Жалпыланған үш өлшемді Мойсил-Теодереско теңдеулер жүйесі үшін нетерлік есеп

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5

1. Көп айнымалыдан тәуелді Гельмгольц теңдеуі үшін қойылған
көлбеу туындылы есепті Фредгольм интегралдық теңдеуіне келтіру ... ... ... 8
2. Көп айнымалыдан тәуелді еселеуіштері тұрақты жалпы
эллипстік теңдеу үшін қойылған көлбеу туындылы
есепті Фредгольм теңдеуіне келтіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
3. Көп айнымалыдан тәуелді еселеуіштері айнымалы жалпы
эллипстік теңдеу үшін қойылған көлбеу туындылы
есепті Фредгольм теңдеуіне келтіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...19
4. Жалпыланған үш өлшемді кеңістікте Мойсил.Теодереско
теңдеулер жүйесі үшін нетерлік есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
5. Коши.Риман жүйесінің төрт өлшемді
және әртүрлі жалпылаулары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27
6. Коши.Риман жүйесінің жалпылауы үшін
бір шекаралық есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..39

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..40

Дербес туындылы теңдеулер жүйесінің маңызды бір бөлімі эллипстік теңдеулер мен теңдеулер жүйесі үшін шекаралық есептер теориясы болып табылады. Осындай есептердің ішінен фредгольмдік емес шекаралық есептер деп аталатын есеп қызығушылық танытуда. Бұндай есептерді шешу әдетте сингулярлы интегралдық теңдеулерді зерттеуге келтіріледі. Сонымен қатар, бұндай есептер үшін Фредгольмнің альтернативасы бұзылады.
Қазіргі уақытқа дейін бір өлшемді сингулярлық интегралдық теңдеулердің зерттелуінің арқасында екі тәуелсіз айнымалылы эллипстік теңдеулер үшін шекаралық есептер толығымен зерттелген. Бірақ көпөлшемді тәуелсіз айнымалылы эллипстік теңдеулер үшін шекаралық есептер толық зерттелмеген. Бұл саладағы маңызды сұрақ әлі шешімін таппады, өйткені жеткілікті жалпы әдісі қарастырылмаған.

1. Тоқыбетов Ж.Ә. Эллипстік теңдеулер үшін шекаралық есептер. Алматы: «Қазақ университеті», 2007. 30с.
2. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск, 1985. 264c.
3. Ошаров Б.Б. Об одном четырехмерной аналоге системы уравнений Коши-Римана // Неклассические уравнения математической физики.
Новосибирск, 2007. 212-220c.
4. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка М.1966, 204-2010с.
5. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.:1964,830
Мерзімді басылымдар:
6. Саак Э.М. К теории многомерных эллиптических систем первого рорядка //Доклады АН СССР, 1975.T.222,№ 1.С.43-46.
7. Усс А.Т. О краевых задачах для четырехмерных аналогов системы Коши-Римана с комплексными коэффициентами, 1987. 10-16с.
8. Виноградов В.С. О эадаче Дирихле для многомерных эллиптических систем второго порядка //Доклады АН СССР, 1968.Т.179,
9. Балабаев В.Е Нормальные эллиптические системы первого порядка //Дифференциальные уравнения,1995.Т.31,
10. Султангазиева Ж.Б., Токибетов Ж.А. Приведение задачи Римана-Гильберта для одной эллиптической системы к системе уравнений Фредгольма // Вестник, КазНУ им. Ал-Фараби, серия "Физико-математические науки",баспада.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 33 бет
Таңдаулыға:

ӘЛ-ФАРАБИ АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ
МАГИСТРАТУРА

Іргелі математика кафедрасы

МАГИСТРЛІК ДИССЕРТАЦИЯ

Жалпыланған үш өлшемді Мойсил-Теодереско
теңдеулер жүйесі үшін нетерлік есеп

Орындаушы _________________________Султангази ева Ж.Б"_____"____________2012
қолы аты-жөні

Ғылыми жетекшісі ф-м.ғ.к. профессор_____________Токибетов Ж.А."____"________2012
қолы аты-жөні

Қорғауға жіберілді:
Кафедра меңгерушісі
ф-м.ғ.д.профессор__________________ __________Кангужин Б.Е."____"___________2012
қолы аты-жөні

Алматы 2012 ж.

Андатпа
Магистрлік диссертация бірінші ретті эллипстік теңдеулер жүйесіне қойылған шекаралық есеп теориясына арналған. Диссертацияда Риман-Гильберт есебін қарастырылған теңдеулер жүйесінің шешімдерін гармониялық функциялар туындылары арқылы өрнектелген, белгілі көлбеу туындылы есепке әкеліп, оны Булиган-Жиро әдісімен Фредгольм теңдеулер жүйесіне келтірген.

Аннотация

Магистрская диссертация посвяещена для теории краевой задачи эллиптических систем уравнения первого порядка. В диссертации представлена задача Римана-Гильберта решения рассматриваемой системы уравнений с помощью производных гармонических функций, приведен к известной наклонно производной задаче, и методом Булиган-Жиро представлены к системе уравнений Фредгольма.

Summary

Master's thesis is dedicated to the theory of elliptic boundary value problem for systems of equations of first order. The thesis is presented the Rieman-Hilbert solutions of the system of equation with the derivatives of harmonic functions, given the well-known oblique derivative problem and the Bouligan-Zhiro's method presented to the system of Fredgolm equation.

Нормативтік сілтемелер

Магистрлік диссертация Қазақстан Республикасы Ғылым және Білім Министрлігінің, әл-Фараби атындағы Қазақ Ұлттық Университетінің келесідей нормативтік құжаттарына сүйене отырып жазылған:
1. Қазақстан Республикасының "Білім туралы" Заңы (№319-III, 27.07.2007)
2. Қазақстан Республикасының "Ғылым туралы" заңы
3. "ҚР МЖМБС 5.04.033-2011. Жоғары оқу орнынан кейінгі білім. Магистратура"
4. "Магистрлік диссертацияға қойылатын талаптар" (әл-Фараби атындағы ҚазҰУ-дың Ғылыми Әдістемелік Кеңесінің Мәжілісінде 17.02.2012 жылы бекітілген (хаттама №3))

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5

1. Көп айнымалыдан тәуелді Гельмгольц теңдеуі үшін қойылған
көлбеу туындылы есепті Фредгольм интегралдық теңдеуіне келтіру ... ... ... 8
2. Көп айнымалыдан тәуелді еселеуіштері тұрақты жалпы
эллипстік теңдеу үшін қойылған көлбеу туындылы
есепті Фредгольм теңдеуіне келтіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
3. Көп айнымалыдан тәуелді еселеуіштері айнымалы жалпы
эллипстік теңдеу үшін қойылған көлбеу туындылы
есепті Фредгольм теңдеуіне келтіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
4. Жалпыланған үш өлшемді кеңістікте Мойсил-Теодереско
теңдеулер жүйесі үшін нетерлік есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
5. Коши-Риман жүйесінің төрт өлшемді
және әртүрлі жалпылаулары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...27
6. Коши-Риман жүйесінің жалпылауы үшін
бір шекаралық есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...31

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..39

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..40

Кіріспе

Дербес туындылы теңдеулер жүйесінің маңызды бір бөлімі эллипстік теңдеулер мен теңдеулер жүйесі үшін шекаралық есептер теориясы болып табылады. Осындай есептердің ішінен фредгольмдік емес шекаралық есептер деп аталатын есеп қызығушылық танытуда. Бұндай есептерді шешу әдетте сингулярлы интегралдық теңдеулерді зерттеуге келтіріледі. Сонымен қатар, бұндай есептер үшін Фредгольмнің альтернативасы бұзылады.
Қазіргі уақытқа дейін бір өлшемді сингулярлық интегралдық теңдеулердің зерттелуінің арқасында екі тәуелсіз айнымалылы эллипстік теңдеулер үшін шекаралық есептер толығымен зерттелген. Бірақ көпөлшемді тәуелсіз айнымалылы эллипстік теңдеулер үшін шекаралық есептер толық зерттелмеген. Бұл саладағы маңызды сұрақ әлі шешімін таппады, өйткені жеткілікті жалпы әдісі қарастырылмаған.
Шекаралық есептердің арасынан гармониялық функция үшін көлбеу туындылы есеп қазіргі таңда қызығушылық танытып отыр. Бұндай есептер төмендегіше қойылады: Д аймағында Г жатық шекарада

шартты қанағаттандыратын гармоникалық функциясының регулярлығын табу керек. Мұндағы да берілген жатық функциялар. Шекаралық шарттың сол жағындағы функциялар Р(Х) векторына бағытталған туындысы болатын функциялар екені айқын. Егер Р(Х) векторлық өрісі Г кеңістігінің ешқандай нүктесіннен Г жазықтығының жанамасына шықпаса, онда кез келген болғанда Фредгольмнің көлбеу туындылы есебі өріс жанамадан Г жазықтығына жіберілсе ғана есеп болғанда, аяғына дейін шешілген. Көлбеу туындылы есебін әрқашанда Г-ға сингулярлы интегралдық теңдеулеріне эквивалентті түрде келтіруге болады. Бірақ болғанда берілген теңдеуді тек Р(Х) векторлық өрісі ешқандай нүктеде Г жазықтығының жанамасынан шықпаған кезде зерттеуге болады. Р(Х) Г жазықтығының жанамасына шыққан жағдайда интегралдық теңдеулер зерттелмеген.
Екі тәуелсіз айнымалылы гармоникалық функциясы үшін көлбеу туындылы есебін екі түрлі жолмен шешуге болады: бірі - сингулярлы интегралдық теңдеулерге ықшамдау арқылы, екіншісі - екі тәуелсіз айнымалылы гармоникалық функция қасиеттерін тікелей қолдану арқылы. Екінші жолын тиісті сингулярлы интегралдық теңдеулерді үйрену әдісі ретінде де қолдануға болады.Бұндай қолдану көпөлшемді сингулярлы интергралдық теңдеулер теориясын құру қисынсыз, бірақ Льенардың жұмысында қолданылған екі айнымалылы гармоникалық функция үшін көлбеу туындылы есебін тікелей зерттеу әдісі көп өлшемді жағдайда нәтиже бермейді. Сондықтан көп өлшемді эллиптикалық теңдеулер үшін Фредгольмдік емес шекаралық есептер теориясының негізгі екі мәселесі: а) гармоникалық функция үшін көлбеу туындылы есептерді зерттеу, б) көпөлшемді сингулярлы интегралдық теңдеулердің жалпы теориясын құру. Бұл екі мәселе өзара эквивалентті.
Бұл жұмыста көпөлшемді гармоникалық функциясы үшін көлбеу туындылы есебінің анықталған шама немесе анықталмаған шамаларды үйренуге көп көңіл бөлінген. Берілген есепті конструктивті зерттеу әдісі және осыған қатысты сұрақтар қарастырылған. Сызықты эллиптикалық теңдеулер теориясының негізгі фактлерді және де қосымша мәліметтер келтірген. Ең алдымен үш өлшемді жағдай қарастырылған, ал көпөлшемді жалпылауының толық дәлелі берілмеген. Екінші ретті теңдеулер үшін әр түрлі шекаралық есептер және сингулярлы интегралдық теңдеулерге келтіру әдістері қарастырылған.
Сонымен қатар екінші бөлім көлбеу туындылы есепке арналған. Есеп Фредгольмдік болған жағдайда эквивалентті Фредгольм теңдеуіне көлбеу туындылы есебін ықшамдау - Булигано-Жиро әдісі берілген. Жазық облыс шекарасына жанаманы диференциялдау бағытына шығу туралы нәтижеге нақты мысал келтірілген. Және де фредгольмдігі бұзылған жағдайда есептердің жауабын іздеуге Булигано-Жиро әдісін қолдануға болатынын көрсетілген. Енді есеп Фредгольм теңдеуіне эквивалент емес, сондықтан Фредгольм теңдеуінен шықпайтын сұрақтың жауабын түбегейлі қарауды талап етеді.

1. Көп айнымалыдан тәуелді Гельмгольц теңдеуі үшін
қойылған көлбеу туындылы есепті Фредгольм
интегралдық теңдеуіне келтіру
Егер

шарты орындалса, онда көлбеу туындылы есеп Фредгольмнің альтернативасы орындалатын сингулярлық интегралдық теңдеулерге келтіріледі. Олай болса, расында да бұл есепті Фредгольм теңдеуіне келтіруге бола ма деген сұрақ туындайды. Бұл сұраққа жауап беру үшін қосымша есептер қарастыру керек. Мына есептен бастайық: жарты кеңістігінде шексіздікте 0-ге тең, туындысы
бағыты бойынша мына шартты қанағаттандыратын
(1)
және гипержазықтықтың барлық нүктесінде табыл
гипержазықтықтың барлық нүктесінде табылатын
(2)
теңдеуінің регуляр шешімін табу.
Басында жағдайын қарастырамыз, үзіліссіз
дифференциялданатын функция. Себебі тұрақты шама, (1), (2) есептерінің жауаптары

теңдеуін қанағаттандырса, болғанда, келесі теңдеуді аламыз

Бұданфункциясы
теңдеуінің шешімі.
(3)
Осы есеп үшін Грин функциясын құрайық. L- Х және А нүктелері арасындағы арақашықтық болсын. (2) теңдеуінің негізгі іргелі шешімі мына формуламен беріледі:

Бұл іргелі шешім және L бойынша төмендегі қатынасты қанағаттандыратын р туынды реті.

Егер өлшемі-дан тәуелсіз кейбір оң өлшеммен төменнен шенелсе, онда келесі теңдікті аламыз:

нүктесі арқылы А нүктесіне симметриялы жазықтықтарына біршама нүктені белгілейміз. (3) есебі үшін Грин функциясы өрнегі арқылы берілетіні анық.Сондықтан төмендегі өрнекті табамыз:

(4)
Мұндағы жарты жазықтық осы жарты жазықтықтың көлем элементі.
(4) өрнегіне төмендегі қатынас арқылы жаңа айнымалы енгіземіз:

Бұдан алатынымыз:

Осы екі топ өрнектерден мынаны аламыз:

Жаңа айнымалы енгізгеннен кейін (4) формуласын бөліктеп интегралдасақ мынадай түрге келеміз:

(5)
ді табу үшін осы формуланы нәтижесі шексіздікте нөлге ұмтылатындай бойынша интегралдау керек.

бұрышын және функциясын келесі түрге келтіреміз:

(6)

(7)
бейнесіндегі бірінші көбейтінді бойынша (5)- те интегралданған бірінші көбейтіндіден алынады және ескі айнымалыға көшеміз. (5) формуладағы екінші интеграл астындағы көбейтінді мына түрге айналады:

Теңдіктің екі бөлігіндегі белгілеулерді ауыстырып, тан ке дейін интегралдап мынаны аламыз:

Мұнда мынадай айнымалыны алмастыру жүргізілген:

Ал төменгі шек интегралдауы (6) бойынша жүзеге асқан.

Өрнегі жағдайында (1) және (2) есептердің жауабын береді. Мұндағы жартыжазықтық . Алдымен, қарастырылып отырған есептердің Грин функциясы болатын функциясының қасиеттерін зерттейміз. Бұл функция Х функциясы ретінде барлық жерде аналитикалық, тек А нүктесінде және немесе көпбейнесінде аналитикалық емес,себебі өрнегін өрнектейтін болғанда интеграл келесі түрге ие болады:

Ал бұл соңғы интеграл жинақталмайды. көпбейнелік

түрінде беріледі. Егер

анықтауларын енгізсек, онда алдынғы теңдіктен көпбейнелік теңдеулерімен беріледі, ал бұл теңдеулер нүктесінен векторының бағыты бойынша шығатын түзу сәулені анықтайтын теңдеулер.
Сол себепті, жарты кеңістігінде функциясының тек бір ғана ерекше нүктесі болады және осы нүктеде функциясы аналитикалық екені айқын. Демек, нүктесінде іргелі шешім сияқты қасиетке ие болады. -дің түзуінің сәулесімен қиылысқан кездегі өзгерісін зерттейміз. Ол үшін -ді қайта құрайық:

өрнегі жоғарыда көрсетілген.
өрнегінен екендігін байқаймыз, сондықтан:

дұрыс теңсіздіктер орындалады. Сол себепті (6) теңдеудің арқасында (7) өрнектегі соңғы қосылғыш өлшемінің қызметін атқарады. болғанда теңдіктері бар болатынын байқаймыз және -тан ерекше сәуле нүктесіне ұмтылған кезде (7)-дегі соңғы қосылғыш өлшемі таңбасына қатысты қарама-қарсы таңбаларға ие. функциясының өзгерісін және оның , мұндағы және шектелген шама, теңсіздіктерін қанағаттандыратын аймақтағы туындысын зерттейміз. Бұл теңсіздік жеке жағдайда болғанда орындалады. Олай болса, және бұдан және шығыды. екенін де ескереміз. және айнымалылары бойынша алдыңғы туындылардың өзгерісін зерттейміз. ны -ге алмастырып, интегралын келесі түрде жазамыз:

.
екендігіне қарай -дан шығатын, теңсіздігін аламыз, өйткені Демек, қажетті есептеулерден

аламыз, мұндағы , ал дәрежелі және айнымалыларынан алынған біртекті полином. Олай болса, , онда әрбір қосылғыш қосындысы үшін келесі өрнекті аламыз

Егер болса, онда басқаш бағалау беруге болады, дәл мынадай:

(9)
теріс үшін

жағдайда бағалауы орындалады, ал үшін аймағында табамыз. (9) өрнегіндегі оң жақ интеграл

теңсіздік түрінде орындалатын қисық бойынша алынған (9) өрнегіндегі көпмүшеліктердің қалған бөліктерін интегралдау үшін

бағалауы орынды. Көпмүшелікті осы бөлік бойынша интегралдасақ келесі өрнекті аламыз:

үшін нақты келесі бағалауды аламыз.

О символына кіретін дан тәуелді, бірақ дан тәуелді емес тұрақтылар Енді функциясына оралайық. Ол және -дан тәуелді. Оны нүктелерінің координаттары бойынша рет, бойынша рет дифференциялдаймыз, . Жоғарыда өзгертілген бағалаулардан тұжырымның дұрыстығын байқаймыз.
Лемма 1 Егер және , тұрақты өлшеммен жоғарыдан шенелген функцияся дан тәуелсіз болса, онда ретті туындысы және болғанда түрінде болады. Егер және (яғни ), болғанда,
Енді мына өрнекті дәлелдейік:
(10)
функциясының анықтамасы бойынша келесі өрнекті аламыз:

Бұл қатынастан функциясының нен тәуелсіздігі, да 0-ге ұмтылатыны және барлық қалған -да шектелгендігі шығады. Осыдан қиыстыруы тек түзудің осіне параллел және нүктелерінен шығатын сәулесінде нөлден өзгеше болуы мүмкін.
Өйткені, сәуледен нүктесінен шығатын функциясы аналитикалық, бірінші қатынас дәлелденді.
Қажетті есептеулерден келесі өрнекті табамыз.
(11)
жағдайында екені айқын, сондықтан болғанда (11)-ден шығады:

Сонымен, (10) екінші қатынас дәлелденді.
функциясының басқа да қасиеттерін атап өтейік. Егер және нүктелерінің рөлдерін алмастырсақ, онда функциясы ны -ға өзгертумен бірге (10)-нан шығатын қатынасты қанағаттандырады. Бұл егер нүктесін арқылы белгілесек, және (7) бейнелеуінен тікелей шығады. Ары қарай, егер және болса, онда оң. нүктесінің маңайында да оң екені айқын, себебі бұл нүктеде айналады, ал қалған қосылғыш (7) формуласында өрнектелген функциясы нүктесінде шектелген. шексіздікте 0-ге айналады. Гипер жазықтықтың нүктесінде (10)-да орындалған осы гипержазықтықтың бағытына кейбір жанаспайтын жанамалар бойынша функциясының туындысы нөлге тең. Заремба-Жиро принцпі бойынша функциясы осы гипержазықтықтың нүктесінде ешқандай теріс минимумға, ешқандай оң максимумға жете алмайды, ал кезінде ол максимум заңы бойынша теріс минимумға жете алмайды. Бұдан кез келген жерде жағдайда екендігі шығады.
Грин формуласын және теңсіздіктерімен шектелген аймақта және функцияларына қолданамыз. Мұнда О координат басы. ді шексіздікке, ал ны нөлге ұмтылдырып,
(12)
Өрнегін аламыз. Мұндағы Г- жазықтық, ал - осы аймақтың айнымалы нүктесі. және 1 функцияларына Грин функциясын қолдану нәтижесінде келесі қатынасты аламыз:
(13)
Мұндағы жарты жрты жазықтық.(
1) және (2) есептерінің шешімі
(14)
түрінде беріледі.
(10) формуласындағы бірінші қатынасқа қарай (14) өрнегі, егер бірінші қосылғышы (8) өрнегінің оң жақ бөлігіне тиісті болса, екінші қосылғыштың оң жағы (2) теңдеуіне сәйкес біртекті теңдеудің шешімі болып табылады. Бұдан (14) өрнегіндегі бірінші қосылғыш (1) шартына тиісті біртекті шекаралық шартын қанағаттандыратын (2) теңдеуінің шешімі. (10) өрнегіне сүйеніп функциясы нүктесінде (2) теңдудің іргелі шешімі сияқты маңызды қасиетке ие. (14) өрнегінің екінші қосылғышын қарастырайық:

Қажетті есептеулерден кейін табатынымыз:

Осы теңдіктің оң жақ бөлігі болғанда мәні (2) теңдеуіне тиісті біртекті теңдеудің шешімі болып табылады.Сол себепті, (14) өрнегі (1) шартты қанағаттандыратын (2) теңдеудің шешімін береді.
(14) өрнегінен функциясы шексіздікте нөлге айналатынын көрсету ғана қалды. болғанда , болғанда болатындай санын аламыз. (14) формуласындағы интегралдарды және шарларына сәйкесінше және осы шарларға қосымша интегралдарға бөлеміз. (12) және (13) өрнектерінің көмегімен алынған қосымша шарлардың интегралдары абсолют шама бойынша ға артпайды. Шексіздікте функциясының өзгерісіне қарай шексіздікке ұмтылатын шарлар бойынша алынған интегралдар болғанда нөлге ұмтылады. Сол себепті, шарлар бойынша алынған интегралдар қосындысы кезінде абсолюттік шама бойынша нан кем болады. Демек, бұндай үшін болады, бұл дегеніміз шексіздікте нөлге ұмтылады деген сөз.
Егер (1), (2) есептерінің және деген екі жауабы болса, онда осы жауаптардың айырмашылығы

қатынасымен қанағаттандырылатын еді және шексіздікте нөлге ұмтылар еді. Берілген қатынастан, максимум және Заремба-Жиро принциптерінен екендігі шығады. Сондықтан (1), (2) есептердің шешімі жалғыз
және (14) өрнегімен беріледі.

2. Көп айнымалыдан тәуелді еселеуіштері тұрақты жалпы
эллипстік теңдеу үшін қойылған көлбеу туындылы
есепті Фредгольм теңдеуіне келтіру

Жалпы эллипстік оператор қарастырайық:

мұндағы - тұрақты коэффицент, квадраттық формасын оң анықталған деп ұйғарайық. гипержазықтықпен шектелген жартыкеңістігінде

қатынасымен берілетін, төмендегі есепті зерттейік:

мұндағы және - берілген функциялар, тұрақты векторы векторымен нөлден өзгеше, тұйық емес бұрыш құрайды. Бұл есепті алдынғы параграфтағы (1) және (2) есептерге келтіруге болады. тәуелсіз айнымалылы операторының сызықты алмастыруын операторына өзгертуге болады. Бұндай өзгертуден соң координат остерін жартыжазықтықтың бейнесіне жартыжазықтығы дәл келетіндей бұрылыс жасауға болады. Ары қарай, осі бойынша векторының бағыты векторының бағытына өзгеретіндей бұруға болады. Нәтижесінде алдынғы параграфтағы (1), (2) есептерге келеміз.
Мұнда тек жағдайын ғана қарастырамыз.
матрицаларын анықтап, деп белгілейміз. шамасы төмендегі теңдеулер жүйесінен анықталады:

жаңа айнымалға қатысты берілген тұрақты, оң тұрақты.
қатынасы орындалатындай жаңа тәуелсіз айнымалылар таңдап аламыз.

және шамаларын анықтау үшін

тәуелсіз айнымалыларды және оң жағының геометрикалық мағынасын сызықты алмастырғанда теңдеудің сол жағының инварианттылығынан шығатын теңдеу аламыз. Бұл теңдеулерден

(1)

Енді қарастырылып отырған есеп үшін Грин функциясын құрамыз. және - айнымалыларды алмастырғанда сәйкес келетін және нүктелерінің бейнесі болсын. анықтамасы бойынша ұйғарайық, мұндағы - алдынғы параграфтағы (1), (2) есептеріне жоғарыда құрылған Грин функциясы. ні айқын түрде көрсету үшін төмендегідей белгілеулер жүргіземіз:

(2)

Енді Грин функциясын мына түрде жазуға болады:

(3)
Қарастырылып отырған есептің жауабы
(4)
формуласы бойынша берілетінін көрсетейік. Мұндағы жартыжазықтық, төмендегідей қатынас бойынша берілетін жартыкеңістіктің шекарасы

ал, және сәйкесінше және көлем элементтері. Сызықты айнымалыны алмастыру кезіндегі инварианттық шамасы, сондықтан

мұндағы нүктесінің бейнесі, және - сәйкесінше және көпбейнеліктерінің көлем элементі. Әртүрлі координаталы әртүрлі цилиндірлік көлемді салыстыра отырып, (1) формуласы бойынша ті аламыз. Бұл келесі өрнектен шығады
.
Бұл теңдіктен алдыңғы параграфтағы (1), (2) есептердің шешімдерінің қасиеттерінен (4) өрнегіндегі шекаралық шартты қанағаттандыратын және шексіздікте нөлге ұмтылатын қарастырылып отырған есептің жауабы.
үшін (1) мен (2)-дегі формула қатысты нөлдік дәреже бойынша біртекті , сонымен бірге -да біртекті.Сондықтан шарты ні өрнектейтін (3) формуласы үшін ешқандай мәні жоқ, бірақ берілген шарт (4) формуласының дұрыстығына қажет, себебі ол шартсыз (4) формуласы дұрыс емес. (4) формуласының көмегімен ны -ға алмастыру (операторын өзгертеді, бірақ ді өзгертпейді) барысында Гриннің жаңа функциясы функциясына сәйкес келетінін тексеру қиын емес.

