Анықтауыштар және оларды есептеу

Кез келген n-реттегі А шаршы матрицаға, бір заңдылықпен, осы матрицаның n-реттегі анықтауышы немесе детерминанты деген атпен бір сан сәйкестендіріледі. Екінші және ушінші реттегі анықтауыштан бастайық.
Мына a11,a12 және a21,a22 төрт санынан тұратын кесте берілген болсын. Бұл кесте (матрица) екінші ретті деп аталады. Өйткені оның жол саны мен бағана саны өзара тең және ол екіге тең. Бұл жерде ескере кететін бір жай – матрица реті туралы ұғым тек оның жол саны мен тік бағана сандары тең болған жағдайда ғана айтылады. Ал оның жол саны мен бағана саны өзара тең болмаса, онда матрица мөлшері ретті емес деп есептелінеді.
        
        Анықтауыштар және оларды есептеу
Кез келген n-реттегі А шаршы ... бір ... осы ... ... ... немесе детерминанты деген ... бір ... ... және ... реттегі анықтауыштан бастайық.
Мына a11,a12 және a21,a22 төрт санынан тұратын
кесте берілген болсын. Бұл кесте (матрица) екінші ретті деп ... оның жол саны мен ... саны ... тең және ол ... ... ... (матрицаға) сәйкес келетін екінші ретті ... деп ... ... ... да, оны мына ... Бұл ... ескере кететін бір жай – матрица реті туралы ұғым
тек оның жол саны мен тік ... ... тең ... ... ғана ... оның жол саны мен ... саны ... тең болмаса, онда матрица ... емес деп ... екі ... және үш ... тұратын болғандықтан, оның көлемі
2x3 мөлшерлі матрицаның ғана анықтауышы болатынын көреміз.
Сонымен жоғарыдағы (1.17) анықтауыш екінші ретті анықтауыш деп ... оның жол және ... ... ... ... және одан ... ретті анықтауыштар да осы екінші ... ... ... анықталады. Сондықтан да үшінші ретті анықтауыш үш
жолдан және үш бағанадан тұрады:
.
Сол сияқты төртінші ретті анықтауыш төрт ... және төрт ... ... ... онан әрі ... ... n ... және n бағанадан тұрады.
Сонымен анықтауыштың реті оның жолдар саны мен бағана ... ... Олай ... ... ... ... 22=4 элемент, үшінші ретті
анықтауышта 32=9 ... осы ... ... ... n2- ... ... осы ... қалай есептеп табуға болатындығына тоқталайық.
Біз екінші ретті анықтауыштың анықтамасын бергенде, оның ... де ... ... ... ... ... тағы ... жағдайды да бұдан былай қарай есте ұстаған жөн: (1.16) ... ... ... ... оң ... ... ... қарай ойша
жүргізілген сызықтық осы анықтауыштың бас ... деп ... ... ... ... ... мәні оның бас диагоналінің бойында жатқан
элементтердің көбетіндісінен оның ... ... ... ... ... шегеріп тастағанда шығатын санға тең екенін
білеміз.
Ал енді үшінші ретті анықтауыштың ... ... ... үшін ... деп ... ... ... Осы ережеге тоқталайық. Үшінші
ретті анықтауыштың алдыңғы екі жолын оның төменгі жағына ... ... ... ... ... ... Енді осы ... үстіндегі
берілген анықтауыштың бас диагоналінің бойындағы үш ... ... және оған екі ... ... ... ... ... және а31а12а23 оң ... ... ... ... аламыз.
Осылай алынған алты мүшенің алгебралық қосындысын берілген үшінші ретті
анықтауыштың мәні деп атайды. Үшінші ретті анықтауышты осылай есептеуді
Саррюс ережесі деп ... ... ... ... ... тек ... ... ғана
анықтауышы болады және ол немесе detA, немесе түрінде жазылады.
Анықтауыштың қасиеттері
1-қасиет. Анықтауыштың жатық жолдарын сәйкес тік жолдарымен ... ... ... мәні ... ... ... есептеу арқылы тексеруге болады.
2-қасиет. Анықтауыштың қандай да бір ... ... ... ... ... ... Үшінші ретті анықтауыштың екінші жолындағы ортақ
көбейтішті анықтауыш алдына шығарамыз.
3-қасиет. Анықтауыштың екі жолының орнын ауыстырғанна анықтауыш ... ... ... ... ретті анықтауыштың бірінші және
екінші жолдарын алмастырайық:
4-қасиет. Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса, онда ... ... тең. ... ... ... ... және ... жолдары бірдей
болсын:
Теңдіктің дұрыстығын осы екі жолдың орындарын ... ... ... ... ... бір ... қандай да бір санға көбейтіп басқа жолға
қосқаннан анықтауыш мәні өзгермейді. Үшінші ретті анықтауыштыңбірінші жолын
λ-ға көбейтіп ... ... ... ... матрицаның анықтауышы диагональ ... ... ... дұрыстығын анықтауышты бірінші тік немесе үшінші жатық жол
бойынша ... ... ... қасиеттер көмегімен жоғары ретті ... ... ... ... ... ... да бір ... неғұрлым көп ноль
болатындай етіп түрлендіріп, сол жол ... ... ... ... матрица
А=(аij) (i,j=1,2,…,n) квадрат матрицасын қарастырайық.
Анықтама. Анықтауышы нолге тең матрица ерекше, ал нолге тең емес матрица
ерешк емес матрица деп ... ... сан үшін мына ... ... ... табылады. Квадрат матрица үшін де осындай ұғым енгіземіз.
Анықтама. А ... ... үшін ... ... А-1 ... А ... кері матрицасы деп
аталады.
Кері матрицаны мына формуламен табады:
Мұндағы ... ... ал ... ... аij
элементтерінің алгебралық толықтауыштары, i=1,2,…,n; j=1,2,…,n.
Кез келген квадрат марицаның кері ... бола ... ... болуының қажетті және жеткілікті шарты). Матрицаның
кері матрицасы болуы үшін ол ерекше емес матрица болуы қажетті және
жеткілікті.
Мысал. ... кері ... табу ... ... ... ... Яғни кері матрица бар. Енді ... ... ... ... ... ... ... кері матрицаны табамыз.
Кері матрицаның дұрыс табылғандығын теңдігін тексеру арқылы көз
жеткізуге болады. Егер ... ... онда кері ... табу ... қате ... Сондықтан да кері матрица элементтерін
іздестіргенде, өте мұқият болу керек.
Матрица рангісі
Mxn өлшемді а матрицаның бірнеше жатық және тік жолдарын сызып ... ... ... ... матрица алуға болады. Осы квадрат матрица
анықтауышы берілген матрицаның k өлшемді ... деп ... ... k өлшемді минорлар саны болады.
Анықтама. Матрицаның нөлге тең емес ... ең ... реті ... деп ... бірден мынадай тұжырым жасауға болады:
1. Аmxn матрицасының рангісі оның өлшемдерінің кішісінен артпайды:
r(A) ≤min(m,n).
2. Барлық ... ноль ... ғана ... ... ... тең болады.
3. n-ретті квадрат матрица ерекше емес болғанда матрица ... n-ге ... ... ... ... ... өлшемі 3x4 болғандықтан, оның рангісін 3-тен артпайды, r(A)
≤min(3,4). Егер ... ... ... ең ... ... ... ... онда матрица рангісі 3-ке тең болады. ... ... ... бір тік ... ... тастағанда пайда болады:
Үшінші ретті минорлардың бәрі нөлге тең болғандықтан, ранг 3-ке тең бола
алмайды. Енді екінші ретті ... ... ең ... бір нөлге тең
емес минор тапсақ, матрица рангісі 2-ге тең болады. Екінші ретті минорлар
матрицаның бір жатық, екі тік ... ... ... ... ... ... жатық жол мен бірінші және екінші тік жолдарды сызып тастағанда
пайда ... мына ... ... ... ... сайын оның рангісін барлық нолден өзге минорларды
есептеу жолымен анықтау қиындайды. Матрица рангісін элементар түрлендірулер
әдісімен табу ондай қиындықтардан тұрады. ... ... ... рангісін өзгертпейді.
Дәлелдеуі. Матрицаға элементар түрлендірулер жүргізгенде оның ... ... ... не ... тең емес ... ... Яғни, оның реті
өзгермейді деген сөз. Олай болса, нолден өзгеше минорлардың ... ... реті де ... ... ... ... ... жасап, берілген матрицаны
барлық диагональдық элементтері нолден ... ... етіп ... ... r≤n. Осы ... орындалуын матрицаны транпонерлеу ... ... ... ... ... ... өзге миноры
Бар болады да, матрица рангісі r-ге тең болады, яғни
r(A)=r.
Меншік мәндер және ... ... А ... ... x≠0 ... ... вектор деп аталады,
егер сияқты саны бар болса.
саны х векторына ... ... ... меншік мәні деп
аталады.
Анықтама бойынша менік вектор операторының әсерінен ... ... ... ... ... ... ... көбейтіледі. Сонымен қатар
меншік векторлар күрделі жолмен құрылады. Сол ... ... ... мәні
және мағынасы матеметикалық алгебранының көптеген сұрақтарын талдағанда өте
ыңғайлы және қажетті болып табылады.
Мына тепе-теңдікті ... ... ... болады:
Немесе
Жүйенің оң жағына нолді шығарып жазамыз:
Бұл жүйенің ... ... ноль ... х=0=(0,0,...,0). Жүйені анықтау
үшін нолдік шешімнің болуы қажетті және жеткілікті.
анықтауышы ... ... ... ... Бұл көпмүше
операторының немесе А матрицасыны сипаттамалық көпмүшесі деп аталады,
ал теңдік операторының немесе А ... ... ... ... оператордың сипаттамалық көпмүшесі базис таңдауына тәуелсіз.
Егер ескі е1,е2,...,еп базистен жаңа ... ... ... ... ... жаңа ... сипаттамалық көпмүшесін құрамыз. Сонда
алатынымыз.
Квадраттық матрицаның анықтауышы мына матрицаларға тең ... ... ... ... ... ... сызықтық операторының меншік мәндерін
және меншік векторын табу керек.
Шешуі. Сипаттамалық теңдік ... ... ... меншік мәндері
меншік мәніне сәйкес меншік векторды ... Ол ... ... ... ... қоя ... ... мәнді
сызықтық операторының кез ... ... ... ... ... сияқты векторы мәнді сызықтық операторының кез
келген мәніндегі ... ... ... ... ... п ретті е1,е2,...,еп меншік векторлы және
меншік мәндері бар А матрицасы ең қарапайым болып ... ... ... деп ... ... ... , егер , және , егер i=j. ... өзінің меншік
векторларынан базис құратын операторын ... ... ... ... А ... ... ... диагональды
болса, онда осы базистің ... ... ... операторының
меншік векторлары.
Мысал:
сызықтық операторының матрицасын диагональдық түрге келтіру.
Шешуі: Жоғарыда келтірілген мысалда меншік мәндері және ... ... ... ... және ... ... пропоционалды болмағандықтан, және
веторлары сызықтық тәуелсіз болады. Сондықтан ,кез ... ... ... ... А ... диагональдық түрге келеді:
немесе
және тәуелсіз меншік векторларын жаңа базис ретінде алып
тексеруге болады. Шынымен де ескі ... жаңа ... ... ... болады: . Жаңа , базистегі А матрицасы мынадай түрге
келеді:
есептегеннен кейін бас диагональ ... ... ... тең сол ... ... ... ... қолдану
1-мысал.
; ;
; ;
Сөйтіп екеніне көз жеткіземіз.
2-мысал.
, .
Бұл жерден
және .
Сонымен қатар
Екенін және
Болатынын, одан келіп
Екендігін көреміз.
3-мысал.
және
Осыдан
; ... ... ... А*В=? B*A=?
Бұл мысалдан, жалпы алғанда, (тең еместігін) көреміз. Ал олардың
тең болуы тек кейбір дербес ... ғана ...

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Көлемі: 13 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа әдістері23 бет
Анықтауыш29 бет
Бүтін сандар жиынында анықталмаған теңдеулерді шешу әдістері28 бет
Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері. Крамер формуласы4 бет
Матрица, анықтауыш, векторлар6 бет
Сызықтық алгебра элементтері. анықтауыштар.матрицалар14 бет
Тиімді шешім туралы ұғым23 бет
Қазіргі қазақ тіліндегі етістіктен жасалған анықтауыштар53 бет
Қазақ және түрік антропонимдерінің мәнін, олардың этномәдени табиғатына тереңдеу арқылы тарихи сабақтастығын анықтап, екі тілдегі кісі есімдерінің көне түркі негізін орхон - енисей, талас және т. б. ескерткіштеріндегі жазбалар арқылы тауып, салыстырып, ұмытылып бара жатқан көне лексемалармен тіркескен антропонимдерді жаңғырту және қолданысқа енгізу52 бет
"Әлеуметтік дезадаптацияның себептері."3 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь