Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 16 бет
Таңдаулыға:

ТАКЫРЫБЫ Түйіндес кеңістік МАЗМҰНЫ

Кіріспе3

1 Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік4

1. 1. Түйіндес кеңістік4

1. 2 Сызықтық нормаланған кеңістіктегі әлсіз жинактылық. 6

2 Сызықтық нормаланған кеңістікке түйіндес кеңістіктер8

2. 1 . Түйіндес кеңістіктер8

2. 2 Түйіндес кеңістіктің мысалдары10

Қорытынды15

Пайдаланған әдебиеттер16

Кіріспе

Анықтама 1 . Егер әрбір нақты сан мәнді функциясы анықталса және ол мына шарттарды қанағаттандыратын болса:

1) және тек болғанда ғана

(норманың теріс еместік шарты) ;

2) кез келген саны үшін (норманың біртектілік шарты) ;

3) кез келген үшін ( үшбұрыш теңсіздігі), онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.

Жұмыстың мақсаты. Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) шаттары норманың аксиомалары деп аталады. Норма анықталған сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп аталады.

Анықтама 2. нормаланған сызықтық кеңістігінде анықталған сызықтық функционалдардың сызықтық кеңістігі кеңістігіне түйіндес кеңістік деп аталады. кеңістігіне түйіндес символымен таңбалаймыз. Анықтама бойынша, бұл кеңістіктің кез келген элементі (сызықтық функционал) үшін оның нормасы жоғарыда теңдігімен анықталады және ол норманың аксиомаларын қанағаттандыратыны айқындалды. Сондықтан - нормаланған сызықтық кеңістік.

Теорема. Түйіндес кеңістік әрқашан толық кеңістік.

Дәлелдеуі . тізбегі фундаменталь тізбек болсын: кез келген берілгенде барлық нөмірдері үшін (4) теңсіздігі орындалатындай саны табылатын болсын. Норманың анықтамасы бойынша (4) теңсіздігінің салдары ретінде (5) теңсіздігі кеңістігіндегі әрбір үшін орындалады және тұрақты, ал кез келген сан болғандықтан, (5) теңсіздігі сандар тізбегі үшін Коши критерийі орындалатынын

Жұмыстың міндеттері:

- Түйіндес кеңістіктің болатынын дәлелдеуді;

- Түйіндес кеңістігінің негізгі мысалдарын;

1 Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік Түйіндес кеңістік

Анықтама. нормаланған сызықтық кеңістігінде анықталған сызықтық функционалдардың сызықтық кеңістігі кеңістігіне түйіндес кеңістік деп аталады.

кеңістігіне түйіндес кеңістікті символымен таңбалаймыз. Анықтама бойынша, бұл кеңістіктің кез-келген элементі (сызықтық функционал) үшін оның нормасы жоғарыда

(1)

Теңдігімен анықталды және ол норманың аксиомаларын қанағаттандыратыны айқындалды. Сондыктан - нормаланған сызықтық кеңістік.

Мысал үшін кеңістігіне түйіндес кеңістігін айқындайық. Сол мақсатпен алдын ала, кеңістігінде анықталған кез-келген сызықтық функционал

(2)

Түрінде болатынын дәлелдейік.

( Сонымен, осы кеңістіктегі кез-келген сызықтық функционал, ал векторлары осы кеңістікте базис болсын. Онда кез-келген векторы түрінде жіктеледі. Бұл теңдікке сызықтық функционалды қолданып теңдігіне келеміз. Енді функционалдың базистік векторлардағы мәндерін , деп таңбаласак, функционал (2) түріне келеді. Кеңістіктің әр векторы берілген базис бойынша бірмәнді жіктелетін болғандыктан сандары базис бойынша бірмәнді анықталады. Сондыктан (2) кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы түрі деп аталады.

(2) теңдігінін оң жағында тұрған айнымалылы сызықтық функция, ол коэффициенттері, сандары, берілсе, толық анықталады. Бұл сандарды - өлшемді векторының координаттары ретінде қарастыруға болады. Басқаша айтқанда, функционалы векторы берілуімен толық анықталады. Сондықтан функционалы мен оны анықтаушы векторы ажыратылмай, бір

Нәрсе түрінде қабылданады. Демек, функционалы дегеніміз векторы. Ал , сондықтан мұндай векторлардың жиыны кеңістігін кұрады, яғни .

Бірінші қарастырған мысалымызда түйіндес кеңістік бастапқы кеңістіктің өзі болды, яғни - өзіне өзі түйіндес кеңістік. Бірақ кейін бұл жағдай тек кейбір кеңістіктерге ғана тән екенін көреміз.

Ескерту. кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы түрін айқындайтын (2) теңдігін тұрақты векторы мен айнымалы векторының скаляр көбейтіндісі түрінде, яғни

, (3)

түрінде де қарастыруға болатынына зер аударайык.

Қарастырылған мысалдан нормаланған сызықтық кеңістігіне түйіндес кеңістігін айқындау үшін кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы түрін білу қажет екені байқалды. Осыған байланысты (1. 2) пунктінде келтірілген мысалдардағы негізгі кеңістіктерге түйіндес кеңістіктер кейін V-тарауда айқындалады.

Енді түйіндес кеңістіктің бір жалпы қасиеті туралы мына тұжырымды келтірейік.

Теорема. Түйіндес кеңістік әрқашан толық кеңістік.

Дәлелдеуі. тізбегі фундаменталь тізбек болсын: кез-келген берілгенде барлық нөмірлері үшін

( 4)

теңсіздігі орындалатындай саны табылатын болсын. Норманың анықтамасы бойынша (4) теңсіздігінің салдары ретінде

(5)

теңсіздігі кеңістігіндегі әрбір үшін орындалады және тұрақты, ал кез-келген сан болғандықтан, (5) теңсіздігі сандар тізбегі үшін Коши критерийі орындалатынын көрсетіп тұр. Демек, бұл тізбектің шегі бар, оны арқылы белгілейік. Сызықтық функционалдардың шегі функционалы да сызықтық қасиетті сақтайды. Шынында да, себебі - сызықтық функционал. Осы теңдікте шекке көшіп, теңдігін аламыз, демек - сызықтық функционал. Сандар тізбегінің (5) теңсіздігінде кезде шекке көшіп,

(6)

Теңсіздігіне келеміз. Осы теңсіздіктен

Яғни шенелген функционал екендігі шығады. Енді

ал шенелген функционал болғандықтан, бұл теңсіздіктен функционалының шенелгендігін көреміз, демек ол үздіксіз функционал. Қорытып айтқанда, кеңістігіндегі шенелген функционалдардың фундаменталь тізбегінің шегі бар және ол шенелген сызықтық функционал болатыны, яғни екені дәлелденді. Демек, толық кеңістік. Теорема дәлелденді.

1. 2 Сызықтық нормаланған кеңістіктегі әлсіз жинактылық.

Енді түйіндес кеңістікке байланысты тізбек жинақтылығының басқа бір анықтамасын беруге болады.

Анықтама. - нормаланған сызықтық кеңістік, ал - оған түйіндес кеңістік болсын. Сондай-ақ, элементтердің тізбегі, ал кез-келген функционал болсын. Егер сандарының тізбегі барлық үшін санына жинақты болса, онда тізбегі элементіне әлсіз жинақталады дейміз.

Қысқаша: Егер үшін кезде болса, онда әлсіз мағынада дейміз.

Әлсіз жинақтылықтан ажырату үшін бұрын анықталған норма бойынша жинақтылықты әлді жинақтылық деп атаймыз. Басқаша айтқанда, егер болса, онда әлді мағынада дейміз.

Егер тізбек әлді жинақты болса, онда ол тізбек әлсіз жинақты болады. Шынында да, егер болса, онда

Демек,

Ескерту. Кері тұжырым әрқашан дұрыс бола бермейді. Жалпы жағдайда әлсіз жинақты тізбек әлді жинақталмауы мүмкін.

Сонымен қатар, кеңістігінде кері тұжырым да дұрыс, басқаша айтқанда, бұл кеңістікте әлді және әлсіз мағынадағы жинақтылық пара-пар.

2 Сызықтық нормаланған кеңістікке түйіндес кеңістіктер 2. 1 . Түйіндес кеңістіктер

Мысалдар.

Анықтама 1 . Егер әрбір нақты сан мәнді функциясы анықталса және ол мына шарттарды қанағаттандыратын болса:

1) және тек болғанда ғана

(норманың теріс еместік шарты) ;

2) кез келген саны үшін (норманың біртектілік шарты) ;

3) кез келген үшін ( үшбұрыш теңсіздігі), онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.

Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) шаттары норманың аксиомалары деп аталады. Норма анықталған сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп аталады.

Теорема. Түйіндес кеңістік әрқашан толық кеңістік.

көрсетіп тұр. Демек, бұл тізбектің шегі бар, оны арқылы белгілейік. Сызықтық функционалдардың шегі функционалы да сызықтық қасиетті сақтайды. Шынында да, , себебі сызықтық функционал. Осы теңдікте шекке көшіп, теңдігін аламыз, демек сызықтық функционал. Сандар тізбегінің (5) теңсіздігінде кезде шекке көшіп, (6) теңсіздігіне келеміз. Осы теңсіздіктен (7), яғни шенелген функционал екендігі шығады. Енді , ал шенелген функционал болғандықтан, бұл теңсіздіктен функционалының шенелгендігін көреміз, демек ол үздіксіз функционал. Қорытып айтқанда, кеңістігіндегі шенелген функционалдың фундаменталь тізбегінің шегі бар және ол шенелген сызықтық функционал болатыны яғни екені дәлелденді. Демек, толық кеңістік. Теорема дәлелденді.

Мысал үшін кеңістігіне түйіндес кеңістігін айқындайық. Сол мақсатпен, алдын ала, кеңістігінде анықталған кез келген сызықтық функционал

(2) түрінде болатынын дәлелдейік. Сонымен, осы кеңістіктегі кез келген сызықтық функционал, ал векторлары осы кеңістікте базис болсын. Онда кез келген векторы түрінде жіктеледі. Бұл теңдікке сызықтық функционалды қолданып теңдігіне келеміз. Енді функционал базистік векторлардағы мәндерін деп таңбаласақ, функционал (2) түріне келеді. Кеңістіктің әр векторы берілген базис бойынша бірмәнді жіктелетін болғандықтан сандары базис бойынша бірмәнді анықталады. Сондықтан (2) кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы түрі деп аталады. (2) теңдігінің оң жағында тұрған айнымалылы сызықтық функция, ол коэфициенттері, сандары, берілсе, толық анықталады. Бұл сандарды өлшемді векторының координаттары ретінде қарастыруға болады.

Басқаша айтқанда, функционалы векторы берілуімен толық анықталады. Сондықтан функционалы мен оны анықтаушы векторы ажыратылмай, бір нәрсе түрінде қабылданады. Демек, функционалы дегеніміз векторы. Ал , сондықтан мұндай векторлардың жиыны кеңістігін құрады, яғни .

2. 2 Түйіндес кеңістіктің мысалдары

Сызықты Е кеңістігінде анықталған барлық сызықты функционалдар жиыны өз кезегінде сызықты кеңістік болады (дәлелдеңіздер) . Бұл кеңістік берілген кеңістікке түйіндес кеңістік деп аталады да, деп белгіленеді.

Сонымен, , мұндғы - Е кеңістігінде анықталған сызықты функционал .

Түйіндес кеңістіктегі норма: немесе . Сонымен, түйіндес кеңістіктік - нормаланған сызықты кеңістік.

Түйіндес кеңістіктегі әлді топология - осы кеңістіктегі топология бойынша жинақтылық.

Теорема 1. Түйіндес кеңістік әрқашан толық.

Түйіндес кеңістіктің мысалдары.

кеңістігіндегі функционалдың жалпы түрі.

кеңістігіндегі сызықты функционалды деп алайық.

Сызықты функционалдың анықтамасы бойынша, .
, деп белгілеп алсақ, болады. Енді
шарттарын қанағаттандыратын сызықты функционалддары үшін

теңдіктері орындалатынын ескеріп, функционалын

түріне келтіремізде оның нормасын анықтаймыз. Осы мақсатпен, үшін
.
теңсіздігінен төмендегі сұлбаға келеміз:
. (*)
Осымен қатар, элементі
және теңдіктері орындалатынын ескеріп, болатынын көреміз. Демек, (*) теңсіздігінде элементе теңдік орындалатынын көркміз. Сондықтан,
болады.
Сонымен біз -ге түйіндес кеңістігіне келеміз. Яғни, өлшемді евклид кецістігіне түйіндес кеңістік өлшемді евклид кецістігі болады.

2. 3 Түйіндес операторлар

2. дегі әрбір функциясына функциясына сәйкес қоятын t операторын құрайық. Бұл оператор өзі түйіндес екеніне көз жеткізу қиын емес.

Бұдан әрі «шектеулі» деген сөзді біз қалдырып кетеміз. Алдыңғыдан, егер t - өзі түйіндес оператор және α-нақты сан болса, онда αt-да өзі түйіндес оператор, және егер t мен u - өзі түйіндес операторлар болса, онда u+t - өзі түйіндес, ал tu сонда, тек сонда ғана өзі түйіндес, егер t мен u операторы ауыстырымды болса. Ең соңында, егер бірқалыпты немесе күшті операорлық топология мағынасында жинақты болса, онда t-да өзі түйіндес оператор болады.

Егер ті х бойынша және у бойынша функционал болса, мұнда t - өзі түйіндес оператор, онда біз деп белгілейтін осы функционал келесі шарттарды қанағаттандыратын көру қиын емес:

Ондай функционалды біз бисызықты Эрмит формасы деп атаймыз. Бұл форма мағынасында шектеулі, мұнда С _t - кейбір тұрақты (қарастырған жағдайда ) .

Сонымен, әрбір өзі түйіндес t операторы кейбір шектеулі бисызықты Эрмит формасын тудырады.

Керісінше, егер шектеулі бисызықты Эрмит формасы берілсе, онда ол теңдігін қанағаттандыратын кейбір өзі түйіндес t операторын тудырады.

Іс жүзінде, формасында у элементін белгілеп, біз х-тен сызықтық функционал аламыз. Сонымен мұнда у ^/ элементі бірмәнді анықталады. Сонда, біз теңдігімен анықталатын және болатындай t операторын аламыз. t - сызықтық оператор екені айқын. t - шектеулі оператор екеніне оңай көз жеткізуге болады. Расында да

деп және ке қысқартып екенін табамыз. t - өзі түйіндес оператор екенін көрсетеміз. Кез келген үшін

бұдан және екені шығады.

Енді бисызықты Эрмит формасын аламыз және онда делік. Барлық х-тер үшін нақты мәндер алып

болатындай квадрат формасын аламыз. Сондай формасын бисызықты Эрмит формасына сәйкес квадраттық Эрмит формасы деп атаймыз. Егер бисызықты Эрмит формасы берілсе, онда сол арқылы сәйкес квадраттық Эрмит формасы беріледі. Кері жағдай да ақиқат, квдарттық Эрмит формасы берілуі бисызықты Эрмит формасын бірмәнді анықтайды. Бұл бисызықты форма келесі теңдікпен анықталады (полярлау принципі)

(3)

мұнда және

Квадраттық Эрмит формасы сонда, тек сонда ғана шектеулі болады, яғни егер сәйкес бисызықты форма шектеулі болса ғана екенін көрсету қиын емес. формасы үшін полярлық деп аталады.

болсын делік.

m және М сандары өзі түйіндес t операторының төменгі және жоғарғы шекарасы деп аталады.

екенін көрсетейік.

Іс жүзінде, болсын делік. Сонда

(4)

және сондықтан

Басқа жағынан, кез келген үшін болады. Сондықтан, егер z Н-тағы нөлден ерекше элемент болса, онда

деп

екенін аламыз, бұдан және содан

(5)

(4) және (5) теңсіздіктерінен керекті теңдікті аламыз. Дәлелденген бойынша, жеке жағдайда, егер барлық үшін өзі түйіндес t мен u операторлары теңдігі орындалса, онда