Үздіксіз кездейсоқ шамаларды үлестірім заңдары

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Денсаулық сақтау министрлігі

Оңтүстік Қазақстан Мемлекеттік Фармацевтика Академиясы

Медициналық биофизика, информатика және математика кафедрасы

СӨЖ

Тақырыбы: Үздіксіз кездейсоқ шамаларды үлестірім заңдары.

Орындаған: Жанкозин Н.

Тобы: 102 «Б» ФК

Қабылдаған: Сарбасова Ғ. С.

Шымкент - 2016

Жоспар

Кіріспе

Негізгі бөлім

Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары
Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың кейбір үлестірім заңдары

2. 1 Бірқалыпты үлестірім заңы

2. 2Көрсеткіштік үлестірім заңы

2. 3Қалыпты үлестірім заңы

Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

Үздіксіз кездейсоқ шамалар

Анықтама: Егер кездейсоқ шама өзінің мүмкін мәндерін [a, b] интервалында қабылдаса және бұл мәндерді нөмірлеуге болмаса, онда ол үзіліссіз кездейсоқ шама деп аталады.

Мысалы поездің кешігу уақыты, атылған оқтың ұшу ұзақтығы т. б. үзіліссіз кездейсоқ шамалардың мысалдары болып табылады. Себебі бұл кездейсоқ шамалардың мүмкін мәндері белгілі бір интервалды қамтып жатады.

Анықтама: Үлестірім функциясы деп Х-кездейсоқ шамасының мәндері берілген х санының кіші болу ықтималдығын айтады.

Үлестірім функциясы F(x) арқылы белгіленеді. Сонда анықтама бойынша $F(x) = P(X < x) \$

Бұл функцияны, сондай-ақ, интегралдық үлестірім функциясы деп те атайды.

Негізгі қасиеттері:

P(a≤X≤b) =F(b) −F(a) P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)
F(x2) ≥F(x1), x2≥x1F\left( x_{2} \right) \geq F\left( x_{1} \right), \ x_{2} \geq x_{1}
lim⁡x→+∞F(x) =1, lim⁡x→−∞F(x) =0\lim_{x \rightarrow + \infty}{F(x) } = 1, \ \lim_{x \rightarrow - \infty}{F(x) } = 0

Дискреттік кездейсоқ шама үшін интегралдық үлестірім функция былай анықталады.

$F(x) = P(X < x) = \sum_{x_{i} < x}^{}p_{i}$

Мұндағы х ₁ , х ₂ , х ₃ , . . . , х _n дискретті кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері, ал р ₁ , р ₂ , р ₃ , . . . , р _n сол мәндердің қабылдануының сәйкес ықтималдықтары. Мына қосындысы тек x _i <x теңсіздігін қанағаттандыратын барлық x _i үшін олардың сәйкес ықтималдықтарының қосындысы бола алады; х берілген тиянақты сан

Анықтама: үзіліссіз кездейсоқ шаманың дифференциалдық функциясы (үлестірім тығыздығы) деп үлестірім функциясының бірінші туындысын айтады.

Дифференциалдық функцияны f(x) деп белгілейді. Сонда анықтама бойынша $f(x) = F'(x)$

Негізгі қасиеттері:

f(x) ≥0f(x) \geq 0
∫−∞+∞f(x) dx=1\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x) dx} = 1
P(α<x<β) =∫αβf(x) dxP(\alpha < x < \beta) = \int_{\alpha}^{\beta}{f(x) dx}
F(x) =∫−∞xf(t) dtF(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t) dt}

1 мысал. Айталық Х- дискреттік кездейсоқ шама үлестірім кестесі арқылы берілген

3, 5

Х: Р

0: 0, 1

1: 0, 4

3: 0, 2

3, 5: 0, 3

Х-тің үлестірім функциясын табыңыз.

Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары

Математикалық үміті

$M(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x) dx}$

Дисперсиясы

$D(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\left\lbrack x - M(x) \right\rbrack^{2}f(x) dx}$

Дисперсияның жеңілдетілген формуласы

$D(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{x^{2}f(x) dx} - {\lbrack M(x) \rbrack}^{2}$

Орташа квадраттық ауытқу

$\sigma(x) = \sqrt{D(x) }$

К-ретті бастапқы моменті

$v_{k}(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{x^{k}f(x) dx}$

К-ретті орталық моменті

$\mu(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{{\lbrack x - M(x) \rbrack}^{2}f(x) dx}$

Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың мүмкін мәндері және үлестірімі жөнінде белгілі дәрежеде ақпарат беретін басқада сипаттамалар бар. Оларға мода, медиана, эксцесстер жатады.

Анықтама: Егер кездейсоқ шаманың белгілі бір М ₀ мәнінде f _max =f(M ₀ ) теңдігі орындалса, онда М ₀ кездейсоқ шаманың модасы деп аталады.

Анықтама: Егер кездейсоқ шаманың белгілі бір М _D мәнінде P(x< М _D ) = P(x> М _D ) орындалса, онда М _D кездейсоқ шаманың медианасы деп аталады.

Анықтама: Кездейсоқ шаманың өзінің математикалық үміті бойынша симметриядан ауытқуы, оның асимметриясы деп аталады және A _s деп белгілейді:

$A_{s} = \frac{\mu_{3}}{\sigma_{3}}$

Мұнда $\mu_{3}$ _- үшінші ретті орталық моменті, $\sigma\$ -орташа квадраттық ауытқу.

Егер кездейсоқ шаманың үлестірімі математикалық үміті бойынша симметриялы болса, онда A _s =0. Егер A _s >0 болса, онда дифференциалдық функцияның графигі оң жаққа қарай “созыңқы” болады, ал A _s <0, онда -сол жаққа қарай “созыңқы” болады.

Анықтама: Қалыпты үлестіріммен салыстырғанда дифференциалдық функцияның графигінің “жатыңқылық” деңгейін анықтайтын шаманы эксцесс деп атайды және Е _к арқылы белгілейді.

$E_{k} = \frac{\mu_{4}}{\sigma_{4}}$

Мұнда қалыпты үлестірім үшін Е _к =0. Егер Е _к >0, онда Гаусс қисығымен салыстырғанда график “көтеріңкі” болады, егер Е _к <0, онда график “жатыңқы” болады.

2 мысал. Үзіліссіз кездейсоқ шама дифференциалдық функциясымен берілген

$f(x) = \left\{ \begin{array}{r} 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x < 0\ \ \\ \frac{1}{2}\sin x, \ \ 0 \leq x \leq \pi \\ 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x > \pi \end{array} \right. \$

Кездейсоқ шаманың М ₀ , М _D , A _s , E _k - ларын табу керек.

Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың кейбір үлестірім заңдары

Бірқалыпты үлестірім заңы

Анықтама . Егер Х-кездейсоқ шамасы [a, b] аралығында мән қабылдаса және оның үлестірім тығыздығы:

$f(x) = \left\{ \begin{array}{r} 0, \ \ x \in \lbrack a, b\rbrack \\ \frac{1}{b - a}, \ x \in \lbrack a, b\rbrack\ \end{array} \right. \$

Теңдігі арқылы анықталса, онда ол кездейсоқ шама бірқалыпты үлестірім заңымен берілген дейді.

Бұл үлестірім заңдылығы үшін

$M(x) = \frac{a + b}{2}, \ \ \ D(x) = \frac{{(a + b) }^{2}}{12}$

Интегралдық функциясы

$F(x) = \left\{ \begin{array}{r} 0, \ \ x \ll a \\ \frac{x - a}{b - a}, \ \ a < x < b \\ 1, \ \ x > b \end{array} \right. \$

Берілген аралықтан мән қабылдау ықтималдығы

$P(c \ll X \ll d) = \frac{d - c}{b - a}$

3 мысал. Кездейсоқ шама дифференциалдық функциясы арқылы берілген

$f(x) = \left\{ \begin{array}{r} 0, \ \ x \ll 0 \\ 1, \ \ 0 < x \ll 1 \\ 0, \ \ x > 1 \end{array} \right. \$

Интегралдық функцияны табыңыз. М(х), D(x) -тарды есептеңіз

Көрсеткіштік үлестірім заңы

Анықтама . Егер Х- кездейсоқ шамасы мына үлестірім тығыздығы

$F(x) = \left\{ \begin{array}{r} 0, \ \ x < 0 \\ 1 - e^{- \lambda x}, \ \ x \gg 0 \end{array} \right. \$

Бұл үлестрімнің сандық сипаттамалары:

$M(x) = \frac{1}{\lambda}, \ \ \ \ \ \ D(x) = \frac{1}{\lambda^{2}}, \ \ \ \ \ \sigma(x) = \frac{1}{\lambda}, \ \ \ \ \ \ \ As = 2, \ \ \ \ \ \ \ Ek = 9$