Математикалық ұғымдарды қалыптастыру

Кіріспе
I.тарау. Оқушылардың математикалық ұғымдарды меңгеруінің әдістемесі
1. Математекалық ұғымдарды меңгеруінің дидактикалық шарттары.
2. Математикалық үгымдарды меңгерудің оқушылардың ойлау қабілетгерін арттырудағы рөлі.
2. Математикалық үгымдарды меңгерудің оқушылардың ойлау қабілетгерін арттырудағы рөлі.
1. Есептер жүйесі оқушылардың математикалық .ұғымдарды меңгеруінің басты құралы
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиет тізімі

Қазіргі ғылым мен техниканың, өндіріс технологиясының қарқымды дамуы, экономиканы көтерудің күрделі мәселелерін шешу кезеңінде мектептегі оқыту оқушыларды белгілі бір білім қорымен қаруландырумен шектелмеуі тиіс. Олар алған білімдерін өз беттерімен әрі қарай кеңейтіп тереңдетіп әртүрлі және жаңажағдайларға қолдана алатындай жоғарғы деңгейдегі олау қызыметін дамытуға қол жеткізу керек. Ал шындық дүниесінің заттары мен құбылыстарының арасындағы байланыстар мен қатыстарды танып білу және жэалпылау олаудың жал пыфункцыяларының бірі болып саналады.
Анализ, синтез, абстракцыялау нақтылау және т.б. ғылыми оқыту әдістері мен жәрдемімен жүргізілетін ойлау қызметінің нәтижесінде матириалды дүниенің объектілерінің жалпы және жеке елеулі қасиеттері танылады, адам жалпыланған білімді қабылдайды.
Ой-өріс дамуы заттар мен құбылыстар арасында нақты бар болатын байланыстар мен қатыстардыбейнелейтін түсініктер мен ұғымдарды тереңдететін және кеңейтетін, осы түсініктер мен ұғымдарды жүйеге келтіретін үздіксіз үрдіс болып табылады. Оқытудың сапасын көтеру,оның заман талабына сай болуы білім жүйесінің маңызды құраушыларының бірі болатын ғылыми ұғымдарды оқушылардың меңгеруін жетілдіруді талап етеді.Ұғым апаратын оқушылардың игеруін қамтамасыз ету-оқытудың басты міндеттерінің бірі. Оқушылардың ұғымдарлы ұғынуы бағдарламалық материалдарды тианақты игеруге, әртүрлі есептер шығаруға, теоремалар дәлелдеуге және қолдана білуге негіз болады.
Математикалық ұғымдарды оқушылардың меңгеруінеықпал жасайтын дидактикалық шарттар айқындалады.

1. Ә.Кенеш "Математикалық ұғымдарды оқыту негіздері" Алматы-1999ж.
2. Ахметов М.Ж. "Математиканы оқытуда 5-6 сынып оқушыларының ғылыми көзқаратарын қалыптастыру, II-бөлім " Алматы: РОЭБК,1991ж.
3. Әбілқасымова А.Е. "Студентердің танымдық іздемпаздығын қалыптастыру" Алматы:Білім-1998ж.
4. Бидосав Ә. " Орта мектепте математиканы оқыту методикасы "/ Жалпы методика/.-Алматы –1989 ж.
5. Кенешев А.С. " Математикалық ұғымдарды қалыптастыру " Жезқазған-1993ж.
6. Погарелов А.В. "Геометрия 6-10" Москва "Просвищения" 1987г
7. Кайдасов Ж.К. Кагазбаева А.К. "Методические рекомендации по решению некоторых школьных задач" Аркалык.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 38 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Ғылым және Білім министрлігі

Диплом жұмысы
Тақырыбы:
Математикалық ұғымдарды қалыптастыру.

Кіріспе
Қазіргі ғылым мен техниканың, өндіріс технологиясының қарқымды дамуы,
экономиканы көтерудің күрделі мәселелерін шешу кезеңінде мектептегі оқыту
оқушыларды белгілі бір білім қорымен қаруландырумен шектелмеуі тиіс. Олар
алған білімдерін өз беттерімен әрі қарай кеңейтіп тереңдетіп әртүрлі және
жаңажағдайларға қолдана алатындай жоғарғы деңгейдегі олау қызыметін
дамытуға қол жеткізу керек. Ал шындық дүниесінің заттары мен құбылыстарының
арасындағы байланыстар мен қатыстарды танып білу және жэалпылау олаудың
жал пыфункцыяларының бірі болып саналады.
Анализ, синтез, абстракцыялау нақтылау және т.б. ғылыми оқыту әдістері
мен жәрдемімен жүргізілетін ойлау қызметінің нәтижесінде матириалды
дүниенің объектілерінің жалпы және жеке елеулі қасиеттері танылады, адам
жалпыланған білімді қабылдайды.
Ой-өріс дамуы заттар мен құбылыстар арасында нақты бар болатын
байланыстар мен қатыстардыбейнелейтін түсініктер мен ұғымдарды
тереңдететін және кеңейтетін, осы түсініктер мен ұғымдарды жүйеге
келтіретін үздіксіз үрдіс болып табылады. Оқытудың сапасын көтеру,оның
заман талабына сай болуы білім жүйесінің маңызды құраушыларының бірі
болатын ғылыми ұғымдарды оқушылардың меңгеруін жетілдіруді талап етеді.Ұғым
апаратын оқушылардың игеруін қамтамасыз ету-оқытудың басты міндеттерінің
бірі. Оқушылардың ұғымдарлы ұғынуы бағдарламалық материалдарды тианақты
игеруге, әртүрлі есептер шығаруға, теоремалар дәлелдеуге және қолдана
білуге негіз болады.
Математикалық ұғымдарды оқушылардың меңгеруінеықпал жасайтын
дидактикалық шарттар айқындалады. Оқушылардың математикалық ұғымдарды
меңгеруін қамтамасыз ететін есептер жүйесі сараланды (жаңа ұғымды енгезуге
ықпал жасайтын, үғым анықтамасы игеруге, ұғымның елеулі белгілерін және
қасиеттерін меңгеруге, өз жүйесіндегі, басқа жүйедегі және пәнаралық
ұғымдармен байланыстарын ашатын есептер);VII-IX cынып геометриясындағы
ұғымдарды меңгеруге ықпал жасайтын есептер жүйесі ұсынылған.

I-тарау. Оқушылардың математикалық ұғымдарды меңгеруінің әдістемесі
1. Математекалық ұғымдарды меңгеруінің дидактикалық шарттары.
Математикалық ұғымдарды оқушылардың меңгеруіне, оны практикада, өмірде
қолдана білуі олар мақсатты түрде оқытылған да ғана мүмкін болатындығын
атап кетсек. Психологтар оқушыларға бір-бірінен алыстатылған ұғымдарды
емес, олардың жүйесі қалыптастырудың маңыздылығына баса назар аударған
дұрыс. Ұғымдар жүйесі білімнің белдеу қызығы, барлық деректер солардың
маңайына шоғырланады. "Жүйеде қамтылған ұғымдар ғана саналылық пен
еркінділікке ие болды" деп атап көрсеткен Л.С.Выготский13
Педагогиқалық және психалогиялық зертеулерге сүйене отырып, Төменгідей
тұжырымдар жасауға болады: оқушылар ұғым белгілерін бірден меңгермейді,
оның белгілері мен қасиеттерін толық көрсетеді Толық меңгеруіне бірте-
бірте жақындайды. Бір жағдайда оқушы ұғымның мәнін түсінеді, бірақ оны
практикада қолдана алмайды, яғни ұғымды тек еске сақтайды.Бір жағдайда
ұғымды қолдана біледі, бірақ оның анықтамасын толық бере алмайды.
Әдетте, оқушы ұғымды сипаттайтын барлық белгілерді білсе және қолдана
алса ұғымды қолдану деңгейі жоғары деп есептелінеді. А.А. Смирнов ұғым
мазмұнын өзіне тән белгілер арасындағы байланыстары және басқа ұғымдармен
байланыстыра арқылы ашып көрсету, ұғымның ұғымдар арасында алатын орны
арқылы қалыптастыру кажеттілігіне назар аударады. "Оқытуда ұғымдар
арасындағы ұғымдарды байланыстыруды көрсету, ұғымдар жүйесін меңгерту-аса
маңызды іс " 66
М.Ю. Кольягин және Г.Л. Луканкин пән мұғалімінің казіргі математика
курсының ұғымдарын оқытудың әр сатыдағы орны мен мәнән терең білуін және
оларды оқушылардың толық меңгеруін қамтамасыз ету міндеттеріне назар
аудара келе, оны түбегейлі шешу үшін төмендегідей әдістемелік принциптерді
ұсынады: жаңа ұғымды мүмкіндігінше бұрыннан белгілі ұғымдар жүйесіне
енгізу (ол жүйені кеңейте отырып я оны нақтылай отырып);
1) жаңа ұғымды мүмкіндігінше, оқушыларға бұрыннан таныс ұғымдарға сүйене
отырып енгізу;
2) жаңа ұғымды жеткілікті түрде көрсете алатындай, шындық дүниесімен
байланыстыратын нақты модельдерге сүйене отырып енгізу;
3) ұғымды енгізу кезінде ғана емес, қажетті бола қалған кездердің бәрінде
де ұғым анықтамасын дәлдеп, айқындап отыру;
4) жаңа ұғымды анықтау кезінде, математикалық объектіні қасиеттерін
көрсету кезінде, мүмкіндігінше түсіндірудің жүйелілігін және
қатаңдығын сақтау;тиімсіз математиқалық түсіндірулерге жол бермеу;
сипаттау мен мысалдарды дәлелдеуден ажырату білу және бұл
талаптароқушыға да, оқытушыға да бірдей болуы керек.
Оқушылардың ғылыми көзқарастарын қалыптастыруға жәрдемдесетін тиімді
әдістердің бірі"...оқушыларға белгілі білімдерді ғана игерту емес, оларға
ұғымдарды жүйе ішінде байланыстыра және дамыта отырып меңгерруіне
жәрдемдесу керек"деп атап көрсетеді И.Ф.Тесленко .Математиқалық ұғымдарды
жүйе ішінде меңгеруі,олардың логикалық байланыстарын ұғыну
оқушы білімнің орнықтылығы және толықтылығын ғана қамтамасыз етеп
қоймайды, сонымен қатар олардың деалектиқалық ойлауын да шыңдайды.
Егер оқушылар ұғым мазмұнын, көлемін толық игерсе, оның басқа
ұғымдармен қатыстарын және байланыстаырн жетік білсе, онымен қоса
қалыптасатын ұғым қамтылған бағдарламада қарастырылған есептерді
шығару біріктіру жоғары болса,онда ұғым ойдағыдай меңгеріледі деуге
болады.
Математикалық ұғымдардың табиғатын, қалыптастыру ерекшеліктерін,
оларды оқушыларға
игерту жөніндегі мұғалімдердің іс-тәжірбиелерін
талдау және арнаы жүргізілген зертеу жұмыстарының нәтижелеріне сүйене
отырып, ұғымдарды оқушылардың табысты меңгеруінің негізгі шартарын
баяндауға және жоғарғы көрсеткіштерге жетелейтін педагогикалық
әдістемелік мүмкіншіліктерді таразылауға болады.
Іс-тәжірибие көрсеткендей, матеметика пәні нашар және орта үлгіретін
оқушылардың білім дәрежелерінің төменгі деңгейде болуы оларды анализ,
синтез, абстракцыялау, нақтылау тағы с.с.
Олай операцыяларының дұрыс қалыптаспауынан болады. Осының айғағы ретінде
оқушылар оқыту материалындағы ең негізгіні айырып ала алмайды, ұғымдар
арасындағы байланыстарды таба алмайды, алға жылжу баяу жүреді,
қабылдаған білім тұрақсыз
болады, жаңа ұғымдар меңгерілуі көптеген қиындықтерға кездеседі. Ал мұның
барлығы оқушылардың оқуға, білуге деген қызығушылықтарын әлсіретіп,
енжарлыққа, селқостыққа жетелейді, өз күшіне сенбеушілікке, ылғи да
сырттан көмек іздеу мұқтаждығына әкеп соқтырады.Сондықтан математикалық
ұғымдардың көңілдегідей меңгерілуі үшін әрбір мұғалім оқушыларды ойлау
операцыяларымен қарулануын қамтамасыз ету керек. "Ұғымдарды,
жалпылауларды, білімді игеру оқушыларға сәйкес ойлау операцыяларын
қалыптастыруды талап етеді", -деп жазды А.Н .Леонтьев37.
Бұл жұмысты мұғалім мақсатты түрде жүргізуі үшін жалпы және крекше
ойлау қызметтерінің мазмұнын және құрылымын, орындау әдістерін терең білуі
қерет.
Оқушы санасында ұғымдарды қалыптастыру дегеніміз біріншіден, нақты
заттан ұғымнан қажетті және жеткілікті белгілнрін көрсетуге болатын
ерекше операцыяларын меңгеру. Екіншіден, ұғымды басқа ұғым қол астына
енгізуге болатын, объектінің берілген заттар класына тиістілігінен салдар
шығарып алуға болатын және т.с.с. жалпы логикалық операциялар жүйесін
меңгеру. Операциялық жағы ұғымның психологиялық механизмін құрайды, онсыз
ұғымды меңгеру мүмкін емес, оны әр түрлі есептер шығаруға қолдануға
болмайды. Осы операциялар жүйесі арқылы ғана оқушылардың ұғымы меңгеру
үдірсін басқаруға болады.
Анализдің жәрдемімен оқушы заттардың жекелеген қасиеттерін (белгілерін)
айыра алады, ал синтездің көмегімен жалпы қасиеттеріне қарап заттарды
біріктіреді. Бұл жерде теңеудің екі түрі де – заттардың белгілерін
салыстыру және қарама-қарсы қойып салыстыру қолданылады. Содан соң
объектілердің ерекше қасиеттері абстракцияланады және терминдер арқылы
бекітіледі. Бұл үрдіс айырып алынған қасиеттерге ие болатын кез келген
заттарды қолдануға болатын жалпылаумен – ұғымды енгізумен аяқталады.
Е.Н.Кабанова-Меллер 24 негізін қалаған қарама-қарсы қойып салыстыру
абстракциясы деп аталатын абстракциялау жолы өте тиімді деуге болады. Оның
мәні: 1) енгізілген ұғым анықтамасында көрсетілген елеулі белгілерді және
оның елеусіз белгілерін еске түсіру; 2) берілген материалды объектінің
елеулі және елеусіз белгілерін табу және оларды қарама-қарсы қою, елеулі
белгілеріне қарай енгізілген ұғымға сәйкес келетін объектілерді ажырату
және оларды елеусіз белгілерін анықтау.
Бақылау және салыстыру сияқты ойлау операцыяларының түрлері шындық
дүниесін танудың эмпериклық әдістері болып табылады. Оқушылар ұғымды
құрау кезеңінде бақылау мен салыстыру негізгі әдістері болып саналады,ал
оарды колдану арқылы бір нәтижеге жету үшін, оқушылардың абстракцыялау мен
нақтылау, жалпылау мен тарату біліктіліктері жоғары болып, олао қосарласа
жүру керек .
Абстракциялау депзертеліп отырған заттың немесе құбылыстың
мардымсыз сипаттары мен байланыстарын ой касиеттері мен қатынастары
айқындайтын таным үрдісінің бір кезеңін айтады. Тек абстракциялаудың
арқасында "сан", "шама, "геометриялық фигура " секілді математиқаның
негізгі ұғымдары дерексіздендіріліп(абстракциялап),
сан ұғымынан жоғары тұрған-алгебралық өрнектер ұғымына келеміз.Өрнектің
нақты түрін немесе функцияны беретін ережені дерексіздендіріп, бір саты
жоғары көтеріліп, функция ұғымына тірелеміз. Жалпы математикаға көпсатылы
абстракция тән, сондықтан оқушылардың бұл ойлау операциясын орындауына
мұғалім көп көңіл бөлуі керек.
Нақтылау деп әдетті, неғұрлым жалпыдан жекеге көшуді айтады. Мысалы,
шеңбер-абстракциялы геометриялық фигура ұғымының нақтылануы, ал
геометриялық фигура одан гөрі абстракциялы-жиын ұғымының нақтылынуы;
туынды ұғымы механикада түзу сызықты қозғалыстың жылдамдығы, электлендіру
теориясында-тоқ күші ретінде нақтыланады. Нақтылаудың геометриялық
ұғымдарды түсіндіруде де маңызы зор. Мысалы, тік бұрышты параллелепипедті-
үйдің бөлмесі, сіріңке қорабы; координаты ұғымы-қабырғада орналасқан
ажыратқыштың тұрған орнын анықтау тағы с.с. Математикалық ұғымдарды
нақтылау арқылы жақындастыратын бірде-бір мүмкішілікті оқушылардың бос
жібермеуі керек екендігін әр ұстаз жадында сақтау керек.Д.Пойа51
айтқандай, "математика абстрактілі ғылым болғанымен, ол нақтылықпен
жеткізілуі тиіс".
Ұғымдарды абстракциялау операцисына жақын операция-жалпылау
операциясы. Бұл операция негізінде біз берілген ұғымнан жалпырақ болатын
басқа ұғымға ауысуымыз. Мысалы, квадрат ұғымынан ромб ұғымынан немесе
тік төртбұрыш ұғымын;келесі сатысында ромб, я тіктөртбұрыш ұғымын
жалпылайтын параллелограм ұғымына;әрі қарай жалпылау төртбұрыш,
көпбұрыш, геометриялық фигура, жиын ұғымдарын туғызады. Жалпылаудың әрбір
сатысында әуелгі ұғымның қандайда бір қасиетін абстракциялау
жүргізіледі. Мысалы, алғашында қабырғаларының теңдігінен айну, сонан соң
бұрыштарының теңдігінен, онан кейін қабырғаларының параллелдігін, әрі
қарай қабырғалар санын шектеу, ең аяғында шекарасының кесінділерден
тұратындығын көрсету.
Кейде математикада жалпылауды басқа мағыналық жағынан-әртүрлі
үшашыраңқы тұжырымдарды біріктіріп,жалпы нәтижеге қол жеткізетін операция
ретінде қарастырады.
Мысалы,(а+b)(а-b) = а2-b2 ,
(а-b)(а2+аb+b2)=а3-b3 тағы с.с. жалпылау арқылы (а-b)(аn-1+аn-
2b+...+b) =an-bn
Кей жағдайларда, жалпылау ортақ ұйғарымға әкелгенмен, жалпылауға
жататын жеке пайымдауларды алынуын жеңілдетпейді. Мысалы "Үшбұрыш
медианалары оның биіктіктері және бесиктрисалары сияқты бір нүктеде
қиылсады "деген теорема Чева телремасының жеке жғдайлары. Ал ол теореманың
шартының биіктік және бесиктриса үшін орындалуын тексеру қиындық туғызады.
Дегенмен медианалар және басқа кесінділер үшін сәйкес теоремаларды
дәлелдеуге жалпы ұйғарым өте пайдалы.
Объектіні қасиеттерін абстракциялау арқылы біз белгілі бір ұғымға
келеміз. Ойлау қызметтерінің шешуші кезеңі-қалыптасқан ұғымды зерттеу
болып табылады:оның қажетті және жеткілікті белгілерін іздестіру, басқа
ұғымдармен байланыстарын анықтау классификация және т.б.
Ұғымның қажетті белгілерін табу, шындығында сол ұғым көлеміне қатысты
объектілердің қасиеттерін бейнейлейтін теоремаларды қорытып шығару болып
табылады. Мысалы, параллелограм ұғымы енгізілген соң, оның қасиеттері
анықтала бастайды: қарама-қарсы жатқан бұрыштарының теңдігі,
диоганальдарының қиылысу нүктесінде қаққа бөлінуі, бір диогоналының оны
өзара тең екі үшбұрышқа бөлуі тағы с.с. Бұл қасиеттерін әрқайсының
орындалуы төртбұрыштың параллелограмм болуының қажетті шарты болып
табылады.Екінші жағынан, олар орындалғанда берілген төртбұрыш
параллелограмм болатындай шарттар бар (қарама-қарсы қабырғаларының
ұзындықтарының теңдігі, қарама-қарсы жатқан бұрыштар шамаларының теңдігі
тағы с.с.) Сонда бұл шарттардың ең болмағанда біреуі орындалуы жеткілікті
болады, олар ұғұм үшін жеткілікті шарттар деп аталады.
Кейбір қасиеттер берілген ұғым үшін әрі қажетті, әрі жеткілікті болады.
Ондай қасиеттерді анықтау ұғымды келесі пайымдауларға қолдануды
жеңілдетеді. Берілген ұғымның жеткілікті қасиеттеріне сәйкес қажетті
қасиеттерін білу пайымдаулар жүргізуге үлкен жәрдемін жасайды.Мысалы,
берілген төртбұрыш параллелограмм екендігінің көз жеткізу үшін бір
жағдайда оның қарама-қарсы жатқан бұрыштарының тең екендігін, келесі де
диоганальдар қиылысу нүктесінде қақ бөлінетіндігін, үшіншіде
қарама-қарсы жатқан қабырғалары өзара параллель және тең екендігін таға
с.с. білу тиімді болады.
Ұғымдарды оқып үйренуде таратудың (специализацияның) алатын орны
ерекше. Мысалы, оның жәрдемімен тізбектерұғымынан "арифметикалық
прогрессия", "геометриялық прогрессия", "өспелі прогрессия", "кемімелі
тізбек " "жинақты тізбек", "шектелген тізбек", "периодты тізбек",тағы с.с.
ұғымдарды айырып аламыз. Тарату берілген ұғымға талаптар қою арқылы
жүргізіледі. Ұғымдарды оқушылар меңгеру кезінде берілген ұғымның әртүрлі
таратуларының арасындағы қатыстарды түсіп белгендері өте пайдалы.
Берілген ұғым көлемін таңдап алынған белгі бойынша өзара қиылспайтын
топтарға бөлу классификациялау делінеді.Классификациялау кезінде пайда
болған ұғымдардың бірігуі бастапқы ұғымды береді. Олай болса, ұғымды
классификациялау оны оқып-үйренуді жеңілдетеді, себебі оның жекелеген
шоғырларын игерту, зерттеу арқылы алғашқы ұғым туралы терең мағұлмат
жинауға мүмкіншілік туады . Классификацияға мысалдар: а) геометрияда
үшбұрыш ұғымын қабырғасы бойынша тең бүйірлі және әр қабырғалары
үшбұрыштарға бөлу; бұрыштары бойынша сүйір бұрышты, тік бұрышты, доғал
бұрышты, үшбұрыштарға бөлу. ә) алгебрада нақты сандар ұғымын рационал
және иррацианал сандар ұғымына бөлу; онан соң рационал сандарды
бөлшек және бүтін; иррационал сандардыалгебралық және трансценденттік
тағы с.с. бөлу.Кейде ұғымды классификациялауды, ұғымның көлемін құрайтын
құраушыларға бөлу арқылы жүргізуге болады. Ол қараушыларды ілеспелі
немесе туынды ұғымдар деп атаймыз. Бұлай бөлуді ұғымның өзінің көлемі
арқылы бөлумен шатыстырмау керек. Мысалы, "үшбұрыш " ұғымына " үшбұрыштың
ішкі бұрышы ", "ұшбұрыштың сыртқы бұрышы ","үшбұрыш пириметірі" үшбұрыш
қабырғалары", " медиана ", " бисиктриса" "биіктік" " үшбұрыш
ауданы"т.с.с. ұғымдар туынды ұғымдар болып саналады. Бұл ұғымдардың
арасындардың арасындағы әртүрлі байланыстары осы ұғымға қатысты теорияны
құрайды. Мысалы, тамаша нүктелер туралы теоремалар, үшбұрыш ауданын табудың
әртүрлі формулалары, бисектриса немесе медиана ұзындықтарын табудың
әртүрлі формулалары тағы с.с. Онымен қоса бұл ұғымдарды
классификацыялау максатында да пайдалануға болады. Мысалы,"шеңберге іштей
сызылған үшбұрыштар " " үшбұрыш ауданы ", тағы с.с. Сонымен, ұғымдарды
игеру ұғым көлемін және оны кластарға бөлудің деалектикалық бірлігін оқып-
үйрену арқылы жүргізіледі. Бұл ұғымдар таксаномиясы деп аталады. Ал
ұғымға қатысты туынды ұғымдар қасиеттерін оқып-үйрену ұғым мереномиясы
делінеді. Ұғымдарды оқып-үйрену ұғымның қоластына алу сияқты ойлау
операциясына байланысты, яғни берілген объект немесе объектілер класының
ұғым көлеміне тиістілігінтексеру. Мысалы, кез келген тіктөртбұрыш
параллелограмм екендігін дәлелдеу үшін, бір түзуге перпендикуляр екі
түзудің өзара параллель болатындығы туралы теоремаға сүйену жеткілікті. Бұл
операцияны тану әрекеті, және оған кері амал –салдар іздеу деп аталады.
Себебі, объектінің ұғымға тиітілігі туралы директен осы объект ие болатын
қасиеттер жүйесін шығарып алуға болады.
Ұғымдардың қасиеттерін зерттеуде және ұғымдар арасындағы байланыстарды
анықтауды аналогия жиі қолданылады. Аналогия арқылы пайымдаудың бір
көрсетейік: Х ұғымына a,b, c, d қасиеттері орынды, ал У ұғымғаүшін a,b,c
қасиеттері орындалады. Мүмкін У ұғымға да dқасиетін иемденетін болар?
Мысалы: 1. Параллелограмның диоганалдарының ұзындықтарының квадраттарының
қосындысы барлық қабырғаларының квадраттарының қосындысына тең
болады;Кейбір мектеп оқулықтарында аналогия қолданылған есептер
қамтылған. Мысалы:1.Тіктөртбұрыштың бір қабырғасының ұзындығы 6 см. Тік
төртбұрыштың периметрі қабырғасы 4 см болатын квадраттың пиреметрінен
кіші болуы үшін оның екінші қабырғасының ұзындығы қандай болуы керек?
1а. Тік бұрышты параллелепипедтің табанының ұзындығы 12 дм,ені 5дм.
Параллелепипедтің көлемі қыры 9 дм болатын кубтың көлемінен кем болуы үшін
оның биіктігі қандай болуы керек?
Оқушылардың ойлау қаблеттерін арттыруды матиматиқалық модельдеудің
дағдыларына үйретудің ролі ерекше зор. Л.Д.Кудряцев 35: "Математика
курсында математикалық модель оқытылады"-деп есептейді. Шынында, иектеп
математика-сының кез келген ұғымы математикалық модель болып табылады. Біз
мектеп оқушыларына " математикалық модель деген не ?", "математикалық
модельдерге мысалдар келтіріңдер" деген сұрақтар қоя отырып, оқушылырдың
математикалық модель ұғымына толық түсінбейтіндіктеріне көз жеткіздік.
Оқушылардың басым көпшілігі кабинеттегі геометриялық денелердің модельдерін
көрсетіп, маңайындағы заттарды мысал ретінде келтірді.
Ғылым, өндіріс, экономика және коммерцыя әртүрлі үрдістер мен
құбылыстардың математикалық модельдерінқұра білетін мамандарды қажет
ететіндігін, ал оның түп атасы – математикалық ұғымдар болып келетін
математикалық модельдер мектеп математикасын оқытуда қаланатынын әр
мұғалім естен шығармау керек.
Сонымен математикалық ұғымдарды эмпирикалық деңгейден теориялық кезеңге
дейін жеткізу жолында, ойлау операцияларының көрсететін қызметі өте
кең ауқымды болады. Олау операциялары негізінде оқушылардың математикалық
ойлау артады, ал ол ұғымдарды белсенді қозғалысқа итермелейді.
Математикалық ойлау дұрыс дамымаса, ұғымдардың дамуы да тежеледі, ұғымның
қалыптасуы мен оны оқушылардың толық меңгеруінің арасы алшақтай
түседі.Екінші жағынан, ұғымдарды жүйелі түрде оқытып-үйрену, олардың
арасындағы сан алуан байланыстарға көз жүгіттүге оқушылардың ойлау
қызметтерінің, ұғымдық ойлауының шыңдалуына жол ашады.
Мектеп оқушыларының математиқалық ұғымдарды меңгеруінің басты
шартарының бірі-мұғалімнің әрбір ұғым мазмұнын және оның сол пәндегі
алатын орны терең білуі қажет. Бұлшарт орындалмаса ұғымның қалыптасуы және
оны оқушылардың меңгеруі туралы сөз қозғауы да дұрыс болмаған болар еді.
Пән мұғалімі ұғымды алғаш енгізгенен бастап, оның оқушы мектеп біргенге
дейінгі аралықта жүру жолының әрбір бөліктеріне, енліп тірелетін ең жоғарғы
нүктесіне қойылатын талаптардыжетік білуі тиіс.Бұл талаптар орындалғанда
ғана, оқытушы ұғым дамуының болашағына көз жеткізе алады және мәреге жету
саналы да, мақсатты түрде жүзеге асырады. Көп жағдайда мұғалімдер
ұғымдарды оқытуды оқулық желісімен өткізеді,тек сонымен ғана шектеледі.
Оның ғылымда алатын орнына және бағдарлама талабына сай жүргізілмейді, кей
уақытта ұғымның даму заңдылықтары бағдарламаның өзінде де ескеріле
бермейді. Мысалы, "биссектриса" ұғымын оқытуда оқулықта қарастырылған
бұрышты және үшбұрыштың биссектрисасын анықтамасы, тең бүйірлі үшбұрыштың
төбесіне жүргізілген биссектрисасының қасиеті, бұрыштың биссектрисасын
салу, үшбұрыш биссектрисасының қарсы жатқан қабырғаны былайға екі
қабырғаға пропорцианал кесінділерге бөлетіндігі, үшбұрышқа іштей сызылған
шеңбердің центірі оның биссектрисаларының қтылсу нүктесі болатындығы
жөнінде деректер ғана үйретіледі. Ал биссектриса туралы оқушыларға беруге
болатын басқа да толып жатқан қатыстар мен байланыстар қарастырылмайды. Ең
болмағанда кейбір төмендегідей :1)"тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышынан
жүргізілген биссектриса сол төбеден түсірілген биіктікпен медиана
арасындағы бұрышты тең екіге бөледі";
2) "кез келген үшбұрыштың биссектрисасы сол төбеден жүргізілген медиана
және биіктікпен беттеседі немесе олардың арасында орналасады" тұжырымдары
дәлелденсе оқушылардың "үшбұрыш биссектрисасы" ұғымы жөннде ой-өрісі
кеңейген болар еді, биссектриса ұғымының үнемі даму үстінде болатындығына
көз жеткізер еді. Сол сияқты "шеңберге қатысты қандай бұрыштарды
білесіңдер?" деген сұраққа оқушылардың басым көпшілігі "центрлік бұрыш"
және "іштей сызылған бұрыш" ұғымдарын білетіндіктерін байқатты. Тек бірді-
екілі оқушы ғана "хордалардың арасындағы бұрышты" білетіндігін айтты, бірақ
"ол бұрыштың шамасы немен өлшенеді?" деген сұраққа жауап бере алмады. Бұл
оқулықтарында, "хордалар арасындағы бұрышы", !хорда мен жанама арасындағы
бұрыш", "жанама мен қиюшы арасындағы бұрыш", "екі қиюшының арасындағы
бұрыш" ұғымдары және олардың шамалары жөнінде мүлдем қарастырылмайды,
оқулықта жоқ болғаннан соң пән мұғалімдері де оған көңіл бөлмейді. Тек
жаңаға (ұмыт болған ескіге) жанашыр, ізденіс үстіндегі кейбір мұғалімдер
болмаса, көпшілігі ол материалдардың бағдарламада қамтылмағанын, оқулықта
қарастырылмағанын сылтау етіп, аса назар аудармайды.
Ұғымды оқушылардың тиянақты меңгеруі үшін әр мұғалім сол ұғым туралы
деректер жинап оның даму кезеңдерін саралап және қай уақытта, қандай
әдіспен оқытуы керектігіне мұқият дайындалуы қажет, дәлірек айтсақ, әрбір
ұғымға логикалық-әдістемелік талдау жасауы керек. Математикалық ұғымдарға
жасалатын логикалық-әдістемелік талдаудың негізгі мақсаттары төмендегідей
болуы керек:
1) ұғымның математика ғылымында пайда болуы және дамуы жолдарын саралау;
2) мектеп оқулықтарында және әдістемелік әдебиеттерде ұғымды баяндау
тәсілдерін талдау;
3) ұғымның мектеп математикачсындағы даму жолдарын білу;
4) ұғымдардың өзара байланыстарын айқындау;
5) негізгі ұғымдар, амал-ұғымдар, қатынас-ұғымдар, заң-ұғымдар және шама-
ұғымдар арасындағы байланстарды терең ашуғ болатын мүмкіншіліктерді жан-
жақты білу;
6) қандай математикалық есептер ұғымдардың дамуцына зор ықпал жасайды және
оларды оқушылардың жас ерекшеліктерін, білім деңгейлерін еске ала
отырып, қай мезгілде, қандай мөлшерде және қалай ұсыну жолдарын
көрсету.
Орта мектеп математикасының оқу материалдары негізінен екі үлкен топқа
бөлінеді :
1)теориялық материалдар "(ұғымдар, аксиомалар, теоремалар,
алгоритімдер,дәлелдеулер);
2)математикалық есептер.
Теориялық білім дегеніміз –дамытылған ұғымдар, ұғымдар арасындағыорынды
болатын әр алуан байланыстар Олай боласа, оқыту материалдарына толық
талдау жасау: а)ұғым дамуынан талдаудан; ә) математикалық есептерді
талдаудан ; б) ұғымдар мен математикалық есептердің мүмкін болатын
байланыстарын талдаудан құралады. Сондықтан әрбір мұғалім оқу материалдарын
әдістемелік талдау жасағанда, әуелі әр ұғымның мектеп математикасында
оқыту максатын; ұғымды бағдарлама бойынша қатаң түрде баяндау деңгейін; ол
ұғымның алдағы уақыты қайда және қандай түрде қолданылуын; әртүрлі
мазмұнды математикалық есептердің ұғым дамуына тигізетін пайдалы әсер
коэффициентін анықтай білуі керек
Математикалық ұғымдарды оқушылардың табысты меңгеруінің бір жолы
ұғымдарды қалыптастыру және меңгеру кезеңдерінде олардың белсенді
таным қызметтерін ұйымдастыра білу. Ұғымдарды игеру үрдісінде оқушылардың
таным қызметін және зейінін арттыруға проблемалық ахуал туғызу үлкенықпал
жасайды.Мысалы, 8 сынып геометрия пәнінде кез келген үшбұрышқа сырттай
шеңбер сызуға болатындығын оқушыларға бірден баяндамай, олардың алдына
мынадай проблемалық ахуал қоюға болады:"Қазіргі қаржы қат заманында аралары
онша қашық емес үш фермер шаруашлықтарын елді мекендерінен бірдей
қашықтықта орналысқан қой қырқу базасын салу қажет болса, ол қай жерде
орналасуы керек?"Қойылған ахуалдың мұғалімнің қосымша сұрақтар қоюы арқылы
шеше отырып, оқушылар төбелер фермерлер ауылы болатын үшбұрышқа сырттай
шеңбер сызуға болатындығына және оның центірі қой қырқатын баз
орналасатына көз жеткізеді. Немесе, 9 сынып геометриясында Герон формуласын
дәлелдегеннен соң, " үшбұрыш ауданын оның берілген үш медианасы арқылы
табуға болама?" деген проблемалық ахуалды оқушылар мұғалім жәрдемімен
қызығы да, қуана дәлелдеді. Бұл екі есептен соң 1) 4,5,6 ауылдар арасынан
бірдей қашықтарды табуға бола ма? 2) үшбұрыш ауданың оның үш биіктігі
арқылы қалай табуға болады? және т.б. сұрақтар оқушылардың ұғымдар
арасындағы байланыстарды іздеуге деген құштарлықтан арттырады.
Теориялық ойлаудың басты мақсаты ұғымдардың ішкі байланыстарын жан-
жақты айқындау, оның мәнін ашу. Эмпирикалық ұғым сатысынан теориялық ұғым
дәрежесінен көтерімін, ғылыми ұғымдарын дамуынын жоғары сатысы –
абстракциялықтан нақтылыққа қозғалуды ұғымның жаңа қасиеттері және оның
басқа ұғымдармен байланыстыра терең айқындалады. Бұл ретті ұғымдарды
оқушыларға меңгертудің және бір шартты туындылады. Ол әрбір мұғалімнен
игертілетін ұғымның жан-жақты толусуының түйінді жақтарын білуді, әр
ұғымның сол жүйедегі ұғымдармен, пәнішіндегі пәнаралық ұғымдармен
байланыстыратын білуді талап етеді. В. А. Крутецкий математикалық ойлаудың
негізгі мінездемелерінен тундалатын математикалық қабілеттің құраушыларын
атап көрсете келе, оның негізгісіне оқушылардың қатыстар мен байланыстар
құрылымдаырмен әрекет жасай білу қабілеттігін жатқызады. Мысалы, "үшбұрыш"
ұғымының мектеп геометрия курсындағыдаму жолына талдау жасайық. "Үшбұрыш
деп бір түзуде жатпайтын үш нүктеден және нүктелерді қосатын үш кесіндіден
тұратын фигураны айтады" деп анықтама берілгеннен кейін, оның алғашқы
туынды ұғымдары – қабырғалары, бұрыштары, төбелері ұғымдары беріледі."Егер
үшбұрыштардың сәйкес қабырғалары сәйкес бұрыштары тең болса, онда олар тең
үшбұрыштар деп аталады ",бұл " тең үшбұрыштар "ұғымның дүниеге келуі,
үшбұрыштар арасындағы алғашқы байланыс.Әрі қарай берілген үшбұрышқа тең
үшбұрыштың бар болуы аксиомасы, үшбұрыштар теңдігінің үш белгісі, тең
бүйірлі үшбұрыш, тең қабырғалы үшбұрыш, үшбұрыштың биіктігі, бисектрисасы,
медианасы, тең бүйірлі үшбұрыштың медианасының қасиеті, үшбұрыштың ішкі
бұрыштарының қосындысы, тікбұрышты үшбұрыш ұғымдары оқытылады және олардың
арасындағы әртүрлі басқа да байланыстарға есептер шығарылады. Міне,
бұлардың бәріне "үшбұрыш "ұғымының туынды ұғымдарының арасындағы, яғни өз
жүйесінің ұғымдар арасындағы қатыстары мен байланыстарын құрайды.
Байланыстар көші мұнымен тоқталмайды, оқытудың әр кезеңдерінде ұғым өз
жүйесін ішіндегі қатыстарымен толығы түснді. Мысалы. c2=a2+b2 (тік
бұрышты үшбұрыштың гипатинузасы мен катеттерінің арасындағы байланыс
),үшбұрыш-тыңорта сызығы ұғымы және оның табанымен медианаларының арасындаы
байланыс,үшбұрыш медианалар қиылысу нүктесінен төбесінен 2:1 қатынасында
бөлінетіндігі, үшбұрыш теңсіздігі, тік бұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен
бұрыштарның арасындағы қатыстар, үшбұрыштардың ұқсастығы таға с.с.
байланыстар " үшбұрыш"ұғымының өз жүйесінде даму жолдарын көрсетеді.
Колдана білу дидактикада оқушы біліктілігінің ерекше бірлігі ретінде
қарастырылады, психологияда ұғымды меңгеру көрсеткіштерінің бірі болып
табылады. Егер оқушылар ұғымды нақгы меңгерген болса, олар оны қолдана да
біледі және керісінше, ұғымды үтымды қолдана білгені, оны саналы
меңгергені.
Психологияда математикалық ұғымдардың маңыздылығы-ның келесі жақтары
көрсетіледі:
заттық - қоршаған заттар мен құбылыстардың математика-
лық үғымдарда тікелей бейнеленуі;
абстрактілік - ұгам ерекшеліктерін жөне оның басқа ұғым-
дарды окьт-үйренудегі рөлін түсіну;
3) практикалык, - математикалық үгымдарды жөне оньщ кдсиет-терін
практикада қоддана білу. Мысалы, көрсеткіштік функ-ция ұғымын бактерияның
көбеюін, радиоактивті ыдырауды көрсету үшін; тригонометриялық функциялар
ұгамын толқынды үрдістерді көрсету үшін; теңцеулер мен теңсіздіктер жүйесін
сызықгық программалаудың есептерін шығару үшін крлдану т.б.
Әрбір ұғым практикада мүмкіндігінше қолданылганда ғана, оны үгымды
пайдаланғанда гана ол шындық дүниесін зерггеп білудің куатты каруына
айналады. Ойлау практикасында үғымды қолдану "ұгымның қоластына алу",
"ұгымның күбылыстарға таралуы","ұғымның тіркелуі" т.с.с. сөз тіркестерімен
баяндалады.
Кандай да болмасын ұғымды дұрыс қолдану үшін кейбір шартгарды катаң
сақгау керек:
ұгымның мазмүнын, яғни оның елеулі белгілерін айқын біауі
керек. Мысалы, " Тең бүйірлі трапецияның үлкен табаны 2,7
м-ге, бүйір кабырғасы 1 м-ге тең, олардың арасындагы
бұрышы 60°. Кіші табанын табыңдар. Бүл есепті шығару үшін окушы тең бүйірлі
трапецияның мазмүнын табандарының параллелдігі, бүйір кабырғаларының
ұзындықгарының теңцігі, диагоналдарының тендігі" жақсы білуі керек.
И.П.Павлов "Мен ойдың не екенін білмей тұрып, ой туралы калай айтамын"-
деген болатын.
Ұғымды дұрыс қолданудың келесі шарты - ұгам қолданылатын объектінің
мазмүнын жан-жак.ты білу. Мысалы, 'Тең бүйірлі үшбүрыштың орта сызық 3-см-
ге тең. Үшбұрыш периметрі 16-см-ге тең деп алып, оның кабыргаларын тап."
Бұл есепте "үшбұрыш", "кабырга" ұгамдары "орта сызық", "периметр"
үгымдарына қодданылып отыр. Яғни, " үшбұрыштың орта сызыгы" және "үшбұрыш
периметрі" ұғымдарының мазмүнын еске түсіру кажет.
3) Ұғым мен ол қолданатын объекті мазмундарының арасындагы тура
сәйкестікті анықтау. Бұл сөйкестік бар болса, онда ұғым пайдаланылатын
объектісіне негіз бола алады. Көп жағдайда ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.