Жалпыланған үш өлшемді Мойсил-Теодереско теңдеулер жүйесі үшін нетерлік есеп

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5

1. Көп айнымалыдан тәуелді Гельмгольц теңдеуі үшін қойылған
көлбеу туындылы есепті Фредгольм интегралдық теңдеуіне келтіру ... ... ... 8
2. Көп айнымалыдан тәуелді еселеуіштері тұрақты жалпы
эллипстік теңдеу үшін қойылған көлбеу туындылы
есепті Фредгольм теңдеуіне келтіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
3. Көп айнымалыдан тәуелді еселеуіштері айнымалы жалпы
эллипстік теңдеу үшін қойылған көлбеу туындылы
есепті Фредгольм теңдеуіне келтіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...19
4. Жалпыланған үш өлшемді кеңістікте Мойсил.Теодереско
теңдеулер жүйесі үшін нетерлік есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
5. Коши.Риман жүйесінің төрт өлшемді
және әртүрлі жалпылаулары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27
6. Коши.Риман жүйесінің жалпылауы үшін
бір шекаралық есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..39

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..40
Дербес туындылы теңдеулер жүйесінің маңызды бір бөлімі эллипстік теңдеулер мен теңдеулер жүйесі үшін шекаралық есептер теориясы болып табылады. Осындай есептердің ішінен фредгольмдік емес шекаралық есептер деп аталатын есеп қызығушылық танытуда. Бұндай есептерді шешу әдетте сингулярлы интегралдық теңдеулерді зерттеуге келтіріледі. Сонымен қатар, бұндай есептер үшін Фредгольмнің альтернативасы бұзылады.
Қазіргі уақытқа дейін бір өлшемді сингулярлық интегралдық теңдеулердің зерттелуінің арқасында екі тәуелсіз айнымалылы эллипстік теңдеулер үшін шекаралық есептер толығымен зерттелген. Бірақ көпөлшемді тәуелсіз айнымалылы эллипстік теңдеулер үшін шекаралық есептер толық зерттелмеген. Бұл саладағы маңызды сұрақ әлі шешімін таппады, өйткені жеткілікті жалпы әдісі қарастырылмаған.
1. Тоқыбетов Ж.Ә. Эллипстік теңдеулер үшін шекаралық есептер. Алматы: «Қазақ университеті», 2007. 30с.
2. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск, 1985. 264c.
3. Ошаров Б.Б. Об одном четырехмерной аналоге системы уравнений Коши-Римана // Неклассические уравнения математической физики.
Новосибирск, 2007. 212-220c.
4. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка М.1966, 204-2010с.
5. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.:1964,830
Мерзімді басылымдар:
6. Саак Э.М. К теории многомерных эллиптических систем первого рорядка //Доклады АН СССР, 1975.T.222,№ 1.С.43-46.
7. Усс А.Т. О краевых задачах для четырехмерных аналогов системы Коши-Римана с комплексными коэффициентами, 1987. 10-16с.
8. Виноградов В.С. О эадаче Дирихле для многомерных эллиптических систем второго порядка //Доклады АН СССР, 1968.Т.179,
9. Балабаев В.Е Нормальные эллиптические системы первого порядка //Дифференциальные уравнения,1995.Т.31,
10. Султангазиева Ж.Б., Токибетов Ж.А. Приведение задачи Римана-Гильберта для одной эллиптической системы к системе уравнений Фредгольма // Вестник, КазНУ им. Ал-Фараби, серия "Физико-математические науки",баспада.
        
        ӘЛ-ФАРАБИ АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ
МАГИСТРАТУРА
Іргелі математика кафедрасы
МАГИСТРЛІК ... үш ... ... ... жүйесі үшін нетерлік есеп
Орындаушы _________________________Султангазиева Ж.Б"_____"____________2012
/қолы/ ... ... ... ф-м.ғ.к. профессор_____________Токибетов Ж.А."____"________2012
/қолы/ ... ... ... ... ... ... ... 2012 ж.
Андатпа
Магистрлік диссертация бірінші ретті эллипстік теңдеулер жүйесіне қойылған ... есеп ... ... ... Риман-Гильберт есебін қарастырылған теңдеулер жүйесінің шешімдерін гармониялық функциялар туындылары арқылы өрнектелген, белгілі көлбеу туындылы есепке әкеліп, оны Булиган-Жиро әдісімен ... ... ... ... ... ... для теории краевой задачи эллиптических систем уравнения первого порядка. В диссертации представлена задача Римана-Гильберта решения рассматриваемой ... ... с ... ... гармонических функций, приведен к известной наклонно производной задаче, и методом Булиган-Жиро представлены к системе уравнений Фредгольма.
Summary
Master's thesis is ... to the theory of elliptic boundary value problem for systems of ... of first order. The thesis is ... the ... ... of the system of equation with the ... of harmonic ... given the well-known oblique derivative problem and the Bouligan-Zhiro's method ... to the system of Fredgolm ... ... ... ... ... ... және Білім Министрлігінің, әл-Фараби атындағы Қазақ Ұлттық Университетінің келесідей нормативтік құжаттарына сүйене отырып жазылған:
1. Қазақстан Республикасының "Білім туралы" Заңы ... ... ... Республикасының "Ғылым туралы" заңы
3. "ҚР МЖМБС 5.04.033-2011. Жоғары оқу ... ... ... ... "Магистрлік диссертацияға қойылатын талаптар" (әл-Фараби атындағы ҚазҰУ-дың ... ... ... ... ... жылы ... ... №3))
Мазмұны
Кіріспе............................................................................................5
* Көп айнымалыдан тәуелді Гельмгольц теңдеуі үшін ... ... ... ... ... интегралдық теңдеуіне келтіру............8
* Көп айнымалыдан тәуелді еселеуіштері ... ... ... үшін ... ... ... Фредгольм теңдеуіне келтіру...................................................16
* Көп айнымалыдан тәуелді еселеуіштері айнымалы жалпы
эллипстік теңдеу үшін қойылған ... ... ... теңдеуіне келтіру...................................................................19
* Жалпыланған үш өлшемді кеңістікте Мойсил-Теодереско
теңдеулер жүйесі үшін нетерлік есеп ................................................................22
* Коши-Риман ... төрт ... ... ... ... ... жүйесінің жалпылауы үшін
бір шекаралық есеп.................................................................................................31
Қорытынды..............................................................................................................39
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі..........................................................................40
Кіріспе
Дербес туындылы теңдеулер жүйесінің маңызды бір бөлімі эллипстік ... мен ... ... үшін ... ... теориясы болып табылады. Осындай есептердің ішінен фредгольмдік емес шекаралық есептер деп ... есеп ... ... ... ... шешу әдетте сингулярлы интегралдық теңдеулерді зерттеуге келтіріледі. Сонымен қатар, бұндай есептер үшін ... ... ... ... ... бір ... ... интегралдық теңдеулердің зерттелуінің арқасында екі тәуелсіз айнымалылы ... ... үшін ... ... ... ... ... көпөлшемді тәуелсіз айнымалылы эллипстік теңдеулер үшін шекаралық есептер толық ... Бұл ... ... ... әлі шешімін таппады, өйткені жеткілікті жалпы әдісі қарастырылмаған.
Шекаралық есептердің арасынан гармониялық функция үшін ... ... есеп ... таңда қызығушылық танытып отыр. Бұндай есептер төмендегіше қойылады: Д аймағында Г жатық шекарада
шартты ... ... ... ... табу керек. Мұндағы да берілген жатық функциялар. Шекаралық шарттың сол жағындағы функциялар Р(Х) ... ... ... ... функциялар екені айқын. Егер Р(Х) векторлық өрісі Г кеңістігінің ешқандай нүктесіннен Г жазықтығының ... ... онда кез ... ... ... көлбеу туындылы есебі өріс жанамадан Г жазықтығына жіберілсе ғана есеп ... ... ... шешілген. Көлбеу туындылы есебін әрқашанда Г-ға сингулярлы интегралдық теңдеулеріне эквивалентті ... ... ... ... болғанда берілген теңдеуді тек Р(Х) векторлық өрісі ешқандай нүктеде Г жазықтығының жанамасынан шықпаған кезде зерттеуге болады. Р(Х) Г ... ... ... жағдайда интегралдық теңдеулер зерттелмеген.
Екі тәуелсіз айнымалылы гармоникалық функциясы үшін көлбеу туындылы есебін екі түрлі жолмен шешуге болады: бірі - ... ... ... ... ... ... - екі ... айнымалылы гармоникалық функция қасиеттерін тікелей қолдану арқылы. Екінші жолын тиісті сингулярлы интегралдық теңдеулерді үйрену әдісі ... де ... ... ... ... сингулярлы интергралдық теңдеулер теориясын құру қисынсыз, бірақ Льенардың ... ... екі ... ... ... үшін ... туындылы есебін тікелей зерттеу әдісі көп өлшемді жағдайда нәтиже бермейді. Сондықтан көп өлшемді эллиптикалық теңдеулер үшін ... емес ... ... ... ... екі мәселесі: а) гармоникалық функция үшін көлбеу туындылы есептерді зерттеу, б) ... ... ... ... ... ... құру. Бұл екі мәселе өзара эквивалентті.
Бұл жұмыста көпөлшемді гармоникалық функциясы үшін көлбеу ... ... ... шама ... анықталмаған шамаларды үйренуге көп көңіл бөлінген. Берілген есепті конструктивті зерттеу әдісі және ... ... ... ... ... ... ... теориясының негізгі фактлерді және де қосымша мәліметтер келтірген. Ең алдымен үш өлшемді жағдай қарастырылған, ал ... ... ... ... берілмеген. Екінші ретті теңдеулер үшін әр түрлі шекаралық ... және ... ... ... ... әдістері қарастырылған.
Сонымен қатар екінші бөлім көлбеу туындылы есепке арналған. Есеп Фредгольмдік болған жағдайда эквивалентті Фредгольм теңдеуіне көлбеу туындылы ... ... - ... ... ... ... облыс шекарасына жанаманы диференциялдау бағытына шығу туралы нәтижеге нақты мысал келтірілген. Және де фредгольмдігі бұзылған жағдайда есептердің ... ... ... әдісін қолдануға болатынын көрсетілген. Енді есеп Фредгольм теңдеуіне эквивалент емес, сондықтан Фредгольм теңдеуінен шықпайтын сұрақтың жауабын түбегейлі қарауды ... ... Көп ... ... Гельмгольц теңдеуі үшін
қойылған көлбеу туындылы есепті Фредгольм ... ... ... ... онда ... ... есеп ... альтернативасы орындалатын сингулярлық интегралдық теңдеулерге келтіріледі. Олай болса, ... да бұл ... ... ... ... бола ма ... ... туындайды. Бұл сұраққа жауап беру үшін қосымша есептер қарастыру керек. Мына есептен бастайық: жарты ... ... 0-ге тең, ... ... бойынша мына шартты қанағаттандыратын
(1)
және гипержазықтықтың барлық нүктесінде табыл
гипержазықтықтың барлық нүктесінде табылатын
(2)
теңдеуінің регуляр шешімін ... ... ... ... ... ... Себебі тұрақты шама, (1), (2) есептерінің ... ... ... ... ... теңдеуді аламыз
Бұданфункциясы
теңдеуінің шешімі.
(3)
Осы есеп үшін Грин функциясын құрайық. L- Х және А нүктелері арасындағы ... ... (2) ... ... ... ... мына ... беріледі:
Бұл іргелі шешім және L бойынша төмендегі қатынасты қанағаттандыратын р туынды реті.
Егер өлшемі-дан тәуелсіз ... оң ... ... ... онда ... ... аламыз:
нүктесі арқылы А нүктесіне симметриялы жазықтықтарына біршама ... ... (3) ... үшін Грин функциясы өрнегі арқылы берілетіні анық.Сондықтан төмендегі өрнекті табамыз:
(4)
Мұндағы жарты жазықтық осы жарты жазықтықтың ... ... ... ... ... ... жаңа айнымалы енгіземіз:
Бұдан алатынымыз:
Осы екі топ өрнектерден мынаны аламыз:
Жаңа айнымалы енгізгеннен кейін (4) формуласын бөліктеп интегралдасақ мынадай ... ... табу үшін осы ... ... шексіздікте нөлге ұмтылатындай бойынша интегралдау керек.
бұрышын және функциясын келесі түрге келтіреміз:
(6)
(7)
бейнесіндегі бірінші ... ... (5)- те ... ... ... ... және ескі айнымалыға көшеміз. (5) формуладағы екінші интеграл астындағы ... мына ... ... екі ... ... ... тан ке ... интегралдап мынаны аламыз:
Мұнда мынадай айнымалыны алмастыру жүргізілген:
Ал төменгі шек интегралдауы (6) ... ... ... ... (1) және (2) ... ... береді. Мұндағы жартыжазықтық . Алдымен, қарастырылып отырған есептердің Грин функциясы болатын функциясының қасиеттерін зерттейміз. Бұл функция Х функциясы ретінде ... ... ... тек А ... және немесе көпбейнесінде аналитикалық емес,себебі өрнегін ... ... ... келесі түрге ие болады:
Ал бұл соңғы интеграл жинақталмайды. көпбейнелік
түрінде беріледі. Егер
анықтауларын енгізсек, онда алдынғы теңдіктен көпбейнелік ... ... ал бұл ... ... ... ... ... шығатын түзу сәулені анықтайтын теңдеулер.
Сол себепті, жарты кеңістігінде функциясының тек бір ғана ... ... ... және осы ... ... ... ... айқын. Демек, нүктесінде іргелі шешім сияқты қасиетке ие ... -дің ... ... ... ... ... ... Ол үшін -ді қайта құрайық:
өрнегі жоғарыда көрсетілген.
өрнегінен екендігін байқаймыз, сондықтан:
дұрыс теңсіздіктер орындалады. Сол ... (6) ... ... (7) ... ... ... ... қызметін атқарады. болғанда теңдіктері бар болатынын байқаймыз және -тан ... ... ... ... кезде (7)-дегі соңғы қосылғыш өлшемі таңбасына қатысты қарама-қарсы таңбаларға ие. ... ... және оның , ... және ... ... ... ... аймақтағы туындысын зерттейміз. Бұл теңсіздік жеке жағдайда болғанда орындалады. Олай болса, және бұдан және ... ... де ... және ... ... алдыңғы туындылардың өзгерісін зерттейміз. ны -ге алмастырып, интегралын келесі түрде ... ... -дан ... ... аламыз, өйткені Демек, қажетті есептеулерден
аламыз, мұндағы , ал дәрежелі және ... ... ... полином. Олай болса, , онда әрбір қосылғыш қосындысы үшін келесі өрнекті аламыз
Егер болса, онда ... ... ... ... дәл ... үшін ... бағалауы орындалады, ал үшін аймағында табамыз. (9) өрнегіндегі оң жақ ... ... ... қисық бойынша алынған (9) өрнегіндегі көпмүшеліктердің қалған бөліктерін интегралдау үшін
бағалауы орынды. Көпмүшелікті осы бөлік бойынша интегралдасақ келесі өрнекті ... ... ... ... ... символына кіретін дан тәуелді, бірақ дан тәуелді емес тұрақтылар Енді функциясына ... Ол және -дан ... Оны ... ... ... рет, ... рет ... . Жоғарыда өзгертілген бағалаулардан тұжырымның дұрыстығын байқаймыз.
Лемма 1 Егер және , ... ... ... ... функцияся дан тәуелсіз болса, онда ретті туындысы және болғанда түрінде болады. Егер және ... ), ... мына ... ... ... ... ... өрнекті аламыз:
Бұл қатынастан функциясының нен тәуелсіздігі, да 0-ге ... және ... ... -да шектелгендігі шығады. Осыдан қиыстыруы тек ... ... ... және ... ... сәулесінде нөлден өзгеше болуы мүмкін.
Өйткені, сәуледен нүктесінен шығатын функциясы аналитикалық, бірінші қатынас дәлелденді.
Қажетті есептеулерден ... ... ... ... ... ... ... болғанда (11)-ден шығады:
Сонымен, (10) екінші қатынас дәлелденді.
функциясының басқа да қасиеттерін атап ... Егер және ... ... ... онда ... ны -ға ... бірге (10)-нан шығатын қатынасты қанағаттандырады. Бұл егер ... ... ... және (7) ... ... ... Ары қарай, егер және болса, онда оң. нүктесінің маңайында да оң екені айқын, себебі бұл ... ... ал ... ... (7) ... ... ... нүктесінде шектелген. шексіздікте 0-ге айналады. Гипер жазықтықтың ... ... ... осы ... ... ... жанаспайтын жанамалар бойынша функциясының туындысы нөлге тең. Заремба-Жиро принцпі бойынша функциясы осы гипержазықтықтың нүктесінде ... ... ... ... оң ... жете алмайды, ал кезінде ол максимум заңы ... ... ... жете ... ... кез келген жерде жағдайда екендігі ... ... және ... ... ... және ... ... Мұнда О координат басы. ді шексіздікке, ал ны нөлге ұмтылдырып,
(12)
Өрнегін аламыз. Мұндағы Г- ... ал - осы ... ... ... және 1 функцияларына Грин функциясын қолдану нәтижесінде келесі қатынасты аламыз:
(13)
Мұндағы жарты жрты ... және (2) ... ... ... беріледі.
(10) формуласындағы бірінші қатынасқа қарай (14) өрнегі, егер ... ... (8) ... оң жақ ... ... болса, екінші қосылғыштың оң жағы (2) теңдеуіне сәйкес біртекті теңдеудің шешімі болып ... ... (14) ... ... қосылғыш (1) шартына тиісті біртекті шекаралық шартын қанағаттандыратын (2) теңдеуінің шешімі. (10) ... ... ... ... (2) ... ... шешімі сияқты маңызды қасиетке ие. (14) өрнегінің екінші қосылғышын қарастырайық:
Қажетті есептеулерден кейін ... ... оң жақ ... ... мәні (2) ... ... біртекті теңдеудің шешімі болып табылады.Сол себепті, (14) өрнегі (1) шартты ... (2) ... ... береді.
(14) өрнегінен функциясы шексіздікте нөлге айналатынын көрсету ғана қалды. болғанда , болғанда болатындай ... ... (14) ... ... және ... ... және осы ... қосымша интегралдарға бөлеміз. (12) және (13) өрнектерінің көмегімен алынған қосымша шарлардың интегралдары абсолют шама бойынша ға ... ... ... ... ... ... ... шарлар бойынша алынған интегралдар болғанда нөлге ұмтылады. Сол себепті, шарлар ... ... ... ... ... ... шама бойынша нан кем болады. Демек, бұндай үшін болады, бұл ... ... ... ... деген сөз.
Егер (1), (2) есептерінің және деген екі ... ... онда осы ... айырмашылығы
қатынасымен қанағаттандырылатын еді және шексіздікте нөлге ұмтылар еді. Берілген қатынастан, максимум және Заремба-Жиро принциптерінен ... ... ... (1), (2) ... ... жалғыз
және (14) өрнегімен беріледі.
2. Көп айнымалыдан тәуелді еселеуіштері тұрақты жалпы
эллипстік теңдеу үшін қойылған көлбеу туындылы
есепті Фредгольм теңдеуіне келтіру
Жалпы ... ... ... - ... ... ... ... оң анықталған деп ұйғарайық. гипержазықтықпен шектелген жартыкеңістігінде
қатынасымен берілетін, төмендегі есепті зерттейік:
мұндағы және - ... ... ... векторы векторымен нөлден өзгеше, тұйық емес бұрыш құрайды. Бұл есепті алдынғы ... (1) және (2) ... ... ... тәуелсіз айнымалылы операторының сызықты алмастыруын операторына өзгертуге болады. Бұндай өзгертуден соң координат ... ... ... ... дәл ... ... жасауға болады. Ары қарай, осі бойынша векторының бағыты векторының бағытына ... ... ... ... ... параграфтағы (1), (2) есептерге келеміз.
Мұнда тек жағдайын ғана ... ... деп ... ... төмендегі теңдеулер жүйесінен анықталады:
жаңа айнымалға қатысты берілген тұрақты, оң тұрақты.
қатынасы орындалатындай жаңа тәуелсіз ... ... ... шамаларын анықтау үшін
тәуелсіз айнымалыларды және оң жағының геометрикалық мағынасын ... ... ... сол ... ... шығатын теңдеу аламыз. Бұл теңдеулерден
(1)
Енді қарастырылып отырған есеп үшін Грин функциясын құрамыз. және - айнымалыларды алмастырғанда сәйкес келетін және ... ... ... ... ... ұйғарайық, мұндағы - алдынғы параграфтағы (1), (2) есептеріне жоғарыда құрылған Грин функциясы. ні ... ... ... үшін ... ... жүргіземіз:
(2)
Енді Грин функциясын мына түрде жазуға болады:
(3)
Қарастырылып отырған есептің жауабы
(4)
формуласы бойынша берілетінін көрсетейік. ... ... ... ... бойынша берілетін жартыкеңістіктің шекарасы
ал, және сәйкесінше және көлем ... ... ... ... ... инварианттық шамасы, сондықтан
мұндағы нүктесінің бейнесі, және - ... және ... ... ... Әртүрлі координаталы әртүрлі цилиндірлік көлемді салыстыра отырып, (1) формуласы ... ті ... Бұл ... ... ... теңдіктен алдыңғы параграфтағы (1), (2) есептердің шешімдерінің қасиеттерінен (4) өрнегіндегі шекаралық шартты қанағаттандыратын және шексіздікте ... ... ... ... есептің жауабы.
үшін (1) мен (2)-дегі формула қатысты нөлдік ... ... ... , ... ... -да ... ... ні өрнектейтін (3) формуласы үшін ешқандай мәні жоқ, бірақ ... шарт (4) ... ... ... ... ол ... (4) ... дұрыс емес. (4) формуласының көмегімен ны -ға алмастыру (операторын өзгертеді, бірақ ді өзгертпейді) барысында Гриннің жаңа ... ... ... ... ... қиын ... Көп ... тәуелді еселеуіштері айнымалы жалпы
эллипстік теңдеу үшін қойылған көлбеу туындылы
есепті Фредгольм теңдеуіне келтіру
Евклидтік кеңістікте шекаралы, ... ... ... Бұл аймақты кейбір ші координат нүктелері көрсеткішпен Гельдер шартын қанағаттандыратын ... ... ... ішкі ... ... ... ... болады. кеңістігінен төртбұрышты координаттар алынады және анықтық үшін деп ұйғарамыз. шекарасына бағытталған косинус нормалін нүктесінде ... ... деп ... ... ... ... көрсеткішпен Гельдер шартын қанағаттандыратын берілген функция болсын. квадраттық формасы тұйық аймағында кез келген үшін оң ... - ... ... ... кейбір функциялар, ал және бетінің нүктесіндегі үзіліссіз функция. аймағында кез келген екі рет үзіліссіз ... және ... ... ... ... ... ұйғарайық, мұндағы бетінің нүктесі.Келесі есепті зерттейтін боламыз: ... екі рет ... ... ... ...
(3)
шартын қанағаттандыратын функциясын табу керек.
Бұл есепті зерттеу үшін екі және нүктелерінің үзіліссіз ... ... ... және ... ... ... және әртүрлі . нүктесі -ге ұмтылғанда нүктесі аймағында бекітілген деп есептейміз. ... ... ... онда ... ... ... болуы мүмкін)операторының Грин функциясы сияқты шексіздікке ұмтылады. Егер және сәйкес келмесе, онда екі рет үзіліссіз ... ... ... ... ... ... Қазір және болашақта және операторлары бірінші ... ... ... ... деп ... Біз төменде құратын Грин функциясы кейбір параметріне байланысты болады. Бұл байланыс функциясының қасиетіне пайдалы.
функциясын құрмас бұрын, ... ... ... ... ... ... ... аймағында теріс және бетінеде нөлге тең функция болсын. Осы ... ... ... бар және кейбір көрсеткішпен Гельдер шартын қанағаттандыратын ... деп ... ... ... ... ... ... туындысы бар және ол қатаң оң. -ға мысалы ретінде келесі есеп ... ... ... аймағында ал бетінде . тұйық аймағының ... ... ... қарастырайық.
Егер нүктесінде функциясының барлығы да нөлге ұмтылса, онда
(5)
көпбейнелігін ... ... ... деп ... ұйғарымымыз бойынша, бетіне айтарлықтай жақын нүктесі үшін нөлден өзге функциясының ең ... ... ... Егер ... онда (5) ... нүктесіде бетіне жанасады, ал егер нүктесі бетінде жатпаса, онда
нүктесінен бетінің ... ... ... ... қатынасын төменнен және жоғарыдан шектелгендігін көрсетеміз. Бұл тек кішкене үшін көрсетсек болғаны. ... ... ... ... ... ... қиындысы бетінің нүктесіне нормалінде жатады және осы кесіндінің -ге ең ... ... ... ... Орта мән ... ... ... кесіндісіндегі кейбір нүктелер. теңдігіне байланысты және осы функцияның бірінші туындысы Гельдер ... ... ... қатынастан
өрнегіне келеміз.
өрнегі компоненталы, ұзындығы векторы және векторына скаляр ... ... ... ол түріне келеді. Сонымен қатар шамасы төменнен де ... да ... ... ... ... ... бұрышын алайық және (5) көпбейнеліктің нүктесін және ... ... ... ді басып өтпейтіндей (5) көпбейнеленеді. нүктесін қарастырайық, егер айтарлықтай аз болса, онда пен ... ... ... ... ретінде жүреді. векторы да толық жатады деп ұйғарайық:
(5) ... ... ... ... ... ... айтарлықтай аз болса, онда
қатынасынан мен көпбейнелік арасындағы қашықтық (5) түріне келеді. өз кезегінде ... ... ...
кесіндісі мен бетінің ортақ нүктелері бар ... ... ... ... ортақ нүктені белгілейміз. Өйткені және бұдан
Бұл қатынас -тен (5) көпбейнелікке дейінгі қашықтық өрегіне тең екенін білдіреді. ... осы ... ... ... өтпейді. Демек, тұжырым дәлелденді.
нүктесі арқылы косинусқа бағытталған.
шамасына пропорционал сәуле жүргізейік. M операторының ... ... ... мен ... түзеді. Олай болса, нүктесі арқылы жүргізілген түзу тің кейбір нүктелерінде (5) көпбейнелігімен қиылысады. нүктесін ... ... тең болу үшін ... Бұл ... ... үшін ... деп атаймыз. Егер айтарлықтай аз болса, және те жатады деген жағдайды ескетсек, онда ... ... ... ... кесіндісінде айтарлықтай аз болғанда бетінде жататын нүктесі бар. Егер ондай нүкте болмаса, онда төмендегі теңдік орындалар еді:
Бұдан ... аз ... ... ... ... ...
теңсіздігін аламыз, мұндағы және - оң тұрақтылар. Осы берілген теңсіздіктен шығады, ал бұл ... ... алып ... ... ... нүктесі бар.
нүктесіндегі нормалі мен векторы арасындағы бұрыш тең.
4. Жалпыланған үш өлшемді ... ... ... жүйесі үшін нетерлік есеп.
Евклидтік жарты кеңістікте белгісіз функциялар үшін
(1)
бірінші ретті эллипстік жүйе қарастырамыз, мұндағы кез келген тұрақты ... ал ... ... ... ... шешімі кез келген екі регулярлық гармониялық және функция арқылы мына түрде
(2)
өрнектеледі.
Егер болған жағдайда, біз (1) жүйеден ... ... ... үш ... ... болып табылатын, белгілі Мойсил-Теодореску жүйесін аламыз [1].
Бұл жұмыста біз (1) жүйе үшін ... ... үш ... ... ... ... арқылы Фредгольмнің интегралдық теңдеулер жүйесіне келтірумен айналысамыз.[2].
(1) жүйе үшін Риман-Гильберт есебі ... ... ... ... Г ... аймағында (1) жүйенің
(3)
шартын қанағаттандыратын регуляр шешімін табу керек. Мұндағы Г ... ... ... ... ... ... ... (1) жүйе үшін (3) есепті барлық коэффиценттері ... ал ... Е ... болғанда және Г шекарасы жазықтық болғанда қарастырамыз. (1) жүйе ... (2) ... ... (3) есеп және екі ... ... үшін ... туындылы есебіне келтіріледі:
(4)
немесе, қысқаша,
(4')
мұндағы
Е жартыжазықтық нүктесін арқылы, ал шекара ... ... және пен ... ... ... белгілейміз.
(4') есебін зерттеу үшін Булиган-Жиро әдісін қолданып, Фредгольм ... ... ... (4') ... ... сол ... ... тұрақты болған жағдайда, есептін шешімін
(5)
(6)
мына түрде іздейтін боламыз.
Мұндағы, Е жарты кеңістігінің нүктесі, шекарасының кез келген нүктесі, және ... ... ... ... теңдеулер жүйесіне қатысты функциялар, ал жарты кеңістікте
(7)
жүйесінің регулярлық гармониялық шешімдері.
Болашақта бұл жүйені қолайлық үшін төмендегіше жазамыз:
(8)
мұнда арқылы Х ... ... ... ... ... ал ... скаляр көбейту белгісі, ал Кронекер символы, яғни Бұл ... Х ... Е ... ... өзгереді, ал оның Г шекарасында өзгереді және Г-ға нормаль туынды ... ... ... ... (8) ...
(9)
ал, болғанда (8)-ден табатынымыз:
(10)
Алдымен және өрнектерін ... ... (8) ... ... ... үшін ... екінші ретті дифференциялдық теңдеуді аламыз:
(11)
мұндағы
Егер Е аймағында (11) теңдеудің гармониялық шешімі бар болса, онда (5) және (6) өрнектеулері үшін өзек ... ... (5) және (6) ... (4') ... ... (8) теңдеуі арқылы Х нүктесін шекараға ұмтылдыра отырып, ... ... ... яғни және ... үшін ... екі теңдеулер жүйесін аламыз.
Сонымен, (4') есебін Фредгольм теңдеуіне келтіру үшін Е жарты кеңістігінде (11) теңдеуідің гармониялық ... құру ... Бұл ... ... ... біз шекаралық шарттары да, жүйесі де қарапайым жағдайды қарастырамыз.
Жалпы жағдайда (4) есеп өте аз ... бұл ... ... барысында гармониялық функция үшін көлбеу туындылы есебіндегі сияқты қиындықтар туындайды [2]. Сонымен бірге көп ... ... ... ... ... ... ... жоқ. Енді (4) есеп шексіздікте нөлге ұмтылатын функциялар класында шешімінің бар және жалғыз болатын жеке жағдайын келтіреміз. Ол үшін (1) ... деп, ... ... ... онда ... ... және бұл жүйенің жалпы шешімі және екі гармониялық функциялар арқылы мына түрде өрнектеледі:
(14)
(3)-те ал барлық басқа ... ... тең ... делік, онда (4) шекаралық шарты Г-да
, (15)
қарапайым түрге ... яғни (4) ... және ... ... үшін көлбеу туындылы екі есепке ажыратылды. Мұндай ұйғарымда
Ал мұндай жағдайда функциясын табу үшін (11) ... ... ... ретті теңдеуін мына түрге келтіреміз:
(16)
бұдан [1]:
Алу және қосу ... ... ... ... ... Е: жартыжазықтығының сыртында жататындай етіп таңдалып алынады. Туынды нүктелер координатасына қатысты нормаль бойынша алынады және ... осі ... ... ... ... аймақ Е жарты кеңістігі: болса, онда функциялардың шексіздікте нөлге ұмтылу класында және шешімі ... ... және ... да ... нөлге ұмтылу ұйғарылғанда олар
түрінде алынады [3].
Сондықтан, мұндай қарапайым жағдайда (15) ... ... ... ... ... ... ... табылады және ол шешім жалғыз. Сол себепті болғанда жарты кеңістігінде (1) жүйе үшін (3) есеп әрқашанда шешіледі және оның ... ... ... Коши-Риман жүйесінің төрт өлшемді және әртүрлі жалпылаулары
Үш өлшемді ... ... ... ... ... жүйенің бірінші теңдеуінің таңбасын кері өзгеріп және ... ... ... деп ... ... кері ... бірінші теңдеуге сол жағынан екінші теңдеуге -үшіншісін-ал төртіншісіне- ... ... ... ... ... кватернион теориясында кездесетін және оны Коши-Риман жүйесінің төрт өлшемді жалпылауы деп есептеуге болатын
(2)
жүйені аламыз. Оны
Екі кешен мәнді функциялардың екі ... ... ... ... мұндағы Е- бірлік матрица, ал Мойсил-Теодереско эллипстік операторы
Кейде (2) жүйені кватерионды мәнді функция үшін дифференциялдық
(4)
теңдеуі түрінде жазылады, мұнда ... ... ... ... ... Бұл теңдеу векторы үшін
(5)
эллипстік жүйесіне эквивалентті, мұндағы
Бұдан (2) жүйенің (3), (4), (5) түрлерінде де жазылатынын көреміз. Дәл (14) ... ... төрт ... ... ... ... ... Мұндағы сипаттауыш анықтауышы
демек, (6) жүйе эллипстік сонда және тек сонда ғана, егер
(7)
теңдеуі эллипстік болса.
Егер (7) теңдеуінің кез ... ... ... ... онда (6) ... шешімін табамыз, сондықтан (6) жүйені (2) жүйе жалпылауы деп санау табиғи.
Дәл осылай,
жүйеден жоғарыдағыдай түрлендіру ... ... ... ... ... ... (8) жүйені әрбір түріндегі вектор қанағаттандырмайды, ... (7) ... ... ... байланысты (6) жүйе (8) жүйеге қарағанда (2) жүйенің табиғи жалпылауы ... ... (6) және (8) ... ... ... эллипстік жүйелер класында (2) жүйеге үзіліссіз деформациялауға болады.
Қасиеттері бойынша (8) жүйеге өте жақын жүйелерді қарастырайық. Біз ... ... ... ... ... ... ... арқылы тек бойынша дифференциялдаулардың сызықтық біртектес функциялары берілген. теңдеулер жүйесін (8) жалпылауы деп ... ... ... ... ... және ... ... Онда бұл символдар айнымалыларының сызықтық біртекті функциялары болады, ал операторының символы ге тең. Сонда ... ... ... сәйкес келеді. Мұндағы Ал матрицалары бірі ... ... ... ... ... ... ... бірдей және
Бұл сипаттауыш анықтауыштан және теңдеулерінің ... ... ... және жеткілікті шарты айнымалыларының квадраттық тұлғасының оң немесе теріс анықталғандығы болып табылады, ал ол
теңдеуінің эллипстігіне эквивалентті, бұл ... ... ... ... ... ... теңдеуі. жүйені (2) жүйенің кең жалпылауы деп есептеуге болады және ... ... (2) ... ... ... ол үшін де орындалады. Бұл екі жүйе, әсіресе теңдеуінің еселеуіштері тұрақты болғанда бірі ... ... ... ... ... ... ... әсер етсін. Онда сәйкес
операторлары туады, ... ... ... сонда және тек сонда, егер
теңдеуі эллипстік ... ... ... ... онда оны Мойсил-Теодереско жүйесінің жалпылауы деп есептеуге болады және ... ... ... ... ... ... ... айнымалысынан тәуелсіз векторларын алумен бірге бұл ... ... ... ... ... болса, онда жүйесі
Түрінде болады. Мұны үш айнымалының гармониялық функциясының градиенті қанағаттандыратын жүйе жалпылауы деп есептеуге болады.
Егер ... ... ... ... онда Мойсил-Теодереско жүйесінен әрбір компонент үшін Лаплас теңдеуін алған сияқты, теңдеуінен әрбір компонент үшін
Теңдеуін ... Ал, егер ... ... ... онда ... ... векторының басқа компоненттерінен тәуелді кіші мүшелері де болады. Мұндай қасиеттердің салдарынан Мойсил-Теодереско жүйесінің шешімдерін гармониякалық функциялар арқылы ... ... ... ... ... жүйесінің өрнектеуін екінші ретті теңдеу шешімі арқылы беруге мүмкіндік береді. Мысалы, егер
болса, онда (5) жүйе ... ... ... ... ... жалпылауы үшін бір шекаралық есеп.
Көп өлшемді жағдайда комплекстік айнымалының голоморфтық функциясының аналогын құрудың бір жолы Коши-Риман ... ... ... табылады. Қазіргі таңда мұндай жалпылаулардың көбісі белгілі және дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін шекаралық есептер теориясында нәтижелі қолданылып ... ... екі ... ... ... қарастырайық.
Мұнда Aj=j=1,2,3,4- 2x2 тұрақты комплекстік матрица, U=u,vT-белгісіз вектор-баған комплексмәнді функциялардан u=u(x) және v=v(x);
X=x1,x2,x3,x4∈Δ4 . (1) ... ... ... төрт ... ... деп ... егер u және v-ның ... әрбір U шешімі гармоникалық функция болса.
Коши-Риман жүйесінің төрт өлшемді аналогы-эллипстік және (1) түрдегі кез ... жүйе ... ... төрт өлшемді аналогы болады, сонда тек сонда егер Aj ... ... кері ... бар және ... (j,k=1,2,3,4) (2)
теңдігін қанағаттандырса. δjk-Кронекер символы, ал Е-екінші ретті бірлік матрица[6].
(1) эллипстік жүйені A1-1 ... ... ... жүйеден матрицалық коэффициенттерді өзгертіп, А1 матрицасын бірлік матрицаға келтіреміз. Енді Коши-Риман ... төрт ... ... үшін А1=E деп ... жүйе ... ... төрт өлшемді аналогы болсын. Онда А1=E және (2) ... А2,А3 және А4 ... ... ие ... бұл ... det Аj=+-1 j=2,3,4 ... ... Шынында да, det Aj=-1 j=2,3,4 теңдігінің орынды емес екенін көрсетейік. А2 матрицасын мысал ... ... ... матрицалар үшін ұқсас. det A2=-1 деп ойлайық, А2+A2-1=0 ... А2 ... ... екі матрицасының біреуімен сәйкес келу керек. А3 матрицасының анықтауышы 1-ге немесе -1-ге тең. Бірақ -1-ге тең бола ... ... -1-ге тең ... А3 3- тегі ... арасында, ал матрицаның бұл түрінде A2-1A3+A3-1A2=0 теңдігі орындалмайды. Яғни, detA3=-1, ... ... ... а,b және c комплекстік сандарынан a2+bc=-1 болуы керек. Бұл A2-1A3+A3-1A2=0 ... ... ... ... ... кері ... бар болатынына қайшы. det Aj=-1 теңдігі орынды емес, яғни det Aj=1 j=2,3,4 ... (1) ... ... төрт ... ... үшін А1 ... матрица. Онда А2 матрицасы
B2=i00-i
матрицасына ұқсас B2=TA2T-1 болатын тозғындалмаған екінші ретті Т матрицасы табылады.
Дәлелдеуі. ... да бір ... ... ... ... кез ... ... матрицасының С полисіндегі қарапайым Жорданов түрі. Басқа ... ... В ... А2 ... ... В+В-1=0 теңдігін қанағаттандыру керек. Жазылған үш матрицалардың диагоналдық матрица және
λ12=λ22=1
жағдайда ғана ... ... ... Ал B2 және - B2 ... ... ... А2 ... В2 матрицасына ұқсас. Лемма дәлелденді.
Tлеммада көрсетілген матрица болсын, онда (1) ... Т ... ... және ... жатқан U функциясын V=TU-ға ауыстырып,
j=14BjdVdxj=0 (4)
жүйесіне келеміз В1-бірлік ... ... ... ... (4) жүйе ... ... төрт өлшемді аналогы болғандықтан, B3 және B4 матрицалары кез келген бола алмайды. (2) қатынастың қарапайым ... ... ... ... болу ... ... b және c-b2+c2=0 теңдігімен байланысты комплекс сандар.
облысында қаралған, (1) жүйенің U=(u,v)T шешімінің комплекстік шекаралық шарты, dΩ-да ... ... ... ... ... себебі комплекс оператордың нақты бөлігі мен жорамал бөлігі жалпы жағдайда оператордың өзінің ... ... ... ... ... (1) жүйені шешу үшін нақты шекаралық шарттар қойып (1) жүйені өзіне ... ... ... сан ... төрт ... ретті дифференциалдық теңдеулермен ауыстырамыз.
A1=1001000000001001, A2=0-1 10 00 0000 00 01-1 ... 00 b1 b2 ... 00 00, A4=00 ... ... 00 (5)
Мұнда b1=Re b=1, b2=Im b=0 және ... x1, x2,x3,x4 ... ... Евклид кеңістігінде R4 Петровский бойынша бірінші ретті эллипстік теңдеулер жүйесін қарастырайық
PU=LU+A(x)U=F(x) (6)
бұл жерде ... ui, i=1,4 ... ... ... ... берілген шаршы матрица, F(x)- берілген төртөлшемді векторлық функция
F=f1,f2,f3,f4
LU=i=14AiUxi, Ai, i=1,3 , ... ... 00 01 00 ... 00,
A4=0 00 00-1-1001 -1 000 00.
және
AlAm=-AmAl, Al2=-A, l,m=2,4 (7)
(6)- ... ... ... ... ... ξ3 -ξ2 ... жүйе үшін кватерниондық жазуды қолданамыз. i2=-1 бірлігі үшін ... ... ... кватернион болсын. Онда (8) жүйені
ddx1ddξddξ-ddx1uv+Auv=F
түрде жазуға болады.
Бұл жерде ξ=x2+ix3, ddξ=ddx2+iddx3, ddξ=ddx2-iddx3
Кватерниондар үшін көбейту амал ... емес ... u-ді dξ-ге ... оң ... да, сол ... да екі түрлі оператор аламыз. Сол жақтағы dξ көбейтінді түсінікті.
dξu=ddx2+iddx3u1+iu2, ал u мен dξ- ді оң ... ... үшін ... ... ретінде қарастырамыз, содан кейін u1ddx1=duidxi деп есептейміз. Бұдан ... ... үшін ... ... мен ... функциялардың белгіленуі арасында ерекшелік жасамаймыз.
D=x=x1,x2,x3,x4∈R4 :0=CU0 (10)
теңсіздігі әділ, бұл жерде C=C(h)-const.
Дәлелдеуі: Еркін Ux∈Cp вектор функцияны алып,
LU,Ux10=i=14AiUxi,Ux10 (11)
интегралын қарастырамыз.
Әр қосылғышты ... ... ... ... ... ... ...
A2Ux2,Ux10=D((u2x2,-u1x2,-u4x2,u3x2),(u1x1,u2x1,u3x1,u4x1))dD=Du2x2u1x1-u1x2u2x1-u4x2u3x1+u3x2u4x1dD=D(u1du2dx2)x1-u1d2u2dx1dx2-(u1du2dx1)x2+u1d2u2dx1dx2-(u3du4dx2)x1+u3d2u4dx1dx2+(u3du4dx1)x2-u3d2u4dx1dx2dD=Гu1du2dx2-u3du4dx2n1dГ-Гu1du2dx2-u3du4dx2n2d (13)
n=n1,0,0,0,0-Г шекарасына сыртқы нормальдың бірлік векторы. Осындай
жолмен
A3Ux3,Ux10=D((u2x3,u4x3,-u1x3,-u2x3),(u1x1,u2x1,u3x1,u4x1))dD=Du2x3u1x1+u4x3u2x1-u1x3u3x1-u2x3u4x1dD=D(u1du2dx3)x1+u1d2u2dx1dx3+(u2du4dx3)x1-u2d2u4dx1dx3-(u1du3dx1)x3-u1d2u3dx1dx3-(u2du4dx1)x3-u2d2u4dx1dx3dD=Гu1du2dx3+u2du4dx3n1dГ-Гu1du3dx3+u2du4dx3n3dГ (14)
A4Ux4,Ux10=D((-u4x4,u3x4,-u2x4,u1x4),(u1x1,u2x1,u3x1,u4x1))dD=D-u4x4u1x1+u3x4u2x1-u2x4u3x1+u1x4u4x1dD=D-(u1du4dx4)x1+u1d2u4dx1dx4+(u2du3dx4)x1-u2du3dx1dx4-(u2du3dx1)x4++u2d2u3dx1dx4+(u1du4dx1)x4-u1d2u4dx1dx4dD=Г-u1du4dx4++u2du3dx4n1dГ-Гu2du3dx1+u1du4dx1n4dГ ... ... ... теңдеулердің екінші интегралдарындағы n2=cosx2,x1=0, n3=cosx3,x1=0, n4=cosx4,x1=0, ал (16) теңдіктегі интеграл астындағы өрнек Г шекарасында нөлге тең. Сонымен,
LU,Ux10=Ux120 (17)
(17)-ден Гельдер теңсіздігінің ... ... ... теңсіздікті аламыз
LU0>=Ux10 (18)
Вектор функция Ux∈SpD болғандықтан,
unx1,x'=0x1unξξ, x'dξ, ...

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 22 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Графтардағы Гамильтон циклы мен жолы17 бет
Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы60 бет
C++ екі өлшемді массивтер20 бет
Matlab жүйесі. Үш өлшемді графика10 бет
N сызықты теңдеулерден тұратын жүйенің жауабын табатын программа құру15 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
Turbo Pascal тілінде екі өлшемді массивті орындау15 бет
«Турбо паскаль жүйесінде бір өлшемді массивтерді ұйымдастыру технологиясы»25 бет
Ірі өлшемді керамикалық және декаративті бұйымдар7 бет
Алгебралық теңдеулер жүйесін шешу56 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь