n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КЛАССИФИКАЦИЯСЫ

1.1 Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2 Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық дифференцалдық
теңдеулер ... 12
1.3 n.ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14

2 N.ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ. АБЕЛЬ ФОРМУЛАСЫ

2.1 Дәрежелік қатардың көмегімен дифференциалдық теңдеулерді
интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 28
2.2 Гипергеометриялық теңдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 31
2.3 Бессель теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2.4 N.ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу



ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 63

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 64
Диплом жұмысының мазмұны n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешуге арналған.
Жұмыс кіріспеден, негізгі екі тараудан және қорытынды мен пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Бұл тарауларда дифференциалдық теңдеулердің толық классификациясы және дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың әдістері туралы баяндалады.
Механиканың, математикалық физиканың, инженерлік ғылымдардың, сондай-ақ білімнің көптеген салаларын зерттеу дифференциалдық теңдеулерді интегралдауға алып келеді. Ал дифференциалдық теңдеулерді интегралдау түптеп келгенде математикалық анализдің классикалық әрі маңызды сұрақтарының бірі екендігі белгілі.
Болашақ математика пәнінің мұғалімдерін даярлауда пәндер арасындағы сабақтастық пен пәнішілік байланыс өте маңызды. Жоғары оқу орындарында мемлекеттік стандартқа сай математиканың түрлі салаларын оқытуда, оның іс жүзінде қолданылуына айрықша мән беріледі. Айталық, дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқып үйренгенде, оның практикалық маңызы ескеріледі және оны шешуде басқа пәндермен байланысы, сабақтастығы қарастырылады.
Дипломдық жұмыста дифференциалдық теңдеулерді қатарлардың көмегімен жуықтап интегралдаудың әдістері қарастырылған. Жұмыстың алғашқы тарауында дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі ұғымдар мен теоремалар, негізгі шешу әдістері көрсетіледі. N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерге тоқталып, оларды интегралдау әдістерінің математикалық талдау курсының қатарлар теориясымен байланысы туралы айтылады.
Жұмыстың екінші тарауында n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер үшін жалпыланған Абель формуласының қолданысы қарастырылған.
Жұмыстың мақсаты: n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешуді көрсету.
Жұмыстың міндеті: математикалық талдаумен пәнішілік байланысты көрсететін мысалдарға тоқталу.
1 Дайыров Ғ. т.б. Математикалық анализ курсы. 2-бөлім.-А.,1993.
2 Самойленко А.М., Перестюк Н.А., Лисовская В.П. Ряды. Приблеженное интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. – Киев, 1987. – 76с.
3 Əубəкір С.Б. Жоғары математика.1-2 бөлім. – А.: ҚазҰТУ, 2000.
4 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.– М.: Наука, 1977.
5 Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1971. – 240с.
6 Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986. – 575с.
7 Ляшко И.И. Дифференциальные уравнения. – Киев: Вища школа, 1981. – 504с.
8 Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – М., Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. –448с.
9 Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. – Киев: Вища школа, 1984. –406.
10 Бугров С.Я., Никольский С.М. «Дифференциальное и интегральное исчисление». – М.: Наука, 1980.
11 Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы, ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981.
12 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1999.
13 Ермекұлы Ə. Ұлы математика курсы.1 бөлiм. – А., 1995.
14 Запорожец Г.И.. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966.
15 Игнатьева. А.В., Краснощекова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1968.
16 Қасымов Қ. Жоғары математика курсы. – А.: Санат, 1997.
17 Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1983.
18 Минорский B.C. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1977.
19 Пискунов Н.С. Курс дифференциального и интегрального исчислениям. Учебник. М.: Наука, 1978.
20 Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник и индивидуальных заданий по высшей математике. 2 ч. Минск: Высшая школа, 1990.
21 Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. – М.: Высшая школа, 1983.
22 Шипачев B.C. Задачи по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2000.
23 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Для вузов.- М.: Наука, 1985.
24 Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: для физ. и мех.- мат. спец. вузов.- 10-е изд.- М.: Наука, 1990.
25 Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб. для вузов: В 3 т.- 2-е изд.- М.: Высшая школа, 1988.
26 Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: типовые расчеты: учеб. пособие / Л.А. Кузнецов.- Изд. 7-е, стереотип. - Краснодар: Лань, 2005.- 240 с.
27 Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Бутузова В.Х. - М.: Высшая школа, 1988.
28 Шипачев В.С. Математический анализ: Учеб. для вузов.- М.: Высшая школа, 1999.
29 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т.: Учеб. пособие для втузов / Н.С. Пискунов.- Изд., стереотип. - М.: Интеграл-Пресс, 2001. - 544 с.
30 Индивидуальные задания по высшей математике /Сост. З.Б. Кадырханова, Р.О. Апышева, Ж.М. Кадырханова; М-во образования РК ВКГУ.- Усть-Каменогорск: Изд-во ВКГУ, 1996.- 131 с.
31 Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для втузов: В 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Высшая школа,1980. – 320 с.
32 Матвеев Н.М. Дифференциалные уравнения. – Минск. 1968. – 348с.
33 Кенжеғулов Б.З. Қаммаров К.Қ. Жәй және дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер. – Астана. 1997. – 172б.
34 Валеев К. Г., Жаутыков О.А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. – А.: Наука, 1974.
35 Тихонов А.А. Математический сборник. 1934. т. 41, вып. 4.
36 Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро–дифференциальных уравнений. – Фрунзе, 1957.
37 Бродовский В.Г. Уравнения математической физики и функциональный анализ. А., 1966.
38 Танкиев И.А. Об одной краевой задаче для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. - ВИНИТИ. № 806. – 76с.
39 Большая математическая энциклопедия / Якушева Г.М. и др. – М.: СЛОВО, Эксмоб. 2006. – 639c.
40 Жәутіков О.А. Жай дифференциалдық теңдеулер. 1, 2 – бөлім. – А.,1950.
        
        Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Гуманитарлық-педагогикалық институты
«Физика және математика» кафедрасы
«Қорғауға жіберілді»
Кафедра меңгерушісі _____________
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы ... ... ... ... формуласын пайдаланып шешу
050109 – «Математика» мамандығы бойынша
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
............................................................................
..........................................3
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КЛАССИФИКАЦИЯСЫ
1. Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі
ұғымдар..............................................4
1.2 ... ... ... ... сызықтық дифференцалдық
теңдеулер....12
1.3 n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық
дифференциалдық
теңдеулер...................................................................
............ 14
2 N-ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ ... ... ... ... ШЕШУ ... ... ФОРМУЛАСЫ
2.1 Дәрежелік қатардың көмегімен дифференциалдық теңдеулерді
интегралдау
............................................................................
............................. 28
2.2 Гипергеометриялық теңдеу
..........................................................................
31
2.3 Бессель
теңдеуі.....................................................................
.......................... ... N-ші ... ... айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық
теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу
ҚОРЫТЫНДЫ
............................................................................
................... 63
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
...................................................................... 64
КІРІСПЕ
Диплом жұмысының ... n-ші ... ... ... сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын
пайдаланып шешуге арналған.
Жұмыс кіріспеден, негізгі екі ... және ... ... ... ... тұрады. Бұл тарауларда дифференциалдық
теңдеулердің толық ... және ... ... ... туралы баяндалады.
Механиканың, математикалық физиканың, инженерлік ғылымдардың, сондай-
ақ білімнің көптеген салаларын зерттеу ... ... алып ... Ал ... ... ... ... математикалық анализдің классикалық әрі ... бірі ... ... ... ... мұғалімдерін даярлауда пәндер арасындағы
сабақтастық пен пәнішілік байланыс өте маңызды. Жоғары оқу ... ... сай ... ... ... оқытуда, оның іс
жүзінде қолданылуына айрықша мән ... ... ... ... оқып ... оның ... маңызы ескеріледі және
оны шешуде басқа пәндермен байланысы, сабақтастығы қарастырылады.
Дипломдық ... ... ... ... көмегімен
жуықтап интегралдаудың әдістері қарастырылған. Жұмыстың алғашқы тарауында
дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі ұғымдар мен ... ... ... көрсетіледі. N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті
сызықтық ... ... ... ... интегралдау
әдістерінің математикалық талдау курсының қатарлар теориясымен байланысы
туралы айтылады.
Жұмыстың ... ... n-ші ... ... ... ... ... теңдеулер үшін жалпыланған ... ... ... ... n-ші ... ... айнымалы біртекті
сызықтық ... ... ... ... ... шешуді көрсету.
Жұмыстың міндеті: математикалық талдаумен пәнішілік байланысты
көрсететін мысалдарға тоқталу.
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ... ... ... ... ... ... ... бірнеше айнымалылардың ізделінетін функциясын, ... және ... әр ... ... туындыларын байланыстырып
тұрған теңдеуді дифференциалдық теңдеу деп ... ... ... тек бір ... ... болса, онда
дифференциалды теңдеу қарапайым деп, ал егер ол бірнеше айнымалыға тәуелді
болса, онда дифференциалды ... ... ... ... теңдеу
деп аталады.
Біз бұл тарауда тек қарапайым ... ... ... ... ... деген сөзді қолданбаймыз.
Дифференциалдық теңдеудің ең жәй түрі - берілген ... ... -ты табу ... ... ... ... ... жалпы түрде былай жазуға болады:
(1)
Мұнда айнымалыға тәуелді функция, натурал саны (1)
теңдеудің дәрежесі деп аталады. Мысалы, ... ... ... табу
есебі – бірінші дәрежелі теңдеуді береді,
- ... ... ... ... ... ... жазуға болса, онда оны жоғары дәрежелі туындысы ... ... деп ... ... ... тәуелді функция.
Егер функциясын (1) теңдеуіне ... ... ... ... онда оны (1) ... ... деп атайды.
Мысалы, у = cos2x функциясы теңдеуінің ... ... ... х үшін
Дифференциалдық теңдеудің шешімін табуды оны интегралдау деп атайды.
Дифференциалдық теңдеу шешімінің ... ... ... ... деп ... [11].
№19 есеп. теңдеуінің шешімін табу керек.
Шешуі. - болғандықтан берілген теңдеуге дифференциалдар
теңдігі эквивалентті. ... ... ... ... ... сан.
Осы теңдіктен
.
Олай болса
,
мұндағы -тұрақты шама. мен — ... ... ... ... ... ... ... бар. Осы
үйірден бір интегралдық қисық бөліп алу үшін жазықтықта осы қисық өтетін
нүкте және ... ... ... ... ... Бұл ... бастапқы
шарттар деп аталады. Мысалы, қарастырылған теңдеуде болса,онда
функциясы теңдеудің берілген шарттарды қанағаттандыратын ... п ... ... теңдеуін қанағаттаңдыратын, х
айнымалысына және ,,..., - п ... ... ... ... ... (1) ... жалпы шешімі дейді [5].
Тұрақты шамалардың өзара тәуелсіздігі деп олардың арасындағы ... ... ... ... ,,..., ... шамаларына нақты мәндер
бергенде шығатын функцияны (1) теңдеуінің дербес шешімі дейді.
Мысалы,
– жалпы шешім, ... ... ... қисықтар үйірін қанағаттаңдыратын дифференциалдық теңдеуді табу
үшін оны peт ... ... ... ... ... ... теңдеуін табу керек.
Шешуі. Берілген функцияны дифференциалдаймыз:
немесе
.
Осы екі теңдіктен -ні жоямыз:
.
Дифференциалдық тендеулер экономика, физика, биология, экология сияқты
ғалымдардың және тағы ... ... ... ... ... ... ... есеп. Статистикалық мағлұматтардан белгілі бір регионда жаңа туған
нәрестелермен өлген адамдардың саны бір ... ... ... ... ... ... және ... мен санына теңдігі белгілі болсын. Уақыттың
өтуіне байланысты тұрғындар ... ... ... табу керек.
Шешуі. — уақытындағы тұрғындардың саны ... ... ... ... ... ... ол уақыт ішіндегі туғандар саны мен өлгендер санының
айырымына тең. Осыдан
.
Осы ... ... ... көшеміз:
(3)
(3) теңдеуін шешейік. (3) теңдеуінен теңдеуі шығады. Олай болса
, ... ... ... ... ... ... ... шама. Алғашқы
шарттар ретінде тұрғындардың бастапқы санын алуға болады.
2. Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық
дифференцалдық теңдеулер
(5)
түріндегі ... р мен q ... ... болғанда тұрақты коэффициент
екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы ... ... ... ал (5) ... ... ... деп ... теңдеуінің теңдіктерін қанағаттандыратын тек бір ғана шешімі
бар.
Егер пен ... ... ... ... ... ... ... тең болу үшін ... онда осы ... ... ... тәуелсіз функциялар деп
аталады, ал егер ... ... ... ... ... да
нөлге тең болса, онда пен өзара сызықтық ... ... ... ... ... функциялардың өзара сызықтық тәуелсіз екендігін
көрсету керек:
1) және ,
2) және ;
3) және ... 1) Егер ... онда . Олай ... ... шама болу үшін болу ... ... ... болу үшін болу керек. Соңғы ... ... ... Олай ... ;
3) ... ... Осы ... болғанда шығады. Соңдықтан .
Егер мен функциялары (6) теңдеуінің ... ... ... ... ... да (6) ... шешімі болады.
Бұл тұжырымды (7) функциясын (6)-ге қою арқылы дәделдейміз:
Осы тұжырымды пайдаланып ... ... ... 7. Егер пен өзара сызықты тәуелсіз (6) теңдеуінің
шешімдері болатын ... онда (6) ... ... ... (7) ... табылады [13].
Сонымен (6) теңдеуінің жалпы шешімін табу үшін оның ... ... екі ... білу ... ... ... ... Мұндағы -нақты сан.
болғандықтан (8) функциясы (6) теңдеудің шешімі болу үшін саны
(9)
теңдеуінің ... болу ... ... (6) ... ... ... деп ... (6)
теңдеудің шешімдерінің бар болуы сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің ... ... (6) ... ... үшін ... тұжырымдардың
растығын дәлелдеуге болады.
Теорема 8. а) Егер сипаттаушы ... екі ... және ... бар ... онда (6) ... ... ... беріледі. Мұндағы мен кезкелген тұрақты шамалар;
ә) егер сипаттаушы теңдеудің бір еселі түбірі бар ... ... ... ... шешімі
(11)
түрінде беріледі. Мұндағы мен кезкелген ... ... егер ... теңдеудің нақты түбірлері болмаса, онда (6)
теңдеудің жалпы шешімі
(12)
түрінде беріледі. ... мен ... ... ... ... ... жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. Сипаттаушы теңдеуді жазамыз: . Мұның түбірлері және
. Сондықтан (10) теңдеу ... ... ... ... ... ... есеп. алғашқы шарттарын қанагаттандыратын теңдеуінің
шешімін табу керек.
Шешуі. Алдымен берілген ... ... ... табамыз. Ол үшін
сипаттаушы теңдеуді құрамыз: . Мұның еселік ... бар: ... (11) ... ... ... ... теңдеудің жалпы
шешімі болады. Енді осы жалпы шешімнен ... ... ... ... ... аламыз:
болғандақтан
, .
Сонымен . Олай болса функциясы іздеп отарған шешім болады.
№25 ... ... ... ... табу ... ... теңдеуді құрамыз:
.
Бұл теңдеудің нақты түбірлері жоқ. Сондықтан (12) ... ... ... ... ... шешуі болады.
Енді (5) теңдеуінің жалпы шешімін табуға ... Оны ... ... ... ... Ол үшін ... ... (6) теңдеуінің
жалпы шешімін табады:
.
Содан соң (5) теңдеудің жалпы шешімі
түрінде ізделінеді. ... пен ... ... ... (5) ... ... етіп таңдап алады.
Сондықтан олар
(13)
теңдеулер жүйесінің шешімдері ретінде табылады. Мұны біз ... ... ... ... шешімін табу керек.
Шешуі. Теңдеуді (5) түріне келтіреміз:
.
Сипаттаушы теңдеуді құрамыз:
.
Мұның шешімдері . Сондықтан
біртекті ... ... ... Енді біртексіз теңдеудің жалпы
шешімін
түрінде іздейміз. Ол үшін (13) жүйесін құрамыз:
Осыдан
немесе
.
Олай болса
.
Сондықтан
Сонымен
функциясы ізделіп ... ... ... ... ... ... ... аударатын болсақ, онда алғашқы екі мүшенің қосындысы
– біртекті теңдеудің жалпы шешімі, ... ... ... ... ... ... ... құбылыс кезкелген сызықтық біртекті емес ... ... яғни ... ... ... ... 9. ... сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі
осы тендеудің бір дербес шешімі мен сәйкес ... ... ... ... ... ... ... /3/.
1.3 n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы ... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеулер
Анықтама. ... ... ... ... ... деп ... (17)-ден n–і туынды табылатын ... ... ең ... ... ... ... ... дифферен-циалдық
теңдеу деп аталады.
Коши есебі:
(19)
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын (18) дифференциалдық ... ... ... ... ... бар және оның жалғыз болуы ... мына екі ... ... ... функциясы өздерінің аргументтері бойынша үзіліссіз және
шенелген:
;
2) ... үшін ... ... шарты орындалады (Липшиц шарты функциядан айнымалылары
бойынша ... ... ... ... бар ... ғана ... ... өзінің n–і туындыларымен қоса үзіліссіз және ... ... ... ... ... бар ... ... жеңілдеу тұжырымдауға болады.
Егер (18) дифференциалдық теңдеудің оң бөлігі үзіліссіз, шенелген және
бойынша үзіліссіз дербес туындылары болса, онда Коши ... ... бар ... (18) ... ... ... ... деп аталады,
егер ол:
1) -дың кез келген мәндерінде (18) дифференциалдық теңдеуді
қанағаттандырады;
2) ... (19) ... ... ... ... ... шарттарды қанағаттандыратын мынадай -і табуға болады.
Егер жалпы ...... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп аталады.
түріндегі қатысы, мұндағы айқын берілмеген, (18) дифференциалдық
теңдеудің жалпы интегралы деп аталады
(18) теңдеуді интегралдау үшін ... ... ... ... ... ... ... табу қажет.
1.3.2 Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың
тәсілдері
I-класс. ... ... және ... ... бар ... ... қарастырамыз.
Екі бөлігін де бойынша интегралдаймыз:
тағы да интегралдаймыз:
.
Осы тәсілмен n рет интегралдаймыз, сонда
.
I-кластағы n-ретті ДТ тізбектей n рет ... ... ... ... ... у ... және оның (k-1)-і ... дейінгі туындылары жоқ
теңдеулер.
түріндегі ДТ қарастырамыз.
Жаңа айнымалы енгіземіз:
, ... ... мен оның ... туындыларын қарастырылатын теңдеуге
қоямыз:
.
Сонымен, - ретті теңдеу алынды, яғни ДТ-ң реті төмендетілді. Жаңа
ДТ-ң шешімі
функциясы болсын делік. Мұны (20) теңдеуге ... k ... ... ... ... ал бұл k рет ... арқылы шешіледі (1-класс).
Мысалдар. 1. үшінші ретті ДТ шешелік.
ауыстыруын алайық, . ... ... қою ... ... ДТ-і ... Айнымалыларын ажыратамыз:
;
.
Бұл теңдеу квадратурада шешіледі.
2. ;
; ; ; ;
;;;
бұл ... ... үш рет ... ... шешу ... ... ... айнымалы х-і жоқ теңдеулер.
түріндегі теңдеуін қарастырамыз.
Тәуелсіз жаңа айнымалы үшін у-ті ... және ... ... үшінші және т.б. туындыларын алу үшін осы жаңа ... ... ... туынды табамыз:
;
және т.б.
Табылған туындыларды теңдеуге қойып, реті бірге кеміген ДТ аламыз:
.
Шешімі мына түрде ... ... ... ... ... айнымалылары ажыратылған бірінші ретті ДТ
аламыз:
.
Мысал. ДТ шешелік. Мұнда тәуелсіз айнымалы х жоқ. ... ... ; - бұл ... ... ... ... . Теңдеуге қоямыз: .у-і қысқартамыз: .
;
; ;
- ... ... ... ... бұл ... ... ... класс. Сол бөлігі толық туынды болып келген теңдеулер.
теңдеуін қарастырамыз және
болсын делік. Жаңа дифференциалдық теңдеудің екі ... ... ... ... реті бірге төмендеді.
Мысалдар. 1..Бұл III-кластың теңдеуі. IV-кластың тәсілімен шешіп
көрелік. , екі ... де -ке ... енді ... ... х-і ... ; ; ;
; ; ;
;
- бұл ... ... ДТ ... ... ... оның үш ... ... ;
; ; - бұл ДТ реті бірге ... .
; ; ;
; - бұл ДТ ... ... ... ... ... ... n-ретті сызықтық дифферен-циалдық
теңдеулер (СДТ) деп аталады.
Бұл теңдеуде -лер бірінші дәрежелі.
2 N-ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ ... ... ... ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ
ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ. АБЕЛЬ ФОРМУЛАСЫ
2.1.1 Абель Нильс Хенрик
Абель Нильс Хенрик (Niels Henrik Abel, 1802-1829) - ... ... осы ... ... ... ... 1802 ж. ... күні Финнейде шала сопы-пастор сурен Георт Абелдің семьясында дүниеге
келген, 1829 ж. ... күні ... ... ... ... Ослода діни мектепке түскен, математика мүғалімі Бернт
Микель ... оның ... ... оған ... ... Жас шағынан
бастап Абель кейбір математикалық мәселелерге ой жүгірте бастайды. ... ... ... ... Осло университетіне түседі. Ол
университетте өздігінен ... ... ... көп ... ... 1824 жылы, Абель 5-дәрежелі алгебралық теңдеудің шешуін әдеттегі
түбір табу жолымен табуға болмайтынын ... ... ... (Абел
тобына) алмастыруға болады деген тұжырымды ... ... ... үшін ... ... ... және оны С.Ф.Гауссқа жіберіп береді.
Бірақ шет ел математиктері ешқандай көмек ... 1825 жылы ... ... сол жерде А.Л.Креллемен (August Leopold Crelle 1780-1855)
танысып дос болады.
Абель Нильс Хенрик-Норвегияның атақты математигі
2.1.2
2.2
2.3
2.4
1 САНДЫҚ ЖӘНЕ ФУНКЦИОНАЛДЫҚ ... ... ... мен ... ... ... тізбек берілсін.
(1)
Мына
(2)
шексіз аналитикалық түрлендіру (1) сандық тізбектің қосындысын көрсетеді
және сандық ... деп ... Ал ... қатардың мүшелері деп
аталады. (2) қатар берілді деп санаймыз. Егер осы ... ... заңы ... ... бұл ... ... ... мүмкін:
- қатардың алғашқы бірнеше мүшесі ... ... ... ... ... ... болады. Мысалы,
1. .
2.
3.
– қатардың жалпы мүшесі берілген, қатарды жазу керек. ...
2. ... ... ... жазу осы ... қосындысы деп аталады. Ал
бұны түсіндіру үшін қатардың n ... ... ... деп ... ... жаңа ... тізбек аламыз:
. (3)
Егер ұмтылғанда (3) ... шегі ... (2) ... ... қатар жинақты және қатардың қосындысы бар болады.
(4)
Егер -нің шегі жоқ ... онда (2) ... ... және ... ... онда (2) ... ... деп аталады. Егер (4) қатар жинақты болса,
онда жеткілікті ... n ... ... ... ...
қосындысына жуық түрде тең болады. дербес қосынды мен қатардың
қосындысы ... ... (2) ... ... деп ... ... қатардың алғашқы n мүшесін алып тастағаннан шығады [1], [2].
Қатардың қалдығы туралы теорема
Егер (2) қатар беріліп, (5) қатар оның кез ... ... ... ... ... (5) ... ... және керісінше, (5)
қатардың жинақталуынан (2) қатардың жинақталатындығы шығады.
Қатардың жинақтылығының қажетті шарты
Теорема 1. Егер ... ... ... ... ... онда оның жалпы
мүшесінің шегі бар және нольге тең: егер .
Дәлелдеу: Айталық, бізге жинақты ... ... яғни ... ... Онда үшін де ... ... керегі де осы.
Берілген шарт қажетті, бірақ жеткілікті емес, яғни ол орныдалады, бірақ
бұл қатардың жинақты екенін көрсетпейді [2].
№1 есеп. а) ...
б) ... ... ... ... ... Қатардың жинақтылығын зерттеу керек.
а) ; , қатар жинақсыз.
б) ... ... ... жазамыз:
тізбек монотонды кемиді, ал , яғни қатар жинақсыз [3].
Қатарларға амалдар қолдану
1. Жинақты қатарды тұрақты с санына көбейткенде ... ... ... ... ... ... ... қосындысы да жинақты.
және
қатарлары жинақты болсын. Онда
қатары да жинақты. Бұл крісінше ... ... ... ... ... ... Бірақ бұл қатар екі ... ... ... ... оң ... ... ... біртаңбалы деп аталады. «Минус» таңбалы ... әсер ... ... тек қана мүшелері оң қатармен ғана
шектелеміз.
, (6)
.
(6) қатардың дербес қосындылары монотонды өспелі ... ... ... ... ... ... ... немесе шексіз өспелі болады.
Бұдан (6) қатар шексіздікте жинақты не жинақсыз болуы мүмкін [4].
Қатарларды салыстыру белгісі
Теорема 2. Мүшелері оң (А) мен (В) ... ... бір -нен ... ... ... ... қатардың жинақталмауынан (В) ... ... ... (В) ... жинақталуынан (А) қатарының жинақталатындығы
шығады.
Салыстыру белгісін пайдаланып, қатардың ... ... ... қатар гормоникалық қатар деп аталады. Егер кезкелген ... ... ... ... онда ... ... көреміз. (7)
гормоникалық қатар жинақтылықтың қажетті шартын қанағаттандырады.
. Бірақ бұл ... ... ... ... ... ... көрсетуге болады. Бұл үшін қатардың екінші мүшесінен бастап
қатар мүшелерін біріктіреміз.
Егер группадаға әрбір қосылғышты соңғысымен ауыстырсақ,
(8)
(8) қатардың мүшелері (7) ... ... ... асып ... (8) ... ... дербес қосындысы -да , яғни (8) ... ... ... ... ... (7) армоникалық қатар да жинақсыз
болады.
Даламбер белгісі
Егер мүшелері оң қатар үшін
,
шек бар болса,
,
1. болғанда қатар жинақты.
2. болғанда ... ... ... Онда ... да бір -дан бастап, мына шарт
,
орынды.
(9)
Негізгі қатарды жазамыз,
(10)
және көмекші қатарды жазамыз:
(11)
(11) геометриялықпрогрессияны береді. , яғни бұл ... ... ... және салыстыру белгісі бойынша (10) қатарда жинақты.
болсын. Онда ... үшін ... ... ... Мұнан барлық үшін мына теңсіздікті жазуға
болады, . Демек, төмендегі теңсіздіктер тізбегі құралады:
.
(*)
Мұндағы теңсіздіктердің оң ... ... ... ... ... ... ... құралғандықтан
жинақты болмайды. Онда қатарларды салыстыру белгісіне сәйкес
(**)
қатары да жинақты болмайды, сондықтан берілген қатар да ... ... ... Қатардың жинақтылығын салыстыру теоремасы арқылы көрсету
керек.
Жинақтылықтың қажетті ... ... ... ... мына қатармен
салыстырамыз.
Бұл қатар жинақты, онда берілген қатар дажинақты.
№4 есеп. Қатардың жинақтылығын ... ... ... ... орындалады,
.
Енді Даламбердің жеткілікті шартын тексереміз,
,
яғни (12) қатары жинақты.
№5 есеп. Қатардың жинақтылығын ... ...
2. ... ... ... Коши белгілері. Мүшелері оң қатары үшін шек бар болса,
1. ... ... ... ... ... ... ... Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
.
Қатардың жинақтылығының қажетті шартын тексеру үшін үздіксіз аргументті
функциясын ... ... ... ... . Енді Коши белгісін пайдаланамыз:
.
Осы нәтижені дәлелдеу үшін үздіксіз ... ... ... .
, онда -да .
Бұдан -да болады. Сонда, Коши белгісі ... ... ... ... ... және Коши ... ... қатардың жинақтылығынан анализ
жасау үшін жарамсыз болып қалады. Мысалы мынадай жағдайда ... 1-ге тең. Егер ... ... қарастырсақ, онда жоғары
айтылған екі белгіні қолдануға ... ... ... ... қарастырамыз.
Егер қатары қандай да бір -нен бастап
және
болғанда өспелі емес функция бар болып
орындалса, онда
1) меншіксіз интеграл ... ... ... ... ... ... болса, қатар жинақсыз болады.
№7 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
.
Кошидің интегралдық белгісін пайдаланамыз:
,
яғни қатар ... ... ... ... ... ... және шартты жинақтылығы
Анықтама. Құрамында шексіз көп оң, шексіз көп теріс таңбалы мүшелері
бар ... ... ... ... деп атаймыз.
Ондай қатарлар жалпы алғанда
(*)
түрінде жазылады [7].
Теорема 3. Егер ... ... (*) ... ... ... құралған
қатар жинақты болса, онда берілген (*) қатары да жинақты болады.
Анықтама. Айнымалы таңбалы (*) қатардың мүшелерінің абсолют ... ... ... (*) ... ... жинақты деп аталады, егер (**)
қатар жинақсыз болып, ал (*) қатары жинақты болса, (*) ... ... ... ... жинақты деп аталады.
№8 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
.
Берілген қатардың ... ... ... ... ... үшін көмекші қатар аламыз.
(2)
Бұл қатар Коши белгісі бойынша жинақты. Онда
(3)
Бұдан (1) ... ... және ... ... абсолютті
жинақты екендігі шығады.
Ауыспалы таңбалы қатарлар
Анықтама. Көршілес мүшелерінің таңбалары ... ... ... ... қатарлар деп аталады. Оны жалпы түрде
, ... ... ... ... ... ... (4) ... үшін мына төмендегі шарттар
1)
2)
орындалса, онда қатар жинақты және қатар қосындысы ... ... ... ... ... ... ... екенін дәлелдеу керек.
(4) қатардың жұп дербес қосындысын құрамыз
1) шарт бойынша әрбір жақша оң шаманы береді, . қосындысы мына
түрде
жазамыз. Тағы да ... ... оң шама бар және -ден ... да ... шама ... ендеше жұп дербес қосындылар оң шама және
кемімелі, шектелген тізбекті ... ... ... ... ... тізбектің шегі және .
Енді тақ нөмірлі дербес қосындыларды қарастырамыз:
,
егер осы теңдіктен шек ... 2) шарт ... (4) ... ... ... ... шығарып тасталған мүшелердің
біріншісінің аюсолют шамасынан артық емес.
№9 ... ... ... Бұл ... Лейбниц белгісі бойынша
жинақты
яғни қатар жинақты. Қатардың мүшелерінің абсолют шамаларынан қатар құрамыз.
(а)
Даламбер ... ... ... ... онда ... ... ... жинақты.
1.3 Функциональдық қатарлар
Мүшелері сан емес, функция болатын қатарды қарастырамыз.
(1)
Бұндай қатар ... ... деп ... (1) ... мәндері үшін
жинақты, ал кейбір мәндері үшін жинақсыз болуы мүмкін, мәнінде
сандық ... ... ... онда ... (1) қатардың жинақталу
нүктесі деп атайды. Функциялық қатар жинақталатын нүктелерінің жиынын
сол қатардың ... ... деп ... ... ... ... жинақты, себебі бұл
интервалда берілген қатар шексіз кемімелі геометриялық прогрессияны береді.
Ал болған ... ... ... Функциялық қатардың мүшелерінің абсолют шамалары қандай да
бір оң таңбалы ... ... ... мүшелерінен артық болмаса, онда
функциялық қатарды ... ... бір ... ... ... ... ... қатар. Жинақталу интервалы. Негізгі қасиеттері
Анықтама. Сандық тізбек беріліп және -тәуелсіз айнымалы
болса,
(2)
түріндегі ... ... ... деп ... ... ... ... табылады. Дәрежелік қатардың -ші мүшесі , ал нөлінші
мүшесі деп аталады.
Абель ... 4. Егер (2) ... ... ... ... ... ... -тің шартын қанағаттандыратын барлық мәндерінде
абсолютті жинақталады.
Дәлелдеуі: Дәлелдемек болып отырған теореманың шарты ... (2) ... ... Олай ... -да ... ... міндетті. Мұнан шамасының шектелген екендігін ... саны ... ... ... Енді -тің (4)
теңсіздікті қанағаттандыратын мәндерін алайық. Сонда . Енді берілген
(2) ... ... ... баға ... ... ... (5) теңсіздіктің оң жағындағы шамасы
жинақталатын сандық қатардың жалпы мүшесі ... ... ... (4) ... -тің ... ... үшін (2) дәрежелік ... ... ... Егер (2) ... ... ... жинақталмайтын болса,
(6)
теңсіздігін қанағаттындыратын барлық нүктелерінде де жинақталмайды.
Анықтама. Дәрежелік (2) қатардың жинақталу радиусы деп ... ... ... ... ... ... ал ... үшін
қатар жинақсыз болатын санын ... ... ... ... деп ... Барлық үшін, тек нүктесінен
басқа нүктелер үшін жинақсыз қатар үшін , ал ... ... ... ... ... деп ... үшін ... айтылғандардың барлығы орындалады, тек қана жинақталу
интервалының центрі ... ... ... ... ... ... интервалы болады [9].
№11 есеп. Жинақталу радиусын табу керек.
,
яғни берілген қатар -тің ... ... ... ... ... ... ... Жинақталу интервалында жатқан интервалында (2) дәрежелік
қатар бірқалыпты жинақты болады.
2. ... ... ... ... интервалында үздіксіз
функцияны береді.
3. Дәрежелік қатарды жинақталу ... ... ... ... қатарды жинақталу интервалында мүшелеп дифференциалдауға
болады.
1.5 Функцияны дәрежелік қатарға жіктеу.Тейлор қатары
Анықтама. фнукциясының ... ... ... ... ... ... және туындылары арқылы берілген
дәрежелік қатарды айтамыз. Егер
болса, онда (7) Тейлор қатары қандайда бір интервалда жинақты болады.
– Тейлор ... -ші ... ... 5. Егер ... ... ... болатын
интервалдың кез келген нүктесінде -ші туындысы осы интервалдың кез
келген нүктесі үшін
,
мұндағы . ... ... ... ... ... ... деп аталады.
Элементар функциялардың Маклерон қатарына жіктелуі:
.
1.6 Дәрежелік қатарларды жуықтап есептеулерге пайдалану
№12 есеп. -дің мәнін есептеу керек.
№13 есеп. Қатардың ... үш ... ... болғандағы
интегралын есептеу ... ... ... ... ... ... ... жіктелуі
Функциональдық қатарды қарастырайық,
(1)
мұндағы қатардың коэффициенттері, ал қатардың бос ... ... (1) ... ... мына ... ... ... функциясы (2) қатардың қосындысы делік:
. ... ... ... ... қатарға жіктеледі дейді.
сегментте қатар бірқалыпты ... деп, ... ... ... ... бірқалыпты жинақты болса, онда мүшелеп интегралдауға
болғандықтан,
.
Бірақ, болғандықтан,
.
натурал сан болсын. коэффициентін табу үшін () ... -қа ... ... ... ... ... ... интегралдаймыз,
(3)
болғанда .
, ... ... (3) ... мына ... ... ... екі ... да -ке көбейтеміз және -дан дейін
интервал аламыз, (4) теңдік бойынша мәнін табамыз:
.
Егер периоды ... ... ... (2) ... ... жинақты болатын қатардың қосындысы болса, онда бұл
қатардың коэффициенттері мына формула бойынша анықталады,
(5)
(2) ... ... ... (5) ... ... ... ... деп атайды.
(5) формула бойынша анықталған (2) қатар коэффициенттері ... деп ... (5) ... ... ... ... жинақталатын (2) тригонометриялық қатарға жіктеледі деп жорыды.
Ал егер бұлай жорымай (5) формуланың оң жағындағы ... ... ... бар десек, онда осы ... ... ... ... және (2) ... ... құруға болады.
Фурье қатарының жинақтылығының жеткілікті ... ... ... беріледі.
Дирехле теоремасы
Теорема 6. Периоды болатын периоды функциясы кезкелген
сегментте мына ... ... ... ... ... қанағаттандырады.
Бұл жағдайда Фурье қатары сандық осьтің барлық ... ... ... қосындысы үздіксіз функцияның осы нүктелердегі мәніне ... ... ... берілген. Периоды ... ... ... ... ... ... керек.
Бұл функциясы 1-2 шарттарды қанағаттандырады, ендеше бұл функция
Фурье қатарына жіктеледі: (5) ... ... ... ... Фурье қатары мына түрде болады.
Периодты функцияның Фурье қатарына жіктелуі
Периоды болатын ... ... ... ... ... тәуелсіз фйнымалысын енгізейік:
(6)
функциясын қарастырамыз.
болғандықтан,
.
периоды ... ... Осы ... үшін Фурье қатарын құрайық.
, ...... ... ... ... қолданамыз:
Периоды болатын функциясының Эйлер-Фурье коэффициенттері
мына ... ... ... ... -ті -пен ... функциясы үшін қатар
аламыз.
.
№15 есеп. функциясын ... ... ... ... [6].
Шешуі. Берілген функция бүкіл осіне анықталған үзік – жатық және
жұп функция. ... ... үшін . ... болғанда
Демек, барлық -тер үшін
№16 есеп. функциясын ... ... ... ... ... тақ, ... ... Ал оның периодты
созындысы
нүктелерінде үзілісті. Берілген функция тақ болуы себепті
Демек,
мұнан: болғанда болатыны анық.
Периодты созындысының ... ... ... қатары нольге
жинақталады, өйткені:
функциясының аралығында Фурье қатарына жіктелісі мынадай түрде
болады:
мұнан
Периодты созындының графигі мынадай болады:
№17 ... ... ... ... ... жіктеу
керек.
Шешуі: – жұп функция. Периодты ... ... ... ... ... үшін ... ... емес -тер
үшін
,
демек, жұп болғанда , тақ ... ... ... ... ... ... керек.
Шешуі: Бұл функцияның
нүктелерінде шектелмегендігі айқын. Сонымен бірге ол ... -ге ... ... өйткені:
,
ал онан:
.
Енді берілген функцияның интегралданатынын дәлелдейік.
Ол үшін бұл функцияның кесіндісінде өзіндік емес интегралының бар
болатынын ... ... ... ... ... де дәл ... дәлелденеді.
Шынында:
Бұл интеграл нүктесінде де бар, өйткені
.
Сөйтіп, берілген функция кесіндісінде таңбасын сақтайтын және
абсолют интегралданатын ... ... Енді ... ... жұп, ендеше:
(1)
(2)
. ... ... (1)-ге ... ... (5)
яғни
.
Сөйтіп, абсолют интегралданатын, периодты, жұп және ... ... ... Фурье қатарына жіктелетін болып шықты,
яғни
.
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІҢ ЖУЫҚТАУ ӘДІСТЕРІ
2.1 Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар
2.2 Тұрақты коэффициентті ... ... ... ... ... ... теңдеулерді шешудің жуықтау әдістері
Анық теңдеулердің тек қана бөлек көпсандық емес класы ... ... ... жолмен шешіледі). Ғылым ... ... ... ... ... ... ... немесе квадратуралардада нақты шешілмейді. Сондықтан да
мұндай теңдеулердің жуықталған ... табу ... ... ... ... ... ... құру әдісі дифференциалдық
теңдеулерді интегралдаудың жуықталған әдісі деп аталады.
Жуықтау әдісі Ньютон мен Эйлер жұмыстарында бастау алды. Қазіргі ... ... ... ... ... ... дамыған және дифференциалдық теңдеулер теориясымен қатар шынайы
объектілер мен процесстерді зерттеудің ... ... ... ... ... жуықталған әдісінің теориясы
екі бағытта дамыды: дифференциалдық теңдеулерді ... ... ... ... және ... ... сандық әдістерін құруда.
Аналитикалық жуықталған әдістердің кең таралған түрі асимптотикалық
әдіс. Олар дәлдік ... ... ... ... ... тәуелсіз
ағымдағы мәнінен жоғары дифференциалдық теңдеулердің жуықталған ... ... ... ... ... ... ... Эйлер жұмысында
бастау алды. Онда бірінші сандық әдіс - Эйлердің сынық ... - ... үшін Коши ... шешімі. Есептеу математикасының
дифференциалдық теңдеулердің шешудің сандық ... ... ... негізгі бөлігі болып табылады. ... ... бұл ... ... ... сандық әдістер күрделі дифференциалдық
теңдеулерді шешудің негізгі ... ... ... Бұл ... рөлі ... ... келеді, әсіресе кибернетиканың дамуында және есептеу техникасы
мен осыған байланысты есептеу процестерін автоматтандыруда, ... және ... да ... ... ... ... анық ... интегралдаудың асимптотикалық әдісінің негізгі
класын қарастырамыз. Бұл ... ... ... ... ... теңдеулерді шешудің асимптотикасын құруда
дәрежелік қатар әдісі (регулярлы және ... ... ... әдісі
(регулярлы және сингулярлы), сонымен қатар дифференциалдық теңдеулердің
асимптотикалық әдісі қарастырылады.
2.3.1 Дәрежелік қатар ... ... ... ...... ... шешімін дәрежелік қатарға жіктеу ... ... ... ... ... ... осы айнымалының
кейбір функцияларының дәрежесі бойынша. Берілген дифференциалдық
теңдеулерді ... ... ... ... ... ... ... ажыратылады. Осы әдістерді қарастыруға келейік.
Дәрежелік қатардың регулярлы әдісі. -ші ... ... ... ... бастапқы немесе қосымша шарттарды
(2).
Егер (1) теңдеу ... ... ... онда (1), ... шешу ... ... Сондықтан да мұндай жағдайда (1) теңдеуге
жуықталған шешімі кез-келген параметрлерде ... етіп ... ... ... ... Бұл ... есебінде кейіннен қосымша
(2) шартты қанағаттандыратын ... ... ... ... ... ... және айнымалысына
тәуелсіз өзгеру және ... ... ... ... ... (1) ... ... шешімін
құруда дәрежелік қатардың регулярлық әдісі немесе ... ... ... ... ... егер (1) теңдеудегі
функциясы кейбір нүктесінің аймағында аналитикалық ... ... ... ... ... ... нүктесінің аймағы бар
болады; егер функциясы көрсетілген аймақта рет ... онда ... ... ...
шешімі рет үздіксіз дифференциалданады. Бірінші ... ... ... ... ... ... ... жағдайда Тейлор формуласымен берілген
(4)
мұндағы
(5)
– Тейлор коэффициенті, -қалдық мүше.
Олай болса, (3) теңдеудің ... ... және (1) ... ... үшін (5) ... ... есептеу қалды. (3), (4) жіктеу шешімді
түзу координаталық ... деп ... ... ... алғашқы арқылы өрнектеледі, мұнда
коэффициенттерінің алғашқы -нен ... ... ... ... ... Шынында да,
(7)
және т.б.
Өзіміз көріп отырғанымыздай, ... ... ... ... ... арқылы өрнектеледі, ал соңында олардың барлығы
коэффициентінен бастап «бастапқы» ... ... олай ... (1) теңдеудің жалпы шешімінің кезкелген
тұрақтысының рөлін ойнайды. (1) ... ... ... бұл ... ... ... құруға болады:
, (8)
мұндағы ... ... ...
... ... ... [16].
(1) теңдеудің осылай құрылған шешімін (2) қосымша шартқа ... ... ... тәуелді теңдеудің соңғы жүйесін
аламыз. Алынған жүйені шешіп, осы коэффициенттерді табамыз.
Бұл айтылғандардан көретініміз, берілген әдіс (1) ... үшін ... құру үшін ... егер (2) ... шарт мына ... ... ... еркін тұрақтылар берілген, ал қалған барлық Тейлордың
коэффициенттері (7) ... ... ... ... ... ... айтылған әдісі дәрежелік қатардың сингулярлы
әдісі деп аталады.
№27 есеп. Коши есебінің жуықталған шешімін құр:
.
Мұнда жуықталған шешімді (6) ... ... ... ... ... яғни мына ... болса,
.
(9)-ға сәйкес аламыз, ал (7)-ге сәйкес
Сонда
Өзіміз көріп отырғандай қарапайым теңдеулер жағдайында да ... құру ... ... да (3) ... ... ... коэффициенттерді табу әдісі тиімдірек. Мұның негізінде
(1) теңдеудегі функциясының ... ... ... ... ... ... ... сәйкесті теңдеудің тегістіктің
дәрежелері бар болады және ... ... ... жүйесі сызықты
тәуелсіз. (1) теңдеуге (3)-ті қойып, ... ... ... ... оң ... ... бойынша Тейлор қатарына жіктеп,
екі дәрежелік қатарды аламыз. Бұл қатарлардың коэффициенттері ізделінді ... ... ... табылады, мұнда бұл функцияның сол жақ
бөлігінде ... (5) ... ... ... ал оң ... табылған . (10) тепе-теңдіктен көрсетілген тәсіл бойынша
тепе-теңдіктің коэффициенттерін анықталмаған ... ... ... ... ... ... (7) ... рекуррентті
жүйені аламыз.
Анықталмаған коэффициенттер әдісін қолдану дәрежелік қатарлардың әдісін
жеңілдетеді, егер мұнда функциясын ... ... ... ... ... ... Коши есебінің шешімін құру қажет.
Мұнда . Теңдеудің шешімін (5) түрінде іздейміз, яғни
Бұл шешімді теңдеуге ... мына ... ... ... ... ... бірдей дәрежелері
бойынша теңестіріп және ізделінді ... ... ... ... ... ... болғанда . Бұдан
.
Қарастырылып отырған есептің нақты ... ... көру ... ... функциясы аналитикалық емес, ал рет үздіксіз
дифференциалданатын болса, (10) ... ... осы ... мына
тұжырымды аламыз:
(10')
мұндағы – (6) теңдеуінің жуықтатылған шешімі, – қалдық мүше. ... ... ... ... ... ... ... жазып және қалдық мүшелерді қалдырып, көпмүшелердің екі
қатардың тұжырымын ... Бұл ... ... коэффициентке
қатысты теңдеулер жүйесін аламыз.
Қарастырылып отырған дәрежелік қатардың регулярлы әдісін жалпы түрдегі
-ші ретті барынша тегіс ... ... ... ... ... ... функциясының дәрежелік қатарлар әдісі
(1) теңдеудегі секілді компонентті қолданылады, ал функциясының ... ... ... ... ... жуықтатылған шешімнің
компонентін анықталмаған коэффициенттерімен -шы дәрежелі көпмүше
ретінде құруға болады.
Бастапқы нүктелер аймағында (1) ... ... ... ... Бұл ... теңдеудің шешімін құру үшін жалпыланған
дәрежелік қатарлар деп аталатын, ал ... ... ... ... ... құру ... дәрежелік қатарлардың
сингулярлы әдісі деп аталады [18].
2.3.2 ... ... ... ... ... тегіс болғандағы дәрежелік қатардың регулярлы әдісін
(11)
теңдеуіне қолданамыз. Егер бұл орындалмаса, онда ізделінді шешімнің ... ... ... бар ... күту ... ... ... да бұл
жағдайда дәрежелік қатардың сингулярлы әдісі қолданылады. ... (11) ... ... ... ... қатардың сингулярлы
әдісіне сәйкес (11) теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:
(12)
немесе мына түрде
(13)
(12)-(14)-тегі белгісіз параметрлерді табу үшін ... ... ... Теңдеу үшін (12)-(14) шешімдерінің формасын оның
қойылымынан соң белгісіз параметрлерді ... ... етіп ... ... ... ... қатарлардың сингулярлы әдісі
бойынша шешімі айнымалысының теріс ... ... ... ... ... ... ... қатарларға жинақты немесе
жинақсыз болуы мүмкін, яғни
(15)
қатарына немесе жалпыланған асимптотикалық қатарға
(16)
немесе жалпыланған қатар ... ... ... ... кері координаталы жіктеуі деп
аталады.
2.3.3 Аз параметрлер әдісі. Аз параметрлер әдісі параметрлерге тәуелді
дифференциалдық теңдеулердің ... құру үшін ... Егер ... ... ... ... онда аз ... әдісі регулярлы деп
аталады, кері жағдайда аз параметрлердің сингулярлы әдісі деп аталады.
Аз параметрлердің регулярлы әдісі. Аз параметрлердің регулярлы ... ... ... ... ... құрылымын Пуанкаре-Ляпунов
құрған, соған сәйкес Ляпунов-Пуанкаре әдісі деп ... ... ... ... ... ... құру үшін Крылов-Боголюбов
қарастырған, сондықтан да ... ... деп ... Ляпунов-Пуанкаре әдісі. Параметрлерге тәуелді
облысында
(1)
теңдеуін қарастырайық және бастапқы шарттарымен берілсін:
(2)
Егер облысында функциясы ... ... ... және D ... х ... ... үздіксіз болса,
онда облысында функциясы аналитикалық болса, онда (1)-(2)
есептерінің ... ... ... ...... ... ... қатар түрінде
іздейміз. Белгісіз коэффициенттерді белгісіз коэффициенттер әдісі ... Аз ... ... ... ... ... ... табылады.
(1) скалярлы теңдеуіне және скалярлы аз параметр жағдайына
тоқталайық. Онда мынаны аламыз:
, ... ...... ...... ... мына түрде береміз:
. (5)
(3) ... (5) және (1)-ге ... ал (3) пен (4)-ті (2)-ге ... ... аламыз:
, ... ... ... ... функциясы үшін бастапқы шартты аламыз:
(8)
(7) теңбе-теңдіктегі коэффициенттерді ... ... ... ... ... теңдеулер жүйесін аламыз:
(9)
Бірінші теңдеу (1) теңдеуі ... ... ал ... ... ... қатысты сызықты.
2. Крылов-Боголюбов әдісі. Дифференциалдық теңдеулердің ... ... ... ... ... құру периодты емес
түріндегі секулярлы деп аталатын мүшелердің туындауы мүмкін. Бұл қосымша
зерттеуді талап етеді ... ... аз ... ... ... ... ... әдісі
қолданылады. Бұл әдістің қарапайым бірінші схемасы Ван дер Поль ... ... ... ... ... Ван дер ... ... 0 болғанда туындайтын теңдеуінен нөлдік периодты жуықтауды
аламыз:
Ван дер Поль бұл ... ... А ... мен ... ... ... ... болжаған және оларды
теңдеуінен табуымыз қажетті.
Бұл әдістің негізі мен ... ... пен ... ... нәтижесінде
бұл әдіс Крылов-Боголюбов деп аталды. Бұл әдістің идеясын (10) теңдеуде
түсіндіреміз.
= 0 болғанда теңдеудің шешімі мына ... ... A , ... ... - const. Бұл функциялар
теңдеуінің шешімі болып табылады. ... да ... ... ... мына ... ... ... периоды бойынша периодты функциясы, ал
функциялары -нан ... және мына ... ... ... ... ... Ван дер Поль әдісімен алынған
жуықтаумен сәйкес келеді.
Олай болса, Ляпунов-Пуанкаре әдісінен ... ... ... ... ... ... ... тәуелді.
Крылов-Боголюбов әдісі әсерінен баяу ... ... ... ... ... параметрдің сингулярлы әдісі. Егер
(12)
теңдеуінде функциясы аналитикалық емес ... ... ... ... ... онда ... осы ... сингулярлы тәуелді
болады. Бұл әдістің идеясын
(13)
теңдеуінде ... Егер ... онда ұяң емес ... аламыз:
(14)
Бұл теңдеудің болғандағы шешімдерін қарастырайық. Егер
болғандағы (13) теңдеудің шешімі (14) ... ... ... онда бұл
теңдеудің шешімін (13) теңдеудің барынша аз ... ... ... қабылдауға болады. Енді (13)-(14) теңдеулердің ... ... ... ... ... (13) ... ... изоклинасы. Сондықтан
да, егер бұл изоклина сыртында
(15)
шарты, ал изоклина ішінде
(16)
шарты орындалса, онда (13) теңдеудің ... ... ... ... ... барынша көп болғанда нөлдік
изоклина (13) теңдеудің ... ... ... ... ... бар ... және
(17)
шарты орындалса, онда бұл жағдайда функциясы нөлдік изоклинаға
өткенде таңбасын ... ... ... яғни ... ... ... онда ... нөлдік изоклинаға өткенде таңбасын «-»-тан «+»-
ке өзгертеді.
3 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ҚАТАРЛАРДЫҢ КӨМЕГІМЕН ЖУЫҚТАП ИНТЕГРАЛДАУ
1. Дәрежелік қатардың көмегімен дифференциалдық теңдеулерді интегралдау
Екінші ... ... ... (1) ... және ... ... ... ... ... яғни ... қатарға жіктеледі.
(2)
бұл қатарлар болғанда жинақталады.
Теорема 10. Егер ... және ... ... онда ... (1) ... ... яғни
болғандағы жинақты қатарға жіктеледі.
блосын. (1) теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:
(3)
(3) –ті (1) теңдеуге қойсақ:
Коэффициенттерді нөлге теңестірсек, ... ... үшін ... ... ... ... ... бола алады. Егер (1) теңдеудегі
және функциялары рационал функционал болса, яғни
, ,
мұндағы , , , – ... ... онда ... нүктелер (1) теңдеудің ерекше нүктесі деп аталады [19].
Екінші ретті
(5)
теңдеуі үшін ... ... ... ... және және
коэффициенттерінің тек біреуі ғана және функцияларын ... ... ... айрықша болады, мұндағы және
функциялары аралығында аналитикалық функция.
ерекше нүктесінің ... ... ... ... шешімі
болмауы мүмкін, бұл жағдайда шешімін қатардың жалпы түрінде іздейміз:
(6)
болғандағы (5) теңдеуді қарастырайық. Осы теңдеуге деп ... ... ... қоямыз:
коэффициенттерді нөлге теңестірсек, рекуррентті теңдеулер жүйесін аламыз:
(7)
мұндағы
(8)
болғандықтан мына ... ... ... ... ... деп аталады. осы теңдеудің түбірлері
болсын. Егер бүтін сан болмаса, онда ... сан емес үшін ... яғни ... әдіс ... (1) теңдеудің екі сызықты тәуелсіз
шешімін табуға болады:
,
Егер айырымы бүтін сан ... онда ... ... ... ... ... түріндегі бір шешімін алуға болады. Енді
Лиувилл-Остроградский формуласының көмегімен ... ... ... арқылы табамыз:
.
№29 есеп. теңдеуін шешу керек.
Берілген ... ... мына ... ... рет дифференциалдап, берілген теңдеуге қойсақ,
дәрежелері бірдей болғандағы коэффициенттерді нөлге теңестңрсек,
-ны табу үшін теңдеулер ... ... ... ... онда тек қана ... ғана нөлден
айрықша болады.
Теңдеудің бір шешімі табылды:
деп алсақ, екінші шешімін табамыз. Бұл жағдайда коэффициенттері
ғана ... ... ... ... ... ... берілген қатарлар -тің кезкелген ... және ... ... болады. Барлық шешімдері
.
№30 есеп. теңдеуін шешу керек.
және коэффициентетрі барлық үшін бұл ... ... ... ... мына ... түріндегі дербес
шешімін іздейміз. Осы өрнекті теңдеуге қойсақ,
-тің дәрежелері бірдей ... ... ... ... ... ... аламыз:
деп алып,
,
табамыз.
Сондықтан да,
арқылы деп алсақ, екінші шешімін табамыз.
,
яғни
мұндағы кезкелген ... ... ... ... теңдеуінің сызықты тәуелсіз
шешімі
мұндағы
және
бар екенін дәлелдеу керек.
Дәлелдеу. Берілген теңдеуге қойып және теңдеуді қанағаттандыратын
болсын делік, онда -ны табу үшін ... ... ... ... ... ... ... онда Вебер теңдеуінің шешімі болады. Теңдеуге -ті ... ... ... ... аламыз:
немесе
Егер есептің шартындағы өрнекті қанағаттандырса, онда -де
Вебер теңдеуінің шешімі болады ... ... ... шешу ... ... бүтін сан.
Бұл теңдеудің коэффициенттері барлық үшін аналитикалық,
сондықтан да барлық үшін ... ... ... ... ... ... қатар түрінде іздейміз. Осыны теңдеуге қойсақ,
-тің дәрежелері бірдей коэффициенттерді нөлге теңестірсек, ... ... ... коэффициенттерінің тақ нөмірлілері нөлге айналады.
, ал жұп нөмірлі коэффициенттері үшін,
Барлығын көбейтеміз,
Бұдан
Егер жұп болса, онда ... ... ... ... және ... ... ... көпмүшелік тұрақты көбейткіші арқылы Эрмит ... ... ... соңғы мүшесі , сондықтан, егер
-қа осы санға тең ... -ді ... ... ... екінші шешімін табу үшін деп аламыз. Онда ... ... ... ... ал тақ ... ... ... теңдеулер жүйесін аламыз:
Осыдан барып,
Теңдеудің шешімі мына формуласымен беріледі, мұндағы және
үшін , ... ... мән ... тақ сан ... онда ... ... онда бұл көпмүшелік Эрмита көпмүшелігімен сәйкес келеді.
мұндағы, және кезкелген тұрақтылар.
№33 ... ... ... ... шешімін табу
керек.
Шешуі: берілген теңдеуді анықтаушы теңдеу түрінде жазамыз,
Егер теңдеудің шешімі есептің шартын қанағаттандыратын болса, онда ... ... ... ... ... қатарды теңдеуге қойсақ,
Бұдан
, , ... , , ...
немесе
екенін ескерсек,
, , , ... ,
Сондықтан ізделінді ... мына ... ... ... ... - нақты сандар) түрінде берілген теңдеу гипергеометриялық
теңдеу ... ... ... деп ... және ... осы
теңдеудің ерекше нүктелері деп аталады. нүктесінің аймағында теңдеуді
мына түрде жазуға болады,
нүктесінің аймағында теңдеу түрінде ... осы ... ... Егер ... сан ... онда ... ... қатар гипергеометриялық теңдеудің сызықты ... ... ... ... ... есеп. , болғандағы
теңдеуінің шешімін табу керек. Бұл гепергеометриялық теңдеу ... ... ... ... ... ... . ... үшін шешімі сәйкес келеді. Осы өрнекті берілген теңдеуге
қойсақ,
-тің әртүрлі ... ... ... ... ... ... аламыз:
апарып қойсақ,
ізделінді шешім мына түрде болады:
Соңғы теңдіктің оң жағындағы өрнек ... ... деп ... ... ... жинақты, ал қосынды гипергеометриялық функция деп
аталады және былай белгіленеді, , яғни
.
арқылы ... ... мына ... ... ... ... ауыстыруын жасаймыз.
Осы өрнекті және берілген теңдеуге қойып, -ға ... ... , , ... ... ... береді.
Егер болғанда анықталмаса, онда болғанда
.
№35 есеп. ... ... үш ... ... және
олардың дербес мәндерінде элементар функция алуға болады.
болғанда дәлелдеу керек:
а) б)
в) , г) ... ... ... ... натурал үшін
екенін дәлелдеу керек, мұндағы
Дәлелдеу. Гипергеометриялық теңдеуді мына түрде жазамыз:
(1)
функциясын рет ... ... ... ... -ші туындысы тек
қана тұрақты көбейткіш арқылы параметрлі ... ... ... ... (1) ... ... ... -ларды -ға ауыстырса.
Осы теңдікті рет дифференциалдап жаңадан теңдік аламыз:
үшін соңғы теңдікті жазайық және ... ... ... ... ... ... көбейткіштерді қысқартамыз,
Осы теңдік кезкелген натурал үшін тура болады.
№37 есеп. түрінде ... ... ... ... деп
аталады. Әрбір функция Лежандр теңдеуінің шешімі деп аталады мұндағы
- натурал сан. Гипергеометриялық ... ... ... ... ... болады. Осыны дәлелдеу керек.
Лежандр теңдеуін гипергеометриялық теңдеуге әкелеміз, ол үшін .
, , . Осы өрнектерді Лежандр ... ... ... ... ... ... ... шешімдерінің бірі гиепргеометриялық функция.
Сонда Лежандр теңдеуінің шешімі функция ... ... ... ... да ... парметрі болғанда - Лежандр полиномы гипергеометриялық
функцияның дербес ... ... ... шындығына көз жеткізуге болады.
№38 есеп. Лежандр полиномы аралығында ортогональ ... ... ) ... ... ... және мына ... қанағаттандырады:
Бірінші теңдікті және екіншісін -қа көбейтіп, ... ... ... интегралдасақ,
.
Сонда немесе мұндағы .
3.3 Бессель теңдеуі
№39 есеп. бүтін сан емес деп ... ... ... ... -қа ... теңдеу өзгермейтіндіктен үшін
теңдеуді қарастырамыз. Тек бір ғана ерекше нүктесі бар. Осы ... ... ... , . Егер ... онда ... екі ... ... Берілген теңдеудің шешімін қатардың жалпы
түрінде іздейміз:
болғандықтан, берліген теңдеуге және ... ... ... ... ... ... үшін коэффициенттері мына теңдікті
қанағаттандыру керек:
Анықтаушы теңдеудің түбіріне ... ... ... ... ... ... қойсақ, үшін кезкелген нольден ерекше сан алуға
болатынын көреміз, , ал үшін ... үшін ... ... пайдаланып, қатардың сегментінде бірқалыпты
жинақты екенін көрсетуге болады, яғни кезкелген үшін ... ... ... деп ... ... ... - белгілі
гамма-функция.
екенін ескерсек, мына түрде жазылады:
функциясы -ші ретті -текті Бессель функциясы деп ... ... ... ... ... ... екінші дербес
шешімін мына түрде іздейміз,
болғандағы -ны табатын теңдеу:
десек,
Шарт бойынша бүтін сан емес, онда ... жұп ... ... ... ... мына ... ... теріс индексті -текті Бессель ... ... ... сан ... онда Бессель теңдеуінің шешімі Бессель
функцияларының және сызықтық ... ... ... теңдеуін шешу керек.
Теңдеуді түрінде жазамыз. Берілген теңдеу Бессель теңдеуін береді
. Сондықтан оның жалпы шешімі
болады.
№41 есеп. ... шешу ... ... ... ... түрленеді.
, .
№42 есеп. Бессель функцияларын табу керек.
Гамма-функцияның анықтамасы бойынша
яғни
Алдыңғы есепте өрнегі дәлелденген. деп ... ... ... шешу ... алсақ,
Енді осы өрнекті берілген теңдеуге қойсақ,
немесе . параметрлі ... ... Оның ... ... теңдеудің шешімі мына түрде болады.
№44 есеп. теңдеуін шешу керек.
Бұл теңдеу Бессель теңдеуінің дербес жағдайы ... ... ... ... бірі ... ... ... Бессель
теңдеуінде бүтін болғандықтан, мына түрде жазамыз:
, теңдеуге қоямыз.
ҚОРЫТЫНДЫ
Болашақ математика пәнінің мұғалімдерін даярлауда ... ... пен ... ... өте ... ... оқу ... стандартқа сай математиканың түрлі салаларын оқытуда, оның іс
жүзінде қолданылуына ... мән ... ... ... ... оқып ... оның практикалық маңызы ескеріледі және
оны шешуде басқа пәндермен байланысы, сабақтастығы қарастырылады.
Дипломдық жұмыста:
­ дифференциалдық теңдеулерді қатарлардың ... ... ... ... ... теңдеулерді шешуде дәрежелік және асимптотикалық
қатарларды пайдаланылды;
­ сандық қатарлар ... ... ... мен ... ... ... және Лейбниц белгісі көсетілді;
­ функционалдық қатарлар, олардың жинақталу интервалдары мен негізгі
қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... сипатталды;
­ Тейлор және Фурье ... ... ... ... ... ... ... ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді
шешуде дәрежелік қатарлардың ... ... аз ... және ... ... ... және ... әдістері қарастырылды;
­ дәрежелік қатарлардың көмегімен дифференциалдық теңдеулерді интегралдау
әдістері көрсетілді;
­ гипергеометриялық және ... ... ... ... ... ... мен мысалдары көрсетілді.
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
1. Дайыров Ғ. т.б. Математикалық анализ курсы. 2-бөлім.-А.,1993.
2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А., ... В.П. ... ... ... ... с помощью степенных рядов. –
Киев, 1987. – 76с.
3. Əубəкір С.Б. Жоғары математика.1-2 бөлім. – А.: ҚазҰТУ, 2000.
4. ... Г.Н. ... ... по ... математического анализа.– М.:
Наука, 1977.
5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные ... – М.: ...... ... В.А., ... Б.П. ... курс ... математики. – М.:
Наука, 1986. – 575с.
7. Ляшко И.И. Дифференциальные уравнения. – ... Вища ... 1981. ... ... В.В., ... В.В. Качественная теория дифференциальных
уравнений. – М., Л.: ... ... 1947. ... ... А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные
уравнения. Примеры и ...... Вища ... 1984. –406.
10. Бугров С.Я., Никольский С.М. «Дифференциальное и ... – М.: ... ... ... Я.С., ... С.М. ... ... Кратные
интегралы, ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981.
12. Данко П.Е., Попов А.Г., ... Т.Я. ... ... ... и ... – М.: ... школа, 1999.
13. Ермекұлы Ə. Ұлы математика курсы.1 ... – А., ... ... Г.И.. ... к ... ... по ... анализу.
– М.: Высшая школа, 1966.
15. Игнатьева. А.В., ... Т.И., ... В.Ф. Курс ... – М.: ... ... 1968.
16. Қасымов Қ. Жоғары математика курсы. – А.: Санат, 1997.
17. ... Л.А. ... ... по ... ... – М.: ... ... Минорский B.C. Сборник задач по ... ...... ... ... Н.С. Курс ... и ... исчислениям.
Учебник. М.: Наука, 1978.
20. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. ... ... ... по ... ... 2 ч. ... Высшая школа,
1990.
21. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики.
– М.: Высшая школа, 1983.
22. Шипачев B.C. Задачи по ... ... – М.: ... ... ... ... Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Для вузов.-
М.: ... ... ... Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу:
для физ. и мех.- мат. ... ... 10-е изд.- М.: ... ... ... Л.Д. Курс ... анализа: Учеб. для вузов: В 3 т.- 2-
е изд.- М.: ... ... ... ... Л.А. Сборник заданий по высшей математике: типовые расчеты:
учеб. пособие / Л.А. ... Изд. 7-е, ... - ... ... 240 ... ... ... в вопросах и задачах. Функции нескольких
переменных: Учеб. пособие для вузов / Под ред. ... В.Х. - ... ... ... ... В.С. Математический анализ: Учеб. для вузов.- М.: Высшая школа,
1999.
29. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т.: ... для ... / Н.С. ... Изд., ... - М.: ... 2001. - 544 ... ... задания по высшей математике /Сост. З.Б. Кадырханова,
Р.О. Апышева, Ж.М. ... М-во ... РК ... ... ... ... 1996.- 131 ... Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для
втузов: В 2 ч. / П.Е. ... А.Г. ... Т.Я. ... 3-е ... и доп.- М.: Высшая школа,1980. – 320 с.
32. Матвеев Н.М. ... ...... 1968. – ... ... Б.З. ... К.Қ. Жәй және дербес туындылы дифференциалдық
теңдеулер. – Астана. 1997. – 172б.
34. Валеев К. Г., ... О.А. ... ... ... – А.: Наука, 1974.
35. Тихонов А.А. Математический сборник. 1934. т. 41, вып. 4.
36. ... Я.В. О ... ... ... ... – Фрунзе, 1957.
37. Бродовский В.Г. Уравнения математической физики и функциональный
анализ. А., 1966.
38. ... И.А. Об ... ... ... для бесконечной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. - ВИНИТИ. № 806. – 76с.
39. ... ... ... / ... Г.М. и др. – М.: СЛОВО,
Эксмоб. 2006. – 639c.
40. Жәутіков О.А. Жай дифференциалдық ... 1, 2 – ......

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 36 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы60 бет
Arduino микроконтроллерін пайдаланып күн трекерін жасау39 бет
C++ тілінде сызықтық тізіммен жұмыс29 бет
Delphi ортасында бір айнымалының функциясын зерттеу әдістемесін жасау18 бет
MapInfo бағдарламасындағы ГАЖ технологиясын пайдаланып дифференцияцияланған ландшафтық карталарын жасау әдістері (Алатау аумағында)30 бет
Pascal тіліндегі айнымалылар типі21 бет
String типті айнымалыға қолданылатын стандартты функциялар мен процедуралар9 бет
«Айнымалы жұлдыздар үшін информация мен энтропия қатынасын анықтау»48 бет
«Кабельдің бірінші реттік параметрлерін өлшеу» атты зертханалық жұмыс3 бет
«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»47 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь