«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»
КІРІСПЕ 6
1. Интеграл.дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің қойылымы 8
2. Интеграл.дифференциалдық теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі мен жүктелген теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі арасындағы байланыс 12
3. Жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есептің бірмәнді шешімділігінің жеткілікті шарттары. 22
4. Алгоритмнің MathCad математикалық пакетінде орындалуы. Есеп. 35
Қорытынды 44
Қолданылған әдебиеттер 45
Қосымша 47
1. Интеграл.дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің қойылымы 8
2. Интеграл.дифференциалдық теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі мен жүктелген теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі арасындағы байланыс 12
3. Жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есептің бірмәнді шешімділігінің жеткілікті шарттары. 22
4. Алгоритмнің MathCad математикалық пакетінде орындалуы. Есеп. 35
Қорытынды 44
Қолданылған әдебиеттер 45
Қосымша 47
Әртүрлі физикалық құбылыстарды зерттеу интеграл-диференциалдықтеңдеулерді зерттеудің қажеттілігін көрсетеді. Мысалы, тығыз негіздердегі кескіндердің майысуы, көпірлердегі шайқалыстар, индуктивті байланыстағы электрлік токтардың өтуі, жабысқақ сұйықтықтың тегіс стационарлық емес қозғалысы және көптеген басқа үрдістер, құбылыстардың соңғы әрекеттері жәй интеграл-диференциалдытеңдеуге алып келеді [1-5].
Интеграл-диференциалдық теңдеулер теориясының негізін салушылардың бірі В. Вольтерра [6]. Оның еңбектерінде үрдістердің соңғы әрекеттерін сипаттауда интеграл-диференциалдық теңдеулердің ролі анықталды. Н.Н. Лузин: «... жалғаспалы үрдістерді дифференциалдық теңдеулермен айқын жазу мүмкін емес, тек интеграл-диференциалдықтеңдеулер арқылы жазылады.»
Интегралдық мүше интеграл-диференциалдық теңдеулер үшін есептердің құрылымына едәуір ықпал етеді, оларды зерттеу барысында жаңа мәселелер туындайды. Жәй сызықтық дифференциалды теңдеулер үшін Коши есебі сызықтық интеграл-диференциалдық теңдеу үшін Коши есебінде бір ғана шешім бола бермейтінін атап өтуге болады.
Интеграл-диференциалдық теңдеулер теориясының негізін салушылардың бірі В. Вольтерра [6]. Оның еңбектерінде үрдістердің соңғы әрекеттерін сипаттауда интеграл-диференциалдық теңдеулердің ролі анықталды. Н.Н. Лузин: «... жалғаспалы үрдістерді дифференциалдық теңдеулермен айқын жазу мүмкін емес, тек интеграл-диференциалдықтеңдеулер арқылы жазылады.»
Интегралдық мүше интеграл-диференциалдық теңдеулер үшін есептердің құрылымына едәуір ықпал етеді, оларды зерттеу барысында жаңа мәселелер туындайды. Жәй сызықтық дифференциалды теңдеулер үшін Коши есебі сызықтық интеграл-диференциалдық теңдеу үшін Коши есебінде бір ғана шешім бола бермейтінін атап өтуге болады.
1 Tomson J. Application of dinamics to physics and chemestry, London and New York, 1888.
2 Ферле Л. Критические числа оборотов ротора определенной формы с учетом гироскопического эффекта//Механика. Период. сб. переводов иностр. статей. - М., 1956. No 6(40). - С.135-139.
3 Klöppel H. Lie, Lotrechte Swingungen von Hangebr?ucken, Ing. -Arch., 13, - 1942. - P. 211-266.
4 Гарднер М., Бернс Д. Переходные процессы в линейных системах. ГИТТЛ. М.: 1951, 304 c.
5 Выпов Г.П. Нестационарное движение вязкой несжимаемой жидкости между близко расположенными движущимися поверхностями. Известия ВУЗов. матем. - 1958. No3. - С. 41-49.
6 Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро–дифференциальных уравнений.- М.: 1982, 304 c.
7 Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1989. - Т. 29, № 1. - С. 50-66.
8 Д.С.Джумабаев, “Об одном алгоритме нахождения решения линейной двухточечной краевой задачи для интегродифференциального уравнения”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:6 (2013), 914–937; D.S.Dzhumabaev, “An algorithm for solving a linear two-point boundary value problem for an integrodifferential equation”, Comput. Math.Math.Phys., 53:6 (2013), 736–758
9 Джумабаев Д.С., Бакирова Э.А. Признаки корректной разрешимости линейной двухточечной краевой задачи для систем интегродифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2010,Т. 46, №4. - С. 550-564.
10 Джумабаев Д.С. Критерий однозначной разрешимости линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений // Матем. журнал. - 2008. - Т. 8. - №2. - С. 14-19.
11 Самойленко А.М., Бойчук О. А., Кривошея С.А. Крайовi задачi для системлiнiйнихiнтегро–дифференцiальнихрiвняньзвиродженимядром//Укр. мат. журн. - 1996. - Т. 48, є 11. - С. 1576-1579.
12 Кривошеин Л.Е. Приближенные методы решения обыкновенных линейных интегро–дифференциальных уравнений. - Фрунзе: АН Кирг. ССР. 1962. - 184c.
13 Ландо Ю.К. О разрешимости интегро–дифференциального уравнения // Дифференц. ур-ния. - 1967. - Т. 3, №4. - C. 695-697.
14 Васильев В.В.,ЛобовВ.В.О фундаментальных решениях системы линейных однородных интегро–дифференциальных уравнений // Диф. и интегр. ур-ния. - 1976. вып. 4. - С. 260-269.
15 Нахушев А. М. Уравнения мат. биологии. - М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.
16 Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. А:1995,269 c.
17 Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. О разрешимости граничных задач для нагруженных уравнений // Матем. жуpнал МОH PК. – 2001, № 1.С. 21-29.
18 Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р.О численном решении нагруженных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004, Т. 44, № 9. - С. 1585-1595.
19 Джумабаев Д.С. Метод параметризации решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник АН КазССР. -1988. -№1. -С. 48-52.
20 Бакирова Э.А. О признаке однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи для системы нагруженных дифференциальных уравнений // Известия HАH PК. Сеp.физ.-матем. - 2005. -№ 1. - С. 95-102.
21 Бакирова Э.А. О необходимых и достаточных условиях однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи для нагруженных дифференциальных уравнений // Математический жуpнал. - А, 2005. Т. 5, № 3. - С. 25-34.
22 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.: в 3- т. - М..: Наука, 1969. - Т. II. - 800 c.
23 Кадирбаева Ж.М. Об одном алгоритме нахождения решения линейной двухточечной краевой задачи для нагруженных дифференциальных уравнений // Матем. жуpнал МОH PК. - 2009. - Т. 9, № 2. - С. 64-70.
24 Кадирбаева Ж.М. Об однозначной и корректной разрешимости линейной двухточечной краевой задачи для нагруженных дифференциальных уравнений // Матем. жуpнал МОH PК. - 2009. - Т. 9, № 4. - С. 63-71.
25 Виграненко Т. И. Об одной граничной задаче для линейных интегро-дифференциальных уравнений //Зап. Ленинградского горн. ин-та. - 1956. - Т. 33. вып. 3. - C. 177-187.
26Далецкий Ю.Л.,Крейн.Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970. - 534 с.
2 Ферле Л. Критические числа оборотов ротора определенной формы с учетом гироскопического эффекта//Механика. Период. сб. переводов иностр. статей. - М., 1956. No 6(40). - С.135-139.
3 Klöppel H. Lie, Lotrechte Swingungen von Hangebr?ucken, Ing. -Arch., 13, - 1942. - P. 211-266.
4 Гарднер М., Бернс Д. Переходные процессы в линейных системах. ГИТТЛ. М.: 1951, 304 c.
5 Выпов Г.П. Нестационарное движение вязкой несжимаемой жидкости между близко расположенными движущимися поверхностями. Известия ВУЗов. матем. - 1958. No3. - С. 41-49.
6 Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро–дифференциальных уравнений.- М.: 1982, 304 c.
7 Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1989. - Т. 29, № 1. - С. 50-66.
