«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»

ӘЛ-ФАРАБИ АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ

АҚПАРАТТЫҚ ЖҮЙЕЛЕР КАФЕДРАСЫ

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: «Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»

Алматы 2015

РЕФЕРАТ

Дипломдық жұмыс 48 беттен, 1 суреттен, 26 пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және А қосымшадан тұрады.

Кілтті сөздер : СЫЗЫҚТЫҚ ИНТЕГРАЛ-ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ, СЫЗЫҚТЫҚ ЖҮКТЕЛГЕН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ ЕКІ НУКТЕЛІ ШЕТТІК ЕСЕП, КОРРЕКТТІ ШЕШІЛІМДІЛІК, ЖУЫҚ ШЕШІМ ТАБУ ӘДІСІ.

Зерттеу нысаны . Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есеп, жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есеп.

Жұмыстың мақсаты : Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі мен аппроксимациялаушы жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі арасындағы байланысты қолданып, Фредгольм сызықтық интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есептің шешімін жуық анықтаудың бір тәсілін ұсыну.

Қолдану аймағы : Электр тізбектерінің қасиеттерін уақыт бойынша өзгеретін қарапайым заңдылықтармен сипатталатын әсерлерге реакциясын ескеріп зерттеген ыңғайлы. Егер әсер еркін болса, онда, тізбектің реакциясын, мысалы, комплексті амплитудалар әдісімен, табу мүмкін емес. Бұл жағдайда электр тізбектің реактивтік элементтерде лездік тоқ пен кернеулерді ескеретін интеграл-дифференциалдық теңдеулер көмегімен уақытқа байланысты суреттелуін пайдалану керек.

РЕФЕРАТ

Дипломная работа состоит: 48 страниц, 1 рисунка, 26 источников и 1 приложения.

Ключевые слова :СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА, СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ, МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ.

Объект исследования : Линейная двухточечная краевая задача для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма, линейная двухточечная краевая задача для системы нагруженных дифференциальных уравнений.

Цель работы : Используя взаимосвязь между корректной разрешимостью линейной двухточечной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма и корректной разрешимостью аппроксимирующей линейной двухточечной краевой задачи для системы нагруженных дифференциальных уравнений, предложить один способ нахождения приближенного решения линейной двухточечной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма.

Область применения: Свойства электрических цепей удобно изучать по их реакции на воздействия, изменение которых во времени описывается простейшими законами. Если воздействие произвольное, то найти реакцию цепи с применением, например, метода амплитуд, невозможно. В таком случае необходимо использовать временное описание цепи в интегро-дифференциальных уравнений с учетом определения мгновенных токов и напряжений на реактивных элементах.

ABSTRACT

Diploma work consists of 48 pages, 1 figure, 26references and 1 appendix.

Keywords: SYSTEMS OF LINEAR FREDHOLM’S INTEGRAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS, SYSTEM OF LINEAR LOADED DIFFERENTIAL EQUATIONS, BOUNDARY-VALUE PROBLEM, CORRECT SOLVABILITY, METHODS OF FINDING APPROXIMATE SOLUTIONS.

Object of research : Linear two pointsboundary value problem for the system Fredholm’sintegral-differential equations, linear two-point boundary value problem for a system of loaded differential equations.

Purpose of work : Using the relationship between the correct solvability of a linear two-point boundary value problem for a system Fredholm’s integral-differential equations and correct solvability of approximated by a linear two-point boundary value problem for loaded differential equations, suggest a method for finding approximate solutions of linear two-point boundary value problem for a system Fredholm’s integral-differential equations.

Application domain: of electrical circuits convenient to study their response to the impact which a change in time is described by a simple law. If exposure is arbitrary, found chain reaction using, for example, the method amplitudes impossible. In this case, you must use a temporary circuit in the description of integral-differential equations with the definition of instantaneous current and voltage on the reactive elements.

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ6

1. Интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін сызықтық екі нүктелі шеттік есептің қойылымы8

2. Интеграл-дифференциалдық теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі мен жүктелген теңдеулер үшін екі нүктелі шеттік есептің корректті шешілімділігі арасындағы байланыс12

3. Жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есептің бірмәнді шешімділігінің жеткілікті шарттары. 22

4. Алгоритмнің MathCad математикалық пакетінде орындалуы. Есеп. 35

Қорытынды44

Қолданылған әдебиеттер45

Қосымша47

Әртүрлі физикалық құбылыстарды зерттеу интеграл- зерттеудің қажеттілігін көрсетеді. Мысалы, тығыз негіздердегі кескіндердің майысуы, көпірлердегі шайқалыстар, индуктивті байланыстағы электрлік токтардың өтуі, жабысқақ сұйықтықтың тегіс стационарлық емес қозғалысы және көптеген басқа үрдістер, құбылыстардың соңғы әрекеттері жәй интеграл-диференциалдытеңдеуге алып келеді [1-5] .

Интеграл-диференциалдық теңдеулер теориясының негізін салушылардың бірі В. Вольтерра [6] . Оның еңбектерінде үрдістердің соңғы әрекеттерін сипаттауда интеграл-диференциалдық теңдеулердің ролі анықталды. Н. Н. Лузин: « . . . жалғаспалы үрдістерді дифференциалдық теңдеулермен айқын жазу мүмкін емес, тек интеграл- арқылы жазылады. »

Интегралдық мүше интеграл-диференциалдық теңдеулер үшін есептердің құрылымына едәуір ықпал етеді, оларды зерттеу барысында жаңа мәселелер туындайды. Жәй сызықтық дифференциалды теңдеулер үшін Коши есебі сызықтық интеграл-диференциалдық теңдеу үшін Коши есебінде бір ғана шешім бола бермейтінін атап өтуге болады.

Коши есебінің және шектік есептер үшін сызықтық интеграл-диференциалдық теңдеулердің шешімі барлығы жөніндегі сұрақ G. Fubіnі, K. Courаnt, Н. М. Крылов, В. И. Романовский және басқалардың еңбектерінде зерттелді. Интеграл-диференциалдық теңдеулер үшін шектік есептерді зерттеушілердің алғашқыларының бірі Н. М. Крылов, ол Ритц үрдісінің шектік есеп үшін сәйкестігін зерттеді [11] .

Интеграл-диференциалдық теңдеулердің зерттелулерінің маңызды әдістерінің бірі болып А. И Некрасовтың әдісі табылады. Интегралдық мүше негізі мен біртекті дифференциалдық теңдеуге сәйкес іргетасты шешімдер жүйесі көмегімен екінші ретті Фредгольм интегралды теңдеуі құрылады. Фредгольмның интегралдық теңдеуі шешімі бар деп болжасақ, резольвент көмегімен интеграл-диференциалды теңдеудің жалпы шешімін табу мүмкін болады.

Д. С. Джумабаевтың еңбегінде жәй дифференциалды теңдеулер үшін шектік есептерді шешу және зерттеуде параметрлеу әдісі ұсынылған. Берілген есептердің бастапқы берілімдер терминдерінде шешім табуға мүмкіндік алу мен оларды шешу үшін алгоритмдерді табуды құру. [7]

Бірінші реттегі интеграл-диференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі сызықтық шектік есепке параметрлеу әдісін қолдану арқылы бірмәді шешілімді болуының қажетті және жеткілікті шарттарды орнатуға мүмкіндік береді. Осы жұмыста тек жеткілікті шарттары тағайындалған.

Дипломдық жұмыста параметрлеу әдісінің алгоритмінің модификациясы ұсынылып, оның жинақты болуының жеткілікті шарттары тағайындалған.

Дипломдық жұмыста

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{{dx}^{1}}{dt} = a_{11}(t) x^{1} + a_{12}(t) x^{2} + \ldots + a_{1n}(t) x^{n} + \\ + \int_{0}^{T}{(K_{11}(t, s) x^{1}}(s) + K_{12}(t, s) x^{2}(s) + \ldots + \ K_{1n}(t, s) x^{n}(s) ) ds + f_{1}\ (t), \\ \begin{matrix} \frac{{dx}^{2}}{dt} = a_{21}(t) x^{1} + a_{22}(t) x^{2} + \ldots + a_{2n}(t) x^{n} + \\ + \int_{0}^{T}{(K_{21}(t, s) x^{1}}(s) + K_{22}(t, s) x^{2}(s) + \ldots + \ K_{2n}(t, s) x^{n}(s) ) ds + \ f_{2}\ (t), \\ \begin{matrix} \ldots \\ \frac{{dx}^{n}}{dt} = a_{n1}(t) x^{1} + a_{n2}(t) x^{2} + \ldots + a_{nn}(t) x^{n} + \\ \ + \int_{0}^{T}{(K_{n1}(t, s) x^{1}}(s) + K_{n2}(t, s) x^{2}(s) + \ldots + \ K_{nn}(t, s) x^{n}(s) ) ds + \ f_{n}\ (t), \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \right. \ \ \ \ \ \ (1΄) \$$

t $\in \lbrack 0, T\rbrack, x^{i}:\lbrack 0, T\rbrack \rightarrow R, \ i = \overline{1, n},$

Фредгольм сызықтық интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесінің

$\left\{ \begin{matrix} b_{11}x^{1}(0) + \ b_{12}x^{2}(0) + \ldots + b_{1n}x^{n}(0) \\ + \ c_{11}x^{1}(T) + \ c_{12}x^{1}(T) + \ldots\ c_{1n}x^{n}(T) = d_{1} \\ \begin{matrix} b_{21}x^{1}(0) \ + \ b_{22}x^{2}(0) + \ldots + b_{2n}x^{n}(0) \\ + \ c_{21}x^{1}(T) + \ c_{22}x^{1}(T) + \ldots\ c_{2n}x^{n}(T) = d_{2}\ \\ \begin{matrix} \ldots \\ b_{n1}x^{1}(0) \ + \ b_{n2}x^{2}(0) + \ldots + b_{nn}x^{n}(0) \\ + \ c_{n1}x^{1}(T) \ + \ c_{n2}x^{1}(T) + \ldots\ c_{nn}x^{n}(T) = d_{n} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \right. \$ (2´)

шеттік шарттарына қанағаттандыратын шешімі бар болу мәселесі қарастырылады. Сонымен бірге, (1΄), (2΄) есебінің жуық шешімін табу алгоритмі ұсынылады. Мұндағы $a_{ij}(t), \ f_{i}(t), \ (i = \overline{1, n}; \ j = \overline{1, n}) - \lbrack\ 0, T\rbrack$ сегментінде үзіліссіз функциялар

$$\underset{i = \overline{1, n}}{\ max}{\sum_{j = 1}^{n}\left a_{ij}(t) \right} \leq \alpha, \ \alpha - const;$$

$$K_{ij}(t, s) \left( i = \overline{1, n}\ ; j = \overline{1, n} \right) - \lbrack 0, T\rbrack \times \lbrack\ 0, T\rbrack$$

жиынында үзіліссіз функциялар

$$\underset{i = \overline{1, n}}{\ max}{\sum_{j = 1}^{n}{\left K_{(i, j) }\ (t, s\ ) \right \leq \beta, \beta - const; \ }}$$

$$b_{ij}, c_{ij}{, d}_{i}\left( i = \overline{1, n}\ ; j = \overline{1, n} \right) - берілген\ тұрақтылар.$$

Белгілеулер енгіземіз:

$x(t) = \binom{x^{1}t) }{\begin{array}{r} x^{2}(t) \\ \ldots \\ x^{n}(t) \end{array}}$ , $\frac{dx}{dt}\ = \ \binom{\frac{{dx}^{1}}{dt}}{\begin{array}{r} \frac{{dx}^{2}}{dt} \\ \ldots \\ \frac{{dx}^{n}}{dt} \end{array}}, (t) = \ \binom{f_{1}(t) }{\begin{array}{r} f_{2}(t) \\ \ldots \\ f_{n}(t) \end{array}}$ , $d = \binom{d_{1}}{\begin{array}{r} d_{2} \\ \ldots \\ d_{n} \end{array}}$

$$A(t) = \begin{pmatrix} a_{11}(t) & a_{12}(t) \ldots & a_{1n}(t) \\ a_{21}(t) & a_{22}(t) \ldots & a_{2n}(t) \\ \ldots & \ldots\ \ldots & \ldots \\ a_{n1}(t) & a_{n2}(t) \ldots & a_{nn}(t) \end{pmatrix}, \ \ \ t \in \lbrack 0, T\rbrack,$$

$$K(t, s) = \begin{pmatrix} K_{11}(t, s) & K_{12}(t, s) & \ldots & K_{1n}(t, s) \\ K_{21}(t, s) & K_{22}(t, s) & . . . & K_{2n}(t, s) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ K_{n1}(t, s) & K_{n2}(t, s) & \ldots & K_{nn}(t, s) \end{pmatrix}, \ (t, s) \in \lbrack 0, T\rbrack \times \lbrack 0, T\rbrack,$$

$$B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22}\ldots & b_{2n} \\ \ldots & \ldots\ldots & \ldots \\ b_{n1} & b_{n2}\ldots & b_{nn} \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12}\ldots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22}\ldots & c_{2n} \\ \ldots & \ldots\ldots & \ldots \\ c_{n1} & c_{n2}\ldots & c_{nn} \end{pmatrix}$$

Енді (1΄), (2΄) есебін келесі түрде жазып алуымызға болады:

$$\frac{dx}{dt} = A(t) x + \int_{0}^{T}{K(t, s) \times (s) ds + f(t), t \in \lbrack 0, T\rbrack, x \in R^{n}}, \ \ \ \ \ \ (1)$$

$Bx(0) + Cx\ (T) = d, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d\ \in R^{n}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ (2)

$A(t)$ - $\lbrack 0, T\rbrack$ -да үзіліссіз $\ n$ -өлшемді квадрат матрица, $\left\ A(t) \right\\ \leq \alpha, \ \alpha - const;$

$K(t, s) - \lbrack 0, T\rbrack\ \times \lbrack 0, T\rbrack$ жиынында үзіліссіз n-өлшемді квадрат матрица, $\left\ K(t, s) \right\ \leq \beta$ , $\ \beta - const;$

$$f(t) - \lbrack 0, T\rbrack\ үзіліссіз\ n - вектор - функция;$$

B, C- тұрақты $n$ -өлшемді квадрат матрицалар; $\ d$ - тұрақты $n$ -өлшемді вектор- баған.

(1), (2) есебін зерттеу үшін, оны келесі жүктелген дифференциалдық

теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі шеттік есеппен аппроксимациялаймыз:

$$\frac{dy}{dt} = A(t) y + \sum_{i = 1}^{m}{\int_{(i - 1) h}^{ih}{K(t, s) ds \bullet y}\left( (i - 1) h \right) + f(t), }$$

$$t \in \lbrack 0, \ T\ \rbrack, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y\ \in {\ R}^{n}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$

$$By\ (0) + C\ y(t) = d, \ d\ \in \ R^{n}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$

мұндағы $\ h = \frac{T}{m}, (m = 1, 2, \ldots) .$

Анықтама1. Интеграл-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі

нүктелі (1), (2) шеттік есебі корректті шешілімді дейміз, егер кез-келген $f(t)$ және $d$ үшін (1), (2) есебінің $x^{*}$ (t) жалғыз шешімі бар болып, ол үшін

$$\left\ x^{*} \right\_{1} = \max_{\ t\epsilon\lbrack 0, T\rbrack}\left\ x^{*\ }(t) \right\ \leq \gamma\max\left\{ \left\ f \right\_{1, }\left\ d \right\ \right\},$$

бағалауы орындалса, мұндағы $\gamma$ тұрақтысы f(t) мен d дан тәуелсіз.

Анықтама2 . Жүктелген дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі (3), (4) шеттік есебі корректті шешілімді дейміз, егер кез-келген $f(t)$ және үшін (3), (4) есебінің шешімі бар болып, ол үшін

$$\left\ y^{*} \right\_{1} = \max_{\ t\epsilon\lbrack 0, T\rbrack}\left\ y^{*\ }(t) \right\ \leq K\max\left\{ \left\ f \right\_{1, }\left\ d \right\ \right\},$$

бағалауы орындалса, мұндағы $K$ тұрақтысы f(t) вектор-функциясы мен d векторынан тәуелсіз.

Дәлелдеуі: (3), (4) есебінің шешімін ретінде бірте-бірте жуықтау әдісімен табамыз. Бастапқы жуықтауы ретінде (1), (2) есебінің шешімі $x(t)$ функциясын аламыз, яғни $y^{(0) }(t) = x(t)$ және

$$\frac{{dy}^{(0) }}{dt} = A(t) y^{(0) } + \int_{0}^{T}{K(t, s) }y^{(0) }(s) ds + f(t), \ t \in \lbrack 0, \ T\ \rbrack, \ x \in R^{n}\ \ (5)$$

$${By}^{(0) }(0) + {Cy}^{(0) }(T) = d\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$$

теңдіктері орындалады.

Келесі жуықтау $- y^{(1) }(t)$ функциясы

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс