Хаусдорф теоремасы

Кіріспе 3
1 Толық метрикалық кеңістік 5
1.1 Толық метрикалық кеңістіктегі Е жиыны Теорема 1 5
1.2 Теорема 2. компакт жиыны 7
2 Хаусдорф теоремасы 9
2.1 Хаусдорф теоремасы немесе парадоксы 9
2.2 Теореманы дәлелдеу 10
Қорытынды 12
Пайдаланған әдебиеттер 13
Сызықты нормаланған метрикалық кеңістіктегі компактылық. Бұл тақырыптағы негізгі мәселе метрикалық кеңістіктегі жиындардың компакт немесе шалакомпакакт болу критерийлерін игеру. Осымен қатар, жеке метрикалық кеңістіктегі жиынның компакт болу шарттарын игеру.
Жұмыстың мақсаты. Жиынның метрикалық кеңістіктегегі компакт болу белгісі – Хаусдорф теоремасы. Бұл жалпылама теореманы жеке қарастырылатын метрикалық кеңістікте қолдану көптеген қиын мәселелерді шешуді керек қылады. Сондықтан жекелеген метрикалық кеңістікте қолдануға қолайлы критерилер қалаптасқан. Мысалы кеңістігіндегі жиын компакт болуы үшін оның шенеулі болуы жеткілікті.
Алдын ала кейбір қарапайым ұғымдардың метрикалық кеңістіктегі анықтамасын еске салайық. X- кез-келген метрикалық кеңістік болсын.
Анықтама 1. кез-келген жиын және , ашық жиындардың кез-келген үйірі болсын. Мұнда индекс мәндерін қабылдайтын сандар жиыны. Жалпы жағдайда ол саналымсыз жиын болуы мүмкін. Егер саналымды жиын болса, онда , жиындар тізбегі, ал жалпы жағдайда жиындар үйірі болады.
Егер кез-келген элементі , жиындарының ең болмағанда бірінде жататын болса, онда , үйірі А жиынын бүркейді дейміз.
Анықтама 2. жиынының барлық элементтерін қамтитын радиусы ақырлы шар бар болса, онда А шенелген жиын деп аталады.
Басқаша айтқанда, қайсыбір элементі мен саны үшін болса, онда А шенелген жиын болғаны.
Бұл тұжырымдар метрикалық кеңістігінде де орындалады. Бірақ өлшемі ақырсыз кеңістіктерге бұл принциптерді бүлжытпай таратуға болмайды екен. Компакт жиын ұғымы - осы тұжырымдардың жалпы метрикалық кеңістік тұрғысыңдағы бірегей жалпыламасы.
Анықтама 3. Егер метрикалъқ кеңістіктегі А жиынының кез - келген ақырсыз ішжиынында жинақты тізбек бар болса, онда А шала компакт жиын деп аталады. Ал осындай тізбектің шегі А жиынында жатса, онда А компакт жиын деп аталады.
Бұл анықтамадан компакт жиын тұйық жиын, сондай-ақ, шала компакт жиынның тұйыктауы компакт жиын екені көрінеді. Дербес жағдайда, егер А компакт тізбек болса, оның жинақты іштізбегі бар болады.
Кеністік анықталған X жиыны компакт жиын болса, онда бұл метрикалық кеңістік компакт деп аталады.
1. Колмлгоров А. Н. Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа. М. 1975, 1989
2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы фуекционального анализа. М. 1982.
3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Кратки курс фуекционального анализа. М. 1982.
4. Рисс Ф. И., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М. 1979.
5. Данфорд Н. И. Линейные операторы. М. 1962
6. Шилов Г. Е. Математическии анализ, специальный курс. М. 1960
7. Треногин В.А., Писаржевскиий В.С., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. – М.: Наука 1984.
8. Кирилов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. – М., 1979.
        
        ТАКЫРЫБЫ: Хаусдорф теоремасы
МАЗМҰНЫ
Кіріспе 3
1 Толық метрикалық кеңістік 5
1.1 Толық метрикалық кеңістіктегі Е ... ... ... ... 2. ... жиыны 7
2 Хаусдорф теоремасы 9
2.1 Хаусдорф теоремасы немесе ... ... ... ... нормаланған метрикалық кеңістіктегі компактылық. Бұл тақырыптағы негізгі ... ... ... жиындардың компакт немесе шалакомпакакт болу критерийлерін игеру. ... ... жеке ... ... ... ... болу шарттарын игеру.
Жұмыстың мақсаты. Жиынның метрикалық кеңістіктегегі компакт болу белгісі - Хаусдорф теоремасы. Бұл ... ... жеке ... ... кеңістікте қолдану көптеген қиын мәселелерді шешуді керек қылады. Сондықтан жекелеген метрикалық кеңістікте ... ... ... ... Мысалы кеңістігіндегі жиын компакт болуы үшін оның шенеулі болуы жеткілікті.
Алдын ала ... ... ... ... кеңістіктегі анықтамасын еске салайық. X- кез-келген метрикалық кеңістік болсын.
Анықтама 1. кез-келген жиын және , ашық ... ... ... ... ... ... мәндерін қабылдайтын сандар жиыны. Жалпы жағдайда ол саналымсыз жиын болуы мүмкін. Егер ... жиын ... онда , ... тізбегі, ал жалпы жағдайда жиындар үйірі болады.
Егер кез-келген ... , ... ең ... ... жататын болса, онда , үйірі А жиынын бүркейді дейміз.
Анықтама 2. жиынының ... ... ... радиусы ақырлы шар бар болса, онда А шенелген жиын деп аталады.
Басқаша айтқанда, ... ... мен саны үшін ... онда А ... жиын ... тұжырымдар метрикалық кеңістігінде де орындалады. Бірақ ... ... ... бұл ... бүлжытпай таратуға болмайды екен. Компакт жиын ұғымы - осы тұжырымдардың жалпы метрикалық кеңістік тұрғысыңдағы бірегей жалпыламасы.
Анықтама 3. Егер ... ... А ... кез - келген ақырсыз ішжиынында жинақты тізбек бар болса, онда А шала компакт жиын деп ... Ал ... ... шегі А ... ... онда А компакт жиын деп аталады.
Бұл анықтамадан компакт жиын тұйық жиын, сондай-ақ, шала ... ... ... ... жиын екені көрінеді. Дербес жағдайда, егер А компакт тізбек ... оның ... ... бар ... анықталған X жиыны компакт жиын болса, онда бұл метрикалық кеңістік компакт деп ... ... ... ... ... ... ... критерийін келтірер алдында -тор ұғымының анықтамасын берейік.
Жұмыстың міндеттері:
шенелген және жете шенелген ... ... ... ... ... ... болу ... (Хаусдорф теоремасын).
- шала компактылық критериін;
- жекелеген метрикалық ... ... ... ... ... ... ақырлы өлшемді кеңістіктегі жиынның компакт болу шартын.
1 Толық метрикалық кеңістік
1.1 Толық метрикалық кеңістіктегі Е ... ... 1
Х ... ... ал және осы ... жиындар болсын. Егер кез-келген саны және кез-келген элементі үшін теңсіздігі орындалатын ... ... ... онда Т ... Е ... үшін - тор болады дейміз.
Е жиыны үшін -тор болатын Т жиыны Е жиынында жатуы ... ... ... кеңістігінде бүтін сандар жиыны нақты сандар жиыны үшін -тор болады. ... ... ... жиыны үшін де жиыны -тор болады. Бірінші жолы тор құрайтын жиын нақты сандар жиынының құрамында жатыр, ал ... жолы ол ... ... ... ... ... Әрине, Т жиынының бөлігі Е жиынында болып, қалғандары сыртыңда болуы да, Т жиыны Е жиынында түгелімен жатуы да ... ... ... ... ... жиын болуының критерийін беретін теореманы дэлелдейік.
Теорема 1 (Ф.Хаусдорф). Толық ... ... Е ... үшін ... үшін ... -тор бар болуы Е жиыны шала компакт жиын болуының ... ... ... ... Е - (шала) компакт жиын болсын. Кез келген үшін Е жиынының -тор болатын, саны ақырлы Т ... ... ... Е ... ... нүктесін алып, шартына сай нүктесін іздейік. Егер бұл шарт орындалатын нүкте ... онда Е ... ... ... үшін теңсіздігі орындалатын болғаны. Демек, Е жиыны үшін тек ... -тор ... ... ... сай нүктесі бар болса, онда және шарттарына сай ... ... Егер бұл ... ... нүкте табылмаса, онда жиыны Е үшін -тор ... ... ... осы екі шартты қанағаттандыратын нүктесі табылады.... Бұл әрекет қайсыбір -нші ретте, нүктелері табылғаннан кейін, тоқталады. ... да, егер ол ... ... ... онда Е ... ... ... тізбегі пайда болар еді және мұндағы кез-келген екі элементтің арақашықтығы болар еді. ... бұл ... ... және ... жинақты іштізбек те жоқ екені 3-анықтама алдында келтірілген мысалдағы байыптауға ұқсас дәлелденеді. Ал, бұл ... Е ... ... ... ... ... ... Демек, Е жиыны үшін -тор болатын ақырлы жиын табылады.
Шарттың жеткіліктілігі. Е жиынының ... ... ... ... бар ... дәлелдейік. Шарт бойынша Е жиыны үшін ақырлы -тор кез-келген үшін табылады. Осыған сәйкес, үшін Е ... ... ... жиыны болсын. Радиусы 1-ге тең, центрлері нүктелерінде орналасқан тұйық шарларының ... Е ... ... ... ... да, ... үшін және ... ең болмаса біреуі үшін , демек . Сонымен, . А ... ... ... осы ... ең ... ... оның ақырсыз бөлігі бар. Сол ішжиынды арқылы, ал оны ... ... ... ... ...
Енді Е жиынының -торы жиыны болсын. Радиусы 1/2-ге тең, ... ... ... ... ... бірігуі Е жиынын толық қамтиды. Осы шарлардың ең ... ... ... ... - ... ... ... Оны қамтып жатқан шарларды арқылы белгілейік. Сонда, . Осы әрекетті әрі қарай шексіз ... ... ... ... тізбегі, сонымен қатар ақырсыз жиындар тізбегі
пайда болады. Мұнда және ... ... . ... бірі еніп ... ... шарлар тізбегі туралы теорема бойынша осы шарлардың бәріне тиісті бір ғана нүктесі бар, яғни .. Енді әр ... бір ... ... Онда ... ,, яғни ... ... ... жинақталады. Ақырында, , демек кез-келген ақырсыз жиынында ... ... бар ... ... ... ... дәлелденді.
Ескерту. Егер Е жиыны үшін кез-келген санына сәйкес ақырлы -тор бар болса, онда Е ... ... жете ... жиын деп ... жиын ұғымы, екінші жағынан, жоғарыда айтылған ақырлы бүркеме туралы (Гейне-Борель леммасы) тұжырымды да жалпылайды. Оны ... ... ... Теорема 2. компакт жиыны
Теорема 2. компакт жиын болу үшін Е жиының, ашьқ ... ... ... саны ... ... бөліп алуға болатындығы қажетті және жеткілікті шарт.
Дәлелденген теоремалар жалпы метрикалық жағдайында дәлелденгендіктен, олардың шарттары жеке ... ... бола ... ... әдетте, тұжырымдарды пайдаланып, жеке кеңістіктер үшін қолдануға ыңғайлы критерилер алынады. Сондай қритерийлердің бір ... ... ... ... ... ... ... тұжырымдайтын Арцела теоремасын қарастырайық.
Алдымен ... ... ... тән ... ... ... функциялардың жиыны берілген болсын. Мысалы, А жиыны функцияларынық параметріне тәуелді үйірі болсын. ... ... ... ... ... не ... жиынынан қабылдайды.
Анықтама 5. Егер қайсыбір К саны үшін ... ... және үшін ... онда ... ... ... ... дейміз.
Мысалы, үйірі барлық және мәндері үшін теңсіздігін ... ... ... бұл ... ... шенелген функциялардың үйірі.
Келесі анықтаманы беру алдында математикалық анализ курсынан белгілі тағы бір ұғымды еске алайық. Ол функциянь ... ... ... ... біркалыпты үздіксіздігі. Келесі анықтама үйірдегі барлық функцияларды бірқалыпты үзіліссіздігі бір ... ... ... ... 6. Егер кез-келген үшін - нен ғана ... ... ... және шарттарына сай барлық нүктелерде және ... ... ... үшін ... онда ... үйірін біршенде үздіксіз деп атаймыз.
Бүл анықтама бойынша функциялар жиыны біршенде болу үшін, саны тек берілген ... ғана ... ... ... мен ... тәуелсіз табылуы шарт.
2 Хаусдорф теоремасы
2.1 ... ... ... ... ... ... парадоксы) -- көпшілік теориясында ... ... Т ... ... S2 екі ... ... қосымша болатын, үш бірдей бірін- бірі кесіп өтпейтін , және С жиынтық түрінде ... ... және бір - ... ... және ... Ең ... рет ... 1914 жылы жариялаған. Бұл теорема ( осының негізінде ... ... ... ... ... ... геометриялық тәжірибедегі (екі көшірмесін алты бөлікке бөліп, одан үш көшірмесін құрастыруға болатындығын айтады) теориялық-жиынтықтық ... ... ... кейде деп айтылады.
Теореманы дәлеледеуде таңдау аксиомасын пайдаланады. Бұл аксиоманы басқада баламалармен ауыстыру, Хаусдорф теоремасын теріске шығарып дәлелдейді (бұл, тиісті ... ... ... ... ... ). ... екі өлшемді салада соңғы қосымша өлшемі, басқа жиынтықтармен тең мән беретін конгруенттік жиынтықтар болмайтындығы көрінеді( яғни ... ... ... ... деп осы ... дәлелденген мақаладағы басқа теоремамен шатастырады. Бұл ... ... ... ... ... ... Бұл ... бірлік кесіндіні жұп бөліктерге бөлуге және тек бір ғана қозғаудың көмегімен екі кесіндінің ұзындығын құрауға болатындығын ... Бұл ... ... ... шегі жоқ екендігін көрсетеді. Бірақ шектеулі жиынтықтар жазықтығында (түзуде) жіктік жиынтықтар тең шек болатын соңғы - ... ... ... ... ... ...
Мұнда теореманың жеңілдетілген нұсқасын дәлелдейміз. Дәлірек, бөлінген сфераның тесілген жұп жиынтық нүктелерінің (оны деп атайық) үш жұп конгруенттік ... , және , ... ... ... (оны деп ... ... Бұл ... Хаусдорф теоремасы секілді екі өлшемді сферада барлық жиынтықта болатындай және қозғалыста өзгермейтіндей анықтауға болмайтындығын көрсетеді.
Дәлелдеу ... үш ... ... ... топтардың үш жиынтықта екі құратын арнайы бөлімін табамыз.
* Осы ... ... ... ... ... ... керекті ыдырауын жасау үшін, аралық мен таңдау аксиомасын пайдаланамыз.
Қадам 1
тобындағы екі құрағыш и и и ... ... ... ... , көбейтіндіні білдіреді). тобы бос сөзден тұрады, біз оны (бұл біздің ... ... және және үш ... тұратын барлық соңғы сөздерді және дан кейін жүретіндей. Осылайша барлық ... ... ... ... жолы ... ... немесе .
тобын келесідей бөліп көрсетуге болады: барлық сөздің жиынтығы ... -дан ... ... ... жиынтығы болады, -дан басталатында , -ның ... ... ... ... ... Белгілі болғаны
яғни, біз тобын үш бірін-бірі кесіп өтпейтін жиынтыққа бөлдік.Сондай - ақ,
Қадам 2
Сфераның айналуының көмегімен -ның бар ... және ... ... жұп сан ... басқа барлық сферада еркін екендігін көрсету қиын емес. Сферадан жұптық ... алып ... оның ... деп ... ... ... , ... по одному элементу каждой орбиты на -ден ... ... ... ... элементін қарастырайық (бұл жиынтынқтың барлығы туралы пікір таңдау ... ... Олай ... ... ... бір - ... қиыспайтын келесі жиынтықтардың бірігуі:
онда
1 қадамдағыдай әдіс қолданылады, біз аламыз:
және изометрия болғандықтан, , және конгруэнтті ... және , ... ... ... ... ... (нем. Felix Hausdorff; 8 қараша 1868, Бреслау -- 26 қаңтар 1942, Бонн) -- ... ... ... заманғы топологияның негізін қалаушылардың бірі.
Лейпциг университетін 1891 жылы ... ... ... ... ... кейінірек Бонн және Грейфсвальд қалаларындағы университеттердің профессоры болды.
1935 жылы еврей ұлтынан болғандықтан ұстаздық қызметінен босатылып, құрметті профессор ... ... жылы , ... ... жібермес бұрын, әйелімен, оның сіңілісімен бірге көп мөлшерде барбитал ішіп өз-өзіне қол жұмсаған.
Ең алғашқылардың бірі болып хаусдорф кеңістігінің ... ... ... (1914). ... ... , функционалды талдау, топологиялық топтар мен сандар теориясына көп үлес қосты .
Поль Монгре (Paul Mongré) лақап атымен жазушы ... де ... ... ... А. Н. ... С. В. ... ... функции и функционального анализа. М. 1975, 1989
2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы фуекционального анализа. М. ... ... Л. А., ... В. И. ... курс фуекционального анализа. М. 1982.
4. Рисс Ф. И., Секефальви-Надь Б. Лекции по ... ... М. ... ... Н. И. ... ... М. 1962
6. Шилов Г. Е. Математическии анализ, специальный курс. М. 1960
7. Треногин В.А., Писаржевскиий В.С., Соболева Т.С. Задачи и ... по ... ... - М.: ... ... ... А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. - М., 1979.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Көлемі: 12 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 100 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Кун-Таккер теоремасы және квадраттық программалау50 бет
Тізбек шегі . Штольц теоремасы .Больцано – Вейерштрасс леммасы.2 бет
Тейлор қатары. Жалғыздық теоремасы6 бет
Ықтималдық теориясының басты түсініктері және теоремасы4 бет
«Ядролық дәуірдегі геосаясат»5 бет
Астрофизикалық объектілерді фракталды талдау11 бет
Геосаясат сұрақ-жауап түрінде82 бет
Жұлдызаралық орта40 бет
Наурыз — халық мейрамы6 бет
Аксонометриялык проекциялар6 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь