Метрикалық есептер

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

Метрикалық есептер

Жалпы мәліметтер

Метрикалық есептерге кешенді сызбада арақашықтықтың, бұрыштың және жазық фигуралардың табиғи шамаларын анықтауға байланысты есептер жатады. Метрикалық есептердің 3 тобын көрсетуге болады:

1. Бір нүктеден екінші нүктеге дейінгі; нүктеден түзуге дейінгі; нүктеден жазықтыққа дейінгі; нүктеден бетке дейінгі; бір түзуден екінші түзуге дейінгі; түзуден жазықтыққа дейінгі; бір жазықтықтан екінші жазықтыққа дейінгі арақашықтықтарды анықтаудан тұратын есептер тобы.

Түзуден жазықтыққа дейінгі және жазықтықтар арасындағы қашықтықтар олар параллель орналасқан жағдайда өлшенеді.

2. Қиылысушы түзулер, түзу мен жазықтық арасындағы, жазықтықтар арасындағы бұрыштарды анықтаудан тұратын есептер тобы.

3. Жазық фигураның және бет бөлігінің нағыз дәл шамасын анықтаумен байланысты есептер тобы.

Келтірілген есептер сызбаны түрлендірудің әртүрлі әдістерін қолданып шешілуі мүмкін. Метрикалық есептерді шешу негізінде тікбұрышты проекциялау қасиеті жатыр, ол келесіні білдіреді.

Кез келген геометриялық фигура проекция жазықтығына табиғи шамада проекцияланады, егер ол осы проекция жазықтығына параллель орналасқан жазықтықта жататын болса.

Есепке қатысушы геометриялық фигуралардың кем дегенде біреуі дербес жағдайда болса, онда олардың біреуін осы жағдайға келтіруге мүмкіндік беретін белгілі бір салуды орындау керек.

Арақашықтықтың дәл шамасын анықтау

Түзу кесіндісінің ұзындығын анықтау бір нүктеден екінші нүктеге дейінгі арақашықтықты анықтау есебін шешуге мүмкіндік береді, себебі бұл арақашықтық түзу кесіндісімен анықталады. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық нүктеден түзуге жүргізілген перпендикуляр кесіндісімен өлшенеді. Бұл перпендикуляр кесіндісі жазықтықта дәл шамасымен бейнеленеді, егер ол проекциялаушы түзуге жүргізілген болса. Яғни, берілген түзу сызбасын проекциялар жазықтығының жаңа жүйесінде проекциялаушы болатындай етіп түрлендіру керек. 1 - суретте М нүктесінен АВ түзуіне дейінгі арақашықтық анықталған:

1) П ₂ ┴ П ₁ → П ₁ ┴ П ₄ , П ₄ ║ АВ, П ₁ /П ₄ А ₁ В ₁ ;

2) П ₁ П ₄ → П ₄ ┴ П ₅ , П ₅ ┴ АВ, П ₄ /П ₅ ┴ А ₄ В ₄ ;

3) М ₅ К ₅ - М нүктесінен АВ түзуіне дейінгі дәл арақашықтық.

4) Жазықтықтың бастапқы жүйесінде МК перпендикулярының проекциясын салу үшін перпендикулярдың табаны - К нүктесін - АВ түзуінде тұрғызады, бұл П ₄ ┴ П ₅ жүйесінде деңгей сызығының орнын алады деген шарттан шығады, яғни М ₄ К ₄ ┴ А ₄ В ₄ . К нүктесінің көлденең және фронтальды проекциялары оның АВ түзуінде жататындығы шартымен анықталады.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық нүктеден жазықтыққа түсірілген перпендикуляр кесіндісімен өлшенеді. Проекциялаушы жазықтыққа жүргізілген перпендикуляр деңгей сызығы болғандықтан, сызбада берілген жазықтықтың «айқын» проекциясын алу, яғни сызбаны түрлендіру қолайлы болады.

2 - суретте МК перпендикулярының проекциясы салынған, оның кесіндісі М нүктесінен (АВС) жазықтығына дейінгі арақашықтықты анықтайды:

1) П ₁ ┴ П ₂ → П ₁ ┴ П ₄ , П ₄ ┴ Ө, П ₁ /П ₄ ┴ Һ ₁ , Һ(А, 1) € Ө;

2) М ₄ К ₄ ┴ Ө - М нүктесінен Ө жазықтығына дейінгі қашықтықтың дәл шамасы;

3) М ₁ К ₁ ┴ К ₄ К ₁ немесе ║П ₁ /П ₄ ;

4) К ₂ К нүктесінің П ₄ жазықтығында өлшенген биіктігі көмегімен салынған.

Параллель түзулер арасындағы қашықтық олардың арасындағы перпендикуляр кесіндісімен өлшенеді. 3 - суретте а және в түзулері арасындағы қашықтық түзулер сызбасын түрлендіру жолымен анықталған. Алдымен П ₄ ┴ П ₁ жазықтығында түзулер бейнесі салынады. Бұл жазықтықтар жүйесінде түзулер деңгей сызығы орнын алады:

а(b) ║ П ₄ ; П ₁ /П ₄ а ₁ (b ₁ ) ;

П ₄ ┴ П ₅ Жазықтықтар жүйесінде түзулер П ₅ жазықтығына қатысты проекциялаушы жағдайда болады: П ₅ ┴ а(b) ; П ₄ /П ₅ а ₄ (b ₄ ) ;

Түзулердің айқын проекциялары арасындағы М ₅ К ₅ кесіндісі а және в түзулері арасындағы қашықтықтың дәл шамасын анықтайды.

Қиылысқан түзулер арасындағы қашықтықты анықтау үшін түзулердің біреуін проекция жазықтықтарының жаңа жүйесінде проекциялаушы ету керек.

Өзара параллель жазықтықтар арасындағы арақашықтық олардың арасындағы перпендикуляр кесіндісімен өлшенеді, ол жазықтықтар проекция жазықтықтарының жаңа жүйесінде проекциялаушы орын алатын болса оңай салынады.

Бұрыштардың дәл шамасын анықтау

Бұрыштардың дәл шамаларын анықтау есебін бастапқы сызбаны деңгей сызығы айналасында айналдыру әдісімен түрлендіру жолымен шешкен ыңғайлы.

4 - суреттегі қиылысқан с және d түзулері арасындағы бұрыштардың дәл шамасы келесі түрде анықталған: бұрыш жазықтығы өз фронталі f (1, 2) айналасында f фронталі арқылы өтетін ф(ф ₁ ) деңгейінің фронтальды жазықтығымен қосуға дейін бұрылған. М ₂ проекциясы ∑ ₂ проекциясында орналасқан.

Тікбұрышты О ₂ М ₂ М үшбұрышының көмегімен r айналу радиусының мәнін анықтап және оны айналу центрінің фронтальды проекциясынан ∑ ₂ проекциясына қоя отырып, П ₂ жазықтығында М нүктесінің бейнесін аламыз. 1 және 2 қозғалмайтын нүктелерінің фронтальды проекцияларын салынған М нүктесімен қоса отырып, c және d түзулерінің Ф жазықтығымен қосылған с ₂ және d ₂ проекцияларын аламыз. c ₂ және d ₂ түзулерінің арасындағы бұрыш с және d түзулерінің арасындағы ізделінді бұрыштың шамасын анықтайды.

Бұл есеп сонымен қатар проекция жазықтықтарын алмастыру әдісімен де шешілуі мүмкін. Ол үшін проекция жазықтықтарының екі ауысуымен бұрыш жазықтығын деңгей жазықтығы ету керек.

Айқас түзулер арасындағы бұрыш шамасы осы айқас түзулерге параллель орналасқан 2 қиылысқан түзу арасындағы бұрыш ретінде анықталады.

l түзуі және Ө жазықтығы арасындағы бұрышы берілген l түзуі мен берілген жазықтыққа жүргізілген n перпендикуляры арасындағы қосымша β бұрышы арқылы анықталуы мүмкін.

β бұрышы ізделінді α бұрышын 90 ⁰ -қа дейін толықтырады. β бұрышының шамасын l түзуі мен n перпендикуляры арасындағы бұрыштың деңгей жазықтығы түзуі айналасында айналдыру жолымен анықтап, оны тік бұрышқа дейін толықтыру керек. Осы қосымша бұрыш l түзуі мен Ө жазықтығы арасындағы α бұрышының дәл шамасын береді.

2 жақты бұрыш - 2 Ө және λ жазықтықтары арасындағы бұрыштың дәл шамасы не проекция жазықтығын екі жақты бұрыштың қабырғасын проекциялаушы түзуге түрлендіру мақсатында алмастыру жолымен, не егер, қабырға берілген жазықтықтарға жүргізілген n ¹ және n ² екі перпендикуляры арасындағы бұрыш ретінде берілмесе.

Осы перпендикулярлар жазықтығында М нүктесінде Ө және λ жазықтықтары арқылы құрылған екі сыбайлас бұрыштардың сәйкесінше сызықтық бұрыштарына тең болатын екі жазық α және β бұрыштарын аламыз.

4. Жазық фигураның дәл шамасын анықтау

Жазық фигураның дәл шамасын анықтауды сызбаны проекция жазықтықтарын ауыстыру әдісі арқылы түрлендіру жолымен жүзеге асыруға болады.

5, а-суретте ABCD тіктөртбұрышының кешендік сызбасы берілген. Тіктөртбұрыштың бірде-бір проекциясы дербес жағдайда болмайды. Есепті негізгі үшінші және төртінші есептерді біртіндеп шешу арқылы шығарамыз. П ₂ жазықтығын П ₄ жазықтығымен ауыстырып, тіктөртбұрышты дербес жағдайға әкелеміз, яғни П ₄ жазықтығына қатысты проекциялаушы түріне келтіреміз. Екінші ауыстыруды, яғни П ₄ жазықтығын П ₅ жазықтығымен алмастырып, ABCD тіктөртбұрышының дәл шамасын анықтаймыз.

Тіктөртбұрыштың дәл шамасын анықтауды сонымен бірге, жазықтықтың деңгей сызығы айналасында осы фигураны сәйкес деңгей жазықтығымен қосқанға дейін айналдыру әдісімен де шешуге болады (5, б-сурет) .

Қарастырылған есептер қатарында сонымен қатар, проекциялаушы жазықтық бетінің қималық фигурасының дәл шамасын анықтау есебі де шешілуі мүмкін. Бұл жағдайда проекция жазықтығының бір ауыстыруы жеткілікті.

АВ қима фигурасының ұзындығы П ₂ жазықтығында дәл шамасында бейнеленеді, өйткені қиюшы жазықтық фронталі фигурасының кесіндісі болып табылады.

Беттер бұрылысының салынуы

Парақтық материалдан әртүрлі конструкциялар мен бұйымдарды жасау кезінде беттер бұрылысын салу үлкен мәнге ие болады. Егер, бетті иілгіш созылмайтын пленка ретінде елестетсек, онда олардың кейбіреулерін майыстыру жолымен үзіліссіз және деформациясыз жазықтықпен қосуға болады. Мұндай беттер бұрылыстыққа жатады, ал нәтижесінде алынған жазық фигура осы фигураның бұрылысы деп аталады.

Үзіліссіз және деформациясыз қосуға болмайтын беттер бұрылмайтындар қатарына жатады.

Практикада парақтық темірден тек қана бұрылатын жазықтықтарды дайындау қажеттіліг туындайды. Теориялық түрде тек қана жақты беттер, торстар, конустық немесе цилиндрлік беттер дәл бұрмаланады.

Жалпы түрдегі конустық және цилиндрлік беттер бұру кезінде іштей сызылған жақты беттермен аппроксимацияланады. Бұл жағдайда іштей сызылған бет неғұрлым көп жақтан тұрған сайын, соғұрлым оның бұрылысы дәл болады. Осындай жолмен құрылған беттер бұрылысы жуықталған деп аталады.

Бұрылмайтын беттердің бұрылыстарын салу үшін бұл беттерді жуықтап бұрылатын беттермен ауыстыруға болатынбөліктерге бөлуге болады. Содан кейін осы бөліктердің бұрылыстарын салады, олар қосылып бұрылмайтын беттердің шартты бұрылыстарын береді.

Беттерді бұру кезінде жазықтықта беттің әрбір нүктесіне бұрылыстағы жалғыз нүкте сәйкес келеді: бет сызығы бұрылыс сызығына көшеді; тұйық сызықтармен шектелген жазық бұрыштар мен аудандардың шамалары, сызық ұзындықтары өзгерместен қалады.

Осылай, бұрылыс салу процесі беттің әрбір элементінің дәл шамасын іздеуге және олардың жазықтықтағы бейнесін іздеуге келтіріледі.

Пирамидалық және конустық беттердің бұрылысы

Пирамидалық және конустық беттердің бұрылыстары триангуляция (үшбұрыштар әдісі) әдісімен салынады. Бұл беттердің бұрылыстарын салу үшін бұрылатын пирамида бетінен тұратын немесе бұрылатын конустық бетті ауыстыратын үшбұрыштардың дәл шамасын бірнеше рет салуға әкеледі.

6-суретте ∑(∑ ₂ ) фронтальды проекциялаушы жазықтықпен қиылған SABC пирамидасының толық бұрылуы салынған.

Алдымен барлық пирамиданыңқапталдық жақтарының дәл шамаларынан тұратын қапталдық беттерінің бұрылысын салу керек. Ол үшін қапталдық қабырғаларының дәл шамасын анықтау керек. 6-суретте AS, BS, CS қабырғаларының дәлшамасы тікбұрышты үшбұрыш әдісімен құрылған.

Бұл жағдайда бір катеті ретінде S нүктесінің А, В және С нүктелерінен жоғарылатылуы алынған, ал екінші катет - сәйкесінше қабырғаның көлденең проекциясы. S ₂ C ^* , S ₂ B ^* , S ₂ A ^* гипотенузалары қапталдық қабырғалардың дәл шамасын береді. Пирамида табаны көлденең орналасқан, сондықтан П _» жазықтығында ∆АВС табанының және АВ, ВС, АС қабырғаларының дәл шамаларын аламыз.

Бұрылыстағы әрбір қапталдық жақ үш қабырғасы бойынша үшбұрыш ретінде құрылады. CS - ең қысқа қапталдық қабырға, сондықтан ойша пирамида осы қабырға бойынша кесіледі.

Бұрылысқа пирамиданың ∑ жазықтығымен қиылысу төбелеріне сәйкес келетін Д, Е, және F нүктелерін салу үшін осы нүктелердің S төбесіне дейінгі арақашықтығын анықтау керек.

Пирамиданың қиылған бөлігі бетінің қапталдық жағының бұрылысын салу үшін оған пирамиданың табаны мен қимасының дәл шамасын беретін А В С және Д Е Ғ үшбұрыштарын тұрғызу керек.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.