Актив бағаларының үзіліссіз моделі

Пән: Экономика
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 50 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ3

1 АКТИВ БАҒАЛАРЫНЫҢ ҮЗІЛІССІЗ МОДЕЛІ4

1. 1 Кездейсоқ процесс4

1. 1. 1 Стационарлы процестер5

1. 2 Аддитивтiк тәуелсiз дискреттi кездейсоқ кезудiң моделi5

1. 3 Актив бағаларының үзiлiссiз моделi7

1. 4 Орташалары нөлдiк емес процестер8

1. 5 Стохастикалық интегралдар9

1. 6 Ито процесi. Ито леммасы10

2 VaR КӨРСЕТКІШІ12

2. 1 VaR - ды есептеу әдістерінің салыстырмалы анализі12

2. 1. 1 Параметрлік әдістер (жергілікті бағалау) 12

2. 1. 2 Толық бағалау әдістері14

2. 2 Шектік VaR және өсімшелік VaR14

2. 2. 1 Шектік VaR14

2. 2. 2 Өсімшелік VaR15

2. 3 Тәуекел құны және шығын ықтималдығы17

3 ПАРАМЕТІРЛІК ЕМЕС МОДЕЛДЕР21

3. 1 Тарихи модельдеу әдiсi21

3. 2 Монте - Карло әдiсi21

3. 2. 1 Монте-Карло әдісінің қателiкті бағалауы23

3. 2. 2 Монте-Карло әдiсінің ортақ схемасы24

3. 2. 3 Активтер портфеліне арналған Монте-Карло әдісі24

3. 2. 4 Монте - Карло принциптері25

4 ЕСЕПТІҢ ШЕШІЛУ АЛГАРИТМІ ЖӘНЕ ӘДІСТЕРДІҢ АРТЫҚШЫЛЫҒЫ МЕН КЕМШІЛІГІ28

4. 1 Тәуекелдің бір факторына байланысты Тарихи модельдеу әдiсi28

4. 2 Тәуекелдің бір факторына байланысты Монте-Карло әдісі29

4. 3 Монте - Карло моделдеуі31

5 ЕСЕПКЕ АРНАЛҒАН ПРОГРАММАЛЫҚ ЖАБДЫҚТАМА32

5. 1 Excel - Microsoft Office ортасы32

6 КЕЙБІР АКТИВТЕР ҮШІН VaR - ДЫ ТАБУ33

6. 1 VaR - ды Тәрихи моделдеу әдісі бойынша есептеу33

6. 2 VaR - ды Монте - Карло әдісі арқылы есептеу33

ҚОРЫТЫНДЫ36

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР38

А ҚОСЫМШАСЫ39

Ә ҚОСЫМШАСЫ56

КІРІСПЕ

Соңғы жылдарда қаржылық модельдерге зор қызығушылық өстi. Қаржылық талдау ғылымы математиканың құрамдас ажыратылмайтын бөлiгi екенi айқын болды. Және нарықтық процестердiң математикалық модельдерiн құруға үлкен назар аударылады[10] .

Қазіргі кезде ақпараттық өнімдер жеке дара, сондай-ақ мемлекеттер үшін, үлкен қаражат көзіне айналып. Ал, инвесторлар пайда табамын деп ақша шығарғанымен, оны қайтарып алуына, пайда табуына ешкім кепілдік бере алмайды, кейде пайда табудың орнына зиян тартып қалуы да мүмкін. Сондықтан мұның табысынан тәуекелі басым. Әрине, тәуекелге кез-келген адам бара бермейді, тәуекелге барған адам өкінбейді. Түптеп келгенде, ақпараттық өнімдерсаудасына саудаға басқаларға да түсер пайда көп. Тұтас алғанда бұл экономиканы көтерудің бір жолы. Өйткені, ақпараттық өнімдерден түскен қаржыны орнын тауып, өндіріске, шаруашылыққа жұмсай білсе, бұдан бүкіл Қазақстан көркейер еді, жұмыссыздық саны азайып, халықтың тұрмыс жағдайы да жақсара түспек. Инвестициялық процесс әлеуметтік-экономикалық дамуымыздың негізгі алғы шартына айналып, еліміздегі реформаларды табысты іске асырудың басты себебі болып отыр. Инвестициялар кез-келген ұлттық экономиканың маңызды да қажетті қоры болып саналады. Инвестициялық жобаларды іске асыру өндірісті жетілдіріп, сатылатын тауарлардың сапасын арттыру онымен қоса жұмыс орындарының көбейіп, тұрғындарды еңбекпен толығымен қамтамасыз етуге, сөйтіп халқымыздың өмір сүру деңгейінің өсуіне мүмкіндік береді. Сонымен, елімізде жүргізіліп жатқан инвестициялық процесті экономикалық пайда кіргізіп, әлеуметтік саланың өркендеуіне жағдай жасайтын қызмет деп қарастыруымыз керек. Осыған орай, инвестициялық іс-әрекетті талдауда, оның тиімділігіне экономикалық шаралармен бірдей әсер ететін әлеуметтік шараларды ерекшелеудің маңызы зор[15] .

Мен осы дипломдық жұмыста әр адамға қарапайым есептеулер жолымен инвестордың қандай ақпараттық өнімдерді таңдауға болатынын келтіру. Әр ақпараттық өнімдер, инвестицияны таңдағанда оның тәуекелі қаншалықты болатынын шығарып беру болып табылады. Былай айтқанда, адамдарға инвестицияы әлемінде таңдау кеңістігін сәл кішірейтуге көмек береді. Өзі таңдаған ақпараттық өнімдердің ертеректегі даму немесе құлдырау мәліметтеріне ие бола тұра (қазіргі уақытта ол жайлы интернет желісінен толық ақпарат алуға болады), әр адам таңдауының тәуекелін есептеу мүмкіндігіне ие болады. Осылай таңдай және есептей отыра өзіне керек инвестор портфелін құрады. Әркім өзінің тәуекелдік шегіне байланысты деуге болады.

1 АКТИВ БАҒАЛАРЫНЫҢ ҮЗІЛІССІЗ МОДЕЛІ 1. 1 Кездейсоқ процесс

Кездесоқ процесс, ықтимал процесс не, стахастикалық процесс - қандай да бір жүйе күйінің ықтималдық заңдылықтарға сәйкес уақыт бойынша өзгеру процесі. Кездейсоқ процестің уақыттың кез келген сәтіндегі сипаттамалары - белгілі, бір үлестірілуі(таралуы) бар кездейсоқ шамалар. Табиғатта және өндірісте көптеген процесстер (бурундық қозғалыс, сұйықтар мен газдардың турбуленттік ағыстары т. б. ) кездейсоқ процесстің мысалына жатады. Кездейсоқ процесстің теориясының жасалуы ресейлік А. А. Марковтың(1903 - 1979ж. ж) еңбектеріне байланысты болады. кездейсоқ процесстің теориясының дамуына А. Н. Колмогаров, амарикалық оқымысты Н. Винер(1894 - 1964ж. ж) т. б. Елеулі үлес қосты.

Анықтама 1 (Ω, F, P) ықтималдықтар кеңiстiгiнде анықталған {Xt, t∈T} кездейсоқ шамаларының жиынтығын кездейсоқ процесс (stochastic process) деп атаймыз. [10]

T индекстiк немесе, параметрлiк жиын уақыт мезеттерi болады және жиi T ретiнде мына жиындар {0, ±1, ±2, …}, {1, 2, …}, [0; + ∞) , (-∞, +∞) алынады.

Егер T = {1, 2, …} болса, онда {X _t , t∈T} дискреттi уақытты кездейсоқ процесс немесе, кездейсоқ тiзбек деп аталады.

Егер T = [a, b, …] кейбiр интервал болса, онда {Xt, t∈T} Үзiлiссiз уақытты кездейсоқ процесс деп аталады.

Үзiлiссiз уақытты кездейсоқ процесс үшiн Xt - ның орнына X(t) белгiлеудi жиi пайдаланады.

Әрбір бекiтiлген t∈T үшiн Xt кездейсоқ процесi Ω жиынында анықталған Xt(. ) функция, яғни, кездейсоқ шама болады. Екiншi жағынан, әрбiр бекiтiлген ω ∈ Ω үшiн X(ω) T-де анықталған кездейсоқ емес функция болады.

T - де анықталған {X(ω), ω ∈ Ω } функцияларды {X _t , t∈T} кездейсоқ процестiң iске асырылуы немесе, траектория деп аталады.

Әрбiр t = t ₁ үшін X _t кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы мына өрнекпен берiледi:

$Ft1(x) \ = \ P(Xt1\ \leq \ X)$ .

Бұл функцияны X _t кездейсоқ процестi әбiр үлестiрiм функциясы деп атайды.

Анықтама 2 T = {t=(t ₁ , t ₂ , …, t _n ) ∈ T _n : t ₁ < t ₂ < … < t _n , n = 1, 1, …} векторлар жиыны болсын. {X _t , t∈T } кездейсоқ процестiң ақырлы өлшемдi үлестiрiм функция деп t = (t ₁ , t ₂ , …, t _n ) үшін анықталған мына функцияны атайды.

Ft(x) = P(Xt ₁ ≤ x ₁ , …, Xt _n ≤ x _n ) , x = (x1, …, xn) ’ ∈ R ⁿ

Теорема 1 А. Н. Колмогоров. {Ft(. ), t ∈ τ } - үлестірім функциялар кейбiр кездейсоқ процестiң ақырлы өлшемдi үлестірім функция болу ұшiн кезкелген ∀n∈{ 1, 2, … }, t= (t ₁ , …, t _n ) ∈ τ, 1 ≤ I ≤ n үшiн мына шарттар

$\lim_{xi \rightarrow \infty}{Ft(x) = F_{t(i) }\ (x(i) ) \ }$

орындалуы қажетті және жеткілікті.

1. 1. 1 Стационарлы процестер

Егер ∀t ∈ T үшiн DXt) < ∞ орындалатындай {Xt, t∈T} кездейсоқ процесс болса, онда осы процестiң автоковариациялық Функция мына теңдікпен анықталады:[1]

$\gamma x(r, s) \ = \ cov(Xr, Xs) \ = \ E\lbrack(Xr\ -\ Exr) (Xs\ -\ Exs) \rbrack, \ \ \ \ \ \ \ \forall r, s \in T$

Анықтама 3 {Xt, t∈T} кездейсоқ процестi әлсiз стационарлық деп айтады, егер мынашарттар орындалса:

1. EXt ² < ∞, ∀t∈T

2. EX _t = m, ∀t∈T

3. γx(r, s) = γx(r+t, s+t), ∀r, s, t∈T

Егер {Xt, t∈T} стационарлық кездейсоқ процесс болса, онда

$\gamma x(r, s) \ = \ \gamma x(r - s, s - s) \ = \ \gamma x(r - s, 0), \ \ \ \ \ \ \ \forall r, s \in T.$ Сондықтан, автоковариациялық функция бiр айнымалыдан тәуелдi болады:

$\gamma x(h) \ = \ \gamma x(h, 0) \ = \ cov(Xt + h, Xt) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall t, h \in T$ .

Анықтама 4 Егер кезкелген бүтiн, терiс емес k және кезкелген t ₁ , . . . , t _k , h ∈ T үшiн (Xt ₁ , . . . , Xt _k ) және (X _tn +h, . . . , X _tk +h) бiрлескен үлестiрiмдерi бiрдей болса, онда {Xt, t∈T} кездейсоқ процестi қатаң стационарлық деп айтады.

Егер {Xt} қатаң стационарлық болса, онда ол әлсiз стационарлық болады.

Анықтама 5 {Xt} кездейсоқ процесi Гаусс процесс болу үшiн Xt-тың барлық ақырлы өлшемдi үлестiрiмдер көп өлшемдi Гаусс(нормаль) үлестiрiмдер болуы қажеттi және жеткiлiктi. Егер {Xt, t∈T} стационарлық Гаусс процесi болса, онда {Xt} қатаң стационарлық болады. Шынындада, кезкелген n ∈ {1, 2, . . . }, ∀h, t ₁ , . . . , t _n ∈ T үшiн (Xt1, . . . , Xtn) және (X _t1 +h, . . . , X _tn +h) Кездейсоқ векторлардың математикалық күтiмдерi және ковариациялық матрицалары Бiрдей болғандықтан, олардың үлестiрiмдерiде бiрдей болады.

Тұжырым 1 (Автоковариациялық функцияның қарапайым қасиеттерi. ) Егер γ(•) - {Xt, t∈T} стационарлық процестiң автоковариациялық функциясы болса, онда γ(0) ≥ 0, γ(h) ≤ γ(0), ∀h ∈ T

Және

$\gamma(h) \ = \ \gamma( - h), \ \ \ \ \ \forall h \in T$

Дәлелдеу. Дисперсия қасиетiнен бiрiншi тұжырым шығады: γ(0) = DXt ≥0. Коши-Шварц теңсiздiгiнен екiншi қасиеттi аламыз:

$cov(Xt + h, Xt) \ \leq \ (DXt + h) 1/2(DXt) 1/2\ = \ DXt\ = \ \gamma(0)$

және стационарлық қасиетiнен мына теңдiк табылады:

$\gamma( - h) \ = \ cov(Xt - h, Xt) \ = \ cov(Xt + h, Xt) \ = \ \gamma(h) .$

1. 2 Аддитивтiк тәуелсiз дискреттi кездейсоқ кезудiң моделi

X - тiң бастапқы мәнi X ₀ болсын. Және әрқайсысының волатильдiгi (стандартауытқуы) σ - ға тең t=1, 2, . . . кездейсоқ тәуелсiз Гаусс өзгерiсi X - ке әсер етсiн. Онда X осы өзгерiстердiң қосындысына тең, яғни дискреттi кездейсоқ кезу болады:

$X_{t} = \ X_{0}\ + \ \sigma(\varepsilon_{1}\ + \ . . . \ + \ \varepsilon_{t}),$ (1. 2. 1)

Мұнда εi ∼ N(0, 1), i = 1, . . . , t.

Соңғы теңдеудiң ықшамды жазу үшiн дискретттi Винер кездейсоқ шаманы енгiзу ыңғайлы:

$Wt\ = \ \varepsilon 1 + . . . + \varepsilon t\ = \ \varepsilon\sqrt{t}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ (1. 2. 2)

Мұнда εi, ε ∼ N(0, 1) . T Гаусс кездейсоқ шамалардың қосындысы волатильдiгi $\sqrt{t}$ - ге тең Гаусс кездейсоқ шама болғандықтан, екiншi теңдiктi жазу орынды болады:

$Ewt\ = \ 0, \ \ DWt\ \ = \ D(\sum_{i = 1}^{t}\varepsilon_{i}) \ = \ \sum_{i = 1}^{t}{D\varepsilon_{i}}\ = t$

Тағыда (1. 2. 2) теңдiкке назар аударайық. T тәуелсiз стандарт Гаусс кездейсоқ шамалардың қосындысының ықтималдықтар қасиеттерi $\sqrt{t}$ - ге көбейтiлген бiр Гаусс кездейсоқ шаманың қасиеттерiне тең болғандықтан $\sum_{i = 1}^{t}{\varepsilon i}$ қосынды орынына ε - бiр кездейсоқ шаманы қарастыруға болады. Яғни, көп өлшемдi кездейсоқ шаманың орынына бiр өлшемдi кездейсоқ шаманы қарастырамыз.

Сондықтан (1. 1) мына түрде жазылады:

$Xt\ = \ X0\ + \ \sigma Wt.$

Егер бiздiң процесс s қадамнан тұрса және тағыда t − s қадамға созылса, (s<t), онда:

Ws = ε1 + . . . + εs

Wt = ε ₁ + . . . + + ε _s + ε _s+1 + . . . +ε _t .

Екiншi теңдеуден бiрiншi теңдеудi азайтсақ, онда t − s кездейсоқ шамалардың қосындысын аламыз:

$Wt - Ws\ = \ \varepsilon s + 1\ + \ . . . \ + \varepsilon t\ = \ \varepsilon\sqrt{t - s}\ = \ Wt - s.$

Онда Ws және Wt -ды мына түрде жазуға болады:

$Ws\ = \ \varepsilon a\sqrt{s},$ $Wt\ = \ \varepsilon a\sqrt{s}\ + \ \varepsilon b\sqrt{t - s},$

Мұнда ε _a , ε _b - математикалық күтiмдерi нөльге, ал дисперсиялары бiрге тең тәуелсiз Гаусс кездейсоқ шамалар. ε _a - бастапқы s өсiмшiлердiң қосындысына, ал ε _b - келесi t − s өсiмшiлерге сәйкес келедi.

Ендi Ws Және Wt арасындағы ковариацияны табуға болады:

$cov(Ws, Wt) \ = \ E((\varepsilon a\sqrt{s}) (\varepsilon a\sqrt{s} + \varepsilon b\sqrt{t - s}) ) \ = \ s, \ \ \ \ \ \ \ \ \ s < t.$

Сондықтан

$cov(Ws, Wt) \ = \ min(s, t), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall s, t$

Егер әрбiр қадамда εi кездейсоқ өзгерiспен бiрге µ ₀ түрақты шамасына ығысатын дискреттi кездейсоқ кезудiң моделiн қарастырсақ. Онда n қадамнан кейiн:

$X\ = \ X0 + \ µ0\ \bullet \ n\ + \ \sigma 0\ \sqrt{n\varepsilon},$ (1. 2. 3)

Мұнда ε ∼ N(0, 1), µ ₀ параметрдi процестiң ығысуы деп атайды. Егер µ ₀ > 0 болса, онда траектория бiртiндеп жоғары жылжыйды, ал егер µ ₀ < 0 болса, онда төмендейдi.

Әрбiр қадамның ұзындығы ∆t болса, онда t - t ₀ уақыттың iшiнде қадамдардың саны

$n\ = \ (t - t_{0}) /\mathrm{\Delta}t$ - ге тең болады. $\sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}/\ \mathrm{\Delta}t$ және $µ = µ_{0}/\mathrm{\Delta}t$ белгiлеулердi енгiзейiк. Онда X кездейсоқ процесс болады:

$X(t) \ = \ X(t_{0}) \ + \ µ(t - t_{0}) \ + \ \sigma\sqrt{t - t_{0}}\ \bullet \ \varepsilon.$

Бекiтiлген t уақыт үшiн ε Гаусс кездейсоқ шаманың мәнiне байланысты X - тiң кейбiр мәнiн аламыз. Сондықтан X(t) кездейсоқ процестiң үлестiрiмi Гаусс болады.

$dt\ = \ t\ -\ t_{0}$ ақырсыз кiшкене интервалдағы dX = X(t) - X(t ₀ ) өзгерiстi қарастырайық. Онда мына теңдеу шығады:

$dX\ = \ µdt\ + \ \sigma\delta W, \$ (1. 2. 4)

мұнда δW = ε $\sqrt{t}$ белгiлеу енгiзiлген. (1. 2. 4) теңдеуге бағынатын процестi Винер процесi деп атайды.

Төмендегi келтiрiлген шарттарды қанағаттандыратын W(t) кездейсоқ процестi Винер процесi деп атайды:

W(0) =0W(0) \ = \ 0
Әрбiр ∀n = 1, 2, . . . үшiн және әрбiр 0 ≤ t0< t1< . . . <tnпараметрдiң мәндерi үшiн

$\$ W(t _i ) - W(t ₀ ), W(t ₂ ) - W(t ₁ ), . . . , W(t _n ) - W(t _n-1 )

Өсiмшелерi тәуелсiз болады.

Wt - Ws кездейсоқ шамаcы Гаусс(нормаль) үлестiрiм болады:

$\ Wt\ -\ Ws\ \sim \ N(0, \sigma\sqrt{}t - s), \ \ \ \ \ \ \ \ \sigma > 0,$

Яғни оның үлестiрiм тығыздығы мына өрнекпен берiледi

$p(x) \ = \ \frac{e^{\frac{- x^{2}}{2\sigma 2\ (t - s) }}}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}\ (t - s) }}$

σ = 1 тең болғанда Винер процесiн стандарт деп атайды.

Винер процесi аддитивтiк кездейсоқ кезудiн шегi болатынын көрсетуге болады.

1. 3 Актив бағаларының үзiлiссiз моделi

Активтiң бағасы нарықтық жалпы тенденциядан және осы активпен байланысқан анықталмағандықтан тәуелдi болатынын ұйғарайық. Егер активтiң нарықтық бағасының анықталмағандығы болмаса, онда күтiлетiн табыс S активтiң бағасына пропорционалды деп есептеуге орынды, яғни S активтiң бағасы төмендегi теңдеудi қанағаттандырады

$\mathrm{\Delta}S\ = \ µS\mathrm{\Delta}t, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ (1. 3. 1)

Мұнда ∆t - уақыт интервалы, µ - пропорционалдық коэффициентi. ∆t→0 ұмтылғанда (1. 5) дифференциальдық теңдеу болады:

$S'\ = \ µS$

Оның шешiмi S(t) = S(0) e ^µt - t уақыттағы S(t) актив бағасын анықтайды.

Бiрақ практикада актив бағасының анықталмағандығы әрқашанда болады. Анықталмағандықты бейнелеу үшiн аргументiң әрбiр мәндерiнде кездейсоқ шама болатын уақыттан тәуелдi функцияларды қарастырады. Осы қасиет кездейсоқ процестi (stochasticprocess) анықтайды. Сондықтан S активiн сипаттау үшiн оның бағаларының өзгерiсiн (Ω, F, P) кейбiр ықтималдықтар кеңiстiгiнде анықталған кездейсоқ процесс ретiнде қарастырамыз.

µ = 0 қарапайым жағдайда, яғни қор нарығы орташада кемiмейтiн және өспейтiн болғанда, табыстың анықталмағандығы, яғни бағаның өзгеру шапшаңдығы S активтiң бағасынан тәуелсiз болады:

∆S = σS∆W,

Мұнда W(t) - Винер процесi, σ > 0 - кейбiр оң сан.

Актив бағасының өзгеру моделiн жалпы түрде төмендегi жазылған теңдеумен анықтайды

$\mathrm{\Delta}S(t) \ = \ µS(t) \mathrm{\Delta}t\ + \ \sigma S(t) \mathrm{\Delta}W$ . (1. 3. 2)

Анықталмағандық өлшемi болатын σ коэффициентiн волатильдiк (volatility) деп атайды.

1. 4 Орташалары нөлдiк емес процестер

(1. 3. 2) теңдеудi қанағаттандыратын кездейсоқ процестер күрделi, қиын. Алдымен дайындық кезең ретiнде кiшi өзгерiстерi уақыттан тәуелдi, бiрақ Y - тен тәуелсiз, Y(T) кездейсоқ процестi қарастырайық:

$\mathrm{\Delta}Y\ = \ a\mathrm{\Delta}t\ + \ b\mathrm{\Delta}$ (1. 4. 1)

Мұнда a және b - кезкелген белгiленген сандар, W - Винер процесi. (1. 3. 3) теңдеуi t ∈ [0; T] кейбiр сегментте қарастырылaды, мұнда T - ∆t - ға еселi.

(1. 4. 1) теңдеудiң мағынасын түсiндiрейiк. [0; T] кесiндiнi ∆t ұзындығы бар интервалдарға бөлейiк. Интервалдың оң жағындағы Y - тiң мәнiн сол жақтағы мәнiн пайдаланып, (1. 3. 3) арқылы есептейдi, мысалы,

$Y(\mathrm{\Delta}t) \ = \ Y(0) \ + \ a\mathrm{\Delta}t\ + \ bW(\mathrm{\Delta}t) \ - \ bW(0) .$

(1. 4. 1) тееңдеудiң оң жақтағы тек қана b∆W екiншi қосылғыш Y процесiне кездейсоқтықты енгiзетiнiн ескерейiк. ∆W Винер процесiнiң өсiмшелерiнiң математикалық күтiмдерiн нөлге тең болғандықтан

$E\mathrm{\Delta}Y\ = \ a\mathrm{\Delta}t\ + \ bE\mathrm{\Delta}W\ = \ a\mathrm{\Delta}t$

Математикалық күтiмдi табуға болады. Демек,

$EY(\mathrm{\Delta}t) \ = \ a\mathrm{\Delta}t\ + \ Y(0), \ \ \ \ \ EY(2\mathrm{\Delta}t) \ = \ a\mathrm{\Delta}t\ + \ EY(\mathrm{\Delta}t) \ = \ 2a\mathrm{\Delta}t\ + \ Y(0)$

Және одан әрi. Ақырында,

$E(Y(T) ) \ = \ aT\ + \ Y(0)$ (1. 4. 2)

аламыз.

∆Y кездейсоқ шаманың дисперсиясы b∆W қосылғышпен аныыталады: D(∆Y) = b ² D(∆W) = b ² ∆t. (1. 4. 2) - дi шығару сияқты алынған теңдiктi бiртiндеп пайдаланып дисперсия формуласын табуға болады:

$D(Y(T) ) \ = \ b^{2}T.$ (1. 4. 3)

∆W Гаусс кездейсоқ шама болғандықтан t > 0 үшiн ∆Y және Y(t) кездейсоқ шамалар Гаусс үлестiрiм болатынын ескерейiк. Алынған нәтижелердi теорема ретiнде қорытындылауға болады:

Теорема 2 (1. 4. 1) теңдеуді қанағаттандыратын Y(T) кездейсоқ процестiң 0 бастапқы уақытта Y(0) - ге тең болсын. Онда әрбiр бекiтiлген T үшiн Y(T) - Гаусс кездейсоқ шама болады. Және оның математикалық күтiмi $Y(0) \ + \ aT$ - ға, ал дисперсиясы B ² T ға тең болады.

Бiз t ∈ [0; T] сегмент үшiн 2 - теореманы дәлелдедiк. Бастапқы уақыт ретiнде 0- дi алу маңызды емес. Сондықтан мына салдар орынды.

Салдар 1 (1. 4. 1) теңдеуге қанағаттандыратын Y(t) кездейсоқ процестiң кейбiр t уақыттағы мәнi белгiлi болсын. Онда EY(T) = Y(t) + a(T−t) және DY(T) = b ² (T−t) .

1. 5 Стохастикалық интегралдар

(Ω, F, P) ықтималдықтар кеңiстiгiнде W(t), t ∈ [0; T] стандарт Винер процесi анықталсын. Ал B нақты сандар осiндегi борель жиындарының σ алгебрасы болсын. Осы ықтималдықтар кеңiстiгiнде анықталған екiншi моменттерi EX(t) 2 < ∞ ақырлы {X(t), t ∈ [0; T] } үзiлiссiз уақытты кездейсоқ процестi қарастырайық.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.