Анищенко-Астахова как одна из базовых моделей детерминированного хаоса. // Известия СГУ, Сер. “Физика”-2005. Т.5. №1. С.54-67.
2 Кузнецов С.П. Динамический хаос. – М.: Физматлит, 2001. – 296 c.
3 Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос. Новые носители информации для систем связи. ISBN 5-94052-066-9. Физматлит 2002 г.
4 Дмитриев А., Кузьмин Л., Панас А.И., Старков С.О. "Радиосвязь с использованием хаотических сигналов", Труды 5ой Международной школы "Хаос'98". 1998. Саратов. С.85
5 Дмитриев А.С., Клецов А.В., Лактюшкин А.М., Панас А.И., Старков С.О., Хименский А.Д. Сверхширокополосная беспроводная связь на основе динамического хаоса. // Институт радиотехники и электроники. РАН. Москва 2010
6 Дмитриев А.С., Кузьмин Л.В., Панас А.И., Старков С.О. "Радиосвязь с использованием хаотических сигналов", Препринт ИРЭ РАН. 1997. №1(615).
7 Л.В.Вдовин. Системы передачи информации на хаотической несущей. Виртуальный лабораторный стенд. 2006 г
8 Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.O. Ring oscillating systems and their application to the synthesis of chaos generators //Int.J.of Bifurcation and Chaos. 1996. V.6.№5.P.851-865.
9 Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Панас А.И., Максимов Н.А. Генерация хаоса – М.: Техносфера, 2012, 424 с.
10 Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Кяргинский Б.Е., Лактюшкин А.М., Панас А.И. "Генератор широкополосных СВЧ хаотических сигналов", Патент РФ № 51805, приоритет от 12.04.2005 г.
11 Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Панас А.И., Максимов Н.А. Генерация хаоса – М.: Техносфера, 2012, 424 с.
12 N. Rulkov, M. Sushchik et al. Digital Communication Using Chaotic Pulse Generators. ArXiv: chao-dyn/9908015/ 1999
13 Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Генератор Анищенко-Астахова как одна из базовых моделей детерминированного хаоса. // Известия СГУ, Сер. “Физика”-2005. Т.5. №1. С.54-67.
Пән: Автоматтандыру, Техника
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 52 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 52 бет
Таңдаулыға:
Қaзaқcтaн Pecпубликacының Білім жәнe ғылым миниcтpлігі
әл-Фapaби aтындaғы Қaзaқ ұлттық унивepcитeті
Физикa-тeхникaлық фaкультeті
Қaтты дeнe физикacы жәнe бeйcызық физикa кaфeдpacы
Қopғaуғa жібepілді
__________________ Кaфeдpa мeңгepушіcі Пpихoдькo O.Ю.
ДИПЛOМДЫҚ ЖҰМЫC
Тaқыpыбы: РАДИОТЕХНИКАЛЫҚ ДИНАМИКАЛЫҚ ХАОС ГЕНЕРАТОРЛАРЫНЫҢ ЭНЕРГЕТИКАЛЫҚ ТИІМДІЛІГІН АНЫҚТАУ
5B071900 - Радиотехника, электроника және телекоммуникациялар мaмaндығы бoйыншa
Орындаған Назарбекова Н.Қ.
Ғылыми жетекшілер:
ф.-м. ғ. д., профессор Жанабаев З.Ж.
магистр, оқытушы Бурисова Д.Ж.
Норма бақылаушы Исимова А.Т.
Aлмaты, 2015
РЕФЕРАТ
Бітіру жұмысы ? беттен, ? суреттен, ? формуладан, ? пайдаланған әдебиеттен тұрады.
Негізгі сөздер: динамикалық хаос, ақпараттық жүйе, хаосты сигналдың сипаттамалары, форма коэффициенті.
Жұмыстың негізгі мақсаты: динамикалық хаос генераторлардың энергетикалық тиімділігін анықтау.
Жұмыстың нәтижесі: Динамикалық хаос генераторларын Matlab ортасында программалары құрылып, олардың сигнал реализациясы, фазалық портреттері, спектрлік сипаттамалары алынған және жүйенің жалпы метрлік сипаттамасының энергия мөлшерімен байланыс графигі алынды. Нәтижесінде энергетикалық тиімділігі жоғары сигнал генераторын анықтау жолы көрсетілген.
РЕФЕРАТ
Дипломная работа обьемом ? страниц, рисунков, наименований используемой летиратуры.
Ключивые слова: динамический хаос, информационная система, характеристика хаотического сигнала, форма коэффициента.
Цель дипломной работы является: определение энергетической эффективности генераторов динамического хаоса.
Результат работы: в среде Matlab была построена программа генераторов динамического хаоса, были взяты их реализации сигналов, фазовые портреты спектральные характеристики, а также был построен график зависимости общей метрической характеристики системы от уровня энергии. В итоге был определен генератор с высокой энергетической эффективностью.
ABSTRACT
The thesis consist of pages, images, names used letiratury.
Klyuchivye words: dynamic chaos, energy efficiency, information system,
The aim of the: the definition of energy efficiency generators of dynamic chaos.
The result of the: in Matlab program was built generators of dynamic chaos, were taken for their implementation signals the phase portraits of the spectral characteristics, and had plotted the overall characteristics of the metric system by the energy level. The result was determined generator with high energy efficiency.
АНЫҚТАМАЛАР
Бұл диссертациялық жұмыста қолданылған терминдердің анықтамалары:
Хаос - реттілік пен кездейсоқтылықтың кезектесуі. Хаос - бұл ретсіздікте кездейсоқ реттіліктің пайда болуы.
Динамикалық хаос - бейсызық жүйенің тәртібі детерминдік заңдармен анықталатынына қарамай кездейсоқ болып көрінетін динамикалық жүйелер теориясындағы құбылыс. Хаостың пайда болуының себебі болып бастапқы шарттарға және бастапқы шарттың аз өзгеруі уақыт өте динамикалық жүйенің көлемді өзгеруіне әкелетін параметрлерге байланысты тұрақсыздық табылады.
Динамикалық жүйе - уақыт пен кеңістікте оның бастапқы күйі жайындағы арнайы білім негізінде зерттелетін кез келген объект немесе процесс.
Бифуркация - бұл терминді А.Пуанкаре 1885ж. енгізді (француз тілінен bifurcation -- екіге бөліну, тармақталу) және кең мағынада барлық жағдайда мүмкін сапалы қайта құрылуларды түсіндіруде қолданылады немесе параметрлердің өзгерісіндегі әртүрлі объектілердің өзгеруі. Параметрлер қатарына тәуелді теңдеулер және бейнелеулер, олардың өзгерулері жүйенің сапалы түрленуіне әкеледі.
Бейсызық процесс - жүйенің күйі өзіне байланысты болатын процесс.
Кездейсоқ процесс - кездейсоқ сигналдың уақытқа байланысты өзгеретін математикалық моделі.
Информация - табиғат объектісіне тәуелсіз зерттелініп жатырған процессте симметрияның бұзылуы жағдайында, құрылымдануы және ықтималдық тәртібінде пайда болады.
Кездейсоқ сигнал - лездік мәндері алдын ала белгісіз және болу ықтималдылығы бірден аз болатын сигнал.
Сигнал - бір шаманың немесе функцияның екінші шамадан тәуелділігі.
Детерминделген сигнал - y(t) уақыттық тәуелділігі кез келген t уақыт моментінде аналитикалық анықталған сигнал.
Аттрактор - жүйенің фазалық кеңістігіндегі траекториялардың шектік жиынтығы, осы жиынтықтың қандайда бір аймақтарындағы барлық траекториялар оған ұмтылады. Тұрақты қимылдарды сипаттайтын тұйық фазалық траекториялар.
Автотербелмелі жүйе - энергия көзін өшпейтін тербеліс энегиясына түрлендіретін динамикалық жүйе, мұндағы тербелістің негізгі сипаттамалары (амплитуда, жиілік, тербеліс формасы және т.б.) жүйе параметрлерімен анықталады және белгілі шектерде негізгі бастапқы күйдің таңдалуына тәуелді емес.
Автотербеліс - бұл бейсызық диссипативті жүйедегі өшпейтін тербелістер, түрі және қасиеттері жүйенің өзімен анықталады және бастапқы шарттарға тәуелсіз
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 5
1. БАЙЛАНЫС ЖҮЙЕЛЕРІНДЕ АҚПАРАТТЫ ТАСУШЫ РЕТІНДЕ ХАОСТЫ СИГНАЛДАРДЫ ҚОЛДАНУ 6
1.1 Бейсызық физикадағы динамикалық хаос және оның ерекшеліктері 6
1.2 Хаосты сигналдар генераторлары және олардың ерекшеліктері 8
2 СИГНАЛДАРДЫҢ СПЕКТРЛІК СИПАТТАМАЛАРЫ 29
2.1 сигналдардың спектрлерінде қуат және энергияның үлестіруі 29
3 ХАОСТЫ СИГНАЛДАРДЫҢ ИНФОРМАЦИЯЛЫҚ - ЭНТРОПИЯЛЫҚ АНАЛИЗІ 33
3.1 информациялық тиімділігі 33
3.2 Хаосты сигналдың ақпаратты энтропиялық анализі 35
3.3 Өзқауымдық деңгейінің информациялық критериі 36
3.4 Импультердің форма және аффиндік коэффициенттері 38
3.5 Хаостық жүйелердің өзұқсас және өзаффинділік критерилері 39
4 Тәжірибелік бөлім 45
4.1 Есептеу жұмыстары жүргізілетін MatLab программалау ортасы 45
4.2 Энергетикалық тиіміділігі жоғары генераторды анықтау 45
ҚОРЫТЫНДЫ 57
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 60
КІРІСПЕ
Қазіргі таңда ақпараттық және телекоммуникация жүйелерінің қарқынды даму үстіндегі бағыттарының бірі - байланыс жүйелеріндегі, радиолокациядағы ақпарат тасушы ретінде хаосты сигналдарды қолдану. Бұл мәселелерге терең үңілетін болсақ, автотербелісті генераторлардың жұмысына флуктуацияның әсері, шуылдан сигналды бөліп алу, турбулентті ортада радиотолқындардың таралуы және сигнал идентификациясы мен ақпаратты қорғау сынды статистикалық радиофизика мәселелері орын алуда. Оның себебі, радиоэлектрондық құрылғылардың динамикасының бейсызық сипатында. Ал бейсызықтық заңдылық бойынша динамикалық жүйенің хаостануына алып келеді. Нәтижесінде радиотехникалық және электрондық құрылғыларда жылулық, кванттық шуылдармен қатар кезектес сипаттағы (квазитұрақты және кездейсоқ сигналдардың кезек келуі) шуылдар да орын алады. Динамикалық хаос ашылған уақытынан бері ғылыми ортада оған деген кызығушылық жоғарылауда. Көптеген жылдар көлемінде бұл құбылыс әртүрлі ғылыми топтармен зерртелуде.
Көптеген теориялық және тәжірибелік жұмыстарда динамикалық хаос ғылым мен техниканың әртүрлі облыстарында және жаңа технологияларды құруда кең көлемде қолданылатындығы көрсетілген.
Динамикалық хаос негізінде информацияны беру жүйесінің негізгі бөлігі хаостық тербелістер генераторлары болып табылады. Хаос генераторы байланыс жүйесінің жұмысын эффективті қамсыздандыру үшін арнайы сипаттамаларға ие болуы керек. Мысалы, генерацияланатын сигнал қажетті жиілік жолағында теңөлшемді қуат спектіріне ие болуы керек. Сондықтан белгіленген спектрлік сипаттамалы хаос генераторларын құру, сонымен қатар осы сипаттамаларды басқару мүмкіндіктері, динамикалық хаос негізіндегі коммуникациялық жүйелерді тәжірибелік жүзеге асыру мүмкіндіктерін анықтайтын өзекті мәселе болып табылады.
Коммуникациялық жүйелерді жүзеге асырудағы маңызды мәселе көпқолданылушы рұқсатын жүзеге асыру және хаосты сигналдар қосындысын ішкі шуылдың болуына байланысты байланыс каналдарында жіберу кезінде жеке компоненттерге бөлу мәселесі болып табылады. Қазіргі байланыс жүйелері үшін сигналдарды бөлу әдістері құрылғанына қарамастан, сигналдарды бөлу өзекті мәселе болып қалып отыр және хаостық сигналдарды тасушы ретінде қолдану оны шешудің жаңа әдістерін жасауға мүмкіндік береді.
Жұмыстың мақсаты болып хаостық сигналдар негізінде байланыс әдістерін жасау, спектрлік энергетикалық тиімділігі жоғары генераторды анықтау және хаостық сигналдарды бөлудің жаңа әдістерін жасау болып табылады. Осы мәселелерді ескере келе хаосты сигналдарды жоғарыда айтылған салаларда кең ауқымды қолдану және хаос генераторларын қолдануда тиімділіктерін көрсету мақсатында MatLab программасының көмегімен зерттеу жұмыстары жүргізілді.
1. БАЙЛАНЫС ЖҮЙЕЛЕРІНДЕ АҚПАРАТТЫ ТАСУШЫ РЕТІНДЕ ХАОСТЫ СИГНАЛДАРДЫ ҚОЛДАНУ
1.1 Бейсызық физикадағы динамикалық хаос және оның ерекшеліктері
Динамикалық хаос (ДХ) - бейсызық динамикалық жүйелерде туындайтын күрделі периодты емес тербелістер. Бұл тербелістер сыртқы шуылы әсерінсіз болмауы мүмкін және детерменді динамикалық жүйе қасиеті арқылы толығымен анықталады. Динамикалық хаос ашылуынан бастап соңғы 40 жыл ішінде ғылыми ортадағы оған деген қызығушылық бәсеңдеуде. Осы уақыт аралағында бұл құбылыс әртүрлі ғылыми топтардың арасында белсеңді зерттелінді. Көптеген теориялық және тәжірибелік жұмыстарда Динамикалық хаос құбылысы ғылым мен техниканың көптеген аймақтарында, әсіресе оның негізінде жаңа технологияларды жасау жолдарының мүмкін болуын көрсетті. Динамикалық хаос қолданылу бағыттарының ең тиімдісі - оны коммуникациялық технологияда қолдану. Ол ақпаратты жіберу және өңдеу кезінде тиімді болатын қасиеттерге ие болады.
Радиофизика және электроникадағы соңғы ғылыми жетістіктер динамикалық хаос пен бейсызық физиканы зерттеумен үздіксіз байланысты. Бейсызық физикасының негізгі мазмұнын сыртқы орта, заттек, энергия мен ақпарат ауысулары сынды бейсызық жүйелердің статистикалық физикасы ашады. Бұл мәселеге термодинамиканың бейсызық тепе-теңсіз құбылыстарын, бейсызық тербелістік жүйелерді, лазер мен инверстік жүйелер физикасын, жартылай өткізгіш пленкаларды қарастыру арқылы жақындауға болады. Жалпы айтқанда физикалық құбылыстарды жете қарастыратын болсақ, олардың барлығы бейсызық. Алайда Бейсызық құбылыстар физикасы және Бейсызық физика бірмағыналас терминдер емес. Бейсызық физикасы жалпы түсініктеріне, күрделі жүйелердің қасиеті мен заңдылықтарына негізделген. Мәселен, осы уақытқа дейін барлық бейсызық жүйелерге жалпы ашылған аттрактор, бифуркация, динамикалық хаос, кезектескіш, фрактал, мультифрактал, ақпарат және энтропия, өзін-өзі басқару.
Ғылымның жаңа әдістемесінің басты идеясы зерттелетін объектінің өзін-өзі басқаруының элементар құрылымын іздеу керектігі. Олардың өзара әсерін зерттей келе, күрделі құрылымды бейсызық құбылыстардың физикалық теориясын құруға болады [4-7]. Бейсызық жүйенің аса универсалды заңдылықтары сақталу заңымен қоса қарастырылатын энтропия балансының теңдеулерімен нақтыланады. Өзекті бағыттар хаос пен тәртіптің, реализация мен динамикалық жүйе образының қатынастарының мультифракталды анализі және ақпаратты энтропия болып табылады.
Қарапайым дифференциалдық теңдеулердің соңғы мәндерімен моделденген динамикалық жүйелерді қарастырайық. Динамикалық жүйені анықтау үшін уақыт моментіндегі мәндері берілген күйді сипаттайтын объектіні көрсету керек. шамасы еркін мәндерді қабылдай алады, ескеретін болсақ және шамалары екі түрлі күйді сипаттайды. Уақыт бойынша динамикалық жүйелер эволюция заңдылығы қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесімен жазылады.
(1.1)
Егер шамаларын -өлшемді кеңістікте нүктесінің координаттары ретінде қарастыратын болсақ, нүкте түріндегі динамикалық жүйе күйінің геометриялық сипаты шығады. Соңғысын бейнелегіш немесе көрсеткіш, көбінесе - фазалық нүкте, ал күй кеңістігін - динамикалық жүйенің фазалық кеңістіктігі деп атайды. Жүйе күйінің уақыт бойынша өзгерісі фазалық траектория деп аталатын сызық бойымен қозғалатын фазалық нүктеге байланысты. Фазалық кеңістікте әрбір х нүктесіне сәйкес жылдамдықтың векторлық өрісі теңдеулер жүйесімен анықталады.
(1.2)
Осыдан (1.1) динамикалық жүйесін векторлық формада жазуға болады:
(1.3)
- өлшемділіктің вектор-функциясы.
Динамикалық жүйенің маңызды бөлігін тербелістер болуы мүмкін жүйелер құрайды. Тербелмелі жүйелер олардың математикалық модельдеріне қарағанда белгілі кластарға бөлінеді. Сызықты және бейсызық тербелмелі жүйелер жинақталған және таралған, консервативті және диссипативті, автономды және автономды емес болып ерекшеленеді. Айтылған жүйелердің басты қасиеттері тербеліс теориясы бойынша жұмыстарда тереңінен көрсетілген [8]. Пуанкаре шектік циклінің динамикалық жүйе үлгісі ретінде классикалық бейсызық Ван-дер-Поль осциляторын қарастыруға болады:
, (1.4)
мұндағы, - сыртқы көзден жүйеге энергия тасуды сипаттайтын қоздыру коэффициенті (кері байланыс коэффициенті, теріс кедергі), оң болған кезде жүйеде тербелістер өседі, бірақ бейсызықтықтың салдарынан олардың амплитудасы шектеледі, ал формасы синусоидаға қарағанда айтарлықтай өзгеше болады.
Динамикалық жүйе тербелісінің анализінің әдісі фазалық кеңістікте графикалық көрініс арқылы Мандельштам Л.И. және Андронов А.А. атсалысуымен тербелістер теориясына енгізілді. Сол уақыттан бастап бұл әдіс түрлі тербелістік құбылыстарды зерттеуде жалпыға қабылданды. Күрделі сипаттағы тербелістер, яғни динамикалық хаос пайда болған кезде оның маңызы одан да көбейді. Күрделі тербеліс процестерінің фазалық портреттер анализі хаостық шектік көбейткішінің топологиялық құрылымын жорамалдауға, сонымен қатар болашақ зерттеулерге маңызды болуы мүмкін ұсыныстар мен шынайы гипотезалар шығаруға мүмкіндік береді[10-12].
1.2 Хаосты сигналдар генераторлары және олардың ерекшеліктері
Қазіргі таңда хаостық сигналдарды өңдейтін динамикалық жүйелердің көптеген түрлері зерттелінген. Минималды хаостық генераторлар қарапайым үш өлшемді дифференциалды теңдеумен өрнектеледі, аз мөлшерде осы теңдеулердің бір бөлігі ретті тербелісті стандартты генераторларға бір немесе бірнеше элементтерді қосу арқылы жасалынған генераторды сипаттайды. Ал бейберекеттіліктің басқа моделін дәстүрлі электрондық генераторлармен байланыстыру оңай емес. Бірақ осы хаосты да элементтік аналогты микросхема түрінде, сандық сигналды негізде жасап шығаруға болады. Еркіндік дәрежесі 1,5 болатын хаостың көздеріне: инерциялық бейсызықты генератор, туннельді диодты генератор, сақиналы автогенератор, Чуа тізбегі сияқты типтік үлгілер жатады. Сонымен қатар динамикалық хаосты Анищенко-Астахов генераторы белгілі, ол нақтырақ айтсақ, селективті элементтен (тербелмелі контур немесе Вин көпірі), екі күшейткіштен және инерциялық түрлендіргіші бар оң кері байланыс тізбектерінен тұратын модифицирленген бейсызық генератор [13].
1.2.1 Ван-дер-Поль генераторы
Динамикалық жүйенің маңызды бөлігін тербелістер болуы мүмкін жүйелер құрайды. Тербелмелі жүйелер олардың математикалық модельдеріне қарағанда белгілі кластарға бөлінеді. Сызықты және бейсызық тербелмелі жүйелер, консервативті және диссипативті, автономды және автономды емес болып ерекшеленеді. Айтылған жүйелердің басты қасиеттері тербеліс теориясы бойынша жұмыстарда тереңінен көрсетілген [13-15]. Пуанкаре шектік циклінің динамикалық жүйе үлгісі ретінде классикалық бейсызық Ван-дер-Поль осциляторын қарастыруға болады:
, (1.5)
мұндағы, - сыртқы көзден жүйеге энергия тасуды сипаттайтын қоздыру коэффициенті (кері байланыс коэффициенті, теріс кедергі), яғни, бейсызық деңгейін сипаттайтын параметр. оң болған кезде жүйеде тербелістер өседі, бірақ бейсызықтықтың салдарынан олардың амплитудасы шектеледі, ал формасы синусоидаға қарағанда айтарлықтай өзгеше болады.
Ван-дер-Поль осцилляторының теңдеуін әртүрлі формада жазуға болады, ол жүйедегі параметрлер мен айнымалы динамикалық тапсырмалардың нормалауына байланысты. Әдетте Ван-дер-Поль теңдеулері мына түрде көрсетіледі:
(1.6)
немесе
(1.7)
немесе
(1.8)
Бұл жерде u, y, x - динамикалық айнымалылар; - қоздырушы автотербелмелі басқарушылар, параметрлер, - генератордың өзіндік жиілігін сипаттаушы, коэффициент.
Егер (1.6) теңдеуінен өлшемсіз уақытқа τ =t көшсек, онда (1.8) теңдеуді аламыз, , , . Осындай осцилляторда өзіндік жиілік 1-ге тең. (1.8) теңдеу (1.9) теңдеуімен мынандай алмасумен байланысты: .
Ван дер-Поль теңдеуіне алдында айтылғандай Рэлей теңдеуі келеді:
(1.9)
Егер (1.9) теңдеуді дифференциалдап, алмастыру жасасақ, онда (1.8) теңдеу шығады.
Тепе-теңдік күйі мен тұрақтылық анализі.
Автотербелістердің пайда болу шартының анықталуын білу үшін тепе-теңдік күйінің қай жүйеде бар екенін және олардың тұрақтылық сипатының басқарушы параметрлерден тәуелділігі қалай өзгеретінін білу керек. Белгілі мәліметтерді қолданып, тепе-теңдік нүктесі мен Ван - дер - Поль осцилляторының тұрақтылық сипатын негізгі теңдеуді (1.8) алып анықтаймыз:
(1.10)
(1.10) теңдеуді бірінші ретті теңдеу жүйесі түрінде қайта жазамыз:
(1.11)
Жүйенің екі айнымалылары x және y бар, Ван дер- Поль осцилляторының фазалық кеңістігінің өлшемділігі екіге тең.
Тепе-теңдік күйі үшін теңдеудін және функциясын нөлге теңестіріп жазайық:
y=0,
(1.12)
Координата басының фазалық жазықтығында орналасқан жалғыз ерекше нүкте бар екені көрініп тұр: х⁰=0, y⁰=0.
Тепе-теңдік күйінің тұрақтылығын анықтау үшін қозғалмайтын нүкте аймағындағы жүйені желілендіру керек және желілендіру матрицасын (немесе Якобиан матрицасын) құру керек. (1.11), (1.12) жүйесі үшін келесі матрицаны аламыз:
(1.13)
(1.13) матрицаның өзіндік мағынасы Ван дер-Поль осцилляторының тепе-теңдік күйінің орнықтылығын анықтайды. Оны сипаттамалық теңдеуден оңай алуға болады:
(1.14)
немесе
(1.15)
Нәтижесінде екі өзіндік мағыналар шығады:
(1.16)
Ван-дер-Поль осцилляторының тепе-теңдік күйінің (х⁰=0, y⁰=0) орнықтылығын басқарушы параметрден тәуелділігін бақылайық.
а) -2 болса, және өзіндік мағыналар-шын және жалған сандар. Осындай жағдайда тепе-теңдік күйі орнықты түйінін көрсетеді.
ә) -20 болса, және өзіндік мағыналар - комплекстік-түйіндес сандар және Re[]0. Тепе-теңдік күйі орнықсыз фокус болады.
б) 02 болса, және өзіндік мағыналар - комплекстік-түйіндес сандар және Re[]0.
в) 2 болса, және өзіндік мағыналар - шынайы оң сандар болады.
Тепе-теңдік күйі орнықсыз түйін екенін көрсетеді. Жуықталған квазигармоникалық Ван-дер-Поль теңдеуін шешетін бірнеше классикалық әдістер белгілі. Олар: энергетикалық Теодор әдісі мен Ван-дер-Поль орташалау әдісі [15,19].
1.2.2 Чуа жүйесі
Чуа тізбегі - бифуркациялық бейнелеулер мен аттракторларды бейнелейтін қарапайым электрондық схема. Тізбек 2 конденсатордан С1,С2, индуктивтік катушкадан L, сызықтық резистордан R=1G және бейсызық элементтен NR (Чуа диоды) тұрады [27].
1.1 сурет - Чуа тізбегі (а) Чуа тізбегі мен бейсызық элементінің NR вольт-амперлік сипаттамасы(б)[30]
Сурет 1.1,б көрініп тұрғандай NR бейсызық элемент, ол әдебиеттерде Чуа диоды деп аталып, кері өткізгішпен үш құлаушы сызықтық аймағымен сипатталады: -Ga үшін VRE және -Gb үшін VRE.
Кері өткізгіштің бар болуы Чуа тізбегіндегі автотербелістердің мүмкіндігін қамтамасыз етеді.
1.1,а -схемасы үшін Кирхгоф заңына сүйеніп, дифференциалдық теңдеулер жүйесін жазамыз:
(1.17)
(1.18)
бұл жердегі, f(V1 ) функциясы бейсызық сипаттамасымен анықталады (сурет 1.1,б).
Келесі айнымалылар мен параметрлерді (1.18) теңдеуіне қойсақ,
нормалау (өлшемсіз) формасындағы теңдеулер жүйесін аламыз, ол аналитикалық және сандық зерттеулер жүргізуде өте ыңғайлы болып табылады:
(1.19)
мұндағы, , - параметрлер, - Хевисайд функциясы,
; (1.20)
(1.19) теңдеуін осцилляторлық формаға у айнымалыны шығару жолымен түрлендірсек:
(1.21)
теңдеуінен Чуа генераторы физикалық жағынан өздігінен келісімді инерциялық қоздырғыш диссипативті осцилляторын көрсетеді.
Динамикалық жүйе (1.21) үшөлшемді ортада R³ векторлық өрісін сипаттайды, бұл симметрияның қайта құрылуы біркелкі инвариантты:
(x,y,z)--(-x,-y,-z) (1.22)
Жүйенің симметриясы h(x) бейсызық элементінің формалық сипаттамасымен келтірілген, ол фазалық кеңістікті үш аймаққа х=+-1 жазықтықты қтармен бөле- ді:
(1.23)
a және b параметрлері нөлден өзгеше деп шарт қойсақ қана. Әр қайсы аймақтың жүйесі , сызықты болып келеді. Осындай маңызды ерекшелікпен Чуа тізбегі аналитикалық жолмен нәтижелер қатарын ала алады.
F жүйенің (1.23) векторлық өрістегі дивергенциясын қарастырайық:
(1.24)
бұл жердегі, h'x=b үшін x∊және h'x=a үшін x∊. h(x) сипаттамасы үшін келесі параметрлер мағынасын таңдаймыз: a=-0,143, b=0,286. (1.23) теңдеуінен көрініп тұрғандай, а0 шарты GaG білдіреді. Осы жағдайда кері өткізгіштің көзі көп болады, тізбектің активті өткізгіштігіне қарағанда b0 шарты GbG және RLC-тізбегіндегі активті шығындар көп, тізбектің кіру көзіне қарағанда. Өшпейтін тербелістерді орнату үшін кері мен оң шығын арасындағы орташаландырылған баланс қажет. Демек, маңызды қорытынды жасауға болады: жүйенің (1.23) әр фазалық траекториясы немесе аймағында табыла алмайды. Фазалық траекториялар үш аймақтың және бәрін немесе екі аймаққа кіріп шыға алады: және немесе және . Соңғы жағдайда симметриялық аттракторлардың үйлескен жұбы бақыланатын болады. Жоғарыда қарастырылған нәтижелер жүйенің кейбір бифуркациялық қасиеттерінің түсінігі үшін аса маңызды болады (1.23) [17-19].
Чуа тізбегінде хаос белгілі аралықта болады.
Сурет 1.2. Чуа тізбегінің бифуркациялық диаграммасы
Осы диаграммадан есептеулерді мына аралықтарда орындаймыз: =[8.5:0.1:11] және =[14.9:0.1:16.5].
1.2.3 Анищенко-Астахов генераторы
Анищенко-Астахов генераторы - хаосты сигналдарды жүзеге асыратын бейсызықты күшейткіші бар генератор. Генератор инерциалды элементтен, күшейткіштен, конденсатордан, резистордан тұрады [14].
Сурет 1.3. Анищенко-Астахов генераторының схемасы
Сурет 1.4. Инерциалды бейсызықты генератор схемасы [30]
Осы генератордың негізгі күшейткіші бейсызықты болатын болсын. Оның сипаттамасы:
(1.25)
мұндағы, - күшейткіш сипаттамасының құламалығы. Инерциялық кері байланыстың әсерін ескерейік. Күшейткіш құламалығы:
(1.26)
мұндағы, V=V(x) - инерциялық түрлендіргіштің шығысындағы кернеу, b-параметр. Инерциялық түрлендіргіш мына теңдеу арқылы жасалынатын болсын:
(1.27)
- қандайда бір бейсызық функция. Генератордың тербелмелі контурындағы ток теңдеуі:
(1.28)
(1.26)- (1.28) теңдеулері тұйық жүйені алуға мүмкіндік береді. Ол өлшемсіз айнымалылар түрінде былай жазылады:
,
, (1.29)
мұндағы, - негізгі күшейткіш сипаттамасының инерциалды бейсызықтығының әсер ету деңгейіне жауап беруші параметр, F(x)-инерциалды
түрлендіргіштің бейсызықтық функциясы.
(1.29) теңдеуден y айнымалысын ескермей теңдеу жазылса:
(1.30)
Бейсызық осциллятор x айнымалысынан инерциялық тәуелділікпен сипатталады. Жүйенің қатты инерциалдығы жағдайында (), яғни жағдайында Ван-дер-Поль генераторының теңдеуіне келеді:
(1.31)
мұндағы, .
(1.30) жүйе теңдеуінің d=0, жағдайында генератор Теодор генераторының теңдеуіне сай келеді. Басқа жағдай, яғни, шартына сай келетін инерциалды емес генератор жағдайы. (1.30) теңдеуден және шартынан мына теңдеу алынады:
(1.32)
бұл теңдеу Ван-дер-Поль теңдеуімен тек мына жағдайда сәйкес келеді:
(1.33)
Зерттеулер көрсеткендей, Анищенко-Астахов генераторында (1.29) автотербелістің тек периодты ғана емес F(x) функциясының түріне тәуелді болатын, (1.29) теңдеуден ерекшеленетін, инерциялылық дәрежесінен өзгеше болатын (g параметрі интервалында мәндер қабылдауы керек) хаостық режимдерді жүзеге асырады [15-19].
1.2.4 Лоренц жүйесі
Бұл материалда бір динамикалық жүйенің мысалын сипаттаймыз, ол соңғы отыз жыл бойы зерттеушілердің назарын аударуда. Мұндай үш өлшемді динамикалық жүйе ғылым әлеміне 1963 жылы Э.Лоренцтің арқасында енгізілді, ол атмосфералық процестерді модельдеумен айналысатын еді. Одан бері жүйе көптеген зерттеулер жасалуына мен мақалалардың жарық көруіне себеп болды. Лоренц жүйесіне деген қызығушылықтың басты себебі- ол оның траекториясының іс-қимылы, сипаты болып табылады. Зерттелініп отырған сауалдардың нақты жауабы әлі ізделуде. Кейбір нәтижелер тек қана физикалық қатаңдық деңгейіне немесе сандық күйде негізделген және алдынғы қалыптасқан теория жайлы талқыланды. Сондықтан кеңес берілетін әдебиетті оқу- жоғарғы математикалық дайындықты талап етеді. Сондықтан бұл еңбекте тапсырмалар жоқ.[25]
Лоренц теңдеулер жүйесі- бұл бейсызық автономды, бірінші реттік дифференциалдық теңдеулердің үш өлшемді жүйесі:
,
,
. (1.34)
Ондағы s, b және r- параметрлер. Бұл жүйе, қыздырылған сұйықтың конвективті ағуын модельдеу тапсырмасында туындады. Мұндай ағыс дербес туындылардағы дифференциалдық теңдеулердің жүйесімен сипатталады. Одан (1.34) жүйе арнайы үш өлшемді кеңістікте жоспарланған болып шығады.
Э.Лоренц (1.34) жүйесін сандық интегралдау нәтижесінде, және кезінде бұл динамикалық жүйеде, бір жағынан хаостық, барлық траекториялардың бірқалыпсыз көрінісі, ал екінші жағынан барлық траекториялар кезінде күрделі құрылымды көпмүшеге, яғни аттракторға (ағыл. to attract- тарту, қызықтыру) қарай тартылады.
Шешімнің мұндай әрекеті сұйықтықтың турбулентті (ретсіз, хаостық) ағысымен ассоцияцаланады. Бұл қазіргі кездегі маңызды мәселелердің бірі, гидро- және аэродинамиканың, турбуленттілікті сипаттау мәселесінің жылжуына мүмкіндік берді. Әсіресе, осы арқылы ғалымдардың бұл жүйеге деген қызығушылығы түсіндіріледі. Қазіргі уақытта осы сауалға жауап: турбуленттікке Лоренц жүйесі мен оның баламасының қатысы бар ма?- ол әлі белгісіз. Біз Лоренц жүйесіндегі аттрактордың құрылымы мен пайда болуы туралы қалыптасқан пікірлерді сипаттауға тырысамыз. (1.34) жүйеге мәндерін тіркейміз және r-ді нөлден бастап арттырамыз.
Сурет 1.5.
кезінде Лоренц жүйесі асимптоталық тұрақты, жалпы стационарлы нүктеге, яғни координаталар бастауына ие болады. Оған барлық траекториялар тартылады (сурет 1.5). Осы жерде сараптаманың бастапқы кезеңі қарапайым екенін (сурет-1.7 дейін) және оқушы оны өз бетімен жасауға мүмкіндігі бар екенін атап өтеміз. r бірден асқан кезде, алғашқы бифуркация пайда болады. Координаталар бастауы өзінің тұрақтылығын жоғалтады және одан екі тұрақты- стационарлы нүктелер бөлінеді.
Сурет 1.6.
Нөлдік стационарлы нүктеде сызықты болып келетін жүйеде екі теріс және бір оң өздік мәні бар. Осыған сәйкес нөлдік стационарлы нүктеде екі өлшемді кіріс тармағы және бір өлшемді шығыс тармағы болады. X1 және X2 нүктелерінде сызықты жүйелерде барлық өздік мәндер теріс болып келеді. r параметрінің өсуі барысында, осы жүйенің өздік теріс мәндер жұбы өздік комплексті тоғысқан жұпқа айналады. Әдетте, бұл нөлдік стационарлы нүктелерінің шығыс G1 және G2 тармақтары X1 және X2 стационарлы нүктелерінің жанына сәйкесінше спираль тәрізді жалғанауына сай болады (сурет 1.7).
Сурет 1.7. Сурет 1.8.
r - дің одан әрі артуына байланысты X1 және X2 стационарлы нүктелері жоғары қарай (олар x3=r-1 жазықтығында жатады) көтеріледі, ал сприаль тәріздес траекторяилар ісінеді. Бұл процесс кезінде, нөлдің шығу тармақтарынан басталатын спиральдар Г1 және Г2 екі гомоклиникалық траектория құра отырып, оның кіріс тармағына келіп түскенше жалғасады (5-сурет). r - дің өсуі кезінде, осы сәтте екі тұрақсыз Ф1 және Ф2 гомоклиникалық цикл туындауы болатын, гомоклиникалық траекториялардың бифуркациясы жүзеге асады (сурет 1.9). Осы циклға жауап беретін, кезектесу операторының сызықты бөліктері әр қайсысы бір мультипликаторға ие болады (бірден асатын) және әр қайсысы тағы да бірден төмен мультипликаторға иеленеді, осыдан циклға баратын бір траектория бағыты тартылады, ал кері жағдайда- тебіледі. Нөлдік стационарлы нүктенің G1 және G2 шығыс тармақтары, бұдан әрі кіріс тармақтарға келіп түспейді (сурет 1.9)- олар стационарлы Х2 және Х1 нүктелеріне (алдынғыдай Х1 және Х2 емес ) сәйкесінше жетеді және солардың маңында оралады.
Сурет 1.9.
болған кезде кезекті бифуркация туындайды, сонымен қатар G1 және G2 тұрақсыз циклдарды өзіне тартатын Ф1 және Ф2 - ге келіп түседі (сурет 1.10 қараңыз).Келесі бифуркация кезінде пайда болады. Бұл уақытта Х1 және Х2 нүктесіндегі сызықтыларда жалған өстің бойында, өзіндік мәндер жұбы пайда болады (осы өзіндік мәндер оң заттық бөліктерге ие бола алады). Х1 және Х2 стационарлы нүктелері өзінің тұрақтылығын жоғалта отырып (Пуанкаре-Андронов-Хопф бифуркациясы), Ф1 және Ф2 тұрақсыз циклдарын жұтады.
Сурет 1.10.
Сипатталынған процесс кезінде Лоренц жүйесінде -дан бастап шектік инварианттық жиынтық пайда болады, бірақ -ге дейін ол тұрақсыз болып табылады, яғни өзіне траекторияларды тарта алады. кезінде бұл жиынтығы тұрақсыз болады. Аталып отырған нарсе- Лоренц аттракторы деп аталады. Оның бейнесі сурет 1.11 келтірілген, онда Лоренц жүйесінің бір ғана траекториясы бейнеленген, себебі болғанда ол аттракторға қарай ұмтылады. Траектория біресе Х1 тұрақсыз стационарлы нүктесінің айналасында, біресе тұрақсыз Х2 стационарлы нүктесінің айналасында шеңбер жасайды және сол кезде оларды кездейсоқ түрде ауыстырады.
Сурет 1.11. Лоренц аттракторы
Лоренц аттракторы келесі қасиеттерге ие болатыны белгілі (қазіргі кезде бұл қасиеттер сандық есептеу нәтижелеріне негізделген эмпирикалық кезеңдерге ие болады). Біріншіден, R3-те А ашық жиыны болып, (мұндағы gt- Лоренц жүйесінің траектория бойынша жылжу операторы ) теңдігі орындалған кезде, аттрактор деген атқа иеленеді. Басқаша айтқанда, А-дан басталатын барлық траекториялар (бұл жағдайда А ретінде барлық R3-ін алуға болады) -ға қарай тартылады. Екіншіден, барлық жерде периодтық траекториялардың тығыз жиынтығына ие болады және олардың әр қайсысы тұрақсыз болып табылады. Үшіншіден, -да жаттатын траекториялар экспоненциалды түрде ажырайды, сондықтан Лоренц жүйесі үшін Коши есебіндегі бастапқы мәндердің аз ауытқулары кезінде, үлкен аралықта шешімдер бір-бірінен өте қатты айырмашылыққа ие болуы мүмкін. Бұл Лоренц жүйесімен сипатталатын процесті детерминделмеген етеді. Төртіншіден, локальді түрде Лоренц аттракторының жиынтығы көптеген бөліктерге ажыратылады. Аталған қасиеттерге ие болатын аттракторлар, қазіргі кезде көптеген динамикалық жүйелерде табылды. Оларды, әдетте, оғаш аттракторлар деп атайды. -дің жоғарғы мәндерінде, Лоренц жүйесінде пайда болатын процестер туралы әлі де нақтылық жоқ. Параметр өзгерісінің кейбір аралықтарында тұрақты периодтық шешімдер кездеседі. және кездерінде қызықты құбылыстар байқалады. кезінде, Лоренц жүйесі тұрақты циклға ие болады, ол -дің мәні төмендеген кезде қосарланған периодтың бифуркациясына ұшырайды, сонымен қатар өзінің тұрақтылығын жоғалтып, екілік периодты циклдың тұрақтылығын туындауына себеп болады. -дің одан әрі азаюына байланысты жаңа цикл тұрақтылығын жоғалтады және өз кезегінде одан екілік периодты цикл ажыратылады. Осылайша, параметр мәнінің шексіз кезегі туындайды, бұл кезде Лоренц жүйесі қосарланған периодты бифуркацияға иеленеді. Бұл кезек Фейгенбаум әмбебап заңын қанағаттандырады:
(1.35)
мұндағы, - әмбебап тұрақтысы, ол қосарлану периодының бифуркациясының шексіз кезегіне ұшырайтын, нақты динамикалық жүйеге тәуелсіз болып табылады. [25]
1.2.5 Хенон бейнеленуі
Хенон бейнеленуі - уақыт бойынша дискретті, динамикалық жүйе. Бұл хаостық құбылыстарына ие болатын, зерттелінген динамикалық жүйенің бір мысалы болып табылады. Хенон бейнеленуі жазықтықтағы (хn, yn) нүктесін алып жатыр және оны жағы нүктемен салыстырады.
(1.36)
Хенон бейнеленуі екі a және b параметрлеріне тәуелді болады, олар Хенонның классикалық бейнеленуі үшін мына мәнге иеленеді: a=1,4 және b=0,3. Классикалық мәндер үшін Хенон бейнеленуі хаостық болып есептеледі. a және b параметрлерінің басқа мәндерінде бейнелену үзікті немесе периодтық орбитаға келетін, хаостық түрде бола алады. [20]
Сурет 1.12. Хенон бейнелеуі а=1,4 және b=0.3
Бейнелену Мишель Хенонның арқасында енгізілді, ол Лоренц үлгісінің Пуанкаре өтуінің жеңілдетілген үлгісі ретінде болады. Классикалық бейнеленуде, бастапқы жазықтық нүктесі, Хенонның күрделі аттракторы деп танылатын, нүктелердің тізіміне жақындау керек немесе шексіздікке ұмтылады. Хенон аттракторы фракталды болып келеді, ол бір бағытта тегіс болады, ал Кантор тізімінде басқа түрде кездеседі. Бейнеленудің классикалық аттракторы үшін аймақтағы корреляцияны сандық бағалау 1,25 +- 0,02, ал Хаусдорф өлшемділігі үшін 1,261+- 0,003.
Сурет 1.13. Хенон аттракторы
b=0,3 болатын Хенон бейнеленуінің диаграмма орбитасы. Жоғарғы тығыздылығы айнымалы ықтималдылығын күшейтеді, х бұл мәнге берілген а мәнінде ие болады. Хаостың жерсеріктік аумағына және a=1,075 жанындағы периодтық процестерге назар аударыңыз- олар х және у үшін бастапқы шарттарға тәуелділікке қатысты туындауы мүмкін.
Хенон бейнеленуі екі инварианттық нүктелерді бейнелейді. Хенон бейнеленуінің а және b классикалық мәндері үшін, осы нүктелердің біреуі аттракторда орналасады.
(1.37)
Бұл нүкте тұрақсыз. Мәндері осы жылжымайтын нүктеге жақын болады және 1,924 иілуі бойымен жылжымайтын нүктені жақындатады, сонымен қатар -0,156 иілуінің бойындағы нүктелер белгіленген нүктеден алшақтайды. Бұл иілулер тұрақты әралуандылық мен жылжымайтын нүктенің тұрақсыз әралуандылық сызықты болуы кезінде пайда болады. Жылжымайтын нүктенің аттрактордағы тұрақсыз әралуандылығы Хенон бейнеленуінің қызықты аттракторында болады.
Хенон бейнеленуі а және b параметрлерінің барлық мәндері үшін қызықты аттракторға ие болмайды. Мысалы: 0,3-ке b тіркелуін сақтай отырып, бифуркация диаграммасы a=1,25 кезінде Хенон бейнеленуі аттрактор ретінде тұрақты периодтық орбитаға иеленеді.[20]
1.2.6 Логистикалық бейнелеу
Логистикалық шағылу (квадратты шағылу немесе Фейгенбаум шағылу) - бұл полиномиальды бейнелеу, ол уақыттың өтуімен популяция санының өзгерісін сипаттайды. Оны қарапайым бейсызық теңдеулерден күрделі хаостық қозғалыс пайда болуына байланысты мысал ретінде береді. Логистикалық бейнелеу - үздіксіз логистикалық Ферхюльст теңдеуінің дискреттік баламасы; ол дискреттік уақыт моменттерінде популяцияның артуын бейнелейді.[21]
Бейнелеудің математикалық формуласы:
(1.38)
мұндағы, - 0-ден 1-ге дейінгі мәндерді қабылдайды және n-ші жылдағы популяция санақты бейнелейді, ал - бастапқы санақты білдіреді. - популяция арту жылдамдығын сипаттайтын оң параметр.
Кейде бұл формуланы Ферхюльс бейнелеуі деп те атайды, ал логистикалық бейнелеу деп өзге, бірақ қасиетті бойынша эквивалентті форумала есептеледі.
(1.39)
Бұл бейсызық бейнелеу екі әсерді сипаттайды:
1. Популяция санағы аз болса, онда ол осы санаққа пропроционалды жылдамдықпен арттады.
2. Популяция шектелген сыйымдылыққа ие ортада болғандықтан, популяция тығыздығы жоғарылаған кезде арту жылдамдығы төмендейді, бәсекелестік пен жойылу арттады.
r параметріне тәуелді іс-әрекет.
r параметрінің өзгерісі кезінде жүйеде келесі іс-әрекет байқалады.
1. Егер r 0-ден үлкен және 1-ден кіші болса, онда популяция бастапқы шарттарға қарамастан, жойылады.
2. Егер r 1-ден үлкен және 2-ден кіші болса, онда популяция санағы бастапқы шарттарға қарамастан стационарлы мәніне шығады.
3. Егер r 2-ден үлкен және 3-тен кіші болса, онда популяция санағы дәл алдыңғыдай стационарлы мәніне шығады. Барлық жерде сәйкестену жылдамдығы сызықты болып келеді, ол тек r=3мәнінде ғана жүзеге аспайды, себебі ол сызықтымен салыстырғанда тым аз мәнге ие.
4. Егер r 3-тен үлкен және кіші болса, онда популяция санағы шексіз екі мән арасында ауысып отырады.
5. Егер 3,45-тен үлкен және 3,54-тен кіші болса, онда популяция санағы төрт мән арасында шексіз ауысып отырады;
6. Егер r таңбасы 3,54-тен үлкен болса, популяция санағы 8 мән арасында, осыдан кейін 16,32-ден және одан әрі ауысып отырады. Параметр өзгерісінің аралық ұзындығы r мәні артқан сайын төмендейді. Екі ауыспалы аралық арасындағы қатынас δ ≈ 4.669... тең Фейгенбаум тұрақтысына ұмтылады. Мұндай іс-әрекет период екі еселену бифуркациясы каскадының мысалы бола алады;
7. Егер r шамамен 3,57-ге тең болса, онда хаосты тәртіп басталады. Каскадтың екі еселенуі тоқтайды.Тербеліс бұдан әрі болмайды, бастапқы шарттардың азғантай өзгерісі уақыт бойынша жүйенің салыстыруға болмайтын тәртібіне алып келеді. Бұл хаостық тербелістің негізгі сипаттамасы болып табылады;
8. 3,57-ден асатын көптеген мәндер хаосты тербелісті бейнелейді алайда тар изоляцияланған r мәнінің терезелері болады, бұл кезде жүйеде жүйелі қозғалыс орналады. Мысалы мәнінен бастап, үш мән арасындағы тербеліс байқалатын r параметрлер аралығы пайды болады, ал r-дің үлкен, яғни 6,8,12 және т.б мәндер арасында жүйеде кезкелген мәндер санына ие периодтық тербелістер орналады.
9. Егер 4 тең болғанда, бейнелеу мәндері [0,1] аралығынан өтеді және кезкелген бастапқы шарттарда алшақтайды.
Сурет 1.14. Логистикалық бейнелеудің бифуркация диаграммасы
1.2.7 Жинау және лақтыру бейнесі
x(t) уақыт бойынша белгілі бір функция модулінің фракталдық өлшемділікпен байланысының эволюциясын қарастырайық, ол мына түрде болады.
, (1.40)
мұндағы, - t мәнінің көпмүшесінің статистикалық сипаттамасы, ол шектелген туындысы үшін Лифшиц-Гельдер шартын қамтамасыз ету мақсатында енгізілген. Көбею модулін фракталды өлшем шарттына өзгереді.
, , , (1.41)
мұндағы, х0- тұрақты фракталсыз өлшем, - мағынасы көптеген фракталды өлшем, d- тасушы өлшем топологиясы. (1.41) формулуланы (1.40) формулаға қойсақ, дискретті таратуға өтеміз. Дискретті формасын таңба функциясы арқылы белгілейміз.
таңба функциясы әрқашан sign(dxi+1dxi) -ға ғана тәуелді болады. Оның өзгеруі орнықты нүктені жазу түрі арқылы айнымалы дискретті анықтай аламыз.
, (1.42)
Әдетте сызықты эволюциялық ауытқуда қолданылады. -ден анықтай аламыз және шама модуліне шектеу қоймаймыз..
(1.41), (1.42) формулаларды ескере отырып, (1.40) формуланы жағдайында мына түрге келтіреміз.
(1.43)
Уақыттың бірдей моменттерін таңдауға мүмкіндік алу үшін (1.43) формуладану алып тастаймыз. Дикреттік есептудің алгоритмі бойынша -ге деп есептемес бұрын өрнегін арқылы модельдейміз: нақты осы өрнек хаостыққа ауысуға жатады..
өлшемін енгізу шарттың жүзеге асырылуына себеп болатынын ескереміз:
, (1.44)
мұндағы, τ - процесстің сипаттамалық уақыты..
кезде тағдау кезінде біз бойынша Риман өлшемін есептеу жағдайына ие болатын едік. болғанда біз -нің функциясының өсуіне тәуелділігін ескере отырып, Лебег бойынша есептеуге мүмкіндік аламыз:
(1.45)
мұндағы, - белгілі бір тұрақты шама. шамасының мағынасын спектрді сипаттауға арналған базаның сигналының баламасы ретінде тұжырымдауға болады:
, (1.46)
мұндағы, - корреляцияның спаттамалық уақыты, - жиілік жолағының кеңдігі. [5] анықтамаға сәйкес шамасы хаостық сигналдың таңдалынған рұқсат етілу дәлдігін суреттеудің күрделілігін сипаттайды. Обьектің фракталдық өлшемділігін бақылау дәлдігіне тәуелді болады, сондықтан теория нәтижесіне с тұрақтысы кіреді. өлшемі процессті бақылау дәлдігі деңгейін таңдауға сәйкес келеді: және т.б. Егер формуладағы туындының таңбасы сыртқы шарттармен анықталса, онда (1.44) формулаға, абсолютті шамалары алынады.
тең деп аламыз, (1.43) теңдеуді соңғы шешіммен мына түрде жазамыз:
. (1.47)
(1.47) дифференциалдай отырып, мынаған ие боламыз:
. (1.48)
(1.47) и (1.48) формулалар ізделініп отырған алмасу бенелеуін анықтайды.
𝛾 параметрлерінің бірі фракталды өлшемділіктің бөлшектік бөлігі мағынасына ие.
Осы алынған бейнелеу перемежаемые хаостық эволюциялық процесстерді сипаттайды. Білгілі модельдерге қарағанда, берілген бейнелеу күрделі шаршырау ассиметриялы алмасу, яғни жинақтау-лақтыру түріндегі сигналдарды жүзеге асырады [2]. Осындай сигналдардың өздік құру критерияларына жауап беретіні маңызды болып табылады. Мұндай сигналдар осыдан бұрын теориялық түрде алынды. Ол фазалық басқарылатын радиотехникалық генератордан схематехникалық жіне физикалық тәжірибелер алынды. Жүзеге асырулардың физикалық негізге ие. [32-35]
2 СИГНАЛДАРДЫҢ СПЕКТРЛІК СИПАТТАМАЛАРЫ
9.1 Сигналдар спектрлерінде қуат және энергияның үлестірілуі
Гармоникалық тербелістің кедергісі 1Ом болғандағы орташа қуаты болады.
Периодты сигнал спектрі сызықты болады, ондағы әрбір k құраушы болатын қуатты береді. Мұндай сигналдың спектріндегі қуат спектрді құраушылардың амплитудасының екі еселену заңы бойынша үлестіріледі. Сигналдың толық орташа қуаты:
(2.17)
Периодты сигналдың шекті жағдайында көрінетін периодты емес сигнал жағдайында орташа қуат болады. Сондықтан ол жағдайда сигналдың спектрі бойымен сигнал энергиясының үлестірілуі қарастырылады.
(2.18)
және айнымалыларының тәуелділігін ескере отырып интегралдау тәртібі өзгеріледі:
(2.19)
Ирек жақшадағы интеграл комплексті-түйіндес спектрлік тығыздық болып табылады. Сонда теңдеу мына түрге келеді:
(2.20)
Интеграл астындағы теңдеу физикалық мағына бойынша шексіз кіші жиілік жолағындағы энергия болып табылады. (2.20) теңдеуден көрініп тұрғандай, периодты емес сигнал спектрі бойынша энергия спектрлік тығыздық модулінің екі еселену заңы бойынша өзгереді. Түпкі ұзақтықты сигнал теориялық тұрғыда шексіз кең жиілік спектріне ие болады. Спектр құраушы амплитуда жиіліктің өсуіне байланысты жеткілікті жай азаяды, бірақ орташа қуаттың үлестірілуі және энергия тезірек ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
әл-Фapaби aтындaғы Қaзaқ ұлттық унивepcитeті
Физикa-тeхникaлық фaкультeті
Қaтты дeнe физикacы жәнe бeйcызық физикa кaфeдpacы
Қopғaуғa жібepілді
__________________ Кaфeдpa мeңгepушіcі Пpихoдькo O.Ю.
ДИПЛOМДЫҚ ЖҰМЫC
Тaқыpыбы: РАДИОТЕХНИКАЛЫҚ ДИНАМИКАЛЫҚ ХАОС ГЕНЕРАТОРЛАРЫНЫҢ ЭНЕРГЕТИКАЛЫҚ ТИІМДІЛІГІН АНЫҚТАУ
5B071900 - Радиотехника, электроника және телекоммуникациялар мaмaндығы бoйыншa
Орындаған Назарбекова Н.Қ.
Ғылыми жетекшілер:
ф.-м. ғ. д., профессор Жанабаев З.Ж.
магистр, оқытушы Бурисова Д.Ж.
Норма бақылаушы Исимова А.Т.
Aлмaты, 2015
РЕФЕРАТ
Бітіру жұмысы ? беттен, ? суреттен, ? формуладан, ? пайдаланған әдебиеттен тұрады.
Негізгі сөздер: динамикалық хаос, ақпараттық жүйе, хаосты сигналдың сипаттамалары, форма коэффициенті.
Жұмыстың негізгі мақсаты: динамикалық хаос генераторлардың энергетикалық тиімділігін анықтау.
Жұмыстың нәтижесі: Динамикалық хаос генераторларын Matlab ортасында программалары құрылып, олардың сигнал реализациясы, фазалық портреттері, спектрлік сипаттамалары алынған және жүйенің жалпы метрлік сипаттамасының энергия мөлшерімен байланыс графигі алынды. Нәтижесінде энергетикалық тиімділігі жоғары сигнал генераторын анықтау жолы көрсетілген.
РЕФЕРАТ
Дипломная работа обьемом ? страниц, рисунков, наименований используемой летиратуры.
Ключивые слова: динамический хаос, информационная система, характеристика хаотического сигнала, форма коэффициента.
Цель дипломной работы является: определение энергетической эффективности генераторов динамического хаоса.
Результат работы: в среде Matlab была построена программа генераторов динамического хаоса, были взяты их реализации сигналов, фазовые портреты спектральные характеристики, а также был построен график зависимости общей метрической характеристики системы от уровня энергии. В итоге был определен генератор с высокой энергетической эффективностью.
ABSTRACT
The thesis consist of pages, images, names used letiratury.
Klyuchivye words: dynamic chaos, energy efficiency, information system,
The aim of the: the definition of energy efficiency generators of dynamic chaos.
The result of the: in Matlab program was built generators of dynamic chaos, were taken for their implementation signals the phase portraits of the spectral characteristics, and had plotted the overall characteristics of the metric system by the energy level. The result was determined generator with high energy efficiency.
АНЫҚТАМАЛАР
Бұл диссертациялық жұмыста қолданылған терминдердің анықтамалары:
Хаос - реттілік пен кездейсоқтылықтың кезектесуі. Хаос - бұл ретсіздікте кездейсоқ реттіліктің пайда болуы.
Динамикалық хаос - бейсызық жүйенің тәртібі детерминдік заңдармен анықталатынына қарамай кездейсоқ болып көрінетін динамикалық жүйелер теориясындағы құбылыс. Хаостың пайда болуының себебі болып бастапқы шарттарға және бастапқы шарттың аз өзгеруі уақыт өте динамикалық жүйенің көлемді өзгеруіне әкелетін параметрлерге байланысты тұрақсыздық табылады.
Динамикалық жүйе - уақыт пен кеңістікте оның бастапқы күйі жайындағы арнайы білім негізінде зерттелетін кез келген объект немесе процесс.
Бифуркация - бұл терминді А.Пуанкаре 1885ж. енгізді (француз тілінен bifurcation -- екіге бөліну, тармақталу) және кең мағынада барлық жағдайда мүмкін сапалы қайта құрылуларды түсіндіруде қолданылады немесе параметрлердің өзгерісіндегі әртүрлі объектілердің өзгеруі. Параметрлер қатарына тәуелді теңдеулер және бейнелеулер, олардың өзгерулері жүйенің сапалы түрленуіне әкеледі.
Бейсызық процесс - жүйенің күйі өзіне байланысты болатын процесс.
Кездейсоқ процесс - кездейсоқ сигналдың уақытқа байланысты өзгеретін математикалық моделі.
Информация - табиғат объектісіне тәуелсіз зерттелініп жатырған процессте симметрияның бұзылуы жағдайында, құрылымдануы және ықтималдық тәртібінде пайда болады.
Кездейсоқ сигнал - лездік мәндері алдын ала белгісіз және болу ықтималдылығы бірден аз болатын сигнал.
Сигнал - бір шаманың немесе функцияның екінші шамадан тәуелділігі.
Детерминделген сигнал - y(t) уақыттық тәуелділігі кез келген t уақыт моментінде аналитикалық анықталған сигнал.
Аттрактор - жүйенің фазалық кеңістігіндегі траекториялардың шектік жиынтығы, осы жиынтықтың қандайда бір аймақтарындағы барлық траекториялар оған ұмтылады. Тұрақты қимылдарды сипаттайтын тұйық фазалық траекториялар.
Автотербелмелі жүйе - энергия көзін өшпейтін тербеліс энегиясына түрлендіретін динамикалық жүйе, мұндағы тербелістің негізгі сипаттамалары (амплитуда, жиілік, тербеліс формасы және т.б.) жүйе параметрлерімен анықталады және белгілі шектерде негізгі бастапқы күйдің таңдалуына тәуелді емес.
Автотербеліс - бұл бейсызық диссипативті жүйедегі өшпейтін тербелістер, түрі және қасиеттері жүйенің өзімен анықталады және бастапқы шарттарға тәуелсіз
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 5
1. БАЙЛАНЫС ЖҮЙЕЛЕРІНДЕ АҚПАРАТТЫ ТАСУШЫ РЕТІНДЕ ХАОСТЫ СИГНАЛДАРДЫ ҚОЛДАНУ 6
1.1 Бейсызық физикадағы динамикалық хаос және оның ерекшеліктері 6
1.2 Хаосты сигналдар генераторлары және олардың ерекшеліктері 8
2 СИГНАЛДАРДЫҢ СПЕКТРЛІК СИПАТТАМАЛАРЫ 29
2.1 сигналдардың спектрлерінде қуат және энергияның үлестіруі 29
3 ХАОСТЫ СИГНАЛДАРДЫҢ ИНФОРМАЦИЯЛЫҚ - ЭНТРОПИЯЛЫҚ АНАЛИЗІ 33
3.1 информациялық тиімділігі 33
3.2 Хаосты сигналдың ақпаратты энтропиялық анализі 35
3.3 Өзқауымдық деңгейінің информациялық критериі 36
3.4 Импультердің форма және аффиндік коэффициенттері 38
3.5 Хаостық жүйелердің өзұқсас және өзаффинділік критерилері 39
4 Тәжірибелік бөлім 45
4.1 Есептеу жұмыстары жүргізілетін MatLab программалау ортасы 45
4.2 Энергетикалық тиіміділігі жоғары генераторды анықтау 45
ҚОРЫТЫНДЫ 57
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 60
КІРІСПЕ
Қазіргі таңда ақпараттық және телекоммуникация жүйелерінің қарқынды даму үстіндегі бағыттарының бірі - байланыс жүйелеріндегі, радиолокациядағы ақпарат тасушы ретінде хаосты сигналдарды қолдану. Бұл мәселелерге терең үңілетін болсақ, автотербелісті генераторлардың жұмысына флуктуацияның әсері, шуылдан сигналды бөліп алу, турбулентті ортада радиотолқындардың таралуы және сигнал идентификациясы мен ақпаратты қорғау сынды статистикалық радиофизика мәселелері орын алуда. Оның себебі, радиоэлектрондық құрылғылардың динамикасының бейсызық сипатында. Ал бейсызықтық заңдылық бойынша динамикалық жүйенің хаостануына алып келеді. Нәтижесінде радиотехникалық және электрондық құрылғыларда жылулық, кванттық шуылдармен қатар кезектес сипаттағы (квазитұрақты және кездейсоқ сигналдардың кезек келуі) шуылдар да орын алады. Динамикалық хаос ашылған уақытынан бері ғылыми ортада оған деген кызығушылық жоғарылауда. Көптеген жылдар көлемінде бұл құбылыс әртүрлі ғылыми топтармен зерртелуде.
Көптеген теориялық және тәжірибелік жұмыстарда динамикалық хаос ғылым мен техниканың әртүрлі облыстарында және жаңа технологияларды құруда кең көлемде қолданылатындығы көрсетілген.
Динамикалық хаос негізінде информацияны беру жүйесінің негізгі бөлігі хаостық тербелістер генераторлары болып табылады. Хаос генераторы байланыс жүйесінің жұмысын эффективті қамсыздандыру үшін арнайы сипаттамаларға ие болуы керек. Мысалы, генерацияланатын сигнал қажетті жиілік жолағында теңөлшемді қуат спектіріне ие болуы керек. Сондықтан белгіленген спектрлік сипаттамалы хаос генераторларын құру, сонымен қатар осы сипаттамаларды басқару мүмкіндіктері, динамикалық хаос негізіндегі коммуникациялық жүйелерді тәжірибелік жүзеге асыру мүмкіндіктерін анықтайтын өзекті мәселе болып табылады.
Коммуникациялық жүйелерді жүзеге асырудағы маңызды мәселе көпқолданылушы рұқсатын жүзеге асыру және хаосты сигналдар қосындысын ішкі шуылдың болуына байланысты байланыс каналдарында жіберу кезінде жеке компоненттерге бөлу мәселесі болып табылады. Қазіргі байланыс жүйелері үшін сигналдарды бөлу әдістері құрылғанына қарамастан, сигналдарды бөлу өзекті мәселе болып қалып отыр және хаостық сигналдарды тасушы ретінде қолдану оны шешудің жаңа әдістерін жасауға мүмкіндік береді.
Жұмыстың мақсаты болып хаостық сигналдар негізінде байланыс әдістерін жасау, спектрлік энергетикалық тиімділігі жоғары генераторды анықтау және хаостық сигналдарды бөлудің жаңа әдістерін жасау болып табылады. Осы мәселелерді ескере келе хаосты сигналдарды жоғарыда айтылған салаларда кең ауқымды қолдану және хаос генераторларын қолдануда тиімділіктерін көрсету мақсатында MatLab программасының көмегімен зерттеу жұмыстары жүргізілді.
1. БАЙЛАНЫС ЖҮЙЕЛЕРІНДЕ АҚПАРАТТЫ ТАСУШЫ РЕТІНДЕ ХАОСТЫ СИГНАЛДАРДЫ ҚОЛДАНУ
1.1 Бейсызық физикадағы динамикалық хаос және оның ерекшеліктері
Динамикалық хаос (ДХ) - бейсызық динамикалық жүйелерде туындайтын күрделі периодты емес тербелістер. Бұл тербелістер сыртқы шуылы әсерінсіз болмауы мүмкін және детерменді динамикалық жүйе қасиеті арқылы толығымен анықталады. Динамикалық хаос ашылуынан бастап соңғы 40 жыл ішінде ғылыми ортадағы оған деген қызығушылық бәсеңдеуде. Осы уақыт аралағында бұл құбылыс әртүрлі ғылыми топтардың арасында белсеңді зерттелінді. Көптеген теориялық және тәжірибелік жұмыстарда Динамикалық хаос құбылысы ғылым мен техниканың көптеген аймақтарында, әсіресе оның негізінде жаңа технологияларды жасау жолдарының мүмкін болуын көрсетті. Динамикалық хаос қолданылу бағыттарының ең тиімдісі - оны коммуникациялық технологияда қолдану. Ол ақпаратты жіберу және өңдеу кезінде тиімді болатын қасиеттерге ие болады.
Радиофизика және электроникадағы соңғы ғылыми жетістіктер динамикалық хаос пен бейсызық физиканы зерттеумен үздіксіз байланысты. Бейсызық физикасының негізгі мазмұнын сыртқы орта, заттек, энергия мен ақпарат ауысулары сынды бейсызық жүйелердің статистикалық физикасы ашады. Бұл мәселеге термодинамиканың бейсызық тепе-теңсіз құбылыстарын, бейсызық тербелістік жүйелерді, лазер мен инверстік жүйелер физикасын, жартылай өткізгіш пленкаларды қарастыру арқылы жақындауға болады. Жалпы айтқанда физикалық құбылыстарды жете қарастыратын болсақ, олардың барлығы бейсызық. Алайда Бейсызық құбылыстар физикасы және Бейсызық физика бірмағыналас терминдер емес. Бейсызық физикасы жалпы түсініктеріне, күрделі жүйелердің қасиеті мен заңдылықтарына негізделген. Мәселен, осы уақытқа дейін барлық бейсызық жүйелерге жалпы ашылған аттрактор, бифуркация, динамикалық хаос, кезектескіш, фрактал, мультифрактал, ақпарат және энтропия, өзін-өзі басқару.
Ғылымның жаңа әдістемесінің басты идеясы зерттелетін объектінің өзін-өзі басқаруының элементар құрылымын іздеу керектігі. Олардың өзара әсерін зерттей келе, күрделі құрылымды бейсызық құбылыстардың физикалық теориясын құруға болады [4-7]. Бейсызық жүйенің аса универсалды заңдылықтары сақталу заңымен қоса қарастырылатын энтропия балансының теңдеулерімен нақтыланады. Өзекті бағыттар хаос пен тәртіптің, реализация мен динамикалық жүйе образының қатынастарының мультифракталды анализі және ақпаратты энтропия болып табылады.
Қарапайым дифференциалдық теңдеулердің соңғы мәндерімен моделденген динамикалық жүйелерді қарастырайық. Динамикалық жүйені анықтау үшін уақыт моментіндегі мәндері берілген күйді сипаттайтын объектіні көрсету керек. шамасы еркін мәндерді қабылдай алады, ескеретін болсақ және шамалары екі түрлі күйді сипаттайды. Уақыт бойынша динамикалық жүйелер эволюция заңдылығы қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесімен жазылады.
(1.1)
Егер шамаларын -өлшемді кеңістікте нүктесінің координаттары ретінде қарастыратын болсақ, нүкте түріндегі динамикалық жүйе күйінің геометриялық сипаты шығады. Соңғысын бейнелегіш немесе көрсеткіш, көбінесе - фазалық нүкте, ал күй кеңістігін - динамикалық жүйенің фазалық кеңістіктігі деп атайды. Жүйе күйінің уақыт бойынша өзгерісі фазалық траектория деп аталатын сызық бойымен қозғалатын фазалық нүктеге байланысты. Фазалық кеңістікте әрбір х нүктесіне сәйкес жылдамдықтың векторлық өрісі теңдеулер жүйесімен анықталады.
(1.2)
Осыдан (1.1) динамикалық жүйесін векторлық формада жазуға болады:
(1.3)
- өлшемділіктің вектор-функциясы.
Динамикалық жүйенің маңызды бөлігін тербелістер болуы мүмкін жүйелер құрайды. Тербелмелі жүйелер олардың математикалық модельдеріне қарағанда белгілі кластарға бөлінеді. Сызықты және бейсызық тербелмелі жүйелер жинақталған және таралған, консервативті және диссипативті, автономды және автономды емес болып ерекшеленеді. Айтылған жүйелердің басты қасиеттері тербеліс теориясы бойынша жұмыстарда тереңінен көрсетілген [8]. Пуанкаре шектік циклінің динамикалық жүйе үлгісі ретінде классикалық бейсызық Ван-дер-Поль осциляторын қарастыруға болады:
, (1.4)
мұндағы, - сыртқы көзден жүйеге энергия тасуды сипаттайтын қоздыру коэффициенті (кері байланыс коэффициенті, теріс кедергі), оң болған кезде жүйеде тербелістер өседі, бірақ бейсызықтықтың салдарынан олардың амплитудасы шектеледі, ал формасы синусоидаға қарағанда айтарлықтай өзгеше болады.
Динамикалық жүйе тербелісінің анализінің әдісі фазалық кеңістікте графикалық көрініс арқылы Мандельштам Л.И. және Андронов А.А. атсалысуымен тербелістер теориясына енгізілді. Сол уақыттан бастап бұл әдіс түрлі тербелістік құбылыстарды зерттеуде жалпыға қабылданды. Күрделі сипаттағы тербелістер, яғни динамикалық хаос пайда болған кезде оның маңызы одан да көбейді. Күрделі тербеліс процестерінің фазалық портреттер анализі хаостық шектік көбейткішінің топологиялық құрылымын жорамалдауға, сонымен қатар болашақ зерттеулерге маңызды болуы мүмкін ұсыныстар мен шынайы гипотезалар шығаруға мүмкіндік береді[10-12].
1.2 Хаосты сигналдар генераторлары және олардың ерекшеліктері
Қазіргі таңда хаостық сигналдарды өңдейтін динамикалық жүйелердің көптеген түрлері зерттелінген. Минималды хаостық генераторлар қарапайым үш өлшемді дифференциалды теңдеумен өрнектеледі, аз мөлшерде осы теңдеулердің бір бөлігі ретті тербелісті стандартты генераторларға бір немесе бірнеше элементтерді қосу арқылы жасалынған генераторды сипаттайды. Ал бейберекеттіліктің басқа моделін дәстүрлі электрондық генераторлармен байланыстыру оңай емес. Бірақ осы хаосты да элементтік аналогты микросхема түрінде, сандық сигналды негізде жасап шығаруға болады. Еркіндік дәрежесі 1,5 болатын хаостың көздеріне: инерциялық бейсызықты генератор, туннельді диодты генератор, сақиналы автогенератор, Чуа тізбегі сияқты типтік үлгілер жатады. Сонымен қатар динамикалық хаосты Анищенко-Астахов генераторы белгілі, ол нақтырақ айтсақ, селективті элементтен (тербелмелі контур немесе Вин көпірі), екі күшейткіштен және инерциялық түрлендіргіші бар оң кері байланыс тізбектерінен тұратын модифицирленген бейсызық генератор [13].
1.2.1 Ван-дер-Поль генераторы
Динамикалық жүйенің маңызды бөлігін тербелістер болуы мүмкін жүйелер құрайды. Тербелмелі жүйелер олардың математикалық модельдеріне қарағанда белгілі кластарға бөлінеді. Сызықты және бейсызық тербелмелі жүйелер, консервативті және диссипативті, автономды және автономды емес болып ерекшеленеді. Айтылған жүйелердің басты қасиеттері тербеліс теориясы бойынша жұмыстарда тереңінен көрсетілген [13-15]. Пуанкаре шектік циклінің динамикалық жүйе үлгісі ретінде классикалық бейсызық Ван-дер-Поль осциляторын қарастыруға болады:
, (1.5)
мұндағы, - сыртқы көзден жүйеге энергия тасуды сипаттайтын қоздыру коэффициенті (кері байланыс коэффициенті, теріс кедергі), яғни, бейсызық деңгейін сипаттайтын параметр. оң болған кезде жүйеде тербелістер өседі, бірақ бейсызықтықтың салдарынан олардың амплитудасы шектеледі, ал формасы синусоидаға қарағанда айтарлықтай өзгеше болады.
Ван-дер-Поль осцилляторының теңдеуін әртүрлі формада жазуға болады, ол жүйедегі параметрлер мен айнымалы динамикалық тапсырмалардың нормалауына байланысты. Әдетте Ван-дер-Поль теңдеулері мына түрде көрсетіледі:
(1.6)
немесе
(1.7)
немесе
(1.8)
Бұл жерде u, y, x - динамикалық айнымалылар; - қоздырушы автотербелмелі басқарушылар, параметрлер, - генератордың өзіндік жиілігін сипаттаушы, коэффициент.
Егер (1.6) теңдеуінен өлшемсіз уақытқа τ =t көшсек, онда (1.8) теңдеуді аламыз, , , . Осындай осцилляторда өзіндік жиілік 1-ге тең. (1.8) теңдеу (1.9) теңдеуімен мынандай алмасумен байланысты: .
Ван дер-Поль теңдеуіне алдында айтылғандай Рэлей теңдеуі келеді:
(1.9)
Егер (1.9) теңдеуді дифференциалдап, алмастыру жасасақ, онда (1.8) теңдеу шығады.
Тепе-теңдік күйі мен тұрақтылық анализі.
Автотербелістердің пайда болу шартының анықталуын білу үшін тепе-теңдік күйінің қай жүйеде бар екенін және олардың тұрақтылық сипатының басқарушы параметрлерден тәуелділігі қалай өзгеретінін білу керек. Белгілі мәліметтерді қолданып, тепе-теңдік нүктесі мен Ван - дер - Поль осцилляторының тұрақтылық сипатын негізгі теңдеуді (1.8) алып анықтаймыз:
(1.10)
(1.10) теңдеуді бірінші ретті теңдеу жүйесі түрінде қайта жазамыз:
(1.11)
Жүйенің екі айнымалылары x және y бар, Ван дер- Поль осцилляторының фазалық кеңістігінің өлшемділігі екіге тең.
Тепе-теңдік күйі үшін теңдеудін және функциясын нөлге теңестіріп жазайық:
y=0,
(1.12)
Координата басының фазалық жазықтығында орналасқан жалғыз ерекше нүкте бар екені көрініп тұр: х⁰=0, y⁰=0.
Тепе-теңдік күйінің тұрақтылығын анықтау үшін қозғалмайтын нүкте аймағындағы жүйені желілендіру керек және желілендіру матрицасын (немесе Якобиан матрицасын) құру керек. (1.11), (1.12) жүйесі үшін келесі матрицаны аламыз:
(1.13)
(1.13) матрицаның өзіндік мағынасы Ван дер-Поль осцилляторының тепе-теңдік күйінің орнықтылығын анықтайды. Оны сипаттамалық теңдеуден оңай алуға болады:
(1.14)
немесе
(1.15)
Нәтижесінде екі өзіндік мағыналар шығады:
(1.16)
Ван-дер-Поль осцилляторының тепе-теңдік күйінің (х⁰=0, y⁰=0) орнықтылығын басқарушы параметрден тәуелділігін бақылайық.
а) -2 болса, және өзіндік мағыналар-шын және жалған сандар. Осындай жағдайда тепе-теңдік күйі орнықты түйінін көрсетеді.
ә) -20 болса, және өзіндік мағыналар - комплекстік-түйіндес сандар және Re[]0. Тепе-теңдік күйі орнықсыз фокус болады.
б) 02 болса, және өзіндік мағыналар - комплекстік-түйіндес сандар және Re[]0.
в) 2 болса, және өзіндік мағыналар - шынайы оң сандар болады.
Тепе-теңдік күйі орнықсыз түйін екенін көрсетеді. Жуықталған квазигармоникалық Ван-дер-Поль теңдеуін шешетін бірнеше классикалық әдістер белгілі. Олар: энергетикалық Теодор әдісі мен Ван-дер-Поль орташалау әдісі [15,19].
1.2.2 Чуа жүйесі
Чуа тізбегі - бифуркациялық бейнелеулер мен аттракторларды бейнелейтін қарапайым электрондық схема. Тізбек 2 конденсатордан С1,С2, индуктивтік катушкадан L, сызықтық резистордан R=1G және бейсызық элементтен NR (Чуа диоды) тұрады [27].
1.1 сурет - Чуа тізбегі (а) Чуа тізбегі мен бейсызық элементінің NR вольт-амперлік сипаттамасы(б)[30]
Сурет 1.1,б көрініп тұрғандай NR бейсызық элемент, ол әдебиеттерде Чуа диоды деп аталып, кері өткізгішпен үш құлаушы сызықтық аймағымен сипатталады: -Ga үшін VRE және -Gb үшін VRE.
Кері өткізгіштің бар болуы Чуа тізбегіндегі автотербелістердің мүмкіндігін қамтамасыз етеді.
1.1,а -схемасы үшін Кирхгоф заңына сүйеніп, дифференциалдық теңдеулер жүйесін жазамыз:
(1.17)
(1.18)
бұл жердегі, f(V1 ) функциясы бейсызық сипаттамасымен анықталады (сурет 1.1,б).
Келесі айнымалылар мен параметрлерді (1.18) теңдеуіне қойсақ,
нормалау (өлшемсіз) формасындағы теңдеулер жүйесін аламыз, ол аналитикалық және сандық зерттеулер жүргізуде өте ыңғайлы болып табылады:
(1.19)
мұндағы, , - параметрлер, - Хевисайд функциясы,
; (1.20)
(1.19) теңдеуін осцилляторлық формаға у айнымалыны шығару жолымен түрлендірсек:
(1.21)
теңдеуінен Чуа генераторы физикалық жағынан өздігінен келісімді инерциялық қоздырғыш диссипативті осцилляторын көрсетеді.
Динамикалық жүйе (1.21) үшөлшемді ортада R³ векторлық өрісін сипаттайды, бұл симметрияның қайта құрылуы біркелкі инвариантты:
(x,y,z)--(-x,-y,-z) (1.22)
Жүйенің симметриясы h(x) бейсызық элементінің формалық сипаттамасымен келтірілген, ол фазалық кеңістікті үш аймаққа х=+-1 жазықтықты қтармен бөле- ді:
(1.23)
a және b параметрлері нөлден өзгеше деп шарт қойсақ қана. Әр қайсы аймақтың жүйесі , сызықты болып келеді. Осындай маңызды ерекшелікпен Чуа тізбегі аналитикалық жолмен нәтижелер қатарын ала алады.
F жүйенің (1.23) векторлық өрістегі дивергенциясын қарастырайық:
(1.24)
бұл жердегі, h'x=b үшін x∊және h'x=a үшін x∊. h(x) сипаттамасы үшін келесі параметрлер мағынасын таңдаймыз: a=-0,143, b=0,286. (1.23) теңдеуінен көрініп тұрғандай, а0 шарты GaG білдіреді. Осы жағдайда кері өткізгіштің көзі көп болады, тізбектің активті өткізгіштігіне қарағанда b0 шарты GbG және RLC-тізбегіндегі активті шығындар көп, тізбектің кіру көзіне қарағанда. Өшпейтін тербелістерді орнату үшін кері мен оң шығын арасындағы орташаландырылған баланс қажет. Демек, маңызды қорытынды жасауға болады: жүйенің (1.23) әр фазалық траекториясы немесе аймағында табыла алмайды. Фазалық траекториялар үш аймақтың және бәрін немесе екі аймаққа кіріп шыға алады: және немесе және . Соңғы жағдайда симметриялық аттракторлардың үйлескен жұбы бақыланатын болады. Жоғарыда қарастырылған нәтижелер жүйенің кейбір бифуркациялық қасиеттерінің түсінігі үшін аса маңызды болады (1.23) [17-19].
Чуа тізбегінде хаос белгілі аралықта болады.
Сурет 1.2. Чуа тізбегінің бифуркациялық диаграммасы
Осы диаграммадан есептеулерді мына аралықтарда орындаймыз: =[8.5:0.1:11] және =[14.9:0.1:16.5].
1.2.3 Анищенко-Астахов генераторы
Анищенко-Астахов генераторы - хаосты сигналдарды жүзеге асыратын бейсызықты күшейткіші бар генератор. Генератор инерциалды элементтен, күшейткіштен, конденсатордан, резистордан тұрады [14].
Сурет 1.3. Анищенко-Астахов генераторының схемасы
Сурет 1.4. Инерциалды бейсызықты генератор схемасы [30]
Осы генератордың негізгі күшейткіші бейсызықты болатын болсын. Оның сипаттамасы:
(1.25)
мұндағы, - күшейткіш сипаттамасының құламалығы. Инерциялық кері байланыстың әсерін ескерейік. Күшейткіш құламалығы:
(1.26)
мұндағы, V=V(x) - инерциялық түрлендіргіштің шығысындағы кернеу, b-параметр. Инерциялық түрлендіргіш мына теңдеу арқылы жасалынатын болсын:
(1.27)
- қандайда бір бейсызық функция. Генератордың тербелмелі контурындағы ток теңдеуі:
(1.28)
(1.26)- (1.28) теңдеулері тұйық жүйені алуға мүмкіндік береді. Ол өлшемсіз айнымалылар түрінде былай жазылады:
,
, (1.29)
мұндағы, - негізгі күшейткіш сипаттамасының инерциалды бейсызықтығының әсер ету деңгейіне жауап беруші параметр, F(x)-инерциалды
түрлендіргіштің бейсызықтық функциясы.
(1.29) теңдеуден y айнымалысын ескермей теңдеу жазылса:
(1.30)
Бейсызық осциллятор x айнымалысынан инерциялық тәуелділікпен сипатталады. Жүйенің қатты инерциалдығы жағдайында (), яғни жағдайында Ван-дер-Поль генераторының теңдеуіне келеді:
(1.31)
мұндағы, .
(1.30) жүйе теңдеуінің d=0, жағдайында генератор Теодор генераторының теңдеуіне сай келеді. Басқа жағдай, яғни, шартына сай келетін инерциалды емес генератор жағдайы. (1.30) теңдеуден және шартынан мына теңдеу алынады:
(1.32)
бұл теңдеу Ван-дер-Поль теңдеуімен тек мына жағдайда сәйкес келеді:
(1.33)
Зерттеулер көрсеткендей, Анищенко-Астахов генераторында (1.29) автотербелістің тек периодты ғана емес F(x) функциясының түріне тәуелді болатын, (1.29) теңдеуден ерекшеленетін, инерциялылық дәрежесінен өзгеше болатын (g параметрі интервалында мәндер қабылдауы керек) хаостық режимдерді жүзеге асырады [15-19].
1.2.4 Лоренц жүйесі
Бұл материалда бір динамикалық жүйенің мысалын сипаттаймыз, ол соңғы отыз жыл бойы зерттеушілердің назарын аударуда. Мұндай үш өлшемді динамикалық жүйе ғылым әлеміне 1963 жылы Э.Лоренцтің арқасында енгізілді, ол атмосфералық процестерді модельдеумен айналысатын еді. Одан бері жүйе көптеген зерттеулер жасалуына мен мақалалардың жарық көруіне себеп болды. Лоренц жүйесіне деген қызығушылықтың басты себебі- ол оның траекториясының іс-қимылы, сипаты болып табылады. Зерттелініп отырған сауалдардың нақты жауабы әлі ізделуде. Кейбір нәтижелер тек қана физикалық қатаңдық деңгейіне немесе сандық күйде негізделген және алдынғы қалыптасқан теория жайлы талқыланды. Сондықтан кеңес берілетін әдебиетті оқу- жоғарғы математикалық дайындықты талап етеді. Сондықтан бұл еңбекте тапсырмалар жоқ.[25]
Лоренц теңдеулер жүйесі- бұл бейсызық автономды, бірінші реттік дифференциалдық теңдеулердің үш өлшемді жүйесі:
,
,
. (1.34)
Ондағы s, b және r- параметрлер. Бұл жүйе, қыздырылған сұйықтың конвективті ағуын модельдеу тапсырмасында туындады. Мұндай ағыс дербес туындылардағы дифференциалдық теңдеулердің жүйесімен сипатталады. Одан (1.34) жүйе арнайы үш өлшемді кеңістікте жоспарланған болып шығады.
Э.Лоренц (1.34) жүйесін сандық интегралдау нәтижесінде, және кезінде бұл динамикалық жүйеде, бір жағынан хаостық, барлық траекториялардың бірқалыпсыз көрінісі, ал екінші жағынан барлық траекториялар кезінде күрделі құрылымды көпмүшеге, яғни аттракторға (ағыл. to attract- тарту, қызықтыру) қарай тартылады.
Шешімнің мұндай әрекеті сұйықтықтың турбулентті (ретсіз, хаостық) ағысымен ассоцияцаланады. Бұл қазіргі кездегі маңызды мәселелердің бірі, гидро- және аэродинамиканың, турбуленттілікті сипаттау мәселесінің жылжуына мүмкіндік берді. Әсіресе, осы арқылы ғалымдардың бұл жүйеге деген қызығушылығы түсіндіріледі. Қазіргі уақытта осы сауалға жауап: турбуленттікке Лоренц жүйесі мен оның баламасының қатысы бар ма?- ол әлі белгісіз. Біз Лоренц жүйесіндегі аттрактордың құрылымы мен пайда болуы туралы қалыптасқан пікірлерді сипаттауға тырысамыз. (1.34) жүйеге мәндерін тіркейміз және r-ді нөлден бастап арттырамыз.
Сурет 1.5.
кезінде Лоренц жүйесі асимптоталық тұрақты, жалпы стационарлы нүктеге, яғни координаталар бастауына ие болады. Оған барлық траекториялар тартылады (сурет 1.5). Осы жерде сараптаманың бастапқы кезеңі қарапайым екенін (сурет-1.7 дейін) және оқушы оны өз бетімен жасауға мүмкіндігі бар екенін атап өтеміз. r бірден асқан кезде, алғашқы бифуркация пайда болады. Координаталар бастауы өзінің тұрақтылығын жоғалтады және одан екі тұрақты- стационарлы нүктелер бөлінеді.
Сурет 1.6.
Нөлдік стационарлы нүктеде сызықты болып келетін жүйеде екі теріс және бір оң өздік мәні бар. Осыған сәйкес нөлдік стационарлы нүктеде екі өлшемді кіріс тармағы және бір өлшемді шығыс тармағы болады. X1 және X2 нүктелерінде сызықты жүйелерде барлық өздік мәндер теріс болып келеді. r параметрінің өсуі барысында, осы жүйенің өздік теріс мәндер жұбы өздік комплексті тоғысқан жұпқа айналады. Әдетте, бұл нөлдік стационарлы нүктелерінің шығыс G1 және G2 тармақтары X1 және X2 стационарлы нүктелерінің жанына сәйкесінше спираль тәрізді жалғанауына сай болады (сурет 1.7).
Сурет 1.7. Сурет 1.8.
r - дің одан әрі артуына байланысты X1 және X2 стационарлы нүктелері жоғары қарай (олар x3=r-1 жазықтығында жатады) көтеріледі, ал сприаль тәріздес траекторяилар ісінеді. Бұл процесс кезінде, нөлдің шығу тармақтарынан басталатын спиральдар Г1 және Г2 екі гомоклиникалық траектория құра отырып, оның кіріс тармағына келіп түскенше жалғасады (5-сурет). r - дің өсуі кезінде, осы сәтте екі тұрақсыз Ф1 және Ф2 гомоклиникалық цикл туындауы болатын, гомоклиникалық траекториялардың бифуркациясы жүзеге асады (сурет 1.9). Осы циклға жауап беретін, кезектесу операторының сызықты бөліктері әр қайсысы бір мультипликаторға ие болады (бірден асатын) және әр қайсысы тағы да бірден төмен мультипликаторға иеленеді, осыдан циклға баратын бір траектория бағыты тартылады, ал кері жағдайда- тебіледі. Нөлдік стационарлы нүктенің G1 және G2 шығыс тармақтары, бұдан әрі кіріс тармақтарға келіп түспейді (сурет 1.9)- олар стационарлы Х2 және Х1 нүктелеріне (алдынғыдай Х1 және Х2 емес ) сәйкесінше жетеді және солардың маңында оралады.
Сурет 1.9.
болған кезде кезекті бифуркация туындайды, сонымен қатар G1 және G2 тұрақсыз циклдарды өзіне тартатын Ф1 және Ф2 - ге келіп түседі (сурет 1.10 қараңыз).Келесі бифуркация кезінде пайда болады. Бұл уақытта Х1 және Х2 нүктесіндегі сызықтыларда жалған өстің бойында, өзіндік мәндер жұбы пайда болады (осы өзіндік мәндер оң заттық бөліктерге ие бола алады). Х1 және Х2 стационарлы нүктелері өзінің тұрақтылығын жоғалта отырып (Пуанкаре-Андронов-Хопф бифуркациясы), Ф1 және Ф2 тұрақсыз циклдарын жұтады.
Сурет 1.10.
Сипатталынған процесс кезінде Лоренц жүйесінде -дан бастап шектік инварианттық жиынтық пайда болады, бірақ -ге дейін ол тұрақсыз болып табылады, яғни өзіне траекторияларды тарта алады. кезінде бұл жиынтығы тұрақсыз болады. Аталып отырған нарсе- Лоренц аттракторы деп аталады. Оның бейнесі сурет 1.11 келтірілген, онда Лоренц жүйесінің бір ғана траекториясы бейнеленген, себебі болғанда ол аттракторға қарай ұмтылады. Траектория біресе Х1 тұрақсыз стационарлы нүктесінің айналасында, біресе тұрақсыз Х2 стационарлы нүктесінің айналасында шеңбер жасайды және сол кезде оларды кездейсоқ түрде ауыстырады.
Сурет 1.11. Лоренц аттракторы
Лоренц аттракторы келесі қасиеттерге ие болатыны белгілі (қазіргі кезде бұл қасиеттер сандық есептеу нәтижелеріне негізделген эмпирикалық кезеңдерге ие болады). Біріншіден, R3-те А ашық жиыны болып, (мұндағы gt- Лоренц жүйесінің траектория бойынша жылжу операторы ) теңдігі орындалған кезде, аттрактор деген атқа иеленеді. Басқаша айтқанда, А-дан басталатын барлық траекториялар (бұл жағдайда А ретінде барлық R3-ін алуға болады) -ға қарай тартылады. Екіншіден, барлық жерде периодтық траекториялардың тығыз жиынтығына ие болады және олардың әр қайсысы тұрақсыз болып табылады. Үшіншіден, -да жаттатын траекториялар экспоненциалды түрде ажырайды, сондықтан Лоренц жүйесі үшін Коши есебіндегі бастапқы мәндердің аз ауытқулары кезінде, үлкен аралықта шешімдер бір-бірінен өте қатты айырмашылыққа ие болуы мүмкін. Бұл Лоренц жүйесімен сипатталатын процесті детерминделмеген етеді. Төртіншіден, локальді түрде Лоренц аттракторының жиынтығы көптеген бөліктерге ажыратылады. Аталған қасиеттерге ие болатын аттракторлар, қазіргі кезде көптеген динамикалық жүйелерде табылды. Оларды, әдетте, оғаш аттракторлар деп атайды. -дің жоғарғы мәндерінде, Лоренц жүйесінде пайда болатын процестер туралы әлі де нақтылық жоқ. Параметр өзгерісінің кейбір аралықтарында тұрақты периодтық шешімдер кездеседі. және кездерінде қызықты құбылыстар байқалады. кезінде, Лоренц жүйесі тұрақты циклға ие болады, ол -дің мәні төмендеген кезде қосарланған периодтың бифуркациясына ұшырайды, сонымен қатар өзінің тұрақтылығын жоғалтып, екілік периодты циклдың тұрақтылығын туындауына себеп болады. -дің одан әрі азаюына байланысты жаңа цикл тұрақтылығын жоғалтады және өз кезегінде одан екілік периодты цикл ажыратылады. Осылайша, параметр мәнінің шексіз кезегі туындайды, бұл кезде Лоренц жүйесі қосарланған периодты бифуркацияға иеленеді. Бұл кезек Фейгенбаум әмбебап заңын қанағаттандырады:
(1.35)
мұндағы, - әмбебап тұрақтысы, ол қосарлану периодының бифуркациясының шексіз кезегіне ұшырайтын, нақты динамикалық жүйеге тәуелсіз болып табылады. [25]
1.2.5 Хенон бейнеленуі
Хенон бейнеленуі - уақыт бойынша дискретті, динамикалық жүйе. Бұл хаостық құбылыстарына ие болатын, зерттелінген динамикалық жүйенің бір мысалы болып табылады. Хенон бейнеленуі жазықтықтағы (хn, yn) нүктесін алып жатыр және оны жағы нүктемен салыстырады.
(1.36)
Хенон бейнеленуі екі a және b параметрлеріне тәуелді болады, олар Хенонның классикалық бейнеленуі үшін мына мәнге иеленеді: a=1,4 және b=0,3. Классикалық мәндер үшін Хенон бейнеленуі хаостық болып есептеледі. a және b параметрлерінің басқа мәндерінде бейнелену үзікті немесе периодтық орбитаға келетін, хаостық түрде бола алады. [20]
Сурет 1.12. Хенон бейнелеуі а=1,4 және b=0.3
Бейнелену Мишель Хенонның арқасында енгізілді, ол Лоренц үлгісінің Пуанкаре өтуінің жеңілдетілген үлгісі ретінде болады. Классикалық бейнеленуде, бастапқы жазықтық нүктесі, Хенонның күрделі аттракторы деп танылатын, нүктелердің тізіміне жақындау керек немесе шексіздікке ұмтылады. Хенон аттракторы фракталды болып келеді, ол бір бағытта тегіс болады, ал Кантор тізімінде басқа түрде кездеседі. Бейнеленудің классикалық аттракторы үшін аймақтағы корреляцияны сандық бағалау 1,25 +- 0,02, ал Хаусдорф өлшемділігі үшін 1,261+- 0,003.
Сурет 1.13. Хенон аттракторы
b=0,3 болатын Хенон бейнеленуінің диаграмма орбитасы. Жоғарғы тығыздылығы айнымалы ықтималдылығын күшейтеді, х бұл мәнге берілген а мәнінде ие болады. Хаостың жерсеріктік аумағына және a=1,075 жанындағы периодтық процестерге назар аударыңыз- олар х және у үшін бастапқы шарттарға тәуелділікке қатысты туындауы мүмкін.
Хенон бейнеленуі екі инварианттық нүктелерді бейнелейді. Хенон бейнеленуінің а және b классикалық мәндері үшін, осы нүктелердің біреуі аттракторда орналасады.
(1.37)
Бұл нүкте тұрақсыз. Мәндері осы жылжымайтын нүктеге жақын болады және 1,924 иілуі бойымен жылжымайтын нүктені жақындатады, сонымен қатар -0,156 иілуінің бойындағы нүктелер белгіленген нүктеден алшақтайды. Бұл иілулер тұрақты әралуандылық мен жылжымайтын нүктенің тұрақсыз әралуандылық сызықты болуы кезінде пайда болады. Жылжымайтын нүктенің аттрактордағы тұрақсыз әралуандылығы Хенон бейнеленуінің қызықты аттракторында болады.
Хенон бейнеленуі а және b параметрлерінің барлық мәндері үшін қызықты аттракторға ие болмайды. Мысалы: 0,3-ке b тіркелуін сақтай отырып, бифуркация диаграммасы a=1,25 кезінде Хенон бейнеленуі аттрактор ретінде тұрақты периодтық орбитаға иеленеді.[20]
1.2.6 Логистикалық бейнелеу
Логистикалық шағылу (квадратты шағылу немесе Фейгенбаум шағылу) - бұл полиномиальды бейнелеу, ол уақыттың өтуімен популяция санының өзгерісін сипаттайды. Оны қарапайым бейсызық теңдеулерден күрделі хаостық қозғалыс пайда болуына байланысты мысал ретінде береді. Логистикалық бейнелеу - үздіксіз логистикалық Ферхюльст теңдеуінің дискреттік баламасы; ол дискреттік уақыт моменттерінде популяцияның артуын бейнелейді.[21]
Бейнелеудің математикалық формуласы:
(1.38)
мұндағы, - 0-ден 1-ге дейінгі мәндерді қабылдайды және n-ші жылдағы популяция санақты бейнелейді, ал - бастапқы санақты білдіреді. - популяция арту жылдамдығын сипаттайтын оң параметр.
Кейде бұл формуланы Ферхюльс бейнелеуі деп те атайды, ал логистикалық бейнелеу деп өзге, бірақ қасиетті бойынша эквивалентті форумала есептеледі.
(1.39)
Бұл бейсызық бейнелеу екі әсерді сипаттайды:
1. Популяция санағы аз болса, онда ол осы санаққа пропроционалды жылдамдықпен арттады.
2. Популяция шектелген сыйымдылыққа ие ортада болғандықтан, популяция тығыздығы жоғарылаған кезде арту жылдамдығы төмендейді, бәсекелестік пен жойылу арттады.
r параметріне тәуелді іс-әрекет.
r параметрінің өзгерісі кезінде жүйеде келесі іс-әрекет байқалады.
1. Егер r 0-ден үлкен және 1-ден кіші болса, онда популяция бастапқы шарттарға қарамастан, жойылады.
2. Егер r 1-ден үлкен және 2-ден кіші болса, онда популяция санағы бастапқы шарттарға қарамастан стационарлы мәніне шығады.
3. Егер r 2-ден үлкен және 3-тен кіші болса, онда популяция санағы дәл алдыңғыдай стационарлы мәніне шығады. Барлық жерде сәйкестену жылдамдығы сызықты болып келеді, ол тек r=3мәнінде ғана жүзеге аспайды, себебі ол сызықтымен салыстырғанда тым аз мәнге ие.
4. Егер r 3-тен үлкен және кіші болса, онда популяция санағы шексіз екі мән арасында ауысып отырады.
5. Егер 3,45-тен үлкен және 3,54-тен кіші болса, онда популяция санағы төрт мән арасында шексіз ауысып отырады;
6. Егер r таңбасы 3,54-тен үлкен болса, популяция санағы 8 мән арасында, осыдан кейін 16,32-ден және одан әрі ауысып отырады. Параметр өзгерісінің аралық ұзындығы r мәні артқан сайын төмендейді. Екі ауыспалы аралық арасындағы қатынас δ ≈ 4.669... тең Фейгенбаум тұрақтысына ұмтылады. Мұндай іс-әрекет период екі еселену бифуркациясы каскадының мысалы бола алады;
7. Егер r шамамен 3,57-ге тең болса, онда хаосты тәртіп басталады. Каскадтың екі еселенуі тоқтайды.Тербеліс бұдан әрі болмайды, бастапқы шарттардың азғантай өзгерісі уақыт бойынша жүйенің салыстыруға болмайтын тәртібіне алып келеді. Бұл хаостық тербелістің негізгі сипаттамасы болып табылады;
8. 3,57-ден асатын көптеген мәндер хаосты тербелісті бейнелейді алайда тар изоляцияланған r мәнінің терезелері болады, бұл кезде жүйеде жүйелі қозғалыс орналады. Мысалы мәнінен бастап, үш мән арасындағы тербеліс байқалатын r параметрлер аралығы пайды болады, ал r-дің үлкен, яғни 6,8,12 және т.б мәндер арасында жүйеде кезкелген мәндер санына ие периодтық тербелістер орналады.
9. Егер 4 тең болғанда, бейнелеу мәндері [0,1] аралығынан өтеді және кезкелген бастапқы шарттарда алшақтайды.
Сурет 1.14. Логистикалық бейнелеудің бифуркация диаграммасы
1.2.7 Жинау және лақтыру бейнесі
x(t) уақыт бойынша белгілі бір функция модулінің фракталдық өлшемділікпен байланысының эволюциясын қарастырайық, ол мына түрде болады.
, (1.40)
мұндағы, - t мәнінің көпмүшесінің статистикалық сипаттамасы, ол шектелген туындысы үшін Лифшиц-Гельдер шартын қамтамасыз ету мақсатында енгізілген. Көбею модулін фракталды өлшем шарттына өзгереді.
, , , (1.41)
мұндағы, х0- тұрақты фракталсыз өлшем, - мағынасы көптеген фракталды өлшем, d- тасушы өлшем топологиясы. (1.41) формулуланы (1.40) формулаға қойсақ, дискретті таратуға өтеміз. Дискретті формасын таңба функциясы арқылы белгілейміз.
таңба функциясы әрқашан sign(dxi+1dxi) -ға ғана тәуелді болады. Оның өзгеруі орнықты нүктені жазу түрі арқылы айнымалы дискретті анықтай аламыз.
, (1.42)
Әдетте сызықты эволюциялық ауытқуда қолданылады. -ден анықтай аламыз және шама модуліне шектеу қоймаймыз..
(1.41), (1.42) формулаларды ескере отырып, (1.40) формуланы жағдайында мына түрге келтіреміз.
(1.43)
Уақыттың бірдей моменттерін таңдауға мүмкіндік алу үшін (1.43) формуладану алып тастаймыз. Дикреттік есептудің алгоритмі бойынша -ге деп есептемес бұрын өрнегін арқылы модельдейміз: нақты осы өрнек хаостыққа ауысуға жатады..
өлшемін енгізу шарттың жүзеге асырылуына себеп болатынын ескереміз:
, (1.44)
мұндағы, τ - процесстің сипаттамалық уақыты..
кезде тағдау кезінде біз бойынша Риман өлшемін есептеу жағдайына ие болатын едік. болғанда біз -нің функциясының өсуіне тәуелділігін ескере отырып, Лебег бойынша есептеуге мүмкіндік аламыз:
(1.45)
мұндағы, - белгілі бір тұрақты шама. шамасының мағынасын спектрді сипаттауға арналған базаның сигналының баламасы ретінде тұжырымдауға болады:
, (1.46)
мұндағы, - корреляцияның спаттамалық уақыты, - жиілік жолағының кеңдігі. [5] анықтамаға сәйкес шамасы хаостық сигналдың таңдалынған рұқсат етілу дәлдігін суреттеудің күрделілігін сипаттайды. Обьектің фракталдық өлшемділігін бақылау дәлдігіне тәуелді болады, сондықтан теория нәтижесіне с тұрақтысы кіреді. өлшемі процессті бақылау дәлдігі деңгейін таңдауға сәйкес келеді: және т.б. Егер формуладағы туындының таңбасы сыртқы шарттармен анықталса, онда (1.44) формулаға, абсолютті шамалары алынады.
тең деп аламыз, (1.43) теңдеуді соңғы шешіммен мына түрде жазамыз:
. (1.47)
(1.47) дифференциалдай отырып, мынаған ие боламыз:
. (1.48)
(1.47) и (1.48) формулалар ізделініп отырған алмасу бенелеуін анықтайды.
𝛾 параметрлерінің бірі фракталды өлшемділіктің бөлшектік бөлігі мағынасына ие.
Осы алынған бейнелеу перемежаемые хаостық эволюциялық процесстерді сипаттайды. Білгілі модельдерге қарағанда, берілген бейнелеу күрделі шаршырау ассиметриялы алмасу, яғни жинақтау-лақтыру түріндегі сигналдарды жүзеге асырады [2]. Осындай сигналдардың өздік құру критерияларына жауап беретіні маңызды болып табылады. Мұндай сигналдар осыдан бұрын теориялық түрде алынды. Ол фазалық басқарылатын радиотехникалық генератордан схематехникалық жіне физикалық тәжірибелер алынды. Жүзеге асырулардың физикалық негізге ие. [32-35]
2 СИГНАЛДАРДЫҢ СПЕКТРЛІК СИПАТТАМАЛАРЫ
9.1 Сигналдар спектрлерінде қуат және энергияның үлестірілуі
Гармоникалық тербелістің кедергісі 1Ом болғандағы орташа қуаты болады.
Периодты сигнал спектрі сызықты болады, ондағы әрбір k құраушы болатын қуатты береді. Мұндай сигналдың спектріндегі қуат спектрді құраушылардың амплитудасының екі еселену заңы бойынша үлестіріледі. Сигналдың толық орташа қуаты:
(2.17)
Периодты сигналдың шекті жағдайында көрінетін периодты емес сигнал жағдайында орташа қуат болады. Сондықтан ол жағдайда сигналдың спектрі бойымен сигнал энергиясының үлестірілуі қарастырылады.
(2.18)
және айнымалыларының тәуелділігін ескере отырып интегралдау тәртібі өзгеріледі:
(2.19)
Ирек жақшадағы интеграл комплексті-түйіндес спектрлік тығыздық болып табылады. Сонда теңдеу мына түрге келеді:
(2.20)
Интеграл астындағы теңдеу физикалық мағына бойынша шексіз кіші жиілік жолағындағы энергия болып табылады. (2.20) теңдеуден көрініп тұрғандай, периодты емес сигнал спектрі бойынша энергия спектрлік тығыздық модулінің екі еселену заңы бойынша өзгереді. Түпкі ұзақтықты сигнал теориялық тұрғыда шексіз кең жиілік спектріне ие болады. Спектр құраушы амплитуда жиіліктің өсуіне байланысты жеткілікті жай азаяды, бірақ орташа қуаттың үлестірілуі және энергия тезірек ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz