Қателік ұғымы

І. Кіріспе.
ІІ.Негізгі бөлім.
а) Жуық сандардың абсолют және салыс.
тырмалы қателіктері.
б) Функцияның қателігін есептеу.
ІІІ. Қорытынды.
Пайдаланған әдебиеттер тізімі.

Ғылым мен техникада көптеген есептер функциялар, алгеб-ралық, дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы
математика тілінде сипатталып жазылады. Мұндай есептер түр-ліше жолдармен шешіледі. Анализдік әдістер сондай жолдардың бірі болып табылады. Бірақ оларды пайдалану көп жағдайда мүмкін бола бермейді.
Кейінгі 30-40 жыл ішінде жылдам есептейтін электрондық есептеуіш машиналар (ЭЕМ) кеңінен қолданылып келеді. Олар-дың кейбіреулері секундына жүздеген миллионға дейін ариф-метикалық амалдар орындайды. Сонымен бірге машиналарда есептеулерді жеңілдететін басқа да қосымша мүмкіншіліктер бар. Электрондық есептеуіш машиналардың пайда болуы есептеу
математикасының қарқынды дамуына зор әсерін тигізгенін айта кеткен жөн.
Есептеу кезінде анализдік әдістерді пайдалану қиындық кел-
тіргенде немесе тіпті пайдалану мүмкін болмаған жағдайда есептеу математикасының сандық әдістері қолданылады. Ол әдістер бастапқы берілген есепті мағынасы бойынша соған жуық басқа есеппен алмастыру мүмкіндігіне негізделген. Ал соңғы есеп кейбір шарттарды қанағаттандыруы тиіс. Мәселен, шешімінің бар болуы, орнықты, жинақты болуы және т.с.с. Бұл есептің шешімі алғашқы есептің жуық шешімін беруі тиіс немесе оған белгілі бір дәлдікпен жинақталуы қажет.
Дәл және жуық шешімдердің айырымын жуықтау немесе әдіс қателігі деп атайды.
Есепте негізгі деректер, яғни ондағы коэффициенттер,бос мү-шелер немесе қосымша шарттар жуық шамалармен берілуі мүмкін, соның нәтижесінде пайда болған қателіктерді жөндел-мейтін (түзетілмейтін) қателіктер деп атайды.
ЭЕМ-де цифрлар саны шексіз көп сандарға арифметикалық амалдар қолданылмайды. Сондықтан ондай сандар ең алдымен цифрларының саны шектеулі жуық сандармен алмастырылады. Ол, әдетте, орта мектептен белгілі дөңгелектеу әдісі арқылы жүзеге асырылады. ЭЕМ-де дөңгелектеу амалы арифметикалық амалдар орындалған кездерде де жүргізіледі. Өйткені нәтижеде цифрларының саны шексіз көп сандар пайда болуы мүмкін. Осындай дөңгелектеулердің салдарынан пайда болған қателіктерді есептік қателіктер деп атайды. Олар есептің жуық шешімінің дәлдігіне тікелей әсерін тигізетіні анық.

1. Ө.Сұлтанғазин, С. Атанбаев . Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы . Алматы,1995…… …………………....7-12беттер
2. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков.
Численные методы.Москва,1987 ………………… стр. 72-79

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 10 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
І. Кіріспе.
ІІ.Негізгі бөлім.
а) Жуық сандардың абсолют және салыс-
тырмалы қателіктері.
б) Функцияның қателігін есептеу.
ІІІ. Қорытынды.
Пайдаланған әдебиеттер тізімі.

KІРІСПЕ

Ғылым мен техникада көптеген есептер функциялар, алгеб-ралық,
дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы
математика тілінде сипатталып жазылады. Мұндай есептер түр-ліше
жолдармен шешіледі. Анализдік әдістер сондай жолдардың бірі болып
табылады. Бірақ оларды пайдалану көп жағдайда мүмкін бола
бермейді.
Кейінгі 30-40 жыл ішінде жылдам есептейтін электрондық
есептеуіш машиналар (ЭЕМ) кеңінен қолданылып келеді. Олар-дың
кейбіреулері секундына жүздеген миллионға дейін ариф-метикалық
амалдар орындайды. Сонымен бірге машиналарда есептеулерді
жеңілдететін басқа да қосымша мүмкіншіліктер бар. Электрондық
есептеуіш машиналардың пайда болуы есептеу
математикасының қарқынды дамуына зор әсерін тигізгенін айта кеткен
жөн.
Есептеу кезінде анализдік әдістерді пайдалану қиындық кел-
тіргенде немесе тіпті пайдалану мүмкін болмаған жағдайда есептеу
математикасының сандық әдістері қолданылады. Ол әдістер бастапқы
берілген есепті мағынасы бойынша соған жуық басқа есеппен
алмастыру мүмкіндігіне негізделген. Ал соңғы есеп кейбір шарттарды
қанағаттандыруы тиіс. Мәселен, шешімінің бар болуы, орнықты, жинақты
болуы және т.с.с. Бұл есептің шешімі алғашқы есептің жуық шешімін
беруі тиіс немесе оған белгілі бір дәлдікпен жинақталуы қажет.
Дәл және жуық шешімдердің айырымын жуықтау немесе әдіс
қателігі деп атайды.
Есепте негізгі деректер, яғни ондағы коэффициенттер,бос мү-шелер
немесе қосымша шарттар жуық шамалармен берілуі мүмкін, соның
нәтижесінде пайда болған қателіктерді жөндел-мейтін (түзетілмейтін)
қателіктер деп атайды.
ЭЕМ-де цифрлар саны шексіз көп сандарға арифметикалық амалдар
қолданылмайды. Сондықтан ондай сандар ең алдымен цифрларының саны
шектеулі жуық сандармен алмастырылады. Ол, әдетте, орта мектептен
белгілі дөңгелектеу әдісі арқылы жүзеге асырылады. ЭЕМ-де
дөңгелектеу амалы арифметикалық амалдар орындалған кездерде де
жүргізіледі. Өйткені нәтижеде цифрларының саны шексіз көп сандар
пайда болуы мүмкін. Осындай дөңгелектеулердің салдарынан пайда
болған қателіктерді есептік қателіктер деп атайды. Олар есептің
жуық шешімінің дәлдігіне тікелей әсерін тигізетіні анық.

Жуық сандардың абсолют және салыстырмалы
қателіктері.
Айталық, х берілген санның дәл мәні, ал x* оның жуық мәні
болсын. Кейде х* жуық санының бірнеше мәндері болуы мүмкін,
мысалы, х=√2, ал х*=1,4; х*=1.41; x*=1.42.
Әдетте, ∆х*=x-x* шамасын х* жуық санының абсолют қателігі
деп атайды. Қарастырылып отырған санның х дәл мәні көбінесе
белгісіз болады. Сондықтан ∆х* қателігі анықтала бермейді. Бірақ
оны жоғарыдан шектейтін шаманы әруақытта көрсетуге болады.
1- анықтама. Есептеу математикасында
∆х*=sup∆x*=supx-x*
x* x*
шамасын х* жуық санының шектік абсолют қателігі деп атайды.
Бұл анықтамадан
∆x*= x-x* ≤∆x*
екені анық. Демек,
х-∆х*≤х*≤х+∆х*
Кейде мұны қысқаша х=х*±∆х* деп те жазады.
1-мысал. Айталық, х=π , ал х*=3,41 болсын делік. Енді осы жуық
санның шектік абсолют қателігін табайық.
Шешуі. 3,141π3,142 теңсіздігінен x-x*0.001 бағалауын аламыз.
Демек, ∆х*=0,001.
Көбінесе жуық сандар физикалық шамаларды өлшегенде немесе
арифметикалық амалдарды орындағанда пайда болады. Оларға осы
тұрғыдан қарасақ, шектік абсолют қателік жуық сандардың дәлдігін
толық сипаттамайтынын түсіну қиын емес. Мысалы, s1 және s2 ара
қашықтықтарын өлшегенде S1=400м±10см S2=2м±10см болсын.Олардың абсолют
қателіктері (∆S1=∆S2=10cм) бірдей болғанымен, S1 жуық санында өлшеу
дәлдігі S2-ге қара-ғанда жоғары.Демек, өлшеу (немесе есептеу)
дәлдігін сол өлше-нетін (немесе есептелетін) шаманың өзімен
салыстырған жөн. Сондықтан жуық шамалардың дәлдігін тереңірек
сипаттау үшін олардың салыстырмалы қателіктерін қарастырады.
2-анықтама.
δх*=x-x*x*=∆x*x*
шамасын х* жуық санының салыстырмалы қателігі деп атайды.
Ал жуық санның шектік салыстырмалы қателігі мына фор-муламен
анықталады:
δх*=sup δx*.
2-анықтамадан ∆х* ≤x* δx* теңсіздігі шығады. Жалпы ∆х*
шектік абсолют қателік пен δх* салыстырмалы қателіктер ара-сында
мынадай байланыс бар:
∆ х* = x* δx*
Бұдан
х*(1-δх* ) ≤ х ≤х*(1+δх*)
теңсіздігін алуға болады, яғни
х= х* (1+δх*)
Практикада жуық санның салыстырмалы қателіктері көбінесе процентпен
беріледі.
2-мысал. Жоғарыда S1 және S2 жуық сандардың салыстырмалы
қателіктерін табу керек.
Шешуі
δs1=0.1м400м=14000=0,00025·100%=0 ,025%;
δS2=0.1м2м=120=0,05·100%=5%.
Электрондық есептеуіш машиналар жадына сандарды енгіз-генде
пайда болатын абсолют және салыстырмалы қателіктердің шамаларын
анықтайық. Мысалы,
х*2=β1β2. . . βt ·2= (β1·2+β2 ·2¯² +. . . +βt·2¯¹)·2
болсын делік. Онда бұл санның шектік абсолют қателігі соңғы бірлік
разрядтан (β1=β2= . . .=βt-1=0, βt= 1) асып кетпейтіні мәлім, яғни
∆х2*=sup X2-X2*≤2
Ал Х2* жуық санының шектік салыстырмалы қателігі үшін
ΔХ2*=sup **≤ ф фффффффффф
теңсіздігі орындалады. Бұдан Х2* жуық санының, Х2 дәл мәні үшін

Х2 =Х2*(1+2¯¹)
формуласын шығарып алуға болады.
Ондық санау жүйесінде кез келген x*10 саны

X*=amam-1...a0, a-1a-2...a-n=am

түрінде жазылады. Мұндағы а1 коэффициенттері 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9 сандарының біреуіне тең. Мысалы,
х*=314,1592=3·10²+1·10¹+4·10º+1·10¯ ¹+5·10¯²+9·10¯³+2·10¯
X10* жуық санының өрнектелуіндегі бірінші аs ≠0-ден басталған барлық
ак(к=s, s-1, . . . , -n) коэффициенттері оның мәнді цифр-лары деп
аталады. Мысалы, мына жуық сандардағы
Х10*=205,45; Х10*=0,01023; Х10*=0,0102305
асты сызылған цифрлар---мәнді цифрлар.
Егер Х10* санының абсолют ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.