Геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығару әдістері
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
1 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУДІҢ ҒЫЛЫМИ.ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Геометрия ғылымының даму кезеңдеріне жалпы шолу ... ... ... .. 7
1.2 Есептердің түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 15
1.3 Есеп шешуге үйрету әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
2 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ ЖӘНЕ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ
2.1 Геометриялық есептердің түрлері және шешу әдістері ... ... ... 26
2.2 Геометрия есептерін шешу ізденістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2.3 Есептеп табуға арналған геометриялық есептерді алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 42
2.3.1 Геометрияның экстремумдық есептері және оларды шешу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 53
2.3.1.1Квадраттық функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға арналған тұжырымды пайдалану ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 56
2.3.1.2 Теңдіктер мен теңсіздіктерді бағалау арқылы шығару ... ... ... ... ... 61
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 66
1 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУДІҢ ҒЫЛЫМИ.ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Геометрия ғылымының даму кезеңдеріне жалпы шолу ... ... ... .. 7
1.2 Есептердің түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 15
1.3 Есеп шешуге үйрету әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
2 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ ЖӘНЕ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ
2.1 Геометриялық есептердің түрлері және шешу әдістері ... ... ... 26
2.2 Геометрия есептерін шешу ізденістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2.3 Есептеп табуға арналған геометриялық есептерді алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 42
2.3.1 Геометрияның экстремумдық есептері және оларды шешу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 53
2.3.1.1Квадраттық функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға арналған тұжырымды пайдалану ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 56
2.3.1.2 Теңдіктер мен теңсіздіктерді бағалау арқылы шығару ... ... ... ... ... 61
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 66
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.
Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп – басты қызметші болып табылады /1/. Есептің негізгі міндеттері: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін орындайды. Басқаша айтқанда, кез келген есепті шығарғанда оқушы математикалық білім алады, шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни математикалық білім деңгейі жоғарылайды. Көбінесе әр есеп өзінің мазмұны арқылы тәрбиелік міндетін атқарады. Мысалы, қоғам дамуының әртүрлі кезеңдеріне байланысты, есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде есептер жинағы көпестердің сауда-саттығын, арзанға сатып алу, керісінше қымбатқа сату, құмарлық ойындарында ұту т.с.с. мазмұнды болды. Қазіргі оқулықтарда есеп мазмұны оқушылардың жоғарғы моральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми көзқарастарын дамытуға, интернационалдық және патриоттық рухта тәрбиелеуге негізделген. Оқушыларды есеп мазмұны арқылы ғана тәрбиелеп қоймай, оларды есеп шығаруға үйретуде тәрбиелеу болып саналады. Есеп шығару оқушылардың сөйлеу мәдениетіне, мінез-құлқының қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа, бастаған істі аяғына дейін жеткізу, қиындықты жеңе білу сияқты қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпалын тигізетіні аян.
Бұл жұмыс геометриялық есептерді шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне: алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығаруға арналды.
Геометриялық есептерді шешу мектептегі геометрия курсының маңызды тақырыптарының бірі. Себебі, көптеген табиғи процестер мен құбылыстар, т.с.с. оқытудың мазмұны пәнаралық байланыстар және пәннің ішкі байланыстарын қамтамасыз ету мақсатында, көбіне қоршаған ортаны
математика тілімен зерттеу, түсіну мақсатында жинақталады. Мектеп
оқушыларын осындай практикалық дайындықта тәрбиелеудің ең негізгі
түрі геометриялық материалдарды оқыту болып табылады /1/.
Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп – басты қызметші болып табылады /1/. Есептің негізгі міндеттері: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін орындайды. Басқаша айтқанда, кез келген есепті шығарғанда оқушы математикалық білім алады, шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни математикалық білім деңгейі жоғарылайды. Көбінесе әр есеп өзінің мазмұны арқылы тәрбиелік міндетін атқарады. Мысалы, қоғам дамуының әртүрлі кезеңдеріне байланысты, есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде есептер жинағы көпестердің сауда-саттығын, арзанға сатып алу, керісінше қымбатқа сату, құмарлық ойындарында ұту т.с.с. мазмұнды болды. Қазіргі оқулықтарда есеп мазмұны оқушылардың жоғарғы моральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми көзқарастарын дамытуға, интернационалдық және патриоттық рухта тәрбиелеуге негізделген. Оқушыларды есеп мазмұны арқылы ғана тәрбиелеп қоймай, оларды есеп шығаруға үйретуде тәрбиелеу болып саналады. Есеп шығару оқушылардың сөйлеу мәдениетіне, мінез-құлқының қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа, бастаған істі аяғына дейін жеткізу, қиындықты жеңе білу сияқты қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпалын тигізетіні аян.
Бұл жұмыс геометриялық есептерді шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне: алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығаруға арналды.
Геометриялық есептерді шешу мектептегі геометрия курсының маңызды тақырыптарының бірі. Себебі, көптеген табиғи процестер мен құбылыстар, т.с.с. оқытудың мазмұны пәнаралық байланыстар және пәннің ішкі байланыстарын қамтамасыз ету мақсатында, көбіне қоршаған ортаны
математика тілімен зерттеу, түсіну мақсатында жинақталады. Мектеп
оқушыларын осындай практикалық дайындықта тәрбиелеудің ең негізгі
түрі геометриялық материалдарды оқыту болып табылады /1/.
1.Әбілқасымова А.Е. және басқалар. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі. Алматы – 1998.
2.Баймуханов Б. Математика есептерін шығаруға үйрету. Алматы–1983.
3.Васильевский А.Б. Обучение решению задач по математике. - Минск – 1988.
4.Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. - Москва: «Педагогика», 1977.
5. Мұқанов М. Ақыл-ой өрісі. Алматы:Қазақстан, 1980.-172б.
6. Қ.И.Қаңлыбаев. «Геометриялық түрлендірулер».Алматы:РБК.2001.
7. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии. Учебно-методическое пособие.-К.: «Магистр», 1996.-256б.
8. С.И.Зетель. Задачи на максимум и минимум. Москва, 1958.
9. И.Абельсон . Максимум и минимум. Москва, 1958.
10. В.А.Крутецкий, Психология математической способности школьников: Книга для учителя.-М:Педагогика.1968.-180б.
11.Қазақстан өз дамуындағы жаңа серпіліс жасау қарсаңында Қазақстанның әлемдегі бәсекеге барынша қабілетті 50 елдің қатарына кіру стратегиясы . ҚР Президенті Н.Назарбаевтың Қазақстан халқына жолдауы //Сыр бойы, -2006,-3 наурыз, - 1-3б.
12. Қазақстанда орта білім беру стандарты. Алматы, «Рауан»,1998
13. А.В.Погорелов. Геометрия 7-11. «Просвещение», 1985
14. Л.С.Атанасян. Геометрия 7-9. Алматы, «Рауан»,1992
15. Педагогикалық энциклопедия. Алматы, «Рауан»,1990
16. З.Т.Сейілова. Геометрияның экстремумдық есептерін шығару
эдістерін оқыту.// II халықаралық конфер. мат. Павлодар қаласы, 2005 ж.
17. З.Т.Сейілова. Геометриялық есептерді теңдіктер мен теңсіздіктерді бағалау арқылы шығару.//ІІ халықаралық конференция
материалдары. Көкшетау қаласы, 2005 ж.
18. З.Т.Сейілова. Геометрияның экстремумдық есептерін Чева
теоремасын қолданып шығару эдістері. //II Республикалық конференция
материалдары. Тараз қаласы, 2005 ж.
2.Баймуханов Б. Математика есептерін шығаруға үйрету. Алматы–1983.
3.Васильевский А.Б. Обучение решению задач по математике. - Минск – 1988.
4.Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. - Москва: «Педагогика», 1977.
5. Мұқанов М. Ақыл-ой өрісі. Алматы:Қазақстан, 1980.-172б.
6. Қ.И.Қаңлыбаев. «Геометриялық түрлендірулер».Алматы:РБК.2001.
7. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии. Учебно-методическое пособие.-К.: «Магистр», 1996.-256б.
8. С.И.Зетель. Задачи на максимум и минимум. Москва, 1958.
9. И.Абельсон . Максимум и минимум. Москва, 1958.
10. В.А.Крутецкий, Психология математической способности школьников: Книга для учителя.-М:Педагогика.1968.-180б.
11.Қазақстан өз дамуындағы жаңа серпіліс жасау қарсаңында Қазақстанның әлемдегі бәсекеге барынша қабілетті 50 елдің қатарына кіру стратегиясы . ҚР Президенті Н.Назарбаевтың Қазақстан халқына жолдауы //Сыр бойы, -2006,-3 наурыз, - 1-3б.
12. Қазақстанда орта білім беру стандарты. Алматы, «Рауан»,1998
13. А.В.Погорелов. Геометрия 7-11. «Просвещение», 1985
14. Л.С.Атанасян. Геометрия 7-9. Алматы, «Рауан»,1992
15. Педагогикалық энциклопедия. Алматы, «Рауан»,1990
16. З.Т.Сейілова. Геометрияның экстремумдық есептерін шығару
эдістерін оқыту.// II халықаралық конфер. мат. Павлодар қаласы, 2005 ж.
17. З.Т.Сейілова. Геометриялық есептерді теңдіктер мен теңсіздіктерді бағалау арқылы шығару.//ІІ халықаралық конференция
материалдары. Көкшетау қаласы, 2005 ж.
18. З.Т.Сейілова. Геометрияның экстремумдық есептерін Чева
теоремасын қолданып шығару эдістері. //II Республикалық конференция
материалдары. Тараз қаласы, 2005 ж.
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 54 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 54 бет
Таңдаулыға:
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Қорқыт Ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университеті
Гуманитарлық-педагогикалық институты
Физика және математика кафедрасы
Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі _____________ Б.Қ.Қалиев
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық
теңдеулер құру арқылы шығару әдістері.
050109 – Математика мамандығы бойынша
Орындаған:
Қызылорда, 2013 ж.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ...
1 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУДІҢ ҒЫЛЫМИ-ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Геометрия ғылымының даму кезеңдеріне жалпы шолу 7
... ... ... ..
1.2 Есептердің түрлері 15
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ...
1.3 Есеп шешуге үйрету әдістемесі 19
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ..
2 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ ЖӘНЕ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ
2.1 Геометриялық есептердің түрлері және шешу әдістері ... ... ... 26
2.2 Геометрия есептерін шешу ізденістері 35
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..
2.3 Есептеп табуға арналған геометриялық есептерді алгебралық және 42
тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шешу
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... .
2.3.1 Геометрияның экстремумдық есептері және оларды шешу 53
әдістері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ...
2.3.1.1Квадраттық функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға 56
арналған тұжырымды пайдалану ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.3.1.2 Теңдіктер мен теңсіздіктерді бағалау арқылы шығару 61
... ... ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ 64
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ..
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 66
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...
КІРІСПЕ
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан
кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне
байланысты бағаланады.
Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі
мектептің алдына қойылған мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп
мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге
жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта мектеп
бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына
жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке
тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп – басты қызметші
болып табылады 1. Есептің негізгі міндеттері: оқыту, тәрбиелеу, дамыту
және бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін орындайды.
Басқаша айтқанда, кез келген есепті шығарғанда оқушы математикалық білім
алады, шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни
математикалық білім деңгейі жоғарылайды. Көбінесе әр есеп өзінің мазмұны
арқылы тәрбиелік міндетін атқарады. Мысалы, қоғам дамуының әртүрлі
кезеңдеріне байланысты, есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде
есептер жинағы көпестердің сауда-саттығын, арзанға сатып алу, керісінше
қымбатқа сату, құмарлық ойындарында ұту т.с.с. мазмұнды болды. Қазіргі
оқулықтарда есеп мазмұны оқушылардың жоғарғы моральдық қасиеттерін
қалыптастыруға, ғылыми көзқарастарын дамытуға, интернационалдық және
патриоттық рухта тәрбиелеуге негізделген. Оқушыларды есеп мазмұны арқылы
ғана тәрбиелеп қоймай, оларды есеп шығаруға үйретуде тәрбиелеу болып
саналады. Есеп шығару оқушылардың сөйлеу мәдениетіне, мінез-құлқының
қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа, бастаған істі аяғына дейін
жеткізу, қиындықты жеңе білу сияқты қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпалын
тигізетіні аян.
Бұл жұмыс геометриялық есептерді шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне:
алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығаруға арналды.
Геометриялық есептерді шешу мектептегі геометрия курсының маңызды
тақырыптарының бірі. Себебі, көптеген табиғи процестер мен құбылыстар,
т.с.с. оқытудың мазмұны пәнаралық байланыстар және пәннің ішкі
байланыстарын қамтамасыз ету мақсатында, көбіне қоршаған ортаны
математика тілімен зерттеу, түсіну мақсатында жинақталады. Мектеп
оқушыларын осындай практикалық дайындықта тәрбиелеудің ең негізгі
түрі геометриялық материалдарды оқыту болып табылады 1.
Геометрия - бұл түсінудің әдісі ойлау түрі, әрі ғылым мен
техниканы меңгерудің тілі десе де болады. Геометриялық білімнің
қолданылу мәнін үйрену әртүрлі мамандықтарды игеруде кеңістік ойлау
қабілеттілігінен туындайды.
Оқытуда негізгі екі геометриялық бағыт бар, оның біріншісі
фигуралардың және денелердің түріне байланысты теңдіктер белгісін
ажырату және нүктелер, түзулер, жазықтықтардың өзара байланысын
анықтау болады. Ал, екіншісі геометриялық фигуралар мен денелерге
әртүрлі өлшеу жұмыстарын жүргізуге байланысты. Оқушылар
геометриялық шамалармен (ұзындық, бұрыш, аудан, көлем) танысады,
фигуралар элементтерінің өзара байланысын білдіретін сандық
мінездеушілеріне қатысты формулаларды пайдаланып есептер шығаруға
үйренеді, есеп шығару барысында олар дәлелді талқылауларды үйреніп,
логикалық ойлау қабілеттерін жетілдіреді.
Педагогикалық энциклопедияда есептің негізгі сипаттамасы
былайша келтірілген 2: оқушыда белгілі бір мақсаттың, қандай да
бір сұрақтың жауабын алу үшін ұмтылушылықтың күткен қорытындыға
жетудегі табандылықтың болуы, есепті шешуге қажетті бар шарттары мен
қойылған талаптарды есепке алу, осы мақсат пен шартқа сәйкес әдіс-
тәсілді қолдану делінсе, математиканы оқытуға арналған есептерге
мынадай анықтама беріледі: Математикалық есеп дегеніміз -
математикадағы заңдылықтар, ережелер және әдіс-тәсілдер негізінде
оқушылардан ой мен практикалық іс-әрекетті талап ететін және
математикалық білімдерді меңгеруге, оларды практикада қолдана білуге
дағдыландыруға, ойлау қабілетін дамытуға багытталған ахуал.
Есеп ұғымын анықтауда ғалымдар арасында бірнеше көзқарастар болған.
Есеп дегеніміз не? деген сұраққа белгілі әдіскер В. М. Брадис 3 былай
дейді: Есеп деп өтілген курстан қандай да бір анықтаманы, текстіні немесе
теоремалардың дәлелдеуін, аксиомалар немесе ережелердің тұжырымдалуын жай
ғана қайталап келтіру оған жауап беруге жеткіліксіз болатын кез келген
математикалық сұрақты айтамыз.
Демек, есеп шығару математикалық ұғымдарды қалыптастырып,
байытуға, оқушылардың математикалық ойлауын өрістетуге, білімдерін
практикада қолдануға, табандылық, ізденгіштік, еңбексүйгіштік
қасиеттерін тәрбиелеуге жол ашады.
Осыған жақын анықтаманы математикадан білім беру жөніндегі
халықаралық комиссияда жасалған америка өкілінің баяндамасынан да
кездестіруге болады: Математикалық есеп — жауабы бірден тікелей немесе
белгілі бір схеманы қолдану арқылы табылмайтын математикалық сұрақ 4.
Есеп жайлы айтылған анықтамаларды талдай отырып, математиканы оқытуға
арналған есептерге әдіскер Б.Б.Баймұқанов 5 мынадай анықтама берген:
математикалық есеп дегеніміз —математикадағы заңдылықтар, ережелер және
әдіс-тәсілдер негізінде оқушылардан ой мен практикалық іс-әрекетті талап
ететін және математикалық білімдерді меңгеруге, оларды практикада қолдана
білуге дағдыландыруға, ойлау қабілетін дамытуға бағытталған ситуация.
Математикалық есептерді шығара білуге үйрету және оған
дағдыландыру үшін олардың есеп шығару процесіндегі іс-әрекеттерін
басқарып, жұмысты белгілі бір жүйемен жүргізген жөн. Оқушыларды
есепті шығара білуге үйрету процесі шығармашылық сипатта болуға тиіс.
Ал шығармашылық-зерттеушілік қызметтің бір формасы, оқушылардың
зерттеушілік қабілеттерінің дамуы жайлы келелі мәселелерінің құрамды
бөлігі болып табылады.
Мектеп математика курсында зерттеу сөзімен байланысты көптен
бері қалыптасқан тараулар мен есептер тобы да бар. Геометриялық
есептерді шешу барысында оның шартын өзгерту арқылы әртүрлі зерттеу жұмысын
жүргізуге болады. Есеп шартында қолданылмаған ақпаратты зерттеп, ойымызды
дамытатын басқа да есептер құрастыруға болады. Мұндай зерттеуге
келтірілетін есептер жазықтықтағы салу және кеңістіктегі салулар болып
табылады. Жазықтықтағы салулар белгілі аспаптардың көмегімен салынатын
болса, кеңістікте мұндай салу аспаптары жоқ, тек аксиомалардың көмегімен
салу, түрлендіру, есептері күрделі қатынастарды есептеуге берілген есептер
зерттеудің қайнар көзі.
Сонымен сіздердің назарларыңызға геометриялық есептердің түрлері және
оларды шешу әдістеріне тоқталып: алгебралық, тригонометриялық теңдеулер
құру арқылы шешу жолдарын ұсынамыз. Бұл ізденіс жұмысының мазмұны, болашақ
мамандардың шығармашылық шыңдалуы үшін маңызды. Себебі қазірде мектеп
геометрия курсының есептерін шығару жүйелі түрде ұйымдастырылмаған.
Сондықтан, дипломдық жұмыстың тақырыбын Геометриялық есептерді
алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығару әдістері деп
және ізденістерді осы мазмұндарды ашуға арнаймыз.
Дипломдық жұмыстың мақсаты – геометриялық есептерді алгебралық,
тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығару әдістерін терең оқып үйрену.
Дипломдық жұмыстың міндеті - геометриялық есептерді шығару әдістерін
зерделеу.
Жоғарыда көрсетілген мақсаттарға жетіп, міндеттерді орындау үшін
көптеген ғалымдар мен әдіскерлердің жұмыстарына шолулар мен талдаулар
жүргізілді. Әсіресе, геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық
теңдеулер құру арқылы шығарудың негізгі әдістері жан-жақты қарастырылған
әдебиеттерге 2, 3, 4, 5 шолу жасап және осы бағытта жинақталған іс-
тәжірибелерді 6, 7 басшылыққа алдық.
Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан, пайдаланылған
әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУДІҢ ҒЫЛЫМИ-ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Геометрия ғылымының даму кезеңдеріне жалпы шолу
Геометрия (гр. геометріа, ге — Жер және метріо — өлшеймін) —
математиканың кеңістіктік пішіндер (формалар) мен қатынастарды, сондай-ақ,
оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін саласы.
Фигуралар кеңістіктік пішіндер болып есептеледі. Геометрия тұрғысынан сызық
— “сым” емес, шар — “домалақ дене” емес, олардың барлығы да — кеңістіктік
пішіндер. Ал кеңістіктік қатынастар — фигуралардың мөлш. мен орналасуын
анықтайды. Мысалы, центрлері ортақ, радиустары 3 см және 5 см шеңберлер
қиылыспайды, “біріншісі екіншісінің ішінде жатады” дегенде — шеңберлердің
мөлш. мен орналасуы жөнінде айтылып тұр. Мұнда бірінші шеңбер — кішісі,
екіншісі — үлкені, біріншісі екіншісінің ішінде орналасқан. Осыған орай
кеңістіктік қатынастар “үлкен”, “кіші”, “ішінде”, “сыртында” сөздері арқылы
анықталған. “Тең”, “параллель”, тағыда басқа сөздер де кеңістіктік
қатынастарды сипаттайды3.
“Геометрия” атауы дәл аударғанда “жер өлшеу” болады. Бұл ғылымның
алғашқы нұсқалары Ежелгі Мысыр (Египет) елінде шыққан. “Жер учаскелерін
өлшеу нәтижесінде — деп жазған біздің заманымыздан бұрын 4 ғасырда өмір
сүрген грек математигі Евдем, — мысырлықтар Геометрия ғылымын шығарды”. Жер
өлшеу өнерін мысырлықтардан үйренген ежелгі гректер оны алғашқы кезде өз
тілінде “Геометрия” деп атаған. Осы сөз кейін көптеген халықтардың тіліне
еніп, ғыл. термин болып кеткен. Геометрия заңдылықтарын жер учаскелерін
өлшеуде қолдануға әбден болады, бірақ Геометрияның негізгі арнасы ол емес.
Геометрияда қолданылатын мәселелер сан алуан. Сондықтан Геометрия ерте
заманның өзінде-ақ кеңістіктік пішіндер мен қатынастар жөніндегі ғылым
ретінде қалыптасқан. Жер өлшеу ғылымын, соңғы мағынадағы Геометриядан
айырып айту үшін, Аристотель геодезия деп атаған. Геометрияны тек жер өлшеу
жұмыстары ғана тудырған жоқ. Бұл бағытта ғылыми-практикалық деректердің
молайып, қорлануына үй, көпір, пирамида, әскери бекіністер, тағыда басқа
құрылыстар салу, арналар қазу, ыдыстардың сыйымдылығын өлшеу, құрылыстарға
қажетті материалдардың шамасын алдын ала есептеу елеулі әсер етті.
Геометрия ұғымдары дүниеде кездесетін заттардың дербес физикалық
қасиеттерін еске алмай, абстракциялап (яғни, дерексіздендіріп), олардың тек
мөлшері мен өзара орналасуын ғана қарастыру нәтижесінде пайда болған.
Қалыпқа салынып соғылған кірпіштердің, құрылысқа арналып шабылған қырлы
тастардың, шеберлердің кесіп, сүргілеп тегістеген бұйымдарының сыртқы
тұрпаты — пішіні бірдей болады. Мұндай пішін төрт бұрышты призма деп
аталады. Үш бұрышты, бес бұрышты, тағыда басқа призмалар болады.
Геометрияда призманың қандай материалдан жасалғандығы есепке алынбайды,
оның тек мөлшері мен орналасуы ғана зерттеледі. Цилиндр, конус, шар,
Геометрия ұғымдар да осылай қалыптасқан. Сонымен геометриялық денелер —
темп-расы, массасы, жасалған материалы мен жеке қасиеттері қарастырылмайтын
физыкалық денелер денелер.
Дененің шекарасы — бет. Ол денені қаптап, қоршап, шектеп, кеңістіктен
бөліп тұрады. Бет шектеусіз жұқа болып есептеледі. Жіңішке жіп, бір тал
қыл, сәуле, сым, тағыда басқа негізінде шектеусіз жіңішке сызық ұғымы
шыққан. Геометриялық денелерді ойша топшылап, шектеусіз кішірейте беруге
болады. Осыдан нүкте ұғымы шығады. Нүкте дененің әбден кішірейіп, тоқтаған
шектік жағдайы деп есептеледі. Геометрия тұрғысынан алғанда нүктені одан
әрі кішірейтуге болмайды. Геометриялық денелердің, беттердің, сызықтардың
және нүктелердің кез келген жиыны фигура деп аталады. Айтылып отырған
негізгі ұғымдар — нүкте, сызық, бет, дене дүниедегі заттардан (яғни,
материядан) алынған. Бірақ материяның физ. қасиеттерінен абстракцияланған.
Мысалы, призма жөніндегі теоремаларды ағаштан, тастан, металдан жасалған
призмалардың бәріне де және әрдайым қолдана беруге болады. Геометрия
алғашқы кезде фигуралардың мөлшерлерін, өзара орналасу тәртібін, бір түрден
екінші түрге көшу жолдарын зерттейтін ғылым болды. Онда фигуралардың
түрлендірілуі берілген фигура мен кейін пайда болған фигураның арасындағы
белгілі бір қатынастар ретінде түсіндірілді. Мұндай түсінік осы күнгі
Геометрияда да бар. Алайда қазіргі Геометриябайырғы түсініктер шебінен ұзап
шығып кетті. Соңғы ғасырларда Геометрияның үйреншікті ұғымдары мен
қағидаларын талдау, жалпылау, жартылай өзгерту және одан әрі абстракциялау
нәтижесінде математиканың бірталай жемісті теориялары шықты. Геометрияның
жаңа салаларының көпшілігі ертеде қалыптасқан дәстүрлі салаларына мүлдем
ұқсамайды. Мысалы, Риман кеңістігіндегі “ара қашықтық”, Гильберт
кеңістігіндегі “призма” ұғымдарын, жалпы түрде алғанда, ешқандай сурет,
модель бойынша сипаттауға болмайды. Оларды дүниеде кездесетін нақты
нәрселердің пішіндері мен қатынастары арқылы түсіндіру өте қиын. Сөйтсе де,
Геометрияның байырғы салалары жаңа салаларының қарапайым дербес көріністері
болып табылады. Сөз болып отырған жаңа теориялардың қайшылықсыздығы мұқият
дәлелденген және олар күмәнсіз. Соңғы салалар да, тарихи жағынан Геометрия
шаңырағының астында туғандықтан және олардың заңдары бұрынғы Геометрияның
заңдарына сырттай ұқсас болғандықтан, Геометрияға жатқызылады. Сөйтіп,
Геометрияның өрісі мүлдем кеңейіп кетті. Оның жоғарыда келтірілген
анықтамасына “сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды
зерттейтін” деген сөздер сондықтан қосылған. Осылай кең мағынада түсінген
жағдайда ғана Геометрия математиканың көптеген саласымен астасып жатады.
Геометрия — ерте замандарда шыққан ғылымдардың бірі, оның тарихы да
әріректен басталады. Сапалық өзгерістерге ұшырап, жаңа сатыларға көтерілу
дәрежесіне қарай Геометрияның даму жолын 4 дәуірге бөлуге болады.
Бірінші дәуір өте ерте заман мен біздің заманымыздан бұрын 5 ғасыр
аралығын қамтиды. Бұл дәуірдің басталған уақытын кесіп айтуға болмайды.
Қарапайым Геометриялық ұғымдар әр кезде және әр жерде шыққан. Алғашқы
мәліметтер Ежелгі Шығыс елдерінде — Мысыр мен Вавилонда, Грекияда,
кейінірек Үндістанда пайда болған. Ертедегі мысырлықтар Нілдің жағасындағы
құнарлы топыраққа бидай егіп күнелткен. Ніл жыл сайын тасып, жағадағы
учаскелердің белгіленген шекараларын бұзып кетіп отырған. Ал шаруалар су
қайтқан сайын өз жерлерін өлшеп барып, айырып алатын болған. Учаскелердің
ұзындығын, енін, жиек сызығын үнемі өлшеу нәтижесінде қарапайым ережелер
пайда болған. Нілдің таситын және қайтатын уақыттарын бақылау нәтижесінде
Мысыр күнтізбесі шыққан. Уақыт есебі жұлдыздардың өзара және көкжиекпен
жасайтын бұрыштарын (бұл бұрыштардың төбелері бақылаушы тұрған жерде
болады) өлшеуді қажет етеді. Мысыр патшалары — перғауындар (фараондар)
өздеріне ескерткіш және зират ретінде, тірі күндерінде, зәулім құрылыстар —
пирамидалар салдырған. Пирамида салу жұмыстары өлшеу әдістерін бірсыдырғы
жүйеге келтіре отырып, кеңістіктік Геометрия мен механиканың дамуына ықпал
етті. Бізге жеткен матем. папирустар Ежелгі Мысыр математикасының бертінгі
ғасырларына жатады. Папирустардағы аудан мен көлем жөніндегі есептердің
көпшілігі дұрыс шығарылған. Бірақ ережелердің ешқайсысы дәлелденбеген.
Үшбұрыштың, трапецияның, дөңгелектің ауданы жуық түрде есептелген,
табандары квадрат болып келген қиық пирамиданың көлемі дәл табылған. Ежелгі
Вавилон Геометриясының деректері балшықтан иленіп жасалған тақташаларға
жазылып қалған. Оларға қарағанда ұзындық, аудан, көлем жөніндегі
мысырлықтар білген есептерді вавилондықтар да шығара білген. Вавилондықтар
кейбір дұрыс көпбұрыштарды, қиық конусты, тағыда басқа қарастырған,
шеңберді 360 градусқа бөлуді шығарған, есептерді теңдеулерге келтіруді
жақсы білген, Геометрияны астрономияға қолдана бастаған. Вавилондықтарға
Пифагор теоремасы да белгілі болған. Кейбір Геометриялық деректер Ежелгі
Үндістан мен Қытайда да кездеседі. біздің заманымыздан бүрын 7—6 ғасырларда
гректердің арасынан ғылыммен арнайы шұғылданатын, табиғат құбылыстарын
зерттейтін оқымыстылар шықты. Олардың кейбіреуі білім іздеп, ел кезіп,
көрші халықтардың тұрмысымен, ғыл.-мәдени табыстарымен танысып, саяхаттар
жасады, Мысыр мен Вавилонға барып жүрді. Өндіргіш күштердің дамуы, нақты
фактілердің молаюы, оқымыстылардың ой өрісінің өсуі матем. сөйлемдерді
тексеру және дәлелдеу әдістерін тудырды. Мысалы, радиусы р-ге тең
дөңгелектің ауданын мысырлықтар 256 р2 : 81 деп, вавилондықтар 3 р2 деп
есептеген. Осылардың дұрысын таңдап алу үшін тиісті сөйлемді — теореманы
дәлелдеу керек болды. Бірталай теоремаларды Фалес, Пифагор, Гиппократ,
Демокрит дәлелдеді. Дәлел-демелердің дұрыс қалыптасуына философия ғылымының
да ықпалы болды. Сөйтіп, біздің заманымыздан бұрын 5 ғасырда Геометрия
өзіне тән ұғымдары мен әдістері бар жүйелі ғылым дәрежесіне көтерілді. Осы
дәуірдің аяғында Гиппократ, Феодесий, тағыда басқа “Геометрия негіздері”
деген атпен көлемді кітаптар жазды. Екінші дәуірдің басы болған Евклид
еңбектері шыққанда бұл кітаптар кейін ысырылып, ақыры мүлде ескерусіз қалып
қойды.
Екінші дәуір — Евклидтен Р. Декартқа дейінгі кезең; ол 2 мың жылға
созылды. Евклид Геометрияның өзіне дейінгі табыстарын жинап, талдап,
қорытып, бір ізге түсіріп, біздің заманымыздан бұрын 300 жылы шамасында
“Негіздер” атты, 13 бөлімнен құралған шығарма жазды. Онда Геометрия
аксиомалар мен қағидалар (постулаттар) негізінде логикалық жолмен құрылған
жүйелі дедуктивтік ғылым (кеңістіктік пішіндер мен қатынастар туралы ғылым)
дәрежесінде баяндалды. “Негіздерде” 121 анықтама, 5 қағида, 9 аксиома, 373
теорема келтірілген. Осы күнгі элементар Геометрия, жалпы алғанда, Евклид
қалыбынан шыққан. Геометрияға Архимед пен Аполлоний де ірі үлес қосты.
Бұлардың біріншісі — дөңгелектің, парабола сегментінің ауданы, пирамиданың,
конустың және шардың көлемі жөніндегі теоремаларды, тағыда басқа
тұжырымдады, ал екіншісі — конустық қималарды мұқият зерттеп, құнды ғыл.
мұра қалдырды. Астрономиямен шұғылданған — Гиппарх, К. Птолемей, Менелай,
тағыда басқа сфералық Геометрия мен тригонометрияны қалыптастырды. Евклид,
Архимед, Аполлоний заманы грек геометриясының “алтын ғасыры” болған еді.
Одан кейін Грекияның ғылымы мен мәдениеті құлдырай бастады. Орта ғасырларда
элементар Геометрия Үндістанда, Орта Азияда, араб елдерінде дамыды. Орта
Азия мен Қазақстан оқымыстыларынан Геометриямен шұғылданғандар: Ғаббас әл-
Жауїари, Әбу Наср әл-Фараби, Әбу Райхан әл-Бируни, Ғийас әд-Дин Жәмшид әл-
Кәши, тағыда басқа болды. Екінші дәуірдің аяғында Геометрия Батыс Еуропада
жандана бастады. Бұл кезде И. Кеплер мен итальян математигі Б. Кавальеридің
(1598 — 1647) еңбектері тарихи белес болды.
Үшінші дәуір Р. Декарттан Н.И. Лобачевскийге дейінгі 200 жылды
қамтиды. Бұл дәуірде аналит., проективтік және дифференциалдық Геометриялар
пайда болды. Аналитикалық геометрия координаттар әдісіне сүйенеді. Онда
нүктенің орны сандар арқылы, ал сызықтар мен беттер теңдеулер арқылы
анықталады. Геометрияның бұл саласының іргесін Декарт пен француз
математигі П. Ферма (1601 — 65) қалады, ал оны француз математигі А. Клеро
(1713 — 65) мен Л. Эйлер кемелдендірді. Фигураларды проекциялар арқылы
түрлендіру жолдарын зерттеу нәтижесінде проективтік Геометрия қалыптасты.
Бұл бағытта француз математигі Ж. Дезарг (1593 — 1662), Б. Паскаль, француз
математигі Ж. Понселе (1788 — 1867), неміс математигі К. Штаудт (1798 —
1867), швейцар математигі Я. Штейнер (1796 — 1863) жемісті еңбек етті.
Кеңістіктегі фигураны жазықтықта кескіндеу жолдарын талдап, француз
математигі Г. Монж (1746 — 1811) сызба Геометрияны жасады. Сызба Геометрия
проективтік Геометрияның тарауы болып саналады. Эйлер мен Монж
дифференциалдық есептеу әдістерін Геометрияға қолдана бастаған болатын. К.
Гаусс бұл мәселені одан әрі дамытып, классикалық дифференциалдық
геометрияны қалыптастырды. Дифференциалдық Геометрия сызықтар мен беттердің
қасиеттерін дифференциалдар арқылы зерттейді.
Төртінші дәуір Лобачевский еңбектерінен басталады. Өз зерттеулерінде
Лобачевский үш принципке сүйенді. Олар: Евклид Геометриясы болуға тиіс және
ол бірден-бір Геометрия емес; аксиомаларды өзгертіп, жаңа Геометрияжасауға
болады; нақты кеңістікке қандай Геометрия сәйкес келетіндігін тәжірибе
көрсетеді. Лобачевский Евклидтің 5-қағидасын (постулатын) өзінің басқа
аксиомасымен (Лобачевский аксиомасы деп аталатын) ауыстырып, жаңа Геометрия
жасады. Бұл Г-ға Гаусс пен венгр математигі Я. Больяй (1802 — 60) да жақын
келді. 5-қағида орнына өз аксиомасын (Риман аксиомасы деп аталатын) алып,
Ф.Б. Риман эллипстік Геометрияның негізін салды. Риман кеңістікті кез
келген біртектес объектілер мен құбылыстардың үздіксіз жиыны ретінде түсіну
қажеттігін көрсетті. Бұл идеяның құлашы кең болды. Соның арқасында
кеңістіктің көптеген матем. теориялары жасалды. Лобачевский идеялары
Геометрия негіздемелерінің шығуына, Геометриялардың жалпылануына және
олардың одан әрі дамуына жол ашты. Проективтік-дифференциалдық Геометрия,
топология, көп өлшемді кеңістіктер Геометриясы, көпбейнеліктер Геометриясы,
тағыда басқа осы дәуірде шықты. Геометриялар бірқатар арнаулы салаларға
бөлініп кетті.
Қазіргі Геометрия, кеңістік пен фигураны жиын ұғымы арқылы анықтайды.
Онда кеңістік әдеттегі қатынастар сияқты, дәйекті қатынастар тағайындалған
элементтердің (“нүктелердің”) жиыны ретінде қарастырылады. Тиісті
қатынастар тағайындалған жағдайда, сәуле түстерінің жиыны, [0; 1]
кесіндісіндегі үздіксіз функциялардың жиыны, тағыда басқа “кеңістіктер”
құрастыра алады. Сәуле түстері, күйлер, функциялар сол сәйкес
“кеңістіктердің” “нүктелері” рөлін атқарады. Негізгі кеңістіктік қатынастар
ретінде “ара қашықтық”, “іліктестік”, “нүкте аймағы”, “сәйкестік”, тағыда
басқа ұғымдар алынады. Жиындар мен қатынастарды әр түрлі етіп алып, әр
түрлі Геометрияларды құрастыруға болады. Соңғы кезде өлшемдерінің саны
шектеулі болатын кеңіс-тіктің Геометриясы қалыптасты. Ол функционалдық
анализ курсында баяндалады.
Геометрия табиғатты зерттеуде, техниканы дамытуда қуатты құрал болып
табылады. Ол матем. анализге, механикаға, физикаға, астрономияға,
геодезияға, картографияға, кристаллографияға, тағыда басқа ғылымдарға
елеулі ықпал етеді.
Қазақстан математиктерінің Геометриядан жүргізген зерттеу жұмыстары
(ҚазМУ-де 1950 жылдары) акад. А.Д. Александровтың ықпалына байланысты
болды. Ол беттер теориясын әрі қарай дамыту мәселесін қойды. Сөйтіп
беттердің кең класын екі дөңес беттің айырмасы ретінде қарастыруға
болатынын көрсетті. В.В. Стрельцовтың еңбектері беттердің жалпы теориясына
арналды. Д.Ш. Юсуповтың зерттеу жұмыстары Лобачевский және эквиаффиндік
кеңістіктерде шекті бұрылысы және шекті толық бұралуы бар реттелмеген
сызықтардың жалпы теориясына байланысты болды. К.П. Персидский өз еңбегінде
Евклид кеңістігіндегі Лобачевский геометриясының түсіндірмесін берді.
Геометрияның басқа бөлімдеріне жататын жұмыстардан: жалпы перпендикулярлары
Гишар конгруэнциясы болатын қабаттас қос конгруэнциялар зерттелді
(А.Нәубетов); аффиндік байланыстағы сызықтық элементтер кеңістігінде
нормаль координаттардың дифференциалдану тәртібі қарастырылды (Э.И.
Хмелевский); кеңістіктегі төрт-ткань қисықтың 11 түрі табылды (Т.К.
Нәзіров); Лобачевский жазықтығында тор бұрышымен анықталмайтын түзу сызықты
торлардың қасиеттері зерттелді (П.И.Токарев); шекараларында байланыстары
бар қисықтығы теріс айналу беттерінің шексіз аз иілімі қарастырылды (Ж.
Өтеулиев); бірқатар жұмыстар векторлық есептеулердің шығу тарихы мен жеке
дамуына арналды (Ф.Д. Крамар).
1.2 Есептердің түрлері
Есепті шешу деп 5 қажетті логикалық ой тұжырымдауды математикалық
түрлендірулерді, есептеулерді және салуларды толықтай жүргізу
қорытындысында оның сұрағына жауап беруді айтамыз. Есептің шешімі болмауы
мүмкін, бірақ оның жауабы болады. Сондай-ақ, есептің бірнеше шешімі болуы
мүмкін, ал оның жауабы біреу ғана болады. Мысалы: Берілген қабырғасы және
биіктігі бойъшша параллелограмм салуға бола ма? десек, онда бұл есептің
бір емес бірнеше шешімі бар, ал жауабы біреу: параллелограмды салуға
болады.
Шешу кезінде қандай ойлау түрінің басым болуына байланысты есептерді
алгоритмдік, жартылай алгоритмдік және эвристикалық деп шартты түрде үшке
бөлуге болады.
Танымдық есептер негізінен жартылай алгоритмдік, дамушы – эвристикалық
есептерге жатады. Формула немесе ереже бойынша шығарылатын есептер
алгоритмдік және жартылай алгоритмдік болып келеді.
Есептің шешімінде ешбір қателіктер болмаса, онда ол дұрыс болып
саналады. Есептердің шешімдерінде кездесетін қателіктер әр түрлі болады.
Олар шешу процесінде берілетін түсініктемелерде, логикалық ой қорытуларда,
есептеулерде, түрлендірулерде және т. б. болуы мүмкін.
Есепті шығару барысында бірінің әсерін бірі жоятын бірнеше қателер
жіберіліп, есептің жауабы дұрыс болып та шығуы мүмкін. Сондықтан есеп
жауабының дұрыстығы шешу жолының дұрыс екендігінің кепілі бола алмайды.
Шешімінің дұрыстығына көз жеткізу үшін есепті бірнеше амалмен
шығарады, не берілген есепке кері есепті шығарады.
Алайда есеп шешімінің дүрыстығына көз жеткізетін ең негізгі бір әдіс —
тексеру, ол — шешу процесінің әрбір қадамына тәптіштеп талдау жасау.
Мектеп есептерінің мазмұнында көбінесе берілген деректердің саны
анықталған бір немесе бірнеше шешім шығатындай етіп беріледі. Мұны
анықталған есептер деп атайды. Егер есепте берілгендердің саны оны шығаруға
қажеттілерінің санынан асып кетсе, ондай есеп артығымен анықталған деп
аталады. Мұндай есептердің ішінде кейбіреуінің ғана шешімі болады. Жалпы
жағдайда олардың шешімдері болмайды. Есептегі берілгендердің саны
жеткіліксіз болса, онда оны жеткіліксіз анықталған есеп дейді. Бұл
есептердің шексіз көп шешімдері болады, сондықтан жеткіліксіз анықталған
есептердің шешімдері болмайды деп айту дұрыс емес. Мұндай есептердің
шешімдері болады, ерекшелігі, олардың шексіз көп болуында. Яғни олардың
кез келгенін берілген есептің шешімі ретінде алуға болады.
Есеп қарастырылатын объектілеріне байланысты – практикалық және
математикалық болып екіге бөлінеді. Яғни есепте қарастырылатын объектінің
бірі нақты шын зат болатын болса, ол практикалық есеп.
Мысалы, Жер радиусы 6370 км, ал одан 4 км жоғары биіктікте ұшып бара
жатқан тікұшақтан қаншалықты алыс жер көруге болады? Есепте қарастырылатын
объектілер таза математикалық болса, ол математикалық есеп. Мысалы, М
нүктесінен жүргізілген қиюшы шеңберді А және В нүктелерінде қияды, сол
нүктеден жүргізілген жанама шеңберді С нүктесінде жанайды.
МС2 =МАМВ болатындығын дәлелде.
Теоремаға байланысты стандартты және стандартты емес есеп түрлері
белгілі. Дайын ережелердің көмегімен шығарылатын есеп стандарттық есеп
делінеді де, ал шығару жолдары дайын ережелер арқылы табыла қоймайтын есеп
– стандартты емес есеп болады.
Мысалы,
1) егер болса, онда арифметикалық прогрессияның алғашқы
алты мүшесін жаз (стандарттық есеп);
2) арифметикалық прогрессияның төртінші мүшесі 4- ке тең. Прогрессия
айырымының қандай мәнінде оның алғашқы үш мүшесінің қос – қостан алған
көбейтінділерінің қосындысы ең кіші мәнге ие болды (стандартты емес)?
Есеп талабына қарай:
а) есептеу;
ә) дәлелдеу;
б) зерттеу;
в) салу есептеріне бөлінеді.
Есептеуге арналған есептерге: өрнек мәнін табу, функцияның мәнін
есептеу, кесіндінің ұзындығын, фигураның ауданын табу, бұрыш шамасын
анықтау т.с.с. жатады.
Қандай да болмасын ұйғарымның ақиқаттығына көз жеткізу немесе
ұйғарымның жалғандығын тексеру не белгілі бір құбылыстың дұрыстығын
түсіндіру – дәлелдеу есептері.
Теоремалардың барлығын да дәлелдеу есептеріне жатқызуға болады.
“217+1 саны жай сан ба, құрама сан ба?”
“Қандай трапецияның диагоналы оның орта сызығын тең үш бөлікке
бөледі?”.
және - ның қандай мәндерінде
теңдіктері орынды” т.с.с. есептері зерттеуге арналған есептер. Зерттеу
көптеген есептер шығару кезінде кездеседі: нүктелердің геометиялық орыны,
теңдеулер мен теңсіздіктердің шешім сандарының қаншалықты болады т.с.с.
Белгілі бір құралдар жәрдемімен берілген шарттарды қанағаттандыратын
фигуралар салу – салу есептерін құрайды.
Есеп шығаруға кіріспес бұрын, оқушыларды есеп түрін анықтап алуға
үйрету – басты талаптардың бірі болып табылады.
Өзінің алға қойған дидактикалық мақсаттарына қарай есептерді үш топқа
бөлуге болады:
1) танымдық есептер: бұлар арқылы жаңа білім алынады;
2) машықтану есептері: бұлар арқылы орнықты білім дағдылар қалыптасады;
3) шығармашылық ойлауды қажет ететін дамыту есептер.
Таным есептерін жаңа материалдар өтуде, оқытудың проблемалық және
эвристикалық әдістерін қолдануда шығару керек. Бұл дидактика талабына сай
келеді, сондықтан математиканы оқып – үйрену барысында кеңінен қолданылады.
Алайда, мектеп математикасында ең көп таралған есеп түрлері жаттығу
есептері болып табылады, олар математикалық білімдерді қолдануда сапалы
және берік дағдылар қалыптастыра отырып, математикалық теорияларды саналы
түрде меңгеруге ықпал етеді.
Жаттығу және танымдық есептерді шығарумен шектелу, оқушылардың
эвристикалық, шығармашылық ойлауын дамытуды толық қамтамасыз ете алмайды.
Сондықтан бұл мақсатты жүзеге асыруға математикалық, логикалық,
интуициялық, тапқырлық т.б. қабілеттер араласатын арнайы іріктелген есептер
шығарып отырудың маңызы аса зор.
Енді есеп шығару процесінің логикалық байланыс схемасын келтірейік.
Бұл схемада есеп шығару процесінің әр түрлі кезеңдерінің арасындағы
байланыстылықтар көрсетілген. Мысалы, есепті талдау барысында оны схемалық
түрде жазу жүзеге асырылады да, шығару тәсілін іздестіруде оның әсері
болады. Есепті зерттеу - оған талдау жасау, шығару жоспарын жүзеге асыру
және есеп жауабы арқылы орындалады. Ал есеп шығаруды талдау, шығару тәсілін
іздестіру мен шығару жоспарын жүзеге асыру кезеңдерінде ескеріліп, солармен
бірге жүргізіледі.
1.3 Есеп шешуге үйрету әдістемесі
Есеп шығарудың математиканы оқып үйренуде алатын орны өте зор.
Оқушылардың математиканы меңгеру деңгейі көбінесе олардың математикалық
есептерді шығаруға қаншалықты төселгендігі арқылы бағаланады.
Оқыту үрдісінде есеп шығаруға оқушыларды үйрету мақсат десек, ал
белгілі бір типтегі есептердің шығарылуын қарастыру қандай да бір
математикалық материалды меңгеруге әсерін тигізетін әдіс болып табылады.
Сондықтан оқыту барысында оқушыларды есеп шығаруға үйретуге көп көңіл
бөлінеді. Соңғы кезге дейін есеп шығаруға үйретудің бірден-бір тәсілі
белгілі бір түрдегі есептерді шығарып көрсету ғана болатын. Сондықтан
оқушыларға арналған есеп шығару құралдары жауабы және оған байланысты
кейбір нұсқаулары бар есептер жинағы болып келді.
Оқушыларда есеп шығарудың жалпы білігі мөн дағдысын қалыптастырудың
қиындығы олардың есеп шығару барысындағы іс-әрекеттеріне жүйелі де тиянақты
талдау жасалып отырмауына, оқушылар шығаратын есептердің барлығына ортақ
жалпы істің анықталмауына, сондай-ақ белгілі бір типтегі есептерді шығаруға
үйретуді неден бастау керектігін, ондағы жүйелілік пен сабақтастықтың қалай
болатынын анық білмеуге байланысты екенін мектеп тәжірибесі көрсетіп отыр.
Бұл пән осы айтылған мәселелерді шешуге септігін тигізу мақсатын
көздейді. Мұнда қазіргі әдебиеттерде есеп ұғымына беріліп жүрген
анықтамаларға талдау жасальш, есептің шешуі және оны шығарудың мақсаты мен
ролі жөнінде айтылады. Сонымен қатар, онда есеп шығарудың жалпы әдіс-
тәсілдері, есепті шешу процесінің құрылысы, есепке, оның ішінде сюжетті
есептерге жасалатын семантикалық талдау, есеп шығару тәсілін іздестіру,
оның идеясының дамуы және т. б. сияқты есеп шығаруға үйретудің жалпы
мәселелерімен қатар, геометрия есептерін векторларды қолданып шығару,
есептерді теңдеу құру арқылы шығару сияқты кейбір жеке мәселелерде сөз
болады.
Есепті шығару барысында бірінің әсерін бірі жоятын бірнеше қателер
жіберіліп, есептің жауабы дүрыс болып та шығуы мүмкін. Сондықтан есеп
жауабының дұрыстығы шешу жолының дұрыс екендігінің кепілі бола алмайды.
Шешімінің дұрыстығына көз жеткізу үшін есепті бірнеше амалмен шығарады, не
берілген есепке кері есепті шығарады. Алайда есеп шешімінің дүрыстығына көз
жеткізетін ең негізгі бір әдіс — тексеру, ол — шешу үрдісінің әрбір
қадамына тәптіштеп талдау жасау.
Мектеп есептерінің мазмұнында көбінесе берілген деректердің саны
анықталған бір немесе бірнеше шешім шығатындай етіп беріледі. Мұны
анықталған есептер деп атайды. Егер есепте берілгендердің саны оны шығаруға
қажеттілерінің санынан асып кетсе, ондай есеп артығымен анықталған деп
аталады. Мұндай есептердің ішінде кейбіреуінің ғана шешімі болады. Жалпы
жағдайда олардың шешімдері болмайды. Есептегі берілгендердің саны
жеткіліксіз болса, онда оны жеткіліксіз анықталған есеп дейді. Бұл
есептердің шексіз көп шешімдері болады, сондықтан жеткіліксіз анықталған
есептердің шешімдері болмайды деп айту дұрыс емес. Мұндай есептердің
шешімдері болады, ерекшелігі, олардың шексіз көп болуында. Яғни олардың
кез келгенін берілген есептің шешімі ретінде алуға болады.
Математика ғылым ретінде есептен пайда болған және есеп арқылы дамиды.
Тарихқа жүгінсек, ең көне математикалық ескерткіштер Рим және Мәскеу
папирустарында есептер қарастырылып, оларды шығару жолдары берілген. Есеп
шығару мұқтаждығынан мүмкіншіліктер теориясы, ойындар теориясы, информатика
теориясы және т. б. дамыды. Мектеп математикасын есепсіз құру мүмкін емес.
Математикалық есеп оқушылардың ұғымдарды, теорияны және математика
әдістерін меңгерудің тиімді де, айырбасталмайтын құралы болып табылады.
Оқушылардың ойлау қабілеттерін дамытуда, оларды тәрбиелеуде, біліктіліктері
мен дағдыларының қалыптасуында, математиканың практикамен байланысын
көрсетуде есептің алатын орны өте зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп – басты қызметші
болып табылады. Есептің негізгі міндеттері: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және
бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін орындайды. Басқаша
айтқанда, кез келген есепті шығарғанда оқушы математикалық білім алады,
шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни математикалық білім
деңгейі жоғарылайды. Көбінесе әр есеп өзінің мазмұны арқылы тәрбиелік
міндетін атқарады. Мысалы, қоғам дамуының әртүрлі кезеңдеріне байланысты,
есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде есептер жинағы көпестердің
сауда-саттығын, арзанға сатып алу, керісінше қымбатқа сату, құмарлық
ойындарында ұту т.с.с. мазмұнды болды. Қазіргі оқулықтарда есеп мазмұны
оқушылардың жоғарғы моральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми
көзқарастарын дамытуға, интернационалдық және париоттық рухта тәрбиелеуге
негізделген. Оқушыларды есеп мазмұны арқылы ғана тәрбиелеп қоймай, оларды
есеп шығаруға үйретуде тәрбиелеу болып саналады. Есеп шығару оқушылардың
сөйлеу мәдениетіне, мінез-құлқының қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа,
бастаған істі аяғына дейін жеткізу, қиындықты жеңе білу сияқты
қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпалын тигізетіні аян.
Есеп оқушылардың логикалық ойлау, кеңістікті елестету, жеке бас
қабілеттерін дамытуға бірден-бір себепші болатын басты құрал болып
табылады. Оқушылардың білімін, біліктілігін және дағдысын анықтауды бақылау
міндеттері де көбінесе есепке жүктеледі.
Математиканы оқытуда есеп шығарудың үлкен маңызы бар. Оқушылардың
математиканы оқып білудегі жетістігі олардың есепті шығаруға қаншалықты
төселгендігіне қарай бағаланады .
Шығарылатын есептің ролі мұғалімнің бұл есепті шығаруға ұсынғанда
қандай мақсат қоюына байланысты. Кейбір жағдайларда оқып білуге тиісті
теориялық материалдың мәнін, практикалық мағынасы мен маңыздылығын түсіну
есептер шығару арқылы іске асырылады. Бұл жағдайда есептер шығару
математикалық ұғымдарды қалыптастыруға мүмкіндік береді. Есептер шығару
оқушылардың білімін толықтырып, нақтылау және дағдыларды қалыптастырып,
одан әрі жетілдіру үшін пайдалынылады.
Есеп шығару кең көлемдегі тәрбиелік мақсатты да көздейді: қоғамдық
құрылыстың жетістіктерін көрсететін есептер отанға сүйіспеншілікке
тәрбиелейді; көптеген есептер оқушылардың алған білімдерін оқу процесінде
немесе өмірде, практикада қолдануға дайындайды; есеп шешуін іздеу
оқушыларды қиыншылықты жеңуге жігерлендіреді, тапқырлыққа, зеректілікке
тәрбиелейді; берілген есептің шешуін табудағы творчестволық процеске қатысу
оқушыға эстетикалық ләззат алуына жағдай жасап, эстетикалық тәрбие береді.
Математикалық есептерді шығара білуге үйрету және одан әрі оған
дағдыландыру - мұғалімдер алдында тұрған өте қиын да жауапты жұмыс. Әр
оқушының математикаға деген ұқыптылығы мен зейінділігі түрліше, ал
математикалық есептердің саны шексіз көп. Есеп шығаруға үйрету мен
дағдыландыру көбіне класта сабақ өту кезінде болатындықтан, барлық
оқушыларды есеп шығарудың жалпы әдіс-тәсілдерімен қаруландыру керек. Мұны
іске асыру үшін олардың есеп шығару процесіндегі іс-әрекеттерін
басқарып, жұмысты белгілі бір жүйемен жүргізген жөн.
Оқушының есеп шығарудағы іс-әрекеті оның осы есепті шығару
процесіндегі істерінің белгілі бір системасын құрайды. Оқушыларға орындауға
ұсынылған істер әр кезде де ол үшін қарапайым, бір мағыналы, оңай
орындалатын болып келмейді. Бұл жағдайда мұғалім кез келген күрделі істі
қарапайым, нақты, белгілі әдіспен оңай орындалатын және оқушылар оқып
үйренудің осы сатысында орындай алатын операциялардың құрылымы түріне
келтіруге болады деп ұйғарғаны жөн. Содан кейін бұл ұйғарымды іске
асыруға, яғни күрделі істі қарапайым, оңай-орындалатын операцияларға
бөліктеуге жіріседі. Күрделі істі қалай орындаудың құрылымы табылды деуге
болады, егерде сол істі орындауға қажетті қарапайым операциялардың бәрін
білумен қатар, оларды орындаудың оптимальдық реті де табылса. Сонан соң
мұғалім осы табылған операциялар системасын орындай білуге оқушыларды
үйретеді.
Оқушыларда есеп шығарудың жалпыланған қорытынды білігін (обобщенное
умение) қалыптастыру деп оларды өз бетімен есеп шығара білуге үйретуді
айтамыз. Оқушылардың өзіндік жұмысы оларды есептер шығара білуге үйрету
схемасының негізі болуға тиіс.
Оқушыларды есептер шығара білуге үйрету үрдісі шығармашылық сипатта
болуға тиіс, яғни мұғалім ұсынған методты сол күйінде қолдануға жол бермей,
есепті шығару жолын іздеп табу мұғалімнің басшылығымен орындалатын оның
шығармашылық жұмысының жемісі ретінде болғаны жөн.
Ғалым А.В. Усова оқушыларды есеп шығаруға үйретудің үш әдісі болады
деп көрсеткен.
Олардың біріншісі дәстүрлі әдіс деп аталып, мына схема бойынша іске
асады:
Мұғалімнің Ұжым болып Бақылау
есеп шығару есеп шығару есептерін өз
тәсілін беттерімен
түсіндіруі шығару
Екінші әдіс жаңа екі элементпен толықтырылады:
а) жартылай өзіндік және б) толықтай өзіндік болып. Бұл әдіспен
оқушыларды есеп шығаруға үйрету схема бойынша былай орындалады.
Берілген түрдегі есептерді шығару әдісін мұғалімнің түсіндіруі.
Ұжым болып
есеп шығару
Оқушы-лардың жартылай өзіндік
жұмыс-тары
Толықтай өзіндік
жұмыстар
Бақылау
жұмыс-тары
Үшінші әдісте екінші әдістің барлық элементтері болады. Бұл әдіс есеп
шығарудың алгоритмдік тәсілін қолдануды және есепті шешудің жаллы тиімді
тәсілін іздеп табу мен шығарудың алгоритмін құруға оқушылардың белсене
қатысуын талап етеді.
Бірінші дәстүрлі әдіспен оқушыларды есеп шығаруға үйретудің, оларда
есеп шығарудың жалпы қорытынды білігін қалыптастыруда, содай-ақ бұрын
меңгерілген әдіс-тәсілдерді жаңа түрдегі есеп шығаруға пайдалануда
машықтандыруға тиімділігі өте аз.
Екінші схема бойынша мұғалім коллектив болып тапқан есептің жалпы
түрдегі шешуі бойынша есептеулерді орындаңыздар деп әрбір оқушыға өзіндік
тапсырма орындатып, есеп шығарудың жеке операцияларын орындай білуге
біртіндеп үйрете бастайды. Келесі есептерді шығарғанда мұғалім есептің
жалпы түрде алынған шешуін тексеріп шығуды ұсынады және т.с.с. Оқушылар
бастапқы кезде мұғалімнің басшылығымен жеке операцияларды орындап, сонан
соң мұғалім есеп шығару процесіндегі бірнеше операцияларды қатарынан
оқушыларға өз беттерімен орындаттырады. Мұндай жұмыстар төменгі сыныптарда-
ақ, оқушыларды есеп шығара білуге үйретуге әсерін тигізеді.
2 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ ЖӘНЕ ОЛАРДЫ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ
2.1 Геометриялық есептердің түрлері және шешу әдістері
Геометриялық және алгебралық әдіс.
Геометрия есептері негізінен есептеп табуға, дәлелдеуге және салуға
арналған болып үш түрге бөлінеді. Бұлай етіп бөлу шартты түрде орындалады.
Мысалы есептеп табуға берілген есеп қандай да бір дәрежеде дәлелдеуге
арналған болады. Себебі есепті шығарғанда белгілі бір дәлелдеу орындалады,
сондай-ақ оны шығару үшін көпшілік жағдайда белгілі бір чертеж салынып,
оның кейбір элементтерін есеп шарты бойынша анықтап, салуға тура
келетіндіктен ол қандай да бір дәрежеде салу есебі болып табылады.
Есептеп табуға арналған есептер. Есепте берілгендерді пайдаланып
геометриялық фигураға байланысты қандай да бір геометриялық шаманың сан
мәнін табу талап етілсе, онда оны есептеп табуға арналған есеп деп атайды.
Бұл типтегі есептерді шығару үшін оқушы I - V кластардың математикасы
мен алгебра сабақтарында алған біліктері мен дағдыларын қолданады.
Есептеп табуға арналған есептерді мынадай топтарға бөледі:
1. Белгісіз шаманы табу үшін тек қана белгілі бір геометриялық пікірді
қолдануды қажет ететін есептер.
Мысалы. Үшбұрыштың табандарындағы бұрыштары 50° және 70°-қа тең.
Төбесіндегі бұрышын табыңыздар.
Мұндай есептер оқушылардың логикалық ой тұжырымдауларын дамытады,
бірақ аса тапқырлықты қажет етпейді. Оларды белгілі бір материалдардың
меңгерілуін тексеру үшін қолдануға болады.
Геометриялық мазмұны жағынан бірінші топтағы есептердің айырмашылығы
жоқ, бірақ арифметикалық типтес есептерді немесе теңдеу құрып оны шеше
білуді талап ететін есептер. Мысалы, параллелограмның периметрі 36 см, ал
бір қабырғасы екіншісінен екі есе ұзын. Параллелограмм қабырғаларының
ұзындықтарын табыңыздар.
Мұндай есепті шешуде оқушылар көбінесе арифметика мен алгебра
сабақтарында алған білімдерін қолдана алмайды қиналады. Бұл есептердің
құндылығы жеке математика пәндерінің арасын байланыстыруында.
Оны шығару үшін бірнеше геометриялық пікірлерді қолдануды, есеп шарты
бойынша сызба салып оны есептеп шығару үшін пайдалана білуді,
берілгендермен белгісіздер арасындағы байланысты тағайындай білуді, өзінің
ой тұжырымын дәлелдей білуді талап ететін есептер. Мұндай есептер
оқушылардың геометриялық түсінігін, ой-өрісін, кеңістік елесін, логикалық
тұжырымдауын дамытады.
Бұдан оқушыларды үйреткенде оңай есептерді шығарудан бастаған жөн. Ол
есептерді шығару арқылы оқушылар есеп шығарудың жоспарын жасауға, оның
әрбір кезеңін негіздеп дәлелдеуге, есептің шарты мен шығару жолын схемалық
түрде жаза білуге үйренеді. Егер мұғалім тиісті дайындықсыз оқушыларға қиын
есепті шығаруды ұсынса, онда оны сыныпта ешкім шығара алмауы немесе бір-екі
оқушы шығаруы мүмкін. Онда ол есептің шығару жолын айтып түсіндірудің
қажеті жоқ, бәрі бір көпшілік оқушылар оны түсінбейді. Бұл жағдайда осы
есептің жеке бір элементтері енетін оңай элементар есептердің бірнешеуін
шығарған жөн. Себебі оқушылар бұдан кейін ол элементтерді қиын есептің
құрамынан тауып, шешулері мүмкін.
Дәлелдеуге берілген есептер. Бұл типтегі есептерде қандайда бір
геометриялық фигура туралы айтылған пікірді дәлелдеу талап етіледі.
Шынында, мектеп бағдарламасына енбеген теоремаларды дәлелдеу болып
табылады.
Дәлелдеуге берілген есептерді шығарудың оқушылардың логикалық ой-
тұжырымдарын дамытуда алатын орны зор. Геометрияның бірінші теоремаларын
оқып білу кезінде дәлелдеуге берілген оңай есептерді шығару керек. Бұл
кезде әр түрлі әдісті қолданған жөн. Мысалы, не берілгені, нені табу керек
екендігі, белгіленген сызба бойынша есепті шығарту немесе есеп
шарты бойынша сызбаны оқушыларға салдырып, содан кейін шығарту. Мұның
бірінші жолы жеңілірек болғандықтан, содан бастаған жөн. Бір сызбада әр
түрлі бірнеше есеп шығару үшін пайдалануға болады. Бұл арқылы оқушылар не
берілген, нені дәлелдеу керек екендігін аңғаруға, дәлелдеу процесінде неге
сүйену керек екендігін үйренеді.
Егер дәлелдеуге берілген есептер тек қана дайын сызбамен шығарылатын
болса, онда оқушылар сөзбен айтылған есеп шартының математикалық мазмұнын
түсініп үйренбейді. Дегенмен оқушыларды есеп шартын өз бетімен түсінуге
және сол бойынша сызба салуға біртіндеп үйрегені дұрыс.
Дәлелдеуге берілген есептерді шығарғанда, теоремаларды дәлелдегенде
қолданылған ой тұжырымдардың әдістерін қолдануға тура келеді. Басқаша
айтқанда дәлелдеу жолын табу үшін талдау жасау қ ажет.
Бір мәселені әр түрлі тәсілмен дәлелдеу, оқушылардың ой өрісін
дамытуда зор әсер тигізеді. Соның нәтижесінде оқушылар есеп шығарудың
тиімді тәсілін табуға үйренеді.
Салуға берілген есептер. Геометриялық салулар фигураның қасиеттерін
анықтап білуге көмектеседі. Методикалық әдебиеттерде салуға берілген
есептер деп фигураның қандай да бір берілген элементтері бойынша сол
фигураның өзін салуды айтады. Мысалы екі қабырғасы және оның арасындағы
бұрышы бойынша үшбұрыш салыңыздар.
Салуға берілген есептерді шығарғанда қандай да ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Қорқыт Ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университеті
Гуманитарлық-педагогикалық институты
Физика және математика кафедрасы
Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі _____________ Б.Қ.Қалиев
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық
теңдеулер құру арқылы шығару әдістері.
050109 – Математика мамандығы бойынша
Орындаған:
Қызылорда, 2013 ж.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ...
1 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУДІҢ ҒЫЛЫМИ-ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Геометрия ғылымының даму кезеңдеріне жалпы шолу 7
... ... ... ..
1.2 Есептердің түрлері 15
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ...
1.3 Есеп шешуге үйрету әдістемесі 19
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ..
2 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ ЖӘНЕ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ
2.1 Геометриялық есептердің түрлері және шешу әдістері ... ... ... 26
2.2 Геометрия есептерін шешу ізденістері 35
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..
2.3 Есептеп табуға арналған геометриялық есептерді алгебралық және 42
тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шешу
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... .
2.3.1 Геометрияның экстремумдық есептері және оларды шешу 53
әдістері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ...
2.3.1.1Квадраттық функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға 56
арналған тұжырымды пайдалану ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.3.1.2 Теңдіктер мен теңсіздіктерді бағалау арқылы шығару 61
... ... ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ 64
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ..
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 66
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...
КІРІСПЕ
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан
кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне
байланысты бағаланады.
Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі
мектептің алдына қойылған мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп
мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге
жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта мектеп
бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына
жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке
тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп – басты қызметші
болып табылады 1. Есептің негізгі міндеттері: оқыту, тәрбиелеу, дамыту
және бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін орындайды.
Басқаша айтқанда, кез келген есепті шығарғанда оқушы математикалық білім
алады, шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни
математикалық білім деңгейі жоғарылайды. Көбінесе әр есеп өзінің мазмұны
арқылы тәрбиелік міндетін атқарады. Мысалы, қоғам дамуының әртүрлі
кезеңдеріне байланысты, есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде
есептер жинағы көпестердің сауда-саттығын, арзанға сатып алу, керісінше
қымбатқа сату, құмарлық ойындарында ұту т.с.с. мазмұнды болды. Қазіргі
оқулықтарда есеп мазмұны оқушылардың жоғарғы моральдық қасиеттерін
қалыптастыруға, ғылыми көзқарастарын дамытуға, интернационалдық және
патриоттық рухта тәрбиелеуге негізделген. Оқушыларды есеп мазмұны арқылы
ғана тәрбиелеп қоймай, оларды есеп шығаруға үйретуде тәрбиелеу болып
саналады. Есеп шығару оқушылардың сөйлеу мәдениетіне, мінез-құлқының
қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа, бастаған істі аяғына дейін
жеткізу, қиындықты жеңе білу сияқты қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпалын
тигізетіні аян.
Бұл жұмыс геометриялық есептерді шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне:
алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығаруға арналды.
Геометриялық есептерді шешу мектептегі геометрия курсының маңызды
тақырыптарының бірі. Себебі, көптеген табиғи процестер мен құбылыстар,
т.с.с. оқытудың мазмұны пәнаралық байланыстар және пәннің ішкі
байланыстарын қамтамасыз ету мақсатында, көбіне қоршаған ортаны
математика тілімен зерттеу, түсіну мақсатында жинақталады. Мектеп
оқушыларын осындай практикалық дайындықта тәрбиелеудің ең негізгі
түрі геометриялық материалдарды оқыту болып табылады 1.
Геометрия - бұл түсінудің әдісі ойлау түрі, әрі ғылым мен
техниканы меңгерудің тілі десе де болады. Геометриялық білімнің
қолданылу мәнін үйрену әртүрлі мамандықтарды игеруде кеңістік ойлау
қабілеттілігінен туындайды.
Оқытуда негізгі екі геометриялық бағыт бар, оның біріншісі
фигуралардың және денелердің түріне байланысты теңдіктер белгісін
ажырату және нүктелер, түзулер, жазықтықтардың өзара байланысын
анықтау болады. Ал, екіншісі геометриялық фигуралар мен денелерге
әртүрлі өлшеу жұмыстарын жүргізуге байланысты. Оқушылар
геометриялық шамалармен (ұзындық, бұрыш, аудан, көлем) танысады,
фигуралар элементтерінің өзара байланысын білдіретін сандық
мінездеушілеріне қатысты формулаларды пайдаланып есептер шығаруға
үйренеді, есеп шығару барысында олар дәлелді талқылауларды үйреніп,
логикалық ойлау қабілеттерін жетілдіреді.
Педагогикалық энциклопедияда есептің негізгі сипаттамасы
былайша келтірілген 2: оқушыда белгілі бір мақсаттың, қандай да
бір сұрақтың жауабын алу үшін ұмтылушылықтың күткен қорытындыға
жетудегі табандылықтың болуы, есепті шешуге қажетті бар шарттары мен
қойылған талаптарды есепке алу, осы мақсат пен шартқа сәйкес әдіс-
тәсілді қолдану делінсе, математиканы оқытуға арналған есептерге
мынадай анықтама беріледі: Математикалық есеп дегеніміз -
математикадағы заңдылықтар, ережелер және әдіс-тәсілдер негізінде
оқушылардан ой мен практикалық іс-әрекетті талап ететін және
математикалық білімдерді меңгеруге, оларды практикада қолдана білуге
дағдыландыруға, ойлау қабілетін дамытуға багытталған ахуал.
Есеп ұғымын анықтауда ғалымдар арасында бірнеше көзқарастар болған.
Есеп дегеніміз не? деген сұраққа белгілі әдіскер В. М. Брадис 3 былай
дейді: Есеп деп өтілген курстан қандай да бір анықтаманы, текстіні немесе
теоремалардың дәлелдеуін, аксиомалар немесе ережелердің тұжырымдалуын жай
ғана қайталап келтіру оған жауап беруге жеткіліксіз болатын кез келген
математикалық сұрақты айтамыз.
Демек, есеп шығару математикалық ұғымдарды қалыптастырып,
байытуға, оқушылардың математикалық ойлауын өрістетуге, білімдерін
практикада қолдануға, табандылық, ізденгіштік, еңбексүйгіштік
қасиеттерін тәрбиелеуге жол ашады.
Осыған жақын анықтаманы математикадан білім беру жөніндегі
халықаралық комиссияда жасалған америка өкілінің баяндамасынан да
кездестіруге болады: Математикалық есеп — жауабы бірден тікелей немесе
белгілі бір схеманы қолдану арқылы табылмайтын математикалық сұрақ 4.
Есеп жайлы айтылған анықтамаларды талдай отырып, математиканы оқытуға
арналған есептерге әдіскер Б.Б.Баймұқанов 5 мынадай анықтама берген:
математикалық есеп дегеніміз —математикадағы заңдылықтар, ережелер және
әдіс-тәсілдер негізінде оқушылардан ой мен практикалық іс-әрекетті талап
ететін және математикалық білімдерді меңгеруге, оларды практикада қолдана
білуге дағдыландыруға, ойлау қабілетін дамытуға бағытталған ситуация.
Математикалық есептерді шығара білуге үйрету және оған
дағдыландыру үшін олардың есеп шығару процесіндегі іс-әрекеттерін
басқарып, жұмысты белгілі бір жүйемен жүргізген жөн. Оқушыларды
есепті шығара білуге үйрету процесі шығармашылық сипатта болуға тиіс.
Ал шығармашылық-зерттеушілік қызметтің бір формасы, оқушылардың
зерттеушілік қабілеттерінің дамуы жайлы келелі мәселелерінің құрамды
бөлігі болып табылады.
Мектеп математика курсында зерттеу сөзімен байланысты көптен
бері қалыптасқан тараулар мен есептер тобы да бар. Геометриялық
есептерді шешу барысында оның шартын өзгерту арқылы әртүрлі зерттеу жұмысын
жүргізуге болады. Есеп шартында қолданылмаған ақпаратты зерттеп, ойымызды
дамытатын басқа да есептер құрастыруға болады. Мұндай зерттеуге
келтірілетін есептер жазықтықтағы салу және кеңістіктегі салулар болып
табылады. Жазықтықтағы салулар белгілі аспаптардың көмегімен салынатын
болса, кеңістікте мұндай салу аспаптары жоқ, тек аксиомалардың көмегімен
салу, түрлендіру, есептері күрделі қатынастарды есептеуге берілген есептер
зерттеудің қайнар көзі.
Сонымен сіздердің назарларыңызға геометриялық есептердің түрлері және
оларды шешу әдістеріне тоқталып: алгебралық, тригонометриялық теңдеулер
құру арқылы шешу жолдарын ұсынамыз. Бұл ізденіс жұмысының мазмұны, болашақ
мамандардың шығармашылық шыңдалуы үшін маңызды. Себебі қазірде мектеп
геометрия курсының есептерін шығару жүйелі түрде ұйымдастырылмаған.
Сондықтан, дипломдық жұмыстың тақырыбын Геометриялық есептерді
алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығару әдістері деп
және ізденістерді осы мазмұндарды ашуға арнаймыз.
Дипломдық жұмыстың мақсаты – геометриялық есептерді алгебралық,
тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығару әдістерін терең оқып үйрену.
Дипломдық жұмыстың міндеті - геометриялық есептерді шығару әдістерін
зерделеу.
Жоғарыда көрсетілген мақсаттарға жетіп, міндеттерді орындау үшін
көптеген ғалымдар мен әдіскерлердің жұмыстарына шолулар мен талдаулар
жүргізілді. Әсіресе, геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық
теңдеулер құру арқылы шығарудың негізгі әдістері жан-жақты қарастырылған
әдебиеттерге 2, 3, 4, 5 шолу жасап және осы бағытта жинақталған іс-
тәжірибелерді 6, 7 басшылыққа алдық.
Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан, пайдаланылған
әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУДІҢ ҒЫЛЫМИ-ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Геометрия ғылымының даму кезеңдеріне жалпы шолу
Геометрия (гр. геометріа, ге — Жер және метріо — өлшеймін) —
математиканың кеңістіктік пішіндер (формалар) мен қатынастарды, сондай-ақ,
оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін саласы.
Фигуралар кеңістіктік пішіндер болып есептеледі. Геометрия тұрғысынан сызық
— “сым” емес, шар — “домалақ дене” емес, олардың барлығы да — кеңістіктік
пішіндер. Ал кеңістіктік қатынастар — фигуралардың мөлш. мен орналасуын
анықтайды. Мысалы, центрлері ортақ, радиустары 3 см және 5 см шеңберлер
қиылыспайды, “біріншісі екіншісінің ішінде жатады” дегенде — шеңберлердің
мөлш. мен орналасуы жөнінде айтылып тұр. Мұнда бірінші шеңбер — кішісі,
екіншісі — үлкені, біріншісі екіншісінің ішінде орналасқан. Осыған орай
кеңістіктік қатынастар “үлкен”, “кіші”, “ішінде”, “сыртында” сөздері арқылы
анықталған. “Тең”, “параллель”, тағыда басқа сөздер де кеңістіктік
қатынастарды сипаттайды3.
“Геометрия” атауы дәл аударғанда “жер өлшеу” болады. Бұл ғылымның
алғашқы нұсқалары Ежелгі Мысыр (Египет) елінде шыққан. “Жер учаскелерін
өлшеу нәтижесінде — деп жазған біздің заманымыздан бұрын 4 ғасырда өмір
сүрген грек математигі Евдем, — мысырлықтар Геометрия ғылымын шығарды”. Жер
өлшеу өнерін мысырлықтардан үйренген ежелгі гректер оны алғашқы кезде өз
тілінде “Геометрия” деп атаған. Осы сөз кейін көптеген халықтардың тіліне
еніп, ғыл. термин болып кеткен. Геометрия заңдылықтарын жер учаскелерін
өлшеуде қолдануға әбден болады, бірақ Геометрияның негізгі арнасы ол емес.
Геометрияда қолданылатын мәселелер сан алуан. Сондықтан Геометрия ерте
заманның өзінде-ақ кеңістіктік пішіндер мен қатынастар жөніндегі ғылым
ретінде қалыптасқан. Жер өлшеу ғылымын, соңғы мағынадағы Геометриядан
айырып айту үшін, Аристотель геодезия деп атаған. Геометрияны тек жер өлшеу
жұмыстары ғана тудырған жоқ. Бұл бағытта ғылыми-практикалық деректердің
молайып, қорлануына үй, көпір, пирамида, әскери бекіністер, тағыда басқа
құрылыстар салу, арналар қазу, ыдыстардың сыйымдылығын өлшеу, құрылыстарға
қажетті материалдардың шамасын алдын ала есептеу елеулі әсер етті.
Геометрия ұғымдары дүниеде кездесетін заттардың дербес физикалық
қасиеттерін еске алмай, абстракциялап (яғни, дерексіздендіріп), олардың тек
мөлшері мен өзара орналасуын ғана қарастыру нәтижесінде пайда болған.
Қалыпқа салынып соғылған кірпіштердің, құрылысқа арналып шабылған қырлы
тастардың, шеберлердің кесіп, сүргілеп тегістеген бұйымдарының сыртқы
тұрпаты — пішіні бірдей болады. Мұндай пішін төрт бұрышты призма деп
аталады. Үш бұрышты, бес бұрышты, тағыда басқа призмалар болады.
Геометрияда призманың қандай материалдан жасалғандығы есепке алынбайды,
оның тек мөлшері мен орналасуы ғана зерттеледі. Цилиндр, конус, шар,
Геометрия ұғымдар да осылай қалыптасқан. Сонымен геометриялық денелер —
темп-расы, массасы, жасалған материалы мен жеке қасиеттері қарастырылмайтын
физыкалық денелер денелер.
Дененің шекарасы — бет. Ол денені қаптап, қоршап, шектеп, кеңістіктен
бөліп тұрады. Бет шектеусіз жұқа болып есептеледі. Жіңішке жіп, бір тал
қыл, сәуле, сым, тағыда басқа негізінде шектеусіз жіңішке сызық ұғымы
шыққан. Геометриялық денелерді ойша топшылап, шектеусіз кішірейте беруге
болады. Осыдан нүкте ұғымы шығады. Нүкте дененің әбден кішірейіп, тоқтаған
шектік жағдайы деп есептеледі. Геометрия тұрғысынан алғанда нүктені одан
әрі кішірейтуге болмайды. Геометриялық денелердің, беттердің, сызықтардың
және нүктелердің кез келген жиыны фигура деп аталады. Айтылып отырған
негізгі ұғымдар — нүкте, сызық, бет, дене дүниедегі заттардан (яғни,
материядан) алынған. Бірақ материяның физ. қасиеттерінен абстракцияланған.
Мысалы, призма жөніндегі теоремаларды ағаштан, тастан, металдан жасалған
призмалардың бәріне де және әрдайым қолдана беруге болады. Геометрия
алғашқы кезде фигуралардың мөлшерлерін, өзара орналасу тәртібін, бір түрден
екінші түрге көшу жолдарын зерттейтін ғылым болды. Онда фигуралардың
түрлендірілуі берілген фигура мен кейін пайда болған фигураның арасындағы
белгілі бір қатынастар ретінде түсіндірілді. Мұндай түсінік осы күнгі
Геометрияда да бар. Алайда қазіргі Геометриябайырғы түсініктер шебінен ұзап
шығып кетті. Соңғы ғасырларда Геометрияның үйреншікті ұғымдары мен
қағидаларын талдау, жалпылау, жартылай өзгерту және одан әрі абстракциялау
нәтижесінде математиканың бірталай жемісті теориялары шықты. Геометрияның
жаңа салаларының көпшілігі ертеде қалыптасқан дәстүрлі салаларына мүлдем
ұқсамайды. Мысалы, Риман кеңістігіндегі “ара қашықтық”, Гильберт
кеңістігіндегі “призма” ұғымдарын, жалпы түрде алғанда, ешқандай сурет,
модель бойынша сипаттауға болмайды. Оларды дүниеде кездесетін нақты
нәрселердің пішіндері мен қатынастары арқылы түсіндіру өте қиын. Сөйтсе де,
Геометрияның байырғы салалары жаңа салаларының қарапайым дербес көріністері
болып табылады. Сөз болып отырған жаңа теориялардың қайшылықсыздығы мұқият
дәлелденген және олар күмәнсіз. Соңғы салалар да, тарихи жағынан Геометрия
шаңырағының астында туғандықтан және олардың заңдары бұрынғы Геометрияның
заңдарына сырттай ұқсас болғандықтан, Геометрияға жатқызылады. Сөйтіп,
Геометрияның өрісі мүлдем кеңейіп кетті. Оның жоғарыда келтірілген
анықтамасына “сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды
зерттейтін” деген сөздер сондықтан қосылған. Осылай кең мағынада түсінген
жағдайда ғана Геометрия математиканың көптеген саласымен астасып жатады.
Геометрия — ерте замандарда шыққан ғылымдардың бірі, оның тарихы да
әріректен басталады. Сапалық өзгерістерге ұшырап, жаңа сатыларға көтерілу
дәрежесіне қарай Геометрияның даму жолын 4 дәуірге бөлуге болады.
Бірінші дәуір өте ерте заман мен біздің заманымыздан бұрын 5 ғасыр
аралығын қамтиды. Бұл дәуірдің басталған уақытын кесіп айтуға болмайды.
Қарапайым Геометриялық ұғымдар әр кезде және әр жерде шыққан. Алғашқы
мәліметтер Ежелгі Шығыс елдерінде — Мысыр мен Вавилонда, Грекияда,
кейінірек Үндістанда пайда болған. Ертедегі мысырлықтар Нілдің жағасындағы
құнарлы топыраққа бидай егіп күнелткен. Ніл жыл сайын тасып, жағадағы
учаскелердің белгіленген шекараларын бұзып кетіп отырған. Ал шаруалар су
қайтқан сайын өз жерлерін өлшеп барып, айырып алатын болған. Учаскелердің
ұзындығын, енін, жиек сызығын үнемі өлшеу нәтижесінде қарапайым ережелер
пайда болған. Нілдің таситын және қайтатын уақыттарын бақылау нәтижесінде
Мысыр күнтізбесі шыққан. Уақыт есебі жұлдыздардың өзара және көкжиекпен
жасайтын бұрыштарын (бұл бұрыштардың төбелері бақылаушы тұрған жерде
болады) өлшеуді қажет етеді. Мысыр патшалары — перғауындар (фараондар)
өздеріне ескерткіш және зират ретінде, тірі күндерінде, зәулім құрылыстар —
пирамидалар салдырған. Пирамида салу жұмыстары өлшеу әдістерін бірсыдырғы
жүйеге келтіре отырып, кеңістіктік Геометрия мен механиканың дамуына ықпал
етті. Бізге жеткен матем. папирустар Ежелгі Мысыр математикасының бертінгі
ғасырларына жатады. Папирустардағы аудан мен көлем жөніндегі есептердің
көпшілігі дұрыс шығарылған. Бірақ ережелердің ешқайсысы дәлелденбеген.
Үшбұрыштың, трапецияның, дөңгелектің ауданы жуық түрде есептелген,
табандары квадрат болып келген қиық пирамиданың көлемі дәл табылған. Ежелгі
Вавилон Геометриясының деректері балшықтан иленіп жасалған тақташаларға
жазылып қалған. Оларға қарағанда ұзындық, аудан, көлем жөніндегі
мысырлықтар білген есептерді вавилондықтар да шығара білген. Вавилондықтар
кейбір дұрыс көпбұрыштарды, қиық конусты, тағыда басқа қарастырған,
шеңберді 360 градусқа бөлуді шығарған, есептерді теңдеулерге келтіруді
жақсы білген, Геометрияны астрономияға қолдана бастаған. Вавилондықтарға
Пифагор теоремасы да белгілі болған. Кейбір Геометриялық деректер Ежелгі
Үндістан мен Қытайда да кездеседі. біздің заманымыздан бүрын 7—6 ғасырларда
гректердің арасынан ғылыммен арнайы шұғылданатын, табиғат құбылыстарын
зерттейтін оқымыстылар шықты. Олардың кейбіреуі білім іздеп, ел кезіп,
көрші халықтардың тұрмысымен, ғыл.-мәдени табыстарымен танысып, саяхаттар
жасады, Мысыр мен Вавилонға барып жүрді. Өндіргіш күштердің дамуы, нақты
фактілердің молаюы, оқымыстылардың ой өрісінің өсуі матем. сөйлемдерді
тексеру және дәлелдеу әдістерін тудырды. Мысалы, радиусы р-ге тең
дөңгелектің ауданын мысырлықтар 256 р2 : 81 деп, вавилондықтар 3 р2 деп
есептеген. Осылардың дұрысын таңдап алу үшін тиісті сөйлемді — теореманы
дәлелдеу керек болды. Бірталай теоремаларды Фалес, Пифагор, Гиппократ,
Демокрит дәлелдеді. Дәлел-демелердің дұрыс қалыптасуына философия ғылымының
да ықпалы болды. Сөйтіп, біздің заманымыздан бұрын 5 ғасырда Геометрия
өзіне тән ұғымдары мен әдістері бар жүйелі ғылым дәрежесіне көтерілді. Осы
дәуірдің аяғында Гиппократ, Феодесий, тағыда басқа “Геометрия негіздері”
деген атпен көлемді кітаптар жазды. Екінші дәуірдің басы болған Евклид
еңбектері шыққанда бұл кітаптар кейін ысырылып, ақыры мүлде ескерусіз қалып
қойды.
Екінші дәуір — Евклидтен Р. Декартқа дейінгі кезең; ол 2 мың жылға
созылды. Евклид Геометрияның өзіне дейінгі табыстарын жинап, талдап,
қорытып, бір ізге түсіріп, біздің заманымыздан бұрын 300 жылы шамасында
“Негіздер” атты, 13 бөлімнен құралған шығарма жазды. Онда Геометрия
аксиомалар мен қағидалар (постулаттар) негізінде логикалық жолмен құрылған
жүйелі дедуктивтік ғылым (кеңістіктік пішіндер мен қатынастар туралы ғылым)
дәрежесінде баяндалды. “Негіздерде” 121 анықтама, 5 қағида, 9 аксиома, 373
теорема келтірілген. Осы күнгі элементар Геометрия, жалпы алғанда, Евклид
қалыбынан шыққан. Геометрияға Архимед пен Аполлоний де ірі үлес қосты.
Бұлардың біріншісі — дөңгелектің, парабола сегментінің ауданы, пирамиданың,
конустың және шардың көлемі жөніндегі теоремаларды, тағыда басқа
тұжырымдады, ал екіншісі — конустық қималарды мұқият зерттеп, құнды ғыл.
мұра қалдырды. Астрономиямен шұғылданған — Гиппарх, К. Птолемей, Менелай,
тағыда басқа сфералық Геометрия мен тригонометрияны қалыптастырды. Евклид,
Архимед, Аполлоний заманы грек геометриясының “алтын ғасыры” болған еді.
Одан кейін Грекияның ғылымы мен мәдениеті құлдырай бастады. Орта ғасырларда
элементар Геометрия Үндістанда, Орта Азияда, араб елдерінде дамыды. Орта
Азия мен Қазақстан оқымыстыларынан Геометриямен шұғылданғандар: Ғаббас әл-
Жауїари, Әбу Наср әл-Фараби, Әбу Райхан әл-Бируни, Ғийас әд-Дин Жәмшид әл-
Кәши, тағыда басқа болды. Екінші дәуірдің аяғында Геометрия Батыс Еуропада
жандана бастады. Бұл кезде И. Кеплер мен итальян математигі Б. Кавальеридің
(1598 — 1647) еңбектері тарихи белес болды.
Үшінші дәуір Р. Декарттан Н.И. Лобачевскийге дейінгі 200 жылды
қамтиды. Бұл дәуірде аналит., проективтік және дифференциалдық Геометриялар
пайда болды. Аналитикалық геометрия координаттар әдісіне сүйенеді. Онда
нүктенің орны сандар арқылы, ал сызықтар мен беттер теңдеулер арқылы
анықталады. Геометрияның бұл саласының іргесін Декарт пен француз
математигі П. Ферма (1601 — 65) қалады, ал оны француз математигі А. Клеро
(1713 — 65) мен Л. Эйлер кемелдендірді. Фигураларды проекциялар арқылы
түрлендіру жолдарын зерттеу нәтижесінде проективтік Геометрия қалыптасты.
Бұл бағытта француз математигі Ж. Дезарг (1593 — 1662), Б. Паскаль, француз
математигі Ж. Понселе (1788 — 1867), неміс математигі К. Штаудт (1798 —
1867), швейцар математигі Я. Штейнер (1796 — 1863) жемісті еңбек етті.
Кеңістіктегі фигураны жазықтықта кескіндеу жолдарын талдап, француз
математигі Г. Монж (1746 — 1811) сызба Геометрияны жасады. Сызба Геометрия
проективтік Геометрияның тарауы болып саналады. Эйлер мен Монж
дифференциалдық есептеу әдістерін Геометрияға қолдана бастаған болатын. К.
Гаусс бұл мәселені одан әрі дамытып, классикалық дифференциалдық
геометрияны қалыптастырды. Дифференциалдық Геометрия сызықтар мен беттердің
қасиеттерін дифференциалдар арқылы зерттейді.
Төртінші дәуір Лобачевский еңбектерінен басталады. Өз зерттеулерінде
Лобачевский үш принципке сүйенді. Олар: Евклид Геометриясы болуға тиіс және
ол бірден-бір Геометрия емес; аксиомаларды өзгертіп, жаңа Геометрияжасауға
болады; нақты кеңістікке қандай Геометрия сәйкес келетіндігін тәжірибе
көрсетеді. Лобачевский Евклидтің 5-қағидасын (постулатын) өзінің басқа
аксиомасымен (Лобачевский аксиомасы деп аталатын) ауыстырып, жаңа Геометрия
жасады. Бұл Г-ға Гаусс пен венгр математигі Я. Больяй (1802 — 60) да жақын
келді. 5-қағида орнына өз аксиомасын (Риман аксиомасы деп аталатын) алып,
Ф.Б. Риман эллипстік Геометрияның негізін салды. Риман кеңістікті кез
келген біртектес объектілер мен құбылыстардың үздіксіз жиыны ретінде түсіну
қажеттігін көрсетті. Бұл идеяның құлашы кең болды. Соның арқасында
кеңістіктің көптеген матем. теориялары жасалды. Лобачевский идеялары
Геометрия негіздемелерінің шығуына, Геометриялардың жалпылануына және
олардың одан әрі дамуына жол ашты. Проективтік-дифференциалдық Геометрия,
топология, көп өлшемді кеңістіктер Геометриясы, көпбейнеліктер Геометриясы,
тағыда басқа осы дәуірде шықты. Геометриялар бірқатар арнаулы салаларға
бөлініп кетті.
Қазіргі Геометрия, кеңістік пен фигураны жиын ұғымы арқылы анықтайды.
Онда кеңістік әдеттегі қатынастар сияқты, дәйекті қатынастар тағайындалған
элементтердің (“нүктелердің”) жиыны ретінде қарастырылады. Тиісті
қатынастар тағайындалған жағдайда, сәуле түстерінің жиыны, [0; 1]
кесіндісіндегі үздіксіз функциялардың жиыны, тағыда басқа “кеңістіктер”
құрастыра алады. Сәуле түстері, күйлер, функциялар сол сәйкес
“кеңістіктердің” “нүктелері” рөлін атқарады. Негізгі кеңістіктік қатынастар
ретінде “ара қашықтық”, “іліктестік”, “нүкте аймағы”, “сәйкестік”, тағыда
басқа ұғымдар алынады. Жиындар мен қатынастарды әр түрлі етіп алып, әр
түрлі Геометрияларды құрастыруға болады. Соңғы кезде өлшемдерінің саны
шектеулі болатын кеңіс-тіктің Геометриясы қалыптасты. Ол функционалдық
анализ курсында баяндалады.
Геометрия табиғатты зерттеуде, техниканы дамытуда қуатты құрал болып
табылады. Ол матем. анализге, механикаға, физикаға, астрономияға,
геодезияға, картографияға, кристаллографияға, тағыда басқа ғылымдарға
елеулі ықпал етеді.
Қазақстан математиктерінің Геометриядан жүргізген зерттеу жұмыстары
(ҚазМУ-де 1950 жылдары) акад. А.Д. Александровтың ықпалына байланысты
болды. Ол беттер теориясын әрі қарай дамыту мәселесін қойды. Сөйтіп
беттердің кең класын екі дөңес беттің айырмасы ретінде қарастыруға
болатынын көрсетті. В.В. Стрельцовтың еңбектері беттердің жалпы теориясына
арналды. Д.Ш. Юсуповтың зерттеу жұмыстары Лобачевский және эквиаффиндік
кеңістіктерде шекті бұрылысы және шекті толық бұралуы бар реттелмеген
сызықтардың жалпы теориясына байланысты болды. К.П. Персидский өз еңбегінде
Евклид кеңістігіндегі Лобачевский геометриясының түсіндірмесін берді.
Геометрияның басқа бөлімдеріне жататын жұмыстардан: жалпы перпендикулярлары
Гишар конгруэнциясы болатын қабаттас қос конгруэнциялар зерттелді
(А.Нәубетов); аффиндік байланыстағы сызықтық элементтер кеңістігінде
нормаль координаттардың дифференциалдану тәртібі қарастырылды (Э.И.
Хмелевский); кеңістіктегі төрт-ткань қисықтың 11 түрі табылды (Т.К.
Нәзіров); Лобачевский жазықтығында тор бұрышымен анықталмайтын түзу сызықты
торлардың қасиеттері зерттелді (П.И.Токарев); шекараларында байланыстары
бар қисықтығы теріс айналу беттерінің шексіз аз иілімі қарастырылды (Ж.
Өтеулиев); бірқатар жұмыстар векторлық есептеулердің шығу тарихы мен жеке
дамуына арналды (Ф.Д. Крамар).
1.2 Есептердің түрлері
Есепті шешу деп 5 қажетті логикалық ой тұжырымдауды математикалық
түрлендірулерді, есептеулерді және салуларды толықтай жүргізу
қорытындысында оның сұрағына жауап беруді айтамыз. Есептің шешімі болмауы
мүмкін, бірақ оның жауабы болады. Сондай-ақ, есептің бірнеше шешімі болуы
мүмкін, ал оның жауабы біреу ғана болады. Мысалы: Берілген қабырғасы және
биіктігі бойъшша параллелограмм салуға бола ма? десек, онда бұл есептің
бір емес бірнеше шешімі бар, ал жауабы біреу: параллелограмды салуға
болады.
Шешу кезінде қандай ойлау түрінің басым болуына байланысты есептерді
алгоритмдік, жартылай алгоритмдік және эвристикалық деп шартты түрде үшке
бөлуге болады.
Танымдық есептер негізінен жартылай алгоритмдік, дамушы – эвристикалық
есептерге жатады. Формула немесе ереже бойынша шығарылатын есептер
алгоритмдік және жартылай алгоритмдік болып келеді.
Есептің шешімінде ешбір қателіктер болмаса, онда ол дұрыс болып
саналады. Есептердің шешімдерінде кездесетін қателіктер әр түрлі болады.
Олар шешу процесінде берілетін түсініктемелерде, логикалық ой қорытуларда,
есептеулерде, түрлендірулерде және т. б. болуы мүмкін.
Есепті шығару барысында бірінің әсерін бірі жоятын бірнеше қателер
жіберіліп, есептің жауабы дұрыс болып та шығуы мүмкін. Сондықтан есеп
жауабының дұрыстығы шешу жолының дұрыс екендігінің кепілі бола алмайды.
Шешімінің дұрыстығына көз жеткізу үшін есепті бірнеше амалмен
шығарады, не берілген есепке кері есепті шығарады.
Алайда есеп шешімінің дүрыстығына көз жеткізетін ең негізгі бір әдіс —
тексеру, ол — шешу процесінің әрбір қадамына тәптіштеп талдау жасау.
Мектеп есептерінің мазмұнында көбінесе берілген деректердің саны
анықталған бір немесе бірнеше шешім шығатындай етіп беріледі. Мұны
анықталған есептер деп атайды. Егер есепте берілгендердің саны оны шығаруға
қажеттілерінің санынан асып кетсе, ондай есеп артығымен анықталған деп
аталады. Мұндай есептердің ішінде кейбіреуінің ғана шешімі болады. Жалпы
жағдайда олардың шешімдері болмайды. Есептегі берілгендердің саны
жеткіліксіз болса, онда оны жеткіліксіз анықталған есеп дейді. Бұл
есептердің шексіз көп шешімдері болады, сондықтан жеткіліксіз анықталған
есептердің шешімдері болмайды деп айту дұрыс емес. Мұндай есептердің
шешімдері болады, ерекшелігі, олардың шексіз көп болуында. Яғни олардың
кез келгенін берілген есептің шешімі ретінде алуға болады.
Есеп қарастырылатын объектілеріне байланысты – практикалық және
математикалық болып екіге бөлінеді. Яғни есепте қарастырылатын объектінің
бірі нақты шын зат болатын болса, ол практикалық есеп.
Мысалы, Жер радиусы 6370 км, ал одан 4 км жоғары биіктікте ұшып бара
жатқан тікұшақтан қаншалықты алыс жер көруге болады? Есепте қарастырылатын
объектілер таза математикалық болса, ол математикалық есеп. Мысалы, М
нүктесінен жүргізілген қиюшы шеңберді А және В нүктелерінде қияды, сол
нүктеден жүргізілген жанама шеңберді С нүктесінде жанайды.
МС2 =МАМВ болатындығын дәлелде.
Теоремаға байланысты стандартты және стандартты емес есеп түрлері
белгілі. Дайын ережелердің көмегімен шығарылатын есеп стандарттық есеп
делінеді де, ал шығару жолдары дайын ережелер арқылы табыла қоймайтын есеп
– стандартты емес есеп болады.
Мысалы,
1) егер болса, онда арифметикалық прогрессияның алғашқы
алты мүшесін жаз (стандарттық есеп);
2) арифметикалық прогрессияның төртінші мүшесі 4- ке тең. Прогрессия
айырымының қандай мәнінде оның алғашқы үш мүшесінің қос – қостан алған
көбейтінділерінің қосындысы ең кіші мәнге ие болды (стандартты емес)?
Есеп талабына қарай:
а) есептеу;
ә) дәлелдеу;
б) зерттеу;
в) салу есептеріне бөлінеді.
Есептеуге арналған есептерге: өрнек мәнін табу, функцияның мәнін
есептеу, кесіндінің ұзындығын, фигураның ауданын табу, бұрыш шамасын
анықтау т.с.с. жатады.
Қандай да болмасын ұйғарымның ақиқаттығына көз жеткізу немесе
ұйғарымның жалғандығын тексеру не белгілі бір құбылыстың дұрыстығын
түсіндіру – дәлелдеу есептері.
Теоремалардың барлығын да дәлелдеу есептеріне жатқызуға болады.
“217+1 саны жай сан ба, құрама сан ба?”
“Қандай трапецияның диагоналы оның орта сызығын тең үш бөлікке
бөледі?”.
және - ның қандай мәндерінде
теңдіктері орынды” т.с.с. есептері зерттеуге арналған есептер. Зерттеу
көптеген есептер шығару кезінде кездеседі: нүктелердің геометиялық орыны,
теңдеулер мен теңсіздіктердің шешім сандарының қаншалықты болады т.с.с.
Белгілі бір құралдар жәрдемімен берілген шарттарды қанағаттандыратын
фигуралар салу – салу есептерін құрайды.
Есеп шығаруға кіріспес бұрын, оқушыларды есеп түрін анықтап алуға
үйрету – басты талаптардың бірі болып табылады.
Өзінің алға қойған дидактикалық мақсаттарына қарай есептерді үш топқа
бөлуге болады:
1) танымдық есептер: бұлар арқылы жаңа білім алынады;
2) машықтану есептері: бұлар арқылы орнықты білім дағдылар қалыптасады;
3) шығармашылық ойлауды қажет ететін дамыту есептер.
Таным есептерін жаңа материалдар өтуде, оқытудың проблемалық және
эвристикалық әдістерін қолдануда шығару керек. Бұл дидактика талабына сай
келеді, сондықтан математиканы оқып – үйрену барысында кеңінен қолданылады.
Алайда, мектеп математикасында ең көп таралған есеп түрлері жаттығу
есептері болып табылады, олар математикалық білімдерді қолдануда сапалы
және берік дағдылар қалыптастыра отырып, математикалық теорияларды саналы
түрде меңгеруге ықпал етеді.
Жаттығу және танымдық есептерді шығарумен шектелу, оқушылардың
эвристикалық, шығармашылық ойлауын дамытуды толық қамтамасыз ете алмайды.
Сондықтан бұл мақсатты жүзеге асыруға математикалық, логикалық,
интуициялық, тапқырлық т.б. қабілеттер араласатын арнайы іріктелген есептер
шығарып отырудың маңызы аса зор.
Енді есеп шығару процесінің логикалық байланыс схемасын келтірейік.
Бұл схемада есеп шығару процесінің әр түрлі кезеңдерінің арасындағы
байланыстылықтар көрсетілген. Мысалы, есепті талдау барысында оны схемалық
түрде жазу жүзеге асырылады да, шығару тәсілін іздестіруде оның әсері
болады. Есепті зерттеу - оған талдау жасау, шығару жоспарын жүзеге асыру
және есеп жауабы арқылы орындалады. Ал есеп шығаруды талдау, шығару тәсілін
іздестіру мен шығару жоспарын жүзеге асыру кезеңдерінде ескеріліп, солармен
бірге жүргізіледі.
1.3 Есеп шешуге үйрету әдістемесі
Есеп шығарудың математиканы оқып үйренуде алатын орны өте зор.
Оқушылардың математиканы меңгеру деңгейі көбінесе олардың математикалық
есептерді шығаруға қаншалықты төселгендігі арқылы бағаланады.
Оқыту үрдісінде есеп шығаруға оқушыларды үйрету мақсат десек, ал
белгілі бір типтегі есептердің шығарылуын қарастыру қандай да бір
математикалық материалды меңгеруге әсерін тигізетін әдіс болып табылады.
Сондықтан оқыту барысында оқушыларды есеп шығаруға үйретуге көп көңіл
бөлінеді. Соңғы кезге дейін есеп шығаруға үйретудің бірден-бір тәсілі
белгілі бір түрдегі есептерді шығарып көрсету ғана болатын. Сондықтан
оқушыларға арналған есеп шығару құралдары жауабы және оған байланысты
кейбір нұсқаулары бар есептер жинағы болып келді.
Оқушыларда есеп шығарудың жалпы білігі мөн дағдысын қалыптастырудың
қиындығы олардың есеп шығару барысындағы іс-әрекеттеріне жүйелі де тиянақты
талдау жасалып отырмауына, оқушылар шығаратын есептердің барлығына ортақ
жалпы істің анықталмауына, сондай-ақ белгілі бір типтегі есептерді шығаруға
үйретуді неден бастау керектігін, ондағы жүйелілік пен сабақтастықтың қалай
болатынын анық білмеуге байланысты екенін мектеп тәжірибесі көрсетіп отыр.
Бұл пән осы айтылған мәселелерді шешуге септігін тигізу мақсатын
көздейді. Мұнда қазіргі әдебиеттерде есеп ұғымына беріліп жүрген
анықтамаларға талдау жасальш, есептің шешуі және оны шығарудың мақсаты мен
ролі жөнінде айтылады. Сонымен қатар, онда есеп шығарудың жалпы әдіс-
тәсілдері, есепті шешу процесінің құрылысы, есепке, оның ішінде сюжетті
есептерге жасалатын семантикалық талдау, есеп шығару тәсілін іздестіру,
оның идеясының дамуы және т. б. сияқты есеп шығаруға үйретудің жалпы
мәселелерімен қатар, геометрия есептерін векторларды қолданып шығару,
есептерді теңдеу құру арқылы шығару сияқты кейбір жеке мәселелерде сөз
болады.
Есепті шығару барысында бірінің әсерін бірі жоятын бірнеше қателер
жіберіліп, есептің жауабы дүрыс болып та шығуы мүмкін. Сондықтан есеп
жауабының дұрыстығы шешу жолының дұрыс екендігінің кепілі бола алмайды.
Шешімінің дұрыстығына көз жеткізу үшін есепті бірнеше амалмен шығарады, не
берілген есепке кері есепті шығарады. Алайда есеп шешімінің дүрыстығына көз
жеткізетін ең негізгі бір әдіс — тексеру, ол — шешу үрдісінің әрбір
қадамына тәптіштеп талдау жасау.
Мектеп есептерінің мазмұнында көбінесе берілген деректердің саны
анықталған бір немесе бірнеше шешім шығатындай етіп беріледі. Мұны
анықталған есептер деп атайды. Егер есепте берілгендердің саны оны шығаруға
қажеттілерінің санынан асып кетсе, ондай есеп артығымен анықталған деп
аталады. Мұндай есептердің ішінде кейбіреуінің ғана шешімі болады. Жалпы
жағдайда олардың шешімдері болмайды. Есептегі берілгендердің саны
жеткіліксіз болса, онда оны жеткіліксіз анықталған есеп дейді. Бұл
есептердің шексіз көп шешімдері болады, сондықтан жеткіліксіз анықталған
есептердің шешімдері болмайды деп айту дұрыс емес. Мұндай есептердің
шешімдері болады, ерекшелігі, олардың шексіз көп болуында. Яғни олардың
кез келгенін берілген есептің шешімі ретінде алуға болады.
Математика ғылым ретінде есептен пайда болған және есеп арқылы дамиды.
Тарихқа жүгінсек, ең көне математикалық ескерткіштер Рим және Мәскеу
папирустарында есептер қарастырылып, оларды шығару жолдары берілген. Есеп
шығару мұқтаждығынан мүмкіншіліктер теориясы, ойындар теориясы, информатика
теориясы және т. б. дамыды. Мектеп математикасын есепсіз құру мүмкін емес.
Математикалық есеп оқушылардың ұғымдарды, теорияны және математика
әдістерін меңгерудің тиімді де, айырбасталмайтын құралы болып табылады.
Оқушылардың ойлау қабілеттерін дамытуда, оларды тәрбиелеуде, біліктіліктері
мен дағдыларының қалыптасуында, математиканың практикамен байланысын
көрсетуде есептің алатын орны өте зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп – басты қызметші
болып табылады. Есептің негізгі міндеттері: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және
бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін орындайды. Басқаша
айтқанда, кез келген есепті шығарғанда оқушы математикалық білім алады,
шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни математикалық білім
деңгейі жоғарылайды. Көбінесе әр есеп өзінің мазмұны арқылы тәрбиелік
міндетін атқарады. Мысалы, қоғам дамуының әртүрлі кезеңдеріне байланысты,
есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде есептер жинағы көпестердің
сауда-саттығын, арзанға сатып алу, керісінше қымбатқа сату, құмарлық
ойындарында ұту т.с.с. мазмұнды болды. Қазіргі оқулықтарда есеп мазмұны
оқушылардың жоғарғы моральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми
көзқарастарын дамытуға, интернационалдық және париоттық рухта тәрбиелеуге
негізделген. Оқушыларды есеп мазмұны арқылы ғана тәрбиелеп қоймай, оларды
есеп шығаруға үйретуде тәрбиелеу болып саналады. Есеп шығару оқушылардың
сөйлеу мәдениетіне, мінез-құлқының қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа,
бастаған істі аяғына дейін жеткізу, қиындықты жеңе білу сияқты
қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпалын тигізетіні аян.
Есеп оқушылардың логикалық ойлау, кеңістікті елестету, жеке бас
қабілеттерін дамытуға бірден-бір себепші болатын басты құрал болып
табылады. Оқушылардың білімін, біліктілігін және дағдысын анықтауды бақылау
міндеттері де көбінесе есепке жүктеледі.
Математиканы оқытуда есеп шығарудың үлкен маңызы бар. Оқушылардың
математиканы оқып білудегі жетістігі олардың есепті шығаруға қаншалықты
төселгендігіне қарай бағаланады .
Шығарылатын есептің ролі мұғалімнің бұл есепті шығаруға ұсынғанда
қандай мақсат қоюына байланысты. Кейбір жағдайларда оқып білуге тиісті
теориялық материалдың мәнін, практикалық мағынасы мен маңыздылығын түсіну
есептер шығару арқылы іске асырылады. Бұл жағдайда есептер шығару
математикалық ұғымдарды қалыптастыруға мүмкіндік береді. Есептер шығару
оқушылардың білімін толықтырып, нақтылау және дағдыларды қалыптастырып,
одан әрі жетілдіру үшін пайдалынылады.
Есеп шығару кең көлемдегі тәрбиелік мақсатты да көздейді: қоғамдық
құрылыстың жетістіктерін көрсететін есептер отанға сүйіспеншілікке
тәрбиелейді; көптеген есептер оқушылардың алған білімдерін оқу процесінде
немесе өмірде, практикада қолдануға дайындайды; есеп шешуін іздеу
оқушыларды қиыншылықты жеңуге жігерлендіреді, тапқырлыққа, зеректілікке
тәрбиелейді; берілген есептің шешуін табудағы творчестволық процеске қатысу
оқушыға эстетикалық ләззат алуына жағдай жасап, эстетикалық тәрбие береді.
Математикалық есептерді шығара білуге үйрету және одан әрі оған
дағдыландыру - мұғалімдер алдында тұрған өте қиын да жауапты жұмыс. Әр
оқушының математикаға деген ұқыптылығы мен зейінділігі түрліше, ал
математикалық есептердің саны шексіз көп. Есеп шығаруға үйрету мен
дағдыландыру көбіне класта сабақ өту кезінде болатындықтан, барлық
оқушыларды есеп шығарудың жалпы әдіс-тәсілдерімен қаруландыру керек. Мұны
іске асыру үшін олардың есеп шығару процесіндегі іс-әрекеттерін
басқарып, жұмысты белгілі бір жүйемен жүргізген жөн.
Оқушының есеп шығарудағы іс-әрекеті оның осы есепті шығару
процесіндегі істерінің белгілі бір системасын құрайды. Оқушыларға орындауға
ұсынылған істер әр кезде де ол үшін қарапайым, бір мағыналы, оңай
орындалатын болып келмейді. Бұл жағдайда мұғалім кез келген күрделі істі
қарапайым, нақты, белгілі әдіспен оңай орындалатын және оқушылар оқып
үйренудің осы сатысында орындай алатын операциялардың құрылымы түріне
келтіруге болады деп ұйғарғаны жөн. Содан кейін бұл ұйғарымды іске
асыруға, яғни күрделі істі қарапайым, оңай-орындалатын операцияларға
бөліктеуге жіріседі. Күрделі істі қалай орындаудың құрылымы табылды деуге
болады, егерде сол істі орындауға қажетті қарапайым операциялардың бәрін
білумен қатар, оларды орындаудың оптимальдық реті де табылса. Сонан соң
мұғалім осы табылған операциялар системасын орындай білуге оқушыларды
үйретеді.
Оқушыларда есеп шығарудың жалпыланған қорытынды білігін (обобщенное
умение) қалыптастыру деп оларды өз бетімен есеп шығара білуге үйретуді
айтамыз. Оқушылардың өзіндік жұмысы оларды есептер шығара білуге үйрету
схемасының негізі болуға тиіс.
Оқушыларды есептер шығара білуге үйрету үрдісі шығармашылық сипатта
болуға тиіс, яғни мұғалім ұсынған методты сол күйінде қолдануға жол бермей,
есепті шығару жолын іздеп табу мұғалімнің басшылығымен орындалатын оның
шығармашылық жұмысының жемісі ретінде болғаны жөн.
Ғалым А.В. Усова оқушыларды есеп шығаруға үйретудің үш әдісі болады
деп көрсеткен.
Олардың біріншісі дәстүрлі әдіс деп аталып, мына схема бойынша іске
асады:
Мұғалімнің Ұжым болып Бақылау
есеп шығару есеп шығару есептерін өз
тәсілін беттерімен
түсіндіруі шығару
Екінші әдіс жаңа екі элементпен толықтырылады:
а) жартылай өзіндік және б) толықтай өзіндік болып. Бұл әдіспен
оқушыларды есеп шығаруға үйрету схема бойынша былай орындалады.
Берілген түрдегі есептерді шығару әдісін мұғалімнің түсіндіруі.
Ұжым болып
есеп шығару
Оқушы-лардың жартылай өзіндік
жұмыс-тары
Толықтай өзіндік
жұмыстар
Бақылау
жұмыс-тары
Үшінші әдісте екінші әдістің барлық элементтері болады. Бұл әдіс есеп
шығарудың алгоритмдік тәсілін қолдануды және есепті шешудің жаллы тиімді
тәсілін іздеп табу мен шығарудың алгоритмін құруға оқушылардың белсене
қатысуын талап етеді.
Бірінші дәстүрлі әдіспен оқушыларды есеп шығаруға үйретудің, оларда
есеп шығарудың жалпы қорытынды білігін қалыптастыруда, содай-ақ бұрын
меңгерілген әдіс-тәсілдерді жаңа түрдегі есеп шығаруға пайдалануда
машықтандыруға тиімділігі өте аз.
Екінші схема бойынша мұғалім коллектив болып тапқан есептің жалпы
түрдегі шешуі бойынша есептеулерді орындаңыздар деп әрбір оқушыға өзіндік
тапсырма орындатып, есеп шығарудың жеке операцияларын орындай білуге
біртіндеп үйрете бастайды. Келесі есептерді шығарғанда мұғалім есептің
жалпы түрде алынған шешуін тексеріп шығуды ұсынады және т.с.с. Оқушылар
бастапқы кезде мұғалімнің басшылығымен жеке операцияларды орындап, сонан
соң мұғалім есеп шығару процесіндегі бірнеше операцияларды қатарынан
оқушыларға өз беттерімен орындаттырады. Мұндай жұмыстар төменгі сыныптарда-
ақ, оқушыларды есеп шығара білуге үйретуге әсерін тигізеді.
2 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ ЖӘНЕ ОЛАРДЫ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ
2.1 Геометриялық есептердің түрлері және шешу әдістері
Геометриялық және алгебралық әдіс.
Геометрия есептері негізінен есептеп табуға, дәлелдеуге және салуға
арналған болып үш түрге бөлінеді. Бұлай етіп бөлу шартты түрде орындалады.
Мысалы есептеп табуға берілген есеп қандай да бір дәрежеде дәлелдеуге
арналған болады. Себебі есепті шығарғанда белгілі бір дәлелдеу орындалады,
сондай-ақ оны шығару үшін көпшілік жағдайда белгілі бір чертеж салынып,
оның кейбір элементтерін есеп шарты бойынша анықтап, салуға тура
келетіндіктен ол қандай да бір дәрежеде салу есебі болып табылады.
Есептеп табуға арналған есептер. Есепте берілгендерді пайдаланып
геометриялық фигураға байланысты қандай да бір геометриялық шаманың сан
мәнін табу талап етілсе, онда оны есептеп табуға арналған есеп деп атайды.
Бұл типтегі есептерді шығару үшін оқушы I - V кластардың математикасы
мен алгебра сабақтарында алған біліктері мен дағдыларын қолданады.
Есептеп табуға арналған есептерді мынадай топтарға бөледі:
1. Белгісіз шаманы табу үшін тек қана белгілі бір геометриялық пікірді
қолдануды қажет ететін есептер.
Мысалы. Үшбұрыштың табандарындағы бұрыштары 50° және 70°-қа тең.
Төбесіндегі бұрышын табыңыздар.
Мұндай есептер оқушылардың логикалық ой тұжырымдауларын дамытады,
бірақ аса тапқырлықты қажет етпейді. Оларды белгілі бір материалдардың
меңгерілуін тексеру үшін қолдануға болады.
Геометриялық мазмұны жағынан бірінші топтағы есептердің айырмашылығы
жоқ, бірақ арифметикалық типтес есептерді немесе теңдеу құрып оны шеше
білуді талап ететін есептер. Мысалы, параллелограмның периметрі 36 см, ал
бір қабырғасы екіншісінен екі есе ұзын. Параллелограмм қабырғаларының
ұзындықтарын табыңыздар.
Мұндай есепті шешуде оқушылар көбінесе арифметика мен алгебра
сабақтарында алған білімдерін қолдана алмайды қиналады. Бұл есептердің
құндылығы жеке математика пәндерінің арасын байланыстыруында.
Оны шығару үшін бірнеше геометриялық пікірлерді қолдануды, есеп шарты
бойынша сызба салып оны есептеп шығару үшін пайдалана білуді,
берілгендермен белгісіздер арасындағы байланысты тағайындай білуді, өзінің
ой тұжырымын дәлелдей білуді талап ететін есептер. Мұндай есептер
оқушылардың геометриялық түсінігін, ой-өрісін, кеңістік елесін, логикалық
тұжырымдауын дамытады.
Бұдан оқушыларды үйреткенде оңай есептерді шығарудан бастаған жөн. Ол
есептерді шығару арқылы оқушылар есеп шығарудың жоспарын жасауға, оның
әрбір кезеңін негіздеп дәлелдеуге, есептің шарты мен шығару жолын схемалық
түрде жаза білуге үйренеді. Егер мұғалім тиісті дайындықсыз оқушыларға қиын
есепті шығаруды ұсынса, онда оны сыныпта ешкім шығара алмауы немесе бір-екі
оқушы шығаруы мүмкін. Онда ол есептің шығару жолын айтып түсіндірудің
қажеті жоқ, бәрі бір көпшілік оқушылар оны түсінбейді. Бұл жағдайда осы
есептің жеке бір элементтері енетін оңай элементар есептердің бірнешеуін
шығарған жөн. Себебі оқушылар бұдан кейін ол элементтерді қиын есептің
құрамынан тауып, шешулері мүмкін.
Дәлелдеуге берілген есептер. Бұл типтегі есептерде қандайда бір
геометриялық фигура туралы айтылған пікірді дәлелдеу талап етіледі.
Шынында, мектеп бағдарламасына енбеген теоремаларды дәлелдеу болып
табылады.
Дәлелдеуге берілген есептерді шығарудың оқушылардың логикалық ой-
тұжырымдарын дамытуда алатын орны зор. Геометрияның бірінші теоремаларын
оқып білу кезінде дәлелдеуге берілген оңай есептерді шығару керек. Бұл
кезде әр түрлі әдісті қолданған жөн. Мысалы, не берілгені, нені табу керек
екендігі, белгіленген сызба бойынша есепті шығарту немесе есеп
шарты бойынша сызбаны оқушыларға салдырып, содан кейін шығарту. Мұның
бірінші жолы жеңілірек болғандықтан, содан бастаған жөн. Бір сызбада әр
түрлі бірнеше есеп шығару үшін пайдалануға болады. Бұл арқылы оқушылар не
берілген, нені дәлелдеу керек екендігін аңғаруға, дәлелдеу процесінде неге
сүйену керек екендігін үйренеді.
Егер дәлелдеуге берілген есептер тек қана дайын сызбамен шығарылатын
болса, онда оқушылар сөзбен айтылған есеп шартының математикалық мазмұнын
түсініп үйренбейді. Дегенмен оқушыларды есеп шартын өз бетімен түсінуге
және сол бойынша сызба салуға біртіндеп үйрегені дұрыс.
Дәлелдеуге берілген есептерді шығарғанда, теоремаларды дәлелдегенде
қолданылған ой тұжырымдардың әдістерін қолдануға тура келеді. Басқаша
айтқанда дәлелдеу жолын табу үшін талдау жасау қ ажет.
Бір мәселені әр түрлі тәсілмен дәлелдеу, оқушылардың ой өрісін
дамытуда зор әсер тигізеді. Соның нәтижесінде оқушылар есеп шығарудың
тиімді тәсілін табуға үйренеді.
Салуға берілген есептер. Геометриялық салулар фигураның қасиеттерін
анықтап білуге көмектеседі. Методикалық әдебиеттерде салуға берілген
есептер деп фигураның қандай да бір берілген элементтері бойынша сол
фигураның өзін салуды айтады. Мысалы екі қабырғасы және оның арасындағы
бұрышы бойынша үшбұрыш салыңыздар.
Салуға берілген есептерді шығарғанда қандай да ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz