Matlab-та векторлармен жұмыс

Пән: Автоматтандыру, Техника
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 11 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе3

1 Matlab-та векторлармен жұмыс . . . . . . 5

1. 1 Векторларды Matlab -та енгізу . . . . . . 5

1. 2 Векторларды құру . . . . . . 5

1. 3 Векторларға матеметикалық және матеметикалық емес операциялар жасау . . . 6

1. 3. 1 Векторлық әрекет . . . . . . 7

1. 3. 2 Вектордың әрбір элементімен жұмыс. . ……8

2 Векторлық алгебра 11

2. 1. Вектор………. . . . 11

2. 2. Векторларды қосу . 12

2. 3. Векторлардың айырымы . . 14

2. 4 Векторларды санға көбейту . . . . 14

2. 5. Коллинеар және компланар векторлар . . …. . . . 15

2. 6. Базис . . . . . 16

3 Мысалдар . . . 29

Қорытынды . . . 34

Қолданылған әдебиеттер тізімі . . . 35

КІРІСПЕ

Matlab жүйесі (MATrix LABortory - Матрица лабораториясы) мәліметтер мапссивімен жұмысқа негізделген инженерлік және ғылыми есептеулерге арналған интерактивті жүйе. Matlab жүйесі дамыған математикалық және комплекстік арифметикадан тұрады.

Бұл жүйе векторлармен, матрицалармен және массивтермен операцияларды қолдайды, сингулярлы және спектралды айырылуды (разложение) іске асырады, матрица рангтарын есептейді, алгебралық полиномдармен, сызықтық емес теңдеулермен, дифференциалдық теңдеулермен және оптимизация есептерімен жұмыс жасайды, әртүрлі графиктермен тұрғызады.

2 Векторлық алгебра

2. 1. Вектор

Mатематикада, физикада, механикада кез келген құбылыс екi шамамен анықталады. Егер кез келген шама оң немесе терiс санмен анықталса, онда ол скаляр шама деп аталады. Мысалы, көлем, масса, аудан, уақыт, температура - скаляр шама. Кейбiр шамаларды анықтау үшiн олардың сандық мәнiмен қоса, бағытын да бiлу қажет, олар - векторлық шама деп аталады. Мысалы үдеу, жылдамдық, күш - векторлық шама болып табылады.

Анықтама. Вектор дегенiмiз - бағытталған кесiндi.

Берiлген вектор үлкен екi латын әрiпiмен немесе кiшi бiр латын әрiптерiмен белгiленедi. Егер вектор екi әрiппен белгiленсе, онда бiрiншi әрiп вектордың бастапқы нүктесi , ал екiншiсi - соңғы нүктесi деп аталады. Мысалы - вектор, A нүктесi осы вектордың бастапқы нүктесi, ал B - соңғы нүктесi, стрелка вектордың бағытын сипаттайды, яғни вектордың бағыты A нүктеден A нүктеге бағытталған (1-сурет) . Егер вектор кiшi бiр әрiппен белгiленсе, онда сол әрiптiң төбесiне тек сызықша ғана қойылады. Мысалы, векторын деп те белгiлеуге болады. Берiлген векторының үзындығы немесе модулi деп, AB кесiндiсiнiң ұзындығын айтамыз және ол былай белгiленедi: немесе .

E

F B

. 3

1-сурет

Модулдерi бiрге тең векторлар бiрлiк немесе орт векторлар деп аталады. Берiлген векторының орт векторы деп белгiленедi және оның бағыты векторының бағытымен бағыттас. Жалпы векторының орт векторын деп те белгiлейдi (2-сурет) .

2-сурет

Аны қ тама. Екi вектор тең деп аталады, егер:

1. Oлар параллель болса (параллель түзулердiң бойында немесе бiр түзудiң бойында жатса) ;

2. Олардың бағыттары бағыттас болса;

3. Олардың модульдерi тең болса.

Екi мен векторларының теңдiгiн былай белгiлеймiз:

Анықтама. Егер екi вектор бiр түзудiң бойында немесе параллель түзулердiң бойында жатса, онда мұндай векторлар коллинеар векторлар деп аталады (3-сурет) .

3-сурет

Егер вектордың бас нүктесiмен соңғы нүктесi бiр нүктеде үйлессе, онда мұндай вектор нөл вектор деп аталады да, былай белгiленедi: немесе , . Нөл векторлардың бағыттары анықталмаған, модульдерi нөлге тең және олар өзара тең. нөл векторы нүктесiнен өтетiн кез келген түзулердiң бойында жатады, сондықтан нөл вектор - кез келген вектормен коллинеар деп айтуға болады. Кез келген вектор өзiне-өзi коллинеар бола алады.

Егер мен векторлары параллель және модулдерi тең, ал бағыттары қарама-қарсы болса, онда мұндай векторлар қарама-қарсы векторлар деп аталады (4-сурет) .

4-сурет

Қарама-қарсы векторлардың байланысын былай көрсетемiз . векторының қарама-қарсы векторын деп белгiлеуге болады. Егер мен векторларының модулдерi ғана тең болса, онда бұл векторлардың өзара теңдiгi туралы ешқан-дай тұжырым айтуға болмай-ды, яғни олар жалпы жағдай-да тең немесе тең емес болуы да мүмкiн.

2. 2. Векторларды қосу

Берiлген , , , . . . , коллинеар емес векторларын былай орналастырайық: векторының соңғы нүктесi векторының бас нүктесiмен, векторының соңғы нүктесi векторының бас нүктесiмен үйлестiрейiк, ал қалғандарында осылай тiзбектеп орналастырайық.

Анықтама. Берiлген , , , . . . , векторларының қосындысы деп бас нүктесi векторының бас нүктесiмен үйлесетiн, ал соңғы нүктесi векторының соңғы нүктесiмен үйлесетiн векторын айтамыз (5-сурет) .

Осы векторлардың қосындысы былай белгiленедi:

+ + + + . . . + = .

5-сурет

Жоғарыдағы анықтаманы пайдаланып, коллинеар емес мен век-торларының қосындысын анықтайық. Ол үшiн векторының соңғы нүкте-сiн векторының бас нүктесiмен үйлестiрейiк, сонда мен векторларының қосындысы деп - бас нүктесi векторының бас нүктесiмен, ал соңғы нүктесi векторының соңғы нүктесiмен үйлесетiн векторын айтады, яғни + = (6-сурет) .

AOBC6-сурет:

6-сурет

Берiлген мен векторларының қосындысын табу үшiн параллелограмм ережесiн пайдаланып табуға да болады. Ол үшiн жа-зықтықтағы 0 нүктесiн берiлген мен векторларының бас нүктесi етiп аламыз да, осы нүктеден мен векторларын тұрғызамыз. Осы тұрғызылған векторлар арқылы параллелограмын саламыз. Параллелограмның диагоналы, берiлген векторлардың қосындысы болады, яғни + .

Жоғарыда берiлген анықтамадан, векторларды қосу амалына мына қасиеттер орындалады:

- ауыстырымдылық заңы;
- терiмдiлiк заңы;
;
Кез келгенвекторына қарама-қарсывекторы табылып, теңдiгi орындалады.

2. 3. Векторлардың айырымы

Анықтама. Берiлген мен векторларының айырымы деп - үшiншi векторын айтамыз, егер мен векторларының қосын-дысы векторына тең болса ол былай белгiленедi:

- = .

Осы анықтаманы пайдаланып, берiлген мен векторларының - айырымын табайық. Ол үшiн мен вектор-ларын ортақ бас О нүктесiмен үйлестiрелiк (7-сурет), яғни , . -дан және жоғарыдағы анықтамадан мына теңдiктi аламыз:

немесе .

Сонда, болады. Сонымен, берiлген мен векторларының айырымын табу үшiн (7-сурет),

7-сурет:

7-сурет

алдымен осы векторларды ортақ бас О нүктесiне үйлестiремiз де, бастапқы нүкте векторының соңғы нүктесiмен үйлесетiн, ал соңғы нүкте векторының соңғы нүктесiмен үйлесетiн векторын тұрғызамыз. Сонда, осы векторы мен векторларының айырымы болады. Осы векторлардың айырымын қосу амалын пайдаланып та табуға болады. Ол үшiн мен векторларының қосындысын анықтасақ жеткiлiктi, (8-сурет) .

8-сурет

2. 1-теорема. Берiлген екi вектордың айырымы әрқашанда бар және ол тек бiреу ғана.

2. 4 Векторларды санға көбейту

Анықтама. Берiлген векторын скаляр санына көбейту деп, мына үш шартты қанағаттандыратын векторын айтамыз:

;
. 3 мен. 3 векторлары коллинеар;
Егер. 3 болса, онда. 3 мен. 3 векторларының бағыттары бiр бағыттас; егер. 3 болса, онда олардың бағыттары қарама-қарсы бағыттас.

Осы анықтамадан мынадай тұжырымдар аламыз:

егер немесе болса, онда - нөл вектор;

егер болса, онда . 3 мен . 3 векторлары беттеседi;

кез келген . 3 векторы үшiн . 3 теңдiгi орындалады;

кез келген . 3 вектор мен . 3 саны үшiн тек бiр ғана векторы анықталады.

Векторларды скаляр санға көбейту амалына мына қасиеттер орындалады ( скаляр шама) :

;
;
.

2. 5. Коллинеар және компланар векторлар

2. 2-теорема. Берiлген . 3 мен . 3 векторлары сызықты тәуелдi болу үшiн олардың өзара коллинеарлығы қажеттi, әрi жеткiлiктi.

қажеттiлiгi. Берiлген . 3 мен . 3 векторлары сызықты тәуелдi деп ұйғаралық та, олардың коллинеар екендiгiн дәлелдейiк. Ұйғаруымыз бойынша . 3 мен . 3 сызықты тәуелдi векторлар, сондықтан анықтама бойынша . 3 мен нақты сандары табылып,

(2. 3)

теңдiгi орындалады.

Ендi мен сандарының бiрiн, яғни болсын дейiк, олай болса, (2. 3) теңдiктен мына теңдiктi аламыз:

мұндағы .

Соңғы теңдiктен және векторды скаляр санға көбейту анықтамасын еске түсiрсек, онда мен векторларының коллинеар екендiгi шығады.

Жеткiлiктiлiгi. Ендi мен векторларын коллинеар деп үйғаралық та, олардың сызықты тәуелдi векторлар екендiгiн дәлелдейiк. Ол үшiн екi жағдайды қарастырамыз.

Бiрiншi жағдай. Берiлген векторлардың бiрi нөл вектор болсын делiк. Онда, бұл векторлардың сызықты тәуелдiлiгi бiрiншi қасиеттен алынады.

Екiншi жағдай. Берiлген мен векторларының екеуi де нөл емес вектор делiк. Онда, . 3 нақты саны табылып, мына теңдiк орындалады:

немесе (2. 4)

Соңғы теңдiкте, мынадай екi жағдай болуы мүмкiн . 3 немесе . 3. Екi жағдайда да болғандықтан, (2. 4) теңдiгi . 3 мен . 3 векторларының сызықты тәуелдiлiгiн анықтайды. Теорема дәлелдендi.