Шектер теориясы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 16 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе

Шек ұғымы математикалық талдауда іргелі ұғым болып табылады. Шек жөнінде алғашқы мағлұмат сонау мектеп курсында кездеседі Мәселен, алгебрада шек ұғымы шексіз кемімелі геометриялык прогрессияның мүшелер қосындысымен байланысса, геометрияда, шек ұғымы шеңбердің ұзындығын, дөңгелек және бет ауданын, дене көлемін есептеумен байланысады.

Математикалық талдау курсында шек арқылы туынды, анықталған интеграл ұғымдары енгізіледі. Алдын ала сандық тізбек ұғымымен танысьш, келесі мысалдарды қарастырайық.

Негізгі бөлім

Шек - математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Бұған анықтама беруді әуелі функцияның ең жобалы және дербес түрінің, атап айтқанда, натурал аргумерт n-нің функциясы $х_{n}$ -нің шегін анықтаудан бастаймыз. Сонан кейін барлық күрделі жағдайларда да шек табу мәселесі осы принциптің негізіне сүйене отырып шешілетіндігін көрсетеміз.

Айнымалы $х_{n}$ -нің мәндерінен $х_{1, }х_{2, },, ,, , х_{n},,$

Тізбегін жасалық.

Анықтама. Алдын ала берілген кез келген аз оң сан ξ үшін әрқашанда N нөмірі табылып, n>N теңсіздігін қанағаттандыратын n-нің барлық мәндері үшін

$\ \ \ \ \ \ \left\lbrack х_{n} - а \right\rbrack$ <е

Теңсіздігі орындалса, а саны айнымалы $х_{n}$ -нің $\cup (n)$ функциясының шегі немесе тізбектін шегі деп аталады.

$\mathbf{\alpha}$ саны айнымалы $х_{n}$ -нің немесе жалпы $х_{n} = f(n)$ lim $х_{n} = а$

символымен жазылады. Мұндағы lim латын тілінде «limes»- шек деген сөзден қысқартылып алынған.

Бұл жағдайды екінші сөзбен: $х_{n}$ айнымалы а санына ұмытылыды деп те айтады және былай жазады $х_{n} \rightarrow а$ . Сонымен қатар а саны 1 тізбектін шегі деп аталады да тізбек $\alpha$ санына жыналады.

Атап айтатын нарсе мынау: а саны айнымалы $х_{n}$ -нің шегі болу үшін 2 теңсіздік берілген кез келген $\varepsilon > 0\$ үшін х-тің тек қана бір немесе бірнеше мәндерінде ғана орындалып қоймай $х_{n}$ -нің белгілі бір мәніне бастап келесі мәндерінің барлығы үшін орындалуы шарт. Айнымалы $х_{n}$ -нің қай мәнінен бастап 2 теңсіздік міндетті түрде орындалатындығын N нөмірі деп көрсетеді.

Тағы бір мәселе: жалпы айтқанда әрбір N нөмірі $\varepsilon$ санына тәуелді. Сондықтан ол нөмірді $N_{\varepsilon}$ деп белгілеу қолайлырақ болады. $\varepsilon > 0$ санына неғұрлым кешірек етіп алсақ, жалпы айтқанда N нөмірі соғұрлым үлкенірек болады: басқаша айтқанда айнымалы $х_{n}$ неғұрлым $\alpha$ санына жақынырақ болуы талап етілсе, солғұрлым 1 тізбектің алысырақ мүшелерін қарастыру керек.

Бұл тәртіпке бағынбайтын мынадай жағдай бар, ол: егер айнымалы $х_{n}$ -нің барлық мәндері бірдей $\alpha$ санына тең болса, lim $х_{n}$ = $\ \alpha$ , болады да, 2 теңсіздік $\alpha - \alpha$ < $\varepsilon$ түріне келеді және кез келген $\varepsilon > 0$ алсақ, айнымалы $х_{n}$ -нің барлық мәндері үшін 2 теңсіздік бір кезде орындалады.

Айнымалы $х_{n}$ -нің белгілі бір мәнінен бастап келесі мәндерінің барлығы әрі өзара бірдей, әрі $\alpha$ санына тең болғанда да жоғарғы жағдай болатындығына өзінен-өзі айқын.

Ескерту. Жоғарыда аталған екі анықталмағандықтан басқа да $\infty - \infty$ , $1^{\infty}$ , $0^{\infty\ }$ т. с. с. анықтлмаған өрнектер бар.

Сонымен бірге + $\infty, - \infty, \ \infty$ ақырсыздықтары үшін келесі теңдіктер орындалады:

$\left( \mathbf{+ \infty} \right) \mathbf{+}\left( \mathbf{+ \infty} \right) \mathbf{=}\left( \mathbf{+ \infty} \right) \mathbf{*}\left( \mathbf{+ \infty} \right) \mathbf{=}\left( \mathbf{- \infty} \right) \mathbf{*}\left( \mathbf{- \infty} \right) \mathbf{= + \infty}$ :

$\left( \mathbf{- \infty} \right) \mathbf{+}\left( \mathbf{- \infty} \right) \mathbf{= - \infty}$ :

А+ $\left( \mathbf{\infty} \right) \mathbf{= \infty}$ : А+ $\left( \mathbf{+ \infty} \right) \mathbf{= + \infty}$ : А+ $\left( \mathbf{- \infty} \right) \mathbf{= - \infty}$ :

Егер $А > 0$ олса, онда А* $\left( \mathbf{+ \infty} \right) \mathbf{= + \infty}$ :, А* $\left( \mathbf{- \infty} \right) \mathbf{= - \infty}$ :,

ал $А > 0$ болса, онда А* $\left( \mathbf{+ \infty} \right) \mathbf{= - \infty}$ :, А* $\left( \mathbf{- \infty} \right) \mathbf{= + \infty}$ :

Шектер теориясы

Ғылымның өзінде болсын немесе күнделікті тәжірібелік істе болсын алуан түрлі шамалармен кездесіп отырамыз. Табығаттың қандай болсын құбылысын сипаттайтын шамалар бірқалыпты болып тұрмайды, олардың кейбіреулері көп өзгерістерде балғанда, кейбіреулері бір күйде. Мәселен, бір тығыз жабылған ыдыстың ішіндегі газды қыздырсақ, ал оның температурасы мен серпінділігі өзгереді, былайша айтқанда, ылғи үлкен мәндері қабылдайды, яғни өсіп отырады.

Табиғат құбылысын сипаттайтын шамалардын барлығына тән қасиет мынау: олардың барлығында өлшену қабілеттілігі бар.

Оларды олшеу нәтіжесі әрқашан да бір дәрежесіз сан болады. Осы дерексіз санды шаманың мәні деп атайды.

Математика жаратылыстану ғылымның және техниканың күшті қуралы екендігі үстіміздегі дәуірде әйгілі болып отыр.

Шектердің қазіргі теориясы XIX ғ-дың басында қалыптаса бастады. Шек ұғымы алғаш рет О. Коши еңбектерінде қолданылды. Тізбек пен функция шектерінің теориясы Б. Больцано мен К. Вейерштрасстың еңбектері негізінде қалыптасты

Функцияның шегі

x саны x ₀ санына ұмтыла берсін, бірақ оған тең болмасын. Бұны x→x ₀ деп белгілейміз.

Мысалы мына сандар тізбегінің n-ші мүшесі, n өскен сайын нөлге ұмтылады (бірақ нөлге тең болмайды) :

$1, \frac{1}{10}, \frac{1}{10^{2}}, \ldots, \frac{1}{10^{n}}, . .$

Аңықтама.

A саны y=f(x) функциясының x→x ₀ ұмтылғандағы шегі деп аталады, егер x ₀ санына ұмтылған кез келген x ₁ , x ₂ , x ₃ , … сандар тізбегі үшін сәйкесінше f(x ₁ ), f(x ₂ ), f(x ₃ ), … сандар тізбегі A санына ұмтылса.

Мұны $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) } = A$ деп белгілейді.

Функцияның нүктедегі шегінің бір-бірімен эквивалентті екі анықтамасын келтірейік.

1-анықтама. ( функция шегінің Коши бойынша анықтамасы немесе

«ε-δ» тілінде ) .

Егер f функция х ₀ нүктесінің кейбір аймағында анықталса, мүмкін, осы х ₀ нүктеден басқа, және кез келген ε>0 санына δ(х ₀ , ε) >0 саны табылып,

0<x-x ₀ <δ шартын қанағаттандыратын барлық x үшін мына теңсіздік орындалса

f `(x) - A < ε,

онда A саны f функциясының х ₀ нүктесіндегі шегі деп аталады.

Функцияның шегін $\lim_{x \rightarrow х0}{f(x) = A}$ немесе f(x) → A (x→ х ₀ ) деп белгілейміз.

Бұл анықтаманы қысқаша былай жазуға болады

$\lim_{x \rightarrow х0}{f(x) = A\ \Longleftrightarrow (\forall\varepsilon > 0) (\exists\delta > 0) \left( \forall x:0 < x - х0 < \delta \right) :\ f(x) - A < \varepsilon}$ .

2-анықтама . ( функция шегінің Гейне бойынша анықтамасы) .

Егер f функция х ₀ нүктенің кейбір аймағында анықталса, мүмкін, осы х ₀ нүктеден басқа, және х ₀ нүктесіне жинақталатын кез келген $\left\{ x_{n} \right\},$ $x_{n} \neq \ \ x_{0},$

тізбекке сәйкес функция мәндерінен тұратын $\left\{ f(x_{n}) \right\}$ тізбектің шегі A болса

n →∞, яғни мына теңдік орындалса

$\lim_{n \rightarrow \infty}{f\left( x_{n} \right) = A, }$

онда A саны f функциясының х ₀ нүктесіндегі шегі деп аталады.

Бұл анықтаманы қысқашы былай жазуға болады

$\lim_{x \rightarrow х0}{f(x) = A\ \Longleftrightarrow \left( \forall\left\{ x_{n} \right\} \right) (\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n} = \ x_{0}, \ \ }}x_{n}\ \neq \ x_{0}) :\ \lim_{n \rightarrow \infty}{f\left( x_{n} \right) = A. }\$

Мысал 1. f(x) =sin $\frac{1}{x}$ функциясы x→0 шегі бар ма?

Шешімі. Кез келген екі тізбекті қарастырайық ${x'}_{n} = \ \frac{1}{\pi n}\$ және ${x''}_{n} = \ \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$ .

Бұл екі тізбектің шектері нөлге тең, яғни $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n} = 0, }$ $\lim_{n \rightarrow \infty}{{x''}_{n} = 0, }$ бірақ

${x'}_{n} \neq 0$ , ${x''}_{n} \neq 0$ , $\forall n.$

Сонымен $f\ \left( {x'}_{n} \right) = sin\pi n = 0, \ \ \ n = 1, 2, \ldots., \ \ f\left( {x^{''}}_{n} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} + \ 2\pi n \right) = 1,$

n=1, 2, …., сондықтан $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n} = 0, }$ $\lim_{n \rightarrow \infty}{{x''}_{n} = 1. }$

$f(x) = sin\frac{1}{x}\ \ \ функциясының\ x \rightarrow 0\ шегі\ жоқ. \$

Мысал 2. $f(x) = \frac{2x^{2} + x - 1}{x - 1}, \ \ \lim_{x \rightarrow 0}{f(x) - бар\ ма?}$

$\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = 0, \ болатын\ \left\{ x_{n} \right\}\ тізбегін\ қарастырайық\ x_{n} \neq 0, \ \ \ \ \forall n \in N$ .

$\lim_{n \rightarrow \infty}{f\left( x_{n} \right) = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2x_{n}^{2} + x_{n} - 1}{x_{n} - 1} = \frac{{2\left( \lim x_{n} \right) }^{2} + \lim x_{n} - 1}{\lim x_{n} - 1} = 1. }$

$f(x)$ функцияның x→0 шегі бар себебі функцияның мәндерінен құрылған тізбектің шегі $\left\{ {f(x}_{n}) \right\}$ тізбекті қалай алсақта n→∞ ұмтылғанда мәні 1-ге тең.

Тізбектің шегі туралы ұғым

Анықтама. Егер әрбір натурал санға n = 1, 2, . . . қандайда бір заңдылықпен x _n нақты саны сәйкес қойылса, онда x ₁ , x ₂ , …x _n , . . сандар тізбегі анықталған дейді де былай белгіленеді

$\left\{ x_{n} \right\} = \left\{ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots \right\},$

мұндағы әрбір х _n саны тізбектің элементі немесе мүшесі деп аталады.

Тізбекке мысалдар:

{1, 12, 13, …}={1n}. \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots \right\} = \left\{ \frac{1}{n} \right\}.
{12, 2, 12, 2, …}={2(−1) n}\left\{ \frac{1}{2}, 2, \frac{1}{2}, 2, \ldots \right\} = \left\{ 2^{( - 1) ^{n}} \right\}
{−1, 2, −3, 4, …}={(−1) nn}\left\{ - 1, 2, - 3, 4, \ldots \right\} = \left\{ {( - 1) }^{n}n \right\}
{2, 5, 10, …}={n2+1}\left\{ 2, 5, 10, \ldots \right\} = \left\{ n^{2} + 1 \right\}

Шектің бірінші анықтамасы. A саньш $\ \ \left\{ x_{n} \right\}\ \ \$ тізбектің немесе х _n айнымалының шегі деп атайды, егер әрбір е>0 оң санына n ₀ = n ₀ (ε) натурал саны табылып, мына теңсіздік

$\left x_{n} - a \right < \varepsilon$

барлық n>n ₀ натурал саны үшін орьшдалса Бұл теңсіздікті былай да жазуға болады:

$\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = a$ немесе $\ \$ x _n →a, n→∞.

Бұл анықтама қысқаша былай жазылады:

$\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = a \Longleftrightarrow (\forall\varepsilon > 0) \left( \exists n_{0}(\varepsilon) \in N \right) \left( \forall n > n_{0} \right) :\left x_{n} - a \right < \varepsilon.$

Шегі бар тізбек жинақты. ал керісінше шегі жоқ тізбек жинақсыз деп аталады.

ЕСКЕР Т У. Егер $x_{n} = a$ , $\forall n \in N$ болса, онда $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}a = a. }$ Егер $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n} = a}$ болса, онда $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n + 1} = a. }$ болады және керісінше.

Шектің екінші анықтамасы. а санын {x _n } тізбектің шегі дейді, егер осы нүктенің кез келген маңайында тізбектің барлық мүшелері (нүктелері) жатса, тек санаулы мүшелерінен басқа.

Мысалы. {(-1) ⁿ⁺¹ }= $\left\{ 1, - 1, 1, - 1, . . \right\}\ \$ тізбектің шегі жоқ . а саны осы тізбектің шегі болсын делік, онда анықтама бойынша $\left( a - \frac{1}{3}, \ \ a + \frac{1}{3} \right)$ интервалда тізбектің барлық мүшелері жатуы қажет. Бірақ бұл интервалда тек санаулы ғана мүшелер жатады. Себебі $2 > \frac{2}{3}$ .

Шектер туралы теоремалар

Егер айнымалылар $х_{n}\ және\ у_{n}$ сәйкес а және b шектерге ұмтылса, онда олардың қосындысы $х_{n} + у_{n}$ мына a+b шекке ұмтылады, яғни

$\lim\left( x_{n} + y_{n} \right) = limx_{n} + limy_{n}\ = a + b.$

Бұл теореманы дәлелдеу оп оңай. Теореманың шарттары бойынша: $\left x_{n} - a \right < \frac{\varepsilon}{2}$ $\left y_{n} - b \right < \frac{\varepsilon}{2}$

$n \geq N_{1}(\varepsilon)$ $n \geq N_{1}(\varepsilon)$

N арқылы $N_{1}$ және $N_{2}$ сандардың ең үлкенін белгілейік, онда N саны арқылы әрбір $n$ үшін $n \geq N$ жоғарыдағы теңсіздіктер сөзсіз орындалады. Енді мына айырманы

$\left( x_{n} + y_{n} \right)$

Қарайық. Бұл айырманың абсалют шамасы келесі теңсіздік

$\left \left( x_{n} + y_{n} \right) - (a + b) \right \leq \left x_{n} - a \right + \left y_{n} - b \right$

Қанағаттандырады. $(34)$ теңсіздікті еске алып табамыз:

$\left \left( x_{n} + y_{n} \right) - (a + b) \right < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

Осы кейінгі теңсіздік орындалуы теореманы дәлелдейді.

2) Егер айнымалы $x_{n}\ және\ y_{n}\$ сәйкес a және b шектерге ұмтылса, онда олардың кқбейтіндісі $x_{n}y_{n}$ мына ab шекке ұмтылады, яғни $\lim x_{n}y_{n} = ab$ .

Келесі теңбе - теңдікті

$\left x_{n}y_{n} - ab \right \leq b\left x_{n} - a \right + \left x_{n} \right\left y_{n} - b \right\ \ \ \ \ \ \ \ \ \$

$x_{n}$ шектелген айнымалы, сондықтан $\left x_{n} < M \right$ .

Теореманың шарттары бойынша

$\left x_{n} - a \right < \frac{\varepsilon}{2\varepsilon}$ $\left y_{n} - b \right < \frac{\varepsilon}{2м}$

$n \geq N_{1}(\varepsilon)$ $n \geq N_{1}(\varepsilon)$

N арқылы $N_{1}$ және $N_{2}$ сандардың ең үлкенін белгілейік, онда теңсіздіктер N саны арқылы әрбір $n$ сандары үшін $n \geq N$ жоғарыдағы теңсіздіктер сөзсіз орындалады.

теңсіздіктерді салыстырып табамыз:

$\left \left( x_{n} + y_{n} \right) - (a + b) \right < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

Сонымен теорема дәлелденеді.

Біржақты шектер

Функция шегінің анықтамасында $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) = A, \ \ \ \ }$ аргумент x, x ₀ -ге кез

келген тәсілмен ұмтылады. Сонымен x x ₀ -ге сол жақтан немесе оң жақган немесе x ₀ маңынан тербеліп осы нүктеге ұмтылады. Кейбір жағдайда функцияның шегі х-тің х ₀ -ге қалай ұмтылған тәсіліне байланысты болады. Сондықган бір жақгы шек ұғымын кіргіземіз.

Анықтама. Егер кез келген ε > 0 саны үшін δ = δ(ε) > 0 саны табылып кез келген $x \in (x_{0} - \delta, x_{0})$ үшін мына теңсіздік орындалса

$\left f(x) - A_{1} \right < \varepsilon,$

онда $A_{1}$ санын f функцияның $x_{0}$ нүктесіндегі сол жақты шегі дейді.

Сол жақты шек былай жазылады

$\lim_{x \rightarrow x_{0} - 0}{f(x) = A_{1}\ немесе\ f\left( x_{0} - 0 \right) = A_{1}. \ }$

Тура осылай оң жақты шекте анықталады. А ₂ санын f функциясының х ₀ нүк- тесіндегі оң жақгы шегі дейді, егер

( $\forall\varepsilon > 0) (\exists\delta = \delta(\varepsilon) ) (\forall x \in (x_{0}, x_{0} + \delta) ) :\ f(x) - A_{2} < \varepsilon \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_{0} + 0}{f(x) = A_{2}. }$

Оң жақты шек қысқаша былай жазылады f(х ₀ + 0) = A ₂ .

Сол жақты және оң жақты шектер біржақты шектер деп аталады. Егер сол жақты f(х ₀ - 0) және оң жақты f(х ₀ + 0) шектер бар болса және олар бір-біріне тең болса, онда функцияның х ₀ нүктеде шегі бар, яғни f (х ₀ - 0) = f (х ₀ + 0) =A болса, онда $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) = A}$ . Егер $f(x_{0} - 0) \neq f(x_{0} + 0)$ онда $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) }$ шегі болмайды.