n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КЛАССИФИКАЦИЯСЫ
1.1 Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2 Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық дифференцалдық
теңдеулер ... 12
1.3 n.ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
2 N.ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ. АБЕЛЬ ФОРМУЛАСЫ
2.1 Дәрежелік қатардың көмегімен дифференциалдық теңдеулерді
интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 28
2.2 Гипергеометриялық теңдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 31
2.3 Бессель теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2.4 N.ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 63
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 64
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КЛАССИФИКАЦИЯСЫ
1.1 Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2 Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық дифференцалдық
теңдеулер ... 12
1.3 n.ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
2 N.ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ. АБЕЛЬ ФОРМУЛАСЫ
2.1 Дәрежелік қатардың көмегімен дифференциалдық теңдеулерді
интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 28
2.2 Гипергеометриялық теңдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 31
2.3 Бессель теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2.4 N.ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 63
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 64
Диплом жұмысының мазмұны n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешуге арналған.
Жұмыс кіріспеден, негізгі екі тараудан және қорытынды мен пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Бұл тарауларда дифференциалдық теңдеулердің толық классификациясы және дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың әдістері туралы баяндалады.
Механиканың, математикалық физиканың, инженерлік ғылымдардың, сондай-ақ білімнің көптеген салаларын зерттеу дифференциалдық теңдеулерді интегралдауға алып келеді. Ал дифференциалдық теңдеулерді интегралдау түптеп келгенде математикалық анализдің классикалық әрі маңызды сұрақтарының бірі екендігі белгілі.
Болашақ математика пәнінің мұғалімдерін даярлауда пәндер арасындағы сабақтастық пен пәнішілік байланыс өте маңызды. Жоғары оқу орындарында мемлекеттік стандартқа сай математиканың түрлі салаларын оқытуда, оның іс жүзінде қолданылуына айрықша мән беріледі. Айталық, дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқып үйренгенде, оның практикалық маңызы ескеріледі және оны шешуде басқа пәндермен байланысы, сабақтастығы қарастырылады.
Дипломдық жұмыста дифференциалдық теңдеулерді қатарлардың көмегімен жуықтап интегралдаудың әдістері қарастырылған. Жұмыстың алғашқы тарауында дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі ұғымдар мен теоремалар, негізгі шешу әдістері көрсетіледі. N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерге тоқталып, оларды интегралдау әдістерінің математикалық талдау курсының қатарлар теориясымен байланысы туралы айтылады.
Жұмыстың екінші тарауында n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер үшін жалпыланған Абель формуласының қолданысы қарастырылған.
Жұмыстың мақсаты: n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешуді көрсету.
Жұмыстың міндеті: математикалық талдаумен пәнішілік байланысты көрсететін мысалдарға тоқталу.
Жұмыс кіріспеден, негізгі екі тараудан және қорытынды мен пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Бұл тарауларда дифференциалдық теңдеулердің толық классификациясы және дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың әдістері туралы баяндалады.
Механиканың, математикалық физиканың, инженерлік ғылымдардың, сондай-ақ білімнің көптеген салаларын зерттеу дифференциалдық теңдеулерді интегралдауға алып келеді. Ал дифференциалдық теңдеулерді интегралдау түптеп келгенде математикалық анализдің классикалық әрі маңызды сұрақтарының бірі екендігі белгілі.
Болашақ математика пәнінің мұғалімдерін даярлауда пәндер арасындағы сабақтастық пен пәнішілік байланыс өте маңызды. Жоғары оқу орындарында мемлекеттік стандартқа сай математиканың түрлі салаларын оқытуда, оның іс жүзінде қолданылуына айрықша мән беріледі. Айталық, дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқып үйренгенде, оның практикалық маңызы ескеріледі және оны шешуде басқа пәндермен байланысы, сабақтастығы қарастырылады.
Дипломдық жұмыста дифференциалдық теңдеулерді қатарлардың көмегімен жуықтап интегралдаудың әдістері қарастырылған. Жұмыстың алғашқы тарауында дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі ұғымдар мен теоремалар, негізгі шешу әдістері көрсетіледі. N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерге тоқталып, оларды интегралдау әдістерінің математикалық талдау курсының қатарлар теориясымен байланысы туралы айтылады.
Жұмыстың екінші тарауында n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер үшін жалпыланған Абель формуласының қолданысы қарастырылған.
Жұмыстың мақсаты: n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешуді көрсету.
Жұмыстың міндеті: математикалық талдаумен пәнішілік байланысты көрсететін мысалдарға тоқталу.
1 Дайыров Ғ. т.б. Математикалық анализ курсы. 2-бөлім.-А.,1993.
2 Самойленко А.М., Перестюк Н.А., Лисовская В.П. Ряды. Приблеженное интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. – Киев, 1987. – 76с.
3 Əубəкір С.Б. Жоғары математика.1-2 бөлім. – А.: ҚазҰТУ, 2000.
4 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.– М.: Наука, 1977.
5 Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1971. – 240с.
6 Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986. – 575с.
7 Ляшко И.И. Дифференциальные уравнения. – Киев: Вища школа, 1981. – 504с.
8 Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – М., Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. –448с.
9 Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. – Киев: Вища школа, 1984. –406.
10 Бугров С.Я., Никольский С.М. «Дифференциальное и интегральное исчисление». – М.: Наука, 1980.
11 Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы, ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981.
12 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1999.
13 Ермекұлы Ə. Ұлы математика курсы.1 бөлiм. – А., 1995.
14 Запорожец Г.И.. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966.
15 Игнатьева. А.В., Краснощекова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1968.
16 Қасымов Қ. Жоғары математика курсы. – А.: Санат, 1997.
17 Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1983.
18 Минорский B.C. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1977.
19 Пискунов Н.С. Курс дифференциального и интегрального исчислениям. Учебник. М.: Наука, 1978.
20 Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник и индивидуальных заданий по высшей математике. 2 ч. Минск: Высшая школа, 1990.
21 Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. – М.: Высшая школа, 1983.
22 Шипачев B.C. Задачи по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2000.
23 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Для вузов.- М.: Наука, 1985.
24 Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: для физ. и мех.- мат. спец. вузов.- 10-е изд.- М.: Наука, 1990.
25 Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб. для вузов: В 3 т.- 2-е изд.- М.: Высшая школа, 1988.
26 Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: типовые расчеты: учеб. пособие / Л.А. Кузнецов.- Изд. 7-е, стереотип. - Краснодар: Лань, 2005.- 240 с.
27 Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Бутузова В.Х. - М.: Высшая школа, 1988.
28 Шипачев В.С. Математический анализ: Учеб. для вузов.- М.: Высшая школа, 1999.
29 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т.: Учеб. пособие для втузов / Н.С. Пискунов.- Изд., стереотип. - М.: Интеграл-Пресс, 2001. - 544 с.
30 Индивидуальные задания по высшей математике /Сост. З.Б. Кадырханова, Р.О. Апышева, Ж.М. Кадырханова; М-во образования РК ВКГУ.- Усть-Каменогорск: Изд-во ВКГУ, 1996.- 131 с.
31 Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для втузов: В 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Высшая школа,1980. – 320 с.
32 Матвеев Н.М. Дифференциалные уравнения. – Минск. 1968. – 348с.
33 Кенжеғулов Б.З. Қаммаров К.Қ. Жәй және дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер. – Астана. 1997. – 172б.
34 Валеев К. Г., Жаутыков О.А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. – А.: Наука, 1974.
35 Тихонов А.А. Математический сборник. 1934. т. 41, вып. 4.
36 Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро–дифференциальных уравнений. – Фрунзе, 1957.
37 Бродовский В.Г. Уравнения математической физики и функциональный анализ. А., 1966.
38 Танкиев И.А. Об одной краевой задаче для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. - ВИНИТИ. № 806. – 76с.
39 Большая математическая энциклопедия / Якушева Г.М. и др. – М.: СЛОВО, Эксмоб. 2006. – 639c.
40 Жәутіков О.А. Жай дифференциалдық теңдеулер. 1, 2 – бөлім. – А.,1950.
2 Самойленко А.М., Перестюк Н.А., Лисовская В.П. Ряды. Приблеженное интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. – Киев, 1987. – 76с.
3 Əубəкір С.Б. Жоғары математика.1-2 бөлім. – А.: ҚазҰТУ, 2000.
4 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.– М.: Наука, 1977.
5 Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1971. – 240с.
6 Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986. – 575с.
7 Ляшко И.И. Дифференциальные уравнения. – Киев: Вища школа, 1981. – 504с.
8 Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – М., Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. –448с.
9 Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. – Киев: Вища школа, 1984. –406.
10 Бугров С.Я., Никольский С.М. «Дифференциальное и интегральное исчисление». – М.: Наука, 1980.
11 Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы, ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981.
12 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1999.
13 Ермекұлы Ə. Ұлы математика курсы.1 бөлiм. – А., 1995.
14 Запорожец Г.И.. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966.
15 Игнатьева. А.В., Краснощекова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1968.
16 Қасымов Қ. Жоғары математика курсы. – А.: Санат, 1997.
17 Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1983.
18 Минорский B.C. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1977.
19 Пискунов Н.С. Курс дифференциального и интегрального исчислениям. Учебник. М.: Наука, 1978.
20 Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник и индивидуальных заданий по высшей математике. 2 ч. Минск: Высшая школа, 1990.
21 Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. – М.: Высшая школа, 1983.
22 Шипачев B.C. Задачи по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2000.
23 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Для вузов.- М.: Наука, 1985.
24 Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: для физ. и мех.- мат. спец. вузов.- 10-е изд.- М.: Наука, 1990.
25 Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб. для вузов: В 3 т.- 2-е изд.- М.: Высшая школа, 1988.
26 Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: типовые расчеты: учеб. пособие / Л.А. Кузнецов.- Изд. 7-е, стереотип. - Краснодар: Лань, 2005.- 240 с.
27 Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Бутузова В.Х. - М.: Высшая школа, 1988.
28 Шипачев В.С. Математический анализ: Учеб. для вузов.- М.: Высшая школа, 1999.
29 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т.: Учеб. пособие для втузов / Н.С. Пискунов.- Изд., стереотип. - М.: Интеграл-Пресс, 2001. - 544 с.
30 Индивидуальные задания по высшей математике /Сост. З.Б. Кадырханова, Р.О. Апышева, Ж.М. Кадырханова; М-во образования РК ВКГУ.- Усть-Каменогорск: Изд-во ВКГУ, 1996.- 131 с.
31 Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для втузов: В 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Высшая школа,1980. – 320 с.
32 Матвеев Н.М. Дифференциалные уравнения. – Минск. 1968. – 348с.
33 Кенжеғулов Б.З. Қаммаров К.Қ. Жәй және дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер. – Астана. 1997. – 172б.
34 Валеев К. Г., Жаутыков О.А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. – А.: Наука, 1974.
35 Тихонов А.А. Математический сборник. 1934. т. 41, вып. 4.
36 Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро–дифференциальных уравнений. – Фрунзе, 1957.
37 Бродовский В.Г. Уравнения математической физики и функциональный анализ. А., 1966.
38 Танкиев И.А. Об одной краевой задаче для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. - ВИНИТИ. № 806. – 76с.
39 Большая математическая энциклопедия / Якушева Г.М. и др. – М.: СЛОВО, Эксмоб. 2006. – 639c.
40 Жәутіков О.А. Жай дифференциалдық теңдеулер. 1, 2 – бөлім. – А.,1950.
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 52 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 52 бет
Таңдаулыға:
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Гуманитарлық-педагогикалық институты
Физика және математика кафедрасы
Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі _____________
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық
дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған
Абель формуласын пайдаланып шешу
050109 – Математика мамандығы бойынша
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КЛАССИФИКАЦИЯСЫ
1. Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі
ұғымдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2 Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық дифференцалдық
теңдеулер ... 12
1.3 n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық
дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... 14
2 N-ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ
ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ. АБЕЛЬ ФОРМУЛАСЫ
2.1 Дәрежелік қатардың көмегімен дифференциалдық теңдеулерді
интегралдау
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... . 28
2.2 Гипергеометриялық теңдеу
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
31
2.3 Бессель
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .. 35
2.4 N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық
теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу
ҚОРЫТЫНДЫ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... 63
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64
КІРІСПЕ
Диплом жұмысының мазмұны n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы
біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын
пайдаланып шешуге арналған.
Жұмыс кіріспеден, негізгі екі тараудан және қорытынды мен
пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Бұл тарауларда дифференциалдық
теңдеулердің толық классификациясы және дифференциалдық теңдеулерді
интегралдаудың әдістері туралы баяндалады.
Механиканың, математикалық физиканың, инженерлік ғылымдардың, сондай-
ақ білімнің көптеген салаларын зерттеу дифференциалдық теңдеулерді
интегралдауға алып келеді. Ал дифференциалдық теңдеулерді интегралдау
түптеп келгенде математикалық анализдің классикалық әрі маңызды
сұрақтарының бірі екендігі белгілі.
Болашақ математика пәнінің мұғалімдерін даярлауда пәндер арасындағы
сабақтастық пен пәнішілік байланыс өте маңызды. Жоғары оқу орындарында
мемлекеттік стандартқа сай математиканың түрлі салаларын оқытуда, оның іс
жүзінде қолданылуына айрықша мән беріледі. Айталық, дифференциалдық
теңдеулерді шешуді оқып үйренгенде, оның практикалық маңызы ескеріледі және
оны шешуде басқа пәндермен байланысы, сабақтастығы қарастырылады.
Дипломдық жұмыста дифференциалдық теңдеулерді қатарлардың көмегімен
жуықтап интегралдаудың әдістері қарастырылған. Жұмыстың алғашқы тарауында
дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі ұғымдар мен теоремалар, негізгі
шешу әдістері көрсетіледі. N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті
сызықтық дифференциалдық теңдеулерге тоқталып, оларды интегралдау
әдістерінің математикалық талдау курсының қатарлар теориясымен байланысы
туралы айтылады.
Жұмыстың екінші тарауында n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы
біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер үшін жалпыланған Абель
формуласының қолданысы қарастырылған.
Жұмыстың мақсаты: n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті
сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын
пайдаланып шешуді көрсету.
Жұмыстың міндеті: математикалық талдаумен пәнішілік байланысты
көрсететін мысалдарға тоқталу.
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КЛАССИФИКАЦИЯСЫ
1. Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар
Бір немесе бірнеше айнымалылардың ізделінетін функциясын, осы
айнымалыларды және функцияның әр түрлі дәрежелі туындыларын байланыстырып
тұрған теңдеуді дифференциалдық теңдеу деп атайды.
Егер ізделінетін функция тек бір айнымалыға тәуелді болса, онда
дифференциалды теңдеу қарапайым деп, ал егер ол бірнеше айнымалыға тәуелді
болса, онда дифференциалды теңдеу дербес туындылы дифференциалдық теңдеу
деп аталады.
Біз бұл тарауда тек қарапайым дифференциалдық тендеулерді
қарастырамыз. Соңдықтан ендігәрі қарапайым деген сөзді қолданбаймыз.
Дифференциалдық теңдеудің ең жәй түрі - берілген функциясының
алғашқы функциясы -ты табу есебін береді, өйткені .
Дифференциалдық теңдеулерді жалпы түрде былай жазуға болады:
(1)
Мұнда айнымалыға тәуелді функция, натурал саны (1)
теңдеудің дәрежесі деп аталады. Мысалы, функцияның алғашқы функциясын табу
есебі – бірінші дәрежелі теңдеуді береді,
- екінші дәрежелі теңдеу [2].
Егер дәрежелі теңдеуді
түрінде жазуға болса, онда оны жоғары дәрежелі туындысы бойынша
шешілген теңдеу деп атайды. Мұнда айнымалыға тәуелді функция.
Егер функциясын (1) теңдеуіне апарып қойғанда тепе-теңдік
шығатын болса, онда оны (1) теңдеуінің шешімі деп атайды.
Мысалы, у = cos2x функциясы теңдеуінің шешімі балады, өйткені
кезкелген х үшін
Дифференциалдық теңдеудің шешімін табуды оны интегралдау деп атайды.
Дифференциалдық теңдеу шешімінің графигі дифференциалдық теңдеудің
интегралдық қисығы деп аталады [11].
№19 есеп. теңдеуінің шешімін табу керек.
Шешуі. - болғандықтан берілген теңдеуге дифференциалдар
теңдігі эквивалентті. Соңғы теңдікті ингегралдаймыз:
мұндағы -кезкелген тұрақты сан.
Осы теңдіктен
.
Олай болса
,
мұндағы -тұрақты шама. мен — тұрақты шамалар.
Сондықтан теңдеуінің жазықтықта интегралдық қисықтар үйірі бар. Осы
үйірден бір интегралдық қисық бөліп алу үшін жазықтықта осы қисық өтетін
нүкте және нүктеден өтердегі бағытын беруіміз керек. Бұл шарттар бастапқы
шарттар деп аталады. Мысалы, қарастырылған теңдеуде болса,онда
функциясы теңдеудің берілген шарттарды қанағаттандыратын шешімі
болады.
(1) п дәрежелі дифференциалдық теңдеуін қанағаттаңдыратын, х
айнымалысына және ,,..., - п кезкелген өзара тәуелсіз
тұрақты шамаларға тәуелді
(2)
функциясын (1) теңдеуінің жалпы шешімі дейді [5].
Тұрақты шамалардың өзара тәуелсіздігі деп олардың арасындағы ешқандай
байланыстың жоқтығын айтамыз.
Жалпы шешімнен ,,..., тұрақты шамаларына нақты мәндер
бергенде шығатын функцияны (1) теңдеуінің дербес шешімі дейді.
Мысалы,
– жалпы шешім, ал
– дербес шешім.
(2) қисықтар үйірін қанағаттаңдыратын дифференциалдық теңдеуді табу
үшін оны peт дифференциалдау керек.
№20 есеп. қисықтар үйірінің дифференциалдық теңдеуін табу керек.
Шешуі. Берілген функцияны дифференциалдаймыз:
немесе
.
Осы екі теңдіктен -ні жоямыз:
.
Дифференциалдық тендеулер экономика, физика, биология, экология сияқты
ғалымдардың және тағы басқа салалардың көптеген есептерінен шығады. Бір
мысал келтірейік.
№21 есеп. Статистикалық мағлұматтардан белгілі бір регионда жаңа туған
нәрестелермен өлген адамдардың саны бір уақыт бірлігінде барлық
тұрғындардың санына пропорционал болатындығы және пропорционалдық
коэффициенттердің мен санына теңдігі белгілі болсын. Уақыттың
өтуіне байланысты тұрғындар санының өзгеру заңдылығын табу керек.
Шешуі. — уақытындағы тұрғындардың саны болсын. мәні
уақытындағы тұрғындардың есімі болса, онда
,
яғни ол уақыт ішіндегі туғандар саны мен өлгендер санының
айырымына тең. Осыдан
.
Осы теңдікте болғанда шекке көшеміз:
(3)
(3) теңдеуін шешейік. (3) теңдеуінен теңдеуі шығады. Олай болса
, яғни
, (4)
мұндағы С-алғашқы шарттар бойынша анықталатын тұрақты шама. Алғашқы
шарттар ретінде тұрғындардың бастапқы санын алуға болады.
2. Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық
дифференцалдық теңдеулер
(5)
түріндегі теңдеу р мен q тұрақты шамалар болғанда тұрақты коэффициент
екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы -ке
тәуелді функция.
(6)
теңдеуі біртекті, ал (5) болғанда біртексіз теңдеу деп аталады
[12].
(5) теңдеуінің теңдіктерін қанағаттандыратын тек бір ғана шешімі
бар.
Егер пен функцияларының сызықтық өрнегі (мұндағы
мен тұрақты шамалар) нөлге тең болу үшін теңдіктері
орындалса, онда осы функциялар өзара сызықтық тәуелсіз функциялар деп
аталады, ал егер сызықтық өрнек теңдіктері орындалмаған жағдайда да
нөлге тең болса, онда пен өзара сызықтық тәуелді функциялар деп
аталады.
№22 есеп. Төмендегі функциялардың өзара сызықтық тәуелсіз екендігін
көрсету керек:
1) және ,
2) және ;
3) және .
Шешуі. 1) Егер болса, онда . Олай болса болғандықтан
тұрақты шама болу үшін болу керек. Осыдан екендігі
шығады;
2) болу үшін болу керек. Соңғы теңдіктен болғанда
теңдігі шығады. Олай болса ;
3) болсын. Онда
болады. Осы теңдіктен болғанда шығады. Соңдықтан .
Егер мен функциялары (6) теңдеуінің шешімдері болса, онда
олардың сызықтық өрнегі
(7)
функциясы да (6) теңдеуінің шешімі болады.
Бұл тұжырымды (7) функциясын (6)-ге қою арқылы дәделдейміз:
Осы тұжырымды пайдаланып төмендегі теорема дәлелденеді.
Теорема 7. Егер пен өзара сызықты тәуелсіз (6) теңдеуінің
шешімдері болатын болca, онда (6) теңдеудің жалпы шешімі (7) формуласы
бойынша табылады [13].
Сонымен (6) теңдеуінің жалпы шешімін табу үшін оның өзара сызықтық
тәуелсіз екі шешімін білу керек.
(6) теңдеуінің шешімін
(8)
түрінде іздейміз. Мұндағы -нақты сан.
болғандықтан (8) функциясы (6) теңдеудің шешімі болу үшін саны
(9)
теңдеуінің түбірі болу керек.
(9) теңдеуі (6) теңдеуінің сипаттаушы теңдеуі деп аталады. (6)
теңдеудің шешімдерінің бар болуы сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің бар
болуына байланысты. (6) теңдеуінің шешімдері үшін темендегі тұжырымдардың
растығын дәлелдеуге болады.
Теорема 8. а) Егер сипаттаушы теңдеудің екі нақты және
түбірлері бар болса, онда (6) теңдеудің жалпы шешімі
(10)
түрінде беріледі. Мұндағы мен кезкелген тұрақты шамалар;
ә) егер сипаттаушы теңдеудің бір еселі түбірі бар болса, онда
(6) теңдеудің жалпы шешімі
(11)
түрінде беріледі. Мұндағы мен кезкелген тұрақта шамалар;
б) егер сипаттаушы теңдеудің нақты түбірлері болмаса, онда (6)
теңдеудің жалпы шешімі
(12)
түрінде беріледі. Мұндағы мен кезкелген тұрақты шамалар,
ал
№23 есеп. теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. Сипаттаушы теңдеуді жазамыз: . Мұның түбірлері және
. Сондықтан (10) теңдеу бойынша
функциясы іздеп отырған жалпы шешім болады.
№24 есеп. алғашқы шарттарын қанагаттандыратын теңдеуінің
шешімін табу керек.
Шешуі. Алдымен берілген теңдеудің жалпы шешімін табамыз. Ол үшін
сипаттаушы теңдеуді құрамыз: . Мұның еселік түбірі бар: .
Сондықтан (11) формуласы бойынша функциясы берілген теңдеудің жалпы
шешімі болады. Енді осы жалпы шешімнен алғашқы шарттарды қанағаттандыратын
дербес шешімді бөліп аламыз:
болғандақтан
, .
Сонымен . Олай болса функциясы іздеп отарған шешім болады.
№25 есеп. теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. Сипаттаушы теңдеуді құрамыз:
.
Бұл теңдеудің нақты түбірлері жоқ. Сондықтан (12) формуласы бойынша
болғандықтан
функциясы берілген теңдеудің жалпы шешуі болады.
Енді (5) теңдеуінің жалпы шешімін табуға көшейік. Оны тұрақтыны
вариациялау әдісімен табуға болады. Ол үшін алдымен біртекті (6) теңдеуінің
жалпы шешімін табады:
.
Содан соң (5) теңдеудің жалпы шешімі
түрінде ізделінеді. Мұндағы пен әзірше белгісіз
функциялар. Оларды
функциясы (5) теңдеуді қанағаттандыратындай етіп таңдап алады.
Сондықтан олар
(13)
теңдеулер жүйесінің шешімдері ретінде табылады. Мұны біз мысалмен
керсетелік.
№26 есеп. теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. Теңдеуді (5) түріне келтіреміз:
.
Сипаттаушы теңдеуді құрамыз:
.
Мұның шешімдері . Сондықтан
біртекті теңдеудің жалпы шешімі. Енді біртексіз теңдеудің жалпы
шешімін
түрінде іздейміз. Ол үшін (13) жүйесін құрамыз:
Осыдан
немесе
.
Олай болса
.
Сондықтан
Сонымен
функциясы ізделіп отырған жалпы шешім болады. Табылған шешімнің
құрамына назар аударатын болсақ, онда алғашқы екі мүшенің қосындысы
– біртекті теңдеудің жалпы шешімі, ал
– біртексіз теңдеудің дербес шешімі екенін көреміз.
Осындай құбылыс кезкелген сызықтық біртекті емес теңдеу үшін
байқалады, яғни мынандай тұжырым дұрыс болады:
Теорема 9. Біртексіз сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі
осы тендеудің бір дербес шешімі мен сәйкес біртекті сызықты дифференциалдық
теңдеудің жалпы шешімдерінің қосындысынан тұрады 3.
1.3 n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық
дифференциалдық теңдеулер
1.3.1 Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер
Анықтама. (17)
түріндегі теңдеу n–ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Егер (17)-ден n–і туынды табылатын болса, онда
(18)
теңдеуі ең жоғарғы туындысы арқылы шешілген n–ретті дифферен-циалдық
теңдеу деп аталады.
Коши есебі:
(19)
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын (18) дифференциалдық теңдеудің
шешімін табалық.
Теорема (Коши есебі шешімінің бар және оның жалғыз болуы туралы).
функциясы
облысында мына екі шартты қанағаттандырсын делік:
1) функциясы өздерінің аргументтері бойынша үзіліссіз және
шенелген:
;
2) функция үшін айнымалылары бойынша
Липшиц шарты орындалады (Липшиц шарты функциядан айнымалылары
бойынша алынған үзіліссіз дербес туындылары бар болғанда ғана орындалады),
онда анықталған, өзінің n–і туындыларымен қоса үзіліссіз және (19)
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады.
Бұл теореманы жеңілдеу тұжырымдауға болады.
Егер (18) дифференциалдық теңдеудің оң бөлігі үзіліссіз, шенелген және
бойынша үзіліссіз дербес туындылары болса, онда Коши есебінің жалғыз
шешімі бар болады.
Анықтамалар.
функциясы (18) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады,
егер ол:
1) -дың кез келген мәндерінде (18) дифференциалдық теңдеуді
қанағаттандырады;
2) берілген (19) бастапқы шарттар бойынша функциясы (19)
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын мынадай -і табуға болады.
Егер жалпы шешімінде -ң нақты мәндері алынатын болса, онда
функция дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп аталады.
түріндегі қатысы, мұндағы айқын берілмеген, (18) дифференциалдық
теңдеудің жалпы интегралы деп аталады
(18) теңдеуді интегралдау үшін бастапқы шарттарды қанағаттандыратын
жалпы шешімін немесе дербес шешімін табу қажет.
1.3.2 Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың
тәсілдері
I-класс. Тәуелсіз айнымалы және жоғарғы туындысы бар теңдеулер.
түріндегі теңдеуді қарастырамыз.
Екі бөлігін де бойынша интегралдаймыз:
тағы да интегралдаймыз:
.
Осы тәсілмен n рет интегралдаймыз, сонда
.
I-кластағы n-ретті ДТ тізбектей n рет интегралдау тәсілімен шешіледі.
Мысал. теңдеуін шешелік.
;
;
.
II-класс. у функциясы және оның (k-1)-і ретіне дейінгі туындылары жоқ
теңдеулер.
түріндегі ДТ қарастырамыз.
Жаңа айнымалы енгіземіз:
, (20)
сонда
.
u(х) функциясы мен оның алынған туындыларын қарастырылатын теңдеуге
қоямыз:
.
Сонымен, - ретті теңдеу алынды, яғни ДТ-ң реті төмендетілді. Жаңа
ДТ-ң шешімі
функциясы болсын делік. Мұны (20) теңдеуге қоямыз:
- k ретті дифференциалдық теңдеу аламыз, ал бұл k рет дифферен-
циалдау арқылы шешіледі (1-класс).
Мысалдар. 1. үшінші ретті ДТ шешелік.
ауыстыруын алайық, . Бұларды теңдеуге қою арқылы
бірінші ретті ДТ-і аламыз. Айнымалыларын ажыратамыз:
;
.
Бұл теңдеу квадратурада шешіледі.
2. ;
; ; ; ;
;;;
бұл теңдеуді бөліктеп үш рет интегралдау арқылы шешу керек (1-класс)
III-класс. Тәуелсіз айнымалы х-і жоқ теңдеулер.
түріндегі теңдеуін қарастырамыз.
Тәуелсіз жаңа айнымалы үшін у-ті аламыз және ауыстыру орындаймыз:
.
Екінші, үшінші және т.б. туындыларын алу үшін осы жаңа функциядан
күрделі функция есебінде туынды табамыз:
;
және т.б.
Табылған туындыларды теңдеуге қойып, реті бірге кеміген ДТ аламыз:
.
Шешімі мына түрде табылды делік:
Енді ауыстыруға қайта оралып айнымалылары ажыратылған бірінші ретті ДТ
аламыз:
.
Мысал. ДТ шешелік. Мұнда тәуелсіз айнымалы х жоқ.
ауыстыруын орындаймыз. ; - бұл біртекті теңдеу. -
ауыстыруын аламыз, . Теңдеуге қоямыз: .у-і қысқартамыз: .
;
; ;
- біртекті теңдеудің шешімі
немесе ,
ал бұл айнымалысы ажыратылған ДТ.
IV класс. Сол бөлігі толық туынды болып келген теңдеулер.
теңдеуін қарастырамыз және
болсын делік. Жаңа дифференциалдық теңдеудің екі бөлігін де
интегралдаймыз, сонда .
ДТ реті бірге төмендеді.
Мысалдар. 1..Бұл III-кластың теңдеуі. IV-кластың тәсілімен шешіп
көрелік. , екі бөлігін де -ке бөлеміз: енді интегралдаймыз:
;
- теңдеудің х-і жоқ.
; ; ; ;
; ; ;
;
- бұл үшінші ретті ДТ жалпы интегралы, сондықтан оның үш еркін тұрақтысы
бар.
2. ;
; ; - бұл ДТ реті бірге төмендеді.
3. .
; ; ;
; - бұл ДТ жалпы интегралы.
Сызықтық дифференциалдық теңдеулер
Анықтама.
(21)
түріндегі дифференциалдық теңдеулер n-ретті сызықтық дифферен-циалдық
теңдеулер (СДТ) деп аталады.
Бұл теңдеуде -лер бірінші дәрежелі.
2 N-ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ
ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ. АБЕЛЬ ФОРМУЛАСЫ
2.1.1 Абель Нильс Хенрик
Абель Нильс Хенрик (Niels Henrik Abel, 1802-1829） - Норвегияның
атақты математигі, осы заман алгебрасының дамуындағы көшбасшысы. 1802 ж. 5-
тамыз күні Финнейде шала сопы-пастор сурен Георт Абелдің семьясында дүниеге
келген, 1829 ж. 6-сәуір күні Фолуланда қайтыс болған.
13 жасында Ослода діни мектепке түскен, математика мүғалімі Бернт
Микель Хольмобое оның талантын байқап, оған жетекшілік еткен. Жас шағынан
бастап Абель кейбір математикалық мәселелерге ой жүгірте бастайды. 1821
жылы бірнеше профессордың көмегімен Осло университетіне түседі. Ол
университетте өздігінен оқыған, сонымен бірге көп уақытын зерттеуге
жұмсаған. 1824 жылы, Абель 5-дәрежелі алгебралық теңдеудің шешуін әдеттегі
түбір табу жолымен табуға болмайтынын дәлелдеу барысында, топтарға (Абел
тобына) алмастыруға болады деген тұжырымды енгізеді. Мақаласы түсінікті
болу үшін француз тілінде жарялайды және оны С.Ф.Гауссқа жіберіп береді.
Бірақ шет ел математиктері ешқандай көмек көрсетпейді. 1825 жылы ол
Берлинге барып, сол жерде А.Л.Креллемен (August Leopold Crelle 1780-1855)
танысып дос болады.
Абель Нильс Хенрик-Норвегияның атақты математигі
2.1.2
2.2
2.3
2.4
1 САНДЫҚ ЖӘНЕ ФУНКЦИОНАЛДЫҚ ҚАТАРЛАР
1.1 Негізгі ұғымдар мен теоремалар
Айталық, шексіз сандық тізбек берілсін.
(1)
Мына
(2)
шексіз аналитикалық түрлендіру (1) сандық тізбектің қосындысын көрсетеді
және сандық қатар деп аталады. Ал сандары қатардың мүшелері деп
аталады. (2) қатар берілді деп санаймыз. Егер осы қатардың мүшелерінің
берілу заңы белгілі болса, бұл жағдайда мынадай варианттар мүмкін:
- қатардың алғашқы бірнеше мүшесі белгілі, осыдан барып қатардың
жалпы мүшесін табуға болады. Мысалы,
1. .
2.
3.
– қатардың жалпы мүшесі берілген, қатарды жазу керек. Мысалы,
1.
2.
түрінде жазылған сиволикалық жазу осы қатардың қосындысы деп аталады. Ал
бұны түсіндіру үшін қатардың n мүшесінен дербес қосынды деп аталатын
қосындылар құрайық:
Нәтижесінде жаңа сандық тізбек аламыз:
. (3)
Егер ұмтылғанда (3) тізбектің шегі болса,
,
онда (2) шексіз сандар қатар жинақты және қатардың қосындысы бар болады.
(4)
Егер -нің шегі жоқ болса, онда (2) қатар жинақсыз және қосындысы
жоқ дейміз.
Егер
болса, онда (2) қатар жинақсыз деп аталады. Егер (4) қатар жинақты болса,
онда жеткілікті үлкен n нөмірлі дербес қосынды қатардың
қосындысына жуық түрде тең болады. дербес қосынды мен қатардың
қосындысы арасындағы
(5)
жуақтау қателігі (2) қатардың қалдығы деп аталады.
(5) қалдық
(2) қатардың алғашқы n мүшесін алып тастағаннан шығады [1], [2].
Қатардың қалдығы туралы теорема
Егер (2) қатар беріліп, (5) қатар оның кез келген қалдығы болса, (2)
қатардың жинақталуынан (5) қалдықтың дажнақталуы және керісінше, (5)
қатардың жинақталуынан (2) қатардың жинақталатындығы шығады.
Қатардың жинақтылығының қажетті шарты
Теорема 1. Егер кезкелген сандық қатар жинақты болса, онда оның жалпы
мүшесінің шегі бар және нольге тең: егер .
Дәлелдеу: Айталық, бізге жинақты қатар берілсін, яғни -
қатардың қосындысы. Онда үшін де орынды. Ал,
бұдан
дәлелдеу керегі де осы.
Берілген шарт қажетті, бірақ жеткілікті емес, яғни ол орныдалады, бірақ
бұл қатардың жинақты екенін көрсетпейді [2].
№1 есеп. а) орындалады,
б) орындалмайды, .
в) орындалады, .
№2 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек.
а) ; , қатар жинақсыз.
б) қажетті шартын тексереміз.
тізбек жазамыз:
тізбек монотонды кемиді, ал , яғни қатар жинақсыз [3].
Қатарларға амалдар қолдану
1. Жинақты қатарды тұрақты с санына көбейткенде жинақты қатар шығады.
жинақты, яғни
2. Жинақты бірнеше қатардың қосындысы да жинақты.
және
қатарлары жинақты болсын. Онда
қатары да жинақты. Бұл крісінше болса, үнемі орындала бермейді.
Мысалы, жинақты қатар. Бірақ бұл қатар екі жинақсыз қатардың
қосындысы болып табылады.
Мүшелері оң қатарлар
Мына түрде
,
берілген қатар біртаңбалы деп аталады. Минус таңбалы қатардың
жинақтылығына әсер етпейтіндіктен, бұнда тек қана мүшелері оң қатармен ғана
шектелеміз.
, (6)
.
(6) қатардың дербес қосындылары монотонды өспелі сандық тізбекті
береді. Бізге белгілі, бұндай тізбек шектелген немесе шексіз өспелі болады.
Бұдан (6) қатар шексіздікте жинақты не жинақсыз болуы мүмкін [4].
Қатарларды салыстыру белгісі
Теорема 2. Мүшелері оң (А) мен (В) қатарларының мүшелері
(белгілі бір -нен бастап) шартын қанағаттандырса, біріншіден,
(А) қатардың жинақталмауынан (В) қатарының жинақталмайтындығы шығады;
екіншіден, (В) қатардың жинақталуынан (А) қатарының жинақталатындығы
шығады.
Салыстыру белгісін пайдаланып, қатардың жинақтылығын тексеру керек.
(7)
бұл қатар гормоникалық қатар деп аталады. Егер кезкелген қатар тұрған
үш мүшесін алсақ, онда шартн қанағаттандыратынын көреміз. (7)
гормоникалық қатар жинақтылықтың қажетті шартын қанағаттандырады.
. Бірақ бұл қатардың дербес қосындысын өскен сайын
шексіз өсетінін көрсетуге болады. Бұл үшін қатардың екінші мүшесінен бастап
қатар мүшелерін біріктіреміз.
Егер группадаға әрбір қосылғышты соңғысымен ауыстырсақ,
(8)
(8) қатардың мүшелері (7) қатардың сәйкес мүшелерінен асып кетпейді.
Бірақ (8) қатардың әрбір дербес қосындысы -да , яғни (8) қатар
жинақсыз. Бұдан салыстыру белгісі бойынша (7) армоникалық қатар да жинақсыз
болады.
Даламбер белгісі
Егер мүшелері оң қатар үшін
,
шек бар болса,
,
1. болғанда қатар жинақты.
2. болғанда қатар жинақсыз.
Дәлелдеу: болсын. Онда қандай да бір -дан бастап, мына шарт
,
орынды.
(9)
Негізгі қатарды жазамыз,
(10)
және көмекші қатарды жазамыз:
(11)
(11) геометриялықпрогрессияны береді. , яғни бұл жинақты (9)
теңсіздікті ескерсек және салыстыру белгісі бойынша (10) қатарда жинақты.
болсын. Онда әрбір үшін номерінен бастап
теңсіздіктері орындалады. Мұнан барлық үшін мына теңсіздікті жазуға
болады, . Демек, төмендегі теңсіздіктер тізбегі құралады:
.
(*)
Мұндағы теңсіздіктердің оң жақтарынан құралған қатар.
болуы себепті өспелі геометриялық прогрессиямүшелерінен құралғандықтан
жинақты болмайды. Онда қатарларды салыстыру белгісіне сәйкес
(**)
қатары да жинақты болмайды, сондықтан берілген қатар да жинақты болмайды
[5].
№3 есеп. Қатардың жинақтылығын салыстыру теоремасы арқылы көрсету
керек.
Жинақтылықтың қажетті шарты орындалды. Берілген қатарды мына қатармен
салыстырамыз.
Бұл қатар жинақты, онда берілген қатар дажинақты.
№4 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
(12).
Жинақтылықтың қажетті шарты орындалады,
.
Енді Даламбердің жеткілікті шартын тексереміз,
,
яғни (12) қатары жинақты.
№5 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
1.
2.
Қатар жинақсыз [6].
3. Коши белгілері. Мүшелері оң қатары үшін шек бар болса,
1. болғанда қатар жинақты.
2. болғанда қатар жинақсыз.
№6 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
.
Қатардың жинақтылығының қажетті шартын тексеру үшін үздіксіз аргументті
функциясын қарастырамыз.
(Лопиталь ережесі бойынша) ,
яғни . Енді Коши белгісін пайдаланамыз:
.
Осы нәтижені дәлелдеу үшін үздіксіз аргументті функциясын
қарастырамыз. Бұдан
, .
, онда -да .
Бұдан -да болады. Сонда, Коши белгісі бойынша зерттеліп
отырған қатар жинақты екен.
Даламбер және Коши белгілері кейбір қатардың жинақтылығынан анализ
жасау үшін жарамсыз болып қалады. Мысалы мынадай жағдайда немесе
шек 1-ге тең. Егер гармоникалық қатар қарастырсақ, онда жоғары
айтылған екі белгіні қолдануға болмайды. Сондықтан, Кошидің интегралдық
белгісін қарастырамыз.
Егер қатары қандай да бір -нен бастап
және
болғанда өспелі емес функция бар болып
орындалса, онда
1) меншіксіз интеграл жинақты болса, қатар жинақты болады;
2) жинақсыз болса, қатар жинақсыз болады.
№7 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
.
Кошидің интегралдық белгісін пайдаланамыз:
,
яғни қатар жинақсыз.
1.2 Айнымалы таңбалы қатарлар. Лейбниц белгісі
Абсолют және шартты жинақтылығы
Анықтама. Құрамында шексіз көп оң, шексіз көп теріс таңбалы мүшелері
бар қатарларды айнымалы таңбалы қатарлар деп атаймыз.
Ондай қатарлар жалпы алғанда
(*)
түрінде жазылады [7].
Теорема 3. Егер айнымалы таңбалы (*) қатардың мүшелерінің абсолют
шамаларынан құралған
қатар жинақты болса, онда берілген (*) қатары да жинақты болады.
Анықтама. Айнымалы таңбалы (*) қатардың мүшелерінің абсолют шамаларынан
құралған
(**)
Қатары жинақты болса, (*) қатары абсолют жинақты деп аталады, егер (**)
қатар жинақсыз болып, ал (*) қатары жинақты болса, (*) қатар абсолют емес
немесе шартты жинақты деп аталады.
№8 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
.
Берілген қатардың мүшелерінің абсолют шамаларынан қатар құрамыз:
(1)
Салыстыру үшін көмекші қатар аламыз.
(2)
Бұл қатар Коши белгісі бойынша жинақты. Онда
(3)
Бұдан (1) қатардың жинақтылығын және берілген қатардың абсолютті
жинақты екендігі шығады.
Ауыспалы таңбалы қатарлар
Анықтама. Көршілес мүшелерінің таңбалары қарама-қарсы болатын қатарлар
ауыспалы таңбалы қатарлар деп аталады. Оны жалпы түрде
, (4)
деп жазуға болады.
Лейбниц белгісі
Егер ауыспалы таңбалы (4) қатар үшін мына төмендегі шарттар
1)
2)
орындалса, онда қатар жинақты және қатар қосындысы болады [2].
Дәлелдеу: бізге дербес қосындыларының шегі
,
бар екенін дәлелдеу керек.
(4) қатардың жұп дербес қосындысын құрамыз
1) шарт бойынша әрбір жақша оң шаманы береді, . қосындысы мына
түрде
жазамыз. Тағы да әрбір жақшада оң шама бар және -ден қандай да бір
оң шама шегеріледі, ендеше жұп дербес қосындылар оң шама және
кемімелі, шектелген тізбекті береді, ендеше Вейеоштрасс теоремасы бойынша
бұл тізбектің шегі және .
Енді тақ нөмірлі дербес қосындыларды қарастырамыз:
,
егер осы теңдіктен шек алсақ,
,
себебі 2) шарт бойынша
.
Салдар. (4) қатардың
қалдығының абсолют шамасы қатардан шығарып тасталған мүшелердің
біріншісінің аюсолют шамасынан артық емес.
№9 есеп. қатарын қарастырамыз. Бұл қатар Лейбниц белгісі бойынша
жинақты
яғни қатар жинақты. Қатардың мүшелерінің абсолют шамаларынан қатар құрамыз.
(а)
Даламбер белгісі бойынша
(а) қатары жинақты, онда берілген қатар абсолютті жинақты.
1.3 Функциональдық қатарлар
Мүшелері сан емес, функция болатын қатарды қарастырамыз.
(1)
Бұндай қатар функциялық қатар деп аталады. (1) қатар мәндері үшін
жинақты, ал кейбір мәндері үшін жинақсыз болуы мүмкін, мәнінде
сандық қатары жинақты болса, онда нүктесін (1) қатардың жинақталу
нүктесі деп атайды. Функциялық қатар жинақталатын нүктелерінің жиынын
сол қатардың жинақталу облысы деп атайды.
№10 есеп. қатары интервалында жинақты, себебі бұл
интервалда берілген қатар шексіз кемімелі геометриялық прогрессияны береді.
Ал болған жағдайда қатар жинақсыз.
Анықтама. Функциялық қатардың мүшелерінің абсолют шамалары қандай да
бір оң таңбалы сандық қатардың сәйкес мүшелерінен артық болмаса, онда
функциялық қатарды жинақталы облысында бір қалыпты жинақты дейді [2].
1.4 Дәрежелік қатар. Жинақталу интервалы. Негізгі қасиеттері
Анықтама. Сандық тізбек беріліп және -тәуелсіз айнымалы
болса,
(2)
түріндегі қатар дәрежелік қатар деп аталады. Дәрежелік қатардың жалпыланған
түрі
(3)
болып табылады. Дәрежелік қатардың -ші мүшесі , ал нөлінші
мүшесі деп аталады.
Абель теоремасы
Теорема 4. Егер (2) дәрежелік қатар нүктесінде жинақталса, ол
қатар айнымалы -тің шартын қанағаттандыратын барлық мәндерінде
абсолютті жинақталады.
Дәлелдеуі: Дәлелдемек болып отырған теореманың шарты бойынша (2) қатар
нүктесінде жинақталады. Олай болса, -да қатарының жалпы
мүшесі міндетті. Мұнан шамасының шектелген екендігін көреміз,
яғни саны табылып, теңсіздігі орындалады. Енді -тің (4)
теңсіздікті қанағаттандыратын мәндерін алайық. Сонда . Енді берілген
(2) қатардың жалпы мүшесіне баға берейік:
(5)
Ал болуы себепті (5) теңсіздіктің оң жағындағы шамасы
жинақталатын сандық қатардың жалпы мүшесі болып табылады. Мұнан (4) шартты
қанағаттандыратын -тің барлық мәндері үшін (2) дәрежелік қатардың
абсолют жинақтылығы айқындалады.
Салдар. Егер (2) қатар кейбір нүктесінде жинақталмайтын болса,
(6)
теңсіздігін қанағаттындыратын барлық нүктелерінде де жинақталмайды.
Анықтама. Дәрежелік (2) қатардың жинақталу радиусы деп барлық
үшін шартын қанағаттандыратын қатар жинақты, ал барлық үшін
қатар жинақсыз болатын санын аламыз. интервалы қатардың
жинақталу интервалы деп аталады. Барлық үшін, тек нүктесінен
басқа нүктелер үшін жинақсыз қатар үшін , ал барлық үшін
жинақсыз қатардың жинақталу радиусы деп атаймыз.
қатары үшін жоғарыда айтылғандардың барлығы орындалады, тек қана жинақталу
интервалының центрі нүктесі емес, нүктесі жатады. Ендеше
жинақталу интервалы интервалы болады [9].
№11 есеп. Жинақталу радиусын табу керек.
,
яғни берілген қатар -тің барлық мәндерінде жинақты, ендеше .
Дәрежелік қатардың қасиеттері
1. Жинақталу интервалында жатқан интервалында (2) дәрежелік
қатар бірқалыпты жинақты болады.
2. Дәрежелік қатардың қосындысы жинақталу интервалында үздіксіз
функцияны береді.
3. Дәрежелік қатарды жинақталу интервалында мүшелеп интегралдаауға
болады.
4. Дәрежелік қатарды жинақталу интервалында мүшелеп дифференциалдауға
болады.
1.5 Функцияны дәрежелік қатарға жіктеу.Тейлор қатары
Анықтама. фнукциясының нүктесінің аймағындағы Тейлор қатары
деп
(7)
түріндегі, нүктесіндегі мәнімен және туындылары арқылы берілген
дәрежелік қатарды айтамыз. Егер
болса, онда (7) Тейлор қатары қандайда бір интервалда жинақты болады.
– Тейлор қатарының -ші дербес қосындысы.
Теорема 5. Егер фнукциясының нүктесі тиісті болатын
интервалдың кез келген нүктесінде -ші туындысы осы интервалдың кез
келген нүктесі үшін
,
мұндағы . болғанда Тейлор қатарының дербес жағдайы Маклерон
қатары деп аталады.
Элементар функциялардың Маклерон қатарына жіктелуі:
.
1.6 Дәрежелік қатарларды жуықтап есептеулерге пайдалану
№12 есеп. -дің мәнін есептеу керек.
№13 есеп. Қатардың алғашқы үш мүшесін сақтап, болғандағы
интегралын есептеу керек.
1.7 Фурье қатары. Периодты функцияның Фурье қатарына жіктелуі
Функциональдық қатарды қарастырайық,
(1)
мұндағы қатардың коэффициенттері, ал қатардың бос мүшесі деп
атайды. (1) қатар көбіне мына түрде жазылады,
. (2)
Айталық, функциясы (2) қатардың қосындысы делік:
. ()
Бұл жағдайда функциясы тригонометриялық қатарға жіктеледі дейді.
сегментте қатар бірқалыпты жинақталады деп, коэффициенттерді
қалай нақтылауды көрсетеміз.
Берілген сегментте бірқалыпты жинақты болса, онда мүшелеп интегралдауға
болғандықтан,
.
Бірақ, болғандықтан,
.
натурал сан болсын. коэффициентін табу үшін () қатарын
мүшелеп -қа көбейтеміз. Шыққан қатар сегментінде бірқатылпты
жинақты болады.
.
Осыны интегралдаймыз,
(3)
болғанда .
, (4)
,
болғандықтан (3) теңдікті мына түрде жазамыз,
,
бұдан
. ()
Теңдіктің екі жағын да -ке көбейтеміз және -дан дейін
интервал аламыз, (4) теңдік бойынша мәнін табамыз:
.
Егер периоды болатын периодты функциясы (2)
сегментінде бірқалыпты жинақты болатын қатардың қосындысы болса, онда бұл
қатардың коэффициенттері мына формула бойынша анықталады,
(5)
(2) тригонометриялық қатардың коэффициенттері (5) түрінде берілсе,
қатарды Фурье қатары деп атайды.
(5) формула бойынша анықталған (2) қатар коэффициенттері Эйлер-Фурье
коэффициенттері деп аталады. (5) формуланы қорыту кезінде функциясы
бірқалыпты жинақталатын (2) тригонометриялық қатарға жіктеледі деп жорыды.
Ал егер бұлай жорымай (5) формуланың оң жағындағы функциясы үшін
барлық интегралдар бар десек, онда осы формула бойынша
коэффициенттерін табуға және (2) тригонометриялық қатарды құруға болады.
Фурье қатарының жинақтылығының жеткілікті шарты Дирихле теоремасы
бойынша беріледі.
Дирехле теоремасы
Теорема 6. Периоды болатын периоды функциясы кезкелген
сегментте мына шарттарды
1. сегментінде үздіксіз
2. сегментінде монотонды қанағаттандырады.
Бұл жағдайда Фурье қатары сандық осьтің барлық мүшелерінде жинақты және
қатар қосындысы үздіксіз функцияның осы нүктелердегі мәніне тең
[10].
№14 есеп. функциясы берілген. Периоды болатын
функциясын интервалында Фурье қатарына жіктеу керек.
Бұл функциясы 1-2 шарттарды қанағаттандырады, ендеше бұл функция
Фурье қатарына жіктеледі: (5) формуланы пайдаланып Эйлер-Фурье
коэффициенттерін ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Гуманитарлық-педагогикалық институты
Физика және математика кафедрасы
Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі _____________
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық
дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған
Абель формуласын пайдаланып шешу
050109 – Математика мамандығы бойынша
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КЛАССИФИКАЦИЯСЫ
1. Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі
ұғымдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2 Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық дифференцалдық
теңдеулер ... 12
1.3 n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық
дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... 14
2 N-ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ
ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ. АБЕЛЬ ФОРМУЛАСЫ
2.1 Дәрежелік қатардың көмегімен дифференциалдық теңдеулерді
интегралдау
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... . 28
2.2 Гипергеометриялық теңдеу
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
31
2.3 Бессель
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .. 35
2.4 N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық
теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу
ҚОРЫТЫНДЫ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... 63
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64
КІРІСПЕ
Диплом жұмысының мазмұны n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы
біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын
пайдаланып шешуге арналған.
Жұмыс кіріспеден, негізгі екі тараудан және қорытынды мен
пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Бұл тарауларда дифференциалдық
теңдеулердің толық классификациясы және дифференциалдық теңдеулерді
интегралдаудың әдістері туралы баяндалады.
Механиканың, математикалық физиканың, инженерлік ғылымдардың, сондай-
ақ білімнің көптеген салаларын зерттеу дифференциалдық теңдеулерді
интегралдауға алып келеді. Ал дифференциалдық теңдеулерді интегралдау
түптеп келгенде математикалық анализдің классикалық әрі маңызды
сұрақтарының бірі екендігі белгілі.
Болашақ математика пәнінің мұғалімдерін даярлауда пәндер арасындағы
сабақтастық пен пәнішілік байланыс өте маңызды. Жоғары оқу орындарында
мемлекеттік стандартқа сай математиканың түрлі салаларын оқытуда, оның іс
жүзінде қолданылуына айрықша мән беріледі. Айталық, дифференциалдық
теңдеулерді шешуді оқып үйренгенде, оның практикалық маңызы ескеріледі және
оны шешуде басқа пәндермен байланысы, сабақтастығы қарастырылады.
Дипломдық жұмыста дифференциалдық теңдеулерді қатарлардың көмегімен
жуықтап интегралдаудың әдістері қарастырылған. Жұмыстың алғашқы тарауында
дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі ұғымдар мен теоремалар, негізгі
шешу әдістері көрсетіледі. N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті
сызықтық дифференциалдық теңдеулерге тоқталып, оларды интегралдау
әдістерінің математикалық талдау курсының қатарлар теориясымен байланысы
туралы айтылады.
Жұмыстың екінші тарауында n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы
біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер үшін жалпыланған Абель
формуласының қолданысы қарастырылған.
Жұмыстың мақсаты: n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті
сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын
пайдаланып шешуді көрсету.
Жұмыстың міндеті: математикалық талдаумен пәнішілік байланысты
көрсететін мысалдарға тоқталу.
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КЛАССИФИКАЦИЯСЫ
1. Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар
Бір немесе бірнеше айнымалылардың ізделінетін функциясын, осы
айнымалыларды және функцияның әр түрлі дәрежелі туындыларын байланыстырып
тұрған теңдеуді дифференциалдық теңдеу деп атайды.
Егер ізделінетін функция тек бір айнымалыға тәуелді болса, онда
дифференциалды теңдеу қарапайым деп, ал егер ол бірнеше айнымалыға тәуелді
болса, онда дифференциалды теңдеу дербес туындылы дифференциалдық теңдеу
деп аталады.
Біз бұл тарауда тек қарапайым дифференциалдық тендеулерді
қарастырамыз. Соңдықтан ендігәрі қарапайым деген сөзді қолданбаймыз.
Дифференциалдық теңдеудің ең жәй түрі - берілген функциясының
алғашқы функциясы -ты табу есебін береді, өйткені .
Дифференциалдық теңдеулерді жалпы түрде былай жазуға болады:
(1)
Мұнда айнымалыға тәуелді функция, натурал саны (1)
теңдеудің дәрежесі деп аталады. Мысалы, функцияның алғашқы функциясын табу
есебі – бірінші дәрежелі теңдеуді береді,
- екінші дәрежелі теңдеу [2].
Егер дәрежелі теңдеуді
түрінде жазуға болса, онда оны жоғары дәрежелі туындысы бойынша
шешілген теңдеу деп атайды. Мұнда айнымалыға тәуелді функция.
Егер функциясын (1) теңдеуіне апарып қойғанда тепе-теңдік
шығатын болса, онда оны (1) теңдеуінің шешімі деп атайды.
Мысалы, у = cos2x функциясы теңдеуінің шешімі балады, өйткені
кезкелген х үшін
Дифференциалдық теңдеудің шешімін табуды оны интегралдау деп атайды.
Дифференциалдық теңдеу шешімінің графигі дифференциалдық теңдеудің
интегралдық қисығы деп аталады [11].
№19 есеп. теңдеуінің шешімін табу керек.
Шешуі. - болғандықтан берілген теңдеуге дифференциалдар
теңдігі эквивалентті. Соңғы теңдікті ингегралдаймыз:
мұндағы -кезкелген тұрақты сан.
Осы теңдіктен
.
Олай болса
,
мұндағы -тұрақты шама. мен — тұрақты шамалар.
Сондықтан теңдеуінің жазықтықта интегралдық қисықтар үйірі бар. Осы
үйірден бір интегралдық қисық бөліп алу үшін жазықтықта осы қисық өтетін
нүкте және нүктеден өтердегі бағытын беруіміз керек. Бұл шарттар бастапқы
шарттар деп аталады. Мысалы, қарастырылған теңдеуде болса,онда
функциясы теңдеудің берілген шарттарды қанағаттандыратын шешімі
болады.
(1) п дәрежелі дифференциалдық теңдеуін қанағаттаңдыратын, х
айнымалысына және ,,..., - п кезкелген өзара тәуелсіз
тұрақты шамаларға тәуелді
(2)
функциясын (1) теңдеуінің жалпы шешімі дейді [5].
Тұрақты шамалардың өзара тәуелсіздігі деп олардың арасындағы ешқандай
байланыстың жоқтығын айтамыз.
Жалпы шешімнен ,,..., тұрақты шамаларына нақты мәндер
бергенде шығатын функцияны (1) теңдеуінің дербес шешімі дейді.
Мысалы,
– жалпы шешім, ал
– дербес шешім.
(2) қисықтар үйірін қанағаттаңдыратын дифференциалдық теңдеуді табу
үшін оны peт дифференциалдау керек.
№20 есеп. қисықтар үйірінің дифференциалдық теңдеуін табу керек.
Шешуі. Берілген функцияны дифференциалдаймыз:
немесе
.
Осы екі теңдіктен -ні жоямыз:
.
Дифференциалдық тендеулер экономика, физика, биология, экология сияқты
ғалымдардың және тағы басқа салалардың көптеген есептерінен шығады. Бір
мысал келтірейік.
№21 есеп. Статистикалық мағлұматтардан белгілі бір регионда жаңа туған
нәрестелермен өлген адамдардың саны бір уақыт бірлігінде барлық
тұрғындардың санына пропорционал болатындығы және пропорционалдық
коэффициенттердің мен санына теңдігі белгілі болсын. Уақыттың
өтуіне байланысты тұрғындар санының өзгеру заңдылығын табу керек.
Шешуі. — уақытындағы тұрғындардың саны болсын. мәні
уақытындағы тұрғындардың есімі болса, онда
,
яғни ол уақыт ішіндегі туғандар саны мен өлгендер санының
айырымына тең. Осыдан
.
Осы теңдікте болғанда шекке көшеміз:
(3)
(3) теңдеуін шешейік. (3) теңдеуінен теңдеуі шығады. Олай болса
, яғни
, (4)
мұндағы С-алғашқы шарттар бойынша анықталатын тұрақты шама. Алғашқы
шарттар ретінде тұрғындардың бастапқы санын алуға болады.
2. Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық
дифференцалдық теңдеулер
(5)
түріндегі теңдеу р мен q тұрақты шамалар болғанда тұрақты коэффициент
екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы -ке
тәуелді функция.
(6)
теңдеуі біртекті, ал (5) болғанда біртексіз теңдеу деп аталады
[12].
(5) теңдеуінің теңдіктерін қанағаттандыратын тек бір ғана шешімі
бар.
Егер пен функцияларының сызықтық өрнегі (мұндағы
мен тұрақты шамалар) нөлге тең болу үшін теңдіктері
орындалса, онда осы функциялар өзара сызықтық тәуелсіз функциялар деп
аталады, ал егер сызықтық өрнек теңдіктері орындалмаған жағдайда да
нөлге тең болса, онда пен өзара сызықтық тәуелді функциялар деп
аталады.
№22 есеп. Төмендегі функциялардың өзара сызықтық тәуелсіз екендігін
көрсету керек:
1) және ,
2) және ;
3) және .
Шешуі. 1) Егер болса, онда . Олай болса болғандықтан
тұрақты шама болу үшін болу керек. Осыдан екендігі
шығады;
2) болу үшін болу керек. Соңғы теңдіктен болғанда
теңдігі шығады. Олай болса ;
3) болсын. Онда
болады. Осы теңдіктен болғанда шығады. Соңдықтан .
Егер мен функциялары (6) теңдеуінің шешімдері болса, онда
олардың сызықтық өрнегі
(7)
функциясы да (6) теңдеуінің шешімі болады.
Бұл тұжырымды (7) функциясын (6)-ге қою арқылы дәделдейміз:
Осы тұжырымды пайдаланып төмендегі теорема дәлелденеді.
Теорема 7. Егер пен өзара сызықты тәуелсіз (6) теңдеуінің
шешімдері болатын болca, онда (6) теңдеудің жалпы шешімі (7) формуласы
бойынша табылады [13].
Сонымен (6) теңдеуінің жалпы шешімін табу үшін оның өзара сызықтық
тәуелсіз екі шешімін білу керек.
(6) теңдеуінің шешімін
(8)
түрінде іздейміз. Мұндағы -нақты сан.
болғандықтан (8) функциясы (6) теңдеудің шешімі болу үшін саны
(9)
теңдеуінің түбірі болу керек.
(9) теңдеуі (6) теңдеуінің сипаттаушы теңдеуі деп аталады. (6)
теңдеудің шешімдерінің бар болуы сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің бар
болуына байланысты. (6) теңдеуінің шешімдері үшін темендегі тұжырымдардың
растығын дәлелдеуге болады.
Теорема 8. а) Егер сипаттаушы теңдеудің екі нақты және
түбірлері бар болса, онда (6) теңдеудің жалпы шешімі
(10)
түрінде беріледі. Мұндағы мен кезкелген тұрақты шамалар;
ә) егер сипаттаушы теңдеудің бір еселі түбірі бар болса, онда
(6) теңдеудің жалпы шешімі
(11)
түрінде беріледі. Мұндағы мен кезкелген тұрақта шамалар;
б) егер сипаттаушы теңдеудің нақты түбірлері болмаса, онда (6)
теңдеудің жалпы шешімі
(12)
түрінде беріледі. Мұндағы мен кезкелген тұрақты шамалар,
ал
№23 есеп. теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. Сипаттаушы теңдеуді жазамыз: . Мұның түбірлері және
. Сондықтан (10) теңдеу бойынша
функциясы іздеп отырған жалпы шешім болады.
№24 есеп. алғашқы шарттарын қанагаттандыратын теңдеуінің
шешімін табу керек.
Шешуі. Алдымен берілген теңдеудің жалпы шешімін табамыз. Ол үшін
сипаттаушы теңдеуді құрамыз: . Мұның еселік түбірі бар: .
Сондықтан (11) формуласы бойынша функциясы берілген теңдеудің жалпы
шешімі болады. Енді осы жалпы шешімнен алғашқы шарттарды қанағаттандыратын
дербес шешімді бөліп аламыз:
болғандақтан
, .
Сонымен . Олай болса функциясы іздеп отарған шешім болады.
№25 есеп. теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. Сипаттаушы теңдеуді құрамыз:
.
Бұл теңдеудің нақты түбірлері жоқ. Сондықтан (12) формуласы бойынша
болғандықтан
функциясы берілген теңдеудің жалпы шешуі болады.
Енді (5) теңдеуінің жалпы шешімін табуға көшейік. Оны тұрақтыны
вариациялау әдісімен табуға болады. Ол үшін алдымен біртекті (6) теңдеуінің
жалпы шешімін табады:
.
Содан соң (5) теңдеудің жалпы шешімі
түрінде ізделінеді. Мұндағы пен әзірше белгісіз
функциялар. Оларды
функциясы (5) теңдеуді қанағаттандыратындай етіп таңдап алады.
Сондықтан олар
(13)
теңдеулер жүйесінің шешімдері ретінде табылады. Мұны біз мысалмен
керсетелік.
№26 есеп. теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. Теңдеуді (5) түріне келтіреміз:
.
Сипаттаушы теңдеуді құрамыз:
.
Мұның шешімдері . Сондықтан
біртекті теңдеудің жалпы шешімі. Енді біртексіз теңдеудің жалпы
шешімін
түрінде іздейміз. Ол үшін (13) жүйесін құрамыз:
Осыдан
немесе
.
Олай болса
.
Сондықтан
Сонымен
функциясы ізделіп отырған жалпы шешім болады. Табылған шешімнің
құрамына назар аударатын болсақ, онда алғашқы екі мүшенің қосындысы
– біртекті теңдеудің жалпы шешімі, ал
– біртексіз теңдеудің дербес шешімі екенін көреміз.
Осындай құбылыс кезкелген сызықтық біртекті емес теңдеу үшін
байқалады, яғни мынандай тұжырым дұрыс болады:
Теорема 9. Біртексіз сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі
осы тендеудің бір дербес шешімі мен сәйкес біртекті сызықты дифференциалдық
теңдеудің жалпы шешімдерінің қосындысынан тұрады 3.
1.3 n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық
дифференциалдық теңдеулер
1.3.1 Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер
Анықтама. (17)
түріндегі теңдеу n–ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Егер (17)-ден n–і туынды табылатын болса, онда
(18)
теңдеуі ең жоғарғы туындысы арқылы шешілген n–ретті дифферен-циалдық
теңдеу деп аталады.
Коши есебі:
(19)
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын (18) дифференциалдық теңдеудің
шешімін табалық.
Теорема (Коши есебі шешімінің бар және оның жалғыз болуы туралы).
функциясы
облысында мына екі шартты қанағаттандырсын делік:
1) функциясы өздерінің аргументтері бойынша үзіліссіз және
шенелген:
;
2) функция үшін айнымалылары бойынша
Липшиц шарты орындалады (Липшиц шарты функциядан айнымалылары
бойынша алынған үзіліссіз дербес туындылары бар болғанда ғана орындалады),
онда анықталған, өзінің n–і туындыларымен қоса үзіліссіз және (19)
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады.
Бұл теореманы жеңілдеу тұжырымдауға болады.
Егер (18) дифференциалдық теңдеудің оң бөлігі үзіліссіз, шенелген және
бойынша үзіліссіз дербес туындылары болса, онда Коши есебінің жалғыз
шешімі бар болады.
Анықтамалар.
функциясы (18) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады,
егер ол:
1) -дың кез келген мәндерінде (18) дифференциалдық теңдеуді
қанағаттандырады;
2) берілген (19) бастапқы шарттар бойынша функциясы (19)
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын мынадай -і табуға болады.
Егер жалпы шешімінде -ң нақты мәндері алынатын болса, онда
функция дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп аталады.
түріндегі қатысы, мұндағы айқын берілмеген, (18) дифференциалдық
теңдеудің жалпы интегралы деп аталады
(18) теңдеуді интегралдау үшін бастапқы шарттарды қанағаттандыратын
жалпы шешімін немесе дербес шешімін табу қажет.
1.3.2 Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың
тәсілдері
I-класс. Тәуелсіз айнымалы және жоғарғы туындысы бар теңдеулер.
түріндегі теңдеуді қарастырамыз.
Екі бөлігін де бойынша интегралдаймыз:
тағы да интегралдаймыз:
.
Осы тәсілмен n рет интегралдаймыз, сонда
.
I-кластағы n-ретті ДТ тізбектей n рет интегралдау тәсілімен шешіледі.
Мысал. теңдеуін шешелік.
;
;
.
II-класс. у функциясы және оның (k-1)-і ретіне дейінгі туындылары жоқ
теңдеулер.
түріндегі ДТ қарастырамыз.
Жаңа айнымалы енгіземіз:
, (20)
сонда
.
u(х) функциясы мен оның алынған туындыларын қарастырылатын теңдеуге
қоямыз:
.
Сонымен, - ретті теңдеу алынды, яғни ДТ-ң реті төмендетілді. Жаңа
ДТ-ң шешімі
функциясы болсын делік. Мұны (20) теңдеуге қоямыз:
- k ретті дифференциалдық теңдеу аламыз, ал бұл k рет дифферен-
циалдау арқылы шешіледі (1-класс).
Мысалдар. 1. үшінші ретті ДТ шешелік.
ауыстыруын алайық, . Бұларды теңдеуге қою арқылы
бірінші ретті ДТ-і аламыз. Айнымалыларын ажыратамыз:
;
.
Бұл теңдеу квадратурада шешіледі.
2. ;
; ; ; ;
;;;
бұл теңдеуді бөліктеп үш рет интегралдау арқылы шешу керек (1-класс)
III-класс. Тәуелсіз айнымалы х-і жоқ теңдеулер.
түріндегі теңдеуін қарастырамыз.
Тәуелсіз жаңа айнымалы үшін у-ті аламыз және ауыстыру орындаймыз:
.
Екінші, үшінші және т.б. туындыларын алу үшін осы жаңа функциядан
күрделі функция есебінде туынды табамыз:
;
және т.б.
Табылған туындыларды теңдеуге қойып, реті бірге кеміген ДТ аламыз:
.
Шешімі мына түрде табылды делік:
Енді ауыстыруға қайта оралып айнымалылары ажыратылған бірінші ретті ДТ
аламыз:
.
Мысал. ДТ шешелік. Мұнда тәуелсіз айнымалы х жоқ.
ауыстыруын орындаймыз. ; - бұл біртекті теңдеу. -
ауыстыруын аламыз, . Теңдеуге қоямыз: .у-і қысқартамыз: .
;
; ;
- біртекті теңдеудің шешімі
немесе ,
ал бұл айнымалысы ажыратылған ДТ.
IV класс. Сол бөлігі толық туынды болып келген теңдеулер.
теңдеуін қарастырамыз және
болсын делік. Жаңа дифференциалдық теңдеудің екі бөлігін де
интегралдаймыз, сонда .
ДТ реті бірге төмендеді.
Мысалдар. 1..Бұл III-кластың теңдеуі. IV-кластың тәсілімен шешіп
көрелік. , екі бөлігін де -ке бөлеміз: енді интегралдаймыз:
;
- теңдеудің х-і жоқ.
; ; ; ;
; ; ;
;
- бұл үшінші ретті ДТ жалпы интегралы, сондықтан оның үш еркін тұрақтысы
бар.
2. ;
; ; - бұл ДТ реті бірге төмендеді.
3. .
; ; ;
; - бұл ДТ жалпы интегралы.
Сызықтық дифференциалдық теңдеулер
Анықтама.
(21)
түріндегі дифференциалдық теңдеулер n-ретті сызықтық дифферен-циалдық
теңдеулер (СДТ) деп аталады.
Бұл теңдеуде -лер бірінші дәрежелі.
2 N-ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ
ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ. АБЕЛЬ ФОРМУЛАСЫ
2.1.1 Абель Нильс Хенрик
Абель Нильс Хенрик (Niels Henrik Abel, 1802-1829） - Норвегияның
атақты математигі, осы заман алгебрасының дамуындағы көшбасшысы. 1802 ж. 5-
тамыз күні Финнейде шала сопы-пастор сурен Георт Абелдің семьясында дүниеге
келген, 1829 ж. 6-сәуір күні Фолуланда қайтыс болған.
13 жасында Ослода діни мектепке түскен, математика мүғалімі Бернт
Микель Хольмобое оның талантын байқап, оған жетекшілік еткен. Жас шағынан
бастап Абель кейбір математикалық мәселелерге ой жүгірте бастайды. 1821
жылы бірнеше профессордың көмегімен Осло университетіне түседі. Ол
университетте өздігінен оқыған, сонымен бірге көп уақытын зерттеуге
жұмсаған. 1824 жылы, Абель 5-дәрежелі алгебралық теңдеудің шешуін әдеттегі
түбір табу жолымен табуға болмайтынын дәлелдеу барысында, топтарға (Абел
тобына) алмастыруға болады деген тұжырымды енгізеді. Мақаласы түсінікті
болу үшін француз тілінде жарялайды және оны С.Ф.Гауссқа жіберіп береді.
Бірақ шет ел математиктері ешқандай көмек көрсетпейді. 1825 жылы ол
Берлинге барып, сол жерде А.Л.Креллемен (August Leopold Crelle 1780-1855)
танысып дос болады.
Абель Нильс Хенрик-Норвегияның атақты математигі
2.1.2
2.2
2.3
2.4
1 САНДЫҚ ЖӘНЕ ФУНКЦИОНАЛДЫҚ ҚАТАРЛАР
1.1 Негізгі ұғымдар мен теоремалар
Айталық, шексіз сандық тізбек берілсін.
(1)
Мына
(2)
шексіз аналитикалық түрлендіру (1) сандық тізбектің қосындысын көрсетеді
және сандық қатар деп аталады. Ал сандары қатардың мүшелері деп
аталады. (2) қатар берілді деп санаймыз. Егер осы қатардың мүшелерінің
берілу заңы белгілі болса, бұл жағдайда мынадай варианттар мүмкін:
- қатардың алғашқы бірнеше мүшесі белгілі, осыдан барып қатардың
жалпы мүшесін табуға болады. Мысалы,
1. .
2.
3.
– қатардың жалпы мүшесі берілген, қатарды жазу керек. Мысалы,
1.
2.
түрінде жазылған сиволикалық жазу осы қатардың қосындысы деп аталады. Ал
бұны түсіндіру үшін қатардың n мүшесінен дербес қосынды деп аталатын
қосындылар құрайық:
Нәтижесінде жаңа сандық тізбек аламыз:
. (3)
Егер ұмтылғанда (3) тізбектің шегі болса,
,
онда (2) шексіз сандар қатар жинақты және қатардың қосындысы бар болады.
(4)
Егер -нің шегі жоқ болса, онда (2) қатар жинақсыз және қосындысы
жоқ дейміз.
Егер
болса, онда (2) қатар жинақсыз деп аталады. Егер (4) қатар жинақты болса,
онда жеткілікті үлкен n нөмірлі дербес қосынды қатардың
қосындысына жуық түрде тең болады. дербес қосынды мен қатардың
қосындысы арасындағы
(5)
жуақтау қателігі (2) қатардың қалдығы деп аталады.
(5) қалдық
(2) қатардың алғашқы n мүшесін алып тастағаннан шығады [1], [2].
Қатардың қалдығы туралы теорема
Егер (2) қатар беріліп, (5) қатар оның кез келген қалдығы болса, (2)
қатардың жинақталуынан (5) қалдықтың дажнақталуы және керісінше, (5)
қатардың жинақталуынан (2) қатардың жинақталатындығы шығады.
Қатардың жинақтылығының қажетті шарты
Теорема 1. Егер кезкелген сандық қатар жинақты болса, онда оның жалпы
мүшесінің шегі бар және нольге тең: егер .
Дәлелдеу: Айталық, бізге жинақты қатар берілсін, яғни -
қатардың қосындысы. Онда үшін де орынды. Ал,
бұдан
дәлелдеу керегі де осы.
Берілген шарт қажетті, бірақ жеткілікті емес, яғни ол орныдалады, бірақ
бұл қатардың жинақты екенін көрсетпейді [2].
№1 есеп. а) орындалады,
б) орындалмайды, .
в) орындалады, .
№2 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек.
а) ; , қатар жинақсыз.
б) қажетті шартын тексереміз.
тізбек жазамыз:
тізбек монотонды кемиді, ал , яғни қатар жинақсыз [3].
Қатарларға амалдар қолдану
1. Жинақты қатарды тұрақты с санына көбейткенде жинақты қатар шығады.
жинақты, яғни
2. Жинақты бірнеше қатардың қосындысы да жинақты.
және
қатарлары жинақты болсын. Онда
қатары да жинақты. Бұл крісінше болса, үнемі орындала бермейді.
Мысалы, жинақты қатар. Бірақ бұл қатар екі жинақсыз қатардың
қосындысы болып табылады.
Мүшелері оң қатарлар
Мына түрде
,
берілген қатар біртаңбалы деп аталады. Минус таңбалы қатардың
жинақтылығына әсер етпейтіндіктен, бұнда тек қана мүшелері оң қатармен ғана
шектелеміз.
, (6)
.
(6) қатардың дербес қосындылары монотонды өспелі сандық тізбекті
береді. Бізге белгілі, бұндай тізбек шектелген немесе шексіз өспелі болады.
Бұдан (6) қатар шексіздікте жинақты не жинақсыз болуы мүмкін [4].
Қатарларды салыстыру белгісі
Теорема 2. Мүшелері оң (А) мен (В) қатарларының мүшелері
(белгілі бір -нен бастап) шартын қанағаттандырса, біріншіден,
(А) қатардың жинақталмауынан (В) қатарының жинақталмайтындығы шығады;
екіншіден, (В) қатардың жинақталуынан (А) қатарының жинақталатындығы
шығады.
Салыстыру белгісін пайдаланып, қатардың жинақтылығын тексеру керек.
(7)
бұл қатар гормоникалық қатар деп аталады. Егер кезкелген қатар тұрған
үш мүшесін алсақ, онда шартн қанағаттандыратынын көреміз. (7)
гормоникалық қатар жинақтылықтың қажетті шартын қанағаттандырады.
. Бірақ бұл қатардың дербес қосындысын өскен сайын
шексіз өсетінін көрсетуге болады. Бұл үшін қатардың екінші мүшесінен бастап
қатар мүшелерін біріктіреміз.
Егер группадаға әрбір қосылғышты соңғысымен ауыстырсақ,
(8)
(8) қатардың мүшелері (7) қатардың сәйкес мүшелерінен асып кетпейді.
Бірақ (8) қатардың әрбір дербес қосындысы -да , яғни (8) қатар
жинақсыз. Бұдан салыстыру белгісі бойынша (7) армоникалық қатар да жинақсыз
болады.
Даламбер белгісі
Егер мүшелері оң қатар үшін
,
шек бар болса,
,
1. болғанда қатар жинақты.
2. болғанда қатар жинақсыз.
Дәлелдеу: болсын. Онда қандай да бір -дан бастап, мына шарт
,
орынды.
(9)
Негізгі қатарды жазамыз,
(10)
және көмекші қатарды жазамыз:
(11)
(11) геометриялықпрогрессияны береді. , яғни бұл жинақты (9)
теңсіздікті ескерсек және салыстыру белгісі бойынша (10) қатарда жинақты.
болсын. Онда әрбір үшін номерінен бастап
теңсіздіктері орындалады. Мұнан барлық үшін мына теңсіздікті жазуға
болады, . Демек, төмендегі теңсіздіктер тізбегі құралады:
.
(*)
Мұндағы теңсіздіктердің оң жақтарынан құралған қатар.
болуы себепті өспелі геометриялық прогрессиямүшелерінен құралғандықтан
жинақты болмайды. Онда қатарларды салыстыру белгісіне сәйкес
(**)
қатары да жинақты болмайды, сондықтан берілген қатар да жинақты болмайды
[5].
№3 есеп. Қатардың жинақтылығын салыстыру теоремасы арқылы көрсету
керек.
Жинақтылықтың қажетті шарты орындалды. Берілген қатарды мына қатармен
салыстырамыз.
Бұл қатар жинақты, онда берілген қатар дажинақты.
№4 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
(12).
Жинақтылықтың қажетті шарты орындалады,
.
Енді Даламбердің жеткілікті шартын тексереміз,
,
яғни (12) қатары жинақты.
№5 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
1.
2.
Қатар жинақсыз [6].
3. Коши белгілері. Мүшелері оң қатары үшін шек бар болса,
1. болғанда қатар жинақты.
2. болғанда қатар жинақсыз.
№6 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
.
Қатардың жинақтылығының қажетті шартын тексеру үшін үздіксіз аргументті
функциясын қарастырамыз.
(Лопиталь ережесі бойынша) ,
яғни . Енді Коши белгісін пайдаланамыз:
.
Осы нәтижені дәлелдеу үшін үздіксіз аргументті функциясын
қарастырамыз. Бұдан
, .
, онда -да .
Бұдан -да болады. Сонда, Коши белгісі бойынша зерттеліп
отырған қатар жинақты екен.
Даламбер және Коши белгілері кейбір қатардың жинақтылығынан анализ
жасау үшін жарамсыз болып қалады. Мысалы мынадай жағдайда немесе
шек 1-ге тең. Егер гармоникалық қатар қарастырсақ, онда жоғары
айтылған екі белгіні қолдануға болмайды. Сондықтан, Кошидің интегралдық
белгісін қарастырамыз.
Егер қатары қандай да бір -нен бастап
және
болғанда өспелі емес функция бар болып
орындалса, онда
1) меншіксіз интеграл жинақты болса, қатар жинақты болады;
2) жинақсыз болса, қатар жинақсыз болады.
№7 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
.
Кошидің интегралдық белгісін пайдаланамыз:
,
яғни қатар жинақсыз.
1.2 Айнымалы таңбалы қатарлар. Лейбниц белгісі
Абсолют және шартты жинақтылығы
Анықтама. Құрамында шексіз көп оң, шексіз көп теріс таңбалы мүшелері
бар қатарларды айнымалы таңбалы қатарлар деп атаймыз.
Ондай қатарлар жалпы алғанда
(*)
түрінде жазылады [7].
Теорема 3. Егер айнымалы таңбалы (*) қатардың мүшелерінің абсолют
шамаларынан құралған
қатар жинақты болса, онда берілген (*) қатары да жинақты болады.
Анықтама. Айнымалы таңбалы (*) қатардың мүшелерінің абсолют шамаларынан
құралған
(**)
Қатары жинақты болса, (*) қатары абсолют жинақты деп аталады, егер (**)
қатар жинақсыз болып, ал (*) қатары жинақты болса, (*) қатар абсолют емес
немесе шартты жинақты деп аталады.
№8 есеп. Қатардың жинақтылығын зерттеу керек:
.
Берілген қатардың мүшелерінің абсолют шамаларынан қатар құрамыз:
(1)
Салыстыру үшін көмекші қатар аламыз.
(2)
Бұл қатар Коши белгісі бойынша жинақты. Онда
(3)
Бұдан (1) қатардың жинақтылығын және берілген қатардың абсолютті
жинақты екендігі шығады.
Ауыспалы таңбалы қатарлар
Анықтама. Көршілес мүшелерінің таңбалары қарама-қарсы болатын қатарлар
ауыспалы таңбалы қатарлар деп аталады. Оны жалпы түрде
, (4)
деп жазуға болады.
Лейбниц белгісі
Егер ауыспалы таңбалы (4) қатар үшін мына төмендегі шарттар
1)
2)
орындалса, онда қатар жинақты және қатар қосындысы болады [2].
Дәлелдеу: бізге дербес қосындыларының шегі
,
бар екенін дәлелдеу керек.
(4) қатардың жұп дербес қосындысын құрамыз
1) шарт бойынша әрбір жақша оң шаманы береді, . қосындысы мына
түрде
жазамыз. Тағы да әрбір жақшада оң шама бар және -ден қандай да бір
оң шама шегеріледі, ендеше жұп дербес қосындылар оң шама және
кемімелі, шектелген тізбекті береді, ендеше Вейеоштрасс теоремасы бойынша
бұл тізбектің шегі және .
Енді тақ нөмірлі дербес қосындыларды қарастырамыз:
,
егер осы теңдіктен шек алсақ,
,
себебі 2) шарт бойынша
.
Салдар. (4) қатардың
қалдығының абсолют шамасы қатардан шығарып тасталған мүшелердің
біріншісінің аюсолют шамасынан артық емес.
№9 есеп. қатарын қарастырамыз. Бұл қатар Лейбниц белгісі бойынша
жинақты
яғни қатар жинақты. Қатардың мүшелерінің абсолют шамаларынан қатар құрамыз.
(а)
Даламбер белгісі бойынша
(а) қатары жинақты, онда берілген қатар абсолютті жинақты.
1.3 Функциональдық қатарлар
Мүшелері сан емес, функция болатын қатарды қарастырамыз.
(1)
Бұндай қатар функциялық қатар деп аталады. (1) қатар мәндері үшін
жинақты, ал кейбір мәндері үшін жинақсыз болуы мүмкін, мәнінде
сандық қатары жинақты болса, онда нүктесін (1) қатардың жинақталу
нүктесі деп атайды. Функциялық қатар жинақталатын нүктелерінің жиынын
сол қатардың жинақталу облысы деп атайды.
№10 есеп. қатары интервалында жинақты, себебі бұл
интервалда берілген қатар шексіз кемімелі геометриялық прогрессияны береді.
Ал болған жағдайда қатар жинақсыз.
Анықтама. Функциялық қатардың мүшелерінің абсолют шамалары қандай да
бір оң таңбалы сандық қатардың сәйкес мүшелерінен артық болмаса, онда
функциялық қатарды жинақталы облысында бір қалыпты жинақты дейді [2].
1.4 Дәрежелік қатар. Жинақталу интервалы. Негізгі қасиеттері
Анықтама. Сандық тізбек беріліп және -тәуелсіз айнымалы
болса,
(2)
түріндегі қатар дәрежелік қатар деп аталады. Дәрежелік қатардың жалпыланған
түрі
(3)
болып табылады. Дәрежелік қатардың -ші мүшесі , ал нөлінші
мүшесі деп аталады.
Абель теоремасы
Теорема 4. Егер (2) дәрежелік қатар нүктесінде жинақталса, ол
қатар айнымалы -тің шартын қанағаттандыратын барлық мәндерінде
абсолютті жинақталады.
Дәлелдеуі: Дәлелдемек болып отырған теореманың шарты бойынша (2) қатар
нүктесінде жинақталады. Олай болса, -да қатарының жалпы
мүшесі міндетті. Мұнан шамасының шектелген екендігін көреміз,
яғни саны табылып, теңсіздігі орындалады. Енді -тің (4)
теңсіздікті қанағаттандыратын мәндерін алайық. Сонда . Енді берілген
(2) қатардың жалпы мүшесіне баға берейік:
(5)
Ал болуы себепті (5) теңсіздіктің оң жағындағы шамасы
жинақталатын сандық қатардың жалпы мүшесі болып табылады. Мұнан (4) шартты
қанағаттандыратын -тің барлық мәндері үшін (2) дәрежелік қатардың
абсолют жинақтылығы айқындалады.
Салдар. Егер (2) қатар кейбір нүктесінде жинақталмайтын болса,
(6)
теңсіздігін қанағаттындыратын барлық нүктелерінде де жинақталмайды.
Анықтама. Дәрежелік (2) қатардың жинақталу радиусы деп барлық
үшін шартын қанағаттандыратын қатар жинақты, ал барлық үшін
қатар жинақсыз болатын санын аламыз. интервалы қатардың
жинақталу интервалы деп аталады. Барлық үшін, тек нүктесінен
басқа нүктелер үшін жинақсыз қатар үшін , ал барлық үшін
жинақсыз қатардың жинақталу радиусы деп атаймыз.
қатары үшін жоғарыда айтылғандардың барлығы орындалады, тек қана жинақталу
интервалының центрі нүктесі емес, нүктесі жатады. Ендеше
жинақталу интервалы интервалы болады [9].
№11 есеп. Жинақталу радиусын табу керек.
,
яғни берілген қатар -тің барлық мәндерінде жинақты, ендеше .
Дәрежелік қатардың қасиеттері
1. Жинақталу интервалында жатқан интервалында (2) дәрежелік
қатар бірқалыпты жинақты болады.
2. Дәрежелік қатардың қосындысы жинақталу интервалында үздіксіз
функцияны береді.
3. Дәрежелік қатарды жинақталу интервалында мүшелеп интегралдаауға
болады.
4. Дәрежелік қатарды жинақталу интервалында мүшелеп дифференциалдауға
болады.
1.5 Функцияны дәрежелік қатарға жіктеу.Тейлор қатары
Анықтама. фнукциясының нүктесінің аймағындағы Тейлор қатары
деп
(7)
түріндегі, нүктесіндегі мәнімен және туындылары арқылы берілген
дәрежелік қатарды айтамыз. Егер
болса, онда (7) Тейлор қатары қандайда бір интервалда жинақты болады.
– Тейлор қатарының -ші дербес қосындысы.
Теорема 5. Егер фнукциясының нүктесі тиісті болатын
интервалдың кез келген нүктесінде -ші туындысы осы интервалдың кез
келген нүктесі үшін
,
мұндағы . болғанда Тейлор қатарының дербес жағдайы Маклерон
қатары деп аталады.
Элементар функциялардың Маклерон қатарына жіктелуі:
.
1.6 Дәрежелік қатарларды жуықтап есептеулерге пайдалану
№12 есеп. -дің мәнін есептеу керек.
№13 есеп. Қатардың алғашқы үш мүшесін сақтап, болғандағы
интегралын есептеу керек.
1.7 Фурье қатары. Периодты функцияның Фурье қатарына жіктелуі
Функциональдық қатарды қарастырайық,
(1)
мұндағы қатардың коэффициенттері, ал қатардың бос мүшесі деп
атайды. (1) қатар көбіне мына түрде жазылады,
. (2)
Айталық, функциясы (2) қатардың қосындысы делік:
. ()
Бұл жағдайда функциясы тригонометриялық қатарға жіктеледі дейді.
сегментте қатар бірқалыпты жинақталады деп, коэффициенттерді
қалай нақтылауды көрсетеміз.
Берілген сегментте бірқалыпты жинақты болса, онда мүшелеп интегралдауға
болғандықтан,
.
Бірақ, болғандықтан,
.
натурал сан болсын. коэффициентін табу үшін () қатарын
мүшелеп -қа көбейтеміз. Шыққан қатар сегментінде бірқатылпты
жинақты болады.
.
Осыны интегралдаймыз,
(3)
болғанда .
, (4)
,
болғандықтан (3) теңдікті мына түрде жазамыз,
,
бұдан
. ()
Теңдіктің екі жағын да -ке көбейтеміз және -дан дейін
интервал аламыз, (4) теңдік бойынша мәнін табамыз:
.
Егер периоды болатын периодты функциясы (2)
сегментінде бірқалыпты жинақты болатын қатардың қосындысы болса, онда бұл
қатардың коэффициенттері мына формула бойынша анықталады,
(5)
(2) тригонометриялық қатардың коэффициенттері (5) түрінде берілсе,
қатарды Фурье қатары деп атайды.
(5) формула бойынша анықталған (2) қатар коэффициенттері Эйлер-Фурье
коэффициенттері деп аталады. (5) формуланы қорыту кезінде функциясы
бірқалыпты жинақталатын (2) тригонометриялық қатарға жіктеледі деп жорыды.
Ал егер бұлай жорымай (5) формуланың оң жағындағы функциясы үшін
барлық интегралдар бар десек, онда осы формула бойынша
коэффициенттерін табуға және (2) тригонометриялық қатарды құруға болады.
Фурье қатарының жинақтылығының жеткілікті шарты Дирихле теоремасы
бойынша беріледі.
Дирехле теоремасы
Теорема 6. Периоды болатын периоды функциясы кезкелген
сегментте мына шарттарды
1. сегментінде үздіксіз
2. сегментінде монотонды қанағаттандырады.
Бұл жағдайда Фурье қатары сандық осьтің барлық мүшелерінде жинақты және
қатар қосындысы үздіксіз функцияның осы нүктелердегі мәніне тең
[10].
№14 есеп. функциясы берілген. Периоды болатын
функциясын интервалында Фурье қатарына жіктеу керек.
Бұл функциясы 1-2 шарттарды қанағаттандырады, ендеше бұл функция
Фурье қатарына жіктеледі: (5) формуланы пайдаланып Эйлер-Фурье
коэффициенттерін ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz