Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік

Кіріспе 3
1 Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік 4
1.1. Түйіндес кеңістік 4
1.2 Сызықтық нормаланған кеңістіктегі әлсіз жинактылық. 6
2 Сызықтық нормаланған кеңістікке түйіндес кеңістіктер 8
2.1 . Түйіндес кеңістіктер 8
2.2 Түйіндес кеңістіктің мысалдары 10
Қорытынды 15
Пайдаланған әдебиеттер 16
Анықтама 1. Егер әрбір нақты сан мәнді функциясы анықталса және ол мына шарттарды қанағаттандыратын болса:
1) және тек болғанда ғана
(норманың теріс еместік шарты);
2) кез келген саны үшін (норманың біртектілік шарты);
3) кез келген үшін ( үшбұрыш теңсіздігі), онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.
Жұмыстың мақсаты. Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) шаттары норманың аксиомалары деп аталады. Норма анықталған сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп аталады.
Анықтама 2. нормаланған сызықтық кеңістігінде анықталған сызықтық функционалдардың сызықтық кеңістігі кеңістігіне түйіндес кеңістік деп аталады. кеңістігіне түйіндес символымен таңбалаймыз. Анықтама бойынша, бұл кеңістіктің кез келген элементі (сызықтық функционал) үшін оның нормасы жоғарыда теңдігімен анықталады және ол норманың аксиомаларын қанағаттандыратыны айқындалды. Сондықтан - нормаланған сызықтық кеңістік.
Теорема. Түйіндес кеңістік әрқашан толық кеңістік.
Дәлелдеуі. тізбегі фундаменталь тізбек болсын: кез келген берілгенде барлық нөмірдері үшін (4) теңсіздігі орындалатындай саны табылатын болсын. Норманың анықтамасы бойынша (4) теңсіздігінің салдары ретінде (5) теңсіздігі кеңістігіндегі әрбір үшін орындалады және тұрақты, ал кез келген сан болғандықтан, (5) теңсіздігі сандар тізбегі үшін Коши критерийі орындалатынын
Жұмыстың міндеттері:
- Түйіндес кеңістіктің болатынын дәлелдеуді;
- Түйіндес кеңістігінің негізгі мысалдарын;
1. КОЛМЛГОРОВ А. Н. ФОМИН С. В. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. М. 1975, 1989
2. ЛЮСТЕРНИК Л. А., СОБОЛЕВ В. И. ЭЛЕМЕНТЫ ФУЕКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. М. 1982.
3. ЛЮСТЕРНИК Л. А., СОБОЛЕВ В. И. КРАТКИ КУРС ФУЕКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. М. 1982..
4. РИСС Ф. И., СЕКЕФАЛЬВИ-НАДЬ Б. ЛЕКЦИИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. М. 1979.
5. ДАНФОРД Н. И. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. М. 1962
6. ШИЛОВ Г. Е. МАТЕМАТИЧЕСКИИ АНАЛИЗ, СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС. М. 1960
7. ТРЕНОГИН В.А., ПИСАРЖЕВСКИИЙ В.С., СОБОЛЕВА Т.С. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. – М.: НАУКА 1984.
8. КИРИЛОВ А.А., ГВИШИАНИ А.Д. ТЕОРЕМЫ И ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. – М., 1979.
        
        ТАКЫРЫБЫ  Түйіндес  кеңістік
МАЗМҰНЫ
Кіріспе 3
1 Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік 4
1.1. Түйіндес кеңістік 4
1.2 Сызықтық ... ... ... ... ... нормаланған кеңістікке түйіндес кеңістіктер 8
2.1 . Түйіндес кеңістіктер 8
2.2 Түйіндес кеңістіктің мысалдары 10
Қорытынды 15
Пайдаланған әдебиеттер 16
Кіріспе
Анықтама 1. Егер ... ... сан ... ... ... және ол мына ... ... болса:
1) және тек болғанда ғана
(норманың теріс еместік шарты);
2) кез келген саны үшін ... ... ... кез ... үшін ( ... теңсіздігі), онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.
Жұмыстың мақсаты. Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) шаттары норманың аксиомалары деп ... ... ... ... ... ... сызықтық кеңістік деп аталады.
Анықтама 2. нормаланған ... ... ... сызықтық функционалдардың сызықтық кеңістігі кеңістігіне түйіндес кеңістік деп аталады. кеңістігіне түйіндес символымен ... ... ... бұл кеңістіктің кез келген элементі (сызықтық функционал) үшін оның ... ... ... ... және ол ... ... қанағаттандыратыны айқындалды. Сондықтан - нормаланған сызықтық кеңістік.
Теорема. Түйіндес ... ... ... ... ... ... фундаменталь тізбек болсын: кез келген берілгенде барлық нөмірдері үшін (4) теңсіздігі ... саны ... ... ... ... ... (4) ... салдары ретінде (5) теңсіздігі кеңістігіндегі әрбір үшін орындалады және ... ал кез ... сан ... (5) ... ... тізбегі үшін Коши критерийі орындалатынын
Жұмыстың міндеттері:
- Түйіндес кеңістіктің ... ... ... ... ... мысалдарын;
1 Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік
+ Түйіндес кеңістік
Анықтама. нормаланған сызықтық кеңістігінде анықталған сызықтық ... ... ... кеңістігіне түйіндес кеңістік деп аталады.
кеңістігіне түйіндес кеңістікті символымен таңбалаймыз. Анықтама бойынша, бұл ... ... ... (сызықтық функционал) үшін оның нормасы жоғарыда
(1)
Теңдігімен анықталды және ол ... ... ... ... Сондыктан - нормаланған сызықтық кеңістік.
Мысал үшін кеңістігіне түйіндес кеңістігін айқындайық. Сол мақсатпен ... ала, ... ... ... ... функционал
(2)
Түрінде болатынын дәлелдейік.
( Сонымен, осы кеңістіктегі ... ... ... ал ... осы ... ... болсын. Онда кез-келген векторы түрінде жіктеледі. Бұл теңдікке ... ... ... ... ... Енді ... базистік векторлардағы мәндерін , деп таңбаласак, функционал (2) түріне келеді. Кеңістіктің әр векторы берілген базис бойынша бірмәнді ... ... ... ... ... ... анықталады. Сондыктан (2) кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы түрі деп ... ... оң ... ... ... ... ... ол коэффициенттері, сандары, берілсе, толық анықталады. Бұл сандарды - өлшемді ... ... ... ... болады. Басқаша айтқанда, функционалы векторы берілуімен толық анықталады. Сондықтан ... мен оны ... ... ... бір ... ... ... Демек, функционалы дегеніміз векторы. Ал , сондықтан мұндай векторлардың жиыны кеңістігін ... яғни ... ... мысалымызда түйіндес кеңістік бастапқы кеңістіктің өзі болды, яғни - өзіне өзі ... ... ... ... бұл ... тек ... ... ғана тән екенін көреміз.
Ескерту. кеңістігіндегі сызықтық ... ... ... ... (2) теңдігін тұрақты векторы мен айнымалы векторының скаляр көбейтіндісі түрінде, ... ... де ... ... зер ... ... ... сызықтық кеңістігіне түйіндес кеңістігін айқындау үшін ... ... ... ... ... білу ... ... байқалды. Осыған байланысты (1.2) пунктінде келтірілген мысалдардағы негізгі кеңістіктерге түйіндес кеңістіктер кейін V-тарауда айқындалады.
Енді түйіндес кеңістіктің бір ... ... ... мына ... ... ... кеңістік әрқашан толық кеңістік.
Дәлелдеуі. тізбегі фундаменталь тізбек ... ... ... ... нөмірлері үшін
( 4)
теңсіздігі ... саны ... ... ... ... бойынша (4) теңсіздігінің салдары ретінде
(5)
теңсіздігі кеңістігіндегі әрбір үшін орындалады және ... ал ... сан ... (5) ... ... тізбегі үшін Коши критерийі орындалатынын көрсетіп тұр. Демек, бұл ... шегі бар, оны ... ... Сызықтық функционалдардың шегі функционалы да сызықтық ... ... ... да, ... - ... функционал. Осы теңдікте шекке көшіп, теңдігін аламыз, демек - сызықтық функционал. Сандар ... (5) ... ... ... ... ... Осы ... шенелген функционал екендігі шығады. Енді
,
ал шенелген функционал болғандықтан, бұл теңсіздіктен функционалының шенелгендігін ... ... ол ... ... ... айтқанда, кеңістігіндегі шенелген функционалдардың фундаменталь тізбегінің шегі бар және ол ... ... ... болатыны, яғни екені дәлелденді. Демек, толық кеңістік. Теорема дәлелденді.
1.2 Сызықтық ... ... ... жинактылық.
Енді түйіндес кеңістікке байланысты тізбек жинақтылығының басқа бір анықтамасын беруге болады.
Анықтама. - нормаланған сызықтық кеңістік, ал - оған ... ... ... ... ... ... ал кез-келген функционал болсын. Егер сандарының тізбегі барлық үшін санына жинақты болса, онда ... ... ... жинақталады дейміз.
Қысқаша: Егер үшін кезде болса, онда әлсіз мағынада дейміз.
Әлсіз жинақтылықтан ажырату үшін бұрын анықталған норма ... ... әлді ... деп ... Басқаша айтқанда, егер болса, онда әлді мағынада дейміз.
Егер тізбек әлді жинақты болса, онда ол ... ... ... ... ... да, егер ... онда
Демек,
Ескерту. Кері тұжырым әрқашан дұрыс бола бермейді. Жалпы жағдайда әлсіз жинақты тізбек әлді жинақталмауы мүмкін.
Сонымен қатар, ... кері ... да ... басқаша айтқанда, бұл кеңістікте әлді және әлсіз мағынадағы жинақтылық пара-пар.
2 Сызықтық нормаланған ... ... ... . ... кеңістіктер
Мысалдар.
Анықтама 1. Егер әрбір нақты сан мәнді функциясы анықталса және ол мына ... ... ... және тек ... ... ... еместік шарты);
2) кез келген саны үшін ... ... ... кез ... үшін ( ... ... онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.
Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) ... ... ... деп ... ... ... сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп аталады.
Анықтама 2. нормаланған сызықтық кеңістігінде анықталған сызықтық функционалдардың сызықтық кеңістігі кеңістігіне түйіндес ... деп ... ... ... ... ... Анықтама бойынша, бұл кеңістіктің кез келген элементі (сызықтық функционал) үшін оның нормасы жоғарыда теңдігімен анықталады және ол норманың аксиомаларын ... ... ... - ... сызықтық кеңістік.
Теорема. Түйіндес кеңістік әрқашан толық кеңістік.
Дәлелдеуі. тізбегі фундаменталь тізбек ... кез ... ... ... ... үшін (4) ... орындалатындай саны табылатын болсын. Норманың анықтамасы бойынша (4) теңсіздігінің салдары ... (5) ... ... ... үшін орындалады және тұрақты, ал кез келген сан болғандықтан, (5) теңсіздігі сандар тізбегі үшін Коши ... ... тұр. ... бұл ... шегі бар, оны ... белгілейік. Сызықтық функционалдардың шегі функционалы да сызықтық қасиетті ... ... да, , ... ... ... Осы теңдікте шекке көшіп, теңдігін аламыз, демек сызықтық функционал. Сандар тізбегінің (5) теңсіздігінде кезде шекке көшіп, (6) ... ... Осы ... (7), яғни ... ... екендігі шығады. Енді , ал шенелген функционал болғандықтан, бұл теңсіздіктен функционалының шенелгендігін көреміз, демек ол үздіксіз функционал. Қорытып ... ... ... функционалдың фундаменталь тізбегінің шегі бар және ол шенелген сызықтық функционал болатыны яғни екені дәлелденді. ... ... ... ... дәлелденді.
Мысал үшін кеңістігіне түйіндес кеңістігін айқындайық. Сол ... ... ала, ... анықталған кез келген сызықтық функционал
(2) түрінде болатынын дәлелдейік. ... осы ... кез ... ... ... ал ... осы ... базис болсын. Онда кез келген векторы түрінде жіктеледі. Бұл теңдікке сызықтық функционалды қолданып ... ... Енді ... базистік векторлардағы мәндерін деп таңбаласақ, функционал (2) түріне келеді. Кеңістіктің әр ... ... ... ... ... ... болғандықтан сандары базис бойынша бірмәнді анықталады. Сондықтан (2) кеңістігіндегі сызықтық ... ... түрі деп ... (2) ... оң ... ... айнымалылы сызықтық функция, ол коэфициенттері, сандары, берілсе, толық анықталады. Бұл ... ... ... ... ... қарастыруға болады.
Басқаша айтқанда, функционалы векторы берілуімен ... ... ... ... мен оны ... ... ажыратылмай, бір нәрсе түрінде қабылданады. Демек, функционалы дегеніміз векторы. Ал , сондықтан мұндай векторлардың жиыны кеңістігін құрады, яғни .
2.2 ... ... ... Е ... анықталған барлық сызықты функционалдар жиыны өз кезегінде сызықты кеңістік болады (дәлелдеңіздер). Бұл кеңістік берілген кеңістікке түйіндес кеңістік деп аталады да, деп ... ... , ... - Е ... ... ... функционал.
Түйіндес кеңістіктегі норма: немесе . Сонымен, түйіндес кеңістіктік - нормаланған сызықты кеңістік.
Түйіндес кеңістіктегі әлді ... - осы ... ... ... ... 1. ... ... әрқашан толық.
Түйіндес кеңістіктің мысалдары.
* кеңістігіндегі функционалдың жалпы түрі.
кеңістігіндегі сызықты функционалды деп алайық.
Сызықты ... ... ... . , деп ... ... болады. Енді шарттарын қанағаттандыратын сызықты функционалддары үшін теңдіктері орындалатынын ескеріп, функционалынтүріне келтіремізде оның ... ... Осы ... ... ... сұлбаға келеміз:. (*) Осымен қатар, элементі және теңдіктері орындалатынын ескеріп, болатынын көреміз. Демек, (*) теңсіздігінде ... ... ... ... ... болады.Сонымен біз -ге түйіндес кеңістігіне келеміз. Яғни, өлшемді евклид кецістігіне түйіндес кеңістік өлшемді ... ... ... ... операторлар
2. дегі әрбір функциясына функциясына сәйкес қоятын t операторын құрайық. Бұл оператор өзі түйіндес екеніне көз жеткізу қиын ... әрі ... ... біз ... ... ... егер t - өзі ... оператор және α-нақты сан болса, онда αt-да өзі түйіндес оператор, және егер t мен u - өзі ... ... ... онда u+t - өзі түйіндес, ал tu сонда, тек ... ғана өзі ... егер t мен u ... ... ... Ең соңында, егер бірқалыпты немесе күшті операорлық топология мағынасында жинақты болса, онда t-да өзі ... ... ... ті х бойынша және у бойынша функционал болса, мұнда t - өзі түйіндес оператор, онда біз деп белгілейтін осы ... ... ... ... көру қиын ... функционалды біз бисызықты Эрмит формасы деп атаймыз. Бұл ... ... ... ... Сt - ... ... ... жағдайда ).
Сонымен, әрбір өзі түйіндес t операторы кейбір шектеулі бисызықты Эрмит формасын ... егер ... ... ... ... ... онда ол теңдігін қанағаттандыратын кейбір өзі түйіндес t операторын тудырады.
Іс жүзінде, формасында у элементін белгілеп, біз ... ... ... ... ... ... у/ ... бірмәнді анықталады. Сонда, біз теңдігімен анықталатын және болатындай t операторын аламыз. t - сызықтық оператор ... ... t - ... ... ... оңай көз жеткізуге болады. Расында да
деп және ке ... ... ... t - өзі түйіндес оператор екенін көрсетеміз. Кез келген үшін
бұдан және ... ... ... ... ... ... және онда ... Барлық х-тер үшін нақты мәндер алып
болатындай квадрат формасын аламыз. Сондай формасын ... ... ... сәйкес квадраттық Эрмит формасы деп атаймыз. Егер бисызықты ... ... ... онда сол ... ... квадраттық Эрмит формасы беріледі. Кері жағдай да ақиқат, квдарттық Эрмит формасы берілуі бисызықты Эрмит ... ... ... Бұл ... форма келесі теңдікпен анықталады (полярлау принципі)
(3)
мұнда және
Квадраттық Эрмит формасы сонда, тек сонда ғана ... ... яғни егер ... ... ... ... ... ғана екенін көрсету қиын емес. формасы үшін полярлық деп аталады.
болсын делік.
m және М сандары өзі түйіндес t операторының ... және ... ... деп ... ... ... болсын делік. Сонда
(4)
және сондықтан
Басқа жағынан, кез келген үшін ... ... егер z ... нөлден ерекше элемент болса, онда
деп
екенін аламыз, бұдан және содан
(5)
(4) және (5) теңсіздіктерінен керекті теңдікті аламыз. Дәлелденген ... жеке ... егер ... үшін өзі түйіндес t мен u операторлары теңдігі ... онда ... ... ... кеңістікке байланысты тағы бір ұғым енгізейік.
, - нормаланған сызықтық кеңістіктер, ал , - ... ... ... ... А: , яғни N ... ... мәндерін кеңістігінен қабылдайтын сызықтық оператор болсын. Кез-келген ... ... ... функционалын анықтайық. Мұнда яғни функционалы кеңістігінде ... ... ... ... . Сонымен, теңдігі арқылы элементіне элементін ... ... ... ... ... А операторына түйіндес оператор деп аталады.
Егер , яғни ... онда . ... ... егер ... ... өзіне аударатын болса, онда түйіндес операторы ... ... ... ... қоса, егер болса, онда ... мен оған ... ... бір ... ... ... болады. Бұл жағдайда болуы да мүмкін. Мұндай оператор өзіне түйіндес оператор деп аталады. Өзіне түйіндес операторлардың мысалдары туралы ... сөз ... ... ... А. Н. ... С. В. ... теории функции и функционального анализа. М. 1975, 1989
2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы фуекционального анализа. М. 1982.
3. ... Л. А., ... В. И. ... курс фуекционального анализа. М. 1982..
4. Рисс Ф. И., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М. 1979.
5. ... Н. И. ... ... М. ... ... Г. Е. ... анализ, специальный курс. М. 1960
7. Треногин В.А., Писаржевскиий В.С., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. - М.: ... ... ... А.А., ... А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. - М., 1979.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Көлемі: 15 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 100 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Трассаны күрделі жерлерін нивелирлеу4 бет
C++ тілінде сызықтық тізіммен жұмыс29 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
«Кеңістік» концептісіндегі жер-су атауларының вербалдануы3 бет
Біртұтас экономикалық кеңістіктің болашағы қандай?4 бет
Векторлық кеңістік14 бет
Гaлaктикaлaрдың кеңістіктегі үлестірілуінің мультифрaктaлдық пaрaметрлерін aнықтaудың әдістері7 бет
Евклидтік кеңістік2 бет
Жазбалар. Graph модулі. Сызықтық емес теңдеулер жүйесінің түбірлерін Итерация және Ньютон әдісімен жуықтап шешу. Анықталған интегралды Симпсон, Трапеция, Тіктөртбұрыштар формуласы арқылы есептеу13 бет
Кеңістік және уақыт теориясының мәселелері5 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь