Геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығару әдістері

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3

1 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУДІҢ ҒЫЛЫМИ.ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Геометрия ғылымының даму кезеңдеріне жалпы шолу ... ... ... .. 7
1.2 Есептердің түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 15
1.3 Есеп шешуге үйрету әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19

2 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ ЖӘНЕ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ
2.1 Геометриялық есептердің түрлері және шешу әдістері ... ... ... 26
2.2 Геометрия есептерін шешу ізденістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2.3 Есептеп табуға арналған геометриялық есептерді алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 42

2.3.1 Геометрияның экстремумдық есептері және оларды шешу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 53
2.3.1.1Квадраттық функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға арналған тұжырымды пайдалану ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 56
2.3.1.2 Теңдіктер мен теңсіздіктерді бағалау арқылы шығару ... ... ... ... ... 61

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 66
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.
Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп – басты қызметші болып табылады /1/. Есептің негізгі міндеттері: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін орындайды. Басқаша айтқанда, кез келген есепті шығарғанда оқушы математикалық білім алады, шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни математикалық білім деңгейі жоғарылайды. Көбінесе әр есеп өзінің мазмұны арқылы тәрбиелік міндетін атқарады. Мысалы, қоғам дамуының әртүрлі кезеңдеріне байланысты, есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде есептер жинағы көпестердің сауда-саттығын, арзанға сатып алу, керісінше қымбатқа сату, құмарлық ойындарында ұту т.с.с. мазмұнды болды. Қазіргі оқулықтарда есеп мазмұны оқушылардың жоғарғы моральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми көзқарастарын дамытуға, интернационалдық және патриоттық рухта тәрбиелеуге негізделген. Оқушыларды есеп мазмұны арқылы ғана тәрбиелеп қоймай, оларды есеп шығаруға үйретуде тәрбиелеу болып саналады. Есеп шығару оқушылардың сөйлеу мәдениетіне, мінез-құлқының қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа, бастаған істі аяғына дейін жеткізу, қиындықты жеңе білу сияқты қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпалын тигізетіні аян.
Бұл жұмыс геометриялық есептерді шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне: алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығаруға арналды.
Геометриялық есептерді шешу мектептегі геометрия курсының маңызды тақырыптарының бірі. Себебі, көптеген табиғи процестер мен құбылыстар, т.с.с. оқытудың мазмұны пәнаралық байланыстар және пәннің ішкі байланыстарын қамтамасыз ету мақсатында, көбіне қоршаған ортаны
математика тілімен зерттеу, түсіну мақсатында жинақталады. Мектеп
оқушыларын осындай практикалық дайындықта тәрбиелеудің ең негізгі
түрі геометриялық материалдарды оқыту болып табылады /1/.
1.Әбілқасымова А.Е. және басқалар. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі. Алматы – 1998.
2.Баймуханов Б. Математика есептерін шығаруға үйрету. Алматы–1983.
3.Васильевский А.Б. Обучение решению задач по математике. - Минск – 1988.
4.Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. - Москва: «Педагогика», 1977.
5. Мұқанов М. Ақыл-ой өрісі. Алматы:Қазақстан, 1980.-172б.
6. Қ.И.Қаңлыбаев. «Геометриялық түрлендірулер».Алматы:РБК.2001.
7. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии. Учебно-методическое пособие.-К.: «Магистр», 1996.-256б.
8. С.И.Зетель. Задачи на максимум и минимум. Москва, 1958.
9. И.Абельсон . Максимум и минимум. Москва, 1958.
10. В.А.Крутецкий, Психология математической способности школьников: Книга для учителя.-М:Педагогика.1968.-180б.
11.Қазақстан өз дамуындағы жаңа серпіліс жасау қарсаңында Қазақстанның әлемдегі бәсекеге барынша қабілетті 50 елдің қатарына кіру стратегиясы . ҚР Президенті Н.Назарбаевтың Қазақстан халқына жолдауы //Сыр бойы, -2006,-3 наурыз, - 1-3б.
12. Қазақстанда орта білім беру стандарты. Алматы, «Рауан»,1998
13. А.В.Погорелов. Геометрия 7-11. «Просвещение», 1985
14. Л.С.Атанасян. Геометрия 7-9. Алматы, «Рауан»,1992
15. Педагогикалық энциклопедия. Алматы, «Рауан»,1990
16. З.Т.Сейілова. Геометрияның экстремумдық есептерін шығару
эдістерін оқыту.// II халықаралық конфер. мат. Павлодар қаласы, 2005 ж.
17. З.Т.Сейілова. Геометриялық есептерді теңдіктер мен теңсіздіктерді бағалау арқылы шығару.//ІІ халықаралық конференция
материалдары. Көкшетау қаласы, 2005 ж.
18. З.Т.Сейілова. Геометрияның экстремумдық есептерін Чева
теоремасын қолданып шығару эдістері. //II Республикалық конференция
материалдары. Тараз қаласы, 2005 ж.
        
        Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Қорқыт Ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университеті
Гуманитарлық-педагогикалық институты
«Физика және математика» кафедрасы
«Қорғауға жіберілді»
Кафедра меңгерушісі ... ... ... Геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық
теңдеулер құру арқылы шығару әдістері.
050109 – «Математика» мамандығы бойынша
Орындаған:
Қызылорда, 2013 ж.
МАЗМҰНЫ
|КІРІСПЕ |3 ... ... | |
| | |
|1 ... ... ... ҒЫЛЫМИ-ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ | ... ... ... даму ... ... шолу |7 ... | ... ... ... |15 ... ... | ... Есеп ... ... ... |19 ... | |
| | |
|2 ... ... ... ЖӘНЕ ШЕШУ ... | ... Геометриялық есептердің түрлері және шешу әдістері ........... |26 |
|2.2 Геометрия есептерін шешу ізденістері |35 ... | ... ... ... ... ... ... алгебралық және |42 |
|тригонометриялық теңдеулер құру ... шешу | ... ... | ... ... ... есептері және оларды шешу |53 ... ... | ... ... ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға |56 ... ... ... | ... Теңдіктер мен теңсіздіктерді бағалау арқылы шығару |61 ... | |
| | ... |64 ... |
|...................... | |
| | ... ... |66 ... | ... ... әрі ... әрі ... ... ... ... мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне
байланысты бағаланады.
Жан-жақты үйлесімді, өркениетті ... ... ... шығу ... ... ... ... бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп
мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту ... ... ... түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта ... ... ... әр ... әр ... ... санасына
жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай ... ... ... етіп ... ... ... де ... орны, салмағы зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп – басты ... ... /1/. ... ... ... ... тәрбиелеу, дамыту
және бақылау болып табылады. ... ... ... ... ... ... кез ... есепті шығарғанда оқушы математикалық білім
алады, ... ... ... ... ие ... яғни
математикалық білім деңгейі жоғарылайды. Көбінесе әр есеп өзінің ... ... ... ... ... ... дамуының әртүрлі
кезеңдеріне байланысты, есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір ... ... ... ... ... ... алу, ... сату, құмарлық ойындарында ұту т.с.с. мазмұнды болды. Қазіргі
оқулықтарда есеп ... ... ... ... ... ... ... дамытуға, интернационалдық және
патриоттық рухта тәрбиелеуге негізделген. Оқушыларды есеп ... ... ... ... ... есеп ... үйретуде тәрбиелеу болып
саналады. Есеп шығару оқушылардың сөйлеу мәдениетіне, ... ... ... ... істі ... дейін
жеткізу, қиындықты жеңе білу сияқты ... ... ... ... ... геометриялық есептерді шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне:
алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығаруға арналды.
Геометриялық есептерді шешу ... ... ... ... ... ... көптеген табиғи процестер мен құбылыстар,
т.с.с. оқытудың ... ... ... және пәннің ішкі
байланыстарын қамтамасыз ету мақсатында, көбіне қоршаған ортаны
математика тілімен зерттеу, ... ... ... ... ... ... ... тәрбиелеудің ең негізгі
түрі геометриялық материалдарды оқыту болып табылады /1/.
Геометрия - бұл ... ... ... ... әрі ... ... ... тілі десе де болады. Геометриялық білімнің
қолданылу мәнін үйрену ... ... ... ... ... туындайды.
Оқытуда негізгі екі геометриялық бағыт бар, оның біріншісі
фигуралардың және денелердің түріне байланысты теңдіктер ... және ... ... ... ... ... ... Ал, екіншісі геометриялық фигуралар мен денелерге
әртүрлі өлшеу жұмыстарын жүргізуге байланысты. Оқушылар
геометриялық ... ... ... аудан, көлем) танысады,
фигуралар элементтерінің өзара байланысын білдіретін сандық
мінездеушілеріне ... ... ... ... ... есеп ... ... олар дәлелді талқылауларды үйреніп,
логикалық ойлау қабілеттерін жетілдіреді.
Педагогикалық ... ... ... ... ... /2/: ... ... бір мақсаттың, қандай да
бір сұрақтың жауабын алу үшін ұмтылушылықтың күткен ... ... ... ... ... қажетті бар шарттары мен
қойылған талаптарды есепке алу, осы мақсат пен шартқа сәйкес әдіс-
тәсілді қолдану делінсе, математиканы оқытуға ... ... ... ... ... есеп ... -
математикадағы заңдылықтар, ережелер және әдіс-тәсілдер негізінде
оқушылардан ой мен практикалық ... ... ... ... ... ... ... практикада қолдана білуге
дағдыландыруға, ойлау қабілетін дамытуға багытталған ахуал.»
«Есеп» ұғымын анықтауда ... ... ... ... ... ... не?» ... сұраққа белгілі әдіскер В. М. Брадис /3/ былай
дейді: «Есеп деп өтілген ... ... да бір ... ... немесе
теоремалардың дәлелдеуін, аксиомалар немесе ережелердің тұжырымдалуын жай
ғана қайталап келтіру оған ... ... ... ... кез ... ... айтамыз».
Демек, есеп шығару математикалық ұғымдарды қалыптастырып,
байытуға, оқушылардың математикалық ойлауын өрістетуге, білімдерін
практикада қолдануға, табандылық, ізденгіштік, еңбексүйгіштік
қасиеттерін тәрбиелеуге жол ашады.
Осыған ... ... ... ... беру ... ... ... америка өкілінің баяндамасынан да
кездестіруге болады: «Математикалық есеп — ... ... ... немесе
белгілі бір схеманы қолдану арқылы табылмайтын математикалық сұрақ» /4/.
Есеп жайлы айтылған анықтамаларды талдай отырып, математиканы ... ... ... Б.Б.Баймұқанов /5/ мынадай анықтама берген:
математикалық есеп дегеніміз —математикадағы заңдылықтар, ... ... ... ... ой мен ... іс-әрекетті талап
ететін және математикалық білімдерді меңгеруге, оларды практикада қолдана
білуге дағдыландыруға, ... ... ... ... ... есептерді шығара білуге үйрету және оған
дағдыландыру үшін олардың есеп шығару ... ... ... ... бір ... жүргізген жөн. Оқушыларды
есепті шығара білуге үйрету процесі шығармашылық сипатта болуға тиіс.
Ал шығармашылық-зерттеушілік ... бір ... ... ... ... ... келелі мәселелерінің құрамды
бөлігі болып табылады.
Мектеп математика курсында ... ... ... ... қалыптасқан тараулар мен есептер тобы да бар. ... шешу ... оның ... ... ... ... ... жұмысын
жүргізуге болады. Есеп шартында қолданылмаған ақпаратты зерттеп, ... ... да ... ... болады. Мұндай зерттеуге
келтірілетін есептер жазықтықтағы салу және ... ... ... ... ... ... аспаптардың көмегімен салынатын
болса, кеңістікте мұндай салу аспаптары жоқ, тек ... ... ... ... күрделі қатынастарды есептеуге берілген есептер
зерттеудің қайнар көзі.
Сонымен сіздердің назарларыңызға ... ... ... ... шешу ... тоқталып: алгебралық, тригонометриялық теңдеулер
құру арқылы шешу жолдарын ұсынамыз. Бұл ізденіс жұмысының мазмұны, болашақ
мамандардың ... ... үшін ... ... ... ... курсының есептерін шығару жүйелі түрде ұйымдастырылмаған.
Сондықтан, дипломдық жұмыстың тақырыбын «Геометриялық есептерді
алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру ... ... ... ... ... осы мазмұндарды ашуға арнаймыз.
Дипломдық жұмыстың мақсаты – геометриялық есептерді ... ... құру ... ... ... ... оқып үйрену.
Дипломдық жұмыстың міндеті - геометриялық есептерді шығару әдістерін
зерделеу.
Жоғарыда көрсетілген ... ... ... ... үшін
көптеген ғалымдар мен әдіскерлердің жұмыстарына ... мен ... ... ... ... алгебралық, тригонометриялық
теңдеулер құру арқылы шығарудың негізгі ... ... ... /2/, /3/, /4/, /5/ шолу ... және осы ... жинақталған іс-
тәжірибелерді /6/, /7/ басшылыққа алдық.
Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан, пайдаланылған
әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ... ... ... ... ... ... даму ... жалпы шолу
Геометрия (гр. геометріа, ге — Жер және ...... ... ... ... (формалар) мен қатынастарды, сондай-ақ,
оларға ұқсас басқа да пішіндер мен ... ... ... ... пішіндер болып есептеледі. Геометрия тұрғысынан сызық
... ... шар — ... ... ... олардың барлығы да — кеңістіктік
пішіндер. Ал ... ...... ... мен ... ... ... ортақ, радиустары 3 см және 5 см шеңберлер
қиылыспайды, “біріншісі екіншісінің ішінде ... ...... мен ... ... айтылып тұр. Мұнда бірінші шеңбер — кішісі,
екіншісі — үлкені, біріншісі екіншісінің ішінде ... ... ... ... ... “кіші”, “ішінде”, “сыртында” сөздері арқылы
анықталған. “Тең”, “параллель”, тағыда басқа сөздер де ... ... ... дәл аударғанда “жер өлшеу” ... Бұл ... ... Ежелгі Мысыр (Египет) елінде шыққан. “Жер учаскелерін
өлшеу нәтижесінде — деп ... ... ... ... 4 ... өмір
сүрген грек математигі Евдем, — мысырлықтар ... ... ... Жер
өлшеу өнерін мысырлықтардан үйренген ежелгі гректер оны алғашқы кезде өз
тілінде ... деп ... Осы сөз ... ... ... ... ғыл. ... болып кеткен. Геометрия заңдылықтарын жер ... ... ... болады, бірақ Геометрияның негізгі арнасы ол емес.
Геометрияда қолданылатын мәселелер сан ... ... ... ... ... ... пішіндер мен қатынастар жөніндегі ғылым
ретінде қалыптасқан. Жер өлшеу ... ... ... ... айту үшін, Аристотель геодезия деп атаған. Геометрияны тек жер ... ғана ... жоқ. Бұл ... ... ... ... үй, көпір, пирамида, әскери бекіністер, тағыда ... ... ... қазу, ыдыстардың сыйымдылығын өлшеу, құрылыстарға
қажетті материалдардың шамасын алдын ала ... ... әсер ... ұғымдары дүниеде ... ... ... физикалық
қасиеттерін еске алмай, абстракциялап (яғни, дерексіздендіріп), олардың тек
мөлшері мен ... ... ғана ... ... ... болған.
Қалыпқа салынып соғылған кірпіштердің, құрылысқа арналып шабылған қырлы
тастардың, ... ... ... ... бұйымдарының сыртқы
тұрпаты — пішіні бірдей болады. ... ... төрт ... призма деп
аталады. Үш бұрышты, бес бұрышты, ... ... ... ... призманың қандай материалдан жасалғандығы есепке алынбайды,
оның тек мөлшері мен ... ғана ... ... конус, шар,
Геометрия ұғымдар да осылай қалыптасқан. Сонымен ... ... ... ... ... ... мен жеке қасиеттері қарастырылмайтын
физыкалық денелер денелер.
Дененің шекарасы — бет. Ол денені қаптап, қоршап, шектеп, кеңістіктен
бөліп тұрады. Бет ... жұқа ... ... ... жіп, бір тал
қыл, сәуле, сым, тағыда басқа негізінде ... ... ... ... ... денелерді ойша топшылап, шектеусіз кішірейте ... ... ... ... шығады. Нүкте дененің әбден кішірейіп, ... ... деп ... Геометрия тұрғысынан алғанда нүктені одан
әрі кішірейтуге болмайды. Геометриялық ... ... ... ... кез келген жиыны фигура деп аталады. Айтылып ... ...... ... бет, дене ... ... (яғни,
материядан) алынған. Бірақ материяның физ. қасиеттерінен абстракцияланған.
Мысалы, призма жөніндегі теоремаларды ағаштан, ... ... ... ... де және ... ... ... болады. Геометрия
алғашқы кезде фигуралардың мөлшерлерін, өзара орналасу тәртібін, бір түрден
екінші түрге көшу жолдарын ... ... ... Онда ... ... ... мен ... пайда болған фигураның арасындағы
белгілі бір қатынастар ретінде ... ... ... осы күнгі
Геометрияда да бар. Алайда қазіргі Геометриябайырғы түсініктер шебінен ұзап
шығып кетті. Соңғы ... ... ... ... мен
қағидаларын талдау, жалпылау, жартылай өзгерту және одан әрі ... ... ... ... ... шықты. Геометрияның
жаңа салаларының көпшілігі ертеде қалыптасқан дәстүрлі ... ... ... ... ... ... қашықтық”, Гильберт
кеңістігіндегі “призма” ұғымдарын, жалпы түрде ... ... ... ... сипаттауға болмайды. Оларды дүниеде кездесетін ... ... мен ... ... ... өте ... ... де,
Геометрияның байырғы салалары жаңа салаларының қарапайым дербес ... ... Сөз ... отырған жаңа теориялардың қайшылықсыздығы мұқият
дәлелденген және олар күмәнсіз. Соңғы салалар да, тарихи ... ... ... ... және ... ... ... Геометрияның
заңдарына сырттай ұқсас болғандықтан, Геометрияға жатқызылады. Сөйтіп,
Геометрияның өрісі ... ... ... Оның жоғарыда келтірілген
анықтамасына “сондай-ақ, оларға ұқсас ... да ... мен ... ... ... сондықтан қосылған. Осылай кең мағынада түсінген
жағдайда ғана Геометрия математиканың көптеген саласымен астасып жатады.
Геометрия — ерте ... ... ... ... оның ... ... басталады. Сапалық өзгерістерге ұшырап, жаңа сатыларға көтерілу
дәрежесіне қарай Геометрияның даму жолын 4 дәуірге бөлуге болады.
Бірінші дәуір өте ерте ... мен ... ... ... 5 ... қамтиды. Бұл дәуірдің басталған уақытын кесіп айтуға болмайды.
Қарапайым Геометриялық ұғымдар әр кезде және әр ... ... ... ... Шығыс елдерінде — Мысыр мен Вавилонда, ... ... ... ... ... ... Нілдің жағасындағы
құнарлы топыраққа бидай егіп күнелткен. Ніл жыл ... ... ... ... ... ... ... отырған. Ал шаруалар су
қайтқан сайын өз жерлерін өлшеп барып, айырып алатын ... ... ... жиек ... ... ... нәтижесінде қарапайым ережелер
пайда болған. Нілдің таситын және қайтатын уақыттарын ... ... ... шыққан. Уақыт есебі жұлдыздардың өзара және ... ... (бұл ... ... ... ... жерде
болады) өлшеуді қажет етеді. ... ...... ... ... және ... ретінде, тірі күндерінде, зәулім құрылыстар —
пирамидалар салдырған. Пирамида салу жұмыстары өлшеу әдістерін бірсыдырғы
жүйеге келтіре отырып, ... ... мен ... ... ... ... жеткен матем. папирустар Ежелгі Мысыр математикасының бертінгі
ғасырларына жатады. Папирустардағы аудан мен көлем ... ... ... ... ... ережелердің ешқайсысы дәлелденбеген.
Үшбұрыштың, трапецияның, ... ... жуық ... ... ... ... ... қиық пирамиданың көлемі дәл табылған. Ежелгі
Вавилон Геометриясының ... ... ... ... ... ... ... қарағанда ұзындық, аудан, көлем жөніндегі
мысырлықтар білген есептерді ... да ... ... ... ... ... қиық конусты, тағыда басқа қарастырған,
шеңберді 360 ... ... ... ... ... ... білген, Геометрияны астрономияға қолдана ... ... ... да ... ... ... Геометриялық деректер Ежелгі
Үндістан мен Қытайда да ... ... ... ... 7—6 ... арасынан ғылыммен арнайы шұғылданатын, табиғат құбылыстарын
зерттейтін оқымыстылар шықты. ... ... ... ... ел ... ... ... ғыл.-мәдени табыстарымен танысып, саяхаттар
жасады, Мысыр мен Вавилонға барып жүрді. Өндіргіш күштердің дамуы, нақты
фактілердің ... ... ой ... өсуі ... ... және дәлелдеу әдістерін ... ... ... р-ге ... ... ... 256 р2 : 81 деп, ... 3 р2 деп
есептеген. Осылардың дұрысын ... алу үшін ... ...... ... болды. Бірталай теоремаларды Фалес, Пифагор, Гиппократ,
Демокрит дәлелдеді. Дәлел-демелердің дұрыс қалыптасуына философия ғылымының
да ықпалы ... ... ... ... ... 5 ... ... тән ұғымдары мен әдістері бар жүйелі ғылым дәрежесіне көтерілді. Осы
дәуірдің аяғында Гиппократ, Феодесий, тағыда басқа ... ... ... ... кітаптар жазды. Екінші дәуірдің басы ... ... ... бұл кітаптар кейін ысырылып, ақыры мүлде ескерусіз қалып
қойды.
Екінші дәуір — Евклидтен Р. Декартқа дейінгі кезең; ол 2 мың ... ... ... ... ... ... жинап, талдап,
қорытып, бір ізге түсіріп, біздің заманымыздан бұрын 300 жылы ... ... 13 ... құралған шығарма жазды. Онда Геометрия
аксиомалар мен ... ... ... ... ... ... ... ғылым (кеңістіктік пішіндер мен қатынастар туралы ғылым)
дәрежесінде баяндалды. “Негіздерде” 121 анықтама, 5 қағида, 9 аксиома, 373
теорема ... Осы ... ... ... ... ... Евклид
қалыбынан шыққан. Геометрияға Архимед пен ... де ірі үлес ... ... — дөңгелектің, парабола сегментінің ауданы, пирамиданың,
конустың және шардың ... ... ... тағыда басқа
тұжырымдады, ал екіншісі — конустық қималарды мұқият зерттеп, құнды ... ... ... шұғылданған — Гиппарх, К. Птолемей, Менелай,
тағыда басқа сфералық Геометрия мен тригонометрияны ... ... ... ... грек ... ... ғасыры” болған еді.
Одан кейін Грекияның ғылымы мен мәдениеті ... ... Орта ... ... ... Орта ... араб елдерінде дамыды. Орта
Азия мен Қазақстан оқымыстыларынан Геометриямен шұғылданғандар: Ғаббас әл-
Жауїари, Әбу Наср әл-Фараби, Әбу ... ... ... ... ... әл-
Кәши, тағыда басқа болды. Екінші дәуірдің аяғында Геометрия Батыс Еуропада
жандана бастады. Бұл кезде И. Кеплер мен ... ... Б. ... — 1647) ... тарихи белес болды.
Үшінші дәуір Р. Декарттан Н.И. Лобачевскийге дейінгі 200 ... Бұл ... ... ... және ... ... ... Аналитикалық геометрия координаттар әдісіне сүйенеді. Онда
нүктенің орны сандар ... ал ... мен ... ... ... Геометрияның бұл саласының іргесін ... пен ... П. ... (1601 — 65) қалады, ал оны француз математигі А. ... — 65) мен Л. ... ... ... ... арқылы
түрлендіру жолдарын зерттеу нәтижесінде проективтік Геометрия қалыптасты.
Бұл бағытта француз математигі Ж. Дезарг (1593 — 1662), Б. ... ... Ж. ... (1788 — 1867), ... ... К. Штаудт (1798 —
1867), швейцар математигі Я. Штейнер (1796 — 1863) жемісті ... ... ... жазықтықта кескіндеу жолдарын талдап, француз
математигі Г. Монж (1746 — 1811) сызба Геометрияны ... ... ... ... ... ... ... Эйлер мен Монж
дифференциалдық ... ... ... қолдана бастаған болатын. К.
Гаусс бұл мәселені одан әрі ... ... ... ... ... Геометрия сызықтар мен беттердің
қасиеттерін дифференциалдар арқылы зерттейді.
Төртінші дәуір Лобачевский еңбектерінен басталады. Өз зерттеулерінде
Лобачевский үш принципке сүйенді. Олар: ... ... ... тиіс ... ... ... емес; аксиомаларды өзгертіп, жаңа Геометрияжасауға
болады; нақты кеңістікке қандай ... ... ... тәжірибе
көрсетеді. Лобачевский Евклидтің 5-қағидасын (постулатын) өзінің басқа
аксиомасымен (Лобачевский аксиомасы деп аталатын) ауыстырып, жаңа ... Бұл Г-ға ... пен ... ... Я. ... (1802 — 60) да ... ... орнына өз аксиомасын (Риман аксиомасы деп аталатын) алып,
Ф.Б. Риман эллипстік Геометрияның ... ... ... ... ... біртектес объектілер мен құбылыстардың үздіксіз жиыны ретінде түсіну
қажеттігін көрсетті. Бұл идеяның құлашы кең ... ... ... ... матем. теориялары жасалды. Лобачевский идеялары
Геометрия негіздемелерінің ... ... ... ... одан әрі ... жол ... ... Геометрия,
топология, көп өлшемді кеңістіктер Геометриясы, көпбейнеліктер Геометриясы,
тағыда басқа осы дәуірде шықты. Геометриялар бірқатар ... ... ... Геометрия, кеңістік пен фигураны жиын ұғымы арқылы анықтайды.
Онда кеңістік әдеттегі қатынастар сияқты, ... ... ... ... ... ... қарастырылады. Тиісті
қатынастар тағайындалған жағдайда, сәуле түстерінің жиыны, [0; ... ... ... жиыны, тағыда басқа “кеңістіктер”
құрастыра ... ... ... ... ... сол ... ... рөлін атқарады. Негізгі кеңістіктік қатынастар
ретінде “ара қашықтық”, “іліктестік”, “нүкте аймағы”, “сәйкестік”, тағыда
басқа ұғымдар ... ... мен ... әр түрлі етіп ... ... ... ... ... Соңғы кезде өлшемдерінің саны
шектеулі болатын кеңіс-тіктің Геометриясы қалыптасты. Ол ... ... ... табиғатты зерттеуде, техниканы дамытуда қуатты құрал болып
табылады. Ол матем. анализге, ... ... ... ... ... тағыда басқа ғылымдарға
елеулі ықпал етеді.
Қазақстан математиктерінің Геометриядан жүргізген зерттеу жұмыстары
(ҚазМУ-де 1950 ... ... А.Д. ... ... ... Ол ... ... әрі қарай дамыту мәселесін қойды. ... кең ... екі ... ... ... ... қарастыруға
болатынын көрсетті. В.В. Стрельцовтың еңбектері беттердің жалпы теориясына
арналды. Д.Ш. Юсуповтың ... ... ... және ... ... ... және ... толық бұралуы бар реттелмеген
сызықтардың жалпы теориясына байланысты болды. К.П. ... өз ... ... ... геометриясының түсіндірмесін берді.
Геометрияның басқа бөлімдеріне жататын жұмыстардан: жалпы перпендикулярлары
Гишар конгруэнциясы болатын ... қос ... ... аффиндік байланыстағы сызықтық элементтер кеңістігінде
нормаль ... ... ... ... ... ... төрт-ткань қисықтың 11 түрі табылды (Т.К.
Нәзіров); Лобачевский жазықтығында тор ... ... түзу ... ... ... ... шекараларында байланыстары
бар қисықтығы теріс айналу беттерінің шексіз аз иілімі қарастырылды (Ж.
Өтеулиев); ... ... ... ... шығу ... мен ... ... (Ф.Д. Крамар).
 
 1.2 Есептердің түрлері
Есепті шешу деп /5/ қажетті логикалық ой ... ... ... және ... ... жүргізу
қорытындысында оның сұрағына жауап беруді айтамыз. Есептің ... ... ... оның жауабы болады. Сондай-ақ, есептің бірнеше шешімі болуы
мүмкін, ал оның жауабы біреу ғана ... ... ... ... ... ... параллелограмм салуға бола ма»? десек, онда бұл есептің
бір емес ... ... бар, ал ... ... ... ... ... қандай ойлау түрінің басым болуына байланысты есептерді
алгоритмдік, жартылай алгоритмдік және ... деп ... ... үшке
бөлуге болады.
Танымдық есептер негізінен жартылай алгоритмдік, дамушы – эвристикалық
есептерге жатады. Формула ... ... ... шығарылатын есептер
алгоритмдік және ... ... ... ... ... ешбір қателіктер болмаса, онда ол ... ... ... ... ... ... әр түрлі болады.
Олар шешу процесінде ... ... ... ой ... түрлендірулерде және т. б. болуы мүмкін.
Есепті шығару барысында бірінің әсерін бірі жоятын бірнеше ... ... ... ... болып та шығуы мүмкін. Сондықтан есеп
жауабының дұрыстығы шешу жолының ... ... ... бола ... ... көз жеткізу үшін есепті ... ... не ... ... кері ... ... есеп ... дүрыстығына көз жеткізетін ең негізгі бір әдіс —
тексеру, ол — шешу процесінің әрбір қадамына тәптіштеп талдау жасау.
Мектеп есептерінің ... ... ... ... саны
анықталған бір немесе бірнеше шешім шығатындай етіп ... ... ... деп атайды. Егер есепте берілгендердің саны оны шығаруға
қажеттілерінің санынан асып кетсе, ондай есеп артығымен ... ... ... ... ішінде кейбіреуінің ғана шешімі болады. ... ... ... ... ... берілгендердің саны
жеткіліксіз болса, онда оны жеткіліксіз анықталған есеп ... ... ... көп ... ... сондықтан «жеткіліксіз анықталған
есептердің шешімдері болмайды» деп айту ... ... ... ... ... ... олардың шексіз көп болуында. Яғни ... ... ... ... ... ... алуға болады.
Есеп қарастырылатын объектілеріне байланысты – практикалық және
математикалық болып екіге бөлінеді. Яғни ... ... ... ... шын зат ... ... ол практикалық есеп.
Мысалы, Жер радиусы 6370 км, ал одан 4 км ... ... ұшып ... ... ... алыс жер ... ... Есепте қарастырылатын
объектілер таза математикалық болса, ол математикалық есеп. ... ... ... ... ... А және В ... қияды, сол
нүктеден жүргізілген жанама шеңберді С ... ... ... ... ... ... стандартты және стандартты емес есеп түрлері
белгілі. Дайын ережелердің ... ... есеп ... ... де, ал шығару жолдары дайын ережелер арқылы табыла қоймайтын есеп
– стандартты емес есеп ... егер ... онда ... прогрессияның алғашқы
алты мүшесін жаз (стандарттық есеп);
2) арифметикалық прогрессияның төртінші мүшесі 4- ке тең. ... ... ... оның ... үш ... қос – ... ... қосындысы ең кіші мәнге ие болды (стандартты емес)?
Есеп талабына қарай:
а) есептеу;
ә) дәлелдеу;
б) зерттеу;
в) салу есептеріне ... ... ... өрнек мәнін табу, функцияның мәнін
есептеу, кесіндінің ұзындығын, фигураның ауданын табу, ... ... ... ... да болмасын ұйғарымның ақиқаттығына көз жеткізу ... ... ... не белгілі бір құбылыстың ...... ... ... да ... ... ... болады.
“217+1 саны жай сан ба, құрама сан ба?”
“Қандай ... ... оның орта ... тең үш ... - ның ... мәндерінде
теңдіктері орынды” т.с.с. есептері зерттеуге арналған есептер. Зерттеу
көптеген есептер шығару кезінде ... ... ... ... мен теңсіздіктердің шешім сандарының қаншалықты болады т.с.с.
Белгілі бір құралдар жәрдемімен берілген шарттарды ... салу – салу ... ... ... ... ... ... есеп түрін анықтап алуға
үйрету – басты талаптардың бірі болып табылады.
Өзінің алға қойған дидактикалық ... ... ... үш топқа
бөлуге болады:
1) танымдық есептер: бұлар арқылы жаңа білім алынады;
2) машықтану есептері: бұлар арқылы ... ... ... қалыптасады;
3) шығармашылық ойлауды қажет ететін дамыту есептер.
Таным есептерін жаңа ... ... ... ... ... ... қолдануда шығару керек. Бұл дидактика талабына сай
келеді, сондықтан математиканы оқып – үйрену барысында кеңінен қолданылады.
Алайда, мектеп математикасында ең көп ... есеп ... ... ... ... олар ... білімдерді қолдануда сапалы
және берік дағдылар қалыптастыра отырып, математикалық теорияларды саналы
түрде меңгеруге ықпал етеді.
Жаттығу және ... ... ... ... ... ... ... дамытуды толық қамтамасыз ете алмайды.
Сондықтан бұл ... ... ... математикалық, логикалық,
интуициялық, тапқырлық т.б. қабілеттер араласатын арнайы іріктелген есептер
шығарып отырудың маңызы аса ... есеп ... ... ... ... схемасын келтірейік.
Бұл схемада есеп шығару процесінің әр түрлі кезеңдерінің арасындағы
байланыстылықтар көрсетілген. ... ... ... ... оны ... жазу жүзеге асырылады да, шығару тәсілін іздестіруде оның әсері
болады. Есепті ... - оған ... ... ... жоспарын жүзеге асыру
және есеп жауабы арқылы орындалады. Ал есеп шығаруды талдау, шығару тәсілін
іздестіру мен ... ... ... ... кезеңдерінде ескеріліп, солармен
бірге жүргізіледі.
1.3 Есеп шешуге үйрету әдістемесі
Есеп ... ... оқып ... алатын орны өте ... ... ... ... ... ... математикалық
есептерді шығаруға қаншалықты төселгендігі арқылы бағаланады.
Оқыту үрдісінде есеп шығаруға оқушыларды ... ... ... ал
белгілі бір типтегі есептердің шығарылуын қарастыру қандай да ... ... ... ... ... әдіс болып табылады.
Сондықтан оқыту барысында оқушыларды есеп шығаруға үйретуге көп ... ... ... ... есеп ... үйретудің бірден-бір тәсілі
белгілі бір түрдегі есептерді шығарып көрсету ғана ... ... ... есеп ... құралдары жауабы және оған байланысты
кейбір нұсқаулары бар есептер жинағы болып келді.
Оқушыларда есеп ... ... ... мөн ... ... ... есеп ... барысындағы іс-әрекеттеріне жүйелі де тиянақты
талдау жасалып отырмауына, оқушылар шығаратын есептердің барлығына ... ... ... сондай-ақ белгілі бір типтегі есептерді шығаруға
үйретуді неден ... ... ... ... пен ... қалай
болатынын анық білмеуге байланысты екенін мектеп тәжірибесі көрсетіп отыр.
Бұл пән осы ... ... ... ... ... ... ... қазіргі әдебиеттерде «есеп» ... ... ... ... ... ... шешуі және оны шығарудың мақсаты мен
ролі жөнінде айтылады. Сонымен қатар, онда есеп ... ... ... ... шешу процесінің құрылысы, есепке, оның ... ... ... ... талдау, есеп шығару тәсілін іздестіру,
оның идеясының ... және т. б. ... есеп ... үйретудің жалпы
мәселелерімен қатар, геометрия есептерін векторларды қолданып ... ... құру ... шығару сияқты кейбір жеке мәселелерде сөз
болады.
Есепті ... ... ... ... бірі ... ... қателер
жіберіліп, есептің жауабы дүрыс болып та шығуы мүмкін. Сондықтан ... ... шешу ... ... ... ... бола ... дұрыстығына көз жеткізу үшін есепті бірнеше амалмен шығарады, не
берілген есепке кері есепті шығарады. Алайда есеп шешімінің ... ... ең ... бір әдіс — тексеру, ол — шешу үрдісінің ... ... ... ... есептерінің мазмұнында көбінесе берілген деректердің ... бір ... ... шешім шығатындай етіп ... ... ... деп ... Егер ... берілгендердің саны оны шығаруға
қажеттілерінің санынан асып кетсе, ондай есеп артығымен ... ... ... есептердің ішінде кейбіреуінің ғана шешімі болады. ... ... ... ... ... берілгендердің саны
жеткіліксіз болса, онда оны ... ... есеп ... Бұл
есептердің шексіз көп шешімдері болады, сондықтан «жеткіліксіз анықталған
есептердің ... ... деп айту ... емес. Мұндай есептердің
шешімдері болады, ерекшелігі, олардың шексіз көп болуында. Яғни ... ... ... ... ... ... алуға болады.
Математика ғылым ретінде есептен пайда болған және есеп арқылы дамиды.
Тарихқа жүгінсек, ең көне ... ... Рим және ... ... қарастырылып, оларды шығару жолдары берілген. Есеп
шығару мұқтаждығынан мүмкіншіліктер теориясы, ойындар теориясы, информатика
теориясы және т. б. ... ... ... ... құру ... ... есеп оқушылардың ұғымдарды, теорияны және математика
әдістерін меңгерудің тиімді де, ... ... ... ... ойлау қабілеттерін дамытуда, оларды тәрбиелеуде, біліктіліктері
мен дағдыларының қалыптасуында, математиканың ... ... ... ... орны өте ... ... ... мақсаттарға жетуге есеп – басты қызметші
болып табылады. Есептің негізгі міндеттері: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және
бақылау ... ... ... есептер оқыту міндетін орындайды. Басқаша
айтқанда, кез ... ... ... ... ... білім алады,
шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие ... яғни ... ... ... ... әр есеп ... мазмұны арқылы тәрбиелік
міндетін атқарады. Мысалы, қоғам дамуының әртүрлі кезеңдеріне ... ... да ... ... Бір ... есептер жинағы көпестердің
сауда-саттығын, арзанға сатып алу, керісінше қымбатқа сату, ... ұту ... ... ... ... ... есеп ... жоғарғы моральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми
көзқарастарын ... ... және ... ... тәрбиелеуге
негізделген. Оқушыларды есеп мазмұны арқылы ғана ... ... ... ... ... тәрбиелеу болып саналады. Есеп шығару оқушылардың
сөйлеу мәдениетіне, мінез-құлқының қалыптасуына, табандылыққа, ... істі ... ... ... ... жеңе білу ... ... ықпалын тигізетіні аян.
Есеп оқушылардың логикалық ... ... ... жеке ... ... бірден-бір себепші болатын ... ... ... ... ... ... және ... анықтауды бақылау
міндеттері де көбінесе есепке жүктеледі.
Математиканы оқытуда есеп ... ... ... бар. ... оқып ... жетістігі олардың есепті ... ... ... ... ... ... ролі ... бұл есепті шығаруға ... ... ... ... ... жағдайларда оқып білуге тиісті
теориялық материалдың мәнін, практикалық мағынасы мен маңыздылығын түсіну
есептер шығару ... іске ... Бұл ... ... ... ... қалыптастыруға мүмкіндік береді. Есептер шығару
оқушылардың білімін толықтырып, нақтылау және ... ... әрі ... үшін ... ... кең көлемдегі тәрбиелік мақсатты да көздейді: қоғамдық
құрылыстың жетістіктерін ... ... ... ... ... есептер оқушылардың алған білімдерін оқу процесінде
немесе өмірде, ... ... ... есеп ... іздеу
оқушыларды қиыншылықты жеңуге жігерлендіреді, тапқырлыққа, зеректілікке
тәрбиелейді; берілген есептің шешуін ... ... ... ... эстетикалық ләззат алуына жағдай жасап, эстетикалық тәрбие береді.
Математикалық есептерді шығара білуге үйрету және одан әрі ... - ... ... тұрған өте қиын да жауапты жұмыс. ... ... ... ... мен зейінділігі түрліше, ал
математикалық есептердің саны ... көп. Есеп ... ... мен
дағдыландыру көбіне класта сабақ өту кезінде болатындықтан, ... есеп ... ... ... ... ... Мұны
іске асыру үшін олардың есеп шығару процесіндегі ... ... ... бір ... ... жөн.
Оқушының есеп шығарудағы іс-әрекеті оның осы ... ... ... ... бір ... ... ... орындауға
ұсынылған істер әр кезде де ол үшін қарапайым, бір ... ... ... ... Бұл ... мұғалім кез келген күрделі істі
қарапайым, нақты, белгілі әдіспен оңай ... және ... ... осы ... ... ... операциялардың құрылымы түріне
келтіруге болады деп ... жөн. ... ... бұл ұйғарымды іске
асыруға, яғни күрделі істі ... ... ... ... ... істі ... орындаудың құрылымы табылды деуге
болады, егерде сол істі орындауға ... ... ... ... ... ... ... оптимальдық реті де табылса. ... ... осы ... ... ... ... ... оқушыларды
үйретеді.
Оқушыларда есеп шығарудың жалпыланған қорытынды білігін (обобщенное
умение) қалыптастыру деп оларды өз ... есеп ... ... ... Оқушылардың өзіндік жұмысы оларды есептер шығара білуге үйрету
схемасының негізі болуға тиіс.
Оқушыларды есептер шығара ... ... ... шығармашылық сипатта
болуға тиіс, яғни мұғалім ұсынған методты сол күйінде қолдануға жол бермей,
есепті ... ... ... табу ... ... ... оның
шығармашылық жұмысының жемісі ретінде болғаны жөн.
Ғалым А.В. Усова оқушыларды есеп шығаруға үйретудің үш ... ... ... ... дәстүрлі әдіс деп аталып, мына схема бойынша іске
асады:
|Мұғалімнің | ... ... ... ... шығару | |есеп шығару | |есептерін өз |
|тәсілін | | | ... ... | | | ... |
| | | | | |
| | | | | ... әдіс жаңа екі ... ... ... ... және б) ... өзіндік болып. Бұл әдіспен
оқушыларды есеп шығаруға үйрету схема бойынша ... ... ... ... ... ... ... түсіндіруі.
|
|Ұжым болып
есеп шығару
|
|Оқушы-лардың жартылай өзіндік
жұмыс-тары
|
|Толықтай өзіндік
жұмыстар
|
|Бақылау
жұмыс-тары | |
Үшінші әдісте екінші әдістің барлық элементтері болады. Бұл әдіс ... ... ... қолдануды және есепті шешудің жаллы тиімді
тәсілін іздеп табу мен ... ... ... ... ... ... ... дәстүрлі әдіспен оқушыларды есеп шығаруға үйретудің, оларда
есеп шығарудың жалпы қорытынды білігін ... ... ... ... жаңа ... есеп шығаруға пайдалануда
машықтандыруға тиімділігі өте аз.
Екінші схема бойынша мұғалім коллектив ... ... ... ... ... ... ... орындаңыздар деп әрбір оқушыға өзіндік
тапсырма орындатып, есеп ... жеке ... ... ... ... ... Келесі есептерді шығарғанда мұғалім есептің
жалпы түрде алынған шешуін тексеріп шығуды ұсынады және ... ... ... ... ... жеке операцияларды орындап, сонан
соң мұғалім есеп ... ... ... ... қатарынан
оқушыларға өз беттерімен орындаттырады. Мұндай жұмыстар төменгі сыныптарда-
ақ, оқушыларды есеп шығара білуге үйретуге әсерін тигізеді.
2 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ... ... ЖӘНЕ ... ШЕШУ ... ... есептердің түрлері және шешу әдістері
Геометриялық және алгебралық әдіс.
Геометрия есептері негізінен есептеп табуға, дәлелдеуге және салуға
арналған ... үш ... ... Бұлай етіп бөлу шартты түрде орындалады.
Мысалы есептеп ... ... есеп ... да бір ... ... болады. Себебі есепті шығарғанда белгілі бір дәлелдеу ... оны ... үшін ... ... ... бір чертеж салынып,
оның кейбір ... есеп ... ... ... ... ... ол ... да бір дәрежеде салу есебі болып табылады.
Есептеп табуға арналған ... ... ... ... ... ... қандай да бір геометриялық шаманың сан
мәнін табу ... ... онда оны ... ... ... есеп деп атайды.
Бұл типтегі есептерді шығару үшін оқушы I - V кластардың математикасы
мен алгебра сабақтарында алған ... мен ... ... ... ... ... мынадай топтарға бөледі:
1. Белгісіз шаманы табу үшін тек қана белгілі бір геометриялық пікірді
қолдануды қажет ететін есептер.
Мысалы. Үшбұрыштың табандарындағы ... 50° және ... ... ... ... ... ... логикалық ой тұжырымдауларын дамытады,
бірақ аса ... ... ... ... ... бір ... тексеру үшін қолдануға болады.
Геометриялық мазмұны жағынан бірінші ... ... ... бірақ арифметикалық типтес есептерді немесе теңдеу құрып оны шеше
білуді талап ететін есептер. Мысалы, ... ... 36 см, ... ... ... екі есе ұзын. Параллелограмм қабырғаларының
ұзындықтарын табыңыздар.
Мұндай ... ... ... ... ... мен ... алған білімдерін қолдана алмайды қиналады. Бұл есептердің
құндылығы жеке ... ... ... ... шығару үшін бірнеше геометриялық пікірлерді қолдануды, есеп ... ... ... оны ... ... үшін ... білуді,
берілгендермен белгісіздер арасындағы байланысты тағайындай білуді, өзінің
ой тұжырымын ... ... ... ететін есептер. Мұндай есептер
оқушылардың геометриялық түсінігін, ой-өрісін, ... ... ... ... оқушыларды үйреткенде оңай есептерді шығарудан бастаған жөн. Ол
есептерді шығару арқылы оқушылар есеп шығарудың жоспарын ... ... ... ... ... ... шарты мен шығару жолын схемалық
түрде жаза ... ... Егер ... ... дайындықсыз оқушыларға қиын
есепті шығаруды ұсынса, онда оны сыныпта ешкім шығара ... ... ... ... ... Онда ол ... ... жолын айтып түсіндірудің
қажеті жоқ, бәрі бір көпшілік оқушылар оны ... Бұл ... ... жеке бір ... енетін оңай элементар есептердің бірнешеуін
шығарған жөн. ... ... ... ... ол ... қиын есептің
құрамынан тауып, шешулері мүмкін.
Дәлелдеуге берілген есептер. Бұл типтегі есептерде ... ... ... ... ... ... дәлелдеу талап етіледі.
Шынында, ... ... ... ... ... ... берілген есептерді шығарудың оқушылардың логикалық ... ... ... орны зор. ... ... теоремаларын
оқып білу кезінде дәлелдеуге берілген оңай есептерді шығару керек. Бұл
кезде әр түрлі әдісті қолданған жөн. ... не ... нені табу ... ... сызба бойынша есепті шығарту немесе ... ... ... ... салдырып, содан кейін шығарту. ... жолы ... ... ... бастаған жөн. Бір сызбада әр
түрлі ... есеп ... үшін ... ... Бұл арқылы оқушылар не
берілген, нені дәлелдеу керек екендігін аңғаруға, дәлелдеу процесінде ... ... ... ... ... ... ... тек қана дайын сызбамен шығарылатын
болса, онда оқушылар сөзбен айтылған есеп шартының математикалық мазмұнын
түсініп үйренбейді. Дегенмен ... есеп ... өз ... ... сол ... ... ... біртіндеп үйрегені дұрыс.
Дәлелдеуге берілген есептерді шығарғанда, ... ... ой ... әдістерін қолдануға тура келеді. Басқаша
айтқанда дәлелдеу жолын табу үшін ... ... қ ... ... әр ... тәсілмен дәлелдеу, оқушылардың ой өрісін
дамытуда зор әсер тигізеді. Соның ... ... есеп ... тәсілін табуға үйренеді.
Салуға берілген есептер. Геометриялық салулар фигураның қасиеттерін
анықтап ... ... ... ... ... ... деп ... қандай да бір ... ... ... ... өзін ... ... Мысалы екі қабырғасы және оның ... ... ... ... ... ... шығарғанда қандай да бір анықталмаған
элементтерді енгізуге тура ... ... ... қандай да бір АВ түзуін
жүргізе білуі және оған тиісті кез келген С нүктесін ала білулері қажет.
Орта ... ... ... ... ... өтуге
байланысты әр түрлі салу есептері қарастырылады. Олар:
1) кесіндіні тең екі немесе бірнеше ... ... ... түзуге берілген нүктеден перпендикуляр жүргізу;
3) берілген бұрышқа тең ... салу ... оны тең екі ... ... ... үш ... ... екі қабырғасы мен олардың арасындағы
бұрышы немесе қабырғасы мен оған іргелес екі бұрышы бойынша салу;
5) берілген ... ... ... арқылы параллель түзу жүргізу;
6) берілген үш нүкте арқылы ... ... ... ... ... ... қатынаста бөлікке бөлу; геометриялық
орта болатын кесіндіні салу;
8) дұрыс алтыбұрышты, үшбұрышты, ... ... бұл ... шығара білулері қажет, себебі келесі есептерді
шығару үшін осы есептерге сүйенеді.
Салуға берілген есепті шығару төрт бөліктен ... ... ... және ... Мұғалім нақтылы есептерді шығару арқылы салу есебін,
шығару процесінің осы ... ... ... ... ... ... кесінділердің немесе бұрыштардың
қосындысын ... ... оның ... ... бойынша салу немесе
оларға оңай келтірілетін есептерді шығару үшін талдаудың қажеті жоқ, ... ... жолы ... ... «Екі катеті бойынша тік бұрышты
үшбұрыш ... ... ... ... үшін ... ... жоқ, себебі
оқушылар оның шығарылу жолын біледі. Ал «Берілген катеті және тік ... ... тік ... ... ... ... ... шығару
үшін талдау қажет, себебі оқушылар салуды орындаудың ретін білмейді.
Оқушыларды талдауды қолданумен таныстырғанда ... ... ... ... ... етпейтін есептерді қарастырған жөн. Мысал
қарастырайық.
Геометрияны әрі ... оқу ... ... ... ... шығару жолын іздеуде талдауды кеңінен қолданады.
Координаталық метод туралы.
Жалпы мектеп математикасы курсында теоремаларды дәлелдегенде, есептер
шығарғанда әртүрлі ... ... Сол ... ... маңызды орын
алатындары: координаттық метод, геометриялық ... ... ... Бұл ... ... тығыз байланыста болады.
Геометриядан оқулық авторлары өздері қайсы концепцияны (қолдануына)
ашуына ... ... ... ... ... негізгі етіп
алады. Мысалы, А.В.Погорелов оқулығында координаттық әдіс басым ... Ал А.Н. ... ... ... ... ... оқулығында векторлық әдіс басым қызмет атқарады.
Әртүрлі облыс мамандарында өздерінің қызметінде тікбұрышты ... ... ... ... ... бір шаманың екінші
шамаға тәуелділігін график арқылы көрсетіледі, яғни геометриялық бейнесін
көруге мүмкіндік береді.
Координаттық методтың ... ... өте кең. ... күші оның ... болуында. Координаттық метод геометриялық
есепті ... ... алып ... ... ... ... ... және элементар алгебралық метод болатын геометрияны налитикалық деп
атайды.
I. Мектепте координаттық әдістің қолданудың мақсаттары:
1. ... ... ... ... ... барлығын көрсету.
Оны қолдана отырып, геометриялық ... ... ... ... ... ... болады.
2. Координаттық әдістің ... ... ... түзу және координаттық жазықтық, ... ... ... ... ... ... теңдеулер, кесінді
теңдеуі, кесінді ортасының ... ... және ... ... ... ... ... нақты әдістерін қалыптастыру.
II. Тікбұрышты координаттар жүйесі үшін ... ... ... ...... қиылған кесінді.
2. Ордината – абсциссаға перпендикуляр кесінді.
3. Нүктенің координаттары ... Олар ... ... алынған
және нүктенің сызықтағы (линия) ... ... ... ... түзу деп - ... ... бейнелеу ... ... ... ... жазықтық - координаттың өзара перпендикуляр арқылы
өтетін жазықтық.
6. координадтық әдіс – сандардың ... ... ... ... ... координаттық әдіс.
Координаттық әдіс қалыптастыратын негізгі ... мен ... ... ... ... ... білу және ... формада оны координаттық жазықтықта салу.
- координаттық ... ... ... білу және ... ... координаттық форма бойынша түзуді салу.
Түзу бір мәнді теңдеумен анықталады, егер а) осы ... ... ... координаттары (х,у) қанағаттандырса және керісінше;
б) түзу теңдеуін қанағаттандыратын ... (х,у) ... ... ... ... ... орта мектепте координаталық әдістің қалыптасуын және
қолдануын ... ... үшін мына ... ... ... координаттық әдіс қалыптасты деп ұйғару үшін, негізгі білімдер мен
іскерліктерді іріктеу;
б) осы ... ... ... ... ... ... әдістің ұғымдық аппаратын оқушылар меңгерді деу үшін
мынадай білім мен іскерлік керек:
1) ... оның ... ... салу және ... ... берілген нүктенің координаттарын табу;
2) мектепте жиі кездесетін ... ... білу ... гипербола, шеңбер) және оларды қасиеттері арқылы салу;
3) екі нүктенің арақашықтығының формуласын білу және оны ... ... ... ... ... және ... көше ... координаттық методты жете түсінді дейміз, егер олар :
1) есепті шешуде графиктік немесе аналитикалық ... ... ... ... ... есеп ... ... фигураны координаттық
жазықтықта тиімді орналастыра алу.
Координаттық методтың кейбір компоненттерін мектепте қалыптастыру
кезеңдері:
1) негізгі ұғымдық аппаратты ... Бұл ... ... V-VI
кластарда және геометрия курсында жүйеленеді;
2) осы ұғымдық ... ... ... теңдеуі және функция
графиктері енгізіледі (бұлар алгебра және ... ... ... ... Сондықтан оқушылар олар арасындағы байланысты көрмейді;
3) методты қолданудың ... ... ... және ... ... ... ... әртүрлі есептерді шешуде қолдану.
Векторлық әдіс.
Вектор ұғымы – математиканың ... ... бірі және ... ... кеңінен қолданылады. Қазіргі кезде вектор
негізінде сызықты ... ... және ... ... ... т. б. ... ... векторлық методты оқытудың мақсаттары:
- әртүрлі геометриялық есептерді шешудің ... ... ... ... ... техникада, физикада, химияда қолдануын көрсету,
осыған негіздеп оқушылардың диалектикалық - ... ... ... ... ... іскерлігін қалыптастыру мақсатында
есеп шешуде векторлық методты қолдану;
Есеп шешуде векторлық методтың негізгі компонентері.
1) есеп ... ... ... ... ... ішінде:
а) векторларды қарастыруға кіріспе;
б) координаттар жүйесін таңдау ... ... ... ... ... ... ... бойынша барлық енгізілген векторларды жіктеу;
2) векторлық теңдіктер жүйесін құрыу (немесе бір теңдікті);
3) векторлық теңдіктерді ықшамдау;
4) векторлық теңдікті ... ... ... және ... ... шешімнің геометриялық мәнін түсіндіру.
Векторлық методпен есеп шешуге үйрену үшін оқушылар мынандай ұғымдарды
қолдану керек:
- негізгі ... ... ... бас ... ұшы, ... ... қарама-қарсы бағытталған векторлар, вектордың
абсолют шамасы, тең ... ... ... ... ... оске проекциясы, коллинеар векторлар, коллинеар емес векторлар,
бірлік векторлар, координнаттық ... ... ... ... емес ... арасындағы бұрыш;
- негізгі амалдар: векторларды қосу («үшбұрыш» «параллелограмм»
ережелері); векторлардың айырмасы; векторды ... ... ... ... векторды екі вектордың қосындысы, айырмасы ... ... оған тең ... ... ... көшіру арқылы),
векторды коллинеар емес екі вектор ... ... ... ... ... ... квадрат арқылы өрнектеу; екі вектор арасындағы бұрышты олардың
скаляр көбейтіндісі және ұзындықтары бойынша өрнектеу.
Әдіс компоненттерін меңгеру үшін ... ... ... вектор тіліне аудару және оған ... ... есеп ... векторлар тіліне аудару, яғни есеп шарты бойынша
векторлық теңдіктер жүйесін ... ... ... векторлардың
барлығын базистік векторларға жіктеу:
- векторлық теңдіктер жүйесін ықшамдау;
- векторлық теңдіктерді алгебралық теңдіктермен ауыстыру.
Оқушыларда векторлық методты қалыптастырудың негізгі кезеңдері.
Дайындық кезеңі. Оның ...... ... ... ... ... ... (дәлелдеу себеп) кезең. Оның ...... ... ... ... көрсету. Ол үшін есептер шешкенде
векторлық методтың тиімділігін көрсету.
Бағыттайтын кезең. Оның ...... ... мәні мен ... ... осы ... ... есепті талдау үстінде
түсіндіру.
Методтың компоненттерін меңгеру кезеңі. Мақсаты - ... ... ... ... ... жеке ... ... «бүтіндей» қалыптастыру кезеңі: Мақсаты - ... ... ... ... ... ... әдіспен шығарылатын есептер.
Векторлық әдіс басқа әдістер сияқты универсал емес. Бұл әдіспен
мынадай есептің ... ... ... ... мен ... ... дәлелдеуге берілген
есептер;
ә) кейбір нүкте ... ... ... ... ... есептер;
б) үш нүктенің бір түзуде жататындығын дәлелдеуге;
в) түзулер мен кесінділердің ... ... ... ... ... ... дәлелдеуге
есептер;
д) бұрыш шамасын табуға берілген есептер.
2.2 Геометрия есептерін шешу ізденістері
 
Геометриялық есептерді шешу барысында оның ... ... ... зерттеу жұмысын жүргізуге болады. Есеп шартында қолданылмаған
информацияны зерттеп, ойымызды ... ... да ... ... Мұндай зерттеуге келтірілетін есептер ... салу ... ... болып табылады. ... ... ... ... ... ... ... мұндай салу аспаптары
жоқ, тек ... ... ... ... ... ... ... берілген есептер зерттеудің қайнар көзі.
Геометрия есептері әр ... ... ... ... Кез-келген геометриялық есепті шешу кезінде соған сәйкес
геометриялық фигураның әр алуан ... ... Бұл ... ... ... ... жауап беруге қажетті және жеткілікті болады.
Жалпы алғанда ... шешу ... оған ... басы ... ... ... Әр түрлі көзқарас тұрғысынан алғанда маңызды
болып ... есеп ... ... ... ... ... ... ғана геометриялық есептерді зерттеу басталады.
Мұндай зерттеу осы есептің шешілуімен тікелей байланысты. Есепті ... ... әр ... ... қасиеттерін іздеумен шектелуге болады.
Геометриялық фигурадан табылған жаңа ... ... ... басқа
жаңа шешімдерін іздеуге, жаңа есептер құрастыруға болады. Біз ... ... ... ... ... ондағы есеп ... осы ... ... ... ... іздей отырып, табылған
қасиеттерді пайдаланып, жаңа есептер құрастырдык, есептердің ... оны ... ... ... ... ... ... мағынада жалпыладық. Ең болмағанда кейбір есептердін ... Ал шешу ... оның ... (әдетте кейбір бұрыштың
шамасы) өзгеріссіз қалады. ... ... есеп ... ... ... ... ... жалпылағанда кейде Менелай және
Чева теоремалары қолданылды. Бұл есептерді шешу ... ... ... ... назар аудардық. Осындай қосымша ... ... ... жаңа фактілерді үйреніп есепті жалпылау үшін оның шарты
мен қорытындысын ұқыпты түрде талдауы мүмкін. ... ... ... ... ... ... білу дағдысын үйретеді. Бұл
мектеп ... ... ... ойлауына, нақты және жалпы білім
сапасының артуына ... ... ... ... ... әр түрлі екі жолын көрсетті: көп бейнелі кейбір
дербес жалпылаудың басқа да жолдары бар. Оқу ... ... ... ... ... салыстырмай, арнаулы жаттығуларсыз,
мүғалімнің көрсетуінсіз өзбетінше математикалық объектілерді, ... ... ... бір ... ... оған үқсас құбылысты
жалпылауды іске асырады. Жалпылаудың бірінші жолы — ... ... ... жолы - ... ... дамыту. Біз бұл мақалада
жалпылаудың келесі түрлерін қарастырдық /4/.
1. Бір есепті не ... ... ... мен есеп ... тікелей үйрену;
әі) есепті қайта тұжырымдау арқылы жалпылау.
2. Мұгалім ұсынган ... ... ... ... арқылы жалпылау.
3.Жалпы теареманың дербес жагдайларын табу және оны басқа бағыттарға
жалпылау.
4.Есептерді талдау мен шешуге ... ... ... ... бойынша есептер құрастыру.
Осы айтылған жалпылауларға сүйеніп кұрастырылған есептер окушы білімін
тереңдстіп, өзбетінше танымдық ... ... ... Біз ... барысында сырттай сызылған шеңберді келесі қасиеттерін пайдаландық.
1-теорема. Егер О-АВС шеңберінің центрі, О және В ... ... бір ... ... онда ﮮ АВС =2ﮮ ... ... =2ﮮАВС, | ОА| = |ОС| және О, В нүктелері АС
кесіндісінің бір ... ... онда О ... АВС ... ... Егер АВСД ... ﮮА + ﮮС = ﮮВ+ ... онда ол
іштей сызылған.
1-есеп. Берілген квадратка іштей дұрыс үшбұрыш сыз. Бұл ... әр ... жолы ... Мысалы, бұру әдісі, ұқсастык әдісі.
Талдау барысында квадрат қабырғасының кез-келген нүктесі оны ... ... ... ... болатынын оңай байқауға болады. Есептің шектеусіз
көп шешімі бар. Талдау ретінде мынандай мәселені қарастыруға болады;
Квадратқа іштей сызылған ... ... ... ... ... ... MNLK квадрат берілсін (2-сурет). Алдын-ала АMN, B,
CMK болатындай АВС дұрыс үшбұрышын қарастыралық. Егер ... ... онда МАОС және СОВК ... іштей ... = ... = 60, ... ... = 600. ... МОК ... — дұрыс үшбұрыш
деген қорытындыға келеміз. О осы ... ... — бұл ... үшбұрыштардың (АВ-ның ортасы).
АВС үшбұрышының центрін S арқылы белгілейік. Онда, А нүктесі ... ... орын ... В ...... ... ... ауыстырады.Онда МК бойында жатқан С нүктесі С1С2 ... ... Егер А ... N1, де, ОС ┴ОN ... онда С ... ... Егер В=L бірдей болса, ОС2ЮІ болса, онда С мен С ... ... ... ... ... ... үшбұрышты қарастырылған АВС
үшбұрышын квадраттың центрінен 90°, 180°, 270°-қа бұрып шығарып ... ... ... ... ... ... ... центрлері
кабырғасының ұзындығы S1S2квадратын құрайды. Бұл квадраттың ... ... ... ... АВ ... ... ... жаңа қасиет — бұл арқылы жаңа нәтижелерге қол ... ... ... О ... ... АВС үшбұрышын оңай ...... ... жатыр) О нүктесі арқылы MN мен LK-ны қиятын кез-келген түзу
жүргіземіз. Ол А, В нүктелеріңде қиылысады.
ОС┴АВ, СMК, ... — есеп ... ... ... ... МАВК ... өте ... жаңа қасиетін байқауға
мүмкіндікбереді. |МА| + |КВ| = ... ... О ... МК ... ... ... көбейтіндісіне тең). Сондықтан іштей сызылған ұшбүрыштың ... қай ... ... ... байланысты емес. МАВК трапецияның ауданы
тұрақты болады. Бұл арада квадраты МК түзуі және MN, KL екі ... ... ... ... MN, ... түзулер МК бір жағында жәнебүлар МК-
ға ┴болуы керек. ... АВС ... АMN, B, CMK ... АВ-ның ортасы О ұшбұрыштар үшін ортақ. Сондықтан МАВК төртбұрышының
ауданы АВ қабыргасын таңдап алуга тәуелсіз. Осы есепке ... жаңа ... ... ... ... ... ... шеңбердің ұзындығы 20π-
ге тең. Егер ... ... 12 ... онда осы ... ... Шеңбер радиусы 10 екені белгілі. Берілген шеңберге табаны
ортақ екі теңбүйірлі үшбұрыш ... ... ... ... ... С1 ... екінші үшбұрышта С2 –доғал.
1-жағдай. FD=2R, мұндағы ... ... Бұл ... ... ... ... ... бойынша , бұдан ∆AC1B-ның ... Бұл ... , ... ... ... ... ... 12. Жауабы 108 немесе 12.
3-есеп. ABCDE–дұрыс бесбұрыш ... ... M ... ... ... ... етіп алынған. ∆ANC–ның бұрыштарының шамасын
табыңдар.
 
Шешуі: Дұрыс бесбұрыштың ішкі бұрышы 1080 болғандықтан,ﮮОМС = ﮮNDC ... = ... ... болғандықтан (ND=DC),ﮮDMC = (1800 - 480)=660.
Дәл осылайша ﮮENA=660 екенін ... Бұл ... = 3600 ... ... ... есептің шешуі толық емес. Шынында да
есеп шартына N нүктесі дұрыс ... ... ... деп ... бұл ... ... шешу жолы ... мүмкін (5-сурет).
 
 
   ﮮNDC = ﮮNDE+ﮮEDC =600+1080=1680. ∆NDC ... ... ﮮCND = 60. ... ﮮANC = ﮮEND-2ﮮCND =600-120=480.
Жауабы 1680 немесе 480.
Қорыта айтқанда, геометрия есептерінің шарттарын қалағанымызша өзгерту
арқылы арнайы ... ... ... ... ... ... ... жүргізудің негізі.
2.3 Есептеп табуға арналған геометриялық есептерді ... ... ... құру ... шешу
Оқытудың мазмұны пәнаралық байланыстар және пәннің ішкі
байланыстарын қамтамасыз ету ... ... ... ортаны
математика тілімен зерттеу, түсіну мақсатында жинақталады. Мектеп
оқушыларын осындай практикалық дайындықта тәрбиелеудің ең негізгі
түрі геометриялық материалдарды ... ... ... - бұл ... ... ойлау түрі, әрі ғылым мен
техниканы меңгерудің тілі десе де болады. ... ... ... ... әртүрлі мамандықтарды игеруде кеңістік ойлау
қабілеттілігінен туындайды.
Оқытуда негізгі екі геометриялық бағыт бар, оның ... және ... ... байланысты теңдіктер белгісін
ажырату және нүктелер, түзулер, жазықтықтардың өзара ... ... Ал, ... ... фигуралар мен денелерге
әртүрлі өлшеу жұмыстарын жүргізуге байланысты.
Оқушылар ... ... ... бұрыш, аудан, көлем)
танысады, ... ... ... ... білдіретін сандық
мінездеушілеріне қатысты формулаларды пайдаланып есептер шығаруға үйренеді,
есеп шығару ... олар ... ... ... логикалық ойлау
қабілеттерін жетілдіреді. Төменде есеп шешу кезеңдері туралы баяндаймыз.
Есеппен танысқаннан бастап оның толық шешімін алғанға дейінгі ... ... онда бұл ... ... ... ... көреміз.
Енді сол кезеңдерді анықтайық.
Есеппен танысқаннан кейін ең бірінші істелетін жұмыс, сол ... ... оны ... ... ... ... ... анықтау, яғни есепке талдау жасау. Сонымен талдау жасау есеп
шығару үрдісінің бірінші кезеңі болады.
Кей жағдайда есепке ... ... ... ... ... ... Ол үшін ... схемалық түрде жазулардың әр алуан формалары
қолданылады. Есеп ... ... ... ... оны схемалық түрде жазу.
Есепті талдау мен оны схемалық түрде жазу, ол есепті шығару ... табу үшін ... Бұл ... ... табу – есеп ... үрдісінің
үшінші кезеңі болады.
Есепті шығару тәсілі табылғаннан кейін, оны іске ... ... Ол ... ... төртінші кезеңі болады.
Есеп шығару үрдісі жүзеге асырылғаннан кейін, ол ... не ... соң, бұл ... дұрыстығын және оның есептің барлық ... ... ... Ол үшін ... ... тексереді, бұл
есеп шығару үрдісінің бесінше кезеңі болады.
Көптеген есептерді ... ... ... ол ... ... яғни қандай шарттар орындалғанда есептің шешімі ... ... жеке ... ... ... ... және әрбір жеке жағдайда қанша
шешімі бар немесе ... ... ... ... шешімі болмайды т.с.с.
қарастыруға тура келеді. Бұлардың барлығы есеп ... ... ... ... оны ... ... деп атайды.
Есеп шығарудың дұрыстығына көз ... ... ... ... оған зерттеу жүргізген соң, есептің шыққан жауабын анық етіп
тұжырымдаған жөн. Бұл есеп ... ... ... ... ... табылады.
Ең соңында есепті шешу жолына талдау жасалады, яғни есеп ... ... ... ... жоқ па, ... ... жолын жалпылауға болмай ма,
шыққан шешімнен қандай қорытынды жасауға ... және т.с. ... есеп ... үрдісінің ең соңғы, әрі қажетті сегізінші кезеңі
болады.
Сонымен есеп шығару үрдісін сегіз ... ... ...... ...... ... түрде жазу;
3-кезең- есеп шығару тәсілін іздестіру;
4- кезең – есеп шығаруды жүзеге асыру;
5-кезең – есеп ... ...... ... – есеп ... тұжырымдау;
8-кезең – есеп шығарылуына талдау жасау.
Бұл келтірілген сүлбіден есеп шығару үрдісінің күрделі және әр ... ... ... ... мысалдар келтірейік.
Есеп 1. Екі жұмысшы бірігіп ... 12 ... ... Егер ... ... жұмысшы жұмыстың тең жартысын істеп, ал екінші жұмысшы
қалған бөлігін ... онда ... ... 25 ... ... ... ... жұмысты қанша уақытта бітірер еді?
1. Есепті талдау. Есепте екі ... ... сөз ... тұр. ... және екінші жұмысшы. Олардың жұмыс істеу шапшаңдығы әртүрлі, егер
жұмыс ... ... ... ... онда ... кейін бірі істегенде,
барлық жұмысты 24 сағатта (12 сағ) бітірер еді. ... бұл ... Оны ... ... де жоқ. Бірақ жұмысшының жұмысты қанша
уақытта бітіретіндігін, яғни уақытты табу ... ... ... ... ... ... кесіндімен белгілесек, онда
схемалық жазу былай ... Есеп ... ... ... ... ... жұмысты қанша
уақытта бітіретінін табу керек. Жұмыс көлемін 1 өлшем деп ... онда ... бір ... ... 1/12 ... бітіреді. Бұл екеуінің жұмыс
істеу ... ... ... ... ... кері ... ... жұмыс істеу шапшаңдығы болады.
Бірінші жұмысшының жұмысты бітіру уақытының жартысы мен ... ... ... ... ... (себебі олар бірнен соң
бірі барлық жұмыстың жартысын ғана ... ... ... 25-ке ... ... ... ... асыру. Егер бірінші жұмысшы барлық жұмысты
сағ, ал екінші жұмысшы барлық ... сағ ... ... ... ... ... ... шапшаңдығы (яғни бір сағатта
жұмыстың осынша бөлігін істеп бітіреді), екінші жұмысшының ... ... ... Сонда
.
Бірінші жұмысшы жұмыстың жартысын сағатта, екіншісі -
сағатта бітіреді. Олай ... мына ... ... ... мына ... келтіреміз:
Осыдан
Соңғы теңдеуді қарастырайық.
және .
Сонда және . Сонымен, бір жұмысшы 30 сағатта, ал ... ... ... ... Есеп ... тексеру. Бір жұмысшы жұмысты 30 сағ, ал екінші - 20
сағ бітіреді, олай ... бір ... ... ... ... - ... ал ... - 1/20 бөлігін бітіреді. Онда екеуі ... ... ... ... екен, яғни бірігіп істеген жұмысты 12 сағ бітіреді.
Есеп ... ... ... ... ... ... ... жұмыстың жартысын 15 сағ , ал екіншісі 10
сағ бітіреді. Бірінен соң бірі ... ... ... олар ... ... сағ ... есеп шартының екінші бөлігі де орындалды, олай болса, ... ... ... ... ... ... мағынада шығып тұр, мұндағы .
Бұлар нольге тең болғанда есеп шартының мағынасы ... ... ... ... пен нольге тең болмауы керек деп
айқындап жазғанымыз ... ... ... және түрінде екі жауап шықты.
Шындығында бұл бір ғана жауап, ... ... ... ... 30 ... ... 20 сағатта бітірген. Олардың қайсысын ... ... ... ... ... ... ... біреуі (мүмкін біріншісі, мүмкін екіншісі)
жұмысты 30 сағ, ал екіншісі - 20 сағ ... ... ... ... ... Бұл есептің шығарылуы екі
белгісізі бар екі теңдеулер ... ... ... ... бір ... деп ... оны ... белгілесек,
онда системаның екінші теңдеуінің алымында ... да ... 2. Тік ... ... тік ... үшбұрышы. Оған сырттай
сызылған шеңбердің радиусы -ге тең, ал ... ... ... тең ... керіп тұр. катеті арқылы өтетін бүйір ... ... осы ... ... ... және ... жазықтығымен
бұрыш жасайтын қима жазықтық жүргізілген. Призмсаның бүйір бетін және
қиюдан шыққан төрт бұрышты
1-сурет.
пирамиданың көлемін ... ... ... ... Бұл ... ... табуға арналғн
геометриялық есеп. Мұндағы берілгендер әріптер арқылы өрнектелген. Олардың
өзгеру облыстарын қарастыратын болсақ, онда ... ... ... оң сан бола ... яғни . ... ... ол ... доғаның бұрыштық шамасы -тан артық болмайды, яғни немесе
.
бұрышы - екі жазықтықтың арасындағы бұрыш, ол жазықтықтың біреуі
бүйір ... ... ... өтетін болғандықтан бұрышы - тан
артық болмайды, яғни .
2. ... ... ... ... ... ... ... салайық.
катеті бұрыштық шамасы -ға тең доғаны керіп тұратындықтан және іштей
сызылған бұрыш өзі ... ... ... ... ... . диагоналы арқылы өтетін және ... ... ... ... да ... ... себебі осы
жағына перпендикуляр. Олай болса екі жақты бұрышының сызықтық
бұрышы ... ... Онда ... тік ... ... оның ... сырттай
сызылған шеңбердің диаметріне тең болады, яғни .
Берілгені: ,
,
.
Т/к: , -?
3. Есепті шешу ... ... Қима ... призмадан
төрт бұрышты пирамиданы ... ... ... пирамидасының көлемі
призма көлемінің 1/3-не тең. Олай болса ізделінді ... ... ... 2/3-не тең ... ... көлемді табу үшін призма көлемін
табу керек. Ол үшін призма табаны -ның ... мен ... ... ) кесіндісінің ұзындығын табу керек. -ның ауданы оның
қабырғалары және арқылы табылады.
Сондай-ақ призманың бүйір ... табу ... -ның , ... және ... ... ... табу үшін үшбұрышын және ... ... ... ... ... ... Есеп шешуін тексеру. Бұл жағдайда есептің шешуін тексеру сол шешу
процесінде ... ... ... мен ... ... Екінші бір ескеретін жайт, бүйір бет пен көлем оң ... ... , ... ... өрнектердегі тригонометриялық
функциялардың мәндері де оң болады, олай болса .
6. Есепті зерттеу. Есеп ... ... ... ... облысын алдын-ала анықтадық. Мұнда тек жеке жағдайды, ... ... ... ... Бұл онша ... мәселе емес.
7. Жауабы:
.
8. Есептің шешуін талдау. Бұл жағдайда есеп шешуін талдаудың қажеті
жоқ.
Есеп 3. Енді ... -ге тең ... ... ... барлық
тік төртбұрыштардың ішінен ауданы ең үлкен болатын тік ... ... ... ... онда бұл ... ... (радиусы
-ге тең шеңберге іштей сызылған барлық тік төртбұрыштардың ішінен)
радиусы -ге тең шеңберге ... ... ... ... жиыны
қарастырылады деп түсіну керек. Ал есеп талабы, осы төртбұрыштар жиынының
ішінен ауданы ең үлкен ... табу ... ... оның ... ... онда ... ... айнымалы
шама болады. Өйткені әр түрлі төртбұрыштар қарастырылады және ... да ... ше ... ... шама ... осы ... ауданының
ең үлкен мәнін табу керек.
Бізге белгілі төртбұрыш ауданы оның қабырғаларның ... ... ... ... ... байланысты, яғни -ті
арқылы өрнектеуге болады. олай болса, -ті -тің ... ... ... ... есеп ... ... элементар бөліктерге
бөлінеді:
1. Радиусы -ге тең шеңбер берілген.
2. Берілген шеңберге ... ... ... ... Бұл ... қабырғаларының ұзындықтары айнымалы
шамалар пен болады.
4. Төрт бұрыш ауданы -ті -тің (немесе ... деп ... ... ... пен өзара шеңбер радиусы
арқылы байланысты.
Сонымен ... ... () ... ... () ... ең ... мәнді қабылдайтын -тің мәнін
табыңыз.
Есептер қиынырақ болса, онда оның ... ... ... ... жеткіліксіз болады. Бөлініп алынған элементар бөліктердің неден
тұратындығын және қандай сипаттамасы бар екендігін ... жөн. ... ... ... ... ... деп аталады. Ондай
есептер туралы 2.3.1 бөлімінде баяндалады.
Геометриялық есептерді теңдеу құру ... ... ... ... бір
жоспар бойынша жасалады:
1) есепті ... ... ... ... ... ... белгісіздерді сандар мен негізгі белгісіз арқылы өрнектеу;
4) теңдеу құру;
5) теңдеуді шешу;
6) зерттеу;
7) тексеру.
Сызықтық немесе квадраттық теңдеулер құру арқылы ... ... ... бөлуге болады:
а) бір ғана шаманың (мысалы, ауданның немесе ... әр ... ... ... ... байланысты әр түрлі үш шаманы (мысалы, есепте геометриялық
фигураның ауданы, қабырғасы және ... ... ... ... ... ... бір тектес шамалар болады. Сондықтан
есепте қарастырылатын шаманың екі мәнінің қосындысын да пайдалануға ... ... ... салыстыру болып табылмайды, тек салыстырудың
баламасы ғана болады. әр түрлі ... ... ... есептерде
көбінесе, ол шамалар туралы пропорционалдық тәуелділік ... ... ... ... (), ... () және ... () және ... құру арқылы есептер шығаруды оқушылардың ойдағыдай меңгерулері
үшін осы мәселеге байланысты ... ... ... ... ... ... іліп ... болады:
1. Есеп мазмұнын ұқыптылықпен оқып біліңіздер, егер оның мазмұнын
схема бойынша ... және ... ... тәуелділікті көрсететін
чертеж қажет болса, оны салыңыздар.
2. Есепте қандай шамалар ... ... ... және олардың
атауларын анықтаңыздар.
3. Теңестірілетін ... ... ... ... ... үшін екі ... құрыңыз. Ол үшін айнымалыны
енгізіп, қандай берілген шамалардың қажет екендігін анықтаңыздар.
5. ... ... ... ... оның ... есептің шартын
қанағаттандыратынын тексеріңіздер.
Теңдеу құруға есептер шығару – мектептегі математика ... ... және ... оқу ... ... көлемді мәселелерінің бірі.
Сондықтан оны оқып үйрену барысында сабақтастарының іске асуы ... ... шарт ... ... ... құру арқылы шығару процесінде ... ... ... алуда үш жағдай кездеседі:
а) есептің мазмұны бойынша бір ғана шама белгісіз болады, соны негізгі
белгісіз деп ... ... ( пен) ... есеп ... ... ... саны ... соның біреуін
негізгі деп алып, әріппен ( пен) белгілейді;
в) есеп шарты бойынша оны ... ... ... ... ... деп
алып, әріппен ( пен) белгілейміз.
Теңдеу құруға есептер шығарғанда бірінші жағдайдан бастап, оған көп
уақыт тоқталуға болмайды. ... ... ... ... бөлу ... ... практикада аз кездеседі, ... ... ... ... ... қажет.
Есептің шарты бойынша теңдеу құрғанда (төртінші кезең) бізге мынадай
жағдайлар кездеседі:
а) бір ғана шаманы ... тең ... ... екі өрнекті
теңестіру;
б) есеп шартында берілген екі ... ... ... ... теңдеу
құру үшін пайдалану;
в) есеп мазмұнында берілген шамалардың арасындағы тәуелділікті
өрнектейтін ... ... ... ... құру.
Ескеретін бір жәйт, есеп мазмұнында бұл тәуелділік туралы айтылмайды.
2.3.1 Геометрияның экстремумдық есептері және оларды шешу ... ... ... байланыстар және пәннің ішкі
байланыстарын қамтамасыз ету мақсатында, көбіне қоршаған ... ... ... ... ... жинақталады. Мектеп
оқушыларын осындай практикалық дайындықта тәрбиелеудің ең негізгі
түрі геометриялық материалдарды оқыту болып табылады ... - бұл ... ... ... ... әрі ... мен
техниканы меңгерудің тілі десе де болады. Геометриялық білімнің
қолданылу мәнін үйрену әртүрлі мамандықтарды игеруде кеңістік ойлау
қабілеттілігінен туындайды.
Оқытуда негізгі екі ... ... бар, оның ... және ... түріне байланысты теңдіктер белгісін
ажырату және нүктелер, түзулер, жазықтықтардың өзара байланысын
анықтау болады. Ал, ... ... ... мен ... ... жұмыстарын жүргізуге байланысты. Оқушылар
геометриялық шамалармен (ұзындық, бұрыш, аудан, көлем) танысады,
фигуралар элементтерінің өзара байланысын білдіретін сандық
мінездеушілеріне ... ... ... ... ... есеп ... барысында олар дәлелді талқылауларды үйреніп,
логикалық ойлау қабілеттерін жетілдіреді.
Педагогикалық энциклопедияда есептің негізгі сипаттамасы
былайша келтірілген /15./: ... ... бір ... ... ... ... жауабын алу үшін ұмтылушылықтың күткен қорытындыға
жетудегі табандылықтың болуы, есепті шешуге қажетті бар шарттары мен
қойылған талаптарды есепке алу, осы ... пен ... ... ... қолдану делінсе, математиканы оқытуға арналған есептерге
мынадай анықтама беріледі: «Математикалық есеп ... ... ... ережелер және әдіс-тәсілдер негізінде
оқушылардан ой мен практикалық іс-әрекетті талап ететін және
математикалық білімдерді меңгеруге, оларды практикада қолдана білуге
дағдыландыруға, ойлау қабілетін дамытуға ... ... есеп ... ... ... ... ... математикалық ойлауын өрістетуге, білімдерін
практикада қолдануға, табандылық, ізденгіштік, еңбексүйгіштік
қасиеттерін тәрбиелеуге жол ... ... ... ... ... және ... үшін олардың есеп шығару процесіндегі іс-әрекеттерін
басқарып, жұмысты белгілі бір жүйемен ... жөн. ... ... ... үйрету процесі шығармашылық сипатта болуға тиіс.
Ал шығармашылық-зерттеушілік қызметтің бір ... ... ... ... ... келелі мәселелерінің құрамды
бөлігі болып табылады.
Мектеп математика курсында ... ... ... ... ... ... мен ... тобы бар. Сол есептердің бірі
геометриялық мазмұндағы экстремумдық есептердің алатын орны ерекше.
Техникада, жаратылыстануда, өндірісте және күнделікті өмірде
математикалық есептердің ... ... ... Бүл есептер бізге
максимум және минимумға арналған есептер деген атпен мәлім. Мәселен,
ол есептердің мазмұны төмендегідей ... ... ... ... сыйымдылығы белгілі болса,
сызықтық өлшемдері қандай болғанда аз қаңылтыр жұмсалады?
Ені мен ұзындығы ... ... ... жер
участогының өлшемдерін х% ұзартып, х% есе қысқартты. х қандай
болғанда жер ... ... ... ... а-ға тең ... ең ... ауданды тіктөртбұрыш
формалы қоршауды орайтындай етіп майыстыру қажет.
Математикада мұндай мазмұнды есептерді шешудің ортақ және
күшті тәсілі құрылған, ол дифференциалдық есептеулерге негізделген.
Алайда, мұндай ... ... ... ... ... де ... болады. Біз төменде
геометрияның максимум және минимум табуға арналған есептерін
дифференциалдық есептеулерсіз шығару жолдарына тоқталамыз.
Сонымен сіздердің назарларыңызға геометриялық мазмұндағы
экстремумдық есептерді ... ... ... ең ... және ең кіші мәндері жайлы тұжырымды пайдалану;
алгебра курсынан белгілі теңдіктер мен теңсіздіктерді бағалау;
геометрияның өзінің алдын-ала дәлелденген теоремаларының
түжырымдарын қолдану ... ... ала ... ... ұсынамыз.
2.3.1.1 Квадраттық функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға
арналған ... ... у=2х2 +7 (1) ... байланысқан х және у шамаларын
қарастырамыз. х =3 ... у=25 ... ... Ал, х =10 үшін ... ... х-ке көріп отьфғанымыздай кез келген мән бере аламыз, ал у ... ... ... ... (1) ... тәуелді болады. Бұл тәуелділік
математикада у х-ке байланысты функция деп аталады, ал х- тәуелсіз
айнымалы деп, у - ... мәні деп ... ... айқындалатын у функциясының мәндерінің арасында
ең үлкен мәні бар ма деген сұрақ қояйық. Ең ... ... жоқ ... ... арқылы оңай көз жеткізуге болады. х1=1, х2=10,
х3=100, х4=1000,... мәндеріне сәйкес у-тің мәндері у1=9, у2=207, ... ... ... ең ... мәні жоқ ... көреміз.
Енді осыған ұқсас берілген функцияның ең кіші мәні бар ма деген
сұраққа жауап іздейміз. (1) теңдіктен айқындалатын функцияның мәні екі
қосылғыштың ... : 2х2 жэне 7 ... ... ... х-ке тәуелсіз
түрақты 7 саны. Ал, бірінші қосылғыш 2х2 х –тің кез ... мәні үшін ... ... Ал, х=0 ... 2х2 =0 және 2х2+7 ... ... ... х0=0-де ие болады. умин=7 деп жазамыз. Осыған ұқсас:
у=5х2+3, у=9х2+4, у=2х2-5, у=3х2-11 функцияларының ең ... мәні ... ең кіші ... х=0 ... ие болады. умин=3, умин=4, умин=-5, умин=-
11.
2) Күрделірек ... ... ... ... жоғарыдағы мысалдың қорытындысын пайдалану үшін берілген
теңдіктің оң жағын түрлендіреміз.
у=2(х2-6х)+93=2(х2-2*Зх+32-32)+93 =2(х2-6х+9)+93-18=2(х-3)2+75
(х-З) >0, (х-З) =0, егер х=3. ... ... ... ... ... жағдай үшін талдау жасаймыз.
у = ax2 + bx + с теңдігімен берілген функцияны квадраттық функция деп
атаймыз, мұндағы а,Ь,с - кез ... ... ... у = a(x +)2 + M ... ... өрнегі b, a, x мәндері қандай болса да, әрқашан 0-ден ... ... ... мәні -ң ... а және М-ге
байланысты болады.
а) a>0, онда a>0, ... үшін ... ... ал умах - ... а0, онда а< 0, умах =М, ал умин - ... ... максимум және минимум мәндерін экстремум
мәндері деп атаймыз.
Жоғарыда талданған жағдайларды төмендегі ... ... ... ... квадраттық ... х0 = ... ... ие ... және а>0 ол ... ал а ... ... экстремумдық мәні әрқашан яғни,
-ға тең болады.
1-мысал. Үлеске түскен участок ... №2 ... ... 1) ... ... ... - S=ab, ... шарттағыдай
өзгерткенде а-ны
х% ұзартса, ұзындығы a = ,
b-ны ... ... ... ... ... ... ... кемиді, мәселен х=10%
болса, онда ауданы - S=1,1a-0,9b=0,99ab және т.с.с.
Соңында жер участогынан жалғыз аяқ жол қалған болар еді. ... ... ... Негізгі теореманың қорытындысы бойынша талдауды жалпы жағдайда
квадраттық функция үшін жасайтын болсақ:
квадраттық ... ... ... ... ... ... Smax=ab ... ие болады.
2-мысал. ABCD квадраты берілген (1-сурет). Төбелерінен бірдей
AA1,BB1,CC1,DD1 кесінділері жүргізілген және A1,B1,C1,D1 нүктелері
кесінділермен қосылған. AA1 кесіндісі қандай болғанда A1B1C1D1
квадратының ауданы ең кіші ... ие ... АА1=х деп ... АВ= ... ... ... ... бойынша
1-сурет
Ізделінді болғандықтан , бұл a=2, b=-2l, c=l2 квадраттық
үшмүше, біз ... ... ... Smin- ді табамыз.
болғанда , яғни A1,B1,C1,D1 ... ... ... ... ... жағдайда.
3-мысал. Берілген дөңгелекке ... ең ... ... ... ... Ізделінді тіктөртбүрыштың қабырғасын х деп белгілесек, ал
берілген дөңгелек радиусы R ... ... ... ... ... АВС: ... аудан
y=S2=x2 (4R2 –x2) функциясын ... х2 =Z ... ... ... аламыз. A=-1, b=4R2, с=0 және бұл
функция z0=2R2 және x0= R болғанда ең үлкен мәніне ие болады.
Енді төртбұрыш түрін ... х = ... ... ... квадрат және оның қабырғасы -гe
тең екендігін көре аламыз.
3-мысалдан төмендегідей ... ... ... ... ... ... ... ең үлкен ауданға квадрат ие болады.
2.3.1.2 Теңдіктер мен теңсіздіктерді бағалау арқылы шығару
Теорема 1. . Екі оң ... ... ... ... ... ортасынан артық емес.
Бұл теореманы дәлелдеу үшін теңсіздіктің екі жағындағы өрнектердің
айырымын нольмен ... ... ... ... ... ... шығара отырып,
оның тұжырымдамасын көптеген геометриялық мазмұндағы максимум,
минимум ... ... ... Қабырғада биіктігі АВ - ға тең сурет ... тұр. ... ... ... ... оның ... көру Ө ... үлкен болады?
Шешуі: Бақылаушының көзімен оны О нүктесімен белгілейміз.
Қабырғаны қосатын горизанталь түзудің қабырғамен қиылысуын К нүктесі
арқылы ... ... ... ара қашықтық ОК болады, оны х-деп белгілейміз.
КА =а, КВ=Ь
деп белгілесек, онда ... ...
tg ... ... ... болғандықтан ең үлкен мәніне Ө-
ның ең үлкен мәні ... ... ... ... ... ... ең үлкен мәнін табуға келеді.
Бөлшектің алымы: b-a - const, яғни, оның бөлімінің - ең ... ... ең ... мәніне ие болады. Алдыңғы есептің тұжырымы
бойынша қосындысы ең кіші ... ... ие ... ... ара ... - -ға ... ... столдың ортасының жоғары жағында жарық көзі
ілулі тұр. Жарық көзін столдан қандай қашықтықта ілгенде стол жиегіне
жарық көзі ... ... ... ... ... А ... ... тоқ күші
формуласымен өрнектеледі (k-пропорционалдық коэффициент).
4-суреттен:
4-сурет.
ал ізделінді биіктік
ҚОРЫТЫНДЫ
Бүгінгі күнде жалпы орта білім беретін мектеп – жаңа ... ... ... яғни ... ... ... ... интеграцияланған,
жеке бағыттылық, баланың жеке басының дамуына ... ... ... өзін-өзі тануына көмектесетін, білімнің жаңа ... ... ... ... бәсекеге қабілетті жаңа ұрпақ өсіріп,
дамытып, жетілдіретін мектеп.
Қазіргі өмір ... ... жаңа ... ... басқа да
мақсаттарға, міндеттерге, формаларға, білім беру сапасына бағытталуы қажет.
Сондықтан бейінді білімнің ... ... – жеке ... ... ... өз ... ... бейнесін қалыптастыруда
бағдарламалар құрастырып, енгізуге жағдай жасау.
Осыған ... ... ... ... орта ... берудің жаңа
жүйесіне ауысу білім беруді басқару жүйесіндегілерден мұғалімдердің кәсіби
біліктіліктерін арттыруда жаңаша көзқарасты, ал ... ... ... ... ... ... бағытта білім беру нәтижесі білім, біліктілік және
дағды жүйесіне, шығармашылық ... ... және ... көңіл-
күйді көрсете білуге, ерікті қарым-қатынасқа педагогикалық бейімделген
тұлғаны қалыптастыру ... ... ... ... ... ... және тұлғалық
түрлеріне ерекше мән беріледі.
Математикалық есептерді шығара ... ... және одан әрі ... - мұғалімдер алдында тұрған өте қиын да жауапты жұмыс. ... ... ... ... мен ... ... ... есептердің саны шексіз көп. Есеп ... ... ... ... ... ... өту кезінде болатындықтан, барлық
оқушыларды есеп шығарудың жалпы әдіс-тәсілдерімен қаруландыру керек. ... ... үшін ... есеп ... процесіндегі іс-әрекеттерін
басқарып, жұмысты белгілі бір жүйемен жүргізген жөн.
Оқушының есеп ... ... оның осы ... ... ... белгілі бір системасын құрайды. Оқушыларға ... ... әр ... де ол үшін қарапайым, бір мағыналы, оңай орындалатын болып
келмейді. Бұл ... ... кез ... ... істі ... нақты,
белгілі әдіспен оңай орындалатын және оқушылар оқып үйренудің осы сатысында
орындай алатын амалдардың құрылымы ... ... ... деп ұйғарғаны
жөн. Содан кейін бұл ұйғарымды іске асыруға, яғни күрделі істі қарапайым,
оңай-орындалатын ... ... ... ... істі ... құрылымы табылды деуге болады, егерде сол істі орындауға қажетті
қарапайым амалдардың бәрін ... ... ... ... ... де ... Сонан соң мұғалім осы табылған амалдар жүйесін ... ... ... есеп ... жалпыланған қорытынды білігін (обобщенное
умение) қалыптастыру деп оларды өз бетімен есеп ... ... ... ... өзіндік жұмысы оларды есептер шығара білуге үйрету
сүлбісінің негізі болуға тиіс.
Оқушыларды есептер шығара ... ... ... ... ... тиіс, яғни мұғалім ұсынған әдісті сол күйінде қолдануға жол бермей,
есепті шығару жолын іздеп табу ... ... ... ... ... ... ... болғаны жөн.
Диплом жұмысында жинақталған материалдарды мектеп мұғалімдеріне, жас
мұғалімдерге, жоғары курс ... және ... ... ... ... болады.
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
1.Әбілқасымова А.Е. және басқалар. Математиканы оқытудың ... ... ...... Б. ... ... шығаруға үйрету. Алматы–1983.
3.Васильевский А.Б. Обучение решению задач по ... - ... ... Л.М. ... ... ... ... задач. -
Москва: «Педагогика», 1977.
5. Мұқанов М. Ақыл-ой өрісі. Алматы:Қазақстан, 1980.-172б.
6. Қ.И.Қаңлыбаев. «Геометриялық түрлендірулер».Алматы:РБК.2001.
7. ... В.Б., ... Е.М., Якир М.С. ... ... задачи по
геометрии. Учебно-методическое пособие.-К.: «Магистр», 1996.-256б.
8. С.И.Зетель. Задачи на максимум и минимум. Москва, 1958.
9. И.Абельсон . Максимум и ... ... ... В.А.Крутецкий, Психология математической способности школьников:
Книга для учителя.-М:Педагогика.1968.-180б.
11.Қазақстан өз дамуындағы жаңа ... ... ... ... бәсекеге барынша қабілетті 50 елдің қатарына кіру стратегиясы ... ... ... Қазақстан халқына жолдауы //Сыр бойы, -2006,-
3 наурыз, - ... ... орта ... беру ... ... ... А.В.Погорелов. Геометрия 7-11. «Просвещение», 1985
14. Л.С.Атанасян. Геометрия 7-9. Алматы, «Рауан»,1992
15. Педагогикалық энциклопедия. Алматы, «Рауан»,1990
16. ... ... ... есептерін шығару
эдістерін оқыту.// II халықаралық конфер. мат. Павлодар қаласы, 2005 ... ... ... ... теңдіктер мен теңсіздіктерді
бағалау арқылы шығару.//ІІ халықаралық конференция
материалдары. Көкшетау қаласы, 2005 ж.
18. ... ... ... есептерін Чева
теоремасын қолданып шығару эдістері. //II Республикалық конференция
материалдары. Тараз қаласы, 2005 ж.
-----------------------
Есеп
Есепті талдау
Шығару тәсілін іздестіру
Есепті схемалық түрде жазу
Есепті зерт- теу
Шығару ... ... ... жүзеге асыру
Тексеру
Жауап
1 мен 2 бірігіп, 12 сағ
{1-ші содан соң 2-ші 25 сағ}
В1
В
С
А
А1
α
β
2R
X
Y
2-сурет

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 47 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Бейнелеу өнері арқылы мектеп жасына дейінгі балалардың шығармашылық қабілетін дамыту63 бет
Мектеп жасына дейінгі балаларды жапсырмалауға үйрету арқылы шығармашылығын дамыту26 бет
Экономикалық тиімділік және оның көрсеткіштері13 бет
Сүт өнімі туралы мәлімет41 бет
Delphi бағдарламалық ортасында «Pascal бағдарламалау тілінде файлдармен жұмыс істеу» электрондық оқу құралынжасап шығару19 бет
Mathcad-та қолданбалы математикалық есептерді шығару жолдары8 бет
N сызықты теңдеулерден тұратын жүйенің жауабын табатын программа құру15 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
Turbo Pascal - дағы енгізу және шығару операторлары26 бет
Word редакторында құжатты басып шығару13 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь