Шектер теориясы

Кіріспе
Негізгі бөлім
Шектер теориясы
Функцияның шегі
Тізбектің шегі туралы ұғым
Шектер туралы теоремалар
Біржақты шектер
Шегі бар функциялардың қасиеттері
Шексіз кіші және шексіз үлкен айнымалы шамалар
Шектердің негізгі қасиеттері
Шексіз аз функциялар
Шектер туралы негізгі теоремалар
Лопиталь ережесі
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Шек ұғымы математикалық талдауда іргелі ұғым болып табылады. Шек жөнінде алғашқы мағлұмат сонау мектеп курсында кездеседі Мәселен, алгебрада шек ұғымы шексіз кемімелі геометриялык прогрессияның мүшелер қосындысымен байланысса, геометрияда, шек ұғымы шеңбердің ұзындығын, дөңгелек және бет ауданын, дене көлемін есептеумен байланысады.
Математикалық талдау курсында шек арқылы туынды, анықталған интеграл ұғымдары енгізіледі. Алдын ала сандық тізбек ұғымымен танысьш, келесі мысалдарды қарастырайық.
1) А.Т.Мусин,«Математика I»,Алматы,2012 жыл
2) Тоқбергенов Ж.Б., «Жоғары математика» ,Алматы,2014 жыл
3) Қ.Қабдықайыр, «Жоғары математика», Алматы,2005 жыл
4) Айдос Е.Ж. «Жоғары математика 2», Алматы 2008 жыл
5) Темірғалиев Н.” Математикалық анализ, І т, Алматы 1987 жыл
6) Фихтенгольң г.т “Математикалық анализ негіздері,” І т Москва 2003ж
7) Н.С.Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчесления І, ІІ том, Москва, 1988 г.
8) О.А. Жәутіков Алматы, 2014 г
9) В.П.Минорский, «Сборник задач по высшей матеамтике», Москва, «Наука» 1987 г
10) Ахметкалиев Т. «Математикалықталдау (дифференциалдықесептеу)» - Алматы,1994жыл
11) Бұлабаев, Т. «Математикалық талдау негіздері»,Алматы,1996жыл
12) Есмағанбетов, М. F.«Математикалықанализдіңсұрактары мен есептері»,Алматы,1995жыл
        
        Кіріспе
Шек ұғымы математикалық талдауда іргелі ұғым болып табылады. Шек жөнінде алғашқы мағлұмат ... ... ... ... ... ... шек ... шексіз кемімелі геометриялык прогрессияның мүшелер қосындысымен байланысса, геометрияда, шек ұғымы ... ... ... және бет ауданын, дене көлемін есептеумен байланысады.
Математикалық талдау курсында шек ... ... ... ... ... ... ... ала сандық тізбек ұғымымен танысьш, келесі мысалдарды қарастырайық.
Негізгі бөлім
Шек - математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Бұған анықтама беруді әуелі функцияның ең ... және ... ... атап ... ... ... n-нің функциясы хn-нің шегін анықтаудан бастаймыз. Сонан кейін барлық күрделі жағдайларда да шек табу мәселесі осы принциптің негізіне сүйене ... ... ... ... мәндеріненх1,х2,,,,,,хn,,
Тізбегін жасалық.
Анықтама. Алдын ала берілген кез келген аз оң сан ξ үшін ... N ... ... теңсіздігін қанағаттандыратын n-нің барлық мәндері үшін ... ... ... а саны 1 ... шегі деп ... да тізбек α санына ... ... ... ... а саны ... ... шегі болу үшін 2 ... берілген кез келген ε>0 үшін х-тің тек қана бір немесе бірнеше мәндерінде ғана орындалып қоймай хn-нің белгілі бір ... ... ... ... ... үшін ... шарт. Айнымалы хn-нің қай мәнінен бастап 2 теңсіздік міндетті түрде орындалатындығын N нөмірі деп ... бір ... ... айтқанда әрбір N нөмірі ε санына тәуелді. ... ол ... Nε деп ... ... ... ε>0 санына неғұрлым кешірек етіп алсақ ,жалпы айтқанда N нөмірі соғұрлым үлкенірек болады: басқаша айтқанда айнымалы ... α ... ... ... ... ... солғұрлым 1 тізбектің алысырақ мүшелерін қарастыру керек.
Бұл тәртіпке ... ... ... бар, ол: егер ... хn-нің барлық мәндері бірдей α санына тең болса, limхn= α , ... да, 2 ... α-α0 ... ... ... ... ... үшін 2 теңсіздік бір кезде орындалады.
Айнымалы хn-нің белгілі бір мәнінен бастап ... ... ... әрі ... ... әрі α ... тең ... да жоғарғы жағдай болатындығына өзінен-өзі айқын.
Ескерту. Жоғарыда аталған екі анықталмағандықтан басқа да infinity-infinity, 1infinity, 0infinity т.с.с. ... ... ... ... +infinity,-infinity, infinity ақырсыздықтары үшін келесі теңдіктер орындалады:
+infinity++infinity=+infinity*+infinity=-infinity*-infinity=+infinity:
-infinity+-infinity=-infinity: ... ... ... А>0 ... онда А*+infinity=+infinity: , А*-infinity=-infinity: ,
ал А>0 болса, онда А*+infinity=-infinity: , ... ... ... ... ... күнделікті тәжірібелік істе болсын алуан түрлі шамалармен кездесіп отырамыз. Табығаттың ... ... ... ... ... бірқалыпты болып тұрмайды, олардың кейбіреулері көп өзгерістерде балғанда , кейбіреулері бір күйде. Мәселен, бір тығыз жабылған ыдыстың ішіндегі газды қыздырсақ , ал оның ... мен ... ... ... ... ылғи ... ... қабылдайды ,яғни өсіп отырады.
Табиғат құбылысын сипаттайтын шамалардын барлығына тән ... ... ... ... өлшену қабілеттілігі бар.
Оларды олшеу нәтіжесі әрқашан да бір дәрежесіз сан болады. Осы ... ... ... мәні деп атайды.
Математика жаратылыстану ғылымның және техниканың күшті ... ... ... ... ... ... отыр.
Шектердің қазіргі теориясы XIX ғ-дың басында қалыптаса бастады. Шек ұғымы алғаш рет О.Коши еңбектерінде қолданылды. Тізбек пен функция ... ... ... мен К.Вейерштрасстың еңбектері негізінде қалыптасты
Функцияның шегі
x саны x0 санына ұмтыла берсін, бірақ оған тең болмасын. Бұны x-->x0 деп ... мына ... ... n-ші ... n ... ... нөлге ұмтылады (бірақ нөлге тең болмайды):
1,110,1102,...,110n,..
Аңықтама.
A саны y=f(x) функциясының x-->x0 ұмтылғандағы шегі деп ... егер x0 ... ... кез ... x1, x2, x3,... сандар тізбегі үшін сәйкесінше f(x1), f(x2), f(x3),... ... ... A ... ... ... деп белгілейді.
Функцияның нүктедегі шегінің бір-бірімен эквивалентті екі анықтамасын келтірейік.
1-анықтама.(функция шегінің Коши ... ... ...
... ... f ... х0 нүктесінің кейбір аймағында анықталса,мүмкін,осы х0 нүктеден басқа, және кез ... ε>0 ... ... >0 саны ... A (x--> х0) деп ... ... ... былай жазуға болады
limx-->х0fx=A ⟺∀ε>0∃δ>0∀x:0х0fx=A ⟺∀xn(limn-->infinityxn= x0, xn != x0): limn-->infinityfxn=A.
Мысал 1. f(x)=sin1x функциясы x-->0 шегі бар ... Кез ... екі ... ... x'n= 1PIn және x''n= 1PI2+2PIn .
Бұл екі тізбектің ... ... тең, яғни ... ... ... x''n!=0 , ∀n.
Сонымен f x'n=sinPIn=0, ... ... 2PIn=1, ... сондықтан limn-->infinityxn=0, limn-->infinityx''n=1.
fx=sin1x функциясының x-->0 шегі жоқ.
Мысал 2. fx=2x2+x-1x-1, ... ... ... xn ... ... xn!=0, ∀n∈N.
limn-->infinityfxn=limn-->infinity2xn2+xn-1xn-1=2limxn2+limxn-1limxn-1=1.
fx функцияның x-->0 шегі бар себебі функцияның мәндерінен құрылған тізбектің шегі f(xn) ... ... ... n-->infinity ұмтылғанда мәні 1-ге тең.
Тізбектің шегі туралы ұғым
Анықтама. Егер әрбір натурал санға n = 1,2,... ... бір ... xn ... саны ... ... онда x1,x2,...xn,.. сандар тізбегі анықталған дейді де былай белгіленеді
xn=x1,x2,...,xn,...,
мұндағы әрбір хn саны тізбектің элементі немесе мүшесі деп аталады. ... ... ... ... ... 2,5,10,...=n2+1
Шектің бірінші анықтамасы. A саньш xn тізбектің немесе хn айнымалының шегі деп атайды, егер әрбір е>0 оң ... n0 = n0(ε) ... саны ... мына ... ... саны үшін орьшдалса Бұл теңсіздікті былай да жазуға болады:
limn-->infinityxn=a немесе xn-->a, ... ... ... ... ... Егер limn-->infinityxn=a болса, онда limn-->infinityxn+1=a. болады және керісінше.
Шектің екінші анықтамасы. а ... {xn} ... шегі ... егер осы нүктенің кез келген маңайында тізбектің барлық мүшелері (нүктелері) ... тек ... ... ... {(-1)n+1}=1,-1,1,-1,.. тізбектің шегі жоқ. а саны осы тізбектің шегі болсын делік, онда анықтама бойынша a-13, a+13 ... ... ... мүшелері жатуы қажет. Бірақ бұл интервалда тек санаулы ғана мүшелер жатады.Себебі 2>23.
Шектер ... ... ... хn және уn ... а және b ... ұмтылса, онда олардың қосындысы хn+уn мына a+b шекке ұмтылады, яғни
limxn+yn=limxn+limyn ... ... ... оп ... ... ... бойынша: xn-a=N1ε
N ... N1 және N2 ... ең ... ... онда N саны ... ... n үшін n>=N ... теңсіздіктер сөзсіз орындалады. Енді мына айырманы
xn+yn
Қарайық. Бұл айырманың абсалют шамасы келесі теңсіздік
xn+yn-(a+b)0)(∃δ=δ(ε))(∀x∈(x0,x0+δ)): |fx-A2|x0+0fx=A2.
Оң жақты шек қысқаша былай жазылады f(х0 + 0) ... ... және оң ... ... ... ... деп ... Егер сол жақты f(х0 - 0) және оң жақты f(х0 + 0) шектер бар ... және олар ... тең ... онда ... х0 ... шегі бар, яғни f(х0 - 0)= f(х0 + 0)=A ... ... Егер f(x0-0)!=f(x0+0) онда limx-->x0f(x)шегі болмайды.
Шегі бар функциялардың қасиеттері
Функция шегінің Гейне анықтамасы бойынша нүктедегі функция шегін тізбектің шегіне ... ... ... шегі бар функциялардың қасиеттерінің дәлелдеуі тізбектің сәйкес ... ... ... ... Егер ... х0 нүктеде шегі бар болса,онда ол жалғыз.
2-Қасиет. Егер limx-->x0fx=A, A!=infinity болса, онда х0 ... ... ... f(x) ... ... ... жэне А ... сан болса, онда x0 нүктенің
қайсібір ойылған аймағы табыльш f(x)>A2, ∀x∈∪x0 теңсіздігі орындалады.
Егер А>0, онда f(x)>A2, ал егер ... ... ... және х0 ... ∪(x0) ... ... f1(x)x0f2x=A болса және x0 нүктесінің қайсібір ∪(x0) ойылған аймағында f1(x)x0fx=A!=infinity және ... ... ... ... ... ... ... шектері болады, сонымен қатар мына теңдіктер орындалады:
limx-->x0fx+-gx=limx-->x0fx+-limx-->x0gx=A+B.
limx-->x0fx∙gx=limx-->x0fx∙limx-->x0gx=A∙B.
limx-->x0fxgx=limx-->x0fx∙limx-->x0gx=AB, gx!=0,x-->x0.
Теорема.(Функция шегінің бар болуының Коши критериі)
f ... x0 ... ... шегі болу ... кез келген ε>0 санына
x0 нүктесінің Ux0,δ ... ... ... келген xx',x''∈Ux0,δ
Үшін мына теңсіздіктің
fx'-f(x'')0fx=0
y=f(x)
x
2-мысал. x аргументі шектеусіз өседі (x-->infinity) және онымен бірге функция мәні ... ... ... мына ... ... y=f(x) функциясы х-->0 болса,
ал 2-мысалда х-->0 болса, шексіз кіші шама болып келеді.
3-мысал. x аргументі арқылы a ... ... ... ... ... шектеусіз өседі, мұның өзінде x a-ға оң жағынан ұмтылғанда f(x)-->-infinity, сол жағынан ұмтылғанда f(x)-->+infinity. ... оны ... деп ... o a ... ... ... болатындай айнымалы β шамасын шексіз үлкен шама дейді. ... ... ... келтірілген у=f(x) функциясы х-->а болғанда, шексіз үлкен ... ... ... ... ... ... қасиеті: оған кері шама шексіз кіші болады. Расында, limx-->infinity1x=0 демек 1x шамасы x-->infinity болса - шексіз ... ... де ... ... кіші ... кері ... ... болады: limx-->01x=infinity Сонымен, бірден-бір 1x шамасы x-->0 немесе x-->infinity ұмтылуына сәйкес не ... ... не ... кіші шама ... Тағы бір ... үғым ... Екі шексіз кіші a1 және а2 шамалары lima1a2= 1 болғанда эквивалентті деп аталады да, оларға
a1~ a2 белгісі қолданылады.
Шектердің негізгі ... және ... ... шектер
Шектердің негізгі қасиеттері мектептегі математика курсынан белгілі:
1)Тұрақты х = с ... шегі с ... ... тең: ... у, ..., z саны ... және ... ақырлы шегі бар айнымалы шамалар болсын. Сонда ... ... ... ... алгебралық қосындысының (атап айтқанда, қосындысы мен айырымының) да шегі бар және ол ... ... ... ... ... ... шегі шектердің көбейтіндісіне тең:
lim(x·y·....·z)=limx·limy·...·limz.
3) и және φ айнымалы шамаларынын шектері бар және limφ!=0 болғанда, осы ... ... да шегі бар ... ... ... ... ... женілдетеді.
Кейбір мысалдарға тоқталайық.
1-мысал. х-->1 умтылганда у = 5x2-4x+23x2+x-3 функциясының ... ... ... ... ... ... алым мен бөлімнің шектерін табайық;
limx-->1(5x2-4x+2)= limx-->15x2-limx-->14x+limx-->12=5limx-->1x2-4limx-->1x+2=
=5∙1-4∙1+2=3.
limx-->13x2+x-3=limx-->13x2+limx-->1x-limx-->13=3∙1+1-3=1.
3-қасиетке сәйкес
limx-->15x2-4x+23x2+x-3=31=3.
Осы мысалда шектер қасиеттерін ... ... ... ... ... шек табуға қол жеткізді. Іс жүзінде мұндай жағдайлар сирек кездеседі, сондықган шектер жөніндегі теоремаларды қолданбас бұрын, берілген функцияны тепе-тең етіп ... тура ... ... ... ... ... ... ұмтылғанда y=3x2+2x-14x3+3x2+4 функциясының шегін табыңыз.
Шешім. limx-->infinity3x2+2x-14x3+3x2+4 өрнегінде алым мен ... ... ... ... ... ... ... > дейді.Қатынастың шегі жөніндегі теореманы тікелей қолдануға болмайды.Берілген бөлшектің алымы мен ... ... ... ... болып келетін x3-ке бөліп, бөлшекті алдын ала түрлендіреміз:
limx-->infinity3x2+2x-14x3+3x2+4=infinityinfinity=limx-->infinity3x+2x2-1x34+3x+4x3=limx-->infinity3x+2x2-1x3limx-->infinity4+3x+4x3=04=0.
3x,2x2,1x34x3,шамалары x-->infinity ұмтылғанда - шексіз кіші және ... ... ... ... y ... шегі ... тең, ... x-->infinity болғанда y - шексіз кіші функция.
3-мысал. limx-->infinity4x5+3x2+98x2+2x-1 шегін есептеңіз.
Шешім.Тағыinfinityinfinity нұсқалы анықталмағандыққа келдік. Осынын,
алдында ... ... ... ... ... дәрежесі 5-ке тең, ал бөлімнің үлкен дәрежесі 2-ге тең. ... мен ... х5-ке ... ... бөлшектегі алым шегі 4-ке тең де, бөлім шегі нөлге тең,x-->infinity бөлім шексіз кіші шама болғандықтан, қатынас шегі ... ... ... ... ... ... кішіге кері болғандықтан, шексіз үлкен шама болып табылады және оның шегі шексіздікке тең:
limx-->infinity4x5+3x2+98x2+2x-1=infinity.
Шектерді егжей-тегжейлі есептеумен айналыспай,математикалық анализдің көптеген сұрақтарында маңызды орын ... екі ... атап ... ... ... ... ... шегін есептеңіз.
1-тамаша шекті пайдалану үшін tg5x-ті sin5xcos5x қатынасымен алмастырып,алымы мен ... 3x және 5x-ке ... соң шек ... ... ... ... ... шек бізге белгіліlimz-->infinity1+1zz=e немесе lima-->01+a1a=e (екінші тамаша шек) теңсіздіктерін қолдану арқылы шығарылады.
Шексіз аз функциялар
Анықтама. Егер ... онда a(x) ... x-->a (x ... a- ға ұмтылғанда ) шексіз аз шама деп аталады.
Анықтама. Егер limx-->aβx=+infinity функциясы x-->a -ғы шексіз үлкен шама деп атайды.
Теорема. Егер ... ... аз шама ... a(x)!=0, ... болса,онда F(x)=1a(x) функциясы x-->a - ға шексіз үлкен шама болады.Бұл теорема керісінше де ақиқат.
Шектер туралы негізгі теоремалар.
Егер ... ... ... онда
1) ... ... келген x∈∪a үшін, g(x)!=0 және B!=0 ... онда ... ... ... ... ... үшін x- тің ... қойғанда 00;xx;infinity-infinity;1infinity;0∙infinity; т.с.с. анықталмағандықтар пайда болады. Шекті есептеу деп осы ... ... ...
* ... ... 4) ... ... ережесі
00,infinityinfinity,0∙infinity, infinity-infinity,infinity0,1infinity,00 түріндегі анықталмағандықтарды есептеуге Лопиталь ережесі жиі қолданылады.
1-теорема.f және g ... x0 ... ... ...
x0 ... ... ... нүктелерінде,үзіліссіз және олардың туындылары бар болсын.Осы көрсетілген аймақта g(x)!=0және g'(x)!=0 болып,
limx-->x0fx=limx-->x0gx=0
теңдіктері орындалсын.Егер ... бар ... ... бар ... және мына ... ... .
Дәлелдеуі. f және g функциялары x0 нүктесінде f(x0 ) = g(x0) = 0 болсын деп анықтайық.Онда олар x0 ... де ... ... даx0,x ... Коши ... ... қанағаттандырады,яғни
f(x)g(x)=fx-f(x0)gx-g(x0)=f'(x)g'(x), x0x0 ұмтылады,олай болса
limx-->x0f(x)g(x)=limx-->x0f'(ξ)g'(ξ)=limx-->x0f'(x)g'(x).
1-Ескерту.Лопиталь ережесіндегі теңдіктегі limx-->x0f'(x)g'(x) шектің бар болуы ... ... Енді ... ... ... ... limx-->0sin1x шегі жоқ.
2-ЕСКЕРТУ. Егер теңдіктің оң жағындағы f'(x)g'(x) қатынас 00
түріндегі анықталмаған болса және f'x,g'(x) функциялары 1-ші теоре
маның ... ... ... f және g ... x0 кейбір аймағында үзіліссіз және туындылары бар болсын және
limx-->x0fx=limx-->x0gx=infinity.
Осы аймақта g(x) жэне g'(x) ... тең ... ... ... Егер ... бар ... онда limx-->x0f(x)g(x) бар болады және мына теңдік орындалады
limx-->x0f(x)g(x)=limx-->x0f'(x)g'(x).
3-Ескерту.
1. (0∙infinity) ... ... ... 00 немесе infinityinfinity түріндегі
анықталмағандарға келтіруге болады, яғни оған да ... ... ... ... Егер x-->x0 ұмтылғанда f(x)-->0, g(x)-->infinity ... ... ... ... x-->x0, fx-->0, gx-->0, fg=eglnf-->e(0.infinity)
3. x-->x0, fx-->1, gx-->infinity, fg=eglnf-->e(0.infinity)
4. x-->x0, fx-->infinity, gx-->0, fg=eglnf-->e(0.infinity)
5. x-->x0, fx-->infinity, gx-->infinity, f-g=11f-11g=1g-1f1f∙1g-->-->00. ... ... ... limx-->infinityxaax=0, ∀a>0, ... ... ... ... ... ... Ж.Б., ... жыл
* Қ.Қабдықайыр, , Алматы,2005 жыл
* Айдос Е.Ж. , Алматы 2008 жыл
* ... Н." ... ... І т, ... 1987 жыл
* Фихтенгольң г.т "Математикалық анализ негіздері," І т ... 2003ж
* ... ... и ... ... І, ІІ том, Москва, 1988 г.
* О.А. Жәутіков Алматы, 2014 г
* ... , ... 1987 г
* ... Т. - ... ... Т. ... Есмағанбетов, М. F. ,Алматы,1995жыл

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 11 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 900 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Тұлға теорияларының компоненттері8 бет
"Ай Ер Нур" Жауапкершілігі шектеулі серіктестігін бойынша өндірістік іс-тәжірибе есебі37 бет
«Kaz Commerce Egineering» жауапкершілігі шектеулі серіктестігінің жалпы сипаттамасы11 бет
«Агросервис Шапағат» жауапкершілігі шектеулі серіктестігінің есептіліктері мен алғашқы құжаттары33 бет
«Альмурат - К» Жауапкершілігі шектеулі серіктестік14 бет
«АСМЕЛ» жауапкершілігі шектеулі серіктестігінің ұйымдастыру - экономикалық сипаттамасы27 бет
«АУРА» ЖАУАПКЕРШІЛІГІ ШЕКТЕУЛІ СЕРІКТЕСТІГІНІҢ ЖОСПАРЛАУ ЖҮЙЕСІНІҢ НЕГІЗДЕРІ30 бет
«Мерей» жауапкершілігі шектеулі серіктестігінің қаржысын жоспарлау43 бет
«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»47 бет
Адамзат даму тарихындағы мүмкіндігі шектеулі мүгедек балалардың әлеуметтік мәдени статусы30 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь