Газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есеп мысалында әр түрлі айырымдылық сұлбалар бойынша сандық есептеулер

Реферат

Көлемі 46 беттен тұратын бітіру жұмысы кіріспе бөлімнен, III бөлімнен, қорытынды бөлімнен, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Жалпы бітіру жұмыстың құрамына 17 сурет кіреді. Бітіру жұмыстың соңында қосымшалар бар.

Кілт сөздер: газ динамикасы, Хопфа теңдеуі, тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі, сұлбалар, сығылғыштық, орнықтылық шарт, шешім.

Бітіру жұмысында газ динамикасы теңдеулеріне сандық әдістерді тесттілуге мүмкіндік беретін есептер қарастырылған. Нақты шешім беретін формулалар толық түрде түсіндірілген.

АНЫҚТАМАЛАР

Белгілеулер мен қысқартулар

Мазмұны

Кіріспе

Дипломдық жұмыстың мақсаты - газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есеп мысалында әр түрлі айырымдылық сұлбалар бойынша сандық есептеулер алу және талдау жасау

Зерттеу нысанасы - газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есептері, модельдік есептер болып табылды .

Жұмыстың өзектілігі - қазіргі заманғы ғылымның және техниканың алдында тұрған өзекті мәселелердің бірі осы газ динамикасының есептерінің шығарылуымен өте тығыз байланысты. Индустриялдық өндірісте айырықша қызықты, өзекті есептер ретінде газ динамикасының есептері ерекше орын алады.

Газ динамикасы - гидроаэромеханиканың сығылғыш тұтас орталардың (газ, плазма) қозғалысын және олардың қатты денелермен өзара әсерін зерттейтін саласы. Сонымен қатар, газ динамикасы фундаментті білім жүйесіндегі тұтас жеңілқозғалыс ортасының күйінде орнықты орын алатын, кең ауқымды физика-математикалық пән. Ол физиканың бөлімі болып табылатын термодинамикамен және акустикамен байланысты болып келеді.

Қазіргі заманғы оның нысаны газды және сұйық заттар ғана емес сонымен қатар, жоғары температура және қысым ықпалында қарапайым жағдайдағы қатты заттар да болады. Өзіндік газ динамика ортаның сығылғыштық қасиетін бөледі және зерттейді. Сығылғыштық қасиет деп - затқа температура немесе қысым әсерінен алғашқы көлемін өзгерту қабілетін айтамыз. Сол себепті сығылғыштық дыбыстың таралу жылжамдығынан асып өтетін ортада, жоғары жылдамдықты ортада ерекше байқалады. Өйткені, мұндай жылдамдықтар кезінде қысымның үлкен өзгерісі және температураның үлкен градиенті пайда болады.

Теориялық газды динамиканың тарихи дамуы тек сығылғыш ортадағы жалпы құрылымдық физикалық үрдістерді сипаттау және түсіну ғана емес, сондай-ақ, газ динамикасы математиканың дамуына, соның ішінде дифференциалды теңдеулер теориясы бөліміне байланысты үлкен үлес қосты. Ол математика бағыттары, дифференциалдық теңдеулердің үзілісті шешімдер теориясының және аралас типті теңдеулер теориясының дамуына дем берді. Ол шешімдегі күшті және әлсіз үзілістілік, градиентті апат, инвариантты және бөлікті инвариантты шешім, автомодельді шешім және т. б. дифференциалды теңдеулердің қайта өркендеуімен математиканы одан ары байытты.

[1] Кітапта дифференциалды жуықтау әдісі арқылы газ динамикасы теңдеулерінің айырымдық сұлбаларының теориялық зерттеулері жүргізілген.

Гиперболалық типті теңдеулерде көрсетілген математикалық модель кең таралған [2] . Алайда, олардың ішінде газ динамика теңдеуі маңызды орын алады, себебі олардың шешімдері гиперболалық теңдеулер жүйесіне арналған сандық әдістерді өңдеуді ілгері дамытады.

Қазіргі газ динамикасы жоғары температура кезіндегі химиялық (диссоциация, жану, т. б. ) және физикалық (иондалу, сәуле шығару) процестермен қосарлана жүретін газ ағысын да зерттейді. Газ динамикасының негізгі (бастапқы) теңдеулері механика мен температураның негізгі заңдарын сығылатын газдың қозғалыстағы көлеміне қолдану салдары болып есептеледі. Егер газ ағынының параметрлері уақыттың өтуіне байланысты оның әрбір нүктесінде өзгерсе, онда тұтқыр сығылғыш газдың қалыптаспаған қозғалысы Навье-Стокс теңдеуімен сипатталады.

Сығылғыш орта қозғалысының негізгі физикалық ерекшеліктерінің

бірі - оларда соққы толқынының пайда болуы және таралуы. Соққы толқыны дыбыс толқынының таралу жылдамдығынан артық жылдамдықпен қозғалады. Сөйтіп газ қысымының, тығыздығының, температурасының және жылдамдығының өте үлкен градиенттерінің жұқа аймағы түзіледі. Реактивтік авиацияның, ракеталық қару-жарақтардың, жарылыс кезінде аса күшті қопарылыс және соққы толқындарының таралуына әкеп соғатын атомдық және сутектік бомбалардың жасалуына байланысты газ динамикасы қарқынды дами бастады. Әр түрлі аппараттарды, қозғалтқыштарды және газдық машиналарды жобалау кезіндегі газ динамикасының міндеті - газ қоршаған дененің не арнаның кез-келген нүктесінде кез-келген уақыт мезетіндегі қысым және үйкеліс күштерін, температурасы мен жылу ағынын анықтау. Газ шапшымасының, қопарылыс және соққы толқындарының таралуын, сондай-ақ, детонация мен жану процестерін зерттеу кезінде газ динамикасы арқылы газ қысымы, температура, т. б. параметрлер газ таралуының тұтас аймағында анықталады. Қазіргі газ динамикасына есептеу-теориялық әдістер мен ЭЕМ-ды пайдалану, аэродинамикалық және физкалық тәжірибелерді жүргізу тән. Дегенмен, қазіргі техниканың газ динамикасы алдына қоятын көптеген мәселелерін әзірге есептеуді-теориялық әдістер арқылы шешу мүмкін болмай отыр. Сондықтан мұндай жағдайларда "ұқсастық теориясына", гидродинамикалық және аэродинамикалық "модельдеу" заңдарына негізделген газ динамикасы бойынша жүргізілген тәжірибелер кеңінен пайдаланылады. Газ динамикасы тәжірибелері әр түрлі аэродинамикалық құбырларда, баллистикалық қондырғыларда, т. б. жүргізіледі.

Қазақстанда газ динамикасы бойынша алғашқы жұмыстар 1939-1941 ж., ҚазМУ-де (қазіргі әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетінде) басталды (А. А. Гухман) . Газ динамикасы саласындағы зерттеулердің одан кейінгі дамуы Л. А. Вулис газ динамикасы мектебінің (1951-1962) жұмыстарымен тығыз байланысты. ҚазМУ-де химиялық реакция жүретін көп құраушыдан тұратын шекаралық қабаттағы энергия мен импульстің және заттың тасымалдану процестері (Л. Ю. Артюх), изотермиялық емес турбуленттік шапшыманың бастапқы бөлігіндегі құбылыстарға әр түрлі әсердің нәтижелері зерттелді (С. Исатаев), жалынды турбуленттік жанудың заңдылықтары ашылып (Ш. Ершин), аралас конвекциядағы шапшыма ағыстар қарастырылды (В. П. Кашкаров) .

1. Газ динамикасының бір өлшемді теңдеулері.

Идеал (жылуөткізгіш емес және тұтқыр емес) газдың ағысын қарастырсақ, болжамымыз, кейбір $Oxyz$ координат жүйесінде газдың қозғалысы тек $Ox$ осінің маңында болады және газдың барлық параметрлері басқа $y, \ z$ кеңістік координаталарынан тәуелсіз. «Бір өлшемді» газдың ағысын сипаттайтын теңдеулер жүйесі келесі түрде болады [3] :

$\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \frac{\partial\mathbf{f}}{\partial x} = 0, \ \ \ \ \ \ \ x \in \Omega.$ (1. 1)

мұндағы, $t -$ уақыт, $\Omega = (0, l) -$ есептеу аймағы, $\mathbf{u -}$ есептеу векторы, $\mathbf{f -}$ ағын векторы,

$\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u} = \left( \begin{array}{r} \rho \\ \rho u \\ \rho E \end{array} \right), \ \ \ \ \ \ \mathbf{f}\left( \mathbf{u} \right) = \left( \begin{array}{r} \rho u \\ \rho u^{2} + p \\ \rho u(E + p/\rho \end{array} \right), \$ (1. 2)

$\rho -$ газдың тығыздығы, $u -$ жылдамдық, $p -$ қысым, температура мен және газ тығыздығының Клапейрон теңдеуімен байланысты

$p = \rho RT,$ (1. 3)

$R -$ газ тұрақтысы, $R = с_{p} - с_{v}, \ \ с_{p}$ -тұрақты қысымдағы газдың меншікті жылусыйымдылығы, $с_{v}$ -тұрақты көлемдегі газдың меншікті жылусыйымдылығы, $E$ -газдың меншікті толық энергиясы, ол ішкі $e$ энергиямен және кинетикалық $\frac{u^{2}}{2}$ энергиялардың қосындысына тең және де $e = с_{v}T$ . Клапейрон теңдеуін (1. 3) қолдана отырып, қысым мен тығыздық арқылы ішкі энергияны табуға болады

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ e = с_{v}T = \frac{с_{v}p}{{(с}_{p} - с_{v}) \rho} = \frac{p}{(\gamma - 1) \rho},$ (1. 4)

мұндағы, $\gamma = с_{p}$ / $c_{v}$ -адиабата көрсеткіші және $\gamma > 1.$ Онда толық энергия жылдамдық, қысым және тығыздық арқылы келесі формула түрінде анықталады

$E = \frac{p}{(\gamma - 1) \rho} + \frac{u^{2}}{2},$ (1. 5)

cондықтан

$E = \frac{c^{2}}{\gamma(\gamma - 1) } + \frac{u^{2}}{2},$ (1. 6)

мұндағы, $c$ -дыбыс жылдамдығы,

$c = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}.$ (1. 7)

теңдеуінің дивергентті емес түрі келесі түрде болады:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + A\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial x} = 0.$ (1. 8)

Мұнда $A = \frac{\partial f}{\partial u} -$ Якоби матрицасы,

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{\gamma - 3}{2}u^{2} & (3 - \gamma) u & \gamma - 1 \\ - \frac{uc^{2}}{\gamma - 1} + \frac{\gamma - 2}{2}u^{3} & \frac{c^{2}}{\gamma - 1} + \frac{3 - 2\gamma}{2}u^{2} & \gamma u \end{pmatrix}.$ (1. 9)

Оның үш нақты меншік сан қабылдайтынын тексеру оңай

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lambda}_{1} = u - c, \$ $\lambda_{2} = u, \ \ \$ $\lambda_{3} = u + c,$ (1. 10)

$c > 0$ шарты кезінде өзгеше болады, сондықтан $c > 0$ болғанда (1. 8) теңдеулер жүйесі гиперболалық типке жатады.

теңдеуі басқа да дивергентті емес түрлерде жазылады деп айтуға болады, мысалы, теңдеулер жүйесі түрінде

$$\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + \widetilde{A}\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial x} = 0,$$

мұндағы,

$$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \rho \\ u \\ p \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \widetilde{A} = \begin{pmatrix} u & \rho & 0 \\ 0 & u & 1/\rho \\ 0 & \gamma p & u \end{pmatrix},$$

компоненттері бойынша келесі түрде жазылады:

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho}_{t} + u\rho_{x} + \rho u_{x} = 0,$ (1. 11)

$\ \ \ \ \ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u}_{t} + uu_{x} + \frac{p_{x}}{\rho} = 0,$ (1. 12)

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p}_{t} + \gamma pu_{x} + up_{x} = 0.$ (1. 13)

$\lbrack 0, \ l\rbrack$ аралығының соңында сызықтық жағдайдағы сияқты шеттік шарттардың саны сипаттауыш $\Omega$ аймағындағы кіріс сандарына тәуелді. Мысалы, егер $x = 0$ болса, жылдамдық оң, бірақ ағыс дыбысқа деінгі, яғни $0 < u < c,$ онда $\lambda_{1} < 0, \ {\ \lambda}_{2} > 0, \ {\ \lambda}_{3} > 0$ және де екі сипаттауышы $\Omega$ аймағына оның $x = 0$ сол жақ шекарасы арқылы кіреді, сондықтан бұл шекарада екі шеттік шарт қоюымыз қажет, мысалы, жылдамдық және қысым. Егер, мысалы, $x = l$ оң жақ шекарасында ағыс дыбыстан тез $(u > c)$ болса, онда бұл шекарада барлық меншік мәні оң болып табылады, сондықтан барлық сипаттауыштар аймақтан және $x = l$ болғандағы шеттік шарттан шығады, ал мұндай жағдайда шарт қоюдың қажеті жоқ.

1. 1 Хопфа теңдеуі үшін модельдік есеп.

Дербес туындылы теңдеулерді шешудегі қазіргі заманғы сандық әдістердің негізінде, негізгі түсініктер мен ойларды, сызықты емес жай скалярлы тасымал теңдеуінде қарастырамыз

$\frac{\ \partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ (1. 1. 1)

Бұл теңдеуді кейде Хопфа теңдеуі деп те атайды. Хопфа теңдеуі $-$ үзілісті ағыс немесе соққы толқын ағысын сипаттайтын жай теңдеу болып табылады және де сонымен қатар теңдеудің бір қызығы, газ динамикасының теңдеулерін моделдеуі. (1. 1. 1) теңдеуін шешудің сандық әдістеріне көшпес бұрын оның қасиеттерін зерттейміз.

(1. 1. 1) теңдеудің сол жақ бөлігін $x = x(t)$ қисық бойындағы $u -$ дан алынған туынды ретінде қарастыруға болады және келесі түрде беріледі:

$\frac{dx}{dt} = u(x(t), t) .$ (1. 1. 2)

Негізінде,

$$\frac{d}{dt}u\left( x(t), t \right) = u_{t}\frac{dt}{dt} + u_{x}\frac{dx}{dt} = u_{t} + uu_{x}.$$

(1. 2. 2) теңдеуін қанағаттандыратын қисықтар, (1. 1. 1) теңдеуінің сипаттамасы деп аталады [4] . Осындай жағдайда, егер $u$ функциясы (1. 1. 1) теңдеуінің шешімі болса, онда ол (1. 1. 2) сипаттама бойында өзгермейді. Ал, (1. 1. 2) теңдеуінде $u$ тұрақты болғандықтан (өзінің әр сипаттамасына!), өз кезегінде, (2. 1) теңдеуінің барлық сипаттамасы - түзу сызықтар.

(1. 1. 1) теңдеуіне Коши есебін қоямыз. $- \infty < x < \infty$ аймағында егер функция $t > 0$ кезінде (1. 1. 1) теңдеуін қанағаттандыратын және $t = 0$ кезінде берілген мәндерді

$$u(x, 0) = \varphi(x),$$

қабылдайтын болғандықтан $t \geq 0$ кезіндегі $u(x, t)$ функциясын табу қажет етіледі.

Қисынға келтірілен есеп келесі түрде шығарылады. $u(x, t)$ функциясының P нүктесінде координатасы $(x, t)$ болатын, сол жердегі сипаттауыш маңындағы сызықпен $t = 0$ , немесе $u(x, t) = \varphi\left( x^{*} \right)$ мағынасы тең, мұндағы, $x^{*}$ - бастапқы мәні $\ t = 0$ болатын сызықпен сипаттаманың қиылысу нүктесі. Мұндай сипаттаманың теңдеуі

$$\frac{dx}{dt} = u(x, t) = \varphi\left( x^{*} \right)$$

болады. Интегралдағаннан кейін

$$x - t\varphi\left( x^{*} \right) = x^{*}$$

түріне келеді. Соңғы теңдіктің оң және сол жақ бөліктерін $\varphi$ функциясының аргументі ретінде алып, келесі түрге келтіреміз:

$$\varphi\left( x - t\varphi\left( x^{*} \right) \right) = \varphi\left( x^{*} \right) .$$

$u(x, t) = \varphi\left( x^{*} \right)$ теңдігін еске түсіріп, біздің есебіміздің айқын емес шешім түріндегі қойылымына келеміз

$u(x, t) = \varphi(x - ut) .$ (1. 1. 3)

Скаляр теңдеулерге арналған айырымдылық сұлбаларды қарастырайық

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u}_{t} + {\lbrack f(u) \rbrack}_{x} = 0,$ (1. 1. 4)

$f$ функциясы $u$ шешіміне сызықты емес түрде тәуелді, бірақ ${\ \ u}_{t}$ , $u_{x}$ туындыларынан тәуелді емес. Мұндай теңдеулер квазисызықты деп аталады.

$(0, \ l)$ интервалының соңында қарастырылатын бастапқы-шеттік есептің математикалық тұжырымы (1. 1. 4) теңдеуіне арналған бастапқы шарттарды да кірістіру қажет

$u(x, 0) = \varphi(x)$ (1. 1. 5)

және шеттік шартты да кірістіру қажет. Шеттік шарттың саны (1. 1. 4) теңдеуінің сипаттамасының тәртібімен анықталады да келесі түрде беріледі:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{dx}{dt} = a(u),$ (1. 1. 6)

мұндағы,

$a(u) = f_{u}(u)$ . (1. 1. 7)

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс