Бөлшектерге амалдар қолдану

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 57 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

КІРІСПЕ . . . 3

1. «БӨЛШЕКТЕР» ТАҚЫРЫБЫН ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕЛІК НЕГІЗДЕРІ

1. 1 Мектептік математика мазмұнындағы бөлшектер тақырыбының орны . . . 5

1. 2 Бөлшектердің шығу тарихы . . . 6

2. БӨЛШЕКТЕРМЕН БАЙЛАНЫСТЫ КІЛТТІК ТАҚЫРЫПТАРДЫ БАЯНДАУ ӘДІСТЕМЕЛЕРІ

2. 1 Бөлшектер жайлы жалпы мағлұматтар . . . 9

2. 2 Жай бөлшектер

2. 2. 1 Жай бөлшектің негізгі қасиеттері . . . 11

2. 2. 2 Аралас бөлшектер . . . 18

2. 2. 3 Жай бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру . . . 20

2. 2. 4 Жай бөлшектерді координаттық сәуледе кескіндеу . . . 23

2. 2. 5 Жай бөлшектерге амалдар қолдану . . . 27

2. 3 Ондық бөлшектер

2. 3. 1 Ондық бөлшектерді координаттық сәуледе кескіндеу . . . 34

2. 3. 2 Ондық бөлшектерге амалдар қолдану . . . 35

2. 3. 3 Ондық бөлшектерді қосу және азайту . . . 37

2. 3. 4 Ондық бөлшектерді көбейту және бөлу . . . 40

2. 4 Процент . . . 42

ҚОРЫТЫНДЫ . . . 45

Қолданылған әдебиеттер . . . 47

Қосымша . . . 48

КІРІСПЕ

Тәуелсіздігімізді алғаннан бері Қазақстан Републикасы Президентінің «Қазақстан Републикасының білім беру мәселелері бойынша кейбір заңдар актілеріне өзгерістер мен толықтырулар енгізу туралы» бірқатар Жарлықтары шықты, практикалық бағыт бағдары бар біраз Үкімет қаулылары және «Білім беру туралы», «Жоғарғы білім туралы» заңдар қабылданды.

Бұл заңдар білім беру саласын басқаруды демократияландыру процесінің терендетілуін, оқу саласын дербестігінің кеңейтілуін, мемлекетімізді әлемдік кеңестікке шығару мақсатында халықаралық байланыстардың ұлғайтылуын, тәуелсіз мемлекеттік саясаттың білім беру саласында ұлттық- мәдени ерекшеліктер ескеріле отырып жүргізілуін және әкімшілік ықпалдың шектелуін қарастырады.

Бүгінгі таңда адамзаттың ақпаратты қоғамға қарқынды түрде өтуіне байланысты білім берудің мақсаты алған білімнің, кәсіби дағдылардың негізінде өмірдің өзгермелі жағдайларында еркін бағдарлай алатын, өзінің алған білімін өмірінде қолдануға, өзін өзі дамытуға және адамгершілік тұрғыда өзбетінше дұрыс, жауапты шешім қабылдауға қабілетті тұлға қалыптастыру болып отыр. Соған сәйкес білім сапасы оның төрт сипатының (білім- құндылық, білім- жүйе, білім- процесс, білім- нәтиже) біртұтастығын ескере отырып, олардың ішінде білімнің құндылық ретіндегі және білімнің нәтиже ретіндегі сипатына мән берумен тікелей байланыста қарастырылады.

Тәуелсіз Қазақстанымыздың экономикасы өркендеп, өндіріс орындарының жандануына байланысты математика саласының ғалымдарына, білікті мамандарына деген сұраныс, қазіргі кезеңде күрт артып отыр.

Зерттеудің өзектілігі. Білім беру жүйесін дүние жүзілік деңгейге жеткізу мақсатымен егеменді еліміз соңғы кезде осы саланы қайта құру жағдайын бастан өткізіп отыр. Әсіресе, жастарға орта білім берудің мазмұны мен түрлері жүйелі түрде өзгере отырып (лицей, гимназия, колледж т. б. ), жоғары сыныптармен төменгі сыныптарда бағытты және тереңдете оқыту мәселелері де қолға алынуда. Орта мектепте математикалық бағытта терең білім беру мәселесін күшейтуге байланысты, математика курсының да мазмұнын тереңдете отырып, оқушыларға математикалық білімді саналы меңгертуді қамтамасыз ету мақсаттары жүзеге аспақ. Болашақ қоғам мүшелерінің математика- ғылымдарының негізін толық меңгеріп шығуы қазіргі заман талабынан туындайтынын ескерсек, оның ірге тасы орта мектеп математика курсын игеруден бастап қаланатыны белгілі.

Қазіргі таңда білім мазмұнын жаңарту, тереңдету және оны саналы меңгертудің әдіс-тәсілдерін жетілдіру педагогикалық зерттеулер көзіне айналуда. Олай болса, орта білім берудің негізгі бағытының бірі- оқушыларға математика курсын тереңдетіп, жетілдіре отырып меңгерту болмақ. Әсіресе, математика курсының «Бөлшектер» бөлімін мазмұн жағынан және әдістемелік тұрғыдан тереңдете жетілдірудің маңызы зор.

Зерттеудің мақсаты:

- мектеп математика курсының «Бөлшектер» бөлімінің мазмұнын жан-жақты талдай отырып, оның теориялық тұстарын тереңдету;

- «Бөлшектер» бөлімін оқытудың тиімді әдістерін ұсыну;

- «Бөлшектер» бөлімін саналы меңгеруді қамтамасыз ететін зертханалық оқу-құралдарын жасау және іс-тәжірибеге ендіру;

- болжам бойынша ұсынылған оқыту әдістері мен зертханалық оқу құралдарының тиімділігін педагогикалық эксперимент арқылы дәлелдеу.

Зерттеудің болжамы: егер білім беру саласында алдыңғы орынға оқушының білімді саналы игеру әрекеті қойылса, «Бөлшектер» бөлімі практикалық тұрғыдан тереңдетіліп, оны оқытудың белсенді әдістерін саралап, тиімді оқу құралдарымен қамтамасыз етілсе, онда оқушылардың математикалық білімінің деңгейі көтеріліп, олардың шығармашылық әрекеттерін қалыптастыруға болады.

Зерттеу нысаны: орта мектептерде математика курсын оқыту үрдісі.

Зерттеу пәні: орта мектеп математика курсының «Бөлшектер» бөліміне практикалық тұрғыдан дифференциалдық түрде талдау жасай отырып, тереңдете оқыту әдістемесі.

Зерттеудің мақсаты, пәні және ғылыми болжамының негізінде оның басты міндеттері айқындалады:

негізгі орта мектептің математика курсының «Бөлшектер» бөлімін тереңдете оқытудың теориялық негізін беру;
математика курсының «Бөлшектер» бөлімінің мазмұнын жетілдіруге бағытталған материалдарды іріктеу, топтау;
«Бөлшектер» бөлімін оқытуда оқушылардың танымдық әрекетіне негізделген тиімді әдістерді саралау;

1. «БӨЛШЕКТЕР» ТАҚЫРЫБЫН ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕЛІК НЕГІЗДЕРІ

1. 1 Мектептік математика мазмұнындағы бөлшектер тақырыбының орны

Қазақстан мемлекеті алдағы уақытта ғылыми-техникалық прогресті өркендету арқылы нарықтық бәсекеге қабілетті мемлекеттер қатарына қосылу үшін іргелі ғылыми пәндерді оқыту ісін жетілдіруді білім беру ісінің басты міндеті деп есептейді. Соған байланысты, осы жұмысты орындау барысында математика оқытуда оның теориялық тұстары мен оқыту әдісін жетілдіру. Бұл жұмыстардың қай-қайсысы да орта мектептегі математика курсын оқытуда оқушылардың танымдық қабілеті мен белсенділігін арттыру жолдарын зерттеудің басты міндеті етіп қоя білген. Бірақ, олардың ешқайсысы «Бөлшектер» бөлімін тереңдете оқытуды және осы мәселенің әдістемелік негізін қалауды алдына мақсат етіп қоймаған.

Осындай күрделі де қиын саланы теориялық тұрғыдан тереңдете отырып, саналы түрде меңгерту және алған білімдерін практикада қолдануға жаттықтыру мектеп қабырғасынан бастап қолға алынуға тиіс. Бұл мәселенің бір саласы- орта мектептегі математика курсының «Бөлшектер» бөлімін тереңдете оқыту арқылы жүзеге асырылады. Бірақ, қазіргі таңда мектеп қабырғасында математика курсының «Бөлшектер» бөлімін тереңдете оқытуға байланысты бірнеше қайшылықтар туындап отыр:

-пән бағдарламасында қойылып отырған тереңдете оқытуға байланысты туындайтын талаптардың іс жүзінде орындалмауы;

- математиканың «Бөлшектер» бөлімін теориялық тұрғыдан тереңдете оқытуға арналған материалдар мазмұнының іріктелмеуі;

- «Бөлшектер» бөлімін тереңдете оқытуға мүмкіндік беретін, арнайы дайындалған бөлмелердің, оқу-құралдарының болмауы;

- «Бөлшектер» бөлімін тереңдете оқытуға байланысты ғылыми тұрғыда негізделген әдістемелік нұсқаулардың дайындалмауы;

- мектептердегі білім берудің мазмұны мен оқыту әдістемелерінің дәстүрлі қалыптасқан жағдайдан аса алмай отырғандығы.

Зерттеудің әдіснамалық негізі математиканың негізгі анықтамалар мен қағидаларының орындалуына, олардың арасындағы табиғи байланыстарды, әрбір анықтаманың математикалық мәнін және қолдану аясын терең, жан-жақты ұғып түсіну мен меңгерудің танымдық теориясына, оқушының білімге бейімделуін және оны игеруінің психофизиологиялық теориясына, педагогикалық теория мен практиканың ажырамас бірлігіне, ғылым мен техниканың даму бағытын айқындаудың философиялық қағидаларына сүйеніп құрылады.

Ондық бөлшектердің тарауы. Олардың осы заманғы қоғам өміріндегі мәні.

XVIIғ, бас кезінен бастап ондық бөлшектер ғылыми мән практикаға жеделдете ене бастады. Англияда бөлшектің ьүтін бөлігіні бөлщек бөлігінен айыру таңбасы ретінде нүкте қолданылады, тіпті өазірдің өзінде де АҚШ, Ангдия және басқада кейбір елдерде нүкте осылайша пайдаланылып келеді. Үтірді, нүкте сияқты, айырғыш таңба ретінде қолдануды атақты ағылшын математигі Джон Непер 1616-1617 жылдары ұсынған. Ондық үтірді неміс астрономы И. Кеплер де қолданған. Ондық үтір алғаш рет 1592 жылы италиян астрономы Дж. Маджинидің (1555-1617) шығармаларында кездеседі, ал ондық нүкте 1593 жылы неміс математигі Хр. Клавиустың (1537-1612) еңбегінде кездеседі. Ондық санау системасы да, сондай ақ ондық бөлшектерде ескі алпыстық бөлшектердің кедергісін қажырлықпен жеңіл шығып, өзіне жол ашты. Тұтас алып қарастырғандағы ондық системаның зор артықшылықтары мен игі қасиеттерінің арқасында ондық бөлшектердің өрісі барған сайын кеңейе берді. Өнеркәсіп пен сауданың, ғылым мен техниканың дамуы жолында есептеу жұмысы күрделеніп қиындай берді, ал ондық бөлшектерді пайдаланағанда бұл жұмысты орындау жеңілдейді. Алпыстық бөлшектерді тек ХVIII ғасырда ғана ондық бөлшектер біржолата ығыстырып шығарды. Ондық бөлшектер туралы ілімді Ресейде тұңғыш рет Леонти Магнитский өзінің «арифметикасында» баяндады. (1703) . Өлшеуіштер мен таразылардың ондық бөлшектермен тығыз байланысты метрлік системасы енгізілгенен кейін, XIX ғасырда ондық бөлшектер мейлінше кеңінен қолданылатын болды. Біздің елімізде ауыл шаруашылығы мен өнеркәсіпте, ғылымда, халық шаруашылығының барлық салаларында ондық бөлшектер және олардың дербес түрі - проценттер жай бөлшектерге қарағанда әлде қайда жиі қолданылады.

1. 2 Бөлшектердің шығу тарихы

Ерте заманның өзінде - ақ адамға нәрселерді санай білу қажет болуымен бірге, ұзындықты, ауданды, көлемді, уақытты және басқада шамаларды өлшей білу де қажеттілігі туған. Ал өлшеу нәтижесін әрқашан натурал санмен өрнектеп көрсетуі мүмкін бола бермейді. Қолданылып отырған өлшеуіштің бөлшектерінде ескеруге тура келеді. Осылайша бөлшектер пайда болған. Әуелде бұлар нақтылы бөлшектер, белгілі бірліктердің бөліктері болған. Мысалы, Ежелгі Русьте «ширек» көпке дейін тек нақты бөлшектер, ірірек өлшеуіштің бөлігі ретінде түсініліп келген. Нақтылы бөлшектреден дерексіз, яғни белгілі бір өлшеуішке байланыссыз, бөлшектерге баяу да ұзаққа созылған процесс болған. Тіпті римдіктердің өздері де көбінесе тек нақтылы бөлшектерді пайдаланған. Ежелгі римдіктерді массаны өлшеуде негізгі бірлігі және сондай - ақ ақша бірлігі де болып табылған. Олар тең 12 бөлікке, унцияларға бөлінген. Бара - бара унция кез - келген шамаларды өлшеу үшін де қолданылатын болған. Сөйтіп римдіктерде он екілік бөлшектер, яғни бөлімдері әрқашан 12 болып келетін бөлшектер пайда болған. Римдіктер

\[\frac{1}{12}\]

деудің орнына «бір унция»,

\[\frac{5}{12}\]

орнына «бес унция» т. с. с деген. Үш унцияны ширек, төрт унцияны үштікдеп, алты унцияны жарты деп атаған.

Ежелгі Мысырлық бөлшектер.

Адамдар алғаш танысқан бірінші бөлшек, сірә, жарты болар. Онан кейін біртелеп

\[\frac{\prod}{\sum}\]

\[\frac{\prod}{\bigotimes}\]

\[\frac{1}{16}\]

. . . , сонан соң

\[\frac{\vert}{\in}\]

т. с. с бөлшектер, яғни бүтін үлестері ең жай бөлшектер болып табылатын бірлік немесе негізгі бөлшектер деп аталатын бөлшектер шыққан. Бұл бөлшектердің алымы әрқашанда бір болады. Кейбір ертедегі халықтар, мысалы мысырлықтар, кез келген бөлшекті тек негізгі бөлшектердің қосындысы түрінде ғана өрнектеп көрсететін.

Ондық бөлшектердің шығуы. Ондық бөлшектерді Азия мен Еуропаның математиктері ілгерілі-кейінгі әр түрлі уақытта қолданылады. Азияның кейбір елдерінде ондық бөлшектердің пайда болуы, дамуы метрологиямен (өлшеуіштер жөніндегі ғылыммен) тығыз байланысты болады. Біздің эрамызға дейінгін ІІ ғасырдың өзінде ақ ол елдерде ұзындық өлшеуіштердің ондық системасы болған еді. Шамалап айтқанда б. э ІІІ ғасырында масса және көлем өлшеуіштерінде де ондық есеп қолданылатын болды. Міне сол кезде ондық бөлшек ұғымы туды, бірақ ол метрологиялық формасын сақтаған бөлшек болатын. Мысалы: Х ғасырда Қытайда мынадай масса өлшеуіштері болды: 1 яан = 10 цинь-10 ² , фэнь=10 ³ , ли = 10 ⁴ , хао =10 ⁵ , сы = 10 ⁶ . Егер алғашқы кезде ондық бөлшектер ірі өлшеуіштердің ондық, жүздік т. с. с бөліктері ретінде, метрологиялық, нақтылы бөлшектер ретінде қарастырылған болса, кейініректе олар мән жағынан бірте - бірте өзгеріп; дерексіз ондық бөлшектер сипатында қарастырылатын болды. Бүтін бөлігін бөлшегінен айрықша иероглифпен -«дяньмен» (нүктемен) бөліп көрсететін болды. Алайда ертеректе де орта ғасырда да Қытайда ондық бөлшектердің метрологиямен байланысты азды - көпті сақталады. XV ғасырдың 20 жылдарында ондық бөлшектер туралы Әл-Кашидың еңбектеріінде анағұрлым толық және жүйелі түрде баяндалды. Оған байланыссыз ХVI ғасырдың 80 жылдарында нидерланд математигі С. Стевин ондық бөлшектерді Еуропада қайтадан «ашты». XVII ғасырдың бас кезінен бастап ондық бөлшектер ғылым мен практикаға жеделдете ене бастады. Англияда бөлшектің бүтін бөлігін бөлшек бөлігінен айыру таңбасы ретінде нүкте қолданылады, тіпті қазірдің өзінде де АҚШ, Англия және басқа елдерде.

Ондық бөлшектерді есептеу натурал сандарды есептеуге ұқсас ынғайлы болғандықтан, ғылымдағы, өндірістегі, күнделікті өмірдегі есептеулерде жиі пайдаланылады. Ондық бөлшектер және ондық бөлшектерге амалдар қолдану туралы ортаазиялық ғалым. Әл-Каши өзінің

«Арифметика кілті» (1437ж) атты кітабында жазды. Әл-Каши ондық бөлшектерді көбейту мен бөлу тәсілдерін қалыптастырды. Сондықтан ол есептеуде ондық бөлшекті ең алғаш пайдаланған ғалым ретінде тарихқа енген. Әл-Каши ондық бөлшектерді жазуды үтірді пайдаланбаған, бірақ ол үтірдің орнына тік сызық қойған. Ондық бөлшекпен есептеу туралы Әл-Каши еңбектерін одан кейін нидерландиялық математик Симон Стевин (1548-1620ж) өзінің ондық бөлшек туралы «Ондық» (1585ж) атты кітабында жазды. Стевин Еуропа елдеріне ондық бөлшектерді есептеу жұмыстарына пайдалануды насихаттады. Ол да ондық бөлшектерді жазуда үтірді пайдаланбай, бөлшектің бүтін бөлігімен бөлшек бөлігін бір қатарға үтірсіз жазған. Мысалы: 37, 48ондық бөлшегін мына түрде жазған:37 48 немесе 3704182 . . .

Үтірдің орнына бірліктің үстіне нөл жазған. 1, 2, 3 . . . , цифрларымен ондық таңбалардың ретін белгілеген. Ондық бөлшектің бүтін бөлігін бөлшек бөлігінен үтірмен ажыратуды шотландия математигі Дж. Непер(1550-1671) және неміс аспан әлемін зерттеушісі И. Кеплер(1571-1630) енгізген. Рейседе Леонтий Филиппович Магницкий 1703 жылы басылып шыққан өзінің «Арифметика»оқулығында ондық бөлшектер туралы баяндауды жалғастырды.

2. БӨЛШЕКТЕРМЕН БАЙЛАНЫСТЫ КІЛТТІК ТАҚЫРЫПТАРДЫ БАЯНДАУ ӘДІСТЕМЕЛЕРІ

2. 1 Бөлшектер жайлы жалпы мағлұматтар

Үлестер. Жай бөлшектер. Әртүрлі шамаларды (ұзындықты, массаны, уақытты) өлшеу үшін натурал сандаран басқа бөлшек сандар деп аталатын жаға сандар енгізілген.

1 - суретте дөңгелек (тұтас бір дене) тең 4 бөлікке бөлінген. Мұндай тең бөліктер үлестер деп аталады. 1- суре әрбір үлес - дөңгелекті өзара тең 4 бөлікке бөлгендегі бір бөлігі. Жазылуы дөңгелетің

\[\frac{\prod}{\sum}\]

-і,

\[\frac{\prod}{\sum}\]

-дің оқылуы: «төрттен бір». Демек, 1:4 дегеніміз

\[\frac{\prod}{\sum}\]

; 1 : 4 =

\[\frac{\prod}{\sum}\]

. Мұндағы -сызықша- бөлшек сызығы.

\[\frac{\prod}{\sum}\]

1
\[\frac{\prod}{\sum}\]

\[\frac{\mathcal{N}}{\mathbf{\Lambda}}\]

\[\frac{\mathcal{\mathbf{A}}}{\mathbf{A}}\]

Алдымен бөлшек сызығының астындағы сан шығыс септігінде оқылады, сонан соң бөлшек сызығының үстіндегі сан атау септігінде оқылады. Егер осындай үлестің (
\[\frac{\prod}{\sum}\]
-дің) екеуін алсақ, онда ол
\[\frac{\mathcal{L}}{\mathbf{a}}\]
түрінде жазылады. Оқылуы «төрттен екі». Егер осындай үлестің үшеуін алсақ, онда ол
\[\frac{\mathcal{\mathbf{A}}}{\mathbf{A}}\]
түрінде жазылады. Оқылуы «төрттен үш». Мұндағы
\[\frac{\prod}{\sum}\]
,
\[\frac{\mathcal{N}}{\mathbf{\Lambda}}\]
және
\[\frac{\mathcal{\mathbf{A}}}{\mathbf{A}}\]
жай бөлшектер. Жай бөлшектің жалпы түрде әріпппен жазылуы:
\[\frac{Q}{\hat{Q}}\]
. Мұндағы а - жай бөлшектің алымы, в - бөлімі. Бөлшек сызығының астындағы сан неше үлеске бөлінгенін көрсетеді, сондықтан оны бөлшектің бөлімі деп атайды. Бөлшек сызығының үстіндегі сан неше үлестің алынғанын көрсетеді, сондықтан оны бөлшектің алымы деп атайды. Жай бөлшек
\[\frac{Q}{\hat{Q}}\]
;

Кез - келген натурал сан жай бөлшектің бөлімі, ал 0 саны және кез - келген натурал сан алымы бола алады.

Есеп. 2 алманы үш балаға тең бөліп берсек, олардың әрқайсысы неше бөліктен алма алады?

Шешуі. Алманың әрқайсысын үш тең бөлікке бөлеміз. Әрбір бөлік алманың болады. Бір балаға осындай екі бөліктен беріледі. Балалардың әрқайсысы алманың

\[\frac{\mathcal{N}}{\sim}\]

алады. Жазылуы:

\[\frac{\zeta}{\sim}\]

бөліктер. Алымы 1 саны, бөлімі 1 - ден өзге натурал сан болатын бөлшектер бірлік бөлшектер (аликвоттық бөлшектер ) деп аталады. Мысалы,

\[\frac{\mid}{\overbrace{\sum}}\]

\[\frac{\prod}{\sim}\]

\[\frac{1}{10}\]

бірлік бөлшектер. Бір натурал санды екінші натурал санға бөлуді жай бөлшекпен жазуға болады. Бөлінгіш бөлшектің алымына жазылады да, ал бөлгіш бөлшектің бөліміне жазылады. Демек, бөліндіні жай бөлшек түрінде жазуға болады екен.

Мысалы, 7 : 10 =

\[\frac{7}{10}\]

; 9 : 5 =

\[\frac{\mathbb{S}}{\mathbb{Q}}\]

;

Натурал санды жай бөлшек түрінде де жазуға болады.

Мысалы, 2 = 2 : 1 =

\[\frac{\mathcal{gg}}{\mathcal{\overline{{\overline{{\Lambda}}}}}}\]

немесе

\[\frac{\Lambda}{\mid}\]

Әріппен жазсақ: а =

\[\frac{Q\stackrel{\mathrm{~3\xi}}{\sim}\!\!\!\!/}{Q}\]