Анықтауыштар және оларды есептеу
Кез келген n-реттегі А шаршы матрицаға, бір заңдылықпен, осы матрицаның n-реттегі анықтауышы немесе детерминанты деген атпен бір сан сәйкестендіріледі. Екінші және ушінші реттегі анықтауыштан бастайық.
Мына a11,a12 және a21,a22 төрт санынан тұратын кесте берілген болсын. Бұл кесте (матрица) екінші ретті деп аталады. Өйткені оның жол саны мен бағана саны өзара тең және ол екіге тең. Бұл жерде ескере кететін бір жай – матрица реті туралы ұғым тек оның жол саны мен тік бағана сандары тең болған жағдайда ғана айтылады. Ал оның жол саны мен бағана саны өзара тең болмаса, онда матрица мөлшері ретті емес деп есептелінеді.
Мына a11,a12 және a21,a22 төрт санынан тұратын кесте берілген болсын. Бұл кесте (матрица) екінші ретті деп аталады. Өйткені оның жол саны мен бағана саны өзара тең және ол екіге тең. Бұл жерде ескере кететін бір жай – матрица реті туралы ұғым тек оның жол саны мен тік бағана сандары тең болған жағдайда ғана айтылады. Ал оның жол саны мен бағана саны өзара тең болмаса, онда матрица мөлшері ретті емес деп есептелінеді.
Анықтауыштар және оларды есептеу
Кез келген n-реттегі А шаршы матрицаға, бір заңдылықпен, осы матрицаның n-
реттегі анықтауышы немесе детерминанты деген атпен бір сан
сәйкестендіріледі. Екінші және ушінші реттегі анықтауыштан бастайық.
Мына a11,a12 және a21,a22 төрт санынан тұратын
кесте берілген болсын. Бұл кесте (матрица) екінші ретті деп аталады.
Өйткені оның жол саны мен бағана саны өзара тең және ол екіге тең.
Сонымен(1.16) кестеге (матрицаға) сәйкес келетін екінші ретті анықтауыш
(детерминант) деп (а11а22-а12а21) санын айтады да, оны мына символмен:
бейнелейді. Бұл жерде ескере кететін бір жай – матрица реті туралы ұғым
тек оның жол саны мен тік бағана сандары тең болған жағдайда ғана айтылады.
Ал оның жол саны мен бағана саны өзара тең болмаса, онда матрица мөлшері
ретті емес деп есептелінеді.
Мысал.
матрицасы екі жолдан және үш бағанадан тұратын болғандықтан, оның көлемі
2x3 мөлшерлі матрицаның ғана анықтауышы болатынын көреміз.
Сонымен жоғарыдағы (1.17) анықтауыш екінші ретті анықтауыш деп аталады.
Себебі оның жол және бағана сандары екіге тең.
Үшінші және одан жоғары ретті анықтауыштар да осы екінші ретті
анықтауышқа ұқсас түрде анықталады. Сондықтан да үшінші ретті анықтауыш үш
жолдан және үш бағанадан тұрады:
.
Сол сияқты төртінші ретті анықтауыш төрт жолдан және төрт бағанадан
тұратын болады:
.
Осы сияқты онан әрі n-ретті анықтауыш n жолдан және n бағанадан тұрады.
Сонымен анықтауыштың реті оның жолдар саны мен бағана санының теңдігіне
байланысты. Олай болса екінші ретті анықтауышта 22=4 элемент, үшінші ретті
анықтауышта 32=9 элемент, осы сияқты n-ретті анықтауышты n2- элемент
болатындықтарын көреміз.
Енді осы анықтауыштарды қалай есептеп табуға болатындығына тоқталайық.
Біз екінші ретті анықтауыштың анықтамасын бергенде, оның қалай
есептелетьіндігін де бірден көрсетіп кеттік. Осыған байланысты тағы мына
бір жағдайды да бұдан былай қарай есте ұстаған жөн: (1.16) анықтауыштың сол
жақтағы жоғарғы бұрышынан оң жақтағы төменгі бұрышына қарай ойша
жүргізілген сызықтық осы анықтауыштың бас диагоналі деп аталады. Осыдан
барып екінші ретті анықтауыштың мәні оның бас диагоналінің бойында жатқан
элементтердің көбетіндісінен оның жанама диагоналінің бойында жатқан
элементтердің көбейтіндісін шегеріп тастағанда шығатын санға тең екенін
білеміз.
Ал енді үшінші ретті анықтауыштың мәнін есептеп шығару үшін Саррюс
ережесі деп аталатын ереже қолданылады. Осы ережеге тоқталайық. Үшінші
ретті анықтауыштың алдыңғы екі жолын оның төменгі жағына түсіріп жазайық.
Сонда төмендегідей №1-сызба келіп шығады. Енді осы сызбаның үстіндегі
берілген анықтауыштың бас диагоналінің бойындағы үш элементтің
көбейтіндісін а11а22а33 және оған екі параллельдің бойындағы үш
элементтердің көбейтінділерін а21а32а13, және а31а12а23 оң таңбамен, ал
теріс таңбамен –а13а22а31,-а23а32а11,-а33а12а21 аламыз.
Осылай алынған алты мүшенің алгебралық қосындысын берілген үшінші ретті
анықтауыштың мәні деп атайды. Үшінші ретті анықтауышты осылай есептеуді
Саррюс ережесі деп атайды.
Сонымен
Мысал.
Сонымен матрицалардың барлық түрлерінің ішінде тек шаршы матрицаның ғана
анықтауышы болады және ол немесе detA, немесе түрінде жазылады.
Анықтауыштың қасиеттері
1-қасиет. Анықтауыштың жатық жолдарын сәйкес тік жолдарымен алмастырғаннан,
яғни транспонерлегеннен анықтауыш мәні өзгермейді:
Теңдіктің дұрыстығын анықтауыштарды есептеу арқылы тексеруге болады.
2-қасиет. Анықтауыштың қандай да бір жолының ортақ көбейткішін анықтауыш
алдына шығаруға болады. Үшінші ретті анықтауыштың екінші жолындағы ортақ
көбейтішті анықтауыш алдына шығарамыз.
3-қасиет. Анықтауыштың екі жолының орнын ауыстырғанна анықтауыш таңбасы
қарама-қарсы таңбаға өзгереді. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші және
екінші жолдарын алмастырайық:
4-қасиет. Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса, онда анықтауыш мәні
нөлге тең. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші және екінші жолдары бірдей
болсын:
Теңдіктің дұрыстығын осы екі жолдың орындарын алмастырып 3-қасиетті
қолданып тексеруге болады.
5-қасиет. Анықтауыштың бір жолын қандай да бір санға көбейтіп басқа жолға
қосқаннан анықтауыш мәні өзгермейді. Үшінші ретті анықтауыштыңбірінші жолын
λ-ға көбейтіп екінші жолға қосайық:
6-қасиет. Үшбұрышты матрицаның анықтауышы диагональ бойындағы
элементтердің көбейтіндісінен тең:
Теңдіктің дұрыстығын анықтауышты бірінші тік немесе үшінші жатық жол
бойынша жіктеп тексеруге болады.
Осы қасиеттер көмегімен жоғары ретті анықтауыштар есептеуді көп
жеңілдетуге болады. Анықтауышты қандай да бір жолында неғұрлым көп ноль
болатындай етіп түрлендіріп, сол жол бойынша жіктеп анықтауыш реті
төмендетіледі.
Кері матрица
А=(аij) (i,j=1,2,...,n) квадрат матрицасын қарастырайық.
Анықтама. Анықтауышы нолге тең матрица ерекше, ал нолге тең емес матрица
ерешк емес матрица деп аталады.
Кез келген сан үшін мына теңдігін қанағаттандыратындай кері
сан табылады. Квадрат матрица үшін де осындай ұғым енгіземіз.
Анықтама. А квадрат матрица үшін мына
Теңдікті қанағаттандыратын А-1 матрица А матрицаның кері матрицасы деп
аталады.
Кері матрицаны мына формуламен табады:
Мұндағы -матрица анықтауышы, ал Аij-берілген матрицаның аij
элементтерінің алгебралық толықтауыштары, i=1,2,...,n; j=1,2,...,n.
Кез келген квадрат марицаның кері матрицасы бола бермейді.
Теорема.(Кері матрица болуының қажетті және жеткілікті шарты). Матрицаның
кері матрицасы болуы үшін ол ерекше емес матрица болуы қажетті және
жеткілікті.
Мысал. матрицасының кері матрицасын табу керек.
Шешуі. Алдымен анықтауышты есептейік.
, Яғни кері матрица бар. Енді элементтердің алгебралық
толықтауыштарын есептейік.
,
Табылған матрицаны формулаға қойып кері матрицаны табамыз.
Кері матрицаның дұрыс табылғандығын теңдігін тексеру арқылы көз
жеткізуге болады. Егер тепе-теңдігі орындалмаса, онда кері матрицаны
есептеп табу барысында қате кеткені. Сондықтан да кері матрица элементтерін
іздестіргенде, өте ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кез келген n-реттегі А шаршы матрицаға, бір заңдылықпен, осы матрицаның n-
реттегі анықтауышы немесе детерминанты деген атпен бір сан
сәйкестендіріледі. Екінші және ушінші реттегі анықтауыштан бастайық.
Мына a11,a12 және a21,a22 төрт санынан тұратын
кесте берілген болсын. Бұл кесте (матрица) екінші ретті деп аталады.
Өйткені оның жол саны мен бағана саны өзара тең және ол екіге тең.
Сонымен(1.16) кестеге (матрицаға) сәйкес келетін екінші ретті анықтауыш
(детерминант) деп (а11а22-а12а21) санын айтады да, оны мына символмен:
бейнелейді. Бұл жерде ескере кететін бір жай – матрица реті туралы ұғым
тек оның жол саны мен тік бағана сандары тең болған жағдайда ғана айтылады.
Ал оның жол саны мен бағана саны өзара тең болмаса, онда матрица мөлшері
ретті емес деп есептелінеді.
Мысал.
матрицасы екі жолдан және үш бағанадан тұратын болғандықтан, оның көлемі
2x3 мөлшерлі матрицаның ғана анықтауышы болатынын көреміз.
Сонымен жоғарыдағы (1.17) анықтауыш екінші ретті анықтауыш деп аталады.
Себебі оның жол және бағана сандары екіге тең.
Үшінші және одан жоғары ретті анықтауыштар да осы екінші ретті
анықтауышқа ұқсас түрде анықталады. Сондықтан да үшінші ретті анықтауыш үш
жолдан және үш бағанадан тұрады:
.
Сол сияқты төртінші ретті анықтауыш төрт жолдан және төрт бағанадан
тұратын болады:
.
Осы сияқты онан әрі n-ретті анықтауыш n жолдан және n бағанадан тұрады.
Сонымен анықтауыштың реті оның жолдар саны мен бағана санының теңдігіне
байланысты. Олай болса екінші ретті анықтауышта 22=4 элемент, үшінші ретті
анықтауышта 32=9 элемент, осы сияқты n-ретті анықтауышты n2- элемент
болатындықтарын көреміз.
Енді осы анықтауыштарды қалай есептеп табуға болатындығына тоқталайық.
Біз екінші ретті анықтауыштың анықтамасын бергенде, оның қалай
есептелетьіндігін де бірден көрсетіп кеттік. Осыған байланысты тағы мына
бір жағдайды да бұдан былай қарай есте ұстаған жөн: (1.16) анықтауыштың сол
жақтағы жоғарғы бұрышынан оң жақтағы төменгі бұрышына қарай ойша
жүргізілген сызықтық осы анықтауыштың бас диагоналі деп аталады. Осыдан
барып екінші ретті анықтауыштың мәні оның бас диагоналінің бойында жатқан
элементтердің көбетіндісінен оның жанама диагоналінің бойында жатқан
элементтердің көбейтіндісін шегеріп тастағанда шығатын санға тең екенін
білеміз.
Ал енді үшінші ретті анықтауыштың мәнін есептеп шығару үшін Саррюс
ережесі деп аталатын ереже қолданылады. Осы ережеге тоқталайық. Үшінші
ретті анықтауыштың алдыңғы екі жолын оның төменгі жағына түсіріп жазайық.
Сонда төмендегідей №1-сызба келіп шығады. Енді осы сызбаның үстіндегі
берілген анықтауыштың бас диагоналінің бойындағы үш элементтің
көбейтіндісін а11а22а33 және оған екі параллельдің бойындағы үш
элементтердің көбейтінділерін а21а32а13, және а31а12а23 оң таңбамен, ал
теріс таңбамен –а13а22а31,-а23а32а11,-а33а12а21 аламыз.
Осылай алынған алты мүшенің алгебралық қосындысын берілген үшінші ретті
анықтауыштың мәні деп атайды. Үшінші ретті анықтауышты осылай есептеуді
Саррюс ережесі деп атайды.
Сонымен
Мысал.
Сонымен матрицалардың барлық түрлерінің ішінде тек шаршы матрицаның ғана
анықтауышы болады және ол немесе detA, немесе түрінде жазылады.
Анықтауыштың қасиеттері
1-қасиет. Анықтауыштың жатық жолдарын сәйкес тік жолдарымен алмастырғаннан,
яғни транспонерлегеннен анықтауыш мәні өзгермейді:
Теңдіктің дұрыстығын анықтауыштарды есептеу арқылы тексеруге болады.
2-қасиет. Анықтауыштың қандай да бір жолының ортақ көбейткішін анықтауыш
алдына шығаруға болады. Үшінші ретті анықтауыштың екінші жолындағы ортақ
көбейтішті анықтауыш алдына шығарамыз.
3-қасиет. Анықтауыштың екі жолының орнын ауыстырғанна анықтауыш таңбасы
қарама-қарсы таңбаға өзгереді. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші және
екінші жолдарын алмастырайық:
4-қасиет. Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса, онда анықтауыш мәні
нөлге тең. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші және екінші жолдары бірдей
болсын:
Теңдіктің дұрыстығын осы екі жолдың орындарын алмастырып 3-қасиетті
қолданып тексеруге болады.
5-қасиет. Анықтауыштың бір жолын қандай да бір санға көбейтіп басқа жолға
қосқаннан анықтауыш мәні өзгермейді. Үшінші ретті анықтауыштыңбірінші жолын
λ-ға көбейтіп екінші жолға қосайық:
6-қасиет. Үшбұрышты матрицаның анықтауышы диагональ бойындағы
элементтердің көбейтіндісінен тең:
Теңдіктің дұрыстығын анықтауышты бірінші тік немесе үшінші жатық жол
бойынша жіктеп тексеруге болады.
Осы қасиеттер көмегімен жоғары ретті анықтауыштар есептеуді көп
жеңілдетуге болады. Анықтауышты қандай да бір жолында неғұрлым көп ноль
болатындай етіп түрлендіріп, сол жол бойынша жіктеп анықтауыш реті
төмендетіледі.
Кері матрица
А=(аij) (i,j=1,2,...,n) квадрат матрицасын қарастырайық.
Анықтама. Анықтауышы нолге тең матрица ерекше, ал нолге тең емес матрица
ерешк емес матрица деп аталады.
Кез келген сан үшін мына теңдігін қанағаттандыратындай кері
сан табылады. Квадрат матрица үшін де осындай ұғым енгіземіз.
Анықтама. А квадрат матрица үшін мына
Теңдікті қанағаттандыратын А-1 матрица А матрицаның кері матрицасы деп
аталады.
Кері матрицаны мына формуламен табады:
Мұндағы -матрица анықтауышы, ал Аij-берілген матрицаның аij
элементтерінің алгебралық толықтауыштары, i=1,2,...,n; j=1,2,...,n.
Кез келген квадрат марицаның кері матрицасы бола бермейді.
Теорема.(Кері матрица болуының қажетті және жеткілікті шарты). Матрицаның
кері матрицасы болуы үшін ол ерекше емес матрица болуы қажетті және
жеткілікті.
Мысал. матрицасының кері матрицасын табу керек.
Шешуі. Алдымен анықтауышты есептейік.
, Яғни кері матрица бар. Енді элементтердің алгебралық
толықтауыштарын есептейік.
,
Табылған матрицаны формулаға қойып кері матрицаны табамыз.
Кері матрицаның дұрыс табылғандығын теңдігін тексеру арқылы көз
жеткізуге болады. Егер тепе-теңдігі орындалмаса, онда кері матрицаны
есептеп табу барысында қате кеткені. Сондықтан да кері матрица элементтерін
іздестіргенде, өте ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz