Метрикалық есептер

Кіріспе

Метрикалық есептерге кешенді сызбада арақашықтықтың, бұрыштың және жазық фигуралардың табиғи шамаларын анықтауға байланысты есептер жатады. Метрикалық есептердің 3 тобын көрсетуге болады:
1. Бір нүктеден екінші нүктеге дейінгі; нүктеден түзуге дейінгі; нүктеден жазықтыққа дейінгі; нүктеден бетке дейінгі; бір түзуден екінші түзуге дейінгі; түзуден жазықтыққа дейінгі; бір жазықтықтан екінші жазықтыққа дейінгі арақашықтықтарды анықтаудан тұратын есептер тобы.
Түзуден жазықтыққа дейінгі және жазықтықтар арасындағы қашықтықтар олар параллель орналасқан жағдайда өлшенеді.
2. Қиылысушы түзулер, түзу мен жазықтық арасындағы, жазықтықтар арасындағы бұрыштарды анықтаудан тұратын есептер тобы.
3. Жазық фигураның және бет бөлігінің нағыз дәл шамасын анықтаумен байланысты есептер тобы.
Келтірілген есептер сызбаны түрлендірудің әртүрлі әдістерін қолданып шешілуі мүмкін. Метрикалық есептерді шешу негізінде тікбұрышты проекциялау қасиеті жатыр, ол келесіні білдіреді.
Кез келген геометриялық фигура проекция жазықтығына табиғи шамада проекцияланады, егер ол осы проекция жазықтығына параллель орналасқан жазықтықта жататын болса.
Есепке қатысушы геометриялық фигуралардың кем дегенде біреуі дербес жағдайда болса, онда олардың біреуін осы жағдайға келтіруге мүмкіндік беретін белгілі бір салуды орындау керек.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

Метрикалық есептер

1. Жалпы мәліметтер

Метрикалық есептерге кешенді сызбада арақашықтықтың, бұрыштың және
жазық фигуралардың табиғи шамаларын анықтауға байланысты есептер жатады.
Метрикалық есептердің 3 тобын көрсетуге болады:
1. Бір нүктеден екінші нүктеге дейінгі; нүктеден түзуге дейінгі;
нүктеден жазықтыққа дейінгі; нүктеден бетке дейінгі; бір түзуден екінші
түзуге дейінгі; түзуден жазықтыққа дейінгі; бір жазықтықтан екінші
жазықтыққа дейінгі арақашықтықтарды анықтаудан тұратын есептер тобы.
Түзуден жазықтыққа дейінгі және жазықтықтар арасындағы қашықтықтар
олар параллель орналасқан жағдайда өлшенеді.
2. Қиылысушы түзулер, түзу мен жазықтық арасындағы, жазықтықтар
арасындағы бұрыштарды анықтаудан тұратын есептер тобы.
3. Жазық фигураның және бет бөлігінің нағыз дәл шамасын анықтаумен
байланысты есептер тобы.
Келтірілген есептер сызбаны түрлендірудің әртүрлі әдістерін қолданып
шешілуі мүмкін. Метрикалық есептерді шешу негізінде тікбұрышты проекциялау
қасиеті жатыр, ол келесіні білдіреді.
Кез келген геометриялық фигура проекция жазықтығына табиғи шамада
проекцияланады, егер ол осы проекция жазықтығына параллель орналасқан
жазықтықта жататын болса.
Есепке қатысушы геометриялық фигуралардың кем дегенде біреуі дербес
жағдайда болса, онда олардың біреуін осы жағдайға келтіруге мүмкіндік
беретін белгілі бір салуды орындау керек.

2. Арақашықтықтың дәл шамасын анықтау
Түзу кесіндісінің ұзындығын анықтау бір нүктеден екінші нүктеге
дейінгі арақашықтықты анықтау есебін шешуге мүмкіндік береді, себебі бұл
арақашықтық түзу кесіндісімен анықталады. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық
нүктеден түзуге жүргізілген перпендикуляр кесіндісімен өлшенеді. Бұл
перпендикуляр кесіндісі жазықтықта дәл шамасымен бейнеленеді, егер ол
проекциялаушы түзуге жүргізілген болса. Яғни, берілген түзу сызбасын
проекциялар жазықтығының жаңа жүйесінде проекциялаушы болатындай етіп
түрлендіру керек. 1 - суретте М нүктесінен АВ түзуіне дейінгі арақашықтық
анықталған:
1) П2 ┴ П1 → П1 ┴ П4, П4 ║ АВ, П1П4 А1В1;
2) П1П4 → П4 ┴ П5 , П5 ┴ АВ, П4П5 ┴ А4В4;
3) М5 К5 – М нүктесінен АВ түзуіне дейінгі дәл арақашықтық.
4) Жазықтықтың бастапқы жүйесінде МК перпендикулярының проекциясын
салу үшін перпендикулярдың табаны – К нүктесін – АВ түзуінде тұрғызады, бұл
П4 ┴ П5 жүйесінде деңгей сызығының орнын алады деген шарттан шығады, яғни
М4 К4 ┴ А4В4. К нүктесінің көлденең және фронтальды проекциялары оның АВ
түзуінде жататындығы шартымен анықталады.
Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық нүктеден жазықтыққа түсірілген
перпендикуляр кесіндісімен өлшенеді. Проекциялаушы жазықтыққа жүргізілген
перпендикуляр деңгей сызығы болғандықтан, сызбада берілген жазықтықтың
айқын проекциясын алу, яғни сызбаны түрлендіру қолайлы болады.
2 – суретте МК перпендикулярының проекциясы салынған, оның кесіндісі
М нүктесінен (АВС) жазықтығына дейінгі арақашықтықты анықтайды:
1) П1 ┴ П2 → П1 ┴ П4, П4 ┴ Ө, П1П4 ┴ Һ1, Һ(А, 1) € Ө;
2) М4К4 ┴ Ө – М нүктесінен Ө жазықтығына дейінгі қашықтықтың дәл
шамасы;
3) М1К1 ┴ К4К1 немесе ║П1П4;
4) К2 К нүктесінің П4 жазықтығында өлшенген биіктігі көмегімен
салынған.
Параллель түзулер арасындағы қашықтық олардың арасындағы перпендикуляр
кесіндісімен өлшенеді. 3 – суретте а және в түзулері арасындағы қашықтық
түзулер сызбасын түрлендіру жолымен анықталған. Алдымен П4 ┴ П1
жазықтығында түзулер бейнесі салынады. Бұл жазықтықтар жүйесінде түзулер
деңгей сызығы орнын алады:
а(b) ║ П4; П1П4 а1(b1);
П4 ┴ П5 Жазықтықтар жүйесінде түзулер П5 жазықтығына қатысты
проекциялаушы жағдайда болады: П5 ┴ а(b); П4П5 а4(b4);
Түзулердің айқын проекциялары арасындағы М5К5 кесіндісі а және в
түзулері арасындағы қашықтықтың дәл шамасын анықтайды.
Қиылысқан түзулер арасындағы қашықтықты анықтау үшін түзулердің
біреуін проекция жазықтықтарының жаңа жүйесінде проекциялаушы ету керек.
Өзара параллель жазықтықтар арасындағы арақашықтық олардың арасындағы
перпендикуляр кесіндісімен өлшенеді, ол жазықтықтар проекция
жазықтықтарының жаңа жүйесінде проекциялаушы орын алатын болса оңай
салынады.

3. Бұрыштардың дәл шамасын анықтау

Бұрыштардың дәл шамаларын анықтау есебін бастапқы сызбаны деңгей
сызығы айналасында айналдыру әдісімен түрлендіру жолымен шешкен ыңғайлы.
4 – суреттегі қиылысқан с және d түзулері арасындағы бұрыштардың дәл
шамасы келесі түрде анықталған: бұрыш жазықтығы өз фронталі f(1,2)
айналасында f фронталі арқылы өтетін ф(ф1) деңгейінің фронтальды
жазықтығымен қосуға дейін бұрылған. М2 проекциясы ∑2 проекциясында
орналасқан.
Тікбұрышты О2М2М үшбұрышының көмегімен r айналу радиусының мәнін
анықтап және оны айналу центрінің фронтальды проекциясынан ∑2
проекциясына қоя отырып, П2 жазықтығында М нүктесінің бейнесін аламыз. 1
және 2 қозғалмайтын нүктелерінің фронтальды проекцияларын салынған М
нүктесімен қоса отырып, c және d түзулерінің Ф жазықтығымен қосылған с2
және d2 проекцияларын аламыз. c2 және d2 түзулерінің арасындағы бұрыш с
және d түзулерінің арасындағы ізделінді бұрыштың шамасын анықтайды.
Бұл есеп сонымен қатар проекция жазықтықтарын алмастыру әдісімен де
шешілуі мүмкін. Ол үшін проекция жазықтықтарының екі ауысуымен бұрыш
жазықтығын деңгей жазықтығы ету керек.
Айқас түзулер арасындағы бұрыш шамасы осы айқас түзулерге параллель
орналасқан 2 қиылысқан түзу арасындағы бұрыш ретінде анықталады.
l түзуі және Ө жазықтығы арасындағы бұрышы берілген l түзуі мен
берілген жазықтыққа жүргізілген n перпендикуляры арасындағы қосымша β
бұрышы арқылы анықталуы мүмкін.
β бұрышы ізделінді α бұрышын 900-қа дейін толықтырады. β бұрышының
шамасын l түзуі мен n перпендикуляры арасындағы бұрыштың деңгей жазықтығы
түзуі айналасында айналдыру жолымен анықтап, оны тік бұрышқа дейін
толықтыру керек. Осы қосымша бұрыш l түзуі мен Ө жазықтығы арасындағы α
бұрышының дәл шамасын береді.
2 жақты бұрыш – 2 Ө және λ жазықтықтары арасындағы бұрыштың дәл шамасы
не проекция жазықтығын екі жақты бұрыштың қабырғасын проекциялаушы түзуге
түрлендіру мақсатында алмастыру жолымен, не егер, қабырға берілген
жазықтықтарға жүргізілген n1 және n2 екі перпендикуляры арасындағы бұрыш
ретінде берілмесе.
Осы перпендикулярлар жазықтығында М нүктесінде Ө және λ жазықтықтары
арқылы құрылған екі сыбайлас бұрыштардың сәйкесінше сызықтық бұрыштарына
тең болатын екі жазық α және β бұрыштарын аламыз.

4. Жазық фигураның дәл шамасын анықтау

Жазық фигураның дәл шамасын анықтауды сызбаны проекция жазықтықтарын
ауыстыру әдісі арқылы түрлендіру жолымен жүзеге асыруға болады.
5,а-суретте ABCD тіктөртбұрышының кешендік сызбасы берілген.
Тіктөртбұрыштың бірде-бір проекциясы дербес ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.