8 Д.С.Джумабаев, “Об одном алгоритме нахождения решения линейной двухточечной краевой задачи для интегродифференциального уравнения”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:6 (2013), 914–937; D.S.Dzhumabaev, “An algorithm for solving a linear two-point boundary value problem for an integrodifferential equation”, Comput. Math.Math.Phys., 53:6 (2013), 736–758
9 Джумабаев Д.С., Бакирова Э.А. Признаки корректной разрешимости линейной двухточечной краевой задачи для систем интегродифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2010,Т. 46, №4. - С. 550-564.
10 Джумабаев Д.С. Критерий однозначной разрешимости линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений // Матем. журнал. - 2008. - Т. 8. - №2. - С. 14-19.
11 Самойленко А.М., Бойчук О. А., Кривошея С.А. Крайовi задачi для системлiнiйнихiнтегро–дифференцiальнихрiвняньзвиродженимядром//Укр. мат. журн. - 1996. - Т. 48, є 11. - С. 1576-1579.
12 Кривошеин Л.Е. Приближенные методы решения обыкновенных линейных интегро–дифференциальных уравнений. - Фрунзе: АН Кирг. ССР. 1962. - 184c.
13 Ландо Ю.К. О разрешимости интегро–дифференциального уравнения // Дифференц. ур-ния. - 1967. - Т. 3, №4. - C. 695-697.
14 Васильев В.В.,ЛобовВ.В.О фундаментальных решениях системы линейных однородных интегро–дифференциальных уравнений // Диф. и интегр. ур-ния. - 1976. вып. 4. - С. 260-269.
15 Нахушев А. М. Уравнения мат. биологии. - М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.
16 Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. А:1995,269 c.
17 Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. О разрешимости граничных задач для нагруженных уравнений // Матем. жуpнал МОH PК. – 2001, № 1.С. 21-29.
18 Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р.О численном решении нагруженных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004, Т. 44, № 9. - С. 1585-1595.
19 Джумабаев Д.С. Метод параметризации решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник АН КазССР. -1988. -№1. -С. 48-52.
20 Бакирова Э.А. О признаке однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи для системы нагруженных дифференциальных уравнений // Известия HАH PК. Сеp.физ.-матем. - 2005. -№ 1. - С. 95-102.
21 Бакирова Э.А. О необходимых и достаточных условиях однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи для нагруженных дифференциальных уравнений // Математический жуpнал. - А, 2005. Т. 5, № 3. - С. 25-34.
22 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.: в 3- т. - М..: Наука, 1969. - Т. II. - 800 c.
23 Кадирбаева Ж.М. Об одном алгоритме нахождения решения линейной двухточечной краевой задачи для нагруженных дифференциальных уравнений // Матем. жуpнал МОH PК. - 2009. - Т. 9, № 2. - С. 64-70.
24 Кадирбаева Ж.М. Об однозначной и корректной разрешимости линейной двухточечной краевой задачи для нагруженных дифференциальных уравнений // Матем. жуpнал МОH PК. - 2009. - Т. 9, № 4. - С. 63-71.
25 Виграненко Т. И. Об одной граничной задаче для линейных интегро-дифференциальных уравнений //Зап. Ленинградского горн. ин-та. - 1956. - Т. 33. вып. 3. - C. 177-187.
26Далецкий Ю.Л.,Крейн.Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970. - 534 с.
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 48 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 48 бет
Таңдаулыға:
ӘЛ-ФАРАБИ АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ
АҚПАРАТТЫҚ ЖҮЙЕЛЕР КАФЕДРАСЫ
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі
Орындаушы
___________________
[(]қолы[)]
Жангелдиева А.Ж
Ғылыми жетекші,
Ф.-м.ғ.д., доцент
___________________
(қолы)
Темешева С.М
Нормобақылаушы
___________________
(қолы)
Жуманов Ж.М
Қорғауға жіберілді:
кафедра меңг.қ.а
__________________
[(]қолы[)]
ЕсенгалиеваЖ.С.
Алматы 2015
РЕФЕРАТ
Дипломдық жұмыс 48 беттен, 1 суреттен, 26 пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және А қосымшадан тұрады.
Кілтті сөздер: СЫЗЫҚТЫҚ ИНТЕГРАЛ-ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ, СЫЗЫҚТЫҚ ЖҮКТЕЛГЕН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ ЕКІ НУКТЕЛІ ШЕТТІК ЕСЕП, КОРРЕКТТІ ШЕШІЛІМДІЛІК, ЖУЫҚ ШЕШІМ ТАБУ ӘДІСІ.
Зерттеу нысаны. Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есеп, жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есеп.
Жұмыстың мақсаты: Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі мен аппроксимациялаушы жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі арасындағы байланысты қолданып, Фредгольм сызықтық интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есептің шешімін жуық анықтаудың бір тәсілін ұсыну.
Қолдану аймағы: Электр тізбектерінің қасиеттерін уақыт бойынша өзгеретін қарапайым заңдылықтармен сипатталатын әсерлерге реакциясын ескеріп зерттеген ыңғайлы. Егер әсер еркін болса, онда, тізбектің реакциясын, мысалы, комплексті амплитудалар әдісімен, табу мүмкін емес. Бұл жағдайда электр тізбектің реактивтік элементтерде лездік тоқ пен кернеулерді ескеретін интеграл-дифференциалдық теңдеулер көмегімен уақытқа байланысты суреттелуін пайдалану керек.
РЕФЕРАТ
Дипломная работа состоит: 48 страниц, 1 рисунка, 26 источников и 1 приложения.
Ключевые слова:СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА, СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ, МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ.
Объект исследования: Линейная двухточечная краевая задача для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма, линейная двухточечная краевая задача для системы нагруженных дифференциальных уравнений.
Цель работы: Используя взаимосвязь между корректной разрешимостью линейной двухточечной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма и корректной разрешимостью аппроксимирующей линейной двухточечной краевой задачи для системы нагруженных дифференциальных уравнений, предложить один способ нахождения приближенного решения линейной двухточечной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма.
Область применения:Свойства электрических цепей удобно изучать по их реакции на воздействия, изменение которых во времени описывается простейшими законами. Если воздействие произвольное, то найти реакцию цепи с применением, например, метода амплитуд, невозможно. В таком случае необходимо использовать временное описание цепи в интегро-дифференциальных уравнений с учетом определения мгновенных токов и напряжений на реактивных элементах.
ABSTRACT
Diploma work consists of 48 pages, 1 figure, 26references and 1 appendix.
Keywords:SYSTEMS OF LINEAR FREDHOLM'S INTEGRAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS, SYSTEM OF LINEAR LOADED DIFFERENTIAL EQUATIONS, BOUNDARY-VALUE PROBLEM, CORRECT SOLVABILITY, METHODS OF FINDING APPROXIMATE SOLUTIONS.
Object of research: Linear two pointsboundary value problem for the system Fredholm'sintegral-differential equations, linear two-point boundary value problem for a system of loaded differential equations.
Purpose of work: Using the relationship between the correct solvability of a linear two-point boundary value problem for a system Fredholm's integral-differential equations and correct solvability of approximated by a linear two-point boundary value problem for loaded differential equations, suggest a method for finding approximate solutions of linear two-point boundary value problem for a system Fredholm's integral-differential equations.
Application domain: of electrical circuits convenient to study their response to the impact which a change in time is described by a simple law. If exposure is arbitrary, found chain reaction using, for example, the method amplitudes impossible. In this case, you must use a temporary circuit in the description of integral-differential equations with the definition of instantaneous current and voltage on the reactive elements.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 6
1. Интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің қойылымы 8
2. Интеграл-дифференциалдық теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі мен жүктелген теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі арасындағы байланыс 12
3. Жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есептің бірмәнді шешімділігінің жеткілікті шарттары. 22
4. Алгоритмнің MathCad математикалық пакетінде орындалуы. Есеп. 35
Қорытынды 44
Қолданылған әдебиеттер 45
Қосымша 47
КІРІСПЕ
Әртүрлі физикалық құбылыстарды зерттеу интеграл-диференциалдықтеңдеулерді зерттеудің қажеттілігін көрсетеді. Мысалы, тығыз негіздердегі кескіндердің майысуы, көпірлердегі шайқалыстар, индуктивті байланыстағы электрлік токтардың өтуі, жабысқақ сұйықтықтың тегіс стационарлық емес қозғалысы және көптеген басқа үрдістер, құбылыстардың соңғы әрекеттері жәй интеграл-диференциалдытеңдеуге алып келеді [1-5].
Интеграл-диференциалдық теңдеулер теориясының негізін салушылардың бірі В. Вольтерра [6]. Оның еңбектерінде үрдістердің соңғы әрекеттерін сипаттауда интеграл-диференциалдық теңдеулердің ролі анықталды. Н.Н. Лузин: ... жалғаспалы үрдістерді дифференциалдық теңдеулермен айқын жазу мүмкін емес, тек интеграл-диференциалдықтеңдеулер арқылы жазылады.
Интегралдық мүше интеграл-диференциалдық теңдеулер үшін есептердің құрылымына едәуір ықпал етеді, оларды зерттеу барысында жаңа мәселелер туындайды. Жәй сызықтық дифференциалды теңдеулер үшін Коши есебі сызықтық интеграл-диференциалдық теңдеу үшін Коши есебінде бір ғана шешім бола бермейтінін атап өтуге болады.
Коши есебінің және шектік есептер үшін сызықтық интеграл-диференциалдық теңдеулердің шешімі барлығы жөніндегі сұрақ G. Fubіnі , K. Courаnt, Н.М. Крылов, В.И. Романовский және басқалардың еңбектерінде зерттелді.Интеграл-диференциалдық теңдеулер үшін шектік есептерді зерттеушілердің алғашқыларының бірі Н.М. Крылов, ол Ритц үрдісінің шектік есеп үшін сәйкестігін зерттеді [11].
Интеграл-диференциалдық теңдеулердің зерттелулерінің маңызды әдістерінің бірі болып А.И Некрасовтың әдісі табылады. Интегралдық мүше негізі мен біртекті дифференциалдық теңдеуге сәйкес іргетасты шешімдер жүйесі көмегімен екінші ретті Фредгольм интегралды теңдеуі құрылады. Фредгольмның интегралдық теңдеуі шешімі бар деп болжасақ, резольвент көмегімен интеграл-диференциалды теңдеудің жалпы шешімін табу мүмкін болады.
Д.С. Джумабаевтың еңбегінде жәй дифференциалды теңдеулер үшін шектік есептерді шешу және зерттеуде параметрлеу әдісі ұсынылған. Берілген есептердің бастапқы берілімдер терминдерінде шешім табуға мүмкіндік алу мен оларды шешу үшін алгоритмдерді табуды құру. [7]
Бірінші реттегі интеграл-диференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі сызықтық шектік есепке параметрлеу әдісін қолдану арқылы бірмәді шешілімді болуының қажетті және жеткілікті шарттарды орнатуға мүмкіндік береді. Осы жұмыста тек жеткілікті шарттары тағайындалған.
Дипломдық жұмыста параметрлеу әдісінің алгоритмінің модификациясы ұсынылып, оның жинақты болуының жеткілікті шарттары тағайындалған.
1Интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің қойылымы
Дипломдық жұмыста
dx1dt=a11tx1+a12tx2+...+a1ntxn++0T( K11t,sx1s+K12t,sx2s+...+ K1nt,sxn(s))ds+f1 (t),dx2dt=a21tx1+a22tx2+...+a2ntxn+ +0T(K21t,sx1s+K22t,sx2s+...+ K2nt,sxn(s))ds+ f2 (t),...dxndt=an1tx1+an2tx2+...+annt xn+ +0T(Kn1t,sx1s+Kn2t,sx2s+...+ Knnt,sxn(s))ds+ fn (t), (1΄)
t∈0,T,xi:0,T--R, i=1,n,
Фредгольм сызықтық интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесінің
b11x10+ b12x20+...+b1nxn0+ c11x1T+ c12x1T+... c1nxnT=d1b21x1(0) + b22x2(0)+...+b2nxn(0)+ c21x1T+ c22x1T+... c2nxnT=d2 ...bn1x1(0) + bn2x2(0)+...+bnnxn(0)+ cn1x1(T) + cn2x1(T)+... cnnxn(T)=dn (2')
шеттік шарттарына қанағаттандыратын шешімі бар болу мәселесі қарастырылады. Сонымен бірге, (1΄),(2΄) есебінің жуық шешімін табу алгоритмі ұсынылады. Мұндағы aijt, fit, (i=1,n; j=1,n)-[ 0,T] сегментінде үзіліссіз функциялар
maxi=1,nj=1naij(t)=α, α-const;
Kijt,si=1,n ;j=1,n-0,Tx 0,T
жиынында үзіліссіз функциялар
maxi=1,nj=1nK(i,j) (t,s )=β,β-const;
bij,cij,dii=1,n ;j=1,n-берілген тұрақтылар.
Белгілеулер енгіземіз:
x(t)=x1t)x2t...xnt,dxdt = dx1dtdx2dt...dxndt,(t)= f1(t)f2(t)...fn(t) , d=d1d2...dn
At=a11ta12t...a1nta21ta22t...a2nt.. ... ... ..an1tan2t...annt, t∈0,T,
Kt,s=K11t,sK12t,s...K1nt,sK21t,sK22 t,s...K2nt,s ... ... ... Kn1t,sKn2t, s...Knnt,s, t,s∈0,Tx0,T,
B=b11b12...b1nb21b22...b2n ... ... . ...bn1bn2...bnn,C=c11c12...c1nc21c2 2...c2n ... ... ... cn1cn2...cnn
Енді (1΄), (2΄) есебін келесі түрде жазып алуымызға болады:
dxdt=Atx+0TKt,sxsds+ft,t∈[0,T],x∈Rn , (1)
Bx0+Cx T=d, d ∈Rn, (2)
At- [0,T]-да үзіліссіз n-өлшемді квадрат матрица, At =α, α-const;
K(t,s)-[0,T] x[0,T] жиынында үзіліссіз n-өлшемді квадрат матрица,K(t,s)=β, β-const;
ft-0,T үзіліссіз n-вектор-функция;
B,C- тұрақтыn-өлшемді квадрат матрицалар; d- тұрақты n-өлшемді вектор- баған.
(1), (2) есебін зерттеу үшін, оны келесі жүктелген дифференциалдық
теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есеппен аппроксимациялаймыз:
dydt=Aty+i=1mi-1hihKt,sds∙yi-1h+ft,
t∈0, T , y ∈ Rn, (3)
By 0+C yt=d, d ∈ Rn, (4)
мұндағы h=Tm,m=1,2, ...
Анықтама1.Интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі
нүктелі (1),(2) шеттік есебі корректті шешілімді дейміз, егер кез-келген f(t) және d үшін (1),(2) есебініңx*(t)жалғыз шешімі бар болып, ол үшін
x*1=max tϵ[0,T]x* (t)=γmaxf1,d,
бағалауы орындалса,мұндағы γ тұрақтысы f(t) мен d дан тәуелсіз.
Анықтама2. Жүктелген дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі (3), (4) шеттік есебі корректті шешілімді дейміз, егер кез-келгенf(t) және үшін (3), (4) есебінің шешімі бар болып,ол үшін
y*1=max tϵ[0,T]y* (t)=Kmaxf1,d,
бағалауы орындалса, мұндағы K тұрақтысы f(t) вектор-функциясы мен d векторынан тәуелсіз.
Дәлелдеуі: (3),(4) есебінің шешімін ретінде бірте-бірте жуықтау әдісімен табамыз. Бастапқы жуықтауы ретінде (1), (2) есебінің шешімі x(t) функциясын аламыз, яғни y0(t)=x(t) және
dy(0)dt=Aty(0)+0TKt,sy(0)sds+ft, t∈0, T , x∈Rn (5)
By00+Cy0T=d (6)
теңдіктері орындалады.
Келесі жуықтау -y(1)(t)функциясы
dydt=Aty+0TKt,sysds+ft++i=1mi-1hihK t,s(y0i-1 h-y0s)ds, (7)
By 0+C yT=d, (8)
шеттік есебінің шешімі болады.
K(t,s)матрицасы [0,T]x[0,T] жиынында үзіліссіз болғандықтан,
F(t)=i=1mi-1hihKt,s(y0(i-1h)-y0(s)) ds
функциясы[0,T] кесіндісінде үзіліссіз болады. (1),(2) есебін корректі шешілімді болғандықтан, оның жалғыз шешіміy1(t) табылады.Демек,
dy1dt=Aty1+0TKt,sy1sds+ft++i=1mi-1h ihKt,s(y0(i-1h)-y0sds,
(9)
By10+Cy1T=d, (10)
теңдіктері орындалады.
(9)-ден(7)-ні, (10)-ден(8)-ді мүшелеп алсақ,
ddty1-y0=At(y1-y0)+ +0TKt,s(y1s-y0(s))ds+ +i=1mi-1hihKt,s(y0(i-1h)-y0sds, (11)
B(y10-y0(0))+C(y1T-y0(T))=0 (12)
теңдіктері орындалатынын көреміз.
Онда
y(1)-y(0)1=γF1
бағалауы дұрыс болады.
2 Интеграл-дифференциалдық теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі мен жүктелген теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі арасындағы байланыс
F1 =i=1mi-1hihKt,sy0i-1h-y0sds==i=1m i-1hihKt,sy0i-1h-y0sds==i=1mi-1hi hmaxt∈0,TKt,s∙y0i-1h-y0sds==i=1mi-1 hihmaxt∈0,TKt,s01y 0s+θi-1h-sdθxxi-1h-sds==βy01i=1mi -1hih(s-i-1h)ds==βy01i=1m(s-i-1h22! s=i-1hs=ih ==βy01i=1m h22=12βmh2y(0)1=1 2 βThy(0)1=1 2 βThx1
болады, демек
y(1)-y(0)1=12γβThx 1 (13)
болады.
(11)-ші теңдеуден
ddt(y1-y0)1=Aty1-y0+0TKt,s(y1s-y0sd s++i=1mi-1hihKt,s (y0i-1h-y0sds==At∙y1-y01+0TKt,s∙( y1(s)-y0(s))ds++F1=α∙y1-y01+y1-y01 ·0Tβds+F1=(α+βT)y(1)-y(0)1+12βThx1
Егер (y1(t)-y0(t)) функциясын ∆(1)( t)арқылы белгілеп алсақ, онда соңғы бағалауды
∆(1)1=α+βT∆11+12βThx1 (14)
түріндегі жазып аламыз. (13)-ті ескерсек, (14)-ны
∆(1)1=(α+βT)·12γβTx1+12βThx1
бағалауын аламыз. Осы бағалауда оң жағын түрлендіріп,
∆(1)1=12(α+βTγ+1)βThx1=q1hx1 (15)
аламыз.
y(2)(t) жуықтауы деп
dydt=Aty+0TKt,sysds+ft++i=1mi-1hihK t,s(y1i-1h-y1s)ds,
t∈0,T,y∈Rn, (16)
By0+CyT=d, (17)
шеттік есебінің шешімін аламыз, демек
dy(2)dt=Aty(2)+0TKt,sy(2)sds+ft++i= 1mi-1hihKt,s(y1(i-1h-y1sds, (18)
By20+ Cy2T=d, (19)
теңдіктеріорындалады.(18)-дан(9)-ді ,(19)-ден,(10)-ні мүшелеп азайтсақ.
ddty2-y1=At(y2-y1)++0TKt,sy2(s)-y1( s)ds+i=1mi-1hihKt,s((y1i-1h--y0(i-1 h))-(y1s-y0(s))ds,
B(y(2)(0) - y(1)(0)+ C(y(2)(T) - y(1)(T))=0
болатынын аламыз. ∆(2)(t) арқылыy2t-y1 (t) функциясын
белгілеп алсақ, және y1t-y0t=∆1(t)екенін ескерсек, соңғы теңдіктерді
d∆dt(2)=At∆(2)+0TKt,s∙∆(2)sds++i=1m i-1hihKt,s∙(∆1(i-1h) -∆1(s))ds , (20)
B∆20+C∆2T=0 21
орындалатынын көреміз, яғни ∆2(t)функциясы
d∆dt=At∆+0TKt,s∙∆sds+i=1mi-1hihKt,s ∙(∆1(i-1h)- ∆1(s))ds, (22)
B∆ 0+ C∆ T=0 (23)
шеттік есебінің шешімі болады.
Онда
∆(2)1=γi=1mi-1hihKt,s∙(∆1i-1h)-∆(1 )sds
бағалауы орындалады.
i=1mi-1hihKt,s∙(∆1(i-1h)-∆1(s))ds
бағалаймыз.
i=1mi-1hihKt,s∙(∆1(i-1h)-∆1(s))ds ==i=1mi-1hihmaxt∈0,TKt,s∙01∆1(s+θ i-1h-s)) dθ∙∙s-i-1hds=βi=1mi-1hihs-i-1hds ∙∆1112βmh2∆1=12βTh∆11
Демек,
∆(2)1=12γβTh∆(1)1 (24)
(22)-ден (17) - ге ұқсас ∆(2)1 бағалауын аламыз.
∆1=At∆2+0TKt,s∙∆2sds++i=1mi-1hihKt, s∙(∆1(i-1h) -∆1(s))ds== At∙∆(2)1+0TKt,s∙∆2sds++i=1mi-1hihma xt∈0,TKt,s∙01∆1s+θ(i-1h-s))dθ∙∙(i-1 h-s)ds=d∆(2)1+0Tmaxt∈0,TK(t,s)∙∆2( s)ds++β∙∆(1)1∙i=1mi-1hihs i-1h ds == α∆21+βT∙∆21+ 12βTh ∆11
яғни
∆(2)1=α+βT∙∆21+12βTh∆(1)1
(24)-ны ескеріп
∆(2)1=α+βT∙12γβTh∆11+12βTh∆(1)1
теңсіздігін жазамыз.Осыдан
∆(2)1=12(α+βTγ+1)βTh∙∆11
бағалауын аламыз.Яғни
∆(2)1=q1h∙∆11 (25)
болады.
Интерациялық процесті жалғастыра отырып, (k+1)-жуықтауды
dydt=Aty+0TKt,sysds+ft++i=1mi-1hihK t,s(yki-1h-yksds, t∈[0,T] (26)
By(0)+ Cy(T)=d,
есебінен анықтаймыз. Онда ∆(k+1)(t)=y(k+1)(t) - y(k)(t)функциясы
d∆dt=At∆+0TKt,s∆sds++i=1mi-1hihKt,s (∆k(i-1h)-yksds,
B∆(0)+ C∆(T)=0
шеттік есебінің шешімі болады, және (24),(25)- ге ұқсас
∆(k+1)1=12γβTh∆(k)1, k=1,2,... (28)
∆(k+1)1=q1(h)∙∆(k)1, k=1,2,... (29)
бағалауын орнатамыз. Осы бағалаулардан және q1(h)1 теңсіздігінен ykt, k=0,1,2... функциялар тізбегі [0,T] кесіндіде k--infinity[0,T]-да үзіліссіз ϑ(t) функциясына бірқалыпты жинақты болптынын аламыз, онда (28)-ші теңсіздік негізінде y(k)(t), k=0,1,2 функциялар тізбегі [0,T]-да k--infinity (3),(4) есебінің y(t) шешіміне бірқалыпты жинақталады, сонда ϑt=y(t) болады.
(28), (29) теңсіздіктері негізінде
y(k+1)-x1=y(k+1)-y(0)1=y(k+1)-y(k)+ y(k)-y(k+1)...y(2)-y(1)+y(1)-y(0)1 ==y(k+1)-y(k)1+y(k)-y(k+1)...y(2)- y(1)1+y(1)-y(0)==∆(k+1)1+∆(k)1+...∆ (2)1+∆(1)1=12γβTh∆k1+∆k-11+...+∆11 +∆11=12γβTh(q1k-1h+q1k-2(h)+...+1) ∆11+∆11.
Теорема шарты бойынша q1(h)1,онда
q1k-2h+q1k-2h+...+1=1-q1kh1-q1h11- q1h ,
демек,
y(k+1)-y(0)111-q1h∙12∙γβTh∆11+∆11
Енді,(17) мен (15)- ті ескерсек,
y(k+1)-y(0)111-q1h∙12γβTh∙q1(h)x1+ 12γβThx1
яғни
y(k+1)-y(0)112γβThq1 h1-q1h+1x1==12γβTh∙11-q1(h)x1=γβTh2 -(α+βTγ+1)βTh∙x1
немесе
y(k+1)-y(0)1γβTh2-(α+βTγ+1)βThx1
Осы теңсіздікте және y0t=xt,limk--infinityykt=y(t) екенін пайдаланып
y-x1γβTh2-(α+βTγ+1)βThx1 (30)
бағалауын аламыз.x1 бағалауын(1) -ші теңдеуденаламыз:
x1= Atx+0TKt,sxsds+f(t)==αx1+0Tmaxtϵ0 ,TKt,s∙xsds+f1==αx1+x10Tβds+f1=αx 1+x1∙βT+f1==α+βTx1+f1
Ал (1),(2) есебі корректі шешімділігіжәне оның шешіміx(t)үшін
x1=γmaxf1,d (30΄)
бағалауы орындалатынын ескерсек,
x1=α+βTγmaxf1,d+f1 (31)
аламыз. Енді
f1=maxf1,d
теңсіздігін пайдаланып, (31)- ден
x1=α+βTγ+1maxf1,dнемесе
x1=2q1(h)βThmaxf1,d
бағалауын аламыз. Онда (30) - дан
y-x1=γβTh2-2q1(h)∙2q1(h)βThmaxf1,d
немесе
y-x1=q1(h)1-q1(h)γmaxf1,d (32)
шығады.(3), (4)есебінің шешімі жалғыз болатынын көрсетейік.
Айталық, y(t) және y(t) функциялар (3), (4) есебінің өз ара тең емес шешімдері болсын.Онда олардың айырымы ∆yt=yt-y(t)
[0,T] кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданады. yt және ytүшін келесі теңдіктер орындалады
dydt=Aty+i=1mi-1hihKt,sds∙yi-1h+ft, (33)
By0+ CyT=d (34)
dydt=Aty+i=1mi-1hihKt,sds∙yi-1h+ft (35)
By0+ CyT=d, (36)
(33)пен(35) айырмасы
d∆ydt=At∆y+i=1mi-1hihKt,sds∙∆yi-1h (37)
болады, ал (34) пен (35)айырмасы
B∆y0+ CyT=0 (38)
(37)-нің оң жағына
0TKt,s∆ysds
қосып, азайтамыз:
d∆ydt=At∆y+0TKt,s∆ysds++i=1mi-1hihK t,sds∙∆yi-1h-0TKt,s∆ysds,
яғни
d∆ydt=At∆y+0TKt,s∆ysds+F(t)
мұндағы
F(t)=i=1mi-1hihKt,s∙∆yi-1h-∆ysds
функциясы [0,T]-да үзіліссіз.Демек, ∆y(t)функциясы
d∆ydt=At∆y+0TKt,s∆ysds+Fs, (39)
B∆y0+ C∆yT=0 (40)
интеграл-дифференциалдық теңдеу үшіншеттік есептің шешіміболады.
(1),(2)есебі корректі шешімділігі болғандықтан, ∆y(t) функциясы (39),(40) есебінің жалғыз шешімі болатыны шығады.Ол үшін келесі теңсіздік дұрыс болады.
∆y1=γF1=γi=1mi-1hihKt,s∙∆yi-1h-∆y sds==γi=1mi-1hihmaxtϵ0,TKt,s∙01∆ y (s+θi-1h-sdθ∙i-1h-s)ds==γβm∙12h2∆ y1=12h2∆y1=12γβTh∆y1
(41)
(39)-шы теңдеуден
∆y1=α∆y1+βT∆y1+F1=(α+βT)∆y1+12βTh ∆y1
(41)-шы теңсіздікті пайдаланып,
∆y1=α+βT+12γβTh∆y1+12βTh∆y1
аламыз, яғни
∆y1=12=(α+βTγ+1)βTh∆y1
немесе∆y1=q1(h)∆y1.Осында q1(h)1екенін ескерсек, ∆y1=0 шығады, ал (41)-тан
∆y1=0
аламыз, яғни барлық t ∈0,Tүшін y(t)=y(t)болады. (3),(4) есебінің шешіміy(t) функциясын бағалаймыз:
y1=y-x+x1=y-x1+x1
ал (32) мен (30΄) теңсіздіктері негізінде
y1=q1(h)1-q1(h)γ max {f1, d + γ max {f1, d}
немесе
y1=11-q1(h)γ max {f1, d}
аламыз.Теорема дәлелденді.
3Жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есептің бірмәнді шешімділігінің жеткілікті шарттары.
Теорема 2. Жүктелген дифференциалдық теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік (3),(4) есебі константасымен корректті шешілімді және
тенсіздігі дұрыс болсын. Онда интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі (1), (2) есебі константасымен корректті шешілімді және
бағалауы дұрыс болады. Мұндағы - (1), (2) шеттік есебінің, ал - (3), (4) шеттік есебінің шешімдері.
Дәлелдеуі 1-теорема дәлелдеу схемасы бойынша жүргізіледі.
Жүктелген дифференциалдық теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік (3), (4) есебін параметрлеу әдісінің бір модификациясымен зерттейміз. Натурал санын алып,және осы арқылы бөліктейміз . Белгісіз функциясының аралығынасығылуын арқылы белгілейміз де, қосымша , ,
параметрлерін енгіземіз. Одан соң әр бір интервалында алмастыруын орындап, келесі есепке көшеміз:
Мұндағы (46)-ші шарттар есептің шешімінің үзіліссіздігінен пайда болған.
(3), (4) есебінің шешімі функциясы және ші интервалға сығылуы болса, онда жұбы,
(22)-(25) есебінің шешімі болады. Және керісінше, элементтері
болатын жұбы (22)-(25) есебінің шешімі болса, онда теңдіктерімен анықталатын функциясы (3), (4) есебінің шешімі болады. Бастапқы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ
АҚПАРАТТЫҚ ЖҮЙЕЛЕР КАФЕДРАСЫ
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі
Орындаушы
___________________
[(]қолы[)]
Жангелдиева А.Ж
Ғылыми жетекші,
Ф.-м.ғ.д., доцент
___________________
(қолы)
Темешева С.М
Нормобақылаушы
___________________
(қолы)
Жуманов Ж.М
Қорғауға жіберілді:
кафедра меңг.қ.а
__________________
[(]қолы[)]
ЕсенгалиеваЖ.С.
Алматы 2015
РЕФЕРАТ
Дипломдық жұмыс 48 беттен, 1 суреттен, 26 пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және А қосымшадан тұрады.
Кілтті сөздер: СЫЗЫҚТЫҚ ИНТЕГРАЛ-ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ, СЫЗЫҚТЫҚ ЖҮКТЕЛГЕН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ ЕКІ НУКТЕЛІ ШЕТТІК ЕСЕП, КОРРЕКТТІ ШЕШІЛІМДІЛІК, ЖУЫҚ ШЕШІМ ТАБУ ӘДІСІ.
Зерттеу нысаны. Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есеп, жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есеп.
Жұмыстың мақсаты: Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі мен аппроксимациялаушы жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі арасындағы байланысты қолданып, Фредгольм сызықтық интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есептің шешімін жуық анықтаудың бір тәсілін ұсыну.
Қолдану аймағы: Электр тізбектерінің қасиеттерін уақыт бойынша өзгеретін қарапайым заңдылықтармен сипатталатын әсерлерге реакциясын ескеріп зерттеген ыңғайлы. Егер әсер еркін болса, онда, тізбектің реакциясын, мысалы, комплексті амплитудалар әдісімен, табу мүмкін емес. Бұл жағдайда электр тізбектің реактивтік элементтерде лездік тоқ пен кернеулерді ескеретін интеграл-дифференциалдық теңдеулер көмегімен уақытқа байланысты суреттелуін пайдалану керек.
РЕФЕРАТ
Дипломная работа состоит: 48 страниц, 1 рисунка, 26 источников и 1 приложения.
Ключевые слова:СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА, СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ, МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ.
Объект исследования: Линейная двухточечная краевая задача для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма, линейная двухточечная краевая задача для системы нагруженных дифференциальных уравнений.
Цель работы: Используя взаимосвязь между корректной разрешимостью линейной двухточечной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма и корректной разрешимостью аппроксимирующей линейной двухточечной краевой задачи для системы нагруженных дифференциальных уравнений, предложить один способ нахождения приближенного решения линейной двухточечной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма.
Область применения:Свойства электрических цепей удобно изучать по их реакции на воздействия, изменение которых во времени описывается простейшими законами. Если воздействие произвольное, то найти реакцию цепи с применением, например, метода амплитуд, невозможно. В таком случае необходимо использовать временное описание цепи в интегро-дифференциальных уравнений с учетом определения мгновенных токов и напряжений на реактивных элементах.
ABSTRACT
Diploma work consists of 48 pages, 1 figure, 26references and 1 appendix.
Keywords:SYSTEMS OF LINEAR FREDHOLM'S INTEGRAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS, SYSTEM OF LINEAR LOADED DIFFERENTIAL EQUATIONS, BOUNDARY-VALUE PROBLEM, CORRECT SOLVABILITY, METHODS OF FINDING APPROXIMATE SOLUTIONS.
Object of research: Linear two pointsboundary value problem for the system Fredholm'sintegral-differential equations, linear two-point boundary value problem for a system of loaded differential equations.
Purpose of work: Using the relationship between the correct solvability of a linear two-point boundary value problem for a system Fredholm's integral-differential equations and correct solvability of approximated by a linear two-point boundary value problem for loaded differential equations, suggest a method for finding approximate solutions of linear two-point boundary value problem for a system Fredholm's integral-differential equations.
Application domain: of electrical circuits convenient to study their response to the impact which a change in time is described by a simple law. If exposure is arbitrary, found chain reaction using, for example, the method amplitudes impossible. In this case, you must use a temporary circuit in the description of integral-differential equations with the definition of instantaneous current and voltage on the reactive elements.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 6
1. Интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің қойылымы 8
2. Интеграл-дифференциалдық теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі мен жүктелген теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі арасындағы байланыс 12
3. Жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есептің бірмәнді шешімділігінің жеткілікті шарттары. 22
4. Алгоритмнің MathCad математикалық пакетінде орындалуы. Есеп. 35
Қорытынды 44
Қолданылған әдебиеттер 45
Қосымша 47
КІРІСПЕ
Әртүрлі физикалық құбылыстарды зерттеу интеграл-диференциалдықтеңдеулерді зерттеудің қажеттілігін көрсетеді. Мысалы, тығыз негіздердегі кескіндердің майысуы, көпірлердегі шайқалыстар, индуктивті байланыстағы электрлік токтардың өтуі, жабысқақ сұйықтықтың тегіс стационарлық емес қозғалысы және көптеген басқа үрдістер, құбылыстардың соңғы әрекеттері жәй интеграл-диференциалдытеңдеуге алып келеді [1-5].
Интеграл-диференциалдық теңдеулер теориясының негізін салушылардың бірі В. Вольтерра [6]. Оның еңбектерінде үрдістердің соңғы әрекеттерін сипаттауда интеграл-диференциалдық теңдеулердің ролі анықталды. Н.Н. Лузин: ... жалғаспалы үрдістерді дифференциалдық теңдеулермен айқын жазу мүмкін емес, тек интеграл-диференциалдықтеңдеулер арқылы жазылады.
Интегралдық мүше интеграл-диференциалдық теңдеулер үшін есептердің құрылымына едәуір ықпал етеді, оларды зерттеу барысында жаңа мәселелер туындайды. Жәй сызықтық дифференциалды теңдеулер үшін Коши есебі сызықтық интеграл-диференциалдық теңдеу үшін Коши есебінде бір ғана шешім бола бермейтінін атап өтуге болады.
Коши есебінің және шектік есептер үшін сызықтық интеграл-диференциалдық теңдеулердің шешімі барлығы жөніндегі сұрақ G. Fubіnі , K. Courаnt, Н.М. Крылов, В.И. Романовский және басқалардың еңбектерінде зерттелді.Интеграл-диференциалдық теңдеулер үшін шектік есептерді зерттеушілердің алғашқыларының бірі Н.М. Крылов, ол Ритц үрдісінің шектік есеп үшін сәйкестігін зерттеді [11].
Интеграл-диференциалдық теңдеулердің зерттелулерінің маңызды әдістерінің бірі болып А.И Некрасовтың әдісі табылады. Интегралдық мүше негізі мен біртекті дифференциалдық теңдеуге сәйкес іргетасты шешімдер жүйесі көмегімен екінші ретті Фредгольм интегралды теңдеуі құрылады. Фредгольмның интегралдық теңдеуі шешімі бар деп болжасақ, резольвент көмегімен интеграл-диференциалды теңдеудің жалпы шешімін табу мүмкін болады.
Д.С. Джумабаевтың еңбегінде жәй дифференциалды теңдеулер үшін шектік есептерді шешу және зерттеуде параметрлеу әдісі ұсынылған. Берілген есептердің бастапқы берілімдер терминдерінде шешім табуға мүмкіндік алу мен оларды шешу үшін алгоритмдерді табуды құру. [7]
Бірінші реттегі интеграл-диференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі сызықтық шектік есепке параметрлеу әдісін қолдану арқылы бірмәді шешілімді болуының қажетті және жеткілікті шарттарды орнатуға мүмкіндік береді. Осы жұмыста тек жеткілікті шарттары тағайындалған.
Дипломдық жұмыста параметрлеу әдісінің алгоритмінің модификациясы ұсынылып, оның жинақты болуының жеткілікті шарттары тағайындалған.
1Интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің қойылымы
Дипломдық жұмыста
dx1dt=a11tx1+a12tx2+...+a1ntxn++0T( K11t,sx1s+K12t,sx2s+...+ K1nt,sxn(s))ds+f1 (t),dx2dt=a21tx1+a22tx2+...+a2ntxn+ +0T(K21t,sx1s+K22t,sx2s+...+ K2nt,sxn(s))ds+ f2 (t),...dxndt=an1tx1+an2tx2+...+annt xn+ +0T(Kn1t,sx1s+Kn2t,sx2s+...+ Knnt,sxn(s))ds+ fn (t), (1΄)
t∈0,T,xi:0,T--R, i=1,n,
Фредгольм сызықтық интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесінің
b11x10+ b12x20+...+b1nxn0+ c11x1T+ c12x1T+... c1nxnT=d1b21x1(0) + b22x2(0)+...+b2nxn(0)+ c21x1T+ c22x1T+... c2nxnT=d2 ...bn1x1(0) + bn2x2(0)+...+bnnxn(0)+ cn1x1(T) + cn2x1(T)+... cnnxn(T)=dn (2')
шеттік шарттарына қанағаттандыратын шешімі бар болу мәселесі қарастырылады. Сонымен бірге, (1΄),(2΄) есебінің жуық шешімін табу алгоритмі ұсынылады. Мұндағы aijt, fit, (i=1,n; j=1,n)-[ 0,T] сегментінде үзіліссіз функциялар
maxi=1,nj=1naij(t)=α, α-const;
Kijt,si=1,n ;j=1,n-0,Tx 0,T
жиынында үзіліссіз функциялар
maxi=1,nj=1nK(i,j) (t,s )=β,β-const;
bij,cij,dii=1,n ;j=1,n-берілген тұрақтылар.
Белгілеулер енгіземіз:
x(t)=x1t)x2t...xnt,dxdt = dx1dtdx2dt...dxndt,(t)= f1(t)f2(t)...fn(t) , d=d1d2...dn
At=a11ta12t...a1nta21ta22t...a2nt.. ... ... ..an1tan2t...annt, t∈0,T,
Kt,s=K11t,sK12t,s...K1nt,sK21t,sK22 t,s...K2nt,s ... ... ... Kn1t,sKn2t, s...Knnt,s, t,s∈0,Tx0,T,
B=b11b12...b1nb21b22...b2n ... ... . ...bn1bn2...bnn,C=c11c12...c1nc21c2 2...c2n ... ... ... cn1cn2...cnn
Енді (1΄), (2΄) есебін келесі түрде жазып алуымызға болады:
dxdt=Atx+0TKt,sxsds+ft,t∈[0,T],x∈Rn , (1)
Bx0+Cx T=d, d ∈Rn, (2)
At- [0,T]-да үзіліссіз n-өлшемді квадрат матрица, At =α, α-const;
K(t,s)-[0,T] x[0,T] жиынында үзіліссіз n-өлшемді квадрат матрица,K(t,s)=β, β-const;
ft-0,T үзіліссіз n-вектор-функция;
B,C- тұрақтыn-өлшемді квадрат матрицалар; d- тұрақты n-өлшемді вектор- баған.
(1), (2) есебін зерттеу үшін, оны келесі жүктелген дифференциалдық
теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есеппен аппроксимациялаймыз:
dydt=Aty+i=1mi-1hihKt,sds∙yi-1h+ft,
t∈0, T , y ∈ Rn, (3)
By 0+C yt=d, d ∈ Rn, (4)
мұндағы h=Tm,m=1,2, ...
Анықтама1.Интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі
нүктелі (1),(2) шеттік есебі корректті шешілімді дейміз, егер кез-келген f(t) және d үшін (1),(2) есебініңx*(t)жалғыз шешімі бар болып, ол үшін
x*1=max tϵ[0,T]x* (t)=γmaxf1,d,
бағалауы орындалса,мұндағы γ тұрақтысы f(t) мен d дан тәуелсіз.
Анықтама2. Жүктелген дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі (3), (4) шеттік есебі корректті шешілімді дейміз, егер кез-келгенf(t) және үшін (3), (4) есебінің шешімі бар болып,ол үшін
y*1=max tϵ[0,T]y* (t)=Kmaxf1,d,
бағалауы орындалса, мұндағы K тұрақтысы f(t) вектор-функциясы мен d векторынан тәуелсіз.
Дәлелдеуі: (3),(4) есебінің шешімін ретінде бірте-бірте жуықтау әдісімен табамыз. Бастапқы жуықтауы ретінде (1), (2) есебінің шешімі x(t) функциясын аламыз, яғни y0(t)=x(t) және
dy(0)dt=Aty(0)+0TKt,sy(0)sds+ft, t∈0, T , x∈Rn (5)
By00+Cy0T=d (6)
теңдіктері орындалады.
Келесі жуықтау -y(1)(t)функциясы
dydt=Aty+0TKt,sysds+ft++i=1mi-1hihK t,s(y0i-1 h-y0s)ds, (7)
By 0+C yT=d, (8)
шеттік есебінің шешімі болады.
K(t,s)матрицасы [0,T]x[0,T] жиынында үзіліссіз болғандықтан,
F(t)=i=1mi-1hihKt,s(y0(i-1h)-y0(s)) ds
функциясы[0,T] кесіндісінде үзіліссіз болады. (1),(2) есебін корректі шешілімді болғандықтан, оның жалғыз шешіміy1(t) табылады.Демек,
dy1dt=Aty1+0TKt,sy1sds+ft++i=1mi-1h ihKt,s(y0(i-1h)-y0sds,
(9)
By10+Cy1T=d, (10)
теңдіктері орындалады.
(9)-ден(7)-ні, (10)-ден(8)-ді мүшелеп алсақ,
ddty1-y0=At(y1-y0)+ +0TKt,s(y1s-y0(s))ds+ +i=1mi-1hihKt,s(y0(i-1h)-y0sds, (11)
B(y10-y0(0))+C(y1T-y0(T))=0 (12)
теңдіктері орындалатынын көреміз.
Онда
y(1)-y(0)1=γF1
бағалауы дұрыс болады.
2 Интеграл-дифференциалдық теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі мен жүктелген теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі арасындағы байланыс
F1 =i=1mi-1hihKt,sy0i-1h-y0sds==i=1m i-1hihKt,sy0i-1h-y0sds==i=1mi-1hi hmaxt∈0,TKt,s∙y0i-1h-y0sds==i=1mi-1 hihmaxt∈0,TKt,s01y 0s+θi-1h-sdθxxi-1h-sds==βy01i=1mi -1hih(s-i-1h)ds==βy01i=1m(s-i-1h22! s=i-1hs=ih ==βy01i=1m h22=12βmh2y(0)1=1 2 βThy(0)1=1 2 βThx1
болады, демек
y(1)-y(0)1=12γβThx 1 (13)
болады.
(11)-ші теңдеуден
ddt(y1-y0)1=Aty1-y0+0TKt,s(y1s-y0sd s++i=1mi-1hihKt,s (y0i-1h-y0sds==At∙y1-y01+0TKt,s∙( y1(s)-y0(s))ds++F1=α∙y1-y01+y1-y01 ·0Tβds+F1=(α+βT)y(1)-y(0)1+12βThx1
Егер (y1(t)-y0(t)) функциясын ∆(1)( t)арқылы белгілеп алсақ, онда соңғы бағалауды
∆(1)1=α+βT∆11+12βThx1 (14)
түріндегі жазып аламыз. (13)-ті ескерсек, (14)-ны
∆(1)1=(α+βT)·12γβTx1+12βThx1
бағалауын аламыз. Осы бағалауда оң жағын түрлендіріп,
∆(1)1=12(α+βTγ+1)βThx1=q1hx1 (15)
аламыз.
y(2)(t) жуықтауы деп
dydt=Aty+0TKt,sysds+ft++i=1mi-1hihK t,s(y1i-1h-y1s)ds,
t∈0,T,y∈Rn, (16)
By0+CyT=d, (17)
шеттік есебінің шешімін аламыз, демек
dy(2)dt=Aty(2)+0TKt,sy(2)sds+ft++i= 1mi-1hihKt,s(y1(i-1h-y1sds, (18)
By20+ Cy2T=d, (19)
теңдіктеріорындалады.(18)-дан(9)-ді ,(19)-ден,(10)-ні мүшелеп азайтсақ.
ddty2-y1=At(y2-y1)++0TKt,sy2(s)-y1( s)ds+i=1mi-1hihKt,s((y1i-1h--y0(i-1 h))-(y1s-y0(s))ds,
B(y(2)(0) - y(1)(0)+ C(y(2)(T) - y(1)(T))=0
болатынын аламыз. ∆(2)(t) арқылыy2t-y1 (t) функциясын
белгілеп алсақ, және y1t-y0t=∆1(t)екенін ескерсек, соңғы теңдіктерді
d∆dt(2)=At∆(2)+0TKt,s∙∆(2)sds++i=1m i-1hihKt,s∙(∆1(i-1h) -∆1(s))ds , (20)
B∆20+C∆2T=0 21
орындалатынын көреміз, яғни ∆2(t)функциясы
d∆dt=At∆+0TKt,s∙∆sds+i=1mi-1hihKt,s ∙(∆1(i-1h)- ∆1(s))ds, (22)
B∆ 0+ C∆ T=0 (23)
шеттік есебінің шешімі болады.
Онда
∆(2)1=γi=1mi-1hihKt,s∙(∆1i-1h)-∆(1 )sds
бағалауы орындалады.
i=1mi-1hihKt,s∙(∆1(i-1h)-∆1(s))ds
бағалаймыз.
i=1mi-1hihKt,s∙(∆1(i-1h)-∆1(s))ds ==i=1mi-1hihmaxt∈0,TKt,s∙01∆1(s+θ i-1h-s)) dθ∙∙s-i-1hds=βi=1mi-1hihs-i-1hds ∙∆1112βmh2∆1=12βTh∆11
Демек,
∆(2)1=12γβTh∆(1)1 (24)
(22)-ден (17) - ге ұқсас ∆(2)1 бағалауын аламыз.
∆1=At∆2+0TKt,s∙∆2sds++i=1mi-1hihKt, s∙(∆1(i-1h) -∆1(s))ds== At∙∆(2)1+0TKt,s∙∆2sds++i=1mi-1hihma xt∈0,TKt,s∙01∆1s+θ(i-1h-s))dθ∙∙(i-1 h-s)ds=d∆(2)1+0Tmaxt∈0,TK(t,s)∙∆2( s)ds++β∙∆(1)1∙i=1mi-1hihs i-1h ds == α∆21+βT∙∆21+ 12βTh ∆11
яғни
∆(2)1=α+βT∙∆21+12βTh∆(1)1
(24)-ны ескеріп
∆(2)1=α+βT∙12γβTh∆11+12βTh∆(1)1
теңсіздігін жазамыз.Осыдан
∆(2)1=12(α+βTγ+1)βTh∙∆11
бағалауын аламыз.Яғни
∆(2)1=q1h∙∆11 (25)
болады.
Интерациялық процесті жалғастыра отырып, (k+1)-жуықтауды
dydt=Aty+0TKt,sysds+ft++i=1mi-1hihK t,s(yki-1h-yksds, t∈[0,T] (26)
By(0)+ Cy(T)=d,
есебінен анықтаймыз. Онда ∆(k+1)(t)=y(k+1)(t) - y(k)(t)функциясы
d∆dt=At∆+0TKt,s∆sds++i=1mi-1hihKt,s (∆k(i-1h)-yksds,
B∆(0)+ C∆(T)=0
шеттік есебінің шешімі болады, және (24),(25)- ге ұқсас
∆(k+1)1=12γβTh∆(k)1, k=1,2,... (28)
∆(k+1)1=q1(h)∙∆(k)1, k=1,2,... (29)
бағалауын орнатамыз. Осы бағалаулардан және q1(h)1 теңсіздігінен ykt, k=0,1,2... функциялар тізбегі [0,T] кесіндіде k--infinity[0,T]-да үзіліссіз ϑ(t) функциясына бірқалыпты жинақты болптынын аламыз, онда (28)-ші теңсіздік негізінде y(k)(t), k=0,1,2 функциялар тізбегі [0,T]-да k--infinity (3),(4) есебінің y(t) шешіміне бірқалыпты жинақталады, сонда ϑt=y(t) болады.
(28), (29) теңсіздіктері негізінде
y(k+1)-x1=y(k+1)-y(0)1=y(k+1)-y(k)+ y(k)-y(k+1)...y(2)-y(1)+y(1)-y(0)1 ==y(k+1)-y(k)1+y(k)-y(k+1)...y(2)- y(1)1+y(1)-y(0)==∆(k+1)1+∆(k)1+...∆ (2)1+∆(1)1=12γβTh∆k1+∆k-11+...+∆11 +∆11=12γβTh(q1k-1h+q1k-2(h)+...+1) ∆11+∆11.
Теорема шарты бойынша q1(h)1,онда
q1k-2h+q1k-2h+...+1=1-q1kh1-q1h11- q1h ,
демек,
y(k+1)-y(0)111-q1h∙12∙γβTh∆11+∆11
Енді,(17) мен (15)- ті ескерсек,
y(k+1)-y(0)111-q1h∙12γβTh∙q1(h)x1+ 12γβThx1
яғни
y(k+1)-y(0)112γβThq1 h1-q1h+1x1==12γβTh∙11-q1(h)x1=γβTh2 -(α+βTγ+1)βTh∙x1
немесе
y(k+1)-y(0)1γβTh2-(α+βTγ+1)βThx1
Осы теңсіздікте және y0t=xt,limk--infinityykt=y(t) екенін пайдаланып
y-x1γβTh2-(α+βTγ+1)βThx1 (30)
бағалауын аламыз.x1 бағалауын(1) -ші теңдеуденаламыз:
x1= Atx+0TKt,sxsds+f(t)==αx1+0Tmaxtϵ0 ,TKt,s∙xsds+f1==αx1+x10Tβds+f1=αx 1+x1∙βT+f1==α+βTx1+f1
Ал (1),(2) есебі корректі шешімділігіжәне оның шешіміx(t)үшін
x1=γmaxf1,d (30΄)
бағалауы орындалатынын ескерсек,
x1=α+βTγmaxf1,d+f1 (31)
аламыз. Енді
f1=maxf1,d
теңсіздігін пайдаланып, (31)- ден
x1=α+βTγ+1maxf1,dнемесе
x1=2q1(h)βThmaxf1,d
бағалауын аламыз. Онда (30) - дан
y-x1=γβTh2-2q1(h)∙2q1(h)βThmaxf1,d
немесе
y-x1=q1(h)1-q1(h)γmaxf1,d (32)
шығады.(3), (4)есебінің шешімі жалғыз болатынын көрсетейік.
Айталық, y(t) және y(t) функциялар (3), (4) есебінің өз ара тең емес шешімдері болсын.Онда олардың айырымы ∆yt=yt-y(t)
[0,T] кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданады. yt және ytүшін келесі теңдіктер орындалады
dydt=Aty+i=1mi-1hihKt,sds∙yi-1h+ft, (33)
By0+ CyT=d (34)
dydt=Aty+i=1mi-1hihKt,sds∙yi-1h+ft (35)
By0+ CyT=d, (36)
(33)пен(35) айырмасы
d∆ydt=At∆y+i=1mi-1hihKt,sds∙∆yi-1h (37)
болады, ал (34) пен (35)айырмасы
B∆y0+ CyT=0 (38)
(37)-нің оң жағына
0TKt,s∆ysds
қосып, азайтамыз:
d∆ydt=At∆y+0TKt,s∆ysds++i=1mi-1hihK t,sds∙∆yi-1h-0TKt,s∆ysds,
яғни
d∆ydt=At∆y+0TKt,s∆ysds+F(t)
мұндағы
F(t)=i=1mi-1hihKt,s∙∆yi-1h-∆ysds
функциясы [0,T]-да үзіліссіз.Демек, ∆y(t)функциясы
d∆ydt=At∆y+0TKt,s∆ysds+Fs, (39)
B∆y0+ C∆yT=0 (40)
интеграл-дифференциалдық теңдеу үшіншеттік есептің шешіміболады.
(1),(2)есебі корректі шешімділігі болғандықтан, ∆y(t) функциясы (39),(40) есебінің жалғыз шешімі болатыны шығады.Ол үшін келесі теңсіздік дұрыс болады.
∆y1=γF1=γi=1mi-1hihKt,s∙∆yi-1h-∆y sds==γi=1mi-1hihmaxtϵ0,TKt,s∙01∆ y (s+θi-1h-sdθ∙i-1h-s)ds==γβm∙12h2∆ y1=12h2∆y1=12γβTh∆y1
(41)
(39)-шы теңдеуден
∆y1=α∆y1+βT∆y1+F1=(α+βT)∆y1+12βTh ∆y1
(41)-шы теңсіздікті пайдаланып,
∆y1=α+βT+12γβTh∆y1+12βTh∆y1
аламыз, яғни
∆y1=12=(α+βTγ+1)βTh∆y1
немесе∆y1=q1(h)∆y1.Осында q1(h)1екенін ескерсек, ∆y1=0 шығады, ал (41)-тан
∆y1=0
аламыз, яғни барлық t ∈0,Tүшін y(t)=y(t)болады. (3),(4) есебінің шешіміy(t) функциясын бағалаймыз:
y1=y-x+x1=y-x1+x1
ал (32) мен (30΄) теңсіздіктері негізінде
y1=q1(h)1-q1(h)γ max {f1, d + γ max {f1, d}
немесе
y1=11-q1(h)γ max {f1, d}
аламыз.Теорема дәлелденді.
3Жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есептің бірмәнді шешімділігінің жеткілікті шарттары.
Теорема 2. Жүктелген дифференциалдық теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік (3),(4) есебі константасымен корректті шешілімді және
тенсіздігі дұрыс болсын. Онда интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі (1), (2) есебі константасымен корректті шешілімді және
бағалауы дұрыс болады. Мұндағы - (1), (2) шеттік есебінің, ал - (3), (4) шеттік есебінің шешімдері.
Дәлелдеуі 1-теорема дәлелдеу схемасы бойынша жүргізіледі.
Жүктелген дифференциалдық теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік (3), (4) есебін параметрлеу әдісінің бір модификациясымен зерттейміз. Натурал санын алып,және осы арқылы бөліктейміз . Белгісіз функциясының аралығынасығылуын арқылы белгілейміз де, қосымша , ,
параметрлерін енгіземіз. Одан соң әр бір интервалында алмастыруын орындап, келесі есепке көшеміз:
Мұндағы (46)-ші шарттар есептің шешімінің үзіліссіздігінен пайда болған.
(3), (4) есебінің шешімі функциясы және ші интервалға сығылуы болса, онда жұбы,
(22)-(25) есебінің шешімі болады. Және керісінше, элементтері
болатын жұбы (22)-(25) есебінің шешімі болса, онда теңдіктерімен анықталатын функциясы (3), (4) есебінің шешімі болады. Бастапқы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz