Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік

Кіріспе 3
1 Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік 4
1.1. Түйіндес кеңістік 4
1.2 Сызықтық нормаланған кеңістіктегі әлсіз жинактылық. 6
2 Сызықтық нормаланған кеңістікке түйіндес кеңістіктер 8
2.1 . Түйіндес кеңістіктер 8
2.2 Түйіндес кеңістіктің мысалдары 10
Қорытынды 15
Пайдаланған әдебиеттер 16

Анықтама 1. Егер әрбір нақты сан мәнді функциясы анықталса және ол мына шарттарды қанағаттандыратын болса:
1) және тек болғанда ғана
(норманың теріс еместік шарты);
2) кез келген саны үшін (норманың біртектілік шарты);
3) кез келген үшін ( үшбұрыш теңсіздігі), онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.
Жұмыстың мақсаты. Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) шаттары норманың аксиомалары деп аталады. Норма анықталған сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп аталады.
Анықтама 2. нормаланған сызықтық кеңістігінде анықталған сызықтық функционалдардың сызықтық кеңістігі кеңістігіне түйіндес кеңістік деп аталады. кеңістігіне түйіндес символымен таңбалаймыз. Анықтама бойынша, бұл кеңістіктің кез келген элементі (сызықтық функционал) үшін оның нормасы жоғарыда теңдігімен анықталады және ол норманың аксиомаларын қанағаттандыратыны айқындалды. Сондықтан - нормаланған сызықтық кеңістік.
Теорема. Түйіндес кеңістік әрқашан толық кеңістік.
Дәлелдеуі. тізбегі фундаменталь тізбек болсын: кез келген берілгенде барлық нөмірдері үшін (4) теңсіздігі орындалатындай саны табылатын болсын. Норманың анықтамасы бойынша (4) теңсіздігінің салдары ретінде (5) теңсіздігі кеңістігіндегі әрбір үшін орындалады және тұрақты, ал кез келген сан болғандықтан, (5) теңсіздігі сандар тізбегі үшін Коши критерийі орындалатынын
Жұмыстың міндеттері:
- Түйіндес кеңістіктің болатынын дәлелдеуді;
- Түйіндес кеңістігінің негізгі мысалдарын;

1. КОЛМЛГОРОВ А. Н. ФОМИН С. В. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. М. 1975, 1989
2. ЛЮСТЕРНИК Л. А., СОБОЛЕВ В. И. ЭЛЕМЕНТЫ ФУЕКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. М. 1982.
3. ЛЮСТЕРНИК Л. А., СОБОЛЕВ В. И. КРАТКИ КУРС ФУЕКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. М. 1982..
4. РИСС Ф. И., СЕКЕФАЛЬВИ-НАДЬ Б. ЛЕКЦИИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. М. 1979.
5. ДАНФОРД Н. И. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. М. 1962
6. ШИЛОВ Г. Е. МАТЕМАТИЧЕСКИИ АНАЛИЗ, СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС. М. 1960
7. ТРЕНОГИН В.А., ПИСАРЖЕВСКИИЙ В.С., СОБОЛЕВА Т.С. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. – М.: НАУКА 1984.
8. КИРИЛОВ А.А., ГВИШИАНИ А.Д. ТЕОРЕМЫ И ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. – М., 1979.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 16 бет
Таңдаулыға:

ТАКЫРЫБЫ Түйіндес кеңістік

МАЗМҰНЫ
Кіріспе 3
1 Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік 4
1.1. Түйіндес кеңістік 4
1.2 Сызықтық нормаланған кеңістіктегі әлсіз жинактылық. 6
2 Сызықтық нормаланған кеңістікке түйіндес кеңістіктер 8
2.1 . Түйіндес кеңістіктер 8
2.2 Түйіндес кеңістіктің мысалдары 10
Қорытынды 15
Пайдаланған әдебиеттер 16

Кіріспе
Анықтама 1. Егер әрбір нақты сан мәнді функциясы анықталса және ол мына шарттарды қанағаттандыратын болса:
1) және тек болғанда ғана
(норманың теріс еместік шарты);
2) кез келген саны үшін (норманың біртектілік шарты);
3) кез келген үшін ( үшбұрыш теңсіздігі), онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.
Жұмыстың мақсаты. Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) шаттары норманың аксиомалары деп аталады. Норма анықталған сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп аталады.
Анықтама 2. нормаланған сызықтық кеңістігінде анықталған сызықтық функционалдардың сызықтық кеңістігі кеңістігіне түйіндес кеңістік деп аталады. кеңістігіне түйіндес символымен таңбалаймыз. Анықтама бойынша, бұл кеңістіктің кез келген элементі (сызықтық функционал) үшін оның нормасы жоғарыда теңдігімен анықталады және ол норманың аксиомаларын қанағаттандыратыны айқындалды. Сондықтан - нормаланған сызықтық кеңістік.
Теорема. Түйіндес кеңістік әрқашан толық кеңістік.
Дәлелдеуі. тізбегі фундаменталь тізбек болсын: кез келген берілгенде барлық нөмірдері үшін (4) теңсіздігі орындалатындай саны табылатын болсын. Норманың анықтамасы бойынша (4) теңсіздігінің салдары ретінде (5) теңсіздігі кеңістігіндегі әрбір үшін орындалады және тұрақты, ал кез келген сан болғандықтан, (5) теңсіздігі сандар тізбегі үшін Коши критерийі орындалатынын
Жұмыстың міндеттері:
- Түйіндес кеңістіктің болатынын дәлелдеуді;
- Түйіндес кеңістігінің негізгі мысалдарын;

1 Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік
0.1. Түйіндес кеңістік

Анықтама. нормаланған сызықтық кеңістігінде анықталған сызықтық функционалдардың сызықтық кеңістігі кеңістігіне түйіндес кеңістік деп аталады.
кеңістігіне түйіндес кеңістікті символымен таңбалаймыз. Анықтама бойынша, бұл кеңістіктің кез-келген элементі (сызықтық функционал) үшін оның нормасы жоғарыда
(1)
Теңдігімен анықталды және ол норманың аксиомаларын қанағаттандыратыны айқындалды. Сондыктан - нормаланған сызықтық кеңістік.
Мысал үшін кеңістігіне түйіндес кеңістігін айқындайық. Сол мақсатпен алдын ала, кеңістігінде анықталған кез-келген сызықтық функционал
(2)
Түрінде болатынын дәлелдейік.
( Сонымен, осы кеңістіктегі кез-келген сызықтық функционал, ал векторлары осы кеңістікте базис болсын. Онда кез-келген векторы түрінде жіктеледі. Бұл теңдікке сызықтық функционалды қолданып теңдігіне келеміз. Енді функционалдың базистік векторлардағы мәндерін , деп таңбаласак, функционал (2) түріне келеді. Кеңістіктің әр векторы берілген базис бойынша бірмәнді жіктелетін болғандыктан сандары базис бойынша бірмәнді анықталады. Сондыктан (2) кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы түрі деп аталады.
(2) теңдігінін оң жағында тұрған айнымалылы сызықтық функция, ол коэффициенттері, сандары, берілсе, толық анықталады. Бұл сандарды - өлшемді векторының координаттары ретінде қарастыруға болады. Басқаша айтқанда, функционалы векторы берілуімен толық анықталады. Сондықтан функционалы мен оны анықтаушы векторы ажыратылмай, бір
Нәрсе түрінде қабылданады. Демек, функционалы дегеніміз векторы. Ал , сондықтан мұндай векторлардың жиыны кеңістігін кұрады, яғни .
Бірінші қарастырған мысалымызда түйіндес кеңістік бастапқы кеңістіктің өзі болды, яғни - өзіне өзі түйіндес кеңістік. Бірақ кейін бұл жағдай тек кейбір кеңістіктерге ғана тән екенін көреміз.
Ескерту. кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы түрін айқындайтын (2) теңдігін тұрақты векторы мен айнымалы векторының скаляр көбейтіндісі түрінде, яғни
, (3)
түрінде де қарастыруға болатынына зер аударайык.
Қарастырылған мысалдан нормаланған сызықтық кеңістігіне түйіндес кеңістігін айқындау үшін кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы түрін білу қажет екені байқалды. Осыған байланысты (1.2) пунктінде келтірілген мысалдардағы негізгі кеңістіктерге түйіндес кеңістіктер кейін V-тарауда айқындалады.
Енді түйіндес кеңістіктің бір жалпы қасиеті туралы мына тұжырымды келтірейік.
Теорема. Түйіндес кеңістік әрқашан толық кеңістік.
Дәлелдеуі. тізбегі фундаменталь тізбек болсын: кез-келген берілгенде барлық нөмірлері үшін
( 4)
теңсіздігі орындалатындай саны табылатын болсын. Норманың анықтамасы бойынша (4) теңсіздігінің салдары ретінде
(5)
теңсіздігі кеңістігіндегі әрбір үшін орындалады және тұрақты, ал кез-келген сан болғандықтан, (5) теңсіздігі сандар тізбегі үшін Коши критерийі орындалатынын көрсетіп тұр. Демек, бұл тізбектің шегі бар, оны арқылы белгілейік. Сызықтық функционалдардың шегі функционалы да сызықтық қасиетті сақтайды. Шынында да, себебі - сызықтық функционал. Осы теңдікте шекке көшіп, теңдігін аламыз, демек - сызықтық функционал. Сандар тізбегінің (5) теңсіздігінде кезде шекке көшіп,
(6)
Теңсіздігіне келеміз. Осы теңсіздіктен

Яғни шенелген функционал екендігі шығады. Енді
,
ал шенелген функционал болғандықтан, бұл теңсіздіктен функционалының шенелгендігін көреміз, демек ол үздіксіз функционал. Қорытып айтқанда, кеңістігіндегі шенелген функционалдардың фундаменталь тізбегінің шегі бар және ол шенелген сызықтық функционал болатыны, яғни екені дәлелденді. Демек, толық кеңістік. Теорема дәлелденді.

1.2 Сызықтық нормаланған кеңістіктегі әлсіз жинактылық.
Енді түйіндес кеңістікке байланысты тізбек жинақтылығының басқа бір анықтамасын беруге болады.
Анықтама. - нормаланған сызықтық кеңістік, ал - оған түйіндес кеңістік болсын. Сондай-ақ, элементтердің тізбегі, ал кез-келген функционал болсын. Егер сандарының тізбегі барлық үшін санына жинақты болса, онда тізбегі элементіне әлсіз жинақталады дейміз.
Қысқаша: Егер үшін кезде болса, онда әлсіз мағынада дейміз.
Әлсіз жинақтылықтан ажырату үшін бұрын анықталған норма бойынша жинақтылықты әлді жинақтылық деп атаймыз. Басқаша айтқанда, егер болса, онда әлді мағынада дейміз.
Егер тізбек әлді жинақты болса, онда ол тізбек әлсіз жинақты болады. Шынында да, егер болса, онда

Демек,
Ескерту. Кері тұжырым әрқашан дұрыс бола бермейді. Жалпы жағдайда әлсіз жинақты тізбек әлді жинақталмауы мүмкін.
Сонымен қатар, кеңістігінде кері тұжырым да дұрыс, басқаша айтқанда, бұл кеңістікте әлді және әлсіз мағынадағы жинақтылық пара-пар.

2 Сызықтық нормаланған кеңістікке түйіндес кеңістіктер
2.1 . Түйіндес кеңістіктер
Мысалдар.
Анықтама 1. Егер әрбір нақты сан мәнді функциясы анықталса және ол мына шарттарды қанағаттандыратын болса:
1) және тек болғанда ғана
(норманың теріс еместік шарты);
2) кез келген саны үшін (норманың біртектілік шарты);
3) кез келген үшін ( үшбұрыш теңсіздігі), онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.
Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) шаттары норманың аксиомалары деп аталады. Норма анықталған сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп аталады.
Анықтама 2. нормаланған сызықтық кеңістігінде анықталған сызықтық функционалдардың сызықтық кеңістігі кеңістігіне түйіндес кеңістік деп аталады. кеңістігіне түйіндес символымен таңбалаймыз. Анықтама бойынша, бұл кеңістіктің кез келген элементі (сызықтық функционал) үшін оның нормасы жоғарыда теңдігімен анықталады және ол норманың аксиомаларын қанағаттандыратыны айқындалды. Сондықтан - нормаланған сызықтық кеңістік.
Теорема. Түйіндес кеңістік әрқашан толық кеңістік.
Дәлелдеуі. тізбегі фундаменталь тізбек болсын: кез келген берілгенде барлық нөмірдері үшін (4) теңсіздігі орындалатындай саны табылатын болсын. Норманың анықтамасы бойынша (4) теңсіздігінің салдары ретінде (5) теңсіздігі кеңістігіндегі әрбір үшін орындалады және тұрақты, ал кез келген сан болғандықтан, (5) теңсіздігі сандар тізбегі үшін Коши критерийі орындалатынын
көрсетіп тұр. Демек, бұл тізбектің шегі бар, оны арқылы белгілейік. Сызықтық функционалдардың шегі функционалы да сызықтық қасиетті сақтайды. Шынында да, , себебі сызықтық функционал. Осы теңдікте шекке көшіп, теңдігін аламыз, демек сызықтық функционал. Сандар тізбегінің (5) теңсіздігінде кезде шекке көшіп, (6) теңсіздігіне келеміз. Осы теңсіздіктен (7), яғни шенелген функционал екендігі ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.