3. Көп айнымалыдан тәуелді еселеуіштері айнымалы жалпы
эллипстік теңдеу үшін қойылған көлбеу туындылы
есепті Фредгольм теңдеуіне келтіру

Евклидтік кеңістікте шекаралы, шектелген аймағын қарастырамыз. Бұл аймақты кейбір ші координат нүктелері көрсеткішпен Гельдер шартын қанағаттандыратын функциясы сияқты өрнектелетіндей ішкі аймақтың ақырлы сандармен жабуға болады. кеңістігінен төртбұрышты координаттар алынады және анықтық үшін деп ұйғарамыз. шекарасына бағытталған косинус нормалін нүктесінде аймағына байланысты деп белгілейміз. функциясы тұйық аймағында көрсеткішпен Гельдер шартын қанағаттандыратын берілген функция болсын. квадраттық формасы тұйық аймағында кез келген үшін оң анықталған. - басқа аймағында берілген кейбір функциялар, ал және бетінің нүктесіндегі үзіліссіз функция. аймағында кез келген екі рет үзіліссіз дифференциялданатын және аймағында үзіліссіз дифференциялданатын функциясын

(1)
(2)

деп ұйғарайық, мұндағы бетінің нүктесі.Келесі есепті зерттейтін боламыз: аймағында екі рет дифференциялданатын, аймағында үзіліссіз дифференциялданатын

(3)
шартын қанағаттандыратын функциясын табу керек.
Бұл есепті зерттеу үшін екі және нүктелерінің үзіліссіз көмекші функциясын құрамыз. және нүктелері аймағында жатады және әртүрлі . нүктесі -ге ұмтылғанда нүктесі аймағында бекітілген деп есептейміз. функциясы (егер болса, онда басқа қырынан маңызды болуы мүмкін)операторының Грин функциясы сияқты шексіздікке ұмтылады. Егер және сәйкес келмесе, онда екі рет үзіліссіз дифференциялданады және

(4)

қатынастыры орындалады, мұндағы кейбір сандар. Қазір және болашақта және операторлары бірінші нүктенің координаттарына қатысты алынады деп ұйғарамыз. Біз төменде құратын Грин функциясы кейбір параметріне байланысты болады. Бұл байланыс функциясының қасиетіне пайдалы.
функциясын құрмас бұрын, кейбір қосымша құрылымдар енгіземіз. функциясы аймағында үзіліссіз, аймағында теріс және бетінеде нөлге тең функция болсын. Осы функцияның бірінші туындасы бар және кейбір көрсеткішпен Гельдер шартын қанағаттандыратын болсын деп ұйғарамыз. аймағында нормалінің бағыты бойынша алынған туындысы бар және ол қатаң оң. -ға мысалы ретінде келесі есеп жауабын алуға болады: аймағында ал бетінде . тұйық аймағының әрбір нүктесінде

өрнегін қарастырайық.
Егер нүктесінде функциясының барлығы да нөлге ұмтылса, онда
(5)
көпбейнелігін нүктесінің ассоцияланған көпбейнесі деп атайды. ұйғарымымыз бойынша, бетіне айтарлықтай жақын нүктесі үшін нөлден өзге функциясының ең болмаса біреуіне міндетті. Егер болса, онда (5) көпбейнелігі нүктесіде бетіне жанасады, ал егер нүктесі бетінде жатпаса, онда

нүктесінен бетінің нүктелер арасындағы қысқа қашықтық. қатынасын төменнен және жоғарыдан шектелгендігін көрсетеміз. Бұл тек кішкене үшін ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.