Актив бағаларының үзіліссіз моделі
КІРІСПЕ 3
1 АКТИВ БАҒАЛАРЫНЫҢ ҮЗІЛІССІЗ МОДЕЛІ 4
1.1 Кездейсоқ процесс 4
1.1.1 Стационарлы процестер 5
1.2 Аддитивтiк тәуелсiз дискреттi кездейсоқ кезудiң моделi 5
1.3 Актив бағаларының үзiлiссiз моделi 7
1.4 Орташалары нөлдiк емес процестер 8
1.5 Стохастикалық интегралдар 9
1.6 Ито процесi. Ито леммасы 10
2 VaR КӨРСЕТКІШІ 12
2.1 VaR . ды есептеу әдістерінің салыстырмалы анализі 12
2.1.1 Параметрлік әдістер (жергілікті бағалау) 12
2.1.2 Толық бағалау әдістері 14
2.2 Шектік VaR және өсімшелік VaR 14
2.2.1 Шектік VaR 14
2.2.2 Өсімшелік VaR 15
2.3 Тәуекел құны және шығын ықтималдығы 17
3 ПАРАМЕТІРЛІК ЕМЕС МОДЕЛДЕР 21
3.1 Тарихи модельдеу әдiсi 21
3.2 Монте . Карло әдiсi 21
3.2.1 Монте.Карло әдісінің қателiкті бағалауы 23
3.2.2 Монте.Карло әдiсінің ортақ схемасы 24
3.2.3 Активтер портфеліне арналған Монте.Карло әдісі 24
3.2.4 Монте . Карло принциптері 25
4 ЕСЕПТІҢ ШЕШІЛУ АЛГАРИТМІ ЖӘНЕ ӘДІСТЕРДІҢ АРТЫҚШЫЛЫҒЫ МЕН КЕМШІЛІГІ 28
4.1 Тәуекелдің бір факторына байланысты Тарихи модельдеу әдiсi 28
4.2 Тәуекелдің бір факторына байланысты Монте.Карло әдісі 29
4.3 Монте . Карло моделдеуі 31
5 ЕСЕПКЕ АРНАЛҒАН ПРОГРАММАЛЫҚ ЖАБДЫҚТАМА 32
5.1 Excel . Microsoft Office ортасы 32
6 КЕЙБІР АКТИВТЕР ҮШІН VaR . ДЫ ТАБУ 33
6.1 VaR . ды Тәрихи моделдеу әдісі бойынша есептеу 33
6.2 VaR . ды Монте . Карло әдісі арқылы есептеу 33
ҚОРЫТЫНДЫ 36
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 38
А ҚОСЫМШАСЫ 39
Ә ҚОСЫМШАСЫ 56
1 АКТИВ БАҒАЛАРЫНЫҢ ҮЗІЛІССІЗ МОДЕЛІ 4
1.1 Кездейсоқ процесс 4
1.1.1 Стационарлы процестер 5
1.2 Аддитивтiк тәуелсiз дискреттi кездейсоқ кезудiң моделi 5
1.3 Актив бағаларының үзiлiссiз моделi 7
1.4 Орташалары нөлдiк емес процестер 8
1.5 Стохастикалық интегралдар 9
1.6 Ито процесi. Ито леммасы 10
2 VaR КӨРСЕТКІШІ 12
2.1 VaR . ды есептеу әдістерінің салыстырмалы анализі 12
2.1.1 Параметрлік әдістер (жергілікті бағалау) 12
2.1.2 Толық бағалау әдістері 14
2.2 Шектік VaR және өсімшелік VaR 14
2.2.1 Шектік VaR 14
2.2.2 Өсімшелік VaR 15
2.3 Тәуекел құны және шығын ықтималдығы 17
3 ПАРАМЕТІРЛІК ЕМЕС МОДЕЛДЕР 21
3.1 Тарихи модельдеу әдiсi 21
3.2 Монте . Карло әдiсi 21
3.2.1 Монте.Карло әдісінің қателiкті бағалауы 23
3.2.2 Монте.Карло әдiсінің ортақ схемасы 24
3.2.3 Активтер портфеліне арналған Монте.Карло әдісі 24
3.2.4 Монте . Карло принциптері 25
4 ЕСЕПТІҢ ШЕШІЛУ АЛГАРИТМІ ЖӘНЕ ӘДІСТЕРДІҢ АРТЫҚШЫЛЫҒЫ МЕН КЕМШІЛІГІ 28
4.1 Тәуекелдің бір факторына байланысты Тарихи модельдеу әдiсi 28
4.2 Тәуекелдің бір факторына байланысты Монте.Карло әдісі 29
4.3 Монте . Карло моделдеуі 31
5 ЕСЕПКЕ АРНАЛҒАН ПРОГРАММАЛЫҚ ЖАБДЫҚТАМА 32
5.1 Excel . Microsoft Office ортасы 32
6 КЕЙБІР АКТИВТЕР ҮШІН VaR . ДЫ ТАБУ 33
6.1 VaR . ды Тәрихи моделдеу әдісі бойынша есептеу 33
6.2 VaR . ды Монте . Карло әдісі арқылы есептеу 33
ҚОРЫТЫНДЫ 36
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 38
А ҚОСЫМШАСЫ 39
Ә ҚОСЫМШАСЫ 56
Соңғы жылдарда қаржылық модельдерге зор қызығушылық өстi. Қаржылық талдау ғылымы математиканың құрамдас ажыратылмайтын бөлiгi екенi айқын болды. Және нарықтық процестердiң математикалық модельдерiн құруға үлкен назар аударылады[10].
Қазіргі кезде ақпараттық өнімдер жеке дара, сондай-ақ мемлекеттер үшін, үлкен қаражат көзіне айналып. Ал, инвесторлар пайда табамын деп ақша шығарғанымен, оны қайтарып алуына, пайда табуына ешкім кепілдік бере алмайды, кейде пайда табудың орнына зиян тартып қалуы да мүмкін. Сондықтан мұның табысынан тәуекелі басым. Әрине, тәуекелге кез-келген адам бара бермейді, тәуекелге барған адам өкінбейді. Түптеп келгенде, ақпараттық өнімдерсаудасына саудаға басқаларға да түсер пайда көп. Тұтас алғанда бұл экономиканы көтерудің бір жолы. Өйткені, ақпараттық өнімдерден түскен қаржыны орнын тауып, өндіріске, шаруашылыққа жұмсай білсе, бұдан бүкіл Қазақстан көркейер еді, жұмыссыздық саны азайып, халықтың тұрмыс жағдайы да жақсара түспек. Инвестициялық процесс әлеуметтік–экономикалық дамуымыздың негізгі алғы шартына айналып, еліміздегі реформаларды табысты іске асырудың басты себебі болып отыр. Инвестициялар кез–келген ұлттық экономиканың маңызды да қажетті қоры болып саналады. Инвестициялық жобаларды іске асыру өндірісті жетілдіріп, сатылатын тауарлардың сапасын арттыру онымен қоса жұмыс орындарының көбейіп, тұрғындарды еңбекпен толығымен қамтамасыз етуге, сөйтіп халқымыздың өмір сүру деңгейінің өсуіне мүмкіндік береді. Сонымен, елімізде жүргізіліп жатқан инвестициялық процесті экономикалық пайда кіргізіп, әлеуметтік саланың өркендеуіне жағдай жасайтын қызмет деп қарастыруымыз керек. Осыған орай, инвестициялық іс-әрекетті талдауда, оның тиімділігіне экономикалық шаралармен бірдей әсер ететін әлеуметтік шараларды ерекшелеудің маңызы зор[15].
Қазіргі кезде ақпараттық өнімдер жеке дара, сондай-ақ мемлекеттер үшін, үлкен қаражат көзіне айналып. Ал, инвесторлар пайда табамын деп ақша шығарғанымен, оны қайтарып алуына, пайда табуына ешкім кепілдік бере алмайды, кейде пайда табудың орнына зиян тартып қалуы да мүмкін. Сондықтан мұның табысынан тәуекелі басым. Әрине, тәуекелге кез-келген адам бара бермейді, тәуекелге барған адам өкінбейді. Түптеп келгенде, ақпараттық өнімдерсаудасына саудаға басқаларға да түсер пайда көп. Тұтас алғанда бұл экономиканы көтерудің бір жолы. Өйткені, ақпараттық өнімдерден түскен қаржыны орнын тауып, өндіріске, шаруашылыққа жұмсай білсе, бұдан бүкіл Қазақстан көркейер еді, жұмыссыздық саны азайып, халықтың тұрмыс жағдайы да жақсара түспек. Инвестициялық процесс әлеуметтік–экономикалық дамуымыздың негізгі алғы шартына айналып, еліміздегі реформаларды табысты іске асырудың басты себебі болып отыр. Инвестициялар кез–келген ұлттық экономиканың маңызды да қажетті қоры болып саналады. Инвестициялық жобаларды іске асыру өндірісті жетілдіріп, сатылатын тауарлардың сапасын арттыру онымен қоса жұмыс орындарының көбейіп, тұрғындарды еңбекпен толығымен қамтамасыз етуге, сөйтіп халқымыздың өмір сүру деңгейінің өсуіне мүмкіндік береді. Сонымен, елімізде жүргізіліп жатқан инвестициялық процесті экономикалық пайда кіргізіп, әлеуметтік саланың өркендеуіне жағдай жасайтын қызмет деп қарастыруымыз керек. Осыған орай, инвестициялық іс-әрекетті талдауда, оның тиімділігіне экономикалық шаралармен бірдей әсер ететін әлеуметтік шараларды ерекшелеудің маңызы зор[15].
1. И.М. Соболь «Метод Монте - Карло» М: Наука, 1968г.
2. Ермаков С.М. «Методы Монте – Карло и смежные вопросы» М: Наука, 1971г.
3. Буренин А. «Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов».
4. Glasserman P. «Monte Carlo methods in Financial Engineering».
5. Қазақша – орысша, орысша – қазақша терминологиялық сөздік: Математика, Алматы: Республикалық мемлекеттік «Рауан» баспасы, 1999.
6. Қазақша – орысша, орысша – қазақша терминологиялық сөздік: Экономика және қаржы, Алматы: Республикалық мемлекеттік «Рауан» баспасы, 2000.
7. Лобанов А.А. и Чугунов А.В. «Энциклопедия финансового риск - менеджмента».
8. Лукашов А.В. Риск-менеджмент и количественное измерение финансовых рисков в нефинансовых корпорациях// Управление рисками, 2005, №5, С. 43-60
9. Жұманова Л. «Статистикалық анализ және оның қолданылымдары», Алматы «Қазақ университеті» 2009.
10. Жұманова Л. «Құнды қағаздар прртфелі және тәуекел-менеджменті» 2011
11. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике»: Учебное пособие для студентов вузов. – 3 – е издание, переработанное и дополненное – М: Высшая школа, 1979 г.
Интернет көздері:
12. http://www.rts.ru
13. http://www.sozdik.kz
14. http://www.kase.kz
15. http://www.google.kz
16. http://www.soylem.kz
2. Ермаков С.М. «Методы Монте – Карло и смежные вопросы» М: Наука, 1971г.
3. Буренин А. «Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов».
4. Glasserman P. «Monte Carlo methods in Financial Engineering».
5. Қазақша – орысша, орысша – қазақша терминологиялық сөздік: Математика, Алматы: Республикалық мемлекеттік «Рауан» баспасы, 1999.
6. Қазақша – орысша, орысша – қазақша терминологиялық сөздік: Экономика және қаржы, Алматы: Республикалық мемлекеттік «Рауан» баспасы, 2000.
7. Лобанов А.А. и Чугунов А.В. «Энциклопедия финансового риск - менеджмента».
8. Лукашов А.В. Риск-менеджмент и количественное измерение финансовых рисков в нефинансовых корпорациях// Управление рисками, 2005, №5, С. 43-60
9. Жұманова Л. «Статистикалық анализ және оның қолданылымдары», Алматы «Қазақ университеті» 2009.
10. Жұманова Л. «Құнды қағаздар прртфелі және тәуекел-менеджменті» 2011
11. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике»: Учебное пособие для студентов вузов. – 3 – е издание, переработанное и дополненное – М: Высшая школа, 1979 г.
Интернет көздері:
12. http://www.rts.ru
13. http://www.sozdik.kz
14. http://www.kase.kz
15. http://www.google.kz
16. http://www.soylem.kz
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 3
1 АКТИВ БАҒАЛАРЫНЫҢ ҮЗІЛІССІЗ МОДЕЛІ 4
1.1 Кездейсоқ процесс 4
1.1.1 Стационарлы процестер 5
1.2 Аддитивтiк тәуелсiз дискреттi кездейсоқ кезудiң моделi 5
1.3 Актив бағаларының үзiлiссiз моделi 7
1.4 Орташалары нөлдiк емес процестер 8
1.5 Стохастикалық интегралдар 9
1.6 Ито процесi. Ито леммасы 10
2 VaR КӨРСЕТКІШІ 12
2.1 VaR - ды есептеу әдістерінің салыстырмалы анализі 12
2.1.1 Параметрлік әдістер (жергілікті бағалау) 12
2.1.2 Толық бағалау әдістері 14
2.2 Шектік VaR және өсімшелік VaR 14
2.2.1 Шектік VaR 14
2.2.2 Өсімшелік VaR 15
2.3 Тәуекел құны және шығын ықтималдығы 17
3 ПАРАМЕТІРЛІК ЕМЕС МОДЕЛДЕР 21
3.1 Тарихи модельдеу әдiсi 21
3.2 Монте - Карло әдiсi 21
3.2.1 Монте-Карло әдісінің қателiкті бағалауы 23
3.2.2 Монте-Карло әдiсінің ортақ схемасы 24
3.2.3 Активтер портфеліне арналған Монте-Карло әдісі 24
3.2.4 Монте - Карло принциптері 25
4 ЕСЕПТІҢ ШЕШІЛУ АЛГАРИТМІ ЖӘНЕ ӘДІСТЕРДІҢ АРТЫҚШЫЛЫҒЫ МЕН КЕМШІЛІГІ 28
4.1 Тәуекелдің бір факторына байланысты Тарихи модельдеу әдiсi 28
4.2 Тәуекелдің бір факторына байланысты Монте-Карло әдісі 29
4.3 Монте - Карло моделдеуі 31
5 ЕСЕПКЕ АРНАЛҒАН ПРОГРАММАЛЫҚ ЖАБДЫҚТАМА 32
5.1 Excel - Microsoft Office ортасы 32
6 КЕЙБІР АКТИВТЕР ҮШІН VaR - ДЫ ТАБУ 33
6.1 VaR - ды Тәрихи моделдеу әдісі бойынша есептеу 33
6.2 VaR - ды Монте - Карло әдісі арқылы есептеу 33
ҚОРЫТЫНДЫ 36
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 38
А ҚОСЫМШАСЫ 39
Ә ҚОСЫМШАСЫ 56
КІРІСПЕ
Соңғы жылдарда қаржылық модельдерге зор қызығушылық өстi. Қаржылық талдау ғылымы математиканың құрамдас ажыратылмайтын бөлiгi екенi айқын болды. Және нарықтық процестердiң математикалық модельдерiн құруға үлкен назар аударылады[10].
Қазіргі кезде ақпараттық өнімдер жеке дара, сондай-ақ мемлекеттер үшін, үлкен қаражат көзіне айналып. Ал, инвесторлар пайда табамын деп ақша шығарғанымен, оны қайтарып алуына, пайда табуына ешкім кепілдік бере алмайды, кейде пайда табудың орнына зиян тартып қалуы да мүмкін. Сондықтан мұның табысынан тәуекелі басым. Әрине, тәуекелге кез-келген адам бара бермейді, тәуекелге барған адам өкінбейді. Түптеп келгенде, ақпараттық өнімдерсаудасына саудаға басқаларға да түсер пайда көп. Тұтас алғанда бұл экономиканы көтерудің бір жолы. Өйткені, ақпараттық өнімдерден түскен қаржыны орнын тауып, өндіріске, шаруашылыққа жұмсай білсе, бұдан бүкіл Қазақстан көркейер еді, жұмыссыздық саны азайып, халықтың тұрмыс жағдайы да жақсара түспек. Инвестициялық процесс әлеуметтік - экономикалық дамуымыздың негізгі алғы шартына айналып, еліміздегі реформаларды табысты іске асырудың басты себебі болып отыр. Инвестициялар кез - келген ұлттық экономиканың маңызды да қажетті қоры болып саналады. Инвестициялық жобаларды іске асыру өндірісті жетілдіріп, сатылатын тауарлардың сапасын арттыру онымен қоса жұмыс орындарының көбейіп, тұрғындарды еңбекпен толығымен қамтамасыз етуге, сөйтіп халқымыздың өмір сүру деңгейінің өсуіне мүмкіндік береді. Сонымен, елімізде жүргізіліп жатқан инвестициялық процесті экономикалық пайда кіргізіп, әлеуметтік саланың өркендеуіне жағдай жасайтын қызмет деп қарастыруымыз керек. Осыған орай, инвестициялық іс-әрекетті талдауда, оның тиімділігіне экономикалық шаралармен бірдей әсер ететін әлеуметтік шараларды ерекшелеудің маңызы зор[15].
Мен осы дипломдық жұмыста әр адамға қарапайым есептеулер жолымен инвестордың қандай ақпараттық өнімдерді таңдауға болатынын келтіру. Әр ақпараттық өнімдер, инвестицияны таңдағанда оның тәуекелі қаншалықты болатынын шығарып беру болып табылады. Былай айтқанда, адамдарға инвестицияы әлемінде таңдау кеңістігін сәл кішірейтуге көмек береді. Өзі таңдаған ақпараттық өнімдердің ертеректегі даму немесе құлдырау мәліметтеріне ие бола тұра (қазіргі уақытта ол жайлы интернет желісінен толық ақпарат алуға болады), әр адам таңдауының тәуекелін есептеу мүмкіндігіне ие болады. Осылай таңдай және есептей отыра өзіне керек инвестор портфелін құрады. Әркім өзінің тәуекелдік шегіне байланысты деуге болады.
1 АКТИВ БАҒАЛАРЫНЫҢ ҮЗІЛІССІЗ МОДЕЛІ
1.1 Кездейсоқ процесс
Кездесоқ процесс, ықтимал процесс не, стахастикалық процесс - қандай да бір жүйе күйінің ықтималдық заңдылықтарға сәйкес уақыт бойынша өзгеру процесі. Кездейсоқ процестің уақыттың кез келген сәтіндегі сипаттамалары - белгілі, бір үлестірілуі(таралуы) бар кездейсоқ шамалар. Табиғатта және өндірісте көптеген процесстер (бурундық қозғалыс, сұйықтар мен газдардың турбуленттік ағыстары т.б.) кездейсоқ процесстің мысалына жатады. Кездейсоқ процесстің теориясының жасалуы ресейлік А.А.Марковтың(1903 - 1979ж.ж) еңбектеріне байланысты болады. кездейсоқ процесстің теориясының дамуына А.Н.Колмогаров, амарикалық оқымысты Н.Винер(1894 - 1964ж.ж) т.б. Елеулі үлес қосты.
Анықтама 1 (Ohm,F,P) ықтималдықтар кеңiстiгiнде анықталған {Xt, t∈T} кездейсоқ шамаларының жиынтығын кездейсоқ процесс (stochastic process) деп атаймыз.[10]
T индекстiк немесе, параметрлiк жиын уақыт мезеттерi болады және жиi T ретiнде мына жиындар {0, +-1, +-2,...} , {1,2,...} , [0;+ infinity) , (-infinity,+infinity) алынады.
Егер T = {1,2,...} болса, онда {Xt, t∈T} дискреттi уақытты кездейсоқ процесс немесе, кездейсоқ тiзбек деп аталады.
Егер T = [a,b,...] кейбiр интервал болса, онда {Xt, t∈T} Үзiлiссiз уақытты кездейсоқ процесс деп аталады.
Үзiлiссiз уақытты кездейсоқ процесс үшiн Xt - ның орнына X(t) белгiлеудi жиi пайдаланады.
Әрбір бекiтiлген t∈T үшiн Xt кездейсоқ процесi Ohm жиынында анықталған Xt(.) функция, яғни, кездейсоқ шама болады. Екiншi жағынан, әрбiр бекiтiлген ω ∈ Ohm үшiн X(ω) T-де анықталған кездейсоқ емес функция болады.
T - де анықталған {X(ω), ω ∈ Ohm } функцияларды {Xt , t∈T} кездейсоқ процестiң iске асырылуы немесе ,траектория деп аталады.
Әрбiр t = t1 үшін Xt кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы мына өрнекпен берiледi:
Ft1(x) = P(Xt1 = X).
Бұл функцияны Xt кездейсоқ процестi әбiр үлестiрiм функциясы деп атайды.
Анықтама 2 T = {t=(t1,t2,...,tn) ∈ Tn : t1 t2 ... tn, n = 1, 1, ...} векторлар жиыны болсын. {Xt , t∈T } кездейсоқ процестiң ақырлы өлшемдi үлестiрiм функция деп t = (t1,t2,...,tn) үшін анықталған мына функцияны атайды.
Ft(x) = P(Xt1 = x1 , ... , Xtn = xn) , x = (x1, ... , xn)' ∈ R[n]
Теорема 1 А.Н.Колмогоров. {Ft(.), t ∈ τ } - үлестірім функциялар кейбiр кездейсоқ процестiң ақырлы өлшемдi үлестірім функция болу ұшiн кезкелген ∀n∈{ 1, 2, ... }, t= (t1,...,tn) ∈ τ, 1 = I = n үшiн мына шарттар
limxi--infinityFtx=Ft(i) (x(i))
орындалуы қажетті және жеткілікті.
1.1.1 Стационарлы процестер
Егер ∀t ∈ T үшiн DXt) infinity орындалатындай {Xt,t∈T} кездейсоқ процесс болса, онда осы процестiң автоковариациялық Функция мына теңдікпен анықталады:[1]
γx(r,s) = cov(Xr,Xs) = E[(Xr - Exr)(Xs - Exs)], ∀r,s∈T
Анықтама 3 {Xt, t∈T} кездейсоқ процестi әлсiз стационарлық деп айтады, егер мынашарттар орындалса:
1. EXt[2] infinity, ∀t∈T
2. EXt = m, ∀t∈T
3.γx(r,s) = γx(r+t,s+t), ∀r,s,t∈T
Егер {Xt,t∈T} стационарлық кездейсоқ процесс болса, онда
γx(r,s) = γx(r-s,s-s) = γx(r-s,0), ∀r,s∈T. Сондықтан, автоковариациялық функция бiр айнымалыдан тәуелдi болады:
γx(h) = γx(h,0) = cov(Xt+h,Xt) ∀t,h∈T.
Анықтама 4 Егер кезкелген бүтiн, терiс емес k және кезкелген t1,...,tk, h ∈ T үшiн (Xt1,...,Xtk) және (Xtn+h,...,Xtk+h) бiрлескен үлестiрiмдерi бiрдей болса, онда {Xt, t∈T} кездейсоқ процестi қатаң стационарлық деп айтады.
Егер {Xt} қатаң стационарлық болса, онда ол әлсiз стационарлық болады.
Анықтама 5 {Xt} кездейсоқ процесi Гаусс процесс болу үшiн Xt-тың барлық ақырлы өлшемдi үлестiрiмдер көп өлшемдi Гаусс(нормаль) үлестiрiмдер болуы қажеттi және жеткiлiктi. Егер {Xt, t∈T} стационарлық Гаусс процесi болса, онда {Xt} қатаң стационарлық болады. Шынындада, кезкелген n ∈ {1,2,...}, ∀h, t1,...,tn ∈ T үшiн (Xt1,...,Xtn) және (Xt1+h,...,Xtn+h) Кездейсоқ векторлардың математикалық күтiмдерi және ковариациялық матрицалары Бiрдей болғандықтан, олардың үлестiрiмдерiде бiрдей болады.
Тұжырым 1 (Автоковариациялық функцияның қарапайым қасиеттерi.) Егер γ(::) - {Xt, t∈T} стационарлық процестiң автоковариациялық функциясы болса, онда γ(0) = 0, γ(h) = γ(0), ∀h ∈ T
Және
γ(h) = γ(-h), ∀h∈T
Дәлелдеу. Дисперсия қасиетiнен бiрiншi тұжырым шығады: γ(0) = DXt =0. Коши-Шварц теңсiздiгiнен екiншi қасиеттi аламыз:
cov(Xt+h,Xt) = (DXt+h)12(DXt)12 = DXt = γ(0)
және стационарлық қасиетiнен мына теңдiк табылады:
γ(-h) = cov(Xt-h,Xt) = cov(Xt+h,Xt) = γ(h).
1.2 Аддитивтiк тәуелсiз дискреттi кездейсоқ кезудiң моделi
X - тiң бастапқы мәнi X0 болсын. Және әрқайсысының волатильдiгi (стандартауытқуы) σ - ға тең t=1,2,... кездейсоқ тәуелсiз Гаусс өзгерiсi X - ке әсер етсiн. Онда X осы өзгерiстердiң қосындысына тең, яғни дискреттi кездейсоқ кезу болады:
Xt= X0 + σ(ε1 + ... + εt), (1.2.1)
Мұнда εi ∼ N(0,1), i = 1,...,t.
Соңғы теңдеудiң ықшамды жазу үшiн дискретттi Винер кездейсоқ шаманы енгiзу ыңғайлы:
Wt = ε1+...+εt = εt, (1.2.2)
Мұнда εi, ε ∼ N(0,1). T Гаусс кездейсоқ шамалардың қосындысы волатильдiгi t - ге тең Гаусс кездейсоқ шама болғандықтан, екiншi теңдiктi жазу орынды болады:
Ewt = 0, DWt = D(i=1tεi) = i=1tDεi =t
Тағыда (1.2.2) теңдiкке назар аударайық. T тәуелсiз стандарт Гаусс кездейсоқ шамалардың қосындысының ықтималдықтар қасиеттерi t - ге көбейтiлген бiр Гаусс кездейсоқ шаманың қасиеттерiне тең болғандықтан i=1tεi қосынды орынына ε - бiр кездейсоқ шаманы қарастыруға болады. Яғни, көп өлшемдi кездейсоқ шаманың орынына бiр өлшемдi кездейсоқ шаманы қарастырамыз.
Сондықтан (1.1) мына түрде жазылады:
Xt = X0 + σWt.
Егер бiздiң процесс s қадамнан тұрса және тағыда t − s қадамға созылса, (st), онда:
Ws = ε1 + ... + εs
Wt = ε1 + ... + + εs + εs+1+...+εt.
Екiншi теңдеуден бiрiншi теңдеудi азайтсақ, онда t − s кездейсоқ шамалардың қосындысын аламыз:
Wt-Ws = εs+1 + ... +εt = εt-s = Wt-s.
Онда Ws және Wt -ды мына түрде жазуға болады:
Ws = εas, Wt = εas + εbt-s,
Мұнда εa, εb - математикалық күтiмдерi нөльге, ал дисперсиялары бiрге тең тәуелсiз Гаусс кездейсоқ шамалар. εa - бастапқы s өсiмшiлердiң қосындысына, ал εb - келесi t − s өсiмшiлерге сәйкес келедi.
Ендi Ws Және Wt арасындағы ковариацияны табуға болады:
cov(Ws,Wt) = E((εas)(εas+εbt-s)) = s, st.
Сондықтан
cov(Ws,Wt) = min(s,t), ∀s,t
Егер әрбiр қадамда εi кездейсоқ өзгерiспен бiрге u0 түрақты шамасына ығысатын дискреттi кездейсоқ кезудiң моделiн қарастырсақ. Онда n қадамнан кейiн:
X = X0+ u0 :: n + σ0 nε, (1.2.3)
Мұнда ε ∼ N(0,1), u0 параметрдi процестiң ығысуы деп атайды. Егер u0 0 болса, онда траектория бiртiндеп жоғары жылжыйды, ал егер u0 0 болса, онда төмендейдi.
Әрбiр қадамның ұзындығы ∆t болса, онда t - t0 уақыттың iшiнде қадамдардың саны
n = (t-t0)∆t - ге тең болады. σ2=σ02 ∆t және u=u0∆t белгiлеулердi енгiзейiк. Онда X кездейсоқ процесс болады:
X(t) = X(t0) + u(t-t0) + σt-t0 :: ε.
Бекiтiлген t уақыт үшiн ε Гаусс кездейсоқ шаманың мәнiне байланысты X - тiң кейбiр мәнiн аламыз. Сондықтан X(t) кездейсоқ процестiң үлестiрiмi Гаусс болады.
dt = t - t0 ақырсыз кiшкене интервалдағы dX = X(t) - X(t0) өзгерiстi қарастырайық. Онда мына теңдеу шығады:
dX = udt + σδW, (1.2.4)
мұнда δW = εt белгiлеу енгiзiлген. (1.2.4) теңдеуге бағынатын процестi Винер процесi деп атайды.
Төмендегi келтiрiлген шарттарды қанағаттандыратын W(t) кездейсоқ процестi Винер процесi деп атайды:
1. W(0) = 0
2. Әрбiр ∀n = 1, 2,... үшiн және әрбiр 0 = t0 t1 ... tn параметрдiң мәндерi үшiн
W(ti) - W(t0), W(t2) - W(t1), ... , W(tn) - W(tn-1)
Өсiмшелерi тәуелсiз болады.
3. Wt - Ws кездейсоқ шамаcы Гаусс(нормаль) үлестiрiм болады:
Wt - Ws ∼ N(0,σ√t-s), σ0,
Яғни оның үлестiрiм тығыздығы мына өрнекпен берiледi
p(x) = e-x22σ2 (t-s)2PIσ2 (t-s)
σ = 1 тең болғанда Винер процесiн стандарт деп атайды.
Винер процесi аддитивтiк кездейсоқ кезудiн шегi болатынын көрсетуге болады.
1.3 Актив бағаларының үзiлiссiз моделi
Активтiң бағасы нарықтық жалпы тенденциядан және осы активпен байланысқан анықталмағандықтан тәуелдi болатынын ұйғарайық. Егер активтiң нарықтық бағасының анықталмағандығы болмаса, онда күтiлетiн табыс S активтiң бағасына пропорционалды деп есептеуге орынды, яғни S активтiң бағасы төмендегi теңдеудi қанағаттандырады
∆S = uS∆t, (1.3.1)
Мұнда ∆t - уақыт интервалы, u - пропорционалдық коэффициентi. ∆t--0 ұмтылғанда (1.5) дифференциальдық теңдеу болады:
S' = uS
Оның шешiмi S(t) = S(0)e[ut] -- t уақыттағы S(t) актив бағасын анықтайды.
Бiрақ практикада актив бағасының анықталмағандығы әрқашанда болады. Анықталмағандықты бейнелеу үшiн аргументiң әрбiр мәндерiнде кездейсоқ шама болатын уақыттан тәуелдi функцияларды қарастырады. Осы қасиет кездейсоқ процестi (stochasticprocess) анықтайды. Сондықтан S активiн сипаттау үшiн оның бағаларының өзгерiсiн (Ohm,F,P) кейбiр ықтималдықтар кеңiстiгiнде анықталған кездейсоқ процесс ретiнде қарастырамыз.
u = 0 қарапайым жағдайда, яғни қор нарығы орташада кемiмейтiн және өспейтiн болғанда, табыстың анықталмағандығы, яғни бағаның өзгеру шапшаңдығы S активтiң бағасынан тәуелсiз болады:
∆S = σS∆W,
Мұнда W(t) - Винер процесi, σ 0 - кейбiр оң сан.
Актив бағасының өзгеру моделiн жалпы түрде төмендегi жазылған теңдеумен анықтайды
∆S(t) = uS(t)∆t + σS(t)∆W. (1.3.2)
Анықталмағандық өлшемi болатын σ коэффициентiн волатильдiк (volatility) деп атайды.
1.4 Орташалары нөлдiк емес процестер
(1.3.2) теңдеудi қанағаттандыратын кездейсоқ процестер күрделi, қиын. Алдымен дайындық кезең ретiнде кiшi өзгерiстерi уақыттан тәуелдi, бiрақ Y - тен тәуелсiз, Y(T) кездейсоқ процестi қарастырайық:
∆Y = a∆t + b∆ (1.4.1)
Мұнда a және b - кезкелген белгiленген сандар, W - Винер процесi. (1.3.3) теңдеуi t ∈ [0;T] кейбiр сегментте қарастырылaды, мұнда T - ∆t - ға еселi.
(1.4.1) теңдеудiң мағынасын түсiндiрейiк. [0;T] кесiндiнi ∆t ұзындығы бар интервалдарға бөлейiк. Интервалдың оң жағындағы Y - тiң мәнiн сол жақтағы мәнiн пайдаланып, (1.3.3) арқылы есептейдi, мысалы,
Y(∆t) = Y(0) + a∆t + bW(∆t) - bW(0).
(1.4.1) тееңдеудiң оң жақтағы тек қана b∆W екiншi қосылғыш Y процесiне кездейсоқтықты енгiзетiнiн ескерейiк. ∆W Винер процесiнiң өсiмшелерiнiң математикалық күтiмдерiн нөлге тең болғандықтан
E∆Y = a∆t + bE∆W = a∆t
Математикалық күтiмдi табуға болады. Демек,
EY(∆t) = a∆t + Y(0), EY(2∆t) = a∆t + EY(∆t) = 2a∆t + Y(0)
Және одан әрi. Ақырында,
E(Y(T)) = aT + Y(0) (1.4.2)
аламыз.
∆Y кездейсоқ шаманың дисперсиясы b∆W қосылғышпен аныыталады: D(∆Y) = b[2]D(∆W) = b[2]∆t. (1.4.2) - дi шығару сияқты алынған теңдiктi бiртiндеп пайдаланып дисперсия формуласын табуға болады:
D(Y(T)) = b2T. (1.4.3)
∆W Гаусс кездейсоқ шама болғандықтан t 0 үшiн ∆Y және Y(t) кездейсоқ шамалар Гаусс үлестiрiм болатынын ескерейiк. Алынған нәтижелердi теорема ретiнде қорытындылауға болады:
Теорема 2 (1.4.1) теңдеуді қанағаттандыратын Y(T) кездейсоқ процестiң 0 бастапқы уақытта Y(0) - ге тең болсын. Онда әрбiр бекiтiлген T үшiн Y(T) - Гаусс кездейсоқ шама болады. Және оның математикалық күтiмi Y(0) + aT - ға, ал дисперсиясы B[2]T ға тең болады.
Бiз t ∈ [0;T] сегмент үшiн 2 - теореманы дәлелдедiк. Бастапқы уақыт ретiнде 0- дi алу маңызды емес. Сондықтан мына салдар орынды.
Салдар 1 (1.4.1) теңдеуге қанағаттандыратын Y(t) кездейсоқ процестiң кейбiр t уақыттағы мәнi белгiлi болсын. Онда EY(T) = Y(t) + a(T−t) және DY(T) = b[2](T−t).
1.5 Стохастикалық интегралдар
(Ohm,F,P) ықтималдықтар кеңiстiгiнде W(t), t ∈ [0;T] стандарт Винер процесi анықталсын. Ал B нақты сандар осiндегi борель жиындарының σ алгебрасы болсын. Осы ықтималдықтар кеңiстiгiнде анықталған екiншi моменттерi EX(t)2 infinity ақырлы {X(t), t ∈ [0;T]} үзiлiссiз уақытты кездейсоқ процестi қарастырайық.
Аныытама 6 ∀s = t және ∀B ∈ B үшiн {W(s) ∈ B} оқиғалардан түратын, ең кiшi σ - алгебра болатын, F - тын оқииғалар жиынтығын 0 = s = t, W(s) винер процеспен жасалған σ - алгебра деп атайды.
Осы жиынтықты
Ft = σ{W(s), s ∈ [0;t]}
арқылы белгiлейдi. ∀t = T үшiн Ft ⊂ F анықтамадан шығады. {Ft} - σ - алгебралар үйiрi Fs ⊂ Ft, 0 = s = t = T қасиетiне ие болады. Сондықтан, {Ft, t ∈ [0;T]} σ - алгебралар ағынын құрайды.
Анықтама 7 Егер ∀t ∈ [0;T] үшiн X(t) кездейсоқ шама Ft - өлшемдi болса, яғни {X(t) ∈ B} ∈ Ft, ∀B ∈ B, онда {X(t), t ∈ [0;T]} кездейсоқ процесi {Ft} ағынына қатысты өлшемдi деп аталады.
X(t) кездейсоқ процесс үшiн стохастикалық интегралды екi қадам мен аныытайды. Алдымен осы ұғым жай функцияларға енгiзiледi. Содан кейiн жай функциялардың квадраттық орта шегi болатын функцияларға оны қолданады.
Аныытама 8 t1 = 0 t2 ... tn+1 = T нүктелер ақырлы тiзбегi [0;T] кесiндiнiң қиылыспайтын аралықтарға бөлiктеуiн берсiн: [0;T] = k=1n∆k, мұнда ∆1 = [t1,t2] ,∆2 = (t2,t3] , ... , ∆n = (tn , tn+1]. Егер X(t) кездейсоқ процесс X(t) = k=1nξkI∆k , t ∈ [0;T]
түрiнде болса, онда оны жай процесс деп атайды, мұнда ξk - кездейсоқ шамалар (k = 1 , 2 , ... , n ), Eξk2 = dk infinity, I∆(t) - ∆ аралықтың индикаторы:
I∆(t)= 1, егер t∈∆; 0, егер t∈∆;
Егер ξk - ftk - ға қатысты өлшемдi болса (k = 1 , 2 , ... , n), онда X(t) - {Ft} ағынына қатысты өлшемдi болатыны осы анықтамадан шығады.
Анықтама 9 Ft - өлшемдi X(t) жай процестен стохастикалық интеграл деп мына кездейсоқ шаманы атайды:
It(X) = 0TXtdW(t) = k=1n1ξk[W(tk+1-W(tk)].
Жай процестен It(X) стохастикалық интегралдың кейбiр қасиеттерiн келтiрейiк:
1) It(α1X1 + α2X2) = α1It(X1) + α2It(X2), мүнда α1,α - тұрақты сандар.
2) EIt(X) = 0;
3) EIt(X)2 = 0TEX(t)2dt infinity.
Теорема 3 Егер X(t), t ∈ [0;T] L2 - үзiлiссiз, Ft - өлшемдi кездейсоқ процесс болса, онда
0TEXn(t)-X(t)2dt--0, n--infinity
Орындалатындай Ft - өлшемдi жай процестердiң {Xn(t)} тiзбегi табылады;
It(Xn) стохастикалық интегралдардың тiзбегiнiң квадраттық орта шегi бар болады.
Аныытама 10 3 - теоремада анықталған It(X) = l.i,m,n--infinity It(Xn) кездейсоқ шамасын X(t) кездейсоқ процестiң Ито стохастикалық интегралы деп атайды және
It(X) = 0TX(t)dW(t)
Арқылы белгiлейдi.
1.6 Ито процесi. Ито леммасы
(Ohm, F, (Ft)t=0, P) ықтималдықтар кеңiстiгiнде анықталған және
Xt=X0 + QUOTE 0tX(t)da(s,ω)dsW(t) 0ta(s,ω)ds + 0tb(s,ω)dWs,
теңдеудi қанағаттандыратын X = {Xt ,t = 0} кездейсоқ процесiн Ито процесi деп атайды. Мүнда X0 - процестiң бастапқы нүктесi, түрақты сан, ал {a(t,ω), t = 0}және {b(t,ω),t = 0} функциялар
0ta(s,ω)dsinfinity,, б.д.
0tB2(s,ω)dsinfinity, б.д.
шарттарды қанағаттандыратын Винер процесс арқылы өлшемдi кездейсоқ процестер болады. a(t,ω) және b(t,ω) функцияларын көшiру және диффузия деп атайды. Ито процесiн қысқаша стохастикалық дифференциалдық теңдеу түрiнде жазуға болады:
dXt = a(t,ω)dt + b(t,ω)dWt. (1.6.1)
Осы процесс броун қозғалысы болады. Стохастикалық дифференциалдық теңдеудiң шешiмiн диффузиялық процесi деп атайды.
Лемма 1 Ито C1,2 [R+ x R] - де анықталған, яғни үзiлiссiз туындылары бар
dFdt , dFdx, d2Fd2x
F(t,x) үзiлiссiз функция берiлсiн және X = {Xt,t= 0} - Ито Процесi болсын.
Онда F = {F(t,Xt), t = 0} процесi Ито процесi болады және төмендегi теңдеудi қанағаттандыратынын
F(t,X) = F(0,X0) + 0t[dFds + a(s,w)dFdx + 12 b2 (s,w) d2Fdx2]ds + 0tdFdxb(s,w)dWs
қарауға болады.
Ито леммасының дифференциалдық түрi мына өрнекпен берiледi
dF(t,Xt) = [ dFds + a(s,ω) dFdx + 12 b2(s,ω) d2Fdx2]dt + dFdxb(s,ω)dWt
dSt= utdt+σtdWt
Ито процесiн қарастырайық, мұнда St - t уақыттағы активтiң бағасы болсын. PIt арқылы t кезеңдегi құнды қағаздардың басқару стратегиясын белгiлейiк. Онда PItSt кездейсоқ процесi t кезеңдегi PIt портфельдiң құнын бiлдiредi. Ал t кезеңдегi оның құнын өзгергенiн
PItSt = PIt(utdt + σtdWt) шамасы сипаттайды. Ал Ито интегралы
GT(PI) = 0TPItdSt =0TPItutdt+0TPItσtdWt ,
[0,T] уақыт аралығындағы осы басқару стратегиясын пайдаланғандағы табысты сипаттайды.
Егер барлғық 0 = t = T үшiн
PItSt = PIvSv + GТ(PI)
орындалса, онда стратегияны өзiн - өзi қаржыландыру стратегиясы деп атайды.
2 VaR КӨРСЕТКІШІ
2.1 VaR - ды есептеу әдістерінің салыстырмалы анализі
Заманауи қаржылық тәуекел менеджменті value at risk негізіндегі көрсеткіштерді қолданғандықтан VaR - ды есептеудің қай тәсілі және қандай жағдайда ең жоғарғы нәтижеге ие болатынын дәл білуіміз керек.
VaR дегенiмiз белгiлi уақыт кезеңiнiң iшiндегi берiлген сенiмдiлiк ықтималдықпен инвестор портфелiнiң жоғалтуы мүмкiн максималды ақша көлемiнiң тәуекел көрсеткiшi. VaR - ды 24сағаттық, яғни бiр күндiк период, немесе 10 күндiк период үшiн жиi есептейдi. VaR - ды анықтау әдiстерiн екi топқа бөлуге болады:[10]
1. Параметрлiк модельдер
2. Параметрлiк емес модельдер (тарихи модельдеу әдiсi және Монте - Карло әдiсi)
2.1.1 Параметрлік әдістер (жергілікті бағалау)
Дельта - нормальды әдіс (ковариациялық әдіс) қарапайым болып келеді, ол аналитикалық көріністерге рұқсат береді, позициялардың толық қайта бағалануын қажет етпейді, ретроспективті мәліметтердің ауқымды базасын қажет етпейді. Алайда бірқатар кемшіліктері бар, олардың ең бастысы болып нормальды үлестірім туралы болжамның нақты қаржылық рынок параметріне сәйкес келмеуі болып табылады. Берілген әдіс сызықтық емес бағалық сипаттағы активтердің тәуекелін есептеуге де нашар келеді.
Дельта - гамма - вега - жуықтауы қажетті тәуекелдерді ескеруге мүмкіндік береді ( дельтаның өзгеруі, волатильдіктің өзгеруі), бұл өз кезегінде дельта - нормальды әдістің құндылықтарын сызықтық емес құралдарды қолайлырақ бағалау мүмкіндігі арқылы күшейтеді. Алайда дельта - нормальды әдіске тән қарапайымдылық бұл жағдайда артта қалады.
Бiр актитен тұратын портфельдi қарастырайық. Табыстар Гаусс (қалыпты) үлестiрiлген деп ұйғарайық, яғни егер S0 - кейбiр активтiң қазiргi бағасы (k = 0 уақыт мезетiне сәйкес келетiн) болса, онда k = 1 уақытында активтiң S1 бағасын мына түрде жазуға болады: S1=S0 + S0 ξ1, ξ1∼N(0,σ).
2.1.1.1-сурет. VaR көрсеткiшi
Сондықтан, мына теңдiктер орындалады
S1 - S0 = S0ξ1 ⇒ E(S1 - S0) = S0Eξ1 = 0, D(S1 - S0) = S02 Dξ1 = S02σ2.
Демек, S1 - S0 ∼ N(0,S0σ), немесе (S1 - S0) (S0σ) ∼ N(0,1) кездейсоқ шамалардың үлестiрiмдерi белгiлi болады. Онда бiр күндiк VaR - ды мына шарттан табуға болады P(S1−S0 = −VaR) = α.
Демек,
PS1-S0S0σ=-VaRS0σ=α⇒PS1-S0S0σ=-Va RS0σ=1- α
Яғни
ϕVaRS0σ=1- α⇒VaRS0σ=ϕ-11-α=u2α
Мүнда Φ(x) - стандарт Гаусс үлестiрiм функциясы, u2a - деңгейi (1−α) - ға тең стандарт Гаусс үлестiрiмнiң квантилi. Сондықтан бiр күндiк VaR - ды мына формуламен есептеуге болатыны шығады
VaR=u2αs0σ. (2.1.1.1)
Дәл осы жолмен m күндiк VaR - ды табуға болады, сол үшiн σ арқылы - бiр күндiк табыстың волатильдiгiн, ал σm арқылы - m күндегi табыстың волатильдiгiн белгiлесе, онда m күндегi актив бағасының өзгеруi мына түрде жазылады:
Sm-S0=S0i=1mξi ~N(0,S0σm)
Мұнда ξi ∼ N(0,σ) тәуелсiз кездейсоқ шамалар - S0 - ға қатысты i - шi күннiң табысы. Анықтама бойынша m күндiк VaR - ды мына шарттан табады:
P(Sm−S0 = − VaR) = α.
⇒VaR=u2αS0σm. (2.1.1.2)
Егер бiрнеше активтерден тұратын портфельдi қарастырсақ
S(l) = (S1(l) , ... , Sn(l)),
Мүнда l - уақыт кезеңi (l=1, ... , m)
i=1n(Sim-Si0)
- тәуелсiз бiрдей үлестiрiлген деп ұйғарамыз, онда бiр күндегi өзгерiстi мына түрде жазуға болады
i=1n(Si1-Si0)=i=1mSi0ξi
мұнда ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) ∼ N(0,Σ), Σ = (σij) - ковариациялық матрица.
Сондықтан, VaR - ды мына теңдiктен табамыз
i=1n(Sim-Si0)=VaR=1-α
Яғни
VaR=u2αm i=1ni=1nSi0Sj0σiσj (2.1.1.3)
Мұнда σij = σiσjρij - ковариация, ρij - корреляция коэффициентi.
2.1.2 Толық бағалау әдістері
Тарихи моделдеу әдісі көрнекі және толық түрде үлестірім сипатын болжамай жуан соңдарын (толстых хвостов) ескере отырып тәуекелді бағалауға мүмкіндік береді, алайда бұл әдіс барлық тәуекел факторларының ауқымды базасының болуын болжайды.
Монте - Карло әдісі бір қатар даусыз құндылықтарға ие болғандықтан ең жақсы әдіс ретінде көпшілікке танылған, жекелеп айтсақ ол табыстың нормальды үлестірілуі туралы болжамды қолданбайды, сызықтық емес құралдарға байланысты жоғарғы дәлдік көрсетеді және ретроспективаның таңдауына тұрақты болып келеді. Әдістің кемшіліктеріне есептеулердің техникалық күрделілігін және моделдік тәуекелді жатқызуға болады.
2.2 Шектік VaR және өсімшелік VaR
2.2.1 Шектік VaR
Шектік VaR (marginal VaR) берілген актив бойынша немесе тәуекел факторы бойынша позиция өлшемінің кішігірім өзгерістеріне байланысты портфельдің тәуекелі қандай шамаға өзгергенін көрсетеді.
xi - i - ші актив түріне салынған ақша сомасы болсын, онда шектік VaR былай анықталады:
Marginal VaRi=dVaR(Π)dxi (2.2.1.1)
Осылайша шектік VaR портфельдің өз құрылымының өзгерісіне VaR - дың сезгіштігін сипаттайтын көрсеткіш болып табылады және позиция өлшемі бойынша портфель VaR - ның дербес туындысы ғана болып табылады.
Шектік VaR берілген позицияның немесе бірнеше позицияның толық жойылуы орынсыз болған кезде қолданылады, ал портфель тәуекелдерінің жиынтығын басқарылуы позицияны байанстау арқылы жүзеге асады.
Портфельге кіретін әрбір актив үшін шектік VaR - ын, xi портфеліндегі i - ші актив бойынша позиция өлшемін және оның θi пайыздық өзгерісін білсек, онда портфельдің өсімше VaR - ын табуға болады:
△VaRΠ=ixiθidVaR(Π)dωi (2.2.1.2)
Портфелімізде шектік VaR - ы 100 долларға тең, өзі 1000 доллар тұратын А активі болсын. Біз А активіне қосымша тағы 10 доллар салғымыз келеді, бұл жағдайда портфель VaR - ы келесідей түрде өзгереді: △VaRΠ=10101000-1x100=1 доллар
Шектік VaR - дың маңызды сипаттамасы (және өсімше VaR - дан айырмашылығы) болып аддитивтілік қасиеті табылады:
VaRΠ=xi∙marginal VaRi (2.2.1.3)
Осылайша портфельдің VaR - ын алуға болады. Практикада шектік VaR - ды мысалы лимит қойғанда қолданған ыңғайлы, дербес тәуекелдердің қосындысы тұтас тәуекелге тең болуы маңызды болған жағдайда. Жеке алғанда берілген көрсеткіштің көмегімен портфель VaR - ының декомпозициясын жүргізуге болады, оның құрамына кіретін құралдар (позициялар) немесе тәуекел факторлары арқылы. (2.6) - формуланы қолдана отырып жалпы портфель тәуекеліне салым позициясын бағалау үшін келесідей өрнек аламыз:
Var contribution= xi∙marginal VaRVaR(Π)∙100%=1VaR(Π)∙xi∙dVaR(Π)dx i∙100%
Келтірілген портфель тәуекелінің позиция бойынша жіктелуін шектелген мағынада түсіндіру қажет, бұл дегеніміз барлық позициялардың өлшемінің бірдей салыстырмалы шамаға өзгеруі кезіндегі құралдардың портфель VaR - ының өзгерісіне проценттік салымдарын көрсетеді.
2.2.2 Өсімшелік VaR
Өсімшелік VaR көрсеткіші (incremental VaR - IVaR ) берілген позициясымен портфельдің жиынтық тәуекелге қосылатын тәуекел шамасын бейнелейді. Өсімшелік VaR шектік VaR сияқты портфель құрылымының өзгерісі оның тәуекел шамасына әсер етуін бейнелейді. Алайда шектік VaR - дан ол позиция өлшемінің өзгерісі үлкен болуымен ерекшеленеді, бұл жағдайда портфель VaR - ы сызықтық емес түрде өзгереді.
Бұл көрсеткіштің көмегімен кез келген позицияның өлшемінің (едәуір) өзгеруі немесе жойылуы кезінде портфель VaR - ының қалай өзгеретінін анықтауға болады.
Жалпы жағдайда өсімшелік VaR - ды бастапқы портфель VaR - ы мен берілген позициясыз портфель VaR - ының айырымы ретінде анықтауға болады:
IVaR=VaRΠ-VaR(Π-n) (2.2.2.1)
2.2.2.1-кесте. Әдістер критерилері
Әдіс
Критерилері
Дельта-
Нормальды
Дельта-
гамма-вега
Тарихи
Моделдеу
Монте-
Карло
11.
Бағалау
Төңіректік
Төңіректік
Толық
Толық
22.
Сызықтық емес құралдарға қолданылуы
Жоқ
Иә
Иә
Иә
33.
Тарихи үлестірімнің есептелуі
Нормальды үлестірім ретінде есептеу
Нормальды үлестірім ретінде есептеу
Болған мәліметті дәл солай шығарады
Толығымен
44.
Болжалды волатильдіктің есептелуі
Мүмкін
Мүмкін
Жоқ
Иә
55.
Пайданың нормальды үлестірілді деп қаралуы
Иә
Иә
Жоқ
Жоқ
66.
Төтенше оқиғаларды есептеу
Нашар
Нашар
Нашар
Мүмкін
77.
Моделдік тәуекел
Бірталай болуы мүмкін
Бірталай болуы мүмкін
Тиімді
Жоғары
88.
Қажет ететін мәліметтер көлемі
Орташа
Орташа
Өте үлкен
Кішігірім
99.
Есептелу күрделілігі
Жоғары емес
Орташа
Жоғары
Өте жоғары
110.
Көрнекілігі
Орташа
Кішігірім
Үлкен
Кішігірім
111.
VaR - ды тиімді ету мүмкіндігі
Иә
Жоқ
Жоқ
Жоқ
Бұл жерде VaRΠ - бастапқы портфель VaR - ы (барлық позицияларымен), Var(Π-n) - берілген позициясыз портфель VaR - ы
Өсімшелік VaR көрсеткіші берілген позицияның басқа портфель позицияларымен корреляциялық байланыстарын ескереді.
Мысалға өсімшелік VaR - дың параметрлік әдісінде позицияларды былай есептеуге болады
VaRΠ-VaRΠ-n=VaR2Π-n+VaR2n+2ρVaRΠ-nV aR(n)-VaRΠ-n=VaRn1ξ(ξ2+2ρξ+1-1) (2.2.2.2)
бұл жерде ρ - 𝑛 позициясының корреляциясы, портфельдің қалған бөлігімен (Π-𝑛) бірге
ξ=VaR(n)VaR(Π-n)
ρ - берілген позицияның корреляцисы болсын, берілген позициясыз портфельмен бірге. ρ=0 болғанда позицияның VaR өсімшесі оң мән қабылдайды, ал ρ0 болғанда теріс мән қабылдайды.
(2.2.2.2) - формуладан шығатыны өсімшелік VaR - ды есептеу үшін жалпы жағдайда портфельдің құрылымы өзгергеннен кейін толық қайта бағалануын жасау керек (және сәйкесінше VaR - дың қайта есептелуін де). Мұндай тәсілдеме ең қисынды болып келеді, алайда есептеулерге өте көп уақыт кететіндіктен ол үнемі ыңғайлы бола бермейді.
Ескере кеткен жөн, егер позиция VaR - ы портфель VaR - ымен салыстырғанда аз болса, онда өсімшелік VaR шамамен позиция VaR - ы мен ρ корреляция коэфициентінің көбейтіндісіне тең болады:
IVaRn--VaRn ξ--0 болғанда
Үш шектік жағдайды қарастырайық:
* егер ρ=1 болса, онда позиция өзін қалған портфель сияқты ұстайды. Онысымен бірге позицияның ортақ портфель тәуекеліне үлесі берілген позицияның VaR - ына тең болады;
* егер ρ=-1 болса, онда позиция портфель тәуекелін позиция VaR - ының шамасына азайтады;
* ал ρ=0 болған жағдайда позицияның портфель тәуекеліне үлесі оң және VaRn(1+ξ2-1)ξ тең болады.
2.3 Тәуекел құны және шығын ықтималдығы
Нарықтың бағдарлаушы тәуекелiне алғышарт нарықтың тәуекелiн өлшейдi, әсiресе iрi жоғалтулардың тәуекелін. Iрi қаржылық мекемелерде сақталған активтердiң үлкен және күрделi портфельдерi үшiн бұл маңызды мәселе болады. Тәуекел жасау үшін кейбір әкімшілік қиындықтар болып табылады - көп ретті нарықтар мен активтердің кластарын қамту үшін фирманың позициясының орталықтанған, нақты мәліметтер базасын құру, мысалы басқалары болып статистикалық және есептеуіштер табылады. Кез-келген әдiс нарықтың тәуекелiн өлшеу үшiн әсiресе екi сұрақты бағыттауы керек:
* Дегенмен қандай статистикалық үлгi портфелге әсер ететін тәуекелдің бөлек көздеріндегі ауысуларды және тәуекелдің көпреттік көздеріндегі ауысуларды ыңғайлы сипаттай алады?
* Тәуекелдің базалық көздеріндегі өзгерістерге әсер ретінде портфель қалай өзгереді?
Бұл сұрақтардың біріншісі тәуекелдер факторларындағы өзгерiстердiң бiрiккен үлестiрiлуiн сұрап түр - портфельді көрсете алатын айырбастау курстары, пайыздық ставкалар, акция және тауардың бағалары. Екiншiсі тәуекел факторларынан портфель мәніне дейін сипаттаманы сұратады. Екi элемент те анықталған бойда, портфельдiң пайдасының және жоғалтудың үлестiрiлулері негiзiнен анықталады, онда бұл үлестiрiлудi жинақтайтын тәуекелге қатысты кез келген шара да анықталады.
Мысалға көп өлшемдi нормальды нарықтық баға ретінде кемшiлiктері бар екені белгілі, бiрақ оның көптеген ыңғайлы қасиеттерiне байланысты кең қолданысқа ие. Бiздiң фокус екінші сұрақ көтерген статистикалық мәселелерге қарағанда бірінші сұрақ көтерген есептеуіш мәселерге көбірек ауған.
Мәселенi толығырақ сипатталу үшiн бiз кейбiр түсініктемелерді ұсынамыз:
S = m нарықтық бағалар мен деңгейлер векторы;
∆t= тәуекелдің өзгеру горизонты;
∆S = ∆t интервалы бойынша S- ке өзгереді
V (S, t) = t уақытындағы портфель мәні және S нарықтық бағалары
L - ∆t=-∆V=V(S,t)-V(S+∆S,t+∆t) интервалы бойынша жоғалтулар;
FL (x) = P (Lx), L үлестірімі.
m тиiстi тәуекелдер факторларының саны өте үлкен болуы, жүздеген немесе мыңдағанға жетуі мүмкін еді. Банктік қадағалауда ∆t интервалы екі апталық горизонт бойынша өлшемдерді талап ететін бақылаушы органдармен айтарлықтай қысқа және бұл - біз айтып отырған қондырғы. Екi апталық горизонт нарықтың қолайсыз орын ауыстыруы жағдайындағы күрделi позицияларды тарқатуға мiндеттi бола алатын уақыт ретінде жиі түсiндiрiледi. Зейнетақы қорлар және сақтандыру компаниясы, тиiстi уақыт аралығы үшiн нарықтың белгiлі басқа облыстарында, активтiң жауапкершiлiгiнiң сондай басқарулары әлдеқайда ұзақ және бай платформаны талап етедi.
Жоғарыдағы түсініктеме кейбір анықталмаған ықшамдайтын жорамалдарды қамтып көрсетедi. Бiз мысалға горизонт шегіндегі портфелдің барынша ең көп және ең аз мәндерін елемей ∆t горизонты бойынша таза шығынды ғана қарастырамыз. Бiз нарықтық бағалардың динамикасын, ∆S өзгеру векторындағы даму туралы барлық S қосымшаларды елемейміз. Және де активтердің жетілуін немесе мерзімі өтуін жақындата алатын ∆t уақытының ішіндегі нарықтың ∆S жандануы портфелдің құрамаларының мәндерін өзгерте алса да, біз оның құрамы өзгеріссіз қалады деп тұжырымдаймыз.
(VaR) жоғарғы тәуекелді порфелдің бағасы ∆t белгіленген горизонты бойынша шығын үлестірімінің процентилі болып табылады. Мысалы, 99% VaR xp қанағаттандыру нүктесі
1-FLxp≡PLxp=p
p = 0.01 - мен. (Бiз оңайлық үшiн барлық жерде сондай нүкте бола алатындай FL - ды үздіксіз деп аламыз). Квантиль үлестірімнің құйрығы жайлы мәліметтерді жинақтауға қарапайым әдіс береді және бұл анықталған мән шығынның ең қиын жағдайындағы орынды деңгейі деп түсіндіріледі. Pξxp=p шартты қанағаттандыратын xp санды ξ кездейсоқ шаманың деңгейі p - ге тең квантилі деп атайды. Егер ξ үзіліссіз кездейсоқ шама болса, онда xp квантилі төмендегі
Fξxp=-infinityxpftdt=p
Теңдеудің шешімі болады. Демек, квантиль - үлестірім функцияға кері фуункцияны анықтайды. ξ кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығының графигі астыдағы xp - ның сол жағындағы аудан p - ге тең екені квантильдің геометриялық мағынасы болады.
VaR тәуекел өлшемі ретінде банктік қадағалаудағы халықаралық әрекеттерге байланысты 1990-шы жылдардың соңында кеңінен қолданыла бастады. VaR - ды тәуекел өлшемі дегенше капиталдың жеткiлiктiлiгiнiң өлшемі деп нақтырақ ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ 3
1 АКТИВ БАҒАЛАРЫНЫҢ ҮЗІЛІССІЗ МОДЕЛІ 4
1.1 Кездейсоқ процесс 4
1.1.1 Стационарлы процестер 5
1.2 Аддитивтiк тәуелсiз дискреттi кездейсоқ кезудiң моделi 5
1.3 Актив бағаларының үзiлiссiз моделi 7
1.4 Орташалары нөлдiк емес процестер 8
1.5 Стохастикалық интегралдар 9
1.6 Ито процесi. Ито леммасы 10
2 VaR КӨРСЕТКІШІ 12
2.1 VaR - ды есептеу әдістерінің салыстырмалы анализі 12
2.1.1 Параметрлік әдістер (жергілікті бағалау) 12
2.1.2 Толық бағалау әдістері 14
2.2 Шектік VaR және өсімшелік VaR 14
2.2.1 Шектік VaR 14
2.2.2 Өсімшелік VaR 15
2.3 Тәуекел құны және шығын ықтималдығы 17
3 ПАРАМЕТІРЛІК ЕМЕС МОДЕЛДЕР 21
3.1 Тарихи модельдеу әдiсi 21
3.2 Монте - Карло әдiсi 21
3.2.1 Монте-Карло әдісінің қателiкті бағалауы 23
3.2.2 Монте-Карло әдiсінің ортақ схемасы 24
3.2.3 Активтер портфеліне арналған Монте-Карло әдісі 24
3.2.4 Монте - Карло принциптері 25
4 ЕСЕПТІҢ ШЕШІЛУ АЛГАРИТМІ ЖӘНЕ ӘДІСТЕРДІҢ АРТЫҚШЫЛЫҒЫ МЕН КЕМШІЛІГІ 28
4.1 Тәуекелдің бір факторына байланысты Тарихи модельдеу әдiсi 28
4.2 Тәуекелдің бір факторына байланысты Монте-Карло әдісі 29
4.3 Монте - Карло моделдеуі 31
5 ЕСЕПКЕ АРНАЛҒАН ПРОГРАММАЛЫҚ ЖАБДЫҚТАМА 32
5.1 Excel - Microsoft Office ортасы 32
6 КЕЙБІР АКТИВТЕР ҮШІН VaR - ДЫ ТАБУ 33
6.1 VaR - ды Тәрихи моделдеу әдісі бойынша есептеу 33
6.2 VaR - ды Монте - Карло әдісі арқылы есептеу 33
ҚОРЫТЫНДЫ 36
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 38
А ҚОСЫМШАСЫ 39
Ә ҚОСЫМШАСЫ 56
КІРІСПЕ
Соңғы жылдарда қаржылық модельдерге зор қызығушылық өстi. Қаржылық талдау ғылымы математиканың құрамдас ажыратылмайтын бөлiгi екенi айқын болды. Және нарықтық процестердiң математикалық модельдерiн құруға үлкен назар аударылады[10].
Қазіргі кезде ақпараттық өнімдер жеке дара, сондай-ақ мемлекеттер үшін, үлкен қаражат көзіне айналып. Ал, инвесторлар пайда табамын деп ақша шығарғанымен, оны қайтарып алуына, пайда табуына ешкім кепілдік бере алмайды, кейде пайда табудың орнына зиян тартып қалуы да мүмкін. Сондықтан мұның табысынан тәуекелі басым. Әрине, тәуекелге кез-келген адам бара бермейді, тәуекелге барған адам өкінбейді. Түптеп келгенде, ақпараттық өнімдерсаудасына саудаға басқаларға да түсер пайда көп. Тұтас алғанда бұл экономиканы көтерудің бір жолы. Өйткені, ақпараттық өнімдерден түскен қаржыны орнын тауып, өндіріске, шаруашылыққа жұмсай білсе, бұдан бүкіл Қазақстан көркейер еді, жұмыссыздық саны азайып, халықтың тұрмыс жағдайы да жақсара түспек. Инвестициялық процесс әлеуметтік - экономикалық дамуымыздың негізгі алғы шартына айналып, еліміздегі реформаларды табысты іске асырудың басты себебі болып отыр. Инвестициялар кез - келген ұлттық экономиканың маңызды да қажетті қоры болып саналады. Инвестициялық жобаларды іске асыру өндірісті жетілдіріп, сатылатын тауарлардың сапасын арттыру онымен қоса жұмыс орындарының көбейіп, тұрғындарды еңбекпен толығымен қамтамасыз етуге, сөйтіп халқымыздың өмір сүру деңгейінің өсуіне мүмкіндік береді. Сонымен, елімізде жүргізіліп жатқан инвестициялық процесті экономикалық пайда кіргізіп, әлеуметтік саланың өркендеуіне жағдай жасайтын қызмет деп қарастыруымыз керек. Осыған орай, инвестициялық іс-әрекетті талдауда, оның тиімділігіне экономикалық шаралармен бірдей әсер ететін әлеуметтік шараларды ерекшелеудің маңызы зор[15].
Мен осы дипломдық жұмыста әр адамға қарапайым есептеулер жолымен инвестордың қандай ақпараттық өнімдерді таңдауға болатынын келтіру. Әр ақпараттық өнімдер, инвестицияны таңдағанда оның тәуекелі қаншалықты болатынын шығарып беру болып табылады. Былай айтқанда, адамдарға инвестицияы әлемінде таңдау кеңістігін сәл кішірейтуге көмек береді. Өзі таңдаған ақпараттық өнімдердің ертеректегі даму немесе құлдырау мәліметтеріне ие бола тұра (қазіргі уақытта ол жайлы интернет желісінен толық ақпарат алуға болады), әр адам таңдауының тәуекелін есептеу мүмкіндігіне ие болады. Осылай таңдай және есептей отыра өзіне керек инвестор портфелін құрады. Әркім өзінің тәуекелдік шегіне байланысты деуге болады.
1 АКТИВ БАҒАЛАРЫНЫҢ ҮЗІЛІССІЗ МОДЕЛІ
1.1 Кездейсоқ процесс
Кездесоқ процесс, ықтимал процесс не, стахастикалық процесс - қандай да бір жүйе күйінің ықтималдық заңдылықтарға сәйкес уақыт бойынша өзгеру процесі. Кездейсоқ процестің уақыттың кез келген сәтіндегі сипаттамалары - белгілі, бір үлестірілуі(таралуы) бар кездейсоқ шамалар. Табиғатта және өндірісте көптеген процесстер (бурундық қозғалыс, сұйықтар мен газдардың турбуленттік ағыстары т.б.) кездейсоқ процесстің мысалына жатады. Кездейсоқ процесстің теориясының жасалуы ресейлік А.А.Марковтың(1903 - 1979ж.ж) еңбектеріне байланысты болады. кездейсоқ процесстің теориясының дамуына А.Н.Колмогаров, амарикалық оқымысты Н.Винер(1894 - 1964ж.ж) т.б. Елеулі үлес қосты.
Анықтама 1 (Ohm,F,P) ықтималдықтар кеңiстiгiнде анықталған {Xt, t∈T} кездейсоқ шамаларының жиынтығын кездейсоқ процесс (stochastic process) деп атаймыз.[10]
T индекстiк немесе, параметрлiк жиын уақыт мезеттерi болады және жиi T ретiнде мына жиындар {0, +-1, +-2,...} , {1,2,...} , [0;+ infinity) , (-infinity,+infinity) алынады.
Егер T = {1,2,...} болса, онда {Xt, t∈T} дискреттi уақытты кездейсоқ процесс немесе, кездейсоқ тiзбек деп аталады.
Егер T = [a,b,...] кейбiр интервал болса, онда {Xt, t∈T} Үзiлiссiз уақытты кездейсоқ процесс деп аталады.
Үзiлiссiз уақытты кездейсоқ процесс үшiн Xt - ның орнына X(t) белгiлеудi жиi пайдаланады.
Әрбір бекiтiлген t∈T үшiн Xt кездейсоқ процесi Ohm жиынында анықталған Xt(.) функция, яғни, кездейсоқ шама болады. Екiншi жағынан, әрбiр бекiтiлген ω ∈ Ohm үшiн X(ω) T-де анықталған кездейсоқ емес функция болады.
T - де анықталған {X(ω), ω ∈ Ohm } функцияларды {Xt , t∈T} кездейсоқ процестiң iске асырылуы немесе ,траектория деп аталады.
Әрбiр t = t1 үшін Xt кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы мына өрнекпен берiледi:
Ft1(x) = P(Xt1 = X).
Бұл функцияны Xt кездейсоқ процестi әбiр үлестiрiм функциясы деп атайды.
Анықтама 2 T = {t=(t1,t2,...,tn) ∈ Tn : t1 t2 ... tn, n = 1, 1, ...} векторлар жиыны болсын. {Xt , t∈T } кездейсоқ процестiң ақырлы өлшемдi үлестiрiм функция деп t = (t1,t2,...,tn) үшін анықталған мына функцияны атайды.
Ft(x) = P(Xt1 = x1 , ... , Xtn = xn) , x = (x1, ... , xn)' ∈ R[n]
Теорема 1 А.Н.Колмогоров. {Ft(.), t ∈ τ } - үлестірім функциялар кейбiр кездейсоқ процестiң ақырлы өлшемдi үлестірім функция болу ұшiн кезкелген ∀n∈{ 1, 2, ... }, t= (t1,...,tn) ∈ τ, 1 = I = n үшiн мына шарттар
limxi--infinityFtx=Ft(i) (x(i))
орындалуы қажетті және жеткілікті.
1.1.1 Стационарлы процестер
Егер ∀t ∈ T үшiн DXt) infinity орындалатындай {Xt,t∈T} кездейсоқ процесс болса, онда осы процестiң автоковариациялық Функция мына теңдікпен анықталады:[1]
γx(r,s) = cov(Xr,Xs) = E[(Xr - Exr)(Xs - Exs)], ∀r,s∈T
Анықтама 3 {Xt, t∈T} кездейсоқ процестi әлсiз стационарлық деп айтады, егер мынашарттар орындалса:
1. EXt[2] infinity, ∀t∈T
2. EXt = m, ∀t∈T
3.γx(r,s) = γx(r+t,s+t), ∀r,s,t∈T
Егер {Xt,t∈T} стационарлық кездейсоқ процесс болса, онда
γx(r,s) = γx(r-s,s-s) = γx(r-s,0), ∀r,s∈T. Сондықтан, автоковариациялық функция бiр айнымалыдан тәуелдi болады:
γx(h) = γx(h,0) = cov(Xt+h,Xt) ∀t,h∈T.
Анықтама 4 Егер кезкелген бүтiн, терiс емес k және кезкелген t1,...,tk, h ∈ T үшiн (Xt1,...,Xtk) және (Xtn+h,...,Xtk+h) бiрлескен үлестiрiмдерi бiрдей болса, онда {Xt, t∈T} кездейсоқ процестi қатаң стационарлық деп айтады.
Егер {Xt} қатаң стационарлық болса, онда ол әлсiз стационарлық болады.
Анықтама 5 {Xt} кездейсоқ процесi Гаусс процесс болу үшiн Xt-тың барлық ақырлы өлшемдi үлестiрiмдер көп өлшемдi Гаусс(нормаль) үлестiрiмдер болуы қажеттi және жеткiлiктi. Егер {Xt, t∈T} стационарлық Гаусс процесi болса, онда {Xt} қатаң стационарлық болады. Шынындада, кезкелген n ∈ {1,2,...}, ∀h, t1,...,tn ∈ T үшiн (Xt1,...,Xtn) және (Xt1+h,...,Xtn+h) Кездейсоқ векторлардың математикалық күтiмдерi және ковариациялық матрицалары Бiрдей болғандықтан, олардың үлестiрiмдерiде бiрдей болады.
Тұжырым 1 (Автоковариациялық функцияның қарапайым қасиеттерi.) Егер γ(::) - {Xt, t∈T} стационарлық процестiң автоковариациялық функциясы болса, онда γ(0) = 0, γ(h) = γ(0), ∀h ∈ T
Және
γ(h) = γ(-h), ∀h∈T
Дәлелдеу. Дисперсия қасиетiнен бiрiншi тұжырым шығады: γ(0) = DXt =0. Коши-Шварц теңсiздiгiнен екiншi қасиеттi аламыз:
cov(Xt+h,Xt) = (DXt+h)12(DXt)12 = DXt = γ(0)
және стационарлық қасиетiнен мына теңдiк табылады:
γ(-h) = cov(Xt-h,Xt) = cov(Xt+h,Xt) = γ(h).
1.2 Аддитивтiк тәуелсiз дискреттi кездейсоқ кезудiң моделi
X - тiң бастапқы мәнi X0 болсын. Және әрқайсысының волатильдiгi (стандартауытқуы) σ - ға тең t=1,2,... кездейсоқ тәуелсiз Гаусс өзгерiсi X - ке әсер етсiн. Онда X осы өзгерiстердiң қосындысына тең, яғни дискреттi кездейсоқ кезу болады:
Xt= X0 + σ(ε1 + ... + εt), (1.2.1)
Мұнда εi ∼ N(0,1), i = 1,...,t.
Соңғы теңдеудiң ықшамды жазу үшiн дискретттi Винер кездейсоқ шаманы енгiзу ыңғайлы:
Wt = ε1+...+εt = εt, (1.2.2)
Мұнда εi, ε ∼ N(0,1). T Гаусс кездейсоқ шамалардың қосындысы волатильдiгi t - ге тең Гаусс кездейсоқ шама болғандықтан, екiншi теңдiктi жазу орынды болады:
Ewt = 0, DWt = D(i=1tεi) = i=1tDεi =t
Тағыда (1.2.2) теңдiкке назар аударайық. T тәуелсiз стандарт Гаусс кездейсоқ шамалардың қосындысының ықтималдықтар қасиеттерi t - ге көбейтiлген бiр Гаусс кездейсоқ шаманың қасиеттерiне тең болғандықтан i=1tεi қосынды орынына ε - бiр кездейсоқ шаманы қарастыруға болады. Яғни, көп өлшемдi кездейсоқ шаманың орынына бiр өлшемдi кездейсоқ шаманы қарастырамыз.
Сондықтан (1.1) мына түрде жазылады:
Xt = X0 + σWt.
Егер бiздiң процесс s қадамнан тұрса және тағыда t − s қадамға созылса, (st), онда:
Ws = ε1 + ... + εs
Wt = ε1 + ... + + εs + εs+1+...+εt.
Екiншi теңдеуден бiрiншi теңдеудi азайтсақ, онда t − s кездейсоқ шамалардың қосындысын аламыз:
Wt-Ws = εs+1 + ... +εt = εt-s = Wt-s.
Онда Ws және Wt -ды мына түрде жазуға болады:
Ws = εas, Wt = εas + εbt-s,
Мұнда εa, εb - математикалық күтiмдерi нөльге, ал дисперсиялары бiрге тең тәуелсiз Гаусс кездейсоқ шамалар. εa - бастапқы s өсiмшiлердiң қосындысына, ал εb - келесi t − s өсiмшiлерге сәйкес келедi.
Ендi Ws Және Wt арасындағы ковариацияны табуға болады:
cov(Ws,Wt) = E((εas)(εas+εbt-s)) = s, st.
Сондықтан
cov(Ws,Wt) = min(s,t), ∀s,t
Егер әрбiр қадамда εi кездейсоқ өзгерiспен бiрге u0 түрақты шамасына ығысатын дискреттi кездейсоқ кезудiң моделiн қарастырсақ. Онда n қадамнан кейiн:
X = X0+ u0 :: n + σ0 nε, (1.2.3)
Мұнда ε ∼ N(0,1), u0 параметрдi процестiң ығысуы деп атайды. Егер u0 0 болса, онда траектория бiртiндеп жоғары жылжыйды, ал егер u0 0 болса, онда төмендейдi.
Әрбiр қадамның ұзындығы ∆t болса, онда t - t0 уақыттың iшiнде қадамдардың саны
n = (t-t0)∆t - ге тең болады. σ2=σ02 ∆t және u=u0∆t белгiлеулердi енгiзейiк. Онда X кездейсоқ процесс болады:
X(t) = X(t0) + u(t-t0) + σt-t0 :: ε.
Бекiтiлген t уақыт үшiн ε Гаусс кездейсоқ шаманың мәнiне байланысты X - тiң кейбiр мәнiн аламыз. Сондықтан X(t) кездейсоқ процестiң үлестiрiмi Гаусс болады.
dt = t - t0 ақырсыз кiшкене интервалдағы dX = X(t) - X(t0) өзгерiстi қарастырайық. Онда мына теңдеу шығады:
dX = udt + σδW, (1.2.4)
мұнда δW = εt белгiлеу енгiзiлген. (1.2.4) теңдеуге бағынатын процестi Винер процесi деп атайды.
Төмендегi келтiрiлген шарттарды қанағаттандыратын W(t) кездейсоқ процестi Винер процесi деп атайды:
1. W(0) = 0
2. Әрбiр ∀n = 1, 2,... үшiн және әрбiр 0 = t0 t1 ... tn параметрдiң мәндерi үшiн
W(ti) - W(t0), W(t2) - W(t1), ... , W(tn) - W(tn-1)
Өсiмшелерi тәуелсiз болады.
3. Wt - Ws кездейсоқ шамаcы Гаусс(нормаль) үлестiрiм болады:
Wt - Ws ∼ N(0,σ√t-s), σ0,
Яғни оның үлестiрiм тығыздығы мына өрнекпен берiледi
p(x) = e-x22σ2 (t-s)2PIσ2 (t-s)
σ = 1 тең болғанда Винер процесiн стандарт деп атайды.
Винер процесi аддитивтiк кездейсоқ кезудiн шегi болатынын көрсетуге болады.
1.3 Актив бағаларының үзiлiссiз моделi
Активтiң бағасы нарықтық жалпы тенденциядан және осы активпен байланысқан анықталмағандықтан тәуелдi болатынын ұйғарайық. Егер активтiң нарықтық бағасының анықталмағандығы болмаса, онда күтiлетiн табыс S активтiң бағасына пропорционалды деп есептеуге орынды, яғни S активтiң бағасы төмендегi теңдеудi қанағаттандырады
∆S = uS∆t, (1.3.1)
Мұнда ∆t - уақыт интервалы, u - пропорционалдық коэффициентi. ∆t--0 ұмтылғанда (1.5) дифференциальдық теңдеу болады:
S' = uS
Оның шешiмi S(t) = S(0)e[ut] -- t уақыттағы S(t) актив бағасын анықтайды.
Бiрақ практикада актив бағасының анықталмағандығы әрқашанда болады. Анықталмағандықты бейнелеу үшiн аргументiң әрбiр мәндерiнде кездейсоқ шама болатын уақыттан тәуелдi функцияларды қарастырады. Осы қасиет кездейсоқ процестi (stochasticprocess) анықтайды. Сондықтан S активiн сипаттау үшiн оның бағаларының өзгерiсiн (Ohm,F,P) кейбiр ықтималдықтар кеңiстiгiнде анықталған кездейсоқ процесс ретiнде қарастырамыз.
u = 0 қарапайым жағдайда, яғни қор нарығы орташада кемiмейтiн және өспейтiн болғанда, табыстың анықталмағандығы, яғни бағаның өзгеру шапшаңдығы S активтiң бағасынан тәуелсiз болады:
∆S = σS∆W,
Мұнда W(t) - Винер процесi, σ 0 - кейбiр оң сан.
Актив бағасының өзгеру моделiн жалпы түрде төмендегi жазылған теңдеумен анықтайды
∆S(t) = uS(t)∆t + σS(t)∆W. (1.3.2)
Анықталмағандық өлшемi болатын σ коэффициентiн волатильдiк (volatility) деп атайды.
1.4 Орташалары нөлдiк емес процестер
(1.3.2) теңдеудi қанағаттандыратын кездейсоқ процестер күрделi, қиын. Алдымен дайындық кезең ретiнде кiшi өзгерiстерi уақыттан тәуелдi, бiрақ Y - тен тәуелсiз, Y(T) кездейсоқ процестi қарастырайық:
∆Y = a∆t + b∆ (1.4.1)
Мұнда a және b - кезкелген белгiленген сандар, W - Винер процесi. (1.3.3) теңдеуi t ∈ [0;T] кейбiр сегментте қарастырылaды, мұнда T - ∆t - ға еселi.
(1.4.1) теңдеудiң мағынасын түсiндiрейiк. [0;T] кесiндiнi ∆t ұзындығы бар интервалдарға бөлейiк. Интервалдың оң жағындағы Y - тiң мәнiн сол жақтағы мәнiн пайдаланып, (1.3.3) арқылы есептейдi, мысалы,
Y(∆t) = Y(0) + a∆t + bW(∆t) - bW(0).
(1.4.1) тееңдеудiң оң жақтағы тек қана b∆W екiншi қосылғыш Y процесiне кездейсоқтықты енгiзетiнiн ескерейiк. ∆W Винер процесiнiң өсiмшелерiнiң математикалық күтiмдерiн нөлге тең болғандықтан
E∆Y = a∆t + bE∆W = a∆t
Математикалық күтiмдi табуға болады. Демек,
EY(∆t) = a∆t + Y(0), EY(2∆t) = a∆t + EY(∆t) = 2a∆t + Y(0)
Және одан әрi. Ақырында,
E(Y(T)) = aT + Y(0) (1.4.2)
аламыз.
∆Y кездейсоқ шаманың дисперсиясы b∆W қосылғышпен аныыталады: D(∆Y) = b[2]D(∆W) = b[2]∆t. (1.4.2) - дi шығару сияқты алынған теңдiктi бiртiндеп пайдаланып дисперсия формуласын табуға болады:
D(Y(T)) = b2T. (1.4.3)
∆W Гаусс кездейсоқ шама болғандықтан t 0 үшiн ∆Y және Y(t) кездейсоқ шамалар Гаусс үлестiрiм болатынын ескерейiк. Алынған нәтижелердi теорема ретiнде қорытындылауға болады:
Теорема 2 (1.4.1) теңдеуді қанағаттандыратын Y(T) кездейсоқ процестiң 0 бастапқы уақытта Y(0) - ге тең болсын. Онда әрбiр бекiтiлген T үшiн Y(T) - Гаусс кездейсоқ шама болады. Және оның математикалық күтiмi Y(0) + aT - ға, ал дисперсиясы B[2]T ға тең болады.
Бiз t ∈ [0;T] сегмент үшiн 2 - теореманы дәлелдедiк. Бастапқы уақыт ретiнде 0- дi алу маңызды емес. Сондықтан мына салдар орынды.
Салдар 1 (1.4.1) теңдеуге қанағаттандыратын Y(t) кездейсоқ процестiң кейбiр t уақыттағы мәнi белгiлi болсын. Онда EY(T) = Y(t) + a(T−t) және DY(T) = b[2](T−t).
1.5 Стохастикалық интегралдар
(Ohm,F,P) ықтималдықтар кеңiстiгiнде W(t), t ∈ [0;T] стандарт Винер процесi анықталсын. Ал B нақты сандар осiндегi борель жиындарының σ алгебрасы болсын. Осы ықтималдықтар кеңiстiгiнде анықталған екiншi моменттерi EX(t)2 infinity ақырлы {X(t), t ∈ [0;T]} үзiлiссiз уақытты кездейсоқ процестi қарастырайық.
Аныытама 6 ∀s = t және ∀B ∈ B үшiн {W(s) ∈ B} оқиғалардан түратын, ең кiшi σ - алгебра болатын, F - тын оқииғалар жиынтығын 0 = s = t, W(s) винер процеспен жасалған σ - алгебра деп атайды.
Осы жиынтықты
Ft = σ{W(s), s ∈ [0;t]}
арқылы белгiлейдi. ∀t = T үшiн Ft ⊂ F анықтамадан шығады. {Ft} - σ - алгебралар үйiрi Fs ⊂ Ft, 0 = s = t = T қасиетiне ие болады. Сондықтан, {Ft, t ∈ [0;T]} σ - алгебралар ағынын құрайды.
Анықтама 7 Егер ∀t ∈ [0;T] үшiн X(t) кездейсоқ шама Ft - өлшемдi болса, яғни {X(t) ∈ B} ∈ Ft, ∀B ∈ B, онда {X(t), t ∈ [0;T]} кездейсоқ процесi {Ft} ағынына қатысты өлшемдi деп аталады.
X(t) кездейсоқ процесс үшiн стохастикалық интегралды екi қадам мен аныытайды. Алдымен осы ұғым жай функцияларға енгiзiледi. Содан кейiн жай функциялардың квадраттық орта шегi болатын функцияларға оны қолданады.
Аныытама 8 t1 = 0 t2 ... tn+1 = T нүктелер ақырлы тiзбегi [0;T] кесiндiнiң қиылыспайтын аралықтарға бөлiктеуiн берсiн: [0;T] = k=1n∆k, мұнда ∆1 = [t1,t2] ,∆2 = (t2,t3] , ... , ∆n = (tn , tn+1]. Егер X(t) кездейсоқ процесс X(t) = k=1nξkI∆k , t ∈ [0;T]
түрiнде болса, онда оны жай процесс деп атайды, мұнда ξk - кездейсоқ шамалар (k = 1 , 2 , ... , n ), Eξk2 = dk infinity, I∆(t) - ∆ аралықтың индикаторы:
I∆(t)= 1, егер t∈∆; 0, егер t∈∆;
Егер ξk - ftk - ға қатысты өлшемдi болса (k = 1 , 2 , ... , n), онда X(t) - {Ft} ағынына қатысты өлшемдi болатыны осы анықтамадан шығады.
Анықтама 9 Ft - өлшемдi X(t) жай процестен стохастикалық интеграл деп мына кездейсоқ шаманы атайды:
It(X) = 0TXtdW(t) = k=1n1ξk[W(tk+1-W(tk)].
Жай процестен It(X) стохастикалық интегралдың кейбiр қасиеттерiн келтiрейiк:
1) It(α1X1 + α2X2) = α1It(X1) + α2It(X2), мүнда α1,α - тұрақты сандар.
2) EIt(X) = 0;
3) EIt(X)2 = 0TEX(t)2dt infinity.
Теорема 3 Егер X(t), t ∈ [0;T] L2 - үзiлiссiз, Ft - өлшемдi кездейсоқ процесс болса, онда
0TEXn(t)-X(t)2dt--0, n--infinity
Орындалатындай Ft - өлшемдi жай процестердiң {Xn(t)} тiзбегi табылады;
It(Xn) стохастикалық интегралдардың тiзбегiнiң квадраттық орта шегi бар болады.
Аныытама 10 3 - теоремада анықталған It(X) = l.i,m,n--infinity It(Xn) кездейсоқ шамасын X(t) кездейсоқ процестiң Ито стохастикалық интегралы деп атайды және
It(X) = 0TX(t)dW(t)
Арқылы белгiлейдi.
1.6 Ито процесi. Ито леммасы
(Ohm, F, (Ft)t=0, P) ықтималдықтар кеңiстiгiнде анықталған және
Xt=X0 + QUOTE 0tX(t)da(s,ω)dsW(t) 0ta(s,ω)ds + 0tb(s,ω)dWs,
теңдеудi қанағаттандыратын X = {Xt ,t = 0} кездейсоқ процесiн Ито процесi деп атайды. Мүнда X0 - процестiң бастапқы нүктесi, түрақты сан, ал {a(t,ω), t = 0}және {b(t,ω),t = 0} функциялар
0ta(s,ω)dsinfinity,, б.д.
0tB2(s,ω)dsinfinity, б.д.
шарттарды қанағаттандыратын Винер процесс арқылы өлшемдi кездейсоқ процестер болады. a(t,ω) және b(t,ω) функцияларын көшiру және диффузия деп атайды. Ито процесiн қысқаша стохастикалық дифференциалдық теңдеу түрiнде жазуға болады:
dXt = a(t,ω)dt + b(t,ω)dWt. (1.6.1)
Осы процесс броун қозғалысы болады. Стохастикалық дифференциалдық теңдеудiң шешiмiн диффузиялық процесi деп атайды.
Лемма 1 Ито C1,2 [R+ x R] - де анықталған, яғни үзiлiссiз туындылары бар
dFdt , dFdx, d2Fd2x
F(t,x) үзiлiссiз функция берiлсiн және X = {Xt,t= 0} - Ито Процесi болсын.
Онда F = {F(t,Xt), t = 0} процесi Ито процесi болады және төмендегi теңдеудi қанағаттандыратынын
F(t,X) = F(0,X0) + 0t[dFds + a(s,w)dFdx + 12 b2 (s,w) d2Fdx2]ds + 0tdFdxb(s,w)dWs
қарауға болады.
Ито леммасының дифференциалдық түрi мына өрнекпен берiледi
dF(t,Xt) = [ dFds + a(s,ω) dFdx + 12 b2(s,ω) d2Fdx2]dt + dFdxb(s,ω)dWt
dSt= utdt+σtdWt
Ито процесiн қарастырайық, мұнда St - t уақыттағы активтiң бағасы болсын. PIt арқылы t кезеңдегi құнды қағаздардың басқару стратегиясын белгiлейiк. Онда PItSt кездейсоқ процесi t кезеңдегi PIt портфельдiң құнын бiлдiредi. Ал t кезеңдегi оның құнын өзгергенiн
PItSt = PIt(utdt + σtdWt) шамасы сипаттайды. Ал Ито интегралы
GT(PI) = 0TPItdSt =0TPItutdt+0TPItσtdWt ,
[0,T] уақыт аралығындағы осы басқару стратегиясын пайдаланғандағы табысты сипаттайды.
Егер барлғық 0 = t = T үшiн
PItSt = PIvSv + GТ(PI)
орындалса, онда стратегияны өзiн - өзi қаржыландыру стратегиясы деп атайды.
2 VaR КӨРСЕТКІШІ
2.1 VaR - ды есептеу әдістерінің салыстырмалы анализі
Заманауи қаржылық тәуекел менеджменті value at risk негізіндегі көрсеткіштерді қолданғандықтан VaR - ды есептеудің қай тәсілі және қандай жағдайда ең жоғарғы нәтижеге ие болатынын дәл білуіміз керек.
VaR дегенiмiз белгiлi уақыт кезеңiнiң iшiндегi берiлген сенiмдiлiк ықтималдықпен инвестор портфелiнiң жоғалтуы мүмкiн максималды ақша көлемiнiң тәуекел көрсеткiшi. VaR - ды 24сағаттық, яғни бiр күндiк период, немесе 10 күндiк период үшiн жиi есептейдi. VaR - ды анықтау әдiстерiн екi топқа бөлуге болады:[10]
1. Параметрлiк модельдер
2. Параметрлiк емес модельдер (тарихи модельдеу әдiсi және Монте - Карло әдiсi)
2.1.1 Параметрлік әдістер (жергілікті бағалау)
Дельта - нормальды әдіс (ковариациялық әдіс) қарапайым болып келеді, ол аналитикалық көріністерге рұқсат береді, позициялардың толық қайта бағалануын қажет етпейді, ретроспективті мәліметтердің ауқымды базасын қажет етпейді. Алайда бірқатар кемшіліктері бар, олардың ең бастысы болып нормальды үлестірім туралы болжамның нақты қаржылық рынок параметріне сәйкес келмеуі болып табылады. Берілген әдіс сызықтық емес бағалық сипаттағы активтердің тәуекелін есептеуге де нашар келеді.
Дельта - гамма - вега - жуықтауы қажетті тәуекелдерді ескеруге мүмкіндік береді ( дельтаның өзгеруі, волатильдіктің өзгеруі), бұл өз кезегінде дельта - нормальды әдістің құндылықтарын сызықтық емес құралдарды қолайлырақ бағалау мүмкіндігі арқылы күшейтеді. Алайда дельта - нормальды әдіске тән қарапайымдылық бұл жағдайда артта қалады.
Бiр актитен тұратын портфельдi қарастырайық. Табыстар Гаусс (қалыпты) үлестiрiлген деп ұйғарайық, яғни егер S0 - кейбiр активтiң қазiргi бағасы (k = 0 уақыт мезетiне сәйкес келетiн) болса, онда k = 1 уақытында активтiң S1 бағасын мына түрде жазуға болады: S1=S0 + S0 ξ1, ξ1∼N(0,σ).
2.1.1.1-сурет. VaR көрсеткiшi
Сондықтан, мына теңдiктер орындалады
S1 - S0 = S0ξ1 ⇒ E(S1 - S0) = S0Eξ1 = 0, D(S1 - S0) = S02 Dξ1 = S02σ2.
Демек, S1 - S0 ∼ N(0,S0σ), немесе (S1 - S0) (S0σ) ∼ N(0,1) кездейсоқ шамалардың үлестiрiмдерi белгiлi болады. Онда бiр күндiк VaR - ды мына шарттан табуға болады P(S1−S0 = −VaR) = α.
Демек,
PS1-S0S0σ=-VaRS0σ=α⇒PS1-S0S0σ=-Va RS0σ=1- α
Яғни
ϕVaRS0σ=1- α⇒VaRS0σ=ϕ-11-α=u2α
Мүнда Φ(x) - стандарт Гаусс үлестiрiм функциясы, u2a - деңгейi (1−α) - ға тең стандарт Гаусс үлестiрiмнiң квантилi. Сондықтан бiр күндiк VaR - ды мына формуламен есептеуге болатыны шығады
VaR=u2αs0σ. (2.1.1.1)
Дәл осы жолмен m күндiк VaR - ды табуға болады, сол үшiн σ арқылы - бiр күндiк табыстың волатильдiгiн, ал σm арқылы - m күндегi табыстың волатильдiгiн белгiлесе, онда m күндегi актив бағасының өзгеруi мына түрде жазылады:
Sm-S0=S0i=1mξi ~N(0,S0σm)
Мұнда ξi ∼ N(0,σ) тәуелсiз кездейсоқ шамалар - S0 - ға қатысты i - шi күннiң табысы. Анықтама бойынша m күндiк VaR - ды мына шарттан табады:
P(Sm−S0 = − VaR) = α.
⇒VaR=u2αS0σm. (2.1.1.2)
Егер бiрнеше активтерден тұратын портфельдi қарастырсақ
S(l) = (S1(l) , ... , Sn(l)),
Мүнда l - уақыт кезеңi (l=1, ... , m)
i=1n(Sim-Si0)
- тәуелсiз бiрдей үлестiрiлген деп ұйғарамыз, онда бiр күндегi өзгерiстi мына түрде жазуға болады
i=1n(Si1-Si0)=i=1mSi0ξi
мұнда ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) ∼ N(0,Σ), Σ = (σij) - ковариациялық матрица.
Сондықтан, VaR - ды мына теңдiктен табамыз
i=1n(Sim-Si0)=VaR=1-α
Яғни
VaR=u2αm i=1ni=1nSi0Sj0σiσj (2.1.1.3)
Мұнда σij = σiσjρij - ковариация, ρij - корреляция коэффициентi.
2.1.2 Толық бағалау әдістері
Тарихи моделдеу әдісі көрнекі және толық түрде үлестірім сипатын болжамай жуан соңдарын (толстых хвостов) ескере отырып тәуекелді бағалауға мүмкіндік береді, алайда бұл әдіс барлық тәуекел факторларының ауқымды базасының болуын болжайды.
Монте - Карло әдісі бір қатар даусыз құндылықтарға ие болғандықтан ең жақсы әдіс ретінде көпшілікке танылған, жекелеп айтсақ ол табыстың нормальды үлестірілуі туралы болжамды қолданбайды, сызықтық емес құралдарға байланысты жоғарғы дәлдік көрсетеді және ретроспективаның таңдауына тұрақты болып келеді. Әдістің кемшіліктеріне есептеулердің техникалық күрделілігін және моделдік тәуекелді жатқызуға болады.
2.2 Шектік VaR және өсімшелік VaR
2.2.1 Шектік VaR
Шектік VaR (marginal VaR) берілген актив бойынша немесе тәуекел факторы бойынша позиция өлшемінің кішігірім өзгерістеріне байланысты портфельдің тәуекелі қандай шамаға өзгергенін көрсетеді.
xi - i - ші актив түріне салынған ақша сомасы болсын, онда шектік VaR былай анықталады:
Marginal VaRi=dVaR(Π)dxi (2.2.1.1)
Осылайша шектік VaR портфельдің өз құрылымының өзгерісіне VaR - дың сезгіштігін сипаттайтын көрсеткіш болып табылады және позиция өлшемі бойынша портфель VaR - ның дербес туындысы ғана болып табылады.
Шектік VaR берілген позицияның немесе бірнеше позицияның толық жойылуы орынсыз болған кезде қолданылады, ал портфель тәуекелдерінің жиынтығын басқарылуы позицияны байанстау арқылы жүзеге асады.
Портфельге кіретін әрбір актив үшін шектік VaR - ын, xi портфеліндегі i - ші актив бойынша позиция өлшемін және оның θi пайыздық өзгерісін білсек, онда портфельдің өсімше VaR - ын табуға болады:
△VaRΠ=ixiθidVaR(Π)dωi (2.2.1.2)
Портфелімізде шектік VaR - ы 100 долларға тең, өзі 1000 доллар тұратын А активі болсын. Біз А активіне қосымша тағы 10 доллар салғымыз келеді, бұл жағдайда портфель VaR - ы келесідей түрде өзгереді: △VaRΠ=10101000-1x100=1 доллар
Шектік VaR - дың маңызды сипаттамасы (және өсімше VaR - дан айырмашылығы) болып аддитивтілік қасиеті табылады:
VaRΠ=xi∙marginal VaRi (2.2.1.3)
Осылайша портфельдің VaR - ын алуға болады. Практикада шектік VaR - ды мысалы лимит қойғанда қолданған ыңғайлы, дербес тәуекелдердің қосындысы тұтас тәуекелге тең болуы маңызды болған жағдайда. Жеке алғанда берілген көрсеткіштің көмегімен портфель VaR - ының декомпозициясын жүргізуге болады, оның құрамына кіретін құралдар (позициялар) немесе тәуекел факторлары арқылы. (2.6) - формуланы қолдана отырып жалпы портфель тәуекеліне салым позициясын бағалау үшін келесідей өрнек аламыз:
Var contribution= xi∙marginal VaRVaR(Π)∙100%=1VaR(Π)∙xi∙dVaR(Π)dx i∙100%
Келтірілген портфель тәуекелінің позиция бойынша жіктелуін шектелген мағынада түсіндіру қажет, бұл дегеніміз барлық позициялардың өлшемінің бірдей салыстырмалы шамаға өзгеруі кезіндегі құралдардың портфель VaR - ының өзгерісіне проценттік салымдарын көрсетеді.
2.2.2 Өсімшелік VaR
Өсімшелік VaR көрсеткіші (incremental VaR - IVaR ) берілген позициясымен портфельдің жиынтық тәуекелге қосылатын тәуекел шамасын бейнелейді. Өсімшелік VaR шектік VaR сияқты портфель құрылымының өзгерісі оның тәуекел шамасына әсер етуін бейнелейді. Алайда шектік VaR - дан ол позиция өлшемінің өзгерісі үлкен болуымен ерекшеленеді, бұл жағдайда портфель VaR - ы сызықтық емес түрде өзгереді.
Бұл көрсеткіштің көмегімен кез келген позицияның өлшемінің (едәуір) өзгеруі немесе жойылуы кезінде портфель VaR - ының қалай өзгеретінін анықтауға болады.
Жалпы жағдайда өсімшелік VaR - ды бастапқы портфель VaR - ы мен берілген позициясыз портфель VaR - ының айырымы ретінде анықтауға болады:
IVaR=VaRΠ-VaR(Π-n) (2.2.2.1)
2.2.2.1-кесте. Әдістер критерилері
Әдіс
Критерилері
Дельта-
Нормальды
Дельта-
гамма-вега
Тарихи
Моделдеу
Монте-
Карло
11.
Бағалау
Төңіректік
Төңіректік
Толық
Толық
22.
Сызықтық емес құралдарға қолданылуы
Жоқ
Иә
Иә
Иә
33.
Тарихи үлестірімнің есептелуі
Нормальды үлестірім ретінде есептеу
Нормальды үлестірім ретінде есептеу
Болған мәліметті дәл солай шығарады
Толығымен
44.
Болжалды волатильдіктің есептелуі
Мүмкін
Мүмкін
Жоқ
Иә
55.
Пайданың нормальды үлестірілді деп қаралуы
Иә
Иә
Жоқ
Жоқ
66.
Төтенше оқиғаларды есептеу
Нашар
Нашар
Нашар
Мүмкін
77.
Моделдік тәуекел
Бірталай болуы мүмкін
Бірталай болуы мүмкін
Тиімді
Жоғары
88.
Қажет ететін мәліметтер көлемі
Орташа
Орташа
Өте үлкен
Кішігірім
99.
Есептелу күрделілігі
Жоғары емес
Орташа
Жоғары
Өте жоғары
110.
Көрнекілігі
Орташа
Кішігірім
Үлкен
Кішігірім
111.
VaR - ды тиімді ету мүмкіндігі
Иә
Жоқ
Жоқ
Жоқ
Бұл жерде VaRΠ - бастапқы портфель VaR - ы (барлық позицияларымен), Var(Π-n) - берілген позициясыз портфель VaR - ы
Өсімшелік VaR көрсеткіші берілген позицияның басқа портфель позицияларымен корреляциялық байланыстарын ескереді.
Мысалға өсімшелік VaR - дың параметрлік әдісінде позицияларды былай есептеуге болады
VaRΠ-VaRΠ-n=VaR2Π-n+VaR2n+2ρVaRΠ-nV aR(n)-VaRΠ-n=VaRn1ξ(ξ2+2ρξ+1-1) (2.2.2.2)
бұл жерде ρ - 𝑛 позициясының корреляциясы, портфельдің қалған бөлігімен (Π-𝑛) бірге
ξ=VaR(n)VaR(Π-n)
ρ - берілген позицияның корреляцисы болсын, берілген позициясыз портфельмен бірге. ρ=0 болғанда позицияның VaR өсімшесі оң мән қабылдайды, ал ρ0 болғанда теріс мән қабылдайды.
(2.2.2.2) - формуладан шығатыны өсімшелік VaR - ды есептеу үшін жалпы жағдайда портфельдің құрылымы өзгергеннен кейін толық қайта бағалануын жасау керек (және сәйкесінше VaR - дың қайта есептелуін де). Мұндай тәсілдеме ең қисынды болып келеді, алайда есептеулерге өте көп уақыт кететіндіктен ол үнемі ыңғайлы бола бермейді.
Ескере кеткен жөн, егер позиция VaR - ы портфель VaR - ымен салыстырғанда аз болса, онда өсімшелік VaR шамамен позиция VaR - ы мен ρ корреляция коэфициентінің көбейтіндісіне тең болады:
IVaRn--VaRn ξ--0 болғанда
Үш шектік жағдайды қарастырайық:
* егер ρ=1 болса, онда позиция өзін қалған портфель сияқты ұстайды. Онысымен бірге позицияның ортақ портфель тәуекеліне үлесі берілген позицияның VaR - ына тең болады;
* егер ρ=-1 болса, онда позиция портфель тәуекелін позиция VaR - ының шамасына азайтады;
* ал ρ=0 болған жағдайда позицияның портфель тәуекеліне үлесі оң және VaRn(1+ξ2-1)ξ тең болады.
2.3 Тәуекел құны және шығын ықтималдығы
Нарықтың бағдарлаушы тәуекелiне алғышарт нарықтың тәуекелiн өлшейдi, әсiресе iрi жоғалтулардың тәуекелін. Iрi қаржылық мекемелерде сақталған активтердiң үлкен және күрделi портфельдерi үшiн бұл маңызды мәселе болады. Тәуекел жасау үшін кейбір әкімшілік қиындықтар болып табылады - көп ретті нарықтар мен активтердің кластарын қамту үшін фирманың позициясының орталықтанған, нақты мәліметтер базасын құру, мысалы басқалары болып статистикалық және есептеуіштер табылады. Кез-келген әдiс нарықтың тәуекелiн өлшеу үшiн әсiресе екi сұрақты бағыттауы керек:
* Дегенмен қандай статистикалық үлгi портфелге әсер ететін тәуекелдің бөлек көздеріндегі ауысуларды және тәуекелдің көпреттік көздеріндегі ауысуларды ыңғайлы сипаттай алады?
* Тәуекелдің базалық көздеріндегі өзгерістерге әсер ретінде портфель қалай өзгереді?
Бұл сұрақтардың біріншісі тәуекелдер факторларындағы өзгерiстердiң бiрiккен үлестiрiлуiн сұрап түр - портфельді көрсете алатын айырбастау курстары, пайыздық ставкалар, акция және тауардың бағалары. Екiншiсі тәуекел факторларынан портфель мәніне дейін сипаттаманы сұратады. Екi элемент те анықталған бойда, портфельдiң пайдасының және жоғалтудың үлестiрiлулері негiзiнен анықталады, онда бұл үлестiрiлудi жинақтайтын тәуекелге қатысты кез келген шара да анықталады.
Мысалға көп өлшемдi нормальды нарықтық баға ретінде кемшiлiктері бар екені белгілі, бiрақ оның көптеген ыңғайлы қасиеттерiне байланысты кең қолданысқа ие. Бiздiң фокус екінші сұрақ көтерген статистикалық мәселелерге қарағанда бірінші сұрақ көтерген есептеуіш мәселерге көбірек ауған.
Мәселенi толығырақ сипатталу үшiн бiз кейбiр түсініктемелерді ұсынамыз:
S = m нарықтық бағалар мен деңгейлер векторы;
∆t= тәуекелдің өзгеру горизонты;
∆S = ∆t интервалы бойынша S- ке өзгереді
V (S, t) = t уақытындағы портфель мәні және S нарықтық бағалары
L - ∆t=-∆V=V(S,t)-V(S+∆S,t+∆t) интервалы бойынша жоғалтулар;
FL (x) = P (Lx), L үлестірімі.
m тиiстi тәуекелдер факторларының саны өте үлкен болуы, жүздеген немесе мыңдағанға жетуі мүмкін еді. Банктік қадағалауда ∆t интервалы екі апталық горизонт бойынша өлшемдерді талап ететін бақылаушы органдармен айтарлықтай қысқа және бұл - біз айтып отырған қондырғы. Екi апталық горизонт нарықтың қолайсыз орын ауыстыруы жағдайындағы күрделi позицияларды тарқатуға мiндеттi бола алатын уақыт ретінде жиі түсiндiрiледi. Зейнетақы қорлар және сақтандыру компаниясы, тиiстi уақыт аралығы үшiн нарықтың белгiлі басқа облыстарында, активтiң жауапкершiлiгiнiң сондай басқарулары әлдеқайда ұзақ және бай платформаны талап етедi.
Жоғарыдағы түсініктеме кейбір анықталмаған ықшамдайтын жорамалдарды қамтып көрсетедi. Бiз мысалға горизонт шегіндегі портфелдің барынша ең көп және ең аз мәндерін елемей ∆t горизонты бойынша таза шығынды ғана қарастырамыз. Бiз нарықтық бағалардың динамикасын, ∆S өзгеру векторындағы даму туралы барлық S қосымшаларды елемейміз. Және де активтердің жетілуін немесе мерзімі өтуін жақындата алатын ∆t уақытының ішіндегі нарықтың ∆S жандануы портфелдің құрамаларының мәндерін өзгерте алса да, біз оның құрамы өзгеріссіз қалады деп тұжырымдаймыз.
(VaR) жоғарғы тәуекелді порфелдің бағасы ∆t белгіленген горизонты бойынша шығын үлестірімінің процентилі болып табылады. Мысалы, 99% VaR xp қанағаттандыру нүктесі
1-FLxp≡PLxp=p
p = 0.01 - мен. (Бiз оңайлық үшiн барлық жерде сондай нүкте бола алатындай FL - ды үздіксіз деп аламыз). Квантиль үлестірімнің құйрығы жайлы мәліметтерді жинақтауға қарапайым әдіс береді және бұл анықталған мән шығынның ең қиын жағдайындағы орынды деңгейі деп түсіндіріледі. Pξxp=p шартты қанағаттандыратын xp санды ξ кездейсоқ шаманың деңгейі p - ге тең квантилі деп атайды. Егер ξ үзіліссіз кездейсоқ шама болса, онда xp квантилі төмендегі
Fξxp=-infinityxpftdt=p
Теңдеудің шешімі болады. Демек, квантиль - үлестірім функцияға кері фуункцияны анықтайды. ξ кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығының графигі астыдағы xp - ның сол жағындағы аудан p - ге тең екені квантильдің геометриялық мағынасы болады.
VaR тәуекел өлшемі ретінде банктік қадағалаудағы халықаралық әрекеттерге байланысты 1990-шы жылдардың соңында кеңінен қолданыла бастады. VaR - ды тәуекел өлшемі дегенше капиталдың жеткiлiктiлiгiнiң өлшемі деп нақтырақ ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz