Екінші ретті беттер туралы түсінік. Цилиндрлік беттер мен айналу беттері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Екінші ретті беттер туралы түсінік

Цилиндрлік беттер мен айналу беттері

Екінші ретті беттер туралы түсінік. Екінші ретті бет деп қандай болса да бір декарттық тікбұрышты координатолар жүйесінде:

Ах+By+Cz+Dxy+Eyz+Fxz+Kx+Zy+Mz+N=0

Теңдеуін қанағаттандыратын қеңестік нүктелерінің жиынын атайды. Мүндағы А, В, С, D, E, F коэффиценттерінің кемінде біреуі нольге тең емес.

Біз төменде орындалмаған екінші ретті бетте болып саналатын элипсоид, гиперболоид, парпболоидттар, цилиндрлер және конустар деп аталатын беттерді қарастырамыз.

Бұл беттерден басқа, құрылымы одан гөрі қарапайым, мысалы, құр жиын, нүкте, жазықтық, параллель немесе қиылысатын жазықтықтар парлары да екінші ретті беттерге жатады. Мұндай беттерді орындалған екінші ретті беттер деп атап, оларды қарастырмаймыз. Жоғарыда аталған беттерден басқа екінші ретті беттер болмайды.

Цилиндрлік бетер. Екінші ретті цилиндрлер.

Анықтама. Цилиндрлік бет деп берілген түзуңне параллель, берілген у сызығын қиып өтетін барлық түзулер бірігуінде жатқан кеңістіктегі М нүктелерінің жиынын айтады. у сызығы цилиндрлік беттің бағыттаушысы, ал d түзуіне параллель, у сызығын қиып өтетін түзулерді цилиндрлік беттің жасаушысы деп атайды. (77-сурет) . Кеңістікте декардтық тікбұрыышты координатолар жүйесін алайық

Жасаушы Oz осьіне параллель, ал у бағыттаушысы Оху жазықтығында орналасқан S цилиндрлік беттің дербес түрін қарастырайық(78- сурет) у бағыттаушысы Оху жазықтығында

F(x, y) =0 ( 186)

Теңдеуі арқылы анықталсын( 186) теңдеудің қарастырылып отырған S цилиндрлік беттің де теңдеуі болатынын дәлелдейік

М(х, у, z) нүктесі S бетінің кез келген нүктесі болсын, ал Oz осьіне параллель d түзуі осы нүкте арқылы өтетін түзу дейік. S бетінің анықтамасы бойынша d түзуі у сызығын М ่(х, у, о) нүктесінде қиып өтеді.

Ал М ่(х, у, о) нүктесі координаталары (186) - теңдуі қанағаттандырады, демек, М ่(х, у, z) нүктесінің координаталары да(186) - теңдеуі қанағаттандырады.

Керісінше, егер М*(x*, y*, z*) нүктесі координаталары (186) теңдеуді қанағаттандыратын кез келген нүкте болса, онда М* нүктесінің Оху жазықтығына түсірілген ортогональдық проекциясы болып табылатын М1*(x*, y*, o) координаталары да (186) -теңдеуді қанағаттандыратыны айқын, яғни М1*(x*, y*, o) ∊х. Сонымен қатар, М* meн М1* нүктелері арқылы өтетін түзу Оz өсіне параллель. Демек, бұл түзу, сонымен бірге М*(x*, y*, z*) нүктесі де S бетінде жатады.

Осылайша G(y, z) =0 теңдеуі арқылы, жасаушысы Ох өсіне параллель ал бағыттаушысы Оуz координаталар жүйесінде G(y, z) =0 теңдеуіарқылы анықталатын цилиндрлік бет анықталады.

Теңдеулері арқылы берілген цилиндрлік беттер жасаушысы Оz өсіне параллель екінші ретті сәйкес эллипстік, гиперболалық және параболалық беттер деп аталады.

Эллипстік, гиперболалық және параболалық (79 а, б, в - суреттер) цилиндрлердің бағыттаушылары Оху жазықтығында жатқан сәйкес эллипс, гипербола және парабола болып табылады. a=b болғанда эллипстік цилиндр дөңгелек цилиндр болатыны айқын.

Айналу беттері у жазық сызығы d түзуін алып қарастырайық.

Анықтама. Айналу беті деп қандай болса да бір у жазық сызығын d өсі арқылы айналдырғандағы шығатын нүктелердің S жиынын атайды. d түзуі айналу өсі деп аталады. S бетінің айналу өсі арқылы өтетін жазықтықтармен қимасы меридандар деп аталады. Дербес жағдайда у сызығы сол меридиандардың бірі болып табылады. S бетінің айналу өсіне перпендикуляр жазықтықтармен қимасы параллельдер деп аталады. У жазық сызығын d өсінен айналдырған да әрбір М∊у нүктесі айналу өсіне перпендикуляр жазықтықта жататын, центрі айналу өсінде орналасқан уМ шеңберін сызады. Айналу өсі координаталар өсінің бірі болғандағы айналу бетінің дербес жағдайын қарастырайық. У сызығы Оуz жазықтығында

F(x, z) =0 ( 186)

теңдеуі арқылы анықталып, Оz өсінен айналсын дейік. Айналу бетінің теңдеуін табу керек. У сызығын Оz өсі арқылы айналдырылғаннан шығатын бетті S деп белгілейік. М(х, у, z) нүктесі S бетінің кез келген нүктесі болсын. (80-сурет)

М(х, у, z) нүктесі арқылы Оz айналу өсіне перпендикуляр жазықтық жүргізейік. Бұл жазықтық S бетін центрі Oz өсіндегі О1 нүктесінде жатқан уМ шеңбері бойынша қиып өтеді. уМ және у сызықтарының қиылысу нүктесін N деп белгілейік. О1, М, N нүктелерінің аппликаталары бірдей болып, координаталары былай жазылады:

О1(0, 0, z), M(x, y, z), N(O, Y, z) N∊y

болғандықтан, у сызығының теңдеуі:

F(Y; z) =0

түрінде жазылады. УМ шеңберінің r радиусы О1М немесе О1N кесінділерінің ұзындықтарына тең. Демек, r=√x+y=Y.

Бұдан Y=±√x+y Y-тің бұл мәнін (187) -теңдеуге қойсаң, онда

F(±√x+y, z) =0

теңдеуі шығады. Бұл теңдеуді S бетінің кез келген М нүктесі қанағаттандырады.

Цилиндрлік бет жағдайындағы сияқты мұнда да, егер М*(x*:y*:z*) нүктесінің координаталары (188) -теңдеуді қанағаттандырса, онда М*∊S болады. Бұдан мына ережені шығарып аламыз:

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.