Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1 Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың
теориялық негіздері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.1 Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар орны ... ... ... .
1.2 Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың
педагогикалық психологиялық негіздері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2 Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі ... ... ... ... ... ...
2.1 Дифференциалдық теңдеулер туралы ұғым ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2 Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер
жаттығулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.3 Дифференциалдық теңдеулерді құруға арналған есептер
жаттығулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.4 Дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстарды
жүзеге асыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. Глоссарий ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3

5
5

6
11
11

16

18

21
23
25
26
Қазіргі кездегі мектеп бағдарламасында дифференциал теңдеулер туралы мағлұматтар беріледі. Атап айтқанда, дифференциал теңдеулер деген не, оның шешімі және олардың математикалық, физикалық және техникалық есептерді шығаруға қолданылуы т.б.
Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына байланысты мектеп бағдарламасына енгізілген дифференциалдық теңдеулер теориясы ғылымының әртүрлі облыстарында кеңінен қолданылады.
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу теңіз деңгейінен биіктігіне байланысты атмосфералық қысымның өзгеру процессін де, радийдің түсу процесін де, тұрғындар санының өзгеру процессін де, суыту процесін де және т.б. сипаттайды.
Жұмыстың өзектілігі өзектілігі келесілермен түсіндіріледі:
- математикалық талдау және дифференциалдық теңдеулер негізінен болашақ студенттердің математикалық біліміне үлкен үлес қосады.
- дифференциалдық теңдеулер мектептің математика курсында оқытудың әдістемесіне арналған зерттеулердің кемдігі.
Жұмыстың ғылыми жаңалығы Дифференциалдық теңдеулер теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық ойлауды, шығамашылық қабілетті жетілдіруді керек етеді және соған жетелейді. Жетілдіре оқытудың маңызды құрамының бірі ретінде оқушылардың танымдық, шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру саналады. Сонымен қатар игерілетін материалдың математикалық қабілетін қарқынды дамытатын, оларға терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың да маңызы айырықша.
Ғылыми мәселенің қазіргі кездегі шешу жағдайын бағалау Дифференциалдық теңдеулерді оқу қиял ойдың дамуына нәр береді, оқушыларға дифференциалдық теңдеулердің абстрактілігі табиғат құбылыстарын математикалық модельдер көмегімен оқып білудің құралы болып табылады.
Дифференциалдық теңдеулер болашақ студенттің фундаметальды дайындығында, атап айтқанда оқушының ғылыми дүниетанымын, математикалық мәдениетінің белгілі бір дәрежесін қалыптастыруда үлкен роль атқарады.
Курстық жұмыстың мақсаты – осы пән туралы мағлұмат беру және қарапайым теңдеулерді шығару жолдарын көрсету.
Мектеп курсында дифференциал теңдеулерге сағат аз болғандықтан біз мұнда негізгі анықтамалар мен ұғымдарды беріп, соларға көптеп мысалдар келтірумен шектелеміз. Дифференциалдық теңдеулерді оқыту мазмұны мектептерде математиканы оқытуда қосымша, дарынды оқушыларымен жұмыс ретінде қарастыру.
1 Алгебра және анализ бастамалары есептерінің жинағы 9-10 кластарға арналған. - Алматы: Мектеп, 1986.
2 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1990.
3 Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения
математике. – М.: Педагогика, 1987.
4 Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе
обучения математике. – М.: Просвещение, 1982.
5 Доро П.Я. Наглядные пособия и методы их применения в средней школе. М.: Учпедгиз, 1960.
6 Жәутіков О.А. Дифференциалдық теңдеулердің қолданылуы туралы әңгіме. - Алматы: Ғылым, 1986.
7 Колягин Ю.М. Луканкин Г.Л. Основные понятия современного курса математики. М.: Просвещение, 1974
8 Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. және басқалар. Алгебра және анализ бастамалары: орта мектептің 10-11 сынып оқушыларына арналған оқулық. Алматы: «Рауан», 1998.
9 Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание.– М.: Наука, 1985.
10 Пойа Д. Математическое открытие. М.: 1976 г.
11 Фрайденталь Г. Математика как педагогическая задача.
М.: Просвещение, 1983. – Ч. 1 – 2.
        
        Мазмұны
|Кіріспе |3 ... ... |5 |
|1 ... ... ... ... |5 ... ... | ... ... ... ... алар орны |6 |
|............. |11 ... ... ... ... ... |11 ... психологиялық | ... |16 |
|2 ... ... ... | ... |18 ... Дифференциалдық теңдеулер туралы ұғым | ... |21 ... ... ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер |23 ... |25 ... ... | ... ... ... арналған есептер | ... | ... ... | ... ... арқылы пәнаралық  байланыстарды | ... ... | ... ... | ... | ... |
|.......................... | ... ... ... | ... | ... ... ... ... ... теңдеулер
туралы мағлұматтар беріледі. Атап ... ... ... не, оның ... және олардың математикалық, физикалық ... ... ... ... ... қоғамның әлеуметтік ... ... ... ... дифференциалдық ... ... ... ... кеңінен қолданылады.
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу теңіз
деңгейінен ... ... ... ... өзгеру
процессін де, радийдің түсу процесін де, тұрғындар ... ... де, ... ... де және т.б. ... ... ... келесілермен түсіндіріледі:
- математикалық талдау және дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... үлес қосады.
- дифференциалдық теңдеулер мектептің математика курсында ... ... ... ... ... ... Дифференциалдық теңдеулер теориясының
мазмұны абстрактылы - теориялық ойлауды, шығамашылық ... ... және ... ... ... маңызды құрамының бірі
ретінде оқушылардың танымдық, шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру
саналады. Сонымен ... ... ... ... ... ... терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың
да маңызы айырықша.
Ғылыми мәселенің қазіргі кездегі шешу ... ... ... оқу қиял ... ... нәр ... оқушыларға
дифференциалдық теңдеулердің абстрактілігі табиғат ... ... ... оқып ... құралы болып табылады.
Дифференциалдық теңдеулер болашақ ... ... атап ... ... ... ... ... белгілі бір дәрежесін ... роль ... ... мақсаты – осы пән туралы мағлұмат беру ... ... ... ... ... ... дифференциал теңдеулерге сағат аз болғандықтан
біз мұнда ... ... мен ... ... соларға
көптеп мысалдар келтірумен ... ... ... ... ... ... қосымша, дарынды оқушыларымен
жұмыс ретінде қарастыру.     
Зерттеу міндеттері
- дифференциалдық теңдеулер теориясының ... - ... ... ... бірі ... ... танымдық,
шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру;
-сонымен қатар игерілетін ... ... ... оларға терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың да маңызы
айырықша.
Зерттеу нысаны Мектепте дифференциалдық ... ... ... ... құндылығы Сызықты ... ... ... әртүрлі мысалдар жиынын
радиоқұрылғылар береді. Бұл ... ... ... ... өтетін токтар шамасы немесе құрылғының жеке ... ... ... ... белгісіз функциясы болып
табылады. Бұндай ... ... ... ... ... тән. ... шығаруда табылған жалпы
шешімдер қарапайым, ... ... ... ... орнықты
шешімдері мен құрылғының жұмысындағы «орнатылған тәртіптің» ... ... ... ... ... ... ... өзара әрекеттесуші биологиялық
популяциялардың даму динамикасын ... ... ... ( ... ... ... ... мен олардың әдістерін оқып ... өмір ... ... тану үшін тағы бір ... ... нақты физикалық кеңістік туралы бейнелік және ғылыми ... ... ... ... теңдеулерді мектепте оқытудың теориялық
негіздері
1.1 Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар орны
Дифференциалдық теңдеу ... ... ... бірі болып
табылады. ... ... - бұл ... ... қандайда бір ... ... ... ... ... бір ... ... пен процессті
зерттеудің нәтижесінде алынған дифференциалдық ... ... деп ... ... - бірі ... ... әлемді оқып
үйренуде ... ... ... ... ... ... ... түсінікті. Сонымен қатар, дифференциалдық модельдердің
өздерінің де ... ... бар ... атап өту ... Біз ... тек қарапайым ... ... ... ғана ... ... тән ... бірі ... белгісіз функциялар тек бір ғана айнымалыға ... ... ... құру ... ... ... ... қатысты ғылым заңдарын білу маңызды және
алдыңғы мәнге ие. ... ... бұл ... ... ал
электрлік тізбектік теориясында – ... ... ... ... теориясында - салмақтың әсер ету заңы ... іс ... ... ... құруға мүмкіндік
беретін белгісіз ... да ... ... ... - айнымалылардың аз өзгерісінде процесстің жүруіне
қатысты ... ... ( ... ... ... ... ... шектік ауысу келтіреді. ... ... ... ... ... ... теңдеуді зерттеу
нәтижесі тәжірибелік берілгендермен ... ... онда ... ... ... күйін дұрыс көрсететінін білдіреді.
Кейбір жағдайларда ғана дифференциалдық теңдеулерді тұйық ... ... ... ... яғни ... ... ... шектеулі санын пайдаланатын шешімді аналитикалық
формула ... ... ... ... бұл ... ... бар ... белгілі болған кезде.
Басқаша айтқанда, дифференциалдық теңдеулердің ... ... ... ... саны ... ... ... формада көрсету үшін жеткіліксіз. Бұл ... ... ... ұқсас: бірінші және екінші
дәрежелі ... ... ... ... шешімдері
радикалдарда оңай алынуы мүмкін; егер ... және ... ... ... онда радикалдардағы шешімдер алынуы мүмкін, бірақ
формалар едәуір қиын ... ал ... ... жоғары жалпы
түрдегі алгабралық ... ... онда ... радикалдардағы шешімдерді, жалпы айтқанда, алынуы мүмкін
емес.
Дифференциалдық ... ... ... үшін қандай да
бір түрдегі ... ... ... онда ... ... едеуір көп теңдеуді шешуге тура келеді. Бірақ, шешімнің
орынды және ... ... ... ... түрінен анықтау еш мүмкін
емес. Сонымен қатар, тіпті дифференциалдық ... ... ... ... та, мұндай шешімді талдау мүмкін емес, ... әр ... ... ... өте қиын ... ... дифференциалдық теңдеулердің өзін шығармай-ақ шешімдердің
қайсыбір қасиеттері туралы қажетті мағлұматтар ... ... ... мен ... ... анық болып отырады. Мысалыға,
бұндай әдістер мен ... бар және олар ... ... теориясының мазмұнын құрайды, олардың ... ... ... мен ... ... шешімнің бастапқы берілгендер мен
параметрлерге үзіліссіз тәуелділігі туралы жалпы ... ... ... ... сапалық теориясы
А.Пуанкаре мен А.М.Ляпуновтың ... ... ... ... ... ... және оның ... бізді қоршаған ортаны тану
процессінде кең ... ... ... ... ... ... ... курсының негізгі мақсаттарының бірі оқушыларды
ғылыми дүниетанымға тәрбиелеу деп ... ... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеулер тақырабы
тиімді.
Қазіргі заманда, ... ... ... ... ... келген сатысында (мектепте, лицейде, колледжде, ЖОО-да және ... ... ... ... яғни ... ... деп аталатындарды ... ... ... Бұл
аспект дербес шығуы мен ... ... ... даму ... ... ... нақтыланып және кеңейіп ... ... ... анықтамасы, математиканың нақты өмірмен, адамдардың
қоғамдық іс-әрекетімен байланысы, іс-тәжірибенің ... ... ең ... қазіргі заманғы ғылыми ... ... ... ... ... әрдайым талқылау
қажеттілігі енеді.
Оқушыларды рухани дамыта ... ... ... деген іс-
тәжірибелік көзқарастың негізі ретінде ... ... ... Олар ... жалпы ұғымдарының нақты ... ... ... көре ... ... редукцияланған философияның
негізгі сұрағына дұрыс жауап бере алуы керек.
Математикалық – ... ... ... ... ... ... дифференциалдық
теңдеулердің матодологиялық ... ... ... ... даму ... ... Негізінен
дифференциалдық теңдеулер теориясына Россия, Қазақстан және ... ... ... үлесі үлкен.
Оқушылардың ғылыми дүниетанымын және ... ... осы ... ... ... ... оны ... яғни оқытудың жалпы принциптерінің - оқытудың өмірмен,
теорияның практикамен байланысы ... ... ... ... үлес ... оқытудың қолданбалы бағытының мәселесі математиктер
мен әдіскерлердің зеттеулерінде кең ... Оның ... В.Г. ... ... А.Н. Колмогоровтың, А.Н.
Тихоновтың, З.И. Халиловтың, Д.П. Костомарованың, Ю. М. ... ... В.А. ... С.И ... В.В. ... ... М.И. ... И.Д. Шарышнаның, К.К. Пономареваның, Н.Я.
Виленкинаның, А.Д. Мышкистің, Л.Д. Кудрявцевтің, Г. ... ... А.П. ... И.И. ... ... ... М.С. ... және т.б. жұмыстарында келтірілген.
Жоғарыда аталған авторлардың барлығы ... ... ... ... ... ... ... кандидаттық диссертациясында дифференциалдық
теңдеулердің қолданбалы бағыттының үш компонентін атап ... ... ... мен ... ... ... математиканың теориялық мәселерінің математикалық ... ... ... ... оқушыларды математиканың қолданбалы бағытымен
таныстыру тәсілдерін ... ... ... ... ... тек ... ... түсінуге емес, ғылыми танымның ... әсер ... ... ... ... ... нақты
процесті математикалық модельдермен байланыстыру тәжірибесін алады.
Нақты процесстің математикалық моделі деп, ... бұл ... ... жуықтап сипатталуын түсінеміз.
Математикалық модельдеу өнері нақты есепті математикалық тілге
аудара білуден тұрады.
Матетикалық ... ... ... ... ... көмектесді, процестің қалпының сапалық және сандық сипатын
орнатуға мүмкіндік береді.
Әр ... ... ... процестердің математикалық моделі
көбіне ... ... ... ... ... мен ... әдістемесін схемалық түрде
сипаттауға болады. Қандай да бір ... ... ... ... ... ... биологиялық. Бізді бұл процестің белгілі бір
функционалдық ... ... ... ... ... қысымның, массаның, кеңістіктегі қалпының ... ... Егер бұл ... ... ... толық ақпарат бар болса,
онда оның ... ... ... ... ... ... Көп
жағдайларда бұндай модель дифференциалдық сипаттамасы болып ... ... ... ... ... ... ... өзгерістер сипатын, бұл
жүйе өзгерістерінің бастапқы күйін ... ... ... ... оқып ... оның жеке ... анықтау
мен оның ағымының жалпы заңын ... ... ... ... ... жеке моменттегі процестің
айнымалы ... ... ... және туындыларымен
байланыстыратын дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі. Интегралдаудан
кейін алынатын ... ... ... заңдылығы процестің айнымалы
шамаларын байланыстыратын теңдеумен өрнектеледі.
Дифференциалдық теңдеулерді құрудың қатаң ... жоқ. ... ... ... ... ... байланысты
қолданбалы есептерді шығарудың әдістемесі келесіге келтіріледі:
1) ... ... ... оның мәнін айқындайтын сызбаны салу;
2) қарастырылып отырған процестің дифференциалдық теңдеуін құру;
3) осы теңдеуді ... оның ... ... ... ... ... ... негізінде есептің дербес шешімін анықтау;
5) қажет болған жағдайда көмекші ... ... ... және т.б.) ... бұл ... үшін ... қосымша
шарттары пайдаланылады;
6) қарастырылып отырған ... ... ... ... және
ізделінді шамалардың сандық мәнін анықтау;
7) жауапты талдау және ... ... ... ... ... ... іс-әрекеттің ажыратылмас бөлігі
болып табылады. Модельдеудің ... ... адам ... әлемді оның көптүрлілігі мен ішкі және сыртқы ... ... ... жуық ... ... ... ... құбылыс туралы сезіну мен түсіну арқылы алатын толық
емес ақпарат ... ... ... емес түрде елестетулер мен
бейнелер жүйесі ретінде қалыптасатындар негізіне ... ... ... ... ... ... әлем туралы түсінігіміз
принципиалды модельды сипатқа ие.
Соңғы жылдары психикалық іс ... ... ... ... ... Сонымен қатар модель мидың құбылысы ретінде әр ... ... ... ... ... ... ... қатынасындағы психикалық іс-әрекетінің негізгі ... ... ... зерттеушілер оқытудағы модельдеуге үлкен ... ... оны жеке ... ... ... В.В. Давыдов
традициялық дидактикалық көрнектілік принципінің шектеулілігін, оны
модельдеу ... ... ... Фридман, В.В. Давыдовтың орта мектепте математиканы оқытудағы
модельдің тәсіл идеясын дамытып, былай деп жазады:
«... математиканы ... ... ... ... ... ... мазмұнын модельдік көзқараспен меңгеруді, екіншіден,
оқушыларда әртүрлі ... мен ... ... ... мен икемділігін қалыптастыруды, үшіншіден, ішкі ойды,
ойлаудың ... ... ... үшін ... ... ... кеңінен қолдануды білдіреді».
Бұдан оқушыларды ... ... құру ... ... ... және ең алдымен дифференциалдық теңдеулердің
негізгі шарттарының бірі.
Дифференциалдық ... ... ... ... біз оқыту
процесіндегі шынайы пән аралық байланысты орнатамыз.
Жалпы математиканы оқыту ... ... ... ... ... оқу ... ... бағытында жүргізіледі.
Мазмұны жақын пәндердің өзара байланысы, тек ... ... ... қана қоймай, алынған білімдерді іс-тәжірибеде пайдалану
дайындығына ықпал ... ... ... ... ... жылдары зерттеушілердің пәнаралық байланысты ортануға
қызығушылықтары да арта ... Біз пән ... ... ... ... да арта ... Біз пән ... байланысты
жүйеліліктің көрінуі, табиғи құбылыстардың ... ... ... ... қарастыруды дұрыс көрдік.
Пәнаралық байланыстар, ... ... ... атап
айтқанда, білімділіктің, дамытушылық және ... ... ... ... Бұл ... ... байланыста орындалады
және бір бірін толықтырады.
Жоғарыда айтылғандардың бәрін ... ... ... ... ... ... тұжырымдауға
тырысып көрейік.
Ең алдымен, бұл ... ... ... қоршаған
орта туралы дұрыс түсінікті қалыптастырудағы ... ... ... аспекті. ... ... ... ... ... ... етеді. Әрі қарай,
дифференциалдық теңдеудің математикалық ... ... ... байланысты орнату мәселесімен тікелей байланысты ... ... ... ... ... - бұл ... сөйлейтін тіл.
Математика курсының тілдік аспектісі ... ... ... ... ... ... күннен күнге қызықтырып отыр.
Математикалық ... ... ... ... ... жалпы
мәдениетін құрайтыны ... ой ... ... ... жоққа шығарылмайды.
Болашақ студенттер бұл ойды ... үшін ... ... орнын белгілеулері керек.
2 Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі
2.1 Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы ... ... ... бірі ... ... ... тұрақты m массасы бар, материалды нүктенің түзу ... ... ... күші m ... мен ... ... тең, F=m*a. F күші өз ... x координатасына,
оның v жылдамдығына және t ... ... ... болуы мүмкін.
Сондықтан F=m*a теңдігін былай ... ... ... ... ... ... уақыт бойынша туындысына
тең , ал үдеу - координатаның ... ... ... туындысына
тең . Сондықтан теңдеу (1) келесіні білдіреді.
(2)
Біз (қозғалыс заңы) ... -ға ... ... ... оның ... және екінші ретті туышдысы және t
аргументінің өзі ... ... ... Бұл ... ... ... әсер етуші күштер бойынша нүктенің ... ... біле ... және бұдан күрделірек теңдеуге машинаның, ракетаның, планета
және т.б. ... ... ... ... ... ... дифференциал теңдеулер деп атайды.
Анықтама 1 Дифференциалдық теңдеу деп ... ... да бір ... қатар, осы функцияның өзін және ... ... ... ... ... ... мысал бола алады:
және т.б.
Соңғы теңдеулерде ... ... у және оның ... у1 ... ... бар. Ал ... айнымалы ретінде х еніп тұр.
Мысал 1. Космостан жерге түсіп келе ... ... ... дифференциалдық теңдеуін жазыңыз.
Шешуі. Бүкіл ... ... заңы ... ... ... етеді, мұндағы М – жердің массасы, m – ... ... ... ... және ... ... ... дейінгі
арақашықтық («минус» таңбасы қойылғанының ... ... ... осінің бағытана қарама-қарсы). Ньютонның екінші заңы
бойынша ... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеу
түрінде жызылады.
Символдық түрде дифференциалдық теңдеу былай ... ... егер ... функция бір белгісіз айнымалыға
тәуелді болса, онда ... ... ... ... деп ... өсудің және көрсеткіштік кемудің дифференциалдық
теңдеуі физикалық, техникалық, биологиялық және ... ... ... ... дифференциалдық теңдеуді.
(3)
қанағаттандыратындай функцияларды табуда келтіріледі, мұндағы k ... да бір ... ... ... біле ... мына ... кез келген функция болатынын байқау қиын емес, ... ... Ал С ... алынатындықтан, дифференциалдық ... ... көп ... ... (4) ... ... өзге, басқа шешімдерінің
болмайтынын дәлелдейік. Ол үшін (4) ... ... ... f ... ... функциясын қарастырамыз. g функцияның туындысын табамыз:
- тің орнына (3) теңдеудегі -ті ... ... ... ... ... ... нөлге тең болғандықтан, ... х үшін ... (4) – тен ... ... ... де осы ... с к е р т у. ... келтірілген талқылауларда біз f фунциясын
бүкіл сандық түзуде ... және (3) ... ... ... болатынбыз. Нақтылы есептерде (3) теңдеуді тек ... ... ... ғана қанағаттандыратын функцияларды қарастыруға тура келеді.
Әрине, ондай ... (4) ... ... ... (3) теңдеу
орындалатындай аралықта ғана ... ... ... ... ... мынау - функцияның х нүктесіндегі
өзгеру жылдамдығы сол ... осы ... ... ... ... практикалық есептерді шешкенде жиі ... 2 ... ... ... ... уақыт мезетінде
радиоактивті заттың массасы мынадай болсын:
Ал уақыт өтуімен заттың m (t) ... кему ... ... ... ... ... яғни мына теңдеу ... k > 0. ... ... ... бойынша
(6)
С константасы (6) шарттан табылады. Атап айтқанда, t=0 болғанда
яғни ... ... ... ... ... мысал типтік сипатты: дифференциалдық
теңдеулердің шектеусіз көп ... ... бір ... ... алу ... әдетте тағы да бір бастапқы ... ... ... отырған жағдайда ол – (6) шарт).
Радиоактивті заттың массасы екі есе ... ... ... Т – ... k – ны ... ... Өйткені
яғни
бұдан шығатын
Олай болса, бұдан
Мысалы, радий үшін жыл. ... ... ... ... ... ... ... радийдің бастапқы массасынан қалатыны
тек мынау ғана
Гармоникалық тербеліс f ... ... ... f ... ... ... деп атайды және деп
белгілейді (оқылуы: эф екі штрих). Мысалы:
(7)
Функцияның сипатын неғұрлым ... ... ... ... ... мол. ... туынды функция өзгерісінің жылдамдығы
болса, ал ... ... сол ... ... ... яғни
үдеу.
(7) формуланы талдай келе, ... пен ... ... сол ... ... ... тек таңбасында
ғана екенін аңғарамыз. ... ... бұл ... ... ... ... ... мәндерінде, мына теңдеуді қанағаттандырады:
Физикада, атап айтқанда, ... мына ... f ... үлкен роль атқарады, мұндағы – оң
тұрақты.
Осы тектес ... ... бір ... ... саласынан
келтірейік. Айталық, массасы ... ... ... ... ... де, оның ... ұшы ... (1-сурет)
және де шар центрінің х координатасы тепе-теңдік қалыпта нөлге ... ... ... центрін координатасы нүктеге орын ауыстырғанда, шарды тепе-
теңдік ... ... күш ... ... Гук заңы ... ол ... ... шамасы х-ке пропорционал, яғни мұндағы k – ... ... ... ... ... заңы ... ... қозғалғандағы үдеу координатаның ... ... ... ... ...
басқаша айтқанда, шар центрінің серпімділік ... ... ... (8) ... ... (8)-ға сәйкес уақыт өткенде физикалық шама гармоникалық тербеліс
жасайтынын ... Ал, (8) ... өзін ... дифференциалдық теудеуі деп атайды.
А мен тұрақтылары қандай болғанда да
(9)
функциясы (8) ... ... ... ... ... да, ... ... арналған формуланы пайдаланып, мынаны табамыз:
Кері ұйғарым орын алады: (8) теңдеуінің кез ... ... ... ... ... бірге, әдетте былай таңдап алынады:
Мұның дәлелдемесі мектеп ... ... ... ... ... ... алдын ала берілсе, онда А ... ... ... ... ортада құлауы
Енді күрделі бір ... ... Дене ... ... ... оған ... ... ескерту ... ... ... ... ... ... ... ететін
F күші мұндағы m- ... ... ... түсу ... ... координатасы (Oh осі вертикаль төмен бағытталған), k ... ... ... ... теңдеу шығады.
яғни
мұнда деп белгілеп қозғалыс жылдамдығына ... ... ... қарастыру қолайлы:
мұндағы ... ... ... таныс түрге келтіру үшін белгісіз
функция енгіземіз ... және (9) ... мына ...
Ал бұл теңдеудің шешімдері белгілі: . Олай ... ... R ... кемиді, сонымен бірге t ... ... ... кез келген с үшін оның ... ... ... ... ... ... ... тұрақты шамасына жуықтап, бұл
болса, пропорционалдық коэффициент k мен ... m – ге ... ... секіру кезінде (парашют ашылмай қалған) ол жылдамдық ... ... тең, ал ... жерге түскендегі жылдамдығы (k шамасы
едәуір үлкен болғанда) шамамен 4-5 м/сағ.
Осы ... ... ... барасында дифференциадық
теңдеудің қаншалықты қуатты құрал болып ... оңай ... ... да бір ... ... ... заңдар көбінесе
дифференциалдық теңдеулер ... ... ал ... ... қалайша өрістейтінін ... ... ол ... ... тура ... функциясы қандай теңдеуді қанағаттандыратын дәлелде.
2. функциясы теңдеуін ... ... ... ... ... ... Гармоникалық тербелістің дифференциалдық теңдеуін жаз
2.2 Айнымалылары ... ... ... ... ... ... ... теңдеулерді айтамыз. Бұл теңдеуді шешу үшін ... ... алу ... соң осы ... ... қажет:
1. теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Айнымалыларды ажыратып мынаны ... ... екі ... де ... да бір ... С кез ... ... мәнді қабылдай
алатындықтан, кейінгі түрлендірулерге ыңғайлы болу үшін С ... бір деп ... ... ... потенциалдап келесіге
ие боламыз.
Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі.
2. болғанда ... ... ... ... ... шешімін табу керек.
Шешуі: Айнымалыларды ажыратып, мынаны аламыз.
Алынған теңдеудің екі ... ... ... берілген теңдеудің жалпы шешімі С тұрақтысының мәнін табу
үшін және S = 4 ... ... ... ... қоямыз:
немесе бұдан С =8.
Ендеше, аталған ... ... ... ... ... келесі түрге ие:
Жаттығулар
в)
2) б)
3) б)
4) б)
в) ... ... ... ... ... ... ... | x = - 2 ... y = 4; |
| |х = 2 ... y = 6; |
6) t = 2 ... s = 4
7) x = 0 ... y = 2
8) x = 0 ... y = 4
9) x = -2 ... y = 3
10) x = 1 болғанда y = 1
11) x = 0 ... y = ... ... ... ... теңдеулерді құруға арналған есептер
Есеп 1 Егер дене М(0,4) нүктесінен бастап ... ... онда осы ... Ох осі бойындағы қозғалу заңын
табыңыз.
Шешуі: Түзу ... ... ... ... ... ... ... табылады. Жолды х арқылы белгілеп, екенін ... ... ... ... ... ... пайдаланып С-
тұрақтысын табамыз. болғанда болғандықтан, бұл ... ... ... C = 4 ... ... ... дененің қозғалу
заңы мына түрге ие .
Есеп 2 ... ... ... және ... коэффициенті
болатын жанамасы бар қисықтың теңдеуін құрыңыз.
Шешуі: Шартқа ... ... ... ... ... ... интегралдап, алатынымыз және болғанда
болатын бастапқы ... ... ... табамыз.
Ендеше, ізделінді теңдеу келесі түрге ие
Есеп 3 Ашық ... ... ... ... 700
болатын, 10 минуттан кейін судың ... 650 ... ... ... ... 150. ... керек:
бастапқы моменттен 30 минут ... ... ... ... ... ... 200 – қа ... уақыт моментін.
Шешуі: t уақыт ... ... Т деп ... ... ... t мен Т-ні ... функцияның,
яғни туынды өзгеру жылдамдығы болып табылады.
шамасы резервуардағы ... және оны ... ... ... яғни мұндағы – пропорционалдық
коэффициенті. ... . ... ... ... ... ... ... қатынас судың салқындау заңын өрнектейді.
болғанда ... ... ... пайдаланып, С1-ді
табайық. Алатынымыз
немесе яғни ... ... ... (1) ... ... ... аламыз.
(2)
шамасын табайық. Шарт бойынша, t=10 мин болғанда T = 650.
Бұл мәндерді (2) қатынасына ... ... ... = 550 ek*10 + 150, ... , ... ... ... логарифмдеп, келесіге ие боламыз.
бұдан
– ның ... (2) ... ... t мен Т ... салқындау заңын аламыз:
(3)
Бастапқы моменттен 30 минут өткеннен кейін судың ... Бұл үшін ... (3) ... ... ... ... ... қанша уақыттан кейін резевуардағ судың температурасы 200 –
қа тең ... ... (3) ... ... ... мынаны
аламыз.
, немесе
бұдан
немесе
яғни
Есеп 4 ... ... диск ... әсерінен өзінің бұрыштық
жылдамдығын баяулатады және үйкеліс күші ... ... Табу ... егер болғанда ол 12 рад/с жылдамдығымен, ал болғанда ... 8 ... ... моментіндегі дискінің айналу
жылдамдығын;
2) дискінің айналу жылдамдығы 1 ... – қа тең ... ... ... ... дискінің айналуының бұрыштық
жылдамдығы болсын, онда ... ... ... ... ... ... Шартқа сәйкес, , мұндағы - ... ... ... ... ... ... ... рад/с бастапқы шартын пайдаланып, С1
тұрақты шамасын ... Бұл ... (1) ... қойып, келесіге ие
боламыз яғни Осылайша,
(2)
Келесі ... ... k -ның ... ... ... ... Бұл мәндерді (2) теңдігіне қойып:
бұдан
k – ның мәнін (2) теңдігіне қойып, келесіні аламыз:
(3)
уақыт моментіндегі ... ... ... ... ... (3) ... мәнін қоямыз:
(рад/с).
Қандай уақыт моментінде диск 1 рад/с жылдамдығымен айналатынын
анықтайық. ... (***) ... ... одан
2.4 Дифференциалдық теңдеулер арқылы ... ... ... ... келе жатқан салаларының бірі – ... ... ... ... ... білімділік пен машықтықты
бойға ... ... ... ... ... анықтау
және ғылым   мен   техниканың   дамуына сай ... ... ... ... мен тенденцияларын анықтау қажет
болады.
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту мазмұны мектептерде математиканы
оқытуда ... ... ... ... ... ... ... теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық
ойлауды, шығамашылық қабілетті жетілдіруді керек етеді және ... ... ... бірі ... ... ... ... жандандыру саналады. Сонымен қатар
игерілетін материалдың математикалық қабілетін қарқынды дамытатын, ... ... ... ... да ... ... теңдеулердің табиғи және ... ... ... мүмкіндіктері оның сырттай қарағанда
салқын,қызықсыз ғылым ... ... ... ... ... ... арттылып, қызығуға, ізденіске, біліммен
сусындауға жетелейді. Сондықтан оқушыларды ... ... ... ... өз ... жинақтауға құштар ету оқыту ... ... ... соғады.
Дифференциалдық теңдеулерге келтіретін есептерді шығару үшін
оның теориясы мен ... ... ... ... ... ... ... көзқарасты қалыптастыруда дифференциалдық теңдеулер
теориясының маңызы зор. Себебі оның ... ... ... ... биологтар, экономистер жэне басқа да ғылым
саласының мамандары жиі қолданылады. Сондықтан дифференциялдық теңдеулер
пәні ... ... ... қолданбалы математика саласына да
жатады жэне ол жаратылыстану ғылымы мен ... ... Сол ... мектептегі дарынды оқушылардың білімінің деңгейін
кеңейту мақсатында дифференциалдық теңдеулерді математикадан ... ... ... ... ... ... ... зерттеудің көптеген мәселелері
дифференцалдық теңдеу қүрып, оның шешімдерін ... ... ... ... кезінде, инженер - техникалық, химия
-биологиялық, ақпараттық  есептеу, физика және де ... ... ... орнығатын біліктілік пен әрекет ... жаңа ... ... Ол ... ... алға қойған мақсатты анықтап, оны жүзеге асыру үшін жоспар
қүру, жоспарды орындау үшін ... ... шешу ... кезендерге бөліп
жүргізу, алған нәтижені зерттеп — сұрыптау, есептің жауабын тауып ... ... ... ... сай өз ... ... қисынға, заңдылыққа бағынады. Ол ... ... ... ... ... курсы оқушылардың белгілі бір
математикалық мәдениетін  қалыптастырады және ... ... ... ... және қолданбалы бағыттарын түсінуінің маңызы зор.
Дифференциалдық теңдеудің көмегімен жаратылыстану ғылымдарындағы ең
негізгі проблеманың бірі - ... ... ... ... ... ... сырының қалай ашылғаның, оның өмірде қалай пайдаланатынын
көрсетуге болады.
Соның бір мысалы дифференциалдық теңдеуді популяция (мекендес өсіп -
өну) ... ... ... ... көрсету жатады. Популяция
саны қоршаған ортаны қорғаудың, яғни биоэкологияның ең ... ... ... математикалық моделін қүру биологиялық
түрдің сан жағынан өсуінің ... ... есеп ... математикалық моделдер көптеген физикалық,
химиялық, биологиялық т.б. ... ... ... теңдеулер курсын білген ... ... ... ... және де ... алдыңғы ең бір
маңызды қадамды, өз ... ... ... ... ... ... байланысы өте зор.
Дифференциалдық теңдеулердің басқа пәндермен байланысы ... ... ... ... ... әрқайсысының ішкі мазмұның,
мәнін ашып, оларды ... ... ... ... ... сол арқылы оқушылардың дүниетанымдық көзқарасын кеңейтіп,
білімін терендетуге ықпалын тигізеді. Демек, ... ... тек ... ... ... деңгейін көтеретін
ұтымды дидактикалық құрал, шарт қана емес, оқыту барысында оқушыларды
тәрбиелеу жұмысы тәсілдерінің де жалпы педагогикалық кешендік ... ... ... ... оның ... мен ... және
аргументтерін байланыстыратын теңдеуді дифференциалдық ... ... Тек қана бір ... ... ... тәуелді дифференциалдық
теңдеуді қарапайым ( дербес ... ... ... ... ... шешілетін теңдеу:
4) Бірінші ретті теңдеудің дифференциалдық пішіні мына түрде ... ... пен -тің ... ... тек ... ... мен тек -ке тәуелді функциялардың көбейтінділері
болатын дифференциалдық теңдеу ... ... ... деп ... Егер және - ... ... біртекті функциялар
болса, онда теңдеуі біртекті дифференциалдық теңдеу деп ... ... ... егер , яғни, .
7) Біртекті дифференциалдық теңдеу ... ... ... ... дифференциалдық теңдеуге
келтіріледі: ... .
8) Егер ... ... ... функция мен оның туындысы
бойынша сызықты болса, ондай теңдеуді сызықты ... ... ... ... ... ... дифференциал теңдеуді мына түрде жазылады:
- біртектес емес.
10) – біртектес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп ... ... ... ... толық дифференциалды
теңдеу деп аталады, егер толық дифференциалы қандай да бір ... сол ... ... тең ... ... табылса.
Сонымен,
.
үзіліссіз және дифференциалданатын функция және пен ... да бір ... ... болсын. теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... және
жеткілікті. Және жалпы интеграл мына түрде жазылады:
, не ... ... ... ... атап көрсетілген:
- математиканы оқытудың қолданбалы бағытының мәнін ... ... ... ... ... ... пәнаралық байланысты орнату біліктілігі.
Дифференциалдық теңдеулерді мектепте ... ... ... алты ... тұжырымдары анықталған. Олар:
- ғылыми дүниетанымды тәрбиелеу;
- математикалық білім, біліктілік және икемділікті, ... ... ... ... ... дәрежелі математикалық ойды қалыптастыру;
- нақты ... ... ... құру, математикалық
модельдерді зерттеу үшін ... ... ... ... бір
математикалық іс-әрекет тәжірибесін қамтамасыз ету;
- ... ... ... ... қабілетті
дамыту;
Дифференциалдық теңдеулер туралы мағлұмат беру және ... ... ... ... ... барысында алға қойылған міндеттер орындалады,
дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың ... ... ... ... мен ... ... ... көптеген
мысалдар келтірілді.
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
1  Алгебра және анализ бастамалары есептерінің ... ... ... - ... Мектеп, 1986.
2  Богомолов Н.В. Практические ... по ... ... для ... – М.: ... шк., ...  Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения
математике. – М.: Педагогика, 1987.
4  Гнеденко Б.В. ... ... ... в ... ... – М.: ... 1982.
5  Доро П.Я. Наглядные ... и ... их ... в ... М.: ... 1960.
6  Жәутіков О.А. Дифференциалдық ... ... ... - Алматы: Ғылым, 1986.
7  Колягин Ю.М. Луканкин Г.Л. Основные понятия ... ... М.: ... ...  Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. және ... және ... ... орта мектептің 10-11 ... ... ... Алматы: «Рауан», 1998.
9  Кудрявцев Л.Д. Современная ... и ее ... ... 1985.
10  Пойа Д. Математическое открытие. М.: 1976 г.
11 Фрайденталь Г. Математика как педагогическая ... ... 1983. – Ч. 1 – 2.

Пән: Педагогика
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 21 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Дифференциалдық теңдеулер37 бет
Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқыту28 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»47 бет
Дифференциалдық теңдеулер курсында тірек конспектілерін қолдану, және де дифференциалдық теңдеулерді шешу жолдары36 бет
Дифференциалдық теңдеулер көмегімен физика есептерін шешу және оны компьютерлік модельдеуде пайдалану25 бет
Дифференциалдық теңдеулерді шешу алгоритмін құру және сол теңдеулерді Matlab жүйесінде көрсету15 бет
Дифференциалдық теңдеулерді шешудің Ранге-Кутта әдісі7 бет
Жеке туындылардағы дифференциал теңдеулерді шешу5 бет
Интегро-дифференциалдық теңдеулерді шешудің кейбір әдістері22 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь