Газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есеп мысалында әр түрлі айырымдылық сұлбалар бойынша сандық есептеулер

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6

1 Газ динамикасының бір өлшемді теңдеулері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
1.1. Хопфа теңдеуі үшін модельдік есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...10
1.2. Үзіліссіз шешім мысалы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
1.3. Үзілісті шешім мысалы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
1.4. Тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі үшін модельдік есеп ... ... ... ... ..20
1.5. Поршень туралы есептің сипаттамасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...22

2 Сандық сұлбаларға шолу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24
2.1. Тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі үшін сандық сұлбалар ... ... ... ...26
2.2. Хопфа теңдеуі үшін сандық сұлбалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 33

3 Сандық есептеулердің қорытындысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 38
3.1. Есептің қойылымы, тесттік есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...38
3.2. Ағысқа қарсы сұлба көмегімен тесттік есеп үшін сандық есептеулер ... ...41
3.3. Лакс және Лакс.Вендрофф сұлбаларының көмегімен тесттік есеп
үшін сандық есептеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..40

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .44
Пайдаланған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .45

Дипломдық жұмыстың мақсаты – газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есеп мысалында әр түрлі айырымдылық сұлбалар бойынша сандық есептеулер алу және талдау жасау
Зерттеу нысанасы – газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есептері, модельдік есептер болып табылды.
Жұмыстың өзектілігі – қазіргі заманғы ғылымның және техниканың алдында тұрған өзекті мәселелердің бірі осы газ динамикасының есептерінің шығарылуымен өте тығыз байланысты. Индустриялдық өндірісте айырықша қызықты, өзекті есептер ретінде газ динамикасының есептері ерекше орын алады.
Газ динамикасы — гидроаэромеханиканың сығылғыш тұтас орталардың (газ, плазма) қозғалысын және олардың қатты денелермен өзара әсерін зерттейтін саласы. Сонымен қатар, газ динамикасы фундаментті білім жүйесіндегі тұтас жеңілқозғалыс ортасының күйінде орнықты орын алатын, кең ауқымды физика-математикалық пән. Ол физиканың бөлімі болып табылатын термодинамикамен және акустикамен байланысты болып келеді.
Қазіргі заманғы оның нысаны газды және сұйық заттар ғана емес сонымен қатар, жоғары температура және қысым ықпалында қарапайым жағдайдағы қатты заттар да болады. Өзіндік газ динамика ортаның сығылғыштық қасиетін бөледі және зерттейді. Сығылғыштық қасиет деп – затқа температура немесе қысым әсерінен алғашқы көлемін өзгерту қабілетін айтамыз. Сол себепті сығылғыштық дыбыстың таралу жылжамдығынан асып өтетін ортада, жоғары жылдамдықты ортада ерекше байқалады. Өйткені, мұндай жылдамдықтар кезінде қысымның үлкен өзгерісі және температураның үлкен градиенті пайда болады.
Теориялық газды динамиканың тарихи дамуы тек сығылғыш ортадағы жалпы құрылымдық физикалық үрдістерді сипаттау және түсіну ғана емес, сондай-ақ, газ динамикасы математиканың дамуына, соның ішінде дифференциалды теңдеулер теориясы бөліміне байланысты үлкен үлес қосты. Ол математика бағыттары, дифференциалдық теңдеулердің үзілісті шешімдер теориясының және аралас типті теңдеулер теориясының дамуына дем берді. Ол шешімдегі күшті және әлсіз үзілістілік, градиентті апат, инвариантты және бөлікті инвариантты шешім, автомодельді шешім және т.б. дифференциалды теңдеулердің қайта өркендеуімен математиканы одан ары байытты.
[1] Кітапта дифференциалды жуықтау әдісі арқылы газ динамикасы теңдеулерінің айырымдық сұлбаларының теориялық зерттеулері жүргізілген.
Гиперболалық типті теңдеулерде көрсетілген математикалық модель кең таралған [2]. Алайда, олардың ішінде газ динамика теңдеуі маңызды орын алады, себебі олардың шешімдері гиперболалық теңдеулер жүйесіне арналған сандық әдістерді өңдеуді ілгері дамытады.

Кітаптар мен монографиялар

1. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1985.
2. Лебедев А.С., Черный С.Г. Практикум по численному решению уравнений в частных производных. Новосибирск: НГУ. 2000.
3. Орунханов М.К., Хакимзянов Г.С., Черный С.Г. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Часть 2. Алматы: «Қазақ университеті». 2008.
4. Годунов С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979, 392 с.
5. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 688 с.
6. Ковеня В.М. Разностные методы решения многомерных задач. Курс лекций. Новосибирск: НГУ, 2004.-146с.
7. Флетчер К «Вычислительные методы в динамике жидкостей», изд. Мир, 1991 г., 504 стр.
8. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.
9. Карамышев В.Б. Монотонные схемы и их приложения в газовой динамике. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1994.
10. Черный Г.Г. Газовая динамика. Москва: Наука, 1988.-424с.
11. Марчук Г.И. Методы вычислительной матаматики. М.: Наука, 1980.-536с.
12. Куликовский А.Г. и др. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений /А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов. М.: Физматлит, 2001.
13. Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer, 1997.
14. Карамышев В.Б. Монотонные схемы и их приложения в газовой динамике. Новосибирск: НГУ, 1994.
15. Шокин Ю.И., Данаев Н.Т., Хакимзянов Г.С., Шокина Н.Ю. Лекции по разностным схемам на подвижных сетках. Часть 1. Задачи для уравнений в частных производных одной пространственной переменной. Учебное пособие. Алматы, 2006. 132 с.
16. Коробицына Ж.Л., Хакимзянов Г.С. Практикум на ЭВМ по курсу «Методы вычислений». Новосибирск: НГУ, 1995.
17. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 189 с.
18. Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Наука. ФИЗМАТЛИТ, 2000. 248 с.
19. Хакимзянов Г.С., Шокин Ю.И. Разностные схемы на адаптивных сетках: в 3 ч.: ч.1: учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 2005. 132 с.
20. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 614 с.

Пән: Мұнай, Газ
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 46 бет
Таңдаулыға:

Реферат

Көлемі 46 беттен тұратын бітіру жұмысы кіріспе бөлімнен, III бөлімнен, қорытынды бөлімнен, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Жалпы бітіру жұмыстың құрамына 17 сурет кіреді. Бітіру жұмыстың соңында қосымшалар бар.
Кілт сөздер: газ динамикасы, Хопфа теңдеуі, тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі, сұлбалар, сығылғыштық, орнықтылық шарт, шешім.
Бітіру жұмысында газ динамикасы теңдеулеріне сандық әдістерді тесттілуге мүмкіндік беретін есептер қарастырылған. Нақты шешім беретін формулалар толық түрде түсіндірілген.

АНЫҚТАМАЛАР

Газ динамикасы --

гидроаэромеханиканың сығылғыш тұтас орталардың (газ, плазма) қозғалысын және олардың қатты денелермен өзара әсерін зерттейтін саласы
Сығылғыштық қасиет деп --
затқа температура немесе қысым әсерінен алғашқы көлемін өзгерту қабілетін айтамыз.

Өзгермелі тұтас орта --

қатты денелердің, сұйықтықтар мен газдардың қозғалысын зерттегенде олардың молекулалық құрылымын ескермеуге болатын жағдайда қолданылатын ұғым.
Градиент --
векторлық кеңістікте анықталған, скаляр функциядан алынатын туынды
Идеал газ --
бөлшектерінің өзара әсері ескерілмейтін газдың теориялық моделі.
Жылу сыйымдылығы --
дене температурасын 1°С-ге немесе 1 калорияға жоғарылату үшін берілетін жылу мөлшері. Яғни, дененің (заттектің) қандай да бір процестегі күйінің мардымсыз шексіз өзгерісі кезінде алатын жөне оларға температураны жоғарылату үшін қажет болатын жылу мөлшері.
Адиабата --
қайтымды (адибаттық) процесті бейнелей алатын қисық, графикалық сызық.
Айырымдық схема (Разностная схема; the difference circuit) --
дифференциалдық тендеулер мен белгілі бір нүктелердегі туынды функциялар мәндерінің ақырғы саны арқылы жуықталып ұсынылған айырымдық теңдеулер жүйесінің қосымша шарттарының аппроксимациясы.
Итерация (лат. іteratіo - қайталау) -
қандай да бір математикалық амалды қайталап қолдану.
Энтальпия (гр. enthalpo - жылытамын, қыздырамын) -
жылулық функция, жылу мөлшері - термодинамикалық жүйе күйінің функциясы болып келетін жылуға қатысты шама.
Амплитуда -
тербелістегі шаманың тепе-теңдік мәнінен максималь ауытқуы.
Түйін -
тордағы нүктелер.
Куронт саны -
бұл сұйық элементінің тексерілетін көлемі арқылы өтетін сипаттама уақытын есептеуде уақыттық қадаммен салыстыратын өлшемсіз шама.

Белгілеулер мен қысқартулар

газдың тығыздығы.
u-
жылдамдық.
p-
қысым.
x* -
сипаттауыштың Ox осімен қиылысу нүктесі.
R -
универсал газ тұрақтысы (ауа үшін R=287Дж(кг*град)).
T -
абсолюттік температура.
Cr -
Куронт саны.

ЭЕМ -
Электронды Есептеу Машинасы
ҚазМУ -
қазіргі әл-Фараби атындағы Қазақ Ұлттық Университеті.
TVD -
(Total Variation Diminishing) толық вариацияның азаюы.

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .6

1
Газ динамикасының бір өлшемді теңдеулері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... 8
1.1.
Хопфа теңдеуі үшін модельдік есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.2.
Үзіліссіз шешім мысалы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
1.3.
Үзілісті шешім мысалы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
1.4.
Тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі үшін модельдік есеп ... ... ... ... ..20
1.5.
Поршень туралы есептің сипаттамасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22

2
Сандық сұлбаларға шолу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...24
2.1.
Тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі үшін сандық сұлбалар ... ... ... ...26
2.2.
Хопфа теңдеуі үшін сандық сұлбалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .33

3
Сандық есептеулердің қорытындысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .38
3.1.
Есептің қойылымы, тесттік есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 38
3.2.
Ағысқа қарсы сұлба көмегімен тесттік есеп үшін сандық есептеулер ... ...41
3.3.
Лакс және Лакс-Вендрофф сұлбаларының көмегімен тесттік есеп
үшін сандық есептеулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..40

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .44

Пайдаланған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .45

Кіріспе

Дипломдық жұмыстың мақсаты - газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есеп мысалында әр түрлі айырымдылық сұлбалар бойынша сандық есептеулер алу және талдау жасау
Зерттеу нысанасы - газ динамикасы теңдеулер жүйесінің бір өлшемді есептері, модельдік есептер болып табылды.
Жұмыстың өзектілігі - қазіргі заманғы ғылымның және техниканың алдында тұрған өзекті мәселелердің бірі осы газ динамикасының есептерінің шығарылуымен өте тығыз байланысты. Индустриялдық өндірісте айырықша қызықты, өзекті есептер ретінде газ динамикасының есептері ерекше орын алады.
Газ динамикасы -- гидроаэромеханиканың сығылғыш тұтас орталардың (газ, плазма) қозғалысын және олардың қатты денелермен өзара әсерін зерттейтін саласы. Сонымен қатар, газ динамикасы фундаментті білім жүйесіндегі тұтас жеңілқозғалыс ортасының күйінде орнықты орын алатын, кең ауқымды физика-математикалық пән. Ол физиканың бөлімі болып табылатын термодинамикамен және акустикамен байланысты болып келеді.
Қазіргі заманғы оның нысаны газды және сұйық заттар ғана емес сонымен қатар, жоғары температура және қысым ықпалында қарапайым жағдайдағы қатты заттар да болады. Өзіндік газ динамика ортаның сығылғыштық қасиетін бөледі және зерттейді. Сығылғыштық қасиет деп - затқа температура немесе қысым әсерінен алғашқы көлемін өзгерту қабілетін айтамыз. Сол себепті сығылғыштық дыбыстың таралу жылжамдығынан асып өтетін ортада, жоғары жылдамдықты ортада ерекше байқалады. Өйткені, мұндай жылдамдықтар кезінде қысымның үлкен өзгерісі және температураның үлкен градиенті пайда болады.
Теориялық газды динамиканың тарихи дамуы тек сығылғыш ортадағы жалпы құрылымдық физикалық үрдістерді сипаттау және түсіну ғана емес, сондай-ақ, газ динамикасы математиканың дамуына, соның ішінде дифференциалды теңдеулер теориясы бөліміне байланысты үлкен үлес қосты. Ол математика бағыттары, дифференциалдық теңдеулердің үзілісті шешімдер теориясының және аралас типті теңдеулер теориясының дамуына дем берді. Ол шешімдегі күшті және әлсіз үзілістілік, градиентті апат, инвариантты және бөлікті инвариантты шешім, автомодельді шешім және т.б. дифференциалды теңдеулердің қайта өркендеуімен математиканы одан ары байытты.
[1] Кітапта дифференциалды жуықтау әдісі арқылы газ динамикасы теңдеулерінің айырымдық сұлбаларының теориялық зерттеулері жүргізілген.
Гиперболалық типті теңдеулерде көрсетілген математикалық модель кең таралған [2]. Алайда, олардың ішінде газ динамика теңдеуі маңызды орын алады, себебі олардың шешімдері гиперболалық теңдеулер жүйесіне арналған сандық әдістерді өңдеуді ілгері дамытады.
Қазіргі газ динамикасы жоғары температура кезіндегі химиялық (диссоциация, жану, т.б.) және физикалық (иондалу, сәуле шығару) процестермен қосарлана жүретін газ ағысын да зерттейді. Газ динамикасының негізгі (бастапқы) теңдеулері механика мен температураның негізгі заңдарын сығылатын газдың қозғалыстағы көлеміне қолдану салдары болып есептеледі. Егер газ ағынының параметрлері уақыттың өтуіне байланысты оның әрбір нүктесінде өзгерсе, онда тұтқыр сығылғыш газдың қалыптаспаған қозғалысы Навье-Стокс теңдеуімен сипатталады.
Сығылғыш орта қозғалысының негізгі физикалық ерекшеліктерінің
бірі - оларда соққы толқынының пайда болуы және таралуы. Соққы толқыны дыбыс толқынының таралу жылдамдығынан артық жылдамдықпен қозғалады. Сөйтіп газ қысымының, тығыздығының, температурасының және жылдамдығының өте үлкен градиенттерінің жұқа аймағы түзіледі. Реактивтік авиацияның, ракеталық қару-жарақтардың, жарылыс кезінде аса күшті қопарылыс және соққы толқындарының таралуына әкеп соғатын атомдық және сутектік бомбалардың жасалуына байланысты газ динамикасы қарқынды дами бастады. Әр түрлі аппараттарды, қозғалтқыштарды және газдық машиналарды жобалау кезіндегі газ динамикасының міндеті - газ қоршаған дененің не арнаның кез-келген нүктесінде кез-келген уақыт мезетіндегі қысым және үйкеліс күштерін, температурасы мен жылу ағынын анықтау. Газ шапшымасының, қопарылыс және соққы толқындарының таралуын, сондай-ақ, детонация мен жану процестерін зерттеу кезінде газ динамикасы арқылы газ қысымы, температура, т.б. параметрлер газ таралуының тұтас аймағында анықталады. Қазіргі газ динамикасына есептеу-теориялық әдістер мен ЭЕМ-ды пайдалану, аэродинамикалық және физкалық тәжірибелерді жүргізу тән. Дегенмен, қазіргі техниканың газ динамикасы алдына қоятын көптеген мәселелерін әзірге есептеуді-теориялық әдістер арқылы шешу мүмкін болмай отыр. Сондықтан мұндай жағдайларда "ұқсастық теориясына", гидродинамикалық және аэродинамикалық "модельдеу" заңдарына негізделген газ динамикасы бойынша жүргізілген тәжірибелер кеңінен пайдаланылады. Газ динамикасы тәжірибелері әр түрлі аэродинамикалық құбырларда, баллистикалық қондырғыларда, т.б. жүргізіледі.
Қазақстанда газ динамикасы бойынша алғашқы жұмыстар 1939-1941 ж., ҚазМУ-де (қазіргі әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетінде) басталды (А.А. Гухман). Газ динамикасы саласындағы зерттеулердің одан кейінгі дамуы Л.А. Вулис газ динамикасы мектебінің (1951-1962) жұмыстарымен тығыз байланысты. ҚазМУ-де химиялық реакция жүретін көп құраушыдан тұратын шекаралық қабаттағы энергия мен импульстің және заттың тасымалдану процестері (Л.Ю.Артюх), изотермиялық емес турбуленттік шапшыманың бастапқы бөлігіндегі құбылыстарға әр түрлі әсердің нәтижелері зерттелді (С. Исатаев), жалынды турбуленттік жанудың заңдылықтары ашылып (Ш. Ершин), аралас конвекциядағы шапшыма ағыстар қарастырылды (В.П. Кашкаров).

1. Газ динамикасының бір өлшемді теңдеулері.

Идеал (жылуөткізгіш емес және тұтқыр емес) газдың ағысын қарастырсақ, болжамымыз, кейбір Oxyz координат жүйесінде газдың қозғалысы тек Ox осінің маңында болады және газдың барлық параметрлері басқа y, z кеңістік координаталарынан тәуелсіз. Бір өлшемді газдың ағысын сипаттайтын теңдеулер жүйесі келесі түрде болады [3]:

dudt+dfdx=0, x∈Ω. (1.1)

мұндағы, t-уақыт, Ω=0,l-есептеу аймағы, u-есептеу векторы, f-ағын векторы,

u=ρρuρE, fu=ρuρu2+pρu(E+pρ, (1.2)

ρ- газдың тығыздығы, u-жылдамдық, p-қысым, температура мен және газ тығыздығының Клапейрон теңдеуімен байланысты

p=ρRT, (1.3)

R-газ тұрақтысы, R=сp-сv, сp-тұрақты қысымдағы газдың меншікті жылусыйымдылығы, сv-тұрақты көлемдегі газдың меншікті жылусыйымдылығы, E-газдың меншікті толық энергиясы, ол ішкі e энергиямен және кинетикалық u22 энергиялардың қосындысына тең және де e=сvT. Клапейрон теңдеуін (1.3) қолдана отырып, қысым мен тығыздық арқылы ішкі энергияны табуға болады

e=сvT=сvp(сp-сv)ρ=p(γ-1)ρ, (1.4)

мұндағы, γ=сpcv - адиабата көрсеткіші және γ1. Онда толық энергия жылдамдық, қысым және тығыздық арқылы келесі формула түрінде анықталады

E=p(γ-1)ρ+u22, (1.5)

cондықтан

E=c2γ(γ-1)+u22, (1.6)
мұндағы, c - дыбыс жылдамдығы,

c=γpρ. (1.7)

теңдеуінің дивергентті емес түрі келесі түрде болады:

dudt+Adudx=0. (1.8)

Мұнда A=dfdu-Якоби матрицасы,

A=010γ-32u23-γuγ-1-uc2γ-1+γ-22u3c2γ -1+3-2γ2u2γu. (1.9)

Оның үш нақты меншік сан қабылдайтынын тексеру оңай

λ1=u-c, λ2=u, λ3=u+c, (1.10)

c0 шарты кезінде өзгеше болады, сондықтан c0 болғанда (1.8) теңдеулер жүйесі гиперболалық типке жатады.
теңдеуі басқа да дивергентті емес түрлерде жазылады деп айтуға болады, мысалы, теңдеулер жүйесі түрінде

dvdt+Advdx=0,

мұндағы,

v=ρup, A=uρ00u1ρ0γpu,

компоненттері бойынша келесі түрде жазылады:

ρt+uρx+ρux=0, (1.11)
ut+uux+pxρ=0, (1.12)
pt+γpux+upx=0. (1.13)

0, l аралығының соңында сызықтық жағдайдағы сияқты шеттік шарттардың саны сипаттауыш Ω аймағындағы кіріс сандарына тәуелді. Мысалы, егер x=0 болса, жылдамдық оң, бірақ ағыс дыбысқа деінгі, яғни 0uc, онда λ10, λ20, λ30 және де екі сипаттауышы Ω аймағына оның x=0 сол жақ шекарасы арқылы кіреді, сондықтан бұл шекарада екі шеттік шарт қоюымыз қажет, мысалы, жылдамдық және қысым. Егер, мысалы, x=l оң жақ шекарасында ағыс дыбыстан тез uc болса, онда бұл шекарада барлық меншік мәні оң болып табылады, сондықтан барлық сипаттауыштар аймақтан және x=l болғандағы шеттік шарттан шығады, ал мұндай жағдайда шарт қоюдың қажеті жоқ.

1.1 Хопфа теңдеуі үшін модельдік есеп.

Дербес туындылы теңдеулерді шешудегі қазіргі заманғы сандық әдістердің негізінде, негізгі түсініктер мен ойларды, сызықты емес жай скалярлы тасымал теңдеуінде қарастырамыз

dudt+ududx=0 (1.1.1)

Бұл теңдеуді кейде Хопфа теңдеуі деп те атайды. Хопфа теңдеуі-үзілісті ағыс немесе соққы толқын ағысын сипаттайтын жай теңдеу болып табылады және де сонымен қатар теңдеудің бір қызығы, газ динамикасының теңдеулерін моделдеуі. (1.1.1) теңдеуін шешудің сандық әдістеріне көшпес бұрын оның қасиеттерін зерттейміз.
(1.1.1) теңдеудің сол жақ бөлігін x=x(t) қисық бойындағы u-дан алынған туынды ретінде қарастыруға болады және келесі түрде беріледі:

dxdt=u(xt,t). (1.1.2)

Негізінде,
ddtuxt,t=utdtdt+uxdxdt=ut+uux.

(1.2.2) теңдеуін қанағаттандыратын қисықтар, (1.1.1) теңдеуінің сипаттамасы деп аталады [4]. Осындай жағдайда, егер u функциясы (1.1.1) теңдеуінің шешімі болса, онда ол (1.1.2) сипаттама бойында өзгермейді. Ал, (1.1.2) теңдеуінде u тұрақты болғандықтан (өзінің әр сипаттамасына!), өз кезегінде, (2.1) теңдеуінің барлық сипаттамасы - түзу сызықтар.
(1.1.1) теңдеуіне Коши есебін қоямыз. -infinityxinfinity аймағында егер функция t0 кезінде (1.1.1) теңдеуін қанағаттандыратын және t=0 кезінде берілген мәндерді

ux,0=φx,
қабылдайтын болғандықтан t=0 кезіндегі u(x,t) функциясын табу қажет етіледі.
Қисынға келтірілен есеп келесі түрде шығарылады. u(x,t) функциясының P нүктесінде координатасы (x,t) болатын, сол жердегі сипаттауыш маңындағы сызықпен t=0, немесе ux,t=φx* мағынасы тең, мұндағы, x* - бастапқы мәні t=0 болатын сызықпен сипаттаманың қиылысу нүктесі. Мұндай сипаттаманың теңдеуі

dxdt=ux,t=φx*

болады. Интегралдағаннан кейін

x-tφx*=x*

түріне келеді. Соңғы теңдіктің оң және сол жақ бөліктерін φ функциясының аргументі ретінде алып, келесі түрге келтіреміз:

φx-tφx*=φx*.

ux,t=φx* теңдігін еске түсіріп, біздің есебіміздің айқын емес шешім түріндегі қойылымына келеміз

ux,t=φx-ut. (1.1.3)

Скаляр теңдеулерге арналған айырымдылық сұлбаларды қарастырайық

ut+[f(u)]x=0, (1.1.4)

f функциясы u шешіміне сызықты емес түрде тәуелді, бірақ ut, ux туындыларынан тәуелді емес. Мұндай теңдеулер квазисызықты деп аталады.
(0, l) интервалының соңында қарастырылатын бастапқы-шеттік есептің математикалық тұжырымы (1.1.4) теңдеуіне арналған бастапқы шарттарды да кірістіру қажет

ux,0=φ(x) (1.1.5)

және шеттік шартты да кірістіру қажет. Шеттік шарттың саны (1.1.4)теңдеуінің сипаттамасының тәртібімен анықталады да келесі түрде беріледі:

dxdt=au, (1.1.6)

мұндағы,
au=fu(u). (1.1.7)

Сипаттамасы (0, l) аймағына кіретін, шеттік шартты тек сол (0, l) интервалында беру қажет. Сондықтан, мүмкін, шеттік шартты қоюдың мүлде қажеті жоқ немесе шеттік шартты бір шекаралық нүктеде x=0 немесе x=l кезінде немесе бірден екі нүктеде де беру қажет. (1.1.4) теңдеуі сызықты емес болғандықтан, сипаттаманың иілуі x=0 және x=l шекаралық нүктелерінде шешімнен тәуелді және шешімнің өзгеруі әр шекарадағы шеттік шарттың санының өзгеруіне алып келуі мүмкін. Сонымен, сызықты емес теңдеулерге шеттік шарттың берілуі әр нақты есептің талдауына негізделуі қажет.
Тұрақты коэффициентті a0 (1.1.1) сызықты теңдеуі үшін сипаттамасы x=0 сол жақ шекарасы арқылы шешім аймағының ішіне кіреді, сондықтан шектік шарт тек сол шекарада ғана беріледі. (1.1.4), (1.1.5) Коши есебінің мысалында, Хопфа теңдеуі үшін (f=u22, au=u)

dudt+ududx=0 -infinityxinfinity, t0 (1.1.8)

ux,t шешімін сипаттауыш әдісі бойынша қалай табу керектігін көрсетеміз. (1.1.8) теңдеуінің сипаттамасы - бұл (1.1.6) дифференциалдық теңдеуімен анықталатын, x,t жазықтығындағы қисықтар

dxdt=ux,t. (1.1.9)

x=x(t) - (1.1.9) теңдеуінің шешімі болсын. Онда, (1.1.8) теңдеуінің сол жақ бөлігі x=x(t) сипаттауышты бойлайтын u - дан уақыт бойынша толық туындысы болады

ddtuxt,t=0

және шешім үшін толық туынды нөлге тең, сондықтан x=x(t) қисығында uxt,t функциясы тұрақты мәнді қабылдайды. Онда, (1.1.9) теңдеуінен әр сипаттауыш шын мәнісінде түзу сызық болады, Ot осіне көлбеулік бұрышының тангенсі келесіге тең:

uxt,t=ux0,0=φx*, (1.1.10)

мұндағы, x*=x(0) - сипаттауыштың Ox осімен қиылысу нүктесі. Бұл түзудің теңдеуі келесі түрде болады:

x-x*=φx*t. (1.1.11)
Сөйтіп, xt нүктесінде ux,t функциясының мағынасын табу үшін
(1.1.11) теңдеуін шешіп, x*-ға сәйкес келетін мән есептеу керек (мүмкін итерациялық әдіспен) және табылған x* мәнді (1.1.10) формуласына қоямыз

ux,t=φ(x*). (1.1.12)

1.2 Үзіліссіз шешім мысалы

Егер (1.1.8) теңдеуіне бастапқы берілгендер монотонды өспелі үзіліссіз функция түрінде таңдалса, онда қарастырылып отырған теңдеудің шешімі t=0 жарты жазықтықта бірмәнді анықталған және оның тегістігі бастапқы берілгендердің тегістігімен сәйкес. Барлық t0 кезінде шешімі бар болатын және соған айқын формуланы жазуға болатын, бастапқы функцияға сәйкес келетін мысалды қарастырамыз. u1u2, x1x2 және бастапқы функция үзілісті сызықты болсын делік:

φx=u1 при x=x1,x-x2x1-x2u1+x-x1x2-x1u2 при x1=x=x2,u2 при x=x2. (1.2.1)

Онда [x1,x2] кесіндісінде φx функциясы монотонды өспелі, сондықтан [x1,x2] кесінді нүктелері арқылы өтетін және бір нүктеден x*, t* шығатын сипаттамалар тобы пайда болады:

x*=x1+u1t*=x2+u2t*; t*=-x2-x1u2-u1, (1.2.2)

мұндағы, t*0 және уақыттың өсуімен сәйкес келмейтіндер (1, а сурет). Барлық t0 кезінде шешім бар болады және келесі формуламен беріледі

ux,t=u1 при x=x1t,x-x2tx1t-x2tu1+x-x1tx2t-x1tu 2 при x1t=x=x2t,u2 при x=x2t, (1.2.3)

сонымен қатар, бірінші ретті туындысы үзілістілікке шыдайтын екі нүктесін қоспағанда xit=xi+uit, i=1, 2, барлық жерде дифференциалданатын, үзіліссіз функция болып табылады. Бірінші ретті туындының соңғы үзілісті нүктелерінің санымен мұндай (1.1.4), (1.1.5) үзіліссіз шешім есептері әлсіз үзілісті жалпы шешімдері деп аталады.

1 - сурет. a - u1u2 кезіндегі (1.1.8), (1.2.1) есептерінің сипаттамасы; б - t=0 1, t=0,5 2, t=1 3. u1=1, u2=2, x1=1, x2=2 уақыт кездеріндегі (1.1.8), (1.2.1) есептерінің шешімі

(1.2.3) теңдеуінің шешімі ылғи бір нүктеден (1.2.2) шығатын, сәйкес келмейтін сипаттамаларын бойлайтын функциясы тұрақты, орталықтандырылған сирек толқын болып табылады. Орталықтандырылған сирек толқында келесі теңсіздіктің орын алатындығын көрсету қиын емес

ux,t=x-x*t-t*,

сондықтан ux,t-ны шешу үшін (1.2.3) формуласын келесі түрде көшіріп жазуға болады:

ux,t=u1 при x=x1t,x-x*t-t* при x1t=x=x2t,u2 при x=x2t, (1.2.4)

1.3 Үзілісті шешім мысалы

Енді кері теңсіздік орындалсын: u1u2. Онда tt* уақыт мезгіліне дейін (1.2.1) бастапқы шартымен Коши есебінің шешімі (1.2.3) формуласымен анықталатын бұрынғыдай үзіліссіз функция болып табылады, бірақ t=t*0 кезінде координаталары (1.2.2) нүктесінде сипаттамалар тобының қиылысуы пайда болады және бейнеленген шешімді табу әдісі іске аспайтын болып шығады, сондықтан (x*, t*) нүктелеріне сипаттамалар бастапқы функцияның әр түрлі мағыналарына әкеледі, яғни шешім бірмәнді емес болып табылады. Сипаттамалары бір нүктеге келетіндіктен мұндай шешім орталықтандырылған толқынның сығылуы деп аталады (2, а сурет).
(1.2.1) немесе (1.2.2) үзікті-сызықты бастапқы функциясы бар және x1t=x=x2t, 0=t=t*, t* үшбұрышында орналасқан қарастырылып отырған мысал - градиент апатының пайда болуының моменті. Ол да (1.2.2) формуласымен анықталады. Орталықтандырылған толқынның сығылуы кезінде ux шамасы уақыттың өсуіне қарай үлкееді (2, б сурет) және градиентті апат моментінде шешім үзілісті болады.

2 - сурет. a - u1u2 кезіндегі (1.1.8), (1.2.1) есептерінің сипаттамасы; б - t=0 1, t=0,5 2, t=1 3 уақыт моменттеріндегі (1.1.8), (1.2.1) есептерінің шешімдері. u1=2, u2=1, x1=1, x2=2

Біз бастапқы функцияның (1.2.1) формуласымен берілген жағдайын қарастырдық және φx кемімелі үзікті-сызықты функциясы үшін үзіліссіз шешім tt* кезінде ғана бар болатындығын көрдік. Бұл формуланың екі жақ бөлігін де x-тан уақыт бойынша дифференциалдаймыз:

dudx=φ'-φ'dudxt.

Осыдан,

dudx=φ'1+φ't

табамыз. Көріп отырғанымыздай, егер φx-кемімелі функция болса, яғни φ'0, онда ux туындысының бар болуы тоқтаған кезінде уақыт моменті пайда болады

t*=-1φ'(x)0. (1.3.1)

Бұл, t=0 сызығына тәуелсіз бір нүкте аймағына әр түрлі мағыналар әкелетін, екі немесе одан да көп сипаттамалардың қиылысуына сәйкес келеді. Осы уақыттан бастап тегіс шешім бар болуын тоқтатады. Шешім үзілісті болады. Туындылар үзіліс нүктелерінде анықталмаған және дифференциалдық теңдеу мағынасын жоғалтады. Біз, дифференциалдық теңдеуді үзілісті шешім бағынатын арақатынаспен алмастыруымыз қажет. Алайда, бұл арақатынас тегіс шешімдегі дифференциалды теңдеуге эквивалентті болуы қажет.
(1.1.4) теңдеуін шешу кезіндегі үзіліс (1.1.5) үзілісті бастапқы функциясының тапсырмаларымен шартталған бола алады. Дегенмен, u1u2 болғанда (1.2.1) бастапқы функциясымен қарастырылған мысалда көрсетілгендей, үзіліссіз бастапқы функциясы берілгенде де үзілісті шешім пайда болуы мүмкін. Үзілісті шешімді қанағаттандыратын интегралдық теңдеу шығарамыз.
t=0 жарты жазықтығында жататын, кез келген шектеулі D аймағында (1.1.4) теңдеуін интегралдаймыз және Грин формуласын қолданамыз:

0=Dut+fxdxdt=C-udx+fdt,

мұндағы, C=dD - D аймағының шекарасы. Сөйтіп, (1.1.4) теңдеуінің тегіс шешімін қанағаттандыратын интегралды сақталу заңын алдық

C-udx+fdt=0. (1.3.1)

Бірақ, енді бұл интегралдық теңдеуде ux,t функциясынан жатықтықты және тіпті, үзіліссіздікті талап етудің қажеті жоқ. Сондықтан, үзілісті шешімнің анықтамасының негізіне (әлді үзілістің жалпыланған шешіміне) кез келген С контурына орындалатын (1.3.1) теңдігін қоюға болады.
Егер, кейбір жатық ux,t функциясына (1.3.1) теңдігі кез келген С жатық контурына орындалады деп белгілесек, онда ux,t функциясы (1.1.4) теңдеуінің классикалық шешімі болады.
x=x(t) - сызық, сондағы ux,t шешімі үзілістілікке шыдайтын болсын. e f үзіліс сызығы болатын кейбір доғаны қамтитын D ретінде қисық сызықты төртбұрышты abcd аламыз (3 сурет). Онда осы төртбұрыштың контуры үшін интегралдық теңдеу келесі түрде жазылады

abcdaudx-fdt=0.

ab және cd кесінділерін үзіліс сызығымен қиылысатын e және f нүктелерімен топтастырамыз. Онда ab және cd бойынша интеграл нөлді береді және теңдеу келесі түрге айналады

efudx-fdt=0, (1.3.2)

мұндағы, z=zоң-zсол - z шамасының үзіліс сызығына өзгерісі. Үзіліс сызығында төмендегі арақатынас орындалады

dx=dxdtdt=Ddt,

3 - сурет. (1.3.3) әлді үзіліс теңдеуінің қорытындысында қолданылатын, (1.3.1) арақатынасындағы интегралдың контуры

мұндағы, D - үзіліс нүктесінің қозғалысының жылдамдығы. Сондықтан, (1.3.2) теңдігін келесі түрде жазуға болады:

efuD-fdt=0.
ef бөлімінің еркіндігі бойынша сызықтың әр үзіліс нүктесінде x=x(t) интеграл асты көрсеткіші нольге теңесуі керек

uD=f, (1.3.3)

яғни, үзіліс нүктесінің қозғалыс жылдамдығы және шешімнің мағынасы үзілістің екі жағында да еркін бола алмайды: олар (1.3.3) әлді үзіліс теңдеуімен байланысты.
Енді (1.1.8) Хопфа теңдеуіне ораламыз. (1.3.3) теңдігін қолдану арқылы, үзіліс нүктесінің қозғалыс жылдамдығы үшін келесі өрнекті аламыз:

D=[f][u]=uоң2-uсол22(uоң-uсол)=uоң+ uсол2. (1.3.4)

u1u2 кезінде тек tt* уақыты үшін бар болатын, (1.2.1) бастапқы функциясы үшін сипаттамалар әдісі бойынша үзіліссіз шешім (1.2.3) құрастырылған болатын. (1.3.4) өрнегін пайдалана отырып, t=t* кезінде, яғни, градиенттік апаттан кейін (1.1.8), (1.2.1) есептерінің үзілісті шешімдері үшін келесі формуланы аламыз:

ux,t=u1 при xx*+Dt-t*,u2 при xx*+Dt-t*, (1.3.5)
мұндағы,

D=u1+u22. (1.3.6)

Қарастырылған мысалда үзілісті шешім бастапқы үзіліссіз фукциядан туындады. Енді сол бастапқы функцияның өзі үзілісті болсын:

u0x=u1, xx0,u2, xx0, (1.3.7)

мұндағы, u1!=u2. (1.3.4) формуласымен келісе отырып, t0 болғанда үзілісті шешім үшін келесі өрнекті аламыз:

ux,t=u1 при xx0+Dt,u2 при xx0+Dt. (1.3.8)

(1.3.8) формуласы u1u2 кезіндегі сияқты u1u2 үшін де дәл солай алынады. Бірақ та, бірінші жағдайда яғни, u1u2 болғанда орталықтандырылған сирек толқын түрінде тағы бір шешім пайда болады:

ux,t=u1 при x=x0+u1t,x-x0t при x0+u1t=x=u2 при x=x0+u2t.x0+u2t, (1.3.9)

(1.3.8) және (1.3.9) теңдеулерінің шешімі 4 суретте бейнеленген. Осы екі шешімдердің қайсысын u1u2 болғанда (1.1.8), (1.3.7) Коши есебінің шешімі ретінде алуға болады? (1.3.8) үзілісті шешімі келмейді, себебі, ол тұрақты емес.
Гиперболалық типті сызықты емес дифференциалдық теңдеулердің теориясы тұрақты үзілісті шешімдерді іріктеудің бірнеше критерийларын береді [5]. Сол критерийлардың ішіндегі біреуі егер сипаттамалар үзіліс сызығына екі жақтан келетін болса, (1.1.4) скалярлы теңдеуі жағдайында үзілісті шешім (1.3.8) тұрақты болатындығына арналған. u1u2 жағдайында бұл критерий орындалмайды (5, а сурет). Бұл жерде сипаттамалар үзіліс сызығынан кетеді. Ал, u1u2 жағдайында критерий орындалады (5, б сурет): сипаттамалар үзіліс нүктесіне екі жақтан да келеді және оған белгіленген бастапқы шама береді.

4 - сурет. u1u2 кезіндегі (1.1.8), (1.3.7) Коши есептерінің шешімдерінің графигі. 1 - бастапқы функция (1.3.7); 2 - үзілісті шешім (1.3.8); 3 - үзіліссіз шешім (1.3.9). t=1,u1=1, u2=2, x0=1

Басқа критериймен келісе отырып [3], егер үзілісті бастапқы функцияның (1.3.7) орнына (x0-ε, x0+ε) интервалында тегістелген

5 - сурет. u1u2 болғанда (a) және u1u2 болғанда (б) (1.1.8), (1.3.7) есептерінің сипаттамалары

6 - сурет. (1.3.7) (1.1) үзілісті бастапқы функциясы және (x0-ε, x0+ε) интервалында тегістелген (1.2.1) бастапқы функциясы үшін: 2-ε=0,5; 3-ε=0,2; 4-ε=0,05. t=1, u1=1, u2=2, x0=1 u1u2 болғанда Хопфа теңдеуі үшін Коши есебінің үзіліссіз шешімінің графигі
(ε0) үзіліссіз бастапқы функцияны алсақ, онда оған сәйкес шешім ε--0 кезінде үзілісті бастапқы функцияның шешім шегінде берілуі қажет. Осы критерийды қолданайық. x1=x0-ε, x2=x0+ε болсын. (1.2.1) бастапқы функциясын және оған сәйкес (1.2.4) шешімді алайық. Онда (1.2.4) шешімі ε--0 кезде шекте функцияны береді (6 сурет), және де u1u2 болғанда орталықтандырылған сирек толқын үшін (1.3.9) формуласымен сипатталады, яғни, шектік шешім (1.3.8) формуласымен сипатталатын шешіммен сәйкес келмейді. Сондықтан, екінші критериймен келісе отырып, (1.3.8) үзілісті шешімі u1u2 кезінде тұрақсыз және мұндай жағдайда шешім ретінде (1.3.9) орталықтандырылған сирек толқынды алу қажет. Егер u1u2 болса, онда ε--0 кезінде (1.2.3), (1.3.5) шешімдерінен шектерінде үзілісті шешім пайда болады (1.3.8). Сондықтан, бұл үзілісті шешім екінші критерий бойынша да тұрақты болып табылады.
Сөйтіп, (1.3.4) үзілісті бастапқы функциясын бергенде u1u2 кезінде (1.3.8) үзілісті шешім пайда болады, ал u1u2 кезінде t0 үшін (1.3.9) үзіліссіз.

1.4 Тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі үшін модельдік есеп.

Тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі қарапайым гиперболалық теңдеу болып табылады және сызықты тасымал теңдеуі деп аталады [6]. Осы теңдеуде гиперболалық теңдеулер жүйесінде қолданылатын айырымдылық сұлбалардың қасиеттерін зерттеуге болады.

dudt+adudx=0 a=const. (1.4.1)

(1.4.1) сызықты тасымал теңдеуі үшін Коши есебін қарастырамыз

dudt+adudx=0, -infinityxinfinity, ux,0=φx. (1.4.2)

(1.4.1) теңдеуінің x=x(t) сипаттамасы келесі теңдеумен анықталады

dxdt=a, (1.4.3)

яғни, Ot осіне a көлбеуімен түзу деп аталады.
Түзулердің сипаттамасы:

x-x*t=a, бұдан, x*=x-at.

Демек, Коши есебінің нақты шешімі келесі формуламен анықталады
ux,t=φx*=φx-at. (1.4.4)

7 - cурет. t уақыт мезетіндегі нақты шешім

t уақыт мезетіндегі нақты шешімнің графигі (7 сурет) бастапқы функция графигінің at шамасына ауысуынан пайда болады (егер a0 және керісінше болса Ox осінің оң бағытында). Сол себептен де (1.4.1) теңдеуі тасымал теңдеуі деп аталады.
a тұрақты коэффициентті тасымал теңдеуі үшін нақты шешімді бастапқы-шектік есеп үшін де жазу қиынға соқпайды.

8 - сурет. x=0 болғанда сол жақ шекара

Мысалы, a=const0, dxdt=a - сипаттамалар ылғи x=0 сол жақ шекара арқылы (8 сурет) шешімнің ішкі аймағына кірсін және сондықтан шеттік шарт тек сол шекарада ғана беріледі. Онда, келесі бастапқы-шеттік есеп орынды болады

ut+aux=0, 0x=l, ux,0=φx, 0=x=l, φ0=μ00, u0,t=μ0t, 0=t=T. (1.4.5)

Егер φx және μ0t - дифференциалданатын функциялар екендігі дұрыс болса, онда (1.4.5) теңдеуінің шешімі келесі формуламен анықталады

ux,t=φx-at при t=xa,μ0t-xa при t=xa. (1.4.6)

Енді, a0, dxdt=a жағдайын қарастырсақ, онда сипаттамалар сол жақ шекара арқылы кіреді (9 сурет) және шеттік шартты x=l болғанда қою қажет.

9 - сурет. x=l кезіндегі сол жақ шекара

Онда есептің қойылымы келесі түрде болады:

ut+aux=0, 0=xl, 0t=T, a=const0, ux,0=φx, 0=x=l, φl=μll, ul,t=μlt, 0=t=T. (1.4.4)

мұндағы, μlt - берілген функция. Тасымал теңдеуі үшін нақты шешім u1 және u2 арасындағы теңсіздіктерінен байланысты емес.

1.5 Поршень туралы есептің сипаттамасы

Жылжыма толқындар қарапайым есептер арасында, сонымен қатар күрделі ағыстың сапалы зерттеулерінде алуан түрлі қолданылулар табады.
Поршеннен (қатты қабырға) бір жағында (оң жағында) газ орналассын делік. Содан кейін ол t=0 уақыт мезетімен белгілі бір заңдылықпен қозғалады.
Бастапқы кезде газ тыныштық қалпында болсын және тұрақты тығыздықты, қысымды иеленсін деп есептейміз, яғни

ux,0=0, px,0=p0, ρx,0=ρ0 (1.5.1)

Поршень газдың шекарасында орналасқан, яғни труба поршенмен жабылған, x координатасын біз нөлге тең деп аламыз. t=0 уақыт мезетінде поршень тұрақты жылдамдықпен Ut ақырындап қозғала бастайды. Поршеннің қозғалу заңы келесі тәуелділікке тең

u0,t=Ut, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.