Бөлшектерге амалдар қолдану


КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
1. «БӨЛШЕКТЕР» ТАҚЫРЫБЫН ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕЛІК НЕГІЗДЕРІ
1.1 Мектептік математика мазмұнындағы бөлшектер тақырыбының орны ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.2 Бөлшектердің шығу тарихы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 6
2. БӨЛШЕКТЕРМЕН БАЙЛАНЫСТЫ КІЛТТІК ТАҚЫРЫПТАРДЫ БАЯНДАУ ӘДІСТЕМЕЛЕРІ
2.1 Бөлшектер жайлы жалпы мағлұматтар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 9
2.2 Жай бөлшектер
2.2.1 Жай бөлшектің негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
2.2.2 Аралас бөлшектер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 18
2.2.3 Жай бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру ... ... ... ... ... ... ... . 20
2.2.4 Жай бөлшектерді координаттық сәуледе кескіндеу ... ... ... 23
2.2.5 Жай бөлшектерге амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 27
2.3 Ондық бөлшектер
2.3.1 Ондық бөлшектерді координаттық сәуледе кескіндеу ... ...34
2.3.2 Ондық бөлшектерге амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... .. 35
2.3.3 Ондық бөлшектерді қосу және азайту ... ... ... ... ... ... ... ... . 37
2.3.4 Ондық бөлшектерді көбейту және бөлу ... ... ... ... ... ... ... ... 40
2.4 Процент ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 42
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 45
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 47
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...48
Тәуелсіздігімізді алғаннан бері Қазақстан Републикасы Президентінің «Қазақстан Републикасының білім беру мәселелері бойынша кейбір заңдар актілеріне өзгерістер мен толықтырулар енгізу туралы» бірқатар Жарлықтары шықты, практикалық бағыт бағдары бар біраз Үкімет қаулылары және «Білім беру туралы», «Жоғарғы білім туралы» заңдар қабылданды.
Бұл заңдар білім беру саласын басқаруды демократияландыру процесінің терендетілуін, оқу саласын дербестігінің кеңейтілуін, мемлекетімізді әлемдік кеңестікке шығару мақсатында халықаралық байланыстардың ұлғайтылуын, тәуелсіз мемлекеттік саясаттың білім беру саласында ұлттық- мәдени ерекшеліктер ескеріле отырып жүргізілуін және әкімшілік ықпалдың шектелуін қарастырады.
Бүгінгі таңда адамзаттың ақпаратты қоғамға қарқынды түрде өтуіне байланысты білім берудің мақсаты алған білімнің, кәсіби дағдылардың негізінде өмірдің өзгермелі жағдайларында еркін бағдарлай алатын, өзінің алған білімін өмірінде қолдануға, өзін өзі дамытуға және адамгершілік тұрғыда өзбетінше дұрыс, жауапты шешім қабылдауға қабілетті тұлға қалыптастыру болып отыр. Соған сәйкес білім сапасы оның төрт сипатының (білім- құндылық, білім- жүйе, білім- процесс, білім- нәтиже) біртұтастығын ескере отырып, олардың ішінде білімнің құндылық ретіндегі және білімнің нәтиже ретіндегі сипатына мән берумен тікелей байланыста қарастырылады.
Тәуелсіз Қазақстанымыздың экономикасы өркендеп, өндіріс орындарының жандануына байланысты математика саласының ғалымдарына, білікті мамандарына деген сұраныс, қазіргі кезеңде күрт артып отыр.
Зерттеудің өзектілігі. Білім беру жүйесін дүние жүзілік деңгейге жеткізу мақсатымен егеменді еліміз соңғы кезде осы саланы қайта құру жағдайын бастан өткізіп отыр. Әсіресе, жастарға орта білім берудің мазмұны мен түрлері жүйелі түрде өзгере отырып (лицей, гимназия, колледж т.б.), жоғары сыныптармен төменгі сыныптарда бағытты және тереңдете оқыту мәселелері де қолға алынуда. Орта мектепте математикалық бағытта терең білім беру мәселесін күшейтуге байланысты, математика курсының да мазмұнын тереңдете отырып, оқушыларға математикалық білімді саналы меңгертуді қамтамасыз ету мақсаттары жүзеге аспақ. Болашақ қоғам мүшелерінің математика- ғылымдарының негізін толық меңгеріп шығуы қазіргі заман талабынан туындайтынын ескерсек, оның ірге тасы орта мектеп математика курсын игеруден бастап қаланатыны белгілі.
1. Г.И.Глейзер.История математики в школе 4-6 классы.Издательство «Мектеп» г.Алма-Ата,пр.Абая 143.1993г.
2. Т.А.Алдамұратова. Математика 5-сынып. «Атамұра»баспасы,Алматы қаласы,Абылай хан даңғылы,75. 2005ж.
3. А.А.Бидосов.Математиканы оқыту методикасы «Мектеп» баспасы, Алматы қаласы,Абылай хан даңғылы,143-үй.1988ж.
4. К.И.Нешков,В.Н.Рудницкая,А.Д.Семушин,А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд.Математика в 5 классе. Издательство «Мектеп» г.Алма - Ата, ул.К.Маркса,99.1977г.
5. Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И. Элементарная математика. Повторительный курс. – М.: Наука, 1974.
6. Гусак Г.М., Капуцкая Д.А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справочное пособие. – Минск: Вышэйшая школа, 1989.
7. Пособие по математике для поступающих в вузы./ Под ред. Г.Н.Яковлева.– М.: Наука, 1988.
8. Болтянский В.Г. Лекции по элементарной математике. – М.: Наука, 1971.
9. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра, тригонометрия. – М.: Просвещение, 1991.
10. Ляпин С.Е., Баранова И.В., Борчугова З.Г. Сборник задач по элементарной алгебре. – М.: Просвещение, 1973.
11. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1965.
12. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для подготовительных отделений вузов. – М.: Высшая школа, 1987.
13. Антонов Н.П., Выгодский М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. Сборник задач по элементарной математике: Пособие для самообразования. – М.: Наука, 1972.
14. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение, 1984.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 44 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1700 теңге




Мазмұны

КІРІСПЕ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .. 3

1. БӨЛШЕКТЕР ТАҚЫРЫБЫН ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕЛІК НЕГІЗДЕРІ

1.1 Мектептік математика мазмұнындағы бөлшектер тақырыбының орны
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... 5

1.2 Бөлшектердің шығу тарихы
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 6

2. БӨЛШЕКТЕРМЕН БАЙЛАНЫСТЫ КІЛТТІК ТАҚЫРЫПТАРДЫ БАЯНДАУ ӘДІСТЕМЕЛЕРІ

2.1 Бөлшектер жайлы жалпы мағлұматтар
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 9

2.2 Жай бөлшектер

2.2.1 Жай бөлшектің негізгі қасиеттері
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11

2.2.2 Аралас бөлшектер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18

2.2.3 Жай бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру
... ... ... ... ... ... ... . 20

2.2.4 Жай бөлшектерді координаттық сәуледе кескіндеу
... ... ... 23

2.2.5 Жай бөлшектерге амалдар қолдану
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27

2.3 Ондық бөлшектер

2.3.1 Ондық бөлшектерді координаттық сәуледе кескіндеу
... ...34

2.3.2 Ондық бөлшектерге амалдар қолдану
... ... ... ... ... ... ... ... .. 35

2.3.3 Ондық бөлшектерді қосу және азайту
... ... ... ... ... ... ... ... . 37

2.3.4 Ондық бөлшектерді көбейту және бөлу
... ... ... ... ... ... ... ... 40

2.4 Процент
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... . 42

ҚОРЫТЫНДЫ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... . 45

Қолданылған әдебиеттер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 47

Қосымша
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ...48

КІРІСПЕ

Тәуелсіздігімізді алғаннан бері Қазақстан Републикасы Президентінің
Қазақстан Републикасының білім беру мәселелері бойынша кейбір заңдар
актілеріне өзгерістер мен толықтырулар енгізу туралы бірқатар Жарлықтары
шықты, практикалық бағыт бағдары бар біраз Үкімет қаулылары және Білім
беру туралы, Жоғарғы білім туралы заңдар қабылданды.

Бұл заңдар білім беру саласын басқаруды демократияландыру процесінің
терендетілуін, оқу саласын дербестігінің кеңейтілуін, мемлекетімізді
әлемдік кеңестікке шығару мақсатында халықаралық байланыстардың
ұлғайтылуын, тәуелсіз мемлекеттік саясаттың білім беру саласында ұлттық-
мәдени ерекшеліктер ескеріле отырып жүргізілуін және әкімшілік ықпалдың
шектелуін қарастырады.

Бүгінгі таңда адамзаттың ақпаратты қоғамға қарқынды түрде өтуіне
байланысты білім берудің мақсаты алған білімнің, кәсіби дағдылардың
негізінде өмірдің өзгермелі жағдайларында еркін бағдарлай алатын, өзінің
алған білімін өмірінде қолдануға, өзін өзі дамытуға және адамгершілік
тұрғыда өзбетінше дұрыс, жауапты шешім қабылдауға қабілетті тұлға
қалыптастыру болып отыр. Соған сәйкес білім сапасы оның төрт сипатының
(білім- құндылық, білім- жүйе, білім- процесс, білім- нәтиже) біртұтастығын
ескере отырып, олардың ішінде білімнің құндылық ретіндегі және білімнің
нәтиже ретіндегі сипатына мән берумен тікелей байланыста қарастырылады.

Тәуелсіз Қазақстанымыздың экономикасы өркендеп, өндіріс орындарының
жандануына байланысты математика саласының ғалымдарына, білікті мамандарына
деген сұраныс, қазіргі кезеңде күрт артып отыр.

Зерттеудің өзектілігі. Білім беру жүйесін дүние жүзілік деңгейге жеткізу
мақсатымен егеменді еліміз соңғы кезде осы саланы қайта құру жағдайын
бастан өткізіп отыр. Әсіресе, жастарға орта білім берудің мазмұны мен
түрлері жүйелі түрде өзгере отырып (лицей, гимназия, колледж т.б.), жоғары
сыныптармен төменгі сыныптарда бағытты және тереңдете оқыту мәселелері де
қолға алынуда. Орта мектепте математикалық бағытта терең білім беру
мәселесін күшейтуге байланысты, математика курсының да мазмұнын тереңдете
отырып, оқушыларға математикалық білімді саналы меңгертуді қамтамасыз ету
мақсаттары жүзеге аспақ. Болашақ қоғам мүшелерінің математика- ғылымдарының
негізін толық меңгеріп шығуы қазіргі заман талабынан туындайтынын ескерсек,
оның ірге тасы орта мектеп математика курсын игеруден бастап қаланатыны
белгілі.

Қазіргі таңда білім мазмұнын жаңарту, тереңдету және оны саналы
меңгертудің әдіс-тәсілдерін жетілдіру педагогикалық зерттеулер көзіне
айналуда. Олай болса, орта білім берудің негізгі бағытының бірі- оқушыларға
математика курсын тереңдетіп, жетілдіре отырып меңгерту болмақ. Әсіресе,
математика курсының Бөлшектер бөлімін мазмұн жағынан және әдістемелік
тұрғыдан тереңдете жетілдірудің маңызы зор.

Зерттеудің мақсаты:

- мектеп математика курсының Бөлшектер бөлімінің мазмұнын жан-жақты
талдай отырып, оның теориялық тұстарын тереңдету;

- Бөлшектер бөлімін оқытудың тиімді әдістерін ұсыну;

- Бөлшектер бөлімін саналы меңгеруді қамтамасыз ететін зертханалық оқу-
құралдарын жасау және іс-тәжірибеге ендіру;

- болжам бойынша ұсынылған оқыту әдістері мен зертханалық оқу құралдарының
тиімділігін педагогикалық эксперимент арқылы дәлелдеу.

Зерттеудің болжамы: егер білім беру саласында алдыңғы орынға оқушының
білімді саналы игеру әрекеті қойылса, Бөлшектер бөлімі практикалық
тұрғыдан тереңдетіліп, оны оқытудың белсенді әдістерін саралап, тиімді оқу
құралдарымен қамтамасыз етілсе, онда оқушылардың математикалық білімінің
деңгейі көтеріліп, олардың шығармашылық әрекеттерін қалыптастыруға болады.

Зерттеу нысаны: орта мектептерде математика курсын оқыту үрдісі.

Зерттеу пәні: орта мектеп математика курсының Бөлшектер бөліміне
практикалық тұрғыдан дифференциалдық түрде талдау жасай отырып, тереңдете
оқыту әдістемесі.

Зерттеудің мақсаты, пәні және ғылыми болжамының негізінде оның басты
міндеттері айқындалады:

- негізгі орта мектептің математика курсының Бөлшектер бөлімін тереңдете
оқытудың теориялық негізін беру;
- математика курсының Бөлшектер бөлімінің мазмұнын жетілдіруге
бағытталған материалдарды іріктеу, топтау;
- Бөлшектер бөлімін оқытуда оқушылардың танымдық әрекетіне негізделген
тиімді әдістерді саралау;

1. БӨЛШЕКТЕР ТАҚЫРЫБЫН ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕЛІК НЕГІЗДЕРІ

1.1 Мектептік математика мазмұнындағы бөлшектер тақырыбының орны

Қазақстан мемлекеті алдағы уақытта ғылыми-техникалық прогресті
өркендету арқылы нарықтық бәсекеге қабілетті мемлекеттер қатарына қосылу
үшін іргелі ғылыми пәндерді оқыту ісін жетілдіруді білім беру ісінің басты
міндеті деп есептейді. Соған байланысты, осы жұмысты орындау барысында
математика оқытуда оның теориялық тұстары мен оқыту әдісін жетілдіру. Бұл
жұмыстардың қай-қайсысы да орта мектептегі математика курсын оқытуда
оқушылардың танымдық қабілеті мен белсенділігін арттыру жолдарын
зерттеудің басты міндеті етіп қоя білген. Бірақ, олардың ешқайсысы
Бөлшектер бөлімін тереңдете оқытуды және осы мәселенің әдістемелік
негізін қалауды алдына мақсат етіп қоймаған.

Осындай күрделі де қиын саланы теориялық тұрғыдан тереңдете отырып,
саналы түрде меңгерту және алған білімдерін практикада қолдануға жаттықтыру
мектеп қабырғасынан бастап қолға алынуға тиіс. Бұл мәселенің бір саласы-
орта мектептегі математика курсының Бөлшектер бөлімін тереңдете оқыту
арқылы жүзеге асырылады. Бірақ, қазіргі таңда мектеп қабырғасында
математика курсының Бөлшектер бөлімін тереңдете оқытуға байланысты
бірнеше қайшылықтар туындап отыр:

-пән бағдарламасында қойылып отырған тереңдете оқытуға байланысты
туындайтын талаптардың іс жүзінде орындалмауы;

- математиканың Бөлшектер бөлімін теориялық тұрғыдан тереңдете оқытуға
арналған материалдар мазмұнының іріктелмеуі;

- Бөлшектер бөлімін тереңдете оқытуға мүмкіндік беретін, арнайы
дайындалған бөлмелердің, оқу-құралдарының болмауы;

- Бөлшектер бөлімін тереңдете оқытуға байланысты ғылыми тұрғыда
негізделген әдістемелік нұсқаулардың дайындалмауы;

- мектептердегі білім берудің мазмұны мен оқыту әдістемелерінің дәстүрлі
қалыптасқан жағдайдан аса алмай отырғандығы.

Зерттеудің әдіснамалық негізі математиканың негізгі анықтамалар мен
қағидаларының орындалуына, олардың арасындағы табиғи байланыстарды, әрбір
анықтаманың математикалық мәнін және қолдану аясын терең, жан–жақты ұғып
түсіну мен меңгерудің танымдық теориясына, оқушының білімге бейімделуін
және оны игеруінің психофизиологиялық теориясына, педагогикалық теория мен
практиканың ажырамас бірлігіне, ғылым мен техниканың даму бағытын
айқындаудың философиялық қағидаларына сүйеніп құрылады.

Ондық бөлшектердің тарауы. Олардың осы заманғы қоғам өміріндегі мәні.

XVIIғ,бас кезінен бастап ондық бөлшектер ғылыми мән практикаға жеделдете
ене бастады. Англияда бөлшектің ьүтін бөлігіні бөлщек бөлігінен айыру
таңбасы ретінде нүкте қолданылады, тіпті өазірдің өзінде де АҚШ, Ангдия
және басқада кейбір елдерде нүкте осылайша пайдаланылып келеді. Үтірді,
нүкте сияқты, айырғыш таңба ретінде қолдануды атақты ағылшын математигі
Джон Непер 1616-1617 жылдары ұсынған. Ондық үтірді неміс астрономы И.Кеплер
де қолданған. Ондық үтір алғаш рет 1592 жылы италиян астрономы Дж.
Маджинидің (1555-1617) шығармаларында кездеседі, ал ондық нүкте 1593 жылы
неміс математигі Хр.Клавиустың (1537-1612) еңбегінде кездеседі. Ондық
санау системасы да, сондай ақ ондық бөлшектерде ескі алпыстық бөлшектердің
кедергісін қажырлықпен жеңіл шығып, өзіне жол ашты. Тұтас алып
қарастырғандағы ондық системаның зор артықшылықтары мен игі қасиеттерінің
арқасында ондық бөлшектердің өрісі барған сайын кеңейе берді. Өнеркәсіп пен
сауданың , ғылым мен техниканың дамуы жолында есептеу жұмысы күрделеніп
қиындай берді, ал ондық бөлшектерді пайдаланағанда бұл жұмысты орындау
жеңілдейді. Алпыстық бөлшектерді тек ХVIII ғасырда ғана ондық бөлшектер
біржолата ығыстырып шығарды. Ондық бөлшектер туралы ілімді Ресейде тұңғыш
рет Леонти Магнитский өзінің арифметикасында баяндады.(1703). Өлшеуіштер
мен таразылардың ондық бөлшектермен тығыз байланысты метрлік системасы
енгізілгенен кейін, XIX ғасырда ондық бөлшектер мейлінше кеңінен
қолданылатын болды. Біздің елімізде ауыл шаруашылығы мен өнеркәсіпте,
ғылымда, халық шаруашылығының барлық салаларында ондық бөлшектер және
олардың дербес түрі – проценттер жай бөлшектерге қарағанда әлде қайда жиі
қолданылады.

1.2 Бөлшектердің шығу тарихы

Ерте заманның өзінде – ақ адамға нәрселерді санай білу қажет болуымен
бірге, ұзындықты, ауданды, көлемді, уақытты және басқада шамаларды өлшей
білу де қажеттілігі туған. Ал өлшеу нәтижесін әрқашан натурал санмен
өрнектеп көрсетуі мүмкін бола бермейді. Қолданылып отырған өлшеуіштің
бөлшектерінде ескеруге тура келеді. Осылайша бөлшектер пайда болған. Әуелде
бұлар нақтылы бөлшектер, белгілі бірліктердің бөліктері болған. Мысалы,
Ежелгі Русьте ширек көпке дейін тек нақты бөлшектер, ірірек өлшеуіштің
бөлігі ретінде түсініліп келген. Нақтылы бөлшектреден дерексіз, яғни
белгілі бір өлшеуішке байланыссыз , бөлшектерге баяу да ұзаққа созылған
процесс болған. Тіпті римдіктердің өздері де көбінесе тек нақтылы
бөлшектерді пайдаланған. Ежелгі римдіктерді массаны өлшеуде негізгі бірлігі
және сондай – ақ ақша бірлігі де болып табылған. Олар тең 12 бөлікке,
унцияларға бөлінген. Бара – бара унция кез – келген шамаларды өлшеу үшін
де қолданылатын болған. Сөйтіп римдіктерде он екілік бөлшектер, яғни
бөлімдері әрқашан 12 болып келетін бөлшектер пайда болған. Римдіктер
деудің орнына бір унция , орнына бес унция т.с.с деген. Үш
унцияны ширек, төрт унцияны үштікдеп, алты унцияны жарты деп атаған.

Ежелгі Мысырлық бөлшектер.

Адамдар алғаш танысқан бірінші бөлшек, сірә, жарты болар. Онан кейін
біртелеп ,, ... , сонан соң , т.с.с бөлшектер, яғни
бүтін үлестері ең жай бөлшектер болып табылатын бірлік немесе негізгі
бөлшектер деп аталатын бөлшектер шыққан. Бұл бөлшектердің алымы әрқашанда
бір болады. Кейбір ертедегі халықтар, мысалы мысырлықтар, кез келген
бөлшекті тек негізгі бөлшектердің қосындысы түрінде ғана өрнектеп
көрсететін.

Ондық бөлшектердің шығуы. Ондық бөлшектерді Азия мен Еуропаның
математиктері ілгерілі-кейінгі әр түрлі уақытта қолданылады. Азияның кейбір
елдерінде ондық бөлшектердің пайда болуы, дамуы метрологиямен (өлшеуіштер
жөніндегі ғылыммен) тығыз байланысты болады. Біздің эрамызға дейінгін ІІ
ғасырдың өзінде ақ ол елдерде ұзындық өлшеуіштердің ондық системасы болған
еді. Шамалап айтқанда б.э ІІІ ғасырында масса және көлем өлшеуіштерінде де
ондық есеп қолданылатын болды. Міне сол кезде ондық бөлшек ұғымы туды,
бірақ ол метрологиялық формасын сақтаған бөлшек болатын. Мысалы: Х ғасырда
Қытайда мынадай масса өлшеуіштері болды: 1 яан = 10 цинь-102, фэнь=103, ли
= 104, хао =105, сы = 106. Егер алғашқы кезде ондық бөлшектер ірі
өлшеуіштердің ондық, жүздік т.с.с бөліктері ретінде, метрологиялық, нақтылы
бөлшектер ретінде қарастырылған болса, кейініректе олар мән жағынан бірте –
бірте өзгеріп; дерексіз ондық бөлшектер сипатында қарастырылатын болды.
Бүтін бөлігін бөлшегінен айрықша иероглифпен –дяньмен (нүктемен) бөліп
көрсететін болды. Алайда ертеректе де орта ғасырда да Қытайда ондық
бөлшектердің метрологиямен байланысты азды – көпті сақталады. XV ғасырдың
20 жылдарында ондық бөлшектер туралы Әл-Кашидың еңбектеріінде анағұрлым
толық және жүйелі түрде баяндалды. Оған байланыссыз ХVI ғасырдың 80
жылдарында нидерланд математигі С.Стевин ондық бөлшектерді Еуропада
қайтадан ашты. XVII ғасырдың бас кезінен бастап ондық бөлшектер ғылым мен
практикаға жеделдете ене бастады. Англияда бөлшектің бүтін бөлігін бөлшек
бөлігінен айыру таңбасы ретінде нүкте қолданылады, тіпті қазірдің өзінде де
АҚШ, Англия және басқа елдерде.

Ондық бөлшектерді есептеу натурал сандарды есептеуге ұқсас ынғайлы
болғандықтан, ғылымдағы, өндірістегі, күнделікті өмірдегі есептеулерде
жиі пайдаланылады.Ондық бөлшектер және ондық бөлшектерге амалдар қолдану
туралы ортаазиялық ғалым. Әл-Каши өзінің

Арифметика кілті (1437ж) атты кітабында жазды. Әл-Каши ондық
бөлшектерді көбейту мен бөлу тәсілдерін қалыптастырды. Сондықтан ол
есептеуде ондық бөлшекті ең алғаш пайдаланған ғалым ретінде тарихқа
енген.Әл-Каши ондық бөлшектерді жазуды үтірді пайдаланбаған,бірақ
ол үтірдің орнына тік сызық қойған. Ондық бөлшекпен есептеу туралы Әл-Каши
еңбектерін одан кейін нидерландиялық математик Симон Стевин (1548-
1620ж) өзінің ондық бөлшек туралы Ондық (1585ж) атты кітабында жазды.
Стевин Еуропа елдеріне ондық бөлшектерді есептеу жұмыстарына пайдалануды
насихаттады. Ол да ондық бөлшектерді жазуда үтірді пайдаланбай, бөлшектің
бүтін бөлігімен бөлшек бөлігін бір қатарға үтірсіз жазған. Мысалы:
37,48ондық бөлшегін мына түрде жазған:37 48 немесе 3704182 ...

Үтірдің орнына бірліктің үстіне нөл жазған.1,2,3..., цифрларымен ондық

таңбалардың ретін белгілеген.Ондық бөлшектің бүтін бөлігін бөлшек
бөлігінен үтірмен ажыратуды шотландия математигі Дж.Непер(1550-1671)және
неміс аспан әлемін зерттеушісі И.Кеплер(1571-1630)енгізген.Рейседе Леонтий
Филиппович Магницкий 1703 жылы басылып шыққан өзінің Арифметикаоқулығында
ондық бөлшектер туралы баяндауды жалғастырды.

2. БӨЛШЕКТЕРМЕН БАЙЛАНЫСТЫ КІЛТТІК ТАҚЫРЫПТАРДЫ БАЯНДАУ ӘДІСТЕМЕЛЕРІ

2.1 Бөлшектер жайлы жалпы мағлұматтар

Үлестер. Жай бөлшектер. Әртүрлі шамаларды (ұзындықты, массаны, уақытты)
өлшеу үшін натурал сандаран басқа бөлшек сандар деп аталатын жаға сандар
енгізілген.

1 – суретте дөңгелек (тұтас бір дене) тең 4 бөлікке бөлінген. Мұндай
тең бөліктер үлестер деп аталады. 1- суре әрбір үлес – дөңгелекті өзара тең
4 бөлікке бөлгендегі бір бөлігі. Жазылуы дөңгелетің -і, -дің
оқылуы: төрттен бір. Демек, 1:4 дегеніміз ; 1 : 4 =. Мұндағы
-сызықша- бөлшек сызығы.

1

Алдымен бөлшек сызығының астындағы сан шығыс септігінде оқылады,
сонан соң бөлшек сызығының үстіндегі сан атау септігінде оқылады. Егер
осындай үлестің (-дің) екеуін алсақ, онда ол түрінде жазылады.
Оқылуы төрттен екі. Егер осындай үлестің үшеуін алсақ, онда ол
түрінде жазылады. Оқылуы төрттен үш. Мұндағы , және
жай бөлшектер. Жай бөлшектің жалпы түрде әріпппен жазылуы: . Мұндағы
а - жай бөлшектің алымы, в - бөлімі. Бөлшек сызығының астындағы сан неше
үлеске бөлінгенін көрсетеді, сондықтан оны бөлшектің бөлімі деп атайды.
Бөлшек сызығының үстіндегі сан неше үлестің алынғанын көрсетеді, сондықтан
оны бөлшектің алымы деп атайды. Жай бөлшек ;

Кез – келген натурал сан жай бөлшектің бөлімі, ал 0 саны және кез -
келген натурал сан алымы бола алады.

Есеп. 2 алманы үш балаға тең бөліп берсек, олардың әрқайсысы неше
бөліктен алма алады?

Шешуі. Алманың әрқайсысын үш тең бөлікке бөлеміз. Әрбір бөлік алманың
болады. Бір балаға осындай екі бөліктен беріледі. Балалардың
әрқайсысы алманың алады. Жазылуы: бөліктер. Алымы 1 саны,
бөлімі 1 – ден өзге натурал сан болатын бөлшектер бірлік бөлшектер
(аликвоттық бөлшектер ) деп аталады. Мысалы, , , ,
бірлік бөлшектер. Бір натурал санды екінші натурал санға бөлуді жай
бөлшекпен жазуға болады. Бөлінгіш бөлшектің алымына жазылады да, ал бөлгіш
бөлшектің бөліміне жазылады. Демек, бөліндіні жай бөлшек түрінде жазуға
болады екен.

Мысалы, 7 : 10 =; 9 : 5 = ;

Натурал санды жай бөлшек түрінде де жазуға болады.
Мысалы, 2 = 2 : 1 = немесе =2
Әріппен жазсақ: а = , мұндағы а - берілген натурал сан
n=1,2,3,,, бөлшектерінің әрқайсысын оқып шығып, олардың
әрқайсысының бөлімі мен алымын атандар, олардың нені білдіретінін
түсіндіріңдер.
Жауабы:
Суреттегі фигураның қандай бөлігі боялған?

Дәптерге қабырғасы 4 см квадрат сызып, оның :
1) жартысын ();
2) ширегін () бояңдар.

1) Үштен екі:
2) Жетіден бес:
3) Бестен үш:
4) Оннан бір: ; бөлшегін түрінде жазыңдар.
1) Бөлшек түрінде жазыңдар: 7:12=; 1:100=; 23:15=;
86:27=;
2) ; ; ; ; ; бөлшектің әрқайсысын
бөлінді түрінде жазыңдар:
=0,4642, =0,41(3), =0,6(56), =0,505, =7,622,
=0,999.
Өлшем бірліктер арасындағы байланысты пайдаланып, х-тың орнына
үлестірімен мәндерін қойыңдар:
1 дм=10 см 1 дм=0,1 м
1м=100 см 1 см= 0,01 м
1 кг = 1000 г 1 г =0,001 кг

1 доллар = 100 цент 1 цент =0,01 доллар

Ұзындығы 7 см AB кесіндісін сызып, оны өзара бөлікке бөліңдер. Әрбір
бөліктің тұсына ол АВ кесіндісінің қандай бөлігі болатынын жазыңдар.

2.2 Жай бөлшектер

2.2.1 Жай бөлшектің негізгі қасиеттері

Білім және білік. Бөлшектің негізгі қасиетінің тұжырымдамасын білу
және оны кез келген бөлшекке алу.

Баяндау әдістемесі:

Бұл пунктті оқып үйренуге дейінгі оқушылардың жай бөлшектермен жұмыс істеу
тәжірибес молаяды. Атап айтқанда, олар бөлімдері бірдей бөлшектерді
салыстыруды үйретеді. Олар бір ғана санды өрнектейтін әр түрлі бөлшектермен
кездескен болатын. 4 – сыныпта қабылданғандай, жай бөлшек натурал немесе оң
бөлшек санның белгіленуі(жазылуы) болады. Натурал сандардың ондық
жазылуында кейде қолданылатын, мысалы, 25 санының 0025 сияқты жазылуын
т.б. есептемегенде, әрбір санның тек қана бір ғана белгісі болған. Ондық
бөлшектерді оқып, үйренгенде бір ғана санның, белгілеудің бір ғана санның
әр түрлі белгісі (мысалы, 7,3, 7,30, 7,300 тағы сол сияқты) пайда
болды. Алайда олар бір – біріне соншалықты ұқсас болғандықтан, оқушылар
ол жазуларға тез үйреніп алып, бір ғана жазу ретінде қабылдайтын болады.
Сондықтан бұл пунктте оқушылар бір санның белгілеудің бір ғана системасында
түрліше белгіленуімен шындап алғашқы рет кездеседі. Пункттің негізгі
мазмұны осы мәселе болып табылады. Материалды баяндаудың мүмкін әдістерінің
бірін қарастырайық. Тақтаға алдын ала конгруэнтті үш дөңгелек сызып оның
әрқайсысында дөңгелектің бір бөлігін бөліп қоямыз. Оқушылармен бірінші
дөңгелекті қарастырамыз да дөңгелектің көрсетеміз. Дөңгелектің әрбір
жартысын конурэнтті екі бөлікке, бөліп, дөңгелектің сол боялған
бөлігігн(дөңгелектің ) екінші бір бөлщекпен, атап айтқанда
бөлшегімен, өрнектеп жазуға болатыныны анықтаймыз. Сондықтан бөлшегін
бөлшегі қандай санды көрсетсе, сол санды көрсетеді екен. Былай
жазылады: =. Екінші дөңгелекке көшемізде, оның әрбір жартысын
конгруэнтті 3 бөліктерге бөлеміз. Боялған бөліктер саны да үш есе артады,
үш бөлік болады, бөлшегі, бөлшегі, бөлшегі қандай санды
көрсетсе, сол санды көрсетеді. Жазамыз: =. Егер үшінші
дөңгелектің әрбір жартысын конгруэнтті төрт бөлікке бөлсе, онда оның
боялған бөлігі дөңгелектің бөлігі болады. Демек, =,
сонымен, бөлшегі қандай санды белгілейтін болса, әрбіреуі сондай санды
белгілейтін мейлінше көп бөлшек шығарып алуға болалды. Былай жазуға болады:

==== ... ...

Бұл бөлшектердің кез келгені бөлшегімен оның алымы мен бөлімі бір
ғана натурал санға көбейту арқылы алынады. Жаңадан алынған бөлшектердің
әрқайсысының алымы мен бөлімін бір натурал санға бөліп (бөлшектің алымын)
бөлшегін шығарып алуға болады. Жартысын белгілейтін барлық
бөлшектердің ішішінене бөлшегі ең жай бөлшек болып табылады, өйткені
оның алымы мен бөлімі ең кіші сандар. Пункттің түсіндірме текстінде
тұжырымдалған бөлшектің негізгі қасиетінде бөлшектің аламы мен бөлімін бір
натурал санға көбейу немес бөлу арқылы сол аснның басқаша белгілеулерін
шығарып алуға болатындығы айтылады. мен бөлшектерінің бір
санды көрсететініні біз байқадық. Алайда бөлшектің негізгі ұасиетін бір рет
қолдану арқылы бұл бөлшектердің біреуінен екіншісін шығарып алуға болмайды.
Бөлшектің негізгі қаситеін терең игеріп алу оңай мәселе емес. Сондықтан,
практика жүзінде бөлшектің негізгі қасиетін тез қолдануға дағдыланып
алғанның өзінде, кейбір оқушылар бөлшектің алымы мен бөлімін жалықтыратын
салыстырудан әлі де болса, арыла алмайды. Олар, мысалы, сияқты
қомақты санның тең болатынына бірден үйрене алмайды. Міне
сондықтанда бізге бөлшектің негізгі қасиетін мысалдан немесе координаталық
сәуленің бойынан да көрсету керек сияөты болып көрінеді. Оларға
координаталық сәуле сыздырып, ұзындығы 3 см бірлік кесінді таңдап алып.
мен сандарын белгілеуді ұсыныңыз. Оқушылардың бұл сандардың
тең екеніне тағы да көздері жетеді. Өйткені оларға координаталық сәуленің
бойынан бір нүкте сәйкес келеді, олай болса, мен бөлшектері
бірдей бөлшек санды көрсетеді.

Бөлшекті жаңа бөлімге келтіру.

Білім және білік. Бөлшекті жаңа бөлімге келтіре білу және оның
бөлшектерді салыстыруда, қосуда және азайтуда пайдалана алу.

Баяндау әдістемесі:

Бөлшекті жаңа бөлімге келтіру оқулықта бөлшектерді қысқартудан бұрын
қарастырылады. Бөл біршама әдеттегден өзгеше тәртіп. Алайда оның себебі
бар. Теориялық тұрғыдан алғанда бөлшекті джаңа бөлімге келтіру мен
бөлшектерді қысқарту операциялардың мәндері бірдей. Практикалық тұрғыдан
біріншісі- екіншісіне қарағанда маңыздырақ. Бөлшектерді қысқартук нәтижені
қысқарту үшін ғана пайдаланылады. Ал біздің курсымызда бөлімдері әртүрлі
бөлгектерді салыстыру, сондай ақ бөлшектерді қосу, азайту, бөлшекті жаңа
бөлімге келтіруді келтіру қолданбай орындау қиын. Бөлшектерді жаңа бөлімге
келтіру мәселесін баяндауға кіріскенде есепті, оқушылар оның маңызын бірден
көретіндей етіп, тұжырымдап берген пайдалы. Біз бөлімдері бірдей
бөлшектерді салыстыра білетінімізді еске түсірейік. Осыған және
сияқты бөлшектерді салыстыруды келтіруге болмас па екен? Бөлімі 8
болып келген және бөлшегі қандай санды көрсететін болса, сондай санды
өрнектейтін бөлшекті табу керектігін оқушылардың кқпшілігі байқайды. Ол
үшін бөлшегінің алымы мен бөлімін 4 ке көбейту жеткілікті болтандығын
көреді. Жазып көрсетейік:

==

Гүл шоғын 3 қалампыр гүлі,12 жасмин гүлі, 12 раушан гүлі бар. Гүл
шоғындағы гүлдердің қандай бөлігі қалампыр гүлі? Қандай бөлігі жасмин гүлі?
Қандай бөлігі раушан гүлі?

Шешуі:

3+9+12=24

= раушан, = жасмин

1) Сыныпта 36 оқушы бар, оның сі қыздар, қалғаны ұлдар. Сыныпта неше
қыз бар?

Шешуі: Сыныптағы барлық оқушы санын 3 бөлікке бөлеміз 36:3=12 (оқушы).
Сонда оның бір бөлігіне 12 оқушы тиісті. Сыныптағы қыздар оның 2 бөлігі:
12*2=24. Сыныпиа 24 қыздар бар. Сонда есептің шешу өрнегі: (36:3)*2

2) Балмұздақтың массасы бойынша бөлігі қант. 550 г балмұздақ
дайындау үшін қанша қант керек?

550:11=50; 50*2=100;

3) Ертіс өзенінің ұзындығы 4250 км. Оның бөлігіне тең ұзындығы
біздің еліміз – Қазақстанның территориясы арқылы өтеді. Ертіс өзенеің
Қазақстан территориясы арқылы неше км өтеді?

4250:5= 850; 850*2=1700 км өтеді.

4) Құйманың массасының бөлігі темір. 320 г құймада неше г темір
бар?

320:5=64; 64*2=128;

5) Оркестрдің 32 мүшесінің домбыра тартады. Оркестр мүшелерінің
нешеуі домбыра тартады?

32:8=4; 4*3=12;

6) Анардың қолындағы гүл шоғында 10 түп қызғалдақ гүлі бар. Бұл гүл
шоғында барлық гүлдердің . Гүл шоғындағы гүлдердің неше
түп гүл бар? Анардың қолындағы гүл шоғында барлығы неше түп гүл бар?

10 - *x=*10; x=*=5;

X-

1) 7 санын бөлімі 3;

2) 9 санын бөлімі 11;

3) 6 санын бөлімі 6,12,18;

4) 5 санын бөлімі 2,3,11;

болатындай бөлшек түрінде жазыңдар:

,, , , , , ,

Квадрат өзара тең 4 бөлікке бөлінді. Оның бір бөлігі тағы да өзара тең
2 бөлікке бөлініп, оның 1 бөлігі боялды. Квадраттың қандай бөлігі боялды?

*=

Лиза, Лаура және Мәдина мерекелік дастарқанға 18 тоқаш даярлауға
уәделесті. Оның Лиза , Лаура даярлады. Қалғанын Мәдина
даярлады. Мерекелік дастарқанға Мәдина неше тоқаш даярлады?

18 - *х=*18;

Х - x= ;

Автотұрақта барлығы 48 машина тұр. Оның автобустар, қалғанының
жеңіл машиналар. Автотұрақтағы машиналардың нешеуі жеңіл машиналар?

Автобус - 48*=8; 48 -8 =40;

Жеңіл машинa – 40* =30;

Тік төртбұрыш пішінді егістік жердің ұзындығы 4 км 800 м. Оның ені
ұзындығының . Осы жердің бөлігіне бидай егілген, қалған жердің
бөлігіне жүгері егілген. Неше гектар жерге бидай егілген? Неше гектер
жерге жүгері егілген?

a= 4 км 800 м=4800 м

b=*a=*4800=800 м

Sa=4800*800=3840000 м =384 га

Sбид=384*=240 га

Sжүгері=(384-240)* =144*=64 га

Жай бөлшекті қысқарту.

Дөңгелектің өзара тең 4 бөлікке бөліп, оның 3 бөлігін бояйық. Сонда
дөңгелектің боялады. Егер әрбір бөліікті тағы да өзара тең
бөлікке бөлсек, онда дөңгелектің боялады.

Демек, =; = . Сонда және бір санның
(бөлшектің) түрліше жазылуы екен. = теңдігін =
түрінде де жазуға белгілі. Себебі = Осыдан шығатыны қорытынды:

Жай бөлшектің алымын да, бөлімінде бірдей натурал санға көбейткенде
немесе бөлгеннен жай бөлшек өзгермейді.

Бұл – бөлшектің негізгі қасиеті. Мысалы, =; =
немесе =; = бөлшектің негізгі қасиетін пайдалана
отырып, берілген бөлшектің бөлімі мен алымы өзара жай сандар болатын
бөлшекпен алмастыруға болады. Мысалы: =; бөлшегі 2- ге
қысқарытылады, мұндағы 2 саны 6 және 10 ең үлкен ортақ бөлімі.

Бөлшектің алымын да, бөлімін де олардың № өзге ортақ бөлгішіне бөлуді
бөлшекті қысқарту деп атайды.

Бөлшектің қысқарту тәсілдеріне тоқталайық.

1 – тәсіл. Бөлшектің алымын да, бөлімін де олардың ең үлкен ортақ бөлгішіне
бөлу арқылы қысқарту. Мысалы, бөлшегін қысқартайық: ЕҮОБ(42, 63)=21,
онда

2 – тәсіл. Бөлшекті алымы мен бөлімі көбейткіштерге жіктеп, ортақ бөлгішті
таңдап ала отырып қысқарту. Мысалы: ; мұндағы бөлшек 21-ге
қысқартылады. мұндағы бөлшек 3*7қысқартылады.

Бөлшектің алым мен бөлімі өара жай сандар болғанша қысқартылады. Алымы мен
бөлімі өзара жай сандар болатын бөлшектер өысқартылмайтын бөлшектер деп
аталады. Мысалы, . Себебі 3 пен 4, 2 мен 5, 7 мен 11 - өзара жай
сандар.

1) Бөлшекті қысқартыңдар (ауызша)

2) Бірінші шеңбердің радиусы 24 мм, екінші шеңбердің радиусы одан 8 мм
қысқа. Екінші шеңбердің радиусы бірінші шеңбердің радиусының қандай
бөлігі? Қысқартылмайтын бөлшек түрінде жазыңдар.

Шешуі: R1=24 мм , R2=8 мм

3) Бірінші тік бұрышты параллелепипедтің ұзындығы 17 см, ені одан 8 см
қысқа, ал биіктігі енінен 3 есе қысқа. Екінші параллелепипедтің ені
13 см, ұзындығы одан 36 см ұзын, биіктігі енінен 9 см қысқа. Бірінші
параллелепипедтің көлемі екінші параллелепипедтің көлемінің қандай
бөлігін құрайды?

Шешуі:

1пар а=17 см, в=а*8=9 см, h=, в=3 см

2 пар в=15 см, а= а+36=51, h=в-9=6 см

V1пар=а*в*с=17*9*3=459

V2пар=а*в*с= 51*15*6=4590

1 пар екіншісінің бөлігін құрайды.

4) Ара қашықтықтары 12 км екі айлақтан бір уақытта бір бағытта екі катер
шықты. Бірінші катер 18 кмсағ жылдамдықпен жүзіп, екінші катерді 4
сағаттан соң қуып жетті. Екінші катердің жылдамдығы бірінші катердің
жылдамдығының қандай бөлігі? Қысқартылмайтын жай бөлшек түрінде
жазыңдар.

Шешуі:

18 кмсағ, 18*4=72 км қуып жетеді 2 катерді.

72-12=60 км (2 –ші катер 60 км жол жүрді 4 сағатта)= кмсағ

15* бөлігі.

2.2.2 Аралас бөлшектер

Жай бөлшектің алымы бөлімінен кіші болуы мүмкін, оған тең болуы
мүмкін немесе үлкен болуы мүмкін. Егер бөлшектің алымы бөлімінен кіші
болса, онда бөлшек дұрыс бөлшек деп аталады.

Мысалы:, ,, дұрыс бөлшектер, өйткені 23,49, 310, 78
сондықтан дұрыс бөлшектер 1- ден кіші: , 1, 1, 1

Егер бөлшектің алымы бөліміне тең болса немесе одан үлкен болсa, онда
бөлшек бұрыс бөлшек деп аталады.

Мысалы: ,,, бұрыс бөлшектер, өйткені 5=5, 116, 127,
3536 сондықтан бұрыс бөлшектер 1-ге тең немесе 1- ден үлкен: =1,
1, 1

Бүтін бөліктен және бөлшек бөліктен тұратын сан аралас сан деп аталады.
Мысалы: 1+ қосындысын, қосу белгісін жазбай, 1 түрінде жазу
қабылданған. Мұндағы 1 аралас сан. Аралас санның: 1 бүтін бөлігі,
бөлшек бөлігі. Оқылуы: бір бүтін үштен екі.

Бұрыс бөлшекті аралас санмен жазу үшін:

1) Бөлшектің алымын бөліміне бөлу керек: =7:5=1(қалдық 2)

2) Толымсыз бөлінді аралас санның бүтін бөлігі болады;

3) Қалдық (егер ол бар болса) бөлшек бөліктің алымы, ал бөлгіш бөлімі
болады. Сонда =1. Мысалы: =6, =5;

Аралас санды бұрыс бөлшек түрінде жазу үшін:

1) Аралас санның бүтін бөлігін бөлшек бөліміне көбейту керек;

2) Шыққан көбейтіндегі бөлшек бөлігінің алымы н қосып,алымы ету керек;

3) Бөлшектің бөлімін өзгертпей, бөлім етіп қалдыру керек.

Мысалы: 5==; 5=

, , , , , , , , ,
бөлшектерінен дұрыс бөлшектерді және бұрыс бөлшектерді жеке - жеке теріп
жазыңдар.

Дұрыс бөлшектер: , , , ,, ;

Бұрыс бөлшектер: , , ;

1) 5, 9 , 23, 1 , 25, 2, 36 бүтін және
бөлшек бөлігінің қосындысы түрінде жазып көрсетіңдер:

5==;

9 ==;

23==

2) 2+ , 7+ , 10+ , 15+ қосындысын аралас сан
түрінде жазыңдар.

Шешуі:

2 , 7 , 10 , 15 ;

2.2.3 Жай бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру

Жай бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, бөлімдері әртүрлі
бөлшектерді бөлімдері бірдей бөлшектермен алмастыруға болады. Бөлімдері
әртүрлі бөлшектердің барлығына бөлім болатын санды сол бөлшектердің ортақ
бөлімі дейміз.

1- мысал, пен бөлшектерін ортақ бөлімге келтірейік. Бұл
бөлшектердің ортақ бөлімі 5 пен 3 сандарына бөлінуі тиіс, яғни 5 пен 3
сандарының ортақ еселігі болып табылады. Ал 5 пен 3 сандарынынығ ортақ
еселіктері өте көп: 15,30,45 және т.с.с Осы ортақ еселіктердің ең кішісін
берілген бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімі ретінде аламыз.

Берілген қысқартылмайтын бөлшектердің бөлімдерінің ең кіші ортақ
еселігі, сол бөлшектердiң ең кіші ортақ бөлімі болады. ЕКОБ (5,3)=15. Онда
пен бөлшектерінің ең кіші ортақ бөлімі 15 саны.

Енді бөлшектердің бөлімдері 15 саны болуы үшін берілген бөлшектердің алымын
да, бөлімін де толықтауыш көбейткіш деп аталатын санға көбейтеміз.
бөлшегінің толықтауыш көбейткішін табайық. Ол үшін ең кіші ортақ бөлімді
(15 санын) со бөлшектің бөліміне бөлеміз. 15:5=3. Мұндағы бөлінді 3 саны
бөлшегінің толықтауыш көбейткіші. Сол сияқты бөлшегінің
толықтауыш көбейткіші 5 сан. Себебі 15:3=5. Берілген бөлшектердің алымы мен
бөлімін олардың әрқайсысының толықтауыш көбейткішіне көбейтеміз.

= = ; = = ;

Мұндағы және бөлшектерінің бөлімдері бірдей. Олар ең кіші ортақ
бөлімге келтірілген бөлшектер. Есептеулерде толықтауыш көбейткіш сәйкес
алымдардың үстіне жазылады.

Бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімге келтіру үшін:

1) Берілген бөлшектердің бөлімдерініңең кіші ортақ еселігін табу керек,
сол ең кіші ортақ бөлім болады.

2) Ортақ бөлімді берілген бөлшектердің бөлімдеріне бөліп, бөлшектердің
әрқайсысы үшін толықтауыш көбейткішті табу керек;

3) Әрбір бөлшектің алымы мен бөлімін сол бөлшектердің толықтауыш
көбейткішіне көбейту керек.

Сонда берілген бөлшектер бөлімдері бірдей бөлшектерге айналады. Екі
бөлшекті ғана емес, үш, төрт және т.с.с бөлшектердің ортақ бөлімге
келтіруге болады.

2 – мысал. ,, бөлшектерін ең кіші ортақ бөлімге келтірейік.

ЕКОБ(7,4,14) =28 толықтауыш көбейткіштер 28:7=4,28:4=7,28:14=2, онда

=,=, =. ,, бөлшектері
ең кіші ортақ бөлімге келтірілген бөлшектер. Егер аралас сандар берілсе,
олардың бқлшек бөліктерін ең кіші ортақ бөлімге келтіреміз.

3 – мысал. 1 және 2 аралас сандарын ең кіші ортақ бөлімге
келтірейік. ЕКОЕ(4,12)=12, 12:4=3.

1 =1 ; 1 және 2 аралас сандары ең кіші ортақ
бөлімге келтірілген.

4 – мысал. және бөлшектерін ең кіші ортақ бөлімге
келтірейік.

Шешуі: 5= 3*5*5; 18=2*3*3;

ЕКОЕ(75,18)=2*3*3*5*5=450

450:75=6; 450:18=25;

=

5 – мысал. және бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру

20=4*5; 12=3*4;

ЕКОЕ(20,12)=3*4*4*5=240;

240:20=12; 240:12=20;

= =

6 – мысал. және бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру

21=3*7; 28=7*4;

ЕКОЕ(21,28) =3*7*4*7=588

588:21=28; 588:28=21;

7 – мысал. Бөлшекті ең кіші ортақ бөлімге келтіріңдер:

, және ;

ЕКОЕ(4,15,6)=60; 60:4=15; 60:15=4; 60:6=10; Онда ...

Берілген а және в натурал сандардың әр қайсысына бөлінетін ең кіші
натурал сан сол сандардың ЕКОЕ деп аталады және ЕКОЕ(а,в) түрінде
белгіленеді.

Жалпы алғанда екі санның ЕКОЕ табу үшін:

1) Берілген сандарды жай көбейткіштерген жіктейді,

2) Пайда болған барлық жай көбейткіштердің әрбірінің ең үлен дәреже
көрсеткіштерін алып көбейтінді түзеді.

3) Сол көбейтіндінің мәнін түзеді.

Мысалы: ЕКОЕ(48,42) табу жолы

48=2*2*2*2*3=24*3

42=2*3*7

ЕКОЕ (48,42)=24*3*7=336

2 – мысал.

1040 =24*5*13

72=23*32

ЕКОЕ (1040,72)=24*5*13*32=9360

2.2.4 Жай бөлшектерді координаттық сәуледе кескіндеу

1-есеп. ОХ сәулесін сол жақтан оң жаққа қарай сызайық.(1-сурет)

0 –A бірлік кесінді.

ОХ сәулесінің бас нүктесіне О нүктесіне о саны сәйкестендіріліп, қ
нүктесін санақ басы деп аталады. Осы сәуленің бойына о нүктесінен бастап
таңдап алынған бірлік кесіндіні (АО) салып, оның ұшын А нүктесімен
белгілейміз. А нүктесі санақ басы – О нүктесінен 1 бірлік кесіндіге тең
қашықтықта болғандықтан, оған 1 санын жазайық. Сонда А нүктесі 1 санына
сәйкес келеді немесе 1 саны А нүктесімен кескінделеді. Сәуленің бойында 2
санын кескігдеу үшін, сәуленің санақ басынан бастап жалғастыра екі бірлік
кесіндіні салып, оның ұшы В нүктесіне 2 санын жазамыз. Сәуленің бойында 3
санын кесіндеу үшін сәуленің санақ басынан бастап жалғастыра үш бірлік
кесіндіні салып, оның ұшы С нүктесіне 3 санын жазамыз. Осылайша
жалғастырғанда координаталық сәуле сызылады. Әрбір О,А,В,С,... нүктелеріне
сәйкес 0,1,2,3,... сандарын сол нүктелердің координаталары деп атайды.

Жазылуы: О(0), А(1), В(2)...

Оқылуы: О нүктесінің координатасы 0;

А нүктесінің координатасы 1;

В нүктесінің координатасы 2 және т.с.с.

Координаталық сәуледегі берілген нүктеге сәйкес келетін сан,
осынүктенің координатасы деп аталады.

Бөлшекті координаталық сәуледег кескінделуі үшін:

1) Бөлшектің бөлімінде қандай сан болса, бірлік кесіндіні сонша тең
бөлікке бөлу керек.

2) Бөлшектің алымында қандай сан болса, бірлік кесіндінің сонша
бөлігін алу керек.

Мысалы, бөлшегін координаталық сәуледе кескіндейік. Ол үшін бірлік
кесіндіні (сурет) өзара тең бес бөлікке бөліп, оның 3 бөлігін алу керек.
Оны А нүктесімен белгілейміз. Сонда кординаталық сәуледе А нүктесі
бөлшегіне сәйкес. Демек, А нүктесінің координатасы А()

2-сурет.

Дұрыс бөлшек 1-ден кіші болғандықтан, ол координаталық сәуледе 0-ден 1-
ге дейінгі аралықтытағы (оған о енбейді) нүктелерімен кескінделеді.

№ суреттегі координаталық сәуледегі бұрыс бөлшегі
кескінделген,. Мұнда әрбір бірлік кесінді өзара тең 5 бөлікке бөлініп,
сондай бөліктің 7 алынған. Демек, В нүктесі бұрыс бөлшегіне сәйкес.
В()

Бұрыс бөлшек 1 тең немесе 1- ден үлкен болғандықтан кооршдинаталық сәуледе
1-де немесе 1- дің оң жағына кескінделеді.

1- Сурет.

4 - суреттегі С нүктесі 2 аралас санына сәйкес, 2 аралас санын
координаталық сәуледе кескіндеу үшін, координаталық сәуледегі 2 санына
бөлшегін жалғастыра кескіндейміз:С(2). Берілген бөлшекке
координаталық сәуледе бір ғана нүкте сәйкес келеді.

4-сурет.

Жай бөлшектерді салыстыру.

Жай бөлшектер де натурал сандар сияқты салыстырылады.

1- Мысал. ,себебі жай бөлшектің негізгі қасиеті бойынша
бөлшегі бөлшегіне тең. Сонымен қатар және
бөлшектері

координаталық сәуледе бір ғана нүктемемен кескінделетіні белгілі.(5-
сурет). Тең бөлшектерге координаталық сәуле бойында бір ғана нүкте сәйкес
келеді.

5-сурет.

Бөлімдері бірдей бөлшектерді салыстырайық.

2- мысал. және бөлшектерін салыстырайық. 6- сурет(а)
дөңгелектің бөлігі болған, ал – сурет(ә) дөңгелектің
бөлігі боялған. 3 бөлік 5 бөліктен кіші(кем) болғандықтан,

6-сурет.

Бөлімдері бірдей екі бөлшектің қайсысының алымы үлкен(артық )болса, сол
бөлшек үлкен (артық). және бөлшектерін координаталық сәуледе
кескіндйік. 7- суреттегі координаталық сәуледе бөлшегі А нүктесімен,
бөлшегі В нүктесімен кескінделген.

7-сурет.

Координаталық сәуле бойында үлкен сан оң жақта, ал одан кіші сан сол
жақта кескінделеді.

Алымдары бірдей бөлшектерді салыстырайық.

3- Мысал. және бөлшектерін салыстырайық. 8 (а)ж суретте
дөңгелектің бөлігі боялған, ал 8(ә)- суретте дөңгелектің
бөлігі боялған.

8-сурет

Дөңгелекті өзара тең 8 бөлікке бөлгендегі бір бөлігі оны өзара тең 4
бөлікке бөлгендегі бір бөлігінен кем болғандықтан,

Алымдары бірдей екі бөлшектің өайсысының бөлімі кіші(кем) болса, сол бөлшек
үлкен(артық).

Аралас сандарды салыстыру.

Мысал.2 пен 3аралас сандарын салыстырайық. Мұндағы 23,
сондықтан 2 3. Егер аралас сандардың бүтін бөліктері тең
болса, онда олардың бөлшек бөліктері салыстырылады.

Бөлімдері және алымдары әртүрлі бөлшектерді салыстырайық.

1) ,егер ad=bc болса, мысалы, себебі 2*10=5*4

2) ,егер adbc болса, мысалы, себебі 3*97*2

3) егер adbc болса, мысалы, себебі 3*64*5

Бөлімдері де алымдары да әртүрлі бөлшектерді салыстырғанда егер
бірінші бөлшектің алымының екінші бөлшектің бөліміне көбейтіндісі,
бірінші бөлшектің бөлімінің алымына көбейтіндісінен үлкен(кіші)болса,
онда бірінші бөлшек екінші бөлшектен үлкен(кіші).

9-суреттегі тік төртбұрыштың қандай бөлігі боялған? Қандай бөлігі
боялмаған? Қайсысы үлкен?

Тік төртбұрышта i боялған. Ал i боялмаған.

2.2.5 Жай бөлшектерге амалдар қолдану

Жай бөлшектерді қосу.

Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосуды қарастырайық.

1- Мысал. қосындысын табайық.

10- сурет.

10- суреттен екенін көрсетуге болады.

Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу ережесі әріп түрінде:

2- Мысал. қысқаша

11- суреттегі және бөлшектерін координаталық сәуледе қосу
көрсетілген. Қосынды А нүктесімен кескінділеді.:А().

Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді қосу үшін:

1) Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек;

2) Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу ережесі бойынша қосу амалын
орындау керек.

3- Мысал. қосындысын табайық. ЕКОЕ(12,15)=60

60:12=5 5- бірінші бөлшектің толықтауыш көбейткіші

60:15=4 4- екінші бөлшектің толықтауыш көбейткіші

Аралас сандарды қосуда қосу амалының ауыстырымдылық және терімділік
қасиеттері орындалады.

Бөлімдері бірдей аралас сандардың қосындысын табайық.

1- Мысал.

Қысқаша:

Бөлімдері бірдей аралас сандардың қосындысын табу үшін аралас сандардың
бүтін бөліктерін жеке, бөлшек бөліктерін жеке қосып, қосындыны аралас сан
түрінде жазу керек. Бұл бөлімдері бірдей сандарды қосу ережесі.

Бөлімдері әртүрлі аралас сандарды қосу үшін:

1) Аралас сандардың бөлшек бөліктерін ең кіші ортақ бөлмге келтіру керек;

2) Бөлімдері бірдей аралас сандарды өосу ережесі бойынша қосу амалы
орындалады;

Егер қосындыда аралас санның бөлшек бөлігі бұрыс бөлшек болса, одан оның
бүтіні бөлініпалынып, аралас санның бүтініне қосылады.

2- мысал. қосындысын табайық.

Аралас сандардың бөлшек бқліктерін ең кіші ортақ бөлімге келтіреміз.
ЕКОЕ(7,14)=14

Қысқаша:

Натурал сан мен аралас санды қосуды қарастырайық:

3-Мысал. 5+7

Қысқаша:

Натурал сан мен аралас санды қосқанда, натурал сан мен аралас санның бүтін
бөлігі қосылып, қосындыға аралас санның бөлшек бөлігі тіркеліп жазылады.

Бөлшекке аралас санды қосқандағы қосындыны табайық:

4-Мысал. +5

Қысқаша: +5

Бөлімдері бірдей жай бөлшектерді азайтуды қарастырайық:

1- Мысал. - айырмасын табайық.

11(а,ә) суреттерден -=== екенін көруге болады.
Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайтқанда азайғыштың алымынана азайтқыштың
алымын азайтып, алым етіп жазып, ал сол бөлімнің өзін қалдыру керек.

а) ә)

11-сурет.

Бұл бөлімдер бірдей бөлшектерді азайту ережесі. Мұны әріптермен жазып
көрсетсек: -= Мұндағы а п немесе a=п.

2- Мысал.- = = Қысқаша: - =

12- суретте № бөлшегінен №№ бөлшегін азайту координаталық түзуде
көрсетілген. Айырма А нүктесімен кескінделеді: А()

Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді азайтуды қарастырайық.

Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді азайту үшін:

1) бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек;

2) бөлімдері бірдей юөлшектерді азайту ережесі бойынша азайту амалын
орындау керек.

3- мысал. -==.

Натурал саннан бөлшекті азайтуда қарастырайық.

1- тәсіл. Азайғыш натурал санды бөлімі азайтқыш бөлшектің бөліміне тең
бұрыс түрінде жазу керек. Сонан соң бөлімдері бірдей бөлшектерді азайту
ережесін пайдаланып, азайту керек.

4- мысал. 3-=-==2

2- Тәсіл.Азайғыш натурал санды бір бүтінге кемітіп, бөлімі азайтқыш
бөлшектің бөліміндей аралас сан түрінде жазып, азайтуды орындау керек.

5-мысал. =2-=2+(-)=2+=2;
қысқаша: 3-;

Аралас сандарды азайту.

Бөлімдері әртурлі аралас сандарды азайтуды қарастырайық.

1-мысал. айырмасын табайық.

Берілген аралас сандардың бөлшек бөлігінортақ бөлімге келтіреміз.
ЕКОЕ(3,2)=6.Аралас сандардың әрқайсысына оның бүтін бөлігі мен бөлшек
бөлігінің қосындысы түрінде жазамыз.

;
Бүтін бөліктерін бөлек, бөлшек бөліктерін бөлек азайтамыз.

()-()=(8-5)+()=;

Бөлімдері әртүрлі аралас сандарды азайту үшін;

1) аралас сандардың бөлшек бөліктерін ең кіші ортақ бөлімге келтіру.

2) бүтін бөліктерін бөлек, бөлшек бөліктерін бөлек азайтып, нәтижелерін
қосу керек.

Егер азайтғыштың алымы азайтқыштың алымынан кіші болса, онда
азайтғыштың ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Векторлар және оларға амалдар қолдану
Бір өлшемді жиындарға амалдар қолдану
Арифметикалық амалдар
Лингвистикадағы бейвербалды амалдар
Нақты сандарға қолданылатын амалдар
Нақты сандар және олардың қасиеттері. Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану
Логикалық амалдар
Матрицаларға қолданылатын амалдар
О.Бөкеев шығармаларындағы бейварбалды амалдар
О.Бөкеев шығармаларындағы бейвербалды амалдар
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь