Газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есеп мысалында әр түрлі айырымдылық сұлбалар бойынша сандық есептеулер

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6

1 Газ динамикасының бір өлшемді теңдеулері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
1.1. Хопфа теңдеуі үшін модельдік есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...10
1.2. Үзіліссіз шешім мысалы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
1.3. Үзілісті шешім мысалы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
1.4. Тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі үшін модельдік есеп ... ... ... ... ..20
1.5. Поршень туралы есептің сипаттамасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...22

2 Сандық сұлбаларға шолу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24
2.1. Тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі үшін сандық сұлбалар ... ... ... ...26
2.2. Хопфа теңдеуі үшін сандық сұлбалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 33

3 Сандық есептеулердің қорытындысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 38
3.1. Есептің қойылымы, тесттік есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...38
3.2. Ағысқа қарсы сұлба көмегімен тесттік есеп үшін сандық есептеулер ... ...41
3.3. Лакс және Лакс.Вендрофф сұлбаларының көмегімен тесттік есеп
үшін сандық есептеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..40

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .44
Пайдаланған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .45
Дипломдық жұмыстың мақсаты – газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есеп мысалында әр түрлі айырымдылық сұлбалар бойынша сандық есептеулер алу және талдау жасау
Зерттеу нысанасы – газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есептері, модельдік есептер болып табылды.
Жұмыстың өзектілігі – қазіргі заманғы ғылымның және техниканың алдында тұрған өзекті мәселелердің бірі осы газ динамикасының есептерінің шығарылуымен өте тығыз байланысты. Индустриялдық өндірісте айырықша қызықты, өзекті есептер ретінде газ динамикасының есептері ерекше орын алады.
Газ динамикасы — гидроаэромеханиканың сығылғыш тұтас орталардың (газ, плазма) қозғалысын және олардың қатты денелермен өзара әсерін зерттейтін саласы. Сонымен қатар, газ динамикасы фундаментті білім жүйесіндегі тұтас жеңілқозғалыс ортасының күйінде орнықты орын алатын, кең ауқымды физика-математикалық пән. Ол физиканың бөлімі болып табылатын термодинамикамен және акустикамен байланысты болып келеді.
Қазіргі заманғы оның нысаны газды және сұйық заттар ғана емес сонымен қатар, жоғары температура және қысым ықпалында қарапайым жағдайдағы қатты заттар да болады. Өзіндік газ динамика ортаның сығылғыштық қасиетін бөледі және зерттейді. Сығылғыштық қасиет деп – затқа температура немесе қысым әсерінен алғашқы көлемін өзгерту қабілетін айтамыз. Сол себепті сығылғыштық дыбыстың таралу жылжамдығынан асып өтетін ортада, жоғары жылдамдықты ортада ерекше байқалады. Өйткені, мұндай жылдамдықтар кезінде қысымның үлкен өзгерісі және температураның үлкен градиенті пайда болады.
Теориялық газды динамиканың тарихи дамуы тек сығылғыш ортадағы жалпы құрылымдық физикалық үрдістерді сипаттау және түсіну ғана емес, сондай-ақ, газ динамикасы математиканың дамуына, соның ішінде дифференциалды теңдеулер теориясы бөліміне байланысты үлкен үлес қосты. Ол математика бағыттары, дифференциалдық теңдеулердің үзілісті шешімдер теориясының және аралас типті теңдеулер теориясының дамуына дем берді. Ол шешімдегі күшті және әлсіз үзілістілік, градиентті апат, инвариантты және бөлікті инвариантты шешім, автомодельді шешім және т.б. дифференциалды теңдеулердің қайта өркендеуімен математиканы одан ары байытты.
[1] Кітапта дифференциалды жуықтау әдісі арқылы газ динамикасы теңдеулерінің айырымдық сұлбаларының теориялық зерттеулері жүргізілген.
Гиперболалық типті теңдеулерде көрсетілген математикалық модель кең таралған [2]. Алайда, олардың ішінде газ динамика теңдеуі маңызды орын алады, себебі олардың шешімдері гиперболалық теңдеулер жүйесіне арналған сандық әдістерді өңдеуді ілгері дамытады.
Кітаптар мен монографиялар

1. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1985.
2. Лебедев А.С., Черный С.Г. Практикум по численному решению уравнений в частных производных. Новосибирск: НГУ. 2000.
3. Орунханов М.К., Хакимзянов Г.С., Черный С.Г. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Часть 2. Алматы: «Қазақ университеті». 2008.
4. Годунов С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979, 392 с.
5. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 688 с.
6. Ковеня В.М. Разностные методы решения многомерных задач. Курс лекций. Новосибирск: НГУ, 2004.-146с.
7. Флетчер К «Вычислительные методы в динамике жидкостей», изд. Мир, 1991 г., 504 стр.
8. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.
9. Карамышев В.Б. Монотонные схемы и их приложения в газовой динамике. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1994.
10. Черный Г.Г. Газовая динамика. Москва: Наука, 1988.-424с.
11. Марчук Г.И. Методы вычислительной матаматики. М.: Наука, 1980.-536с.
12. Куликовский А.Г. и др. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений /А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов. М.: Физматлит, 2001.
13. Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer, 1997.
14. Карамышев В.Б. Монотонные схемы и их приложения в газовой динамике. Новосибирск: НГУ, 1994.
15. Шокин Ю.И., Данаев Н.Т., Хакимзянов Г.С., Шокина Н.Ю. Лекции по разностным схемам на подвижных сетках. Часть 1. Задачи для уравнений в частных производных одной пространственной переменной. Учебное пособие. Алматы, 2006. 132 с.
16. Коробицына Ж.Л., Хакимзянов Г.С. Практикум на ЭВМ по курсу «Методы вычислений». Новосибирск: НГУ, 1995.
17. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 189 с.
18. Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Наука. ФИЗМАТЛИТ, 2000. 248 с.
19. Хакимзянов Г.С., Шокин Ю.И. Разностные схемы на адаптивных сетках: в 3 ч.: ч.1: учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 2005. 132 с.
20. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 614 с.
        
        Реферат
Көлемі 46 беттен тұратын бітіру жұмысы кіріспе бөлімнен, III бөлімнен, ... ... ... ... тізімінен тұрады. Жалпы бітіру жұмыстың құрамына 17 сурет кіреді. Бітіру жұмыстың соңында қосымшалар бар.
Кілт сөздер: газ ... ... ... ... ... тасымал теңдеуі, сұлбалар, сығылғыштық, орнықтылық шарт, шешім.
Бітіру жұмысында газ динамикасы теңдеулеріне сандық әдістерді тесттілуге мүмкіндік беретін есептер қарастырылған. Нақты ... ... ... ... ... түсіндірілген.
АНЫҚТАМАЛАР
Газ динамикасы --
гидроаэромеханиканың ... ... ... (газ, ... ... және ... қатты денелермен өзара әсерін зерттейтін саласы
Сығылғыштық қасиет деп --
затқа температура немесе қысым әсерінен алғашқы көлемін өзгерту қабілетін айтамыз. ... ... орта -- ... ... сұйықтықтар мен газдардың қозғалысын зерттегенде олардың молекулалық құрылымын ескермеуге болатын ... ... ... -- ... кеңістікте анықталған, скаляр функциядан алынатын туынды
Идеал газ --
бөлшектерінің ... ... ... ... теориялық моделі.
Жылу сыйымдылығы --
дене температурасын 1°С-ге немесе 1 калорияға жоғарылату үшін берілетін жылу мөлшері. Яғни, дененің (заттектің) ... да бір ... ... ... ... өзгерісі кезінде алатын жөне оларға температураны жоғарылату үшін ... ... жылу ... -- ... ... ... бейнелей алатын қисық, графикалық сызық.
Айырымдық схема (Разностная схема; the difference circuit) -- ... ... мен ... бір ... ... ... мәндерінің ақырғы саны арқылы жуықталып ұсынылған айырымдық теңдеулер жүйесінің қосымша шарттарының аппроксимациясы.
Итерация (лат. іteratіo - ... - ... да бір ... амалды қайталап қолдану.
Энтальпия (гр. enthalpo - ... ... - ... ... жылу ... - ... жүйе күйінің функциясы болып келетін жылуға қатысты шама.
Амплитуда -
тербелістегі шаманың тепе-теңдік мәнінен максималь ... - ... ... саны ... сұйық элементінің тексерілетін көлемі арқылы өтетін сипаттама уақытын ... ... ... ... ... шама.
Белгілеулер мен қысқартулар
газдың тығыздығы.
u-
жылдамдық.
p-
қысым.
x* -
сипаттауыштың Ox осімен қиылысу нүктесі.
R -
универсал газ тұрақтысы (ауа үшін ... - ... ... - ... ... - ... ... Машинасы
ҚазМУ -
қазіргі әл-Фараби атындағы Қазақ Ұлттық Университеті.
TVD -
(Total Variation Diminishing) толық вариацияның азаюы.
Мазмұны
Кіріспе...........................................................................................................6
1
Газ динамикасының бір ... ... ... үшін ... есеп...............................................................10
1.2.
Үзіліссіз шешім мысалы..................................................................................13
1.3.
Үзілісті шешім мысалы....................................................................................14
1.4.
Тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі үшін модельдік ... ... ... ... ... ... коэффициентті тасымал теңдеуі үшін сандық сұлбалар...............26
2.2.
Хопфа теңдеуі үшін сандық ... ... ... ... ... есептер...............................................................38
3.2.
Ағысқа қарсы сұлба көмегімен тесттік есеп үшін сандық есептеулер.......41
3.3.
Лакс және Лакс-Вендрофф сұлбаларының көмегімен тесттік есеп
үшін ... ... ... жұмыстың мақсаты - газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есеп мысалында әр түрлі ... ... ... сандық есептеулер алу және талдау жасау
Зерттеу нысанасы - газ динамикасы ... ... бір ... ... ... ... болып табылды.
Жұмыстың өзектілігі - қазіргі заманғы ғылымның және техниканың алдында ... ... ... бірі осы газ ... ... шығарылуымен өте тығыз байланысты. Индустриялдық өндірісте айырықша қызықты, өзекті есептер ретінде газ ... ... ... орын алады.
Газ динамикасы -- гидроаэромеханиканың сығылғыш тұтас орталардың (газ, ... ... және ... ... денелермен өзара әсерін зерттейтін саласы. Сонымен қатар, газ ... ... ... ... ... ... ... күйінде орнықты орын алатын, кең ауқымды физика-математикалық пән. Ол ... ... ... ... термодинамикамен және акустикамен байланысты болып келеді.
Қазіргі заманғы оның нысаны газды және сұйық заттар ғана емес ... ... ... ... және ... ықпалында қарапайым жағдайдағы қатты заттар да болады. Өзіндік газ динамика ортаның ... ... ... және ... Сығылғыштық қасиет деп - затқа температура немесе қысым ... ... ... ... ... ... Сол ... сығылғыштық дыбыстың таралу жылжамдығынан асып өтетін ортада, жоғары жылдамдықты ортада ... ... ... ... ... ... қысымның үлкен өзгерісі және температураның үлкен градиенті пайда болады.
Теориялық газды динамиканың тарихи дамуы тек сығылғыш ... ... ... ... ... сипаттау және түсіну ғана емес, сондай-ақ, газ динамикасы математиканың ... ... ... ... ... теориясы бөліміне байланысты үлкен үлес қосты. Ол ... ... ... ... ... ... ... және аралас типті теңдеулер теориясының дамуына дем берді. Ол ... ... және ... ... ... ... ... және бөлікті инвариантты шешім, автомодельді шешім және т.б. дифференциалды теңдеулердің қайта өркендеуімен математиканы одан ары байытты.
[1] ... ... ... ... ... газ ... теңдеулерінің айырымдық сұлбаларының теориялық зерттеулері жүргізілген.
Гиперболалық типті теңдеулерде көрсетілген ... ... кең ... [2]. ... ... ... газ ... теңдеуі маңызды орын алады, себебі олардың шешімдері гиперболалық теңдеулер жүйесіне арналған сандық әдістерді өңдеуді ілгері дамытады.
Қазіргі газ динамикасы жоғары ... ... ... (диссоциация, жану, т.б.) және физикалық (иондалу, сәуле шығару) процестермен қосарлана жүретін газ ... да ... Газ ... негізгі (бастапқы) теңдеулері механика мен температураның негізгі заңдарын сығылатын газдың қозғалыстағы көлеміне ... ... ... ... Егер газ ... ... ... өтуіне байланысты оның әрбір нүктесінде өзгерсе, онда тұтқыр сығылғыш газдың ... ... ... теңдеуімен сипатталады.
Сығылғыш орта қозғалысының негізгі физикалық ерекшеліктерінің
бірі - оларда соққы толқынының ... ... және ... ... ... ... толқынының таралу жылдамдығынан артық жылдамдықпен қозғалады. Сөйтіп газ қысымының, ... ... және ... өте ... ... жұқа ... ... Реактивтік авиацияның, ракеталық қару-жарақтардың, жарылыс кезінде аса күшті қопарылыс және соққы толқындарының таралуына әкеп соғатын атомдық және ... ... ... ... газ ... ... дами бастады. Әр түрлі аппараттарды, қозғалтқыштарды және газдық машиналарды жобалау ... газ ... ... - газ ... ... не ... кез-келген нүктесінде кез-келген уақыт мезетіндегі қысым және үйкеліс күштерін, температурасы мен жылу ағынын анықтау. Газ шапшымасының, ... және ... ... ... ... ... мен жану процестерін зерттеу кезінде газ динамикасы арқылы газ қысымы, температура, т.б. ... газ ... ... ... анықталады. Қазіргі газ динамикасына есептеу-теориялық әдістер мен ЭЕМ-ды ... ... және ... ... ... тән. ... ... техниканың газ динамикасы алдына қоятын көптеген мәселелерін әзірге есептеуді-теориялық әдістер арқылы шешу мүмкін болмай отыр. Сондықтан мұндай жағдайларда ... ... ... және аэродинамикалық "модельдеу" заңдарына негізделген газ динамикасы бойынша жүргізілген тәжірибелер кеңінен пайдаланылады. Газ динамикасы тәжірибелері әр түрлі ... ... ... қондырғыларда, т.б. жүргізіледі.
Қазақстанда газ динамикасы бойынша алғашқы жұмыстар ... ж., ... ... ... ... ... ұлттық университетінде) басталды (А.А. Гухман). Газ динамикасы саласындағы зерттеулердің одан ... ... Л.А. ... газ ... ... ... жұмыстарымен тығыз байланысты. ҚазМУ-де химиялық реакция жүретін көп құраушыдан тұратын шекаралық қабаттағы энергия мен импульстің және ... ... ... ... изотермиялық емес турбуленттік шапшыманың бастапқы бөлігіндегі құбылыстарға әр түрлі әсердің ... ... (С. ... жалынды турбуленттік жанудың заңдылықтары ашылып (Ш. Ершин), аралас конвекциядағы шапшыма ағыстар қарастырылды (В.П. ... Газ ... бір ... теңдеулері.
Идеал (жылуөткізгіш емес және тұтқыр емес) газдың ағысын қарастырсақ, ... ... Oxyz ... жүйесінде газдың қозғалысы тек Ox осінің маңында болады және газдың барлық параметрлері басқа y, z кеңістік ... ... ... ... ... теңдеулер жүйесі келесі түрде болады [3]:
dudt+dfdx=0, x∈Ω. ... ... ... ... ... ... ... векторы,
u=ρρuρE, fu=ρuρu2+pρu(E+p/ρ, ... ... ... u-жылдамдық, p-қысым, температура мен және газ тығыздығының Клапейрон теңдеуімен байланысты
p=ρRT, ... ... ... ... ... ... ... жылусыйымдылығы, сv-тұрақты көлемдегі газдың меншікті жылусыйымдылығы, E-газдың ... ... ... ол ішкі e ... және кинетикалық u22 энергиялардың қосындысына тең және де e=сvT. Клапейрон теңдеуін (1.3) қолдана отырып, қысым мен тығыздық арқылы ішкі ... ... ... ... ... - адиабата көрсеткіші және γ>1. Онда толық энергия жылдамдық, ... және ... ... ... ... түрінде анықталады
E=p(γ-1)ρ+u22, ... ... c - ... ... ... дивергентті емес түрі келесі түрде болады:
dudt+Adudx=0. ... ... ... ... үш ... меншік сан қабылдайтынын тексеру оңай
λ1=u-c, λ2=u, λ3=u+c, ... ... ... ... ... ... c>0 ... (1.8) теңдеулер жүйесі гиперболалық типке жатады.
теңдеуі басқа да дивергентті емес түрлерде жазылады деп айтуға болады, мысалы, теңдеулер жүйесі түрінде
dvdt+Advdx=0,
мұндағы,
v=ρup, ... ... ... ... ... ... ... ... l ... ... сызықтық жағдайдағы сияқты шеттік шарттардың саны сипаттауыш Ω аймағындағы кіріс сандарына тәуелді. Мысалы, егер x=0 болса, жылдамдық оң, ... ағыс ... ... яғни 0c ... онда бұл ... ... ... мәні оң болып табылады, сондықтан барлық сипаттауыштар аймақтан және x=l болғандағы ... ... ... ал ... ... шарт ... ... жоқ.
1.1 Хопфа теңдеуі үшін модельдік есеп.
Дербес туындылы теңдеулерді шешудегі қазіргі заманғы сандық әдістердің негізінде, негізгі түсініктер мен ойларды, сызықты емес жай ... ... ... ... ... ... кейде Хопфа теңдеуі деп те атайды. Хопфа теңдеуі-үзілісті ағыс немесе ... ... ... ... жай ... ... табылады және де сонымен қатар теңдеудің бір қызығы, газ динамикасының теңдеулерін моделдеуі. (1.1.1) теңдеуін шешудің сандық әдістеріне көшпес ... оның ... ... ... ... сол жақ бөлігін x=x(t) қисық бойындағы u-дан алынған туынды ретінде қарастыруға ... және ... ... беріледі:
dxdt=u(xt,t). ... ... ... қисықтар, (1.1.1) теңдеуінің сипаттамасы деп аталады [4]. Осындай жағдайда, егер u ... (1.1.1) ... ... болса, онда ол (1.1.2) сипаттама бойында өзгермейді. Ал, (1.1.2) теңдеуінде u тұрақты болғандықтан (өзінің әр ... өз ... (2.1) ... ... ... - түзу сызықтар.
(1.1.1) теңдеуіне Коши есебін қоямыз. -infinity=0 кезіндегі u(x,t) функциясын табу ... ... ... есеп ... ... ... u(x,t) функциясының P нүктесінде координатасы (x,t) болатын, сол жердегі сипаттауыш маңындағы сызықпен t=0, ... ... ... тең, ... x* - бастапқы мәні t=0 болатын сызықпен сипаттаманың қиылысу нүктесі. Мұндай сипаттаманың теңдеуі
dxdt=ux,t=φx*
болады. Интегралдағаннан кейін
x-tφx*=x*
түріне келеді. Соңғы ... оң және сол жақ ... φ ... ... ... ... ... түрге келтіреміз:
φx-tφx*=φx*.
ux,t=φx* теңдігін еске түсіріп, біздің есебіміздің айқын емес шешім түріндегі қойылымына ... ... ... ... айырымдылық сұлбаларды қарастырайық
ut+[f(u)]x=0, ... ... u ... ... емес ... ... ... ut, ux туындыларынан тәуелді емес. Мұндай теңдеулер квазисызықты деп ...
(0, l) ... ... қарастырылатын бастапқы-шеттік есептің математикалық тұжырымы (1.1.4) теңдеуіне арналған бастапқы шарттарды да кірістіру ... ... ... ... да ... қажет. Шеттік шарттың саны (1.1.4)теңдеуінің сипаттамасының тәртібімен ... да ... ... ... ... ... ... (0, l) аймағына кіретін, шеттік шартты тек сол (0, l) интервалында беру қажет. Сондықтан, мүмкін, шеттік шартты ... ... ... жоқ ... шеттік шартты бір шекаралық нүктеде x=0 немесе x=l кезінде немесе бірден екі нүктеде де беру қажет. (1.1.4) теңдеуі сызықты емес ... ... ... x=0 және x=l ... ... шешімнен тәуелді және шешімнің өзгеруі әр шекарадағы шеттік шарттың санының ... алып ... ... ... ... емес теңдеулерге шеттік шарттың берілуі әр нақты есептің талдауына негізделуі қажет.
Тұрақты коэффициентті a>0 (1.1.1) сызықты теңдеуі үшін ... x=0 сол жақ ... ... шешім аймағының ішіне кіреді, сондықтан шектік шарт тек сол шекарада ғана беріледі. (1.1.4), (1.1.5) Коши есебінің ... ... ... үшін (f=u22, au=u)
dudt+ududx=0 ... ... ... бірмәнді анықталған және оның тегістігі бастапқы берілгендердің тегістігімен сәйкес. Барлық t>0 кезінде шешімі бар ... және ... ... ... ... ... бастапқы функцияға сәйкес келетін мысалды қарастырамыз. u1

Пән: Мұнай, Газ
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 45 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Сызықты Навье – Стокс жүйесі үшін кері есептің шешімінің алгоритмін параллельдеу47 бет
Сұрыптау есептері. қою арқылы сұраптау8 бет
Баротроптық қозғалыстағы тұтқырлы газ моделі үшін айырымдық сұлбанының орнықтылығы мен жинақтылығын зерттеу28 бет
6-7-жасар балалардың таным белсенділігін дамыту динамикасы, ерекшеліктері8 бет
C++ екі өлшемді массивтер20 бет
Corel Draw программасын түрлі графикалық бейнелерді өңдеуге қолданудың әдістемелік негіздері21 бет
Cu, Pb, Ni, Cr ауыр металдарының күріш алқаптарындағы топырақтардағы сандық және сапалық құбылымдары (Қызылорда облысы, Шиелі ауданының мысалында)30 бет
Iрiмшiктi өңдiретiн және сүттi ұйытатын жабдықтардың негiзгi есептеулерi6 бет
Matlab жүйесі. Үш өлшемді графика10 бет
N сызықты теңдеулерден тұратын жүйенің жауабын табатын программа құру15 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь